Vectores en el plano algebra lineal

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Vectores en el plano algebra lineal

  1. 1. VECTORES EN EL PLANO Algebra lineal (Ing.Sist.) Cálculo IV(G,B) Semestre 99-00 C
  2. 2. Algebra lineal Vectores en el plano El concepto de vector está motivado por la idea de desplazamiento en el espacio Si una partícula se mueve de P a Q determina un segmento de recta dirigido con punto inicial P y punto final Q → PQ P Q
  3. 3. Algebra lineal Vectores en el plano La magnitud del vector es la longitud de ese desplazamiento y se denota por → PQ S P Q R R S → → Vectores de la misma magnitud PQ = RS
  4. 4. Algebra lineal Vectores en el plano La dirección del vector viene dada por el punto inicial y el punto final. En este → → sentido RS ≠ SR Q S R Q P S S R P R Vectores de la Vectores en misma direcciones distintas dirección
  5. 5. Algebra lineal Vectores en el plano Vectores Equivalentes → → Tienen la misma PQ = RS magnitud y dirección Q S P R Definición Geométrica Un vector es el conjunto de todos los segmentos dirigidos equivalentes
  6. 6. Algebra lineal Vectores en el plano Eje y O Eje x Representante del vector por el origen de coordenadas
  7. 7. Algebra lineal Vectores en el plano A un vector u se le asocia el punto P(a,b) así: Eje Y b P(a,b) → u u = OP = (a, b) O a Eje X (a,b) son las coordenadas del vector u y también del punto P
  8. 8. Algebra lineal Vectores en el plano Dado (a,b)∈ℜ2 se le asocia el vector u así: Eje Y P(a,b) u=(a,b) b u O a Eje X Definición algebraica Un vector es un par ordenado de números reales
  9. 9. Algebra lineal Vectores en el plano Punto P Vector u=OP en el plano desde el origen hasta P (a,b)∈ℜ2 Esta correspondencia se llama: Sistema de coordenadas rectangulares
  10. 10. Algebra lineal Vectores en el plano Magnitud o norma Dirección θ de u de un vector u Angulo positivo que forma con el eje X 2 2 b u = a +b tag θ = a Eje Y Un vector de (a,b) norma uno se b llama unitario u θ El vector nulo (0,0) a no tiene dirección O Eje X
  11. 11. Algebra lineal Vectores en el plano Operaciones con vectores Sean u=(x,y) y v=(a,b) vectores en el plano y α un número real. Se define el vector:  suma u+v como u+v= (x+a, y+b)  producto por un escalar α u como α u=(αx, αy).
  12. 12. Algebra lineal Vectores en el plano Operaciones con vectores Eje Y u+ v u v O Eje X Si u=(x,y), v=(a,b), pruebe gráficamente que u+v=(x+a,y+b)
  13. 13. Algebra lineal Vectores en el plano Eje Y Operaciones con vectores b y u+ v b y u b x v Eje X O x a a x u+v=(x+a,y+b)
  14. 14. Algebra lineal Vectores en el plano Investiga por tu cuenta ¿Hay alguna relación entre las normas de u, v y la de u+v? ¿Hay alguna relación entre la direcciones de u, v y la de u+v?
  15. 15. Algebra lineal Vectores en el plano Operaciones con vectores Eje Y αu α >0 u O αu Eje X α <0 Si u=(x,y), α∈ℜ pruebe gráficamente que αu=(αx, αy)
  16. 16. Algebra lineal Vectores en el plano Eje Y Operaciones con vectores αy ? Triángulos αu semejantes y αu ? ¿ ¿ = = u u x y Eje X O x αx αu=(αx, αy)
  17. 17. Algebra lineal Vectores en el plano Ejercicio 1  ¿Cuál es la relación entre las normas de u y la de αu? ¿Hay alguna relación entre la direcciones de u y la de αu?
