Modulo matemáticas 2011
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Modulo matemáticas 2011 Modulo matemáticas 2011 Document Transcript

  • Preuniversitario Centro RepúblicaMódulo de estudios PSU Matemáticas 2011 Rodrigo Alarcón Villalonga Docente Preuniversitario Centro República
  • Unidad 1. CONJUNTOS NUMÉRICOS Los números son elementos abstractos que nos permiten enunciar cantidades.Para identificarlos utilizamos símbolos. A los largo de nuestra historia distintas civilizaciones han utilizado distintossistemas de numeración. Los mayas, por ejemplo, utilizaban una base 20 (construíansus cifras con 20 símbolos distintos), ya utilizaban los dedos de sus pies y manos paracontar elementos. Los árabes utilizaban un sistema decimal en base 10 (construían suscifras con 10 símbolos distintos), ya que realizaban el recuento de los objetos con losdedos de sus manos solamente. Al momento de representar visualmente los númerosla diversidad de sistemas aumentó enormemente. El problema de esta inmensa gama de representaciones numéricas es que pararepresentar cifras más grandes se necesitaban nuevos símbolos. Nuestro sistema de numeración se basa en uno inventado por los indios haciael siglo VII D. C. y que tomarán los árabes, quienes lo llevaron hacia Europa. Nuestro sistema numérico es en base 10 y sus elementos son los dígitos. Dígitos : {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,l 9} Con éstos símbolos podemos construir cualquier cifra que necesitemosubicándolos en las posiciones correctas, así de izquierda a derecha tenemos launidades, luego las decenas, luego las centenas, las unidades de mil, las decenas demil, etcEjemplo el número 102.748 está compuesto por :8 unidades (U)4 decenas (D)7 centenas (C)2 unidades de mil (UM)0 decenas de mil (DM) y1 centena de mil (CM)Números naturales:Son los números enteros positivos, van des el 1 hasta el infinito positivo.El conjunto de los números naturales tiene ciertas características : • Todo número natural tiene un sucesor. El sucesor de un número natural es el mismo número aumentado en una unidad. Ejemplo el sucesor de 5 es 6. • Todo número natural (exceptuando el “1”) tiene un antecesor. El antecesor de un número natural es el mismo número disminuido en una unidad. Ejemplo el antecesor de 5 es 4. n –1 n n +1 antecesor sucesor • El conjunto de los números naturales es infinito, es decir no existe un último número natural.Además de las propiedades anteriormente señaladas este conjunto se puede separaren dos “subconjuntos” Los Pares y los Impares.Números pares : Son aquellos de la forma 2n. Los números pares son : 2, 4, 6, 8, 10, 12 ....... 2
  • n –2 2n n +2 antecesor par sucesor parNúmeros impares : Son aquellos de la forma 2n - 1. Los números impares son : 1, 3, 5, 7, 9, 11 ...... 2n –3 2n - 1 2n +1 antecesor impar sucesor imparPropiedades de la paridad • La suma de dos números pares es un número par. • La suma de dos números impares es un número par. • La suma de un número par y uno impar es un número impar. • El producto de dos números pares es un número par. • El producto de dos números impares es un número impar. • El producto de un número par por uno impar es un número par. • El cuadrado de un número par es un número par. • El cuadrado de un número impar es un número impar.Dentro del conjunto de los números naturales existen los números primos y losnúmeros compuestos.Números primos : son aquellos que se pueden descomponer en sólo dos factores, el mismo número y el “1”. O dicho de otra manera se pueden dividir solamente por el mismo número y el “1”.Números compuestos: son aquellos que se pueden descomponer en más de dos factores.Múltiplos de un número : es el conjunto de números formado por el producto (multiplicación) de un número por un serie de números naturales.Ejemplos :Múltiplos del 4 : M(4) = {4, 8,12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40 .....}Múltiplos del 3 : M(3) = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36 .....}Mínimo común múltiplo (MCM) : Es el menor de los múltiplos comunes de dos o mas conjuntos de múltiplos. En los ejemplos anteriores (múltiplos del 3 y múltiplos del 4) observamos que los múltiplos comunes son : el 12, el 24 y el 36, el 12 es el menor, por lo tanto el 12 es el mínimo común múltiplo (MCM). Éste concepto es muy importante para el trabajo con fracciones.Divisores de un número : Son todos los productos (factores) de un número, o bien todos los números que pueden dividir a otro número.Ejemplo :Los divisores del 24 : D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}Los divisores del 18 : D(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}Máximo común divisor (MCD) : Es el mayor divisor común a dos o más números. En los ejemplos anteriores (divisores del 24 y divisores del 18) los divisores comunes son el 1, el 2, el 3 y el 6, pero el mayor de ellos es el 6, por lo tanto el 6 es el máximo común divisor (MCD). Éste concepto es muy importante para la simplificación de fracciones.Criterios de divisibilidad. Número Criterio Ejemplo 378: porque "8" es 2 El número termina en cero o cifra par. par. 480: porque 4+ 8+ 3 La suma de sus cifras es un múltiplo de 3. 0 = 12 es múltiplo de 3. 3
  • El número formado por las dos últimas cifras es 7324: porque 24 es 4 00 ó múltiplo de 4. múltiplo de 4. 485: porque acaba 5 La última cifra es 0 ó 5. en 5. 24: Ver criterios 6 El número es divisible por 2 y por 3. anteriores. Para números de 3 cifras: Al número formado por 469: porque 46- las dos primeras cifras se le resta la última (9*2)= 28 que es multiplicada por 2. Si el resultado es múltiplo de múltiplo de 7. 7, el número original también lo es. 7 Para números de más de 3 cifras: Dividir en grupos 52176376: porque de 3 cifras y aplicar el criterio de arriba a cada (37-12) - (17-12) + grupo. Sumar y restar alternativamente el (5-4)= 25-5+1= 21 resultado obtenido en cada grupo y comprobar si el es múltiplo de 7. resultado final es un múltiplo de 7. El número formado por las tres últimas cifras es 27280: porque 280 8 000 ó múltiplo de 8. es múltiplo de 8. 3744: porque 9 La suma de sus cifras es múltiplo de 9. 3+7+4+4= 18 es múltiplo de 9. 470: La última cifra 10 La última cifra es 0. es 0.Números cardinalesSon los naturales mas el conjunto vacío (0). IN0 = {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}El aporte de este conjunto es que incluye al cero. En este conjunto se cumplen lasmismas propiedades y características que en los Naturales.Números enterosEste conjunto está conformado por los negativos, los positivos y el cero, que no espositivo ni negativo:Z+ : es el conjunto de los enteros positivosZ - : es el conjunto de los enteros negativosRecta numérica de los números enteros 4
  • Valor absoluto o Módulo de un número entero El valor absoluto se refiere a la distancia que existe entre el número y el 0(cero) en la recta numérica.Operatoria en ZCuando trabajes con números positivos y negativos a la vez, debes prestar atención alos signos y las reglas de la operación. Vamos a representar dos números cualesquierapor a, b . Entonces:a) Adición (suma) a + b. (importante: )Caso 1: Suma de enteros de igual signo:Si a y b tienen igual signo, se suman y se conserva el signo.Ejemplo: –7 +–15 = -22Esta suma también se pudo haber presentado por –7 – 15 = -22Caso 2: Suma de enteros de distinto signo:Si a y b tienen distinto signo: se restan y se conserva el signo del número con mayorvalor absoluto.Ejemplo: -20 + 4 = –16O bien: 4 –20 = –16b) Multiplicación y/o divisiónSe deben multiplicar (o dividir) los números y luego los signos de acuerdo a lasiguiente regla:Caso 1: Signos iguales: el producto (o división) es positivo.Caso 2:Signos distintos: el producto (o división) es negativo.Esta regla se sintetiza en la tabla siguiente:c) Sustracción (resta) a–b 5
  • La diferencia se transforma en la adición: a – b = a + (-b).Observa que (-b) es el opuesto de b. Entonces, para restar a – b, se le suma a alopuesto de b.Después de esta transformación, se aplican las reglas operatorias de la adición.Ejemplo: 57 – 34 = 57 + (-34) = 23Ejemplo: (-12) – 22 = –12 + –22 = –34Ejemplo: –25 – (–6) = –25 + 6 = –19Prioridad de operatoria matemática en los Z.En la operatoria combinada con números enteros, se procede según la siguienteprioridad:1° Paréntesis2° Multiplicaciones y divisiones3° Sumas y restasNúmeros racionalesSon todos aquellos que se pueden expresar como cuociente entre números enteros:Ejemplos de racionales, son:Los números naturales:Los números enteros:Los números decimales finitos:Los números decimales infinitos periódicos:Los números decimales infinitos semiperiódicos:OPERATORIA ENa) Adición y sustracción de fracciones: 6
  • b) Multiplicación de fracciones:c) División de fracciones:d) Adición y sustracción de decimales: se deben poner los decimales en columna,alineando la coma decimal.0,23 + 1,4 =e) Multiplicación de decimales:Se multiplican tal como si fueran números enteros, y al resultado le colocamos tantascifras decimales como tengan los factores:0,2 . 1,54 =2 x 154 = 308, pero 0,2 tiene 1 decimal y 1,54 tiene dos, por lo tanto el resultadodebe tener tres decimales:0,2 . 1,54 = 0,308f) División de decimales:Se corre la coma decimal la misma cantidad de lugares tanto en el dividendo como enel divisor, de modo que ambos se conviertan en números enteros. Posteriormente, seefectúa la división entre estos enteros. 7
  • 0,02 : 0,5 =Corremos la coma dos lugares a la derecha:2 : 50 =La división resulta:200 : 50 = 0,04COMPARACIÓN ENTRE RACIONALESSi queremos ordenar un conjunto de números decimales, basta agregar cifrasdecimales y comparar como si fueran enteros, olvidándonos de la coma:Agregamos cifras decimales para poder comparar:x = 0,23 | 0...y = 0,23 | 2...z = 0,23 | 3...Por lo tanto: x < y < zSi queremos comparar dos fracciones basta multiplicar cruzado en forma ascendente ycomparar los productos resultantes:Ordenar de menor a mayor:Multiplicando cruzado en forma ascendente, obtenemos: 3 . 7 = 21 y 5 . 4 = 20: Como 21 > 20 se deduce queSi las fracciones son negativas, conviene dejar los signos en el numerador para luegomultiplicar cruzado con los números positivos.Aproximación decimalCon frecuencia, nos encontramos con cálculos donde intervienen números con muchascifras decimales, lo que hace difícil su operación. En estos casos es posible realizar unaaproximación decimal.1: Si el primer dígito de la parte que se va a eliminar es igual o mayor que 5, seaumenta en una unidad el dígito anterior.Ejemplo: 3,14159265 aproximado a 4 decimales, es:2: Si el primer dígito de la parte que se va a eliminar es menor que 5, se conserva eldígito anterior. Ejemplo: 3,14159265 aproximado a 2 decimales, queda: 8
  • Números irracionalesSon todos aquellos que no se pueden expresar como cuociente entre dos númerosenteros. Se caracterizan por tener infinitas cifras decimales sin período. Este conjuntose designa con la letra .Números realesEs el conjunto formado por los números racionales e irracionales. Este conjunto sedesigna con la letra . R = Q U Q’Pertenecen al conjunto de los Reales IR (todos los números) : • El cero, los enteros positivos y negativos; • Las fracciones; • Los decimales finitos y los decimales periódicos y semiperiódicos; y • Los irracionalesResumiendo lo anterior, tenemos la siguiente situación:La Recta Real Recta real es la recta sobre la que se representan los números reales. Para ellose destaca uno de sus puntos, O, que se toma como origen y al que se le asigna elnúmero cero, 0, y, separados entre sí por intervalos de amplitud fija (unidad), sesitúan correlativamente los números enteros, los positivos a la derecha de 0 y losnegativos a su izquierda. La operatoria en los números reales está definida por dosoperaciones básicas : la suma y la multiplicación, todas las demásoperaciones se derivan de estas dos.Propiedades algebraicas de los números Reales 9
  • A continuación se presenta una tabla que resume las principalespropiedades algebraicas de los números reales.Sean a, b y c números reales : Propiedad Suma ProductoConmutativa a+b=b+a a•b=b•aAsociativa (a + b) + c = a +( b +c) (a • b) • c = a • (b • c)Existencia de elemento a + (-a) = 0 a•1=1neutro aDistributiva de la a • (b + c) = ab + acmultiplicación conrespecto a la adiciónA estas propiedades hay que agregar la propiedad de clausura :Si a y b Є a R (números reales) => a• b y a + b también Є a R.Prioridad de operatoria matemática en los RealesEn la operatoria combinada con números reales, se procede según la siguienteprioridad:1° Paréntesis2° Potencias y raíces3° Multiplicaciones y divisiones4° Sumas y restasEjemplo 1:13 - (-7 + 3 9) – 32 = Primero: el paréntesis (-7 + 3 x 9)Dentro de él, primero el producto 3 x 9 = 27.Dentro del paréntesis, ahora la suma: -7 + 27 = 20 Segundo: el cuadrado de 3 = 9 Está quedando: 13 – 20 – 9 Finalmente las sumas y restas: 13 – 20 – 9 = -16.Ejemplo 2:Resolver:La raya de fracción obliga primero a resolver el numerador y el denominador, porseparado.En el numerador se transformará el decimal 0,2 a fracción: 10
  • En el numerador se resuelve primero la división de fracciones:Ahora se realizan las restas, en el numerador y en el denominador:Finalmente la división de fracciones:Simplificando por 2: = =Números ImaginariosLos números reales (R) permiten representar infinitos números, pero no puedenrepresentar las soluciones de ciertas ecuaciones, como por ejemplo x2 + 3 = 0 ó 5x2 + 2 = 0En general no se pueden solucionar aquellas ecuaciones que representen un númeronegativo dentro de una raíz de índice par (por ejemplo raíces cuadradas).A estos números se les asigna otro conjunto, llamado números imaginarios, ya queno pueden representarse a través de los números Reales. Se representan por elsímbolo I.Estos números poseen como unidad la solución de la ecuación x2 + 1 = 0la cual determina como solución la siguiente expresión : x = ±√-1,la cual da origen a la unidad imaginaria : i = √-1,finalmente la solución de la ecuación es : x=±iEjemplos de números imaginarios :• 2i• 5+i• 24 –7idonde i representa ala unidad imaginaria.Números complejosEl conjunto de los números complejos (el cual se representa con el símbolo C) es launión de los números reales con los números imaginarios : 11
  • C=RUI I 4+2i 3i C Al conjunto de los números complejos pertenecen todos los números.Potencias de base real y exponente entero Una potencia el la multiplicación sucesiva de un mismo término, llamado base,tantas veces como lo indique otro término llamado exponente.Ejemplos : = 16 = 2187 = 15625Definición:Propiedades: 12
  • Raíces.Potencia de exponente racional Toda potencia de exponente racional, de la forma m/n , corresponde a laraíz enésima de la emésima potencia de a:Propiedades de las raíces:Raíz de un productoRaíz de un cuocienteRaíz de una potenciaRaíz de una raízAmplificación de una raízSimplificación de una raízRacionalización Se debe evitar que una raíz quede en el denominador ya que complica lacomparación con otra expresión o estimar su valor. Para ello hay que multiplicar elnumerador y el denominador por la misma raíz de la siguiente forma: En esta expresión tenemos dos términos en el denominador, el cual se puederacionalizar multiplicando por ya que formarán una Suma porDiferencia, lo que permite eliminar las raíces en el denominador. Unidad 2. RAZONES Y PROPORCIONES Y PORCENTAJESRazón Es la comparación por cuociente de dos cantidades que forman parte de unamisma magnitud (longitud, tiempo, producción, ingresos etc.) 13
  • Se define : ó a : by se lee "a es a b" La primera de ellas a se llama antecedente (d i v i d e n d o ) y la segunda b sellama consecuente (d i v i s o r ) y siempre se deben escribir en el orden dado. Por ejemplo, si las edades de Carlos y Francisco son 12 y 15 años, entonces larazón entre sus edades es: . Si simplificamos por tres obtenemos: . Como se dijo anteriormente una razón sirve para comparar dos cantidades:Construyamos un modelo para la siguiente razón 3:4 o ¾ (se lee 3 es a 4)La razón verdes a amarillas, se escribe 3:4 o ¾ . El orden de los términos es muyimportante.Ejemplo : Un maestro constructor prepara una mezcla con 40 paladas de arena y 24de cemento. ¿Cuál es la razón entre cemento y arena?Solución:La razón nombra primero al antecedente y luego el consecuente.Por lo tanto, en este caso, el cemento es el antecedente y la arena el consecuente.La razón pedida es:Simplificando por 8, la razón queda en 3/5, lo que significa que la mezcla estáconformada por 3 partes de cemento por cada 5 partes de arena, o que por cada8 partes de mezcla hay 3 de cemento y 5 de arena.ProporciónLa igualdad entre dos razones se denomina proporción. Por ejemplo, la igualdadentre las razones anteriores: es una proporción, lo que se puede constatarporque los productos cruzados son iguales:12 . 5 = 4 . 15La propiedad: ,se denomina propiedad fundamental de las proporciones y se expresa verbalmente dela siguiente manera “ dos razones son proporciones sí y sólo sí el producto de losmedios es igual al producto de los extremos” 14
  • Cálculo del término desconocido de una proporciónSi en la proporción se desconoce alguno de sus términos, es posible calcularloaplicando la propiedad fundamental:De este modo, si w · z = x · y, de donde se puede despejar w, x, y o z. w= z= x= y=Ejemplo: Calcular x en la proporciónSolución:Aplicando la propiedad fundamental de las proporciones: 7,5 · 10 = 4 · x 75 = 4x =x x = 18,75Serie de razones o serie de proporcionesLa serie de razones: a:c:e=b:d:fPuede ser expresada como :con k = constante.Ejercicio:Se desea cortar un alambre de 720 mm en trozos de modo que la razón de suslongitudes sea 8:6:4.¿Cuánto mide cada trozo de alambre de acuerdo al orden de las razones dadas?.1°.- se suman las razones : 8 + 6 +4 = 182°.- se divide la cantidad total dada por la suma de las razones : 720: 18 = 40 ( a este valor se le llama constante de proporcionalidad (k)). 15
  • 3°.- Se multiplica cada una de las razones dadas por k y se obtienen los valores requeridos: 8 • 40 = 320 mm; 6 • 40 = 240 mm y 4 • 40 = 160 mm.PROPORCIONALIDADPROPORCIONALIDAD DIRECTADos variables están en proporcionalidad directa si su cuociente permanece constante:k se denomina la constante de proporcionalidad.El gráfico de dos variables que están en proporcionalidad directa es un conjunto depuntos que están sobre una recta que pasa por el origen.Ejemplo:Un vehículo tiene en carretera un rendimiento de 16 km/l. ¿Cuántos litros de bencinaconsumirá en un viaje de 192 km?Efectuamos la razón entre las variables: distancia – consumo de bencina:Ocupando la propiedad fundamental de las proporciones obtenemos:PROPORCIONALIDAD INVERSADos variables están en proporcionalidad inversa si su producto permanece constante:k se denomina la constante de proporcionalidad.El gráfico de dos variables que están en proporcionalidad inversa es un conjunto depuntos que están sobre una hipérbola. 16
  • Ejemplo:Tres obreros demoran 5 días en hacer una zanja. ¿Cuánto demorarán 4 obreros?Por estar en proporcionalidad inversa el producto entre las variables:número de obreros – tiempo, es constante:Aplicaciones de la ProporcionalidadEstrategia general de resolución de problemas de proporcionalidad:1º: Lectura comprensiva del texto del problema.2º: Identificación y ordenación de los datos dados.3º: Identificar tipo de proporcionalidad: directa o inversa.4º: Planteamiento de la proporción según tipo.5º: Resolución algebraica.6º: Respuesta y verificación de la solución.Ejemplo: Seis obreros cavan una zanja de 18 metros en dos horas ¿Cuántos metroscavarán en el mismo tiempo 9 obreros, trabajando al mismo ritmo?Ordenación y análisis de los datos: 6 obreros 18 metros 9 obreros x metrosEn el caso descrito, se infiere que, mientras más obreros, estos cavanmás metros. Entonces es una proporcionalidad directa y, en consecuencia,se forma la siguiente proporción:La cual, al ser resuelta, se tiene: metrosRespuesta: los 9 obreros cavan 27 metros de zanja.PORCENTAJEEl porcentaje es una proporcionalidad directa, considerando la totalidad como un100%. Por ejemplo, decir que el precio de un artículo ha subido en un 5% significa que 17
  • ha subido 5 partes de un total de 100. En términos fraccionarios, se dice que ha subidola 5/100 parte. Cuando calculamos el porcentaje de un número, podemos hacerlo directamenteocupando el concepto de fracción, por ejemplo, el 12% de 600 es:El cálculo de porcentaje también se puede realizar a través de una proporcionalidaddirecta:La base para las operaciones de cálculo de porcentaje es : cantidad total = parte de la cantidad 100% tanto %O bien :cantidad total 100%parte de la cantidad tanto %Existen tres casos para la operación con porcentajes :Primer caso: Calcular el tanto % de una cantidad.Sea x la cantidad que buscamos. Establecemos una proporción directa, donde el 100%es q y el p% es x (valor a calcular). q = x 100% p%Aplicando proporciones, se tiene que:Donde, al despejar el valor de “ x” se tiene:Esta última relación puede manipularse para concluir que:En general, para calcular el % de una cantidad, se divide la cantidad por 100 y semultiplica por el % pedido.Ejemplo : calcular el 20% de 50 50 = x 100% 20%x = 50 • 20 = 10 100Segundo caso: ¿Qué porcentaje es una cantidad, respecto de otra cantidad? 18
