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Movimiento Armónico Simple
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Movimiento Armónico Simple

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  • 1. Reseña histórica: El principio del péndulo fue descubierto por el físico y astrónomo italianoGalileoGalilei (1564-1642), quien estableció que el periodo de la oscilación de unpéndulo de una longitud dada puede considerarse independiente de su amplitud, esdecir, de la distancia máxima que se aleja el péndulo de la posición de equilibrio. (Noobstante, cuando la amplitud es muy grande, el periodo del péndulo sí depende de ella).Galileo indicó las posibles aplicaciones de este fenómeno, llamado isocronismo, en lamedida del tiempo. Sin embargo, como el movimiento del péndulo depende de lagravedad, su periodo varía con la localización geográfica, puesto que la gravedad esmás o menos intensa según la latitud y la altitud. Por ejemplo, el periodo de un péndulodado será mayor en una montaña que a nivel del mar. Por eso, un péndulo permitedeterminar con precisión la aceleración local de la gravedad.
  • 2. Movimiento Armónico SimpleConcepto: Un tipo de movimiento particularocurre cuando sobre el cuerpo actúa una fuerzaque es directamente proporcionalal desplazamiento del cuerpo desde su posición deequilibrio. Si dichafuerza siempre actúa en la dirección de la posición de equilibrio delcuerpo, seproducirá un movimiento de ida y de vuelta respecto de esa posición, por esoaestas fuerzas se les da el nombre de fuerzas de restitución, porque tratan siemprederestituir o llevar al cuerpo a su posición original de equilibrio. El movimientoque seproduce es un ejemplo de lo que se llama movimiento periódicou oscilatorio. El movimiento oscilatorio es un movimiento periódico en torno a un punto deequilibrio estable. Los puntos de equilibrio mecánico son, en general, aquellos en loscuales la fuerza neta que actúa sobre la partícula es cero. Si el equilibrio es estable,pequeños desplazamientos darán lugar a la aparición de una fuerza que tenderá a llevara la partícula de vuelta hacia el punto de equilibrio. Tal fuerza se denomina fuerzarestauradora. Ejemplos de movimientos periódicos son la oscilación de una masa acoplada aunresorte, el movimiento de un péndulo, las vibraciones de las cuerdas de uninstrumentomusical, la rotación de la Tierra, las ondas electromagnéticas talescomo ondas de luz yde radio, la corriente eléctrica en los circuitos de corrientealterna y muchísimos otrosmás. Un tipo particular es el movimiento armónico simple. En este tipo demovimiento,un cuerpo oscila indefinidamente entre dos posiciones espaciales sinperderenergía mecánica. Pero en los sistemas mecánicos reales, siempre seencuentran presentefuerzas de rozamiento, que disminuyen la energía mecánicaa medida que transcurre eltiempo, en este caso las oscilaciones se llamanamortiguadas. Si se agrega una fuerzaexterna impulsora de tal manera que lapérdida de energía se equilibre con la energía deentrada, el movimiento sellama oscilación forzada. En términos de la energía potencial, los puntos de equilibrio estable son losmínimos locales de la misma, y el movimiento oscilatorio tiene lugar en un entorno deun mínimo local. Desde el punto de vista matemático un movimiento es oscilatorio si la ecuacióndiferencial que describe su movimiento es de la forma: d 2x 2 0 .x 0 [1] dt
  • 3. Con solución dada por: x(t ) A.sen( 0 t ) o bien, x(t ) A. cos( 0 t ) Ambas soluciones son validas por la relación: sen x cos( x ) 2 Luego: x(t ) A.sen( 0 t ) A. cos( 0 t ) A. cos( 0 t ´ ) donde: 2 2 Se Trabajara solo con la primera de estas, el trabajo con la segunda es análogo.De esta manera, tenemos: Posición: x(t ) A.sen( 0 t ) Velocidad: v(t ) 0 A. cos( 0 t ) 0 A2 x(t ) 2 2 2 Aceleración: a(t ) 0 A.sen( 0t ) 0 .x(t ) Energía: 1 1 2 Cinética: K m.v 2 0 . A 2 . cos2 ( 0 t ) 2 2 1 2 Potencial: U 0 . A 2 .sen 2 ( 0 t ) 2 1 2 Mecánica: E K U 0 .A2 2Definición de algunos términos básicos:Periodo (T): tiempo que tarda en producirse una oscilación.Frecuencia (f): número de oscilaciones que se producen cada segundo.Elongación, x(t): posición de la partícula respecto de la posición de equilibrio (x=0).Amplitud (A): máxima elongación: máxima distancia de la partícula a la posición deequilibrio. 2Frecuencia angular ( ): 2 .f TFase ( t )Fase inicial ( )Se puede notar que cualquier movimiento armónico simple esta, bien definido cuandoconocemos, su frecuencia o el periodo. De esta manera:
  • 4. Relación entre el movimiento armónico simple y el movimiento circular uniforme. Supongamos un móvil efectuando un movimiento armónico sobre el eje OX conamplitud A, mientras otro describe un movimiento circular de radio A. Los dos partensimultáneamente de la misma posición indicada en la figura y ambos tienen el mismoperiodo:Para el móvil que describe el movimiento armónico simple, obtendremos:x(t ) A.sen( 0 t )v( t ) 0 A. cos( 0 t ) 2a(t ) 0 A.sen( 0t )Para el móvil que describe el movimiento circular uniforme, si nos fijamos en un puntocualquiera de su trayectoria, vendrá definido por un vector posición r(t):  r (t ) x(t )i y (t ) ˆ ˆ jY obtendremos: ˆr (t ) A. cos( 0t )i A.sen( 0t ) ˆ j
