Funcións

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Funcións

  1. 1. X.MANUEL BESTEIRO ALONSO Colexio APostólico Mercedario VERÍN FUNCIÓNS
  2. 2. CONCEPTO DE FUNCIÓN Una función es una relación entre dos magnitudes, de tal manera que a cada valor de la primera le corresponde un único valor de la segunda. Maneras de definir una función: 1.– Por una tabla 2.– Por su gráfica 3.– Por una fórmula Cardiograma
  3. 3. De los gráficos siguientes. ¿Qué gráficos son funciones?                        
  4. 4. Ejemplo : Indique si cada una de las gráficas es la gráfica de una función: y a) x
  5. 5. y x b)
  6. 6. y x c)
  7. 7. Idea de función <ul><li>A las magnitudes que intervienen en una relación se les llama variables. </li></ul><ul><li>Variable independiente. Es la que se fija previamente.Sus valores se dan arbitrariamente </li></ul><ul><li>Variable dependiente . Es la que se deduce de la variable independiente. </li></ul>y = f(x) Variable independiente Variable dependiente
  8. 8. Idea de función Tabla de la función y = x 2 + 1 Gráfica de la función y = x 2 + 1 Dominio. Conjunto de valores que se pueden dar a la variable independiente. Se desígna como D(f) Recorrido. Conjunto de valores de la variable dependiente.Se desígna por f(D) ou R(f) D(f) = R Re(f) = [1, +  )
  9. 9. Idea de función <ul><li>ECUACIÓN DUNHA FUNCIÓN : </li></ul><ul><li>Expresión alxébrica que nos indica as operacións que temos que realizar coa variable independente para obter a variable dependente </li></ul><ul><li>Ex: A =  ·r 2 Dinos que para obter a área hai que elevar o raio ao cadrado e multiplicar por  </li></ul><ul><li>Variables: área e raio </li></ul><ul><li>GRÁFICA DUNHA FUNCIÓN </li></ul><ul><li>Liña que resulta de unir os puntos(x,y) que verifican a función </li></ul>
  10. 10. Formas de dar unha función <ul><li>Mediante unha fórmula : y = x 2 </li></ul><ul><li>Mediante unha taboa de valores: </li></ul><ul><li>Mediante unha gráfica: </li></ul>
  11. 11. Dominio dunha función <ul><li>Cando podemos dar calquera valor á variable independente x, dicimos que o seu dominio é todo R =(- α , + α ) </li></ul><ul><li>Ex: y= x 2 </li></ul><ul><li>CÁUSAS QUE PODEN RESTRINXIR O DOMINIO </li></ul><ul><li>Imposibilidade de realizar algunha operación: </li></ul><ul><ul><li>Denominadores </li></ul></ul><ul><ul><li>Os valores de x que fan cero un denominador non están no dominio de definición </li></ul></ul><ul><ul><li>Ex: </li></ul></ul><ul><ul><li>Raíces cadradas </li></ul></ul><ul><ul><li>Os valore de x que fan o radicando negativo non están no dominio de definición </li></ul></ul><ul><ul><li>Ex: </li></ul></ul>
  12. 12. Dominio dunha función <ul><li>CÁUSAS QUE PODEN RESTRINXIR O DOMINIO </li></ul><ul><li>Función logarítmica </li></ul><ul><li>Só podemos facer logarítmos de números positivos </li></ul><ul><li>Ex: </li></ul><ul><li>Contexto real do que se extrae unha función </li></ul><ul><li>Ex : A =  · r 2 , o dominio é (0,+ α ) , pois o raio sempre ten que ser maior que cero </li></ul><ul><li>Por vontade de quen propón a función </li></ul><ul><li>Cando queremos restrinxir a función a un intervalo </li></ul>
  13. 13. Dominios y recorridos de funciones: ejemplos D = R – {0} R = R – {0} D = [0, +  ) R = [0, +  )
  14. 14. Ejemplo : Encuentre el dominio de la función definida por la ecuación , suponiendo que x es la variable independiente.
