NUMEROS REAIS

1,663 views
1,558 views

Published on

Published in: Education
0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
1,663
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
11
Actions
Shares
0
Downloads
41
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide
  • Pendiente el formato de contenidos
  • NUMEROS REAIS

    1. 1. Números Reais
    2. 2. NÚMEROS REAIS(R) NÚMEROS RACIONAIS Nº I RRAC I ONA I S Nº ENTEIROS(Z ) Nº FRACCIONARIOS NATURAIS(N) ENTEIROS NEGATIVOS DECIMAIS LIMITADOS ILIMITADOS PERIÓDICOS PERIÓDICOS PUROS PERIÓDICOS MIXTOS
    3. 3. <ul><li>Es t e conxunto está composto polos seguintes elementos: </li></ul>Conxunto de números reais R = Q  I , ademáis N  Z  Q . inicio Nº racional é o conxunto de fraccións equivalentes a unha dada Z={...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...} Q={ p : q / p,q є Z e q ≠ 0 } N ={1,2,3,4, 5,6,7,8, ...}
    4. 4. Números Naturais( N ) <ul><li>Un número natural é calquera dos números 0, 1, 2, 3... que se poden usar para contar os elementos dun conxunto finito. </li></ul><ul><li>Denominaremos N ao conxunto de tódolos números naturais. </li></ul><ul><li>O conxunto dos nº naturais é un conxunto ordenado e polo tanto pode representarse sobre unha recta </li></ul>
    5. 5. Operacións de números naturais <ul><li>A suma de dous números naturais é sempre outro nº natural </li></ul><ul><li>O produto de dous nº naturais é sempre outro nº natural </li></ul><ul><li>A resta non sempre é posible entre números naturais. </li></ul>a-b é natural só se b  a
    6. 6. Números enteiros negativos <ul><li>A cada número natural b distinto de cero asignouselle como correspondente un número negativo –b , chamado o oposto de b , que ten a propiedade </li></ul><ul><li>b + (-b) = 0 </li></ul>
    7. 7. Números enteiros <ul><li>Ao conxunto dos números enteiros represéntase co símbolo Z, aos enteiros negativos con Z - e aos enteiros positivos con Z + . </li></ul>Os nº enteiros pódense sumar, restar e multiplicar. O seu resultado sempre será un enteiro.
    8. 8. Número Enteiros ( Z ) <ul><li>Aos números naturais e os seus opostos chámaselle NUMEROS ENTEIROS </li></ul><ul><li>Representación na recta real </li></ul>
    9. 9. Números enteiros VALOR ABSOLUTO DUN Nº ENTEIRO Se X é un número enteiro, o seu valor absoluto represéntase por e defínese así: X se X é positivo -X se X é negativo =
    10. 10. Números fraccionarios <ul><li>Se a unha unidade a fraccionamos en n partes iguais, cada parte é a n–ésima parte da unidade e simbolízase por </li></ul><ul><li>Se tomamos m das n-ésimas partes, decimos que esa cantidade é </li></ul><ul><li>e representa unha proporción da unidade </li></ul>
    11. 11. TÉRMOS DUNHA FRACCIÓN NUMERADOR DENOMINADOR EXEMPLO: TRES QUINTOS Numerador Denominador
    12. 12. ¿Qué indica o denominador? Indica as partes iguais en que se dividiu a unidade. Por exemplo. A unidade dividiuse en 5 partes iguais ;cada parte é1/5 ¿Que indica o numerador? Indica o número de partes que se toman ou consideran da unidade dividida. Por exemplo Se da unidade dividida se toma 3 partes entonces a fracción será 3/5 3/5
    13. 13. Números fraccionarios <ul><li>Se se multiplica ou divide numerador e denominador dunha fracción por un mesmo nº(r) distinto de cero, a fracción non varía </li></ul>
    14. 14. Fraccións equivalentes <ul><li>Dúas fraccións e son equivalentes </li></ul><ul><li>ou iguais se se cumple: </li></ul>=
    15. 15. Suma e resta de fraccións con igual denominador <ul><li>Súmanse ou réstanse os numeradores e ponse o mesmo denominador </li></ul><ul><li>Ex: </li></ul>NON SE ELIMINAN DENOMINADORES
