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Curso         Funciones (Cálculo)     Sesión 1.Concepto de función
Tema 1: Antecedentes1           históricos del concepto de            función               Tema 2: Definición y          ...
Secuencia didáctica      Profesor                   Asignatura                       Semestre                             ...
Antecedentes históricos del concepto de funciónAPERTURA
Funciones• El la vida cotidiana es  común relacionar conjuntos  de determinados objetos ,  por ejemplo artículos del  supe...
Cálculo• El concepto de relación y en  especial el de función es uno de  los más importantes de las  matemáticas, ya que e...
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Siglo XVIIHacia la segunda mitad de este siglo se     Fue Leibniz en 1673 quien primerousaban expresiones explícitas para ...
Siglo XVIIIJean Bernoulli , discípulo de Leibniz,       Fue el primero quepublicó un articulo en 1718 donde            uso...
Siglo XVIIIFue Euler quien dio fama al concepto de    Euler usó letras para denotarfunción. En 1748 publicó un libro donde...
Siglo XIXEn los inicios del siglo XIX la tendencia era   Las funciones que tenía en mentehacia un concepto de función más ...
Siglo XIXA mediados del siglo XIX otros              El matemático ruso Lobachevski enmatemáticos también aportaron para  ...
Siglo XIXEl matemático alemán Dirichlet en 1837       Se le atribuye la definición formal deescribió:                     ...
Kepler                     NewtonGalileo                      Descartes                   Leibniz                 Euler   ...
Definición y características de funciónes.DESARROLLO
FunciónPosición del corredor está en             El salario de una persona esta enfunción del tiempo.                     ...
VariablesCuando hablamos defunciones o relaciones entredos variables definimos a la xcomo variable independiente,        V...
Formas de representar una relación o una función                                         A           B                    ...
Definición                                       A              B• Relación es cualquier                    relación      ...
Definición• Una función es una regla de             DOMINIO                                          Conjunto A        COD...
Función o no función• Una función se caracteriza  geometricamente por el  hecho de que toda recta  vertical que corta su g...
Laboratorio de funciones    No es función           -Sqrt(-X^2+25)           Sqrt(-X^2+25)
.5x^3+2X^2             es función
-Sqrt(x-1)Sqrt(x-1) No es función
Clasificación de funcionesConstante                 LinealCuadrática               Cúbica
Clasificación de funcionesPolinomial               RacionalIrracional
Clasificación de funcionesExponencial            Logarítmica   Seno                 Tangente
Situación• Un alumno acostumbra ir a un  ciber que esta cerca de su casa  para rentar una computadora  para chatear. El co...
5x     Codominio       (0 , 40]     Dominio      (0 , 8]
Situación• Abrieron un ciber y por  inauguración tienen la promoción  de $20.00 sin límite de tiempo.• Determinar el domin...
20   Codominio       { 20 }      Dominio      (0 , +)
Situación• Una empresa de turismo quiere  hacer una promoción a grupos de  turistas en sus viajes por la  ciudad, para lo ...
-.5x^2+10x+400   Codominio    [0 , 450]                 Dominio                 (0 , +40]
Situación• Un contratista debe entregar una  construcción lo más pronto  posible teniendo en cuenta que:• 1 obrero realiza...
30/x   Codominio     (0, 30]               Dominio               [1 , +]
30/x       Codominio       (0, 30]                   Dominio                   [1 , +)
CIERRRE
Tarea• Elaborar una secuencia didáctica sobre el tema de funciones  y analizar el ejercicio propuesto con el laboratorio d...