  15. 15. Operaciones aritméticas con funciones Definición: Dadas las funciones f y g se definen las funciones suma (f+g), diferencia (f-g), producto (fg) y cociente (f/g) de f y g como:
  16. 16. Variación dunha función <ul><li>VARIACIÓN DUNHA FUNCIÓN f(x) nun intervalo [a,b] é </li></ul><ul><li>V[a,b] = f(b)- f(a) </li></ul><ul><li>TASA DE VARIACIÓN MEDIA dunha función f(x) nun intervalo [a,b] </li></ul><ul><li>T.V.M[a,b] = </li></ul>Variación f(b)-f(a)
  17. 17. TASA DE VARIACIÓN El incremento de una función se llama tasa de variación, y mide el cambio de la función al pasar de un punto a otro. Representaremos la tasa de variación por t v . Si h es el incremento de la variable, la tasa de variación en x será, pues: f(x + h) – f(x) T v = --------------------- h
  18. 18. VARIACIÓN DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO <ul><li>Variación en el intervalo [1, 2] = f(2) – f(1) = 5 – 2 = 3 > 0 </li></ul><ul><li>Variación en el intervalo [–2, –1] = f(– 1) – f(– 2) = 2 – 5 = – 3 < 0 </li></ul>y = x 2 + 1 Variación en el intervalo [1, 2] Variación en el intervalo [–2, –1]
  19. 19. FUNCIONES CRECIENTES <ul><li>Una función es creciente en un intervalo si para dos valores cualesquiera del intervalo x y x' se cumple que si x < x'  f(x) < f(x'). </li></ul><ul><li>Si una función es creciente en un intervalo, su tasa de variación en el intervalo es mayor o igual que cero. </li></ul>Función creciente
  20. 20. FUNCIONES DECRECIENTES <ul><li>Una función es decreciente en un intervalo si para dos valores cualesquiera del intervalo x y x' se cumple que si x < x'  f(x) > f(x'). </li></ul><ul><li>Si una función es decreciente en un intervalo, su tasa de variación en el intervalo es menor o igual que cero. </li></ul>Función decreciente
  21. 21. MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN <ul><li>Una función continua tiene un máximo en un punto si a la izquierda de ese punto la función crece y a la derecha decrece. </li></ul><ul><li>Una función continua tiene un mínimo en un punto si a la izquierda de ese punto la función decrece y a la derecha crece. </li></ul><ul><li>En un máximo absoluto la función toma el máximo valor posible y en un mínimo absoluto la función toma el mínimo valor posible. </li></ul><ul><li>A </li></ul><ul><li>B </li></ul><ul><li>C </li></ul><ul><li>D </li></ul><ul><li>E </li></ul>Mìnimo absoluto Máximo absoluto
  22. 22. 1.-FUNCIÓN CÓNVEXA Unha función é CONVEXA cando ao unir dous puntos da rexión superior da función hai algún segmento que corta á gráfica da función CURVATURA: CONCAVIDADE, CONVEXIDADE
  23. 23. 2.-FUNCIÓN CONCAVA Unha función é CONCAVA cando ao unir dous puntos da rexión superior da función O segmento queda dentro da gráfica da función CURVATURA: CONCAVIDADE, CONVEXIDADE
  24. 24. PUNTOS DE INFLEXIÓN Son aqueles nos que a función cambia de curvatura. Pasa de cóncava a convexa ou viveversa CURVATURA: PUNTOS DE INFLEXIÓN PUNTOS DE INFLEXIÓN Función cóncava Función convexa Función cóncava Función convexa
  25. 25. SIMETRÍA PAR o simetría respecto al eje de ordenadas Una función f es simétrica respecto del eje de ordenadas cuando cualquiera que sea x del dominio se verifica que f(– x) = f(x). <ul><li>P(x, f(x)) </li></ul>f(– x) = f(x) x – x P(–x, f(–x)) x = 0
  26. 26. FUNCIÓN SIMÉTRICA RESPECTO AL ORIGEN DE COORDENADAS <ul><li>Una función es impar cuando su gráfica presenta simetría respecto al origen de coordenadas. </li></ul><ul><li>Si una función es impar: f(– x) = – f(x),  x  D (siendo D el dominio de la función). </li></ul><ul><li>P(x, f(x)) </li></ul>P(–x, f(–x)) x f(x) f(–x) = – f(x) – x
