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MATERIAL DE CÁLCULO

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  1. 1. . Conr-Âxro Marêmáftâ &Aplio(ões4 2 .k - 1: 3x 2y 4 = A s or = - 1 . 57.Í2.31 5S .N 00 4l43. Reta supone daoona 4x da AC 5y + l B + diagonaD: 2x 3y 1 6 : 0 qle 59. Pa€môstrar as rctassupon€ d ãgôiáCm e 8-Dsâop€r dâs pendcLares ques€lscoeicientes âresmr em?res basta ân9ú4 4 , à r ae a 4 ía = -4 o u a = l pecÌvãmente, tarque selam = mrmj l q+s4 6 .a lv = 4x + 6 b ìv - TemosAbl ;A (a+ 4b+ 31 C G+ Zb+ 1) eD tê+ 3.b+ 41 (â . C ákuo oo.oê ì(F.Fa-9.m,ca er" -..ooreoeÀ e t L-I*.u ,,;J "l d) P(2 4) - x,-x^ 7ti1 b) P ( - 2. 5l e) Todos ponÌos comlns. os são . ãl!u o do coêir F d o t. m,c. e.-.ooreoeBD Ér Pf 1.ì íq ít t "r xo-xs a +3 _ [ a +4 ) Á +3 2 / a a / â4s.{ s.g:(rz e O a] =l= I [4 Comomrm,: então eias ì as $ponê fu eB-D pepen dê são uo. o-Lì "l.,-1. 61.a) 2 b)ï c) ,6 d)2 Seô pôntô é coúumàstés rctas, q P erìtàa petence lnrers€cçáo 62.i P â 63.3 6a.D = aouÒ- 65. ì2 dêr e. €t ânbém p o .e x e m p l ô â! PaÉrcso o pmblêma, v€r obteremosintêrccção r e s € vedfca â dê r€mos o ponto dop€n€nce retaL se obt à 66,al ; . nieBecção deduasdas pofexempo,2x3y I :0 e reias, + o;; roúd -t2, y l=0+y=ì = Súbsrundoy I nâp neiÉequação t€môs: 67-k= qouk= a 2x + 3. ì ì = 03 2 x + 3 l=0+2x= 2+x= I 3 0 pontoPde nt€Becçáodas rctas hidas P[ ì, ì]. dLâs €sco é . Vamós veÍÍffse P( I l) p€rtenc€ à terceira substitundo reÌa ascoodenadasP naequaqao eÌa: de da .7 o íeas peÍpêna(uraes e Ì9 rJ: x + Y = 0+ I +l=0 ; Como pomo pertencê Íês €tâs,en1ãô ôonórrem o P às êlas neste rl l g0= r aJtoo= : ponÌo. . os.u= - ir *r "u= q 2 l5 r.M lr , 3 70,4 7t.84,5 72.k= Ì6 0L k= ì6 73,4 Sela o ponto M médio fu e B-D. de Oponto médo fu é: de 74,12 7 5 -3 3 76,e í " ^*, . y ^ny .ì l r+ 6 r+ s ì í7 77. VâmosâdoÌaf s stema ê[ôs ôoôrdenâdos úm dosvéÍti !m de ondê | , , ) l, , ) l t " ì) " cesdo lrânguo coincdecoma ofgem,€ um dosladosesÌiisobÍe O ponto médo d€ B-Dé --- -ì-l :|. , - (s+2 íÂ+h,.+y"ì 2+ a (i ^ f , )=lì") Logo, épontômédiô M d€AC e BD- "(i +) à., ".3.v= * [;;J5 5 .a14x 3y + ì 3= 0 clx+y 5=0 do são yl Osvénices Í ângulo Â[0 0];Btb ol € Ctx,
  2. 2. Logo, ádos mngruenies. os são opor r ou r ôdio d e Ac M í I ê : ìê o p ó .r,i N r" d o deB ( e tumpmvm osânsubs Ê,ôeôsao retos que 2 2|  Oasta mostmrque o é etârìgu Gp cando t€orema Ptigomsl o o de xíllr -Lì ^ABC | 2 2) aì A retd supoÍiêdo se€nênio lVN re Ì .oF .ie.tê 6 gL â - = 0, a^c . "o- 3Ì re -5 2 e 5 -o poisas ordenadas M e N são âs mesmas. de Porbnto a retá s! " t ilr poÍte de MN é hof zontale. €nrão,paml€ à rcta suponedo sêg a = 1718 mentoAB, @mo queríìrmoB mosÌGr EnÌão, = AB, + m, Assim. m, oânsuoÊércro. bl O complnrenÌo deAB é guâlab. o compr mento ÌMNé gu6lâ: de Damesnafomaosoutrcs ossãô ángu retos. lo+ v 5.x?+ y,-4x 6y+ 4= 0 2 "ttv 2) 2 2) 6. Ìriàngulo enô €scâ eobru!ànguo. Ponântô. metâde comprimenÌo do 7,c a.â 0.d 10.bta .2 x + 3y + k : 0 k e l R rz . a = ! e o = !7 9 . 