Modulo matemáticas 2011

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Modulo matemáticas 2011

  1. 1. Preuniversitario Centro RepúblicaMódulo de estudios PSU Matemáticas 2011 Rodrigo Alarcón Villalonga Docente Preuniversitario Centro República
  2. 2. Unidad 1. CONJUNTOS NUMÉRICOS Los números son elementos abstractos que nos permiten enunciar cantidades.Para identificarlos utilizamos símbolos. A los largo de nuestra historia distintas civilizaciones han utilizado distintossistemas de numeración. Los mayas, por ejemplo, utilizaban una base 20 (construíansus cifras con 20 símbolos distintos), ya utilizaban los dedos de sus pies y manos paracontar elementos. Los árabes utilizaban un sistema decimal en base 10 (construían suscifras con 10 símbolos distintos), ya que realizaban el recuento de los objetos con losdedos de sus manos solamente. Al momento de representar visualmente los númerosla diversidad de sistemas aumentó enormemente. El problema de esta inmensa gama de representaciones numéricas es que pararepresentar cifras más grandes se necesitaban nuevos símbolos. Nuestro sistema de numeración se basa en uno inventado por los indios haciael siglo VII D. C. y que tomarán los árabes, quienes lo llevaron hacia Europa. Nuestro sistema numérico es en base 10 y sus elementos son los dígitos. Dígitos : {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,l 9} Con éstos símbolos podemos construir cualquier cifra que necesitemosubicándolos en las posiciones correctas, así de izquierda a derecha tenemos launidades, luego las decenas, luego las centenas, las unidades de mil, las decenas demil, etcEjemplo el número 102.748 está compuesto por :8 unidades (U)4 decenas (D)7 centenas (C)2 unidades de mil (UM)0 decenas de mil (DM) y1 centena de mil (CM)Números naturales:Son los números enteros positivos, van des el 1 hasta el infinito positivo.El conjunto de los números naturales tiene ciertas características : • Todo número natural tiene un sucesor. El sucesor de un número natural es el mismo número aumentado en una unidad. Ejemplo el sucesor de 5 es 6. • Todo número natural (exceptuando el “1”) tiene un antecesor. El antecesor de un número natural es el mismo número disminuido en una unidad. Ejemplo el antecesor de 5 es 4. n –1 n n +1 antecesor sucesor • El conjunto de los números naturales es infinito, es decir no existe un último número natural.Además de las propiedades anteriormente señaladas este conjunto se puede separaren dos “subconjuntos” Los Pares y los Impares.Números pares : Son aquellos de la forma 2n. Los números pares son : 2, 4, 6, 8, 10, 12 ....... 2
  3. 3. n –2 2n n +2 antecesor par sucesor parNúmeros impares : Son aquellos de la forma 2n - 1. Los números impares son : 1, 3, 5, 7, 9, 11 ...... 2n –3 2n - 1 2n +1 antecesor impar sucesor imparPropiedades de la paridad • La suma de dos números pares es un número par. • La suma de dos números impares es un número par. • La suma de un número par y uno impar es un número impar. • El producto de dos números pares es un número par. • El producto de dos números impares es un número impar. • El producto de un número par por uno impar es un número par. • El cuadrado de un número par es un número par. • El cuadrado de un número impar es un número impar.Dentro del conjunto de los números naturales existen los números primos y losnúmeros compuestos.Números primos : son aquellos que se pueden descomponer en sólo dos factores, el mismo número y el “1”. O dicho de otra manera se pueden dividir solamente por el mismo número y el “1”.Números compuestos: son aquellos que se pueden descomponer en más de dos factores.Múltiplos de un número : es el conjunto de números formado por el producto (multiplicación) de un número por un serie de números naturales.Ejemplos :Múltiplos del 4 : M(4) = {4, 8,12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40 .....}Múltiplos del 3 : M(3) = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36 .....}Mínimo común múltiplo (MCM) : Es el menor de los múltiplos comunes de dos o mas conjuntos de múltiplos. En los ejemplos anteriores (múltiplos del 3 y múltiplos del 4) observamos que los múltiplos comunes son : el 12, el 24 y el 36, el 12 es el menor, por lo tanto el 12 es el mínimo común múltiplo (MCM). Éste concepto es muy importante para el trabajo con fracciones.Divisores de un número : Son todos los productos (factores) de un número, o bien todos los números que pueden dividir a otro número.Ejemplo :Los divisores del 24 : D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}Los divisores del 18 : D(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}Máximo común divisor (MCD) : Es el mayor divisor común a dos o más números. En los ejemplos anteriores (divisores del 24 y divisores del 18) los divisores comunes son el 1, el 2, el 3 y el 6, pero el mayor de ellos es el 6, por lo tanto el 6 es el máximo común divisor (MCD). Éste concepto es muy importante para la simplificación de fracciones.Criterios de divisibilidad. Número Criterio Ejemplo 378: porque "8" es 2 El número termina en cero o cifra par. par. 480: porque 4+ 8+ 3 La suma de sus cifras es un múltiplo de 3. 0 = 12 es múltiplo de 3. 3
  4. 4. El número formado por las dos últimas cifras es 7324: porque 24 es 4 00 ó múltiplo de 4. múltiplo de 4. 485: porque acaba 5 La última cifra es 0 ó 5. en 5. 24: Ver criterios 6 El número es divisible por 2 y por 3. anteriores. Para números de 3 cifras: Al número formado por 469: porque 46- las dos primeras cifras se le resta la última (9*2)= 28 que es multiplicada por 2. Si el resultado es múltiplo de múltiplo de 7. 7, el número original también lo es. 7 Para números de más de 3 cifras: Dividir en grupos 52176376: porque de 3 cifras y aplicar el criterio de arriba a cada (37-12) - (17-12) + grupo. Sumar y restar alternativamente el (5-4)= 25-5+1= 21 resultado obtenido en cada grupo y comprobar si el es múltiplo de 7. resultado final es un múltiplo de 7. El número formado por las tres últimas cifras es 27280: porque 280 8 000 ó múltiplo de 8. es múltiplo de 8. 3744: porque 9 La suma de sus cifras es múltiplo de 9. 3+7+4+4= 18 es múltiplo de 9. 470: La última cifra 10 La última cifra es 0. es 0.Números cardinalesSon los naturales mas el conjunto vacío (0). IN0 = {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}El aporte de este conjunto es que incluye al cero. En este conjunto se cumplen lasmismas propiedades y características que en los Naturales.Números enterosEste conjunto está conformado por los negativos, los positivos y el cero, que no espositivo ni negativo:Z+ : es el conjunto de los enteros positivosZ - : es el conjunto de los enteros negativosRecta numérica de los números enteros 4
  5. 5. Valor absoluto o Módulo de un número entero El valor absoluto se refiere a la distancia que existe entre el número y el 0(cero) en la recta numérica.Operatoria en ZCuando trabajes con números positivos y negativos a la vez, debes prestar atención alos signos y las reglas de la operación. Vamos a representar dos números cualesquierapor a, b . Entonces:a) Adición (suma) a + b. (importante: )Caso 1: Suma de enteros de igual signo:Si a y b tienen igual signo, se suman y se conserva el signo.Ejemplo: –7 +–15 = -22Esta suma también se pudo haber presentado por –7 – 15 = -22Caso 2: Suma de enteros de distinto signo:Si a y b tienen distinto signo: se restan y se conserva el signo del número con mayorvalor absoluto.Ejemplo: -20 + 4 = –16O bien: 4 –20 = –16b) Multiplicación y/o divisiónSe deben multiplicar (o dividir) los números y luego los signos de acuerdo a lasiguiente regla:Caso 1: Signos iguales: el producto (o división) es positivo.Caso 2:Signos distintos: el producto (o división) es negativo.Esta regla se sintetiza en la tabla siguiente:c) Sustracción (resta) a–b 5
  6. 6. La diferencia se transforma en la adición: a – b = a + (-b).Observa que (-b) es el opuesto de b. Entonces, para restar a – b, se le suma a alopuesto de b.Después de esta transformación, se aplican las reglas operatorias de la adición.Ejemplo: 57 – 34 = 57 + (-34) = 23Ejemplo: (-12) – 22 = –12 + –22 = –34Ejemplo: –25 – (–6) = –25 + 6 = –19Prioridad de operatoria matemática en los Z.En la operatoria combinada con números enteros, se procede según la siguienteprioridad:1° Paréntesis2° Multiplicaciones y divisiones3° Sumas y restasNúmeros racionalesSon todos aquellos que se pueden expresar como cuociente entre números enteros:Ejemplos de racionales, son:Los números naturales:Los números enteros:Los números decimales finitos:Los números decimales infinitos periódicos:Los números decimales infinitos semiperiódicos:OPERATORIA ENa) Adición y sustracción de fracciones: 6
  7. 7. b) Multiplicación de fracciones:c) División de fracciones:d) Adición y sustracción de decimales: se deben poner los decimales en columna,alineando la coma decimal.0,23 + 1,4 =e) Multiplicación de decimales:Se multiplican tal como si fueran números enteros, y al resultado le colocamos tantascifras decimales como tengan los factores:0,2 . 1,54 =2 x 154 = 308, pero 0,2 tiene 1 decimal y 1,54 tiene dos, por lo tanto el resultadodebe tener tres decimales:0,2 . 1,54 = 0,308f) División de decimales:Se corre la coma decimal la misma cantidad de lugares tanto en el dividendo como enel divisor, de modo que ambos se conviertan en números enteros. Posteriormente, seefectúa la división entre estos enteros. 7
