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  1. 1. FUNCIONES
  2. 2. TIPOS DE FUNCIONES Constantes Polinómicas Lineales Cuadráticas Algebraicas Racionales RadicalesFunciones A Partes Exponenciales Trascendentes Logarítmicas Trigonométricas
  3. 3. Funciones AlgebraicasLas funciones algebraicas son aquellas quese obtienen al realizar un numero finito deadiciones, sustracciones ,multiplicacionesdivisiones y radicaciones con las funcionesconstante e identidad.
  4. 4. FUNCIONES POLINOMICASEstas funciones vienen definidas por un polinomio. f(x) = a0 + a1x + a2x² + a2x³ +··· + anxn Funciones constantesEl criterio viene dado por un número real. f(x)= kLa gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas. Funciones Lineales (primer grado) f(x) = mx +nSu gráfica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de la función. Funciones cuadráticas f(x) = ax² + bx +cSon funciones polinómicas de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.
  5. 5. FUNCIONES RACIONALESEl criterio viene dado por un cociente entre polinomios:El dominio lo forman todos los números realesexcepto los valores de x que anulan el denominador. Dom:  - {-4}
  6. 6. FUNCIONES RADICALESEl criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical.El dominio de una función irracional de índice impar es R. Dom:  Dom: - {2,3}El dominio de una función irracional de índice par está formado por todoslos valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero. Dom: (-,2]U[3, ) Dom: (-,-4)U(-4,2]U[3, )
  7. 7. FUNCIONES DEFINIDAS A PARTESSon funciones definidas por distintos criterios, según los intervalos que seconsideren. Funciones en valor absoluto.Las funciones en valor absoluto se transforman en funciones atrozos, siguiendo los siguientes pasos:1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan susraíces.2. Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cadaintervalo.3. Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en losintervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función.4. Representamos la función resultante. Función parte entera de x.Es una función que a cada número real hace corresponder el número entero inmediatamente inferior. Función signo. f(x) = sgn(x)
  8. 8. A continuación clasificamos las funciones según el tipo de aplicación
  9. 9. FUNCION BIYECTIVASea f una función de A en B, f se dicebiyectiva si cumple con lassiguientes propiedades: A.- Si f es inyectiva B.-Si f es sobreyectiva
  10. 10. FUNCIÓN INYECTIVA: Sea f una función de A enB se dice inyectiva o uno a uno, si para todo par deelementos:x₁,x₂ € A; f(x₁) ₌f (x₂), implica que X₁₌X₂ A B 0 0 0 0 0 0 0 0
  11. 11. Tambien podemos decir que una función es inyectiva , sia elementos diferentes de A corresponden imágenesdiferentes de B. Es decir : V X₁, X₂ € A; X₁≠X₂ → f (X₁) ≠f (X₂) A B A Bo 0 o 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 INYECTIVA NO ES INYECTIVA
  12. 12. Gráficamente se puede distinguir cuando unafunción es inyectiva, si se trazan paralelas aleje de las X, estas deben cortar la gráfica en unsolo punto.
  13. 13. N0 INYECTIVA Esta función no es inyectiva porque al trazar paralelas al eje X se cortan en 2 puntos
  14. 14. FUNCION SOBREYECTIVAUna función es sobreyectiva o sobre si, “todoelemento del conjunto B es la imagen de almenos un X del conjunto A, tal que f(x) = Y” A B A B 1 4 1 Y 2 2 5 3 X 3 6 4 Z 5SOBREYECTIVA NO SOBREYECTIVA
  15. 15. Otra manera de indicar una funcion sobreyectivaes: f: A B cuando Rec(f)=(A). (Recorrido de f esigual al conjunto de llegada). A f B A g B a 1 2 a e 3 4 b i 5 6 c u Rec.(f )= B G no es F es sobreyectiva sobreyectiva
  16. 16. A h B A f B 2 a 1 a 6 b 5 b 8 c 5 c 10 7H es sobreyectiva I no es sobreyectiva ya que b y c € B no son imágenes de A
  17. 17. Gráficamente se puede distinguir si una funciónes sobreyectiva, al trazar paralelas al eje X; estasdeben cortar la grafica al menos en un punto y y x o x o NO SOBREYECTIVASOBREYECTIVA
  18. 18. Gráficamente una función es biyectiva, cuandocualquier paralela el eje de las X esta corta lagráfica en un punto.En los siguientes diagramas ilustramosdistinguiremos a las funciones biyectivas A f B A u B a 7 a 7 b 9 b 9 c 11 c 11 Biyectiva No Biyectiva
  19. 19. FUNCION INVERSASe llama función inversa o reciproca de f a otra función f−1 que cumple que:Si f(a) = b, entonces f−1(b) = a.Podemos observar que:El dominio de f−1 es el recorrido de f.El recorrido de f−1 es el dominio de f.Si queremos hallar el recorrido de una función tenemos que hallar el dominio desu función inversa.Si dos funciones son inversas su composición es la función identidad.f o f -1 = f -1 o f = x
  20. 20. Las gráficas de f y f -1 son simétricas respecto de labisectriz del primer y tercer cuadrante.Hay que distinguir entre la función inversa, f−1(x), yla inversa de una función, 1/f(x).
