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Algebra Superior

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    Funciones Funciones Presentation Transcript

    • FUNCIONES
    • TIPOS DE FUNCIONES Constantes Polinómicas Lineales Cuadráticas Algebraicas Racionales RadicalesFunciones A Partes Exponenciales Trascendentes Logarítmicas Trigonométricas
    • Funciones AlgebraicasLas funciones algebraicas son aquellas quese obtienen al realizar un numero finito deadiciones, sustracciones ,multiplicacionesdivisiones y radicaciones con las funcionesconstante e identidad.
    • FUNCIONES POLINOMICASEstas funciones vienen definidas por un polinomio. f(x) = a0 + a1x + a2x² + a2x³ +··· + anxn Funciones constantesEl criterio viene dado por un número real. f(x)= kLa gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas. Funciones Lineales (primer grado) f(x) = mx +nSu gráfica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de la función. Funciones cuadráticas f(x) = ax² + bx +cSon funciones polinómicas de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.
    • FUNCIONES RACIONALESEl criterio viene dado por un cociente entre polinomios:El dominio lo forman todos los números realesexcepto los valores de x que anulan el denominador. Dom:  - {-4}
    • FUNCIONES RADICALESEl criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical.El dominio de una función irracional de índice impar es R. Dom:  Dom: - {2,3}El dominio de una función irracional de índice par está formado por todoslos valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero. Dom: (-,2]U[3, ) Dom: (-,-4)U(-4,2]U[3, )
    • FUNCIONES DEFINIDAS A PARTESSon funciones definidas por distintos criterios, según los intervalos que seconsideren. Funciones en valor absoluto.Las funciones en valor absoluto se transforman en funciones atrozos, siguiendo los siguientes pasos:1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan susraíces.2. Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cadaintervalo.3. Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en losintervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función.4. Representamos la función resultante. Función parte entera de x.Es una función que a cada número real hace corresponder el número entero inmediatamente inferior. Función signo. f(x) = sgn(x)
    • A continuación clasificamos las funciones según el tipo de aplicación
    • FUNCION BIYECTIVASea f una función de A en B, f se dicebiyectiva si cumple con lassiguientes propiedades: A.- Si f es inyectiva B.-Si f es sobreyectiva
    • FUNCIÓN INYECTIVA: Sea f una función de A enB se dice inyectiva o uno a uno, si para todo par deelementos:x₁,x₂ € A; f(x₁) ₌f (x₂), implica que X₁₌X₂ A B 0 0 0 0 0 0 0 0
    • Tambien podemos decir que una función es inyectiva , sia elementos diferentes de A corresponden imágenesdiferentes de B. Es decir : V X₁, X₂ € A; X₁≠X₂ → f (X₁) ≠f (X₂) A B A Bo 0 o 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 INYECTIVA NO ES INYECTIVA
    • Gráficamente se puede distinguir cuando unafunción es inyectiva, si se trazan paralelas aleje de las X, estas deben cortar la gráfica en unsolo punto.
    • N0 INYECTIVA Esta función no es inyectiva porque al trazar paralelas al eje X se cortan en 2 puntos
    • FUNCION SOBREYECTIVAUna función es sobreyectiva o sobre si, “todoelemento del conjunto B es la imagen de almenos un X del conjunto A, tal que f(x) = Y” A B A B 1 4 1 Y 2 2 5 3 X 3 6 4 Z 5SOBREYECTIVA NO SOBREYECTIVA
    • Otra manera de indicar una funcion sobreyectivaes: f: A B cuando Rec(f)=(A). (Recorrido de f esigual al conjunto de llegada). A f B A g B a 1 2 a e 3 4 b i 5 6 c u Rec.(f )= B G no es F es sobreyectiva sobreyectiva
    • A h B A f B 2 a 1 a 6 b 5 b 8 c 5 c 10 7H es sobreyectiva I no es sobreyectiva ya que b y c € B no son imágenes de A
    • Gráficamente se puede distinguir si una funciónes sobreyectiva, al trazar paralelas al eje X; estasdeben cortar la grafica al menos en un punto y y x o x o NO SOBREYECTIVASOBREYECTIVA
    • Gráficamente una función es biyectiva, cuandocualquier paralela el eje de las X esta corta lagráfica en un punto.En los siguientes diagramas ilustramosdistinguiremos a las funciones biyectivas A f B A u B a 7 a 7 b 9 b 9 c 11 c 11 Biyectiva No Biyectiva
    • FUNCION INVERSASe llama función inversa o reciproca de f a otra función f−1 que cumple que:Si f(a) = b, entonces f−1(b) = a.Podemos observar que:El dominio de f−1 es el recorrido de f.El recorrido de f−1 es el dominio de f.Si queremos hallar el recorrido de una función tenemos que hallar el dominio desu función inversa.Si dos funciones son inversas su composición es la función identidad.f o f -1 = f -1 o f = x
    • Las gráficas de f y f -1 son simétricas respecto de labisectriz del primer y tercer cuadrante.Hay que distinguir entre la función inversa, f−1(x), yla inversa de una función, 1/f(x).