  8. 8. 0,02 : 0,5 =Corremos la coma dos lugares a la derecha:2 : 50 =La división resulta:200 : 50 = 0,04COMPARACIÓN ENTRE RACIONALESSi queremos ordenar un conjunto de números decimales, basta agregar cifrasdecimales y comparar como si fueran enteros, olvidándonos de la coma:Agregamos cifras decimales para poder comparar:x = 0,23 | 0...y = 0,23 | 2...z = 0,23 | 3...Por lo tanto: x < y < zSi queremos comparar dos fracciones basta multiplicar cruzado en forma ascendente ycomparar los productos resultantes:Ordenar de menor a mayor:Multiplicando cruzado en forma ascendente, obtenemos: 3 . 7 = 21 y 5 . 4 = 20: Como 21 > 20 se deduce queSi las fracciones son negativas, conviene dejar los signos en el numerador para luegomultiplicar cruzado con los números positivos.Aproximación decimalCon frecuencia, nos encontramos con cálculos donde intervienen números con muchascifras decimales, lo que hace difícil su operación. En estos casos es posible realizar unaaproximación decimal.1: Si el primer dígito de la parte que se va a eliminar es igual o mayor que 5, seaumenta en una unidad el dígito anterior.Ejemplo: 3,14159265 aproximado a 4 decimales, es:2: Si el primer dígito de la parte que se va a eliminar es menor que 5, se conserva eldígito anterior. Ejemplo: 3,14159265 aproximado a 2 decimales, queda: 8
  9. 9. Números irracionalesSon todos aquellos que no se pueden expresar como cuociente entre dos númerosenteros. Se caracterizan por tener infinitas cifras decimales sin período. Este conjuntose designa con la letra .Números realesEs el conjunto formado por los números racionales e irracionales. Este conjunto sedesigna con la letra . R = Q U Q’Pertenecen al conjunto de los Reales IR (todos los números) : • El cero, los enteros positivos y negativos; • Las fracciones; • Los decimales finitos y los decimales periódicos y semiperiódicos; y • Los irracionalesResumiendo lo anterior, tenemos la siguiente situación:La Recta Real Recta real es la recta sobre la que se representan los números reales. Para ellose destaca uno de sus puntos, O, que se toma como origen y al que se le asigna elnúmero cero, 0, y, separados entre sí por intervalos de amplitud fija (unidad), sesitúan correlativamente los números enteros, los positivos a la derecha de 0 y losnegativos a su izquierda. La operatoria en los números reales está definida por dosoperaciones básicas : la suma y la multiplicación, todas las demásoperaciones se derivan de estas dos.Propiedades algebraicas de los números Reales 9
  10. 10. A continuación se presenta una tabla que resume las principalespropiedades algebraicas de los números reales.Sean a, b y c números reales : Propiedad Suma ProductoConmutativa a+b=b+a a•b=b•aAsociativa (a + b) + c = a +( b +c) (a • b) • c = a • (b • c)Existencia de elemento a + (-a) = 0 a•1=1neutro aDistributiva de la a • (b + c) = ab + acmultiplicación conrespecto a la adiciónA estas propiedades hay que agregar la propiedad de clausura :Si a y b Є a R (números reales) => a• b y a + b también Є a R.Prioridad de operatoria matemática en los RealesEn la operatoria combinada con números reales, se procede según la siguienteprioridad:1° Paréntesis2° Potencias y raíces3° Multiplicaciones y divisiones4° Sumas y restasEjemplo 1:13 - (-7 + 3 9) – 32 = Primero: el paréntesis (-7 + 3 x 9)Dentro de él, primero el producto 3 x 9 = 27.Dentro del paréntesis, ahora la suma: -7 + 27 = 20 Segundo: el cuadrado de 3 = 9 Está quedando: 13 – 20 – 9 Finalmente las sumas y restas: 13 – 20 – 9 = -16.Ejemplo 2:Resolver:La raya de fracción obliga primero a resolver el numerador y el denominador, porseparado.En el numerador se transformará el decimal 0,2 a fracción: 10
  11. 11. En el numerador se resuelve primero la división de fracciones:Ahora se realizan las restas, en el numerador y en el denominador:Finalmente la división de fracciones:Simplificando por 2: = =Números ImaginariosLos números reales (R) permiten representar infinitos números, pero no puedenrepresentar las soluciones de ciertas ecuaciones, como por ejemplo x2 + 3 = 0 ó 5x2 + 2 = 0En general no se pueden solucionar aquellas ecuaciones que representen un númeronegativo dentro de una raíz de índice par (por ejemplo raíces cuadradas).A estos números se les asigna otro conjunto, llamado números imaginarios, ya queno pueden representarse a través de los números Reales. Se representan por elsímbolo I.Estos números poseen como unidad la solución de la ecuación x2 + 1 = 0la cual determina como solución la siguiente expresión : x = ±√-1,la cual da origen a la unidad imaginaria : i = √-1,finalmente la solución de la ecuación es : x=±iEjemplos de números imaginarios :• 2i• 5+i• 24 –7idonde i representa ala unidad imaginaria.Números complejosEl conjunto de los números complejos (el cual se representa con el símbolo C) es launión de los números reales con los números imaginarios : 11
  12. 12. C=RUI I 4+2i 3i C Al conjunto de los números complejos pertenecen todos los números.Potencias de base real y exponente entero Una potencia el la multiplicación sucesiva de un mismo término, llamado base,tantas veces como lo indique otro término llamado exponente.Ejemplos : = 16 = 2187 = 15625Definición:Propiedades: 12
  13. 13. Raíces.Potencia de exponente racional Toda potencia de exponente racional, de la forma m/n , corresponde a laraíz enésima de la emésima potencia de a:Propiedades de las raíces:Raíz de un productoRaíz de un cuocienteRaíz de una potenciaRaíz de una raízAmplificación de una raízSimplificación de una raízRacionalización Se debe evitar que una raíz quede en el denominador ya que complica lacomparación con otra expresión o estimar su valor. Para ello hay que multiplicar elnumerador y el denominador por la misma raíz de la siguiente forma: En esta expresión tenemos dos términos en el denominador, el cual se puederacionalizar multiplicando por ya que formarán una Suma porDiferencia, lo que permite eliminar las raíces en el denominador. Unidad 2. RAZONES Y PROPORCIONES Y PORCENTAJESRazón Es la comparación por cuociente de dos cantidades que forman parte de unamisma magnitud (longitud, tiempo, producción, ingresos etc.) 13
  14. 14. Se define : ó a : by se lee "a es a b" La primera de ellas a se llama antecedente (d i v i d e n d o ) y la segunda b sellama consecuente (d i v i s o r ) y siempre se deben escribir en el orden dado. Por ejemplo, si las edades de Carlos y Francisco son 12 y 15 años, entonces larazón entre sus edades es: . Si simplificamos por tres obtenemos: . Como se dijo anteriormente una razón sirve para comparar dos cantidades:Construyamos un modelo para la siguiente razón 3:4 o ¾ (se lee 3 es a 4)La razón verdes a amarillas, se escribe 3:4 o ¾ . El orden de los términos es muyimportante.Ejemplo : Un maestro constructor prepara una mezcla con 40 paladas de arena y 24de cemento. ¿Cuál es la razón entre cemento y arena?Solución:La razón nombra primero al antecedente y luego el consecuente.Por lo tanto, en este caso, el cemento es el antecedente y la arena el consecuente.La razón pedida es:Simplificando por 8, la razón queda en 3/5, lo que significa que la mezcla estáconformada por 3 partes de cemento por cada 5 partes de arena, o que por cada8 partes de mezcla hay 3 de cemento y 5 de arena.ProporciónLa igualdad entre dos razones se denomina proporción. Por ejemplo, la igualdadentre las razones anteriores: es una proporción, lo que se puede constatarporque los productos cruzados son iguales:12 . 5 = 4 . 15La propiedad: ,se denomina propiedad fundamental de las proporciones y se expresa verbalmente dela siguiente manera “ dos razones son proporciones sí y sólo sí el producto de losmedios es igual al producto de los extremos” 14
  15. 15. Cálculo del término desconocido de una proporciónSi en la proporción se desconoce alguno de sus términos, es posible calcularloaplicando la propiedad fundamental:De este modo, si w · z = x · y, de donde se puede despejar w, x, y o z. w= z= x= y=Ejemplo: Calcular x en la proporciónSolución:Aplicando la propiedad fundamental de las proporciones: 7,5 · 10 = 4 · x 75 = 4x =x x = 18,75Serie de razones o serie de proporcionesLa serie de razones: a:c:e=b:d:fPuede ser expresada como :con k = constante.Ejercicio:Se desea cortar un alambre de 720 mm en trozos de modo que la razón de suslongitudes sea 8:6:4.¿Cuánto mide cada trozo de alambre de acuerdo al orden de las razones dadas?.1°.- se suman las razones : 8 + 6 +4 = 182°.- se divide la cantidad total dada por la suma de las razones : 720: 18 = 40 ( a este valor se le llama constante de proporcionalidad (k)). 15
  16. 16. 3°.- Se multiplica cada una de las razones dadas por k y se obtienen los valores requeridos: 8 • 40 = 320 mm; 6 • 40 = 240 mm y 4 • 40 = 160 mm.PROPORCIONALIDADPROPORCIONALIDAD DIRECTADos variables están en proporcionalidad directa si su cuociente permanece constante:k se denomina la constante de proporcionalidad.El gráfico de dos variables que están en proporcionalidad directa es un conjunto depuntos que están sobre una recta que pasa por el origen.Ejemplo:Un vehículo tiene en carretera un rendimiento de 16 km/l. ¿Cuántos litros de bencinaconsumirá en un viaje de 192 km?Efectuamos la razón entre las variables: distancia – consumo de bencina:Ocupando la propiedad fundamental de las proporciones obtenemos:PROPORCIONALIDAD INVERSADos variables están en proporcionalidad inversa si su producto permanece constante:k se denomina la constante de proporcionalidad.El gráfico de dos variables que están en proporcionalidad inversa es un conjunto depuntos que están sobre una hipérbola. 16
  17. 17. Ejemplo:Tres obreros demoran 5 días en hacer una zanja. ¿Cuánto demorarán 4 obreros?Por estar en proporcionalidad inversa el producto entre las variables:número de obreros – tiempo, es constante:Aplicaciones de la ProporcionalidadEstrategia general de resolución de problemas de proporcionalidad:1º: Lectura comprensiva del texto del problema.2º: Identificación y ordenación de los datos dados.3º: Identificar tipo de proporcionalidad: directa o inversa.4º: Planteamiento de la proporción según tipo.5º: Resolución algebraica.6º: Respuesta y verificación de la solución.Ejemplo: Seis obreros cavan una zanja de 18 metros en dos horas ¿Cuántos metroscavarán en el mismo tiempo 9 obreros, trabajando al mismo ritmo?Ordenación y análisis de los datos: 6 obreros 18 metros 9 obreros x metrosEn el caso descrito, se infiere que, mientras más obreros, estos cavanmás metros. Entonces es una proporcionalidad directa y, en consecuencia,se forma la siguiente proporción:La cual, al ser resuelta, se tiene: metrosRespuesta: los 9 obreros cavan 27 metros de zanja.PORCENTAJEEl porcentaje es una proporcionalidad directa, considerando la totalidad como un100%. Por ejemplo, decir que el precio de un artículo ha subido en un 5% significa que 17