  • 5.  ˆv (t ) 0 A..sen( 0t )i 0 A. cos( 0t ) ˆ j ˆ A.sen( 0t ) ˆ 2 2a(t ) 0 A..cos( 0t )i 0 j Vemos que las componentes X de estas magnitudes coinciden con las propiasdel movimiento armónico: el movimiento armónico simple puede considerarse comouna proyección de un movimiento circular uniforme sobre un diámetro de la mismacircunferencia. Relación entre el movimiento armónico simple y el péndulo simple. Supongamos que de un hilo de longitud l suspendemos una bolita de masa m, locolgamos del techo y lo hacemos oscilar ligeramente respecto a su posición deequilibrio: La fuerza recuperadora (que en cada punto empuja a la bolita hacia la posiciónde equilibrio) es la componente tangencial del peso: F mgsen x Si el ángulo que forma el hilo con la vertical es muy pequeño: sen l x En este caso podremos escribir: ma mg.sen mg mg ;de donde: l x g d 2x g 2 g ma mg a x x 0 0 de la ecuación [1] l l dt 2 l l
  • 6. 2 2 2 2 2 2 2 g T l Como: T T T l 2 g T l 2 g Por lo que se tiene que: l T 2 g Relación entre el movimiento armónico simple y el movimiento de unresorte. Supongamos que a un resorte, de constante de elasticidad k,le sujetamos unobjeto de masa m, lo estiramos o comprimimos una distancia x y lo hacemos oscilarligeramente respecto a su posición de equilibrio: La fuerza recuperadora (que en cada punto empuja al objeto a su posición deequilibrio): F kx Si sumamos las fuerzas a lo largo de la línea de movimiento del resorte sobre lasuperficie, podremos escribir: k d 2x k d 2x k 2 k ma kx a x x x 0 0 de la m dt 2 m dt 2 m mecuación [1] 2 2 2 2 2 2 2 k T m Como: T T T m 2 k T m 2 k Por lo que se tiene que: m T 2 k Oscilaciones forzadas y fenómenos de resonancia. Las oscilaciones forzadas se producen cuando un oscilador está sometido afuerzas armónicas.
  • 7. El fenómeno de resonancia se produce cuando la frecuencia angular de la fuerza externacoincide con la frecuencia natural de oscilación del sistema, lo que se traduce en unaumento de la amplitud de la oscilación .Ejercicios: 1) Cierto resorte cuelga verticalmente. Cuando se suspende de un cuerpo de masa M = 1.65 kg, su longitud aumenta en 7,33 cm. El resorte se monta luego horizontalmente,y se une a él un bloque de masa m= 2,43 kg. El bloque tiene la libertad de deslizarse a 1o largo de una superficie horizontal sin fricción, como en la figura. (a) ¿Cuál es la constante k de la fuerza del resorte? (b) ¿Que fuerza horizontal se requiere para estirar al resorte una distancia de 11,6 cm? (c) Cuando el bloque se desplaza a una distancia de 11,6 cm y luego se suelta, con qué periodo oscilará?Solución:(a) La constante de fuerza kse determina a partir de la fuerza Mgnecesaria para estirar el resorte en la distancia medida de 7,33 cm. Cuando el cuerpo suspendido está en equilibrio, la fuerza del resorte k.xequilibra al peso Mg:
  • 8. (b) La magnitud de la fuerza necesaria para estirar el resorte en 11.6 cm se determina a partir de la ley de Hooke (Ec. 2) utilizando la constante de fuerza k que obtuvimos en la parte (a):(c) El periodo es independiente de la amplitud y depende solamente de los valores de la masa del bloque y de la fuerza constante. 2) La combinación bloque-resorte del problema 1 se estira en dirección positiva x una distancia de 11,6 cm del equilibrio y luego se suelta. (a) ¿Cuál es la energía total almacenada en el sistema? (b) ¿Cuál es la velocidad máxima del bloque? (c) ¿Cuál es la aceleración máxima? (d) Si el bloque se suelta en t = 0, ¿cuáles son su posición, su velocidad, y su aceleración en t = 0,215 s? Solución: (a) La amplitud del movimiento está dada por xm= 0,116 m. La energía total está dada por: E= La energía cinética máxima es numéricamente igual a la energía total; cuando U = 0, K = Kmax= E. La velocidad máxima es, entonces:(c) La aceleración máxima ocurre precisamente en el instante en que el bloque se suelta, cuando la fuerza es máxima:
  • 9. (d) A partir del periodo obtenido en el problema muestra I, podemos hallar la frecuencia angular:Puesto que el bloque tiene su desplazamiento máximo de Xm= 0.116 m en t = 0, sumovimiento puede describirse por una función coseno:un resultado que se deduce haciendo r/J = 0 en la ecuación 6. En t = 0.215 s, hallamos Nótese que el ángulo wt, cuyo coseno debemos hallar, se expresa en radianes. La velocidad está dada por la ecuación 11, la cual, , Obtenemos Para hallar la aceleración, usamos de nuevo la ecuación 11 y notamos que, para toda
  • 10. Conclusiones: El movimiento que presentan los objetos que oscilan mientras que no hay unafuerza externa que influya en el sistema, se llama movimiento periódico o bienmovimiento armónico no amortiguado, en el que el periodo depende tanto de la longituddel hilo como de la aceleración de la gravedad, la aceleración de la gravedad depende defactores externos como lo es la altura respecto del nivel del mar, para obtener su valor,solo basta con despejar de la fórmula del periodo. Cuanto mayor sea la masa del cuerpo mayor será su periodo de oscilación. Cuanto mayor sea la constante del resorte menor será su periodo de oscilación El periodo no depende de la amplitud.

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