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El Principio de Inducción
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El Principio de Inducción

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  • 1. El principio de Inducción
  • 2. Partamos de un ejemplo
    • Ejemplo:
    • Denótese por S n =1+2+3+4+...+n
    • Consideremos que se afirma que:
    • S n =n(n+1)/2 para n=1,2,...
    • Se ha elaborado una sucesión de proposiciones, a saber
    • S 1 =1(2)/2=1
    • S 2 =2(3)/2=3=1+2
    • S 3 =3(4)/2=6=1+2+3
  • 3. Continuamos con el ejemplo….
    • Y podemos seguir escribiendo y verificando por ejemplo
    • S(7)=7.8/2=28=1+2+3+4+5+6+7
    • Esto no nos asegura que la forma de calcular la suma sea cierta para todos los números naturales.
    • ¿ Cuándo una propiedad es cierta para todos los números naturales?
    • Sabemos que para todo entero positivo n,
    • n! ≤ n n .
    • La Inducción Matemática se usa para probar estos resultados:
  • 4. Principio de inducción
    • Principio de inducción : Supóngase que se tiene una proposición P(n) para cada entero positivo n, consideremos:
    • a) Paso básico
    • P(1) es verdadera , y
    • b) Paso inductivo
    • para todo número natural k, si P(k) es
    • verdadera entonces P(k + 1) es verdadera.
    • Entonces la proposición P(n) es verdadera para todos los enteros positivos
  • 5. Principio de inducción (Formalizado)
  • 6. Si el primer dominó cae, y si cae un dominó entonces cae el siguiente, entonces todos los dominós caen.
  • 7. Utilizando el principio de inducción vamos a probar que la suma de los n primeros números naturales es n (n+1)/2
  • 8. Principio de inducción (continuación…)
    • Primero probamos que la propiedad se cumple para 1 ( paso básico )
    • Se cumple en este caso pues 1 = 1(1+1)/2
    • Luego probamos el paso inductivo : Si la propiedad se cumple en un
    • numero k arbitrario (hipótesis inductiva ) entonces también se
    • cumple en k + 1.
  • 9. Principio de inducción (continuación…)
    • Sea k un entero positivo arbitrario. Por hipótesis inductiva:
    • k(k + 1)
    • 1 + 2 + … + k =------------
    • 2
    • Entonces,
    • 1 + 2 + …. + k + (k + 1) =
    • k(k + 1)
    • ---------- + (k + 1)=
    • 2
    • k(k + 1) + 2(k+ 1)
    • =-------------------------=
    • 2
    • (k + 1)(k + 2)
    • ----------------- Entonces se concluye que
    • 2
  • 10. La inducción también funciona si queremos probar algo para cada entero n ≥ b.
    • Ejemplo: Use inducción para demostrar que si a es distinto de 1, (Suma Geométrica).
    • 1+a 1 +a 2 +...+a n =(a n+1 -1)/(a-1) (1)
    • Paso Básico : Se obtiene cuando n=0,
    • 1=(a 1 -1)/(a-1), lo cual es verdadero.
    • Paso Inductivo :Supongamos que la proposición es verdadera para n. Ahora
    • 1+a 1 +a 2 +...+a n +a n+1 =(a n+1 -1)/(a-1)+a n+1
    • =(a n+1 -1)/(a-1)+(a n+1 (a-1))/(a-1)
    • =(a n+2 -1)/(a-1)
    • Como el paso básico y el paso inductivo ya han sido verificados, el principio de inducción matemática establece que (1) es verdadera para n=0,1,2,...
  • 11. EJERCICIO
    • Demostrar por inducción sobre n que
    • S(n)=(1+2+3+….+n) 2 = 1 3 +2 3 +…+n 3
    • S(1) es obviamente cierta; veamos que se verifique
    • S(k+1)= )=(1+2+3+….+k+(k+1)) 2 = 1 3 +2 3 +…+k 3 + (k+1) 3
  • 12. EJERCICIO (continuación…)
    • Por definición de S(k) se tiene que
    • S(k+1)= (1+2+3+….+k+(k+1)) 2 =(1+2+3+….+k) 2 +2(1+2+3+….+k)(k+1)+(k+1) 2 =
    • =1 3 +2 3 +…+k 3 +2(1+2+3+….+k)(k+1)+(k+1) 2 por hipótesis inductiva
    • =1 3 +2 3 +…+k 3 +(k+1) 2 +2.(K+1)k.(k+1)/2 por resultado suma de los primeros k naturales
  • 13. EJERCICIO (continuación…)
    • =1 3 +2 3 +…+k 3 +(k+1) 2 +(k+1) 2 k=
    • =1 3 +2 3 +…+k 3 +(k+1) 2 .(1+k)=
    • =1 3 +2 3 +…+k 3 +(k+1) 3
    • Con los pasos básicos e Inductivo se ha demostrado el enunciado.
  • 14. Inducción en desigualdades
  • 15. Inducción en desigualdades