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Algebra Lineal

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MATRIZ: es una arreglo rectangular de números, en donde cada número de la matriz se llama elemento, consta de m filas y n columnas

MATRIZ: es una arreglo rectangular de números, en donde cada número de la matriz se llama elemento, consta de m filas y n columnas

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    • 1. ALGEBRA LINEAL Loja, 14 de mayo del 2009 ECON. ANDREA LOAIZA ABRIL – AGOSTO 2009 ECONOMÍA
    • 2. SISTEMAS LINEALES <ul><li>ECUACIÓN LINEAL: es una ecuación con n variable x 1 ……x 2 que se pueda escribir de la forma </li></ul><ul><li>a 1 son los coeficientes </li></ul><ul><li>b término constante </li></ul><ul><li>SISTEMA LINEAL : Conjunto de ecuación lineales m ecuaciones con n variables </li></ul>
    • 3. <ul><li>SOLUCIÓN DE UN SISTEMA LINEAL: es un conjunto de valores que toman las variables y que hace que el sistema sea verdadero. </li></ul><ul><li>MATRIZ : es una arreglo rectangular de números, en donde cada número de la matriz se llama elemento, consta de m filas y n columnas </li></ul>
    • 4. <ul><li>El sistema lineal se lo puede representar en matrices. </li></ul><ul><li>Si representamos cada matriz con una letra. </li></ul><ul><li>Ax=b </li></ul><ul><li>A es una matriz mxn </li></ul><ul><li>x es un vector de columna n </li></ul><ul><li>B es un vector de columna n </li></ul>
    • 5. MATRIZ AUMENTADA Solución del sistema por eliminación 5
    • 6. VECTORES <ul><li>Es una matriz de una columna nx1 </li></ul><ul><li>Elementos : Origen, Extremo, Sentido, Dirección, Magnitud </li></ul>
    • 7. APLICACIONES VECTORES <ul><li>Norma de un vector </li></ul><ul><li>Distancia entre dos puntos </li></ul><ul><li>Vector unitario </li></ul><ul><li>Angulo entre dos vectores </li></ul>
    • 8. MATRICES Abreviadamente suele expresarse en la forma A =( a ij ), con i =1, 2, ..., m, j =1, 2, ..., n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila (i) y el segundo la columna (j). Por ejemplo el elemento a 21 será el elemento de la fila 2 y columna 1.
    • 9. TIPO DEFINICIÓN EJEMPLO FILA Aquella matriz que tiene una sola fila, siendo su orden  1×n COLUMNA Aquella matriz que tiene una sola columna, siendo su orden  m×1 RECTANGULAR Aquella matriz que tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su orden  m×n , TRANSPUESTA Dada una matriz  A , se llama traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas. Se representa por  A t   ó  A T OPUESTA La matriz opuesta de una dada es la que resulta de sustituir cada elemento por su opuesto. La opuesta de  A   es   -A.
    • 10. TIPO DEFINICIÓN EJEMPLO NULA Si todos sus elementos son cero. También se denomina matriz cero y se denota por 0m×n CUADRADA Aquella matriz que tiene igual número de filas que de columnas, m = n, diciéndose que la matriz es de orden n . Diagonal principal : son los elementos  a 11 , a 22 , ..., a nn   Diagonal secundaria : son los elementos  a ij con   i+j = n+1 Traza de una matriz cuadrada : es la suma de los elementos de la diagonal principal tr A. INVERSA Decimos que una matriz cuadrada  A   tiene inversa, A-1, si se verifica que : A·A -1 = A -1 ·A = I
    • 11. TIPO DEFINICIÓN EJEMPLO SIMETRICA Es una matriz cuadrada que es igual a su traspuesta. A = A t   , a ij = a ji   DIAGONAL Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal ESCALAR Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales IDENTIDAD Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales a 1. También se denomina matriz unidad. TRIANGULAR Es una matriz cuadrada que tiene todos los elementos por encima (por debajo) de la diagonal principal nulos.
    • 12. OPERACIONES <ul><li>SUMA DE MATRICES </li></ul>Es una ley de composición interna con las siguientes <ul><li>MULTIPLICACIÓN DE MATRIZ POR UN ECALAR </li></ul>
    • 13. Dadas dos matrices  A = (a ij ) m × n   y  B = (b ij ) p × q  donde  n = p, es decir, el número de columnas de la primera matriz  A   es igual al número de filas de la matriz  B , se define el producto  A·B de la siguiente forma : El elemento a que ocupa el lugar  (i, j)  en la matriz producto se obtiene sumando los productos de cada elemento de la fila  i  de la matriz  A por el correspondiente de la columna  j  de la matriz B. <ul><li>PRODUCTO DE MATRICES </li></ul>

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