Construccion de graficas y ecuaciones empiricas

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Construccion de graficas y ecuaciones empiricas

  1. 1. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTAFACULTAD DE INGENIERIAE.A.P AGROINDUSTRIALCONSTRUCCIÓN DE GRÁFICAS Y ECUACIONESEMPÍRICASCURSO :FISICA 1GRUPO : “C”DOCENTE :LIC. VERA MEZA SECUNDINO.INTEGRANTES :VEGA VIERA JHONAS ABNER.MUÑOZ ROJAS ANDREA GISELACICLO: “III”NUEVO CHIMBOTE - PERÚ2013
  2. 2. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTAFACULTAD DE INGENIERÍA AGROINDUSTRIALI. RESUMENLa construcción de gráficas nos sirve para predecir elcomportamiento de variables relacionadas entre sí a través de unaecuación, en el presente informe trataremos sobre tresexperiencias.La primera experiencia basada en la Ley de Hooke; muestra unafunción lineal con variables de deformación experimentado por elresorte (Li) y del peso aplicado al resorte (Pi), la cual realizaremosmediante el método visual y el método de los mínimos cuadrados.La segunda experiencia basada en la caída libre de los cuerpos;muestra una función potencia con variable de tiempo (Ti) y deespacio recorrido (Hi); realizado mediante el método de losmínimos cuadrados.La última experiencia, basada en la descarga de un condensadornos muestra una función exponencial con variables de tiempo dedescarga (Ti) y de diferencia potencial en el condensador (Vi);realizado mediante el método de los mínimos cuadrados.II. OBJETIVOSDados los datos experimentales de tres experiencias realizadas enla UNS, graficarlos en papel milimetrado, identificar el tipo decurva y determinar su ecuación empírica.Aplicar cambio de variables y/o logaritmos para transformar laecuación de una curva (exponencial, potencial, logarítmica, etc.) auna recta.Aplicar el método de los mínimos cuadrados para hallar laecuación empírica de una recta y representarlo gráficamente.III. FUNDAMENTO TEÓRICOUna variable es un símbolo como x, y, z, etc. que representa auna cantidad a la cual puede asignársele, a una variable se lepuede asignar un número ilimitado de valores.Si a cada valor que puede tomar una variable x corresponde unoo más valores de una variable y se dice que y es función de x yse escribe:C O N S T R U C C I Ó N D E G R Á F I C A S YE C U A C I O N E S E M P Í R I C A S
  3. 3. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTAFACULTAD DE INGENIERÍA AGROINDUSTRIALX  Variable IndependienteY  Variable DependienteA la variable “x” se le llama Independiente, porque toma el valor elvalor que se le asigne; y a la variable “y” se le llama Dependiente,porque toma los valores que satisfacen la relación particular.Las funciones se representan gráficamente en un sistema decoordenadas rectangulares, mediante puntos que satisfacen la ecuación:y = f(x).Estas gráficas pueden ser líneas rectas o curvas, las que representan ellugar geométrico de los puntos que cumplen la ecuación.La pendiente “b” de la ecuación de una recta y = a + bx, tal como larepresentada en la figura1, que pasa por los puntos P(x, , y,) y Q(x, , ,y, , ) , se define por :Muchas leyes de la física se expresan mediante la ecuación de una recta,como ejemplo tenemos el M.R.U.: e = v.t. donde y=e, x =t, a=0, b=vAsí también tenemos funciones de la forma:y = f(x)
  4. 4. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTAFACULTAD DE INGENIERÍA AGROINDUSTRIALFUNCION POTENCIAL FUNCION EXPONENCIALFUNCION LOGARITMICALa prolongación de una pequeña cantidad de una línea recta o curva porcualquiera de sus extremos se llama “extrapolación” y es una técnica útilpara obtener coordenadas en forma aproximada, propias de la gráfica queno se tenían inicialmente obteniéndose valores fuera del intervaloexperimental. La extrapolación no es un proceso seguro, por lo que se debetener cuidado en su utilización.Otra técnica es la “interpolación”, que consiste en obtener una de lascoordenadas por ejemplo x’, fijada la otra, es decir y’, a través de lacorrespondencia que establece entre ambas la gráficas.YXFigura N°04
