Uploaded on

 

  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Be the first to comment
    Be the first to like this
No Downloads

Views

Total Views
151
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0

Actions

Shares
Downloads
0
Comments
0
Likes
0

Embeds 0

No embeds

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
    No notes for slide

Transcript

  • 1. Faculteit der Toegepaste Wiskunde Ø Universiteit Twente HOBBELEN, SLINGEREN EN TRILLEN LOB2-module voor vwo5-leerlingen Natuur & Techniek of Natuur & Gezondheid A. van der Meer, N. Alink en J. Neijens 30 maart 2001 Dit hoofdstuk moet thuis, ter voorbereiding, worden doorgewerkt.1 Inleiding2 De harmonische trilling2.1 Beschrijving van de situatieWe bekijken een voorwerp dat op een veer is geplaatst, denk maar aan eenwipkip. Als we het voorwerp een eindje naar beneden duwen en dan loslaten zalhet een tijdje op en neer gaan bewegen. We proberen er achter te komen hoedat komt en een beschrijving van deze op-en-neer-gaande beweging te maken.SysteemHet voorwerp met de veer samen noe-men we het systeem, zie figuur 1. Detoestand van het systeem beschrijvenwe met ´´n of meer variabelen, de toe- eestandsgrootheden. In dit geval zijnwe ge¨ ınteresseerd in de verticale po-sitie van het voorwerp, die we zullenaangeven met x. Omdat het voor-werp kan bewegen is (de toestands-grootheid) x een functie van de tijd 111111 000000— daarom heet het systeem een dy-namisch systeem. Echter, de positie van het voor-werp is niet genoeg om de toestandvan het systeem te beschrijven. Het 111111 000000 Figuur 1: Voorwerp op een veeris duidelijk dat we verschillende situ-aties hebben wanneer het voorwerp inpositie x stilstaat, naar boven beweegt of naar beneden beweegt. Een tweedetoestandsvariabele is daarom de snelheid, evenals x een functie van de tijd. Wenoteren deze met v(t).
  • 2. Behalve de positie en de snelheid van het voorwerp zijn er natuurlijk nogandere grootheden die in de tijd veranderen zoals de onderlinge afstand tussende windingen van de veer en diverse krachten die de verschillende onderdelenop elkaar uitoefenen. Sommige daarvan zijn voor ons doel —beschrijving vanhet bewegingspatroon van het voorwerp— niet relevant, andere kunnen we uitde snelheid en de positie van het voorwerp berekenen. We zullen daarom het variabelenpaar (x, v) de toestand van het systeemnoemen.EvenwichtWe zeggen dat het systeem in evenwicht is als er in de tijd niets verandert. Ingewoon Nederlands: Het systeem is in evenwicht als het voorwerp stil staat. Inde evenwichtstoestand zijn de krachten die op het voorwerp worden uitgeoefendmet elkaar in evenwicht. De zwaartekracht die het voorwerp naar beneden trektwordt dus precies gecompenseerd door de veerkracht van de iets ingedrukte veerdie het voorwerp naar boven trekt. Zonder de zaak verder te analyseren kunnenwe voor dit systeem al zeggen dat een evenwichtstoestand van de vorm (x0 , 0)is (snelheid nul), waarbij x(t) de constante functie x0 is en v(t) de constantefunctie nul is.Kwalitatieve beschrijvingWat gebeurt er als we het voorwerp een eindje naar beneden duwen en danloslaten? We zullen als het ware een vertraagde film voor ons geestesoog afspelenom zo precies mogelijk te kunnen “zien” wat er nu eigenlijk gebeurt. • Op het tijdstip t = 0, het moment waarop we het voorwerp loslaten, bevindt het voorwerp zich onder het evenwichtspunt en heeft snelheid 0. De veer is verder ingedrukt dan bij het evenwichtspunt en zal dus een grotere kracht naar boven uitoefenen dan in het evenwichtspunt. De veerkracht is nu groter dan de zwaartekracht en dat levert dus, na loslaten, een naar boven gerichte resulterende kracht op het voorwerp op. Dat betekent dat het voorwerp naar boven gaat bewegen. • Zolang het voorwerp zich nog onder het evenwichtspunt bevindt, is de veer nog steeds verder ingedrukt dan in het evenwichtspunt. Er blijft dan een resulterende kracht naar boven bestaan waardoor de snelheid van het voorwerp zal blijven toenemen. • Het voorwerp zal nu met een zekere (naar boven gerichte) snelheid het evenwichtspunt bereiken. Op dat moment is de resulterende kracht op het voorwerp tot nul gereduceerd. Het zal dus door het evenwichtspunt heen schieten en verder naar boven blijven bewegen. • Zodra het voorwerp boven het evenwichtspunt is, is de kracht die de veer op het voorwerp uitoefent kleiner geworden dan de zwaartekracht, zodat er een resulterende kracht is die naar beneden gericht is. De kracht is hier dus tegengesteld aan de bewegingsrichting. Dat betekent dat het voorwerp wordt afgeremd en steeds langzamer naar boven gaat bewegen. 2
  • 3. • Op een zeker moment is de snelheid van het naar boven bewegende voor- werp nul geworden. Het bevindt zich dan in een punt boven het even- wichtspunt waarin de kracht waarmee de veer tegen het voorwerp drukt1 kleiner is dan de zwaartekracht. De resulterende kracht op het (stil- staande) voorwerp is dus naar beneden gericht. Het voorwerp gaat dus met toenemende snelheid naar beneden bewegen. • De situatie van het vorige punt komt overeen met de situatie in het begin, maar nu met de resulterende kracht en de snelheid precies tegengesteld gericht. Het voorwerp gaat met toenemende snelheid naar beneden be- wegen; voorbij het evenwichtspunt neemt de snelheid weer af, totdat het ergens onder het evenwichtspunt weer tot stilstand komt. En zo voort.Samengevat: Het voorwerp zal op en neer bewegen. Dat wisten we natuurlijkal lang uit ervaring, maar we begrijpen nu misschien iets beter waar`m dat zo ois.2.2 BewegingsvergelijkingenOmdat de redenering in de vorige paragraaf tot het gewenste resultaat lijkt teleiden, kunnen we deze redenering omzetten in een wiskundig model. Dat iseen stelsel vergelijkingen waaraan de toestandsgrootheden x(t) en v(t) moetenvoldoen. Maar voordat we zo ver zijn moeten we eerst nog een aantal zakenvastleggen (veronderstellen). Bijvoorbeeld: “Een uitgerekte veer trekt” en “eningedrukte veer duwt.” We kunnen nu niet meer volstaan met deze kwalitatievebeschrijving, maar iets gaan veronderstellen (of meten!) omtrent “hoe hard” deveer trekt, resp. duwt. Fr u=0 x=0 uevenw u(0) 111111 000000 000000 000000 111111 111111 000000 111111 111111 111111 000000 000000 onbelaste veer evenwichtsstand positie op t=0 (u(0) is negatief) Figuur 2: Voorwerp op een veer; positie x en uitrekking u. 1 Misschien is het voorwerp wel z´ ver omhoog geschoten dat de veer is uitgerekt inplaats ovan ingedrukt, en niet meer tegen het voorwerp duwt maar er aan trekt. Dit verandert echterniets aan het verhaal. 3