  18. 18. ha subido 5 partes de un total de 100. En términos fraccionarios, se dice que ha subidola 5/100 parte. Cuando calculamos el porcentaje de un número, podemos hacerlo directamenteocupando el concepto de fracción, por ejemplo, el 12% de 600 es:El cálculo de porcentaje también se puede realizar a través de una proporcionalidaddirecta:La base para las operaciones de cálculo de porcentaje es : cantidad total = parte de la cantidad 100% tanto %O bien :cantidad total 100%parte de la cantidad tanto %Existen tres casos para la operación con porcentajes :Primer caso: Calcular el tanto % de una cantidad.Sea x la cantidad que buscamos. Establecemos una proporción directa, donde el 100%es q y el p% es x (valor a calcular). q = x 100% p%Aplicando proporciones, se tiene que:Donde, al despejar el valor de “ x” se tiene:Esta última relación puede manipularse para concluir que:En general, para calcular el % de una cantidad, se divide la cantidad por 100 y semultiplica por el % pedido.Ejemplo : calcular el 20% de 50 50 = x 100% 20%x = 50 • 20 = 10 100Segundo caso: ¿Qué porcentaje es una cantidad, respecto de otra cantidad? 18
  19. 19. Planteando la proporción, se tiene: q = p 100% x%Despejando x se tiene:Esta relación nos permite establecer también que para calcular el % que representa pde q, es posible establecer la razón entre p y q y luego multiplicar por 100.Ejemplo : Calcular qué porcentaje es 20 de 60 60 = 20100% x%x = 100 • 20 = 33.33% 60Tercer caso: ¿Cuál es el número cuyo tanto % es una cantidad conocida?Planteando la proporción correspondiente, se tiene que: x = q 100% p%Al despejar “x” se logra, que:Ejemplo : encontrar el número cuyo 25% es 8 x = 8100% 25%x = 100 • 8 = 32 25Aumento de un número en un cierto porcentaje:Este cálculo se puede plantear de dos maneras : 1) Utilizar la fórmula : VF = VI • (1 + % ), donde 100 VF : valor final VI: valor inicial % : porcentaje a subir. Ejemplo : Se desea aumentar el valor de un producto que cuesta $5.000 en un 5% : VF = 5000 • (1 + 5/100) VF = 5.000 • (1 + 0.05) VF = 5.000 • (1.05) VF = $5.250 2) Plantear un cálculo de % en donde se busque el % a aumentar más el 100% Ejemplo : 19
  20. 20. Se desea aumentar el valor de un producto que cuesta $5.000 en un 5% : 5% + 100 % = 105%, se busca el 105% de 5.000 5.000 = x 100% 105% x = 5.000 • 105 100 x = $5250Disminución de un número en un cierto porcentaje:Se procede igual que en el caso anterior : 1) Utilizar la fórmula : VF = VI • (1 - % ), donde 100 VF : valor final VI: valor inicial % : porcentaje a subir. Ejemplo : Se desea disminuir el valor de un producto que cuesta $5.000 en un 5% : VF = 5000 • (1 - 5/100) VF = 5.000 • (1 - 0.05) VF = 5.000 • (0.95) VF = $4.750 2) Plantear un cálculo de % en donde se busque el % a disminuir y se le reste al el 100% Ejemplo : Se desea disminuir el valor de un producto que cuesta $5.000 en un 5% : 100 % - 5% = 95%, se busca el 95% de 5.000 5.000 = x 100% 95% x = 5.000 • 95 100 x = $4750Impuesto al Valor Agregado (IVA)El impuesto al valor agregado (IVA) es un impuesto que grava toda compra-venta debienes y servicios y lo paga el consumidor final del producto. En Chile, este impuestoalcanza al 19% del valor neto del producto.De este modo:Valor neto + 19% = valor a pagarEjemplo: Don Pepe vendió abarrotes y en la boleta escribió el valor total de $15.400.¿Cuál es el IVA que recaudó don Pepe por la venta de estos abarrotes?Entonces, el monto del IVA por estos abarrotes es $2.459. Unidad 3. ÁLGEBRAPerfil del álgebra El Álgebra es una rama de las Matemáticas que usa letras y símbolos para 20
  21. 21. representar cantidades y relaciones aritméticas. Busca generalizar las relacionesmatemáticas, a diferencia de la Aritmética que solo opera con casos particulares deuna relación. Consideremos, por ejemplo, el teorema de Pitágoras que establece que “en untriángulo rectángulo el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa equivale a lasuma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.“ Algebraicamente, este teorema puede generalizarse como a2 + b2 = c2 ,expresión que enuncia la relación métrica que deben cumplir los lados de cualquiertriángulo rectángulo. La aritmética , en cambio, solo podría operar con medidas específicas detriángulos individuales, generando expresiones numéricas del tipo: 32 + 42 = 52.Surgimiento del álgebra El origen del álgebra puede situarse en Babilonia y el antiguo Egipto, cuyossabios fueron capaces de resolver ecuaciones lineales, cuadráticas y de la forma x2 +y2 = z2. De hecho, los antiguos babilonios resolvían las ecuaciones cuadráticasempleando métodos semejantes a los que hoy se utilizan. El conocimiento algebraico de egipcios y babilónicos encontró acogida en elmundo islámico, donde se le denominó “ciencia de reducción y equilibrio”. El vocablo árabeal-jabru, que significa “reducción”, es el origen de la palabra álgebra. En el siglo IX, el matemático árabe al-Jwarizmì escribió uno de los primeros librosde álgebra, en el que presenta, en forma sistemática, la teoría fundamental deecuaciones, con ejemplos y demostraciones incluidas. Es precisamente de estematemático de donde deriva la palabra algoritmo, que hoy representa la expresiónsimbólica de los pasos que llevan a la resolución de un problema. A finales del siglo IX,el matemático egipcio Abu Kamil enunció y demostró las leyes fundamentales eidentidades del álgebra, y resolvió problemas tan complicados como encontrar las x, y,z que cumplen x + y + z = 10; x2 + y2 = z2; y xz = y2.Conceptos Básicos de ÁlgebraYa tenemos idea de las operaciones con los números naturales, enteros, racionales yreales. Ahora trabajaremos con la generalización de esa operatoria en algunos de losdiversos ámbitos que presenta el álgebra. Las mismas leyes, propiedades y operatoria de los números ya estudiados hanpreparado el terreno para la comprensión de operaciones más amplias y generales,propias del Álgebra, en los diversos conjuntos numéricos. El lenguaje que ocupa el álgebra permite realizar representaciones a través defactores literales (que representan cantidades cualesquiera), números y relacionesaritméticas de la aritmética.Ejemplos :• Un número cualquiera puede representarse por x, o por a, o por cualquier otra letra o combinación de letras.• Para representar dos números cualesquiera distintos entre sí, podemos usar letras diferentes : x e y; a y b; m y n; etc.• El doble de un número cualquiera se expresa por 2x, o 2a, etc• El cuadrado de un número cualquiera se expresa por x2 , o a2, o a2, etc.• La diferencia entre dos números se puede expresar como : x – y, ó a – b, etc.• Un número aumentado en tres unidades : x + 3, ó a + 3, ó b + 3, etc. • Un número disminuido en dos unidades : x – 2, ó a – 2, etc. • La mitad de un número x 2 • La mitad de un número más el doble de otro : x + 2y 21
  22. 22. 2Representación de las operaciones aritméticas en álgebra.Las operaciones entre dos números cualesquiera x e y se representan : i. La suma :x+y ii. El producto : x•y iii. La diferencia :x–y iv. El cuociente : x : y ó x/yExpresión algebraica Una expresión algebraica es un conjunto de cantidades, expresadas numérica yliteralmente, relacionadas entre sí por operaciones aritméticas.Ejemplo: 13x3– 2ax2 + es una expresión algebraica.Término algebraico Un término algebraico es una expresión que relaciona un número real con letras,por medio del producto o el cuociente. Un término algebraico consta de: • signo • coeficiente numérico • factor literal • gradoEn una expresión algebraica, los términos están separados por signos (+) y (-).Observaciones en la notación algebraica1. En álgebra, el signo multiplicativo antes de factores literales puede suprimirse.Por ejemplo: puede escribirse .2. El coeficiente numérico 1 en un término algebraico, suele quedar tácito (no seescribe). Por ejemplo1x = x3. Solo el signo positivo (+) del primer término de una expresión algebraica puedeobviarse, y no se escribe. Por ejemplo: +5a - 3b + 2c = 5a - 3b +2cPor ejemplo, la expresión: +11 · x2 - 1 · y + x · ySe escribe: 11x2 – y + xyTÉRMINOS SEMEJANTESSe denominan términos semejantes a aquellos que tienen la misma parte literal.Ejemplos :a) x2 y -2x2 : son términos semejantes (factor literal x2).b) -3x y -3x2 : no son términos semejantes (factor literal x e x2 respectivamente).c) –a2b y 5a2b : son términos semejantes (factor literal a2b).d) a2b y 3ab2 : no son términos semejantes (factor literal a2b y ab2respectivamente). 22
  23. 23. Los términos semejantes se pueden sumar (o restar) sumando o restando loscoeficientes y conservando la parte literal. Por ejemplo:-2a2b + 5a2b = 3a2b10x2z3 –22x2z3 = -12x2z3Si los términos no son semejantes, no se pueden sumar o restar:La operación 12a2b + 13ab2 no se puede reducir más, debido a que los términos noson semejantes.Tipos de expresiones algebraicas Dependiendo del número de términos que posean las expresiones algebraicas,se clasifican en:Monomio: Es la expresión algebraica que consta de un solo término.Ejemplo:Binomio: Es la expresión algebraica que consta de dos términos.Ejemplo:Trinomio: Es la expresión algebraica que consta de tres términos.Ejemplo:Polinomio: Es la expresión algebraica de dos o más términos.Ejemplo: ; ;ELIMINACIÓN DE PARÉNTESIS Para eliminar paréntesis en expresiones algebraicas, se debe seguir las siguientesreglas:(1) Si aparece un signo “+” delante de un paréntesis (o ningún signo), se elimina elparéntesis conservando los signos de los términos que aparezcan dentro delparéntesis.(2) Si aparece un signo “-” delante de un paréntesis, se elimina el paréntesiscambiando los signos de los términos que aparezcan dentro del paréntesis.Ejemplo:2ab – (a + ab) + (3a – 4ab) =Aplicando las reglas anteriores, tenemos:2ab – a – ab + 3a - 4ab, reduciendo términos semejantes:-2ab + 2a - abMULTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICASMultiplicación de monomios: se multiplican los coeficientes entre sí, y para multiplicar potencias de igual base, ocupamos la propiedad: “para 23