  • Planteando la proporción, se tiene: q = p 100% x%Despejando x se tiene:Esta relación nos permite establecer también que para calcular el % que representa pde q, es posible establecer la razón entre p y q y luego multiplicar por 100.Ejemplo : Calcular qué porcentaje es 20 de 60 60 = 20100% x%x = 100 • 20 = 33.33% 60Tercer caso: ¿Cuál es el número cuyo tanto % es una cantidad conocida?Planteando la proporción correspondiente, se tiene que: x = q 100% p%Al despejar “x” se logra, que:Ejemplo : encontrar el número cuyo 25% es 8 x = 8100% 25%x = 100 • 8 = 32 25Aumento de un número en un cierto porcentaje:Este cálculo se puede plantear de dos maneras : 1) Utilizar la fórmula : VF = VI • (1 + % ), donde 100 VF : valor final VI: valor inicial % : porcentaje a subir. Ejemplo : Se desea aumentar el valor de un producto que cuesta $5.000 en un 5% : VF = 5000 • (1 + 5/100) VF = 5.000 • (1 + 0.05) VF = 5.000 • (1.05) VF = $5.250 2) Plantear un cálculo de % en donde se busque el % a aumentar más el 100% Ejemplo : 19
  • Se desea aumentar el valor de un producto que cuesta $5.000 en un 5% : 5% + 100 % = 105%, se busca el 105% de 5.000 5.000 = x 100% 105% x = 5.000 • 105 100 x = $5250Disminución de un número en un cierto porcentaje:Se procede igual que en el caso anterior : 1) Utilizar la fórmula : VF = VI • (1 - % ), donde 100 VF : valor final VI: valor inicial % : porcentaje a subir. Ejemplo : Se desea disminuir el valor de un producto que cuesta $5.000 en un 5% : VF = 5000 • (1 - 5/100) VF = 5.000 • (1 - 0.05) VF = 5.000 • (0.95) VF = $4.750 2) Plantear un cálculo de % en donde se busque el % a disminuir y se le reste al el 100% Ejemplo : Se desea disminuir el valor de un producto que cuesta $5.000 en un 5% : 100 % - 5% = 95%, se busca el 95% de 5.000 5.000 = x 100% 95% x = 5.000 • 95 100 x = $4750Impuesto al Valor Agregado (IVA)El impuesto al valor agregado (IVA) es un impuesto que grava toda compra-venta debienes y servicios y lo paga el consumidor final del producto. En Chile, este impuestoalcanza al 19% del valor neto del producto.De este modo:Valor neto + 19% = valor a pagarEjemplo: Don Pepe vendió abarrotes y en la boleta escribió el valor total de $15.400.¿Cuál es el IVA que recaudó don Pepe por la venta de estos abarrotes?Entonces, el monto del IVA por estos abarrotes es $2.459. Unidad 3. ÁLGEBRAPerfil del álgebra El Álgebra es una rama de las Matemáticas que usa letras y símbolos para 20
  • representar cantidades y relaciones aritméticas. Busca generalizar las relacionesmatemáticas, a diferencia de la Aritmética que solo opera con casos particulares deuna relación. Consideremos, por ejemplo, el teorema de Pitágoras que establece que “en untriángulo rectángulo el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa equivale a lasuma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.“ Algebraicamente, este teorema puede generalizarse como a2 + b2 = c2 ,expresión que enuncia la relación métrica que deben cumplir los lados de cualquiertriángulo rectángulo. La aritmética , en cambio, solo podría operar con medidas específicas detriángulos individuales, generando expresiones numéricas del tipo: 32 + 42 = 52.Surgimiento del álgebra El origen del álgebra puede situarse en Babilonia y el antiguo Egipto, cuyossabios fueron capaces de resolver ecuaciones lineales, cuadráticas y de la forma x2 +y2 = z2. De hecho, los antiguos babilonios resolvían las ecuaciones cuadráticasempleando métodos semejantes a los que hoy se utilizan. El conocimiento algebraico de egipcios y babilónicos encontró acogida en elmundo islámico, donde se le denominó “ciencia de reducción y equilibrio”. El vocablo árabeal-jabru, que significa “reducción”, es el origen de la palabra álgebra. En el siglo IX, el matemático árabe al-Jwarizmì escribió uno de los primeros librosde álgebra, en el que presenta, en forma sistemática, la teoría fundamental deecuaciones, con ejemplos y demostraciones incluidas. Es precisamente de estematemático de donde deriva la palabra algoritmo, que hoy representa la expresiónsimbólica de los pasos que llevan a la resolución de un problema. A finales del siglo IX,el matemático egipcio Abu Kamil enunció y demostró las leyes fundamentales eidentidades del álgebra, y resolvió problemas tan complicados como encontrar las x, y,z que cumplen x + y + z = 10; x2 + y2 = z2; y xz = y2.Conceptos Básicos de ÁlgebraYa tenemos idea de las operaciones con los números naturales, enteros, racionales yreales. Ahora trabajaremos con la generalización de esa operatoria en algunos de losdiversos ámbitos que presenta el álgebra. Las mismas leyes, propiedades y operatoria de los números ya estudiados hanpreparado el terreno para la comprensión de operaciones más amplias y generales,propias del Álgebra, en los diversos conjuntos numéricos. El lenguaje que ocupa el álgebra permite realizar representaciones a través defactores literales (que representan cantidades cualesquiera), números y relacionesaritméticas de la aritmética.Ejemplos :• Un número cualquiera puede representarse por x, o por a, o por cualquier otra letra o combinación de letras.• Para representar dos números cualesquiera distintos entre sí, podemos usar letras diferentes : x e y; a y b; m y n; etc.• El doble de un número cualquiera se expresa por 2x, o 2a, etc• El cuadrado de un número cualquiera se expresa por x2 , o a2, o a2, etc.• La diferencia entre dos números se puede expresar como : x – y, ó a – b, etc.• Un número aumentado en tres unidades : x + 3, ó a + 3, ó b + 3, etc. • Un número disminuido en dos unidades : x – 2, ó a – 2, etc. • La mitad de un número x 2 • La mitad de un número más el doble de otro : x + 2y 21
  • 2Representación de las operaciones aritméticas en álgebra.Las operaciones entre dos números cualesquiera x e y se representan : i. La suma :x+y ii. El producto : x•y iii. La diferencia :x–y iv. El cuociente : x : y ó x/yExpresión algebraica Una expresión algebraica es un conjunto de cantidades, expresadas numérica yliteralmente, relacionadas entre sí por operaciones aritméticas.Ejemplo: 13x3– 2ax2 + es una expresión algebraica.Término algebraico Un término algebraico es una expresión que relaciona un número real con letras,por medio del producto o el cuociente. Un término algebraico consta de: • signo • coeficiente numérico • factor literal • gradoEn una expresión algebraica, los términos están separados por signos (+) y (-).Observaciones en la notación algebraica1. En álgebra, el signo multiplicativo antes de factores literales puede suprimirse.Por ejemplo: puede escribirse .2. El coeficiente numérico 1 en un término algebraico, suele quedar tácito (no seescribe). Por ejemplo1x = x3. Solo el signo positivo (+) del primer término de una expresión algebraica puedeobviarse, y no se escribe. Por ejemplo: +5a - 3b + 2c = 5a - 3b +2cPor ejemplo, la expresión: +11 · x2 - 1 · y + x · ySe escribe: 11x2 – y + xyTÉRMINOS SEMEJANTESSe denominan términos semejantes a aquellos que tienen la misma parte literal.Ejemplos :a) x2 y -2x2 : son términos semejantes (factor literal x2).b) -3x y -3x2 : no son términos semejantes (factor literal x e x2 respectivamente).c) –a2b y 5a2b : son términos semejantes (factor literal a2b).d) a2b y 3ab2 : no son términos semejantes (factor literal a2b y ab2respectivamente). 22
  • Los términos semejantes se pueden sumar (o restar) sumando o restando loscoeficientes y conservando la parte literal. Por ejemplo:-2a2b + 5a2b = 3a2b10x2z3 –22x2z3 = -12x2z3Si los términos no son semejantes, no se pueden sumar o restar:La operación 12a2b + 13ab2 no se puede reducir más, debido a que los términos noson semejantes.Tipos de expresiones algebraicas Dependiendo del número de términos que posean las expresiones algebraicas,se clasifican en:Monomio: Es la expresión algebraica que consta de un solo término.Ejemplo:Binomio: Es la expresión algebraica que consta de dos términos.Ejemplo:Trinomio: Es la expresión algebraica que consta de tres términos.Ejemplo:Polinomio: Es la expresión algebraica de dos o más términos.Ejemplo: ; ;ELIMINACIÓN DE PARÉNTESIS Para eliminar paréntesis en expresiones algebraicas, se debe seguir las siguientesreglas:(1) Si aparece un signo “+” delante de un paréntesis (o ningún signo), se elimina elparéntesis conservando los signos de los términos que aparezcan dentro delparéntesis.(2) Si aparece un signo “-” delante de un paréntesis, se elimina el paréntesiscambiando los signos de los términos que aparezcan dentro del paréntesis.Ejemplo:2ab – (a + ab) + (3a – 4ab) =Aplicando las reglas anteriores, tenemos:2ab – a – ab + 3a - 4ab, reduciendo términos semejantes:-2ab + 2a - abMULTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICASMultiplicación de monomios: se multiplican los coeficientes entre sí, y para multiplicar potencias de igual base, ocupamos la propiedad: “para 23
  • multiplicar potencias de igual base, se conserva la base y se suman los exponentes”.Ejemplo: 2x2y3 z. 4x4y2 = 8x6y5zMultiplicación de monomio por polinomio: se aplica la propiedad distributiva, esto es: “el monomio multiplica a todos los términos del polinomio”.Ejemplo:2ab (3a - ab2 + 4b2c2) = 2ab . 3a - 2ab . ab2 + 2ab . 4b2c2 =6a2b – 2a2b3 + 8ab3c2Multiplicación de binomio por binomio: se multiplican todos los términos del primer binomio con los términos del segundo binomio.Ejemplo:(2a - 3b2c) (4a2 + 5ab3) = 2a . 4a2 + 2a . 5ab3 – 3b2c . 4a2 – 3b2c . 5ab3 =8a3 + 10 ab3 – 12 a2b2c – 15 ab5cMultiplicación de polinomio por polinomio: al igual que en el caso anterior, se multiplican todos los términos del primer polinomio con todos los términos del segundo.(2x – 3y + 4z2). (5x + 2xy + 4xz2) =2x . 5x + 2x . 2xy + 2x . 4xz2 – 3y . 5x – 3y . 2xy – 3y . 4xz2 + 4z2 . 5x + 4z2 . 2xy +4z2 . 4xz2 = 10x2 + 4x2y + 8x2z2 – 15xy – 6xy2 – 12xyz2 + 20xz2 + 8xyz2 + 16xz4PRODUCTOS NOTABLES Se llaman productos notables aquellos cuyos factores cumplen ciertascaracterísticas que permiten que su resultado pueda ser escrito sin realizar todos lospasos de la multiplicación. Los productos notables son:Sean a y b dos términos algebraicos cualesquiera.Suma por su diferencia:(a + b) (a – b) = a2 – b2Cuadrado de binomio:(a + b)2 = a2 + 2ab + b2(a – b)2 = a2 – 2ab + b2Multiplicación de binomios con término común:(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + abCuadrado de trinomio:(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2acCubo de binomio:(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 24
  • FACTORIZACIÓN Consiste en expresar adiciones y/o sustracciones en términos de multiplicaciones.Los casos de factorización que estudiaremos son los siguientes:Factor común Se aplica cuando todos los términos tienen un divisor común diferente de 1.Ejemplo: 15x2y2z3 – 5xy3z2 + 10x4y4z3Aquí el factor común es: 5xy2z2, por lo tanto, la expresión dada se puede colocar de laforma:15x2y2z3 – 5xy3z2 + 10x4y4z3 = 5xy2z2 (3xz – y + 2x3y2z), lo que corresponde a sufactorización.Diferencia de cuadrados Toda diferencia se puede factorizar mediante el producto de la suma con ladiferencia de las bases.a2 – b2 = (a + b) (a – b)Ejemplo: 25a2 – 16b4Esta expresión corresponde a la diferencia entre el cuadrado de 5a y el de 4b2 :Por lo tanto: (5a)2 – (4b2)2 = (5a + 4b2) (5a - 4b2)Factorización de trinomio cuadrático perfecto Un trinomio cuadrático perfecto es aquel que corresponde al desarrollo de uncuadrado de binomio, por lo tanto, su factorización es: a2 + 2ab + b2 = (a + b)2Ejemplo: 16x2 – 24xy + 9y2En este trinomio hay dos términos que son cuadrados perfectos: 16x2 = (4x)2 y 9y2 =(3y)2, por lo tanto, el trinomio dado puede provenir del desarrollo del binomio:(4x - 3y)2, si se desarrolla esta expresión se constata que efectivamente coincide conla expresión dada.Factorización de trinomio cuadrático no perfectoUtilizando el producto notable “producto de binomios con término común”:(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + abNos da la forma de poder factorizar una expresión del tipo: x2 + px + qEjemplo: x2 – 10x + 24El trinomio se factoriza de la forma: (x + a)(x + b), donde a y b son números talesque a + b = -10 y ab = 24. Estos números son: -4 y -6, por lo tanto:x2 – 10x + 24 = (x – 4)(x - 6) 25
  • Diferencia de cubosa3 – b3 = (a - b) (a2 + ab + b2)Ejemplo:125z3 – 64y6La expresión 125z3 es el cubo de 5z y 64y6 es el cubo de 4y2, por lo tanto:125z3 – 64y6 = (5z)3 – (4y2)3Ocupando que a = 5z y b = 4y2 en la expresión dada, tenemos que:(5z)3 – (4y2)3 = (5z – 4y2)(25z2 + 20y2z + 16y4)Suma de cubosa3 + b3 = (a + b) (a2 - ab + b2)x3 + 27 = (x + 3) (x2 – 3x + 9)Simplificación de expresiones algebraicas Para la simplificación de expresiones algebraicas se aplica el mismo concepto desimplificación de fracciones, pero en este caso el numerador y denominador sonexpresiones algebraicas. La idea es realizar una factorización por algún término algebraico o expresiónalgebraica que sea común tanto para el numerador como para el denominador.Simplificación de monomio por monomio :Ejemplos :1) 3x2 6xen este caso se factoriza por 3x : 3x • (x) 3x • (x) = x 3x • 2 3x • 2 22) 3a2bc 12acen este caso se factoriza por 3ac : 3a2bc 3ac • ab = 3ac • ab = ab 12ac 3ac • 4 3ac • 4 4Simplificación de binomio por monomio :Ejemplos :1) (5xy2 – 10x2y) 5xyen este caso se factoriza por 5xy :(5xy2 – 10x2y) 5xy • (y – 2x) 5xy • (y – 2x) = (y – 2x) 5xy 5xy 5xy 26
  • 2) (b2 – bc) 2ben este caso se factoriza por b :(b2 – bc) b • (b – c) b • (b – c) = (b – c) 2b b•2 b•2 2Simplificación de polinomios :1. Simplificación de resultados de productos notables : a) x2 – 16 x2 + 8x + 16 en este caso reconocemos que el numerador es el resultado de una suma pordiferencia y el denominador es el resultado de un cuadrado de binomio (trinomiocuadrado perfecto). x2 – 16 (x + 4) • (x – 4) (x + 4) • (x – 4) =x2 + 8x + 16 (x + 4)2 (x + 4) • (x + 4) (x – 4) (x + 4) b) x2 + 7x + 10 x2 – 25en este caso reconocemos que el numerador es el resultado de un producto debinomios con un término en común (trinomio cuadrado no perfecto) y el denominadores el resultado de una suma por diferencia. x2 + 7x + 10 (x + 5) • (x + 2) = (x + 2) x2 – 25 (x + 5) • (x - 5) (x - 5) c) x2 + 5x + 6 x2 + 8x + 15en este caso reconocemos que tanto el numerador como el denominador son elresultado de un producto de binomios con un término en común (trinomio cuadrado noperfecto). x2 + 5x + 6 (x + 1) • (x + 5) = (x + 1) x2 + 8x + 15 (x + 3) • (x + 5) (x + 3)2. División de polinomios : Realizamos la siguiente división: (4x3 + 2x2 + 4x + 3) : (x2 - x - 1).Primer paso de la división de polinomios :Tomamos el término de mayor grado del dividendo y lo dividimos entre el término demayor grado del divisor, obteniendo el primer término del cociente. 27
  • Segundo paso de la división de polinomios :Este término lo multiplicamos por el divisor y el resultado lo restamos al dividendo.Último paso de la división de polinomios :Ahora el término de mayor grado en el dividendo es 6x2; repetimos el proceso anterior,obteniendo el segundo término del cociente.Como 14x es de menor grado que x2, la división no puede continuar. El polinomiocociente y el polinomio resto son:Cociente = 4x + 6Resto = 14x + 9Si la división no posee resto, se dice que tanto el divisor como cociente son factores yse pueden escribir como producto. Calculamos (8x3 - 4x2 + 2x + 7) : (2x2 + x - 1).Los polinomios resultantes de la división son:Dividendo = 8x3 - 4x2 + 2x + 7Resto = 10x + 3Cociente = 4x – 4Divisor = 2x2 + x - 1 28
  • Comprobamos el resultado:cociente · divisor + resto = dividendo(4x - 4 ) · (2x2 + x - 1) + (10x + 3)=(8x3 - 4x2 - 8x + 4) + (10x + 3) =8x3 - 4x2 + 2x + 7 Unidad 4. Ecuaciones y planteamiento de problemasEcuaciones. Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, denominadasmiembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas,relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden sernúmeros, coeficientes o constantes; y también variables cuya magnitud se haya establecidocomo resultado de otras operaciones. Las incógnitas, representadas generalmente porletras, constituyen los valores que se pretende hallar.Por ejemplo, en la ecuación: En la unidad de álgebra vimos que el grado de una expresión algebraica estádado por el mayor exponente de dicha expresión. Al ser las ecuaciones expresionesalgebraicas se les denomina según el mayor grado que posea la incógnita, así tenemospor ejemplo que una ecuación cuyo mayor exponente es 1 se denomina ecuación deprimer grado, la ecuación que tenga como mayor exponente el 2 se denominaecuación de segundo grado o cuadrática, la ecuación que tenga como mayorexponente el 3 se llama ecuación de tercer grado, etc. Además el número de raíces(soluciones en los números reales) de una ecuación equivale al grado de la ecuación.Ejemplos :1) La ecuación 7x2 – x – 3 = 0 es de segundo grado y tiene dos raíces.2) La ecuación 13 - 2x = 4 es de primer grado y tiene una solución.3) La ecuación 7x2 - x4 = 100 es de 4º grado y tiene 4 soluciones.Ecuaciones de primer grado con una incógnita : Son aquellas ecuaciones en las que existe una sola variable, generalmentedesignada por el símbolo x (aunque también puede ser designada por cualquier otrosímbolo). Esta variable está elevada a 1 (por eso el nombre de primer grado) y todoslos otros términos (ya sean números o letras) son términos constantes. Estas ecuaciones son igualdades que tienen validez para un solo valor de lavariable (incógnita) y resolver la ecuación es aplicar las propiedades del conjunto Rpara “despejar la incógnita” y así determinar el valor que satisface la igualdad. 29
  • Resolución de ecuaciones de primer grado Existen tres pasos básicos para resolver una ecuación de primer grado :Dada la ecuación:1- Transposición:Primero, se agrupan los monomios que poseen la variable x en uno de los miembrosde la ecuación, normalmente, en el izquierdo. Podemos hacerlo teniendo en cuentaque: Si sumamos (o restamos) un mismo monomio (o número) en los dos términos, la igualdad no varía.En términos coloquiales, se suele decir: si el número está sumando (Ej: +9), pasa alotro lado restando (-9); y si el número está restando (Ej: -6), pasa al otro ladosumando (+6)La ecuación quedará así:Como puede verse, todos los términos que poseen la variable x han quedado en elprimer miembro (a la izquierda del signo igual), y todos los números enteros hanquedado en el segundo miembro (a la derecha).2- Simplificación:El siguiente paso es convertir la ecuación en otra equivalente más simple y cortareduciendo los términos semejantes :Realizamos la simplificación del primer miembro:Y simplificamos el segundo miembro:La ecuación simplificada será:3- Despejar:Ahora es cuando llegamos al objetivo final: que la variable quede en un término de laigualdad. Si multiplicamos por un mismo monomio (o número) en los dos términos, la igualdad no varía.En términos coloquiales: si el número está multiplicando (Ej: ·2), pasa al otro ladodividiendo (en forma fraccionaria) (n/2) (el número pasará sin cambiar el signo). Si dividimos entre un mismo monomio en los dos términos, la igualdad no varía.En términos coloquiales: si el número está dividiendo (expresado en formafraccionaria) (Ej: n/5), pasa al otro lado multiplicando (·5) (el número pasará sincambiar el signo). 30
  • Coloquialmente: en la ecuación, debemos pasar el número 95 al otro lado y, comoestá multiplicando, pasa dividiendo (sin cambiar de signo):Se comprueba que el ejercicio está teóricamente resuelto, ya que tenemos unaigualdad en la que x equivale al número 525/95. Sin embargo, debemos simplificar.Resolvemos la fracción (numerador dividido entre denominador) en caso de que elresultado diera exacto; si diera decimal, simplificamos la fracción y ése es el resultado.En la ecuación, vemos que el resultado de la fracción es decimal (525:95 =5,5263157894737)por tanto, simplificando, la solución es:Tipos de ecuaciones de primer gradoLas ecuaciones las podemos dividir básicamente en tres tipos :Ecuaciones lineales con coeficientes enteros : Estas ecuaciones son las más sencillas de resolver. Para hacerlo, se agrupanlos términos que contienen la incógnita en uno de los miembros, y los términosconstantes en el otro :Ejemplo:1) Resolver: 6x - 12 + 4x - 1 = -x - 7x + 12 - 3x + 5Solución:Primero se reducen términos semejantes: ;Se agrupan las “x“ y los números en distintos lados de la igualdad:Se vuelven a reducir términos semejantes:Finalmente, se despeja la x y se simplifica la solución :2) Resolvamos ahora la siguiente ecuación: x - 3 = 2 + x.Solución:x - 3 = 2 + x.Rápidamente obtendrás la expresión 0 = 5, que es una contradicción.Desde luego, esta igualdad no es cierta independientemente del valor quetome x.Decimos que en este caso la ecuación no tiene solución.3) Resolvamos, finalmente: 2x-1 = 3x + 3 - x – 4: 31