  • 4. ModelveronderstellingenWe formuleren eerst een paar veronderstellingen over het systeem (zie ook fi-guur 2): 1. De veer. We veronderstellen dat de veer in onbelaste toestand een vaste lengte heeft, met andere woorden: als de veer een paar keer ingedrukt of uitgerekt is geweest, dan is hij niet blijvend veranderd. Verder veronder- stellen we: als we de veer u m uitrekken, dan oefent de veer een kracht van c u N uit. In formule: Fveer = −c u . (1) Er staat een minteken in het rechterlid van (1) omdat de uitgeoefende kracht tegengesteld gericht is aan de uitrekking. De constante c noemen we de veerconstante en wordt gegeven in Newton per meter. Vanaf nu zullen we steeds spreken over de uitrekking u van de veer; als hij is ingedrukt is u negatief. Formule (1) staat bekend als de Wet van Hooke. Merk op dat we niets gezegd hebben over het teken van u. Als u negatief is —dat betekent dat we de veer |u| m ingedrukt hebben— dan zal de veer met precies dezelfde kracht terugduwen als de kracht waarmee de veer trekt als we hem |u| m uitgerekt zouden hebben. De (voor ons model relevante) eigenschappen van de veer zijn nu geheel vastgelegd door de wet van Hooke en de veerconstante c. 2. Het voorwerp. Uiteraard is de massa van het voorwerp van belang, laten we zeggen m kg. Dat betekent dat de zwaartekracht op het voorwerp een (constante) kracht uitoefent volgens Fz = −m g , (2) waarin g de versnelling van de zwaartekracht voorstelt. De zwaartekracht is naar beneden gericht, dus we hebben er een minteken voor gezet. Voor het systeem dat we hier bekijken wordt het voorwerp volledig geka- rakteriseerd door de constante m. 3. Overige krachten: We veronderstellen dat er verder geen krachten op het voorwerp werken. Dat betekent onder andere dat we aannemen dat een bewegend voorwerp g´´n wrijvingsweerstand ondervindt. Dat klopt ee natuurlijk niet; maar we zullen nagaan waar deze aanname toe leidt en als dat niet genoeg overeenkomt met de werkelijkheid zullen we het model moeten verfijnen. Evenzo zullen we veronderstellen dat de veer die (met dezelfde snelheid als het voorwerp) van lengte aan het veranderen is o´k geen wrijvingskrachten ´o ondervindt. Hier zullen we straks z´ker het model moeten gaan verfijnen, e want de vering van een auto is juist met opzet van “demping” voorzien omdat daardoor het rijden over een hobbel een stuk comfortabeler kan plaatsvinden. 4
  • 5. Het model: eerste versie, het simulatiemodelIn elk geval zullen vergelijking (1), de Wet van Hooke, en (2), de Gravitatiewet,deel uitmaken van het model. Als hulpvariabelen zullen we gebruiken: Fr (N) Resulterende kracht op het voorwerp a (m/s2 ) versnelling van het voorwerp u (m) uitrekking van de veerVoor de versnelling hebben we uiteraard de bekende tweede Wet van Newton: Fr Fr = m a dus a= , (3) mVoor de positie x van het voorwerp nemen we de verticale as. We moeten eennulpunt kiezen; hierin zijn we geheel vrij. Laten we het nulpunt z´ kiezen dat ox = 0 in de evenwichtstoestand. Welnu, in de evenwichtstoestand moet Fr = 0,dus met (1) en (2) mg Fveer + Fz = 0 ⇒ uevenw = − (4) c(dus in de evenwichtstoestand is de veer mg/c m ingedrukt.) Voor de toestands-grootheid x(t) hebben we dus: mg x(t) = u(t) + . (5) cWe kunnen daarom bij het opstellen van het model net zo goed met de uitrekkingvan de veer u(t) als met de positie van het voorwerp x(t) werken. Om het eigenlijke model op te stellen gaan we uit van de toestand op eenwillekeurig tijdstip t waarop de uitrekking van de veer u(t) is en de snelheid vanhet voorwerp v(t). We gaan na wat de toestand op tijdtstip t + dt is.We nemen aan dat de tijd dt z´ kort is dat we de snelheid gedurende die tijd oconstant mogen veronderstellen. Het voorwerp beweegt gedurende dt secondenmet een snelheid v(t) naar boven (dus naar beneden als v negatief is) en legtin die tijd een afstand v(t) dt af. Dat betekent dat de veer gedurende dt methetzelfde bedrag v(t) dt verder (of juist minder ver, namelijk als v negatief is)wordt uitgerekt. De uitrekking van de veer op het tijdstip t + dt is dus: u(t + dt) = u(t) + v(t) dt . (6)Voor de andere toestandsgrootheid v(t) geldt iets dergelijks. We nemen aan datde versnelling gedurende het tijdsverloop dt constant is, zodat v(t + dt) = v(t) + a(t) dt . (7)Voor het complete simulatiemodel zetten we de boven gevonden vergelijkingenop een rijtje: 5
  • 6. Fveer (t) = −c u(t) (1) Fz = −m g (2) Fr (t) = Fz + Fveer (t) (8) Fr (t) a(t) = (3) m v(t + dt) = v(t) + a(t) dt (7) u(t + dt) = u(t) + v(t) dt (6) mg x(t) = u(t) + . (5) c Model 1a.Dit model heet een simulatiemodel omdat we hiermee, uitgaande van een begin-toestand (x(t0 ), v(t0 )) en een tijdstap dt, (bij benadering) kunnen uitrekenen watde toestand is op het tijdstip t1 = t0 +dt en vinden zo een toestand (x(t1 ), v(t1 )).Het rekenschema is daarvoor (neem t0 = 0):(a) Gegeven: (x(0), v(0));(b) Bereken de uitrekking u(0) met vergelijking (5);(c) Bereken de kracht Fveer voor t = 0 met vergelijking (1);(d) Bereken de versnelling a(0) met vergelijking (3);(e) Bereken nu v(t1 ) en u(t1 ) met (7) en (6).Vervolgens kunnen we, uitgaande van de berekende toestand, op dezelfde manierde toestand (x(t2 ), v(t2 )) uitrekenen voor t2 = t1 + dt. En zo voorts. Van de grafiek van de (onbekende) functie x(t) vinden we dus benaderdewaarden voor x(t0 ), x(t1 ), . . . , x(tn ). Als we deze door middel van rechte lijntjesverbinden hebben we een benadering van de grafiek van x(t). Naarmate we deafstand dt tussen de berekende punten kleiner nemen zal de getekende figuureen betere benadering van de grafiek van x(t) zijn.Het model: tweede versie, de differentiaalvergelijkingenModel 1a is een benaderend model. In de formules (6) en (7) doen we net of desnelheid en de versnelling gedurende een tijd dt constant zijn, en dat is natuurlijkniet zo. In deze formules zouden we dus eigenlijk inplaats van het gelijktekeneen “ ≈ ”-teken moeten gebruiken om aan te geven dat ze ongeveer juist zijn.Met “ongeveer” bedoelen we dan: nauwkeuriger naarmate we dt kleiner nemen. Dit kunnen we tot uitdrukking brengen door dt naar nul te laten gaan.Vergelijking (6) kan worden herschreven tot u(t + dt) − u(t) du = = v(t) . (9) dt dtHierin kan du dus worden ge¨ınterpreteerd als de toename van u gedurende dt. Met vergelijking (7) kunnen we hetzelfde doen en dan krijgen we v(t + dt) − v(t) dv = = a(t) . (10) dt dt 6
