Este documento apresenta um resumo sobre o experimento de Michelson-Morley e suas implicações para a teoria da relatividade. O documento discute: 1) A necessidade de testar experimentalmente se a Terra se movimenta em relação ao suposto éter que transmitiria as ondas eletromagnéticas; 2) O experimento de Michelson-Morley de 1887 que buscou medir a velocidade da luz em diferentes direções esperando encontrar uma variação de acordo com a velocidade da Terra, porém os resultados foram negativos não encontrando nenhum

1. Relatividade Restrita
FSC5163 - Física 3
Aula I
1

2. Bibiografia:
Capítulo 1 – Relatividade I
Capítulo 2 – Relatividade II (até página 64)
Física Moderna – 3ª edição - Paul A. Tipler, Ralph A. Llewellyn
Capítulo 42 – Relatividade página 123
Fundamentos de Física – Ótica e Física Moderna – Volume 4 – 4ª edição
Halliday, Resnick e Walker
2

3. Conhecimento Científico no Final do Século XIX
Em 1900 alguns físicos pensavam
que a física estava praticamente
completa.
Lord Kelvin recomendou que os
jovens não se dedicassem à
física, pois só faltavam alguns
detalhes pouco interessantes,
como o refinamento de
medidas.
3

4. Conhecimento Científico no Final do Século XIX
Lord Kelvin, no entanto, mencionou que havia
“duas pequenas nuvens” no horizonte da
física:
- os resultados negativos do experimento de
Michelson e Morley;
- a dificuldade em explicar a distribuição de
energia na radiação de um corpo negro.
4

5. Conhecimento Científico no Final do Século XIX
A ruptura da física clássica ocorreu em muitos setores ao
mesmo tempo:
- os resultados negativos do experimento de Michelson e
Morley contrariava a relatividade newtoniana;
- o espectro de radiação de um corpo negro não estava de
acordo com as previsões da termodinâmica;
- o efeito fotoelétrico e os espectros dos átomos não podiam
ser explicados pela teoria eletromagnética;
- os fascinantes fenômenos associados aos raios X e à
radioatividade pareciam ser totalmente fora do contexto da
física clássica.
5

6. Século XX
- Mecânica Quântica e Relatividade:
formuladas no início do século XX, dissiparam essas “nuvens
escuras” de Kelvin, e forneceram respostas para todos
esses enigmas e muito mais.
6

7. Física Moderna
7

8. Princípio da Relatividade:
-> Invariância das equações que expressam as leis da física:
As leis da física descobertas na Terra seriam as mesmas qualquer que
fosse o ponto tomado como centro, ou seja, as mesmas equações seriam
obtidas fosse qual fosse a origem do sistema de coordenadas.
-> O caráter relativista das leis da física começou a ser reconhecido:
Muito cedo na história da física clássica: ANTES de Galileu e Newton,
Nicolau Copérnico, já havia mostrado que o cálculo dos movimentos dos
planetas se tornaria mais simples e preciso se o antigo sistema aristoteliano,
baseado na idéia de que a Terra é o centro do universo, fosse substituído por
um modelo no qual os planetas se moviam em torno do Sol, e não a Terra. Em
sua teoria, a localização da Terra não era considerada como especial ou
previlegiada. É a escolha da origem do referencial copernicano no Sol que
permite uma descrição simples do movimento planetário.
8

9. Relatividade Clássica:
REFERENCIAIS: Quais são os referenciais em que as leis físicas são válidas?
→ Somente nos referenciais inerciais!
As Leis de Newton, que descrevem o movimento em sistemas mecânicos, não
se aplicam a sistemas que possuam uma aceleração em relação a um
referencial inercial; nenhum sistema acelerado é um referencial inercial.
NEWTON descobriu que, usando-se um certo tipo de referencial, torna-se muito
mais simples determinar os movimentos a partir de suas causas: o referencial
inercial. Qualquer referencial fixo em relação às estrelas fixas é um referencial
inercial. Qualquer referencial em movimento com velocidade constante em
relação a um referencial inercial também é inercial. Como essa velocidade é
arbitrária, há uma infinidade de referenciais inerciais, cada um dos quais em
movimento relativo com velocidade constante em relação a qualquer outro. Em
muitas situações, o referencial terrestre pode ser considerado inercial como boa
aproximação.
9