  • Solución:2x-1 = 3x + 3 - x – 4Ahora habrás llegado a la expresión 0 = 0 ¿Qué significa? La igualdad que hasobtenido es cierta, pero se ha eliminado la x. ¿Cuál es la solución?Si la igualdad es cierta, lo será para cualquier valor de x. Compruébalo, sustituyendox por 0, 1, -3 u otro valor que desees.En este caso, se dice que la ecuación tiene infinitas soluciones (cualquiervalor de x es solución).Las ecuaciones de este tipo se denominan identidades.Ecuaciones con coeficientes fraccionarios :Para su resolución, se multiplica la igualdad por el mcm (mínimo común múltiplo)entre los denominadores.Ejemplo:ResolverSolución: /Luego se simplifica:Transformándose en una ecuación lineal:Otro caso : Ecuaciones fraccionarias con denominadores algebraicosPara su resolución, se multiplica la ecuación por el mcm (mínimo común múltiplo)entre los denominadores.Ejemplo:ResolverSolución:Se multiplica la ecuación por (x + 1) · 2x /· 32
  • Y se simplifican los términos correspondientes:Se desarrollan los productos:Y se reducen términos semejantes:Quedando finalmente que:Ecuaciones Literales :La técnica principal es, una vez agrupada la incógnita, aplicar la factorización ysimplificación.EjemploResolverSolución:Se realizan los productos:Se agrupan términos, dejando la incógnita en uno de los dos miembros:Se factoriza la incógnita:Y se despeja x:Se simplifica, quedando que:Planteamiento de problemas. Generalmente un problema se enuncia en términos verbales y su resoluciónpasa por el planteamiento de una o más ecuaciones. Estas ecuaciones corresponden arelaciones que se establecen entre las cantidades involucradas en el problema y a lascondiciones que dichas relaciones plantean. Para plantear la ecuaciones se requieren de dos habilidades fundamentales :análisis lógico del problema planteado y traducción del lenguaje común al lenguajealgebraico.Recordemos algunas maneras de enunciar algunas expresiones algebraicas :El doble de a.......................................................2aEl triple de b.......................................................3b 33
  • El cuádruplo de c.................................................4cEl cuadrado de d.................................................d2El cubo de e.......................................................e3El antecesor del n° entero f..................................f–1El sucesor del n° entero g ...................................g+1El cuadrado del doble de h...................................(2h)2El doble del cuadrado de i....................................2i2Un número par...................................................2nUn número impar ...............................................2n-1 ó 2n+1Dos números consecutivos...................................n y n+1Dos números pares consecutivos..........................2n y 2n+2Dos números impares consecutivos......................2n-1 y 2n+1La mitad de x...................................................La tercera parte de y ........................................Algunos pasos básicos para el planteamiento de problemas :1°: Comprender el problema : realizar una lectura comprensiva del problema.2°: Plantearse un plan : ordenar los datos entregados y plantear una o varias ecuaciones que permitan resolver el problema.3°: Ejecutar del plan : resolver las ecuaciones planteadas.4°: Dar respuesta y verificar los resultados.Veamos a continuación algunos ejemplos de planteo de ecuaciones:Ejemplo 1:¿Qué número aumentado en 5 unidades es igual a 100?.Planteamiento de la ecuación : x + 5 = 100Resolución de la ecuación : x = 100 – 5 x = 95.Respuesta : 95. 34
  • Ejemplo 2:Pedro excede en 7 cm la estatura de su hermano Jorge. ¿Cuál es la altura de Jorge siPedro mide 1,20 mts.?. estatura Pedro = P estatura Jorge = J diferencia de estaturas : P – J = 7 cm (0,07 mts), pero P = 1,20 mt ⇒Planteamiento de la ecuación : 1,20 mts – J = 0,07 mtsResolución de la ecuación : J = 1,20 mts – 0.07 mts J = 1,13mtsRespuesta : Jorge mide 1,13 mts.Ejemplo 3:Sergio tiene un año más que el doble de la edad de Humberto y sus edades suman 97.¿Qué edad tiene el menor?Si x es la edad de Humberto, entonces la edad de Sergio es 2x + 1. Planteando que lasuma de las edades es 97, obtenemos la ecuación:x + 2x + 1 = 973x = 96x = 32, reemplazando este valor de x, se concluye que la edad de Humberto es 32 y lade Sergio es 65.Respuesta: 32Ejemplo 4:Hallar dos números consecutivos, cuya diferencia de cuadrados es igual a 9.Sean x y x + 1 los números, entonces, según el enunciado dado:(x + 1)2 – x2 = 9; desarrollando los cuadrados de binomio, tenemos: x2 + 2x + 1 – x2 = 9 2x + 1 = 9x = 4; por lo tanto los números son 4 y 5.Ejemplo 5:La suma de tres números impares consecutivos es 39. Calcular esos númerosSolución:Sea: 35
  • El 1° número: 2x+1El 2° número: 2x+3El 3° número: 2x+5Interpretando el enunciado, se forma la ecuación: (2x+1) + (2x+3) + (2x+5) = 39Cuya solución es: 2x+1 + 2x+3 + 2x+5 = 39 6x + 9 = 39 6x = 39 - 9 6x = 30 x=5Luego, el primer número es: 2x+1 2 • 5 + 1 = 11El segundo es: 2x+3 2 • 5 + 3 = 13El tercero: 2x+5 2 • 5 + 5 = 15Respuesta: los tres números son: 11, 13 Y 15.Estrategias de Resolución de Problemas.Problemas de doble discriminación. En este tipo de preguntas, al problema planteado le siguen 3, 4 ó 5proposiciones (I, II, III, etc.) que deben ser analizadas individualmente paradictaminar si cumplen con determinada propiedad, si son verdaderas o falsas, etc.Finalmente, se ha de elegir la alternativa (A, B, etc.), según el resultado del análisis.Esta estructura se puede esquematizar así: Planteamiento del problema Proposiciones: I, II III, etc. Alternativas: A, B, C, D, E.Ejemplo:¿Cuál (es) de las siguientes expresiones es (son) igual (es) a ?I:II:III:A) Solo IB) Solo I y IIC) Solo II y III 36
  • D) Solo I y IIIE) I, II y IIISolución : • Proposición I:Separando la raíz del denominador: =Amplificando por y luego simplificando por 5: = = = .La proposición I es igual a . • Proposición II:Separando la raíz del numerador: =Amplificando por y luego simplificando por 3: = = = .La proposición II es igual a . • Proposición III:Amplificando la expresión por para racionalizar, queda: = =Esto nos lleva a la proposición II. Por lo tanto, la proposición III es igual a .En conclusión, las expresiones I, II y III son iguales a .Por lo tanto, la alternativa correcta es E.Problemas de evaluación de suficiencia de datos. 37
  • Estos problemas tienen una estructura bien definida. Lo fundamental es que no se pide la solución al problema, sino decidir si losdatos proporcionados en el enunciado, más los indicados en las afirmaciones (1) y (2)son suficientes para llegar a esa solución.Las alternativas que se dan son: A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional.A) (1) por sí sola: Esta alternativa se marca si la afirmación (1) por sí sola es suficiente pararesponder a la pregunta, pero la afirmación (2) por sí sola no lo es.B) (2) por sí sola: Esta alternativa se marca si la afirmación (2) por sí sola es suficiente pararesponder a la pregunta, pero la afirmación (1) por sí sola no lo es.C) Ambas juntas, (1) y (2): Se marca esta alternativa, si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas sonsuficientes para responder a la pregunta, pero ninguna de las afirmaciones por sí solaes suficiente.D) Cada una por sí sola, (1) ó (2): Se marca esta alternativa, si cada una por sí sola es suficiente para respondera la pregunta.E) Se requiere información adicional: Se marca esta alternativa si ambas afirmaciones juntas son insuficientes pararesponder a la pregunta y se requiere información adicional para llegar a la solución.Ejemplo 1: B¿Cuál es el valor de en la figura?(1) ángulo en C recto.(2) AC = BC α A CSolución:Consideremos la afirmación (1).Que el ángulo C sea recto, no nos da información sobre los otros ángulos del triángulo.Creer que son de 45º cada uno no es correcto, ya que ningún dato dice que esosángulos son iguales.La afirmación (2) señala que el triángulo es isósceles, ya que AC = BC, lo que nosindica que el ángulo en A y en B son iguales, pero no tenemos ningún otro dato quenos permita calcularlos (los 90º de la afirmación (1) hay que olvidarlos por ahora).Como hemos podido apreciar, las afirmaciones (1) y (2), por sí solas, no nos permitendeterminar el valor de , pero si juntamos ambas, se nos produce la siguienteinformación:El ángulo en C mide 90° y ángulo y ángulo en B son iguales.Esta información sí nos permite llegar a la solución. Por lo tanto, Ambas juntas, (1) y(2). 38
  • Alternativa correcta: CEjemplo 2:De cinco alumnos: A, B, C, D y E. ¿Cuál es el más alto?(1) A es más bajo que B, pero más alto que E.(2) E es más alto que C, pero más bajo que D.Solución:(1) Estableciendo un orden de menor a mayor, podemos concluir que: E< A < BSin embargo, no hay elementos para comparar a los alumnos C y D. Por lo tanto,(1) por sí sola NO es suficiente.(2) Análogamente se interpreta obteniendo: C<E< DTampoco hay elemento de comparación para A y B. Luego, (2) por sí sola tampoco essuficiente.Luego la alternativa D, cada una por sí sola, tampoco es la correcta.Analizaremos la alternativa C, ambas juntas.De la información de (1): E< A < BAl juntar la (2) se tiene: C< E< A < BComo D es mayor que E, se debiera ubicar a la derecha, pero no hay elemento decomparación para la relación entre A, B, D. Por lo tanto tampoco (1) y (2), ambasjuntas, son suficientes para resolver el problema. Se requiere información adicional. Unid a d 5. Desig ua ld a d es e inec ua c io nes.Desig ua ld a d es.Los números reales se pueden comparar mediante la relación “mayor que”, “menorque” o “igual que”, para lo cual existe la siguiente simbología: a < b ; que se lee “a es menor que b” o “b es mayor que a” a b se lee: “a es menor o igual a b“ o “b es mayor o igual que a”. Para el caso de comparación entre dos números positivos, en la recta numéricaes mayor el que está más lejos del cero.En cambio, para comparar dos negativos entre sí, el mayor es el que esta más cercadel cero.Para comparar dos números reales a y b, en general, es mayor el que está a laderecha en la recta numérica.Ejemplos: 39
  • Propiedades de las desigualdades:1) Una desigualdad se mantiene si se suma o resta la misma cantidad a ambos lados:2) Una desigualdad se mantiene si se multiplica (o divide) por una cantidad positiva:3) Una desigualdad cambia de dirección si se multiplica (o divide) por una cantidad negativa:Es decir cuando multiplicamos por una cantidad negativa, la desigualdad se invierte.Ejemplo:Intervalos. Frecuentemente se trabaja con subconjuntos de números reales, expresados deacuerdo con alguna relación de orden, como por ejemplo: “los números reales mayoresque -1 y menores que 8”. Simbólicamente: {x IR / -1 < x < 8 }.Estos subconjuntos de IR se denominan intervalos.Clasificación de intervalos: Los intervalos son subconjuntos de los números reales. Existen los siguientes tiposde intervalos:Intervalo Cerrado: En este caso los extremos a y b están incluidos dentro del conjunto. Esta situación se denota con corchetes “hacia adentro”.Intervalo Abierto: En este caso, los extremos a y b no son parte del conjunto. Están excluidos. Esta situación se denota con paréntesis redondos o con corchetes mirando “hacia afuera”. 40
  • Intervalo semiabierto o semicerrado: En estos casos, uno de los extremos es abierto y el otro es cerrado.Intervalos hacia el infinito. Representación gráfica de intervalos. Un intervalo puede representarse gráficamente, representando el extremo cerrado con un punto lleno y el extremo abierto con un punto en blanco. 41
  • Ejemplos : 42
  • Inecuaciones de primer grado. Una inecuación es una desigualdad que contiene una incógnita. En este tipo deexpresiones algebraicas obtenemos como resultado un conjunto de soluciones en elcual la variable independiente puede tomar el valor cualesquiera de ese conjuntocumpliendo esta desigualdad; a este conjunto se le conoce como Intervalo.Ejemplo: x + 5 < 8 se cumple “para todo x menor que 3“. Resolver una inecuación es calcular el intervalo de números reales, para el cualla inecuación se transforma en una desigualdad verdadera.Para resolver una inecuación, se deben aplicar las propiedades de las desigualdades.Ejemplo:Resolver la inecuación:2x – 5 < x + 2Solución:2x – 5 < x + 22x – x < 2 + 5x<7Esta solución se puede expresar como:Sist em a s d e I nec ua c io nes. Un sistema de inecuaciones lineales es aquel que tiene dos o más inecuaciones.Para resolverlo se determina el conjunto de números reales que satisfacesimultáneamente todas las desigualdades del sistema.Este conjunto se llama conjunto solución del sistema, determinado por una regióndel plano, que se obtiene por intersección del conjunto solución correspondiente a cadauna de las inecuaciones.Para resolver sistemas de inecuaciones lineales se debe resolver cada inecuación porseparado e intersectar los intervalos resultantes; es decir, se debe hallar el conjuntode números que pertenezca a ambos intervalos:Ejemplo 1:Resolver el sistema de inecuaciones:En el primer sistema de inecuaciones multiplicamos por 3: (propiedad 2)x – 2 > 3 /+2 (propiedad 1)x>5 43
  • En el segundo sistema de inecuaciones multiplicamos por –2 (propiedad 3)x – 3 < 6 / + 2 (propiedad 1)x < 9 Por lo tanto las soluciones son: x > 5 y x < 9.Gráficamente tenemos entonces la siguiente situación:Por lo tanto los números reales que cumplen ambas condiciones corresponden a todoslos números comprendidos entre 5 y 9.Si traducimos lo anterior a intervalo, tenemos que:]5,9[Ejemplo 2 :Determinemos el conjunto solución del sistemaSolución:Resolvemos cada inecuación en forma separada:Gráficamente esto es:Así, la solución final será la intersección 44
  • Unidad 6. Relaciones y funciones.Relaciones.Sistema de Coordenadas Cartesianas. En el siglo XVII (época de Descartes y muchos grandes matemáticos) lageometría había alcanzado su plenitud. Pero las demostraciones que se hacían acercade ellas eran basadas en supuestos de los que se conocían sus resultados y se llegabaa ellos mediante un razonamiento deductivo bastante elegante, al puro estilo deEuclides. Sin embargo era difícil la predicción, este es un elemento importantísimo encualquier ciencia. A Rene Descartes se le ocurrió mezclar las herramientas que teníahasta el momento, entre las más importantes que encontró fue la geometría euclidianay el álgebra renacentista. Así, creó un sistema de referencias al cual podía asignarecuaciones de dos variables a curvas en el plano y viceversa. De este modo podíanestudiarse figuras geométricas y sus relaciones con el uso del álgebra. De esta manerasurgió la geometría analítica. El sistema de ejes coordenados está formado por dos rectas numéricas, unahorizontal y otra vertical, llamadas ejes. El eje horizontal (eje x) se denomina eje delas abscisas y el eje vertical (eje y) se denomina eje de las ordenadas.Sobre el sistema de ejes coordenados se pueden ubicar todos los pares ordenados dela forma (a, b), tal como lo muestra la figura. En el punto P(a, b) los elementos a y b se llaman coordenadas del punto P.Par Ordenado. Conjunto de dos números arreglados en un orden particular, normalmenteescritos como (1er número, 2o número), en donde tanto el orden como los valorestienen significados acordados. Por ejemplo, las coordenadas de un punto en un plano de coordenadasCartesianas se escriben como (x, y), en donde x es la coordenada horizontal e y es lacoordenada vertical.Su representación general es: ( a,b) Cada par ordenado es una combinación entre elementos del conjunto A yelementos del conjunto B. Siempre el primer elemento pertenece al primer conjunto y 45
  • el segundo elemento al segundo conjunto pero no al revés porque su representaciónno es conmutativa, es decir, no se puede alterar el orden.Producto cartesiano. En teoría de conjuntos, el producto cartesiano es un producto directo deconjuntos, también es conocido como producto cruz. En particular, el productocartesiano de dos conjuntos X y Y, denotado por X × Y, es el conjunto de todos lospares ordenados en los que el primer componente pertenece a X y el segundo a Y:Ejemplo:Sean los conjuntos :A={1,2,3} yB={4,5,6}se tiene:AXB={(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5) ,(3,6)}El producto cartesiano AXB no es igual al producto cartesiano BXA. Para saber el número de elementos del producto cartesiano nos fijaremos en eldiagrama de árboltenemos nueve elementos, que es el resultado de multiplicar el número de elementosdel conjunto A por los del conjunto BPodemos saber el número de elementos de un producto cartesiano formado por nconjuntos, multiplicando el número de elementos de cada uno de los conjuntos queintervienenRelación. 46
  • Dados dos conjuntos A y B, se define una relación de A en B como todos lospares ordenados que cumplan una condición dada. Una relación es un subconjunto delproducto cruz.Ejemplo:Dados los conjuntos : A = {1, 2, 3, 4} y B = {3, 5, 8},Escribir la relación definida por R = { (x, y) / x < y ; x Є A ; y Є B }Esta definición de R (relación) se traduce como todos los pares ordenados (x, y) talque el elemento de A es menor que el elemento de B y el elemento x pertenece a Ay el elemento y pertenece a B.Esto es: R= {(1, 3), (1, 5), (1, 8), (2, 3), (2, 5), (2,8), (3, 5), (3, 8), (4, 5), (4, 8) }Gráfica de una relación. La gráfica de una relación corresponde a la ubicación de los pares ordenados dedicha relación en el plano cartesiano.La gráfica de la relación anterior es la siguiente:eje y eje xDominio y Recorrido de una relación. Se le llama Dominio de la relación a los elementos del conjunto A queparticipan en la relación.En el ejemplo que estamos analizando:Dom R = { 1, 2, 3, 4} 47
  • EL Recorrido de la relación es el conjunto formado por todos los elementos delconjunto B que participan en la relación.En este caso:Rec R = { 3, 5, 8}.Función matemática. Dada una relación f : A → B, esta relación es función si y solo si cada elementode A tiene imagen única en B.En símbolos:Se cumple con las siguientes dos condiciones: 1.Condición de existencia: Todos los elementos de X están relacionado con elementos de Y, es decir, 2. Condición de unicidad: Cada elemento de X esta relacionado con un único elemento de Y, es decir, si Una función se simboliza por el símbolo f(x) y significa que la relación está enfunción de x. A la variable x se llama variable independiente y puede tomar cualquiervalor. La variable y se llama dependiente, porque sus valores se obtienen al reemplazarla x. f(x) = y 48
  • Función inyectiva. Una función es inyectiva o uno es a uno si cada valor en laimagen de corresponde un único origen en el dominio.Por ejemplo, la función de números reales , dada por no esinyectiva, puesto que el valor 4 puede obtenerse como f(2) y f( − 2). Pero si eldominio se restringe a los números positivos, obteniendo así una nueva función entonces sí se obtiene una función inyectiva. 49
  • Definición formal :De manera más precisa, una función es inyectiva cuando se cumplealguna de las dos afirmaciones equivalentes: • Si x1,x2 son elementos de tales que f(x1) = f(x2), necesariamente se cumple x1 = x2. • Si x1,x2 son elementos diferentes de , necesariamente se cumpleFunción epiyectiva. Una función es epiyectiva (sobreyectiva suprayectiva, suryectiva oexhaustiva), si está aplicada sobre todo el codominio, es decir, cuando la imagen , o en palabras más sencillas, cuando cada elemento de "Y" es la imagen decomo mínimo un elemento de "X".Formalmente,Usando lenguaje más técnico se puede expresar la condición de inyectividad como:«Una función es inyectiva si la fibra (imagen inversa) de cada elemento del codominiotiene cardinalidad menor o igual a uno».Función biyectiva. Una función es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva ysobreyectiva.Formalmente, 50
  • Formas de representar una función. Existen 4 formas de representar una función, las que se resumen en el siguientecuadro:Nomenclatura funcionalConsideremos la función real f: A → B representada en el siguiente diagrama:En el diagrama, los conjuntos dominio y recorrido son :Dom f = {a, b, c} yRec f = {1, 2, 3} 51
  • Además, bajo la condición f, el elemento a Є A está relacionado con el elemento2 Є B.Esto se expresa diciendo que 2 es la imagen de a bajo la función f y se escribe así:f(a) = 2Análogamente, se dice que a es la preimagen de 2, bajo la función f. Esto se escribeasí:f -1(2) = aPreimagen : se refiere a cada uno de los elementos del conjunto de partida (dominio).Imágen : se refiere a cada uno de los elementos del conjunto de llegada (recorrido).Funciones Reales. Son todas aquellas funciones cuyos conjuntos iniciales y finales son losnúmeros reales. Por ejemplo: Sea f: IR → IR, definida como f(x) = 2x – 1.De este tipo de funciones podemos definir algunas operaciones:Cálculo de imágenes : Dada una función f(x), el cálculo de una imagen se reduce a la valoración deuna expresión.En el ejemplo dado:Dado: f(x) = 2x – 1, calcule f(-5).Solución:Reemplazando: f(-5) =2 · (-5) – 1 = - 11Entonces: f(-5) = -11Cálculo de preimágenes : Dada una función f(x), el cálculo de una preimagen corresponde al cálculo de unvalor de x tal que resulte el valor de la función.En el ejemplo dado:Dado: f(x) = 2x – 1, calcule f -1(-11).Tenemos que: 2x – 1 = - 11, que es una ecuación de primer grado.Resolviendo: 2x = - 11 + 1 x = -5Entonces, f-1(-11) = -5 52