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  1. 1. Curso Funciones (Cálculo) Sesión 1.Concepto de función
  2. 2. Tema 1: Antecedentes1 históricos del concepto de función Tema 2: Definición y características de funciónes.Funciones(Cálculo) Tema 3: Tipos de funciones. Tema 4: Tarea
  3. 3. Secuencia didáctica Profesor Asignatura Semestre Fecha Cálculo 4° 17-Feb-2012Concepto fundamental Concepto subsidiario Competencias disciplinares Competencias genéricas • Definición de función Determinar la importancia que Capacidad de identificación de Funciones • Dominio y contradominio de tiene el triangulo en la geometría y elementos fundamentales en una función las múltiples aplicaciones torno al tema de discusión Actividad Estrategia Didáctica Tipo de Tiempo Producto de aprendizaje de la enseñanza actividad asignado Apertura Antecedentes históricos Discusión 15 min Lista de posibles ejemplos del concepto función del tema de funciones en todos los ámbitos. Desarrollo Mostrar algunos ejemplos Uso del 80 min Construcción de funciones de la vida real y deducir la Laboratorio a partir de las condiciones definición de función de de definición Funciones Cierre Planteamiento de Uso del 10 min + Soluciones a los problemas problemas orientados a Laboratorio 1:30 horas planteados mostrar las aplicaciones de de las funciones Funciones
  4. 4. Antecedentes históricos del concepto de funciónAPERTURA
  5. 5. Funciones• El la vida cotidiana es común relacionar conjuntos de determinados objetos , por ejemplo artículos del supermercado con su costo en pesos para determinar cuanto podemos comprar.• La relación entre el monto a pagar por el servició de telefonía celular y los minutos utilizados.• La calidad del aprendizaje depende del tiempo y la calidad del estudio realizado
  6. 6. Cálculo• El concepto de relación y en especial el de función es uno de los más importantes de las matemáticas, ya que existe un gran número de aplicaciones que no sólo justifican su uso , si no que lo hacen necesario.• Una de las ramas más importantes de las matemáticas como es el Cálculo infinitesimal o Cálculo, se apoya en el concepto de función para estudiar los límites, derivadas, integrales, series y para resolver situaciones de la vida cotidiana.
  7. 7. Siglo XVIIGalileo, Kepler y Descartes fueron los En esa época, las funciones seprimeros en establecer la idea de escribían en forma implícita y sefunción. utilizaba la siguiente notación paraDescartes fue uno de los primeros en escribir , por ejemplo, la ecuación de laasociar una curva con una expresión hipérbola :algebraica. xy=aAdemás introdujo el uso de las primerasletras del alfabeto a, b, c,… para lasconstantes y las últimas letras …, x, y, zpara variables. Kepler Galileo Descartes
  8. 8. Siglo XVIIHacia la segunda mitad de este siglo se Fue Leibniz en 1673 quien primerousaban expresiones explícitas para las empleó el término de función aunquefunciones. Matemáticos como: Barrow, no en el sentido actual.Newton y Leibniz usaban dicha notaciónpara las funciones.Por ejemplo Newton escribía: Newton Leibniz
  9. 9. Siglo XVIIIJean Bernoulli , discípulo de Leibniz, Fue el primero quepublicó un articulo en 1718 donde uso letras distintas a las de lasescribió: variables para una función, por ejemplo: φ x“Una función de una variable es definidacomo una cantidad compuesta de alguna Esto denota que :manera por unas variables y contantes.” φ una función de x.A lo que se refiere Bernoulli es que debeser expresable con operacionesmatemáticas. Jean Bernoulli
  10. 10. Siglo XVIIIFue Euler quien dio fama al concepto de Euler usó letras para denotarfunción. En 1748 publicó un libro donde funciones f, g, h, indicando entredefinió una función como: paréntesis las variables, Así, él escribía“Una función de una magnitud variable f(x) para indicar el valor que la funciónes cualquier expresión analítica formada f asocia al punto x.con la cantidad variable y con números ocantidades constantes.”Las funciones se comenzaban a pensarmás que una combinación de variables,como una asociación de valores. Euler
  11. 11. Siglo XIXEn los inicios del siglo XIX la tendencia era Las funciones que tenía en mentehacia un concepto de función más amplio, Fourier podrían ser discontinuas.de acuerdo a la definición de Euler.Fourier en su libro La thérice analytiquede la chaleur publicado en 1822 escribió:Una función general f(x) representa unasucesión de valores u ordenadas paracada uno de los cuales es arbitrario. Fourier
  12. 12. Siglo XIXA mediados del siglo XIX otros El matemático ruso Lobachevski enmatemáticos también aportaron para 1834 escribió:ampliar el concepto de función . Y así “La concepción general requiere queobtener una definición más actual de una función de x sea definida como undicho concepto. número dado para cada x y variando gradualmente con x. El valor de la función puede ser dado bien por una expresión analítica o por una condición que aporta un modo de examinar todos los números y elegir uno de ellos. La dependencia puede existir y resultar desconocida.” Lobachevski .
  13. 13. Siglo XIXEl matemático alemán Dirichlet en 1837 Se le atribuye la definición formal deescribió: función, en el sentido moderno.“Tomaremos dos valores fijos a y b y unacantidad variable x que toma todos los .valores entre a y b. Si un único valorfinito “y” corresponde a cada “x”, de talmanera que cuando x tomacontinuamente los valores entre a y b, y=f(x) también varíacontinuamente. “ Dirichlet
  14. 14. Kepler NewtonGalileo Descartes Leibniz Euler Lobachevski Fourier DirichletJean Bernoulli
  15. 15. Definición y características de funciónes.DESARROLLO
  16. 16. FunciónPosición del corredor está en El salario de una persona esta enfunción del tiempo. función de lo que trabaja. El costo para una familia que va de viaje está en función del número de personas.