10. r
Transformação de Galileu: r = xx + yy + zz (Referencial R);
ˆ ˆ ˆ
r
r ´= x´x´+ y´ y´+z´z´ (Referencial R´);
ˆ ˆ ˆ
r
R = Xx + Yy + Zz (Origem O´ wrt R)
ˆ ˆ ˆ
Componentes cartesianas:
x = x´+ X / vx = v´x + Vx / ax = a´x
y = y´+Y / v y = v´y + Vy / a y = a´ y
z = z´+Z / vz = v´z + Vz / az = a´z
r r r r r r r r
r = R + r ´ / v = v´+V / a = a´
r r r r
F = ma = ma´= F ´
Validade:
-> os eixos de R´ permaneçam paralelos aos eixos de R (direções dos eixos R´ // aos R);
-> a origem O´ se mova em MRU relativamente a R.
Todo referencial que esteja se movendo com velocidade constante em relação a
um referencial inercial também é um referencial inercial. As Leis de Newton são
invariantes em todos os referenciais inerciais.
10

11. Transformação de Galileu:
As Leis de Newton são invariantes, ou seja, conservam a mesma forma
em qualquer referencial que esteja se movendo com velocidade
constante em relação a um referencial inercial.
De acordo com as Leis de Newton:
- NÃO EXISTE uma posição especial ou privilegiada para medir
o espaço e o tempo;
- NÃO EXISTE nenhuma velocidade especial ou privilegiada
para o referencial inercial usado nas medidas: todos os
referenciais inerciais são equivalentes;
11

12. Transformação de Galileu:
É impossível detectar um movimento retilíneo uniforme de um referencial em
relação a outro qualquer. Galileu deu o exemplo de experiências de mecânica
feitas no porão de um navio, com as escotilhas fechadas, que seriam incapazes
de distiguir se o navio estaria ancorado ou em movimento retilíneo uniforme.
Princípio da Relatividade Newtoniana: As Leis de Newton são invariantes
em todos os referenciais inerciais.
• Esse princípio deixa de valer para referenciais não-inerciais: aparecem as
forças de inércia (centrífuga, Coriolis, etc.).
A transformação de Galileu envolve a suposição implícita de
que os intervalos de tempo medidos pelos relógios dos dois
observadores são iguais, isto é, que t=t´.
12

13. A velocidade da Luz
A visão de Newton foi extremamente bem-sucedida na descrição de fenômenos que vão do
movimento de um projétil ao movimento de planetas, mas não conseguiu descrever os
fenômenos eletromagnéticos.
A Teoria do Eletromagnetismo de Maxwell, foi um dos grandes trunfos da ciência do
século XIX. Fenômenos físicos aparentemente descorrelacionados, envolvendo a eletricidade,
o magnetismo e a ótica passaram a ser compreendidos em termos de um único conjunto de
leis e princípios físicos fundamentais.
Uma consequência fundamental dessa teoria é a propagação de ondas eletromagnéticas.
O exemplo mais importante de onda eletromagnética é a luz. Ele calculou a velocidade destas
ondas e pôde expressá-la em termos de duas constantes fundamentais da eletrostática e da
magnetostática: a permissividade elétrica do vácuo ε0 e a permeabilidade magnética do vácuo
µ0, de uma forma muito simples: 1
c= = 3 ×108 m / s
ε 0 µ0
Unificação: eletricidade+ótica+magnetismo
13

14. A velocidade da Luz
Todas as ondas eletromagnéticas, e não apenas a luz se propagam no vácuo
com a velocidade c, não importando o valor do comprimento de onda, nem os
detalhes do processo de geração da onda - por exemplo, se o emissor da onda está
ou não em movimento. Essa é uma previsão fundamental das equações de Maxwell:
c é uma constante universal da Física, que representa a velocidade de
propagação das ondas eletromagnéticas no vácuo. Entretanto, a noção de uma
velocidade absoluta, representada por uma constante universal, está em
conflito direto com algumas das noções básicas da Mecânica.
 Apesar da completa equivalência entre os referenciais inerciais, a descrição do
movimento de uma dada partícula é diferente em dois referenciais distintos. Em
r
particular, a velocidade v de uma dada partícula em relação a um referencial
r
v´
inercial R difere da velocidade da mesma partícula em relação a um outro
referencial R´ pela lei de composição de velocidades de Galileu:
r r r
v = v´+V 14