    • Teorema.- si F es una función biyectiva de A en B y gla función de B en A definida por: g={(y ,x)/y=f(x),XEA} entonces g define una funcióninversa de f. Se nota f-1 , es decir que g= f-1Observación.-La notación f-1 ≠1/f una función cuyoconjunto de salida es el conjunto de llegada de ladirecta (f) f:A B f-1 :B ASi la correspondencia inversa a la dada también esfunción entonces se cumple que: f-1 [f(x)]=f [f-1 (x)]=X
    • CÁLCULO DE f-1(x)Sabemos que f-1= { (x, y) / x=f(y) } = { (f(y), y) / si y es del dominiode f = { (x, y) / y=f-1(x), si x es del rango de f }. Pero si queremoshallar la expresión de f-1(x), es decir, cuánto vale y en función delvalor de x si el par (x, y) pertenece a f-1¿qué haremos? Bien sencillodecirlo: debemos despejar y en la ecuación x=f(y).Naturalmente, si x=f(y)es una ecuación, pues si la función vienedada por una lista de pares no será necesario ningún cálculo y si lafunción viene dada por una expresión más o menos compleja,tendremos que estudiarla y ver si estamos en condiciones decalcular la expresión de la función inversa. Los ejemplos querealicemos serán "sencillos" y estarán basados en los ejemplos yarepresentados.Despejar, éste es nuestro problema. Si no tenemos dificultades paradespejar "letras" en expresiones algebraicas, no tendremosdificultades en el cálculo de la expresión de f-1(x)a partir de laexpresión de f(x).
    • Calcular la función inversa de:Vamos a comprobar el resultado para x = 2 Vamos a comprobar el resultado para x = 2
    • Es la función definida por f (x)=c, donde c es unnumero real cualquiera. El dominio es el conjuntode los números reales y el rango es el conjunto {c}.Su gráfica es una recta horizontal que corta al ejeen el punto (0;c). y c m =0 x 24
    • Observe el comportamiento de las siguientes curvas: y y=f (x) xUna función f es creciente en un intervalo I, si paratodo x1 < x2 en el intervalo I, entonces f (x1) < f (x2)
    • y y=g (x) y xUna función g es decreciente en un intervalo I, si paratodo x1 < x2 en el intervalo I, entonces g (x1) > g (x2)
    • y CRECIENTE X1 y X2 f(x2) X1 < X2 f(x1) f(x1) < f(x2) X y X1 X2- - - - - - - - -f(x1) DECRECIENTE f(x2) - - - - - - - - - X1 y X2 X X1 < X2X1 X2 f(x1) > f(x2)
    • Función parUna función f se dice par si ∀ x∈ D(f ) se verifica: f(x) = f(–x) (o sea, sipara cualquier x del dominio de la función, es decir, para todos losvalores de x para los que existe imagen, la imagen de x y la de suopuesto –x coinciden).Si nos fijamos en el gráfico, esto significa que la gráfica de la funciónpasa por los puntos (x, f(x)) y (–x, f(–x)), que son simétricos respectodel eje OY. Y como esto sucede para todos los x del dominio de f, lagráfica de una función par resulta ser simétrica respecto OY.