3x 2y + k = 0, k € l R 14.S eÁ [2 4â3-5a];B [2 3]eC { 2+ 4b,3 sblestão nhados, + al8 0 ,â) ax+ by- ( a + b y J= 0 b l b x -a y + { a y o b Ç = 0 eniao d€iêm a nânte seriguâla Logo: deve 0Atividades adicionais = 6+ r2a+ 6 ì0b+ [3 sa][2+ 4b] 1.b 2, t5,5l 3. É po$íwl escolhefquaìqler sstêma de eixos coorden€dosênre 3(2+ 4bl t3 5b)(2 4âl 2(3- 5a)= + Ìantoé @renientequea orgemcolncda com!m dG vértÉs do paEtuc tar a demonstEção. retángulo : a + p á + a -: 6 + a + Á ní - zoú - a tú -a :zá + y6 + zsa6-6+ yú =o Lógo S€Cestãoâ A nhados qì 15. 12,2) 16. PÍ1. i. _z 2 2) 5 !a.al x+ 2y+ 4:0 b)y: 1 -3 PaEelculafasmedida8 diasonab e ACdwmos ieras@oÊ das OB denâdâs suas de exúeíìdads. ObseMndo Ísum t€nìos a O(0.0)l 19.y= I+ 4 20,A(2.q 21.x y 4 *A Ata,0l:B(â. e c{0.bl. b) dt o.B l = V ( â 0l + i b 0l=Vã+b 22.ò: ++2 y c)i+i=l d( Ac l í ( 0- a) - (b -0 ) ,i a + b bl x 2y+ 16= 0 dJx+y-5=0 Logo O,BJ= oÍÁ Cì. a 23. A,A ,t SeABCD umquadEdo, sels ados congruenÌ€s é então são € os 25.êl y= -x 6u=?!+11 5 5 " cìv=2 ,6.y= -ï+ !q zz.v=L+E 28,y= 1+ r 29.4^+ 5v ìo= o 30.2x-3y+ 38= 0 11.22 Vdmc6lcularâsmedidas seúsâdos de l al,q. = e , r, r. = J;- )r" = .ra. = 32-x Y + 2= A e+ y= 0 "ii "Ì dtB. = .vh + 2y+ ü o- 2I : c) 3 +u = : tz 33. 60, 3ó. m aâ" J]lL "Ezs "Ess 17 ã dlL .D lVt = r , 0. =G q zu.=,4. = . rqí0.!ì oorc,e ocnLo o aeÀõ. oO.a V;o - .2-r- l-r v22;-64 J2 s 9 _ e mea
  3. 3. . contexro açÕes À,latemátka &Apl rlt a" 6 ..aio a. ec ]n tJ Poq,"" Ponto 26 a) b l x - 4 y +l l =0 2 orcwrcue = f. vamos vr sendoÂ(0. BG.0) o)e 27,b 2A,d 29.0ì,04,03,lô,32 30.c s r . a l m =, t 2 ã blì d(AB)=úa-o) +(o olÉ=a 32, e d ( Í 4. : N) ,-f.[;-f :! 2 33. â) FEEquea rpassepofum r€ia pôilocújâs pendân parâmeÌrodftmos ier: do a coordenâdas de não G + ìyx + (a,- aly- 4a,+ a - I = 0 paEqualquef €Lorde -2 (a + 24+ r)x+ G z âl ), 4a ?+ a-l = 0ì f + + a,x 2ax x + a,y E - 4a,+ a- 1= n.à +38. Ìemos sesu pontos:A(0. B(b 01. os rÍs 0). C(0. + tx+ y 4l â,+ (2x y+ D a+ 0 D=0 ,*",ea"a"m,rul|iJ. *,a" quê rerdade pam a dsdeque é m iodÕ l x+ v-4= o j zx y+ l :0 rO.osmost,u, all = 99 que l r= 0= .= l Subítuindo = I nâsduás d(A Ml = ti i.t;-i x y= 3.P ortanto prmeiBs equaçôes, rpasap€oponto(ì,31 enmntEmos ndepend€nt€m ent edo = _= . c v6 c "C+ - Para reïletir d(B c) = J(0 bI+ (c 0), = íb,+ c. LôoôdaA Mt = :::::f Entào = :: AM lï Â(l ll e B(3.l) - 22 o ine t= ú 3 rI + (r rI : u t . + d . =zquestões.de ve6tibular 3ï Á0,a e B(1. -41 r.s v = 11_. 19 r v :fI_ ! 2. lL d(4. = v6- rÌ + G4- 2tÉ Bl =3+(-61 6 59 Ã(4,rl e B0 3l 1 ." 6 L2 5 .y = 3 x -2 6 1 4 ] = ú r - a Ì + (3- rY = t E + r = . t í 3 s 6. al CoNdeEndo inÍnitos oresposíreispama. asinf. tasr€ os va lâedâdas pof r)? x +G:-a l y 4 â :+ â I -o r erám G+ qúese cruzâr únicô nlm poÍì1o qúeexstâ ponto pârâ !m inde pendenl€nrente poronde pâss€m. d€a, eìas Asslm,supondovalorcs dos quasqu€fdêa cudadosamen [aqu .{ t€ *co hidos paEtuctafoscálculosl t€m6: a= 0: r : x - l= 0+ x :l a= 1: r . 2Y 6 :A)Y = 3 1 ,,"" Sêo pôntô coexisl e € 1€úqle ser[]. 3l pos é a nlercec ún r, õl--ÀL---l çaoÕbt dasduas da retas ma ac Verf€ndo ponto o 0,3l naequação r temos: de G+ l) , t + G , -a ).!-4 a ? + a - I = 0 -a ,+ 2 a + I + + 3a - 3a- 4a + a - I =0+0=0 (verdâde 0úsejâ. retâpassã [] . 3) independent-"mênlê ol. a por r. b a. d 9 ;â 1 0 .b rl .c r2-hl 3 ,a t 4. b 1 5 .c l 6 .d 1 7 .ò t 9.36 Basta a €quaçáo El emredund isoan y: bansfornìar g€ a do1 9 .a 2O , e 2 t.b 2 2 ,e o by- = o-ó, ,, .-r l" t - a2 í3 ,à) y - 2x + 3 b )3 -,,24. b E m + by+ c:0, sey = 0,temos ax ax+ c= o+ x= f d 3lt b) c(3,4)
