Puentes LRFD - Ing Arturo Rodríguez
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Puentes de concreto armado con LRFD

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Puentes LRFD - Ing Arturo Rodríguez Puentes LRFD - Ing Arturo Rodríguez Document Transcript

  • PUENTESCon AASHTO-LRFD 2010(Fifth Edition) Por MC Ing. Arturo Rodríguez Serquén Perú- 2012 ing_ars@hotmail.com
  • PUENTESMC Ing. Arturo Rodríguez SerquénE-mail: ing_ars@hotmail.comDerechos Reservados. Prohibida la reproducción de este libro por cualquier método,total o parcialmente, sin permiso expreso del autor.Perú- Abril 2012
  • Contenido1 Consideraciones Generales2 Cargas3 Superestructuras de Puentes4 Dispositivos de Apoyo5 Estribos6 Pilares7 Líneas de Influencia
  • I-1PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén CAP I: CONSIDERACIONES GENERALES1. DEFINICIÓN Un puente es una obra que se construye para salvar un obstáculo dando así continuidad a una vía. Suele sustentar un camino, una carretera o una vía férrea, pero también puede transportar tuberías y líneas de distribución de energía. Los puentes que soportan un canal o conductos de agua se llaman acueductos. Aquellos construidos sobre terreno seco o en un valle, viaductos. Los que cruzan autopistas y vías de tren se llaman pasos elevados. Constan fundamentalmente de dos partes: a) La superestructura conformada por: tablero que soporta directamente las cargas; vigas, armaduras, cables, bóvedas, arcos, quienes transmiten las cargas del tablero a los apoyos. b) La infraestructura conformada por: pilares (apoyos centrales); estribos (apoyos extremos) que soportan directamente la superestructura; y cimientos, encargados de transmitir al terreno los esfuerzos.
  • I-2PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén2. CLASIFICACIÓN A los puentes podemos clasificarlos: a) Según su función: − Peatonales − Carreteros − Ferroviarios b) Por los materiales de construcción − Madera − Mampostería − Acero Estructural − Sección Compuesta − Concreto Armado − Concreto Presforzado c) Por el tipo de estructura − Simplemente apoyados − Continuos − Simples de tramos múltiples − Cantilever (brazos voladizos) − En Arco − Atirantado (utilizan cables rectos que atirantan el tablero) − Colgantes − Levadizos (basculantes) − Pontones (puentes flotantes permanentes)3. UBICACIÓN Y ELECCIÓN DEL TIPO DE PUENTE Los puentes son obras que requieren para su proyecto definitivo estudiar los siguientes aspectos: a. Localización de la estructura o ubicación en cuanto a sitio, alineamiento, pendiente y rasante. b. Tipo de puente que resulte más adecuado para el sitio escogido, teniendo en cuenta su estética, economía, seguridad y funcionalidad. c. Forma geométrica y dimensiones, analizando sus accesos, superestructura, infraestructura, cauce de la corriente y fundaciones. d. Obras complementarias tales como: barandas, drenaje de la calzada y de los accesos, protección de las márgenes y rectificación del cauce, si fuera necesario forestación de taludes e iluminación. e. En caso de obras especiales conviene recomendar sistemas constructivos, equipos, etapas de construcción y todo aquello que se considere necesario para la buena ejecución y estabilidad de la obra.4. ESTUDIOS BÁSICOS DE INGENIERÍA PARA EL DISEÑO DE PUENTES a. Estudios topográficos Posibilitan la definición precisa de la ubicación y dimensiones de los elementos estructurales, así como información básica para los otros estudios. b. Estudios de hidrología e hidráulicos Establecen las características hidrológicas de los regímenes de avenidas máximas y extraordinarias y los factores hidráulicos que conllevan a una real apreciación del comportamiento hidráulico del río.
  • I-3PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén c. Estudios geológicos y geotécnicos Establecen las características geológicas, tanto locales como generales de las diferentes formaciones geológicas que se encuentran, identificando tanto su distribución como sus características geotécnicas correspondientes. d. Estudios de riesgo sísmico Tienen como finalidad determinar los espectros de diseño que definen las componentes horizontal y vertical del sismo a nivel de la cota de cimentación. e. Estudios de impacto ambiental Identifican el problema ambiental, para diseñar proyectos con mejoras ambientales y evitar, atenuar o compensar los impactos adversos. f. Estudios de tráfico Cuando la magnitud de la obra lo requiera, será necesario efectuar los estudios de tráfico correspondiente a volumen y clasificación de tránsito en puntos establecidos, para determinar las características de la infraestructura vial y la superestructura del puente. g. Estudios complementarios Son estudios complementarios a los estudios básicos como: instalaciones eléctricas, instalaciones sanitarias, señalización, coordinación con terceros y cualquier otro que sea necesario al proyecto. h. Estudios de trazo y diseño vial de los accesos Definen las características geométricas y técnicas del tramo de carretera que enlaza el puente en su nueva ubicación con la carretera existente. i. Estudio de alternativas a nivel de anteproyecto Propuesta de diversas soluciones técnicamente factibles, para luego de una evaluación técnica-económica, elegir la solución más conveniente.5. GEOMETRÍA a. Sección transversal El ancho de la sección transversal de un puente no será menor que el ancho del acceso, y podrá contener: vías de tráfico, vías de seguridad (bermas), veredas, ciclovía, barreras y barandas, elementos de drenaje.
  • I-4PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén b. Ancho de vía (calzada) Siempre que sea posible, los puentes se deben construir de manera de poder acomodar el carril de diseño estándar y las bermas adecuadas. El número de carriles de diseño se determina tomando la parte entera de la relación w/3.6, siendo w el ancho libre de calzada (m). Los anchos de calzada entre 6.00 y 7.20 m tendrán dos carriles de diseño, cada uno de ellos de ancho igual a la mitad del ancho de calzada. c. Bermas Una berma es la porción contigua al carril que sirve de apoyo a los vehículos que se estacionan por emergencias. Su ancho varía desde un mínimo de 0.60 m en carreteras rurales menores, siendo preferible 1.8 a 2.4 m, hasta al menos 3.0 m, y preferentemente 3.6 m, en carreteras mayores. Sin embargo debe tenerse en cuenta que anchos superiores a 3.0 m predisponen a su uso no autorizado como vía de tráfico. d. Veredas Utilizadas con fines de flujo peatonal o mantenimiento. Están separadas de la calzada adyacente mediante un cordón barrera, una barrera (baranda para tráfico vehicular) o una baranda combinada. El ancho mínimo de las veredas es 0.75 m.
  • I-5PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén e. Cordón barrera Tiene entre otros propósitos el control del drenaje y delinear el borde de la vía de tráfico. Su altura varía en el rango de 15 a 20 cm, y no son adecuados para prevenir que un vehículo deje el carril. f. Barandas Se instalan a lo largo del borde de las estructuras de puente cuando existen pases peatonales, o en puentes peatonales, para protección de los usuarios. La altura de las barandas será no menor que 1.10 m, en ciclovías será no menor que 1.40 m. Una baranda puede ser diseñada para usos múltiples (caso de barandas combinadas para peatones y vehículos) y resistir al choque con o sin la acera. Sin embargo su uso se debe limitar a carreteras donde la velocidad máxima permitida es 70 km/h. Para velocidades mayores o iguales a 80 km/h, para proteger a los peatones es preferible utilizar una barrera. g. Barreras de concreto (o barandas para tráfico vehicular) Su propósito principal es contener y corregir la dirección de desplazamiento de los vehículos desviados que utilizan la estructura, por lo que deben estructural y geométricamente resistir al choque. Brindan además seguridad al tráfico peatonal, ciclista y bienes situados en las carreteras y otras áreas debajo de la estructura. Deben ubicarse como mínimo a 0.60 m del borde de una vía y como máximo a 1.20 m. En puentes de dos vías de tráfico puede disponerse de una barrera como elemento separador entre las vías. No debe colocarse barandas peatonales (excepto barandas diseñadas para usos múltiples) en lugar de las barreras, pues tienen diferente función. Mientras las barandas evitan que los peatones caigan del puente, las barreras contienen y protegen el tránsito vehicular.
  • I-6PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén h. Pavimento Puede ser rígido o flexible y se dispone en la superficie superior del puente y accesos. El espesor del pavimento se define en función al tráfico esperado en la vía. i. Losas de transición Son losas de transición con la vía o carretera, apoyadas en el terraplén de acceso. Se diseñan con un espesor mínimo de 0.20 m. j. Drenaje La pendiente de drenaje longitudinal debe ser la mayor posible, recomendándose un mínimo de 0.5%. La pendiente de drenaje transversal mínima es de 2% para las superficies de rodadura. En caso de rasante horizontal, se utilizan también sumideros o lloraderos, de diámetro suficiente y número adecuado. Son típicos drenes de material anticorrosivo, ∅ 0.10 m cada 0.40 m, sobresaliendo debajo de la placa 0.05 m como mínimo. El agua drenada no debe caer sobre las partes de la estructura. k. Gálibos Los gálibos horizontal y vertical para puentes urbanos serán el ancho y la altura necesarios para el paso del tráfico vehicular. El gálibo vertical no será menor que 5.00 m. En zonas rurales, el gálibo vertical sobre autopistas principales será al menos de 5.50 m. En zonas altamente desarrolladas puede reducirse, previa justificación técnica. Los gálibos especificados pueden ser incrementados si el asentamiento pre- calculado de la superestructura excede los 2.5 cm.
  • I-7PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén En puentes sobre cursos de agua, se debe considerar como mínimo una altura libre de 1.50 m a 2.50 m sobre el nivel máximo de las aguas. Los puentes construidos sobre vías navegables deben considerar los gálibos de navegación de esas vías; a falta de información precisa, el gálibo horizontal podrá ser, por lo menos, dos veces el ancho máximo de las embarcaciones, más un metro. l. Juntas de dilatación Para permitir la expansión o la contracción de la estructura por efecto de los cambios de temperatura, se colocan juntas en sus extremos y otras secciones intermedias en que se requieran. Las juntas deben sellarse con materiales flexibles, capaces de tomar las expansiones y contracciones que se produzcan y ser impermeables.6. NORMATIVIDAD • AASHTO LRFD Bridge Design Specifications, American Association of State Highway and Transportation Officials, Washington, D.C., 2010. • Manual de Diseño de Puentes, Dirección General de Caminos y Ferrocarriles, Ministerio de Transportes y Comunicaciones, Lima, Perú, 2003.
  • I-8PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén I- APÉNDICE I-A EQUIVALENCIA DE UNIDADES1 kgf = 9.807 N1N = 0.10197 kgf1 N-mm = 1.0197 x 10-2 kgf-cm1 kgf-cm = 98.07 N-mm1 N/mm = 1.0197 x 102 kgf/m1 kgf/m = 9.807 x 10-3 N/mm1 kgf/cm2 = 0.09807 MPa1 MPa = 10.197 kgf/cm2 = 1.0197 x 105 kgf/m2
  • II-1PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén CAP II: CARGAS1. CARGAS PERMANENTES (DC, DW y EV) DC= Peso propio de los componentes estructurales y accesorios no estructurales DW= Peso propio de las superficies de rodamiento e instalaciones para servicios públicos EV= Presión vertical del peso propio del suelo de relleno Tabla 3.5.1-1 Densidades 3.5.1- Material Densidad (kg/m3) Concreto Agregados de baja densidad y arena 1925 Normal, con f’c ≤ 357 kg/cm2 2320 Normal, con 357 < f’c ≤ 1071 kg/cm2 2240+2.29f’c Armado Densidad Concreto Simple+ 72 kg/m3 Superficies de rodamiento bituminosas 2250 Acero 7850 Hierro fundido 7200 Aleaciones de aluminio 2800 Arena, limo o arcilla compactados 1925 Arena, limo o grava sueltos 1600 Arcilla blanda 1600 Grava, macadan o balasto compactado a rodillo 2250 Madera dura 960 Madera blanda 800 Rieles para tránsito, durmientes y fijadores por vía 300 kg/m2. SOBRECARGAS VIVAS (LL y PL) (Art. 3.6.1.2) LL= sobrecarga vehicular PL= sobrecarga peatonal HL- Carga HL-93: 1.-Camión de diseño: La distancia entre los dos ejes más pesados se toma como aquella que, estando entre los límites de 4.30m y 9.00m., resulta en los mayores efectos.
  • II-2PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén 2.-Tandem de diseño: 3.-Carga de carril de diseño: 0.96 T/m 3.0 m CARGA DE CARRIL NOTAS a) La sobrecarga vehicular de diseño es considerada como una combinación de: Camión de diseño o tandem de diseño + Carga de carril de diseño. b) Para momento negativo entre puntos de contraflexión bajo carga uniforme, así como en la reacción de pilares interiores se considera: 90 por ciento de la solicitación debida a dos camiones de diseño separados como mínimo 15 m entre el eje delantero de un camión y el eje trasero del otro, combinada con 90 por ciento de la solicitación debida a la carga del carril de diseño. Presencia de Múltiples Sobrecargas (Art. 3.6.1.1.2) La solicitación extrema correspondiente a sobrecargas se determinará considerando las posibles combinaciones de carriles cargados, multiplicando por un factor de presencia múltiple. No es aplicable al estado límite de fatiga. Tabla 3.6.1.1.2-1 Factor de Presencia Múltiple 3.6.1.1.2 1.2- Número de carriles Factor de presencia cargados múltiple, m 1 1.20 2 1.00 3 0.85 >3 0.65 Para el estado de Fatiga, se utiliza un camión de diseño, y las solicitaciones de los Art. 4.6.2.2 y 4.6.2.3 se deberán dividir por 1.20 Incremento por Carga Dinámica: IM (Art. 3.6.2) Los efectos estáticos del camión o tandem de diseño, a excepción de las fuerzas centrífugas y de frenado, se deberán mayorar en los siguientes porcentajes:
  • II-3PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén Tabla 3.6.2.1-1 Incremento por Carga Dinámica, 3.6.2.1- IM Componente IM Juntas del tablero – Todos los Estados Límites 75% Todos los demás componentes Estado Límite de fatiga y fractura 15% Todos los demás Estados Límites 33% Nota.- No se aplica a cargas peatonales ni a cargas de carril de diseño. Tampoco en muros de sostenimiento no solicitados por reacciones verticales de la superestructura ni en componentes de fundaciones que estén completamente por debajo del nivel del terreno. En caso de componentes enterrados como en el caso de alcantarillas, el porcentaje se deberá tomar como: IM = 33(1.0 – 4.1DE) ን 0% Siendo DE = profundidad mínima de la cubierta de tierra sobre la estructura (m).3. FUERZAS CENTRÍFUGAS: CE (Art. 3.6.3) Se toman como el producto entre los pesos por eje del camión o tandem de diseño y el factor C, dado por: V2 C = 0.0105 (3.6.3-1) R Siendo: V = velocidad de diseño de la carretera (km/h) R = radio de curvatura del carril de circulación (m) Las fuerzas centrífugas se aplican horizontalmente a una distancia de 1.80 m sobre la calzada. Se deben aplicar además los factores de presencia múltiple.4. FUERZA DE FRENADO: BR (Art. 3.6.4) Se toma como el mayor valor de: • 25 por ciento de los pesos por eje del camión o tandem de diseño • 5 por ciento del camión o tandem de diseño más la carga de carril La fuerza de frenado se debe ubicar en todos los carriles de diseño que se consideren cargados y que transporten tráfico en la misma dirección. Se aplicarán los factores de presencia múltiple. Se asumirá que estas fuerzas actúan horizontalmente a una distancia de 1.80 m sobre la superficie de la calzada.5. CARGA SOBRE VEREDAS, BARANDAS Y SARDINELES Sobrecargas en Veredas (Art. 3.6.1.6) Se deberá aplicar una carga peatonal de 367 kg/m2 en todas las aceras de más de 0.60m de ancho, y esta carga se deberá considerar simultáneamente con la sobrecarga vehicular de diseño. Cuando la condición de carga incluya cargas peatonales combinadas con uno o más carriles con sobrecarga vehicular, las cargas peatonales se pueden considerar como un carril cargado (Art. 3.6.1.1.2). Los puentes peatonales se diseñarán para una sobrecarga de 418 kg/m2.
