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mediciones, estática y cinematica
 

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    mediciones, estática y cinematica mediciones, estática y cinematica Document Transcript

    • UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTADEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA FÍSICA I UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA FÍSICA I CUADERNO Nº 01 PRIMERA UNIDAD N fr mgsenθ mgcosθ W CICLO: II CICLO E.A.P. : INGENIERÍA AGROINDUSTRIAL DOCENTE: LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY NUEVO CHIMBOTE – PERÚ 2009 1LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY FÍSICA I
    • UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTADEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA FÍSICA I MEDICIONES, ESTATICA Y CINEMATICAMAGNITUDES Y MEDICIONESMAGNITUD.- Esto todo aquello susceptible a ser medido.MEDIR.- consiste en comparar 2 cantidades, un objeto a medir con una unidad de medida patrón.Ejemplo: para medir el largo del aula, comparamos con un metro patrón.MEDICIONES.- las mediciones pueden ser de dos formas: directas e indirectas.MEDIDAS DIRECTAS.- son aquellas que se obtienen al realizar las mediciones directamente dede los instrumentos de medida.MEDICIONES INDIRECTAS.- son aquellas que se obtienen al realizar las mediciones directas y eluso de ecuaciones matemáticas.Al realizar las mediciones se comente errores y puede ser: ERRORES: En la experimentación física, aunque se proceda con el mayor cuidado en el método, y se usen instrumentos de máxima precisión, no pueden conseguirse medidas exactas de las diferentes magnitudes, es decir, siempre se cometerán errores. Los errores cometidos en dichas medidas pueden ser: Error Absoluto.- Se denomina error absoluto de una medida aproximada, a la diferencia existente entre el valor obtenido en la experiencia y el valor exacto. A partir de la realización de un número n de medidas, se toma como valor exacto a la media aritmética de los valores obtenidos. La fórmula del error absoluto es ea = a − α Donde: ea = error absoluto a = valor aproximado, y α = valor exacto. Error Relativo.- Se define como el cociente entre el error absoluto, y el valor exacto. ea er = α Este error relativo suele expresarse en forma de tanto por ciento, y se utiliza para establecer la mayor o menor precisión de una determinada medida. El error relativo carece de dimensiones, siendo su expresión numérica solamente una medida de la precisión. Otra clasificación de los errores teniendo en cuenta las causas que lo originan, considera a los errores sistemáticos y a los errores accidentales. Errores sistemáticos, Son los que en principio se pueden evitar, corregir o compensar. Se les llama sistemáticos porque dan efectos consistentes, pues cuando están presentes se obtienen valores que son más altos o más bajos que el valor verdadero. 2LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY FÍSICA I
    • UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTADEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA FÍSICA I Ejemplos: Defectos o falta de calibración de los instrumentos de medición, el error debido al paralaje, etc. Errores accidentales, son aquellos en cuyas causas pueden influenciar factores externos a la realización de la experiencia, y que por consiguiente resultan más difícil de eliminar. Se deben a la suma de gran número de perturbaciones individuales y fluctuantes que se combinan para dar lugar a que la repetición de una misma medición de en cada ocasión un valor algo distinto. Ejemplos: Errores de apreciación, como por ejemplo, en la estimación de la fracción de la menor división de una escala; errores que fluctúan, como por ejemplo, variaciones en la red de energía eléctrica. INCERTIDUMBRE ABSOLUTA (Δx) Representa los límites de confianza dentro de los cuales se está seguro de que el valor verdadero se encuentra en dicho intervalo INCERTIDUMBRE RELATIVA (Ir) Se define como el cociente de la incertidumbre absoluta y el valor medido y se expresa así: Δx Ir = (1) x0 INCERTIDUMBRE PORCENTUAL (I%) Es el índice que más comúnmente se usa para especificar la exactitud de una medida. Se define como la incertidumbre relativa por 100% es decir: I % = I r x100% (2)INCERTIDUMBRE EN MEDIDAS DIRECTAS:Cuando se realiza una medición directa de una magnitud y no es posible repetir la medición, ocuando al hacer una serie de lecturas se obtienen los mismos resultados para la magnitud, a lalectura que se obtiene se le asocia generalmente una incertidumbre absoluta, igual a la divisiónmás pequeña de la escala del instrumento.Ejemplo: Al hacer una medición de longitud de un objeto con una regla graduada en milímetros yse obtiene repetidamente la magnitud de 125 mm, entonces tomaremos como Δx = ± 1 mm.Por lo tanto el resultado para la longitud será: (125 ± 1) mm.Es decir la longitud verdadera del objeto se encontrará dentro del intervalo de 124 mm a 126 mm. 3LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY FÍSICA I
    • UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTADEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA FÍSICA IINCERTIDUMBRE EN MEDICIONES INDIRECTAS:Las mediciones que se realizan en la ciencia y en la ingeniería, la mayoría son indirectas y paracalcular la incertidumbre de una medida indirecta Z que depende de las variables x, y y w, seemplea la siguiente ecuación:Sea f = f (x,y,z), la incertidumbre experimental (absoluta) de Z es: ⎛ ∂f ⎞ ⎛ ∂f ⎞ ⎛ ∂f ⎞ Δf = ⎜ ⎟Δx + ⎜ ⎟Δy + ⎜ ⎟Δz ⎜ ∂y ⎟ (3) ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ∂z ⎠Como consecuencia de los errores aleatorios (errores accidentales), al hacer repeticiones de unamedida éstas en general resultan diferentes, y dado que no se conoce la medida verdadera,surgen dos preguntas: ¿Cuál es el valor que se debe reportar?, ¿Qué incertidumbre es la que sedebe asociar al resultado?.ALGUNOS INSTRUMENTOS DE MEDICIÓNLos instrumentos de medición en física experimental deben reunir las condiciones siguientes: - EXACTITUD, de un aparato es la condición por la cual la medida que realiza coincide puntualmente con la real. - PRECISIÓN, es la mínima variación de magnitud que dicho aparato puede registrar. Por ejemplo, una balanza de 0,01mg de precisión puede apreciar la cienmilésima parte de un gramo. - SENSIBILIDAD, es la condición referida al grado de magnitud que un aparato puede registrar. Esta condición se relaciona con la precisión por razón inversa. Entre algunos aparatos de precisión en física podemos mencionar los siguientes: - El tornillo micrométrico se utiliza para medir longitudes, se halla calibrado de tal forma que cada paso de rosca viene determinada por una longitud exacta. - El palmer sirve para medir espesores, su fundamento es el tornillo micrométrico. - El esferómetro también consiste en un tornillo micrométrico unido a un disco graduado, se utiliza para medir el radio de una esfera. - El nonius está constituido por una reglilla que se desliza sobre otra regla graduada, midiendo longitudes. - El calibrador se utiliza para medir diámetros de tubos y espesores.CIFRAS SIGNIFICATIVAS Y MÉTODO DEL REDONDEOToda medida de una magnitud X lleva asociado un error ΔX, por lo que la expresión habitual devalores de las magnitudes experimentales o de aquellas que se han obtenido a partir de otrasmedidas experimentalmente debería ser del tipo X ± ΔX. Muy a menudo, a fin de simplificar lanotación sin perder completamente la información sobre la precisión de los datos o resultados, seomite ΔX a la vez que se escribe el valor de X con un número limitado de cifras: todas aquellas 4LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY FÍSICA I
    • UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTADEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA FÍSICA Ique se consideran bien conocidas más una de cuyo valor no se está completamente seguro. Aéstas se las conoce como cifras significativas. -32Ejemplo 1 Si la medida de la constante de Plank, h ha dado como resultado h=(6.62608x10 Js),no sería extraño ver tabulado el valor. Este dato debe entenderse como que el dato 8 es -34impreciso. Quizá puede entenderse como que su valor está comprendido entre 6.62607x10 Js y -346.62609x10 Js y, pero no hay una única forma convenida. Es obvio que con esta notación se haperdido información sobre el error del dato: este ha sido el precio que se ha aceptado pagar porsimplificar la notación. h (Js) significado: está comprendido expresión resultado entre y -34 -34 -34 rigurosa (6.626076 ± 0.000006)x10 6.626070x10 6.626082x10 -34 -34 con cifras significativas 6.62608x10 6.62607x10 6.62609x10Cifras Significativas y Redondeo 1. Cualquier dígito diferente de cero es significativo. 1234.56 6 cifras significativas 2. Ceros entre dígitos distintos de cero son significativos. 1002.5 5 cifras significativas 3. Ceros a la izquierda del primer dígito distinto de cero no son significativos. 000456 3 cifras significativas 0.0056 2 cifras significativas 4. Si el número es mayor que (1), todos los ceros a la derecha del punto decimal son significativos. 457.12 5 cifras significativas 400.00 5 cifras significativas 5. Si el número es menor que uno, entonces únicamente los ceros que están al final del número y entre los dígitos distintos de cero son significativos. 0.01020 4 cifras significativas 6. Para los números que contengan puntos decimales, los ceros que se arrastran pueden o no pueden ser significativos. En este curso suponemos que los dígitos son significativos a menos que se diga lo contrario. 1000 1, 2, 3, o 4 cifras significativas. Supondremos 4 en nuestros cálculos 0.0010 2 cifras significativas 1.000 4 cifras significativas 7. Supondremos que cantidades definidas o contadas tienen un número ilimitado de cifras significativas NOTE: Es mucho más fácil contar y encontrar las cifras significativas si el número está escrita en notación significativa. 5LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY FÍSICA I
    • UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTADEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA FÍSICA IUso en cálculos1. Suma y Sustracción: El número de cifras significativas a la derecha del punto decimal en la suma o la diferencia es determinada por el número con menos cifras significativas a la derecha del punto decimal de cualquiera de los números originales. 6.2456 + 6.2 = 12.4456 redondeado a 12.4 nota: 3 cifras significativas en la respuesta2. Multiplicación y División: El número de cifras significativas en el producto final o en el cociente es determinado por el número original que tenga las cifras significativas más pequeño. 2.51 x 2.30 = 5.773 redondeada a 5.77 2.4 x 0.000673 = 0.0016152 redondeado a 0.0016Redondeando 1. Aumente en uno al dígito que sigue a la última cifra significativa si el primer dígito es menor que 5. Redondear 1.61562 a 2 cifras significativas Rpt: 1.6 2. Si el primer dígito a truncar es mayor que cinco, incrementar el dígito precedente en 1. Redondear 1.61562 a 5 cifras significativas Rpt: 1.6156 3. Si el primer dígito a truncar es cinco y hay dígitos diferentes de cero después del cinco, incrementa el dígito precedente en 1. Redondear 1.61562 a 3 cifras significativas Rpt: 1.62 Redondear 1.62500003 a 3 cifras significativas Rpt: 1.63 4. Si el primer dígito a truncar es cinco y hay únicamente ceros después del cinco, redondee al número par. Redondear 1.655000 a 3 cifras significativas Rpt: 1.66 Redondear 1.625000 a 3 cifras significativas Rpt: 1.62 6LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY FÍSICA I
    • UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTADEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA FÍSICA I INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO VECTORIALEn este capitulo se dan los conocimiento básicos sobre vectores, porque su manejo sehace indispensable en el estudio de los conceptos físicos como velocidad, fuerza,cantidad de movimiento, etc.Su asimilación le permitirá una comprensión más clara y genérica de un determinadofenómeno y las leyes que lo gobiernan.El tratamiento vectorial en el estudio de un fenómeno físico ofrece entre otras lassiguientes ventajas: - Simplificación de procedimientos y sintetización de las expresiones matemáticas. - Visualización de las relaciones entre las magnitudes físicas de carácter direccional y su variación en el tiempo.1.1. Vector: Es una cantidad que tiene módulo o magnitud, dirección y sentido. Su representación geométrica es un segmento de recta con flecha en un extremo. El MÓDULO del vector está dado por la longitud del segmento medio a escala; la DIRECCIÓN es la inclinación del vector respecto a un marco de referencia tal como un sistema de coordenadas cartesianas. Se utilizan uno o dos ángulos para especificar la dirección del vector según se encuentre en el plano o en el espacio. El SENTIDO queda establecido por la flecha. En figura, 0 es el origen del vector, A su extremo y la recta L su línea de acción, α es el ángulo que especifíca la dirección y se mide convencionalmente en sentido antihorario empezando del lado positivo del eje X, luego Y, finalmente Z. El carácter convencional de la dirección permite referirlo a cualquiera de los semiejes rectangulares, inclusive puede referirse a otro vector. A r a α X Fig. Nº 011.2. Notación de Vector Se utilizan diversas notaciones para escribir los vectores así por ejemplo el vector de r r la figura 1, puede escribirse de la siguiente manera a , OA . De igual manera su r r módulo se representa por: a , OA . Un vector en coordenadas cartesianas queda definido por dos puntos uno de los cuales es el origen y el otro su extremo. Si el origen del vector coincide con el origen 7LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY FÍSICA I
    • UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTADEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA FÍSICA I de coordenadas, un par ordenado representa un vector en el plano y una terna ordenada un vector en el espacio. a = (a x , a y ) r Vector en el plano : a = (a x , a y , a z ) r Vector en el espacio : (1) Donde a x , a y , a z se denominan componentes cartesianos del vector.1.3. Vector Unitario r r Es el vector cuyo módulo es igual a la unidad. u es unitario si u = 1 En cualquier dirección siempre es posible encontrar un vector unitario. Así en la fig. r r r 2, se representan los vectores unitarios u1 , u 2 , u 3 en las direcciones L1, L2, L3 respectivamente. L2 L3 L1 r r u2 u3 r u1 Fig. Nº 02. 0 r r En el plano cartesiano los vectores unitarios se representan por: i y j , cuyas representaciones en forma de pares ordenados son: r r i = (1,0) j = (0,1) (2) Y en el espacio tridimensional los vectores unitarios en las direcciones de los ejes r r r son i , j y k o en forma de ternas ordenadas: r r r i = (1,0,0) j = (0,1,0) k = (0,0,1) y z r r j k r y i x r i r j En el plano x En el espacio Fig. Nº 03 r r r Como se puede observar, los vectores unitarios i , j y k apuntan en la dirección positiva de los semiejes coordenadas y por tanto son mutuamente perpendiculares entre sí. 8LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY FÍSICA I
    • UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTADEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA FÍSICA I Para encontrar el vector unitario en la dirección de un vector basta dividir éste vector entre su módulo: r r r u= (3) r r r r = ru Lo cual significa que todo vector es igual a su módulo por el vector unitario en su dirección. r r También que los vectores r y u son paralelos.1.4. Vector posición r Es el vector r que tiene por origen de coordenadas rectangulares y como extremo un punto P arbitrario de coordenadas X, Y, Z. ver fig. 4. La posición de una partícula en movimiento, se z puede describir en cualquier instante por el vector de posición que va del origen a la partícula. P(x,y,z) Las coordenadas del punto son exactamente las r r r componentes rectangulares de r : y r r r r 0 r = xi + yj + zk (4) x r = x2 + y2 + z2 (5)1.5. Expresión de un vector conociendo las coordenadas de su origen y extremo Dados los puntos P1(x1,y1,z1) y Z P2(x2,y2,z2) r P2(x2,y2,z2), sus respectivos r2 vectores de posición son: P1(x1,y1,z1) r r r r r1 Y r r1 = x1i + y1 j + z1k 0 r r r r r2 = x2 i + y 2 j + z 2 k X r Sea A el vector que tiene como origen el punto P1 y como extremo el punto P2, entonces se tiene que La expresión cartesiana de un vector se considera restando las coordenadas de extremo final menos el de su origen y escribiendo los vectores unitarios correspondientes: r r r A = r2 − r1 (6) r r r r A = (x2 − x1 )i + ( y 2 − y1 ) j + (z 2 − z1 )k (7) Luego el módulo del vector es igual a la distancia entre los puntos P1 y P2: r A= (x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 + (z 2 − z1 )2 (8) 9LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY FÍSICA I
    • UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTADEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA FÍSICA I Ejemplo: Las dimensiones del paralelepípedo son 4,5 y 3 unidades. z Encontrar: C r a) La expresión del vector M de módulo r 10 unidades que está en la diagonal M BE con origen en B. B y r 0 r b) La expresión del vector N de módulo A N 5 unidades que está en la diagonal CA D x con origen en C. Solución: Las coordenadas de los vértices y los vectores son C(0,0,3) D(4,5,0) A(4,0,0) B(0,5,0) r r r r r r r r1 = − 4i − 5 j + 3k r1 = 4i − 5 j r a) El vector unitario de M es también vector unitario de: r r r r r r − 4i − 5 j + 3k uM = = r 5 2 r r r r r Entonces el M = 10u M = − 4 2i − 5 2 j + 3 2k r b) El vector unitario de N es también vector unitario de r r r r r − 4i − 5 j r r uN = = = 0.625i − 0.781 j r 41 r r 20 r 25 r r r Entonces el N = 5u N = i− j = 3.12i − 3.90 j 41 411.6. Producto Escalar r r Dado los vectores A y B su producto escalar o producto interno simbolizado por r r r r A ⋅ B , se define como: A ⋅ B = AB cosθ (9) Donde θ es el ángulo entre los vectores, siendo 0≤ θ≤π. Se debe tener presente r r que el producto escalar de A ⋅ B es una cantidad escalar y no un vector. r r Condición de perpendicularidad: en la ecuación 9, si θ=90º, entonces A ⋅ B =0. Esto se expresa diciendo que si dos vectores son perpendiculares, su producto escalar es cero, además si ninguno de los vectores es nulo, se cumple la bicondición: r r r r A ⊥ B ⇔ A⋅ B =0 10LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY FÍSICA I
    • UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTADEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA FÍSICA I Condición de paralelismo; en la misma ecuación de definición vemos que si θ=0º, r r los vectores están superpuestos, por lo que A // B y al efectuar el producto escalar resulta: r r A ⋅ B = AB , donde si dos vectores son paralelos, su producto escalar es igual al producto de sus módulos. Producto escalar de los vectores unitarios Aplicando la definición de producto escalar tenemos: r r r r r r i ⋅ i = (1)(1)cos 0 =1 j ⋅ i = (1)(1)cos 90 = 0 k ⋅ i = (1)(1)cos 90 = 0 r r r r r r i ⋅ j = (1)(1)cos 90 = 0 j ⋅ j = (1)(1)cos 0 =1 k ⋅ j = (1)(1)cos 90 = 0 r r r r r r i ⋅ k = (1)(1)cos 90 = 0 j ⋅ k = (1)(1)cos 90 = 0 k ⋅ k = (1)(1)cos 0 =1 Producto escalar de dos vectores cualesquiera: r r r r r r r r Sean los vectores: A = Ax i + Ay j + Az k y B = Bx i + B y j + Bz k el producto escalar se efectúa como si se tratara de la multiplicación de dos polinomios: r r r r r r r r A.B = ( Ax i + Ay j + Az k ).( Bx i + B y j + Bz k ) Para facilitar los cálculos de cada paso, debe tenerse en cuenta los resultados del producto vectorial de los vectores unitarios: r r A.B = ( Ax B x + Ay B y + Az B z )1.7. Producto Vectorial r r r r Dado los vectores A y B , su producto vectorial se simboliza por A x B , es otro vector definido por: r r r A x B = ABsenθ u (10) r r o AxB = ABsenθ r r Donde θ es el ángulo entre los vectores, siendo 0≤ θ≤π. El vector A x B es r r perpendicular al plano determinado por A y B , su dirección indicada por el vector r unitario u apunta en la forma que avanzaría un tornillo de rosca derecha al ser r r rotado de A hacia B describiendo el ángulo θ r r AxB r B r θ A 11LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY FÍSICA I
    • UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTADEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA FÍSICA I Producto vectorial de los vectores unitarios: Aplicando la definición de producto vectorial r r r r r r r r r r i xi = (1)(1)sen0 = 0 j xi = (1)(1)sen90(−k ) = − k k xi = (1)(1)sen90( j ) = j rr r r rr rr r r i xj = (1)(1)sen90k = k j xj = (1)(1)sen0 = 0 k xj = (1)(1)sen90(−i ) = − i r r r r r r r r r r i xk = (1)(1)sen90(− j ) = j j xk = (1)(1)sen90(i ) = i k xk = (1)(1)sen = 0 Producto vectorial de dos vectores cualesquiera: r r r r r r r r Sean los vectores: A = Ax i + Ay j + Az k y B = Bx i + B y j + B z k el producto vectorial se efectúa como si se tratara de la multiplicación de dos polinomios. r r r r r r r r A x B = ( Ax i + Ay j + Az k ) x ( Bx i + B y j + B z k ) Para facilitar los cálculos de cada paso, debe tenerse en cuenta los resultados del producto vectorial de los vectores unitarios r r r r r AxB = ( Ay Bz − Az By )i + ( Az Bx − Ax Bz ) j + ( Ax By − Ay Bx )k éste mismo resultado se puede obtener resolviendo un determinante de tercer orden cuya primera fila está formada por los vectores unitarios, la segunda fila por las r componentes escalares del vector A y la tercera fila por las componentes escalares r del vector B : r r r i j k r r r Ay Az r Ax Az r Ax Ay AxB = Ax Ay Az = i − j +k By Bz Bx Bz Bx By Bx Bx Bz r r r = ( Ay B z − Az B y )i + ( Az Bx − Ax Bz ) j + ( Ax B y − Ay Bx )k 12LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY FÍSICA I
    • UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTADEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA FÍSICA I ESTÁTICA La estática es la parte de la Mecánica que estudia el equilibrio de los cuerpos.1.8. FUERZA Es el resultado de la interacción de por lo menos 2 o más cuerpos. Unidad: la fuerza se mide en Newton (N) 1kg-f = 9,81N La idea intuitiva de fuerza la tenemos al observar los siguientes hechos: - Cuando tiramos de una cuerda atada a un cuerpo, decimos que estamos haciendo fuerza. - Cuando empujamos un automóvil para ponerlo en movimiento, sentimos la sensación de haber ejercido una fuerza. - Al estirar o comprimir un resorte decimos que estamos empleando una fuerza. Es decir que, en la actividad de nuestra vida diaria a menudo empleamos y vemos actuar fuerzas en forma espontánea, observando que la fuerza es causa del movimiento, del equilibrio, deformación de cuerpos, etc. Un sistema de fuerzas puede sustituirse por su resultante, la misma que se representa por una fuerza única como es el caso de las fuerzas concurrentes o por una fuerza y un par en el caso de fuerzas no concurrentes. En todos los casos la resultante debe ser capaz de producir el mismo efecto mecánico sobre el cuerpo, que el que produce el conjunto de fuerzas dadas. A. Fuerzas concurrentes: son aquellas fuerzas que pasan por un mismo punto ya sean entrantes o salientes r r r r r r r FR = F1 + F2 + F3 + F4 F2 F1 r r F4 F3 B. Fuerzas no concurrentes: son aquellas fuerzas que pasan por un mismo punto y pueden ser paralelas. r r F2 F1 r F3 r Representación Vectorial de Fuerza ( F ), la fuerza está representado vectorialmente mediante: r r r r F = F u , donde: F : vector fuerza, F : módulo de fuerza y u : vector unitario 13LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY FÍSICA I
    • UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTADEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA FÍSICA I1.9. DIAGRAMA DEL CUERPO LIBRE El diagrama del cuerpo libre consiste en ubicar todas las fuerzas que intervienen en el sistema y hacer las proyecciones de éstas en sus ejes de coordenadas. 14LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY FÍSICA I
    • UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTADEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA FÍSICA IEjercicios 1. Dos cables están unidos en C y cargados tal como se indica en la figura. Determinar la tensión en AC y BC. A 40º 20º B Solución 40º r T1 C r W 20º r 300N T2 W T2 T1 Por la ley de los senos: = = sen(20 + 40) sen(90 − 40) sen(90 − 40) Entonces: T1 = 325.5N y T2= 265.4N 15LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY FÍSICA I
    • UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTADEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA FÍSICA I 2. El ángulo entre el tirante AB y el mástil es de 20º. Si se sabe que la tensión TAB=300N. Determinar: a) Los componentes x, y, z de la fuerza ejercida sobre el punto B. b) Los ángulos θx, θy, θz que definen la dirección de la fuerza ejercida en B Y Y A A 20º 20º X X 40º 40º 0 0 C 40º C 40º Z B B Z Solución: r r r r r T AB = ? TAB = Tx i + Ty j + Tz k Tx = -Tsen20ºcos40º ⇒ Tx = -78.6N Ty = Tcos20º ⇒ Ty = 281.9N Tz = -Tsen20ºsen40º ⇒ Tz = -66N θ=? − 78.6 Tx = T cosθ x ⇒ cosθ x = ⇒ θ x =105.2º 300 281.9 T y = T cosθ y ⇒ cosθ y = ⇒ θ y = 20.0º 300 − 66 Tz = T cosθ z ⇒ cosθ z = ⇒ θ z =102.7 º 300 16LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY FÍSICA I
    • UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTADEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA FÍSICA I 3. Sabiendo que la tensión en el cable AB es de 450N, calcular las componentes de la fuerza que se ejerce sobre la placa en A. Y 2m 7m B 4m C X D 9m Z 4m A Solución: Y 2m 7m B 4m C X D 9m Z 4m A El ángulo B´AD (B´s la proyección vertical del punto B sobre el eje Z). se calcula a partir del triángulo rectángulo BB´A, recto en B´. BB´=4m B´ A = (DB´)2 + (DA)2 = (7 )2 + (4)2 = 8.06m AB = (BB´)2 + (B´ A)2 = (4)2 + (8.06)2 = 9m Si llamamos θ=ángulo B´AB, su coseno respectivo es: AB´ 8.06 cosθ = = = 0.8955 AB 9 Si φ=ángulo B´DA 0 B´ 7 senφ = = = 0.868 AB´ 8.06 0A 4 cos φ = = = 0.496 AB´ 8.06 Según estos cálculos previos TAB será: Tx = −T cosθ cosφ = −200N Ty = Tsenθ = 200N Tz = −T cosθ senφ = −350 N 17LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY FÍSICA I
    • UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTADEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA FÍSICA I1.10. SISTEMA DE FUERZAS r1.11. TORQUE ( τ ) La experiencia diaria nos muestra que la capacidad de la fuerza para producir rotación no sólo depende de dicha fuerza sino también de la ubicación de su punto de aplicación con respecto al eje de rotación. Se denomina TORQUE o MOMENTO DE FUERZA a la medida de la efectividad para producir rotación. El momento o torque es un movimiento de rotación, que es producida por una fuerza al ser aplicada a una cierta distancia de un punto fijo. Como la rotación tiene sentido, el momento es una cantidad vectorial. r τ r r r τ = r x F : donde r τ = torque o momento de fuerza (mN) r r = vector posición respecto al eje de r movimiento (m) F r r F = fuerza aplicada (N) r b θ θ r r r i j k r r r τ = r xF = rx ry rz Fx Fy Fz Ejercicios 1. En la siguiente figura se tienen tres fuerzas situadas en las diagonales de un paralelepípedo, cuyo módulo es 180N. Calcular los torques de cada una de las fuerzas con respecto al origen. Si los lados de las aristas son 3, 6 y 4m. Z E F 0 C Y X A B Solución: a) Fuerza de la diagonal EB. Las coordenadas de los vértices son E(0,0,4) y B(3,6,0) r r r r La posición de la fuerza es: rEB = 3i + 6 j − 4k 18LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY FÍSICA I
    • UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTADEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA FÍSICA I r r r r r r r r rEB 3i + 6 j − 4k 3i + 6 j − 4k r r r u EB = = = = 0.384i + 0.768 j − 0.512k rEB 9 + 36 + 16 7.81 r r FEB = FEB .u EB = = 180(0.384i + 0.768 j − 0.512k ) r r r r r r r El vector fuerza : FEB = 69.12i + 138.24 j − 92.16k r r El vector posición : r0 E = 4k Entonces el torque será : r r r i j k r r r τ 1 = r0 E x FEB = 0 0 4 69.12 138.24 − 92.16 r 0 4 r 0 4 r 0 0 =i −j +k 138.24 − 92.16 69.12 − 92.16 69.12 138.24 r r r ⇒ τ 1 = − 552.96i + 276.48 j1.12. CONDICIONES DE EQUILIBRIO Para un cuerpo se encuentre en equilibrio se debe cumplir: Primera Condición: La suma de todas las fuerzas que actúan en el sistema debe ser igual a cero. 3 r ∑F i i =1 ∑F x =0 r 3 Es decir: ∑ Fi ∑F y =0 i =1 ∑F z =0 Segunda Condición: La suma de todos los torque o momento que actúan en el sistema debe ser igual a cero. 3 ∑τr i =1 i =0 3 ∑τ x =0 r Es decir ∑τ i =0 ∑τ y =0 i =1 ∑τ z =0 19LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY FÍSICA I
    • UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTADEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA FÍSICA I1.13. CENTRO DE GRAVEDAD Y CENTRO DE MASA En términos generales, un cuerpo está constituido por un gran número de partículas, cada una de las cuales es atraída por la gravedad terrestre. Esta fuerza de gravedad es el peso del cuerpo: W = mg. Las fuerzas o pesos Wi que actúan en las partículas están dirigidas hacia el centro de la tierra debiendo converger allí sin embargo por estar este punto muy distante permite considerar a las pequeñas fuerzas como paralelas. La resultante W = ∑Wi de estas fuerzas paralelas es el peso del cuerpo y el centro de dichas fuerzas paralelas es el centro de gravedad o punto de aplicación de la fuerza peso. xc = ∑x w i i yc = ∑y w i i zc = ∑z w i i w w w El centro de masa (c.m.) de un cuerpo es el punto donde se supone concentrada toda su masa. El centro de gravedad coincide con el centro de masa si el considera g constante. Para hallar el centro de masa, hacemos uso de las ecuaciones kjlajkdflkjda en las remplazamos wi = mg, obteniendo: xc = ∑x m i i yc = ∑y m i i zc = ∑z m i i m m m Ejercicios Hallar el centro de gravedad del alambre curvado que se muestra en la figura. Las dimensiones se dan en cm. Y L2 25 25 L3 L1 40 53º 30º X 20LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY FÍSICA I
    • UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTADEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA FÍSICA I Solución. Llamemos L1 y L3 las partes rectas y L2 a la semicircunferencia ⎧ x = 20 cos 53º = 12cm L1 = 40cm = ⎨ 1 ⎩ y1 = 20 sen53º = 16cm ⎧ x 2 = 40 cos 53º +25 = 49cm L2 = 25π = 78.5cm = ⎨ ⎩ y 2 = 40 sen53º +2(25) / π = 48cm ⎧ 64 40 sen53º ⎪ x3 = 40 cos 53º +50 + cos 30º = 101.7cm L3 = = 64cm = ⎨ 2 sen30º ⎪ y3 = 20 sen53º = 16cm ⎩ L1 x1 + L2 x 2 + L3 x3 xc = = 59.37cm L1 + L2 + L3 L1 y1 + L2 y 2 + L3 y 3 yc = = 29.76cm L1 + L2 + L3 cg (59.37,29.76) 21LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY FÍSICA I
    • UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTADEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA FÍSICA I1.14. CINEMÁTICA Estudia el movimiento de partículas sin dimensiones sin preocuparnos de cuales son las causas que provocan esos movimientos. Punto: Es un modelo físico. Se refiere a un elemento de volumen despreciable (se considerará sin volumen) situado en el espacio (en 3D). Posición: Llamamos posición de un punto a su localización con respecto a un sistema de referencia (lo que en física se llama “observador”). Tiempo: Llamamos tiempo al continuo transcurrido entre dos instantes. Partícula puntual: Es un modelo físico. Se refiere a un elemento de tamaño diferencial (muy pequeño) y masa concentrada en su posición.1.15. SISTEMA DE REFERENCIA Es aquel sistema coordenado con respecto al cual se da la posición de los puntos y el tiempo. Un sistema de referencia contiene fijo a él un sistema de coordenadas en cuyo origen se supone ubicado el observador Z P(x,y,z) r k Y r i r j X SISTEMAS DE COORDENADAS a) Coordenadas Cartesianas Z P(x,y,z) x=x r y=y k z=z Y r r i j X b) Coordenadas Polares Z P(r,α,β,ϕ) x = r cosα y = r cosβ β z = r cosϕ α ϕ Y X 22LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY FÍSICA I
    • UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTADEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA FÍSICA I c) Coordenadas Cilíndricas z P(r,α,β,ϕ) x = ρ cosφ y = r senφ z=z y ρ φ x d) Coordenadas Esféricas z P(r,φ,θ) φ x = r senθ cosφ y y = r senθ senφ z = r cosφ θ x Desplazamiento y Trayectoria La trayectoria depende del Sistema de Referencia escogido. Se denomina Trayectoria al camino seguido por el móvil en su movimiento. Es escalar El espacio (S) que recorre un cuerpo en su movimiento se define como la longitud de la trayectoria recorrida y es también un escalar. Se mide en metros P ara describir cinemáticamente el movimiento de una partícula es necesario conocer su posición en cualquier instante. Por tanto, es un problema estrechamente relacionado con las nociones de tiempo y espacio. Para situar la posición de una partícula se suele elegir un sistema de referencia formado por tres ejes perpendiculares entre sí, x,y,z, y dibujar un vector que tenga como origen el sistema de referencia y como extremo la posición de la partícula en cada instante. Si en lugar de trabajar en tres dimensiones trabajamos en un plano sólo sería un sistema de referencia x,y. Y Los vectores de posición determinan las diferentes Desplazamiento r posiciones del movimiento, y podemos llamarlos y r1 y r r2 si consideramos las posiciones como posición 1 y posición 2. r r r Trayectoria Δr = r2 − r1 mide la variación de posición (incremento) es decir la diferencia entre la posición final y la inicial y determina el desplazamiento del móvil X 23LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY FÍSICA I
    • UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTADEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA FÍSICA I r r r El vector Δr = r2 − r1 (posición final menos posición inicial) se denomina vector desplazamiento. Su módulo representa la distancia entre dos posiciones que ocupa el cuerpo durante el movimiento. Se define vector desplazamiento como la distancia entre dos puntos inicial y final del recorrido. Se calcula restando los vectores de posición final e inicial. Se mide en metros r r r r El vector r = xi + yj + zk definido en cada punto se denomina vector de posición. Vector de posición es el vector que une el origen del sistema de referencia con la posición en que se encuentra el cuerpo en cada momento. La partícula se mueve variando de posición con el tiempo, por lo tanto el vector de r = r (t ) . Conocer r (t ) es conocer el movimiento r r r posición es una función del tiempo desde un punto de vista cinemático. El desplazamiento de un cuerpo que se mueve no tiene por que coincidir con la distancia recorrida Δs sobre la trayectoria. Esta es siempre mayor y sólo se igualan cuando el movimiento es rectilíneo. El módulo del vector desplazamiento en un movimiento rectilíneo es igual al espacio recorrido según la trayectoria. El desplazamiento es el vector que une dos puntos de la trayectoria del móvil (recta que une dos posiciones de su movimiento, en el sentido de su movimiento) por lo tanto es una magnitud vectorial mientras que la trayectoria describe el camino seguido por el móvil en su movimiento, que puede ser rectilíneo, circular, en zig-zag, ondulatorio, oscilatorio, por lo que la trayectoria no es una magnitud vectorial. Pero el desplazamiento y la trayectoria no sólo coinciden cuando el movimiento es rectilíneo sino también cuando estudiamos desplazamientos muy pequeñitos, infinitesimales o diferenciales: r dr = dS El movimiento de cualquier móvil queda perfectamente determinado si se conoce como varían las componentes del vector desplazamiento en función del tiempo Trayectoria Velocidad La velocidad es la magnitud física que estudia la variación de la posición de un cuerpo en función del tiempo respecto a un determinado sistema de referencia. Sus unidades por tanto son: m/s, cm/s o Km / h, etc. Supongamos que cierto punto P se traslada en un intervalo de tiempo Δt desde el punto 1 hasta el r r punto 2, caracterizados por los vectores de posición r1 y r2 : Y r r r Se define velocidad media como el cambio de Desplazamiento Δr = r2 − r1 posición de un cuerpo en un intervalo de tiempo: r r r r r1 r Δr r2 − r1 vm = = r Trayectoria Δt t 2 − t1 r2 X 24LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY FÍSICA I
    • UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTADEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA FÍSICA I r La dirección y sentido de la velocidad media coincide con Δr (vector desplazamiento). Puesto que el cociente entre un vector y un número da siempre otro vector está claro que la velocidad va a ser un vector. En ocasiones también se puede calcular la velocidad media respecto de la trayectoria S entre dos posiciones inicial y final (es decir también en un intervalo) es lo que en algunos libros se llama celeridad o rapidez aunque es preferible llamarlo velocidad media respecto de la trayectoria. En este caso es un escalar. ΔS s 2 − s1 Rapidez: espacio recorrido por intervalo de tiempo: v m = = Δt t 2 − t1 La Velocidad Instantánea se define como la velocidad que lleva un móvil en un instante de tiempo determinado. Pero ¿como podemos obtener la velocidad de un móvil en un instante?. Esto a simple vista es bastante difícil ya que equivaldría a hacer una "foto" al móvil en un instante y obtener de alguna manera su velocidad, se trataría de obtener cambios instantáneos de posición y el tiempo que tardó en estos cambios instantáneos (un instante) prácticamente imposible de medir de forma directa. Debemos recurrir a aproximaciones si queremos saber la velocidad de un móvil en un punto determinado, el truco consiste en ir tomando puntos cada vez más próximos a aquel cuya velocidad queremos medir, calculando cada vez la velocidad media entre esos puntos, al irnos acercando cada vez más al punto que queremos medir, el intervalo en que calculamos la velocidad media es cada vez más pequeño, con lo que las variaciones se convierten en diferenciales. La operación que estamos haciendo es una derivada. Y Desplazamiento = dr en un tiempo dt La velocidad instantánea es el cambio de posición de un cuerpo en movimiento en cada instante. r r r Δr dr Trayectoria vm = lim = Δr →0 Δt dt X Este vector velocidad instantánea es tangente a la trayectoria y su sentido es el del movimiento. Si tenemos en cuenta que tanto Δr como Δt están ligados al camino recorrido ΔS, y que cuando el cambio es diferencial el módulo (valor numérico) de dr es igual que dS la expresión de la velocidad puede desarrollarse en la forma siguiente: Por supuesto en módulo: r dr dS v= = dt dt Conociendo el vector de posición en función del tiempo ¿se puede saber la trayectoria del móvil y la ecuación del movimiento, S en función de t?. Y ¿conociendo la ecuación del 25LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY FÍSICA I
    • UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTADEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA FÍSICA I movimiento se puede determinar la trayectoria y el vector de posición en función del tiempo?. Puesto que la velocidad instantánea es un vector tangente a la trayectoria en cada punto, cuyo sentido es el del movimiento, a partir de ella se podría obtener un vector unitario tangente a la trayectoria en cada punto y según el sentido del movimiento, que nos puede ser de mucha utilidad. Aceleración Se define la aceleración cómo la variación de la velocidad respecto al tiempo. Sus 2 2 unidades por tanto serán m/s o Km/h etc. Siempre que un cuerpo varía su velocidad ya sea en módulo, dirección o sentido hay aceleración. Como el cociente de un vector entre un número es siempre otro vector está claro que la aceleración es una magnitud vectorial. Igual que hacíamos con la velocidad se pueden considerar dos tipos de aceleración según estudiemos el movimiento en un intervalo o en un punto. La aceleración media estudia el cambio de r Y v1 velocidad en un intervalo de tiempo. r r r Es un vector con la misma dirección y sentido Δv = v2 − v1 y en esa misma que el vector resultante de restar la velocidad r dirección y sentido de sale a m inicial y final vectorialmente, en cierto Δt se define como: r r r r − v2 r r Δv v2 − v1 v1 a= = Δt t 2 − t1 r Se trata por tanto de una magnitud vectorial v2 r con la dirección y sentido de Δv X Para conocer la aceleración en cada instante, necesitamos conocer intervalos de tiempo Δt cada vez más pequeños. CLASIFICACIÓN DEL MOVIMIENTO a) Según la trayectoria Rectilíneos: cuándo su trayectoria es una línea recta. Curvilíneos: cuándo su trayectoria es curva. Dentro de estos se encuentran movimientos tan importantes como: circular, elíptico, parabólico, ondulatorio b) Según el módulo de la velocidad Movimiento Uniforme: cuando al transcurrir el tiempo la velocidad no cambian. Movimiento Uniformemente Variado: cuando la velocidad cambia al transcurrir el tiempo. Este cambio es constante. Puede ser acelerado (aceleración positiva) y retardado (aceleración negativa). 26LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY FÍSICA I
    • UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTADEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA FÍSICA I1.16. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (MRU) Como la trayectoria es recta, la velocidad no cambia en ningún momento de dirección y no hay aceleración normal. Como es un movimiento uniforme la velocidad no cambia de valor (módulo) por lo que tampoco existe aceleración tangencial. Luego este movimiento no tiene aceleración. Al ser la trayectoria rectilínea el desplazamiento (r) y la trayectoria (S) coinciden. Como la velocidad es constante la velocidad media y la instantánea coinciden. r dr dS Δx x − x0 v= = = = dt dt Δt t Despejando vt = x − x0 , luego x = x0 + vt Las gráficas del MRU son los siguientes: v(m/s) x(m) v0 x0 t(s) t(s) x = x0 + vt ; donde la pendiente es la velocidad1.17. MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE VARIADO (MRUV) Al ser un movimiento rectilíneo no tiene aceleración normal, pero la velocidad va cambiando en módulo (aceleramos o frenamos) y por lo tanto hay aceleración tangencial. El ritmo de cambio de la velocidad es constante, la velocidad varía proporcionalmente al tiempo (a doble tiempo doble velocidad etc.) Por lo que la aceleración es constante en módulo. Además de ser constante el módulo de la aceleración, también es constante su dirección y el sentido, ya que el movimiento es rectilíneo. Como la a es constante y la única de este movimiento, la aceleración tangencial coincide T con la aceleración media del movimiento ya que si la aceleración es constante es la misma en un punto que en un intervalo. r r dv Δv v − v0 a= = = dt Δt t Como la trayectoria es rectilínea el desplazamiento y la trayectoria coinciden. La ecuación del espacio también se puede obtener del área de la gráfica velocidad frente a tiempo igual que en el movimiento anterior. 27LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY FÍSICA I
    • UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTADEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA FÍSICA I Ecuación del movimiento uniformemente acelerado: 1 x = v0 t + at 2 , si hay espacio inicial S0 se añade 2 ds Derivando se obtiene la velocidad: v= ⇒ v = v0 + at v 2 = v0 + 2ax f 2 dt Ejemplos: 1) La aceleración de una partícula que se mueve en el eje x está dado por la ecuación a = −8t 3 + 16t . Suponiendo que la partícula parte del reposo en el origen. Calcular: a) La velocidad instantánea en función del tiempo b) El desplazamiento en función del tiempo c) El valor máximo del desplazamiento para t > 0 d) El valor máximo de la velocidad para t > 0 Solución v t a) ∫ 0 dv = ∫ adt 0 t 0 ( ) v = ∫ − 8t 3 + 16t dt = − 2t + 8t 4 2 → v = −2t 4 + 8t 2 ; m/s x t b) ∫ 0 dx = ∫ vdt 0 0 t ( x = ∫ − 2t 4 + 8t 2 ) → x= − 2t 5 8t 3 5 + 3 ;m c) Xmáx.=? dx Xmáx. si =0 dt → − 2t 4 + 8t 2 = 0 → ( ) t2 t2 − 4 = 0 t2 = 0 t2 − 4 = 0 ⇒ t=2 d) Vmáx.=? dv Vmáx. si =0 dt − 8t 3 + 16t = 0 ( t t2 − 2 = 0 ) t =0 ∧ t= 2 ( ) 4 vmáx = −2 2 + 8 2 ( ) 2 ⇒ v máx = 8 ; m/s 28LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY FÍSICA I
    • UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTADEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA FÍSICA I 2) Un móvil parte del reposo y durante 10s varía su velocidad a razón de 1.2m/s en cada segundo. Después se mueve con velocidad constante durante 1min y por último desacelera a razón de 2.4m/s hasta que se detiene. Calcular la distancia total recorrida. Solución: V0 V=0 X1 X2 X3 Hay tres tramos: la velocidad Vf del 1er tramo es la velocidad cte del 2do tramo y esta es la velocidad V0 del 3er 1er Tramo 1 2 V1 = 0 x1 = v0 t + at 2 t = 10s 1 x1 = (1.2)(10) 2 ⇒ x = 60 m 2 a = 1.2m/s2 v = v0 + at v = 0 + (1.2)(10) ⇒ v = 12m / s do 2 Tramo V0 =V = 12m/s x2 =vt a=0 x2 = (12 60 ⇒ x= 720 )( ) m t = 1min=60s 3er Tramo V0 =12m/s v 2 = v0 + 2ax3 2 v 2 − v0 (0) 2 − (12) 2 2 a = -2.4m/s2 x3 = = ⇒ x3 = 30m 2a 2(−2.4) vf = 0 xT = x1 + x 2 + x3 ⇒ xT = 810m 29LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY FÍSICA I
    • UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTADEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA FÍSICA I 3) El movimiento de una partícula en el plano YZ está dado por las ecuaciones ay=3sent, az=2cost. Si t=0 cuando y=0, z=2, vy=0, vz=5. Encontrar la ecuación de la trayectoria de la partícula. Solución: dv y ay=3sent donde = 3sent ; integrando dt vy t ∫0 dv y = ∫ 3sentdt 0 v y = −3 cos t 0 = −3(cos t − cos 0 ) t v y = −3 cos t + 3 dy vy = = −3 cos t + 3 dt dv y = ∫ (− 3 cos t + 3)dt vy t ∫ 0 0 y = −3sent + 3t dv z az= 2cost donde = 3 cos t ; integrando dt vz t ∫5 dv z = ∫ 2 cos tdt 0 v z − 5 = 2 sent 0 = 2 sent t v z = 2 sent + 5 dz vz = = 2 sent + 5 dt dz = ∫ (2sent + 5)dt z t ∫2 0 z − 2 = − 2 cos t 0 + 5t 0 t t z = − 2 cos t + 5t + 4 30LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY FÍSICA I
    • UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTADEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA FÍSICA I1.18. CAÍDA LIBRE Tenemos dos movimientos, el debido a nuestro lanzamiento (hacia arriba o hacia abajo) y el de la gravedad que tira del cuerpo hacia abajo. Vamos a ver los vectores de posición que se obtienen cuando el tiro es hacia arriba y cuando es hacia abajo: r r Vectorialmente la aceleración de la gravedad queda: g = − 9.8 j ;m/s2 y con el sistema de referencia que hemos tomado. vf = 0 El cuerpo sube siendo frenado por la atracción gravitatoria terrestre que acaba por pararle y le hace caer. En todo momento la gravedad actúa hacia abajo y es la velocidad la que cambia de sentido (primero sube y luego baja). Como la aceleración de la gravedad es un valor constante estamos con v0 un movimiento uniformemente acelerado y su ecuación de movimiento hmáxima es : s = v .t + 1 at 2 0 2 h0 Como la trayectoria es rectilínea el valor del desplazamiento y el espacio recorrido coinciden por lo que el vector de posición del móvil en x cada instante es: 1 r r = ( h0 + v 0 .t + gt 2 ) j ; m 2 r y la velocidad se saca derivando: v = (v0 − gt ) j ;m/s y En este caso la velocidad inicial tiene diferente sentido y por v0 lo tanto diferente signo: 1 r r = ( h0 − v 0 .t − gt 2 ) j ; m 2 r y la velocidad se saca derivando: v = (v0 − gt ) j ;m/s h0 La gravedad acelera en todo momento al movimiento. Si en lugar de lanzarlo hacia abajo lo dejamos caer la velocidad inicial es cero: 1 r r = ( h0 − gt 2 ) j ; m x 2 y la velocidad se saca derivando: V = ( – g.t ) j m/s1.19. LANZAMIENTO DE PROYECTILES La velocidad de lanzamiento es horizontal, el cuerpo queda sometido a dos movimientos simultáneos: 1) SOBRE EL EJE X: (MRU) un movimiento horizontal rectilíneo y uniforme debido a la velocidad de lanzamiento, ninguna aceleración actúa horizontalmente, este es el MOVIMIENTO DE AVANCE (si no hubiera ninguna otra acción sobre el cuerpo este seguiría indefinidamente en línea recta). 2) SOBRE EL EJE Y: (MRUA) un movimiento vertical rectilíneo y hacia abajo, sin velocidad inicial porque la velocidad inicial es horizontal y uniformemente acelerado (aceleración de la gravedad) debido a la atracción que la Tierra ejerce sobre el cuerpo haciéndolo caer, MOVIMIENTO DE CAÍDA. El resultado de ambos movimientos actuando a la vez da lugar a la trayectoria curvilínea que sigue el cuerpo. y El vector de posición tiene componente x (MRU: S=V. t ; avance del v0 proyectil) y componente y donde se mide la caída y por lo tanto las alturas (MRUA sin velocidad inicial s = s + 1 at 2 ) queda: 0 2 h0 r 1 2 r r = ( v 0 .t )i + (h0 − gt ) j ; m 2 r r y la velocidad se saca derivando: v = (v 0 )i + ( − gt ) j ;m/s x Alcance 31LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY FÍSICA I
    • UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTADEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA FÍSICA I ALCANCE DEL PROYECTIL : es la distancia horizontal que recorre hasta llegar al suelo. En el suelo la altura es cero luego y=0 entonces: 0 = ( h − 1 gt 2 ) 0 2 sacando el valor de t es posible obtener el alcance X = v0 .t La trayectoria se obtiene del vector de posición despejando el tiempo de cada, ES UNA TRAYECTORIA PARABÓLICA. g 2 X = v0 .t x Y = h0 − .x = t sustituyendo en y queda: 2 2v 0 1 2 v0 Y = ( h0 − gt ) Ecuación de la trayectoria 2 e) Movimiento Horizontal (X): v x = v0 x = v0 cosθ X = v0 x .t = v0 cos θ .t ⇒ X = v0 cos θ .t (1) f) Movimiento Vertical (Y): v y = v0 y − gt = v0 senθ − gt ⇒ v y = v0 senθ − gt (2) Y = v 0 y .t − 1 2 1 gt = v 0 senθ .t − gt 2 ⇒ Y = v 0 senθ .t − 1 2 gt (3) 2 2 2 Despejando t de (1) y reemplazando en (3) g Y = xtagθ − .x 2 ecuación de la parábola (4) 2v cos 2 θ 2 0 g) Altura Máxima (H): es alcanzada cuando v y = 0 , en (2) 0 = v0 senθ − gt ⇒ t= v 0 senθ (5) g Reemplazando (5) en (3) ⎛ v senθ ⎞ 1 ⎛ v 0 senθ ⇒ v 0 sen 2θ 2 ⎞ 2 (6) Y = H = v 0 senθ ⎜ 0 ⎜ g ⎟ − g⎜ ⎟ 2 ⎜ g ⎟ ⎟ H = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2g h) Alcance Máximo (R): se consigue cuando Y=0, en (3) 0 = v 0 senθ .t − 1 2 gt ⇒ tT = 2v 0 senθ , tiempo total de vuelo (7) 2 g Vemos que en (7) = 2 (5), es decir el tiempo total de vuelo es dos veces el tiempo de subida. X = R = v0 cosθ .t ⎛ 2v senθ R = v 0 cos θ ⎜ 0 ⎞ ⎟ ⇒ R= v 0 sen 2θ , alcance total 2 (8) ⎜ ⎟ ⎝ g ⎠ g 32LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY FÍSICA I
    • UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTADEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA FÍSICA I Ejemplos 1) Una partícula es lanzada verticalmente hacia arriba con una velocidad de 92pie/s y 2seg más tarde otra partícula es proyectada verticalmente hacia arriba desde el mismo punto y con una velocidad de 68pie/s. Hallar la altura sobre el punto de partida en la que se encuentran y el ra tiempo el cual ha transcurrido desde el lanzamiento de la 1 partícula. g=32pie/seg Solución: C (t-v1/g) AC = y m = (92)2 = (92)2 V1=92pie/s 2 2(32) Tiempo que tarda en alcanzar ym donde: V=V1 +gtm =0 B encuentro v1 (92) ym tm = = g 32 (t-2) Si el tiempo total de A a C y de C a B es t seg. Entonces el tiempo C a B será ⎛ t − v0 ⎞ seg ⎜ ⎟ V2=68pie/s ⎜ ⎟ ⎝ g⎠ A Y el tiempo de la 2da partícula será ( t – 2 )seg Además: y m = AC = AB + CB (92)2 = 68(t − 2) − g (t − 2)2 + g ⎛ t − 92 ⎞ 2 ⎜ ⎟ 2(32 ) 2 2 ⎝ 32 ⎠ ⇒ t = 5seg Luego la altura en la que se encuentran será: AB = 68(t − 2) − g (t − 2)2 ⇒ AB = 60m 2 2) Un bombardero vuela horizontalmente con una velocidad v y a una altura h¸ debe acertar a un tren que se mueve con una velocidad constante v0 en la misma dirección y sentido y en el mismo plano vertical. Determinar la expresión del ángulo θ que debe formar la visual al blanco con la horizontal en el instante de soltar la bomba. Solución: x = ctgθ ⇒ x = hctgθ (1) θ h x = (v − v0 )t ⇒ t = x (2) v − v0 h 1 2 2h h= gt ⇒ t= (3) 2 g Igualando (2) y (3) x 2h = θ v − v0 g Reemplazando x de (1) en (2) hctgθ 2h (4) x = v − v0 g 2h ⎛ v − v 0 ⎞ ctgθ = ⎜ ⎟ g ⎝ h ⎠ ⎡ ⎤ = 2h (v − v0 ) = 2 (v − v0 ) ⇒ θ = arcctg ⎢ 2 (v − v0 )⎥ gh 2 gh ⎣ gh ⎦ 33LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY FÍSICA I
    • UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTADEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA FÍSICA I1.20. DINÁMICA RECTILÍNEA Parte de la mecánica clásica que estudia el movimiento relacionado con las fuerzas que lo originan. LEYES DE NEWTON: 1) Primera Ley de Newton : LEY DE LA INERCIA “Todo cuerpo mantiene su estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme a menos r que una fuerza exterior modifique dicho estado”. a = 0 Conclusiones: - Toda fuerza es causa de movimiento o su presencia es necesaria para alterar el estado de reposo o movimiento. - El estado de reposo o de movimiento (MRU) son enteramente equivalentes (son estados naturales). 2) Segunda Ley de Newton : LEY FUNDAMENTAL DE LA DINÁMICA “La variación del movimiento es proporcional a la fuerza aplicada y tiene la dirección de la fuerza”. En la terminología de Newton movimiento significa cantidad de movimiento, que viene a ser: r r p = mv r dp d r = ( mv ) dt dt r dv r r =m ⇒ F = ma dt Conclusiones: - La dirección de la aceleración es la misma de la fuerza. - La razón F/a es constante, independiente de la masa. F´ 2 F F = = a´ 2a a - El término “Fuerza motriz” empleado por Newton se refiere a una fuerza resultante o fuerza no equilibrada que al actuar sobre un cuerpo le comunica una aceleración. En general el cuerpo está sometido a la acción simultánea de un número cualquiera de fuerzas, cuya resultante diferente de cero es causa de la aceleración. Matemáticamente esto queda expresado como: r r ∑F = m a i i O equivalente en componentes rectangulares: ∑F ix = ma x ∑F iy = ma y ∑F iz = ma z 34LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY FÍSICA I
    • UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTADEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA FÍSICA I 3) Tercera Ley de Newton : LEY DE LA ACCIÓN Y REACCIÓN. “Para cada acción hay una reacción de igual módulo pero de sentido opuesto” r r FAB = − FBA 1 kg-f = 9.81N 1 lb-f = 4.448N Masa y Peso La fuerza más común en la experiencia diaria es la fuerza de gravedad o atracción que ejerce la tierra sobre todos los cuerpos que están sobre ella. Esta fuerza se llama peso del cuerpo. Cuando un cuerpo es abandonado y se deja caer libremente, la única fuerza que actúa sobre él es su peso W y su aceleración es la de cualquier cuerpo que cae libremente, es decir la aceleración de la gravedad cuyo valor promedio es g=9.8m/s2 o 32pies/s2. De acuerdo con la Segunda Ley de Newton, la expresión del peso es: r r W = mg o escalarmente W = mg , donde m=masa del cuerpo. r El W , actúa verticalmente dirigido hacia el centro de la tierra, el peso de cuerpo también varía en los diversos lugares de la tierra, siendo mayor en los polos y mínimo en el Ecuador, en tanto que la masa permanece constante. m = w/ g ALGUNAS APLICACIONES DE LAS LEYES DE NEWTON Las tres leyes de Newton son suficientes para el estudio de cualquier problema de mecánica, con auxilio de algunas definiciones complementarias. Ejemplos: 1) Un bloque de masa m1=10kg que está sobre una superficie horizontal sin fricción, es jalado mediante una cuerda que pasa por una polea y sostiene a otro bloque de masa m2=40kg, tal como se muestra en la figura. Suponiendo que la masa de la cuerda es despreciable y la polea sin fricción, calcular la aceleración de los bloques y la tensión de la cuerda. Solución: m1 N T T m2 m1 m2 m1g m2g (a) DCL(m1) DCL(m2) 35LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY FÍSICA I
    • UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTADEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA FÍSICA I El bloque m1 no tiene movimiento vertical (ay =0) pero horizontalmente tiene una aceleración de igual módulo que la aceleración vertical del bloque de masa m2. Luego aplicando la 2da ley de Newton tenemos: N − m1 g = m1 (0) (1) N = m1 g T = m1 a (2) m2 g − T = m2 a (3) m2 g De (2) y (3), tenemos: a= m1 + m2 a = 7.84 m/s2 Y de (2), se tiene: T = 78.4 N 2) La máquina de Atwood es un dispositivo que empezó a emplearse en el siglo XVIII para realizar las primeras mediciones de la aceleración de la gravedad. Se compone de dos masas m1 y m2 unidas por una cuerda delgada de peso despreciable que pasa por una polea ligera con una fricción despreciable. Solución: T T T T T m1 m1 m1 T m1g m2 m2 m2 m2g Si m1= m2, el sistema permanece en reposo en cualquier posición equilibrándose entre sí. Si m1> m2, m2 se acelera hacia abajo y m1 hacia arriba, la aceleración es constante. Y si m2= m1, la aceleración es pequeña y se puede medir con facilidad obteniéndose su valor, a partir del cual se calcula g. En la actualidad, conociéndose el valor de la aceleración de la gravedad, la Máquina de Atwood puede servirnos para encontrar las aceleraciones de los cuerpos y con la ecuación de la cinemática encontramos la velocidad y la posición de los cuerpos en cualquier momento. 36LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY FÍSICA I
    • UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTADEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA FÍSICA I De la 2da Ley de Newton tenemos: T − m1 g = m1a (1) m2 g − T = m2 a (2) De (2) y (3), tenemos: a= (m2 − m1 ) g m1 + m2 En (1) reemplazamos el valor de “a” y despejando para T se tiene: 2m1m2 T= g m1 + m21.21. FUERZAS DE FRICCIÓN La fuerza de fricción, es la fuerza que aparece en la superficie de contacto de dos cuerpos, oponiéndose al movimiento relativo de estos. Movimiento f F La fricción se debe a las fuerzas intermoleculares en la superficie libre de los cuerpos, interviene la adhesión y cohesión. En realidad, observando microscópicamente, las superficies en contacto no descansan por completo la una sobre la otra sino en partes prominentes. Ésta es la razón por que la fuerza de fricción no dependa del área en contacto. 1) Fuerza de Rozamiento Estático (fs) : N Si gradualmente intentamos el movimiento de un cuerpo F sobre otro, mientras el cuerpo está en reposo, la fuerza de fs rozamiento va creciendo desde cero hasta un valor mg máximo fs en que el movimiento es inminente. Este es la fuerza de rozamiento estático y es proporcional a la fuerza normal, esto es: f s = μs N donde: N: es la fuerza normal o fuerza de contacto μs : es el coeficiente de rozamiento estático 2) Fuerza de Rozamiento Cinético (fk) : N Estando el cuerpo en movimiento, siempre existe la F fuerza de rozamiento, la misma que se llama fuerza de fk rozamiento cinético mg 37LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY FÍSICA I
    • UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTADEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA FÍSICA I Este es la fuerza de rozamiento cinético y es proporcional a la fuerza normal, esto es: f k = μk N donde: N: es la fuerza normal μk : es el coeficiente de rozamiento cinético La experiencia nos indica que es más fácil mantener el movimiento de un cuerpo sobre otro que iniciarlo, por esto, en general μk < μs y consecuentemente fk < fs En un plano inclinado, cuando el movimiento es inminente por acción de una componente de su peso para un ángulo θ, tenemos que el cuerpo está en equilibrio (θ=θs,θk) Entonces tenemos: N – mg.cosθs = 0 N w.senθs - fs = 0 fr de donde: mg.senθs = fs mgsenθ mg.cosθs = N mgcosθ tg.θs = fs/N = μs N/ N W μs = tg.θs Si se inicia el movimiento es necesario disminuir un tanto la inclinación del plano inclinado para mantener el movimiento a velocidad constante (a=0). En tal caso las ecuaciones conducen al siguiente resultado: μk = tg.θk ( θk < θs ) Ejemplos: 1) Encontrar la aceleración de la masa m=10kg si el coeficiente de fricción cinético es 0.2 y la fuerza es constante como se indica en la figura. Determine también la fuerza de contacto con el piso. Solución F = 30N N F = 30N 37º 37º m fk m w=mg DCL En el diagrama del cuerpo libre se muestran todas las fuerzas que actúan sobre el bloque en movimiento. Las ecuaciones escalares del movimiento son: F cos 37º − f k = ma (1) Fsen37 º + N − mg = 0 (2) de la definición de fuerzas de fricción: f k = μk N (3) 38LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY FÍSICA I
    • UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTADEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA FÍSICA I De la ecuación (2) despejamos el valor de la fuerza de contacto (N) N = mg − Fsen37º (4) 2 Reemplazando datos; m=10kg, g=9.8m/s , F=30N, obtenemos: N = 80N En la ecuación (3) reemplazamos μk = 0.2 y N = 80N, obtenemos: f k = 16.0 N De (1) la aceleración de la masa es: F cos 37º − f k 30(4 / 5) − 16.0 a= = ⇒ a = 0.8m/s2 m 10 2) Dos cuerpos cuyas son “m” y “2m” están unidas en los extremos de una cuerda rígida inextensible que pasa por una polea sin fricción situada en la parte más alta de un plano inclinado α=30º con la horizontal y sin fricción. El cuerpo de masa “2m” está en contacto con el plano y cuerpo de masa “m” está suspendida libremente. Hallar el tiempo tomado por la masa “m” para caer por él 20 pies, si su velocidad inicial es 8pie/s hacia abajo. 30º Solución: T T 2mgsen30º 30º 2mg mg Para la masa “2m” se tiene que: 2mgsen30º -T =2ma (1) T-mg = ma (2) Sumando: (1) + (2) : 2mgsen30º -mg =3ma donde a = 0 Luego las masas caen con movimiento uniforme por consiguiente si: X=20pies; V0= 8pie/s t=x / V0 = 20 / 8 ⇒ t = 2.5seg 39LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY FÍSICA I