  4. 4. /- t. â) c(5.4le f= Ì c) c( 3,l l er= a :.ol Lógoa Eta n(eEecra e ú r em | o Ó) b) C t2,0) r: 2 e dl ctool e = !40 Emax+ ô= 0,sex= lemos by+ 0 2,a)l r,-2),+ g-A ,-9 c)x,+ (!+ 2),= 16 bv+c=o=v=-! bl k+ D ,+ 6/+ 41= 2 ül x-q 1+ f= 25 / .ì 3.al c(2.-3l er= 4 bl C (3r)êr= 4 Logo,a Íeta ntereecta eúo y em | 0, -; o . 4. a) Ct2,4) r - 2 c)C t-aol er= 6. s,ã -ê bl C(-6 2) e r= 7 5. al Sm O Não €l Nãosúbsttundo(6,r0)emtobremos2.ô 2 = 0,porque r 0)€ r r0 (6, bl Não dl Sim 0.A eA , . x 1 +ú +4 ) z : 2As retas paÉê as{concd€ntes d stntasl. sào ou 3. (x 3l + Õ/+ ì) = 2 e.G 2 ) , +y , =3 a . 9 .. se n{ o, + 90 l _ s e n ì c o s 0 + s e n 0 c o s _ 9 qr t0, {ke R k< 2) cos( d, + 90 l c o sa r . c o s9 0 " - s e n , .s e n9 0 " a s enaì . 0+ l. c os a r 0+cosaÌ cosal ôôsa,.0 s ê n 0 ,.1 0 se n 0 l 12. P peÍieneà circunlerência. l-â 1a 13. (x + ll, + (y 4),= 17 b 14 al NCo ponto há comuma ëta é extêriordrcunÍeènc e à a. bl os poilos 2)e {-1. -l) são (2 comlns €1a à circunterénca. à e ouseja, rctaé secante circunferêncÉ. 6 à cl t-2, 0l é ô úiicô poÍìiomm!m. Logo, reÌâé rângentê cÍ a à 15.tô.-ìt ê (3,2) 16.4 lT.secantes 1s.m = aa 4q,4ã 19.x+ 2y-8:0 l3 20.y:3e3y 4x-9= 0Capítulo2 2l .tx Ì),+ 0/-D ,= 32 22,(!.-4) + ú+ 4) = 16 Abertura 2s.l x-2) 1+ y 1= 4 l. zt. ,li 25. ã) A clÍcunterênca nternaa. I, é (2, bl Po.ìocomum: - ì I asci@nÍeénclas tangentes são extemas. 2A .a 27,4 28.(x 3) + C v 4l z= 49ít 29.rc m 30.0 nasconren,el e l oc.cddul ooqr ès,en6oo.à gJlò e@ sobrc €lguÍn coordenado. exo Por construção, determin6mos cênìrosdãs crcunferências os lenónlro dasmediatrìzes doissegmenÌos de pof deteÍÍìÌnâdos , duascordad.Unmos centros umdospoÍÍosdeirteNcÉo, os â obtendoo lr ánguo Etànguo. 2. a) C(4,s) b) I u, 2u. 3u, 4u, 5u ,6u ,7 u 8 u ,9u e 1 0 u cl À 9! cncunreÉncia,; o I u. dem d) t4, r8l cômo dotânsuro2"t .,.,r"""", olado ere = el a!6 +] [t 3. ãl (42s;rz5) [2s;4,2O; ì7,s]; 45,75) {45,75; [25; Assm.osvéÍtes dorrángu sãoA(0,3l B[ ì6, o] ec(!6. ol. o bl (25 rz5l O énìo dac rcunfeénciao ba enlo dolrlángu poÍtanto é o, está cl 3,7s â A s(Í.âeq-.çãoda Lim n- d A(33 75ìlZ5) I dad l ur: O(0, e Òr- €i oé Ì l íeéncaéx,(y rl, = 1. +
  5. 5. ca. luàremát Coniexro G!óes &Ad PaÉ todoponlo y) p€nencenÌerclnierêncÌâ, PG, àc têmos: I x ?+ { y llz = ì 3x :+ y 2y=0 2 " ft= ; ls trésdlstânc deP aos fts são: as vért i a.r= 3 19,d 20,a 21,a dlq A l: lf - 01 +rv - 3 1 = í + y 6Y+e 22. l5 5)t14, 2) e | 2.6) ôP B Jl Jl ) lr ,/, 25.. ,J J , oP c l ! r l, J 3 ì , al ,l t -2 1 3 ,-3 24. x - 2y+ 25= 0 e x - 2tJ 26= A - Somafdoquad@do lÉs dstâncâs, o das tênos: 29.0r)v 02lv 04)v 03lv r6lt x : + y , 6y + 9+ x :+ y ,+ 2 a -3 + 3 + x r+ ,t x 2 J 3 x+ r= = 3x , + 3y , 6y + r5 = 3 (x 2 + l 2 y )+ ì5 3e.61J1l1 y - 3 =q C om ox : r r y = 0 ê n Ìã Õa s ma d N q u a d Éd o s é 3.0 +y + ì5:15, ë portanto. consta.ie, mmoqueíamos mostml bla + ,:lAtividades adicionais r.