  17. 17. VariablesCuando hablamos defunciones o relaciones entredos variables definimos a la xcomo variable independiente, Variable Variable independiente dependientela cual mediante una regla ocorrespondencia le asigna x y Regla oautomáticamente un valor a Correspondencia (ecuación)y como variable dependiente,debido a esto se dice que y esuna relación o función de x
  18. 18. Formas de representar una relación o una función A B Se asocia cada 1 1 elemento de un Sagital conjunto con su 2 4 correspondiente en el otro conjunto. 3 9 Representación de pares coordenados Gráfica en el plano cartesiano. Igualdad que Analítica relaciona a los dos variables que intervienen y= x²
  19. 19. Definición A B• Relación es cualquier relación 5.00 conjunto de pares 1 3.00 2 10.00 ordenados o cualquier 3 6.00 15.00 correspondencia entre 4 9.00 20.00 conjuntos. 12.00 Función es una clase A función B especial de relación para la 1 4.00 cual hay sólo un valor de la 8.00 2 variable dependiente y para 12.00 3 cada valor de la variable 16.00 4 independiente x.
  20. 20. Definición• Una función es una regla de DOMINIO Conjunto A CODOMINIO Conjunto B correspondencia donde a cada función elemento de un conjunto A se le asigna uno y sólo un elemento de A 1 4.00 R un conjunto B. G I M• Dominio: son todos los valores U 2 8.00 A M que puede tomar la variable E G 3 12.00 E independiente en una función. N N T• Rango o codominio: son todos O 4 16.00 aquellos valores de la variable dependiente. x f f(x)• Argumento: es cualquier elemento del dominio. El elemento que f asocia• Imagen: valor que resulta de con x se le denota por f(x) evaluar un argumento.
  21. 21. Función o no función• Una función se caracteriza geometricamente por el hecho de que toda recta vertical que corta su gráfica lo hace sólo en un punto.
  22. 22. Laboratorio de funciones No es función -Sqrt(-X^2+25) Sqrt(-X^2+25)
  23. 23. .5x^3+2X^2 es función
  24. 24. -Sqrt(x-1)Sqrt(x-1) No es función
  25. 25. Clasificación de funcionesConstante LinealCuadrática Cúbica
  26. 26. Clasificación de funcionesPolinomial RacionalIrracional
  27. 27. Clasificación de funcionesExponencial Logarítmica Seno Tangente
  28. 28. Situación• Un alumno acostumbra ir a un ciber que esta cerca de su casa para rentar una computadora para chatear. El costo por hora es de $5.00 y los minutos se cobran en forma proporcional. El tiempo máximo que puede rentar al día es 8 horas .• Determinar el dominio de la función , el rango y el intervalo de esta situación. f(x) = 5x
  29. 29. 5x Codominio (0 , 40] Dominio (0 , 8]
  30. 30. Situación• Abrieron un ciber y por inauguración tienen la promoción de $20.00 sin límite de tiempo.• Determinar el dominio de la función , el rango y el intervalo de esta situación. f(x) = 20
  31. 31. 20 Codominio { 20 } Dominio (0 , +)
  32. 32. Situación• Una empresa de turismo quiere hacer una promoción a grupos de turistas en sus viajes por la ciudad, para lo cual proponen lo siguiente; el costo del boleto por persona es de $20.00, pero si el grupo excede de 20 pasajeros les descontará $0.50 por persona.• La empresa quiere saber cual es el número máximo de personas a los que les puede ofrecer esta promoción para obtener la mayor ganancia.• f(x) = .5x²+10x+400
  33. 33. -.5x^2+10x+400 Codominio [0 , 450] Dominio (0 , +40]
  34. 34. Situación• Un contratista debe entregar una construcción lo más pronto posible teniendo en cuenta que:• 1 obrero realiza dicha construcción en 30 días• 2 obreros en 15 días• 3 obreros en 10 días• 4 obreros en 7.5 días, es decir, 7 días y la mitad de otro.• La situación esta dada por la siguiente función:• f(x) = 30/x
  35. 35. 30/x Codominio (0, 30] Dominio [1 , +]
  36. 36. 30/x Codominio (0, 30] Dominio [1 , +)
  37. 37. CIERRRE
  38. 38. Tarea• Elaborar una secuencia didáctica sobre el tema de funciones y analizar el ejercicio propuesto con el laboratorio de funciones.Secuencia didáctica Aplicación Resolución
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