  • Análisis del Dominio de una Función. El dominio de una función es el conjunto, cuyos elementos hacen que lafunción esté bien definida. En otras palabras, es el conjunto de las preimágenes(variable x), donde la función está definida.¿Cuál el Dominio de la siguiente función?: f(x) =Si observamos, la función es una fracción. Este tipo de funciones se llama funciónracional y por tratarse de una fracción, lo importante es que el denominador no seacero. Entonces, buscaremos dicho valor.Para este efecto, se iguala el denominador a cero y se resuelve la ecuación:Es decir, el dominio puede tomar cualquier valor real menos el 4. Luego, Dom f = IR -{4}Análisis del Recorrido de una Función. El recorrido de una función son los valores que toma la variable Y o el conjuntode las imágenes.Para analizar el recorrido, se despeja la variable x:Ejemplo:Hallar el recorrido de la función: f(x) =Se despeja la x, haciendo y = f(x). Esto es: se factoriza por x 53
  • Análogamente al análisis del dominio, se toma el denominadorEntonces: Rec f(x) = IR - { 3 }Es decir, el recorrido puede tomar cualquier valor real, menos el 3.Funciones Definidas por Intervalos. Existen funciones definidas por tramos o intervalos, que permiten mezclar lasfunciones básicas y son de gran utilidad en la matemática:Ejemplo:f(x) =Calcular f(-3) y f(4).Solución:Como x= -3 es negativo se debe utilizar . Entonces:f( 4) como x=4 es positivo se debe ocupar x+1. Entonces:Composición de funciones.Sean las funciones f: A B y g: B C,entonces se define la función compuesta de f con g: gof: A C a f(a) = b g(f(a)) = c 54
  • Figura : Diagrama de función compuesta a f(a) b g(f(a)) c Figura: Esquema de una función compuestaEn la figura: f(-2) = 2 · (-2) – 1 = -5 g(f(-2)) = g(-5) = (-5)2 = 25 f(2) = 2 · (2) – 1 = 3 g(f(2)) = g(3) = (3)2 = 9Función inversa. Sea la función f: A B. Su inversa se designa por f-1 : B A y se definepor:Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f−1 que cumple que:Si f(a) = b, entonces f−1(b) = a.Podemos observar que: 55
  • El dominio de f − 1 es el recorrido de f .El recorrido de f−1 es el dominio de f.Si queremos hallar el recorrido de una función tenemos que hallar eldominio de su función inversa. Unidad 7. Función lineal. Una función real es lineal si obedece a la forma : f(x) = a + bx, con a y b IR, b 0.La función lineal puede escribirse de varias formas, de las cuales usaremos:Forma Principal: y = mx + n; con m y n IR, m 0.Forma General: ax + by + c = 0; , con a, b y c IR, a 0.Ejemplo:Escribir la función lineal 6x – y = 9 en sus formas principal y general.Solución:Para la forma principal se despeja la y: 6x – y = 9 y = 6x – 9,que es la forma principal de la recta.Para la forma general, se trasladan todos los términos al primer miembro: 6x – y = 9 6x – y – 9 = 0,que es la forma general de la recta.Gráfica de la función lineal. Toda igualdad de la forma ax + by = c, donde a, b, c R, representa unaecuación lineal con dos incógnitas, cuyas soluciones son pares ordenados de la forma(x, y). Este par ordenado (x, y) corresponde a un punto del plano cartesiano.Ejemplo:La ecuación L: x + y = 4 56
  • Gráfico:Observaciones: • A toda ecuación lineal (de primer grado) con dos incógnitas le corresponde gráficamente una recta • Cada par ordenado de números (x, y) corresponde a las coordenadas de un punto que es solución de la ecuación dada, es decir, satisface esa ecuación. • Los puntos que cada par ordenado representa, pertenecen a la recta correspondiente.Dominio y Recorrido de la función lineal.En una función lineal y = f(x), x, que es la variable independiente, puede tomarcualquier valor real. Por lo tanto: Dom f(x) = IRDe igual forma, la variable dependiente y puede tomar cualquier valor real. Por lotanto:Rec f(x) = IREcuación de la Recta. La idea de línea recta es uno de los conceptos intuitivos de la Geometría. Sepuede entender como un conjunto infinito de puntos alineados en una única dirección.De acuerdo a uno de los postulados de la Geometría Euclidiana, para determinar unalínea recta solo son necesarios dos puntos de un plano. 57
  • La idea consiste en poder encontrar una expresión algebraica (una función) quedetermine a una recta dada. Dicha expresión algebraica recibe el nombre de Ecuaciónde una Recta.Ecuación Principal de una Recta.Se llama Ecuación Principal de una Recta a una expresión de la forma: y = mx + n Con m y n IR, m 0Donde m representa a la pendiente de la recta y n es el intercepto.Pendiente de una recta (m). Se denomina pendiente “m” de una recta a una constante que revela el gradode inclinación que tiene la recta respecto del eje de las abscisas (eje x). Para determinar matemáticamente la pendiente, elijamos dos puntoscualesquiera de una recta. En la figura adjunta se han marcado los puntos A( , ) yB( , ) de la recta L.La pendiente m se calcula así:Interpretación de la pendiente de una recta.Signo de la pendiente: • Si m > 0, indica una relación directa entre x e y. A mayores valores de x, mayores valores de y, y viceversa. • Si m < 0, indica una relación inversa entre x e y. A mayores valores de x, menores valores de y, y viceversa. • Si m = 0, indica que la variable y se mantiene constante, aunque x aumente o diminuya. Las rectas con pendiente cero son paralelas al eje x. 58
  • Pendiente positiva (m>0) Pendiente positiva (m<0) Pendiente nula (m=0)Valor absoluto de la pendiente. Toda vez que la pendiente de una recta es la razón entre una diferencia devalores de y con una diferencia de valores de x, la pendiente revela la magnitud delcrecimiento (o decrecimiento) de los valores de y por cada unidad de variación en losvalores de x.En otras palabras, el valor absoluto de la pendiente cuantifica cuánto crece (o decrece)la variable dependiente (y) con las variaciones de la variable independiente (x).Ejemplo:En la recta y = 7 - 3x, ¿Qué indica la pendiente?Solución:La pendiente es m = -3 indica, por su signo, una relación inversa entre x e y. Es decir,cuando x crece, la variable y decrece. Por cada unidad que aumenta x, la variable ydecrece en 3 unidades, o bien que, por cada unidad que disminuye x, la variable yaumenta en 3 unidades.En la figura siguiente se muestran cinco rectas que pasan por un mismo punto, perocon distintos grados de inclinación. 59
  • Intercepto de una recta (n). Se denomina intercepto de una recta y = mx + n, al valor en el cual la rectaintersecta al eje y. Este valor corresponde al término n de la ecuación principal.Puntos relevantes de una recta.Se denominan así los puntos de intersección de la recta con el eje x y con el eje y.Intersección con el eje x:En este caso, y = 0. Por lo tanto, en la ecuación y = mx + n tenemos que:Entonces, el punto de intersección de la recta con el eje x es:Intersección con el eje y:En este caso, x = 0. Por lo tanto, en la ecuación y = mx + n tenemos que:y=m•0+ny=nLuego, el punto de intersección de la recta con el eje y es: P (0, n). 60
  • Determinación de la ecuación de la recta.Determinar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos.Determinar la ecuación principal de la recta que pasa por los puntos (-2, 4) y (3, -1).En la figura se muestra el gráfico de esta recta. Podemos darnos cuenta que se tratade una recta con pendiente negativa, que corta al eje “y” en el número 2. 61
  • 1º: Cálculo de la pendiente:Sabemos queEntonces:Por lo tanto, la ecuación de esta recta queda así, hasta ahora: y = -1x + n2º: Cálculo del intercepto:¿Y el valor de “n”? Lo podemos obtener sustituyendo cualquiera de los dos puntosconocidos de esta recta en lo que tenemos hasta ahora de ecuación. Tomemos, porejemplo, el punto (-2, 4):y = -x + n4 = -(-2)+nn=2Por lo tanto, la ecuación de esta recta es: y = -x + 2¡Y cumple con todo lo previsto! Pendiente negativa y corta al eje “y” en el número 2.Determinar la ecuación con un punto y su pendiente.Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(2, -5) y tiene pendiente -4.Solución:Como el punto dado es A(2, -5) con x = 2 e y = -5 y el valor de la pendiente es m =-4, entonces:y = mx + nReemplazando:-5 = -4 • 2 + n-5 = -8 + n-5 +8 = n3=nLuego: y = -4x + 3 es la ecuación pedida.Posición Relativa de dos Rectas en el Plano. Según la Geometría Euclidiana, si dos líneas rectas se encuentran en un mismoplano, podría ocurrir que ellas se corten en un punto o que no se corten. 62
  • Si se cortan en un punto, se dice que son secantes y si no se cortan, son paralelas.En el caso de las rectas secantes, si el ángulo que forman es recto (mide 90º), diremosque las rectas son perpendicularesRectas Paralelas. Se considera que dos rectas son paralelas cuando sus pendientes son iguales.Si se da el caso que, además de ser iguales las pendientes, también lo son loscoeficientes de posición (n), diremos que las rectas son coincidentes.Rectas Perpendiculares.Si dos líneas rectas son perpendiculares, se verifica que el producto de sus pendientes esigual a –1. 63
  • Así, se considera que (se lee: “la recta es perpendicular con la recta ”) sise cumple que .Rectas secantes. Si : y = m1 x+ n1 y : y = x + son rectas secantes, el punto deintersección entre ellas está dado por la solución del sistema de ecuaciones:Un sistema de ecuaciones es un arreglo formado por dos o más ecuaciones con dos omás incógnitas.Un sistema de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas tiene la forma:Donde a, b, c, d, e y f , x e y son las incógnitas.La solución del sistema es todo par (x, y) que satisfaga simultáneamente ambasecuaciones.Ejemplo:El sistema:Tiene como solución: x = 3 e y = 5. Esto porque ambos valores satisfacensimultáneamente a las dos ecuaciones.En efecto, al reemplazar los valores de x e y en la primera ecuación, se tiene: 64
  • De la misma forma, al reemplazar los valores de x e y en la segunda ecuación, setiene: Como se dijo anteriormente si las rectas son secantes (o perpendiculares) elsistema de ecuaciones tiene soluciones (uno puntos de intersección de intersección).Pero si las rectas son paralelas no existe solución, ya que ambas rectas tienen elmismo ángulo de inclinación (nunca se cortan).Métodos para Resolver Sistemas de Ecuaciones.1. Eliminación por reducción: Consiste en igualar los coeficientes de una misma incógnita en ambas ecuaciones y,en seguida, sumar o restar las ecuaciones, de modo que se eliminen los términoscuyos coeficientes se igualaron.Ejemplo :Resolver el sistema:Solución:Primero se elige la incógnita que se va a reducir (eliminar).En este caso elegiremos la “x“, cuyos coeficientes son 4 y 5 en la primera y segundaecuación, respectivamente.Para eliminar la x, multiplicaremos la primera ecuación por (-5) y la segunda por 4.Como se puede apreciar, esta multiplicación dio como resultado que los coeficientes dela x en ambas ecuaciones son opuestos y ahora pueden eliminarse por simple suma delas dos ecuaciones.Entonces, sumando miembro a miembro ambas ecuaciones, se tiene: 65
  • Reemplazando en la ecuación (2) el valor obtenido para y, se tiene:Por lo tanto, la solución del sistema es x = 6 e y = 7, o bien, el par (6, 7). La estrategia de este método consiste en multiplicar una o ambas ecuacionespor números convenientemente elegidos para que resulte que los coeficientes de unade las incógnitas sean opuestos, de modo que se eliminen al sumar las ecuaciones.2. Eliminación por sustitución. Consiste en despejar una incógnita de una de las ecuaciones y sustituirla en laotra ecuación.Ejemplo :Resolver:Solución:De este sistema, se despeja una variable en alguna de las dos ecuaciones. Porejemplo, tomando la segunda ecuación y despejando la “x” se tiene:Seguidamente, este valor se reemplaza en la otra ecuación; en este caso, la ecuación1).Entonces, este valor de y se reemplaza en el despeje obtenido para “x” en la primeraparte, de modo que:3. Método de igualación. Consiste en despejar la misma variable (incógnita) en cada una de lasecuaciones y en seguida, igualar ambos despejes sobre la base del siguiente principio. 66
  • Ejemplo:Resolver:Solución:Se despejará x en ambas ecuaciones:De (1):De (2):Como (1) = (2), entonces: , /Luego reemplazando en (1) se tiene:Aplicaciones de la función lineal. La función lineal tiene aplicaciones en muchas disciplinas : economía, biología,física, etc. Puede ser utilizada en todos aquellos casos en la relación entre dosvariables sea de tipo lineal. En cuanto a los problemas de aplicación, estos se refierenprincipalmente al cálculo de una ecuación lineal entre dos variable o bien ala determinación de una de las variables conociendo la ecuación que lasrelaciona y el valor de la otra variable.Veamos algunos ejemplos : 1) La función que representa el valor a pagar de un taxi, después derecorridos 200 metros es : f ( x ) = 0,8x + 250con x : cantidad de metros recorridos f ( x ) : costo en pesosentonces el valor a pagar por un recorrido de 3 kilómetros es : 67
  • f ( 3 0 0 0 ) = 0,8• 3000 + 250f ( 3 0 0 0 ) = 2650Entonces por 3 kilómetros se pagan $2.650. 2) Utilizando la misma ecuación del ejercicio anterior calcular cuánto recorrióuna persona que pagó $2.250.Como se nos está entregando el valor del costo del recorrido, entonces nos estánentregando el valor de y (f(x)) en nuestra función.Para obtener el resultado reemplazamos el valor de y en la función yresolvemos la siguiente ecuación :2.250 = 0,8x + 2502.250 – 250 = 0,8x2.000 = 0,8xx = 2.000 : 0,8x= 2.500Entonces una persona que canceló $2.250 recorrió 2.500 metros (2 kilómetros).3) Si se sabe que el agua se congela a 32 ºF ( Fahrenheit) o 0 ºC (Celsius) y hierve a 212 ºF o 100 ºC. ¿Cómo se puede expresar la relación de grados Fahrenheit en función de los grados Celsius?.Se tiene la siguiente información : x1 y1 x2 y2(0; 32) y (100; 212)ºC: variable independiente (x)ºF : variable dependiente (y)Primero calculamos la pendiente : m = 212 - 32 100 – 0 m = 180 100 m= 0,18Comenzamos a construir nuestra ecuación : y = 0,18x + nLuego reemplazamos cualquiera de los puntos entregados en el enunciado delproblema para calcular nuestro coeficiente de posición (n).En nuestro casos vamos a utilizar el punto (0; 32) 32 = 0,18•0 + n n = 32 68
  • Terminamos de construir la ecuación : y = 0,18x + 32Y finalmente reemplazamos las variables x e y por las utilizadas en el enunciado delproblema : ºF = 0,18 • ºC + 32 Unidad 8. Función Cuadrática.La función cuadrática está definida por: f(x) = a x2 + bx + c; con a, b y c IR y a 0.Si representamos "todos" los puntos (x,f(x)) de una función cuadrática,obtenemos siempre una curva llamada parábola.El dominio de esta función es el conjunto de los números reales y su gráficoes siempre una parábola.Concavidad de la parábola. Dependiendo del signo del coeficiente “a” de la ecuación de laparábola, la abertura de la curva puede ser hacia arriba o hacia abajo :1) Si a > 0 la parábola abre hacia arriba (concavidad positiva ).2) Si a < 0 la parábola abre hacia abajo (concavidad negativa ). a > 0 a < 0Raíces. Las raíces (o ceros) de la función cuadrática son aquellos valores dex para los cuales la expresión vale 0, es decir los valores de x tales quey = 0. Gráficamente corresponden a las abscisas de los puntos donde laparábola corta al eje x.Formas en que la parábola puede cortar al eje x en: 69
  • Para poder calcular las raíces de cualquier función cuadrática calculamos f(x) = 0 (o que es lo mismo decir y = 0), entonces ax² + bx +c = 0Para resolverla podemos hacer uso de la fórmula:Al resultado de la cuenta b2 - 4ac se le llama discriminante de laecuación, esta operación presenta distintas posibilidades : • Si b2 - 4ac > 0 : tenemos dos soluciones posibles. • Si b2 - 4ac = 0 : el resultado de la raíz será 0, con lo cual la ecuación tiene una sola solución real. • Si b2 - 4ac < 0 : la raíz no puede resolverse, con lo cual la ecuación no tendrá solución real.Ejemplo:Calcular las raíces (soluciones) de la ecuación : x 2 + 2x – 15 = 0a= 1b= 2c= -15reemplazamos los valores en la fórmula y tenemos que x ( 1 ,2 ) = -2 ± √ 2 2 – 4 • 1• (-15) 2• 1 x ( 1 ,2 ) = -2 ± √ 4 + 60 2 x ( 1 ,2 ) = -2 ± √64 2 70
  • x ( 1 ,2 ) = -2 ± 8 2En este caso tenemos dos soluciones :x ( 1 ) = -2 + 8 x(1) = 6 x ( 1 ) = 3, y 2 2x ( 1 ) = -2 - 8 x ( 1 ) = -10 x ( 1 ) = -5 2 2Entonces las soluciones son 3 y -5Vértice de la parábola.El punto vértice de la parábola se determina mediante la expresión:Verifiquemos esta expresión para la parábola :En este caso: a = 1, b = 1 y c = -12;La abscisa del vértice sería:y la ordenada sería:Entonces el vértice esValores máximos y mínimos de la parábola. El vértice de la parábola es el punto donde la función alcanza unmínimo (a > 0) o un máximo (a < 0). V (1 , -9) V (2, 13)Valor mín de la función y = -9 Valor máx de la función y = 13Ejemplo :Considere la función f(x) = 2x2 + 4x + 5, con x en los números reales. Determine elvalor mínimo o máximo que alcanza la función.Primero determinamos los coeficientes :a : 2b : 4, y 71
  • c : 5como a es mayor que cero la función posee un mínimo.Calculamos el valor de x de la abscisa :x v = -4/2•2x v = -4/4x v = -1y finalmente calculamos el valor de la ordenada del vértice :yv = f(-1)y v = 2(-1)2 + 4 (-1) + 5yv = 2 - 4 + 5yv = 3Entonces el valor mínimo de la función es 3.Corte con el eje y. La función corta el eje y en el punto y = f(0), es decir, la parábolacorta el eje y cuando x vale cero (0):lo que resulta:La función corta el eje y en el punto (0, c), siendo c el terminoindependiente de la función.Eje de simetría.  El eje de simetría de una parábola es una recta que divide simétricamente a la curva, es decir, intuitivamente la separa en dos partes congruentes. Puede ser entendido como un espejo que refleja la mitad de la parábola en cuestión.  El eje de simetría de la parábola pasa por el vértice que es el único punto de la parábola simétrico de sí mismo.La ecuación asociada al eje de simetría viene dada por la relación: x= -b 2a Eje de simetría : x = -2,5Ejemplo .Calcular el eje de simetría de la función : 72
  • f ( x ) = -3x 2 + x +2coeficientes numéricos :a : -3b : 1eje de simetría: x = -(1) 2•(-3)eje de simetría: x = 1 6Forma canónica de la función cuadrática.La expresión : f ( x ) = Ax² + Bx + C (forma polinómica)se puede reescribir de la siguiente manera : f ( x ) = a(x – h) 2 + kDonde :a = Ah = -b/2Ak = f(h) ó -B2/4AEl vértice queda definido por : (h,k).El eje de simetría : x = hEjemplo.Calcular el vértice y el eje de simetría de la función : f ( x ) = 4(x – 3) 2 +1coeficientes :h = 3k = 1vértice : (3; 1)Eje de simetría : x = 3Ejercicios con funciones cuadráticas. Los ejercicios y problemas de aplicaciones con esta función están relacionadosprincipalmente con la obtención de las raíces de las ecuaciones, graficar una función yla aplicación de la función a algunos problemas en donde la búsqueda de las raícesde la función es o son soluciones de dicho problema.Ejemplo 1:Calcular las raíces, el vértice, el eje de simetría y graficar la función : f(x) = -2x2 + 3x +5primero obtenemos los coeficientes de la función :a: -2 73
  • b: 3c: 5de los coeficientes sabemos que : • como a es < que cero la parábola se abre hacia abajo, y • como c = 4, entonces la parábola corta al eje y en el punto (0; 5).Cálculo de la raíces : x ( 1 ,2 ) = -3 ± √ 3 2 – 4 • (-2)• 5 2• (-2) x ( 1 ,2 ) = -3 ± √ 9 + 40 -4 x ( 1 ,2 ) = -3 ± √49 -4 x ( 1 ,2 ) = -3 ± 7 -4En este caso tenemos dos soluciones :x ( 1 ) = -3 + 7 x(1) = 4 x ( 1 ) = -1, y -4 -4x ( 2 ) = -3 - 7 x ( 2 ) = -10 x ( 2 ) = 2,5 -4 -4Entonces las soluciones son -1 y 2,5.Cálculo del vértice :x v = -3/2•(-2)x v = -3/-4x v = ¾ (o 0,75)yv = f(3/4)yv = -2 (3/4)2 + 3 (3/4) +5yv = -2 (9/16) + 3 (3/4) + 5yv = -9/8 + 9/4 + 5yv = 49/8 (o 6,125)Por lo tanto el vértice se encuentra en el punto : V (0,75 ; 6,13)Eje de simetría : Al observar la componente x del vértice deducimos que el eje desimetría está definido por la función : x = ¾Ahora que tenemos todos los elementos graficamos nuestra parábola : 74
  • Ejemplo 2: En una situación experimental, se estudió el rendimiento del ají dulce(Capsicum nahum) en función de la cantidad de humus de lombricultura (HL),utilizado como fertilizante.La ecuación estimada fue y = 1,5 + 50x – 25x2, donde:y = rendimiento del ají, en Kg. por parcela de 10m2.x = dosis de HL, en Kg. por planta, no pudiendo esta dosis superar 1,0 Kg. por planta.Según este modelo, ¿cuánto HL sería recomendable para obtener un rendimiento de17,5 Kg. de ají por parcela?Solución :Nos están pidiendo calcular la componente “x” (dosis de HL) de un punto endonde nos entregan la componente “y” (rendimiento de ají por parcela =17,5).Primero reemplazamos el valor de “y” entregado en nuestra ecuación : 17,5 = 1,5 + 50x – 25x2luego ordenamos la ecuación y la igualamos a 0 (cero) para despejar la variable x : 25x2 –50x –1,5 + 17,5 = 0 25x2 –50x + 16 = 0y finalmente aplicamos la fórmula para encontrar las raíces de nuestra ecuación : x ( 1 , 2 ) = 50 ± √ 50 2 – 4 • 25 • 16 2• 25 x ( 1 , 2 ) = 50 ± √ 2500 – 1600 50 x ( 1 , 2 ) = 50 ± √900 50Tenemos dos raíces : 75