15. A velocidade da Luz
Se, no referencial R, a velocidade de propagação é c, então, de acordo com a lei
de composição de velocidades de Galileu, a velocidade no referencial R´, em
movimento com velocidade V, ao longo da mesma direção e sentido da propagação
da luz, seria c-V.
 a velocidade da luz valeria c apenas num referencial específico
 c = 1 = 3 ×10 m / s
8
é derivada das equações de Maxwell, seria preciso
ε0 µ0
concluir também que estas só valeriam nesse
referencial especial.
Que referencial especial seria esse?
Todas as ondas mecânicas correspondem à propagação de
perturbações de um meio material.
Onde não há meio material, não há propagação!
15

16. A velocidade da Luz
Ondas numa corda
- referencial “natural” é aquele em que ela está em repouso e onde cada ponto
executa um movimento transversal à direção de extensão da corda, à medida
que ela se propaga;
- a velocidade de propagação depende das propriedades físicas da corda:
v = (T/µ)1/2
Som: sólido, líquido ou gasoso.
Deveria haver um meio suporte para propagação das OEM:
- Se o éter existe de fato e o observador se move em relação a ele, assim
como pode se mover em relação ao ar, então, devemos compor as
velocidades da luz e do observador.
- Se o éter não existe, a velocidade da luz é absoluta e, portanto, sua
medida não dependerá do observador. 16

17. A velocidade da Luz
 Durante o século XIX, e mesmo nas primeiras décadas após a formulação do
eletromagnetismo por Maxwell, acreditava-se que a luz também só poderia se
propagar através de um meio material.
Então deveria existir um meio material ocupando todo o espaço entre as
estrelas e os planetas, já que a luz se propaga das estrelas até o nosso planeta.
 Este meio material hipotético, conhecido pelo nome de éter, estaria em
repouso em relação às estrelas.
 Para ser consistente com o caráter transverso das ondas eletromagnéticas,
o éter deveria ser rígido, como no exemplo da corda vibrante tensionada. Ao
mesmo tempo, o éter não poderia oferecer resistência ao movimento dos
corpos celestes, o que parecia estar em contradição com a primeira condição!
17

18. A velocidade da Luz
 No referencial terrestre, a velocidade de propagação de um feixe de luz ao
longo da direção de movimento do planeta Terra seria c´=c-V; onde V é a
velocidade da Terra. Por conseguinte,
c´≠ c
e c´ variaria com a direção de propagação.
Se acreditássemos na existência do éter, então, o referencial especial onde
valeriam as equações de Maxwell, e onde a velocidade da luz seria c, seria o
referencial Copernicano das estrelas fixas, pois nele o éter estaria em
repouso. Deveria ser possível, por experiências de propagação da luz, detetar um
movimento retilíneo uniforme em relação a ele, ou seja, o princípio da
relatividade não seria válido na eletrodinâmica.
A equação de composição das velocidades de Galileu mostra que não é
possível manter o princípio da relatividade com validade simultânea das equações
de Maxwell e das leis da Mecânica Newtoniana: uma das duas teria de ser
abandonada! 18

19. A velocidade da Luz
Teria de ser válida, portanto, uma das seguintes opções:
1) A mecânica newtoniana e as equações de Maxwell são válidas, mas o
princípio da relatividade não se aplica a todas as leis físicas: existe um referencial
absoluto (o éter), onde a velocidade da luz é c em todas as direções, e deve ser
possível, por meio de experiências eletromagnéticas, detetar um movimento
retilíneo e uniforme em relação ao referencial absoluto do éter.
2) O princípio da relatividade aplica-se a todas as leis físicas e à mecânica
newtoniana é correta. Nesse caso, as equações de Maxwell teriam de ser
modificadas, e deveria ser possível observar desvios das leis da eletrodinâmica
clássica.
3) O princípio da relatividade aplica-se a todas as leis físicas, e as
equações de Maxwell são corretas. Nesse caso, a mecânica newtoniana e a
transformação de Galileu não podem ser corretas: deve ser possível observar
desvios das leis da mecânica newtoniana => única compatível com os fatos
experimentais. 19

20. O experimento de Michelson e Morley
Teste experimental da primeira opção. Se ela fosse válida, deveria ser possível detetar um
movimento retilíneo uniforme em relação ao éter usando a lei de Galileu de composição de
velocidades c´= c-V: a velocidade da luz num referencial em movimento relativo ao
éter deveria ser diferente em direções diferentes.
Um referencial onde o Sol estaria em repouso é com boa aproximação um referencial
inercial. A velocidade de translação da Terra (V) em relação a esse referencial é da ordem de
30km/s. Pela lei de composição de velocidades, isso daria origem a desvios da ordem de
V / c ≈ 10− 4
na velocidade de propagação da luz.
Numa série de experiências realizadas entre 1881 e 1887, Albert Michelson, em
colaboração com Edward Morley, procuraram detetar esses desvios usando o
interferômetro de Michelson. Não observaram nenhum deslocamento, o que
permite descartar a opção 1. 20