á)c( 2. 6lêr-G blc(0,4)er=r 31.20 2.alct3. alef=út clc{r,rle=14 32.P | 3+ i tt1 I + l .l l blcto.2l€r=2 r0 l oJ 3. a) Não bl Sim cl Não 33.âl t,-4l z+ (y 3l r= 2s cl y-;r+ 6 4. Sú iC{ l, l)er=2 5. x r + Yr = 25 bl t0,0ì e f0.6ì e . m : r , n = o a o<f, 34. a) o,to, s) e fr : 4t; q(-lo. ol e = .,64 , b) A(-3.6t e B( r 2) seéntes sectuam.ospontos 5J€ tì,31. a. âl Crcuôtu.ênciâs e t3 bl Crcu cia inìernas s€locam pont., - 4] nferên s langentês e no [0 9. d 10.a l.!, nterno 35. al {0,0l b) a = -4 30, â - -25Queslôes de Ìreslibular 2. [x .ai+ 6i ì]?= ì 37.al x r:0ìy+ ì = 0;x-y- r = 0 bl tx rl , + (y+ l ï:2 C (t.-ìl e r = i 2 3.ctì, ìlêr=a6 38. c 39.â 40.ó 5 , x - y - I : Oe x + y - 5 = O S.$ ,.^ ( a +l í s 2,6) 2 ,6 s +úl Para reÍletir | ).2 o "i 2 ) g. S!ã Não pônlos @mum exlstem em 0. k: -20 t0 ,x + y 5 :0l l .4 y + 3x+ I + 51t = l ] e 4 y + 3 x + I s ,ã -0 Oe poÍìtos Í* devenì dÌstlntos nãocolnercs. ser et2 .3y 1f 3x+ 2 6 = o e 3 y+ .f:x r 6 = o1 3 .2y + 3x - 5= 0 Gapítulo3 Abertürarn a l [ x ì ] , + ll+ 21 ,= 2 5 l . 6l A P= I cmi P r cm; P : Ì0m;A l ú + l úB= 10cm B = R bl Seufornrâü. apmximaráuma se de crcunlerênca. blix - 61, + ( y - 2a 6 Ì= 1 2 e 2. OSoL umdospregos" o outrcé o queestí ÌÍìtemo elipsê, é e à em , -" 4l+ ly í rq"6 rso tY l= Alinhaéjustâmenteocontornod€e pse. ",/ Oodóâ te-corespor oc,eqrelos que de L-em. oo rhare- melha(p€ielal aosdoF pes@. ,,-T- /o t. al y= 36Ì c) x, = 28y b)x 1:24y d) y = -20 -*E / 2. aJFOO;V 0 0l ;d:x= 7 -11;V 0 0l ;d:y= ì b) F(0. rÍo lì vio.o; v= -l r "t t) 6i dl F(-4.01;v(0,0l dx= 4
  6. 6. 3. A concavldadex, = de 12y mâor a con@Ldade x, = é qu€ de 2y 2s. F,[2Jaq e F,[-2a6. o] o] x1= 12y x"= 4 4 .à) y , = 12t OO a = o Í-* l ì z) b) x,: Ì2y dl 0 + 3l = l2[x + ]) 5 . a ) F ( 0. l) y : -l ed d )F t-1 .0 )e d :x = l /i ì i a ,ì b )F l 0 . J ê.d= ê )F l o d :y= .Je c) F ( - 2. 0) d: x :2 e 6 . â l v Ú, 3lif ( 4, 3li dr = 2iy=3 r;.-6 b lv t ì . 31 F lì , ; l: d y=i: r= ì 3. al [x + ]), = -46/ - 4) b) {x - 4} d26/ 2) = s. ( y ì ] ? 8t x ì l ;ts s l e tì, ìlrr."t r,(.fa ol;r.[ .,/ãã, 0J;4(r2,0]i4i ì2,01;e=q bl F - r 4 l: F - í - 4O l . .í5 . Àí-5 . Oìe : I O . Oì r)rtr(o. c)F1(0. -r)rA,[0...6): .E):"=I 2 t"lo, sz. zn6i, r.l i * I =, 349 t3 , ì2 1 4 .l 6 33 s" "" 1 ) r, l - t " t C - " n15. " r +! 1=l rq,al v: f^ e" = 9r 4 ì l0i6. q(2 2liB2(20l rT.Asegundaellpse. .22 p,Y = -xeY = -= xta . a l 9 .d cl 3x 4y r= 0€3x+ 4y-17= 0 259 35.r, L= l 30.a s - 0, Ì; o sz. r,[s6, o): F.[ b.f2.o] 4t5 oli4i b ol b)F,(,6ì,01 .f4ì,01;4t4,0);&t F,( 4,O;"=g " " ./-{ = t Ì6 ì6 .ì F,(J2o).F,(-J2 ol:e,[2Je . oJ:e.[-2,6 0). ge. oo,ã 40. al E pse .) thrábo â e) t%r etãs de bl Hpéúoe O Circuirerênc526-: - L:1 41. e 42.Vênuei0 00249t 16. - 0 *. í i9ì 44- rrA o.3r ìo . = zz-^ t 3.1 "E
  7. 7. Matemíka. &Aplkàçóe5 ConlexÌo *