  • x ( 1 ) = 50 + 30 x ( 1 ) = 80 x ( 1 ) = 1,6 , y 50 50x ( 2 ) = 50 - 30 x ( 2 ) = 20 x ( 2 ) = 0,4 50 50Como la condicionante es que la dosis de HL no puede superar 1,0 Kg. porplanta la solución 1 (x1) se descarta, siendo la respuesta del problema la solución 2(x2).Por lo tanto la respuesta es para obtener un rendimiento de 17,5 Kg. de ají por parcelahay que agregar 0,4 kg de HL: Unidad 9. Función Valor Absoluto.Es la función definida por: f(x) = ½ x ½Siendo: En matemática, el valor absoluto o módulo1 de un número real es su valornumérico sin su respectivo signo, sea este positivo (+) o negativo (-); o en otraspalabras, su distancia en la recta numérica hasta el valor cero. Así, por ejemplo, 3 esel valor absoluto de 3 y -3.Dominio y Recorrido de la función valor absoluto. De acuerdo con la definición, x puede ser cualquier número real, por lo tanto, eldominio está representado por los números reales.Las imágenes de x, corresponden a los no negativos, por lo que el rango estádeterminado por todos reales no negativos.Dom f = R,Rec f = R+ Propiedades fundamentalesSea.....TeoremaSean , entonces siempre se tiene que si 76
  • 1) si y solo si b es mayor que 0 2)Ejemplos :1) Determinar el intervalo solución de │x - 3│≤ 2Aplicando el primer teorema : -2 ≤ x – 3 ≤ 2 -2 + 3 ≤ x – 3 ≤ 2 + 3 1≤x ≤5Solución :x Є [1,5]2) Determinar el intervalo solución de │3x - 4│≥ 5Aplicando el segundo teorema : 3x - 4≥ 5 v –(3x – 4) ≥ 5 3x ≥ 5 +4 v –3x + 4 ≥ 5 3x ≥ 9 v –3x ≥ 5 - 4 x ≥ 9/3 v –3x ≥ 1 x≥3 v –x ≥ 1/3 /• -1 x ≤ - 1/3Solución : x Є ]-∝, -1/3] ∪ [3, ∝[Gráficas de la función valor absoluto.1) f(x)= |x|Dom f = R, Rec f = R+2) Análisis de la función: f(x) = , con a IR. 77
  • Siendo:Dom f(x) = ]- , + [Rec f(x) = [0, + [3) Análisis de la función: f(x) = , con b IR.Siendo:Dom f(x) = ]- , + [Rec f(x) = [b, + [ Unidad 10. Función Parte Entera. Se denomina así la función de ecuación f(x)=[x],que a cada número real hace corresponder el mayor número entero que es menor oigual que él.El hacer corresponder a cada número el entero inmediatamente inferior, origina unagráfica escalonada. f: IR IR tal que f(x) = [ x ]Donde [ x ] = al entero inmediatamente menor o igual a “x”.Ejemplos:1) f(5,2) = [ 5,2 ] = 5porque el 5,2 está entre los enteros 5 y 6, siendo el menor de ellos el 5.2) f(-1,25) = [ -1,25 ] = -2porque el -1,25 está entre los enteros -1 y -2, siendo el menor de ellos el -2. 78
  • Dominio y Recorrido de la función parte entera.Dom f(x) = IR, es decir, todos los reales.Rec f = Z, es decir, todos los enteros.Grafica de la función parte entera. Como se mencionó anteriormente la función parte entera origina una gráficaescalonada.Gráfico de la función: f(x) = [ x ] :Gráfico de la función: f(x) = [ x - 1 ] :Aplicaciones de la función parte entera. Las aplicaciones de esta función están orientadas principalmente al cobro dealgunos servicios (agua, luz, envío de encomiendas, etc) en donde los cobros serealizan por tramos.Ejemplo: En el gráfico de la figura, se muestran las tarifas de un estacionamiento porhoras. Un automovilista estaciona durante 4 días: el primer día 152 minutos, elsegundo día 180 minutos, el tercer día 90 minutos y el cuarto día 210 minutos.¿Cuánto canceló en total por los días que estacionó? 79
  • Solución : • El primer día estaciona 2,5 horas (152 minutos), lo que equivale a pagar 3 horas. Por lo que paga $600. • El segundo día estaciona 3 horas (180 minutos) y vuelve a pagar $600. • El tercer día estaciona 1,5 horas (90 minutos), lo que equivale a pagar 2 horas. Por lo que paga $400. • Y el cuarto día estaciona 3,5 horas (210 minutos), lo que equivale a pagar 4 horas. Por lo que paga $700. Finalmente sumamos los valores obtenidos : $600 $600 $400 +$700 $2.300 Respuesta: El automovilista paga $2.300 durante los cuatro días de estacionamiento. Unidad 11. Función Exponencial.Se llaman funciones exponenciales a las funciones de la forma : f(x) = axdonde la base de la potencia "a" es constante (un número) y el exponente la variablex. Con a > 0.Algunas propiedades de la función exponencial. • Es continua. • Los puntos (0, 1) y (1, a) pertenecen a la gráfica. • Es inyectiva a ≠ 1(ninguna imagen tiene más de un original). • Creciente si a>1. • Decreciente si a<1. • Las curvas y=ax e y= (1/a)x son simétricas respecto del eje OY. 80
  • Dominio y Recorrido de la función exponencial. El dominio de la función exponencial está formada por el conjunto de losnúmeros reales y su recorrido está representado por el conjunto de los númerospositivos.Dom f = R,Rec f = R+Grafica de la función exponencial.Aplicaciones de la función exponencial.Fenómenos con crecimiento exponencial 1. El número de células de un feto mientras se desarrolla en el útero materno. 2. En una economía sin trastornos, los precios crecen exponencialmente, donde la tasa coincide con el índice de inflación. 3. El número de contraseñas posibles con n dígitos crece exponencialmente con n. 4. El número de operaciones cálculos necesarios para resolver un problema NP- completo crece exponencialmente con el tamaño de la entrada, representable o codificable mediante un número entero. 5. El número de bacterias que se reproducen por mitosis. 6. El número de individuos en poblaciones de ecosistemas cuando carecen de predador .En cuanto a ejercicios de aplicación sólo veremos dos casos : 81
  • 1) Crecimientos poblacionales bacterianos. El término crecimiento exponencial se aplica generalmente a una magnitudM tal que su variación en el tiempo es proporcional a su valor, lo cual implica que crecemuy rápidamente en el tiempo.El término crecimiento exponencial se refiere al crecimiento de una funciónexponencial de la forma y = ax. Se puede ilustrar el crecimiento exponencial tomandoen la última ecuación a = 2 y x un valor entero. Por ejemplo si x = 4, y es y =2x2x2x2 = 16. Si x = 10 entonces y = 1024. Y así sucesivamente.Ejemplo : Algunos tipos de bacterias se reproducen por "mitosis", dividiéndose la célula endos cada espacios de tiempo muy pequeños, en algunos casos cada 15 minutos.¿Cuántas bacterias se producen en estos casos, a partir de una, en un día?Tiempo en minutos: 15, 30, 45, 60, ...Número de bacterias: 2... 4... 8... 16..... 2x .,Siendo x los intervalos de 15 minutos:..24 = 16 en una hora, 28 = 256 en doshoras,... 24• 4 962 =2 = 7,9 • 1028. ¡en un día!.2) Interés compuesto. Interés compuesto es el que se obtiene cuando al capital se le sumanperiódicamente (en general, los periodos son anuales) los intereses producidos. Así, alfinal de cada periodo, el capital que se tiene es el capital anterior más los interesesproducidos por ese capital en dicho periodo. Cf = Ci • (1+ i )n 100Cf: Capital final,Ci: Capital inicial (a depositar),i: porcentaje de interés,n: tiempo. Aunque la fórmula del interés compuesto se ha deducido para una tasa deinterés anual durante n años, todo sigue siendo válido si los periodos de conversiónson semestres, trimestres, días, etc., sin más que convertir éstos a años.Gráfica del interés compuesto : 82
  • Ejemplo :Averiguar en qué se convierte un capital de $1.200.000 al cabo de 5 años, y a unatasa de interés compuesto anual del 8%.Solución:Aplicando la fórmula Cf = Ci (1 + i )n 100? = Ci ( 1 + i : 100 )nCi =1.2000.000; n = 5; i = 8Ci =1.2000.000 ( 1 + 8/100)5Ci =1.2000.000 ( 1 + 0,08)5Ci =1.2000.000 ( 1,0,08)5Ci =1.2000.000 · 1,4693280Ci = 1 763 193,6El capital final es de $1.763.194. Unidad 12. Función Logarítmica. En matemática, el logaritmo es una función matemática inversa de la funciónexponencial. El logaritmo de un número (x) es el exponente (n) al que hay que elevar labase dada (b), para que nos de dicho número (x). logb x = n x = bnLa base tiene que ser positiva y distinta de 1.Se define como : f(x) = logb x • La función logarítmica solo está definida sobre los números positivos. • Los números negativos y el cero no tienen logaritmo • La función logarítmica de base a es la recíproca de la función exponencial de base a. • Las funciones logarítmicas más usuales son la de base 10 y la de base e = 2’718281...Propiedades de las funciones logarítmicas• Dominio:• Recorrido:• Los puntos (1, 0) y (a, 1) pertenecen a la gráfica.• Es inyectiva (ninguna imagen tiene más de un original).• Creciente si a>1. 83
  • • Decreciente si a<1.Gráfica de la función logarítmica.f(x) = logb xLas gráfica de la función logarítmica es simétrica (respecto a labisectriz del 1er y 3er cuadrante) de la gráfica de la funciónexponencial, ya que son funciones reciprocas o inversas entre sí.Definición de logaritmo.Siendo a la base, x el número e y el logaritmo.El logaritmo es la búsqueda del exponente de una potencia. 84
  • Ejemplos :De la definición de logaritmo podemos deducir:No existe el logaritmo de un número con base negativa.No existe el logaritmo de un número negativo.No existe el logaritmo de cero.El logaritmo de 1 es cero.El logaritmo en base a de a es uno.El logaritmo en base a de una potencia en base a es igual alexponente.Propiedades de los logaritmos.1 El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.2 El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor.3 El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base.4 El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz.5 Cambio de base: 85
  • Logaritmos decimales: Son los que tienen base 10. Se representan por log (x).Logaritmos neperianos: Son los que tienen base e. Se representan por ln (x) o L(x).Aplicaciones de los logaritmos. Como la función logarítmica es la inversa de la funciónexponencial, las aplicaciones de ambas funciones están muy ligadas.En general vamos a utilizar la función logaritmo cuando necesitemosencontrar el exponente de una potencia en algún problema deaplicación, o bien que la relación entre las dos variables sea de tipologarítmica.Ejemplos :1. Cierta investigación oceanográfica realizada en el mar Caribe, relacionó la edad de las colonias de coral con su altura, a través de la función: E = -60 log ( ); donde:E = edad de la colonia de coral, en años.h = altura de la colonia, en cm.Según el modelo, ¿cuántos años tendría una formación de coral de 108 cm. de altura? :Solución :Nos están pidiendo calcular la componente “y” (edad) de un punto en dondenos entregan la componente “x” (h =108 cms).Primero reemplazamos el valor de “x” entregado en nuestra ecuación : E = -60 log (1 – 108/120) E = -60 log (1 – 0,9) E = -60 log (0,1)log (0,1) = -1 ⇒ E = -60 • -1 E = 60Respuesta :Una formación de coral de 108 cms. de altura tendría una edad de 60años.2. En un cultivo de laboratorio la población de un determinado tipo de bacteria se duplica de una generación a otra. 86
  • Si la población de bacterias responde a la función : P = P0 • 2nDonde :P : población en la generación “n”P0: población inicialn : número de generación Si se parte con una población de 10.000 bacterias, ¿cuántas generaciones debieran pasar para observar una población de un billón de bacterias?.Solución :10.000 bacterias = 104un billón de bacterias : 1.000.000.000.000 = 1012Reemplazamos los valores conocidos en nuestra ecuación : 1012 = 104 • 2ny despejamos nuestra incógnita (n) : 1012 = • 2n 104por propiedad de potencias → 108 = 2n /log (se aplica logaritmo en ambos lados de la ecuación) log 108 = log 2npor propiedad de logaritmos → 8 log 10 = n log2 8 = n log 2 n = 8 log 2log 2 ≈ 0,3010 ⇒ n = 26,57 n ≈ 27Respuesta :Debieran pasar aproximadamente 27 generaciones para observar unapoblación de un billón de bacterias. 3. Una persona deposita en un banco $2.000.000 al 12% de interés anual, ¿encuánto tiempo su capital ascenderá a $2.508.000 si nunca retira el dinero ganado porel interés?.Solución :Si esta persona nunca retira el dinero ganado por el interés, entoncesestamos hablando de interés compuesto.Recordemos que su fórmula es : Cf = Ci • (1+ i )n 100Cf: Capital final,Ci: Capital inicial (a depositar),i: porcentaje de interés,n: tiempo.Debemos, entonces, reemplazar los valores conocidos en nuestra ecuaciónpara despejar el valor de ”n” : 2.508.000 = 2.000.000 • (1+ 12 )n 100 2.508.000= 2.000.000 • (1+ 0,12)n 2.508.000= 2.000.000 • (1,12)n 2.508.000= (1,12)n 2.000.000 87
  • 1,2544= (1,12)n / log (aplicamos logaritmo a ambos lados de la ecuación) log 1,2544= log 1,12npor propiedad de logaritmos : log 1,2544= n log 1,12 n= log 1,2544 log 1,12log1,2544 ≈ 0,0984 ylog1,12 ≈ 0,0492 ⇒ n = 2Respuesta :Al cabo de dos años se obtendrá un capital de $2.508.000. Unidad 13. Geometría.13.1 Geometría Métrica.Elementos básicos de geometría.Conceptos: No se definen.Definiciones: Especificación clara y explícita de las características más importantes de nuevos conceptos.Axiomas: Proposiciones evidentemente lógicas, que son verdaderas y no se demuestran.Teoremas: Proposición que es demostrada por los axiomas.Segmento: Porción de recta comprendida entre dos de sus puntos, llamados extremos.Rectas paralelas: Son aquellas que pertenecen al mismo plano y no tienen ningún punto en común.Rectas secantes: Son rectas que se cortan y por tanto, dividen al plano en cuatro regiones.Un caso particular de rectas secantes son las perpendiculares, que dividen al plano encuatro regiones iguales.Mediatriz de un segmento: es la recta perpendicular trazada en su punto medio. 88
  • Cualquier punto de la mediatriz equidista de los extremos del segmento.Ángulo. Es una región del plano limitada por dos semirrectas, que se llaman lados, yque tienen un punto común, denominado vértice.Tipos de ángulos. • Ángulo completo: Mide 360° • Ángulo extendido: Mide 180° • Ángulo recto: Mide 90° • Ángulo obtuso: Mide más de 90° y menos de 180° • Ángulo agudo: Mide menos de 90° • Ángulos complementarios: La suma de ellos mide 90° • Ángulos suplementarios: La suma de ellos mide 180° • Ángulos adyacentes: Poseen el vértice y un lado en común. • Ángulos opuestos por el vértice: Poseen el vértice en común y se ubican a lados opuestos de este. • Ángulos consecutivos: Su vértice es común y su suma es igual a 360°Sistemas de medición angular. La unidad de medición de los ángulos es el grado, siendo la más común el gradosexagesimal, en el cual la circunferencia tiene 360°. Además existen los sistemas: centesimal, en el cual la circunferencia contiene . Y radianes, en el cual la circunferencia contieneLas subunidades del grado son los minutos (’) y los segundos (”), donde:1°= 60’; 1’ = 60” y 1°= 3.600” (sistema sexagesimal). 89
  • Ángulos entre paralelas y una transversal.En la figura 1, sean L1 // L2 y L3 transversal a estas rectas. Se definen los siguientesángulos:Ángulos correspondientes: Son aquellos que se encuentran al mismo lado de las paralelas y al mismo lado de la transversal. Estos ángulos miden lo mismo.En la figura, son correspondientes: < 1 = < 5; < 2 = < 6; < 3 = < 7 y < 4 = < 8.Ángulos alternos: Son aquellos que se encuentran a distinto lado de la transversal y entre las paralelas o fuera de ellas y tienen igual medida.En la figura, son ángulos alternos internos: < 4 = < 6 y < 3 = < 5.En la figura, son ángulos alternos externos: < 1 = < 7 y < 2 = < 8.Ángulos opuestos por el vértice: Definidos anteriormente.En la figura, son ángulos opuestos por el vértice:< 1 = < 3; < 2 = < 4; < 5 = < 7 y < 2 = < 8.Bisectriz de un ángulo: es la semirrecta que divide al ángulo en dos ángulos iguales.Cualquier punto de la bisectriz equidista de los lados del ángulo.Los Polígonos.Los polígonos son figuras planas cerradas cuyos lados son segmentos de rectas.Línea poligonal: es una figura formada por varios segmentos unidos por sus extremos. 90
  • Cuando el extremo del último segmento coincide con el origen del primero, lalínea poligonal se llama cerrada, y en caso de que no coincidan, abierta.Polígono: es la región del plano limitada por una línea poligonal cerrada. Los polígonos más simples son los triángulos, que tienen tres lados, como elque aparece a continuación.Polígonos regulares e irregulares. Si un polígono tiene todos sus lados y ángulos de igual medida se llamapolígono regular. Si no cumple esta condición se llama polígono irregular. Una característica particular de los polígonos regulares es que siempre puedenser inscritos en una circunferencia.Los elementos de los polígonos son:Lados: Segmentos que limitan el polígono, AB, BC, CD, DA. 91
  • Perímetro: Suma de las longitudes de los lados.Vértices: Puntos donde se unen dos lados consecutivos, A, B, C, D. En todopolígono, el nº de lados y vértices coincide.Diagonales: Son los segmentos que unen vértices no consecutivos (AC y BD).Ángulos interiores: Son los ángulos formados por lados consecutivos.Ángulos exteriores: Son los ángulos formados por un lado y la prolongación de otroconsecutivo.Elementos de un polígono regular. Centro : Punto interior que equidista de cada vértice. Radio : Es el segmento que va del centro a cada vértice. Apotema : Distancia del centro al punto medio de un lado.Para un polígono regular el área está definida por : A=a•P 2Donde A : área, a : apotema y P : perímetro del polígono.Los Polígonos se clasifican en:a) Según sus ángulos internos :Cóncavos: Al menos un segmento que une un par de puntos de la región interior del polígono no está enteramente incluido en dicha región.Convexos: Todo segmento que una un par de puntos de la región interior del polígono, está enteramente incluido en él. 92
  • Los Polígonos se clasifican en:b) Según el número de lados • Triángulo • Cuadrilátero • Pentágono • Hexágono • Heptágono • Octógono • Eneágono • Decágonoc) Por su forma • Equilátero: lados iguales • Equiángulo: ángulos iguales • Regular: lados y ángulos iguales • Irregular: lados y ángulos desigualesPerímetro y área.Perímetro : Se denomina perímetro de una figura plana a la suma de las longitudes de sus lados. De este modo, el perímetro de un triángulo cuyos lados miden 5 cm, 6 cm y 10 cm es de 5+6+10=21 cm. Para calcular el perímetro es necesario conocer la longitud de todos los lados dela figura. Se acostumbra a representar el perímetro de una figura con la letra P.Área : El área de una figura es la porción del plano que cubre dicha figua. Para medir las superficies se utiliza como unidad de medida el cuadrado cuyo lado es de longitud 1. Las áreas se miden en centímetros cuadrados, decímetros cuadrados y metros cuadrados o, simplemente, en unidades de área cuando se quiera que éstas sean otras, como, por ejemplo, la cuadrícula de un papel cuadriculado. Se acostumbra a representar el área de una figura con la letra A.Polígono inscrito y circunscrito. Un polígono se halla inscrito en una circunferencia cuando todos susvértices están contenidos el ella. Se dice entonces que la circunferenciaestá circunscrita al polígono. Un polígono se halla circunscrito a una circunferencia cuando todos suslados son tangentes (tocan en un solo punto) a la misma. Se dice entoncesque la circunferencia está inscrita en el polígono. 93
  • Cuadrilátero inscrito en la circunferencia o circunferencia circunscrita alcuadriláteroPentágono circunscrito a una circunferencia o circunferencia inscrita en el pentágono.Propiedades de los polígonos.A) La suma de los ángulos interiores de un polígono de “n” lados es:B) La suma de los ángulos exteriores de cualquier polígono es 360°.C) El número de diagonales de un polígono es:Triángulos.Un triángulo es un polígono de tres lados.Clasificación de los triángulos.Según sus ángulos: • Acutángulo: Tiene sus tres ángulos interiores agudos. • Rectángulo: Tiene un ángulo interior recto. Los lados que forman el ángulo recto se llaman catetos y el tercero hipotenusa. • Obtusángulo: Tiene un ángulo interior obtuso.Según sus lados: • Equilátero: Tiene todos sus lados iguales. • Isósceles: Tiene dos lados iguales. • Escaleno: Tiene sus tres lados distintos. Ángulos interiores de un triángulo. • La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180° B+ E+ F = 180° 94
  • Ángulos exteriores de un triángulo.El ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los ángulos interioresadyacentes a él. B+ F= D G= B+ E A = 180° - ( B + C) B = 180° - ( A + C) C = 180° - ( B + C)Elementos secundarios en un triángulo.Simetrales: Son las rectas perpendiculares trazadas en los puntos medios de los lados. Las tres mediatrices de un triángulo se cortan en un punto denominadocircuncentro, que equidista de los vértices del triángulo y por lo tanto, es el centro dela circunferencia circunscrita al mismo.Bisectrices: Son las semirrectas que dividen los ángulos interiores del triángulo en dos partes iguales. Las tres bisectrices de un triángulo se cortan en un punto llamado incentro,queequidista de los lados del triángulo y por lo tanto, es el centro de la circunferenciainscrita en el triángulo. 95
  • Alturas: Son los segmentos perpendiculares a un lado o a su prolongación, trazados desde el vértice opuesto. Las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto llamado ortocentro.Transversal de gravedad: Son los segmentos que unen un vértice con el punto medio del lado opuesto. Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto llamado baricentro o centro de gravedad.Cuadriláteros. Un cuadrilátero es un polígono que tiene cuatro lados. Los cuadriláteros tienendistintas formas pero todos ellos tienen cuatro vértices y dos diagonales. En todos loscuadriláteros la suma de los ángulos interiores es igual a 360º. Otros nombres usadospara referirse a este polígono son tetrágono y cuadrángulo. 96
