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Exercícios resolvidos

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    • MATEMÁTICA ELEMENTAR MATEMÁTICA ELEMENTAR Carlos Alberto G. de Almeida (cviniro@gmail.com) 17 de setembro de 2012
    • MATEMÁTICA ELEMENTARIntrodução Olá a todos! Estudaremos neste tópico o seguinte conteúdo: Princípio de Indução Matemática. Apresentaremos aqui alguns Exercícios Resolvidos sobre o assunto descrito acima, porém, é interessante que você estude antes a teoria. BOM ESTUDO!
    • MATEMÁTICA ELEMENTARObservação: Para demonstrarmos que uma propriedade envolvendo os números naturais é sempre verdadeira, precisamos usar o Princípio de Indução Matemática, também conhecido como Princípio de Indução Finita ou, simplesmente, Princípio de Indução. Princípio de Indução Seja P(n) uma propriedade relacionada com os números naturais da qual sabemos que: P(n) é verdadeira para um valor inicial (que pode ser, por exemplo, n = 1). Se P(n) for verdadeira para n = k , então também é verdadeira para n = k + 1. Então a propriedade P(n) é verdadeira para todo número natural n a partir do valor inicial.
    • MATEMÁTICA ELEMENTAR n.(n+1)Questão 05: Mostrar que 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = 2 , n≥1 Solução: Vamos usar o Princípio da Indução Finita. Para n = 1, observe que a expressão é verdadeira, pois 1 = 1.(1+1) ⇒ 1 = 1 2 Vamos supor agora que a expressão seja válida para n = k , e vamos mostrar que ela também é válida para n = k + 1, ou seja: A nossa hipótese é que 1 + 2 + 3 + 4 + ... + k = k .(k2+1) é verdadeira. Daí, note que para n = k + 1, temos: 1 + 2 + 3 + 4 + ... + k +(k + 1) = (k +1).(k +1+1) 2 k .(k +1) (k +1).(k +2) ⇒ 2 + (k + 1) = 2
    • MATEMÁTICA ELEMENTARQuestão 05: Continuação Resolvendo a operação no primeiro membro, temos: k .(k + 1) + 2.(k + 1) (k + 1).(k + 2) = 2 2 que é exatamente igual a expressão do 2o membro, ou seja, acabamos de provar que P(k + 1) é verdadeira. Logo, pelo Princípio da Indução Finita, a expressão vale para todo n ≥ 1.
    • MATEMÁTICA ELEMENTARQuestão 06: Mostrar que13 + 23 + 33 + 43 + ... + n3 = [ n.(n+1) ]2 , n ≥ 1 2 Solução: Usando o Princípio da Indução Finita, temos: Para n = 1, observe que a expressão é verdadeira, pois 1.(1 + 1) 2 13 = [ ] ⇒ 1 = 12 2 Vamos supor agora que a expressão seja válida para n = k , e vamos mostrar que ela também é válida para n = k + 1, ou seja: A nossa hipótese é que 13 + 23 + 33 + 43 + ... + k 3 = [ k .(k2+1) ]2 é verdadeira.
    • MATEMÁTICA ELEMENTARQuestão 06: Continuação Daí, note que para n = k + 1, temos: 13 + 23 + 33 + 43 + ... + k 3 +(k + 1)3 = [ (k +1).(k +1+1) ]2 2 ⇒ [ k .(k2+1) ]2 + (k + 1)3 = [ (k +1).(k +2) ]2 2 Desenvolvendo apenas as operações no primeiro membro, temos: k 2 .(k + 1)2 k 2 .(k + 1)2 + 4.(k + 1)3 + (k + 1)3 = = 4 4 (k + 1)2 .[k 2 + 4.(k + 1)] (k + 1)2 .(k 2 + 4k + 4) = = = 4 4 (k + 1)2 .(k + 2)2 (k + 1).(k + 2) 2 = =[ ] 4 2 que é exatamente igual a expressão do 2o membro, ou seja, acabamos de provar que P(k + 1) é verdadeira. Logo, pelo Princípio da Indução Finita, a expressão vale para
    • MATEMÁTICA ELEMENTARQuestão 07: Mostre que 2n > n, para todo n natural. Solução: Usando o Princípio da Indução Finita, temos: Para n = 1, observe que a expressão é verdadeira, pois 21 > 1 Vamos supor agora que a expressão seja válida para n = k , e vamos mostrar que ela também é válida para n = k + 1, ou seja: A nossa hipótese é que 2k > k , para todo k natural.
    • MATEMÁTICA ELEMENTARQuestão 07: Continuação De fato, pois 2k +1 = 2k .21 = 2.2k > 2k ≥ k + 1 Então, podemos concluir que 2k +1 > k + 1 Portanto, pelo Princípio da Indução Finita, a expressão vale para todo n natural.
    • MATEMÁTICA ELEMENTARQuestão 08: Prove que é verdadeira, para todo n ∈ N, a fórmula: 1 1 1 n P(n) : + + ··· + = . 1·2 2·3 n(n + 1) n+1 Solução: Observamos inicialmente que 1 1 P(1) : = 1·2 1+1 é verdadeira. Suponhamos que, para algum k , tem-se que P(k ) é verdadeira, ou seja, 1 1 1 k P(k ) : + + ··· + = 1·2 2·3 k (k + 1) k +1
    • MATEMÁTICA ELEMENTARQuestão 08: Continuação 1 Somando a ambos os lados dessa igualdade , (k + 1)(k + 2) temos que 1 1 1 1 k 1 + +· · ·+ + = + 1·2 2·3 k (k + 1) (k + 1)(k + 2) k + 1 (k + 1)(k + 2) ⇐⇒ 1 1 1 1 k +1 + + ··· + + = 1·2 2·3 k (k + 1) (k + 1)(k + 2) (k + 1) + 1 mostrando, assim, que P(k + 1) é verdadeira. Portanto, pelo princípio da indução finita, temos que a fórmula vale para todo n ∈ N.
    • MATEMÁTICA ELEMENTAROBSERVAÇÕES: Caros alunos e alunas, é de extrema importância que vocês não acumulem dúvidas e procurem, dessa forma, estarem em dia com o conteúdo. Sugerimos que estudem os conteúdos apresentados, e coloquem as dúvidas que tiverem no fórum, para que possamos esclarecê-las. ÓTIMA SEMANA E BOM ESTUDO!