todo sobre trigonometria
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  • 1. Departamento de Matemáticas Trigonometría 1º Bachillerato C.N.S. y T. •Razones trigonométricas •Relaciones entre las razones trigonométricas •Valores de las razones trigonométricas de algunos ángulos principales •Representación en la circunferencia unidad •Signo de las razones trigonométricas •Relación entre las razones trigonométricas de algunos ángulos: opuestos, complementarios, … •Resolución de triángulos rectángulos •Teorema del Seno •Teorema del Coseno •Resolución de triángulos cualesquieraMaia B e o r no nit
  • 2. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS b senα =b a a c cos α = α a c b senα tan α = = c cos α Y sus inversas: a 1 a 1 c 1 cos ecα = = sec α = = cot gα = = b senα c cos α b tgαMaia B e o r no nit
  • 3. RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS a b α c 2 2 b c b2 + c2 a 2 ( senα ) + ( cosα ) =   +   = 2 = 2 = 1 2 2 a a a a  senα  1 + ( tanα ) = 1 +  2 ( cosα ) + ( senα ) = 1 = sec 2 α 2 2 2  =  cosα  ( cosα ) 2 ( cosα ) 21 + ( cotgα ) 2  cosα  = 1+  = ( senα ) + ( cosα ) = 1 = cos ec 2α 2 2 2   senα  ( senα ) 2 ( senα ) 2Maia B e o r no nit
  • 4. VALORES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS PRINCIPALES α 0º 30º 45º 60º 90º 180º 270º 360 º 1 sen 0 2 3 1 0 -1 0 2 2 2 cos 1 3 2 1 0 -1 0 1 2 2 2 tg 0 3 1 3 ∃ 0 ∃ 0 3 cosec ∃ 2 2 2 3 1 ∃ -1 ∃ 3 sec 1 2 3 2 2 ∃ -1 ∃ 1 3 cotg ∃ 3 1 3 0 ∃ 0 ∃ 3Maia B e o r no nit
  • 5. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA UNIDAD, radio = 1α en el primer cuadrante 90º 0º < α < 90º cotgα cosecα secα tgα senα α cosα 180º 0º 270ºMaia B e o r no nit
  • 6. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA UNIDAD, radio = 1 β en el segundo cuadrante 90º 90º < β < 180º cotgβ cosecβ senβ β cosβ 180º 0º secβ tanβ 270ºMaia B e o r no nit
  • 7. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA UNIDAD, radio = 1 90º cotgγ cosecγ secγ tanγ γ 180º cosγ 0º senγ γ en el tercer cuadrante 270º 180º < γ < 270ºMaia B e o r no nit
  • 8. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA UNIDAD, radio = 1 90º cotgδ cosecδ δ 180º 0º cosδ senδ tanδ secδ 270º δ en el cuarto cuadrante 270º < δ < 360ºMaia B e o r no nit
  • 9. SIGNO DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICASSeno y Cosecante + + _ _ Coseno y Secante _ + _ + Tangente y Cotangente _ + _ +Maia B e o r no nit
  • 10. RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS OPUESTOS •Dos ángulos a y b son opuestos si a + b = 0º (o 360º). Son a y -a. sen (-a) = -sen a cos (-a) = cos a tg (-a) = -tg a cosec (-a) = -cosec a sec (-a) = sec a a cotg (-a) = -cotg a -a EJEMPLO: 1 sen 330º = sen (-30º) = -sen 30º = − 2 3 cos 330º = cos (-30º) = cos 30º = 2 3 tg 330º = tg (-30º) = -tg 30º =− 3Maia B e o r no nit Calcula las demás razones trigonométricas