  8. 8. r5.al rì l +l i bl2 l0+ 10 r0 5 ì0 l0 D 2+ 3 dJ l0+ 10 ll 2+ i )2 23 êl)2 + 3 D 5+ 10 55 ì3 Ì3 t3 - s 5 ì3 3l 55 or 2, a ) z= 3 2i l0 l0 _ Ì3 l3 D 6 il t7.âì I-1 e )- I 2 2 55 3 ì 92 3 ì 92i .50 75 _t 5, zr=1-5 i2,=2 l4i 14. i s) ,+-ti4 "+.tr; 22 ,*.ta )+,_t i Assin zì € z2sáoEÉesda equaçáodada. Vamo svêificârsê2r + éí àz lez , - I 2z + 2= a Ì 9 . zr= 4+ :2,= 1 2 1= 2tza= 4 z5= 3: Subsftuindo naêqua9ãô zr temôs 0 + D, 2tr+ I + 2 = r + Z + - 2 /+1=1 1=a 2í,. z = l -3 2): z,= (2 1):-4= ta.2) Loga, é Ez daequação. zr 0 mesmo pâÉ Íárcmós z, 21. a) 11 il 2( 1 ) + 2 = 1 1+1 1 + Á + l :1 1= a LoOo, é Éz daeqúação. z2 s. zr + z: = tar+ aJ + tbL brr;zrzr + = = târá, brb, + Grb? bÌaJ + Í -- . l- i l rr . ,rl - = r + 0+ y D + ( x + y l + (x + y D ,=r + 2 tx + y l + tx + y l ,=tl. a)Z=l 5 e l t= s b) z=- 2 i I Z=3 3 ôlz=0 !l z : Ì+ ú Z= 4 -212. a) 25 bl 4 9 c )2r3 . á) a = 2 + 3: 2, = 3 --5 rZ r+ 2 1 = 5 2 :7 rE = 5 2 b) s 3i c J S r gi ó Ì 6+ 5i = e) z P 2 21 1-2 1 i t - 9+ ì 9i g) 3ô- 31 4 ,2= 12i
  9. 9. Matemárka &adkaçõês contexlo2 3 .a ) +y * a demonst€da = z ,1. 29. Usandoprcpdedãdê tz l, l, t ì C ômo > o. z. > 0 e l z-> o.enrãode = l -+ l 11 la Podêmú L:! : Lï, como + 0 ucr z 30,a1 +y .= í*"a*.""n1ì 6 ) 6 -( 51 5rì 6 6)25. d 6 s)JAr -!5 bl !/iã h )2 03 .-l26. a) a!6 .) 6 bJ t3 dt aiit 2 7. . dJ 1a+ J 2s OJã g Jì0 0 z =2 c o s i - : +, s e n r l b) . , 6s 0 €r.,âro h l 2 4 3 89 ! 6 6) , 25"tro ^ úro I rofi
  10. 10. sr.ãz=6 [m + r.s enaJ r + = !1 ra. o z,z, ro(cos b ) z=r vã ( m s++i.sena) . o r elc"sl +r.*":1.) = dlz = 4[ @s o+ . s e n o ] o =zjã [c" "f;+,.s enz ) 0 z : 3t 6r + i. s en r) sz.a) z: u6 + Òz- E + E bJz=5 d) z = 4 s3. aì 4 3 sr a z,= z(cos+ i. *n a a = I J,.. o["*-rl. i.."" I 39,2 : -2 + 2Ei,t = stz| = 512 bl?,ã: -s!6 + 3 =,("""* -.""T ) €l -8 sJã 4í,.a) 2-21 c) lzl = 2,121 e zrz,l 6= bl -972 + 972i D -5r2Ì -3 c Ò m o6 2. 3.e ã o z ,z ,: z rl l z ,. = Ò 646 - 64.!ti ^ r- Í - 5Í h) -3" 41. al -6 632 = tnÌão.dErz,/) ã€(7ì 3€(7, 42, a) wo= 2irwr= -2i s s , *= e(*f *.* "r9r) ï) i =,(*#. -=*[""+.-. ""#) w 1( 17r ì7 r ì e.,.,:2"6(.*+-.*+) ..16 .15 "22 22 97, 12 ,r 12 12) ) L - zk^ 12ç
  11. 11. ,( v srì """+) "-,=f[*.+. ,,+J -=ú["-+. I l| 11 3 7Eì A) I l]I ììri I 8) = llcós .::: + . sen j l ( 3 A) * 2 22 í zl cosl + r.senIì: 3 3) I str 5trì | 6 6) qt l rì .t, -( l-T- *" Tl43. al 2 -, - "E,. 2, I t]I t]Iì ,5 .t2 6 6) 22 br =tãlcos i.*" +J; .,""*,) w. ++ ",,=s("""*. w = v2l .ô. j :+ i ,.ên::I. 24 24 1 - , =o í -.T...* Tì, o .) * ^ = r ã í " " ? Í . . " . ? ! I ì , *,=u[*"f;. *"f;J | * 24 24) *+) .="("-+. -,=f[*,*. .*ïiJ
  12. 12. 2 22 2 l .- brwo=I wi= .*nï] tcosï+ "+) -,=(""+. *= í*,q* 5 .*"!!ì, - 5l 3,3 !6 3! ã. i- 2 - " t- ^3 , ,=(""+. ""+) 1r í ,. ct.,6 +i- ó +, : o ,= r ,*,= ]+ €i t-E w"= ] +. : : | w.= ] 2"t 2 2 dJw, :*("-#* ..#) =f("""+. -"+) *=ú["""#..-.#J a7. to.2l;(-6, -ztr[6, r]r [6, r) t;(-!6, -r):ro. ls.os= { r ,- r + 6. - r - ,6 } "r=JÉ*4,-{-fJ. 12 2 2 2) ú: o={9=+ -+.++ ,/ í- d)s= 1co3:+ .sen 1..ôs = +r. sên= [3338 r, =," 6 r 6+ .r" : - : w,= -- - ::l 9,t 9I ì 3Í l3rl16..) ;t