  • II-4PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén Nota.- El Manual de Diseño de Puentes – Perú (Art. 2.4.3.7), señala al respecto Nota.- que los puentes para uso peatonal y para el tráfico de bicicletas se diseñan para una carga viva de 510 kg/m². Así mismo, refiere: Fuerzas sobre Sardineles (Art. 2.4.3.6.2) Los sardineles se diseñarán para resistir una fuerza lateral no menor que 760 kg por metro de sardinel, aplicada en el tope del sardinel o a una elevación de 0.25 m sobre el tablero si el sardinel tuviera mayor altura. Fuerza sobre Barandas (Art. 2.4.3.6.3) PL-1 Primer nivel de importancia Usado en estructuras cortas y de bajo nivel sobre puentes rurales y áreas donde el número de vehículos pesados es pequeño y las velocidades son reducidas. PL-2 Segundo nivel de importancia Usado en estructuras grandes y velocidades importantes en puentes urbanos y en áreas donde hay variedad de vehículos pesados y las velocidades son las máximas tolerables. PL-3 Tercer nivel de importancia Usado para autopistas con radios de curvatura reducidos, pendientes variables fuertes, un volumen alto de vehículos pesados y con velocidades máximas tolerables. Justificación específica de este tipo de lugar será hecho para usar este nivel de importancia. Fuerzas de Diseño para Barandas (Tabla 2.4.3.6.3-1, Manual de Diseño de Puentes- Perú) 2.4.3.6.3- Puentes- Designación de Fuerzas Por niveles de importancia de Puentes y Designaciones PL-1 PL-2 PL-3 Ft transversal (t) 12.3 24.5 52.6 Fl longitudinal (t) 4.1 8.2 17.6 Fv vertical abajo (t) 2.05 8.2 22.64 Lt y Ll (m) 1.22 1.07 2.44 Lv (m) 5.50 5.50 12.2 He mín (m) 0.51 0.81 1.02 Mínima altura del pasamano (m) 0.51 0.81 1.02
  • II-5PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén6. FUERZA DE COLISIÓN DE UN VEHÍCULO: CT (Art. 3.6.5) Los estribos y pilas de puentes ubicados a 9.0 m o menos del borde de la calzada, o a 15.0 m o menos de la línea de centro de una vía ferroviaria, se deberán diseñar para una fuerza estática equivalente de 183.5 t, la cual se asume actúa en cualquier dirección en un plano horizontal, a una altura de 1.2 m sobre el nivel del terreno. No es necesario aplicar esta fuerza, en el caso de estructuras protegidas por terraplenes o barreras antichoques.7. CARGAS HIDRÁULICAS: WA (Art. 3.7) Hidrostática. Presión Hidrostática.- Actúa de forma perpendicular a la superficie, y se calcula como el producto entre la altura de la columna de agua sobre el punto considerado, la densidad del agua y g (aceleración de la gravedad). Flotabilidad. Flotabilidad.- Fuerza de levantamiento tomada como la sumatoria de las componentes verticales de las presiones hidrostáticas. Actúa sobre todos los componentes debajo del nivel de agua. Presión de Flujo.- La presión de flujo de agua, actuando en la dirección longitudinal Flujo. de las subestructuras, se tomará como: p = 52.4CDV2 (3.7.3.1-1) Donde: p = presión del agua (kg/m2) v= velocidad del agua para la inundación de diseño (resistencia y servicio) y para la inundación de control (evento extremo), en m/s CD = coeficiente de arrastre para pilas 3.7.3.1- Tabla 3.7.3.1-1 Coeficiente de Arrastre Tipo CD Pila con borde de ataque semicircular 0.7 Pila de extremo cuadrado 1.4 Arrastres acumulados contra la pila 1.4 Pila con borde de ataque en forma de cuña, ángulo del borde de ataque ≤ 90° 0.8 La fuerza de arrastre longitudinal será el producto entre la presión de flujo longitudinal y la proyección de la superficie expuesta a dicha presión. Carga Lateral.- La presión lateral uniformemente distribuida que actúa sobre una Lateral. subestructura debido a un caudal de agua que fluye formando un ángulo θ respecto del eje longitudinal de la pila será: p = 52.4CLV2 (3.7.3.2-1) Donde: p = presión lateral (kg/m2) CL = coeficiente de arrastre lateral
  • II-6PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén 3.7.3.2- Lateral Tabla 3.7.3.2-1 Coeficiente de Arrastre Lateral Ángulo θ CL 0° 0 5° 0.5 10° 0.7 20° 0.9 ን 30° 1.0 Carga del Oleaje.- Se deberá considerar si se anticipa que se pueden desarrollar Oleaje. fuerzas de oleaje significativas. Socavación. Socavación.- Se deberá considerar en los estados límites de resistencia y servicio.8. CARGA DE VIENTO: WL y WS (Art. 3.8) Presión Horizontal del Viento.- La carga de viento se asume está uniformemente Viento. distribuida sobre el área expuesta al viento. Para puentes a más de 10 m sobre el nivel del terreno o del agua, la velocidad de viento de diseño se deberá ajustar con: V10 Z VDZ = 2.5V0 ( ) ln( ) (3.8.1.1-1) VB Z0 Donde: VDZ = velocidad del viento de diseño a la altura de diseño Z (km/h) V0 = velocidad friccional (km/h) V10 = velocidad del viento a 10 m sobre el nivel del terreno o agua de diseño (km/h). En ausencia de datos V10 = VB =160 km/h VB = velocidad básica del viento igual a 160 km/h a una altura de 10 m Z0 = longitud de fricción del fetch o campo de viento aguas arriba (m) Z = altura de la estructura > 10 m Tabla 3.8.1.1-1 Valores de V0 y Z0 3.8.1.1- 8.1.1 CONDICIÓN TERRENO ÁREA ÁREA ABIERTO SUBURBANA URBANA V0 (km/h) 13.2 17.6 19.3 Z0 (m) 0.07 1.00 2.50 Presión de Viento sobre las Estructuras: WS VDZ 2 VDZ 2 PD = PB ( ) = PB ( ) (3.8.1.2.1-1) VB 25600 PD = presión del viento de diseño PB = presión básica del viento Tabla 3.8.1.2.1-1 Presiones básicas PB correspondientes a VB = 160 km/h COMPONENTE DE CARGA A CARGA A LA SUPERESTRUCTURA BARLOVENTO SOTAVENTO (kg/m2) (kg/m2) Reticulados, columnas y arcos 245 122 Vigas 245 No Aplicable Grandes superficies planas 194 No Aplicable
  • II-7PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén La carga de viento total no se deberá tomar menor que 449 kg/m en el plano de un cordón a barlovento ni 224 kg/m en el plano de un cordón a sotavento de un componente reticulado o en arco, ni se deberá tomar menor que 449 kg/m en componentes de vigas o vigas cajón. Cargas de las Superestructuras.- Si el viento no se considera normal a la Superestructuras. estructura, la presión básica del viento PB para diferentes ángulos de dirección del viento se puede tomar según la Tabla. El ángulo de oblicuidad se deberá medir a partir de una perpendicular al eje longitudinal. Las presiones transversal y longitudinal se deberán aplicar simultáneamente. Tabla 3.8.1.2.2-1 PB para diferentes ángulos de ataque (VB = 160 km/h) Ángulo de Reticulados, Vigas oblicuidad columnas y arcos del viento Carga Carga Carga Carga (°) lateral longitudinal lateral longitudinal Kg/m2 Kg/m2 Kg/m2 Kg/m2 0 367 0 245 0 15 347 61 214 31 30 316 133 204 61 45 235 204 163 82 60 112 245 82 92 Fuerzas Aplicadas Directamente a la Subestructura.- Las fuerzas transversales y Directamente Subestructura. longitudinales a aplicar directamente a la subestructura se deberán calcular en base a una presión básica del viento supuesta de 194 Kg/m2. Para direcciones del viento oblicuas respecto de la estructura, esta fuerza se deberá resolver en componentes perpendiculares a las elevaciones posterior y frontal de la subestructura. Presión de Viento sobre los Vehículos: WL Si hay vehículos presentes, la presión del viento de diseño se aplicará tanto a la estructura como a los vehículos. La presión del viento sobre los vehículos se debe representar como una fuerza interrumpible y móvil de 149 kg/m actuando normal a la calzada y 1.80m sobre la misma, y se deberá transmitir a la estructura. Si el viento sobre los vehículos no es normal a la estructura, las componentes de fuerza normal y paralela aplicadas a la sobrecarga viva se pueden tomar como: Tabla 3.8.1.3-1 Componentes del viento sobre la sobrecarga viva Ángulo de oblicuidad Componente Componente respecto a la normal normal Paralela a la superficie (°) (kg/m) (kg/m) 0 149 0 15 131 18 30 122 36 45 98 48 60 51 56 Presión Vertical del Viento.- En el diseño de puentes y componentes estructurales Viento. que pueden ser sensibles al viento, se debe considerar una fuerza de viento vertical ascendente de 100 kg/m2 por el ancho del tablero, incluyendo los parapetos y aceras, como una carga lineal longitudinal. Se debe aplicar sólo para los estados
  • II-8PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén límites que no involucran viento actuando sobre la sobrecarga, y sólo cuando la dirección del viento se toma perpendicular al eje longitudinal del puente. Se aplicará en el punto correspondiente a un cuarto del ancho del tablero a barlovento juntamente con las cargas de viento horizontales especificadas. Inestabilidad Aeroelástica.- Todos los puentes y componentes estructurales de Aeroelástica lástica. ello, cuya relación longitud de tramo / ancho o profundidad sea superior a 30, se deberán considerar sensibles al viento, y por lo tanto deberán considerar en su diseño, solicitaciones aeroelásticas. Nota.- El Manual de Diseño de Puentes – Perú (Art. 2.4.3.10), refiere que para Nota.- puentes con una altura de 10m o menos, medida desde el nivel del agua o desde la parte más baja del terreno, se supondrá velocidad del viento constante. Para alturas mayores se determina con:  z  Vz = C V Ln 10  ≥V  10  zo  donde: VZ = velocidad del viento a la altura z (km/h) V10 = velocidad de referencia, correspondiente a z=10m. z = altura por encima del nivel del terreno o del agua (m). C, z0= constantes dadas en la Tabla 2.4.3.10.1 Tabla 2.4.3.10.1-1 Valores de las constantes C, z0 .10.1- 0.1 CONDICIÓN PUEBLOS SUBURBANOS CIUDAD ABIERTOS C (km/h) 0.330 0.380 0.485 z0 (m) 0.070 0.300 0.800 La presión de viento se calcula con: 2 V  P = PB  DZ  100  donde: P = presión del viento (kg/m²) Vz = velocidad de viento (km/h) a la altura z PB = presión básica correspondiente a una velocidad de 100 km/h, dada en la Tabla 2.4.3.10.2-1 Tabla 2.4.3.10.2-1 Presiones básicas correspondientes a una velocidad de 2.4.3.10.2- 100km/h Componente Estructural Componente Presión por Presión por Barlovento Sotavento (kg/m2) (kg/m2) Armaduras, columnas y arcos 153 76.5 Vigas 153 No Aplicable Superficies de pisos largos 122 No Aplicable
  • II-9PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén9. EFECTOS SÍSMICOS: EQ (Art. 3.10) Las fuerzas sísmicas serán evaluadas por cualquier procedimiento racional de análisis. Se supondrá que las acciones sísmicas horizontales actúan en cualquier dirección. Cuando sólo se analiza en dos direcciones ortogonales , los efectos máximos serán estimados como la suma de los valores absolutos obtenidos para el 100% de la fuerza sísmica en una dirección y 30% de la fuerza sísmica en dirección perpendicular. Coeficiente de Aceleración.- El coeficiente A se determina en base a los mapas de Aceleración. iso-aceleración con un 10% de nivel de excedencia para 50 años de vida útil. Estructuras. Categorización de las Estructuras.- Los puentes se clasifican en tres categorías de importancia: • Puentes críticos: deben quedar operativos después de la ocurrencia de un gran sismo • Puentes esenciales: deben quedar operativos después de la ocurrencia de un sismo • Otros puentes
  • II-10PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén Sísmico. Zonas de Comportamiento Sísmico.- 3.10.4- Tabla 3.10.4-1 Zonas Sísmicas Coeficiente de Zona Sísmica Aceleración A ≤ 0.09 1 0.09 < A ≤ 0.19 2 0.19 < A ≤ 0.29 3 0.29 < A 4 Condiciones Locales.- Locales. 3.10.5.1- Tabla 3.10.5.1-1 Coeficientes de Sitio Coeficiente de Sitio Tipo de Perfil de Suelo I II III IV S 1.0 1.2 1.5 2.0 Suelo Perfil Tipo I Roca de cualquier característica, o arcilla esquistosa o cristalizada en estado natural. Condiciones de suelo rígido donde la profundidad del suelo es menor a 60 m y los tipos de suelos sobre la roca son depósitos estables de arenas, gravas o arcillas rígidas. Suelo Perfil Tipo II Es un perfil compuesto de arcilla rígida o estratos profundos de suelos no cohesivos donde la altura del suelo excede los 60 m, y los suelos sobre las rocas son depósitos estables de arenas, gravas o arcillas rígidas. Suelo Perfil Tipo III Es un perfil con arcillas blandas a medianamente rígidas y arenas, caracterizado por 9 m o más de arcillas blandas o medianamente rígidas con o sin capas intermedias de arena u otros suelos cohesivos. Suelo Perfil Tipo IV Es un perfil con arcillas blandas o limos cuya profundidad es mayor a los 12 m. Sísmica Coeficiente de Respuesta Sísmica Elástica Csn 1.2AS C sn = ≤ 2.5A (3.10.6-1) Tn2 / 3 Tn = periodo de vibración del enésimo modo A = coeficiente de aceleración S = coeficiente de sitio Para puentes sobre perfiles de suelo tipo III o IV y en áreas donde el coeficiente A es mayor o igual a 0.30, Csn debe ser menor o igual a 2.0A. Para suelos tipo III y IV, y para otros modos distintos al modo fundamental el cual tenga periodos menores a 0.3s, Csn deberá tomarse como: Csn = A(0.8 + 4.0 Tn ) (3.10.6.2-1)
  • II-11PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén Si el periodo de vibración para cualquier modo excede 4.0s, el valor de Csn para ese modo deberá tomarse como: 0.75 Csn = 3AS Tn (3.10.6.2-2) Factor de Modificación de Respuesta Las fuerzas de diseño sísmico para sub-estructuras y las conexiones entre las partes de la estructura, se determinarán dividiendo las fuerzas resultantes de un análisis elástico por el factor de modificación de respuesta R apropiado. Si un método de análisis tiempo-historia inelástico es usado, el factor de modificación de respuesta R será tomado como 1.0 para toda la sub-estructura y conexiones. Tabla 3.10.7.1-1 Factores de Modificación de Respuesta R – Subestructura SUB-ESTRUCTURA IMPORTANCIA CRÍTICA ESENCIAL OTROS Pilar tipo placa de gran dimensión 1.5 1.5 2.0 Pilotes de concreto armado • Sólo pilotes verticales 1.5 2.0 3.0 • Grupo de pilotes incluyendo pilotes inclinados 1.5 1.5 2.0 Columnas individuales 1.5 2.0 3.0 Pilotes de acero o acero compuesto con concreto • Sólo pilotes verticales 1.5 3.5 5.0 • Grupo de pilotes incluyendo pilotes inclinados 1.5 2.0 3.0 Columnas múltiples 1.5 3.5 5.0 Tabla 3.10.7.1-2 Factores de Modificación de Respuesta R – Conexiones CONEXIONES PARA TODAS LAS CATEGORÍAS DE IMPORTANCIA Superestructura a estribo 0.8 Juntas de expansión dentro de la 0.8 superestructura Columnas, pilares o pilotes a las vigas 1.0 cabezal o superestructura Columnas o pilares a la cimentación 1.0 TU,10. VARIACIONES DE TEMPERATURA: TU, TG (Art. 2.4.3.9 Manual de Diseño dePuentes - Perú) TU: temperatura uniforme TG: gradiente de temperatura
  • II-12PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén Tabla 2.4.3.9.1-1 (Manual de Diseño de Puentes – Perú) Rangos de Temperatura (°C) Material Costa Sierra Selva Concreto armado o 10° a 40°C -10° a +35°C 10° a 50°C presforzado Acero 5° a 50°C -20° a +50°C 10° a 60°C Madera 10° a 40°C -10° a +35°C 10° a 50°C La temperatura de referencia será la temperatura ambiente promedio durante las 48 horas antes del vaciado del concreto o antes de la colocación de aquellos elementos que determinan la hiperestaticidad de la estructura. Gradiente de Temperatura En superestructuras de concreto o de acero con tablero de concreto, se supondrá un gradiente de temperatura, adicionalmente a los cambios de temperatura especificados. Las diferencias de temperatura T1 y T2 corresponderán a los valores positivos dados en la tabla, o a valores negativos obtenidos multiplicando aquellos de la Tabla por –0.5. (Tabla 2.4.3.9.2-1 (Manual de Diseño de Puentes – Perú) Temperaturas que definen los Gradientes (°C) Región Sin Asfalto 5 cm Asfalto 10 cm Asfalto T1 T2 T1 T2 T1 T2 Costa 40 15 35 15 30 15 Sierra 40 5 35 5 30 5 Selva 50 20 45 20 40 2011. EMPUJE DEL SUELO: EH, ES, LS, y DD (Art. 3.11) EH: Empuje horizontal del suelo ES: sobrecarga de suelo LS: sobrecarga viva DD: fricción negativa (Se trata con más detalle en el CAPV: ESTRIBOS). Debida consideración se tomará también por las siguientes solicitaciones sobre la estructura de puente, en caso de ocurrencia:12. CARGAS DE HIELO: IC13. SOLICITACIONES PROVOCADAS POR DEFORMACIONES SUPERPUESTAS: SH, CR, SE SH: contracción CR: fluencia lenta SE: asentamiento14. FUERZAS FRICCI0NALES: FR15. COLISIÓN DE EMBARCACIONES: CV
  • II-13PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén FACTORES DE CARGA Y COMBINACIONES DE CARGAS (Art. 3.4)La solicitación mayorada total se tomará como: Q = Σn i γ i Q i (3.4.1-1)ηi = modificador de las cargasQi = solicitaciónγii = factor de cargaEstados Límites:• RESISTENCIA I – Combinación básica de cargas que representa el uso vehicular normal del puente, sin viento.• RESISTENCIA II – Combinación de cargas que representa el uso del puente por parte de vehículos de diseño especiales especificados por el propietario, vehículos de circulación restringida, o ambos, sin viento.• RESISTENCIA III – Combinación de cargas que representa el puente expuesto a vientos de velocidades superiores a 90 km/h.• RESISTENCIA IV – Combinación de cargas que representa relaciones muy elevadas entre las solicitaciones provocadas por las cargas permanentes y las provocadas por las sobrecargas.• RESISTENCIA V – Combinación de cargas que representa el uso del puente por parte de vehículos normales con una velocidad del viento de 90 km/h.• EVENTO EXTREMO I – Combinación de cargas que incluye sismos.• EVENTO EXTREMO II – Combinación de cargas que incluye carga de hielo, colisión de embarcaciones y vehículos, y ciertos eventos hidráulicos con una sobrecarga reducida diferente a la que forma parte de la carga de colisión de vehículos, CT.• SERVICIO I – Combinación de cargas que representa la operación normal del puente con un viento de 90 km/h, tomando todas las cargas a sus valores normales.• SERVICIO II – Combinación de cargas cuya intención es controlar la fluencia de las estructuras de acero y el resbalamiento que provoca la sobrecarga vehicular en las conexiones de resbalamiento crítico.• SERVICIO III – Combinación de cargas relacionada exclusivamente con la tracción en superestructuras de hormigón pretensado, cuyo objetivo es controlar la fisuración.• SERVICIO IV – Combinación de cargas relacionada exclusivamente con la tracción en subestructuras de hormigón pretensado, cuyo objetivo es controlar la fisuración.• FATIGA – Combinación de cargas de fatiga y fractura que se relacionan con la sobrecarga gravitatoria vehicular respectiva y las respuestas dinámicas bajo un único camión de diseño.El Diseño por Factores de Carga y Resistencia (LRFD) requiere satisfacer la siguienteecuación: ΣηγiQi ኢ φRn = RrPara cargas para las cuales un valor máximo de γi es apropiado: η = ηD ηR ηI ን 0.95
  • II-14PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez SerquénPara cargas para las cuales un valor mínimo de γi es apropiado: 1 η= ≤ 1.0 η D η R ηIsiendo:γi = factor de cargaφ = factor de resistenciaη = factor de modificación de las cargasηD = factor relacionado con la ductilidadηR = factor relacionado con la redundanciaηI = factor relacionado con la importancia operativaQi = solicitaciónRn = resistencia nominalRr = resistencia mayorada = φRnDuctilidad.-Ductilidad.- El sistema estructural de un puente se debe dimensionar y detallar de manera deasegurar el desarrollo de deformaciones inelásticas significativas y visibles en losestados límites de resistencia y correspondientes a eventos extremos antes de la falla. Para el estado límite de resistencia:nD ኑ 1.05 para elementos y conexiones no dúctiles = 1.00 para diseños y detalles convencionales ኑ 0.95 para elementos y conexiones para los cuales se han especificado medidas adicionales para mejorar la ductilidad más allá de lo requerido por las Especificaciones. Para todos los demás estados límites: nD = 1.00Redundancia.-Redundancia.- A menos que existan motivos justificados para evitarlas se deben usarestructuras continuas y con múltiples recorridos de cargas. Los principales elementos y componentes cuya falla se anticipa provocará elcolapso del puente se deben diseñar como elementos de falla crítica y el sistemaestructural asociado como sistema no redundante. Los elementos y componentes cuya falla se anticipa no provocará el colapso delpuente se deben diseñar como elementos de falla no crítica y el sistema estructuralasociado como sistema redundante. Para el estado límite de resistencia:nR ኑ 1.05 para elementos no redundantes = 1.00 para niveles convencionales de redundancia ኑ 0.95 para niveles excepcionales de redundancia Para todos los demás estados límites: nR = 1.00 Operativa.-Importancia Operativa.- Aplicable exclusivamente a los estados límites de resistencia y correspondientesa eventos extremos. Para el estado límite de resistencia:nI ኑ 1.05 para puentes importantes = 1.00 para puentes típicos ኑ 0.95 para puentes de relativamente poca importancia Para todos los demás estados límites: nI = 1.00
