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Modelos%20 Geom% C3% A9tricos%20y%20 Fractales[1]
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  • 1. Creación de Modelos Geométricos y Fractales: Construyendo Descripciones de Objetos Vanessa Santiago Olivares Glenn Méndez MATE 5500 Matemáticas Discretas 11 de febrero de 2010
  • 2. Introducción <ul><li>Objetivo de los modelos </li></ul><ul><ul><li>Generación, almacenaje y manipulación de representaciones de objetos por computadoras </li></ul></ul><ul><li>La velocidad y eficiencia del proceso debe considerar dos aspectos principales </li></ul><ul><ul><li>La manera de estructurar u organizar los datos </li></ul></ul><ul><ul><li>La manera de generar o definir los datos </li></ul></ul>
  • 3. Estructuras de Datos <ul><li>Las maneras más comunes de organizar los datos son </li></ul><ul><ul><li>Listas enlazadas en espacios contiguos de memoria </li></ul></ul><ul><ul><li>Listas enlazadas usando punteros (“pointers”) </li></ul></ul><ul><ul><li>Listas abstractas de datos </li></ul></ul><ul><ul><li>Árboles binarios </li></ul></ul>
  • 4. Listas Enlazadas en Espacios Contiguos de Memoria <ul><li>Se utilizan típicamente para matrices o listas de datos de longitud específica </li></ul><ul><li>Estos se almacenan en espacios consecutivos de memoria </li></ul>A A 11 A 12 A 21 A 22 Nulo
  • 5. Listas Enlazadas Usando Punteros <ul><li>Los punteros o “pointers” son referencias a lugares específicos de memoria </li></ul><ul><li>Permiten almacenar información en lugares discontinuos de memoria </li></ul><ul><li>Esto facilita el poder insertar o remover datos en las listas de datos </li></ul>
  • 6. Listas Enlazadas Usando Punteros #233 #677 #234 A #678 A 21 #235 A 11 #679 A 22 #236 A 12 #680 Nulo #237 #678 #681 #238 #682
  • 7. Listas Abstractas de Datos <ul><li>Es común para las listas que incluyen varios elementos o tipos de datos (figuras, vértices, bordes, etc.) </li></ul><ul><ul><li>Son buenas para modelos geométricos </li></ul></ul><ul><li>La lista sólo contiene los punteros de los lugares en memoria donde se encuentran los datos de cada uno de los elementos </li></ul>
  • 8. Listas Abstractas de Datos D C B A X27 Memoria X27 #8A #D2 #FA #88 Null X27 #8A #D2 #FA #88 Nulo
  • 9. Árboles Binarios <ul><li>Ayudan a establecer la jerarquía en los modelos geométricos </li></ul><ul><ul><li>La raíz o rama es un nodo “padre” </li></ul></ul><ul><ul><li>Puede tener uno o dos sucesores o nodos “hijo” </li></ul></ul><ul><ul><li>Nodos que no tienen hijos son nodos “hoja” </li></ul></ul><ul><li>Si alguno de los elementos se borra, todo lo atado a ese elemento también se borra </li></ul><ul><li>Puede usar listas abstractas de datos para guardar los datos de los diferentes elementos </li></ul>
  • 10. Árboles Binarios 1 0 1 1 1 1 1 1
  • 11. Generación de Modelos Geométricos <ul><li>Los sistemas de generación de modelos geométricos deben ser </li></ul><ul><ul><li>Preciso </li></ul></ul><ul><ul><li>Compacto para almacenar </li></ul></ul><ul><ul><li>Fácil de generar </li></ul></ul><ul><ul><li>Rápido de representar </li></ul></ul><ul><ul><li>De validez garantizada </li></ul></ul><ul><li>Estos requerimientos pueden ser conflictivos </li></ul>
  • 12. Generación de Modelos Geométricos <ul><li>Algunos de los métodos para generar estos modelos son </li></ul><ul><ul><li>Métodos de modelo voxel </li></ul></ul><ul><ul><li>Geometría sólida constructiva (CSG) </li></ul></ul><ul><ul><li>Representación de fronteras (“B-Rep”) </li></ul></ul><ul><ul><li>Modelaje de equi-superficies </li></ul></ul><ul><ul><li>Fractales </li></ul></ul>
  • 13. Métodos de Modelo Voxel <ul><li>Divide el espacio en pequeñas unidades (cubitos) o elementos de volumen (voxel) </li></ul><ul><li>Evalúa cada unidad para determinar si pertenece o no al objeto </li></ul><ul><li>El resultado final parece como construido con bloques LEGO </li></ul>
  • 14. Métodos de Modelo Voxel <ul><li>La resolución del elemento aumenta en la medida que hacemos las unidades más pequeñas </li></ul><ul><ul><li>Esto aumenta los requerimientos de memoria </li></ul></ul>
  • 15. Métodos de Modelo Voxel <ul><li>Al cambiar las propiedades que se desean en el modelo, se puede obtener diferentes representaciones. Por ejemplo </li></ul><ul><ul><li>Color </li></ul></ul><ul><ul><li>Densidad </li></ul></ul><ul><ul><li>Profundidad </li></ul></ul>
  • 16. Métodos de Modelo Voxel <ul><li>Superimponiendo los modelos resultantes es posible obtener un modelo más completo y detallado </li></ul><ul><li>Estos modelos son fáciles de programar, pero sus requerimientos de memoria los hace lentos </li></ul><ul><li>Sus aplicaciones están limitadas a la medicina y donde hacen falta ilustraciones de alta resolución y calidad. </li></ul>
  • 17. Geometría Sólida Constructiva (CSG) <ul><li>Combina formas tridimensionales estándares, tales como cubos, esferas, conos, cilíndricos y otras, para construir el objeto de interés </li></ul><ul><ul><li>La combinación se hace con los procesos de unión, intersección y diferencia de conjuntos </li></ul></ul>