  21. 21. Teorema.- si F es una función biyectiva de A en B y gla función de B en A definida por: g={(y ,x)/y=f(x),XEA} entonces g define una funcióninversa de f. Se nota f-1 , es decir que g= f-1Observación.-La notación f-1 ≠1/f una función cuyoconjunto de salida es el conjunto de llegada de ladirecta (f) f:A B f-1 :B ASi la correspondencia inversa a la dada también esfunción entonces se cumple que: f-1 [f(x)]=f [f-1 (x)]=X
  22. 22. CÁLCULO DE f-1(x)Sabemos que f-1= { (x, y) / x=f(y) } = { (f(y), y) / si y es del dominiode f = { (x, y) / y=f-1(x), si x es del rango de f }. Pero si queremoshallar la expresión de f-1(x), es decir, cuánto vale y en función delvalor de x si el par (x, y) pertenece a f-1¿qué haremos? Bien sencillodecirlo: debemos despejar y en la ecuación x=f(y).Naturalmente, si x=f(y)es una ecuación, pues si la función vienedada por una lista de pares no será necesario ningún cálculo y si lafunción viene dada por una expresión más o menos compleja,tendremos que estudiarla y ver si estamos en condiciones decalcular la expresión de la función inversa. Los ejemplos querealicemos serán "sencillos" y estarán basados en los ejemplos yarepresentados.Despejar, éste es nuestro problema. Si no tenemos dificultades paradespejar "letras" en expresiones algebraicas, no tendremosdificultades en el cálculo de la expresión de f-1(x)a partir de laexpresión de f(x).
  23. 23. Calcular la función inversa de:Vamos a comprobar el resultado para x = 2 Vamos a comprobar el resultado para x = 2
  24. 24. Es la función definida por f (x)=c, donde c es unnumero real cualquiera. El dominio es el conjuntode los números reales y el rango es el conjunto {c}.Su gráfica es una recta horizontal que corta al ejeen el punto (0;c). y c m =0 x 24
  25. 25. Observe el comportamiento de las siguientes curvas: y y=f (x) xUna función f es creciente en un intervalo I, si paratodo x1 < x2 en el intervalo I, entonces f (x1) < f (x2)
  26. 26. y y=g (x) y xUna función g es decreciente en un intervalo I, si paratodo x1 < x2 en el intervalo I, entonces g (x1) > g (x2)
  27. 27. y CRECIENTE X1 y X2 f(x2) X1 < X2 f(x1) f(x1) < f(x2) X y X1 X2- - - - - - - - -f(x1) DECRECIENTE f(x2) - - - - - - - - - X1 y X2 X X1 < X2X1 X2 f(x1) > f(x2)
  28. 28. Función parUna función f se dice par si ∀ x∈ D(f ) se verifica: f(x) = f(–x) (o sea, sipara cualquier x del dominio de la función, es decir, para todos losvalores de x para los que existe imagen, la imagen de x y la de suopuesto –x coinciden).Si nos fijamos en el gráfico, esto significa que la gráfica de la funciónpasa por los puntos (x, f(x)) y (–x, f(–x)), que son simétricos respectodel eje OY. Y como esto sucede para todos los x del dominio de f, lagráfica de una función par resulta ser simétrica respecto OY.