  18. 18. Algebra lineal Vectores en el plano Ejercicio 2 Encuentre el vector de norma 4 en la dirección del vector (4,-3) Encuentre el vector unitario con dirección π/4.
  19. 19. Algebra lineal Vectores en el plano Los vectores i=(1,0) y j=(0,1) son los vectores unitarios en la dirección de los ejes coordenados Eje Y y u j yj xi O i x Eje X Todo vector (x,y)=x(1,0)+y(0,1), es decir, es combinación lineal de los vectores i,j
  20. 20. Algebra lineal Vectores en el plano Producto escalar Primero se define en los vectores canónicos i=(1,0), j=(0,1) como i.i=j.j=1 i.j=j.i=0 u = xi + yj v = ai + bj u.v = xai.i + xbi. j + yaj.i + ybj. j u.v = xa + yb
  21. 21. Algebra lineal Vectores en el plano Producto escalar Se define el producto interior o producto escalar de dos vectores u=( x,y) y v=(a,b) como: u.v=ax+by Se define el ángulo entre dos vectores u y v como ϕ el ángulo ϕ no negativo mas pequeño entre u y v.
  22. 22. Algebra lineal Vectores en el plano Producto escalar Eje Y Dos vectores son π /2 paralelos si el π ángulo entre ellos Eje X es 0 o π. Dos vectores son ortogonales si forman un ángulo de π/2
  23. 23. Algebra lineal Vectores en el plano Propiedades del producto escalar Teorema: Sean u,v vectores en ℜ 2 y α un número real, entonces:  u.0 = 0  u.v = v.u (propiedad conmutativa)  (αu).v = α(u.v) = u.(α v)  u.(v+w) = u.v + u.w (propiedad distributiva) 2  u.u = u Prueba: Ejercicio
  24. 24. Algebra lineal Vectores en el plano Teorema: Sean u y v vectores no nulos y ϕ el ángulo entre ellos, entonces u.v = u v cos ϕ Interpretación geométrica: u ϕ v ucosϕ u.v w= v 2 v
  25. 25. Algebra lineal Vectores en el plano Prueba : Teorema del v-u coseno: u 2 2 2 v −u =u + v − 2 u v cos ϕ ϕ v 2 2 ( v − u).( v − u) = u + v − 2 u v cos ϕ 2 2 2 2 v − 2u.v + u =u + v − 2 u v cos ϕ − 2u.v = −2 u v cos ϕ ⇒ u.v = u v cos ϕ
  26. 26. Algebra lineal Vectores en el plano Teorema: Sea v un vector no nulo, entonces para cualquier vector u se tiene que u.v w= u − 2 v es un vector ortogonal a v v u w w=u-proy v u ϕ v Proy v u
  27. 27. Algebra lineal Vectores en el plano Prueba del Teorema:      u.v   u.v  w.v= u − v .v = u.v −  v.v  2   v2  v       u.v  2 w.v= u.v −   v =0  v2   Por lo tanto w⊥v
  28. 28. Algebra lineal Vectores en el plano Ejercicio Propuesto Pruebe que u y v son ortogonales si y solo si u.v=0 Pruebe que u y v son paralelos si y solo si u es múltiplo escalar de v, es decir si u= αv
  29. 29. Algebra lineal Vectores en el plano Solución 1) Nº1 αu = (αx )2 + (αy )2 = α 2 x 2 + y 2 αu = α u 2) ϕ = dirección(u) θ = dirección(αu) αy y tgθ = = = tgϕ ⇒ θ = ϕ o θ = π + ϕ αx x
  30. 30. Algebra lineal Vectores en el plano Solución Nº1 2) Eje Y αu α >0 u θ+π θ O αu Eje X α <0
  31. 31. Algebra lineal Vectores en el plano Solución Nº1 2) Sea θ la dirección del vector u, entonces  θ si α>0 Dirección de αu=   + π si θ α< 0
  32. 32. Algebra lineal Vectores en el plano Solución Nº2 a) Queremos encontrar α tal que: 4 αu = 4 ⇒ α u = 4 ⇒ α = , α > 0 u u = 16 + 9 = 5 por lo tanto 4 4 u = (4,-3) es el vector buscado u 5
  33. 33. Algebra lineal Vectores en el plano b) Solución Nº2 Eje Y u = ( x , y ), u = 1 u π y Sen θ 1 = tg = ⇒ x = y 4 x 2 2 2 O cos θ 1= u = 2x ⇒ x = Eje X 2 De otra manera: π π 2 2 u = (cos , sen ) u =( , ) 4 4 2 2 u = cos 2 θ sen 2 θ= + 1

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