  • Clasificación de los cuadriláteros.Circunferencia y Círculo.Circunferencia : Es el lugar geométrico de todos los puntos que conforman esta figura y que equidistan de un punto llamado centro de la circunferencia.Círculo : en geometría, es el conjunto de los puntos de un plano que se encuentran contenidos en una circunferencia. El contorno de esta figura plana es la circunferencia. 97
  • Como se puede observar, la circunferencia es una línea y por ello, solo tienelongitud, mientras que el círculo es una superficie y por tanto, tiene área.La circunferencia y el círculo se representan por el símbolo ; la identificación de unau otro se obtiene del contexto.Ángulos Notables.Ángulo del centro: Ángulo que tiene su vértice en el centro de lacircunferencia y sus lados son radios de ella.Ángulo inscrito: Ángulo que tiene su vértice en un punto de lacircunferencia y sus lados son secantes.Ángulo semiinscrito: Ángulo que tiene su vértice en la circunferencia ysus lados son una tangente y una secanteTeorema relativos a los Ángulos notables en la . 98
  • Elementos de una circunferencia.Diámetro : es el segmento que pasa por el centro y sus extremos son puntos de el. Es la máxima cuerda (segmento entre dos puntos de la circunferencia) que se encuentra dentro de una circunferencia, o en un círculo. El diámetro de una esfera es el segmento que pasando por el centro, tiene sus extremos en la superficie de esta.Radio : es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de otro punto llamado centro; o también se puede definir como: cualquier recta punto o segmento que va desde su centro a cualquier punto de la circunferencia. Un radio de una esfera es cualquier segmento que va desde su centro a su superficie. Por extensión, el radio de una circunferencia o esfera es la longitud de cualquiera de sus radios. El radio es la mitad del diámetro.Cuerda : es un segmento cuyos extremos son dos puntos de la circunferencia.Recta secante: aquella recta que toca dos puntos de la circunferencia.Recta tangente: aquella recta que toca un solo punto de la circunferencia. 99
  • Elementos de un círculo.Sector circular : es el área de la porción de círculo comprendida entre un arco de circunferencia y sus respectivos radios delimitadores. Para tener un sector circular hacen falta dos parámetros, a saber: el radio y el ángulo central en grados.Segmento circular : es la porción de círculo limitada por una cuerda y el arco correspondiente.Ángulos inscritos en la circunferencia.1) Todo ángulo inscrito (α) es igual a la mitad del ángulo del centro, (β) si el arco ( ) comprendido entre ellos es común.2) No importa la ubicación del ángulo inscrito. Todos son iguales si el arco es común. 3) Cuando el arco coincide con el diámetro de la circunferencia, el ángulo del centro AOB es 180°. Luego el ángulo inscrito es 90°. 100
  • Teorema : Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es un ángulo recto. 4) Si los arcos son iguales = los ángulos inscritos también:Área de un sector circular : α en grados sexagesimales α: ángulo del centroArco.Arco (a) : Representa una fracción del perímetro. 101
  • α en grados sexagesimales y α: ángulo del centroTabla resumen de áreas y volúmenes de las principales figuras geométricas. cuadrado triángulo A = a2 A=B·h/2 rectángulo romboide A=B·h A=B·h rombo trapecio A=D·d/2 A = (B + b) · h / 2 círculo polígono regular A = π · R2, A = P · a / 2 (1) P=2·π·R corona circular sector circular A = π · (R2 − r2) A = π · R2 · n / 360 cubo cilindro A = 6 · a2 A = 2 · π · R · (h + R) V = a3 V = π · R2 · h ortoedro cono A = 2 · (a·b + a·c + b·c) A = π · R2 · (h + g) (2) V=a·b·c V = π · R2 · h / 3 prisma recto tronco de cono A = P · (h + a) A = π · [g·(r+R)+r2+R2] V = AB · h (3) V = π · h · (R2+r2+R·r) / 3 102
  • tetraedro regular esfera A = a2 · √3 A = 4 · π · R2 V = a2 · √2 / 12 V = 4 · π · R3 / 3 octaedro regular huso. cuña esférica A = 2 · a2 · √3 A = 4 · π ·R2 · n / 360 V = a3 · √2 / 3 V = VEsf · n / 360 pirámide recta casquete esférico A = P · (a + a) / 2 A=2·π·R ·h V = AB · h / 3 V = π · h2 · (3·R − h) / 3 tronco de pirámide zona esférica A=½(P+P)·a+AB+AB A=2·π·R·h V = (AB+AB+√AB·√AB) · h/3 V = π·h·(h2+3·r2+3·r2) / 6 (1) P es el perímetro (suma de la longitud de los lados) ; a es la apotema (2) g es la generatriz ; √ es la raíz cuadrada del número (3) AB es el área de la base ; h es la altura ; R y r son los radios ;Relaciones en figuras y cuerpos geométricos.Áreas Sombreadas (Achuradas). Corresponden a una forma de aplicación del cálculo de áreas de diferentesfiguras relacionadas entre sí, generando intersecciones y uniones entre ellas. Paradistinguir la parte que se debe calcular, se procede a sombrearla, es decir, se pinta oraya imitando texturas. Luego, se identifican las figuras simples que componen lafigura más compleja, llevando la situación al cálculo de áreas de cuadrados,rectángulos, etc.Suma de áreas de figuras planas.Algunas veces, la parte achurada está formada por la unión de áreas de figuras, por lotanto, hay que descomponerla, luego hacer el cálculo de cada parte, y finalmente,sumarlas para encontrar el área total.EjemploEn la figura, ABCD cuadrado de lado 4 cm. y arco DC semicírculo de centro O.Esta figura se descompone en medio círculo y un cuadrado.Primero, tendremos que calcular el área del círculo.Como AB = 4 cm., entonces, OC, radio del semicírculo, mide 2 cm. y su área es r2 / 2=2 . 103
  • Determinemos ahora el área del cuadrado, á = a2 = 42 = 16 cm2.Sumando ambas áreas nos dará el área total sombreada, o sea 2 + 16 = 2( + 8)Resta de áreas de figuras planas. Este tipo de ejercicios es el más común y corresponde a aquellos quepresentan unas figuras dentro de otras. En estos casos, la solución se encuentrabuscando la diferencia entre las figuras que forman el sector sombreado. EjemploEn la figura, ABCD rectángulo de lado AB = 12 cm. con semicírculo de diámetro ABinscrito.El área del rectángulo es AB · BC; BC mide lo mismo que el radio de lasemicircunferencia, por lo tanto el producto es 12 cm. · 6 cm. = 72 cm2.Ahora calculemos el área del semicírculo, o sea r2 / 2, lo cual resulta 18 cm2.El área sombreada queda determinada por la resta entre el área mayor, que es la delrectángulo, y el área menor, que es la del semicírculo, o sea 72 - 18 = 18(4 - ) cm2.Relaciones en cuerpos geométricos. Así como en el caso de las áreas de figuras planas, es posible estudiar larelación entre cuerpos geométricos, que generan uniones o intersecciones, como porejemplo, una esfera inscrita en un cubo. La estrategia de resolución de problemas deesta índole, también es la misma: Esquematizar y reducir los cuerpos a cuerpossimples, tales como cubos, cilindros, esferas, etc.EjemploAl cubo de 10 cm. de arista de la figura, se le ha hecho una perforación de seccióncircular, perpendicular a una de sus caras, de 6 cm. de diámetro. Si la perforaciónatraviesa completamente el cubo, ¿Cuál es el volumen del cuerpo resultante?SoluciónEl volumen del cuerpo resultante es igual al volumen del cubo de arista 10, menos elvolumen de un cilindro de radio 3 cm. y altura 10 cm. , que es el volumen de laperforación. 104
  • El volumen del cubo es: Vcubo = 103 = 1.000 cm3.El volumen del cilindro es: Vcilindro = = 90 cm3.La diferencia es igual a V = 1.000 - 90 = 10 (100 - 9 ) cm3.Problema 1Hallar el área y perímetro de: ABCD cuadrado, AC = 8 cm.SoluciónComo AC = d (diagonal), se tiene que es igual a, , siendo a el lado.Luego:Entonces: Perímetro P= cm. Área A=Problema 2En la figura, AB diámetro de la circunferencia, AC = 8 cm., BC = 6 cm. Hallar área yperímetro de la circunferencia.Solución:Se debe primero, determinar el radio de la circunferencia. Para ello se tiene que eltriángulo inscrito en una semicircunferencia es rectángulo. Luego aplicando Pitágorasse tiene: 105
  • Luego, el radio de la circunferencia es 5, ya que AB es diámetro.Entonces se tienen los elementos para calcular el área y perímetro. A= cm. P= cm.Problema 3.En la figura, O es el centro de la semicircunferencia de radio 3, y ABCD es trapecio. Si , , 3 y la semicircunferencia es tangente a CD en P, calcularel área achurada.Solución:Como el radio de la semicircunferencia es 3, se tiene que FO = OG = 3. Entonces:AB=AF + FO + OG + GB= 1 + 3 + 3 + 2 = 9 cm.Como 3CD= AB, se tiene que CD = AB/3 = 9/3 = 3 cm.A su vez, la altura del trapecio es el radio de la circunferencia, es decir 3 cm.Finalmente el área del trapecio es: cm .13. 2 Transformaciones Isométricas. Las transformaciones geométricas son movimientos que se aplican a figurasgeométricas, produciendo cambios de posición, tamaños o formas. Dentro de estas, sedistinguen las transformaciones isométricas, movimientos que solo producen cambiosde posición, manteniendo su forma y tamaño. Traslación, rotación y reflexión son tres transformaciones isométricas que sepueden aplicar sobre figuras geométricas, obteniendo como resultado configuracionesmaravillosas y de múltiples aplicaciones. Es por ello, que tienen una estrecha relación con la expresión artística, apoyadaen la construcción geométrica. Las transformaciones isométricas adquieren granimportancia en el desarrollo del sentido espacial y el dominio de interesantespropiedades de las figuras geométricas.En términos generales, toda transformación isométrica corresponde a una funcióndefinida en el plano en sí mismo, en el cual, a cada punto de una figura le correspondeuno y solo un punto en la figura transformada.Traslación. 106
  • Es un movimiento que desliza o mueve una figura, reproduciendo su diseño ymanteniendo su forma, tamaño y posición. Una traslación mantiene sus lados de igualmedida y paralelos a los de la figura de origen.Elementos de una traslación. • Dirección: Puede ser vertical, horizontal u oblicua. • Sentido: Puede ser norte, sur, este, oeste, izquierda, derecha, arriba, abajo, etc. • Magnitud: Distancia que existe entre la posición inicial y final de cualquier punto de la figura que se desplaza. En la figura, F se traslada 5 cm. en dirección horizontal hacia la derecha y 3 cm. en dirección vertical hacia abajo, dando origen a la figura F’. En este caso, solo se ha especificado la traslación del punto B a B’, pero TODOS los puntos de la figura F han experimentado la misma transformación:Traslación en ejes de coordenadas. En la figura, el triángulo ABC, situado en un sistema coordenado, experimentauna traslación oblicua, generando vértices homólogos A’, B’ y C’.Vector de traslación. En la figura siguiente, los puntos A’, B’ y C’ son producto del trasladado de losrespectivos puntos de la figura F. Observamos que la coordenada de A es (3, 7) y que la de A’, su imagen, es (8, 4).Entonces, concluimos que el punto A se desplazó 5 unidades hacia la derecha y 3unidades hacia abajo. Es posible verificar que ocurre lo mismo con B y C, con respecto a B’ y C’ y,engeneral, con todos los puntos de la figura F. 107
  • Se dice, entonces, que el vector de traslación de la figura F es (5, -3), tambiénseñalado como 5i – 3j, que indica que cada punto de la figura original F se desplaza 5unidades a la derecha (por el signo positivo) y 3 unidades hacia abajo ( por el signonegativo).En general, un vector de traslación se denota por (x, y) = xi + yjResumen: una traslación en el plano cartesiano. • Toma como referencia un eje de coordenadas X, Y. • Los movimientos horizontales tendrán dirección en el eje de las X, y se denotarán con la letra i. • Los movimientos verticales tendrán dirección en el eje de las Y, y se denotarán con la letra j. • Los movimientos también suelen representarse mediante un vector de desplazamiento o de traslación (x, y) en donde x e y describen la magnitud del desplazamiento en los respectivos ejes.Construcción de una traslación.Para trasladar una figura, debemos considerar los siguientes pasos:Primer paso: Trazar una recta por uno de los vértices de la figura en la dirección deseada.Segundo paso: Trazar paralelas a la recta dibujada anteriormente, por cada uno de los vértices de la figura.Tercer paso: Se elige una distancia d cualquiera para trasladar la figura. Esa misma distancia se aplica en cada una de las paralelas dibujadas.Cuarto paso: Uniendo los puntos obtenidos, se obtiene la imagen de la figura inicial. 108
  • Rotaciones. Una rotación es un movimiento de giro de una figura en torno a un punto,denominado centro de rotación. Una rotación transforma la figura original,manteniendo su forma y tamaño pero cambiando su posición.La figura B se ha obtenido a partir de una rotación en el plano de la figura A.Esta rotación corresponde a giros sucesivos en 90° con centro en la punta del ala delave, tal como lo muestran las figuras siguientes:Elementos de una rotación.Magnitud del giro: Medida del ángulo determinado por un punto cualquiera de la figura original, el punto de rotación como vértice y el punto correspondiente en la transformación obtenida.Sentido de giro: Puede ser a la derecha, negativa u horario (en sentido de las manecillas del reloj), o a la izquierda, positiva o antihorario (en sentido contrario a las manecillas del reloj).Rotación en ejes de coordenadas. Como ya sostuvimos, una rotación o giro es una isometría en que todos lospuntos giran en un ángulo constante con respecto a un punto fijo. El punto fijo sedenomina centro de rotación y la cantidad de giro se denomina ángulo derotación. O sea, todos los puntos de la figura son rotados a través de círculosconcéntricos respecto de un origen O y describen los mismos arcos (en medidaangular) de estos círculos. 109
  • Giro positivo: Existe un giro positivo cuando se realiza en sentido contrario al movimiento de los punteros del reloj. También se denomina sentido antihorario. (+)Giro negativo: Se realiza en el mismo sentido de los punteros del reloj. También se denomina sentido horario. (-)Una rotación considera: • Un centro de rotación (P) que es un punto del plano elegido en forma convencional. • Medida del ángulo (a) es el giro en que se efectuará la rotación. • Sentido de la rotación, que puede ser positivo o negativo.Para designar una rotación se usa la simbología R (P; ), con con signo + o -, segúnsentido de giro.En la figura, el triángulo F, con vértices ABC, será girado en 90º en sentido antihoraio,con centro en el origen O,Obsérvese que cada punto de F tiene su homólogo en F’, ubicado en un arco decircunferencia de 90º con centro en O.Volúmenes a partir de rotación de figura planas. Supongamos, para iniciar, que un rectángulo ABCD, con lados paralelos al ejede coordenadas, realiza un giro de 360º con eje en su lado AD. En estas condiciones,genera un cilindro de radio AB y altura AD. 110
  • El volumen V del cilindro obtenido es V = , siendo el radio r = AB y la altura h = AD. De modo similar, un triángulo rectángulo ABC puede generar un cono cuandogira en torno de uno de sus catetos AC. El volumen V del cono obtenido es V = , siendo el radio basal r = AB y laaltura h = AC.Simetrías.Ejes de simetría. Un eje de simetría es una recta que divide una figura en 2 partes congruentes,siendo una la imagen especular de la otra. De ese modo, si pudiera doblarse la figurapor el eje de simetría, ambas partes coincidirían perfectamente.Eje de simetría vertical :Eje de simetría horizontal : 111
  • Simetría en letras del alfabeto : Ningún eje de 1 eje de simetría 1 eje de simetría 1 eje de simetría vertical y simetría vertical horizontal otro horizontalSimetría con respecto a un eje (simetría axial). Movimiento que conserva la forma y el tamaño de la figura, pero cambia suposición. Dos puntos simétricos, tienen igual distancia al eje de simetría, el segmentoque une ambos puntos es perpendicular al mismo eje.Simetría con respecto a un punto (simetría puntual). Para hallar la simetría con respecto a un punto se debe prolongar, en igualdistancia, la recta que une un punto de la figura con el punto de simetría.Sea el punto O, el punto de simetría, entoncesSimetría con respecto a ejes de coordenadas. • Las simetrías con ejes de coordenadas, como referencia, serán horizontales con respecto al eje X y verticales con respecto al eje Y • Si el eje de simetría de un punto P(x, y), es el eje X, tendrá siempre como punto simétrico a (x, -y). 112
  • • Si el eje de simetría de un punto P(x, y), es el eje Y, tendrá siempre como punto simétrico a (-x, y).EjemploLa figura, ABCD es simétrica con respecto al eje Y con la figura A’B’C’D’.La figura, ABCD es simétrica con respecto al eje X con la figura A’’B’’C’’D’’.Simetrías sucesivas. Dos simetrías sucesivas con respecto a ejes paralelos son equivalentes a unmovimiento de traslación. Dos simetrías sucesivas con respecto a ejes secantes son equivalentes a unmovimiento de rotación, cuya magnitud de rotación es el ángulo AOA’. Dos simetrías sucesivas con respecto aejes perpendiculares son equivalentes a una simetríacon respecto al punto de intersección de los ejes de simetría. 113
  • Teselaciones (Embaldosados). Se conoce con el nombre de teselación a una configuración geométrica obtenidapor el acoplamiento de una figura o pieza de base, que se repite invariablemente hastacubrir completamente un plano. Hay que tener claro que para embaldosar o teselar un plano con polígonos,éstos deben cubrir totalmente el plano sin superponerse, ni dejar espacios entre ellos,y que esto ocurre cuando a cada vértice del polígono concurren polígonos hasta formarun ángulo completo (360°). Además, debe recordar y aplicar la fórmula para calcular la medida de unángulo interior de un polígono regular, contenido que es estudiado en la EnseñanzaBásica: ángulo interior = 180º (n - 2) , con n el número de lados del polígono. n Las teselaciones han sido utilizadas en todo el mundo desde los tiempos másantiguos para recubrir suelos y paredes, e igualmente, como motivos decorativos demuebles, alfombras, tapices, vestuario, tal como lo muestran las figuras siguientes:Teselaciones a partir de figuras simplesTriángulosCuadradosHexágonosEl embaldosado con Transformaciones Isométricas. La simple observación y análisis de embaldosados nos permite comprobar queestos se construyen sobre la base de transformaciones isométricas, como en lossiguientes ejemplos:Embaldosado por traslación Embaldosado por rotación Embaldosado por reflexión Como es fácil de imaginar, la diversidad de las formas de las piezas teselanteses infinita. Los matemáticos y en particular los geómetras, se han interesadoespecialmente por las teselaciones poligonales; incluso las más sencillas de estasplantean problemas colosales. 114
  • Transformaciones isométricas y arte. También muchos artistas han utilizado teselaciones en su trabajo: M. C. Escheres, probablemente, el más famoso de todos ellos. El artista holandés se divirtióteselando el plano con figuras de intrincadas formas, que recuerdan pájaros, peces,animales, etc.Ejercicios :1. ¿Cuántos ejes de simetría tienen las siguientes figuras?1.1. Cuadrado1.2. Rectángulo1.3. Triángulo equilátero1.1. Un cuadrado tiene 4 ejes de simetría:1.2. Un rectángulo tiene dos ejes de simetría:1.3. Un triángulo equilátero tiene 3 ejes de simetría, que son sus alturas:2. Qué transformación isométrica se distingue en A’ respecto de A? 115
  • A’ es una reflexión de A, teniendo como referencia un eje vertical.3. ¿Qué transformación isométrica constituye la figura F’ respecto de F?F’ constituye una rotación de F, con un ángulo de giro de 90° en sentido antihorario.4. ¿Qué transformación isométrica está presente en la siguiente figura?Se trata de una rotación en 90º del motivo elemental:5. ¿Qué transformaciones isométricas se pueden distinguir en la siguiente obra deEscher? 116
  • En primer lugar, se distingue un grupo de 3 personajes con una rotación de 120º concentro en sus sombreros, grupo que es trasladado a diferentes partes del plano paraformar una teselación de impresionantes efectos.13.3 Semejanza y proporcionalidad.Antes de entrar en los contenidos vamos a definir dos conceptos :congruencia (≅) : Dos figuras son congruentes si al sobreponerse coinciden en todos sus puntos, es decir don iguales.semejanza (~) : Es cuando dos figuras poseen una misma forma y sus partes (ya sea ángulos o lados) guardan una misma proporción.Teorema de Thales. El filósofo y matemático griego Thales de Mileto fue uno de los siete sabios másgrandes de la antigüedad. El teorema de Tales, llamado así en su memoria, es una parte fundamental enel estudio de la semejanza. A él se debe una de las numerosas aplicaciones que tienela semejanza, que es la determinación de la distancia entre dos puntos inaccesiblesentre sí; para ello, se dice que calculó la altura de una de las pirámides de Egipto sinmedirla directamente, basándose en la longitud de la sombra de su bastón; así logrórealizar una brillante triangulación.El teorema de Thales afirma que: Si tres o más paralelas son cortadas por transversales, la razón entre lasmedidas de dos segmentos cualesquiera, cortados por una transversal, será igual a larazón de las medidas de los segmentos correspondientes de la otra, es decir, sonproporcionales. Al trazar el ángulo TOS y dividir la recta OT en tres segmentos, en donde cadadivisión se marca con los puntos P, Q y R, si se trazan paralelas que corten a OT y OSpor lo puntos P, Q y R, se originan los puntos U, V, W. 117
