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Funcion exponencial

  1. 1. Prof Verónica González Durán 1 DECIMO AÑO Matemática FUNCIÓN EXPONENCIAL YECUACIONES EXPONENCIALES
  2. 2. Prof Verónica González Durán 2 Función exponencialDEFINICIÓN DE FUNCIÓN EXPONENCIALUna función f : IR  IR  se llama EXPONENCIAL si es de la forma f x   a x tal que a0 y a 1La función f x   a x , es la función exponencial de base “ a “, donde “x” toma cualquiervalor real.Ejemplos de Funciones Exponenciales. x x 1 7a) f x   3 x b) f  x     c) f x   2 x d) f  x     2 4En cada uno de los siguientes ejemplos indique la base de la función exponencialgenérica f x   a . x x x 3 5 f x   5 x k x   10 x g x     h x     4 3base ____ base ____ base ____ base ____ x x 1 8 f x   7 x t x     m x     v x   0.02  x 2 9base ____ base ____ base ____ base ____GRAFICA DE UNA FUNCIÓN EXPONENCIALLa grafica de una función exponencial de la forma f x   a x siempre es asintótica al eje “x” , einterseca al eje “y” en el punto ( 0, 1 ). Puede ser una función creciente ó decreciente ( dependede la base ), de la siguiente maneraf x   a x  y     x      0  a 1
  3. 3. Prof Verónica González Durán 3 y       x        a 1CARACTERÍSTICAS DE LA FUNCIÓN EXPONENCIALSe tiene la función exponencial f : IR  IR  tal que f  x   ka x  b , con a  0 y a  1;entonces las siguientes son sus principales características: 1) El dominio de la función es ℝ. 2) Ambito de la función es b,  si k  0 y ámbito de la función es ,b si k  0 . 3) Es una función inyectiva f es una función BIYECTIVA 4) Es una función sobreyectiva 5) Interseca al eje “y” en el punto  0, k  b . 6) Es asintótica al eje “x” con y  b 0  a  1 entonces f es estrictamente decreciente si k  0 , y f es 6) Si estrictamente creciente si k  0 . a  1 entonces f es estrictamente creciente si k  0 , y f es estrictamente decreciente si k  0 . 7) Si 0  a  1 k 0 Si x  ,0  y  k  b,  Si x  0,   y  0, k  b k 0 Si x  ,0  y  , k  b Si x  0,   y  k  b,0 8) Si a  1 k 0 Si x  ,0  y  0, k  b Si x  0,   y  k  b,  k 0 Si x  ,0  y  k  b,0 Si x  0,   y  , k  b
  4. 4. Prof Verónica González Durán 4 9) Si f ( x1 )  f ( x2 )  x1  x2  f es una función creciente. 10) Si f ( x1 )  f ( x2 )  x1  x2  f es una función decreciente. 11) Recuerde: f ( x)  y,   ,0 ,   0,  ,  ,  .Ejercicios.En cada uno de los siguientes ejemplos indique cuáles funciones exponenciales son crecientes ycuáles son decrecientes. x x 3 5f x   5 x k x   10 x g x     h x     4 3__________ ____________ _____________ ____________ x x 1 8f x   7 x t x     m x     v x   0.02  x 2 9__________ ____________ _____________ _____________LA FUNCIÓN EXPONENCIAL NATURALEs una de las funciones más útiles en matemáticas avanzadas y en las aplicaciones. La base deesta función exponencial es el número irracional, e  2,711828 el cual aparece en muchosestudios fenómenos físicos. Una vez que ya conocemos el número e , podemos definir lafunción exponencial naturalLa función exponencial natural f : IR  IR  es f x   e x xLas calculadoras científicas tienen la tecla e que permite aproximar los valores de la funciónexponencial natural. Complete la siguiente tabla aproximando a 2 decimales y construya lagrafica. y x -3 -2 -1 0 1 2y       x        
  5. 5. Prof Verónica González Durán 5 ECUACIONES EXPONENCIALES Antes de analizar como resolver ecuaciones exponenciales debemos repasar las leyes de potencia definidas en ℝ para así tener una mejor comprensión de las mismas. Sean x, y ℝ, además m, n  ℤ; también x, y, m, n  0. a) x 0  1 d) xm  x mn g)  x  m  1 Ejemplo 50  1 x n xm 510 1 Ejemplo  53 Ejemplo 5  n  57 5n b) x 1  x x n  y yn n Ejemplo 51  5 e) x  m n  xm  n h)    y      n x x Ejemplo 5  3 y  53 y 5 x 8 x Ejemplo     8 5 n 1 m n x xn x n x c) x  x  x m n f)    n i) n  y Ejemplo 53  5 2  55   y m 52  5  2 Ejemplo 4 5 m 5 4 Ejemplo   82  8  Analicemos la siguiente propiedadComo la función exponencial f x   a x es inyectiva se tiene que:Si x1  x2  f x1   f x2   a x1  a x2 Lo cual es equivalente a decirSi a x1  a x2  x1  x2 De acuerdo con la propiedad anterior se pueden resolver ecuaciones exponenciales reduciendo ambos miembros de la ecuación a la misma base. Veamos algunos ejemplos. Resuelva las siguientes ecuaciones exponenciales. 1) 7 2 x  7 5 x 1 2) 35 x8  9 x2 3 x 5 x 1 1 3) 2   4) 2 2 x 3  1 8
  6. 6. Prof Verónica González Durán 6 2x 2x e e5) 1 6) e x2  e  e12 x e 3 x 1 3 27)   5 8) 5  3x  3x  36 2 3Cálculo de imágenes en una función exponencialPara calcular una imagen simplemente debemos SUSTITUIR el valor dado en el criterio de lafunción, que en el caso de una función exponencial corresponde a partir del exponente. Así deesta misma forma se puede obtener el ámbito de una función exponencial.Ejemplos 1) Calcule la imagen de 4 en la 4) Hallar el ámbito de la función dada por función exponencial f x   2 x y definida de  3,     IR f x   5 x 2 x 2 2) ¿Cuál es la imagen de 3 en la 5) Si h x     y h está definida de función f x   2 x  2  8 ? 3   ,  2  IR . Determine el ámbito de h . x 6) Halle el ámbito de la función 1 3) Si f  x     , entonces x 3 4 g x     ; definida de 0, 3   IRencuentre la imagen de – 3. 4Cálculo de preimágenes en una función exponencialPara calcular preímagenes en una función, se debe IGUALAR el valor dado al criterio de lafunción. En la función exponencial se puede observar que ese despeje que se hace correspondea una ecuación exponencial, es decir, que se resuelve de la misma forma como las que sehabían analizado anteriormente. De esta misma forma se hace el análisis para calcular eldominio de una función exponencial.Ejemplos 1) Calcule la preimagen de 16 en la 4) Hallar el dominio de la función dada por función exponencial f x   2  2 x2 y definida de f  x   4 x 5 f : D   4,    1 5) Si hx   5  3 x 3 y 2) ¿Cuál es la preimagen de en 9 h : D  15,    . Determine D. la función k x   3 2 x 4 ?