  5. 5. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTAFACULTAD DE INGENIERÍA AGROINDUSTRIALSi la gráfica no es una recta, ¿Cómo encontrar los valores de A y B en lafunción potencia?. Una técnica muy empleada es aplicando logaritmos ycambio de variable.Tenemos:y = AxBAplicando logaritmo: ln y = ln A + B ln xCambio de variable: r = ln y, x = ln x, a = ln A, b = BReemplazando: r = a + bx …………..Ecuación de la rectaMETODOS DE LOS MINIMOS CUADRADOSEn un experimento realizado en el laboratorio se han medido cantidades de2 magnitudes físicas x e y , con el propósito de descubrir o de verificar laley física que las vincula. Como consecuencia, se han obtenido n pares devalores (xi ,yi) que representados gráficamente muestran un conjunto depuntos que sugiere la forma de una línea recta.Existe 2 formas de hacer éste gráfico:1. Trazando directamente la línea recta entre los puntos (Métodovisual).2. Encontrando los parámetros a y b de la ecuación de la recta y = a +bx, por el método de los mínimos cuadrados y luego graficarlo.Donde a y b se calcula con las siguientes fórmulas:……. (2) …….. (3)Figura N°05 Figura N°06
  6. 6. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTAFACULTAD DE INGENIERÍA AGROINDUSTRIALLas desviaciones estándar de a y b se obtienen mediante las siguientes ecuaciones:……. (4) …… (5)IV. PARTE EXPERIMENTAL4.1 Instrumento y materiales:CalculadoraJuego de pistoletes, regla, lapiz y borrador.5 unidades de papel milimetrado.4.2 Procedimiento:Los puntos de las gráficas deben tener sus incertidumbres bienmarcadas sobre ellos (con un rectángulo o una cruz), y los ejesestán debidamente identificados. Tanto el tipo de incertidumbrecomo cualquier símbolo empleado para rotular los ejes deberán deidentificarse explícitamente en forma claro, sobre o junto a lagráfica.Para representar una curva o recta gráficamente en un papelgráfico, indique cada punto experimental con una señal encerradapor un círculo pequeño o cruz, previamente escoger una escala paracada variable física en forma adecuada. Después de indicar lospuntos experimentales, dibuje lo mejor posible una curva o rectacontinua que pase entre los puntos. Algunas veces no es posibledibujar una curva o recta que pase por todos los puntos trazados.En este caso, quedarán algunos puntos a uno y otro lado de la curvao recta.Cuando aparezcan dos o más curvas en la misma gráfica se deberánutilizar distintos símbolos para cada grupo de datos.4.3 TABULACIÓN DE DATOSEn el laboratorio de Física de la UNS se realizaron los siguientesexperimentos:
  7. 7. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTAFACULTAD DE INGENIERÍA AGROINDUSTRIALa. Experimento Nº 01: Ley de HookeTabla Nº 1Li (m) 0,052 0,102 0,155 0,206 0,258Pi (N) 1,96 2,94 3,92 4,90 5,88Donde:Li = Deformación experimentada por el resortePi = Peso aplicado al resorte que esta suspendido por uno desus extremos.b. Experimento Nº 02: Caída libre de un cuerpoTabla Nº 2Ti (s) 0,112 0,155 0,189 0,216 0,264 0,306 0,334 0,362 0,391 0,419Hi(m) 0,08 0,10 0,15 0,20 0,30 0,40 0,50 0,6 0,7 0,8Donde:Ti = Tiempo que demora en recorrer el espacio Hi.Hi = Espacio recorrido por el cuerpo que cae.c. Experimento Nº 03: Descarga de un condensadorTabla Nº 3Ti(s) 0,00 4,14 7,58 11,87 13,97 16,92 20,24 24,16 28,65 37,10 46,51Vi(v) 15 12 10 8 7 6 5 4 3 2 1Donde:Ti = Tiempo de descarga.Vi = Diferencia de potencial en el condensador.Con estos datos experimentales hacer las siguientes gracficas:P versus L H versus T V versus T