  27. 27. FUNCIONES PERIÓDICAS Una función f es periódica cuando los valores que toma se van repitiendo cada cierto intervalo que se llama periodo. Es decir: f(x + T) = f(x). T es el periodo. x f(x) x + T f(x + T) = T periodo
  28. 28. CONTINUIDAD Y DISCONTINUIDAD Gráfica que expresa el número de vendedores que tiene un gran almacén según las horas del día. Gráfica correspondiente a una etapa de montaña de una vuelta ciclista. <ul><li>Una función es continua cuando a cualquier pequeña variación de la variable independiente le corresponde una pequeña variación de la variable dependiente. </li></ul><ul><li>Los puntos en los que la función efectúa un salto se llaman puntos de discontinuidad </li></ul>
  29. 29. TIPOS DE DISCONTINUIDADES 1.- DISCONTINUIDADE DE SALTO INFINITO ASÍNTOTA VERTICAL: valores de x que non petenecen ao dominio, e, nos que hai unha discontinuidade de salto infinito Cando ao tomar a x valores cada vez maís próximos a un nº(que non pertenece ao dominio) pola dereita, pola esquerda ou polos dous lados , o valor da función tende a + α ou a -  X=2
  30. 30. 2.-DISCONTINUIDADE INEVITABLE Hai unha discontinuidade inevitable nun punto cando a función dá un salto ao chegar a ese punto. Dase nas funcións definidas a cachos TIPOS DE DISCONTINUIDADES
  31. 31. 3.-DISCONTINUIDAD EVITABLE: Nun punto no que a función non está definida Acércase ao mesmo punto cando se aproxima a el pola dereita e pola esquerda TIPOS DE DISCONTINUIDADES
  32. 32. 4.-DISCONTINUIDAD EVITABLE: punto desprazado A función está definida nese punto, pero ten ese punto desprazado. Só se dá nas funcións definidas a cachos TIPOS DE DISCONTINUIDADES
  33. 33. ASÍNTOTAS VERTICALES <ul><li>Una función y = f(x) tiene una asíntota vertical x = k cuando al acercarse </li></ul><ul><li>los valores de x a k por la derecha, por la izquierda o por los dos lados, los valores </li></ul><ul><li>de la función tienden a + α o a -  </li></ul><ul><li>Sólo Puede haber AS. VERTICALES en los puntos que no pertenecen al dominio </li></ul><ul><li>La gráfica no puede cortar a las asíntotas verticales . </li></ul>La recta x = 0 es asíntota vertical. Las rectas x = 1, x = –2, x = 3 son asíntotas verticales .
  34. 34. CÁLCULO DE ASÍNTOTAS VERTICAIS Dada la función f(x) = 1/(x – 2), ¿a qué valor se acerca f(x) cuando x se acerca a 2? x se acerca a 2 por la izquierda: x  2 - + 2  x :x se acerca a 2 por la derecha f(x) se acerca a –  f(x) se acerca a +  Vemos que a medida que x se acerca a 2 por la izquierda la función tiende a - α , y cuando x se acerca a 2 por la derecha, la función f(x) tiende a + α X=2 ASÍNTOTA VERTICAL
  35. 35. ASÍNTOTAS HORIZONTALES <ul><li>Una función y = f(x) tiene una asíntota horizontal y = h si </li></ul><ul><li>cuando la x tiende a+ α o a - α , la función tiende a un nº real h </li></ul><ul><li>La función puede cortar a la asíntota horizontal </li></ul><ul><li>Unha función tiene como máximo dos asíntotas horizontales, una cuando x tiende </li></ul><ul><li>a +  y otra cuendo x tiende a -  . </li></ul>y=1 ASÍNTOTA HORIZONTAL
  36. 36. ASÍNTOTAS HORIZONTALES Cando x tende a +  , a función tende a y=1 Cando x tende a -  , a función tende a y=-1 ASÍNTOTAS HORIZONTALES Función creciente
