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  • 1. MOISÉS VILLENA MUÑOZ Respuestas a los Ejercicios PropuestosCAPITULO 1: Ecuaciones Diferenciales de PrimerOrden Ejercicios Propuestos 1.1 3 x3 C 1. y( x)  2 x ln x  2 x 2  Cx 2. y ( x)   2 5 x 3. y ( x)  1  x cos x  senx  5.96 4. y ( x)  1  e x2 x xe x ex C 5. y( x)  e2 x  1  Ce x 6. y ( x)   x x 1  x3 x 2 27  7. y ( x)      8. y( x)  e x  Ce2 x x 1  3  2 2  x3 1 C 9. y ( x)  xC x 10. y ( x)   5 x x2 1  11. y( x)  e  Ce 2x 3x 12. y ( x)  ln 1  e x  C  ex     2 2x2 ln x  2 C 13. y( x)   x  Cx 14. y ( x)  4  x  12 x  12 x  12 15. x( y)  3 y  3  Ce 16. x( y)  3  ye  Ce y y y Ejercicios Propuestos 1.2 1 1 1. y ( x)  2. y ( x)  2 2 7  x  1 e2 x C   3 6x 2 x x 1 1 3. y ( x)  4. y ( x)  C 4 2 1 C   x  x ln x   2 x 2 9 3 x x Ejercicios Propuestos 1.3 y2 1 1.  ln 1  x3  C 2 3 x4 2. y  x3  5 x  C 4 2 7 2 6 52 3 1 2 7 6 5 3 1 3. y  y  2 y 2  2 y 2  x 2  x 2  2x 2  2x 2  C 7 5 7 5 109
  • 2. MOISÉS VILLENA MUÑOZ Respuestas a los Ejercicios Propuestos y3 x3 2 4. y x 3 3 3 5.  e  y  e x  C 1 6.  x  ln x   y  2 ln y  C x 7. x 2  3x   y 2  2 y  C 8. y  x5  x3  2 x  6 1 9.   x 1 x y 10. 1 x  y   1 sen2x  y   x  C 2 4 11. y ( x)  2 x  1 2  1 3 14 3 3 Ejercicios Propuestos 1.4 y y2 1.  ln x  C 2. ln x  ln x  C 2x2 y 1 x 2 1 y  y 1 x y 3.  ln 1  2     ln x  C 4.    ln   ln x  C  y 2 x x 2 x   x x x 5. ln x  C   6.  ln  2e y  ln x  C yx y y 1 7.  ln 1  2  ln x  2 x y 1 x Ejercicios Propuestos 1.5 1. xy  3 y  y  x  0 2. x y  xy  x  C 3 2 2 2 x3 3.  xy  e y  C 4. y  x y  x  C 2 2 3 x2 5. x  xy  2 xy  C 2 3 6.  xy  y 2  17 2 7. x y  2 xy  C 8. x cos y  y  C 2 2 9. xy  ye  C 2 x Ejercicios Propuestos 1.6 e3 x 3 1 y2 1. e x y  y 0 2.   C 3x 2 3 x x3 3. x y  xy  4 3 2 3 Ejercicios Propuestos 1.7 1. No es estable. Div erge de 3 2. Si es estable. Converge a 1 5 3. Si es estable. Converge a 12 4. No es estable. Div erge de 119 5. Div erge de 1 y converge a 5 6. Converge a 1 2 y div erge de 0 7. Converge a 3 y div erge de 5 Ejercicios Propuestos 1.8 110
  • 3. MOISÉS VILLENA MUÑOZ Respuestas a los Ejercicios Propuestos B 2000 1. I (t )  2. I (t )  1  BCe kBt 1  3e0.806t N 3. S (t )  4. a) p(t )  3  3e0.27t b) p  3 1  19e1.21t t 3 5. a) p(t )  20  25e 2 b) Div erge 6. a) p(t )  15  5e2t b) p  15 2t 7. a) p(t )  14  6e15t 8. a) p(t )   8  4e 2t b) p  8 e2t 9. a) p(t )  2  t  1 1 3 b) p(8)  55 10. a) I (t )   24  0.08t  600t  b) I  580.608 0.084t 11. a) Q(t )  5000  35000e b) $2285714 . 2 12. a) Q(t )  b) Dentro de seis meses tendrá $4 millones 2t 0.13 t 1 13 a) Q(t )  30  25e ; t 1 b) 28 objetos aproxim adamente Misceláneos 1 3 1.   e x  ln y  2x 2 2e y x    1 2.  1 e2 x 2  Ce  2 x x 1 3. ln x    yx 2 1 4. K  t    7 e2t  Ce5t 3 5. x y   1  y cos y  sin y  C  y 1 6. y  x   3 2 x  1  Ce x x2 y2 y4 7.  C 2 4 2 4 2 Ce y 8. x   2  3  3 y y y y 9. y   ln x  1  xC 10. y  x1 sin x  x1C y 11. e x  ln x  C 12.   1  y2   1  x  1 2 2 1 2 C y 13. x 1 ey 2 e C cos 2 x 1 14.  x tan y    2 2 15. x  1  1 4 y  Cy 3 16. e x y3  ye2 x  C 1 ln y  1  1 ln y  1  ln x  C 17. 2 x 2 x y2 1 18.  3  C sin x sin x x2 y 2 19. x y 3 C 2 111
