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Logarítmos

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VANIA LIMA
vanialima@blog.com.br
http://www.youtube.com/user/teachervanialima

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  • 1. A palavra logaritmo foi inventada porJohn Napier. A sua origem é grega esignifica a razão dos números –“logos” significa razão e “aritmo”,número. O conceito de logaritmo foiintroduzido pelo matemático escocêsJohn Napier (1550-1617) eaperfeiçoado pelo inglês HenryBriggs (1561-1630) Em 1614 Neperpublicou o seu trabalho sobrelogaritmos no livro “Descrição dasMaravilhosas Regras dos Logaritmos”no qual expõe o uso dos logaritmos
  • 2. • A invenção dos logaritmos no século XVI écomparável ao aparecimento dos computadores noséculo XX - foi um grande salto na realização dasoperações aritméticas e representou para aastronomia e para a navegação algo muito próximodo que hoje o computador representa para essasmesmas áreas.
  • 3. Transformando os produtos em somas e os quocientes em diferenças, ouso dos logaritmos conseguiu diminuir em muito o tempo que osastrônomos gastavam nos seus cálculos.A ideia é bastante simples. Se for possível escrever dois númerospositivos quaisquer na forma de potências com a mesma base, entãomultiplicar esses números equivale a somar os expoentes respectivos.
  • 4. • DEFINIÇÃO• Dados os números reais b (positivo e diferente de1), N (positivo) e x , que satisfaçam a relação bx=N, dizemos que x é o logaritmo de N na base b.Isto é expresso simbolicamente da seguinte forma:logbN = x. Neste caso, dizemos que b é a base dosistema de logaritmos, N é o logaritmando ouantilogaritmo e x é o logaritmo.
  • 5. 1. Quando a base do sistema de logaritmos éigual a 10 , usamos a expressão logaritmodecimal e na representação simbólicaescrevemos somente logN ao invés delog10N.2. Assim é que quando escrevemos logN = x ,devemos concluir pelo que foi exposto, que10x= N.
  • 6. 2)Os logaritmos decimais (base 10)normalmente são números decimaisonde a parte inteira é denominadacaracterística e a parte decimal édenominada mantissa. Que sãologaritmos decimais tabelados, que epossível consultado uma tábua delogaritmo (que foi desenvolvida por HenryBriggs, matemático inglês do século XVI.3) Da definição de logaritmo, infere-se(conclui-se) que somente os númerosreais positivos possuem logaritmo.Assim, não têm sentido as expressõeslog3(-9), log20 , etc.
  • 7. Existe também um sistema de logaritmos chamadoneperiano (em homenagem a John Napier - matemáticoescocês do século XVI, inventor dos logaritmos), cujabase é o número irracional e = 2,7183... e indicamoseste logaritmo pelo símbolo ln.Assim, logeM = ln M.Este sistema de logaritmos, também conhecido comosistema de logaritmos naturais, tem grande aplicação noestudo de diversos fenômenos da natureza.
  • 8. 1. É fácil demonstrar as seguintespropriedades imediatas dos logaritmos,todas decorrentes da definição:2. O logaritmo da unidade em qualquer base énulo, ou seja: logb1 = 0 porque b0= 1.3. O logaritmo da base é sempre igual a 1, ouseja: logbb = 1 , porque b1= b.) logbbk= k ,porque bk= bk.4. Se logbM = logbN então podemos concluirque M = N. Esta propriedade é muitoutilizada na solução de exercíciosenvolvendo equações onde aparecemlogaritmos (equações logarítmicas).5. Se blogbM= M ou seja: b elevado ao logaritmode M na base b é igual a M.
  • 9. PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LOGARITMOSP1 - Logaritmo De Um ProdutoO logaritmo de um produto é igual a soma dos logaritmos dos fatores, ouseja:logb(M.N) = logbM + logbNP2 - Logaritmo De Um QuocienteO logaritmo de uma fração ordinária é igual a diferença entre oslogaritmos do numerador da fração e do denominador, ou seja:logb(M/N)= logbM - logbNNota: Chamamos de cologaritmo de um número positivo N numa base b,ao logaritmo do inverso multiplicativo de N, também na base b. Ouseja: cologbN = logb(1/N) = logb1 - logbN = 0 - logbN = - logbN. (menoslog de N na base b).P3 - Logaritmo De Uma PotênciaQuando um logaritmo estiver elevado a um expoente, na próximapassagem esse expoente irá multiplicar o resultado desse logaritmo.Temos a seguinte fórmula, facilmente demonstrável: logbMk= k.logbM.
  • 10. • P4 - Mudança De Base• Se soubermos o logaritmo de N na base b edesejamos obter o logaritmo de N numabase a, essa mudança de base, muitoimportante na solução de exercícios, poderáser feita de acordo com a fórmula a seguir,cuja demonstração não apresentadificuldades, aplicando-se os conhecimentosaqui expostos.•
  • 11. APLICAÇÕES LOGARITMOS NO COTIDIANOOs logaritmos possuem inúmeras aplicações nocotidiano, a Física e a Química utilizam as funçõeslogarítmicas nos fenômenos em que os númerosadquirem valores muito grandes, tornando-osmenores, facilitando os cálculos e a construção degráficos.Na computação, é utilizado o logaritmo na base 2 pararepresentar dígitos de informação (bits).
  • 12. Na física, a escala logarítmica é utilizada em diversasaplicações.Uma delas é a escala de decibéis, que mede aintensidade de sons.Ela é uma escala logarítmica também na base 10.
  • 13. Na química, por sua vez, os logaritmos são aplicadospara calcular o pH (potencial hidrogeniônico) de umasolução.
  • 14. Na geologia, os logaritmos permitem medir aamplitude (ou a “força”) de algum abalo sísmicoatravés da Escala Richter. A base utilizada, neste caso,é a 10, de modo que um abalo sísmico com 6 pontosnesta escala é 10 vezes mais forte do que um abalocom 5 pontos. Há também a Escala de Mercalli, quenão utiliza conceitos de logaritmos e é um poucomenos precisa, sendo pouco utilizada na prática.
  • 15. • A escala Richter foi desenvolvida porCharles Richter e Beno Gutenberg, nointuito de medir a magnitude de umterremoto provocado pelo movimentodas placas tectônicas. As ondasproduzidas pela liberação de energiado movimento das placas podemcausar desastres de grandesproporções.
  • 16. Os estudos de Charles e Beno resultaram em umaescala logarítmica denominada Richter, que possuipontuação de 0 a 9 graus. A magnitude (graus) é ologaritmo da medida das amplitudes (medida poraparelhos denominados sismógrafos) das ondasproduzidas pela liberação de energia do terremoto.A fórmula utilizada é a seguinte:onde M: magnitude;A: amplitude máxima;A0: amplitude de referência.M = log A – log A0
  • 17. • Assim se compararmos um terremoto de 6graus com outro de 8 graus, de magnitude,pela formula chegaremos ao resultado queas ondas do terremoto A2possuemamplitudes 100 vezes mais intensas do que ado terremoto A1:• M1– M2= (log A1– log A0) – (log A2– log A0)• M1– M2= (log A1– log A0) – (log A2– log A0)• A2= 100A1
  • 18. Para calcular a energia liberada por um terremoto,usamos a seguinte fórmula:onde I: varia de 0 a 9E: energia liberada em kW/hE0: 7 x 10-3kW/h.I = (2/3)log10(E/E0)Assim, de acordo com a fórmula, a energia liberadapor um terremoto de 6 graus na escala Richter é de 7 x106kW/h.
  • 19. CONCLUSÃOO logarítmo nunca morrerá pela simples razão de queas variações exponencial e logarítmica são partesvitais da natureza e da análise. Conseqüentemente, umestudo das propriedades da função logarítmica e desua inversa, a função exponencial, permanecerásempre uma parte importante do ensino da matemáticae de outras ciências.ProfVania Lima