  • 7. Met (9) inplaats van (6) en met (10) inplaats van (7) kunnen we Model 1a dusiets korter opschrijven. Als we dan ook uitdrukking (3) voor a(t) invullen in(10), dan is model 1a dus ook te formuleren als du = v(t) (9) dt dv c = −g − u(t) (11) dt m mg x(t) = u(t) + . (5) c Model 1b.2.3 Simulatie met ModellusWe benadrukken hier nog eens dat Model 1b alleen maar een andere formule-ring van Model 1a is. Het voordeel van 1a is dat het direct het rekenschemavan blz. 6 bevat2 . Uiteraard doen we deze berekeningen niet met de hand.Iemand die een klein beetje kan programmeren zou hiervoor gemakkelijk eencomputerprogramma kunnen schrijven. Het programma Modellus is precies voor dit soort modellen gemaakt; de ver-gelijkingen van Model 1b kunnen vrijwel precies in deze vorm worden ingevoerd.Dat gaat als volgt.Invoeren van het model. Modellus start met een scherm dat een aantalvensters bevat. We voeren eerst het model in op het venster met het opschrift“Model”, zie figuur 3. Figuur 3: Modelvenster Linksboven in dit venster staat een cursor. Je kunt Model 1b nu in de 2 Degenen die wel eens met het programma IP-Coach hebben gewerkt zullen de regels vanModel 1a gemakkelijk kunnen vertalen in de juiste IP-Coach-instructies 7
  • 8. volgende vorm intypen: du =v dt dv c = −g − u dt m mg x= +u. cHet meeste wijst zich hierbij vanzelf. Voor de volledigheid noemen we een paardingen waarop je moet letten: • Namen van variabelen kunnen uit m´´r dan ´´n letter bestaan; bijvoor- ee ee beeld Fz en Fveer. Deze moet je typen zonder spatie er tussen. • Het product van twee variabelen krijg je door ze te typen met een spatie er tussen. Als je typt: “m g”, dan maakt Modellus daar onmiddellijk van: “ m × g ”. In feite is de spatie voor Modellus het vermenigvuldigingssym- bool (maar je mag ook “m*g” typen). • Het quoti¨nt van twee getallen maak je met het teken “ / ”. eAls je klaar bent kun je op de knop interpret clicken. Wanneer je een typefoutgemaakt mocht hebben geeft Modellus een foutmelding. Maar als alles goedgegaan is, meldt Modellus Model Interpreted! in de boodschappenbalk onderaanhet venster en ziet het modelscherm er nu uit als in figuur 4. Figuur 4: Model 1bOpslaan van het model Op dit moment is het verstandig het model alvastte bewaren. Kies File Save As... en geef je model een mooie naam, bijvoor-beeld “model_1b”. Zorg dat er .mdl achter blijft staan. Click OK en constateerdat in de blauwe balk helemaal bovenin de tekst MODELLUS - UNTITLED ver-anderd is in MODELLUS - MODEL 1B. Denk er aan dat Modellus all´´n de eeeerste acht letters van een naam onthoudt. Dat betekent dat M23456789.MDLen M23456780.MDL hetzelfde zijn, namelijk M2345678.MDL. 8
  • 9. Parameterwaarden en begincondities. Na het “interpreteren van het mo-del” is ook het “Initial Conditions”-venster rechts veranderd; zie figuur 5. Bij het interpreteren van het ingetypte model heeft Modellus gezien dat ereen aantal constanten in het model voorkomt, waarvan het de waarde nodigheeft om te kunnen gaan rekenen. Hier zijn dat: m, g en c; de parameters vanhet model. De onderste helft geeft de door Modellus herkende toestandsgrootheden, in ditgeval de snelheid v en de uitrekking u. (Dat juist deze de toestandsgroothedenzijn haalt Modellus uit de modelvergelijkingen du = . . . en dv = . . .; het “ziet” dt dthieraan u en v per tijdstap veranderen en dus functies van t zijn.) Om hetmodel door te kunnen rekenen moeten de toestandsgrootheden een beginwaarde(initial value) hebben. Je kunt nu de waarden van de parametersen de beginwaarden van de toestandsgroothe-den in dit venster invullen. Neem: g = 9.81 c = 5.00 m = 0.15 en laat v = 0.00 en u = 0.00 maar staan.Denk er aan de decimale punt te gebruiken,dus niet : 9,81 maar: 9.81.Model met x als toestandsgrootheid.Modellus geeft ons niet de mogelijkheid ommet het model van figuur 4 de positie x alstoestandsgrootheid aan te wijzen. Dat is niet Figuur 5: Parameters en begin-erg, want door de onderste vergelijking kan waarden bij Model 1bx direct uit u en de constanten worden bere-kend. Als we per se x als toestandsgrootheidhadden willen hebben (inplaats van u), dan hadden we het model anders moetenformuleren, namelijk met een regel dx = . . . er in. dtDat is niet zo moeilijk. Verander de eerste regel in dx =v dten click op interpret. Modellus accepteert dit, gezien de boodschap“Model Interpreted!” die nu verschijnt. Als je nu goed oplet zie je dat nu ´´k het Initial Conditions-venster ver- ooanderd is. Niet alleen is in het Initial values-gedeelte de u vervangen door x(zoals verwacht), maar is bovendien een u tevoorschijn gekomen in het Para-meters-gedeelte. Dat betekent dat Modellus de variabele u als constante heeftge¨ ınterpreteerd inplaats van als functie van t. Dat komt omdat de u uitsluitendin het rechter lid van de formules van het model voorkomt en daaraan herkenthet blijkbaar de parameters van het model (voor zover het geen toestandsgroot-heden zijn tenminste). We kunnen dat verhelpen door de derde vergelijking z´ te herschrijven dat ou links van het gelijkteken komt te staan: mg u=x− , c 9