    • Función imparUna función f se dice impar si ∀x∈D(f ) se verifica: –f(x) = f(–x).Analizando el gráfico descubrimos que la gráfica de la función pasa por lospuntos (x, f(x)) y (–x, f(–x)), que son simétricos respecto del punto O. Ycomo esto sucede para todos los x del dominio de f, la gráfica de unafunción par resulta ser simétrica respecto del origen de coordenadas.
    • -f(x)=-[3(1)3-2(1)]=[3-2]=-1
    • FUNCIÓN SIGNOLa función signo es una Función matemática especial, una Funcióndefinida en partes, que obtiene el signo de cualquier número real que setome por entrada. Se representa generalmente mediante sgn(x), y no debeconfundirse con la función seno (sen(x) o bien sin(x)).La función signo puede definirse de las siguientes maneras:Donde su dominio es R y su conjunto imagen {-1;0;1}.sgn)(x)=
    • FUNCIÓN INDICATRIZSea A un subconjunto no vacio de R, la función f de R en R definida por:Se denomina función caracteristica de A.Ejemplo:
    • La función de valor absoluto tiene porecuación f(x) = |x|, y siempre representadistancias; por lo tanto, siempre serápositiva o nula.
    • Caracteristicas:Su gráfica divide al primero y al segundocuadrante.Asocia a cada número su valor absoluto, esdecir, que independiente del signo del numerola funcion siempre toma valores no negtivos.
    • Construccion de Graficas DeLas Funciones Que Contienen Valor Absoluto. Existen 3 casos: 1.) y = f(ІxІ) 2.) y = Іf(x)І 3.) ІyІ = f(x)
    • Primer Caso.- para construir la grafica de y = fІxІ essuficiente analizar la funcion y = f(x), las partes de lacurva que se encuentran a la derecha del eje vertical, esdecir para x ≥ 0 permenecen inalterables, mientrasque, para x ‹ 0 se trasladan al lado contrario en formasimétrica con relación al eje vertical, por cuantoGRÁFICA
    • Segundo Caso.- para construir la gráfica de y=│f(x)│, essuficiente analizar y=f (x) sin ninguna restricción. Laspartes de la curva donde y ≥0 permanece inalterables;pero las partes de la grafica donde y<0 se inviertensimetricamente respecto al eje de las x. Es decir toda lagrafica se encuentra sobre el eje de las X.GRÁFICA
    • Tercer Caso.-para construir la gráfica de │y│= f(x) essuficiente analizar y=f (x). Las partes de la curva en laque f(x) ≥ 0 se invierten simetricamente respecto al ejede las x, pero las partes de l grafica donde f(x) < 0 seeliminan. Se observa que │y│= f(x) tiene doble signo esdecir y=±f(x) es una relación.GRÁFICO
    • FUNCIÓN PARTE ENTERA DE [X] Se denomina así la función de ecuación f(x)=E[x],que a cada número real hace corresponder el mayor número entero que es menor o igual que él. El hacer corresponder a cada número el entero inmediatamente inferior, origina una gráfica escalonada. La función parte entera, notada E o con corchetes, se define sobre el conjunto de los números reales así: donde [x] es el mayor número entero inferior o igual a x, tal que: r≤x<r+1
    • EJEMPLOS f(x) = E (x) x 0 0.5 0.9 1 1.5 1.9 2f(x) = E(x) 0 0 0 1 1 1 1
    • EJEMPLOS f(x) = x - E (x) x 0 0.5 0.9 1 1.5 1.9 2 f(x) = x - E(x) 0 0.5 0.9 0 0.5 0.9 0
    •  f(x)= [x] el dominio va hacer todos los reales. f(x)= [x]= 0 o≤x<1 Para comprobar los ejemplos se aplica la siguiente fórmula r ≤ x < r + 1 Entonces la función f definida en r por f(x)=[x] se llama función parte entera. Esta función es creciente y no es biyectiva.