  • 4. MOISÉS VILLENA MUÑOZ Respuestas a los Ejercicios Propuestos y x2 20.  Cx o y  x y Cx cos3 y 21.  xy 2  C 3 22.  2 y  x  2 ln y  x  1  x  C  23. y( x)   x  Cx 3 24.  1 y 2  2 1 2 1  x  2 3 2 1 25. 1 2 y 2   1 x2  C 2 PARTE II. PROBLEMAS dQ 2. a)  kQ ; Q(t )  1000e0.18t b) t  9 años aproximadamente dt 3. p(t )  6  4e 9 t 2 a b b3  a3  1 1t 4. a) p(t )   C e a 2  b2 b)  a1  b1    a2  b2  ó  a1  b1    a2  b2  a1  b1 c) p(t )  6  Ce3t ; p  $6 5. a) Q(t )  0.4t  22 b) t  5 años 4 dQ 6. a)  0.064Q b) t  11 apro ximadamente dt k  pA  7. V ( p)  V0    p0  A CAPITULO 2: Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden Ejercicios Propuestos 2.1 1. y( x)  cos 2 x  1 sin2 x 2 2. y( x)  k1e x  k2 xe x 2 x 3. y( x)  k1 sin3x  k2 cos3x 4. y( x)  e  3xe2 x 5. y( x)  k1e x  k2e x 6. y( x)  e x 7. y( x)  cos x  sin x 8. y( x)  k1  k 2 e  x 9. y( x)  k1 sin2 x  k2 cos 2 x 10. y( x)  k1e3x  k2 xe3x Ejercicios Propuestos 2.2 1. y( x )  k1e 2 x  k2e  x  x 3  x 2. y( x)  k1e3 x  k2 xe3 x  1 x2  27 x  27  1 e x 9 4 2 4 1  x 3. y ( x)  e 2 k sin 3 x  k2 cos 3 x  sin 2 x 1  2 2   4. y( x)  k1 sin x  k2 cos x  1 e2 x 2 4 x 5. y( x)  k1e  k2e2 x  1 xe x  1 e x 9 9 112
  • 5. MOISÉS VILLENA MUÑOZ Respuestas a los Ejercicios Propuestos 1 8 6. y( x)  e2 x  k1senx  k2 cos x   1 e  x  2 sin 2 x  cos 2 x 65 65 9 1 1 1 7. y( x )  k1e 7 x  k2e 5 x  sin x  cos x  e 3 x  25 50 32 35 27 2 x 9  x 3 1 1 3 8. y( x)  e  e  cos x  sin x  cos 2 x  sin 2 x 80 20 10 10 20 20 1 4 x 7 3 x 1 x 1 2 x 1 9. y ( x)  e  e  e  e  60 6 10 6 12 7 x 3 x 1 1 10. y ( x)  e  e  senx  e2 x 12 4 2 3 1589 5 x 25 2 x 1 2 7 161 1 x 11. y( x)   e  e  x  x  e 500 4 10 50 500 4 Ejercicios Propuestos 2.3 1. y( x)  k1e 3x  k 2 xe 3x  k 3 e  x 2. y( x)  k1e2 x  k2e x  k3e x  2 3. y( x)  k1e4 x  e x  k2 senx  k3 cos x Ejercicios Propuestos 2.4 1. No es estable dinámicamente 2. SI estable 3. No estable Misceláneos 1 1 5 5 1. a) y( x)  k1e2 x  k2 xe2 x  x3e2 x  x 2 e2 x  x  6 2 2 2 3 x 4 2 9 3 b) y ( x)  k1e  k2e x  k3e x  x   sen x  cos x 3 9 20 20 1t  3   3  1 2t c) y(t )  ek1 cos  2 t   k2 sen  2 t   t  1  7 e 2      28 3x 1 1 d) y ( x)   e  4 xe 3x  x 2e3x  x  27 9 27 5t 1t 6 6 2. b) x(t )  k1e  k2e 2  converge a x  5 5CAPITULO 3: Ecuaciones en Diferencias de Primer Orden 113
  • 6. MOISÉS VILLENA MUÑOZ Respuestas a los Ejercicios Propuestos Ejercicios Propuestos 3.1 t 1 1. yt  6 3t  1 2. yt     6 2 t t 1 1 3 4 3. yt     5 4. yt      5 5 2 5 t 16  2  21 5. yt      5  3 5 Ejercicios Propuestos 3.2 t 1 2. yt  k 2t  1 1. yt     2t  2 e3t 2 e3  2     t 4et 4t 1 4     2   2 sen  t  4 cos  t 3. yt    4. yt   4e 4e 5 2 2    5 2 4 5 2 4 Ejercicios Propuestos 3.3 1. Div erge 2. converge oscilantemente 3. Div erge oscilantemente 4. Converge Ejercicios Propuestos 3.4 t t  1  5 3 1. pt  k     5 2. pt  k      3  3 2 3. p(t )  k  2  0.6 4 pt  k  2  t t 7 3 5. pt  0  05 2t  0.6 6. pt  k  1  t 10 3 7. pt  k  1.4t  3 Misceláneos  t 1. a) yt  1.37 2  0.37e 3 2t  t c) y t  k 1  t  3 2 2. a) Div erge b)Converge t  1  22 3. pt  k     , Oscilante convergente  5 6 4. pt  k  2  t 7 , Oscilante div ergente 3 5. pt  k 21.5  0.8 Div ergente t 6.  