  • 10. dus door u uit te drukken in de overige variabelen en constanten.Sla nu eventueel dit model op onder de naam Model_1c.mdl en haal Model 1bweer terug via File Open....Openen van een grafiek. Nu gaan we de simulatie laten lopen. Om eengrafiek van de positie x als functie van de tijd te krijgen moeten we eerst eengrafiek-venster openen. Kies: Window, en in het menuutje dat dan verschijnt:New Graph. Daarmee verschijnt er een nieuw venster. Links kun je kiezen watje langs de verticale as en wat je langs de horizontale as te zien wilt krijgen. Kies x voor de variabele langs de verticale as; voor de onafhankelijke vari-abele (horizontale as) is normaliter al de t aangegeven; zo niet, verander datdan.Runnen van de simulatie. Toen Model-lus Model interpreted! meldde, gaf het daar-mee te kennen dat het de formules in het mo-del van figuur 4 heeft kunnen vertalen in eenrekenschema als op blz. 6. De simulatie wordtnu gestart in het Control-venster (het kleinevenster rechtsboven; zie figuur 6). Met de Op-tions. . . -knop kan een aantal instellingen wor-den veranderd. Figuur 6: Het control-venster • Maak er maar een gewoonte van om steeds direct de “Angles” van graden (degrees) in radialen (radians) te ver- anderen. • Zet de eindtijd (Limits, Max:) die standaard op 20 staat maar op 10. • Belangrijk is de stapgrootte dt die hier Step: heet. Deze staat op 0.1; laat dat eerst maar even zo.Click OK. De simulatie begint nu door in het Control-venster op het driehoekje linkson-der te clicken. Je zult nu niet veel zien gebeuren. Alleen in het Control-vensterzie je het “tijd-schuifje” geleidelijk naar rechts bewegen en het getal achtert = . . . gestaag veranderen. Na verloop van tijd is het programma klaar (het schuifje is helemaal rechtsaangekomen en er staat t = 10.00). Click nu in het Graph-venster op Adjust.Hierdoor worden de assen automatisch z´ aangepast dat de grafiek precies in het ovenster past. Je kunt het Graph-venster groter maken door ´´n van de zijkanten eemet de muis te “slepen”. Maak het maar flink breed. Je kunt ook direct grafieken van andere variabelen te zien krijgen door inhet Vertical-subvenstertje een andere variabele aan te clicken. Je kunt zelfs meergrafieken in ´´n plaatje krijgen door tijdens het clicken de Ctrl -toets ingedrukt eete houden. 10
  • 11. Andere waarden van de parameters. Uiteraard kun je de waarden vande parameters en de beginwaarden veranderen in het Initial Conditions-venster.Maar het is ook mogelijk om verschillende gevallen, desgewenst in hetzelfdeplaatje, te zien te krijgen. Kies daarvoor (bovenin het hoofdvenster) Case, Add. In het Initial Conditions-venster verschijnt dan een nieuw tabelletje onder het kopje “case 2” waarin jenieuwe waarden kunt aangeven. In het Graph-venster verschijnt nu bovenin,achter Cases:, een tweede knopje (in dezelfde kleur als het nieuwe lijstje in hetInitial Conditions-venster). Je kunt deze knopjes allebei aan of uit zetten. Je kunt nu het model opnieuw laten lopen en, met behulp van de Cases:-knopjes in het Graph-venster, ´´n van beide, of allebei de grafieken zichtbaar eemaken.Tabellen Behalve in de vorm van grafie-ken kunnen de berekende waarden ook in ta-belvorm gegeven worden. Open een Table-venster door na Window te kiezen: New Table.Links in het venster dat dan verschijnt staateen lijstje met alle in het model gebruikte con-stanten en variabelen. Je kunt er daarvan eenaantal kiezen om in de tabel op te nemen: • E´n keer clicken zet de gekozen varia- e bele aan of uit; • Door de muisknop ingedrukt te houden Figuur 7: Het Table-venster kun je een heel rijtje variabelen meene- men; • Als je de Ctrl -toets ingedrukt houdt kun je een extra variabele opnemen.Zie figuur 7, waar t en x als variabelen zijn gekozen. Ook in het Table-venster kun je aangeven welke “Case” je wilt zien (nu echtermaar ´´n tegelijk). eeHet aantekeningen-venster. Er is nu nog ´´n venster dat nog niet bespro- eeken is: Het Notes-venster. Hierin kun je allerlei commentaar typen. Het wordtgewoon bewaard als het model wordt opgeslagen. Handig om later nog eens tekunnen zien wat je precies gedaan hebt.Soms wordt het wel een beetje vol op het scherm. Je kunt(bijna) alle vensters tijdelijk verwijderen met de hide-knop,rechts bovenin een venster. Zie figuur 8. Als je daar op clicktverdwijnt het venster. In het submenu onder Window zie je onderin een lijstjemet alle vensters die in het model aanwezig zijn. De verbor-gen vensters hebben een “vinkje” en kunnen weer zichtbaarworden gemaakt door ze aan te clicken. Figuur 8: De hide-knop 11
  • 12. 2.4 Opdrachten. 1. Beschrijf in woorden wat de betekenis is van u(0) = 0 en v(0) = 0. 2. Bereken met het schema van blz. 6 x(0.1) en x(0.2). 3. Voer het model in met de parameters zoals in deze paragraaf. Lees uit de grafiek (of de tabel af) of de beweging van het voorwerp harmonisch is, dat wil zeggen: • een vaste maximale uitwijking (amplitude) heeft; en • een constante periode, dat is de tijd die verloopt tussen de momenten dat het voorwerp in dezelfde richting door de evenwichtsstand gaat. Geef een schatting (met ´´n cijfer achter de komma) van de amplitude en ee de periode. 4. Maak ook een tabel van je simulatie met t-waarden en x-waarden. Con- troleer je antwoorden van vraag 2. 5. Kies een andere begintoestand door u(0) en/of v(0) te veranderen. Ver- anderen de amplitude en de periode? Zo ja, hoe? 6. Kies nu ook andere waarden van de parameters: de veerconstante c en de massa m (niet allebei tegelijk!). Als c groter/kleiner wordt gemaakt, worden dan periode en amplitude groter of kleiner? Dezelfde vraag bij m. Opmerking voor de kenners van IP-Coach: Het vari¨ren van de para- e meters zoals bij deze opdracht heet bij IP-Coach: “simuleren”. In deze module wordt het woord simuleren echter gebruikt voor het doorrekenen van het model volgens een rekenschema zoals op blz. 6.Schrijf je antwoorden in het Notes-venster (maak het desgewenst groter). Bijvraag 2 moet je ook tussenresultaten vermelden!2.5 Oplossingen van de differentiaalvergelijkingenDe vergelijkingen (9) en (11) in Model 1b (zie blz. 7) vormen een zogenaamdstelsel differentiaalvergelijkingen, dat wil zeggen een stelsel vergelijkingen waar-aan de afgeleiden van de onbekende functies u(t) en v(t) moeten voldoen. In de opdrachten van §2.4 zal het vermoeden bij je zijn opgekomen dat depositie van het voorwerp als functie van de tijd wel eens een cosinusfunctie zoukunnen zijn. In feite wordt de algemene vorm van een harmonische functie zelfsgedefinieerd als x(t) = A cos(ω0 t + ϕ) . (12)De constanten A, ω0 en ϕ hebben te maken met de amplitude, de periode en hettijdstip waarop het eerste maximum wordt bereikt (de fase) van de harmonischebeweging.3 3 Het is gebruikelijk om voor de constanten in een harmonische functie de griekse lettersomega (ω) en phi (ϕ) te nemen. Wij sluiten ons hier bij deze gewoonte aan. 12