  8. 8. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTAFACULTAD DE INGENIERÍA AGROINDUSTRIALV. RESULTADOS1. Experimento: Ley de HookeCuadro 1: Ley de Hooken L (m) P (N) L2(m2) L P(Nxm) P2(N2)1 0.052 1.96 0.002704 0.10192 3.84162 0.102 2.94 0.010404 0.29988 8.64363 0.155 3.92 0.024025 0.60760 15.36644 0.206 4.90 0.042436 1.00940 24.015 0.258 5.88 0.066564 1.51704 34.5744Total 0.773 19.6 0.146133 3.53584 86.436Utilizando la fórmula 2a = 0.983974882Utilizando la fórmula 3b = 18.99110684Fórmula Empírica: P = 0.983974882 + 18.99110684 LBuscando “r” (coeficiente de correlación lineal)
  9. 9. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTAFACULTAD DE INGENIERÍA AGROINDUSTRIALCuadro 2 : Ley de HookeN Li (m) Pi (N)1 0.052 1.971292 0.102 2.920953 0.155 3.927594 0.206 4.896245 0.258 5.88383Total 0.773 19.59996Reemplazando los Datos:2. Experimento: Caída Libre de un CuerpoH = A T BHaciendo un cambio de variable:H = A T BLnH = lnA + B lnTH = a + bt, donde: h = lnHa = ln Ab = Bt = lnT
  10. 10. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTAFACULTAD DE INGENIERÍA AGROINDUSTRIALCuadro 3 : Caída libre de los Cuerposn t = lnT (s) h = lnH (m) t 2(s 2) t h (m.s)1 -2.189264080 -2.995732274 4.79286 6.558462 -1.864330162 -2.302585093 3.47573 4.292793 -1.666008264 -1.897119985 2.77559 3.160624 -1.532476871 -1.609437912 2.34849 2.466435 -1.331806176 -1.203972804 1.77372 1.603466 -1.184170177 -0.9162907319 1.40226 1.085047 -1.096614186 -0.6931471806 1.20255 0.160128 -1.016111067 -0.5108256238 1.03248 0.519069 -0.939047719 -0.3566749439 0.88185 0.5349310 -0.869884359 -0.2231435513 0.75669 0.18411Total -13.68970569 -12.7089301 20.44216 20.97497Utilizando la fórmula 2lnA = a ea= A A = 4.988510065
  11. 11. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTAFACULTAD DE INGENIERÍA AGROINDUSTRIALUtilizando la fórmula 3b = 2.102331875 B = 2.102331875H = A TBH = 4.988510065 T2.102331875Buscando “r” (coeficiente de correlación lineal)Cuadro 4 : Caída libre de los Cuerposn t (s) h (m)1 -2.18926 -2.997332 -1.86433 -2.313943 -1.66601 -1.896834 -1.53248 -1.615995 -1.33181 -1.193946 -1.18417 -0.883437 -1.09661 -0.699278 -1.01611 -0.529969 -0.93905 -0.3678910 -0.86988 -0.22241Total -13.68971 -12.72099Reemplazando datos:
  12. 12. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTAFACULTAD DE INGENIERÍA AGROINDUSTRIALc) Experimento: Descarga de un CondensadorV = A e BTHaciendo un cambio de variable:V = A e BTLnV = lnA + BTv = a + bt, donde: v = lnVa = ln Ab = Bt = TCuadro 5: Descarga de un Condensadorn t (s) V (v) t 2(s2) t v (v.s) v2(v2)1 0.000 15 0.00000 0.000000 2252 4.14 12 17.139649.681443 7.58 10 57.456475.81004 11.87 8 140.896994.96645 13.97 7 195.160997.79496 16.92 6 286.2864101.52367 20.24 5 409.6556101.2258 24.16 4 583.705696.64169 28.65 3 820.822585.95910 37.10 2 1376.41074.2411 46.51 1 2163.18046.511Total 211.14 73 6050.71615413.22673
  13. 13. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTAFACULTAD DE INGENIERÍA AGROINDUSTRIALUtilizando la fórmula 2a = -127.9767776Utilizando la fórmula 3b = 7.013093463Buscando “r”Cuadro 6 : Caída libre de los Cuerposn t (s) v (v)1 0.000 2.742972 4.14 2.506243 7.58 2.309554 11.87 2.064245 13.97 1.944176 16.92 1.775487 20.24 1.585658 24.16 1.361509 28.65 1.1047610 37.10 0.6215911 46.51 0.08353Total 211.14 18.09968