  • 11. RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS •Dos ángulos a y b son complementarios si a + b = 90º. Son a y 90º-a. sen (90º-a) = cos a cos (90º-a) = sen a sen(90º −a) cosa tg (90º-a) = = = cotga cos(90º −a) sena cosec(90º-a) = sec a sec(90º-a) = cosec a cotg(90º-a) = tg a 90º-a a EJEMPLO: 3 sen 60º = cos 30º = 2 1 cos 60º = sen 30º = 2 tg 60º = tg30º = 3Maia B e o r no nit Calcula las demás razones trigonométricas
  • 12. RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS •Dos ángulos a y b son suplementarios si a + b = 180º. Son a y 180º-a. sen (180º-a) = sen a cos (180º-a) = -cos a tg (180º-a) = -tg a cosec (180º-a) = cosec a sec (180º-a) = -sec a 180º-a a cotg (180º-a) = -cotg a EJEMPLO: 1 sen 150º = sen 30º = 2 3 cos 150º = -cos 30º = − 2 3 tg 150º = -tg 30º =− 3Maia B e o r no nit Calcula las demás razones trigonométricas
  • 13. RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 180º •Dos ángulos a y b difieren en 180º si b - a = 180º. Son a y 180º+a. sen (180º+a) = -sen a cos (180º+a) = -cos a tg (180º+a) = tg a cosec (180º+a) = -cosec a sec (180º+a) = -sec a 180º+a a cotg (180º+a) = cotg a EJEMPLO: 1 sen 210º = -sen 30º = − 2 3 cos 210º = -cos 30º = − 2 3 tg 210º = tg 30º = 3Maia B e o r no nit Calcula las demás razones trigonométricas
  • 14. Resolución de triángulos rectángulos Resolver un triángulo rectángulo es hallar todos sus lados y sus ángulos (a, b, c, B y C), conociendo C dos de ellos. a b Casos que pueden presentarse: I. Conocer un cateto y la hipotenusa 90º II. Conocer un cateto y un ángulo A c B agudo III. Conocer los dos catetos IV. Conocer la hipotenusa y un ángulo agudoMaia B e o r no nit
  • 15. I. Conocer un cateto y la hipotenusa C Datos: a = 25 cm., b = 16 cm. Teorema de Pitágoras: a c 2 = a 2 − b 2 = 25 2 − 16 2 = 369 b c = 369 = 19.21 cm. 90º Definición de seno: A c B b 16 senB = = = 0.64 a 25 B = arcsen(0.64) = 39º 47 31 C = 90º −B = 50º 12 29 Maia B e o r no nit
  • 16. II. Conocer un cateto y un ángulo agudo C Datos: C = 35º, b = 16 cm. Los ángulos B y C son complementarios: a b B = 90º - C = 90º - 35º = 55º Definición de seno y coseno de C: 90º cosC = b ⇒a= b = 16 = 19.53 cm. A c B a cosC cos35º c senC = ⇒ c = a ⋅ senC = 19.53 ⋅ sen35º = 11.20 cm aMaia B e o r no nit
  • 17. III. Conocer los dos catetos C Datos: b = 16 m. c = 12 m. Teorema de Pitágoras: a a 2 = b 2 + c 2 = 16 2 + 12 2 = 400 b a = 400 = 20 m. 90º Definición de tangente: A c B b 16 tgB = = = 1.33 c 12 B = arctg(1.33) = 53º 7 48 C = 90º −B = 36º 52 12 Maia B e o r no nit
  • 18. IV. Conocer la hipotenusa y un ángulo agudo C Datos: a = 30 m. C = 25º Los ángulos B y C son complementarios: a b B = 90º - C = 90º - 25º = 65º Definición de seno y coseno de C: 90º cosC = b ⇒ b = a ⋅ cos C = 30 ⋅ cos 25 º = 27.19 m. A c B a c senC = ⇒ c = a ⋅ senC = 30 ⋅ sen25º = 12.68 m. aMaia B e o r no nit