  • 13. 2.6 Opdrachten (vervolg) 7. Gegeven een harmonische functie x(t) met amplitude b en periode T . Het tijdstip waarop het eerste maximum wordt bereikt is t1 . (a) Druk de constanten A, ω0 en ϕ van (12) uit in b, T en t1 ; (b) Controleer je antwoord met behulp van Modellus. Dat wil zeggen: Maak een model dat uit ´´n vergelijking bestaat, namelijk ee x = A × cos(ω0 × t + ϕ) met voor A, ω0 en ϕ de in (a) gevonden uitdrukkingen. Gebruik Modellus om grafieken te tekenen voor verschillende waarden van b, T en t1 . NB: Vergeet niet de degrees te vervangen door radians! Vermeld je bevindingen in het Notes-venster van je model. 8. Laat zien dat de functie (12) een oplossing is van het stelsel differentiaal- vergelijkingen: (a) Veronderstel dat x(t) gegeven wordt door vergelijking (12) en bepaal u(t) met behulp van vergelijking (4); (b) Bereken v(t) als de afgeleide van u(t), zie vergelijking (9) in model 1b op blz. 7 en vul het resultaat in vergelijking (11) in. (c) Wat er nu staat moet kloppen voor alle waarden van t. Dat betekent dat A = . . ., ω0 = . . . en ϕ = . . .. Welke van de genoemde constanten liggen nu vast (dwz: zijn uit te drukken in m, g en c)? (d) Bepaal ook de dimensie van de vastliggende constante(n). Bedenk dat m in kg, g in N (ofwel: kg m s−2 ) en c in N m−1 zijn gegeven. 9. Ga na dat de overige constanten kunnen worden bepaald als x(0) en v(0) (de begintoestand) gegeven zijn. Bepaal ze voor x(0) = x0 en v(0) = 0. 10. Vergelijk nu de gevonden waarde van T met je antwoorden bij opdracht 3 in §2.4. 11. Andere schrijfwijze voor harmonische functies. (a) Laat zien dat voor elke A en ϕ functie (12) te schrijven is als: x(t) = c1 cos ω0 t + c2 sin ω0 t (13) (gebruik een somformule voor goniometrische functies en druk c1 en c2 uit in A en ϕ). (b) (Moeilijker!) Laat nu ook het omgekeerde zien: voor elke gegeven c1 en c2 is er een A > 0 en een ϕ te vinden waarmee (13) in de vorm (12) te schrijven is. 13
  • 14. 3 De gedempte trillingWe hebben nu al iets bereikt. Het model (model 1b) “verklaart” hoe het komtdat een voorwerp op een veer na een zekere beginuitwijking op en neer zal gaanbewegen. Toch is dit model nog niet bevredigend omdat je uit ervaring weet datdeze op-en-neer-gaande beweging een steeds kleinere uitwijking moet krijgen endat het voorwerp op den duur tot rust zal moeten komen.3.1 WrijvingskrachtenZoals in §2.2 al is gezegd, zullen we dus het model moeten gaan verfijnen als hetniet genoeg met de werkelijkheid overeenkomt. Op de ´´n of andere manier lijkt eede beweging in werkelijkheid te worden afgeremd en dat wijst in de richting vaneen wrijvingskracht. Deze wrijvingskracht mag in elk geval niet constant zijn. Als dat namelijk zozou zijn, dan zou hij ook altijd in dezelfde richting werken en daardoor het voor-werp niet afremmmen maar juist voortduwen zodra hij in de bewegingsrichtingvan het voorwerp werkt. Bovendien moeten we eisen dat de wrijvingskracht nul is als het voorwerpstil staat, want anders zou er geen evenwichtstoestand meer kunnen bestaan.Het eenvoudigste is dan om te veronderstellen dat de vrijvingskracht evenredigis met de snelheid, en tegengesteld gericht: Fw = −b v . (14)Hierin is b een positieve constante die we de dempingsconstante zullen noemen.Welke snelheid?Tot op dit moment maakte het nog niet uit over welke snelheid we het hebben.De snelheid van het voorwerp, dx , is gelijk aan du , dat is de snelheid waarmee dt dtde veer langer wordt. Voorlopig blijft dat nog even zo, maar verderop zal “hetvoorwerp” de carosserie van een auto zijn en “de veer” het verenstelsel van deauto. In dat geval zal de onderkant van de veer aan de over de weg bewegendewielen zijn bevestigd. Bij een volkomen gladde weg kunnen we dan nog aanne-men dat de verticale snelheid van de onderkant van de veer nul is, maar zodrade auto over een hobbel gaat, zal ook de onderkant van de vering een verticalebeweging gaan uitvoeren. Je kunt je voorstellen dat dan dx niet meer gelijk zal dtzijn aan du . dtIn elk geval hebben we te maken met twee verschillende wrijvingskrachten: • De luchtweerstand van het voorwerp. In formule (14) moeten we dan dx dt voor v nemen; • De demping van de veer. Hiervoor moeten we in formule (14) voor de snelheid du invullen. dtWe zullen de luchtweerstand van het voorwerp verwaarlozen ten opzichte vande demping van de veer. Dat betekent dat we vanaf nu zullen veronderstellen: De snelheid v(t) is de snelheid waarmee de veer langer wordt: v(t) = u (t). 14
  • 15. 111111111 000000000 111111111 000000000 Figuur 9: Veer met dempingDe gedempte veer is in figuur 9 gesymboliseerd. Stel je maar een veer voor die ineen (lekkende) zuiger zit opgesloten. Ouderwetse brommers hebben inderdaadeen dergelijke vering.Bewegingsvergelijkingen; model 2Het model voor de gedempte trilling is een uitbreiding van Model 1a op blz. 6.We moeten de wrijvingskracht van vergelijking (14) optellen bij de totale krachtFr in vergelijking (8). We krijgen dan: Fveer (t) = −c u(t) (1) Fz = −m g (2) Fw (t) = −b v(t) (14) Fr (t) = Fz + Fveer (t) + Fw (15) Fr (t) a(t) = (3) m dv = a(t) (10) dt du = v(t) (9) dt mg x(t) = u(t) + . (5) c Model 2a.We hebben hierin de oorpronkelijke vergelijkingen (6) en (7) herschreven volgens(9) en (10) op blz. 6.3.2 Opdrachten (vervolg) 12. Vereenvoudig Model 2a tot een Model 2b, op dezelfde manier als op blz. 7 Model 1a tot 1b is vereenvoudigd. 15