  37. 37. CÁLCULO DE ASÍNTOTAS HORIZONTALES Dada la función f(x) = x/(x + 1), ¿a qué valor se acerca f(x) cuando x tiende a –  ? ¿Y cuando x tiende a +  ? Cuando x tiende a –  Cuando x tiende a –+  f(x) se acerca a 1 f(x) se acerca a 1 Vemos que a medida que x tiende a +  , la función f(x) se acerca a 1, que cuando x tiende a –  , la función f(x) se acerca a 1. y=1 ASÍNTOTA HORIZONTAL
  38. 38. ASÍNTOTAS OBLICUAS ASÍNTOTA OBLÍCUA ASÍNTOTA VERTICAL Una función y = f(x) tiene una asíntota oblicua y = mx + n si se verifica que:
  39. 39. FUNCIÓN LINEAL DE LA FORMA y = mx <ul><li>Una función de la forma y = mx: </li></ul><ul><li>Expresa que las magnitudes x e y son directamente proporcionales. </li></ul><ul><li>Su representación gráfica es una recta que pasa por el origen de coordenadas. </li></ul><ul><li>El coeficiente m es la pendiente de la recta. </li></ul><ul><ul><li>Si m > 0, la función es creciente. </li></ul></ul><ul><ul><li>Si m < 0, la función es decreciente. </li></ul></ul>y = 3x y = – 3x
  40. 40. FUNCIÓN LINEAL DE LA FORMA y = mx + b <ul><li>Una función de la forma y = mx + b: </li></ul><ul><li>Su representación gráfica es una recta que no pasa por el origen de coordenadas. </li></ul><ul><li>El coeficiente m es la pendiente de la recta. </li></ul><ul><ul><li>Si m > 0, la función es creciente. </li></ul></ul><ul><ul><li>Si m < 0, la función es decreciente. </li></ul></ul><ul><li>El valor de la ordenada par x = 0 es b, y se llama ordenada en el origen. </li></ul><ul><li>(0, 3) </li></ul><ul><li>(0, 3) </li></ul>
  41. 41. Paralelismo y valor de la pendiente <ul><li>Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales . </li></ul><ul><li>Dos rectas son secantes si sus pendientes son distintas . </li></ul>y = 2x + 3 = 2x – 1 + 4
  42. 42. FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS Algunas funciones están definidas aplicando diferentes fórmulas a distintos puntos de su dominio. – 1 cuando – 4  x < –1 x cuando – 1  x < 1 x 2 cuando 1  x  3
  43. 43. FUNCIÓN CUADRÁTICA <ul><li>Las funciones de la forma y = ax 2 + bx + c con a  0 se llaman cuadráticas. Su gráfica es una parábola. </li></ul><ul><li>Las coordenadas del vértice V(x, y) de la parábola se obtiene del siguiente modo: </li></ul><ul><li>La abscisa es la solución de 2ax + b = 0. </li></ul><ul><li>La ordenada se obtiene hallando la imagen en la parábola de la abcisa. </li></ul>y = x 2 – 2x – 3 x = 1 y = – 4 <ul><li>V(1, – 4) </li></ul>Eje de simetría
  44. 44. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES CUADRÁTICAS <ul><li>Para dibujar y = ax 2 + bx +c </li></ul><ul><li>Se hallan las coordenadas del vértice. </li></ul><ul><li>El eje se simetría es la recta perpendicular a OX que pasa por V. </li></ul><ul><li>Si a > 0 las ramas van hacia arriba. Si a < 0 las ramas van hacia abajo. </li></ul><ul><li>Se fija la parábola hallando dos o más puntos simétricos respecto al eje de simetría. </li></ul><ul><li>Un punto fácil de obtener es (0, c) y su simétrico respecto al eje de simetría </li></ul>Para representar y = 2x 2 – 8x + 7 <ul><li>Dibujamos el eje: x = 1 </li></ul><ul><li>Dibujamos la parábola </li></ul><ul><li>Obtenemos el vértice: 4x – 8 = 0  x = 2 </li></ul><ul><li>La ordenada es y = –1 </li></ul>V(2, –1) <ul><li>Obtenemos otros puntos y sus simétricos respecto al eje: </li></ul>(1, 1) y (3, 2) (0, 7) y (4, 7)
  45. 45. LA FUNCIÓN DE SEGUNDO GRADO Y = AX 2 <ul><li>La gráfica de la función y = ax 2 es una parábola que: </li></ul><ul><li>Tiene por eje el eje de ordenadas. </li></ul><ul><li>Tiene por vértice el origen de coordenadas (0, 0). </li></ul><ul><li>Cuanto mayor es a (en valor absoluto), más cerrada es la parábola. </li></ul>a > 0 a < 0