    16. 16. Suma e resta de fraccións con distinto denominador <ul><li>Substitúense por fraccións equivalentes que teñan o mesmo denominador </li></ul><ul><li>Para elo. </li></ul><ul><li>calculamos o m.c.m dos denominadores </li></ul><ul><ul><li>O novo denominador común de todas será o m.c.m </li></ul></ul><ul><ul><li>Dividimos o m.c.m entre o denominador de cada unha e multiplicamos ese cociente polos numeradores </li></ul></ul><ul><li>Sumamos e restamos numeradores e poñemos o mesmo denominador </li></ul>
    17. 17. Suma e resta de fraccións con distinto denominador <ul><li>Ex: </li></ul>4=2 2 ; 12 = 2 2 .3 ; 8 =2 3 . m.c.m(4,12,8) = 2 3 .3 =24 SIMPLIFICAMOS O RESULTADO SEMPRE QUE SE POIDA
    18. 18. Produto de dúas fraccións <ul><li>Multiplícanse os numeradores e os denominadores </li></ul><ul><li>Ex: </li></ul>PARA MULTIPLICAR E DIVIDIR NON SE CALCULA O m.c.m SIMPLIFICAMOS O RESULTADO SEMPRE QUE SE POIDA
    19. 19. División de dúas fraccións <ul><li>Multiplícase a primeira pola inversa da segunda </li></ul><ul><li>Ex: </li></ul>PARA MULTIPLICAR E DIVIDIR NON SE CALCULA O m.c.m SIMPLIFICAMOS O RESULTADO SEMPRE QUE SE POIDA
    20. 20. Operacións combinadas de fraccións <ul><li>Se só hai sumas e restas entre parénteses ou corchetes </li></ul><ul><ul><ul><li>Quitamos os parénteses, corchetes, etc aplicando as regras dos signos </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Sumamos ou restamos as fraccións resultantes </li></ul></ul></ul><ul><li>Ex: </li></ul>
    21. 21. Operacións combinadas de fraccións <ul><li>Se hai produtos e/ou divisións entre parénteses: </li></ul><ul><li>SEGUIMOS A XERARQUÍA DE OPERACIÓNS: </li></ul><ul><ul><ul><li>Parénteses </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Produtos e divisións(de esquerda a dereita) </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Sumas e restas (de esquerda a dereita) </li></ul></ul></ul>
    22. 22. Operacións combinadas de fraccións <ul><li>Ex: </li></ul>1
    23. 23. Ejercicios
    24. 24. <ul><li>Cada punto da recta correspóndese cun número real. </li></ul><ul><li>Para representar os números enteiros necesitamos fixar o cero e a lonxitude da unidade. </li></ul>0 1 -2 -1 3 2 <ul><li>Despois basta con levar a unidade de lonxitude tantas veces como queiramos cara a dereita do cero para os positivos, </li></ul><ul><li>e cara a esquerda para os negativos. </li></ul>Representación dos nº reais na recta real
    25. 25. Racionais comprendidos entre 0 e 1 Nos números racionais comprendidos entre 0 e 1 o denominador é maior co numerador. Representaremos: <ul><li>Partindo de cero trazamos unha recta inclinada cara a dereita. </li></ul>0 -1 2 1 <ul><li>Divídese en tantas partes iguais como indica o denominador. </li></ul>5 3 <ul><li>Trazamos unha recta dende o 1 ata a última división. </li></ul><ul><li>Debúxase unha paralela a esta última recta pola división que sinale o numerador. </li></ul><ul><li>O número que queremos representar é o punto de corte desta recta coa recta real. </li></ul>
    26. 26. Para fixar ben este procedemento, que se basa no teorema de Thales , vexamos outro exemplo: Racionais comprendidos entre 0 e 1. Representaremos: 0 -1 2 1 11 4 <ul><li>Debuxamos unha líña dende o cero con inclinación dereita. </li></ul><ul><li>Dividímola en 11 partes. </li></ul><ul><li>Unimos a última división co punto 1. </li></ul><ul><li>Trazamos unha paralela a esta última recta pola división 4. </li></ul>
    27. 27. Racionais maiores co 1 Nos números racionais maiores co 1 o denominador é menor co numerador. Representamos: <ul><li>Efectuamos a división enteira (sen decimales). </li></ul>25 7 3 21 4 <ul><li>Representamos </li></ul>3 2 5 4 7 4 a partir de 3.