  24. 24. multiplicar potencias de igual base, se conserva la base y se suman los exponentes”.Ejemplo: 2x2y3 z. 4x4y2 = 8x6y5zMultiplicación de monomio por polinomio: se aplica la propiedad distributiva, esto es: “el monomio multiplica a todos los términos del polinomio”.Ejemplo:2ab (3a - ab2 + 4b2c2) = 2ab . 3a - 2ab . ab2 + 2ab . 4b2c2 =6a2b – 2a2b3 + 8ab3c2Multiplicación de binomio por binomio: se multiplican todos los términos del primer binomio con los términos del segundo binomio.Ejemplo:(2a - 3b2c) (4a2 + 5ab3) = 2a . 4a2 + 2a . 5ab3 – 3b2c . 4a2 – 3b2c . 5ab3 =8a3 + 10 ab3 – 12 a2b2c – 15 ab5cMultiplicación de polinomio por polinomio: al igual que en el caso anterior, se multiplican todos los términos del primer polinomio con todos los términos del segundo.(2x – 3y + 4z2). (5x + 2xy + 4xz2) =2x . 5x + 2x . 2xy + 2x . 4xz2 – 3y . 5x – 3y . 2xy – 3y . 4xz2 + 4z2 . 5x + 4z2 . 2xy +4z2 . 4xz2 = 10x2 + 4x2y + 8x2z2 – 15xy – 6xy2 – 12xyz2 + 20xz2 + 8xyz2 + 16xz4PRODUCTOS NOTABLES Se llaman productos notables aquellos cuyos factores cumplen ciertascaracterísticas que permiten que su resultado pueda ser escrito sin realizar todos lospasos de la multiplicación. Los productos notables son:Sean a y b dos términos algebraicos cualesquiera.Suma por su diferencia:(a + b) (a – b) = a2 – b2Cuadrado de binomio:(a + b)2 = a2 + 2ab + b2(a – b)2 = a2 – 2ab + b2Multiplicación de binomios con término común:(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + abCuadrado de trinomio:(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2acCubo de binomio:(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 24
  25. 25. FACTORIZACIÓN Consiste en expresar adiciones y/o sustracciones en términos de multiplicaciones.Los casos de factorización que estudiaremos son los siguientes:Factor común Se aplica cuando todos los términos tienen un divisor común diferente de 1.Ejemplo: 15x2y2z3 – 5xy3z2 + 10x4y4z3Aquí el factor común es: 5xy2z2, por lo tanto, la expresión dada se puede colocar de laforma:15x2y2z3 – 5xy3z2 + 10x4y4z3 = 5xy2z2 (3xz – y + 2x3y2z), lo que corresponde a sufactorización.Diferencia de cuadrados Toda diferencia se puede factorizar mediante el producto de la suma con ladiferencia de las bases.a2 – b2 = (a + b) (a – b)Ejemplo: 25a2 – 16b4Esta expresión corresponde a la diferencia entre el cuadrado de 5a y el de 4b2 :Por lo tanto: (5a)2 – (4b2)2 = (5a + 4b2) (5a - 4b2)Factorización de trinomio cuadrático perfecto Un trinomio cuadrático perfecto es aquel que corresponde al desarrollo de uncuadrado de binomio, por lo tanto, su factorización es: a2 + 2ab + b2 = (a + b)2Ejemplo: 16x2 – 24xy + 9y2En este trinomio hay dos términos que son cuadrados perfectos: 16x2 = (4x)2 y 9y2 =(3y)2, por lo tanto, el trinomio dado puede provenir del desarrollo del binomio:(4x - 3y)2, si se desarrolla esta expresión se constata que efectivamente coincide conla expresión dada.Factorización de trinomio cuadrático no perfectoUtilizando el producto notable “producto de binomios con término común”:(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + abNos da la forma de poder factorizar una expresión del tipo: x2 + px + qEjemplo: x2 – 10x + 24El trinomio se factoriza de la forma: (x + a)(x + b), donde a y b son números talesque a + b = -10 y ab = 24. Estos números son: -4 y -6, por lo tanto:x2 – 10x + 24 = (x – 4)(x - 6) 25
  26. 26. Diferencia de cubosa3 – b3 = (a - b) (a2 + ab + b2)Ejemplo:125z3 – 64y6La expresión 125z3 es el cubo de 5z y 64y6 es el cubo de 4y2, por lo tanto:125z3 – 64y6 = (5z)3 – (4y2)3Ocupando que a = 5z y b = 4y2 en la expresión dada, tenemos que:(5z)3 – (4y2)3 = (5z – 4y2)(25z2 + 20y2z + 16y4)Suma de cubosa3 + b3 = (a + b) (a2 - ab + b2)x3 + 27 = (x + 3) (x2 – 3x + 9)Simplificación de expresiones algebraicas Para la simplificación de expresiones algebraicas se aplica el mismo concepto desimplificación de fracciones, pero en este caso el numerador y denominador sonexpresiones algebraicas. La idea es realizar una factorización por algún término algebraico o expresiónalgebraica que sea común tanto para el numerador como para el denominador.Simplificación de monomio por monomio :Ejemplos :1) 3x2 6xen este caso se factoriza por 3x : 3x • (x) 3x • (x) = x 3x • 2 3x • 2 22) 3a2bc 12acen este caso se factoriza por 3ac : 3a2bc 3ac • ab = 3ac • ab = ab 12ac 3ac • 4 3ac • 4 4Simplificación de binomio por monomio :Ejemplos :1) (5xy2 – 10x2y) 5xyen este caso se factoriza por 5xy :(5xy2 – 10x2y) 5xy • (y – 2x) 5xy • (y – 2x) = (y – 2x) 5xy 5xy 5xy 26
  27. 27. 2) (b2 – bc) 2ben este caso se factoriza por b :(b2 – bc) b • (b – c) b • (b – c) = (b – c) 2b b•2 b•2 2Simplificación de polinomios :1. Simplificación de resultados de productos notables : a) x2 – 16 x2 + 8x + 16 en este caso reconocemos que el numerador es el resultado de una suma pordiferencia y el denominador es el resultado de un cuadrado de binomio (trinomiocuadrado perfecto). x2 – 16 (x + 4) • (x – 4) (x + 4) • (x – 4) =x2 + 8x + 16 (x + 4)2 (x + 4) • (x + 4) (x – 4) (x + 4) b) x2 + 7x + 10 x2 – 25en este caso reconocemos que el numerador es el resultado de un producto debinomios con un término en común (trinomio cuadrado no perfecto) y el denominadores el resultado de una suma por diferencia. x2 + 7x + 10 (x + 5) • (x + 2) = (x + 2) x2 – 25 (x + 5) • (x - 5) (x - 5) c) x2 + 5x + 6 x2 + 8x + 15en este caso reconocemos que tanto el numerador como el denominador son elresultado de un producto de binomios con un término en común (trinomio cuadrado noperfecto). x2 + 5x + 6 (x + 1) • (x + 5) = (x + 1) x2 + 8x + 15 (x + 3) • (x + 5) (x + 3)2. División de polinomios : Realizamos la siguiente división: (4x3 + 2x2 + 4x + 3) : (x2 - x - 1).Primer paso de la división de polinomios :Tomamos el término de mayor grado del dividendo y lo dividimos entre el término demayor grado del divisor, obteniendo el primer término del cociente. 27
  28. 28. Segundo paso de la división de polinomios :Este término lo multiplicamos por el divisor y el resultado lo restamos al dividendo.Último paso de la división de polinomios :Ahora el término de mayor grado en el dividendo es 6x2; repetimos el proceso anterior,obteniendo el segundo término del cociente.Como 14x es de menor grado que x2, la división no puede continuar. El polinomiocociente y el polinomio resto son:Cociente = 4x + 6Resto = 14x + 9Si la división no posee resto, se dice que tanto el divisor como cociente son factores yse pueden escribir como producto. Calculamos (8x3 - 4x2 + 2x + 7) : (2x2 + x - 1).Los polinomios resultantes de la división son:Dividendo = 8x3 - 4x2 + 2x + 7Resto = 10x + 3Cociente = 4x – 4Divisor = 2x2 + x - 1 28
  29. 29. Comprobamos el resultado:cociente · divisor + resto = dividendo(4x - 4 ) · (2x2 + x - 1) + (10x + 3)=(8x3 - 4x2 - 8x + 4) + (10x + 3) =8x3 - 4x2 + 2x + 7 Unidad 4. Ecuaciones y planteamiento de problemasEcuaciones. Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, denominadasmiembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas,relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden sernúmeros, coeficientes o constantes; y también variables cuya magnitud se haya establecidocomo resultado de otras operaciones. Las incógnitas, representadas generalmente porletras, constituyen los valores que se pretende hallar.Por ejemplo, en la ecuación: En la unidad de álgebra vimos que el grado de una expresión algebraica estádado por el mayor exponente de dicha expresión. Al ser las ecuaciones expresionesalgebraicas se les denomina según el mayor grado que posea la incógnita, así tenemospor ejemplo que una ecuación cuyo mayor exponente es 1 se denomina ecuación deprimer grado, la ecuación que tenga como mayor exponente el 2 se denominaecuación de segundo grado o cuadrática, la ecuación que tenga como mayorexponente el 3 se llama ecuación de tercer grado, etc. Además el número de raíces(soluciones en los números reales) de una ecuación equivale al grado de la ecuación.Ejemplos :1) La ecuación 7x2 – x – 3 = 0 es de segundo grado y tiene dos raíces.2) La ecuación 13 - 2x = 4 es de primer grado y tiene una solución.3) La ecuación 7x2 - x4 = 100 es de 4º grado y tiene 4 soluciones.Ecuaciones de primer grado con una incógnita : Son aquellas ecuaciones en las que existe una sola variable, generalmentedesignada por el símbolo x (aunque también puede ser designada por cualquier otrosímbolo). Esta variable está elevada a 1 (por eso el nombre de primer grado) y todoslos otros términos (ya sean números o letras) son términos constantes. Estas ecuaciones son igualdades que tienen validez para un solo valor de lavariable (incógnita) y resolver la ecuación es aplicar las propiedades del conjunto Rpara “despejar la incógnita” y así determinar el valor que satisface la igualdad. 29