  • Las medidas de los segmentos correspondientes son proporcionales.Ejemplo:En la figura siguiente, el primer requisito es que, BD// EC; entonces, se cumple quelas medidas son proporcionales:1) 2) 3)Una de las proporcionalidades importantes es la que relaciona las paralelas:4) o bien 5)A partir del teorema de Thales, se puede enunciar el teorema fundamental desemejanza de triángulos.“Toda paralela a uno de los lados de un triángulo, divide a los otros dos en segmentosproporcionales, por lo que forman un triángulo semejante al primero.” Obsérvese el triángulo PQR. Al trazar la recta TS paralela al lado RP, se puededemostrar que:Por tener los lados proporcionales y los ángulos homólogos congruentes.RP // TSEl ángulo Q es común a los dos triángulosLos triángulos PQR y SQT tienen ángulos congruentes. 118
  • Además:Por el teorema de Thales .Para obtener la proporcionalidad entre los segmentos, se traza la recta VS, paralela aRQ.Pero en el paralelogramo STRV, RV = TS. Se puede sustituir:Así que los lados de los triángulos PQR y SQT son proporcionalesPor lo tanto:Porque sus ángulos correspondientes son congruentes y sus lados homólogosproporcionales.Ejercicios.1. En la figura siguiente AB // CD. Determine el valor de x.Se cumple:2. A las cuatro de la tarde de un día soleado, Rodrigo de 1,6 m de estatura, proyectauna sombra de 1,2 m. En ese mismo instante, la sombra de un árbol mide 6 m.Determine la altura del árbol. 119
  • Se cumple que:La altura del árbol es 8 m.Semejanza de triángulos. En geometría, existen casos en los que se presentan ciertas similitudes entrefiguras; aquí los conceptos de congruencia o semejanza se establecen cuando lasfiguras son de la misma forma y tienen igual o diferente tamaño, respectivamente. En la congruencia, los lados y los ángulos tienen la misma medida. En lasemejanza, las dos figuras tienen la misma forma, aunque no tengan necesariamentela misma medida o tamaño; sus ángulos correspondientes u homólogos deben sercongruentes y los segmentos correspondientes o lados homólogos deben guardar entresí una relación proporcional.¿Cuándo se puede afirmar que dos triángulos son semejantes? Para contestar estapregunta es necesario que se cumplan las condiciones que se analizarán acontinuación:Obsérvense los siguientes triángulos: ¿serán semejantes?Si se toma con un transportador la medida del ángulo M, se puede ver que escongruente con el ángulo P; de la misma forma, el ángulo N es igual a Q, y R a O, porlo que se puede establecer que:<M = <P = 60°;<N = <Q = 40°;<O = R = 80°Por otra parte, las medidas - en milímetros- de los lados opuestos a estos ángulostienen una razón o constante de semejanza, esto es, el cociente de los lados opuestosa ángulos iguales es constante. 120
  • Gracias a los datos obtenidos puede afirmarse que los triángulos MNO y PQR sonsemejantes. El símbolo ~ indica semejanza entre dos figuras, por lo que se puedenrepresentar como:Definición:Dos triángulos son semejantes si sus ángulos son iguales, uno a uno, respectivamentey los lados opuestos a dichos ángulos son proporcionales.Criterios de semejanza de triángulosPara determinar la semejanza entre dos triángulos existen tres criterios, que son lossiguientes: • Primer Criterio: Ángulo – Ángulo (AA) Dos triángulos son semejantes si tienen dos de sus ángulos respectivamente iguales. • Segundo Criterio: Lado - Ángulo- Lado (LAL) Dos triángulos son semejantes si dos de sus lados son proporcionales respectivamente y el ángulo que forman es congruente. • Tercer Criterio: Lado - Lado - Lado (LLL) Dos triángulos son semejantes si sus tres lados son respectivamente proporcionales. 121
  • Proporcionalidad en la circunferencia.Teorema de las cuerdas. Si dos cuerdas se intersectan en un punto P, al interior de un círculo, elproducto de los segmentos determinados en una de las cuerdas es igual al producto delos segmentos determinados en la otra. PA · PC = PB · PDTambién se conoce como potencia de un punto interno a la circunferencia.Teorema de las secantes. Si por un punto exterior a una circunferencia se trazan dos secantes, elproducto de la medida total de una de las secantes por la medida de su segmentoexterior es igual al producto de la medida de la otra secante por el segmento exteriorrespectivo. PB · PA = PD · PC.También se conoce como potencia de un punto externo a la circunferencia.Teorema de la tangente. Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan una secante y unatangente, el cuadrado de la medida de la tangente es igual al producto de la medidatotal de la secante por la medida de su segmento exterior. PC2 = PB · PATeorema de euclides. "Al trazar la altura desde el ángulo recto de un triángulo rectángulo, los dosnuevos triángulos son semejantes entre sí, y a la vez son semejantes al triángulorectángulo original". 122
  • 1) En un triángulo rectángulo, la altura correspondiente a la hipotenusa es media proporcional entre los segmentos de esta última.Sea AD = q y DB = p CD = h, entonces:2). Cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella. AC = b y BC = aDe cada una de estas igualdades, se tiene:Volviendo a la relación inicial de Euclides, se tiene: =luego al extraer raíz, se tiene:Ejemplo.En un ABC rectángulo en C, la proyección del cateto “a” mide 12 cm. más que laproyección del cateto “b” sobre la hipotenusa. ¿Cuál es la altura hc , si mide el dobleque la menor de las proyecciones de los catetos?:Sea AD=q y DB=p CD=h BC=a AC=a AB=cInterpretando el enunciado, se tiene p=12+qA su vez, h=2qEl teorema de Euclides nos dice que: 123
  • Donde q=0, lo que no puede ser, o 3q – 12 = 0Q=4Luego, h = 2q = 8 cm.Teorema de Pitágoras. El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, elcuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es iguala la suma de los cuadrados de los dos catetos (los dos lados menores del triángulorectángulo: los que conforman el ángulo recto). Si un triángulo rectángulo tienecatetos de longitudes y , y la medida de la hipotenusa es , se establece que:13.4 Trigonometría. La Trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relacionesentre los lados y los ángulos de triángulos, las propiedades y aplicaciones de lasfunciones trigonométricas de ángulos. Las dos ramas fundamentales de la trigonometría son la trigonometría plana,que se ocupa de figuras contenidas en un plano, y la trigonometría esférica, que seocupa de triángulos que forman parte de la superficie de una esfera.Trigonometría En El Triángulo Rectángulo.Razones trigonométricas básicas para el ángulo :Consideremos el triángulo ABC de la figura, rectángulo en C. 124
  • Sabemos que en el triángulo rectángulo se cumple el teorema de Pitágoras. Entonces:De esta igualdad se tiene que:En la figura, respecto del ángulo , se definen las siguientes razones trigonométricasfundamentales:Seno del ángulo :Coseno del ángulo :Tangente del ánguloSea, en la figura, ABC triángulo rectángulo en B. Con las medidas dadas, calcularemoslas razones trigonométricas fundamentales para el ángulo :1º: Aplicando el teorema de Pitágoras, calculamos el lado BC:2º: Aplicando la definición, calculamos seno :3º: Aplicando la definición, calculamos coseno : 125
  • 4º: Aplicando la definición, calculamos tangente :Razones trigonométricas recíprocas para el ángulo.Consideremos el triángulo ABC de la figura, rectángulo en C.Se definen las siguientes razones trigonométricas recíprocas, llamadas también cofunciones:Cosecante del ángulo :Secante del ángulo :Cotangente del ángulo :Observaciones acerca de las funciones trigonométricas fundamentales.Observación 1: las tres primeras funciones (seno, coseno y tangente) se llamanprincipales y las tres restantes (cosecante, secante y cotangente) son sus recíprocas.Es decir:De donde:Observación 2: Si se cumplen las siguientes igualdades: 126
  • Razones Trigonométricas de Ángulos Especiales. Para algunos casos, es importante conocer los valores de las razonestrigonométricas de algunos ángulos que son muy comunes en su utilización. Entreellos, destacan los de 30º, 45º y 60º.Razones trigonométricas de 45°.Para determinar el valor de las razones trigonométricas de 45°, se utiliza un triángulorectángulo isósceles.En el triángulo de la figura:• AC = AB = a• = 45°• BC = a , calculado por el teorema de Pitágoras.Entonces, aplicando las definiciones correspondientes:sen = . Simplificando a y racionalizando: sencos = . Simplificando a y racionalizando: cosSe observa que sen 45° = cos 45° =tg = =1Razones trigonométricas 30° y 60° Los valores para 30º y 60º pueden ser determinados a través de un triánguloequilátero, al cual se le traza una de sus alturas para formar un triángulo rectángulo. 127
  • En la figura:• ABC triángulo equilátero de lado a.• h es altura del triángulo equilátero ABC, que es igual a h = , que es posiblecalcular aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo ADC.• Ángulo BAC = 60° y ángulo ACD = 30°.Entonces, del triángulo ADC, rectángulo en D, es posible calcular las razonestrigonométricas:sen 30° = =cos 30° = =tg 30° = = =Para el ángulo de 60°, los respectivos cálculos son:sen 60° = =cos 60° = =tg 60° = =Obsérvese que se verifica que:sen 30° = cos 60°cos 30° = sen 60°etc.Resumen de razones trigonométricas de ángulos especiales. Radián Ángulo sen cos tan 128
  • Identidades Trigonométricas.Son igualdades que se cumplen para un ángulo cualquiera.El listado de identidades fundamentales es:Ejemplo:Si , entonces es igual a:Solución:Aplicando la identidad fundamental: 129
  • Aplicaciones de la Trigonometría. Desde tiempos inmemoriales, la trigonometría ha tenido importantesaplicaciones. En este punto, veremos las más básicas.Resolución de triángulos rectángulos.Resolver un triángulo implica determinar el valor de sus seis componentes: tresángulos y tres lados.Procedemos de la siguiente forma:Conocidos un lado y un ánguloSi se conoce uno de los ángulos agudos, y uno de los lados, podemos determinar elotro ángulo agudo como el complemento del ángulo conocido (ambos suman 90°). Ellargo de los otros dos lados se determina mediante ecuaciones que involucran lasrazones trigonométricas apropiadasEjemplo:En el triángulo de la figura, rectángulo en C, calcule lado x, si cos 28° = 0,883.Solución:En la figura, se conoce la hipotenusa (50) y se pide calcular x, que es el catetoadyacente al ángulode 28°.La razón trigonométrica que relaciona cateto adyacente e hipotenusa es el coseno.Aplicando la definición de coseno:cos 28° =Despejando x:x = 50 cos 28°x = 50 0,883x = 44,15 cm.Conocidos dos lados Si se conoce el largo de dos lados, el tercero se determina usando el teoremade Pitágoras. Los dos ángulos agudos se determinan mediante ecuaciones queinvolucran las funciones trigonométricas apropiadas. 130
  • Salvo algunos casos en que las tangentes de los ángulos son conocidas (30°,45°, 60°), la mayoría de las veces no es posible determinar el ángulo a partir del valorde su tangente (o de otra razón trigonométrica), sino a través de calculadora científicao programas computacionales.En este caso, si tg = 1,875, usando calculadora, el valor de = 61,9°aproximadamente.Ángulos de elevación y de depresión. Son aquellos formados por la horizontal considerada a nivel del ojo delobservador y la línea de mira, según el objeto observado esté por sobre o bajo estaúltima.Ejemplo:Un avión despega del aeropuerto con un ángulo de elevación de 30º, como muestra lafigura. Si, desde que despega, sigue una línea recta, ¿A qué distancia (d) se encuentraeste desde el punto de despegue hasta que alcanza una altura de 1.500 metros? 131
  • Solución:Respecto del ángulo de 30°, se conoce el cateto opuesto (1.500 m) y se debe calcularla hipotenusa (d).La razón trigonométrica que relaciona ambas magnitudes es el seno. Entonces:Pero sen 30° = 1/2. Entonces:La distancia del avión a esa altura, desde el punto de despegue es 3.000 metros. Unidad 14. Probabilidades y Estadística.14.1 Probabilidades.Co nc ep to s Bá sic o s.Expe r ime nto ale ator io : Es un fenómeno de cualquier tipo, en cuyos resultados interviene el azar; seconocen todos los posibles resultados de un experimento, pero no se puede predecircuál de ellos se producirá específicamente. Por lo tanto, un experimento aleatorio es un experimento posible de reproducirtodas las veces que se desee, pero sus resultados no se pueden predecir. Por ejemplo,en el lanzamiento de un dado para ver qué número resulta, se puede determinar elconjunto de resultados posibles (1, 2, 3, 4, 5, 6), pero no es posible predecir ningunode ellos.Espacio muestral : Es el conjunto de todos los resultados posibles en un experimento aleatorio. Serepresenta por .Ejemplo: 1. Experimento E = Lanzamiento de un dadoEspacio muestral = {1, 2, 3, 4, 5, 6}2. Experimento E= Lanzamiento de dos monedasEspacio muestral ={cc, cs, sc, ss} cc(cara-cara) cs(cara sello) sc (sello cara) ss(sello sello). 132
  • Suce so o e ve nto : Es cualquier subconjunto del espacio muestral . Generalmente, se representamediante las primeras letras mayúsculas: A, B, C, etc.Ejemplo:Experimento = Lanzamiento de un dado.Espacio muestral = {1, 2, 3, 4, 5, 6}Suceso A = Se obtiene número par.A = {2, 4, 6}.Var iable ale ato r ia : Es aquella que asocia cada elemento del espacio muestral , con un númeroreal. Se representa mediante las últimas letras del abecedario: X, Y, Z.Ejemplo:X = Nº de ases ( es decir el uno) que resultan al lanzar 5 veces un dado.X = 0, 1, 2, 3, 4, 5.Tip o s d e Suc eso s.Suce so s simple s y co mpue sto s :Sucesos simples :Cuando un evento puede ocurrir de una sola forma.Sucesos compuestos: Cuando un evento puede ocurrir de diversas formas.Un suceso compuesto, a su vez puede dividirse en varios eventos simples.Ejemplo:Lanzar un dado y observar si cae un número parSuceso compuesto: {2, 4, 6}.Sucesos simples: {2}, {4}, {6}.Suce so se gur o :Es aquel que siempre se verifica como resultado de un experimento aleatorio.Ejemplo:A = Obtener un número entero del 1 al 6 al lanzar un dado normal.A es un suceso seguro.Suce so impo sible :Es aquel que nunca se verifica como resultado de un experimento aleatorio.Ejemplo:A = Obtener un número mayor que 6 al lanzar un dado normal.A es un suceso imposible.Suce so co mple me ntar io o co ntr ar io :Dos sucesos son contrarios si uno es la negación lógica del otro.Ejemplo:A = Obtener Nº6 al lanzar un dado.B = No obtener Nº6 al lanzar un dado.Ay B son sucesos contrarios. Suelen representarse por A y A’, respectivamente. 133
  • Suce so s mutuame nte excluye nte s : Dos o más sucesos son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir en formasimultánea.Ejemplo:A = Se obtiene Nº3 al lanzar un dado.B = Se obtiene Nº4 al lanzar un dado.A y B son sucesos mutuamente excluyentes. No pueden ocurrir ambos a la vez.Suce so s inde pe ndie nte s : Dos o más sucesos son independientes si la ocurrencia de uno de ellos no afectala probabilidad de ocurrencia del otro.Ejemplo:A = Se obtiene Nº3 al lanzar un dado.B = Se obtiene sello al lanzar una moneda.A y B son sucesos independientes.Suce so s co ndicio nale s : Dos sucesos A y B son condicionales si la probabilidad de ocurrencia de unsuceso B está supeditada a la ocurrencia de un suceso anterior A.Ejemplo :Desde un grupo de 7 personas, hombres y mujeres, se selecciona a dos, uno a uno,sin reposición. Si interesa el género (sexo) del seleccionado, la segunda extracciónestá condicionada al resultado de la primera extracción. En efecto, si la primera resultamujer, para la segunda extracción hay una persona menos en el grupo y una mujermenos y si el primero resultó hombre, hay una persona menos en el grupo y la mismacantidad de mujeres.M1 = El primer seleccionado resulta mujer.M2 = El segundo seleccionado resulta mujer.M1 y M2 son sucesos condicionales.La probabilidad de que ocurra B, dado que ocurre A se escribe: P(B/A).Pro b a b ilid a d d e Suc eso s.Pro babi lida d de L aplace : La probabilidad de que un suceso A ocurra es la razón entre el número de casosfavorables al suceso A y el número total de casos posibles. Numéricamente puedeexpresarse como fracción, como decimal o como tanto por ciento.Enfo que de la pr o babili dad a pr io r i :Consiste en determinar la probabilidad de un suceso que aún no ha sucedido.Ejemplo 1: 134
  • 1 ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número impar al lanzar una vez un dadonormal?Casos favorables: 3.Casos totales: 6.Entonces, P(Nº impar) = .Ejemplo 2:¿Cuál es la probabilidad de obtener siete puntos al lanzar dos dados?Espacio muestral: Las combinaciones posibles son:(1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)(2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)(3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)(4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)(5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)(6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)Casos favorables: 6 casos suman 7Casos totales: 36Entonces P(siete puntos) =Enfo que de la pr o babili dad e mpír ica :Consiste en determinar la probabilidad de un suceso con los datos históricos de casossucedidos.Ejemplo:Se han lanzado dos monedas 25 veces, registrando los siguientes resultados:Suceso Nº de observaciones Cara – Cara 4 Sello – Cara 7 Cara – Sello 8 Sello – Sello 6 Total 25¿Cuál es la probabilidad de obtener dos sellos?Casos favorables: 6Casos totales: 25Entonces: P(Sello-Sello) = = 0,24. 135
  • Á lg eb ra d e Suc eso s.SI A y B son sucesos en el espacio muestral . Entonces:Suceso Significado A Ocurre el suceso A. A’ No ocurre A. (A o B) Ocurre A o B. (A y B) Ocurre A y B, ambos a la vez. (A – B) Ocurre A y no ocurre B.EjemploInteresa estudiar la actividad de los jóvenes egresados de Educación Media, en cuantoa su estudio y trabajo. Se definen los sucesos E y T como:E = Estudia.T = Trabaja.Entonces, los sucesos:(T – E) = Trabaja, pero no estudia.(E y T) = Trabaja y estudia a la vez.T’ = No trabaja.EoT = Estudia o trabaja.Ax io m a s y Teo r em a s d e la Pro b a b ilid a d .Axio mas de la pro babil ida d : • La probabilidad de un suceso A, en un espacio muestral , es un número real entre 0 y 1 (entre 0% y 100%), ambos valores inclusive. Axioma 1: • Si un suceso A, en un espacio muestral , es seguro, su probabilidad es 1. Axioma 2: P(A) = 1 A = suceso seguro • La probabilidad de que ocurran todos los sucesos de un espacio muestral , en un experimento aleatorio dado, es igual a la unidad. Siendo = {A, B, C,....,N}, con A, B, ..., N mutuamente excluyentes. Axioma 3: P(A) + P(B) +.....+ P(N) = 1Te or e mas de la pr o babili dad :Si A y B son sucesos en el espacio muestral . Entonces: • Valo r e s e xtre mo s de P: • Pro babi lida d de suce so s impo sib le s : 136
  • P(A) = 0 A = suceso imposible • Probabilidad de dos sucesos contrarios (complementarios) : P(A)= 1 – P(A) P(A) + P(A) = 1 Donde A y A’ son sucesos contrarios.Llamando p a la probabilidad de un suceso y q a la probabilidad del suceso contrario,entonces:q=1–p p+q=1Ejemplo Cierto día la probabilidad de que llueva es 0,35. Por lo tanto, la probabilidad de que nollueva es: P(No llueva) = 1 – P(Lluvia) = 1 – 0,35 = 0,65. • Probabilidad de sucesos excluyentes : P(A o B) = p(A) + p(B) A y B son sucesos mutuamente excluyentes.Ejemplo En una frutera hay 3 naranjas, 4 plátanos y 6 manzanas. Si se saca una sola fruta alazar, la probabilidad de que sea una manzana o un plátano es: P(M o P) = p(M) + P(P) = + = . • Probabilidad de sucesos independientes : P(A y B) = P(A) · P(B) A y B son sucesos independientes.Ejemplo:Si la probabilidad de lluvia es P(Ll) = 0,4 y la probabilidad de que corra viento esP(V) = 0,15, entonces, si ambos fenómenos son independientes, la probabilidad deque llueva con viento es:P(V y Ll) = 0,15 · 0,4 = 0,06. • Pro babi lida d de suce so s co ndicio na le s : P(A y B) = P(A) × P(B/A) P(B/A) es la probabilidad de que ocurra B, dado que ocurrió A.Esta probabilidad está dada por:P(B/A) =De aquí, despejando, se obtiene que:(P y B) = P(A) • P(B/A). 137
  • Ejemplo Desde una caja donde hay 4 fichas rojas y 6 negras, se extraen al azar, una a una,dos fichas. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas fichas resulten negras? P(N y N) = P(N1) · P(N2/N1)P(R y N) = = .Distribución binomial.La distribución binomial parte de la distribución de Bernouilli: La distribución de Bernouiili se aplica cuando se realiza una sola vez unexperimento que tiene únicamente dos posibles resultados (éxito o fracaso), por lo quela variable sólo puede tomar dos valores: el 1 y el 0. La distribución binomial se aplica cuando se realizan un número "n" de vecesel experimento de Bernouiili, siendo cada ensayo independiente del anterior. Lavariable puede tomar valores entre:0: si todos los experimentos han sido fracaso.n: si todos los experimentos han sido éxitos. La distribución de probabilidad de este tipo de distribución sigue el siguientemodelo:k = N° de aciertos.n = n° de ensayos.p = probabilidad de éxito.Ejemplo :¿Cuál es la probabilidad de obtener 6 caras al lanzar una moneda 10 veces?" k " es el número de aciertos. En este ejemplo " k " igual a 6 (en cada acierto decíamos que la variable toma el valor 1: como son 6 aciertos, entonces k = 6)" n" es el número de ensayos. En nuestro ejemplo son 10" p " es la probabilidad de éxito, es decir, que salga "cara" al lanzar la moneda. Por lo tanto p = 0,5La fórmula quedaría:Luego,P (x = 6) = 0,205 Es decir, se tiene una probabilidad del 20,5% de obtener 6 caras al lanzar 10veces una moneda. 138