  13. 13. Contêxto Màtemário &Âplkações g6 s, a.z= 2+ 2i ouz= -2-2 7.c t.0 sn6 s n - {, . - , . $ .;, 2 -ì- , -i 10.b l l .e . 0,,6 g3,6 s6 - sl 13.a);+ ïl , ìl 126 126 ur1+ l2 n . = I r , r Í "o , 3!*, L 5 *.+Ì *"+ì,í..+. r./ . .) 2 14.âlzì= â+ b z,= c+ d ?. ,,- = (a - drì- (c - oi)= o . Di c ío 9 *r*" I ,ì,í-4.r.* "qìì5/ j c 5 ai- = G{)+ (b d)= tâ cl -(b-d) = Í = a-c b+ di = (a bi l (c-dD = Zì-rZ, o[ . * f * f ) v , t "- + - ," " 1 T z]lz = t a+ b i)+ (ã - b )= ã+ / + Logo,z+ Z= 2R etzl +a- fr =za hls={-2+,-2-D c) z -: = ta + b) - (a - bD:í + h - í + bi = zbt. 2tn(z) = D S= {1, -1,3 -3) ó Z = G + b ) : fa - b I : â + b = z I S = l-2,2, -i i,-2,2, 1,1) D S={3i.-} Loso z. t: t5, €) o 2: -/3: .-:-{:- -!3il ts=Jr .,6 2222 1a,a)z= 2-3i bl z= l + 3 1 ". 9 . 0 " 6 , r _ :" 6 , 1 _ Jg , _ ^," l 2 2 2 22 z2 6 . ,1 2 1 17.2= -5 l A . al 6+ 5irs . z. = r + r 6 i ) =r " +g .r,6 +s. r. (" 6 i ) (G)= ( + = r + 3 ! 6-i s - 3 Jã i=-8 1 Então: z3 + 923+ 8= 64 7 2 + 8 = 0 Lo gÒ EÈda eq ua Éo. réso, â) bt l cl -i o -3+5i ï+:!sr. s - s.6 (ou z eo1 roó2.c[a - ,6, 2,6 + 2)Alividades adicionais ^ 5. l .a l 3+ 2i e) 2+ -l b l - 5- 4i D] ì2 -4 o )-1 -2 19.ãl 4 60!l -90u3-4,etc. b) 2 :3 ou(-5) : (-s) ou(-21 :5 etc .5 pl 6 g ll i Dl+2 +3 o.iã- { Fouíã,a. ,- 3 - ot J:l o, { re ou.i:ã, d) r + 2 oï m l -:-3 d -4 + 3 i "t". zo, aE . 2t,zj = -4 + iouz,= 4 - i 2 ,â l l4- 8 017+i bl- 8- 9i 22,â)z= -1+ i b) z: -7 cl 16- r z i ,m) -2 + 2i O 9+ 6i nl 9+3i - 37 5. ar 3) a )2 + 4 i c+ ú Q) !-9 - 4/3 + t-12 + 3n3J J gl -9 - 46i ql-s - 4 h) 38- i t) -2+2 0 -4i âl 25 !l b 4. 3= b= 4
  14. 14. tbmosdemonstEr paEquasqlefcompexos1z: que €le +r, < ,ri+ lz, a20. al 16 bl i cl -i dl -r Considêrando + z, equ auÍìasomá wtorcs que quezj v6le de e ra somapodeserÍela peo máododo pamelogÉmo lemos:27. 2 2A. 32i 32 32 e2 9 . S = { 3+ , 3 } 90.x:+lox+29=031. -l o az,3 -2 -l ABCDé paElelog€mo PaEâist I o lnónguloABC, tèmos -i l- -2 i -j m< i -B + 6õ Loso, + 2, < zj + ãl zì I l+ 2 como oLr podem nulos 1 :r seÍ entâo + ãl< lzrl+ lz,. zr 0 -i 37.e 0 I sa.o = zl- .I+ *nal c 4) l l bìz= Ìl cosa+ senaI 2 2) -i 0 crz: laí-. lI + . *" ]a I 2 4 4)32. OconjunÌo rìãoé fechado r€açào àdÉo porq!€,porexem A em à po .- r €4 .- €A €-r- tsA dl z= 2(cos0+ OcôijuÍìto é f€chado rcação muhp A €m à ÉÉo poque quef qua i J z= ì(cG0+ poduto eementos rcsu emume emento de deÁ ta deÁ3 3 .â13- 8 b) 2a 39.al z= -l + ò z= 3.1, 3Jr - bl z= 3 ü z = 1 2 + . lr ) + ( 2+ .l r )9 4, 2, = a+ bi o po r Íi € n a d o s o c i a d o é G,b ). o as a t, 4t. al ìô cl -2!!+ 2!ra6i z : = c + di: op6 ro rd € n â d o 6 s s o c i a d o â + é tc ,d). /" r. ts r/ì 0pom om êd, o d e G.b )e (c .d l é l : + 01. 44. 2 = -16 49.w= 3 + 2 ew = -3 - , 2i Entào (a + c l + (b + d Ì- 50.1+ ;-l + ;-l -ì1-i 5l .a d,.c 22 53.a)1+ 3i g) -2-4 ã+ c í b+ d ì.,. b) fi -36 2 2 ) dapmposiçâo. Compmndo ll.t€m$a demonÊtEção lcom ) 2-3 G . S ez , = 3+ 4 ez ,= ì + 2 i e n tã o )) e)2-4 l+ ! +7 =s 22 ,1=Jì q 1 = F + z "=,E =z.ze r Í) 2l nr) a rI *,.,"n ì " ã Í * , 4 c) ,,+,,= t+al= Jqllíj =rEi =t,zt como < s + rGã &mos. csso. + z, < z,i+ lz,l n€sÌe zì 33 6.