  • II-15PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez SerquénNotas.-- El mayor de los dos valores especificados para los factores de carga a aplicar a TU, CR y SH se deberá utilizar para las deformaciones, y el menor valor se deberá utilizar para todas las demás solicitaciones.- El factor de carga para sobrecarga γ EQ en la combinación de Evento Extremo I se deberá determinar en base a las características específicas de cada proyecto. En ediciones anteriores de AASHTO se usaba γ EQ = 0 , y aunque este tema no ha sido resuelto, se debería considerar la posibilidad de sobrecarga parcial con
  • II-16PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén sismos, es decir γ EQ < 1.0 , siendo razonable γ EQ = 0.5 para un amplio rango de valores de tráfico.- Los factores de carga γ TG y γ SE se deben adoptar en base a las características específicas de cada proyecto. γ TG se puede tomar si no hay información: 0.0 en estados límites de resistencia y evento extremo, 1.0 en estado límite de servicio cuando no se considera la sobrecarga, y 0.50 en el estado límite de servicio cuando se considera la sobrecarga.Denominación de las CargasCargas Permanentes: DD = fricción negativa (downdrag) DC = peso propio de los componentes estructurales y accesorios no estructurales DW= peso propio de las superficies de rodamiento e instalaciones para servicios públicos EH = empuje horizontal del suelo EL = tensiones residuales acumuladas resultantes del proceso constructivo, incluyendo las fuerzas secundarias del postensado ES = sobrecarga de suelo EV = presión vertical del peso propio del suelo de rellenoCargas Transitorias: BR = fuerza de frenado de los vehículos CE = fuerza centrífuga de los vehículos CR = fluencia lenta CT = fuerza de colisión de un vehículo CV = fuerza de colisión de una embarcación EQ = sismo FR = fricción IC = carga de hielo IM = incremento por carga vehicular dinámica LL = sobrecarga vehicular LS = sobrecarga de la carga viva PL = sobrecarga peatonal SE = asentamiento SH = contracción TG = gradiente de temperatura TU = temperatura uniforme WA = carga hidráulica y presión del flujo de agua WL = viento sobre la sobrecarga WS = viento sobre la estructura
  • II-17PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén II- APÉNDICE II-A MÁXIMO MOMENTO DE FLEXIÓN EN UNA VIGA SIMPLEMENTE APOYADA PARA UN TREN DE CARGAS (Teorema de Barré)Bisecando la distancia entre la resultante de un tren de cargas y la carga más próxima aella, por un eje que pasa por el centro de luz, el máximo momento de flexión en una vigasimplemente apoyada se encuentra casi siempre bajo la carga más próxima a laresultante. En caso de igualdad de distancias, se ubica bajo la carga más pesada.En efecto, en el tren de cargas mostrado, tomando momentos en el punto dondeincide la carga P3 tenemos: R= P P P P P P 1 2 3 4 5 b b 1 2 A B R R(L-x-e) = x e (L-x-e) A L L R (L x e)MP 3 = x P (b1 + b2 ) 1 P2b2 L dMP 3Para MP 3 = máx, =0 dxR [ 1 x) + (L ( x e )] = 0L L e x= 2Es decir: L P P P P P 1 2 3 4 5 b b 1 2 A B Mmáx R= P R R(L-x-e) = x=(L-e)/2 e/2 x=(L-e)/2 A L e/2 L/2 L/2
  • II-18PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén II- APÉNDICE II-B
  • II-19PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén II- APÉNDICE II-C
  • II-20PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén II- APÉNDICE II-D LÍNEAS DE INFLUENCIA EN VIGAS CONTINUAS DE TRES TRAMOS IGUALES m L L L n 0.4L E A F B C D G 4 Tramo EA ( − m ≤ x ≤ 0) MB = − x 15 4 3 4 Tramo AB (0 ≤ x ≤ L ) MB = x − x 15 L2 15 1 3 9 2 46 8L Tramo BC (L ≤ x ≤ 2L ) MB = − 2 x + x − x+ 3L 5L 15 5 1 3 3 2 26 8L Tramo CD (2L ≤ x ≤ 3L ) MB = x − x + x− 15 L2 5L 15 5 1 L Tramo DG (3L ≤ x ≤ 3L + n) MB = − x+ 15 5
  • II-21PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén 37 Tramo EA ( − m ≤ x ≤ 0) MF = x 75 8 37 Tramo AF (0 ≤ x ≤ 0.4L ) MF = 2 x3 + x 75 L 75 8 38 2L Tramo FB (0.4L ≤ x ≤ L ) MF = 2 x3 − x+ 75 L 75 5 2 54 2 92 48 L Tramo BC (L ≤ x ≤ 2L ) MF = − 2 x3 + x − x+ 15 L 75 L 75 75 2 6 2 52 48 L Tramo CD (2L ≤ x ≤ 3L ) MF = 2 x3 − x + x− 75 L 25 L 75 75 2 6L Tramo DG (3L ≤ x ≤ 3L + n) MF = − x+ 75 75
  • II-22PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén 8 Tramo EA ( − m ≤ x ≤ 0) RB = x 5L 3 3 8 Tramo AB (0 ≤ x ≤ L ) RB = − 3 x + x 5L 5L 1 3 24 2 32 8 Tramo BC (L ≤ x ≤ 2L ) RB = x − 2 x + x− L3 5L 5L 5 2 3 18 2 52 48 Tramo CD (2L ≤ x ≤ 3L ) RB = − 3 x + 2 x − x+ 5L 5L 5L 5 2 6 Tramo DG (3L ≤ x ≤ 3L + n) RB = x− 5L 5
  • II-23PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén II- APÉNDICE II-EVEHÍCULOS DE CIRCULACIÓN NACIONAL - PESOS Y MEDIDAS MÁXIMAS PERMITIDAS CIRCULACIÓ
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  • II-31PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén PROBLEMASPROBLEMA II.1 Utilizando la carga HL-93 calcular en un puente simplemente apoyado HL-de 25.0 m de longitud para el estado limite de Resistencia: 1) el momento por momentosobrecarga que ocurre en el centro de luz; 2) el momento máximo por sobrecarga.Solución.-Solución.-1) Momento por sobrecarga que ocurre en el centro de luz1.A) Camión de Diseño Utilizando la línea de influencia de momento flector para la sección central del puente, posicionamos el camión HL-93 de manera que se generen los máximos valores como se muestra: CL 3.6 T 14.8 T 14.8 T 4.30 4.30 A B 12.5 m 12.5 m LI de MC.L. 4.10m 4.10m 12.5m x12.5m =6.25m 25m El momento flector por camión en el centro de luz es: MC.L. = 3.6T( 4.10m) +14.8 T(6.25m) +14.8 T( 4.10m) = 167.94 T − m1.B) Tandem de Diseño De modo similar se tiene para el tándem: CL 11.2 T 11.2 T 1.20 A B 12.5 m 12.5 m LI de MC.L. 5.65m 6.25m
  • II-32PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén MC.L. = 11.2T(6.25m) +11.2T(5.65m) = 133.28 T − m1.C) Carga de carril En este caso hallamos el momento en el centro de luz multiplicando el valor de la carga distribuida por el área respectiva en la línea de influencia: CL 960 kg/m A B 12.5 m 12.5 m LI de MC.L. 6.25m MC.L. = 0.96T / m (½ x 25m x 6.25m) = 75 T − mDebemos combinar ahora el camión o tándem de diseño con la carga de carril. En estecaso escogemos, por ser crítica, la combinación: camión de diseño con carga de carrilconsiderando además el incremento por carga dinámica del 33% para la carga decamión. Mmáx(LL+IM) = 167.94T-m(1.33)+75 T-m= 298.36 T-m ፼ 298.362) Momento máximo por sobrecarga2.A) Camión de Diseño Ubicamos en el camión HL-93 la posición de la resultante tomando momentos en el tercer eje: Z(33.2T)= 4.30m(14.8T)+8.60m(3.6T) Z= 2.85m Luego, la distancia de 1.45m se dispone en partes iguales con respecto al centro de luz. Se tendrá la siguiente disposición de cargas: 3.6 T 14.8 T 14.8 T 4.30 4.30 1.45 Z=2.85 R=33.2 T
  • II-33PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén c L 3.6 T 14.8 T 14.8 T 4.30 4.30 0.725 0.725 A B Mmáx X=11.775 m R 12.5 m 12.5 m R=15.64 T A El momento máximo ocurre bajo la carga más cercana a la resultante, a x=11.775m del apoyo izquierdo: Mmáx = 15.64T( .775m) − 3.6T(4.30m) = 168.68 T-m 112.B) Tandem de Diseño Se muestra la posición de momento máximo: c L 11.2 T 11.2 T 0.30 .60 0.30 A B Mmáx R=22.4 T 12.5 m 12.5 m R=10.93 T A Mmáx = 10.93T( .5m 12 0.30m) = 133.35 T-m2.C) Carga de carril Debemos combinar ahora el camión o tándem de diseño con la carga de carril. En este caso escogemos, por ser crítica, la combinación: camión de diseño con carga de carril, en la posición X= 11.775m del apoyo izquierdo: 0.96 T/m A B Mcarril X=11.775 m 12.5 m 12.5 m R=12 T A
  • II-34PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén 0.96T / m( .775m)2 11 Mcarril = 12T( .775m) − 11 2 Mcarril = 74.75 t-m Considerando el incremento por carga dinámica para la carga de camión tenemos: Mmáx(LL+IM) = 168.68(1.33)+74.75 = 299.03 T-m ፼ T- (En el Apéndice II-B, para L=25.00 m se obtiene Mmáx(LL+IM) = 299.05 T-m ፼, en 299.05 X=11.78m )PROBLEMA II.2 Calcular en el problema anterior, la reacción máxima por sobrecarga II.2provocada por una carga HL-93provocada HL-Solución.-Solución.-A) Camión de Diseño 14.8 T 14.8 T 3.6 T 4.30 4.30 A B 25 m R=29.42 T AB) Tandem de Diseño 11.2 T 11.2 T 1.20 A B 25 m R=21.86 T AC) Carga de carril 960 kg/m A B 25 m R=12 T ALuego RA máx (LL+IM) = 29.42(1.33)+12 = 51.13 T-m ፼ T-(En el Apéndice II-B, para L=25.00 m se obtiene RA máx (LL+IM) = 51.12 T-m ፼ )
  • II-35PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez SerquénPROBLEMA II.3 Comparar en un puente simplemente apoyado de 14 m. delongitud, el momento y reacción máxima por sobrecarga provocados por elvehículo T3S3 y por la carga HL-93. HL-Solución.-Solución.-a) Momento por sobrecarga a.1) Vehículo T3S3 • Determinamos la ubicación de la resultante del tren de cargas suponiendo que los 6 ejes se encuentran sobre el puente: 11.35 m 8.33 T 7T 9T 9T 8.33 T 8.33 T 239.94 Tm 3.50 1.20 4.25 1.20 1.20 X= = 4.80m 50T R=50 T Para localizar el punto de momento máximo, bisecamos la distancia que hay entre la resultante y el eje más cercano a ella, por el eje central de la viga: L C 8.33 T 7T 9T 9T 8.33 T 8.33 T 3.50 1.20 4.25 1.20 1.20 1.85 2.40 0.925 0.925 A B X = 4.80 m Mmáx 1.375 1.275 R=21.70 T R=50 T A 7.00 7.00
  • II-36PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén El momento por sobrecarga máximo será: Ms/c = 21.70T(6.075m) - 7T(4.70m) - 9T(1.2m) = 88.106 T-m • Determinamos la ubicación de la resultante del tren de cargas suponiendo ahora que sólo 5 ejes se encuentran sobre el puente: 7.85 m 8.33 T 9T 9T 8.33 T 8.33 T 1.20 4.25 1.20 1.20 160.488 Tm X= = 3.732 m 43T R=43 T Para localizar el punto de momento máximo, bisecamos la distancia que hay entre la resultante y el eje más cercano a ella, por el eje central de la viga: L C 8.33 T 9T 9T 8.33 T 8.33 T 2.216 1.20 4.25 1.20 1.20 0.666 A 0.666 B Mmáx 6.334m R=43 T R=23.55 T R=19.45 T A B 7.00 7.00 El momento por sobrecarga máximo será: Ms/c = 19.45T(6.334m) – 8.33T(1.20m) - 8.33T(2.40m) = 93.21 T-m Tomando el mayor de los momentos e incrementando por carga dinámica para el estado límite de Resistencia con IM=0.33, tenemos: Ms/c+IM = 93.21 T-m x 1.33 = 123.97 T-m a.2) Carga HL-93 HL- De la Tabla del Apéndice II-B, para L=14.00 m: MS/C+IM = 126.87 T-m 126 En este caso el momento provocado por la carga HL-93, es mayor que el producido por el vehículo T3S3.
  • II-37PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquénb) Reacción máxima por sobrecarga b.1) Vehículo T3S3 La máxima reacción ocurre posicionando el vehículo de la siguiente manera: 8.33 T 8.33 T 8.33 T 9T 9T 7T 1.20 1.20 4.25 1.20 3.50 A B 2.65 R=32.85 T A 14.00 Luego, RA máx = 32.85 T Incrementando por carga dinámica para el estado límite de Resistencia con IM=0.33, tenemos: Rs/c+IM = 32.85 T x 1.33 = 43.69 T a.2 a.2) Carga HL-93 HL- De la Tabla del Apéndice II-B, para L=14.00 m: RA máx = 41.89 T En este caso la reacción provocada por la carga HL-93, es menor que la producida por el vehículo T3S3.
  • II-38PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez SerquénPROBLEMA II.4 Comparar en un puente simplemente apoyado de 25 m. de II.4longitud, el momento y reacción máxima por sobrecarga provocados por dosvehículos T3S3 distanciados 9.00m como se muestra, y por la carga HL-93. HL-Solución.-Solución.-a) Momento por sobrecarga a.1) Vehículo T3S3 Determinamos primero la ubicación de la resultante del tren de cargas que puede posicionarse en la longitud de 25 m.: 20.35 8.33 T 7T 9T 9T 8.33 T 8.33 T 7T 3.50 1.20 4.25 1.20 1.20 9.00 R=57 T Tomando momentos en el último eje, tenemos: 57T(X) = 8.33T(9.0m)+8.33T(10.20m)+8.33T(11.40m)+9T(15.65m)+ 9T(16.85m) + 7T(20.35m) Con lo que la resultante se ubica en: 689.85 Tm X= = 12.10 m 57T
  • II-39PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén Para localizar el punto de momento máximo, bisecamos la distancia que hay entre la resultante y el eje más cercano a ella, por el eje central de la viga: L C 8.33 T 7T 9T 9T 8.33 T 8.33 T 7T 3.50 1.2 4.25 1.2 1.2 9.00 .35 .35 A B Mmáx R=57 T 3.90 0.75 R=29.30 T A 12.50 12.50 El momento por sobrecarga máximo será: Ms/c = 29.30T(12.85m) - 9T(4.25m) - 9T(5.45m) – 7T(8.95m) Ms/c = 226.56 T-m Considerando el incremento por carga dinámica para el estado límite de Resistencia, IM=0.33, tenemos: Ms/c+IM = 226.56 T-m x 1.33 = 301.32 T-m 301. a.2 a.2) Carga HL-93 HL- De la Tabla del Apéndice II-B, para L=25.00 m: MS/C+IM = 299.05 T-m 99. En este caso el momento provocado por el vehículo T3S3, es mayor que el producido por la carga HL-93.b) Reacción máxima por sobrecarga b.1) Vehículo T3S3 La máxima reacción ocurre posicionando el vehículo de la siguiente manera:
  • II-40PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén 8.33 T 8.33 T 8.33 T 8.33 T 9T 9T 7T 8.33 T 8.33 T 1.20 1.20 4.25 1.20 3.50 9.00 1.20 1.20 A B 2.25 R=43.84 T A 25.00 Luego, RA máx = 43.84 T Incrementando por carga dinámica para el estado límite de Resistencia con IM=0.33, tenemos: Rs/c+IM = 43.84 T x 1.33 = 58.31 T b.2) Carga HL-93 HL- De la Tabla del Apéndice II-B, para L=25.00 m: RA máx = 51.12 T En este caso la reacción provocada por dos vehículos T3S3, es mayor que la producida por la carga HL-93.
  • II-41PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez SerquénPROBLEMA II.5 En un puente continuo de dos tramos iguales de 10 m. de II.5longitud cada uno, calcular el máximo momento positivo y negativo por cadasobrecarga provocados por la carga HL-93. HL- A B C 10 m 10 mSolución.-Solución.-a) Máximo momento positivo Observando los gráficos del Apéndice II-C determinamos que el máximo momento positivo en todo el puente ocurre a 0.4L de un apoyo exterior. Utilizando tal línea de influencia se puede comprobar que la combinación crítica es de tándem y sobrecarga distribuida. Buscando provocar el máximo esfuerzo, posicionamos el tándem como se muestra en la figura. La sobrecarga distribuida la aplicamos sólo en el área positiva del gráfico. La combinación de camión y sobrecarga distribuida, por provocar esfuerzos menores, no es considerada. El momento por tándem de diseño es: (+)Mtándem = 11.2T(2.064m) + 11.2T(1.541m) = 40.38 T-m El momento por la sobrecarga distribuida en el primer tramo es: (+)Ms/c distrib = 0.96 T/m (9.525 m²) = 9.14 T-m
  • II-42PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén El momento positivo por sobrecarga máximo, considerando el incremento por carga dinámica para el estado límite de Resistencia, IM=0.33, es: (+)Ms/c+IM = 40.38 T-m x 1.33 + 9.14 T-m = 62.85 T-m T-b) Máximo momento negativo El máximo momento negativo en todo el puente ocurre en el apoyo central. Utilizando la línea de influencia para momento en dicho apoyo se comprueba que la combinación crítica es de camión y sobrecarga distribuida. Buscando provocar el máximo esfuerzo, posicionamos el camión de diseño con los ejes posteriores en las ordenadas máximas, tal como se muestra en la figura. Quedarán estos ejes separados 8.452 m. La sobrecarga distribuida la aplicamos en ambos tramos. La combinación de tándem y sobrecarga distribuida, por provocar esfuerzos menores, no es considerada. El momento por camión de diseño es: (-) Mcamión= 3.6T(-0.360m)+14.8T(-0.962m) +14.8T(-0.962m) = -29.77 T-m El momento por sobrecarga distribuida es: (-)Ms/c distrib = 0.96 T/m (-12.375 m²) = -11.88 T-m El momento negativo por sobrecarga máximo, considerando el incremento por carga dinámica para el estado límite de Resistencia, IM=0.33, es: (-)Ms/c+IM = -29.77 T-m x 1.33 – 11.88 T-m = -51.47 T-m T-
  • II-43PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez SerquénNOTA.- Utilizando el programa de cómputo QConBridge, se obtiene la envolvente deNOTA.-momentos por carga viva de manera gráfica y tabularmente. Como se aprecia,dividiendo cada tramo en diez secciones, el máximo momento positivo por carga vivaocurre en la sección x= 0.4 L, con un valor de +616.289x10³ N-m (+62.82 T-m). El N- T-máximo momento negativo ocurre en el apoyo central, con un valor de -504.489x10³N-m (-51.43 T-m). Los resultados son similares a +62.85 T-m y -51.47 T-m, valores T- T- T-obtenidos analíticamente.
  • II-44PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez SerquénPROBLEMA II.6 En un puente continuo de tres tramos iguales de 20 m. de II.6longitud cada uno, calcular en un apoyo interior los momentos de diseño por diseñosobrecarga provocados por la carga HL-93. HL- A B C D 20 m 20 m 20 mSolución.-Solución.-a) Línea de Influencia de momento flector en B Graficamos la línea de influencia (ver APÉNDICE II-D) haciendo uso de las siguientes expresiones: Tramo AB (0 ≤ x ≤ 20) 1 y = 1500 ( x 3 − 400x ) Tramo BC (20 ≤ x ≤ 40) 1 y= 1200 ( − x 3 +108 x2 − 3680 x + 38 400 ) Tramo CD (40 ≤ x ≤ 60) 1 y= 6000 ( x 3 −180 x2 +10 400 x −192 000 )b) Máximo momento negativo Utilizando tal línea de influencia, después de realizar las combinaciones de carga viva aplicables, encontramos que el máximo momento negativo ocurre con el posicionamiento de dos camiones* y la sobrecarga distribuida tal como se muestra, considerando de acuerdo a las especificaciones el 90 por ciento de dicha solicitación. Los dos camiones en este caso están distanciados 15 m entre el eje delantero de un camión y el eje posterior del otro.
  • II-45PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén El momento por dos camiones de diseño es: (-)M2 camiones = 3.6T(-0.880m) + 14.8T(-1.749m-2.048m) +3.6T(-1.593m) + 14.8T(-1.368m-0.709m) = -95.838 T-m El momento por la sobrecarga distribuida es: (-)Ms/c distrib = 0.96 T/m (-46.2 m²) = -44.35 T-m El momento máximo negativo por sobrecarga, considerando el incremento por carga dinámica para el estado límite de Resistencia, IM=0.33, es: (-)Ms/c+IM = 0.90 [(-95.838 T-m ) x 1.33 + (-44.35 T-m)] = -154.63 T-m T-NOTA.-NOTA.* La utilización del 90 por ciento de la solicitación de dos camiones y la carga de carril se emplea en el caso de momentos negativos entre puntos de contraflexión debido a una carga uniforme en todos los tramos (Artículo 3.6.1.3.1). En este caso como se aprecia en el gráfico, el apoyo interior B se encuentra en el tramo de contraflexión de 9.53m, ámbito para el cual es aplicable lo indicado. Los puntos de contraflexión para una viga contínua de tres tramos iguales quedan definidos por: L1 = 0.8L = 16 m , L 2 = 0.4764L = 9.53 m , L 3 = 0.4472L = 8.94 m , con L = 20m.c) Máximo momento positivo El máximo momento positivo, después de realizar las combinaciones de carga viva aplicables, se encuentra posicionando en la línea de influencia el camión de diseño con un eje posterior en la ordenada máxima, tal como se muestra en la figura. La sobrecarga distribuida la aplicamos únicamente en el área positiva.
  • II-46PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén El momento por camión de diseño es: (+) Mcamión= 3.6T(0.365m)+14.8T(0.512m) +14.8T(0.437m) = 15.36 T-m El momento por sobrecarga distribuida es: (+)Ms/c distrib = 0.96 T/m (6.60 m²) = 6.34 T-m El momento positivo máximo por sobrecarga, considerando el incremento por carga dinámica para el estado límite de Resistencia, IM=0.33, es: (+)Ms/c+IM = 15.36 T-m x 1.33 + 6.34 T-m = 26.77 T-m T-NOTA 1.-Utilizando el programa de cómputo QConBridge, se obtiene la envolvente de momentospor carga viva de manera gráfica y tabularmente. Como se aprecia dividiendo cadatramo en diez secciones, en el apoyo 2 el máximo momento negativo es -1.513 x106N-m (-154.28 T-m) y el máximo momento positivo es +263.533x10³ N-m (+26.87 263.533x10³ N- (+26.87T-m). Los resultados son similares a -154.63 T-m y +26.77 T-m, valores obtenidos +26. T-analíticamente.
  • II-47PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén NOTA 2.- Tal como se señala en C3.6.1.3.1 AASHTO-LRFD, las cargas ideales de diseño están basadas en la información descrita en C3.6.1.2.1 AASHTO-LRFD que contiene datos sobre vehículos de tipo “low boy” con pesos de hasta 50 T. Si se considera probable que haya múltiples carriles con versiones más pesadas de este tipo de vehículo, se debe investigar el momento negativo y las reacciones en los apoyos interiores para pares de tandems de diseño separados entre 8.00 m y 12.00 m, en combinación con la carga de carril. Se debe usar el 100 por ciento de tal solicitación.