  30. 30. Resolución de ecuaciones de primer grado Existen tres pasos básicos para resolver una ecuación de primer grado :Dada la ecuación:1- Transposición:Primero, se agrupan los monomios que poseen la variable x en uno de los miembrosde la ecuación, normalmente, en el izquierdo. Podemos hacerlo teniendo en cuentaque: Si sumamos (o restamos) un mismo monomio (o número) en los dos términos, la igualdad no varía.En términos coloquiales, se suele decir: si el número está sumando (Ej: +9), pasa alotro lado restando (-9); y si el número está restando (Ej: -6), pasa al otro ladosumando (+6)La ecuación quedará así:Como puede verse, todos los términos que poseen la variable x han quedado en elprimer miembro (a la izquierda del signo igual), y todos los números enteros hanquedado en el segundo miembro (a la derecha).2- Simplificación:El siguiente paso es convertir la ecuación en otra equivalente más simple y cortareduciendo los términos semejantes :Realizamos la simplificación del primer miembro:Y simplificamos el segundo miembro:La ecuación simplificada será:3- Despejar:Ahora es cuando llegamos al objetivo final: que la variable quede en un término de laigualdad. Si multiplicamos por un mismo monomio (o número) en los dos términos, la igualdad no varía.En términos coloquiales: si el número está multiplicando (Ej: ·2), pasa al otro ladodividiendo (en forma fraccionaria) (n/2) (el número pasará sin cambiar el signo). Si dividimos entre un mismo monomio en los dos términos, la igualdad no varía.En términos coloquiales: si el número está dividiendo (expresado en formafraccionaria) (Ej: n/5), pasa al otro lado multiplicando (·5) (el número pasará sincambiar el signo). 30
  31. 31. Coloquialmente: en la ecuación, debemos pasar el número 95 al otro lado y, comoestá multiplicando, pasa dividiendo (sin cambiar de signo):Se comprueba que el ejercicio está teóricamente resuelto, ya que tenemos unaigualdad en la que x equivale al número 525/95. Sin embargo, debemos simplificar.Resolvemos la fracción (numerador dividido entre denominador) en caso de que elresultado diera exacto; si diera decimal, simplificamos la fracción y ése es el resultado.En la ecuación, vemos que el resultado de la fracción es decimal (525:95 =5,5263157894737)por tanto, simplificando, la solución es:Tipos de ecuaciones de primer gradoLas ecuaciones las podemos dividir básicamente en tres tipos :Ecuaciones lineales con coeficientes enteros : Estas ecuaciones son las más sencillas de resolver. Para hacerlo, se agrupanlos términos que contienen la incógnita en uno de los miembros, y los términosconstantes en el otro :Ejemplo:1) Resolver: 6x - 12 + 4x - 1 = -x - 7x + 12 - 3x + 5Solución:Primero se reducen términos semejantes: ;Se agrupan las “x“ y los números en distintos lados de la igualdad:Se vuelven a reducir términos semejantes:Finalmente, se despeja la x y se simplifica la solución :2) Resolvamos ahora la siguiente ecuación: x - 3 = 2 + x.Solución:x - 3 = 2 + x.Rápidamente obtendrás la expresión 0 = 5, que es una contradicción.Desde luego, esta igualdad no es cierta independientemente del valor quetome x.Decimos que en este caso la ecuación no tiene solución.3) Resolvamos, finalmente: 2x-1 = 3x + 3 - x – 4: 31
  32. 32. Solución:2x-1 = 3x + 3 - x – 4Ahora habrás llegado a la expresión 0 = 0 ¿Qué significa? La igualdad que hasobtenido es cierta, pero se ha eliminado la x. ¿Cuál es la solución?Si la igualdad es cierta, lo será para cualquier valor de x. Compruébalo, sustituyendox por 0, 1, -3 u otro valor que desees.En este caso, se dice que la ecuación tiene infinitas soluciones (cualquiervalor de x es solución).Las ecuaciones de este tipo se denominan identidades.Ecuaciones con coeficientes fraccionarios :Para su resolución, se multiplica la igualdad por el mcm (mínimo común múltiplo)entre los denominadores.Ejemplo:ResolverSolución: /Luego se simplifica:Transformándose en una ecuación lineal:Otro caso : Ecuaciones fraccionarias con denominadores algebraicosPara su resolución, se multiplica la ecuación por el mcm (mínimo común múltiplo)entre los denominadores.Ejemplo:ResolverSolución:Se multiplica la ecuación por (x + 1) · 2x /· 32
  33. 33. Y se simplifican los términos correspondientes:Se desarrollan los productos:Y se reducen términos semejantes:Quedando finalmente que:Ecuaciones Literales :La técnica principal es, una vez agrupada la incógnita, aplicar la factorización ysimplificación.EjemploResolverSolución:Se realizan los productos:Se agrupan términos, dejando la incógnita en uno de los dos miembros:Se factoriza la incógnita:Y se despeja x:Se simplifica, quedando que:Planteamiento de problemas. Generalmente un problema se enuncia en términos verbales y su resoluciónpasa por el planteamiento de una o más ecuaciones. Estas ecuaciones corresponden arelaciones que se establecen entre las cantidades involucradas en el problema y a lascondiciones que dichas relaciones plantean. Para plantear la ecuaciones se requieren de dos habilidades fundamentales :análisis lógico del problema planteado y traducción del lenguaje común al lenguajealgebraico.Recordemos algunas maneras de enunciar algunas expresiones algebraicas :El doble de a.......................................................2aEl triple de b.......................................................3b 33
  34. 34. El cuádruplo de c.................................................4cEl cuadrado de d.................................................d2El cubo de e.......................................................e3El antecesor del n° entero f..................................f–1El sucesor del n° entero g ...................................g+1El cuadrado del doble de h...................................(2h)2El doble del cuadrado de i....................................2i2Un número par...................................................2nUn número impar ...............................................2n-1 ó 2n+1Dos números consecutivos...................................n y n+1Dos números pares consecutivos..........................2n y 2n+2Dos números impares consecutivos......................2n-1 y 2n+1La mitad de x...................................................La tercera parte de y ........................................Algunos pasos básicos para el planteamiento de problemas :1°: Comprender el problema : realizar una lectura comprensiva del problema.2°: Plantearse un plan : ordenar los datos entregados y plantear una o varias ecuaciones que permitan resolver el problema.3°: Ejecutar del plan : resolver las ecuaciones planteadas.4°: Dar respuesta y verificar los resultados.Veamos a continuación algunos ejemplos de planteo de ecuaciones:Ejemplo 1:¿Qué número aumentado en 5 unidades es igual a 100?.Planteamiento de la ecuación : x + 5 = 100Resolución de la ecuación : x = 100 – 5 x = 95.Respuesta : 95. 34
  35. 35. Ejemplo 2:Pedro excede en 7 cm la estatura de su hermano Jorge. ¿Cuál es la altura de Jorge siPedro mide 1,20 mts.?. estatura Pedro = P estatura Jorge = J diferencia de estaturas : P – J = 7 cm (0,07 mts), pero P = 1,20 mt ⇒Planteamiento de la ecuación : 1,20 mts – J = 0,07 mtsResolución de la ecuación : J = 1,20 mts – 0.07 mts J = 1,13mtsRespuesta : Jorge mide 1,13 mts.Ejemplo 3:Sergio tiene un año más que el doble de la edad de Humberto y sus edades suman 97.¿Qué edad tiene el menor?Si x es la edad de Humberto, entonces la edad de Sergio es 2x + 1. Planteando que lasuma de las edades es 97, obtenemos la ecuación:x + 2x + 1 = 973x = 96x = 32, reemplazando este valor de x, se concluye que la edad de Humberto es 32 y lade Sergio es 65.Respuesta: 32Ejemplo 4:Hallar dos números consecutivos, cuya diferencia de cuadrados es igual a 9.Sean x y x + 1 los números, entonces, según el enunciado dado:(x + 1)2 – x2 = 9; desarrollando los cuadrados de binomio, tenemos: x2 + 2x + 1 – x2 = 9 2x + 1 = 9x = 4; por lo tanto los números son 4 y 5.Ejemplo 5:La suma de tres números impares consecutivos es 39. Calcular esos númerosSolución:Sea: 35
  36. 36. El 1° número: 2x+1El 2° número: 2x+3El 3° número: 2x+5Interpretando el enunciado, se forma la ecuación: (2x+1) + (2x+3) + (2x+5) = 39Cuya solución es: 2x+1 + 2x+3 + 2x+5 = 39 6x + 9 = 39 6x = 39 - 9 6x = 30 x=5Luego, el primer número es: 2x+1 2 • 5 + 1 = 11El segundo es: 2x+3 2 • 5 + 3 = 13El tercero: 2x+5 2 • 5 + 5 = 15Respuesta: los tres números son: 11, 13 Y 15.Estrategias de Resolución de Problemas.Problemas de doble discriminación. En este tipo de preguntas, al problema planteado le siguen 3, 4 ó 5proposiciones (I, II, III, etc.) que deben ser analizadas individualmente paradictaminar si cumplen con determinada propiedad, si son verdaderas o falsas, etc.Finalmente, se ha de elegir la alternativa (A, B, etc.), según el resultado del análisis.Esta estructura se puede esquematizar así: Planteamiento del problema Proposiciones: I, II III, etc. Alternativas: A, B, C, D, E.Ejemplo:¿Cuál (es) de las siguientes expresiones es (son) igual (es) a ?I:II:III:A) Solo IB) Solo I y IIC) Solo II y III 36
  37. 37. D) Solo I y IIIE) I, II y IIISolución : • Proposición I:Separando la raíz del denominador: =Amplificando por y luego simplificando por 5: = = = .La proposición I es igual a . • Proposición II:Separando la raíz del numerador: =Amplificando por y luego simplificando por 3: = = = .La proposición II es igual a . • Proposición III:Amplificando la expresión por para racionalizar, queda: = =Esto nos lleva a la proposición II. Por lo tanto, la proposición III es igual a .En conclusión, las expresiones I, II y III son iguales a .Por lo tanto, la alternativa correcta es E.Problemas de evaluación de suficiencia de datos. 37