  • 16. 13. Simuleer Model 2b met Modellus. Dit gaat het eenvoudigst door je Model 1b te openen, eventueel overbodige cases te verwijderen, in het Model-venster het antwoord van opdracht 12 te verwerken en op Interpret te clicken. Merk op dat in het Initial Conditions- venster de parameter b verschenen is. De waarde van b staat aanvankelijk op 0; als je deze niet verandert en het model een keer runt, zal blijken dat je precies hetzelfde krijgt als bij model 1b. Controleer dat (herstel zo nodig de waarden van g, c en m, blz. 9). Save as. . . met de naam MODEL 2B. 14. Maak een nieuwe case met b = 0.1 en run het model. (a) Vergelijk de periode van de gedempte trilling met die van de onge- dempte trilling. Maak zo nodig de tijdstap (via Options. . . in het Control-venster) kleiner om een nauwkeuriger benadering te krijgen. Concludeer niet te snel dat de periode wel hetzelfde gebleven zal zijn. Zoom in rond een snijpunt van de grafiek van x(t) met de t-as om het nauwkeurig te kunnen bekijken. (b) Maak een lijstje van de x-waarden van achtereenvolgende maxima. Dit lijstje gaat u bij volgende opdrachten gebruiken (schrijf de waar- den op in het Notes-venster). (c) Maak een paar nieuwe Cases met grotere waarden van b (tot onge- veer b = 2.0). Wat gebeurt er met de periode en de amplitude? Vanaf welke waarde van b kun je eigenlijk niet meer spreken van een “gedempte trilling”? 15. Maak nu ook een grafiek (met b = 0.1) waarbij je x langs de horizontale as en v langs de verticale as uitzet. Adjust en run opnieuw om te zien hoe het plaatje tot stand komt. Interpreteer wat je te zien krijgt en zet je bevindingen in het Notes-venster.4 De rotatieslinger4.1 BeschrijvingVoor nauwkeurige metingen aan een (ge-dempte) slinger is een massa-veersysteem zo-als hierboven beschreven minder geschikt. θVoor een goed meetbare periode T is een inverhouding tot de massa m vrij slappe veernodig. In dat geval zal de op de veer rustendemassa gemakkelijk kunnen gaan “kiepen”, deveer wordt gedurende de beweging niet alleeningedrukt of uitgerekt, maar zal ook gaan bui-gen (torderen). Je zult je kunnen voorstellendat hierdoor een heel ander bewegingspatroonvan het voorwerp ontstaat. Bij zo’n veer is bo-vendien de dempingsconstante b niet gemak- Figuur 10: Rotatieslingerkelijk nauwkeurig genoeg te vari¨ren. e 16
  • 17. Gelukkig is er een andere mogelijkheid.We kunnen gebruik maken van een rotatieslinger die in figuur 10 schematischis weergegeven. Je kunt hierbij denken aan de onrust in een mechanische klok. De rotatieslinger bestaat uit een ronde schijf, waaraan in het middelpunt eenas bevestigd is. De schijf kan vrijwel wrijvingsloos om deze as ronddraaien. Aande schijf is een torsieveer bevestigd; dit is een veer die bestaat uit een opgeroldestrip metaal, die een kracht (preciezer: een krachtmoment) gaat uitoefenen alshij, vanuit de evenwichtsstand, verder wordt opgerold of juist uitgerold. Geef je de schijf een uitwijking dan zal de torsieveer de schijf in bewegingzetten. De veer zal de schijf proberen terug te draaien naar de evenwichtsstanden zal dit met een grotere kracht doen naarmate de uitwijking groter is. Opdezelfde manier als op blz. 2 e.v. kunnen we nu beredeneren dat de schijf naloslaten een heen en weer draaiende beweging zal gaan maken. Het voordeel van zo’n rotatieslinger boven een lineair massa-veer-systeemzal duidelijk zijn. In de eerste plaats kan de schijf maar ´´n soort beweging eemaken: draaien. Verder is het mogelijk door de as goed te lageren en de schijfmooi glad te maken de wrijvingsweerstand zeer klein te maken (dat is ookde reden dat dergelijke rotatieslingers in klokken worden (werden) gebruikt.Tenslotte is het mogelijk, bijvoorbeeld met een elektromagneet, heel nauwkeurigeen wrijvingskracht in te stellen zodat ook gedempte trillingen goed met eendergelijk systeem kunnen worden bestudeerd.4.2 Rotatie en lineaire bewegingIn veel opzichten kunnen rotaties op dezelfde manier als lineaire bewegingenworden beschreven. De belangrijkste formule voor een lineaire beweging is detweede wet van Newton: F = m a. Voor de rotatie van een lichaam om eenvaste as hebben we een vergelijkbare uitdrukking: M = I α. (16)Hierin is M het moment (“kracht × arm”) dat nodig is om een voorwerp mettraagheidsmoment I een hoekversnelling van α radialen per s2 te geven.Traagheidsmoment en massaHet traagheidsmoment is een eigenschap van een lichaam dat voor de rotatie(om een bepaalde as) dezelfde rol speelt als de massa bij een rechtlijnige be-weging. Zoals de massa aangeeft hoeveel moeite het kost een lichaam in eenrechtlijnige beweging te krijgen —of een bewegend lichaam stil te zetten— geefthet traagheidsmoment aan hoeveel moeite het kost een lichaam aan het tollen tekrijgen. De massa van het voorwerp speelt uiteraard een rol: een zware schijf ismoeilijker aan het roteren te krijgen dan een lichte. Verder zal de diameter vande schijf een rol spelen. Bij dezelfde massa zal een kleine dikke schijf een kleinertraagheidsmoment hebben dan een grote dunne. Evenzo is de verdeling van demassa van belang. Als de massa voornamelijk aan de buitenrand geconcentreerdis (vliegwiel) is het traagheidsmoment groter dan wanneer de massa vooral inde buurt van de as zit. Tenslotte speelt ook de plaats van de rotatieas een rol.Een wiel met een excentrische as zal een ander traagheidsmoment hebben daneen wiel waarbij de as precies door het middelpunt gaat. Een paar voorbeelden: 17
  • 18. • Traagheidsmoment van een homogene cirkelvormige schijf met massa m en straal R; as door het middelpunt: 1 mR2 ; 2 • Idem, maar met de totale massa geconcentreerd in de “velg” (vliegwiel): mR2 ; • Traagheidsmoment van een massieve bol met straal R en massa m; rota- tieas door het middelpunt: 2 mR2 . 5 De torsieveer en de lineaire veer De veerkracht van de lineaire veer hebben we beschreven in de wet van Hooke, vergelijking (1): Fveer = −c u. Voor de torsieveer geldt een analoge formule voor het verband tussen het veermoment en de hoekverdraaiing θ (zie figuur 10: Mveer = −γ θ , (17) met γ in N m rad−1 de veerconstante. Wrijvingsweerstand bij rotatie Naar analogie van de gedempte lineaire veer (zie vergelijking (14)), waarbij de wrijvingsweerstand evenredig is verondersteld met de snelheid, veronderstellen we hier dat er een wrijvingsmoment is dat evenredig is met de hoeksnelheid ω = dθ : dt Mw = −β ω . (18) NB Pas op dat je het hier voor de hoeksnelheid gebruikte symbool ω niet verwart met de ω0 uit vergelijking (12).4 Analogie lineaire veer en torsieveer In het volgende tabelletje zetten we de verschillende overeenkomstige grootheden voor een rechtlijnige beweging (lineaire veer) en een rotatie (torsieveer) naast elkaar. Rechtlijnige beweging RotatieGrootheid symbool eenheid Grootheid symbool eenheidAfstand x m hoekverdraaiing θ rad −1Snelheid v= dx dt ms hoeksnelheid ω= dθ dt rad s−1Versnelling a= dv dt m s−2 hoekversnelling α= dω dt rad s−2Massa m kg traagheidsmoment I kg m2Kracht F N moment M Nm −1Veerconstante c Nm veerconstante γ N m rad−1Dempingsconst. b N s m−1 dempingsconst. β N m s rad−1 4 In feite is het gebruik van hetzelfde symbool voor deze twee ogenschijnlijk nogal verschil- lende begrippen niet toevallig. Als x(t) de horizontale co¨rdinaat is van een punt dat op een o afstand A van de as ´´nparig met hoeksnelheid ω ronddraait, dan wordt deze gegeven door: ee x(t) = A cos(ωt + ϕ), vergelijk (12). 18