  46. 46. TRASLACIÓN DE LA PARÁBOLA Y = X 2 , SEGÚN EL EJE OX Las gráficas de la funciones y = (x– p) 2 , resultan de trasladar la gráfica de la parábola y = x 2 horizontalmente en el eje de abcisas p unidades hacia la derecha si p > 0, o hacia la izquierda si p < 0. y = (x – 2) 2 y = x 2 y = (x+1) 2
  47. 47. PUNTOS DE CORTE CON EL EJE OX Para encontrar los puntos de corte de una función con el eje OX, basta obtener los puntos de la gráfica para los que la segunda coordenada es 0. La función corta al eje OX en el punto (1, 0) Los puntos de corte con el eje OX de la función: se obtienen así:
  48. 48. PUNTOS DE CORTE CON EL EJE OY <ul><li>Para encontrar el punto de corte de una función con el eje OY, basta obtener, si existe, el punto de la gráfica para el que la primera coordenada es 0. </li></ul><ul><li>El 0 ha de ser del dominio para que dicho punto exista, y sus coordenadas serán (0, f(0)). </li></ul>La función corta al eje OY en el punto (0, –1) <ul><li>(0, –1) </li></ul>Los puntos de corte con el eje OY de la función: se obtienen así:
  49. 49. LAS FUNCIONES Y = 2 X E Y = 2 – X <ul><li>Características de la función exponencial. </li></ul><ul><li>Su dominio es toda la recta real. </li></ul><ul><li>El recorrido son los reales positivos. </li></ul><ul><li>Son continuas en su dominio. </li></ul><ul><li>La función y = 2 x es creciente en su dominio. </li></ul><ul><li>La función y = 2 -x es decreciente en su dominio. </li></ul><ul><li>La recta y = 0 es una asíntota horizontal. </li></ul>Tabla de valores
  50. 50. LA FUNCIÓN EXPONENCIAL y = a x para a > 1 <ul><li>Características de la funciones exponenciales, y = a x con a > 1. </li></ul><ul><li>Las gráficas pasan por los puntos (0, 1) y (1, a). </li></ul><ul><li>En los reales positivos si la base es mayor, la gráfica se sitúa por encima. </li></ul><ul><li>En los reales negativos ocurre a la inversa. </li></ul>Tabla de valores
  51. 51. LA FUNCIÓN EXPONENCIAL y = a x para 0 < a < 1 <ul><li>Características de la funciones exponenciales, y = a x con 0 < a < 1. </li></ul><ul><li>Las gráficas pasan por los puntos (0, 1) y (1, a). </li></ul><ul><li>En los reales positivos si la base es mayor, la gráfica se sitúa por encima. </li></ul><ul><li>En los reales negativos ocurre a la inversa. </li></ul>Tabla de valores
  52. 52. FUNCIONES POTENCIALES: y = x n siendo n natural y par y = x 2 y = x 4 y = x 6 y = x 8
  53. 53. FUNCIONES POTENCIALES : y = x n siendo n natural e impar y = x 3 y = x 5 y = x 7 y = x 9
  54. 54. FUNCIONES POLINÓMICAS DE TERCER GRADO <ul><li>Una función polinómica de tercer grado o cúbica tiene por ecuación </li></ul><ul><li>y = ax 3 + bx 2 + cx + d con a  0 </li></ul><ul><li>Su dominio es R. </li></ul><ul><li>Son continuas en R. </li></ul><ul><li>Sus gráficas son de uno de los cuatro tipos siguientes: </li></ul>
  55. 55. FUNCIONES POLINÓMICAS DE CUARTO GRADO <ul><li>Una función polinómica de tercer grado o cúbica tiene por ecuación </li></ul><ul><li>y = ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e con a  0 </li></ul><ul><li>Su dominio es R. </li></ul><ul><li>Son continuas en R. </li></ul><ul><li>Sus gráficas son de uno de los cuatro tipos siguientes: </li></ul>
  56. 56. FUNCIONES RACIONALES Algunas funciones racionales son las siguientes: Son funciones de la forma , donde p(x) y q(x) son polinomios, con q(x)  0. El dominio de una función racional es toda la recta real, excepto los valores de x que anulan al denominador.