  • II-48PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez SerquénPROBLEMA II.7 Calcular la fuerza de frenado y la fuerza de viento que actúan II.7sobre el pilar central del puente mostrado, de dos vías. El viento incideperpendicularmente al eje longitudinal del puente. Utilizar vehículo HL-93 y HL-Especificaciones AASHTO LRFD. A B C 30 m 30 mSolución.-Solución.-a) Fuerza de FrenadoDe acuerdo con las Especificaciones, la fuerza de frenado será la mayor de: - 25% de los pesos por eje de camión o tandem de diseño - 5% del camión o tandem de diseño más la carga de carrilEn este caso el peso del vehículo HL-93 es 33.2 T, peso del tandem: 22.4 T, cargade carril: 0.96 T/m.La fuerza de frenado se calcula con los carriles que transportan tráfico en la mismadirección. Asumiendo que a futuro los dos carriles transportan tráfico en la mismadirección y considerando el factor de presencia múltiple m=1.00, tendremos: BR1 = 0.25 x 33.2 T x 2vías x 1.00 / 1 apoyo = 16.60 T BR2 = 0.25 x 22.4 T x 2 x 1.00 = 11.20 T BR3 = 0.05 [33.2 T+(30m + 30m) 0.96 T/m]x2x1.0 = 9.08 T BR4 = 0.05 [22.4 T+(30m + 30m) 0.96 T/m]x2x1.0 = 8.00 TLuego, la fuerza de frenado será: 16.60 T, aplicada a 1.80 m sobre la superficie decalzada. F = 16.6 T BR 1.80 m A B C 30 m 30 mNOTA.-NOTA.-Un vehículo T3S3 circulando por dicho puente a una velocidad de 60 km/h, que alfrenar tarda en detenerse 10 segundos, provocará según las leyes de la física unafuerza de frenado igual a: F = m.a
  • II-49PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquéndonde:F = fuerza W 50 T T − seg2m = masa = = = 5.10 g 9.8 m / seg2 m v 60 km / h 16.67 m / sega = acelerac = = = = 1.67 m / seg2 t 10 seg 10 segLuego:  T − seg2  F =  5.10   x1.67m / seg2 = 8.52 T   m En 2 vías se tendrá: F = 2x8.52T = 17.04 TComparar este resultado con el valor obtenido para la carga HL-93 de las normasAASHTO LRFD.b) Carga de Vientob.1) superestructura Sobre la superestructura La carga de viento se asume actúa uniformemente sobre el área expuesta al viento. El área expuesta se toma perpendicular a la dirección del viento. La velocidad del viento básica varía según la localidad y se tomará como VB = 160 km/h 2 V   V 2  PD = PB  DZ V  = PB  DZ    25600  (3.8.1.2.1-1)  B    Donde: PB = presión básica del viento = 245 kg/m2 (Tabla 3.8.1.2.1-1) PD = presión del viento de diseño VDZ = velocidad del viento a la altura de diseño z Asumiendo que la altura de los componentes del puente son menores a 10 m sobre la línea de tierra (z አ 10 m), VDZ =VB = V10 =160 km/h. 2 V  2  = 245  160  PD = PB  DZ V    = 245 kg / m 2  B  160  La carga será: FW Sup = 245 kg/m2 x 3 m x (30m + 30m) / 2 = 22.05 T
  • II-50PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén F = 4.50 T WL 1.80 m 1.50 m F = 22.05 T W Sup 3.00 m 1.50 mb.2) Sobre la subestructura Se calcula en base a una presión del viento de 194 kg/m2 (Tabla 3.8.1.2.1-1): FW Sub1 = 194 kg/m2 x 1.20m x 1.20m = 0.28 T FW Sub2 = 194 kg/m2 x 1.00m x 5.00m = 0.97 T 1.20 m 1.20 m F = 0.28 T W Sub 1 1.00 m 2.50 m F = 0.97 T W Sub 2 2.50 mb.3) Sobre la carga viva La presión del viento sobre los vehículos se representa como un fuerza interrumpible y móvil de 150 kg/m (Tabla 3.8.1.3-1) actuando normal a la calzada y a 1.80 m sobre la misma. FW L = 150 kg/m (30m + 30m) / 2 = 4.50 T
  • II-51PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez SerquénPROBLEMA II.8 Determinar el empuje por flotación por la presencia del nivel II.8freático en la zapata de la columna mostrada que corresponde al pilar de un mostradapuente. La zapata tiene como dimensiones en planta 4.00m x 4.00m. Nivel Freatico 0.50 m 4.00 m BSolución.-Solución.-La fuerza de empuje por flotación B es: B = γV = 1 T/m³ (4m x 4m x 0.50m) B=8Tdonde:V = volumen de agua que desplaza la zapataγ = peso específico del agua
  • III-1PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén CAP III: SUPERESTRUCTURAS DE PUENTES1. GENERALIDADES1.1) Puentes de Concreto ArmadoLos puentes de concreto armado tipo losa de un tramo resultan económicos entramos cortos, cuando las luces no exceden 12m. Los puentes losa cuando soncontinuos con tramos extremos de hasta 10.5m, son mejor proporcionadoscuando la relación de tramo interior a tramo exterior es 1.26 para cargas yesfuerzos usuales; cuando el tramo exterior va de 10.5m a 15m, la relaciónadecuada es 1.31.Los puentes de vigas T simplemente apoyados en cambio se usan en luces dehasta 24m. Los puentes de vigas continuas son mejor proporcionados cuandolos tramos interiores presentan una longitud 1.3 a 1.4 veces la longitud de lostramos extremos En puentes viga, con tramos exteriores de 10.5m a más, larelación sugerida es de 1.37 a 1.40.En un puente de vigas continuas bien diseñado, el peralte de las seccionessigue de cerca las necesidades de momento, variando desde un mínimo en elcentro hasta un máximo en los apoyos. En tales casos, el efecto de la cargamuerta en el diseño se reduce favorablemente.Los puentes de sección en cajón son especialmente recomendados enalineamientos curvos dada su alta resistencia torsional y la posibilidad demantener la sección transversal constante.A continuación, luces de puentes de concreto construidos: SIMPLEMENTE APOYADOS LUZ(m) CONTINUOS LUZ(m)Losa 6 a 12 Losa, 2 tramos 9-9Vigas T 12 a 24 12-12Placa sólida en arco 12 Losa, 3 tramos 8-8-8Vigas curvadas en arco 18 Pórtico sólido 12 Aporticado de vigas T 16 Vigas T, 2 tramos 15-15 21-21 Vigas T, 3 tramos 12-15-12 a 15-21-15 Cajón, 3 tramos 18-24-18 a 23-27-231.2) Concreto PresforzadoLos puentes de concreto presforzado (pretensado y postensado) permiten conel empleo de materiales de resistencia elevada, reducir las dimensiones de lasección transversal y lograr consiguiente economía en peso. A continuación,algunas luces de puentes presforzados construidos:
  • III-2PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén SIMPLEMENTE APOYADOS LUZ(m) CONTINUOS LUZ(m) Losa 9 a 12 Losa 10-10 a 12-15-12 Losa con alveolos 9 a 15 Losa con alveolos 15-21-15 a 32-32 Doble Tee 12 a 18 Vigas AASHTO 25 a 33 Cajón cerrado vaceado en el 38 Vigas AASHTO 30-30 lugar postensada Viga AASHTO 15 a 30 Cajón 19.8-19.8 a 61-61 Vigas I 18 a 36 18.3-24.4-18.3 a Vigas Cajón 24 a 36 23.2-27.4-23.21.3) Puentes de AceroLos puentes de acero de sección compuesta de un solo tramo que utilizan vigasmetálicas, logran luces de hasta 55m. Los puentes metálicos de armaduraalcanzan los 120m. Con el diseño en arco se llega hasta 150m. A continuación,luces de puentes de acero ya construidos: SIMPLEMENTE APOYADO LUZ(m) CONTINUOS LUZ(m) Vigas laminadas, no 12 a 25 Vigas laminadas 15-20-15 compuestos a Vigas laminadas, compuestos 15 a 25 25-30-25 Vigas armadas, no compuestos 30 a 45 Vigas armadas 30-36-30 Vigas Armadas, compuestos 30 a 55 Vigas cajón 30-36-30 Vigas cajón 30 a 55 a Armaduras sobre y bajo la 90 a 120 90-120-90 calzada Vigas laminadas 15-20-15 Armaduras bajo la calzada 60 a 120 a Armaduras no conectadas 45 25-30-25 sobre la calzada Vigas armadas 30-36-30 Arco 90 a 150 Arcos enlazados 90 a 1801.4) MaderaLos puentes de madera se utilizan eficientemente con luces de hasta 20m encaminos de poca circulación con vehículos livianos. A continuación, luces depuentes de madera ya construidos: SIMPLEMENTE APOYADOS LUZ(m) Madera serradiza 5.5 Vigas de madera laminada – clavada 14.9-15.2-14.9 Armadura 15.2-30.5-30.5-14.9 De plataforma - clavada 9.8-9.8-9.8 De plataforma - transversalmente 13.4 presforzada
  • III-3PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén2. PERALTES MÍNIMOS EN SUPERESTRUCTURAS DE PUENTES2.1 Profundidades mínimas para superestructuras de profundidad constante S= Luz del tramo de losa (mm) L = Luz del tramo de puente (mm)2.2 Tableros de Concreto Apoyados en Elementos Longitudinales (Art. 9.7.1.1) La altura de un tablero de concreto deberá ser mayor o igual que 17.5 cm2.3 Mínimo espesor de los tableros de concreto en voladizo (Art. 13.7.3.1.2) - Cuando soportan un sistema de postes montados en el tablero: 0.20m - Para sistemas de postes montados lateralmente: 0.30m - Cuando soportan paramentos o barreras de concreto: 0.20m3. RESISTENCIA A LA FLEXIÓN Resistencia a la flexión mayorada Mr : Mr = Ø Mn (5.7.3.2.1-1) donde: Mn = resistencia nominal Ø = factor de resistencia especificado en el Art. 5.5.4.2 Resistencia nominal a la flexión Mn: a a a a h Mn = A ps fps (d p − ) + A s fy (d s − ) − A s fy (d s − ) + 0.85fc (b − b w )β1hf ( − f ) 2 2 2 2 2 (5.7.3.2.2-1)
  • III-4PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén Distancia c entre el eje neutro y la cara comprimida: Para comportamiento de sección Te: A ps fpu + A s fy − A s fy − 0.85β1fc (b − b w )hf c= (5.7.3.1.1-3) fpu 0.85fc β1b w + kA ps dp Para comportamiento de sección rectangular: A ps fpu + A s fy − A s fy c= (5.7.3.1.1-4) fpu 0.85fc β1b + kA ps dp Donde: fpy k = 2( .04 − 1 ) fpu Aps = área de acero del pretensado As = área de la armadura de tracción no pretensada A’s = área de la armadura de compresión a = c ß1; altura del diagrama de tensiones equivalente b = ancho de la cara comprimida del elemento bw = ancho del alma o diámetro de una sección circular c = distancia entre el eje neutro y la cara comprmida dp = distancia entre la fibra extrema comprimida y el baricentro de los tendones de pretensado dp = distancia entre la fibra extrema comprimida y el baricentro de los tendones de pretensado ds = distancia entre la fibra extrema comprimida y el baricentro de la armadura de tracción no pretensada d’s = distancia entre la fibra extrema comprimida y el baricentro de la armadura de compresión fps = tensión media en el acero de pretensado a la resistencia nominal a la flexión fpu = resistencia a la tracción especificada del acero de pretensado fpy = tensión de fluencia del acero de pretensado fy = tensión de fluencia especificada de las barras de armadura f’y = tensión de fluencia especificada de la armadura de compresión f’c = resistencia a la compresión especificada del hormigón a 28 días hf = altura del ala comprimida de un elemento de sección Te o doble Te ß1 = factor para el diagrama de tensiones, especificado en Art. 5.7.2.24. ANCHOS DE FAJA EQUIVALENTE PARA PUENTES TIPO LOSA CON ARMADURA ARMADURA PRINCIPAL PARALELO AL TRÁFICO El ancho equivalente de las fajas longitudinales tanto para corte como para momento con un carril cargado, es decir dos líneas de ruedas, incluyendo el efecto de presencia múltiple, es: E = 250 + 0.42 L1W1 (4.6.2.3-1)
  • III-5PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén El ancho equivalente de las fajas longitudinales por carril tanto para corte como para momento con más de un carril cargado, es: W E = 2100 + 0.12 L1W1 ≤ (4.6.2.3-2) NL Donde: E = ancho equivalente (mm) L1 = menor valor (mm) entre longitud real y 18m W1 = menor valor (mm) entre ancho real y 18m para carga en múltiples carriles ó 9m para carga en un solo carril W = ancho físico entre los bordes del puente (mm) NL = número de carriles de diseño Para obtener la carga por unidad de ancho de la faja equivalente, se divide la carga total en un único carril de diseño por el ancho de faja calculado.5. ANCHOS DE FAJA EQUIVALENTE INTERIORES PARA TABLEROS CON ARMADURA PRINCIPAL PERPENDICULAR AL TRÁFICO Se pueden tomar como se especifica en la Tabla siguiente:
  • III-6PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén Donde: S = separación de los elementos de apoyo (mm) H = altura del tablero (mm) L = longitud del tramo del tablero (mm) P = carga de eje (N) Sb = separación de las barras del emparrillado (mm) +M= momento positivo - M= momento negativo X = distancia entre la carga y el punto de apoyo (mm)6. DISEÑO DE LOSAS DE TABLERO Para determinar los máximos momentos por sobrecarga de diseño en losas de tablero, se puede utilizar la Tabla A4-1. Los momentos son aplicables para tableros apoyados como mínimo en tres vigas y cuyo ancho entre los ejes de las vigas exteriores sea por lo menos 4.20 m. Los valores tabulados incluyen los factores de presencia múltiple y el incremento por carga dinámica. Para distancias diferentes a las listadas, es posible interpolar.
  • III-7PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén7. MÉTODO DE LOS FACTORES DE DISTRIBUCIÓN PARA MOMENTO Y CORTE EN VIGAS (Art. 4.6.2.2.2) Simbología a utilizar: S = separación entre vigas o almas (mm) L = longitud de tramo de la viga (mm) Kg= n(Iviga + Ae 2 ) = parámetro de rigidez longitudinal (mm4) g E viga n= E tablero E c = 0.043γ1.5 fc , en MPa c (5.4.2.4-1) 2 E c = 15,344 f , en kg / cm c , con γ c = 2, 320 kg / m 3 A = área de la viga (mm2) I = Iviga = momento de inercia de la viga (mm4) de = distancia entre el alma exterior de una viga exterior y el borde interior de un cordón o barrera para el tráfico (mm) eg = distancia entre los centros de gravedad de la viga de base y el tablero (mm) ts = profundidad de la losa de hormigón (mm) Nc = número de células de una viga cajón de hormigón Nb = número de vigas o largueros We= un medio de la separación entre almas, más el vuelo total (mm) b = ancho de la viga (mm) d = profundidad de la viga o larguero (mm) e = factor de corrección g = factor de distribución K = constante para diferentes tipos de construcción J = constante torsional de St. Venant (mm4) NL = número de carriles de diseño Nb = número de vigas o largueros D = ancho de distribución por carril (mm) C = parámetro de rigidez µ = coeficiente de Poisson tg= profundidad de un emparrillado de acero o plancha de acero corrugado, incluyendo la sobrecapa de hormigón o componente de hormigón estructural integral, menos una tolerancia para considerar los efectos del pulido, ranurado o desgaste (mm) El momento flector y corte por sobrecarga en vigas con tableros de hormigón se puede determinar aplicando la fracción por carril especificada “g” en las Tablas que se proporcionan. Además, las cargas permanentes del tablero y las que actúan sobre el mismo se pueden distribuir uniformemente entre las vigas y/o largueros (Art. 4.6.2.2.1). Para el cálculo en el estado limite de fatiga, deberá utilizarse el camión de diseño y las solicitaciones dividirse por 1.20 (Art. 3.6.1.1.2).
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  • III-13PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez SerquénCaso de Vigas Exteriores (Art. 4.6.2.2.2d y Art. 4.6.2.2.3b) El momento flector y cortante por sobrecarga se pueden determinar aplicando lafracción por carril g especificada. La distancia de se tomara como positiva si el almaexterior esta hacia dentro de la cara interior de la barrera para el tráfico, negativa siesta hacia fuera. En puentes de viga y losa con diafragmas o marcos transversales, el factor dedistribución no se deberá tomar menor que el que se obtendría suponiendo que lasección transversal se deforma y gira como una sección transversal rígida. El procedimiento delineado es a través de la aproximación convencional: NL NL X ext ∑e R = + Nb (C4.6.2.2.2d-1) Nb ∑x 2 Donde:R = reacción sobre la viga exterior en términos de los carrilesNL = número de carriles cargados consideradoNb = número de vigase = excentricidad de un camión de diseño o una carga de carril de diseño respecto del centro de gravedad del conjunto de vigasXext= distancia horizontal desde el centro de gravedad del conjunto de vigas hasta la viga exteriorx = distancia horizontal desde el centro de gravedad del conjunto de vigas hasta cada vigaMomentos Flectores y Corte en Vigas de Tablero Transversales Si el tablero es soportado directamente por vigas de tablero transversales, lasvigas de tablero se pueden diseñar para cargas determinadas de acuerdo con la Tabla:
  • III-14PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén8. ARMADURA DE DISTRIBUCIÓN (Art. 9.7.3.2 AASHTO LRFD) En la parte inferior de las losas se dispondrá armadura en la dirección secundaria; esta armadura se deberá calcular como un porcentaje de la armadura principal para momento positivo: 1750 Si la armadura principal es paralela al tráfico : ≤ 50% S 3840 Si la armadura principal es perpendicular al tráfico : ≤ 67% S Donde: S= longitud de tramo efectiva (mm). Distancia entre cara y cara, para losas construidas en forma monolítica con muros o vigas. Para losas apoyadas sobre vigas de concreto o metálicas: distancia entre las puntas de las alas, más el vuelo de las alas, considerado como la distancia desde la punta del ala extrema hasta la cara del alma, despreciando los chaflanes.9. ARMADURA DE CONTRACCIÓN Y TEMPERATURA (Art. 5.10.8 AASHTO LRFD) En componentes de espesor menor que 1.20 m: As ≥ 0.756 Ag/fy (5.10.8.2-1) donde: Ag = área bruta de la sección (mm2) fy = tensión de fluencia de las barras de armadura (MPa) El acero se distribuirá uniformemente en ambas caras; sin embargo, en elementos de 0.15m de espesor o menos, se puede colocar en una sola capa. La separación de la armadura no será mayor que 3 veces el espesor del componente ó 0.45m En zapatas y tabiques macizos de hormigón estructural, la separación de la armadura no será mayor de 0.30m en cada dirección en todas las caras y no es necesario sea mayor que 0.0015Ag Elementos de espesor mayor que 1.20m: El tamaño mínimo de barra será N° 19, y la separación de las barras no será mayor que 0.45m. En cada dirección, la armadura mínima de temperatura y contracción, igualmente distribuida en ambas caras, deberá satisfacer: s(2d c + db ) ΣAb ≥ (5.10.8.3-1) 100 Donde: Ab= mínima área de las barras (mm2) s = separación de las barras (mm) dc= profundidad del recubrimiento medida desde la fibra extrema hasta el centro de la barra más próximo a la misma (mm) db= diámetro de la barra (mm) No es necesario que (2dc+db) sea mayor que 0.075m.
  • III-15PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén10.10. LIMITACIÓN DE LA FISURACIÓN MEDIANTE DISTRIBUCIÓN DE LA ARMADURA (Art. 5.7.3.4) Todos los elementos de hormigón, excepto losas de tablero diseñadas de acuerdo con el Art. 9.7.2, deben dimensionarse de manera que en estado límite de servicio la tensión de tracción en las armaduras de acero no pretensado no sea mayor que fsa: Z fsa = ≤ 0.6fy (5.7.3.4-1) (d c A )1/ 3 Donde: dc = altura de hormigón medida desde la fibra extrema comprimida hasta el centro de la barra o alambre ubicado más próximo a la misma; el espesor del recubrimiento libre para calcular dc no se deberá tomar mayor que 50 mm. A = área de hormigón que tiene el mismo baricentro que la armadura principal de tracción y limitada por las superficies de la sección transversal y una recta paralela al eje neutro , dividida por el número de barras o alambres; el espesor del recubrimiento libre para calcular A no se deberá tomar mayor que 50 mm. Z = parámetro relacionado con el ancho de fisura ≤ 30,000 N/mm para elementos en condiciones de exposición moderada ≤ 23,000 N/mm para elementos en condiciones de exposición severa ≤ 17,500 N/mm para estructuras enterradas ≤ 23,000 N/mm para el diseño transversal de las vigas cajón de hormigón por segmentos para cualquier carga aplicada antes que el hormigón alcance la totalidad de su resistencia nominal. Para alcantarillas de sección rectangular voladas in situ, el valor de Z no deberá satisfacer la condición Z ≤ 27000 / β , siendo β = [1+ dc / 0.7d] d = distancia entre la cara comprimida y el baricentro de la armadura de tracción Si en el estado límite de servicio las alas de las vigas Te o vigas cajón están traccionadas, la armadura de tracción por flexión se deberá distribuir en una distancia igual al menor de: el ancho de ala efectivo (Art. 4.6.2.6) o un ancho igual a 1/10 del promedio de los tramos adyacentes entre apoyos. Si el ancho de ala efectivo es mayor que 1/10 de la longitud del tramo, en las porciones exteriores del ala se deberá disponer armadura longitudinal adicional con un área no menor que 0.4% del área de losa en exceso. Si la profundida efectiva de de un elemento de hormigón no pretensado o parcialmente pretensado es mayor que 90 cm, se deberá distribuir uniformemente armadura superficial en ambas caras del elemento en una distancia d/2 más próxima de la armadura de tracción por flexión. En cada cara lateral el área de armadura superficial Ask, en mm2/mm de altura, deberá satisfacer la siguiente condición: Armadura de contracción y temperatura en caras laterales (Art. 5.10.8) A s + A ps A sk ≥ 0.001(d e − 760) ≤ (5.7.3.4-4) 1200
  • III-16PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén Donde: Aps = área de acero del pretensado (mm2) As = área de la armadura de tracción no pretensada (mm2) No es necesario que el área total de armadura superficial longitudinal (por cara) sea mayor que un cuarto de la armadura de tracción por flexión requerida As+ Aps La máxima separación de la armadura superficial no deberá ser mayor que d/6 o 300 mm.11. LÍMITES PARA EL REFUERZO LÍMITES Refuerzo Máximo (Art. 5.7.3.3.1) La cantidad máxima de refuerzo pretensado y no pretensado será tal que: c ≤ 0.42 (5.7.3.3.1-1) de Si dicha ecuación no es satisfecha, la sección será considerada sobrereforzada. Donde: A ps fps dp + A s fy ds de = A ps fps + A s fy c = distancia desde la fibra extrema en compresión al eje neutro de= profundidad efectiva correspondiente desde la fibra extrema en compresión al centroide de la fuerza en tensión en el refuerzo a tensión Aps= área de acero pretensado fps = tensión media en el acero de pretensado a la flexión dp = distancia entre la fibra extrema comprimida y el centroide de los tendones de pretensado As = área de la armadura de tracción no pretensada fy = fluencia de las barras de refuerzo ds = distancia entre la fibra extrema comprimida y el centroide de la armadura de tracción no pretensada Refuerzo Mínimo (Art. 5.7.3.3.2 AASHTO LRFD) La cantidad de rerfuerzo de pretensado y no pretensado será adecuado para desarrollar una resistencia a flexión factorada Mr superior o igual al menor valor de: a) 1.2 veces la resistencia de rotura determinada en base a una distribución de esfuerzos elásticos y el módulo de ruptura fr del concreto ( fr = 0.63 fc , en MPa, para concreto de peso normal), y b) 1.33 veces el momento factorado requerido por las combinaciones de carga para el estado límite de resistencia aplicable.
