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VECINDADES

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    VECINDADES VECINDADES Document Transcript

    • VECINDADESINTRODUCCIONSea un espacio pseudométrico (por lo general se toma un espacio métrico, pero basta conque sea pseudodistancia). Sea un número real . Sea . Se define la bola abiertade centro y radio (o simplemente bola de centro y radio ) como elconjunto .Este conjunto tiene distintas maneras de denotarse. La usual y universal es . A veces, sien el espacio existen distintas (pseudo-)distancias definidas, se hace hincapié en qué (pseudo)-distancia se está usando para definir el conjunto, utilizando esta notación: . En algunostextos se denota sin embargo por .En Análisis Funcional, cuando se trabaja con espacios normados se prefiere la notaciónpara denotar la bola abierta. Así, denota a la bola de centro y radio . La notaciónse reserva para las bolas cerradas (con el peligro de confusión que eso genera).Cuando hablamos de espacios euclídeos, la bola es "redonda", en el sentido intuitivo del término,por lo que la bola de centro y radio coincide en esos casos con los puntos encerrados en elinterior de una superficie esférica. En el caso particular del plano, la figura entonces obtenida (esdecir, el conjunto ) es el disco (abierto) decentro y radio , razón por la cual se denota por . Nótese que esta situaciónse da en particular en Variable Compleja, siendo entonces lanotación (donde representa el módulo de ).Aunque no es estándar, sí es usual encontrar textos en los que denota al disco de radio unidadcentrado en el origen, i.e., .
    • DESARROLLO DEL TEMAVecindadesAhora estamos en capacidad de definir el concepto de vecindad de unPunto en un espacio topológico..1 Definición. Sean X un espacio topológico y xϵ X. Un subconjuntoV de X es una vecindad de x si existe un conjunto abierto A tal que x ϵ AyA . Denotamos por V(x) el conjunto de todas las vecindades de x.Nótese que un subconjunto A de un espacio topológico X es un conjuntoAbierto si y solo si A es vecindad de cada uno de sus puntos.El siguiente resultado resume las propiedades más importantes de las2 Proposición. Sea (X, r) un espacio topológico.1. x ϵ V para cada V ϵ V(x).2. Si U, V ϵ V(x) entonces U V ϵ V(x).3. Si U ϵ V(x) entonces existe V ϵ V(x) tal que U ϵ V (y) para cadayϵ V .4. Si U ϵ V(x) y U _ V entonces V ϵ V(x).Demostración.1. La primera afirmación es consecuencia inmediata de la definición deVecindad.2. Si A, B ϵ r, x ϵ A, x ϵ B, A c U y B c V entonces A ∩ B ϵ r,X ϵ A ∩ B y A ∩ B c U ∩V.3 Puesto que U ϵ V(x) existe V ϵ r tal que x ϵ Vk y V c U. Entonces para cada y V, U ϵ V(y).4. Si A ϵ r es tal que x ϵ A y A c U entonces también A c V yAsí V ϵ V(x).3Proposición. Sea X un conjunto. Si para cada x ϵ X se ha asignadoUna colección V(x) de subconjuntos de X tal que:1. x 2 V para cada V ϵ V(x),2. si U, V ϵ V(x) entonces U ∩ V ϵ V(x),3. si U ϵ V(x) entonces existe V ϵ V(x) tal que U ϵ V (y) para cadayϵ V,
    • 4. si U ϵ V(x) y U c V entonces V ϵ V(x),Entonces existe una topología sobre X tal que para cada x ϵ X la colecciónV(x) es precisamente la colección de vecindades de x.Demostración. Diremos que un conjunto A c X es “abierto” si para cadax ϵ A existe V ϵ V(x) tal que V c A. Demostraremos ahora que la colección De conjuntos “abiertos” es una topología sobre X y que la colección deVecindades de cada x ϵ X es V(x).1. Es inmediato que Ø y X son conjuntos “abiertos”.2. Si A y B son conjuntos “abiertos” y si x ϵ A∩ B, existen U, V ϵ V(x)Tales que U c A y V c B. Por hipótesis U ∩ V ϵ V(x) y puesto queU ∩V c A ∩ B, A ∩ B es un conjunto “abierto”.3. Si A es una familia de conjuntos “abiertos” y x ϵ A entonces x ϵ AParaalgún A ϵ A. Existe V ϵ V(x) tal que V c A, así V c U A y seConcluye que U A es un conjunto “abierto”.Entonces la colecciónr de conjuntos “abiertos” es una topología sobre X.Por otra parte, si W es una vecindad de x existe A ϵ r tal que x ϵ A yA c W. Como A ϵ r, existe V ϵ V(x) tal que V c A, entonces V c W,Luego W ϵ V(x).De manera recíproca, si V 2 ϵ V(x) y si ademásU = {y ϵ V: V es una vecindad de y},Entonces U es un conjunto abierto que contiene a x y está contenido en V.