  57. 57. Función de proporcionalidad inversa <ul><li>Las funciones de la forma se llaman funciones de proporcionalidad inversa. </li></ul><ul><li>Su gráfica se llama hipérbola, y cada una de las partes de la que consta, ramas. </li></ul><ul><li>Es simétrica respecto del origen, que es el centro de la hipérbola. </li></ul><ul><li>Es continua en todos los puntos, salvo en 0, que no pertenece al dominio. </li></ul>
  58. 58. Estudio de la tendencia cuando la variable tiende a +  o a –  Dada la función f(x) = x/(x + 1), ¿a qué valor se acerca f(x) cuando x tiende a –  ? ¿Y cuando x tiende a +  ? Cuando x tiende a –  Cuando x tiende a –+  f(x) se acerca a 1 f(x) se acerca a 1 Vemos que a medida que x tiende a +  , la función f(x) se acerca a 1, que cuando x tiende a –  , la función f(x) se acerca a 1.
  59. 59. Las funciones y = e x e y = 10 x
  60. 60. Las funciones y = e –x e y = 10 –x <ul><li>Características de la funciones exponenciales, y = a x con 0 < a < 1. </li></ul><ul><li>Las gráficas pasan por los puntos (0, 1) y (1, a). </li></ul><ul><li>En los reales positivos si la base es mayor, la gráfica se sitúa por encima. </li></ul><ul><li>En los reales negativos ocurre a la inversa. </li></ul>Tabla de valores
  61. 61. Gráficas de funciones logarítmicas (I)
  62. 62. Relación entre funciones exponenciales y logarítmicas: a > 1 Las funciones y = a x , y = log a x son recíprocas; por tanto, sus gráficas serán simétricas respecto a la bisectriz del primer cuadrante.
  63. 63. Las funciones y = e –x e y = 10 –x
  64. 64. Relación entre funciones exponenciales y logarítmicas: 0 < a < 1 Las funciones y = a x , y = log a x son recíprocas; por tanto, sus gráficas serán simétricas respecto a la bisectriz del primer cuadrante.
  65. 65. Las funciones y = log 2 x e y = log 1/2 x <ul><li>Características de la función logarítmica. </li></ul><ul><li>Su dominio son los reales positivos. </li></ul><ul><li>El recorrido son todos los reales. </li></ul><ul><li>Son continuas en su dominio. </li></ul><ul><li>La función y = log 2 x es creciente en su dominio. </li></ul><ul><li>La función y = log 1/2 es decreciente en su dominio. </li></ul><ul><li>La recta x = 0 es una asíntota vertical . </li></ul>Tabla de valores
  66. 66. Funciones potenciales: y = ax n siendo n natural y a > 0
  67. 67. Suma y diferencia de dos funciones <ul><li>Dadas dos funciones f y g, se define: </li></ul><ul><li>Suma : (f + g) (x) = f(x) + g(x). </li></ul><ul><li>Diferencia : (f – g) (x) = f(x) – g(x). </li></ul>x f(x) f(x) + g(x) g(x)
  68. 68. PRODUCTO Y COCIENTE DE FUNCIONES <ul><li>Dadas dos funciones f y g, para todo x que pertenece al dominio de ambas funciones se define: </li></ul><ul><li>Producto : (f . g) (x) = f(x) . g(x). </li></ul><ul><li>Dadas dos funciones f y g, para todo x que pertenece al dominio de ambas funciones y g(x)  0 se define: </li></ul><ul><li>Cociente : (f  g) (x) = f(x)  g(x). </li></ul>
  69. 69. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES <ul><li>La función h(x) = 2 2x es la composición de dos funciones: </li></ul><ul><li>g(x) = 2x = t </li></ul><ul><li>f(t) = 2 t </li></ul>h(x) = f(g(x)) = f(2x) = 2 2x La composición de una función f con otra función g es una función denotada por f o g, definida del siguiente modo: (f o g)(x) = f[g(x)] x 2x = t 2 t = 2 2x R R g R f x 2 2x g(x) = 2x f(t) = 2 t Salida 2x Entrada x Entrada t= 2x Salida 2 t = 2 2x h(x) = f(g(x))
  70. 70. FUNCIONES RECÍPROCAS Dos funciones son recíprocas si su composición es la función identidad. La función recíproca de f se denota por f –1 . Entrada Función directa Salida f(x) = x 2 Salida Función recíproca Entrada
  71. 71. Gráficas de funciones recíprocas Las gráficas de dos funciones recíprocas son simétricas respecto a la bisectriz del primer cuadrante.
  72. 72. FIN

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