  • III-17PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén12. FACTORES DE RESISTENCIA (Art. 5.5.4.2 AASHTO LRFD) CASO ∅ Flexión y tracción del hormigón armado 0.90 Flexión y tracción del hormigón pretensado 1.00 Corte y Torsión: Hormigón de densidad normal 0.90 Hormigón de baja densidad 0.70 Compresión axial con espirales o zunchos (excepto Art. 5.10.11.4.1b para Zonas Sísmicas 3 y 4, estado límite de Evento Extremo) 0.75 Apoyo sobre hormigón 0.70 Compresión en modelos de bielas y tirantes 0.70 Compresión en zonas de anclaje: Hormigón de densidad normal 0.80 Hormigón de baja densidad 0.65 Tracción en el acero en las zonas de anclaje 1.00 Resistencia durante el hincado de pilotes 1.00 NOTAS.- NOTAS.- - Para los elementos comprimidos con flexión, el valor de Ø se puede incrementar linealmente hasta llegar al valor correspondiente a flexión a medida que la resistencia a la carga axial de diseño, ØPn, disminuye desde 0.10f’cAg hasta 0. - Para los estados límites de Resistencia y correspondientes a Eventos Extremos Ø=1.0, excepto para bulones y columnas de hormigón en Zonas Sísmicas 3 y 4 (Art. 1.3.2.1).13. RECUBRIMIENTOS
  • III-18PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén14. ANCLAJE DE LAS ARMADURAS (5.11.2) ARMADURAS BARRAS Y ALAMBRES CORRUGADOS EN TRACCIÓN (5.11.2.1) La longitud de anclaje en tracción ld se toma como el producto entra la longitud básica de anclaje en tracción ldb y el factor o factores de modificación especificados. La longitud de anclaje en tracción no deberá ser menor que 300mm, excepto para empalmes solapados y anclajes de la armadura de corte. La longitud básica de anclaje ldb en mm se toma como: 0.02A b fy • Para barras #36 (Ø36mm) y menores: pero no menor que fc 0.06d b fy 25fy • Para barras #43 (Ø43mm) y menores: fc 34fy • Para barras #57 (Ø57mm) y menores: fc 0.36d b fy • Para alambre corrugado: fc donde: Ab = sección de la barra o alambre, mm db = diámetro de la barra, mm fy = tensión de fluencia, MPa f’c = resistencia a la compresión especificada del hormigón, MPa fct= resistencia media a la tracción por compresión diametral del hormigón de agregados de baja densidad, MPa Factores de modificación que aumentan ld: La longitud básica de anclaje ldb se deberá multiplicar por el siguiente factor o factores: • Para armadura superior horizontal o casi horizontal colocada de manera que haya más de 300mm de hormigón debajo de la armadura: 1.4 • Para hormigón de agregados de baja densidad para el cual se especifica fct: 0.58 fc ≥1.0 fct • Para hormigón de baja densidad para el cual no se especifica fct: 1.3 • Para hormigón de agregados livianos y arena para el cual no se especifica fct: 1.2
  • III-19PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén Si se utiliza arena para reemplazar sólo parte del agregado, se puede interpolar linealmente entre los requisitos para hormigón de baja densidad y aquellos para hormigón de agregados livianos y arena. • Para barras recubiertas con resina epoxi en las cuales el recubrimiento de hormigón es menor que 3db o la separación libre entre las barras es menor que 6db: 1.5 • Para barras recubiertas con resina epoxi no cubiertas por el ítem anterior: 1.2 No es necesario que el producto entre el factor correspondiente a armadura superior y el factor aplicable en el caso de barras recubiertas con resina epoxi sea mayor que 1.7. Factores de modificación que disminuyen ld La longitud básica de anclaje ldb se deberá multiplicar por el siguiente factor o factores: • Si la armadura que se está anclando en la longitud considerada tiene una separación lateral entre centros de al menos 150mm y tiene un recubrimiento libre medido en la dirección de la separación no menor que 75mm: 0.8 • Si no se requiere anclaje o desarrollo para la totalidad de la tensión de fluencia de la armadura, o si en un elemento flexionado hay más armadura que la requerida por el análisis: A srequerida A sprovista • Si la armadura está encerrada por una espiral formada por una barra de no menos de 6mm de diámetro y con un paso de no más de 100mm: 0.75 BARRAS CORRUGADOS EN COMPRESIÓN (5.11.2.2) La longitud de anclaje en compresión ld no será menor que el producto entra la longitud básica de anclaje en compresión ldb y los factores de modificación especificados, ni menor que 200mm. La longitud básica de anclaje en compresión ldb en mm se toma como: 0.24d b fy l db ≥ ,ó (5.11.2.2.1-1) fc l db ≥ 0.044d b fy (5.11.2.2.1-2)
  • III-20PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén Factores de modificación La longitud básica de anclaje ldb se puede multiplicar por los siguientes factores: • Si no se requiere anclaje o desarrollo para la totalidad de la tensión de fluencia de la armadura, o si hay más armadura que la requerida por el A s requerida análisis: A s provista • Si la armadura está encerrada por una espiral formada por una barra de no menos de 6mm de diámetro y con un paso de no más de 100mm: 0.75 PAQUETES DE BARRAS (5.11.2.3) La longitud de anclaje de las barras individuales que forman parte de un paquete, en tracción o compresión, deberá ser la correspondiente a la barra individual aumentada un 20 por ciento en el caso de paquetes de tres barras o 33 por ciento en el caso de paquetes de cuatro barras. Para determinar los factores especificados, un paquete de barras se deberá tratar como una única barra cuyo diámetro se deberá determinar a partir del área total equivalente. GANCHOS NORMALES EN TRACCIÓN (5.11.2.4)
  • III-21PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén Longitud básica de anclaje de un gancho La longitud de anclaje ldh en mm, para las barras corrugadas en tracción que terminan en un gancho normal, no deberá ser menor que: • El producto entre la longitud básica de anclaje lhb, según (5.11.2.4.1- 1), y el factor o los factores de modificación aplicables. • 8.0 diámetros de barra, ó • 150mm. La longitud básica de anclaje lhb con fluencia menor ó igual que 420MPa se deberá tomar como: 100d b l hb = (5.11.2.4.1-1) fc Factores de modificación La longitud básica de anclaje lhb se deberá multiplicar por el siguiente factor o factores según corresponda: fy • Si la tensión de fluencia de la armadura es superior a 420MPa: 420 • Si el recubrimiento lateral para barras #36 (Ø36mm) o menores, perpendicular al plano del gancho, es mayor o igual que 64mm, y para ganchos a 90°, el recubrimiento sobre la prolongación de la barra más allá del gancho no es menor que 50mm: 0.7 • Si los ganchos para barras #36 (Ø36mm) y menores están encerrados vertical u horizontalmente dentro de estribos o estribos cerrados en toda la longitud de anclaje, ldh, y la separación de estos estribos no es mayor que 3db: 0.8 • Si no se requiere anclaje o desarrollo para la totalidad de la tensión de fluencia, ó si hay más armadura que la requerida por el análisis: A srequerida A sprovista • Si se utiliza hormigón de agregados livianos: 1.3 • Si se usa armadura recubierta con resina epoxi: 1.2
  • III-22PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén15. SEPARACIÓN DE LAS BARRAS DE ARMADURA Separación Mínima (Art. 5.10.3 AASHTO LRFD) Para el hormigón colado in situ, la distancia libre entre barras paralelas ubicadas en una capa no deberá ser menor que 1.5 veces el diámetro nominal de las barras, 1.5 veces el tamaño máximo del agregado grueso, o 3.8 cm Para el hormigón prefabricado en planta bajo condiciones controladas, la distancia libre entre barras paralelas ubicadas en una capa no deberá ser menor que el diámetro nominal de las barras, 1.33 veces el tamaño máximo del agregado grueso o 2.5 cm Múltiples capas de Armadura: Excepto en los tableros en los cuales se coloca armadura paralela en dos o más capas, con una distancia libre entre capas no mayor que 15 cm, las barras de las capas superiores se deberán ubicar directamente sobre las de la capa inferior, y la distancia libre entre capas deberá ser mayor o igual que 2.5 cm o el diámetro nominal de las barras. Paquetes de Barras: El número de barras paralelas dispuestas en un paquete de manera que actúen como una unidad no deberá ser mayor que cuatro, excepto que en los elementos flexionados en ningún paquete el número de barras mayores que Nª 36 deberá ser mayor que dos. Los paquetes de barras deberán estar encerrados por estribos o zunchos. Cada una de las barras individuales de un paquete que se interrumpe dentro de un tramo deberá terminar en secciones diferentes, separadas como míniomo 40 diámetros de barra. Si las limitaciones de separación entre barras se basan en el tamaño de las barras, un paquete de barras se deberá tratar como una barra individual cuyo diámetro se obtiene a partir de la sección equivalente total. Separación Máxima (Art. 5.10.3.2 AASHTO LRFD) La separación de la armadura en tabiques y losas no deberá ser mayor que 1.5 veces el espesor del elemento ó 45 cm.16. ARMADURA TRANSVERSAL Regiones que requieren Estribos Excepto en losas, zapatas y alcantarillas, se deberá proveer armadura transversal si: Vu > 0.5∅(Vc+Vp) (5.8.2.4-1) ó Tu > 0.25∅ Tcr (5.8.2.1-3) Donde: Vu = fuerza de corte mayorada Vc = resistencia nominal al corte del hormigón Vp = componente de la fuerza de pretensado en la dirección de la fuerza de corte ∅ = factor de resistencia Tu = momento torsor mayorado Tcr = momento de fisuración por torsión
  • III-23PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén Mínima Armadura Transversal (Art. 5.8.2.5 AASHTO LRFD) bv s A v ≥ 0.083 fc (5.8.2.5-1) fy Donde: Av = área de la armadura transversal en una distancia s (mm2) bv = ancho del alma (mm) s = separación de la armadura transversal (mm) fy = tensión de fluencia de la armadura transversal (MPa) Máxima Separación de la Armadura Transversal La separación de la armadura transversal no deberá ser mayor que: Si vu < 0.125f’c smáx= 0.8dv ≤ 60 cm (5.8.2.7-1) Si vu ≥ 0.125f’c smáx= 0.4dv ≤ 30 cm (5.8.2.7-2) Donde: vu = tensión de corte (MPa) dv= altura de corte efectiva tomada como la distancia medida de forma perpendicular al eje neutro, entre las resultantes de las fuerzas de tracción y compresión debidas a flexión; no es necesario tomarla menor que el mayor valor entre 0.9de o 0.72h (mm) de = altura hasta el centroide del acero pretensado (mm) Hormigón Tensión de Corte en el Hormigón Se determina como: Vu − φVp Vu = (5.8.2.9-1) φb v d v Donde: bv = ancho del alma efectivo tomado como el mínimo ancho del alma, medido en forma paralela al eje neutro (mm) dv = altura de corte efectiva, como lo ya definido (mm) ∅ = factor de resistencia para corte Resistencia al Corte Mayorada Vr Se toma como: Vr = ØVnr (5.8.2.1-2) Resistencia Nominal al Corte Vn Se deberá determinar como el menor valor entre: Vn = Vc+Vs+ Vp (5.8.3.3.-1) Vn = 0.25f’cbvdv + Vp (5.8.3.3-2)
  • III-24PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén Siendo: Vc = 0.083β fc b v d v (5.8.3.3-3) A v fy d v (cot θ + cot α)senα Vs = (5.8.3.3-4) s Si α = 90°, ésta última ecuación se reduce a: A v fy d v cot θ Vs = (C5.8.3.3-1) s Donde: bv = ancho del alma efectivo tomado como el mínimo ancho del alma dentro de la altura dv (mm) dv = altura de corte efectiva (mm) s = separación de los estribos (mm) β = factor que indica la capacidad del hormigón fisurado diagonalmente de transmitir tracción ᒕ = ángulo de inclinación de las tensiones de compresión diagonal (°) α = ángulo de inclinación de la armadura transversal respecto al eje longitudinal (°) Av = área de la armadura de corte en una distancia s (mm2) Vp= componente de la fuerza de pretensado efectiva en la dirección del corte aplicado; positiva si se opone al corte aplicado (N) Procedimiento simplicado para determinación β y ᒕ en secciones no pretensadas Para zapatas de hormigón armado en las cuales la distancia entre el punto de corte nulo y la cara de la columna, pilar o tabique es menor que 3dy con o sin armadura transversal, y para otras secciones de hormigón no pretensado no solicitadas a tracción axial y que contienen al menos lo especificado por el Art. 5.8.2.5, o que tienen una altura total menor que 40 cm, se pueden utilizar: β = 2.0, ᒕ= 45°17. FATIGA Carga de Fatiga (Art. 3.6.1.4) La carga de fatiga será un camión de diseño como lo especificado, pero con una separación constante de 9.0 m entre los ejes de 14.8 T. A la carga de fatiga se le deberá aplicar el respectivo incremento por carga dinámica. Estado Limite de Fatiga (Art. 5.5.3) Se usará la sección fisurada cuando la sumatoria de las tensiones debidas a las cargas permanentes no mayoradas y tensiones de pretensado, más 1.5 veces la carga de fatiga, de por resultado una tensión de tracción mayor que 0.25 fc . El rango de tensión en las armaduras rectas que resulta de la combinación de cargas correspondiente a fatiga, deberá satisfacer: r ff ≤ 145 − 0.33fmin + 55( ) en MPa (5.5.3.2-1) h
  • III-25PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén r ff ≤ 1479 − 0.33fmin + 561( ) en kg/cm² (5.5.3.2-1) h Donde: ff = rango de tensión fmin = mínima tensión por sobrecarga resultante de la combinación de cargas correspondiente a la fatiga, combinada con la tensión más severa debida ya sea a las cargas permanentes o a las cargas permanentes más las cargas externas inducidas por contracción y fluencia lenta; la tracción se considera positiva, la compresión negativa r/h = relación entre el radio de base y la altura de las deformaciones transversales; si se desconoce el valor real se puede utilizar r/h = 0.3 En losas de tablero de hormigón en aplicaciones multiviga no es necesario investigar la fatiga.18. BARRERAS DE CONCRETO El propósito de una barrera de concreto en el caso de una colisión vehicular es redirigir el vehículo de una manera controlada. La barrera debe ser adecuada para resistir el impacto inicial de la colisión y seguir siendo eficaz en la reorientación del vehículo, debiendo por ello cumplir requisitos de resistencia y geometría. Secciones de barreras junto a cuantías de acero que pueden controlar colisiones se han desarrollado a lo largo de los años y se ha demostrado su eficacia por pruebas de choque. Los requisitos de resistencia dependen del volumen de camiones y la velocidad del tráfico previsto. Las fuerzas de diseño y su ubicación en relación con la losa de puente están dadas en seis niveles según la Tabla AASHTO A13.2-1. Cabe destacar que un sistema de barreras y su conexión a la cubierta sólo se autoriza después de demostrar que es satisfactorio a través de pruebas de choque en barreras a escala natural para el nivel de prueba deseado [A13.7.3.1]. Si se realizan modificaciones menores a modelos ya probados, que no afectan su resistencia, pueden utilizarse sin las pruebas de impacto requeridas. Así mismo es importante detallar el acero que se extiende de la barrera a la losa y analizar la resistencia del voladizo para la transferencia de la carga de choque. Número de lados aptos para el impacto En función de su número de lados, las barreras se clasifican en simples y dobles. Las simples tienen una sección transversal que presenta un solo lado apto para el impacto. Las dobles, en cambio, cuentan una sección transversal con ambos lados aptos para el impacto. La barrera simple es un elemento longitudinal y asimétrico que se utiliza como barrera lateral, al lado derecho de la calzada o en pares opuestos como separador central. Se ubica a los lados de una vía frente a terraplenes, depresiones o estructuras que signifiquen posibilidad de colisión. Sirven también como protección de los muros de contención, revestimiento de túneles y barandas de puentes.
  • III-26PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén Las barreras dobles son elementos longitudinales simétricos que se utilizan como separador central entre calzadas en vías con doble sentido de circulación, al mismo nivel o escalonadas. Están destinadas a resistir los choques frontales, que son los causantes del mayor número de accidentes mortales. Barreras dobles ancladas en calzadas Barreras dobles ancladas en puentes Criterios Criterios de capacidad de contención En función del tipo de vehículos que son capaces de contener, las barreras se pueden clasificar en normales y especiales. Estas últimas son barreras cuyo comportamiento frente al impacto ha sido mejorado, con el fin de garantizar su eficacia ante el impacto de vehículos pesados. En el caso de las colisiones severas, es importante definir los daños que producen en el conductor y los pasajeros, por efecto de la desaceleración que se produce, asumiendo diferentes direcciones. Este factor ha sido estudiado en pruebas desarrolladas en estaciones experimentales, con diferentes tipos de vehículos y maniquíes en los que se instalan distintos sensores.
  • III-27PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén En condiciones de tráfico simuladas en estaciones experimentales, el comportamiento de los vehículos se registra dentro de un valor conocido como índice de severidad, cuyo límite máximo es la unidad, que representa la posibilidad de que los ocupantes no sufran daños. La regulación define las pruebas de choque a las cuales debe estar sujeta la barrera. Basadas en las características de desempeño, han sido definidas pruebas caracterizadas por la masa y la velocidad del vehículo colisionador, y por el ángulo (estándar) correspondiente al impacto vehículo-barrera. La regulación requerida para definir el emplazamiento y el carácter de las barreras en el sistema vial debe comprender: a) las diferentes magnitudes de índice de severidad, que pueden ser homologadas de la experiencia internacional; b) el tipo de tráfico de acuerdo con el porcentaje de vehículos pesados que se prevén para la vía; y c) el tipo de vía según la norma oficial que las caracteriza, considerando vías extraurbanas y vías urbanas. LA BARRERA TIPO NEW JERSEY Perfil geométrico La Norma Técnica Peruana 339.222:2008 Sistemas Viales de Contención de Vehículos, adopta tres perfiles basados en la barrera New Jersey: el tradicional, el perfil F y el perfil mejorado. El perfil de la barrera New Jersey, que se aprecia en la figura 1, está compuesto por tres tramos, cada uno de los cuales tiene una función específica en su comportamiento. El tramo inferior: Es un plano vertical con una altura de 75 ± 10 mm, medidos a partir del nivel de la rasante (pavimento). Posteriormente a la colocación de una sobrecapa en la vía, este tramo inferior puede incrementarse hasta una altura de 150 mm, sin que por ello modifique el comportamiento de los vehículos que chocan contra la barrera. Sin embargo, hay que tener en cuenta que cualquier reducción de la altura de este tramo por debajo de 65 mm puede alterar negativamente su comportamiento. Tramo intermedio: Es un plano de transición localizado inmediatamente sobre el tramo vertical. Tiene una inclinación de 55° con respecto a la horizontal, y unas proyecciones de 250 mm sobre la vertical y de 175 mm sobre la horizontal. Es conveniente que esté unido al tramo interior mediante una transición circular de 200 mm de radio. Tramo superior: Es un plano que tiene una inclinación de 840 con respecto a la horizontal y se prolonga hasta completar los 800 mm de altura de la barrera sobre el nivel de la rasante. También resulta conveniente que esté unido al anterior mediante una transición circular de 200 mm de radio.