  38. 38. Estos problemas tienen una estructura bien definida. Lo fundamental es que no se pide la solución al problema, sino decidir si losdatos proporcionados en el enunciado, más los indicados en las afirmaciones (1) y (2)son suficientes para llegar a esa solución.Las alternativas que se dan son: A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional.A) (1) por sí sola: Esta alternativa se marca si la afirmación (1) por sí sola es suficiente pararesponder a la pregunta, pero la afirmación (2) por sí sola no lo es.B) (2) por sí sola: Esta alternativa se marca si la afirmación (2) por sí sola es suficiente pararesponder a la pregunta, pero la afirmación (1) por sí sola no lo es.C) Ambas juntas, (1) y (2): Se marca esta alternativa, si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas sonsuficientes para responder a la pregunta, pero ninguna de las afirmaciones por sí solaes suficiente.D) Cada una por sí sola, (1) ó (2): Se marca esta alternativa, si cada una por sí sola es suficiente para respondera la pregunta.E) Se requiere información adicional: Se marca esta alternativa si ambas afirmaciones juntas son insuficientes pararesponder a la pregunta y se requiere información adicional para llegar a la solución.Ejemplo 1: B¿Cuál es el valor de en la figura?(1) ángulo en C recto.(2) AC = BC α A CSolución:Consideremos la afirmación (1).Que el ángulo C sea recto, no nos da información sobre los otros ángulos del triángulo.Creer que son de 45º cada uno no es correcto, ya que ningún dato dice que esosángulos son iguales.La afirmación (2) señala que el triángulo es isósceles, ya que AC = BC, lo que nosindica que el ángulo en A y en B son iguales, pero no tenemos ningún otro dato quenos permita calcularlos (los 90º de la afirmación (1) hay que olvidarlos por ahora).Como hemos podido apreciar, las afirmaciones (1) y (2), por sí solas, no nos permitendeterminar el valor de , pero si juntamos ambas, se nos produce la siguienteinformación:El ángulo en C mide 90° y ángulo y ángulo en B son iguales.Esta información sí nos permite llegar a la solución. Por lo tanto, Ambas juntas, (1) y(2). 38
  39. 39. Alternativa correcta: CEjemplo 2:De cinco alumnos: A, B, C, D y E. ¿Cuál es el más alto?(1) A es más bajo que B, pero más alto que E.(2) E es más alto que C, pero más bajo que D.Solución:(1) Estableciendo un orden de menor a mayor, podemos concluir que: E< A < BSin embargo, no hay elementos para comparar a los alumnos C y D. Por lo tanto,(1) por sí sola NO es suficiente.(2) Análogamente se interpreta obteniendo: C<E< DTampoco hay elemento de comparación para A y B. Luego, (2) por sí sola tampoco essuficiente.Luego la alternativa D, cada una por sí sola, tampoco es la correcta.Analizaremos la alternativa C, ambas juntas.De la información de (1): E< A < BAl juntar la (2) se tiene: C< E< A < BComo D es mayor que E, se debiera ubicar a la derecha, pero no hay elemento decomparación para la relación entre A, B, D. Por lo tanto tampoco (1) y (2), ambasjuntas, son suficientes para resolver el problema. Se requiere información adicional. Unid a d 5. Desig ua ld a d es e inec ua c io nes.Desig ua ld a d es.Los números reales se pueden comparar mediante la relación “mayor que”, “menorque” o “igual que”, para lo cual existe la siguiente simbología: a < b ; que se lee “a es menor que b” o “b es mayor que a” a b se lee: “a es menor o igual a b“ o “b es mayor o igual que a”. Para el caso de comparación entre dos números positivos, en la recta numéricaes mayor el que está más lejos del cero.En cambio, para comparar dos negativos entre sí, el mayor es el que esta más cercadel cero.Para comparar dos números reales a y b, en general, es mayor el que está a laderecha en la recta numérica.Ejemplos: 39
  40. 40. Propiedades de las desigualdades:1) Una desigualdad se mantiene si se suma o resta la misma cantidad a ambos lados:2) Una desigualdad se mantiene si se multiplica (o divide) por una cantidad positiva:3) Una desigualdad cambia de dirección si se multiplica (o divide) por una cantidad negativa:Es decir cuando multiplicamos por una cantidad negativa, la desigualdad se invierte.Ejemplo:Intervalos. Frecuentemente se trabaja con subconjuntos de números reales, expresados deacuerdo con alguna relación de orden, como por ejemplo: “los números reales mayoresque -1 y menores que 8”. Simbólicamente: {x IR / -1 < x < 8 }.Estos subconjuntos de IR se denominan intervalos.Clasificación de intervalos: Los intervalos son subconjuntos de los números reales. Existen los siguientes tiposde intervalos:Intervalo Cerrado: En este caso los extremos a y b están incluidos dentro del conjunto. Esta situación se denota con corchetes “hacia adentro”.Intervalo Abierto: En este caso, los extremos a y b no son parte del conjunto. Están excluidos. Esta situación se denota con paréntesis redondos o con corchetes mirando “hacia afuera”. 40
  41. 41. Intervalo semiabierto o semicerrado: En estos casos, uno de los extremos es abierto y el otro es cerrado.Intervalos hacia el infinito. Representación gráfica de intervalos. Un intervalo puede representarse gráficamente, representando el extremo cerrado con un punto lleno y el extremo abierto con un punto en blanco. 41
  42. 42. Ejemplos : 42
  43. 43. Inecuaciones de primer grado. Una inecuación es una desigualdad que contiene una incógnita. En este tipo deexpresiones algebraicas obtenemos como resultado un conjunto de soluciones en elcual la variable independiente puede tomar el valor cualesquiera de ese conjuntocumpliendo esta desigualdad; a este conjunto se le conoce como Intervalo.Ejemplo: x + 5 < 8 se cumple “para todo x menor que 3“. Resolver una inecuación es calcular el intervalo de números reales, para el cualla inecuación se transforma en una desigualdad verdadera.Para resolver una inecuación, se deben aplicar las propiedades de las desigualdades.Ejemplo:Resolver la inecuación:2x – 5 < x + 2Solución:2x – 5 < x + 22x – x < 2 + 5x<7Esta solución se puede expresar como:Sist em a s d e I nec ua c io nes. Un sistema de inecuaciones lineales es aquel que tiene dos o más inecuaciones.Para resolverlo se determina el conjunto de números reales que satisfacesimultáneamente todas las desigualdades del sistema.Este conjunto se llama conjunto solución del sistema, determinado por una regióndel plano, que se obtiene por intersección del conjunto solución correspondiente a cadauna de las inecuaciones.Para resolver sistemas de inecuaciones lineales se debe resolver cada inecuación porseparado e intersectar los intervalos resultantes; es decir, se debe hallar el conjuntode números que pertenezca a ambos intervalos:Ejemplo 1:Resolver el sistema de inecuaciones:En el primer sistema de inecuaciones multiplicamos por 3: (propiedad 2)x – 2 > 3 /+2 (propiedad 1)x>5 43
  44. 44. En el segundo sistema de inecuaciones multiplicamos por –2 (propiedad 3)x – 3 < 6 / + 2 (propiedad 1)x < 9 Por lo tanto las soluciones son: x > 5 y x < 9.Gráficamente tenemos entonces la siguiente situación:Por lo tanto los números reales que cumplen ambas condiciones corresponden a todoslos números comprendidos entre 5 y 9.Si traducimos lo anterior a intervalo, tenemos que:]5,9[Ejemplo 2 :Determinemos el conjunto solución del sistemaSolución:Resolvemos cada inecuación en forma separada:Gráficamente esto es:Así, la solución final será la intersección 44
  45. 45. Unidad 6. Relaciones y funciones.Relaciones.Sistema de Coordenadas Cartesianas. En el siglo XVII (época de Descartes y muchos grandes matemáticos) lageometría había alcanzado su plenitud. Pero las demostraciones que se hacían acercade ellas eran basadas en supuestos de los que se conocían sus resultados y se llegabaa ellos mediante un razonamiento deductivo bastante elegante, al puro estilo deEuclides. Sin embargo era difícil la predicción, este es un elemento importantísimo encualquier ciencia. A Rene Descartes se le ocurrió mezclar las herramientas que teníahasta el momento, entre las más importantes que encontró fue la geometría euclidianay el álgebra renacentista. Así, creó un sistema de referencias al cual podía asignarecuaciones de dos variables a curvas en el plano y viceversa. De este modo podíanestudiarse figuras geométricas y sus relaciones con el uso del álgebra. De esta manerasurgió la geometría analítica. El sistema de ejes coordenados está formado por dos rectas numéricas, unahorizontal y otra vertical, llamadas ejes. El eje horizontal (eje x) se denomina eje delas abscisas y el eje vertical (eje y) se denomina eje de las ordenadas.Sobre el sistema de ejes coordenados se pueden ubicar todos los pares ordenados dela forma (a, b), tal como lo muestra la figura. En el punto P(a, b) los elementos a y b se llaman coordenadas del punto P.Par Ordenado. Conjunto de dos números arreglados en un orden particular, normalmenteescritos como (1er número, 2o número), en donde tanto el orden como los valorestienen significados acordados. Por ejemplo, las coordenadas de un punto en un plano de coordenadasCartesianas se escriben como (x, y), en donde x es la coordenada horizontal e y es lacoordenada vertical.Su representación general es: ( a,b) Cada par ordenado es una combinación entre elementos del conjunto A yelementos del conjunto B. Siempre el primer elemento pertenece al primer conjunto y 45
  46. 46. el segundo elemento al segundo conjunto pero no al revés porque su representaciónno es conmutativa, es decir, no se puede alterar el orden.Producto cartesiano. En teoría de conjuntos, el producto cartesiano es un producto directo deconjuntos, también es conocido como producto cruz. En particular, el productocartesiano de dos conjuntos X y Y, denotado por X × Y, es el conjunto de todos lospares ordenados en los que el primer componente pertenece a X y el segundo a Y:Ejemplo:Sean los conjuntos :A={1,2,3} yB={4,5,6}se tiene:AXB={(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5) ,(3,6)}El producto cartesiano AXB no es igual al producto cartesiano BXA. Para saber el número de elementos del producto cartesiano nos fijaremos en eldiagrama de árboltenemos nueve elementos, que es el resultado de multiplicar el número de elementosdel conjunto A por los del conjunto BPodemos saber el número de elementos de un producto cartesiano formado por nconjuntos, multiplicando el número de elementos de cada uno de los conjuntos queintervienenRelación. 46