t  10k10.15  1.24k2  0.56  0.2527m t t Ut  k10.15t  k2  0.56t  0.0624 0.19m 7. pt  k  2 constanteCAPITULO 4: Ecuaciones en Diferencias de Segundo Orden 114
  • 7. MOISÉS VILLENA MUÑOZ Respuestas a los Ejercicios Propuestos Ejercicios Propuestos 4.1  2 t 2 cos  t  sen  t  1 t t 31 1 7 1. yt        4 2. yt  22 2 2 4 4 t t 1 1  38  1 4. yt  4t  cos  t  25 3. yt  4   2t    8 sen  t   2 2 3 3  13 26 3  13 yt  k12t  k2 3t  6. yt  k1 1t  k2t  1t  5 1 t 5. 3 4 16 yt  k16t  k2  1t  6t  3  k cos t 1  4 t 8. yt   t  k2 sen  t   t 7.  1 2 2  21 19  5  k cos  arctg 2 t   k sen arctg 2 t    1 t t 9. yt    1    4 2  5  k cos arctan 2 t   k sen arctan 2 t    1 t  1 t 10. yt    1    2 2 t t   5  17    11. yt  k1   k2   5  17   t 2  t  2  2   2      12 . yt  k1  3  k2  2  3t  3 t t t       1 13. yt  k1 cos  2 t   k2 sin  2 t   t 2  2t   3   3  3 1 t 1 2 3 yt  k1  3  k2  2    4  t  t  4 t t 14. 2 2 2 1 t 3 1 15. yt  k1  k2  2    5  cos 2 t  sin 2 t t 4 10 10 Ejercicios Propuestos 4.2 t t t 1 1 1 yt  k1  k2  1  k3   2. yt  k1  k2    k3t    4t t 1.  2 2 2 Ejercicios Propuestos 4.3 1. No Conv erge 2. Converge Misceláneos t t t t 1 1 1 1 yt  k1   k2t    32 2. yt  k11  k2    k3     1 t 1. 2 2 2 2CAPITULO 5: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales y en Diferencias Ejercicios Propuestos 5.1 115
  • 8. MOISÉS VILLENA MUÑOZ Respuestas a los Ejercicios Propuestos   3e 3t  4e 2t  12  6et  5et  7  Y t     Y t    t  2e  5et  8  1. 2.   e 3t  e  2t  4       3t 10   k1e  k2 e  3  t 3. Y  t      k e3t  k et  11   1   3 2 Ejercicios Propuestos 5.2   1 t  1 t    2      6     2  3   5  8t  2  2t  8   2. Yt   9 3 9 1. Yt         8t  2  2t  2  t t 5 1 1   3   2   3     9 3 9  2 3   11 t 3 3   23t  6 2t  6   4  3  4  1  2  t 3. Yt    4. Yt     t  3 2t  2   43   11  3t  3  1t  1  4 4  Ejercicios Propuestos 5.3  6 3t 1 2t   e  e  11   x(t )   5 5 1. a)    Punto de silla  y (t )   12 e3t  1 e 2t  13     5 10 2 2. a) Nodo convergente b) Nodo Div ergente c) Punto de silla d) Punto de Silla Ejercicios Propuestos 5.4  x(t )   k1e  k2e  1  2t t 1.    Punto de silla  y (t )   k1´e  k2´e  1 2t t    x(t )   k1e  k2e  t t 2.    Punto de silla  y (t )   k1´e  k2´e  t t    x(t )   k1e  k2e  t t 3.    Punto de Silla  y (t )   k1´e  k2´e  t t   Misceláneos 1.  5t 2  7    x(t )   e  k1sen 2 t  k2 cos 2 t   2  7   5  Foco convergente  y (t )    2 t   e  k1´sen 27 t  k2´cos 27 t   6     2. 116
  • 9. MOISÉS VILLENA MUÑOZ Respuestas a los Ejercicios Propuestos   12t 1   x(t )   k1e  k2e   12t    2  Punto de silla  y (t )   k ´e 12t  k ´e  12t  1  1 2  117