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x* se puede determinar por medios analíticos (solución exacta) o por medios numéricos (solución aproximada)</li></ul>La el...
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Requieren un procedimiento para determinar el cambio de signo.
Acaban convergiendo a la raíz con cierta tolerancia</li></ul>Diferencias:<br /><ul><li>El cálculo del nuevo punto estimado...
En generalel método de la posición falsa converge más rápido que el de la bisección.</li></li></ul><li>Métodos Numéricos C...
Métodos:
Punto-fijo (sustitución sucesiva o directa)
Newton-Raphson (línea recta empleando información del gradiente)
Secante (línea recta empleando dos puntos)</li></li></ul><li>Métodos Numéricos Computacionales<br />Universidad Nacional d...
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Convergencia cuadrática (rápida)
Puede no converger (depende de la función y de la estimación inicial)</li></ul>Deduciendo la ecuación general del algoritm...
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  1. 1. Universidad Nacional de Trujillo<br />Métodos Numéricos Computacionales<br />
  2. 2. Métodos Numéricos Computacionales<br />Universidad Nacional de Trujillo<br />Solución de Ecuaciones Algebraicas no Lineales<br />Objetivo:<br />Sea f(x) una función no lineal en x. Hallar el valor de x, x*, tal que se cumple f(x*)=0.<br /><ul><li>x* se suele denominar el cero o raíz de f(x)
  3. 3. x* se puede determinar por medios analíticos (solución exacta) o por medios numéricos (solución aproximada)</li></ul>La elección del método numérico depende del problema a resolver (estructura del problema, tipo de ecuaciones, precisión requerida, rapidez del cálculo,....). <br />«Por tanto no existe un mejor método universalmente aplicable»<br />Tipos de Métodos<br />Métodos Acotados<br />Métodos Abiertos<br />
  4. 4. Métodos Numéricos Computacionales<br />Universidad Nacional de Trujillo<br />Met. de la Bisección<br />MétodosAcotados<br />Met. de laFalsa Posición<br />La raíz está situada en un intervalo (necesita dos puntos). Acaba convergiendo dentro de una tolerancia.<br />PuntoFijo<br />Met. del PuntoFijo<br />Newton Raphson<br />MétodosAbiertos<br />Met. Newton Raphson<br />Sólo emplean un punto inicial (o dos puntos que no tienen por qué contener a la raíz) y una fórmula para encontrar la raíz. No siempre convergen, pero cuando lo hacen son mucho más rápidos que los métodos acotados.<br />Secante<br />Met. de laSecante<br />
  5. 5. Métodos Numéricos Computacionales<br />Universidad Nacional de Trujillo<br />MétodosAcotados<br />« Una función cambia de signo en la proximidad de una raíz »<br />Una raíz está acotada en el intervalo [a,b] si el signo de f(a) es diferente al signo de f(b)<br />Método de la Bisección<br />Selecciona un intervalo [a,b] donde halla un cero<br />Calcula el punto medio como nuevo punto<br />Comprueba si hay cambio de signo en [a,c] o en [p,c]. Comprobación: f(a)*f(c). <br />Si el producto es cero, entonces p es una raíz. Si no es cero volver al punto 2.<br />
  6. 6. Métodos Numéricos Computacionales<br />Universidad Nacional de Trujillo<br />Método de la Bisección<br />Ejemplo:<br />f(x)= x3 + 2x2 + 10x - 20<br />ε = 10-3<br />X f(x)<br />El número de interaciones sera:<br />n= ( ln (2-1) – ln 10-3 ) / ln 2<br />n=9,96<br />n≈10<br />0<br />1<br />2<br />3<br />-20<br />-7<br /> 16<br /> 46<br />a=1<br />b=2<br />Existe cambio de signo<br />a =<br />b =<br />n= ( ln c – ln ε ) / ln 2<br />1º Iteración<br />2º Iteración<br />Valores Iniciales<br /> a=1<br /> b=2<br />y<br />c=(a+b)/2<br />c=(1+2)/2<br />c=1,5<br />f(1)= -7<br />f(1,5)=2,88<br />c=(a+b)/2<br />c=(1+1,5)/2<br />c=1,25<br />f(1)= -7<br />f(1,25)=-2,42<br />16<br />≠ signo <br />= signo <br />2,88<br />Nuevos valores<br /> a=1<br /> b=1,5<br />Nuevos valores<br /> a=1,25<br /> b=1,5<br />x<br />1<br />2<br />1,5<br />-7<br />