21. O experimento de Michelson e Morley
- Seus braços têm comprimentos L1 e L2
- F é a fonte de luz
- DF é uma placa semiespelhada divisora do feixe
E2
- E1 e E2 são espelhos
F L2 - A é o anteparo
1) A Terra está se movendo em relação ao
hipotético éter com velocidade V na direção L1.
L1 E1
Como c e V são paralelos ao longo de L1 temos:
Ida: Volta:
c c
V
V
c´ c´
L1 L 2L c 2 L1c 2 L1
Tempo total para ida e volta t1 = + 1 = 2 1 2= =
ao longo de L1: c −V c + V c −V 2 (
V 2  c 1− β 2
c 1 − 2  )
 c 
V
onde β = 21
c

22. O experimento de Michelson e Morley
E2 2) Percurso na direção L2. Visto do referencial do éter
o percurso é oblíquo.
L2
c´= c 2 − V 2 = c 1 − β 2
O1 O2
V
onde β =
c
V
c c´ c´
c
V
Tempo total para L2 L2 2 L2
t2 = + =
ida e volta ao c 1− β 2 c 1− β 2 c 1− β 2
longo de L2:
22

23. O experimento de Michelson e Morley
A diferença de caminho ótico entre os dois percursos é:
2 L1 2 L2 2  L 
∆L = c(t1 − t2 ) = − =  1
− L2 
c(1 − β 2 ) c 1 − β 2 1− β 2  1− β 2 
 
Se girarmos agora de 900 o dispositivo todo, os papéis de L1 e L2 são intercambiados. A
figura observada anteriormente sofrerá um deslocamento correspondente ao caminho
ótico:
2 L1 2 L2
t1 =
´
; t´2 =
c 1− β 2 (
c 1− β 2 ) ∆L − ∆L =
´ 2 
( L1 + L2 ) 1 −
1 

1− β 2  1− β 2 
  
2 L2 
∆L = c(t − t ) =
´ ´ ´
L − 
1 2 2  1 2 
1− β  1− β 
23

24. O experimento de Michelson e Morley
Expansão em série de Taylor:
1 2 1V2
(
∆L = 1 − β )
2 −1/ 2
≈ 1+ β = 1+
2 2 c2
β << 1 Expansão em série de Taylor:
1 1 3 2u 2 5 ´´´ 3 u 3
(1(+)x=)
2
V  −
x = −  f u f2(0) += 1 −(0)u + f ´´ (0) −+ f x + ...
f x+ x
´
(0)
c 2 8 2! 16 3!
f ′f(u()u) =
u
´
u = ⇒ f ´ (0) = 0
2 3/ 2 
2 (1 − u ) 1
∆L´ − ∆L = ( L1 + L2 ) 1 − 
1 − β 1 + 2u 
2 2  2 
1− β 
f ´´ (u ) = ´
′′(0) =
⇒ ff (0) = 1 1
(1 − u ) 2 5/ 2
 1  1 
∆L′ − ∆L = 2( L1 + L2 ) 1 − 1 − β 2 1 + β 2 
 2  2 
 1 
∆L′ − ∆L = −( L1 + L2 ) β 2 1 + β 2  ≅ −( L1 + L2 ) β 2 24
 2 

25. O experimento de Michelson e Morley
A diferença de caminho ótico em termos de franjas é:
∆L´ − ∆L ( L1 + L2 ) 2
δm = =− β
λ λ
∆L´ − ∆L  1  (L + L )  1 
δm = = 2 1 + β 2  1 2 1 − 1 − β 2 
λ  2  λ  2 
 1 2  ( L1 + L2 )  1 2 
= 2 − β  1 + β 
 2  λ  2 
(L + L )
≅ − 1 2 β2
λ
25