  • III-28PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén Perfil New Jersey Perfil F New Jersey recrecido Comportamiento de las barreras New Jersey Al momento del choque, la rueda frontal del vehículo se pone en contacto con la parte vertical, de 7,5 cm de altura, que tiende a frenar y enderezar el vehículo. La rueda asciende por la cara inclinada 55°, y una o ambas ruedas y el costado del vehículo son levantados hasta 26 cm por encima de la calzada. Esta elevación absorbe la energía del impacto y, equilibra el momento de vuelco mediante la compresión de la suspensión del vehículo. Con pequeños ángulos de impacto, esto sucede sin que la carrocería golpee la barrera. Si la velocidad del vehículo y el ángulo de impacto son suficientemente altos, la rueda continúa ascendiendo por encima del talud de 55° y se pone en contacto con la parte superior casi vertical de la barrera. Esto completa el frenado y el encauzamiento del vehículo, redirigiéndolo al carril contiguo a la barrera, paralelamente a ésta. De acuerdo con el esquema de interacción vehículo-barrera, una barrera con perfil New Jersey que sea adecuada en términos estructurales absorberá la energía producida durante el impacto y posteriormente encauzará el vehículo. Sin embargo, para que esto se realice de manera
  • III-29PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén satisfactoria, los parámetros de la trayectoria del vehículo y la disipación de energía deben estar dentro de los límites permisibles para sus ocupantes. Mecanismo de absorción de la energía cinética Las fuerzas involucradas en el impacto contra una barrera producen una cantidad de energía cinética relativamente grande, y para que el encauzamiento del vehículo sea eficiente, se requiere disipar esa energía producida haciendo que este absorba la menor cantidad posible, lo que depende del peso, el ángulo de incidencia y la velocidad del vehículo. Esta última se puede determinar calculando los componentes en las direcciones paralela y perpendicular a la barrera. Suponiendo que durante la colisión no se aplicaran los frenos, en un encausamiento satisfactorio la disipación de la energía paralela a la barrera se efectúa a través de la fuerza de fricción que se desarrolla por el contacto del vehículo con la barrera y de las llantas con el pavimento. En la mayoría de 1os diseños de barreras, la carrocería del vehículo que choca estará en contacto con la barrera hasta el momento en que éste sea encauzado. Sin embargo, para la barrera de concreto y en ángulos de incidencia pequeños, el único contacto del vehículo durante la colisión puede ser el de la llanta delantera del lado correspondiente. Así, la fuerza de fricción entre el vehículo y la barrera se origina en la llanta a medida que ésta sube y cambia de dirección debido a la menor pendiente del tramo de transición. El componente de la energía total perpendicular a la barrera debe ser absorbido en la retención del vehículo. Esto se lleva a cabo a través de la deformación elástica y plástica de la barrera, del vehículo o de ambos. En un sistema rígido, si la barrera no falla, una cantidad mínima de energía es absorbida por esta; y otra muy pequeña, por el suelo. Por lo tanto, en estas condiciones, el vehículo debe absorber o disipar casi toda esta energía. ESPECIFICACIONES DE DISEÑO PARA BARRERAS DE CONCRETO Fuerzas de diseño para las barreras para tráfico vehicular (A13.2) La referida Especificación AASHTO señala:
  • III-30PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén
  • III-31PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén Criterios para Seleccionar el Nivel de Ensayo • TL-1 − Nivel de Ensayo Uno: Generalmente aceptable para las zonas de trabajo en las cuales las velocidades permitidas son bajas y para las calles locales de muy bajo volumen y baja velocidad; • TL-2 − Nivel de Ensayo Dos: Generalmente aceptable para las zonas de trabajo y la mayor parte de las calles locales y colectoras en las cuales las condiciones del sitio de emplazamiento son favorables; también donde se anticipa la presencia de un pequeño número de vehículos pesados y las velocidades permitidas son reducidas; • TL-3 − Nivel de Ensayo Tres: Generalmente aceptable para un amplio rango de carreteras principales de alta velocidad en las cuales la presencia de vehículos pesados es muy reducida y las condiciones del sitio de emplazamiento son favorables; • TL-4 − Nivel de Ensayo Cuatro: Generalmente aceptable para la mayoría de las aplicaciones en carreteras de alta velocidad, autovías, autopistas y carreteras interestatales en las cuales el tráfico incluye camiones y vehículos pesados; • TL-5 − Nivel de Ensayo Cinco: Generalmente aceptable para las mismas aplicaciones que el TL-4 y también cuando el tráfico medio diario contiene una proporción significativa de grandes camiones o cuando las condiciones desfavorables del sitio de emplazamiento justifican un mayor nivel de resistencia de las barandas; y • TL-6 − Nivel de Ensayo Seis: Generalmente aceptable para aplicaciones en las cuales se anticipa la presencia de camiones tipo tanque o cisterna u otros vehículos similares de centro de gravedad elevado, particularmente cuando este tráfico se combina con condiciones desfavorables del sitio de emplazamiento. Barandas de Hormigón (A13.3.1) Para las barreras o parapetos de hormigón armado y pretensado se pueden utilizar análisis por líneas de fluencia y diseño por resistencia. La resistencia nominal de la baranda frente a la carga transversal, Rw, se puede determinar utilizando un enfoque por líneas de fluencia de la siguiente manera: • Para impactos dentro de un segmento de muro:  2  M L2  Rw =   2L − L  8Mb + 8Mw + c c   (A13.3.1-1) H   c t   La longitud crítica de muro en la cual se produce el mecanismo de la línea de fluencia, Lc, se deberá tomar como: 2 Lt L  8H(Mb + Mw ) Lc = +  t + (A13.3.1-2) 2 2 Mc
  • III-32PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén • Para impactos en el extremo de un muro o en una junta:  2  M L2  Rw =   2L − L  Mb + Mw + c c   (A13.3.1-3) H   c t   2 Lt L  H(Mb + Mw ) Lc = +  t + (A13.3.1-4) 2 2 Mc donde: Ft = fuerza transversal especificada en la Tabla A13.2-1que se supone actuando en la parte superior de un muro de hormigón (N) H = altura del muro (mm) Lc = longitud crítica del patrón de falla por líneas de fluencia (mm) Lt = longitud de distribución longitudinal de la fuerza de impacto Ft (mm) Rw= resistencia transversal total de la baranda (N) Mb= resistencia flexional adicional de la viga acumulativa con Mw, si corresponde, en la parte superior del muro (N-mm) Mc= resistencia flexional de los muros en voladizo respecto de un eje paralelo al eje longitudinal del puente (N-mm/mm) Mw= resistencia flexional del muro respecto de su eje vertical (N-mm/mm) Para poder ser utilizados en las expresiones anteriores, Mc y Mw no deberían variar significativamente con la altura del muro. En otros casos se debería realizar un análisis riguroso mediante líneas de fluencia. Diseño de los vuelos del tablero (A13.4) del Los vuelos del tablero de un puente se deben diseñar considerando separadamente los siguientes casos de diseño: Caso de Diseño 1: fuerzas transversales y longitudinales especificadas en el Artículo A13.2 − Estado Límite Correspondiente a Evento Extremo Caso de Diseño 2: fuerzas verticales especificadas en el Artículo A13.2 − Estado Límite Correspondiente a Evento Extremo Caso de Diseño 3: cargas que ocupan el vuelo, especificadas en el Artículo 3.6.1 − Estado Límite de Resistencia Tableros que soportan parapetos de hormigón Para el Caso de Diseño 1, el tablero del puente se puede diseñar para proveer una resistencia flexional, Ms, en Nmm/mm, que actuando conjuntamente con la fuerza de tracción T en N/mm aquí especificada sea mayor que la Mc del parapeto en su base. La fuerza de tracción axial, T, se puede tomar de la siguiente manera: R T= (A13.4.2-1) L c + 2H
  • III-33PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén donde: Rw= resistencia del parapeto especificada en el Artículo A13.3.1 (N) Lc = longitud crítica del patrón de falla por líneas de fluencia (mm) H = altura del muro (mm) T = fuerza de tracción por unidad de longitud del tablero (N/mm) El diseño del vuelo del tablero para las fuerzas verticales especificadas en el Caso de Diseño 2 se deberá basar en la porción del tablero en voladizo. Transferencia de Corte en las Interfases − Corte por Fricción (Art. 5.8.4) Se debe considerar la transferencia de corte en la interfase en un plano dado por: una fisura existente o potencial, una interfase entre diferentes materiales, o una interfase entre dos hormigones colados en diferentes momentos. La resistencia nominal al corte del plano de interfase se debe tomar como: [ Vn = cA cv + µ A vf fy + Pc ] (5.8.4.1-1) La resistencia nominal al corte utilizada en el diseño no deberá ser mayor que el menor valor entre los siguientes: Vn ≤ 0.2fc A cv (5.8.4.1-2) ó bien Vn ≤ 5.5A cv (5.8.4.1-3) donde: Vn = resistencia nominal al corte (N) Acv = área del hormigón que participa de la transferencia de corte (mm2) Avf = área de la armadura de corte que atraviesa el plano de corte (mm2) fy = tensión de fluencia de la armadura (MPa) c = factor de cohesión especificado en el Artículo 5.8.4.2 (MPa) µ = coeficiente de fricción especificado en el Artículo 5.8.4.2 Pc = fuerza de compresión permanente neta normal al plano de corte; si la fuerza es de tracción Pc = 0,0 (N) fc = resistencia especificada del hormigón más débil a 28 días (MPa) La armadura para el corte en las interfases entre hormigones de losas y vigas puede consistir en barras individuales, estribos de múltiples ramas o las ramas verticales de una malla de alambre soldada. El área de la sección transversal Avf de la armadura por unidad de longitud de viga debería satisfacer ya sea el área requerida por la Ecuación 1 o bien:
  • III-34PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén 0.35b v A vf ≥ (5.8.4.1-4) fy donde: bv = ancho de la interfase (mm) La mínima armadura requerida Avf se puede obviar si Vn/Acv es menor que 0.70 MPa. En el caso de las vigas, la separación longitudinal entre filas de barras de armadura no deberá ser mayor que 600mm. Si hay una fuerza neta de tracción a través del plano de corte, ésta deberá ser resistida por armadura adicional a la requerida para corte. La armadura de corte por fricción se deberá anclar mediante una longitud embebida, ganchos o soldadura de manera de poder desarrollar la tensión de fluencia especificada a ambos lados del plano de corte. Las barras se deberán anclar tanto en la viga como en la losa. Cohesión y Fricción (Art. 5.8.4.2) Fricción Para el coeficiente de cohesión, c, y el coeficiente de fricción, µ, se deberán tomar los siguientes valores: • Para el hormigón colocado de forma monolítica: c = 1,0 MPa µ = 1,4λ • Para el hormigón colocado contra una superficie limpia de hormigón endurecido a la cual se le ha introducido una rugosidad intencional de 6 mm de amplitud: c = 0,70 MPa µ = 1,0λ • Para hormigón colocado contra una superficie de hormigón endurecido limpia y libre de nata, pero a la cual no se le ha introducido una rugosidad intencional: c = 0,52 MPa µ = 0,6λ • Para el hormigón anclado a acero estructural sin tratamiento térmico mediante pernos con cabeza o mediante barras de armadura, si todo el acero en contacto con el hormigón está limpio y libre de pintura: c = 0,17 MPa µ = 0,7λ Para λ se deberán tomar los siguientes valores: • Para hormigón de densidad normal 1.00 • Para hormigón de agregados livianos y arena 0.85 • Para todos los demás hormigones de baja densidad 0.75
  • III-35PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén Para las ménsulas, cartelas y resaltos horizontales tipo viga, el factor de cohesión, c, se deberá tomar igual a 0,0. Si se utiliza arena para reemplazar parcialmente el agregado, los valores de λ se pueden interpolar linealmente.
  • III-36PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén PROBLEMASPROBLEMA III.1 Diseñar una losa de puente simplemente apoyada de 8.0 m de una apoyadalongitud, con armadura principal paralela al tráfico y la sección transversal que semuestra. Utilizar concreto f’c= 315 kg/cm2 y fy= 4200 kg/cm2. La carga viva a utilizarmuestra. estraes HL-93. HL- A B t Luz = 8.00 m P = 600 kg/m Asfalto 2" P = 600 kg/m barrera barrera t .40 7.60 .40 8.40 m SECCIÓN TRANSVERSALSolución.-Solución.- Pre-A) Pre-dimensionamiento 1.2(S + 3000) t mín = (Tabla 2.5.2.6.3-1) 30 1.2(8000 + 3000) = = 0.44 m 30 Tomamos t = 0.45 mB) Diseño de franja interior (1.0m de ancho)B.1) Momentos de flexión por cargas Carga muerta (DC): wlosa = 0.45m x 1.0m x 2.4 T/m3 = 1.08 T/m w losaL2 1.08(8)2 MDC = = = 8.64 T-m 8 8
  • III-37PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén Carga por superficie de rodadura (DW): wasf 2” = 0.05m x 1.0m x 2.25T/m³ = 0.113T/m w asf2"L2 0.113(8)2 MDW = = = 0.90 T-m 8 8 Carga viva (LL): De la Tabla APÉNDICE II-B, para vehículo HL-93, y con la consideración de carga dinámica (33%) en estado límite de Resistencia I: MLL+IM = 58.62 T-m Siendo la luz del puente L=8m > 4.6m, el ancho de faja E para carga viva es aplicable (Art. 4.6.2.1.2). El momento se distribuye en un ancho de faja para carga viva E: Caso de 2 ó más vías cargadas: W E = 2100 + 0.12 L1W1 ≤ (Art. 4.6.2.3-2) NL siendo: L1 = 8m ≤18m = 8000mm W1= 8.4m ≤18m = 8400mm (2 ó más vías) W1= 8.4m ≤ 9m = 8400mm (para 1 vía) W = ancho total = 8.4m = 8400mm NL= número de vías; en general la parte entera de la relación w/3.6, siendo w el ancho libre de la calzada (Art. 3.6.1.1.1) = 7.6/3.6 = 2 8.4 E = 2100 + 0.12 8000x8400 ≤ m 2 E = 3.08m ≤ 4.20m Caso de una vía cargada: (incluye el factor de presencia múltiple, C4.6.2.3): E = 250 + 0.42 L1W1 (Art. 4.6.2.3-2) E = 250 + 0.42 8000x8400 E = 3.69m El ancho de faja crítico es E= 3.08m 58.62 T − m MLL +IM = = 19.03 T-m/m 3.08m
  • III-38PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez SerquénB.2) Resumen de momentos flectores y criterios LRFD aplicables (Tabla 3.4.1-1) MOMENTOS POSITIVOS POR CARGAS (FRANJA INTERIOR) Carga M(+) T-m T- γ Resistencia I Servicio I Fatiga DC 8.64 1.25 1.0 0 DW 0.90 1.50 1.0 0 LL+IM 19.03 1.75 1.0 0.75 Resistencia I: U = n[1.25DC+1.50DW+1.75(LL+IM)] Servicio I: U = n[1.0DC+1.0DW+1.0(LL+IM)] Fatiga: U = n[0.75(LL+IM)]B.3) Cálculo del Acero Para el Estado Límite de Resistencia I, con n= nDnRnI=1: Mu = n[1.25 MDC + 1.50 MDW + 1.75 M(LL+IM)] (Tabla 3.4.1-1) = 1.25(8.64) + 1.50(0.90) + 1.75(19.03) = 45.45 T-m As principal paralelo al tráfico Utilizando As ∅1” y recubrimiento r= 2.5cm (Tabla 5.12.3-1) 2.54 z = 2.5 + = 3.77 cm d 2 0.45 m d= 45cm – 3.77cm = 41.23cm z Mu 45.45x 5 10 As = = = 30.98 cm2 a a 0.9fy (d ) 0.9x4200(41.23 - ) 2 2 Asx4200 a= = 0.157 As = 4.86 cm 0.85x315x 100 5.10 La separación será: s = = 0.16 m 30.98 USAR 1∅1” @ 0.16m 0.16 As máximo (Art. 5.7.3.3.1) Una sección no sobre reforzada cumple con: c /de ≤ 0.42  f − 280  Como β1 = 0.85 − 0.05 c  2  70  para fc > 280 kg / cm , β1 = 0.825   c = a / β1 = 4.86 / 0.825 = 5.89 cm de = 41.23 cm
  • III-39PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén c /de = 0.14 ≤ 0.42 OK! As mínimo (Art. 5.7.3.3.2) La cantidad de acero proporcionado debe ser capaz de resistir el menor valor de1.2Mcr y 1.33Mu: a) 1.2Mcr = 1.2fr S = 1.2(35.67 kg/cm2)(33,750 cm3) = 14.45 T-m Siendo: fr = 0.63 fc MPa = 2.01 fc kg / cm2 = 2.01 315 = 35.67 kg / cm2 S = bh2/6 = 100(45)2/6 = 33,750 cm3 b) 1.33 Mu= 1.33(45.45 T-m) = 60.45 T-m El menor valor es 14.45 T-m y la cantidad de acero calculada (30.98 cm2) resiste Mu=45.45 T-m > 14.45 T-m OK! As de distribución 1750 %= ≤ 50% (Art. 9.7.3.2) S 1750 %= =19.57% 8000 As repart = 0.1957(30.98 cm2) = 6.06 cm2 2 Utilizando varillas ∅5/8”, la separación será: s = = 0.33m 6.06 USAR 1∅5/8” @ 0.33 m As de temperatura Ag A s temp = 0.756 [SI] (5.10.8.2-1) Fy A s temp = 0.0018 A g [MKS, con fy = 4200 kg / cm2 ] 100) = 8.1cm2 A s temp = 0.0018(45x A s temp = 8.1cm2 / 2 = 4.05 cm2 / capa 1.29 Utilizando varillas ∅1/2”, la separación será: s = = 0.32m 4.05 smáx = 3t = 3(0.45)= 1.35m (Art.5.10.8) smáx = 0.45m OK! (Art.5.10.8) USAR 1∅1/2” @ 0.32 m 0.32
  • III-40PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén Nota.- El acero de temperatura se colocará, por no contar con ningún tipo de acero, en la parte superior de la losa, en ambos sentidos.B.4) Revisión de fisuración por distribución de armadura (Art. 5.7.3.4) Esfuerzo máximo del acero: Z fsa = ≤ 0.6fy (5.7.3.4-1) (d c A )1/ 3 Para el acero principal positivo (dirección paralela al tráfico): Ø b d c = recubrimie4 + 14 24nto 2 4 3 ≤ 5 cm ( Art.5.7.3.4) 2.54 d c = 2.5 cm + cm 2 45 cm dc = 3.77cm 1Ø1"@0.16 dc dc b = espac. del acero = 16 cm nv = número de varillas = 1 16 cm (2d c )b (2x3.77cm)( cm) 16 A= = = 120.64 cm2 (Art. 5.7.3.4) nv 1 Z = 30,000 N/mm (condición de exposición moderada) (Art. 5.7.3.4) = 30,591 Kg/cm Luego: 30, 591kg / cm fsa = 2 1/ 3 = 3, 978 kg / cm2 (3.77cm x 120.64cm ) fsa ≤ 0.6(4200kg / cm2 ) = 2,520 kg / cm2 fsa = 2,520 kg / cm2 Esfuerzo del acero bajo cargas de servicio Ms c fs = n I Para el Diseño por Estado Límite de Servicio I, con n= nDnRnI=1: Ms = n ( .0 MDC +1.0 MDW +1.0 MLL +IM ) 1 (Tabla 3.4.1-1) Ms = 1.0(1.0x8.64+1.0x0.90+1.0x19.03) Ms = 28.57 T-m/m
  • III-41PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén Para un ancho tributario de 0.16m: Ms = (28.57 T-m/m) (0.16 m) = 4.57 T-m Es =200,000 MPa = 2’039,400 kg/cm2 (5.4.3.2) E c = 15,344 f c (5.4.2.4-1) E c = 15,344 315 = 272, 329 kg / cm2 Es 2039, 400 kg / cm2 n= = =7 Ec 272, 329 kg / cm2 16 cm y (-) 41.23 c 45 cm (+) 3.77 (fs/n) 1Ø1"@0.16 Ast=7x5.10cm²=35.7cm² Área de acero transformada: Ast = relación modular x área de acero Ast = 7(5.10 cm2) = 35.7 cm2 Momentos respecto del eje neutro para determinar y: 16y (y/2) = 35.7(41.23-y) y = 11.52cm, c=41.23cm-y = 29.71cm Inercia respecto del eje neutro de sección transformada: by 3 I = A st c 2 + 3 16 ( .52) 3 11 = 35.7 (29.71 2 + ) 3 =39,666cm4 Luego: Ms c 4.57 x 105 x 29.71 fs = n= x 7 = 2, 396 kg / cm2 I 39, 666 fs = 2, 396 kg / cm2 < fsa = 2, 520 kg / cm2 OK !
