Método de Newton Rapson, Euler,cholebsky, gauss,gauss siedel,jacobbi
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Método de Newton Rapson, Euler,cholebsky, gauss,gauss siedel,jacobbi Método de Newton Rapson, Euler,cholebsky, gauss,gauss siedel,jacobbi Presentation Transcript

  • Universidad Nacional de Trujillo
    Métodos Numéricos Computacionales
  • Métodos Numéricos Computacionales
    Universidad Nacional de Trujillo
    Solución de Ecuaciones Algebraicas no Lineales
    Objetivo:
    Sea f(x) una función no lineal en x. Hallar el valor de x, x*, tal que se cumple f(x*)=0.
    • x* se suele denominar el cero o raíz de f(x)
    • x* se puede determinar por medios analíticos (solución exacta) o por medios numéricos (solución aproximada)
    La elección del método numérico depende del problema a resolver (estructura del problema, tipo de ecuaciones, precisión requerida, rapidez del cálculo,....).
    «Por tanto no existe un mejor método universalmente aplicable»
    Tipos de Métodos
    Métodos Acotados
    Métodos Abiertos
  • Métodos Numéricos Computacionales
    Universidad Nacional de Trujillo
    Met. de la Bisección
    MétodosAcotados
    Met. de laFalsa Posición
    La raíz está situada en un intervalo (necesita dos puntos). Acaba convergiendo dentro de una tolerancia.
    PuntoFijo
    Met. del PuntoFijo
    Newton Raphson
    MétodosAbiertos
    Met. Newton Raphson
    Sólo emplean un punto inicial (o dos puntos que no tienen por qué contener a la raíz) y una fórmula para encontrar la raíz. No siempre convergen, pero cuando lo hacen son mucho más rápidos que los métodos acotados.
    Secante
    Met. de laSecante
  • Métodos Numéricos Computacionales
    Universidad Nacional de Trujillo
    MétodosAcotados
    « Una función cambia de signo en la proximidad de una raíz »
    Una raíz está acotada en el intervalo [a,b] si el signo de f(a) es diferente al signo de f(b)
    Método de la Bisección
    Selecciona un intervalo [a,b] donde halla un cero
    Calcula el punto medio como nuevo punto
    Comprueba si hay cambio de signo en [a,c] o en [p,c]. Comprobación: f(a)*f(c).
    Si el producto es cero, entonces p es una raíz. Si no es cero volver al punto 2.
  • Métodos Numéricos Computacionales
    Universidad Nacional de Trujillo
    Método de la Bisección
    Ejemplo:
    f(x)= x3 + 2x2 + 10x - 20
    ε = 10-3
    X f(x)
    El número de interaciones sera:
    n= ( ln (2-1) – ln 10-3 ) / ln 2
    n=9,96
    n≈10
    0
    1
    2
    3
    -20
    -7
    16
    46
    a=1
    b=2
    Existe cambio de signo
    a =
    b =
    n= ( ln c – ln ε ) / ln 2
    1º Iteración
    2º Iteración
    Valores Iniciales
    a=1
    b=2
    y
    c=(a+b)/2
    c=(1+2)/2
    c=1,5
    f(1)= -7
    f(1,5)=2,88
    c=(a+b)/2
    c=(1+1,5)/2
    c=1,25
    f(1)= -7
    f(1,25)=-2,42
    16
    ≠ signo
    = signo
    2,88
    Nuevos valores
    a=1
    b=1,5
    Nuevos valores
    a=1,25
    b=1,5
    x
    1
    2
    1,5
    -7
  • Métodos Numéricos Computacionales
    Universidad Nacional de Trujillo
    Método de la Bisección(Programación en Matlab)
    Ejemplo:
    f(x)= x3 + 2x2 + 10x - 20
    0,0007 ≤ Tolerancia = 0,001
  • Métodos Numéricos Computacionales
    Universidad Nacional de Trujillo
    Método de la FalsaPosición
    Selecciona un intervalo [a,b] donde halla un cero
    Calcula un punto intersección como nuevo punto
    Comprueba si hay cambio de signo en [a,c] o en [c,b]. Comprobación: f(a)*f(c).
    Si el producto es cero, entonces c es una raíz. Si no es cero volver al punto 2.