  7. 7. Métodos Numéricos Computacionales<br />Universidad Nacional de Trujillo<br />Método de la Bisección(Programación en Matlab)<br />Ejemplo:<br />f(x)= x3 + 2x2 + 10x - 20<br />0,0007 ≤ Tolerancia = 0,001<br />
  8. 8. Métodos Numéricos Computacionales<br />Universidad Nacional de Trujillo<br />Método de la FalsaPosición<br />Selecciona un intervalo [a,b] donde halla un cero<br />Calcula un punto intersección como nuevo punto<br />Comprueba si hay cambio de signo en [a,c] o en [c,b]. Comprobación: f(a)*f(c). <br />Si el producto es cero, entonces c es una raíz. Si no es cero volver al punto 2.<br /> <br /> <br />
  9. 9. Métodos Numéricos Computacionales<br />Universidad Nacional de Trujillo<br />Método de la FalsaPosición<br />Ejemplo:<br />f(x)= x3 + 2x2 + 10x - 20<br />ε = 10-3<br />X f(x)<br />Valores Iniciales<br /> a=1<br /> b=2<br />0<br />1<br />2<br />3<br />-20<br />-7<br /> 16<br /> 46<br />a=1<br />b=2<br />Existe cambio de signo<br />a =<br />b =<br />1º Iteración<br />2º Iteración<br />y<br /> <br /> <br />16<br />= signo <br />= signo <br />1,30435<br />Nuevos valores<br /> a=1,30435<br /> b=2<br />Nuevos valores<br /> a=1,35791<br /> b=2<br />x<br />1<br />2<br />-1,33476<br />-7<br />
  10. 10. Métodos Numéricos Computacionales<br />Universidad Nacional de Trujillo<br />Método de la Falsaposición(Programación en Matlab)<br />Ejemplo:<br />0,0002 ≤ Tolerancia = 0,001<br />
  11. 11. Métodos Numéricos Computacionales<br />Universidad Nacional de Trujillo<br />Comparación entre ambos métodos.<br />Similaridades:<br /><ul><li>Ambos métodos necesitan DOS valores iniciales (a y b)
  12. 12. Requieren un procedimiento para determinar el cambio de signo.
  13. 13. Acaban convergiendo a la raíz con cierta tolerancia</li></ul>Diferencias:<br /><ul><li>El cálculo del nuevo punto estimado se hace con diferentes estrategias
  14. 14. En generalel método de la posición falsa converge más rápido que el de la bisección.</li></li></ul><li>Métodos Numéricos Computacionales<br />Universidad Nacional de Trujillo<br />MétodosAbiertos<br /><ul><li>Emplean una aproximación funcional para obtener el nuevo valor estimado de la raíz (línea recta, cuadrática, polinomio)
  15. 15. Métodos:
  16. 16. Punto-fijo (sustitución sucesiva o directa)
  17. 17. Newton-Raphson (línea recta empleando información del gradiente)
  18. 18. Secante (línea recta empleando dos puntos)</li></li></ul><li>Métodos Numéricos Computacionales<br />Universidad Nacional de Trujillo<br />Método del PuntoFijo<br />Problema f(x)=0<br />Transformar a x=g(x)<br />Seleccionar un punto inicial x0<br />Calcular nuevo valor xi+1=g(xi)<br />Repetir hasta llegar a la tolerancia requerida<br />y<br />|f(x)|<Tolerancia = ε<br />y=x<br />y= g(x)<br />Si:<br />|g’(x)|<1 El algoritmo converge linealmente<br />|g’(x)|>=1 El algoritmo diverge<br />Raiz<br />x0<br />x<br />x2<br />x1<br />
  19. 19. Métodos Numéricos Computacionales<br />Universidad Nacional de Trujillo<br />Método del PuntoFijo<br />Ejemplo:<br />f(x)= cosx – 3x<br />ε = 10-3<br />b) g(x)= cos x -2x<br />a) g(x)= (cos x) /3<br />diverge<br />converge<br />x0=π/8<br />provar<br />Hasta<br />|f(x)|< ε<br />1º Iteración<br />2º Iteración<br />y<br />3x<br />x0=0,30796<br /> g(x0)=(cos x0)/3<br />x0=π/8<br />g(x0)=(cos x0)/3<br />g(0,30796)=(cos 0,30796)/3<br />g(π/8)=(cos π/8)/3<br /> g(0,30796)=0,31765<br />|f(π/8)|= 0,02907<br /> g(π/8)=0,30796<br />|f(π/8)|= 0,25422<br />x<br /> <br />π/2<br />Nuevo valor de x0 es:<br />x0= g(0,30796)<br />x0= 0,02907<br />Nuevo valor de x0 es:<br />x0= g(π/8)<br />x0= 0,30796<br />cos x<br />
  20. 20. Métodos Numéricos Computacionales<br />Universidad Nacional de Trujillo<br />Método de l PuntoFijo(Programación en Matlab)<br />Ejemplo:<br />a) g(x)= (cos x) /3<br />0,0003≤ Tolerancia = 0,001<br />