  47. 47. Dados dos conjuntos A y B, se define una relación de A en B como todos lospares ordenados que cumplan una condición dada. Una relación es un subconjunto delproducto cruz.Ejemplo:Dados los conjuntos : A = {1, 2, 3, 4} y B = {3, 5, 8},Escribir la relación definida por R = { (x, y) / x < y ; x Є A ; y Є B }Esta definición de R (relación) se traduce como todos los pares ordenados (x, y) talque el elemento de A es menor que el elemento de B y el elemento x pertenece a Ay el elemento y pertenece a B.Esto es: R= {(1, 3), (1, 5), (1, 8), (2, 3), (2, 5), (2,8), (3, 5), (3, 8), (4, 5), (4, 8) }Gráfica de una relación. La gráfica de una relación corresponde a la ubicación de los pares ordenados dedicha relación en el plano cartesiano.La gráfica de la relación anterior es la siguiente:eje y eje xDominio y Recorrido de una relación. Se le llama Dominio de la relación a los elementos del conjunto A queparticipan en la relación.En el ejemplo que estamos analizando:Dom R = { 1, 2, 3, 4} 47
  48. 48. EL Recorrido de la relación es el conjunto formado por todos los elementos delconjunto B que participan en la relación.En este caso:Rec R = { 3, 5, 8}.Función matemática. Dada una relación f : A → B, esta relación es función si y solo si cada elementode A tiene imagen única en B.En símbolos:Se cumple con las siguientes dos condiciones: 1.Condición de existencia: Todos los elementos de X están relacionado con elementos de Y, es decir, 2. Condición de unicidad: Cada elemento de X esta relacionado con un único elemento de Y, es decir, si Una función se simboliza por el símbolo f(x) y significa que la relación está enfunción de x. A la variable x se llama variable independiente y puede tomar cualquiervalor. La variable y se llama dependiente, porque sus valores se obtienen al reemplazarla x. f(x) = y 48
  49. 49. Función inyectiva. Una función es inyectiva o uno es a uno si cada valor en laimagen de corresponde un único origen en el dominio.Por ejemplo, la función de números reales , dada por no esinyectiva, puesto que el valor 4 puede obtenerse como f(2) y f( − 2). Pero si eldominio se restringe a los números positivos, obteniendo así una nueva función entonces sí se obtiene una función inyectiva. 49
  50. 50. Definición formal :De manera más precisa, una función es inyectiva cuando se cumplealguna de las dos afirmaciones equivalentes: • Si x1,x2 son elementos de tales que f(x1) = f(x2), necesariamente se cumple x1 = x2. • Si x1,x2 son elementos diferentes de , necesariamente se cumpleFunción epiyectiva. Una función es epiyectiva (sobreyectiva suprayectiva, suryectiva oexhaustiva), si está aplicada sobre todo el codominio, es decir, cuando la imagen , o en palabras más sencillas, cuando cada elemento de "Y" es la imagen decomo mínimo un elemento de "X".Formalmente,Usando lenguaje más técnico se puede expresar la condición de inyectividad como:«Una función es inyectiva si la fibra (imagen inversa) de cada elemento del codominiotiene cardinalidad menor o igual a uno».Función biyectiva. Una función es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva ysobreyectiva.Formalmente, 50
  51. 51. Formas de representar una función. Existen 4 formas de representar una función, las que se resumen en el siguientecuadro:Nomenclatura funcionalConsideremos la función real f: A → B representada en el siguiente diagrama:En el diagrama, los conjuntos dominio y recorrido son :Dom f = {a, b, c} yRec f = {1, 2, 3} 51
  52. 52. Además, bajo la condición f, el elemento a Є A está relacionado con el elemento2 Є B.Esto se expresa diciendo que 2 es la imagen de a bajo la función f y se escribe así:f(a) = 2Análogamente, se dice que a es la preimagen de 2, bajo la función f. Esto se escribeasí:f -1(2) = aPreimagen : se refiere a cada uno de los elementos del conjunto de partida (dominio).Imágen : se refiere a cada uno de los elementos del conjunto de llegada (recorrido).Funciones Reales. Son todas aquellas funciones cuyos conjuntos iniciales y finales son losnúmeros reales. Por ejemplo: Sea f: IR → IR, definida como f(x) = 2x – 1.De este tipo de funciones podemos definir algunas operaciones:Cálculo de imágenes : Dada una función f(x), el cálculo de una imagen se reduce a la valoración deuna expresión.En el ejemplo dado:Dado: f(x) = 2x – 1, calcule f(-5).Solución:Reemplazando: f(-5) =2 · (-5) – 1 = - 11Entonces: f(-5) = -11Cálculo de preimágenes : Dada una función f(x), el cálculo de una preimagen corresponde al cálculo de unvalor de x tal que resulte el valor de la función.En el ejemplo dado:Dado: f(x) = 2x – 1, calcule f -1(-11).Tenemos que: 2x – 1 = - 11, que es una ecuación de primer grado.Resolviendo: 2x = - 11 + 1 x = -5Entonces, f-1(-11) = -5 52
  53. 53. Análisis del Dominio de una Función. El dominio de una función es el conjunto, cuyos elementos hacen que lafunción esté bien definida. En otras palabras, es el conjunto de las preimágenes(variable x), donde la función está definida.¿Cuál el Dominio de la siguiente función?: f(x) =Si observamos, la función es una fracción. Este tipo de funciones se llama funciónracional y por tratarse de una fracción, lo importante es que el denominador no seacero. Entonces, buscaremos dicho valor.Para este efecto, se iguala el denominador a cero y se resuelve la ecuación:Es decir, el dominio puede tomar cualquier valor real menos el 4. Luego, Dom f = IR -{4}Análisis del Recorrido de una Función. El recorrido de una función son los valores que toma la variable Y o el conjuntode las imágenes.Para analizar el recorrido, se despeja la variable x:Ejemplo:Hallar el recorrido de la función: f(x) =Se despeja la x, haciendo y = f(x). Esto es: se factoriza por x 53
  54. 54. Análogamente al análisis del dominio, se toma el denominadorEntonces: Rec f(x) = IR - { 3 }Es decir, el recorrido puede tomar cualquier valor real, menos el 3.Funciones Definidas por Intervalos. Existen funciones definidas por tramos o intervalos, que permiten mezclar lasfunciones básicas y son de gran utilidad en la matemática:Ejemplo:f(x) =Calcular f(-3) y f(4).Solución:Como x= -3 es negativo se debe utilizar . Entonces:f( 4) como x=4 es positivo se debe ocupar x+1. Entonces:Composición de funciones.Sean las funciones f: A B y g: B C,entonces se define la función compuesta de f con g: gof: A C a f(a) = b g(f(a)) = c 54
  55. 55. Figura : Diagrama de función compuesta a f(a) b g(f(a)) c Figura: Esquema de una función compuestaEn la figura: f(-2) = 2 · (-2) – 1 = -5 g(f(-2)) = g(-5) = (-5)2 = 25 f(2) = 2 · (2) – 1 = 3 g(f(2)) = g(3) = (3)2 = 9Función inversa. Sea la función f: A B. Su inversa se designa por f-1 : B A y se definepor:Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f−1 que cumple que:Si f(a) = b, entonces f−1(b) = a.Podemos observar que: 55
  56. 56. El dominio de f − 1 es el recorrido de f .El recorrido de f−1 es el dominio de f.Si queremos hallar el recorrido de una función tenemos que hallar eldominio de su función inversa. Unidad 7. Función lineal. Una función real es lineal si obedece a la forma : f(x) = a + bx, con a y b IR, b 0.La función lineal puede escribirse de varias formas, de las cuales usaremos:Forma Principal: y = mx + n; con m y n IR, m 0.Forma General: ax + by + c = 0; , con a, b y c IR, a 0.Ejemplo:Escribir la función lineal 6x – y = 9 en sus formas principal y general.Solución:Para la forma principal se despeja la y: 6x – y = 9 y = 6x – 9,que es la forma principal de la recta.Para la forma general, se trasladan todos los términos al primer miembro: 6x – y = 9 6x – y – 9 = 0,que es la forma general de la recta.Gráfica de la función lineal. Toda igualdad de la forma ax + by = c, donde a, b, c R, representa unaecuación lineal con dos incógnitas, cuyas soluciones son pares ordenados de la forma(x, y). Este par ordenado (x, y) corresponde a un punto del plano cartesiano.Ejemplo:La ecuación L: x + y = 4 56
  57. 57. Gráfico:Observaciones: • A toda ecuación lineal (de primer grado) con dos incógnitas le corresponde gráficamente una recta • Cada par ordenado de números (x, y) corresponde a las coordenadas de un punto que es solución de la ecuación dada, es decir, satisface esa ecuación. • Los puntos que cada par ordenado representa, pertenecen a la recta correspondiente.Dominio y Recorrido de la función lineal.En una función lineal y = f(x), x, que es la variable independiente, puede tomarcualquier valor real. Por lo tanto: Dom f(x) = IRDe igual forma, la variable dependiente y puede tomar cualquier valor real. Por lotanto:Rec f(x) = IREcuación de la Recta. La idea de línea recta es uno de los conceptos intuitivos de la Geometría. Sepuede entender como un conjunto infinito de puntos alineados en una única dirección.De acuerdo a uno de los postulados de la Geometría Euclidiana, para determinar unalínea recta solo son necesarios dos puntos de un plano. 57
  58. 58. La idea consiste en poder encontrar una expresión algebraica (una función) quedetermine a una recta dada. Dicha expresión algebraica recibe el nombre de Ecuaciónde una Recta.Ecuación Principal de una Recta.Se llama Ecuación Principal de una Recta a una expresión de la forma: y = mx + n Con m y n IR, m 0Donde m representa a la pendiente de la recta y n es el intercepto.Pendiente de una recta (m). Se denomina pendiente “m” de una recta a una constante que revela el gradode inclinación que tiene la recta respecto del eje de las abscisas (eje x). Para determinar matemáticamente la pendiente, elijamos dos puntoscualesquiera de una recta. En la figura adjunta se han marcado los puntos A( , ) yB( , ) de la recta L.La pendiente m se calcula así:Interpretación de la pendiente de una recta.Signo de la pendiente: • Si m > 0, indica una relación directa entre x e y. A mayores valores de x, mayores valores de y, y viceversa. • Si m < 0, indica una relación inversa entre x e y. A mayores valores de x, menores valores de y, y viceversa. • Si m = 0, indica que la variable y se mantiene constante, aunque x aumente o diminuya. Las rectas con pendiente cero son paralelas al eje x. 58