     
     
  • Métodos Numéricos Computacionales
    Universidad Nacional de Trujillo
    Método de la FalsaPosición
    Ejemplo:
    f(x)= x3 + 2x2 + 10x - 20
    ε = 10-3
    X f(x)
    Valores Iniciales
    a=1
    b=2
    0
    1
    2
    3
    -20
    -7
    16
    46
    a=1
    b=2
    Existe cambio de signo
    a =
    b =
    1º Iteración
    2º Iteración
    y
     
     
    16
    = signo
    = signo
    1,30435
    Nuevos valores
    a=1,30435
    b=2
    Nuevos valores
    a=1,35791
    b=2
    x
    1
    2
    -1,33476
    -7
  • Métodos Numéricos Computacionales
    Universidad Nacional de Trujillo
    Método de la Falsaposición(Programación en Matlab)
    Ejemplo:
    0,0002 ≤ Tolerancia = 0,001
  • Métodos Numéricos Computacionales
    Universidad Nacional de Trujillo
    Comparación entre ambos métodos.
    Similaridades:
    • Ambos métodos necesitan DOS valores iniciales (a y b)
    • Requieren un procedimiento para determinar el cambio de signo.
    • Acaban convergiendo a la raíz con cierta tolerancia
    Diferencias:
    • El cálculo del nuevo punto estimado se hace con diferentes estrategias
    • En generalel método de la posición falsa converge más rápido que el de la bisección.
  • Métodos Numéricos Computacionales
    Universidad Nacional de Trujillo
    MétodosAbiertos
    • Emplean una aproximación funcional para obtener el nuevo valor estimado de la raíz (línea recta, cuadrática, polinomio)
    • Métodos:
    • Punto-fijo (sustitución sucesiva o directa)
    • Newton-Raphson (línea recta empleando información del gradiente)
    • Secante (línea recta empleando dos puntos)
  • Métodos Numéricos Computacionales
    Universidad Nacional de Trujillo
    Método del PuntoFijo
    Problema f(x)=0
    Transformar a x=g(x)
    Seleccionar un punto inicial x0
    Calcular nuevo valor xi+1=g(xi)
    Repetir hasta llegar a la tolerancia requerida
    y
    |f(x)|<Tolerancia = ε
    y=x
    y= g(x)
    Si:
    |g’(x)|<1 El algoritmo converge linealmente
    |g’(x)|>=1 El algoritmo diverge
    Raiz
    x0
    x
    x2
    x1
  • Métodos Numéricos Computacionales
    Universidad Nacional de Trujillo
    Método del PuntoFijo
    Ejemplo:
    f(x)= cosx – 3x
    ε = 10-3
    b) g(x)= cos x -2x
    a) g(x)= (cos x) /3
    diverge
    converge
    x0=π/8
    provar
    Hasta
    |f(x)|< ε
    1º Iteración
    2º Iteración
    y
    3x
    x0=0,30796
    g(x0)=(cos x0)/3
    x0=π/8
    g(x0)=(cos x0)/3
    g(0,30796)=(cos 0,30796)/3
    g(π/8)=(cos π/8)/3
    g(0,30796)=0,31765
    |f(π/8)|= 0,02907
    g(π/8)=0,30796
    |f(π/8)|= 0,25422
    x
     
    π/2
    Nuevo valor de x0 es:
    x0= g(0,30796)
    x0= 0,02907
    Nuevo valor de x0 es:
    x0= g(π/8)
    x0= 0,30796
    cos x
  • Métodos Numéricos Computacionales
    Universidad Nacional de Trujillo
    Método de l PuntoFijo(Programación en Matlab)
    Ejemplo:
    a) g(x)= (cos x) /3
    0,0003≤ Tolerancia = 0,001
  • Métodos Numéricos Computacionales
    Universidad Nacional de Trujillo
    Método de Newton Raphson
    Problema g(x)=0
    1. Seleccionar un punto inicial x0
    2. Calcular g(xi) y g’(xi)
    3. Aplicar la tangente en ese punto y en el corte con el eje de abcisas tenemos el nuevo punto estimado
    4. Repetir hasta llegar a la tolerancia requerida
    f(xi)
    xi+1=xi-
    = g(xi)
    f’(xi)