  • 18. Geometría Sólida Constructiva (CSG) <ul><li>Los usuarios definen los parámetros de cada figura para identificar localización, tamaño, color, orientación, etcétera </li></ul>
  • 19. Geometría Sólida Constructiva (CSG)
  • 20. Geometría Sólida Constructiva (CSG) <ul><li>Los conjuntos de datos que resultan de estos modelos son más compactos que los demás métodos </li></ul><ul><ul><li>Esto es debido a que las ecuaciones que describen las figuras son siempre las mismas </li></ul></ul><ul><ul><li>Sólo es necesario evaluarlas con los parámetros dados (dimensión, orientación, localización) y la relación entre las figuras (álgebra Booleana) </li></ul></ul><ul><li>Muy utilizado en sistemas de CAD/CAM </li></ul>
  • 21. Representación de Fronteras (“B-Rep”) <ul><li>Método usado para generar imágenes de calidad </li></ul><ul><li>Las características de la superficie de un objeto son descritas explícitamente usando poliedros </li></ul><ul><ul><li>No permite superficies curvas ya que las caras de los poliedros son planas </li></ul></ul><ul><li>Esto permite que sean desplegados rápidamente y con buena precisión </li></ul>
  • 22. Representación de Fronteras (“B-Rep”) <ul><li>El modelo almacena datos de vértices, bordes y caras, y la relación entre estas </li></ul>B C D A Planos ACD ADB ABC BCD Bordes AB AC AD BC BD CD Vértices A B C D
  • 23. Representación de Fronteras (“B-Rep”) <ul><li>Necesitan sets amplios de datos, son complejos y no tienen validez geométrica garantizada </li></ul><ul><li>Algoritmos pueden ayudar a determinar la validez geométrica, pero no son infalibles </li></ul><ul><ul><li>Fórmula topológica de Euler </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>Es condición necesaria, pero no suficiente </li></ul></ul></ul>
  • 24. Representación de Fronteras (“B-Rep”) <ul><li>Formula topológica de Euler </li></ul><ul><li>Formula extendida Euler-Poincaré </li></ul>v – e + f = 2 v = #vértices e = #bordes f = #caras v – e + f = 2(s – h) + r v = #vértices s = #objetos separados e = #bordes h = #huecos que atraviesan f = #caras r = #anillos o bordes dentro de las caras
  • 25. Modelaje de Equi-Superficies <ul><li>También se conoce modelaje de objetos suaves </li></ul><ul><li>Es particularmente apropiado para modelar sustancias gelatinosas (blobby) y objetos de bordes suaves </li></ul><ul><li>Se genera al definir una función de campo escalar de valor constante </li></ul>
  • 26. Modelaje de Equi-Superficies En cada figura, los colores representan superficies en las que la propiedad de interés tiene valor constante.
  • 27. Modelaje de Equi-Superficies
  • 28. Modelaje de Equi-Superficies <ul><li>Se prestan también para usar álgebra booleana y combinar objetos </li></ul><ul><ul><li>Ejemplo: generar huecos de las caras del dado </li></ul></ul><ul><li>Usa un método similar al voxel para determinar si el espacio pertenece o no a la superficie bajo evaluación </li></ul><ul><ul><li>Los espacios que pertenecen se guardan </li></ul></ul>
  • 29. Fractales <ul><li>No son considerados métodos para la generación de modelos geométricos </li></ul><ul><ul><li>Producen modelos de objetos 2D y 3D de difícil aplicación </li></ul></ul><ul><li>Propiedades (ideales): </li></ul><ul><ul><li>Similitud propia: cualquier subconjunto del objeto es una copia del objeto completo. </li></ul></ul><ul><ul><li>Sub-divisibilidad infinitesimal: no hay cambio en la cantidad de detalles observables a diferentes niveles de magnificación. </li></ul></ul>
  • 30. Fractales Curva Koch Reemplazamiento recursivo de líneas de segmentos por poli-líneas que consisten de cuatro líneas, cada una de un tercio del largo original.
  • 31. Fractales Sierpinski Extracción recurrente de formas desde el interior de la forma original
  • 32. Fractales Curva que visita cada punto dentro de una región Curva de Peano
  • 33. Fractales <ul><li>La importancia de los fractales radica en la capacidad de establecer elementos con las mismas características a escalas menores </li></ul><ul><li>N = (1/f) D , donde </li></ul><ul><li>N = Número de copias </li></ul><ul><li>f = escala </li></ul><ul><li>D = dimensión de la figura </li></ul>D = 3 dimensiones f = ½ N = (1/½) 3 = (2) 3 = 8
  • 34. Fractales <ul><li>Muchos objetos de la naturaleza presentan un comportamiento estadísticamente similar al de los fractales, es decir, propiedades fractales </li></ul><ul><ul><li>Ejemplos: irregularidad de costas y montañas, ramas de árboles y coral, etcétera </li></ul></ul>
  • 35. Fractales <ul><li>Esta característica ha sido utilizada por algunos algoritmos para aplicaciones específicas </li></ul><ul><ul><li>Sistemas L: ramas de plantas </li></ul></ul><ul><ul><li>Sistemas de función iterativa: compresión de imágenes </li></ul></ul><ul><ul><li>Modelaje de terrenos </li></ul></ul>
  • 36. ¿Preguntas?

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