  15. 15. (onrexto Maremátio. &Apliaçóes A equação +, + x + I = 0 pod€ escrra seguinte x3i s€r da iormal55, al b)s={2- -2-} x$x, x+ I :0+ (xel ,+ x+ I = o + ={;.;;-;} vamos substituir númom o comp z: exo58. a) x,-6x+ì3=0 blx,+x+2=0 Ì = tlrlcos (x3),+*+ ï Ia7,a) -ro - r an6i - ""ï] *=s(""+..*+) . [ í -" 4 L 3 -, . * " 7 n ì l, rÍ . o .2 t + . * n . i ì r r= 3L) 3 3) *"+J =út*+* .ssrÃ-" rtcoszr, 2n tl-.+. 2r *+)l- ,""+j *=s(""+. i = n r u + - tl-r- L - j1 ì - - 1 * jt * = *"+J ,={ã["*+. =; _ í 1.2 2 ) 2 258. a +-;+fi+r=o Logo.2é 2 doequaÉo +, + x + 1 = 0 È xbquestóesde vestibular 9. Sez= x + iy entÈo+ 2i= x+ ly + 2)e z - 2 = Íx - 2) + y. z 1 ,2 + 3t e2- 3 2 ,a g . b = : t-E 4 . = 2 3 3 -i 5 . a l z r= c os 0r 3e n 0e z , = c o s 0 + ì.s € n0 , + Ì r = (cos + sen t 2l . y6 - 2) + i ( - 2)(y . 2ì 2rã 0r or)(cos + . s€n = 0, 0,1 - y epn" 1€!ee = 6s €r . c os 0, + .c o s 0 r.s e n 0 ,+ i .s e n 0 j .c o s e ,+ (^ - 2)z tz + . + i ?s en B en ,= (c o s ì.s 0 ?- s e n ì.s e n , + 0j. 0 0 0 0 xi x + 2l + y{ y+ 21 + i(coe0r 0, + sen cos = sen 0Ì. 0, l x-2)" + y, = c0s(0r 0.1 .r€rì (0r+ 0, + + xii + +J{v Fazendo z1 f2) = 1. un***ro, l 3-2) + y 2 VamossLbsiturrpor(cos+ . s€n43! 481 ( @s 48 + s en4 8 l ú t6 4 3 " + i .s e n 4 8 1 5 i. + + , + 0 + 2),:8 paÊ + 2ey + o.Note x, + (y + 21,= I x qle c G 480 +i. s e n 8 0 +@ s 4 0 + i .s n 2 4 0 + 4 2 " " sef6 6 eqLrsgãoc rcunreÉnca cenúo -2) e mo 26 se dâ de (0, - c oB + 120 +i. s € n1 2 0 +@ s 4 0 + i .s € n 4 0 + 2 " 2 nào u!éss€mos 2 ey + 0.Assm, x+ o ponto aoe!.ent€ndo-se {2,01, r 6 r6 temos cifcunfêrêncìa. e 2 22 2 10.d l r.d 12.Í 13.â =-r+1ar-Ja +ì:o=o=oM lí l 6.d t7.a ta.c tg.a 22 * Lo go lco s4 S+ s on48 ér az dêz r 0+ t + I = 0. 20. d 21.e zt. al (ì6,16) U) to.,â 1; 2A .aJ2e-4+ 6i 7 . s = 12 .r ,- r + J3r-r -,/3. b r4 = ! 6 -++i ì- 2 i wl=2 l N - 2..1i s. &mG ôbtefâ turnãôôãr d€z = --l + l: 2- w ?:4 - 22 P o10.(o. w l zú.úl )= l r .17. ./2.22V 2.4Je ,Ezz"64r = = a = 1 L o €a s e o : èn c a é o i= i 2Jz . í"ãÌ =l uma e s!â râzão ú. PG é -t;l 24,2= 2i ez= -2 ""(*P.+) As m,z = ì l cos:1 + , sen:1 L | 3 3l
  16. 16. ra reÍletiÍ àm.Ìì = 4,o polinômio do2,gEUrpaE + 4,oponôm será m bl P bE + 12,ogGudo nômoserá4 m = 2,ogE úd o m po p6É polinômio 0;para = -2, o gELdopoinóms€ró será m ô cl P rm + i l , o gmu ponômoseú4 m = ì, o !m! d o m do paD polirìômio 3;para = -1, o gEU poinóms€rá será m do Õ 2. 4. Ì5 íl 0" 5 7,n= 2en= 4z, = z ,( c os + i. 3ôn0 r) 0r 9. p[x] = 3x 2 2z,= z , t 60: + i *ne, lo. 32 11. ì6 12,5Então: 14.m= 2,n= ìep= 3 15.S m:r _ z rlt @s0r+ i. s e n rl 0 l a.al k--9 bl k= rgz: z , l( c os + i. ,e n0 ,) 0, 4 ( c os + i. s en 0 ,) . c o s0 , - s e n i _ €, 0 ?, (cos0?+ i.sen 0,1 cos0, - . sen0, 1A ,a= 2 0 *.0 i r0.a)2x,+ x,-8x+ a tr)-2x. + 12x1-22x+ 12 l!jil!:-!.---:9:Ir]-9.--ji!l9rg9--lsi z " t@ í o " .s e n 0 ,) b) -xu+ 2x+ I e) 4x,- l 6x+ 16 c) -8x3+ t6x - 20 os i0, - 0, s n (0 1 0 , z,?( @0. . o. 0 s 0 - :n 0 ì - rs r0 . 6 0 -s e r0 . rè 1 0.. 20.a = - 3,b = - I e c = - I I 2t.a= 1b= 0êc= L 3! z, (@!:0, sn:o, +Comocos? sef,0: = l.tems 0, + 3.e=le6=l 42;=1 , ll6s ( o - 0, + ,.s e n { 0 -o J I 25.al qtxl = x+ 3ì(xl = 0 b) q(xl= 2Ì, + )x + 3i.iX]= 2. c) q(xl= 7x- 5;(x) = 27x 15n =4 s ênla- _11 +o 32 27.h{xl= x- 3x+ 2 G lq= t<o 2È S = { ì,2,S } 32 29.dqGl :sx-t8i { x)= 56 bl q(xl:2,r2 + 3;(r) = 37 c) q(xl-x, -xi(xl = 2 m : : = _> 0 dl orrì= :-- rra = : q _- 3 9 30.al p(xl :tr+ x,-8x+ 5 l ì(x) x- 2;qtxl f + 3x- 2i (xl = l = = b) p(il :2x4 7xr+ 4x,- 5x+ TrlrG) x - 3: =Capítulo5 q(xl = 2x3-x ?+ x 2 {r= r AbeÌtuÍa 3t.a= -l l. al P(, = 3xr = x GCd 3i l ,q(x)= 3x?+ [ 2 3D x+ ( 3+ 3] (r)= 3 b) Dtxl= 900- x c) 120pãcot€spequenos, 140 33. (x) = a3 34. ã) r(x) = 2 bl (xl = 97 2. al A(E= x(x+ 2) bl 24m, :16.NãÒ c) 5 mde a€umpor7 mdecompdmenlo 36.a= 3 6 .â )V ( hl= N+ 40h, + 4 0 0 h bl h(20 hl(2oi h) = 6272 + cl I !.c. 3a. Apli@ndo odispositvopúucode Ruflnl B ot temos: l. a) Snr e) Sim b) Não 0 sim cl Não gl Nào q(x) dl sm hl sim p[-4] = 0eptx) = ix + 4l(x? 5x+ 21. Loso, Portmto oquo 2 .a = - 2, b= 3ec + 1 c6nte p(x) de = porx+ 4éq{x) x, sx+ 2.