  • 19. Teorema del Seno C h h = a ⋅ senB senB = a h b a senA = h = b ⋅ senA h b m n •Igualando la h en ambas ecuaciones A c B a ⋅ senB = b ⋅ senA a b = senA senB a b c Y en general se tiene: = = senA senB senC TEOREMA DEL SENO: En todo triángulo la razón entre cada lado y el seno del ángulo opuesto es constante ……Maia B e o r no nit
  • 20. Teorema del Seno •…… y dicha constante es el diámetro de la circunferencia circunscrita al triángulo. Los ángulos B y D son iguales por ser inscritos C y abarcar el mismo arco de circunferencia. 90º D En el triángulo ABC: b a a b c 2R = = senA senB senC A c B En el triángulo ADC: b b 2R = = senB senD sen90º Por lo tanto: a b c 2R = = = = 2R senA senB senC sen90ºMaia B e o r no nit
  • 21. Teorema del Coseno C b a m h cos A = ⇒ m = b ⋅ cos A b m n A H B n = c −m c n 2 = (c − m) 2 = c 2 + m 2 − 2cm = c 2 + b 2 ⋅ cos 2 A − 2c ⋅ b ⋅ cosA a 2 = h 2 + n 2 = b 2 − m 2 + n 2 = b 2 − b 2 ⋅ cos 2 A + c 2 + b 2 ⋅ cos 2 A − 2c ⋅ b ⋅ cosA Para cualquier lado queda: a 2 = b 2 + c 2 − 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos A Si el triángulo es rectángulo queda el Teorema de b 2 = a 2 + c 2 − 2 ⋅ a ⋅ c ⋅ cos B Pitágoras.Maia B e o r no nit c 2 = a 2 + b 2 − 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ cos C
  • 22. Resolución de triángulos cualesquiera Resolver un triángulo es hallar todos sus lados y sus ángulos (a, b, c, A, B y C), conociendo tres de C ellos. a b Casos que pueden presentarse: B I. Conocer los tres lados c II. Conocer dos lados y el ángulo A comprendido III. Conocer dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos IV. Conocer un lado y los dos ángulos adyacentesMaia B e o r no nit
  • 23. I. Conocer los tres lados Datos: a = 15 m., b = 22 m. c = 17 m. C a b B Con el teorema del Coseno: c 2 2 2 2 2 2 A b +c −a 22 + 17 − 15 cosA = = = 0.7326 ⇒ A = arccos(0.7326) = 42º 53 43 2bc 2 ⋅ 22 ⋅ 17 a 2 + c 2 − b 2 15 2 + 17 2 − 22 2 cosB = = = 0.0588 ⇒ B = arccos(0.0588) = 86º 37 45 2ac 2 ⋅ 15 ⋅ 17 a 2 + b 2 − c 2 15 2 + 22 2 − 17 2 cosC = = = 0.6364 ⇒ C = arccos(0.6364) = 50º 28 34 2ab 2 ⋅ 15 ⋅ 22Maia B e o r no nit Volver a resolución de triángulos cualesquiera
  • 24. II. Conocer dos lados y el ángulo comprendido A Datos: a = 10 dm., b = 7 dm. C = 30º. b c C a B Con el teorema del Coseno calculamos c: c 2 = a 2 + b 2 − 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ cos C = 10 2 + 7 2 − 2 ⋅ 10 ⋅ 7 ⋅ cos 30º ⇒ c = 5.27 dm Con el teorema del Seno hallamos B: b c b 7  41º 36 20 = ⇒ senB = senC = sen30º = 0.664 ⇒ B = arcsen(0.664) =  senB senC c 5.27 138º 23 40 Como el único ángulo obtuso es A, B = 41º 36’ 20’’: y A = 180º- 30º - B = 108º 23’ 40’’Maia B e o r no nit Volver a resolución de triángulos cualesquiera