  • III-42PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez SerquénC) Diseño de franja de bordeC.1) Ancho de franja para bordes longitudinales de losa Según el Art. 4.6.2.1.4b, el ancho efectivo Eborde en bordes longitudinales se toma como la sumatoria de la distancia entre el borde del tablero y la cara interna de la barrera, mas 0.30m, mas la mitad del ancho de faja E ya especificado. Eborde no deberá ser mayor que E, ni 1.80m. 0.5P 0.5P (camión ó tandem) .40 .30 1.80 (carga de vía) .45 3.00 .77 E=1.47m borde Con E=3.08m tenemos: (3.08m / 2) E borde = 0.40m + 0.30m + ≤ (3.08m / 2) ó 1.80m 2 E borde = 1.47m ≤ 1.54m E borde = 1.47mC.2) Momentos de flexión por cargas (franja de 1.0m de ancho) Carga muerta (DC): wlosa = 0.45m x 1.0m x 2.4 T/m3 = 1.08 T/m El peso de la barrera se asume distribuido en Eborde: wbarrera = 0.600T / 1.47m = 0.41T/m wDC = 1.08T/m + 0.41T/m = 1.49T/m w L2 1.49 (8)2 MDC = DC = = 11.92T-m 8 8 Carga por superficie de rodadura (DW): wasf 2” = 113 kg/m(1.47m - 0.40m) /1.47m = 82kg/m w asf2"L2 0.082(8)2 MDW = = = 0.66T-m 8 8
  • III-43PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén Carga viva (LL): Para una línea de ruedas de tándem (crítico) y una porción tributaria de la carga de vía de 3.00m de ancho, de la Tabla APÉNDICE II-B con la consideración de carga dinámica (33%) en estado límite de Resistencia I:   0.30m + 0.77m   MLL +IM = 0.5 x 38.33Tm x1.33 + 7.64Tm   /1.47m   3.00m  MLL+IM = 19.19 T-mC.3) Resumen de momentos flectores y criterios LRFD aplicables (Tabla 3.4.1-1) MOMENTOS POSITIVOS POR CARGAS (FRANJA DE BORDE) Carga M(+) T-m T- γ Resistencia I Servicio I Fatiga DC 11.92 1.25 1.0 0 DW 0.66 1.50 1.0 0 LL+IM 19.19 1.75 1.0 0.75 Resistencia I: U = n[1.25DC+1.50DW+1.75(LL+IM)] Servicio I: U = n[1.0DC+1.0DW+1.0(LL+IM)] Fatiga: U = n[0.75(LL+IM)]C.4) Cálculo del Acero Para el Estado Límite de Resistencia I, con n= nDnRnI=1: Mu = n[1.25 MDC + 1.50 MDW + 1.75 M(LL+IM)] (Tabla 3.4.1-1) = 1.25(11.92Tm) + 1.50(0.66Tm) + 1.75(19.19Tm) = 49.47 T-m As principal paralelo al tráfico Utilizando As ∅1” y recubrimiento r= 2.5cm (Tabla 5.12.3-1) 2.54 z = 2.5 + = 3.77 cm d 2 0.45 m d= 45cm – 3.77cm = 41.23cm z Mu 49.47x 5 10 As = = = 33.94cm2 a a 0.9fy (d ) 0.9x4200(41.23 - ) 2 2 Asx4200 a= = 0.157As = 5.33cm 0.85x315x 100
  • III-44PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén 5.10 La separación será: s = = 0.15m 33.94 USAR 1∅1” @ 0.15m 0.15 As máximo (Art. 5.7.3.3.1) Una sección no sobre reforzada cumple con: c /de ≤ 0.42  f − 280  Como β1 = 0.85 − 0.05 c  2  70  para fc > 280 kg / cm , β1 = 0.825   c = a / β1 = 5.33cm/0.825 = 6.46cm de = 41.23 cm c /de = 0.16 ≤ 0.42 OK! As mínimo (Art. 5.7.3.3.2) La cantidad de acero proporcionado debe ser capaz de resistir el menor valor de1.2Mcr y 1.33Mu: a) 1.2Mcr = 1.2fr S = 1.2(35.67kg/cm2)(33,750cm3) = 14.45T-m Siendo: fr = 0.63 fc MPa = 2.01 fc kg / cm2 = 2.01 315 = 35.67 kg / cm2 S = bh2/6 = 100(45)2/6 = 33,750 cm3 b) 1.33 Mu= 1.33(49.47T-m) = 65.80T-m El menor valor es 14.45 T-m y la cantidad de acero calculada (33.94 cm2) resiste Mu=49.47 T-m > 14.45 T-m OK! As de distribución 1750 %= ≤ 50% (Art. 9.7.3.2) S 1750 %= =19.57% 8000 As repart = 0.1957(33.94 cm2) = 6.64 cm2 2 Utilizando varillas ∅5/8”, la separación será: s = = 0.30 m 6.64 USAR 1∅5/8” @ 0.30 m 0.30 Nota.- Por facilidad en el colocado se uniformizará este resultado con el obtenido para la franja interior (1Ø5/8”@0.33m), adoptándose 1∅5/8” @ 0.30 m.
  • III-45PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez SerquénC.5) Revisión de fisuración por distribución de armadura (Art. 5.7.3.4) Esfuerzo máximo del acero: Z fsa = ≤ 0.6fy (5.7.3.4-1) (d c A )1/ 3 Para el acero principal positivo (dirección paralela al tráfico): Ø d c = recubrimie4 + 14 24nto 2 4 3 b ≤ 5 cm ( Art.5.7.3.4 ) 2.54 d c = 2.5 cm + cm 2 dc = 3.77cm 45 cm 1Ø1"@0.15 dc b = espac. del acero = 15 cm dc nv = número de varillas = 1 15 cm (2d c )b (2x3.77cm)( cm) 15 A= = = 113.1 cm2 (Art. 5.7.3.4) nv 1 Z = 30,000 N/mm (condición de exposición moderada) (Art. 5.7.3.4) = 30,591 Kg/cm Luego: 30,591kg / cm fsa = = 4, 064 kg / cm2 (3.77cm x 113.1cm2 )1/ 3 fsa ≤ 0.6(4200kg / cm2 ) = 2,520 kg / cm2 fsa = 2,520 kg / cm2 Esfuerzo del acero bajo cargas de servicio Ms c fs = n I Para el Diseño por Estado Límite de Servicio I, con n= nDnRnI=1: Ms = n ( .0 MDC +1.0 MDW +1.0 MLL +IM ) 1 (Tabla 3.4.1-1) Ms = 1.0(1.0x11.92Tm+1.0x0.66Tm+1.0x19.19Tm) Ms = 31.77 T-m/m Para un ancho tributario de 0.15m:
  • III-46PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén Ms = (31.77 T-m/m) (0.15 m) = 4.77 T-m Es =200,000 MPa = 2’039,400 kg/cm2 (5.4.3.2) E c = 15,344 f c (5.4.2.4-1) 2 E c = 15,344 315 = 272, 329 kg / cm Es 2039,400 kg / cm2 n= = =7 Ec 272,329 kg / cm2 15 cm y (-) 41.23 c 45 cm (+) 3.77 (fs/n) 1Ø1"@0.15 Ast=7x5.10cm²=35.7cm² Área de acero transformada: Ast = relación modular x área de acero Ast = 7(5.10 cm2) = 35.7 cm2 Momentos respecto del eje neutro para determinar y: 15y (y/2) = 35.7 (41.23-y) y = 11.83 cm, c=41.23cm - y = 29.40cm Inercia respecto del eje neutro de sección transformada: by 3 I = A st c 2 + 3 15 ( .83) 3 11 = 35.7 (29.40)2 + 3 = 39,136 cm4 Luego: Ms c 4.77 x 105 x 29.40 fs = n= x 7 = 2, 508 kg / cm2 I 39,136 fs = 2, 508 kg / cm2 < fsa = 2, 520 kg / cm2 OK !
  • III-47PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez SerquénD) FatigaD.1) Carga de FatigaSe calcula con un camión de diseño, con una separación constante de 9.0 m entre losejes de 14.8T (Art. 3.6.1.4.1). No se aplica el factor de presencia múltiple (Art.3.6.1.1.2). c L 14.8 T 14.8 T 3.6 T 9.0 m 4.3 m A B Mmáx 4.0 m 4.0 m PL 14.8T (8.0 m) MLL = = = 29.6 T − m 4 4 Para el Diseño por Fatiga, con n= nDnRnI=1: Mfat = n (0.75 MLL +IM ) (Tabla 3.4.1-1) Considerando el ancho efectivo para una sola vía cargada, y IM=0.15 (Tabla 3.6.2.1-1): Mfat = 1.0(0.75x1.15x29.6 T-m) / E Mfat = 25.53 T-m/ 3.69 m = 6.92 T-m/mD.2) Sección fisuradaSe utiliza la sección fisurada si la suma de esfuerzos debido a cargas permanentes nomayoradas más 1.5 veces la carga de fatiga, da por resultado una tensión de tracciónmayor que 0.25 fc (Art. 5.5.3): ftracc = 0.25 fc MPa = 0.80 fc kg / cm2 = 0.80 315 kg / cm2 = 14.20 kg / cm2 Esfuerzo debido a cargas permanentes no mayoradas más 1.5 veces la carga de fatiga en una franja interior: M’fat = 1.0MDC+1.0MDW+1.5Mfat M’fat = 1.0x8.64+1.0x0.90+1.5x6.92 = 19.92 T-m
  • III-48PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén Mfat 19.92x 5 kg − cm 10 ffat = = = 59.02 kg / cm2 S 33,750cm 3 Como ffat = 59.02 kg/cm2 > 14.20 kg/cm2 , se usará sección agrietada.D.3) Verificación de esfuerzos Esfuerzo en el refuerzo debido a la carga viva Con A s = 1φ1 @ 0.16m = 5.10cm2 / 0.16m = 31.88cm2 / m " y 11.52cm j.d = d − = 41.23cm − = 37.39cm (ver revisión agrietamiento) 3 3 Mfat 6.92x 5 10 fLL = = = 581 kg / cm2 A s ( j.d) (31.88)(37.39) Rango máximo de esfuerzo El esfuerzo mínimo es el esfuerzo por carga viva mínimo combinado con el esfuerzo por carga permanente. El momento por carga muerta para una franja interior es: MDL = MDC + MDW = 8.64 T-m + 0.90 T-m = 9.54 T-m El esfuerzo por carga permanente es: MDL 9.54x 5 10 fDL = = = 800 kg / cm2 A s ( j.d) (31.88)(37.39) Por ser la losa simplemente apoyada, el esfuerzo por carga viva mínimo es cero. Luego, el esfuerzo mínimo es: fmín = 0 + 800 kg/cm2 = 800 kg/cm2 El esfuerzo máximo es el esfuerzo por carga viva máximo combinado con el esfuerzo por cargas permanentes: fmáx = 581kg/cm2 + 800 kg/cm2 = 1381 kg/cm2 El rango de esfuerzos es: f = fmáx – fmín = 581 kg/cm2
  • III-49PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén El rango límite es: r f ≤ 1479 − 0.33fmin + 561( ) (5.5.3.2-1) h Con r/h = 0.3: (Art. 5.5.3) flímite = 1479 − 0.33(800) + 561(0.3) = 1383 kg / cm2 flímite = 1383 kg/cm2 > f = 581 kg/cm2 OK! As temp 1/2" @ 0.32 m 0.45 m A B As distrib. As princ: 1" @ 0.16 m 5/8" @ 0.30 m (en bordes: 1" @ 0.15 m) Luz = 8.00 m DISTRIBUCIÓN DE ACERO EN LOSA
  • III-50PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez SerquénPROBLEMA III.2 Diseñar un puente viga simplemente apoyado de 12.00 m delongitud, dos vías. Utilizar concreto f’c= 280 kg/cm2 y fy= 4200 kg/cm2. El vehículousuario es HL-93. HL- A B Luz = 12.00 mSolución.-Solución.-Se propone la siguiente sección transversal, constituida por una losa apoyada sobrecuatro vigas, distancia entre ejes de vigas S’= 2.10m, voladizos de aproximadamente0.4S’=0.84m≈0.825m, y barreras de concreto con perfil tipo New Jersey con unárea en su sección transversal= 2028.75cm² (C.G. a 0.13m de la cara vertical): 3.60 3.60 _ x=.13 C.G. S=2% S=2% Asfalto 2" t Cartelas 9"x6" .15 Diafragma .375 .15 b b=.25 .30 .15 0.825 S=2.10 2.10 2.10 0.825 7.95mI) DISEÑO DE LA LOSA (As principal perpendicular al tráfico)A) Pre-dimensionamiento de losa Ancho de la viga Siendo: S’ = espaciamiento entre ejes de vigas = 2.10m L = luz del puente = 12m b = 0.0157 S L (Continuos Concrete Bridges, PORTLAND CEMENT ASSOCIATION) b = 0.0157 2.10 x 12 = 0.27m . Adoptamos b = 0.30 m Espesor de losa • En tableros de concreto apoyados en elementos longitudinales: tmín= 0.175m (Art. 9.7.1.1)
  • III-51PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén • Aunque el acero principal es perpendicular al tráfico es posible tomar como en versiones anteriores del AASHTO, la expresión: S + 3000 t min = ≥ 165 mm (Tabla 2.5.2.6.3-1) 30 1800 + 3000 t min = = 160mm ≥ 165mm 30 tmín= 0.165m Siendo: S = luz libre de losa = 1800mm • En voladizos de concreto que soportan barreras de concreto, el espesor mínimo de losa es: tmín= 0.20m (Art. 13.7.3.1.2) • Teniendo en cuenta las disposiciones sobre el espesor de la losa uniformizamos con t = 0.20m 0.20m.B) Criterios LRFD aplicables (Tabla 3.4.1-1) Resistencia I: U = n[(1.25 ó 0.9)DC+(1.50 ó 0.65)DW+1.75(LL+IM)] Servicio I: U = n[1.0DC+1.0DW+1.0(LL+IM)] Conforme al Art. 9.5.3, no es necesario investigar el estado de fatiga en tableros de concreto en vigas múltiples.C) Momentos de flexión por cargas 3.60 3.60 _ _ x=.13 x=.13 P S=2% S=2% P barrera Asfalto 2" barrera t Cartelas 9"x6" .15 Diafragma .375 .15 b b=.25 .30 .15 0.825 L=2.10 2.10 2.10 0.825 0.4L E A F B C D G
  • III-52PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén NegativoC.1) Momento Negativo de Diseño Sabiendo que la carga que determina el diseño es la carga viva (LL+IM), antes que las cargas DC y DW significativamente menores, calcularemos el momento negativo en el apoyo interior B para franjas de losa de 1m. El cálculo del momento negativo en los apoyos externos se realizará posteriormente al calcular el volado. 1. Carga Muerta (DC): Resolviendo la losa continua sobre cuatro apoyos (programa SAP2000) se tiene: Peso propio de losa: wlosa = 0.20m x 1.0m x 2400 kg/m³ = 480 kg/m El Art. 4.6.2.1.6 especifica que para momento negativo en construcciones monolíticas de concreto se puede tomar la sección de diseño en la cara del apoyo. Tomamos entonces con respecto al apoyo B, los siguientes resultados del diagrama de momentos: MDC1 = -178.98 kg-m = -0.18 T-m (en el eje B) MDC1,izq = -117.38 kg-m = -0.12 T-m (cara izq. de B) MDC1,der = -120.66 kg-m = -0.12 T-m (cara der. de B) Peso de barreras: Pbarrera = 0.202875 m² x 1.0m x 2400 kg/m³ = 487 kg (aplicado en x = 0.13 m )
  • III-53PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén Tomamos del diagrama de momentos: MDC2 = +66.84 kg-m = +0.07 Tm (en el eje B) MDC2,izq = +37.89 kg-m = +0.04 Tm (cara izq. de B) MDC2,der = +66.84 kg-m = +0.07 Tm (cara der. de B) En la mayoración de cargas para el estado límite de Resistencia I, los valores positivos de momento serán multiplicados por γ = 0.9 para obtener en la combinación de cargas el máximo momento negativo. 2. Carga por superficie de rodadura (DW): Asfalto: wasf 2” = 0.05m x 1.0m x 2250kg/m³ = 113 kg/m Tomamos del diagrama de momentos: MDW = -47.47 kg-m = -0.05 T-m (en el eje B) MDW,izq = -30.66 kg-m = -0.03 T-m (cara izq. de B) MDW,der = -33.74 kg-m = -0.03 T-m (cara der. de B) 3. Carga Viva y efecto de Carga Dinámica (LL+IM): MÉTODO A: Proceso Analítico Haciendo uso de la línea de influencia para momento flector en el apoyo B (ver APÉNDICE II-D) calculamos el momento por carga viva en la sección de máximo momento negativo (apoyo B) colocando los ejes de carga de camión en posiciones críticas:
  • III-54PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén 4 Tramo EA (−0.825 m ≤ x ≤ 0) MB = − x 15 80 3 4 Tramo AB (0 ≤ x ≤ 2.10 m) MB = x − x 1323 15 100 3 6 2 46 84 Tramo BC (2.10 m ≤ x ≤ 4.20 m) MB = − x + x − x+ 1323 7 15 25 20 3 6 2 26 84 Tramo CD (4.20 m ≤ x ≤ 6.30 m) MB = x − x + x− 1323 21 15 25 x 21 Tramo DG (6.30 m ≤ x ≤ 7.125 m) MB = − + 15 50 Para un carril cargado, y afectado del factor de presencia múltiple m (Art. 3.6.1.1.2): M(-) = [7.4T(-0.215m)+7.4T(-0.164m)]1.2= -2.80 Tm x 1.2 = -3.36T-m Para dos carriles cargados: M(-)=[7.4T(-0.215m)+7.4T(-0.164m)+7.4(+0.008m)+7.4(0.016m)]1.0 = -2.63 Tm
  • III-55PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén El ancho de franja en que se distribuye es: E(-) = 1220+0.25 S’ (Tabla 4.6.2.1.3-1) = 1220+0.25(2100)= 1745mm = 1.75m Entonces, el momento negativo crítico en B, incluido el efecto de carga dinámica y el ancho de franja es: 3.36 MB(-)LL+IM= - x1.33 = -2.55 T-m 1.75 Conociendo la posición de cargas que genera el máximo momento negativo en B, calculamos también los momentos en la cara de la viga a la izquierda y derecha resolviendo la losa hiperestática apoyada sobre las cuatro vigas: De donde se obtiene: 1.2 x1.33 M(-)LL+IM = − 2.79 x = − 2.54 Tm (en el eje B, similar al valor -2.55Tm 1.75 que se obtuvo usando la línea de influencia MB) 1.2 x1.33 M(-)LL+IM, izq = −1.92 x = −1.75 Tm (cara izq. de B) 1.75 1.2 x1.33 M(-)LL+IM, der= − 2.04 x = −1.86 Tm (cara der. de B) 1.75 A4- MÉTODO B: Uso de la Tabla A4-1(AASHTO LRFD) Para S= 2.10 m:
  • III-56PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén N mm Tm En el eje del apoyo B: M(-)LL+IM = 26,780 = −2.73 mm m N mm Tm En cara de viga (a 0.15m): M(-)LL+IM = 19,580 = −2.00 mm m corregidos III- MÉTODO C: De momentos corregidos (ver Apéndice III-A) Utilizamos la línea de influencia de la reacción en el apoyo B (Ver APÉNDICE II- D, para su construcción): 16 Tramo EA ( −0.825 m ≤ x ≤ 0) RB = x 21 200 3 16 Tramo AB ( 0 ≤ x ≤ 2.10 m) RB = − x + x 3087 21 1000 3 160 2 64 8 Tramo BC (2.10 m ≤ x ≤ 4.20 m) RB = x − x + x− 9261 147 21 5 400 3 40 2 104 48 Tramo CD (4.20 m ≤ x ≤ 6.30 m) RB = − x + x − x+ 9261 49 21 5 4 6 Tramo DG (6.30 m ≤ x ≤ 7.125 m) RB = x− 21 5
  • III-57PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén Usando respectivamente las líneas de influencia de momento flector y reacción en el apoyo B, y la Ecuación 2 del Apéndice III-A, determinamos el momento en la cara del apoyo con: RB N ML = MOL + (Ecuación 2, Apéndice II-A) 8 Para un carril cargado: ML = momento negativo de diseño ajustado para carga viva MOL= momento negativo en el apoyo usando cargas de rueda concentradas = 7.4T(-0.215m)+7.4T(-0.164m) = -2.80 T-m R = reacción del apoyo debido a cargas de rueda concentradas = 7.4T(0.830)+7.4T(0.628) = 10.79T (10.77 en SAP2000) BN = dos veces la distancia desde el eje del apoyo a la sección de diseño negativa = 2(0.15m) = 0.30m 10.79T(0.30m) ML = −2.80 Tm + =-2.40 T-m 8 Incluyendo el factor de presencia múltiple m (Art. 3.6.1.1.2) se tendrá: M(-)=(-2.40 Tm)1.2= -2.88 T-m Para dos carriles cargados: MOL= 7.4T(-0.215m)+7.4T(-0.164m)+7.4T(+0.008m)+7.4T(+0.016m) = -2.63 Tm R = 7.4T(0.830)+7.4T(0.628)+7.4T(-0.022)+7.4T(-0.045) = 10.29T (10.28 en SAP2000) BN = 2(0.15m) = 0.30m 10.29T(0.30m) ML = −2.63 Tm + =-2.24 T-m 8 Incluyendo el factor de presencia múltiple m (Art. 3.6.1.1.2) se tiene: M(-)=(-2.24 Tm)1.0= -2.24 T-m Entonces en la cara de viga, el momento negativo crítico afectado del efecto de carga dinámica y el ancho de franja es: 2.88 M(-)LL+IM= - x1.33 = -2.19 T m (en cara de viga) 1.75 Y en el eje del apoyo B el momento es: 1.33 M(-)LL+IM= - 2.80 x1.2 x = -2.55 T m 1.75
  • III-58PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén Resultados: M(- M(-)LL+IM en B, unidades: T-m T- COMPARACIÓN M( - )LL+IM, izq M( - )LL+IM, eje B M( - )LL+IM, der MÉTODO A -1.75 -2.54 -1.86 MÉTODO B -2.00 -2.73 -2.00 MÉTODO C -2.19 -2.55 -2.19 Optaremos por la solución que ofrece el Método A, aunque es posible optar por cualquiera de los otros métodos. Observar que los resultados del Método C son una aproximación a lo encontrado con detalle por el Método A y que el Método B siendo más conservador, simplifica considerablemente el proceso de diseño. RESUMEN DE MOMENTOS NEGATIVOS POR CARGAS EN B Carga Tipo M(-) izq M(-) eje M(-) der γ(Resistencia I) T-m T-m T-m Losa DC1 -0.12 -0.18 -0.12 1.25 Barrera DC2 +0.04 +0.07 +0.07 0.9 Asfalto DW -0.03 -0.04 -0.03 1.5 Carga viva LL+IM -1.75 -2.54 -1.86 1.75 Para el Diseño por Estado Límite de Resistencia I, con n= nDnRnI=1: Mu = n[(1.25 ó 0.9)MDC+(1.50 ó 0.65)MDW+1.75M(LL+IM)] (Tabla 3.4.1-1) En el eje B: Mu = 1.25(-0.18)+0.9(0.07)+1.50(-0.05)+1.75(-2.54)= -4.68 T-m En cara de viga izquierda: Mu = 1.25(-0.12)+0.9(0.04)+1.50(-0.03)+1.75(-1.75)= -3.22 T-m En cara de viga derecha: Mu = 1.25(-0.12)+0.9(0.07)+1.50(-0.03)+1.75(-1.86)= -3.39 T-m El acero negativo será diseñado con este último valor de momento que es el mayor de las dos caras de viga.