  29. 29. Función imparUna función f se dice impar si ∀x∈D(f ) se verifica: –f(x) = f(–x).Analizando el gráfico descubrimos que la gráfica de la función pasa por lospuntos (x, f(x)) y (–x, f(–x)), que son simétricos respecto del punto O. Ycomo esto sucede para todos los x del dominio de f, la gráfica de unafunción par resulta ser simétrica respecto del origen de coordenadas.
  30. 30. -f(x)=-[3(1)3-2(1)]=[3-2]=-1
  31. 31. FUNCIÓN SIGNOLa función signo es una Función matemática especial, una Funcióndefinida en partes, que obtiene el signo de cualquier número real que setome por entrada. Se representa generalmente mediante sgn(x), y no debeconfundirse con la función seno (sen(x) o bien sin(x)).La función signo puede definirse de las siguientes maneras:Donde su dominio es R y su conjunto imagen {-1;0;1}.sgn)(x)=
  32. 32. FUNCIÓN INDICATRIZSea A un subconjunto no vacio de R, la función f de R en R definida por:Se denomina función caracteristica de A.Ejemplo:
  33. 33. La función de valor absoluto tiene porecuación f(x) = |x|, y siempre representadistancias; por lo tanto, siempre serápositiva o nula.
  34. 34. Caracteristicas:Su gráfica divide al primero y al segundocuadrante.Asocia a cada número su valor absoluto, esdecir, que independiente del signo del numerola funcion siempre toma valores no negtivos.
  35. 35. Construccion de Graficas DeLas Funciones Que Contienen Valor Absoluto. Existen 3 casos: 1.) y = f(ІxІ) 2.) y = Іf(x)І 3.) ІyІ = f(x)
  36. 36. Primer Caso.- para construir la grafica de y = fІxІ essuficiente analizar la funcion y = f(x), las partes de lacurva que se encuentran a la derecha del eje vertical, esdecir para x ≥ 0 permenecen inalterables, mientrasque, para x ‹ 0 se trasladan al lado contrario en formasimétrica con relación al eje vertical, por cuantoGRÁFICA
  37. 37. Segundo Caso.- para construir la gráfica de y=│f(x)│, essuficiente analizar y=f (x) sin ninguna restricción. Laspartes de la curva donde y ≥0 permanece inalterables;pero las partes de la grafica donde y<0 se inviertensimetricamente respecto al eje de las x. Es decir toda lagrafica se encuentra sobre el eje de las X.GRÁFICA
  38. 38. Tercer Caso.-para construir la gráfica de │y│= f(x) essuficiente analizar y=f (x). Las partes de la curva en laque f(x) ≥ 0 se invierten simetricamente respecto al ejede las x, pero las partes de l grafica donde f(x) < 0 seeliminan. Se observa que │y│= f(x) tiene doble signo esdecir y=±f(x) es una relación.GRÁFICO
  39. 39. FUNCIÓN PARTE ENTERA DE [X] Se denomina así la función de ecuación f(x)=E[x],que a cada número real hace corresponder el mayor número entero que es menor o igual que él. El hacer corresponder a cada número el entero inmediatamente inferior, origina una gráfica escalonada. La función parte entera, notada E o con corchetes, se define sobre el conjunto de los números reales así: donde [x] es el mayor número entero inferior o igual a x, tal que: r≤x<r+1
  40. 40. EJEMPLOS f(x) = E (x) x 0 0.5 0.9 1 1.5 1.9 2f(x) = E(x) 0 0 0 1 1 1 1
  41. 41. EJEMPLOS f(x) = x - E (x) x 0 0.5 0.9 1 1.5 1.9 2 f(x) = x - E(x) 0 0.5 0.9 0 0.5 0.9 0
  42. 42.  f(x)= [x] el dominio va hacer todos los reales. f(x)= [x]= 0 o≤x<1 Para comprobar los ejemplos se aplica la siguiente fórmula r ≤ x < r + 1 Entonces la función f definida en r por f(x)=[x] se llama función parte entera. Esta función es creciente y no es biyectiva.

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