  14. 14. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTAFACULTAD DE INGENIERÍA AGROINDUSTRIALReemplazando datos:VI. CUESTIONARIO1. De las gráficas obtenidas, con qué tipo de funciones los puederelacionar.El primer Experimento (Ley de Hooke); como se pudo observar quese trata de una función lineal:P = a +bLEl segundo Experimento (Caída Libre de los Cuerpos); trata sobre unafunción Potencia:H = A T BEl tercer Experimento (Descarga de un Condensador); trata sobreuna función exponencial :V = A e BT2. Una vez identificadas las gráficas, la que corresponde a unarecta, determinar su ecuación empírica por el método visual ytambién por el método de los mínimos cuadrados.La gráfica que corresponde a una recta, es la gráfica del primerexperimento (Ley de Hooke), cuya ecuación empírica es:o Método Visual: P = + Lo Método de los Mínimos Cuadrados: P = 0.983974882 +18.99110684 L3. Para las gráficas curvas, transformarlos a una recta ydeterminar la ecuación empírica de las curvas.En el segundo y tercer experimento se puede observar que susgráficas pertenecen a curvas.o El Segundo Experimento: Caída Libre de los Cuerpos. Tratasobre una curva de la forma: H = A T B(potencial).Transformación a una recta:H = A T BLnH = lnA + B lnT
  15. 15. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTAFACULTAD DE INGENIERÍA AGROINDUSTRIALH = a + bt, donde: h = lnHa = ln Ab = Bt = lnTEcuación Empírica: h = 1.60712 + 2.1032 tLa ecuación de la curva es: H = 4.98862 T 2.10236o El Tercer Experimento: Descarga de un Condensador. Tratasobre una curva de la forma: V = A e BT(Exponencial)Transformando a una recta:V = A e BTLnV = lnA + BTv = a + bt, donde: v = lnVa = ln Ab = Bt = TEcuación Empírica: v = 2.74297 – 0.05718 tLa ecuación de la curva es: V = 15.53305 e –0.05718 t4. Dar tres ejemplos de leyes de ecuaciones físicas quecorrespondan a una función lineal y de potencia. Identifiquecada variable y constantes.Función Lineal1. e = v.t, y = e (espacio)x = t (tiempo)a = ob = V (velocidad)2. VF = g.t y = VF (velocidad)x = t (tiempo)a = ob = g (aceleración de la gravedad)
  16. 16. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTAFACULTAD DE INGENIERÍA AGROINDUSTRIAL3. F = K.s y = F (fuerza de fricción)x = s (deformación)a = ob = K (constante elástica)Función Potencial1. h = ½.g.t 2y = h (altura)x = t (tiempo)a = ½.g (½ de la gravedad)b = 22. f = T -1y = f (frecuencia)x = T (período)a = 1b = -13. T = 2 .w -1y = T (período)x = w (velocidad angular)a = 2b = -15. Para trazar una gráfica que corresponda a una recta, con cualmétodo es más conveniente trazar, con el Método Visual oempleando el Método de los Mínimos Cuadrados. Porque?Para el trazado de gráficas que corresponden a una rectas, es másconveniente trazarla por el método de los mínimos cuadrados, ya queposee mucha más exactitud que el método visual. Con el métodovisual se corre el riesgo de trazar una recta equivocada, debido a quelas variables dependiente e independiente sufrirían cambios.VII. DISCUSIÓN Y CONCLUSIÓNHaciendo un análisis para el método visual y método de los mínimoscuadrados, se llegó a la conclusión que:El método visual es un análisis de la gráfica del cual se extraen loselementos necesarios (pendiente y constante) para realizar la fórmulaempírica (Y = a + bx). Este método no es el más adecuado ya que setrabaja en base a datos obtenidos mediante instrumentos demedición, los cuales por más precisos que sean siempre tienen unpequeño margen de error.
  17. 17. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTAFACULTAD DE INGENIERÍA AGROINDUSTRIALEl método de los mínimos cuadrados trabaja en base a la aplicaciónde los datos en fórmulas (fórmula 2 y fórmula 3), las cuales permitenhallar con mayor exactitud la pendiente (b) y la constante (a); datosnecesarios para encontrar la fórmula empírica.Por lo cual es recomendable utilizar el método de los mínimoscuadrados.VIII. BIBLIOGRAFÍAD. C. BAIRD Experimentación Una Introducción a la teoría deMediciones al diseño de experimentos – 2° Edición – Editorial “MeloS.A.” – México 1991.http://www.google.com.pe/#q=construcci%C3%B3n+de+graficas.http://dc306.4shared.com/img/ufUgxJQT/preview.htmlhttp://dc140.4shared.com/doc/kHp5JlNW/preview.html

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