  • Métodos Numéricos Computacionales
    Universidad Nacional de Trujillo
    Método de Newton Raphson
    • Necesita conocer la derivada de la función
    • Convergencia cuadrática (rápida)
    • Puede no converger (depende de la función y de la estimación inicial)
    Deduciendo la ecuación general del algoritmo
    y
    f(x)
    f(x0)
    f’(x0) =
    tg(θ) =
    x0 - x1
    (x0,f(x0))
    f(x0)
    f(x0)
    Raiz
    X1 = X0 -
    f’(x0)
    θ
    x0
    x
    x2
    x1
    f(xi)
    Xi+1 = Xi -
    f’(xi)
    x0 - x1
  • Métodos Numéricos Computacionales
    Universidad Nacional de Trujillo
    Método de Newton Raphson
    Ejemplo:
    f(x)= x3 + 2x2 + 10x – 20
    f’(x)= 3x2 + 4x + 10
    ε = 10-3
    x0 = 1 ,
    Hasta
    |f(x)|< ε
    1º Iteración
    2º Iteración
    y
    f(x)
    f(xi)
    f(xi)
    Xi+1 = Xi -
    Xi+1 = Xi -
    f’(xi)
    f’(xi)
    1,411763 +2*1,411762+ 10*1,41176 – 20
    13 + 2*12 + 10*1 – 20
    X1 = 1 -
    X1 = 1,41176-
    3*12 + 4*1 + 10
    3*1,411762 + 4*1,41176 + 10
    X1 = 1,36934
    X1 = 1,41176
    x
    X=1,3688
    Nuevo valor de x0 es:
    x0= x1
    x0= 1,36934
    Nuevo valor de x0 es:
    x0= x1
    x0= 1,41176
  • Métodos Numéricos Computacionales
    Universidad Nacional de Trujillo
    Método de Newton Raphson(Programación en Matlab)
    Ejemplo:
    ε = 10-3
    f(x)= x3 + 2x2 + 10x - 20
    0,0000≤ Tolerancia = 0,001
  • xi-xi-1
    f (xi)
    xi+1=xi-
    f (xi)-f (xi-1)
    Métodos Numéricos Computacionales
    Universidad Nacional de Trujillo
    Método de la Secante
    Problema g(x)=0
    Seleccionar dos puntos iniciales x0,x1
    Calcular la recta que pasa por esos puntos
    El corte con el eje de abscisas da el nuevo punto estimado. Volver a calcular la recta.
    Repetir hasta llegar a la tolerancia requerida
  • f (x1)
    f (x1)-f (x0)
    x1-x0
    f (x1)
    x2 = x1 -
    f (x1)-f (x0)
    x1 – x2
    x1-x0
    Métodos Numéricos Computacionales
    Universidad Nacional de Trujillo
    Método de la Secante
    • No Necesita conocer la derivada de la función (la aproxima).
    • Necesita dos puntos iniciales.
    • Puede no converger.
    Deduciendo la ecuación general del algoritmo
    (x1,f(x1))
    y
    Dos iteraciones
    =
    f(x1)-f(x0)
    xn-xn-1
    f (xn)
    xn+1 = xn-
    (x0,f(x0))
    f (xn)-f (xn-1)
    x1 - x0
  • x1-x0
    f (x1)
    x2 = x1 -
    f (x1)-f (x0)
    Métodos Numéricos Computacionales
    Universidad Nacional de Trujillo
    Método de la Secante
    Ejemplo:
    f(x)= x3 + 2x2 + 10x – 20
    ε = 10-3
    x0 = 0 , x1 = 1 ,
    Hasta
    1º Iteración
    2º Iteración
    |f(x)|< ε
    y
    f(x)
    x0= 1
    x1= 1,53846
    X2 = 1,53846
    X2 = 1,35031
    x
    X=1,3688
    Nuevos valores de x0 ,x0 son:
    x0= x1
    x1= x2
    x0= 1 , x1= 1,53846
    Nuevos valores de x0 ,x0 son:
    x0= x1
    x1= x2
    x0= 1,53846 , x1= 1,35031
  • Métodos Numéricos Computacionales
    Universidad Nacional de Trujillo
    Método de la Secante(Programación en Matlab)
    Ejemplo:
    f(x)= x3 + 2x2 + 10x – 20 ,
    ε = 10-3
    x0 = 0 , x1 = 1 ,
    0,0009≤ Tolerancia = 0,001
  • Métodos Numéricos Computacionales
    Universidad Nacional de Trujillo
    Bibliografia:
    MetodoNuméricoAplicados a la Ingenieria
    (Antonio Nieves)
  • Universidad Nacional de Trujillo
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