  59. 59. Pendiente positiva (m>0) Pendiente positiva (m<0) Pendiente nula (m=0)Valor absoluto de la pendiente. Toda vez que la pendiente de una recta es la razón entre una diferencia devalores de y con una diferencia de valores de x, la pendiente revela la magnitud delcrecimiento (o decrecimiento) de los valores de y por cada unidad de variación en losvalores de x.En otras palabras, el valor absoluto de la pendiente cuantifica cuánto crece (o decrece)la variable dependiente (y) con las variaciones de la variable independiente (x).Ejemplo:En la recta y = 7 - 3x, ¿Qué indica la pendiente?Solución:La pendiente es m = -3 indica, por su signo, una relación inversa entre x e y. Es decir,cuando x crece, la variable y decrece. Por cada unidad que aumenta x, la variable ydecrece en 3 unidades, o bien que, por cada unidad que disminuye x, la variable yaumenta en 3 unidades.En la figura siguiente se muestran cinco rectas que pasan por un mismo punto, perocon distintos grados de inclinación. 59
  60. 60. Intercepto de una recta (n). Se denomina intercepto de una recta y = mx + n, al valor en el cual la rectaintersecta al eje y. Este valor corresponde al término n de la ecuación principal.Puntos relevantes de una recta.Se denominan así los puntos de intersección de la recta con el eje x y con el eje y.Intersección con el eje x:En este caso, y = 0. Por lo tanto, en la ecuación y = mx + n tenemos que:Entonces, el punto de intersección de la recta con el eje x es:Intersección con el eje y:En este caso, x = 0. Por lo tanto, en la ecuación y = mx + n tenemos que:y=m•0+ny=nLuego, el punto de intersección de la recta con el eje y es: P (0, n). 60
  61. 61. Determinación de la ecuación de la recta.Determinar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos.Determinar la ecuación principal de la recta que pasa por los puntos (-2, 4) y (3, -1).En la figura se muestra el gráfico de esta recta. Podemos darnos cuenta que se tratade una recta con pendiente negativa, que corta al eje “y” en el número 2. 61
  62. 62. 1º: Cálculo de la pendiente:Sabemos queEntonces:Por lo tanto, la ecuación de esta recta queda así, hasta ahora: y = -1x + n2º: Cálculo del intercepto:¿Y el valor de “n”? Lo podemos obtener sustituyendo cualquiera de los dos puntosconocidos de esta recta en lo que tenemos hasta ahora de ecuación. Tomemos, porejemplo, el punto (-2, 4):y = -x + n4 = -(-2)+nn=2Por lo tanto, la ecuación de esta recta es: y = -x + 2¡Y cumple con todo lo previsto! Pendiente negativa y corta al eje “y” en el número 2.Determinar la ecuación con un punto y su pendiente.Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(2, -5) y tiene pendiente -4.Solución:Como el punto dado es A(2, -5) con x = 2 e y = -5 y el valor de la pendiente es m =-4, entonces:y = mx + nReemplazando:-5 = -4 • 2 + n-5 = -8 + n-5 +8 = n3=nLuego: y = -4x + 3 es la ecuación pedida.Posición Relativa de dos Rectas en el Plano. Según la Geometría Euclidiana, si dos líneas rectas se encuentran en un mismoplano, podría ocurrir que ellas se corten en un punto o que no se corten. 62
  63. 63. Si se cortan en un punto, se dice que son secantes y si no se cortan, son paralelas.En el caso de las rectas secantes, si el ángulo que forman es recto (mide 90º), diremosque las rectas son perpendicularesRectas Paralelas. Se considera que dos rectas son paralelas cuando sus pendientes son iguales.Si se da el caso que, además de ser iguales las pendientes, también lo son loscoeficientes de posición (n), diremos que las rectas son coincidentes.Rectas Perpendiculares.Si dos líneas rectas son perpendiculares, se verifica que el producto de sus pendientes esigual a –1. 63
  64. 64. Así, se considera que (se lee: “la recta es perpendicular con la recta ”) sise cumple que .Rectas secantes. Si : y = m1 x+ n1 y : y = x + son rectas secantes, el punto deintersección entre ellas está dado por la solución del sistema de ecuaciones:Un sistema de ecuaciones es un arreglo formado por dos o más ecuaciones con dos omás incógnitas.Un sistema de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas tiene la forma:Donde a, b, c, d, e y f , x e y son las incógnitas.La solución del sistema es todo par (x, y) que satisfaga simultáneamente ambasecuaciones.Ejemplo:El sistema:Tiene como solución: x = 3 e y = 5. Esto porque ambos valores satisfacensimultáneamente a las dos ecuaciones.En efecto, al reemplazar los valores de x e y en la primera ecuación, se tiene: 64
  65. 65. De la misma forma, al reemplazar los valores de x e y en la segunda ecuación, setiene: Como se dijo anteriormente si las rectas son secantes (o perpendiculares) elsistema de ecuaciones tiene soluciones (uno puntos de intersección de intersección).Pero si las rectas son paralelas no existe solución, ya que ambas rectas tienen elmismo ángulo de inclinación (nunca se cortan).Métodos para Resolver Sistemas de Ecuaciones.1. Eliminación por reducción: Consiste en igualar los coeficientes de una misma incógnita en ambas ecuaciones y,en seguida, sumar o restar las ecuaciones, de modo que se eliminen los términoscuyos coeficientes se igualaron.Ejemplo :Resolver el sistema:Solución:Primero se elige la incógnita que se va a reducir (eliminar).En este caso elegiremos la “x“, cuyos coeficientes son 4 y 5 en la primera y segundaecuación, respectivamente.Para eliminar la x, multiplicaremos la primera ecuación por (-5) y la segunda por 4.Como se puede apreciar, esta multiplicación dio como resultado que los coeficientes dela x en ambas ecuaciones son opuestos y ahora pueden eliminarse por simple suma delas dos ecuaciones.Entonces, sumando miembro a miembro ambas ecuaciones, se tiene: 65
  66. 66. Reemplazando en la ecuación (2) el valor obtenido para y, se tiene:Por lo tanto, la solución del sistema es x = 6 e y = 7, o bien, el par (6, 7). La estrategia de este método consiste en multiplicar una o ambas ecuacionespor números convenientemente elegidos para que resulte que los coeficientes de unade las incógnitas sean opuestos, de modo que se eliminen al sumar las ecuaciones.2. Eliminación por sustitución. Consiste en despejar una incógnita de una de las ecuaciones y sustituirla en laotra ecuación.Ejemplo :Resolver:Solución:De este sistema, se despeja una variable en alguna de las dos ecuaciones. Porejemplo, tomando la segunda ecuación y despejando la “x” se tiene:Seguidamente, este valor se reemplaza en la otra ecuación; en este caso, la ecuación1).Entonces, este valor de y se reemplaza en el despeje obtenido para “x” en la primeraparte, de modo que:3. Método de igualación. Consiste en despejar la misma variable (incógnita) en cada una de lasecuaciones y en seguida, igualar ambos despejes sobre la base del siguiente principio. 66
  67. 67. Ejemplo:Resolver:Solución:Se despejará x en ambas ecuaciones:De (1):De (2):Como (1) = (2), entonces: , /Luego reemplazando en (1) se tiene:Aplicaciones de la función lineal. La función lineal tiene aplicaciones en muchas disciplinas : economía, biología,física, etc. Puede ser utilizada en todos aquellos casos en la relación entre dosvariables sea de tipo lineal. En cuanto a los problemas de aplicación, estos se refierenprincipalmente al cálculo de una ecuación lineal entre dos variable o bien ala determinación de una de las variables conociendo la ecuación que lasrelaciona y el valor de la otra variable.Veamos algunos ejemplos : 1) La función que representa el valor a pagar de un taxi, después derecorridos 200 metros es : f ( x ) = 0,8x + 250con x : cantidad de metros recorridos f ( x ) : costo en pesosentonces el valor a pagar por un recorrido de 3 kilómetros es : 67
  68. 68. f ( 3 0 0 0 ) = 0,8• 3000 + 250f ( 3 0 0 0 ) = 2650Entonces por 3 kilómetros se pagan $2.650. 2) Utilizando la misma ecuación del ejercicio anterior calcular cuánto recorrióuna persona que pagó $2.250.Como se nos está entregando el valor del costo del recorrido, entonces nos estánentregando el valor de y (f(x)) en nuestra función.Para obtener el resultado reemplazamos el valor de y en la función yresolvemos la siguiente ecuación :2.250 = 0,8x + 2502.250 – 250 = 0,8x2.000 = 0,8xx = 2.000 : 0,8x= 2.500Entonces una persona que canceló $2.250 recorrió 2.500 metros (2 kilómetros).3) Si se sabe que el agua se congela a 32 ºF ( Fahrenheit) o 0 ºC (Celsius) y hierve a 212 ºF o 100 ºC. ¿Cómo se puede expresar la relación de grados Fahrenheit en función de los grados Celsius?.Se tiene la siguiente información : x1 y1 x2 y2(0; 32) y (100; 212)ºC: variable independiente (x)ºF : variable dependiente (y)Primero calculamos la pendiente : m = 212 - 32 100 – 0 m = 180 100 m= 0,18Comenzamos a construir nuestra ecuación : y = 0,18x + nLuego reemplazamos cualquiera de los puntos entregados en el enunciado delproblema para calcular nuestro coeficiente de posición (n).En nuestro casos vamos a utilizar el punto (0; 32) 32 = 0,18•0 + n n = 32 68
  69. 69. Terminamos de construir la ecuación : y = 0,18x + 32Y finalmente reemplazamos las variables x e y por las utilizadas en el enunciado delproblema : ºF = 0,18 • ºC + 32 Unidad 8. Función Cuadrática.La función cuadrática está definida por: f(x) = a x2 + bx + c; con a, b y c IR y a 0.Si representamos "todos" los puntos (x,f(x)) de una función cuadrática,obtenemos siempre una curva llamada parábola.El dominio de esta función es el conjunto de los números reales y su gráficoes siempre una parábola.Concavidad de la parábola. Dependiendo del signo del coeficiente “a” de la ecuación de laparábola, la abertura de la curva puede ser hacia arriba o hacia abajo :1) Si a > 0 la parábola abre hacia arriba (concavidad positiva ).2) Si a < 0 la parábola abre hacia abajo (concavidad negativa ). a > 0 a < 0Raíces. Las raíces (o ceros) de la función cuadrática son aquellos valores dex para los cuales la expresión vale 0, es decir los valores de x tales quey = 0. Gráficamente corresponden a las abscisas de los puntos donde laparábola corta al eje x.Formas en que la parábola puede cortar al eje x en: 69

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