  • 25. III. Conocer dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos Conocemos los lados a y b y el ángulo A. En este caso hemos de contemplar tres posibilidades. Es conveniente comenzar calculando la altura, h=b.senA, del futuro triángulo. Puede ocurrir: III.3 a > h b III.2 a = h III.1 a < h h a b a b A h h a III.3.1 a > h y a < bA A b III.3.2 a > h y a > b b a h a h a b h A A Maia B e o r no nit A Volver a resolución de triángulos cualesquiera
  • 26. Ejemplo III.1 a<h Resuelve el triángulo del que se conoce: a = 7 m., b = 20 m. y A = 30º Calculamos h = b.senA = 20.(1/2) = 10 m. Como a = 7 < 10 = h, NO EXISTE EL TRIÁNGULO a=7 20=b 10=h 30º=A c Volver al caso IIIMaia B e o r no nit Volver a resolución de triángulos cualesquiera
  • 27. Ejemplo III.2 a=h Resuelve el triángulo del que se conoce: a = 10 m., b = 20 m. y A = 30º Calculamos h = b.senA = 20.(1/2) = 10 m. Como a = 10 = 10 = h, TRIÁNGULO RECTÁNGULO. C B = 90º, C = 90º-A = 60º cosA = c/b = c/20 20=b 10=h a=10 c = 20.cosA = 17.32 m. A=30º c B Volver al caso IIIMaia B e o r no nit Volver a resolución de triángulos cualesquiera
  • 28. Ejemplo III.3.1 a > h y a < b Resuelve el triángulo del que se conoce: a = 15 m., b = 20 m. y A = 30º Calculamos h = b.senA = 20.(1/2) = 10 m. Como a = 15 > 10 = h, a < b HAY DOS SOLUCIONES. a b b ⋅ senA 20 ⋅ (1/ 2)  41º 48 37 = ⇒ senB = = = 0.66 ⇒ B =  senA senB a 15 138 º 11 23 20=b 20=b h=10 a=15 h=10 15=a A=30º c B A=30º c B B agudo B obtuso C = 180-A-B = 108º11’23’’ C = 180-A-B = 11º48’37’’ c=(a.senC)/senA= 28.50 m. c=(a.senC)/senA= 6.14 m. Volver al caso IIIMaia B e o r no nit Volver a resolución de triángulos cualesquiera
  • 29. Ejemplo III.3.2 a > h y a > b C Resuelve el triángulo del que se conoce: b a a = 25 m., b = 20 m. y A = 30º h•Calculamos h = b.senA = 20.(1/2) = 10 m.•Como a = 25 > 10 = h, a > b HAY UNA SOLUCIÓN. A c B a b b ⋅ senA 20 ⋅ (1/ 2) = ⇒ senB = = = 0.4 ⇒ B = 23º 34 42 C = 180 − A − B = 126 º2519 senA senB a 25 a ⋅ senC C c= = 40.23 m. senA a b Resuelve el triángulo del que se conoce: h a = 25 m., b = 20 m. y A = 150º B c A•Calculamos h = b.senA = 20.(1/2) = 10 m.•Como a = 25 > 10 = h, a > b HAY UNA SOLUCIÓN. a b b ⋅ senA 20 ⋅ (1/ 2) = ⇒ senB = = = 0.4 ⇒ B = 23º 34 42 C = 180 − A − B = 6º2518 senA senB a 25 a ⋅ senC c= = 5.59 m. senA Volver al caso III Maia B e o r no nit Volver a resolución de triángulos cualesquiera
  • 30. IV. Conocer un lado y los dos ángulos adyacentes Datos: a = 10 dm., B = 45º, C = 30º. B a c Calculamos A = 180º – B – C = 105º A b C Con el teorema del Seno:  10 ⋅ sen45º a b c 10 b c b = sen105 º = 7.32 dm. = = ⇒ = = ⇒ senA senB senC sen105 º sen45 º sen30 º 10 ⋅ sen30 º c = = 5.18 dm.  sen105 ºMaia B e o r no nit Volver a resolución de triángulos cualesquiera