    28. 28. Faise todo igual que para os positivos, pero cara a esquerda. Racionais negativos <ul><li>Efectuamos a división enteira (sen decimais). </li></ul>25 7 3 21 4 <ul><li>Representamos </li></ul>-3 -2 -5 -4 7 4 a partir de Representamos:
    29. 29. Irracionais co teorema de Pitágoras 1 <ul><li>Trátase de representar números radicais do tipo: </li></ul>a b c Debemos encontrar dous números tales que a suma dos seus cadrados sexa 13. No noso caso son 2 e 3. 0 3 2 <ul><li>Debúxase a recta real. </li></ul><ul><li>Márcase un dos números (3) e trazamos unha perpendicular, marcamos o outro número (2) sobre esta última recta . </li></ul><ul><li>O número que estamos buscando é a hipotenusa do triángulo rectángulo </li></ul><ul><li>Coa axuda dun compás trasladamos este número á recta . </li></ul>
    30. 30. a <ul><li>Neste caso debemos encontrar dous números cuxa diferenza de cadrados sexa o número que estamos buscando. </li></ul>Por ejemplo: Usando o teorema de Pitágoras 2 a b c 0 2 5 <ul><li>Prestade atención á construción do debuxo </li></ul>c a
    31. 31. Intervalos Intervalo aberto de extremos a e b é o conxunto de números reais comprendidos entre a e b. <ul><li>A este conxunto non pertenecen os extremos. </li></ul>Intervalo cerrado de extremos a e b é o conxunto de números reais comprendidos entre a e b. <ul><li>A este conxunto si pertenecen os extremos. </li></ul>Intervalos semiabertos ou semicerrados. Aberto pola esquerda Aberto pola dereita
    32. 32. Semirrectas Nunha semirrecta atópanse tódolos números menores ou maiores ca un nº dado Un dos extremos do intervalo é sempre + ∞ ou - ∞ c Semirrecta pechada positiva Semirrecta pechada negativa c Semirrecta aberta positiva c c Semirrecta aberta negativa
    33. 33. <ul><li>Ao conxunto formado por tódolos enteiros e tódolos fraccionarios denomínase números racionais </li></ul><ul><li>a é o numerador e b o denominador </li></ul>Números racionais( Q ) e e
    34. 34. Expresión decimal dos números racionais <ul><li>Para escribir un número fraccionario en decimal basta con dividir o numerador polo denominador </li></ul>
    35. 35. <ul><ul><ul><li>Expresión decimal limitada (exacta) </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Ex: 7/4 = 1,75. Ao facer a división o resto é cero </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Expresión decimal ilimitada periódica pura </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Ex: 8/3 = 2,666…= </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>No cociente aparece ,inmediatamente despois da coma , unha cifra ou grupo de cifras ( 6 )que se repite indefinidamente ( período ) </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Expresión decimal ilimitada periódica mixta </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>EX: 23/6 = 3,8333…= </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>No cociente aparece unha cifra ou grupo de cifras( 3 ) que se repite indefinidamente, pero entre a coma e o período hai outra cifra ou cifras( 8 ) chamada anteperíodo </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Expresión decimal ilimitada non periódica = nº irracional </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Ex Л = 3,141592… ; </li></ul></ul></ul>Tipos de expresións decimais
    36. 36. ¿Cómo saber o tipo de expresión decimal sen dividir? <ul><li>Factorizamos os denominadores </li></ul><ul><ul><ul><li>Se o denominador contén só os factores 2,5 , ou ambos , é decimal limitada. </li></ul></ul></ul><ul><li>Ex: 2/25 ; 13/4 ; 324/500 </li></ul><ul><ul><ul><li>Se o denominador non contén os factores nin 2 nin 5, é periódica pura </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Ex: 2/3 ;2/21 </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Se o denominador contén os factores 2 e 5 ademáis doutros factores, é periódica mixta </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>E: 2/30 ; 7/ 110 </li></ul></ul></ul>