26. O experimento de Michelson e Morley
Ou seja, o fenômeno é de 2ª ordem em V/c (β). Por ser tão pequeno que se necessita de
uma técnica interferométrica!
Na 1ª experiência de Michelson e Morley (1881), era L1 ~ L2 ~ 1,2m e λ = 6x10-7m (luz
amarela)
|δm|~0,04 de franja -> Não observou
Na experiência (1887), era L1 ~ L2 ~ 11m |δm|~0,4 de franja -> colocaram
como limite δm<0,01 -> não observaram nenhum deslocamento
Vários outros experimentos feitos não observam nenhum deslocamento, o que
permite descartar a opção 1.
-Resultados experimentais, descartam modificações na eletrodinâmica preditas
pela teoria de Ritz, por medidas diretas da velocidade da luz na desintegração
π0 -> γ + γ, realizadas no CERN em 1964 (c´=c+kv, k = 0,0 +- 1,3)x10-4.
26

27. Os Postulados de Einstein
No início do século XX, a Física se encontrava num impasse. E ao invés de
modificar o Eletromagnetismo de Maxwell, era necessário romper com a
mecânica newtoniana. Einstein apresentou as bases da Teoria da Relatividade
no artigo “Sobre a Eletrodinâmica de Corpos em Movimento”.
Para derivar a lei de composição das velocidades de Galileu, é preciso adotar o
conceito newtoniano de tempo absoluto, isto é, supor que o tempo é o mesmo
para todos os referenciais inerciais.
Einstein descartou essa hipótese (que parece tão natural) e REFORMULOU o
conceito de tempo, levando a uma completa revolução das leis da
Mecânica.
27

28. Teoria da Relatividade:
-> É composta por duas teorias bem diferentes, a restrita (1905) e
a geral (1916).
RESTRITA:
trata da comparação entre os movimentos observados em diferentes
referenciais que estejam se movendo com velocidade constante uns em
relação aos outros.
GERAL:
trata de referenciais acelerados e dos efeitos da gravidade. É
importante para a cosmologia e para o estudo dos eventos que ocorrem
nas proximidades de massas muito grandes (estrelas).
28

29. Os Postulados de Einstein
A Teoria da Relatividade Restrita de Einstein é derivada a partir de dois
postulados fundamentais:
Princípio da Relatividade Restrita: As leis físicas são as mesmas em todos os
referenciais inerciais.
As equações de Maxwell são confirmadas como leis físicas válidas, e
daí decorre:
Princípio da constância da velocidade da luz: A velocidade da luz no vácuo
(OEM), c, é a mesma em todas as direções e em todos os referenciais
inerciais, e é independente do movimento da fonte.
29

30. Tempo e Simultaneidade
Analisar detalhadamente o problema da contagem de tempo, tomando como base
os dois postulados anteriores.
Os intervalos de tempo entre dois eventos não são, em geral, iguais
para diferentes referenciais.
 O conceito de tempo está diretamente relacionado à noção de eventos
simultâneos.
 A noção de simultaneidade não é absoluta:
2 eventos que são simultâneos para um determinado referencial inercial
ocorrem em instantes de tempo diferentes para outro referencial.
30

31. Tempo e Simultaneidade
Uma fonte de luz (lâmpada), F, e dois detetores de
 EXEMPLO: luz, D1 e D2, são fixados sobre uma plataforma que se
movimenta com velocidade V constante ao longo do
eixo OX do referencial S (que supomos ser inercial).
- D1, D2 e F estão alinhados ao longo da direção paralela
ao eixo OX;
- As distâncias entre D1 e F e entre F e D2, são iguais.
- O referencial S´ acompanha o movimento
da plataforma e, portanto, está em movimento
em relação a S com velocidade V ao longo do
eixo OX  é o referencial próprio ou
referencial de repouso do conjunto (por
construção, a fonte, os detetores estão em repouso
no referencial S´).
31

32. Tempo e Simultaneidade
 EXEMPLO:
Referencial S´
A fonte F é ligada. A luz emitida por ela se propaga até
chegar aos detetores D1 e D2.
- Pelo princípio da relatividade, a propagação da luz em
S´ ocorre como em qualquer outro referencial inercial.
Para ambos os sentidos de propagação ao longo do eixo
O´X´, a velocidade vale c.
- Como os detetores D1 e D2 estão à mesma distância da
fonte F, eles irão detetar a luz simultanemente.
- O início da detecção de luz por D1 e D2 do ponto de
vista do referencial S´ são silmultâneos.
32