  17. 17. . (ontexto Marênátka &Adloçõe5 p( - 2) = 0;pt - l) : 6 tp O)- 2 i p (l l = 0 ;p (2= r2 ) 10.âl qtxl = x, - 3x+ ll;{x) = -43 F at or es r x + 2; x -l ;2 x l bl q(x)= x,-4x 5(xl = l4 0 . â) S m bl Sim cl Não dl Sim l 1.x= lar.s = {1.2.41 12. al q[x)= !r - 2x:+ 7x- ]3;r{x)= 2l b) q(xl = 2x, + x + ôt(x) = 25a ,l.al x : 4 qx= , rg.a=€ 1 4 . p [ r ) : r 3 + k 7 - 4 + 2 o) x = e l x :5 e x " = -l 3 2 c ) x r = 3+ lex = 3 -l r!" a)m:0oum= -2 bl mêR l < m< 4 fô.al x= t3 c)x,:{ = -24 { t . aJ x = 00ux = lo u x = 3 blx = - 200x = li c lx = 2oLr = :3 .2 orx= ã dlx=l+ ex=r- r dlx = 0oux = Ì + i o u x = r- 17.(x)= 2x+ 944, a) s = {1,-1.2. -2) b) S = {r,{6) l ô. m = 4;R aízes -1, 2.1€4 6. c = 6; S = { 3 ,ì,2 ) t9,€= -3,b= ,10ec= 244 8, Ê )S = ( - l, l, l + ,1 -i l b ) S= { -2 ,3 ,6 1 20. al Simigmu 2. e) S m;gmul.a t . a) s = { - r , 2, r 0 ,-3 ) b l s = { ,2 ,-2 ) bl Não D NãO cl Não g) Simrgmu5.40, 3 temÍnultpl dade 4 rèmmlltipicidad€ € I r€mmutipl c 3; 2 - d) Smtgmu3. o lì) Simigmu 2l ,al a-5,b= 0ec= -S4 9. I 50. S= {-1 , ì, 3 } Ë r,x = 2 e { = -1 b)a= t,b= tec:-l c) a = ì, b + I e c qualqu€r nftì€ro comp exo4 2. 4 ò3. ì 5 4 .x 3 -l l x z + 3 9 x -4 5 = 0 t2, al 9x3 15x,+ 7x 5 - ,(1 " = bl 9x3 2lx, + l5x - 7 -5tr,-!-r- -: * ,-x x ,-x ,= : cl 27x3 54x,+ 33x 18 - O 27xb 90xr ll4tr - 80x,+ 35x- 6 - +6G.x-= I m = , t se n = -6 e)S f-24tr+ 22x,-8x+ l fJ q(x)= 3x- 2i{xl : -4õ 7 .4 = 4r x 3- à, - ìl x + ì2 = 0 2l .al k= 8 bl (x) = 28 c) Nãoô 6 . Ráí z es : 3, 5e 7 5 0 .S = { 1 ,-2 ,4 i 24.a)S = {l 231 cl S = { 3+ 13-,-i lso.llg or.4 .a,k=s ôs.o ,,={-,+-+} Ii o s = r-r . !-l Ì lt r6 4 . a1Ì , le- 6-1 4 qu6stôe6de vestibular ü1,2e+ 2.^=!.n=!"g=1 252ô 6 . r , 3, ie i 3 . ê =ì , b =- t € c - 0 4 . m - . t , n =2 € p = 36 6 . â) , - , - . . 3€4 b )1 -i ,2 + 1 e 2 l 112 __ ta, . b =3 ë c =2 6 . a =; , b =_ _ e c 3Ít7,a= - 12 0&c = 5 0 l .m = 2 3 i E i z Ea1 : 3 t . p , o )= 3 p ( l ) 2.p(2) |,O, a) 0.7244.. bl -1,8634.,. 8. âl 1 b) ptx) = x ou p(xl = -xAllvldadesadicionais 0.c l cm= €en= 5 It.ÍÍ= -6ên= ì l . o= 3 2. k = 3 t2. x3+ ox, + px+ q x3-âx, . -bx 3. p(x)= 3x,- 2x- l;p[0] = -1 4. á) Somd$ co€Uc ent€sr termo -3r ndepende.te:_96 - (p= +€l;+ (q+ abr 4;termo bl Sonra coeJicentffr dos ndependente: 81 _____,il s,â =2 + e b =21: 0. 3 7, c 8. x 1 :o= b = P + o 2 (x) = o = ÍP -b+ a l. k = 9 [q+ ab= 0= q= -ab

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