    • INTERPRETACION GEOMETRICADel Análisis de estas funciones puede extraerse la idea intuitiva de que el límite de unaFunción f, cuando xTiende a x0, es L si puede lograrse que f(x) esté tan próximo a L como se desee, siempreque se tomen valoresDe x lo suficiente próximos a x0. Esto significa que la distancia entre f(x) y L puedehacerse tan pequeñaComo se desee y de aquí que para cada número positivo £, por pequeño que este sea, setenga que: | f(x) - L| < £ "http://www.ecured.cupara ciertos valores de x"http://www.ecured.cu.Podemos concluir que para cada £ > 0 debemos encontrar un número ð > 0 de tal forma quepara todo xSatisfaga0 < | x - x0 | < ð se tenga | f(x) - L | < £. Si para todo £ > 0 se puede hallar este número ð >0, diremos que elLímite de la función f cuando x tiende a x0 es L
    • PROPIEDADESToda bola abierta es un conjunto abierto.El conjunto de todas las bolas abiertas de un espacio pseudométrico ( ) forman una base de la topología asociada a la pseudodistancia.Si consideramos un punto cualquiera del espacio y lo fijamos (por ejemplo, el punto ), el conjuntode bolas abiertas centradas en ( ) forman una base de entornos de . Enconcreto es una base de entornos abiertos, conexos, conexos por caminos y simplementeconexos. Si el espacio es además un espacio vectorial topológico, también es base deentornos convexos. De hecho, podemos tomar la siguiente base deentornos: que (además de tener todas las propiedadesantedichas) es numerable. Esto prueba que todo espacio pseudométrico cumple el Primer.Si el espacio es un espacio normado, toda bola abierta es homeomorfa al espacio.En matemática (en concreto en topología y en las ramas que la utilizan), una bola cerrada es unconjunto de puntos que distan de otro no más que un cierto radio. Es un concepto fundamental enel Análisis.Toda bola cerrada es un conjunto cerrado.El conjunto de todas las bolas cerradas de un espacio pseudométrico ( ) no forman una base de los cerrados de la topología asociada ala seudodistancia.Sin embargo, si consideramos un punto cualquiera del espacio y lo fijamos (porejemplo, el punto ), el conjunto de bolas cerradas centradas en ( )forman una entornos de . En concreto es una base de entornoscerrados, compactos, conexos, conexos por caminos y simplemente conexos. Si el espacio esademás un espacio vectorial topológico, también es base de entornos convexos. De hecho,podemos tomar la siguiente base de entornos: que (además detener todas las propiedades antedichas) es numerable. Esto prueba que todo espaciopseudométrico cumple el Primer Axioma de Numerabilidad.
    • EJERCICIOS 1. Suponga que T1 y T2 son dos topologías sobre el mismo conjunto X yQue T1 es más fina que T2. Compare las colecciones de vecindades de unMismo punto en los dos espacios topológicos. 2. Sea X un espacio topológico y suponga que para cada x ϵ X la colecciónB(x) es un sistema fundamental de vecindades de x. Pruebe losSiguientes hechos:a) Si V ϵ B(x), entonces x ϵ V.b) Si V1, V2 ϵ B(x), entonces existe V3 ϵ B(x) tal que V3 c V1 ∩ V2.c) Si V ϵ B(x), existe U ϵ B(x) tal que sí y ϵ U entonces W c VPara algún W ϵ B (y).d) Un subconjunto A de X es abierto si y solo si contiene una vecindadBásica de cada uno de sus puntos. 3. Sea t = {(x, y) ϵ R2: y ≥ 0}. Para cada z = (x, y) ϵ t considereLa colección B (z) definida de la siguiente manera: Si y > 0 B (z) es laColección de todas las bolas abiertas usuales centradas en z con radioMenor o igual que yy si y´ = 0, V (z´) es la colección de todos losConjuntos de la forma {z´} U A donde A es una bola abierta contenida ent tangente al eje real en z´. Demuestre que estas colecciones satisfacenLas hipótesis de la Proposición. 4. Para cada punto z del plano definimos B (z) como la colección de todosLos conjuntos de la forma {z} U A donde A es una bola abierta usual,Centrada en z, de la cual se ha removido un número finito de segmentosDe línea que pasan por z. Demuestre que estas colecciones satisfacenLas hipótesis de la Proposición. 5. Para cada número real x distinto de 0 definimos B(x) como la colecciónDe todos los intervalos abiertos centrados en x mientras que los elementosDe B (0) serán los conjuntos de la forma (−∞, −n) U (−ϵ , ϵ ) U (n, ∞)Donde n ϵ N y ϵ > 0. Demuestre que estas colecciones satisfacen lasHipótesis de la Proposición 6. Consideremos el conjunto R” de todas las funciones definidas del intervaloI = [0, 1] en R. Para cada f ϵ R” definimos B (f) como la colección de todos los conjuntosde la forma U (f, F, ð) = {g ϵ R”: |g(x) −f(x)| < ð, para cada x ϵ F} donde F es unsubconjunto finito de I y ð > 0. Demuestre que estas colecciones satisfacen las hipótesis dela Proposición.