  21. 21. Métodos Numéricos Computacionales<br />Universidad Nacional de Trujillo<br />Método de Newton Raphson<br />Problema g(x)=0<br />1. Seleccionar un punto inicial x0<br />2. Calcular g(xi) y g’(xi)<br />3. Aplicar la tangente en ese punto y en el corte con el eje de abcisas tenemos el nuevo punto estimado<br />4. Repetir hasta llegar a la tolerancia requerida<br />f(xi)<br />xi+1=xi-<br />= g(xi)<br />f’(xi)<br />
  22. 22. Métodos Numéricos Computacionales<br />Universidad Nacional de Trujillo<br />Método de Newton Raphson<br /><ul><li>Necesita conocer la derivada de la función
  23. 23. Convergencia cuadrática (rápida)
  24. 24. Puede no converger (depende de la función y de la estimación inicial)</li></ul>Deduciendo la ecuación general del algoritmo<br />y<br />f(x)<br />f(x0)<br />f’(x0) =<br />tg(θ) =<br />x0 - x1<br />(x0,f(x0))<br />f(x0)<br />f(x0)<br />Raiz<br />X1 = X0 -<br />f’(x0) <br />θ<br />x0<br />x<br />x2<br />x1<br />f(xi)<br />Xi+1 = Xi -<br />f’(xi) <br />x0 - x1<br />
  25. 25. Métodos Numéricos Computacionales<br />Universidad Nacional de Trujillo<br />Método de Newton Raphson<br />Ejemplo:<br />f(x)= x3 + 2x2 + 10x – 20<br />f’(x)= 3x2 + 4x + 10<br />ε = 10-3<br />x0 = 1 , <br />Hasta<br />|f(x)|< ε<br />1º Iteración<br />2º Iteración<br />y<br />f(x) <br />f(xi)<br />f(xi)<br />Xi+1 = Xi -<br />Xi+1 = Xi -<br />f’(xi) <br />f’(xi) <br />1,411763 +2*1,411762+ 10*1,41176 – 20<br />13 + 2*12 + 10*1 – 20<br />X1 = 1 -<br />X1 = 1,41176-<br />3*12 + 4*1 + 10<br />3*1,411762 + 4*1,41176 + 10<br />X1 = 1,36934<br />X1 = 1,41176<br />x<br />X=1,3688<br />Nuevo valor de x0 es:<br />x0= x1<br />x0= 1,36934<br />Nuevo valor de x0 es:<br />x0= x1<br />x0= 1,41176<br />
  26. 26. Métodos Numéricos Computacionales<br />Universidad Nacional de Trujillo<br />Método de Newton Raphson(Programación en Matlab)<br />Ejemplo:<br />ε = 10-3<br />f(x)= x3 + 2x2 + 10x - 20<br />0,0000≤ Tolerancia = 0,001<br />
  27. 27. xi-xi-1<br />f (xi)<br />xi+1=xi-<br />f (xi)-f (xi-1)<br />Métodos Numéricos Computacionales<br />Universidad Nacional de Trujillo<br />Método de la Secante<br />Problema g(x)=0<br />Seleccionar dos puntos iniciales x0,x1<br />Calcular la recta que pasa por esos puntos<br />El corte con el eje de abscisas da el nuevo punto estimado. Volver a calcular la recta.<br />Repetir hasta llegar a la tolerancia requerida<br />
  28. 28. f (x1)<br />f (x1)-f (x0)<br />x1-x0<br />f (x1)<br />x2 = x1 -<br />f (x1)-f (x0)<br />x1 – x2<br />x1-x0<br />Métodos Numéricos Computacionales<br />Universidad Nacional de Trujillo<br />Método de la Secante<br /><ul><li>No Necesita conocer la derivada de la función (la aproxima).
  29. 29. Necesita dos puntos iniciales.
  30. 30. Puede no converger.</li></ul>Deduciendo la ecuación general del algoritmo<br />(x1,f(x1))<br />y<br />Dos iteraciones<br />=<br />f(x1)-f(x0)<br />xn-xn-1<br />f (xn)<br />xn+1 = xn-<br />(x0,f(x0))<br />f (xn)-f (xn-1)<br />x1 - x0<br />
  31. 31. x1-x0<br />f (x1)<br />x2 = x1 -<br />f (x1)-f (x0)<br />Métodos Numéricos Computacionales<br />Universidad Nacional de Trujillo<br />Método de la Secante<br />Ejemplo:<br />f(x)= x3 + 2x2 + 10x – 20<br />ε = 10-3<br />x0 = 0 , x1 = 1 , <br />Hasta<br />1º Iteración<br />2º Iteración<br />|f(x)|< ε<br />y<br />f(x) <br />x0= 1 <br /> x1= 1,53846<br />X2 = 1,53846<br />X2 = 1,35031<br />x<br />X=1,3688<br />Nuevos valores de x0 ,x0 son:<br />x0= x1<br />x1= x2<br />x0= 1 , x1= 1,53846<br />Nuevos valores de x0 ,x0 son:<br />x0= x1<br />x1= x2<br />x0= 1,53846 , x1= 1,35031<br />
  32. 32. Métodos Numéricos Computacionales<br />Universidad Nacional de Trujillo<br />Método de la Secante(Programación en Matlab)<br />Ejemplo:<br />f(x)= x3 + 2x2 + 10x – 20 ,<br />ε = 10-3<br />x0 = 0 , x1 = 1 , <br />0,0009≤ Tolerancia = 0,001<br />
  33. 33. Métodos Numéricos Computacionales<br />Universidad Nacional de Trujillo<br />Bibliografia:<br />MetodoNuméricoAplicados a la Ingenieria<br />(Antonio Nieves)<br />
  34. 34. Universidad Nacional de Trujillo<br />Gracias!<br />

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