  • 19. 4.3 De bewegingsvergelijkingenMet behulp van het voorgaande kunnen we het model voor de torsieslinger nudirect overschrijven van model 2a op blz. 15. Het enige waarin het nu volgendemodel daarmee verschilt, is dat nu de zwaartekracht geen rol speelt (omdat weverondersteld hebben dat de as waar de schijf om draait precies in het middenzit). Bovendien is de hoekverdraaiing van de veer precies gelijk aan die van deschijf. We krijgen dan: Mveer (t) = −γ θ(t) (17) Mw (t) = −β ω(t) (18) Mr (t) = Mveer(t) + Mw (t) (19) Mr (t) α(t) = (16) I dω = α(t) (20) dt dθ = ω(t) (21) dt Model 3a.Op dezelfde manier als waarop je in opdracht 12 model 2a eenvoudiger is opge-schreven kunnen we model 3a opschrijven als: dω β γ = − ω(t) − θ(t) (22) dt I I dθ = ω(t) (21) dt Model 3b.We verdraaien nu op tijdstip t = 0 de schijf over θ0 radialen en laten dan los.Dus we hebben de beginvoorwaarde: θ(0) = θ0 , ω(0) = 0. Door invullen inde vergelijkingen zou je kunnen controleren (veel werk!) dat de oplossing danwordt gegeven door θ(t) = θ0 e−βd t cos(ωd t) , (23)met: 2 β γ β βd = en ωd = − . 2I I 2IWe zien dat deze oplossing bestaat uit het product van twee factoren: • θ0 e−βd t cos(ωd t): een harmonische trilling met frequentie ωd • een dempingsfactor e−βd t die er voor zorgt dat de amplitude van de trilling geleidelijk aan afneemt.Als β = 0 (geen demping), dan is βd = 0, ωd = γ = ω0 en vereenvoudigt (23) Itot de harmonische functie (zie formule (12) op blz. 12): θ(t) = θ0 cos(ω0 t) . (24) 19
  • 20. Vergelijk de uitdrukking voor ω0 met je antwoorden bij opdracht 8. In figuur 11 is de grafiek van θ(t) getekend, samen met een grafiek van dedempingsfactor. We zien dat de toppen van de grafiek van θ(t) precies op degrafiek van de functie θ0 e−βd t liggen. Een plaatje zoals figuur 11 heb je —alshet goed is— al gezien bij opdracht 14. θ0 θ0 e−βd t θ(t)Figuur 11: Gedempte trilling; θ(t) is de hoekverdraaiing als functie van de tijd Merk op dat de oplossing (23) alleen betekenis heeft als de dempingscon-stante β niet al te groot is. Bij een te grote waarde van β wordt de uitdrukkingvoor ωd namelijk een wortel uit een negatief getal.4.4 Bepaling van de dempingsfactor β; het logaritmisch decrementIn figuur 11 zien we dat de toppen van de grafiek van θ(t) precies op dezelfdeafstand van elkaar liggen. Dit is dus precies de tijd die de schijf nodig heeft omvan de ene uiterste stand (linksom) in de volgende uiterste stand (ook linksom)te komen. Deze tijd (Td ) noemen we de periode van de gedempte trilling (dezeis dus precies de periode van de harmonische functie θ0 cos(ωd t), de gedemptetrilling (23) waaruit de dempingsfactor e−βd t is weggelaten). Op de tijdstippen t0 = 0, t1 = Td , t2 = 2Td , . . . is dus cos(ωd t) = 1, zodat: 2π 2π Td = ofwel ωd = . (25) ωd TdDe achtereenvolgende maximale hoekverdraaiingen noemen we θ1 , θ2 , . . ., zie hetlinkerplaatje in figuur 12. Als tk een tijdstip is waarop θ(t) het maximum θkheeft, dan is θk = θ0 e−βd tk , zodat we voor de verhouding tussen opvolgendeuiterste standen kunnen schrijven: θk θ0 e−βd tk = = e−βd (tk −tk+1 ) = eβd Td . θk+1 θ0 e−βd tk+1 20
  • 21. ln θ1 ln θ2 θ1 ln θ3 θ2 ln θ4 θ3 θ4 θ5 Td Td Td Td t4 t1 t2 t3 Figuur 12: Gedempte trilling; logaritmisch decrementWe nemen hiervan de natuurlijke logaritme en defini¨ren daarmee het logarit- emisch decrement d: θk d = ln = ln θk − ln θk+1 = βd Td . (26) θk+1Als model 3b een juiste beschrijving van de werkelijkheid is, dan moet dus dehierboven gedefinieerde d constant zijn (zie het rechterplaatje in figuur 12). Datbetekent dat je θ0 , θ1 , θ2 , . . . moet bepalen, θ0 − θ1 , θ1 − θ2 , θ2 − θ3 , . . . moetberekenen en kijken of er inderdaad steeds hetzelfde uitkomt. Uit de gevondenwaarde van d is dan met behulp van (26) βd gemakkelijk te bepalen (als je Tdtenminste ook kent).5 Gedwongen trillingen5.1 De gedwongen rotatieslinger en de auto op een hob- belige wegIn §4 was het ene uiteinde van de torsieveer (zie figuur 10) aan de schijf beves-tigd, terwijl we stilzwijgend hebben aangenomen dat het andere uiteinde ergensaan vast zit.We zullen nu dat andere uiteinde losmaken om het een heen-en-weer-gaandebeweging te kunnen laten maken, zie figuur 13a. We zullen zien dat de frequentievan deze heen-en-weer-gaande beweging van grote invloed is op het uiteindelijkebewegingspatroon van de schijf, en tijdens het prakticum zul je dat preciesgaan onderzoeken. We noemen zo’n door een invloed van buiten aangedrevenbeweging een gedwongen trilling. Een vergelijkbare situatie treedt op bij een auto die over een hobbelige wegrijdt. In figuur 13b hebben we dat zeer schematisch weergegeven. Als de autoover de weg rijdt zal het wiel op en neer gaan als de weg niet helemaal vlakis. Door de veer zal deze verticale wielbeweging worden doorgegeven aan “hetvoorwerp”. Een andere vorm van een gedwongen trilling kun je makkelijk thuis uitpro-beren. Knoop een tamelijk zwaar voorwerp aan een niet al te kort stuk elastiek. 21