33. Tempo e Simultaneidade
- Pelo princípio da invariância da velocidade da luz o
Referencial S
estado de movimento da fonte F (com velocidade V) não
modifica a velocidade de propagação da luz, que também
vale c para os dois sentidos de propagação ao longo
do eixo X.
- Enquanto a luz se propaga a partir de F, o detetor D1
se aproxima e detetor D2 se afasta de F.
- Como a velocidade é a mesma nos dois sentidos de
propagação, a detecção em D1 é anterior à detecção de
D2 do ponto de vista do referencial S.
Os dois eventos são simultâneos do ponto de vista do referencial S´ mas
não do ponto de vista do referencial S → A simultaneidade é relativa. Ela não
é uma propriedade absoluta ou intrínseca de dois eventos dados, devendo
sempre ser definida em relação a um dado referencial.
33

34. Intervalo relativístico
No espaço-tempo quadridimensional da relatividade, pode-se definir
uma medida para um dado par de eventos, chamada intervalo
relativístico que é uma propriedade intrínseca do par de eventos
considerado e, portanto, é invariante quando tomamos diferentes
referenciais inerciais.
Rotações Espaciais
A distância entre dois pontos espaciais quaisquer P1 e P2 é invariante
por qualquer rotação dos eixos coordenados, porque ela representa
uma distância (ou comprimento) que é uma propriedade intrínseca do
par de pontos P1 e P2 e, portanto, independe da escolha dos eixos
coordenados:
P P2 = ( x2 − x1 ) 2 + ( y2 − y1 ) 2 + ( z2 − z1 ) 2
1
34

35. Intervalo relativístico
- A fonte F é ligada e começa a emitir luz
- O detetor D começa a detectar a luz emitida por F.
Num certo referencial inercial S:
- as coordenadas do evento “fonte é ligada” são (t1,x1,y1,z1);
- as coordenadas do evento “detecção por D” são (t2,x2,y2,z2);
- a distância percorrida pela luz da fonte até o detetor vale:
d = ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) + ( z2 − z1 )
2 2 2
- O tempo transcorrido entre o instante da emissão da luz e o instante de
sua detecção vale t2 – t1.
35

36. Intervalo relativístico
Pelo postulado da invariância da velocidade da luz, a velocidade de
propagação vale c no referencial S, mesmo que a fonte esteja em movimento
em relação a S.
Portanto, a distância percorrida satisfaz a relação:
d = c(t2-t1)
E as coordenadas espaço-temporais dos eventos satisfazem a equação:
( x2 − x1 ) 2 + ( y2 − y1 ) 2 + ( z2 − z1 ) 2 = c(t2 − t1 )
36

37. Intervalo relativístico
Referencial S´: descrição dos mesmos dois eventos
As coordenadas espaço-temporais serão, em geral, diferentes:
evento “fonte ligada”: (t´1,x´1,y´1,z´1)
evento “detecção por D”: (t´2,x´2,y´2,z´2)
Entretanto, a equação anterior continuará sendo satisfeita, já que pelo
postulado da invariância da velocidade da luz, a velocidade de
propagação também vale c em S´:
( x2 − x1 ) 2 + ( y2 − y1 ) 2 + ( z2 − z1 ) 2 = c(t2 − t1 )
´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´
37

38. Intervalo relativístico
O que as coordenadas dos eventos nos referenciais S e S´ têm em
comum???
Ambos os conjuntos satisfazem à mesma equação!
OBJETIVO: definir um intervalo relativístico (∆ s) que seja invariante
quando muda-se de referencial.
Referencial S:
( ∆s )
2
= c 2 (t2 − t1 ) 2 − ( x2 − x1 ) 2 − ( y2 − y1 ) 2 − ( z2 − z1 ) 2
144444 2444444 4 3
c 2 ( t2 −t1 )2
( ∆s ) = 0
2
38

39. Intervalo relativístico
O que as coordenadas dos eventos nos referenciais S e S´ tem em
comum???
Referencial S´:
c 2 ( t´ −t1 ) 2
´
6444447444448 4 2
4
( )
2
∆´
s = c 2 (t2 −t1 ) 2 −( x2 − x1 ) 2 −( y2 − y1 ) 2 −( z´ − z1 ) 2
´ ´ ´ ´ ´ ´
2
´
( ∆s )
2
´
=0
Portanto, ∆s=∆s´ pode ser nulo, positivo ou negativo.
Embora o transcurso de tempo seja diferente para diferentes referenciais,
é possível definir uma grandeza invariante: o intervalo relativístico. Todos
os referenciais inerciais medem o mesmo intervalo relativístico entre dois
eventos dados. 39

40. Exercícios:

41. Solução:

42. Solução: