3. Математическое моделирование
Что такое математическая модель?
● не реальность
● “карта” реальности
● достаточно проста, чтобы ее можно
было рассчитать
● достаточно сложна, чтобы отразить
грани интересные для изучения грани
реальности
9. Типы математических моделей
● Экспоненциальная
● Представлена
экспоненциальной
функцией
● Рост населения,
физика,
финансовый интерес
10. Экспоненциальная зависимость
Примеры экспоненциального роста:
● Рост численности населения
● Рост количества бактерий в образце
● Распрастранение вирусов
● Рост вычислительной мощи компьютеров
● Цепочки ядерных реакций
Примеры экспоненциального спада
● Радиоактивный распад
● Охлаждение в атомсфере
●
Электрический заряд в конденасаторе
● Метаболизм лекарственных средств
11. Starbucks
● Отчёт для Starbucks.
● Стремительный подъем Starbucks с 1987 по 2007 по
всем магазинам. Построить математическую модель
роста компании за этот период, учитывая
ограничения этой модели. С её помощью предсказать
развитие Starbucks на 2009 и 2011 года.
13. Математическая модель
предсказывает успех фильмов
● Группа японских
ученых была
поражена тем, что
смогла
предсказать
удачу или провал
блокбастеров,
используя набор
математических
моделей
14. Computer Algorithms Quantify How Much
a Photo Has Been Retouched
● Model Undone By Mathematical Models The real image
is at left; the retouched one at center; and a vector field
heat map showing the distortions in the retouched image
is at right. Farid and Kee/PNAS
16. Software Implementation
● Universal Flight Simulator L-159
All mathematical models are developed and
approved in cooperation with the aircraft producer
and with full data support
17. Открытие природы «шума 1/f» позволит
улучшить полупроводниковые сенсоры
● Исследователи из России, Норвегии и США совершили
важный прорыв в понимании природы универсального
явления «шума 1/f» (фликкер-шум или шум мерцания в
электронике), где f означает частотный компонент
спектра сигнала, – шума Математическая модель шума
с интенсивностью,
обратно
пропорциональной
частоте.
18. Social
Простая математическая модель,
Разработанная психологами из
Стэнфорда может привести к
появлению компьютеров,
которые лучше понимают то,
как люди общаются друг с другом
● A new trend has emerged in the past few years and has led to the
development of technologies like Siri, iPhone's "personal assistant." It
entails using mathematical tools, namely probability and statistics, to try
and model how people use language to communicate in social situations.
The work at Stanford builds directly on this branch of research.
19. Химия
● A schematic of the natural gas value chain. Mathematical
models for the design and operation of energy supply
chains can significantly improve security of energy supply
and help in managing their environmental impact (Barton
Group).
20. Нейросетевое моделирование
когнитивных функций мозга
● Математические модели стали
неотъемлемой составляющей
теоретической нейронауки,
подкреплённой расширяющимися
возможностями экспериментальных
исследований, базирующихся на
высокотехнологичном
оборудовании
и точнейшей аппаратуре .
● Бионженерный способ
восстановления функций мозга
Восстановление функций мозга - путем
тканевой пластики мозга, включающей
транспортировку в патологический
очаг фармакологических препаратов и
пластического материала, полученного
из нервной ткани. (математическое
моделирование хирургической операции)
21. Simple one
h (height),
w (width), and
l (length)
Volume = h × w × l
22. Let's complicate it a bit
Inside Volume = (h-2t) × (w-2t) × (l-2t)
Example:
Your company uses 200x300x400 mm size boxes, and the
cardboard is 5mm thick.
Someone suggests using 4mm cardboard ...
how much better is that?
Let us compare the two volumes:
Current Volume = (200-2×5) × (300-2×5) × (400-2×5) =
= 21,489,000 mm3
New Volume = (200-2×4) × (300-2×4) × (400-2×4) =
= 21,977,088 mm3
That is a change of:
(21,977,088-21,489,000)/21,489,000 ≈ 2% more volume
23. … And a bit more
● Your company is going to make its own boxes!
● It has been decided the box should hold 0.02m3 (0.02 cubic meters which is
equal to 20 liters) of nuts and bolts.
The box should have a square base, and double thickness top and bottom.
● Cardboard costs $0.30 per square meter.
Ignoring thickness for this model:
Volume = w × w × h = w2h
And we are told that the volume should be 0.02m3:
w2h = 0.02
Areas:
Area of the 4 Sides = 4 × w × h = 4wh
Area of Double Tops and Bases = 4 × w × w = 4w2
Total cardboard needed:
Area of Cardboard = 4wh + 4w2
Step Three: Make a Single Formula For Cost
We want a single formula for cost:
Cost = $0.30 × Area of Cardboard = $0.30 × (4wh + 4w2)
And that is the cost when we know width and height.
That could be hard to work with ... a function with two variables.
24. Simpler!
But we can make it simpler! Because width and height are already related by the volume:
Volume = w2h = 0.02
... which can be rearranged to ...
h = 0.02/w2
... and that can be put into the cost formula ...
Cost= $0.30 × (4w×0.02/w2 + 4w2)
And now the cost is related directly to width only.
With a little simplification we get: when the width is about 0.22 m (x),
the minimum cost is about $0.17 per box (y).
Cost= $0.30 × (0.08/w+ 4w2)
Plot it and find minimum cost
So here is a plot of that cost formula for widths between 0.0 m and 0.55 m:
25. Recommendations
● Using this mathematical model you can now recommend:
● Width = 0.22 m
● Height = 0.02/w2 = 0.02/0.222 = 0.413 m
● Cost = $0.30 × (0.08/w+ 4w2) = $0.30 × (0.08/0.22+ 4×0.222) = $0.167
Another example: An ice cream company keeps track of how many ice creams get
sold on different days. By
comparing this to the weather on each day they can
make a mathematical model of sales versus weather.
● They can then predict future sales based on
the weather forecast, and decide how many
ice creams they need to make ... ahead of time!
26. Ускорение свободного падения
● Существует легенда, будто Г.
Галилей проделал большой
демонстрационный опыт, бросая
легкие и тяжелые предметы с
вершины Пизанской падающей
башни