  • 22. θ 111111111111 000000000000 (a) 111111111111 000000000000 (b)Figuur 13: Gedwongen trillingen: (a) rotatieslinger, (b) rollend voorwerp metvering.Houd het andere uiteinde van het elastiek vast en laat het voorwerp stil naarbeneden hangen. Als je nu je hand regelmatig op en neer beweegt gaat hetvoorwerp natuurlijk ook op en neer. Door de snelheid waarmee je je hand op en ´´neer beweegt te vari¨ren kun je ervoor zorgen dat het voorwerp bijna stil blijft ehangen, `f juist met een veel grotere uitwijking dan die van je hand op en neer ogaat bewegen.5.2 Bewegingsvergelijking van de gedwongen rotatieslin- gerWe gaan Model 3, de vrije gedempte rotatieslinger (zie blz. 19) uitbreiden methet effect van een (harmonische) aandrijving. Stel dat we het losse uiteinde vande veer laten bewegen met een hoekverdraaiing θa (t) = Aa sin ωa t ,dus een heen-en-weer-gaande verdraaiing van maximaal A radialen en periode 2π Ta = . ωaWat is nu het extra moment dat door deze aandrijving op de schijf wordt uit-geoefend (en dus bij de Mr (t) van vergelijking (19) moet worden opgeteld)? Welnu, de hoeksnelheid van deze aandrijving is dθa (t) = Aa ωa cos ωa t . dtDe hoekversnelling is hiervan weer de afgeleide, zodat 2 αa (t) = −Aa ωa sin ωa t . (27)Met behulp van formule (16) van blz. 17 kunnen we dus schrijven: Ma (t) = I αa (t)en dit kan z´ bij (19) worden opgeteld om het totale moment Mr (t) te krijgen. oHet nieuwe model voor de aangedreven rotatieslinger is dus een uitbreiding vanmodel 3: 22
  • 23. dω β γ 2 = − ω(t) − θ(t) − Aa ωa sin ωa t (28) dt I I dθ = ω(t) (21) dt Model 4.In deze vorm kan het nieuwe model gemakkelijk in Modellus worden ingevoerd.Het kan nog wat korter worden opgeschreven door vergelijking (21) in te vullenin (28), en daarbij te bedenken dat uit (21) volgt dat dω d dθ d2 θ = = . dt dt dt dt2zodat we krijgen: d2 θ β dθ γ 2 + + θ(t) = −Aa ωa sin ωa t . (29) dt2 I dt IDeze vergelijking is niet zo handig voor Modellus omdat dit programma geentweede orde afgeleiden kent (in Modellus moet je dat dus doen via de “hulp-functie” ω(t), zoals in Model 4). Aan vergelijking (29) kun je echter w`l een epaar dingen over de oplossing θ(t) vrij gemakkelijk zien. 2 Als we voor het rechterlid inplaats van −Aωa sin ωa t gewoon 0 nemen (geenaandrijving): d2 θ β dθ γ + + θ(t) = 0 (30) dt2 I dt Ihebben we de bewegingsvergelijking voor de vrije (gedempte) rotatieslinger. Wenoemen (30) de homogene vergelijking, behorend bij de (inhomogene) vergelij-king (29). Stel dat de functie θhom (t) een oplossing is van de homogene vergelijking,dat wil zeggen dat θhom (t) voor alle t voldoet aan d2 θhom β dθhom γ + + θhom (t) = 0 . dt2 I dt IWe noemen θhom (t) daarom wel een homogene oplossing van (29). Als bovendien de functie θpart (t) een oplossing is van de inhomogene verge-lijking (29), dat wil zeggen dat θpart (t) voor alle t voldoet aan d2 θpart β dθpart γ 2 + + θpart (t) = −Aa ωa sin ωa t , dt2 I dt Idan zal de functie θ(t) = θhom (t) + θpart (t)o´k een oplossing van (29) zijn. Bedenk hierbij dat´o dθ d dθhom (t) dθhom (t) = θhom (t) + θpart (t) = + . dt dt dt dtNu hebben we bij model 3 al gezien dat een homogene oplossing van de vorm θhom (t) = θ0 e−βd t cos(ωd t + ϕ1 ) 23
  • 24. is, zie formule (23). Vanwege de e-macht die hierin voorkomt dooft deze oplos-sing dus op den duur uit. Iets minder makkelijk is te zien dat een functie vande vorm θpart (t) = Ar cos(ωa t + ϕ2 ) (31)een oplossing van de inhomogene vergelijking is.5 Dit is een harmonische functie,met dezelfde periode als de aandrijving. Samengevat: De oplossing van (29) is de som van een gedempte vrije tril-ling en een harmonische trilling met dezelfde periode als de aandrijving. Ziefiguur 14. θhom (t) θpart (t) Figuur 14: Gedwongen trilling: Homogene en particuliere oplossingIn figuur 15 is de oplossing van de gedwongen trilling getekend. Je ziet dat deschijf in het begin “een beetje gek doet” (de amplitude wordt eerst wat groter endan weer wat kleiner), maar later wordt het bewegingspatroon mooi regelmatig.Na een aanloopverschijnsel, waarin de beweging nog veel grilliger kan verlopen Figuur 15: Gedwongen trillingen: θ(t) = θhom (t) + θpart (t). 5 Als je dit (door invullen in (29)) zou willen controleren, moet je de resultaten van op-dracht 11 gebruiken. 24
  • 25. dan in figuur 15, gaat de rotatieslinger uiteindelijk een harmonische trillinguitvoeren met dezelfde frequentie als de aandrijving.In figuur 16 zijn de aandrijving en de beweging van de rotatieslinger in ´´n eeplaatje getekend. Hieraan is duidelijk te zien dat de frequentie (en dus ook de θ(t) aandrijving: Aa sin ωa tFiguur 16: Gedwongen trilling: Aandrijving en hoekverdraaiing van de rotatie-slingerperiode T ) van de trilling van de rotatieslinger op de duur gelijk wordt aan dievan de aandrijving. In dit plaatje is ook te zien dat de rotatieslinger achterloopt(of v´´rloopt, het is maar net hoe je het bekijkt) op de aandrijving. We noemen oodat de faseverschuiving van de gedwongen trilling, dat is de ϕ2 in formule (31).Deze faseverschuiving hangt af van de dempingsfactor β en de frequentie van deaandrijving ωa . We zullen er hier verder niet op in gaan.5.3 ResonantieIn figuur 16 is bovendien te zien dat de uiteindelijke amplitude Ar van de ge-dwongen trilling, zie formule (31), niet gelijk is aan de amplitude van de aan-drijving (Aa ). De Ar uit (31) wordt gegeven door de nogal ingewikkelde formule(die we niet zullen afleiden) Aa I Ar = . (32) (ωa I − γ)2 + β 2 ωa 2 2 ArHet blijkt dat de verhouding Aa afhankelijk is van de aandrijf-frequentie ωa . ArWe zullen nu gaan onderzoeken hoe Aa van ωa afhangt. In figuur 17 is voor verschillende waarden van de dempingsfactor β de grafiekvan deze amplitude-verhouding als functie van ωa (bij gelijke γ en I) getekend.(Zo’n plaatje heet de amplitudekarakteristiek van de gedwongen trilling.) Wezien dat de amplitude van de resulterende trilling een maximum heeft. Dewaarde van de aandrijf-frequentie ωa waarvoor het maximum wordt bereiktheet resonantiefrequentie. We geven deze aan met het symbool ωR . Aan de figuur zien we ook dat het maximum steeds hoger komt te liggennaarmate β kleiner is. Bij een niet al te grote dempingsfactor is de resonantie-amplitude aanzienlijk groter dan de amplitude van de aandrijving. 25
  • 26. Ar Aa β klein 1 β groot ω0 ωa 0 Figuur 17: Gedwongen trilling: Amplitudekarakteristiek In figuur 17 is tevens de waarde van ω0 aangegeven, dat is de frequentie vande ongedempte rotatieslinger: γ ω0 = , Izie blz. 19. We zien dat ωR steeds dichter bij ω0 komt te liggen naarmate βkleiner wordt. Er geldt: 2 β2 ωR = ω0 − 2 . (33) 2I 26