    37. 37. <ul><li>É unha fracción que ten por numerador o nº sen a coma, e por denominador a unidade seguida de tantos ceros como cifras decimais ten o nºdecimal </li></ul><ul><li>Simplificamos a fracción obtida </li></ul><ul><li>Demostración: </li></ul><ul><li>X = 2,25. </li></ul><ul><li>100 X = 225 </li></ul>Expresión fraccionaria dun nº decimal limitado
    38. 38. Expresión fraccionaria dun nº decimal ilimitado periódico puro <ul><li>É unha fracción que ten por numerador a parte enteira seguida da parte periódica menos a parte enteira, e por denominador tantos noves como cifras teña o período </li></ul><ul><li>Demostración: </li></ul><ul><li>X = 2,43 43 43…. </li></ul><ul><li>100 X = 243,43 43 43…. ( multiplicamos pola unidade seguida dos ceros necesarios para pasar o período para a parte enteira) </li></ul><ul><li>Restamos membro a membro para eliminar a parte decimal </li></ul><ul><li>100 X = 243,43 43 43…. </li></ul><ul><li>X = 2,43 43 43…. </li></ul><ul><li>99 X = 243-2 </li></ul>Se podemos simplificamos X =
    39. 39. Expresión fraccionaria dun nº decimal ilimitado periódico mixto <ul><li>É unha fracción que ten por numerador a parte enteira seguida do anteperíodo e da parte periódica menos, a parte enteira seguida do anteperíodo, e por denominador tantos noves como cifras teña o período seguidos de tantos ceros como cifras teña a anteperíodo. </li></ul><ul><li>Demostración: </li></ul><ul><li>X = 2,4 56 56 56…. </li></ul><ul><li>10 X = 24,56 56 56…. ( multiplicamos pola unidade seguida dos ceros necesarios para pasar a periódica pura) </li></ul><ul><li>Multiplicamos a expresión anterior pola unidade seguida dos ceros necesarios para pasar o período para a parte enteira </li></ul><ul><li>1000 X = 2456,56 56 56…. </li></ul><ul><li>10X = 24, 56 56 56… </li></ul><ul><li>990 X =2456-24 </li></ul>Se podemos simplificamos X=
    40. 40. <ul><li>Os números irracionais son aqueles equivalentes a unha expresión decimal ilimitada non periódica </li></ul><ul><li>Non se poden escribir en forma de fracción </li></ul><ul><li>Para traballar cos nº irracionais hai que aproximar </li></ul><ul><li>Redondeo: </li></ul><ul><ul><ul><li>Se a primeira cifra eliminada é menor ca 5 deixamos a anterior tal como está </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Se a primeira cifra eliminada é maior ou igual ca 5 engadimos unha unidade a anterior </li></ul></ul></ul><ul><li>Ex: = 1,7320508… </li></ul><ul><li>Redondeo ás décimas 1,7 (3 é menor ca 5) </li></ul><ul><li>Redondeo ás dez milésimas: 1,7321(A primeira eliminada é 5) </li></ul>Números Irracionais( I )
    41. 41. Determinación de nº irracionais por intervalos encaixados <ul><li>Ex: = 1,25992105… </li></ul>1,25 < < 1,26 1,24 3 =1,907 1,25 3 =1,953 1,26 3 =2,0004 centesimal 1,2 < <1,3 1,1 3 =1,331 1,2 3 =1,728 1,3 3 =2,197 Decimal 1 < <2 1 3 =1; 2 3 =8 Enteira INTERVALO POTENCIAS APROXIMACIÓN
    42. 42. Determinación de intervalos encaixados 1 2 1.2 1.3 1 2 .1 .2 .9 .3 .8 .4 .7 .6 .5
    43. 43. <ul><li>Obtemos unha sucesión de intervalos que cumple: </li></ul><ul><ul><li>Cada intervalo está contido no anterior </li></ul></ul><ul><ul><li>A diferenza entre os extremos tende a 0 </li></ul></ul><ul><ul><li>“ Toda sucesión de intervalos encaixados determina un único nº real” </li></ul></ul>Determinación de nº irracionais por intervalos encaixados(Cont)
    44. 44. Fin

    ×