  7. 7. Prof Verónica González Durán 7  x2 1 3) Si m x     , entonces 6) Hallar el dominio de la función 5 n x   3  3 x 1 ; y n : D  9, 27 encuentre la imagen de 125.Cálculo del ámbito en una función exponencialPara calcular el ámbito en una función, se toma los extremos del dominio dado y se sustituyenen la función dada. Los resultados son los extremos del ámbito y se ordenan de formaascendente.De la anterior manera, se hace el análisis para calcular el ámbito de una función exponencial.Ejemplo. Sea la función dada por f ( x)  2 x  7; f :  ; calcule el ámbito de f . D  , x   y  2  7 x   y  2  72    y    7 2  0  y  2  7 y   y  07 y  7Entonces el ámbito de la función es A  7,  .Cálculo del dominio en una función exponencialPara calcular el ámbito en una función, se toma los extremos del ámbito dado y se iguala cadauno en la función dada; y se despeja la x . Los resultados son los extremos del dominio y seordenan de forma ascendente.De la anterior manera, se hace el análisis para calcular el dominio de una función exponencial.Ejercicios1) Indique si las siguientes funciones son exponenciales o no lo son. En el caso afirmativoescriba si trata de una función creciente o decreciente.a) f x    2 x x 2 f ) f x     3b) f x    5 3 x 1 3 g ) f x      x 2 4 x x 1  1 c) f  x     h) f  x     7  0,5 
  8. 8. Prof Verónica González Durán 8 d ) f x   7  6 x x  5 i) f x    3   6   x  15  e) f  x     j ) f x    3,2  3,3  x 4 2) Calcule las imágenes indicadas A) f x   2 x f  4 C) f x   0,3 x f  1 5 x E) f x     f 3 3 B) f x    2 3 x f 9 1 D) f x     x f  3 F) 1 f x     x 1 f  9 4 2 3) Determine el ámbito de las siguientes funciones exponenciales. 1  a) hx   e x y h :  3,     IR b) f x   7 x f :  , 3   IR c) 3  x 2 k x     k :  1, 2  IR 3 4) Calcule las preimagenes indicadas para cada una de las siguientes funciones. 1) f x   3 x f x   27 3) f x   0,2 x f x   125 1 x 5) f x     f x   3 81 9 2) f x    5 f x   1 x x 5 1 x 4) f x     f x   f x     f x   1024 36 5 6) 6 25 4 5) Calcule el dominio A de las siguientes funciones exponenciales. x 1 a) h x     ; h : A   8,    2 b) r x    2 3 x 1  ; r:A ,2  2   1  c) ux   0,1x ; u : A   , 100   100 7) De acuerdo con la función dada por f x   4  4 3 x 1 ; conteste lo que se le solicita. La preimagen de 2 La imagen de 1 ¿ 0 es imagen de ? La intersección con el eje “y” corresponde a Determine f  2  La intersección con el eje “x” corresponde a 7) Sea f x   3 3   2 x 3 entonces determine lo que se le solicita  La preimagen de 3  La intersección con el eje “y” corresponde a  Calcule f  2 
  9. 9. Prof Verónica González Durán 9  La intersección con el eje “x” corresponde a  ¿Cuál es la preimagen de 3 3?9) Hallar el conjunto solución de las siguientes ecuaciones exponenciales. x2 2 x 1  8   3 a) 2  32 x i)    3   2  27    27 x 1 b) 125 x 3  25 3 x 1 j ) 3 2 x  3 9 64 2 x 3  42 x c) 32   0,5  4 x k) 8 x x 4 8 2 x 3  1  d)    81 l) 3  3x  3x  6  27  5 x 3 2 9 e)   3 m) 125 2 x3  4  5 x  5 x 3 4 f) 2 3  x  2   8  2 x 1  3 16 n) 2  3 x  243  3 x x2 o) 4 x 16  5 x 16  2 x g ) 2  81 3 6  x2 5 27 h)    p) 5 2 x1  5 2 x  30  0  3 125

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