  • Diagrama de árbol. Como la fómula anterior es muy complicada de aprender, un amanera más fácilde solucionar este tipo de problemas es utilizando un diagrama de árbol.Por ejemplo, si se lanzan dos monedas, el siguiente diagrama sirve para representar esteexperimento:El primer lanzamiento de moneda tiene dos resultados posibles: Cara (C) o sello (S).Por cada uno de ellos hay los mismos dos resultados para el segundo lanzamiento, porlo tanto son cuatro las posibilidades: CC, CS, SC, SS. Estas están representadas porcuatro "rutas" en el diagrama de arbol. La probabilidad de cara es 1/2, y la probabilidad de sellos también es 1/2.Agregamos estas probabilidades a las ramas: Las probabilidades de cada una de las cuatro rutas se obtienen multiplicando lasprobabilidades de cada tramo que forma la ruta. Por ejemplo, la probabilidad de{cara,cara} es 1/2 x 1/2 = 1/4. De esa manera podemos calcular las probabilidades delas cuatro rutas, que son las que se muestran en el siguiente gráfico: Estas se pueden sumar. Vemos que la suma total es 1, es decir, es seguro quealguna deellas se va a cumplir. Más que eso, la suma de las probabilidades queaparecen una encima de la otra, siempres es 1. Eso se debe a que se tiene la certezaque uno de esos eventoa va a ocurrir. La probabilidad del evento "un sello y una cara" corresponde a CS o SC, y esigual a 1/4 + 1/4 = 1/ 2. La probabilidad de "al menos una cara" corresponde a CC, CSo SC, y es igual a 1/4 + 1/4 + 1/4 = 3/4. 139
  • Ejemplo: Se lanzan tres veces una moneda al aire ¿Cuál es la probabilidad de obtener3 veces caras? Para resolver esto tenemos dos caminos: Uno Hacer el conjunto de posiblessoluciones usando pares ordenados para organizar la información o bien hacer un“diagrama de árbol”.Si las bolitas verdes son “caras” y las blancas “sellos. Entonces habrá sólo una solucióndentro de 8 posibles soluciones.Si hacemos el conjunto total de posibles soluciones Ω nos resulta:Ω = { ( c,c,c) ,( c,c,s), ( c,s,c), ( c,s,s) , (s,c,c) ( s,c,s) , ( s,s,c ), ( s,s,s)} 1Entones P ( c,c,c ) = 8Esta forma de conteo sirve en el caso de iterar “ repetir” fenómenos aleatorios.Ejemplo 2: En un grupo de 36 participantes, se les da a elegir entre varios colores parapantalón y polera necesarios para las actividades deportivas; en los pantalones hayazules, verdes y grises; en las poleras se puede elegir entre blancas, amarillas, rosa ocolor arena. Si todas las prendas están en una caja, ¿ Cuál es la probabilidad que unapersona saque la combinación azul-arena? Organiza la información en un diagrama deárbol. Blanca Amarilla Azul Rosada Arena Blanca Verde Amarilla Rosada Arena Gris Blanca Amarilla Rosada Arena 1Luego la probabilidad de sacar la combinación pedida es = . 12Ejercicios : 140
  • 1) Un experimento consiste en lanzar una moneda y un dado en forma simultánea una cierta cantidad de veces y registrar los resultados.a) Determinar el espacio muestralb) Usando la regla de Laplace, calcular:P(sale cara y nº par)P(sale un número primo)P(resulta cara y el número uno)El espacio muestral de este Experimento es: = {c1-c2-c3-c4-c5-c6-s1-s2-s3-s4-s5-s6} siendo c (cara) s (sello); total, 12posibles resultadosEntonces, observando este espacio muestral, se tiene:P(sale cara y nº par)= P(sale un número primo)= (Recuerda :2, 3, 5 son números primos)P(cara y el uno) = .2) Considera una urna con 10 bolitas rojas y 6 blancas. El experimento consiste en sacar una bolita, registrar el color y luego volver a introducirla (con reposición). Los eventos son:R: Sale bolita rojaB: Sale bolita blanca.a) ¿Cuál es la probabilidad P(R) ?:b) ¿ Cuál es la probabilidad P (B)?:a) P( R) =b) P (B) =3). Considera la misma urna con 10 bolitas rojas y 6 blancas. El experimento ahora consiste en sacar dos bolitas. Se extrae la primera, se registra el color y luego, se vuelve a introducir (con reposición). Se extrae la segunda, se registra el color y se introduce nuevamente.Se definen los sucesos:RR : Se extraen dos bolitas rojasBb. : Se extraen dos bolitas blancasAB : Se extrae primero una bolita roja y luego una blancaVd. : Se extrae primero una bolita blanca y luego una rojaCalcular:a) P(RR)b) P (BB)c) P (RB)d) P(BR) 141
  • Se trata de sucesos independientes, porque el espacio muestral no varía cuando sehace la segunda extracción, ya que, previamente, se devuelve la bolita extraída.Luego:a) P(RR)= P(R) P( R) =b) P ( BB)= P (B) P( B) =c) P ( RB)= P( R ) P(B) =d) P(BR)= P ( B) P( R ) = .4). En una caja, como la de la figura, hay fichas blancas y negras de igual peso y tamaño. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer al azar una ficha, esta sea blanca?.Aplicando Laplace, se tiene:P( blanca)= .5).P(sea mujer y prefiera torta de lúcuma) = .14.2 Estadística Descriptiva.Conceptos Básicos.Estadística : La estadística es el estudio de los métodos científicos para generar, organizar, resumir, presentar y analizar datos provenientes de fenómenos estadísticos, usados para la formulación de conclusiones y toma decisiones razonables, de acuerdo a esos análisis. Es posible distinguir dos tipos de estadística, cada cual con sus objetivos ymétodos : 142
  • Estadística descriptiva : Es la fase de la estadística que solo se ocupa de describir o analizar un grupo o muestra, sin intenciones de concluir acerca del universo del cual proviene. Para ello, ordena y organiza los datos en tablas y gráficos, calcula indicadores y extrae conclusiones respecto del fenómeno que se estudia.Estadística inductiva o inferencial : Es la fase de la estadística que, sobre la base del análisis de una muestra representativa de una población, infiere o generaliza conclusiones respecto de la misma. De ahí su nombre, ya que emplea el método inductivo, que procede de lo particular a lo general.Fenómeno estadístico : Es un fenómeno cuyos resultados particulares son imposibles de predecir, pero que, sin embargo, parecen obedecer a un perfil general posible de conocer o delinear, cuando se cuenta con gran cantidad de datos. Las palomitas de maíz constituyen un fenómeno estadístico típico. Un montónde granos de maíz se fríen en una olla. Cuando se dan ciertas condiciones, los granosestallan y se abren en una especie de flor blanca. Pero no se abren todos a la vez.Unos primero, otros después. ¿De qué depende que un grano se abra? No lo sabemos.Posiblemente, de la temperatura, que podría no ser la misma para todos los granos.Quizá también de la estructura particular de cada uno; por eso, estallan en distintosmomentos. Como los detalles para el estudio y comprensión de este tipo de fenómenosson muy complicados, solo podemos aspirar a describirlos en términos estadísticos yde probabilidad. De este modo, no sabemos qué pasa con un grano de maíz enparticular, pero podemos trazar un esquema general de lo que pasa con el conjunto degranos.Fases o etapas de los métodos estadísticos : • Generación de datos por medición o conteo. • Organización de datos para construir un todo entendible y coherente. • Presentación de datos en tablas y gráficos. • Análisis de los datos de tablas, gráficos e indicadores numéricos. • Interpretación de datos en el contexto del estudio. • Conclusiones del estudio.Población : También denominada universo o colectivo. Es el conjunto de todos los individuos u objetos que poseen características comunes susceptibles de estudio. Algo importante que hay que mencionar es que no siempre se trabaja con todoslos datos o sujetos de una población. Esto, por diversas razones, que pueden ser desdeprácticas hasta por economía. En efecto, resultaría muy costoso, por ejemplo, reunirdatos de todos los seres humanos, o impracticable, obtener datos de la resistencia alchoque de los automóviles producidos por una cierta empresa realizando la mediciónde toda la producción. En todo caso, cuando se estudia toda una población, se hablade censo. En Chile, se realiza un censo de Población y Vivienda cada 10 años, el últimode los cuales tuvo lugar el año 2002. Por esta razón, se considera un subconjunto del total de los casos, sujetos uobjetos que se estudian y de los que se obtienen los datos. La población, entonces, esel total hipotético de los datos que se estudian o recopilan. Ante la imposibilidadocasional de conseguir a la población, se recurre a la muestra, que viene siendo unsubconjunto de los datos de la población, pero tal subconjunto tiene que contenerdatos que puedan servir para posteriores generalizaciones de las conclusiones.Muestra : Es un subconjunto de la población o universo, que se selecciona con el objeto de estudiarla. El tamaño de la muestra es el número de elementos considerados en ella.Ventajas de trabajar con muestras : 143
  • • Es más barato, al emplear menos recursos y tiempo. • Es más rápido, por tener menos datos que manejar. • Al ser una muestra, se puede estudiar el fenómeno en forma detallada.Desventajas de trabajar con muestras : • Requiere especialistas en selección de muestras y manejo de datos. • Siempre está presente la incertidumbre o error inherente al trabajo con muestras. • Se corre el riesgo de que la muestra no sea representativa de la población.Concepto de Variable : Una variable es un atributo observable, ya sea de un objeto, individuo, animal, fenómeno, etc., que puede tomar distintos valores entre los individuos de una población. Una variable debe ser susceptible de medición.Ejemplos de variables : • Orientación política de los votantes (izquierda, centro, derecha). • Velocidad en Km/h de los automóviles de una autopista. • El peso al nacer, en Kg, de los niños y niñas de la 8ª región. • Nivel educativo de los mayores de 50 años (básico, medio, superior).Tipos de variable :Las variables pueden clasificarse bajo varios criterios. Uno de ellos es el siguiente:Variables alfanuméricas o cualitativas : En estas, los atributos de los objetos son valores agrupables en categorías alfabéticas. Estas variables carecen de propiedades aritméticas, por cuanto las posibilidades de operar matemáticamente con sus valores son muy limitadas.Variable nominal: Corresponde a la simple clasificación de los individuos de una muestra o población en distintas categorías mutuamente excluyentes. Por esta razón es también llamada variable categórica.Ejemplos-Estado civil de las personas: soltero, casado, viudo, otro.- Comuna de residencia: Quilleco, Conchalí, Parinacota, etc. Dentro de las variables nominales, hay un caso especial llamado variabledicotómica que resulta cuando la variable tiene dos valores mutuamente excluyentes.Es decir, uno de los valores es el contrario lógico del otro.Ejemplos:- Estado civil: casado, no casado.- Inscripción en el Registro Electoral: Sí, No. 144
  • Variable Ordinal : Clasifica a los individuos en distintas categorías que tienen unorden de precedencia o graduación desde un mínimo a un máximo.Ejemplos:- Grado de interés de los estudiantes en las ciencias: Alto, Medio, Bajo.- Frecuencia de uso de Internet: Siempre, Generalmente, A veces, Nunca.Variables numéricas o cuantitativas : Son aquellas que se pueden expresar numéricamente. Estas variables tienen propiedades aritméticas y algebraicas que hacen posible realizar sobre sus valores, las operaciones aritméticas básicas, lo que no ocurre con las variables alfanuméricas.Variable Discreta: Los valores de la variable son números enteros. Entre dos valoresconsecutivos no existen otros valores posibles de la variable.Ejemplos:- Número de hijos por familia: 0, 1, 2, 3,... hijos.- Número de integrantes del grupo familiar: 1, 2, 3, ...Variable continua: La variable puede tomar infinitos valores a lo largo de la recta numérica. Los valores de la variable son números reales.Ejemplos:- Peso al nacer de una muestra de recién nacidos: 4,320; 3,740; 2,860 Kg, etc.- Interés cobrado por casas comerciales: 2,6%; 4,15%; 3,45%; etc.Tablas de Frecuencia. La organización y presentación de datos en tablas de frecuencias es una de lasformas más recurrentes y útiles en la estadística. A partir de ellas se realiza el análisisde las peculiaridades que presenta la muestra con relación a la variable estudiada,poniendo énfasis en las regularidades e irregularidades que se observan, así como enlas acumulaciones de frecuencias, anomalías, etc., es decir, en todo aquello que llamela atención del investigador. De acuerdo a los propósitos de un estudio estadístico, es posible construir unagran variedad de tablas, dependiendo del tipo de variable estudiada, de ladisponibilidad de datos, del nivel de agregación o desagregación deseada, etc., perotodas tienen como objeto la presentación organizada de datos con el objeto de conocerel perfil del fenómeno estudiado. En este marco, una tabla simple cuenta con una columna en la cual se ubicanlos valores de la variable, una columna de número de casos (frecuencia) y unacolumna de %.Tablas para variable alfanumérica. Una variable cualitativa puede ser, como ya se vio, nominal u ordinal. Suorganización en tablas es sencilla, al igual que su interpretación.Veamos el siguiente ejemplo:Tabla Nº 1: Comuna de residencia de una muestra de trabajadores del sector comercio. 145
  • Esta tabla muestra una variable de tipo nominal, por cuanto sus valores, queson alfanuméricos, no tienen un orden determinado. De acuerdo a la tabla podemos enunciar que en la muestra estudiada, el 24,8%de los trabajadores encuestados tiene residencia en la comuna de Santiago, mientrasque el 20,8% de ellos residen en la comuna de San Miguel. La comuna con menosresidentes, es Peñalolén, con solo un 6,4% de la muestra.Tabla Nº 2: Evaluación del servicio municipal de extracción de basura domiciliaria por parte de 400 vecinos. En este caso, la variable es ordinal, con valores: Muy bueno, Bueno, Ni bueno nimalo, Malo y Muy malo. De acuerdo a la tabla, el 60% de los vecinos encuestados opina que el serviciode extracción de basura es bueno o muy bueno, mientras que solo el 19% opina quees malo o muy malo.Tablas para variable discreta.Tabla Nº 3: Número de hijos por matrimonio. Se trata en este caso de una variable numérica discreta, por cuanto ordenamoslos distintos valores de la variable (0, 1, 2, 3, 4 y 5) de menor a mayor, cada valor consu correspondiente frecuencia. 146
  • De acuerdo a la tabla, el 24% de las familias encuestadas no tienen hijos,mientras que el 76% tiene entre 1 y 4 hijos. Es destacable el hecho que el 12% de losencuestados tienen más de 2 hijos.Tablas en Intervalos para variable continua. Cuando los datos están medidos en una escala numérica continua, laconstrucción de tablas para la presentación de los mismos se hace mediante lapartición del recorrido de los valores de la variable en intervalos. Para confeccionar la tabla, se fija el número total de intervalos y la longitud decada uno de ellos. La tabla se construye de modo que sus intervalos son abiertos porla derecha, es decir, el límite inferior pertenece al intervalo, pero el superior no. En latabla Nº4, el primer intervalo corresponde a , el que incluye el 150 y excluyeel 155, que se sitúa en el segundo intervalo.Tabla Nº 4: Estatura de 40 personas, en centímetros. Para la interpretación de este tipo de tablas, se debe tener en cuenta que lavariable es numérica continua, por lo que no es posible establecer la frecuencia de unvalor puntual, como por ejemplo 154 cm., sino que siempre se debe interpretar entérminos de intervalos. Por ejemplo, según la tabla Nº4, el 7,5% de la muestra midemenos de 155 cm, el 60% mide entre 155 y menos de 165 cm, mientas que el 32,5%mide al menos 165 cm. Un 4% de la muestra presenta la mayor estatura, que va de170 a 175 cm.Tablas bivariadas. Las tablas bivariadas agrupan los datos provenientes de la medición conjuntade dos variables en los mismos sujetos de una muestra. Por ejemplo, a una mismapersona se le puede medir peso y estatura, peso y estado civil, etc. La tabla Nº5 muestra la distribución de una muestra de estudiantesencuestados, según si están o no interesados en seguir estudios superiores.Se puede observar que ambas variables, Interés y Género son de tipo nominal,dicotómicas.Tabla Nº 5: Distribución de estudiantes de Educación Media, según género e interés por seguir estudios superiores. Número de casos. 147
  • Según la tabla Nº5, la muestra consideró un total de 634 mujeres, las querepresentan el = 57,5%, mientras que los hombres son 468, con un 42,5%. De acuerdo a la tabla, 989 encuestados tienen interés por seguir estudiossuperiores, los que representan el = 89,7% de la muestra, mientras que a113 estudiantes, de un total de 1.102, no les interesa seguir ese tipo de estudios. Según los datos de la misma tabla, 47 sujetos son del sexo femenino y no estáninteresados por seguir estudios superiores, representando el = 4,3% de lamuestra, aproximadamente. De los encuestados de sexo masculino, que son 468, están interesados enseguir estudios superiores 402, lo que representa aproximadamente el =85,9% de los sujetos de este segmento.Gráficos Estadísticos.Gráfico de barras. Se usa especialmente para visualizar la tabla de frecuencias de una variablenominal u ordinal.Gráfico Nº 1: Natalidad en Chile entre los años 1980 y 1999.Gráfico de sectores circulares (de torta). Visualiza la tabla de frecuencias relativas de una variable nominal u ordinal, demodo que el sector circular es proporcional con la respectiva frecuencia. Se utilizanpara representaciones gráficas de distribuciones porcentuales en las cuales esimportante visualizar el todo en sus partes componentes, ya que el área total delcírculo equivale al 100%. 148
  • Gráfico Nº 2: Distribución de la población femenina con kilos de más.Gráfico de tallo y hojas.A partir de la tabla Nº3 se puede trazar el siguiente gráfico de tallo y hojas: Para este gráfico, el “tallo” está representado por los valores de la variableordenados de menor a mayor, de arriba a abajo, mientas que cada “hoja” representauna observación.Histograma de frecuencias. Es la representación gráfica de una tabla de frecuencias de datos, agrupados enintervalos de clase. Se utiliza, generalmente, para describir el comportamiento de lasvariables aleatorias continuas.Gráfico Nº 4: Talla de una muestra de machas del litoral central de Chile, mm.Según el gráfico :El 15% de la muestra tiene una talla entre 30 y 40 mm.El 75% de la muestra tiene una talla de 50 o más mm. 149
  • Estadígrafos o Estadísticos. Un estadígrafo o estadístico es un número real calculado a partir de los valoresobservados de una variable en una muestra. En una colección de datos numéricos,pueden calcularse varios tipos de estadígrafos, siendo los más conocidos la mediaaritmética, la mediana y la moda. El valor del estadígrafo en la población recibe elnombre de parámetro.Media aritmética ( ): Es el promedio aritmético de una muestra de datos estadísticos. Es decir es elcuociente entre la suma de todos los datos y la frecuencia total n.Para calcular la media aritmética los datos deben ser numéricos.Ejemplo :La tabla siguiente muestra el número de integrantes de una muestra de 25 familias.La media aritmética es: = = 4,48 integrantes por familia.El promedio de integrantes por familia en la muestra es 4,48.Mediana (Me). La mediana de una muestra de datos estadísticos, ordenados en magnitudcreciente o decreciente, es el valor central, si el número de datos es impar o la mediaaritmética de los valores centrales si el número de datos es par. La mediana, en consecuencia, es un número real que divide la distribución defrecuencia en dos segmentos del 50% cada uno. El 50% de las observaciones sonmenores o iguales a la mediana y el otro 50% son mayores o iguales a ella. Para calcular la mediana, los datos deben ser ordinales o numéricos, ya quedeben poder ordenarse.Ejemplo 1 :Los siguientes son los tiempos que emplea un escolar en llegar hasta su colegio,tomados de una muestra aleatoria de días: 150
  • 24, 13, 18, 32, 26, 20, 27 minutos.Ordenando los tiempos de menor a mayor: 13, 18, 20, 24, 26, 27, 32El valor que queda al medio es 24. Por lo tanto, el tiempo mediano es 24 minutos.Este valor significa que:El 50% de las veces, el estudiante emplea más de 24 minutos, mientras que en la otramitad de las ocasiones, emplea menos de 24 minutos.Ejemplo 2 :Las siguientes son las opiniones de una muestra de 7 personas acerca de un programade TV:El programa es: Bueno, Regular, Malo, Bueno, Regular, Regular, Malo.Ordenando: Malo, Malo, Regular, Regular, Regular, Bueno, Bueno.El valor del medio es “Regular, por lo tanto, la mediana es “Regular”.Moda (Mo). La moda de una muestra de datos estadísticos es el valor de la variable queocurre con mayor frecuencia. En una colección de datos, la moda puede no existir oexistir dos modas. Con esta consideración, la moda puede calcularse en cualquier tipode datos, sean estos cualitativos o cuantitativos.Ejemplo:Las siguientes son las opiniones de una muestra de 7 personas acerca de un programade TV:El programa es: Bueno, Regular, Malo, Bueno, Regular, Regular, Malo.El valor más frecuente en la muestra es “Regular” (aparece 3 veces), por tanto laopinión modal es que el programa es “Regular”. 151