  • III-59PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén PositivoC.2) Momento Positivo de Diseño La carga que determina el diseño es la carga viva (LL+IM), antes que las cargas DC y DW significativamente menores. El máximo momento positivo por carga viva ocurre en los tramos AB ó CD , a 0.4L de un apoyo exterior (L es la longitud de tramos), en una sección tal como F. En base a esa sección se realizará el diseño para momento positivo en franjas de losa de 1m. Las expresiones para la línea de influencia del momento flector en la sección F (ver APÉNDICE II-D) son: 37 Tramo EA ( −0.825 m ≤ x ≤ 0) MF = x 75 32 3 37 Tramo AF ( 0 ≤ x ≤ 0.84 m) MF = x + x 1323 75 32 3 38 21 Tramo FB (0.84 m ≤ x ≤ 2.10 m) MF = x − x+ 1323 75 25 40 3 12 2 92 168 Tramo BC (2.10 m ≤ x ≤ 4.20 m) MF = − x + x − x+ 1323 35 75 125 8 12 2 52 168 Tramo CD (4.20 m ≤ x ≤ 6.30 m) MF = x3 − x + x− 1323 105 75 125 2 21 Tramo DG (6.30 m ≤ x ≤ 7.125m) MF = − x+ 75 125 Con la línea de influencia y las cargas que actúan en la losa, calculamos los momentos en la sección de máximo momento positivo (a 0.4L): 1. Carga Muerta (DC): Del diagrama de momentos en losa por peso propio, en la sección F (x = 0.4L): MDC1 = 84.42 kg-m = 0.08 T-m Igualmente para las barreras: MDC2 = -176.34 kg-m = -0.18 T-m En la mayoración de cargas para el estado límite de Resistencia I, a este último valor por ser negativo lo multiplicaremos por γ = 0.9, para obtener en la combinación de cargas el máximo momento positivo. 2. Carga por superficie de rodadura (DW): Del diagrama de momentos en losa por carga de asfalto, en la sección F (x = 0.4L): MDW = 33.95kg-m = 0.03T-m
  • III-60PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén efecto 3. Carga Viva y efecto de Carga Dinámica (LL+IM): MÉTODO A: Proceso analítico Para un carril cargado, y con el factor de presencia múltiple m (Art. 3.6.1.1.2): M(+)= [7.4T(0.429m)+7.4T(-0.061m)]1.2= 2.723T-m x 1.2=3.27 T-m Para dos carriles cargados: M(+)=[7.4T(0.429m)+7.4T(-0.061m)+7.4(0.007m)+7.4(0.004)]1.0 = 2.80 T-m El ancho de franja en que se distribuye es: E(+)= 660+0.55 S’ (Tabla 4.6.2.1.3-1) = 660+0.55(2100)= 1815 mm = 1.82 m Entonces, el momento positivo crítico considerando el efecto de carga dinámica (33% para el Estado Límite de Resistencia) y el ancho de franja, es: 3.27 M(+)LL+IM= x1.33 = 2.39 Tm 1.82
  • III-61PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén A4- MÉTODO B: Uso de la Tabla A4-1(AASHTO LRFD) Para S= 2.10 m: N mm T−m M(+)LL+IM= 23380 = 2.38 mm m III- MÉTODO C: De momentos corregidos (Ver Apéndice III-A) Para un carril cargado: Usando la línea de influencia de momento flector en x=0.4L, y la Ecuación 1 del Apéndice III-A, se puede reducir el momento para el eje vehicular que coincide con la ordenada máxima (en x = 0.4L) extendiendo la carga de rueda en un ancho de 0.51m más el grosor de la losa (Art. 4.6.2.1.6) con: PB P ML = MOL − (Ecuación 1, Apéndice III-A) 8 Donde: ML = momento positivo de diseño ajustado por carga viva para un eje MOL= momento positivo usando cargas de rueda concentradas = 7.4T(0.429) = 3.17 T-m P = carga de rueda concentrada en el punto de interés = 7.4T BP = longitud de base de la carga de rueda extendida (0.51m más el peralte de la losa) = 0.51m + 0.20m = 0.71m 7.4T(0.71m) ML = 3.17 Tm − =2.51T-m 8 Para el otro eje vehicular la modificación es despreciable, por lo que incluyendo el factor de presencia múltiple m (Art. 3.6.1.1.2) se tendrá: M(+)= [2.51Tm+7.4T(-0.061m)]1.2= 2.47T-m Para dos carriles cargados: M(+)= [2.51Tm+7.4T(-0.061m)+7.4T(0.007m)+7.4T(0.004)]1.0 = 2.14 T-m Entonces el momento positivo crítico, afectado del efecto de carga dinámica (33% para el Estado Límite de Resistencia) y el ancho de franja, es: 2.47 M(+)LL+IM= x1.33 = 1.81 T − m 1.82
  • III-62PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén Resultados: M(+ M(+)LL+IM en F, unidades: T-m T- COMPARACIÓN M(+)LL+IM MÉTODO A +2.39 MÉTODO B +2.38 MÉTODO C +1.81 Optaremos en este caso conservadoramente por los resultados del Método A. Notar que el Método C en este caso logra menores valores al tratar las cargas de eje como cargas extendidas antes que puntuales, situación permitida por el Reglamento AASHTO (Art. 4.6.2.1.6). RESUMEN DE MOMENTOS POSITIVOS POR CARGAS EN F Carga Tipo M(+) T-m γ(Resistencia I) Losa DC1 0.08 1.25 Barrera DC2 -0.18 0.9 Asfalto DW 0.03 1.5 Carga viva LL+IM 2.39 1.75 Para el Diseño por Estado Límite de Resistencia I, con n= nDnRnI=1: Mu = n[(1.25 ó 0.9)MDC+(1.50 ó 0.65)MDW+1.75M(LL+IM)] (Tabla 3.4.1-1) = 1.25(0.08)+0.9(-0.18)+1.50(0.03)+1.75(2.39)= +4.17 T-mD) Cálculo del Acero D.1) Acero Negativo (perpendicular al tráfico) Mu =-3.39 T-m Utilizando As ∅ ½” y recubrimiento r= 5.0 cm (Tabla 5.12.3-1) 1.27 z = 5.0 + = 5.64 cm 2 z d 0.20 m d= 20cm – 5.64cm = 14.36cm 3.39x 5 10 A s ( −) = = 6.50 cm2 a 0.9x4200( .36 − ) 14 2 Asx4200 a= = 1.14 cm 0.85x280x 100 1.29 Utilizando varillas ∅1/2”, la separación será: s = = 0.20 m 6.50 USAR 1∅1/2” @ 0.20m As máximo (Art. 5.7.3.3.1) Una sección no sobre reforzada cumple con: c /de ≤ 0.42
  • III-63PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén Como: c = a / β1 = 1.14 / 0.85 = 1.34 cm de = 14.36cm c /de = 0.09 ≤ 0.42 OK! As mínimo (Art. 5.7.3.3.2) La cantidad de acero proporcionado debe ser capaz de resistir el menor valor de1.2Mcr y 1.33Mu: a) 1.2Mcr = 1.2(fr S) = 1.2(33.63 kg/cm2)(6,667 cm3) = 2.69 T-m Siendo: fr = 0.63 fc MPa = 2.01 fc kg / cm2 = 2.01 280 = 33.63 kg / cm2 S = bh2/6 = 100(20)2/6 = 6,667cm3 b) 1.33 Mu= 1.33(3.39T-m) = 4.51T-m El menor valor es 2.69T-m y la cantidad de acero calculada (6.50cm2) resiste: Mu=3.39T-m > 2.69T-m OK! D.2) Acero Positivo (perpendicular al tráfico) Mu =+4.17 T-m Utilizando As ∅ ½” y recubrimiento r= 2.5 cm (Tabla 5.12.3-1) 1.27 z = 2.5 + = 3.14 cm 2 d= 20cm – 3.14cm = 16.86cm d 0.20 m z 4.17x 5 10 A s ( +) = = 6.78 cm2 a 0.9x4200( .86 − ) 16 2 Asx4200 a= = 1.19 cm 0.85x280x 100 1.29 Utilizando varillas ∅1/2”, la separación será: s = = 0.19 m 6.78 USAR 1∅1/2” @ 0.19 m As máximo (Art. 5.7.3.3.1) Una sección no sobre reforzada cumple con: c /de ≤ 0.42
  • III-64PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén Como: c = a / β1 = 1.19 / 0.85 = 1.40 cm de = 16.86 cm c /de = 0.08 ≤ 0.42 OK! As mínimo (Art. 5.7.3.3.2) La cantidad de acero proporcionado debe ser capaz de resistir el menor valor de1.2Mcr y 1.33Mu: a) 1.2Mcr = 1.2(fr S) = 1.2(33.63 kg/cm2)(6,667 cm3) = 2.69 T-m Siendo: fr = 0.63 fc MPa = 2.01 fc kg / cm2 = 2.01 280 = 33.63 kg / cm2 S = bh /6 = 100(20) /6 = 6,667 cm3 2 2 b) 1.33 Mu= 1.33(4.17T-m) = 5.55T-m El menor valor es 2.69T-m y la cantidad de acero calculada (6.78cm2) resiste: Mu=4.17T-m > 2.69T-m OK! D.3) As de temperatura Ag A s temp = 0.756 [SI] (5.10.8.2-1) Fy A s temp = 0.0018 A g [MKS, con fy = 4200 kg / cm2 ] 100 = 3.60 cm2 A s temp = 0.0018x20x 3.60 cm2 En dos capas se colocará: = 1.80 cm2 / capa 2 0.71 Utilizando varillas ∅3/8”, la separación será: s = = 0.39 m 1.80 smáx = 3t = 3(0.20)= 0.60m (Art.5.10.8) smáx = 0.45m (Art.5.10.8) USAR 1∅3/8” @ 0.39 m Nota.- El acero de temperatura se colocará, por no contar con ningún tipo de acero, en la parte superior de la losa, en el sentido del tráfico.
  • III-65PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén D.4) As de distribución En la parte inferior de las losas se coloca armadura en la dirección secundaria en un porcentaje del acero positivo igual a: 3840 %= ≤ 67% (Art. 9.7.3.2) S S = distancia entre cara de vigas = 1.80m = 1800mm 3840 %= = 90.51% > 67% ∴ % = 0.67 1800 As repart = 0.67(6.78cm2) = 4.54cm2 1.29 Utilizando varillas ∅1/2”, la separación será: s = = 0.28 m 4.54 USAR 1∅1/2” @ 0.28m 1/2” -As princ. 1/2" @ 0.20m As temp 3/8" @ 0.39m 0.20 m +As princ 1/2" @ 0.19m As distrib. 1/2" @ 0.28m SECCIÓN DE LOSA APOYADA EN VIGAS Nota.- El C4.6.2.1.6, establece: “anteriormente ha sido una práctica no chequear el cortante en tableros típicos…No es la intención exigir que se investigue el corte en todos los tableros”. El Art. 5.14.4.1 señala que las losas y los puentes de losa diseñados para momento de acuerdo con el Art. 4.6.2.3 se pueden considerar satisfactorios desde el punto de vista del corte. Por tales consideraciones no efectuamos en este caso la revisión por corte.E) Revisión de fisuración por distribución de armadura (Art. 5.7.3.4) E.1) Acero negativo Esfuerzo máximo del acero: Z fsa = ≤ 0.6fy (5.7.3.4-1) (d c A )1/ 3
  • III-66PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén Ø 1Ø1/2"@0.20 d c = recubrimie4 + 14 24nto 2 4 3 ≤ 5 cm ( Art.5.7.3.4 ) dc dc 1.27 d c = 5 cm + cm 20 cm 2 dc = 5.64cm b = espac. del acero = 20cm 20 cm nv = número de varillas = 1 (2d c )b (2x5.64cm)(20cm) A = = = 225.60 cm2 (Art. 5.7.3.4) nv 1 Z = 30,000 N/mm (condición de exposición moderada) (Art. 5.7.3.4) = 30,591 Kg/cm Luego: 30,591kg / cm fsa = = 2, 823 kg / cm2 (5.64cm x 225.60cm2 )1 / 3 fsa ≤ 0.6(4200kg / cm2 ) = 2,520 kg / cm2 fsa = 2,520 kg / cm2 Esfuerzo del acero bajo cargas de servicio Ms c fs = n I Para el Diseño por Estado Límite de Servicio I, con n= nDnRnI=1: Ms = n ( .0 MDC +1.0 MDW +1.0 MLL +IM ) 1 (Tabla 3.4.1-1) Ms = 1.0[1.0x(-0.12+0.07)+1.0x(-0.03)+1.0x(-1.86)] Ms = -1.94 T-m, para un metro de franja. Luego: Ms = (-1.94T-m/m) (0.20m) =-0.39T-m Es =200,000 MPa = 2’039,400 kg/cm2 (5.4.3.2) E c = 15,344 f c (5.4.2.4-1) E c = 15,344 280 = 256, 754 kg / cm2 E s 2039,400 kg / cm2 n= = =8 Ec 256,754 kg / cm2
  • III-67PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén 1Ø12" = 1.29cm2 (Ast=8x1.29=10.32cm2 ) 5.64 (fs/n) c=14.36-y 14.36 20 cm E.N. y 20 cm Área de acero transformada: Ast = relación modular x área de acero Ast = 8(1.29 cm2) = 10.32 cm2 Momentos respecto del eje neutro para determinar y: 20y (y/2) = 10.32(14.36-y) y = 3.37cm, c= 10.99cm Inercia respecto del eje neutro de sección transformada: by 3 I = A st c 2 + 3 20 (3.37) 3 = 10.32 ( .99)2 + 10 3 = 1,502 cm4 Luego: Ms c 0.39 x 105 x 10.99 fs = n= x 8 = 2, 283 kg / cm2 I 1502 fs = 2, 283 kg / cm2 < fsa = 2, 520 kg / cm2 OK ! E.2) Acero positivo: Esfuerzo máximo del acero: Z fsa = ≤ 0.6fy (5.7.3.4-1) (d c A )1/ 3 b Ø d c = recubrimie4 + 14 24nto 2 4 3 ≤ 5 cm ( Art.5.7.3.4 ) 1.27 1Ø1/2"@0.19 20 cm d c = 2.5 cm + cm 2 dc dc = 3.14cm dc 19 cm
  • III-68PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén b = espac. del acero = 19cm nv = número de varillas = 1 (2d c )b (2x3.14cm)( cm) 19 A= = = 119.32 cm2 (Art. 5.7.3.4) nv 1 Z = 30,000 N/mm (condición de exposición moderada) (Art. 5.7.3.4) = 30,591 Kg/cm 30,591kg / cm Luego: fsa = = 4, 243 kg / cm2 (3.14cm x 119.32cm2 )1/ 3 fsa ≤ 0.6(4200kg / cm2 ) = 2,520 kg / cm2 fsa = 2,520 kg / cm2 Esfuerzo del acero bajo cargas de servicio Ms c fs = n I Para el Diseño por Estado Límite de Servicio I, con n= nDnRnI=1: Ms = n ( .0 MDC +1.0 MDW +1.0 MLL +IM ) 1 (Tabla 3.4.1-1) Ms = 1.0[1.0x(0.08-0.18)+1.0x(0.03)+1.0x(2.39)] Ms = 2.32T-m, para un metro de franja. Luego: Ms = (2.32T-m/m) (0.19m) =0.44T-m Es =200,000 MPa = 2’039,400 kg/cm2 (5.4.3.2) E c = 15,344 fc (5.4.2.4-1) E c = 15,344 280 = 256, 754 kg / cm2 E s 2039,400 kg / cm2 n= = =8 Ec 256,754 kg / cm2
  • III-69PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén 19 cm y (-) 16.86 c=16.86-y 20 cm (+) 3.14 (fs/n) 1Ø1/2"@0.19 Ast=8x1.29cm²=10.32cm² Área de acero transformada: Ast = relación modular x área de acero Ast = 8(1.29 cm2) = 10.32 cm2 Momentos respecto del eje neutro para determinar y: 19y (y/2) = 10.32(16.86-y) y = 3.77cm, c= 13.09cm Inercia respecto del eje neutro de sección transformada: by 3 I = A st c 2 + 3 19 (3.77) 3 = 10.32 ( .09)2 + 13 3 = 2,108cm4 Luego: Ms c 0.44 x 105 x 13.09 fs = n= x 8 = 2,186 kg / cm2 I 2,108 fs = 2,186 kg / cm2 < fsa = 2, 520 kg / cm2 OK !
  • III-70PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez SerquénII) DISEÑO DE VIGA PRINCIPAL INTERIOR Asfalto 2"A) Pre-dimensionamiento 2.10 m hmin = 0.070L (Tabla 2.5.2.6.3-1) .20 .15 hmin = 0.070(12)= 0.84m .23 h= 0.85 Tomamos .15 Diafragma 0.30 h = 0.85m b=0.25B) Momentos de flexión por cargas (viga interior) Considerando vigas diafragmas en apoyos y en el centro de luz, tenemos: Carga muerta (DC): Cargas distribuidas wlosa = 0.20 x 2.10 x 2400 = 1008 kg/m wviga = 0.65 x 0.30 x 2400 = 468 kg/m wcartelas= 2(0.5 x 0.15 x 0.23)x2400 = 83 kg/m wDC = 1559 kg/m w DC L2 1.559( )2 12 MDC1 = = = 28.06T-m 8 8 Cargas puntuales Colocando tres diafragmas a lo largo de toda la viga, dos en apoyos y uno en el centro de luz, se tiene: Pdiaf = (0.85-0.20-0.15)(2.10-0.30)(0.25)(2400)=540 kg Pdiaf L 0.54T ( m) 12 MDC2 = = = 1.62 T − m 4 4 Luego MDC = MDC1+ MDC2 = 28.06+1.62 =29.68 T-m Carga por superficie de rodadura (DW): wasf 2” = 0.05 x 2250 x 2.10 = 236 kg/m w DW L2 0.236( )2 12 MDW = = = 4.25 T-m 8 8 Carga viva y efecto de carga dinámica (LL+IM): De la Tabla APÉNDICE II-B, para vehículo HL-93, y con la consideración de carga dinámica en estado límite de resistencia: MLL+IM = 98.83 T-m
  • III-71PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén El % de momento g que se distribuye a una viga interior es: Caso de un carril cargado: 0.1  Kg  0.4 0.3  S   S  3 g = 0.06 +      Lt  (Tabla 4.6.2.2.2b-1)  4300  L   s 0.1  Kg  Cálculo de  3   Lt  :  s 2.10 m E viga n= = 1.0 c .20 E losa e=0.425 g 30(65) 3 .65 0.85 Iviga = = 686, 563 cm 4 12 A viga = 30(65) = 1950 cm2 e g = 42.5 cm 0.30 K g = n (Iviga + A viga e 2 ) = 1[686, 563 +1950(42.5)2 ] = 4208, 751 cm 4 g 0.1 0.1  Kg   4208, 75 cm 4  1 Luego:   =  = 0.921  Lt 3  1200cm ( 20 cm) 3   s    0.4 0.3  2100   2100  g = 0.06 +     ( 0.921) = 0.470  4300  12000    Caso de dos carriles cargados: 0.1  Kg  0.6 0.2  S  S  3 g = 0.075 +      Lt  (Tabla 4.6.2.2b-1)  2900  L   s 0.6 0.2  2100   2100  g = 0.075 +     (0.921) = 0.611 (CRÍTICO)  2900  12000  MLL+IM= 0.611(98.83 T-m) = 60.39 T-mC) Resumen de momentos flectores y criterios LRFD aplicables (Tabla 3.4.1-1) RESUMEN DE MOMENTOS POSITIVOS POR CARGAS Carga M(+) T-m T- γ Resistencia I Servicio I Fatiga DC 29.68 1.25 1.0 0 DW 4.25 1.50 1.0 0 LL+IM 60.39 1.75 1.0 0.75 Resistencia I: U = n[1.25DC+1.50DW+1.75(LL+IM)] Servicio I: U = n[1.0DC+1.0DW+1.0(LL+IM)] Fatiga: U = n[0.75(LL+IM)]
  • III-72PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez SerquénD) Cálculo del Acero Principal (Diseño como viga T, ver APÉNDICE III-A) Para el Estado Límite de Resistencia I, con n= nDnRnI=1: Mu = n[1.25 MDC + 1.50 MDW + 1.75 M(LL+IM)] (Tabla 3.4.1-1) = 1.25(29.68) + 1.50(4.25) + 1.75(60.39) = 149.16 T-m Según el procedimiento de diseño para vigas T señalado en el Apéndice III-B, se tiene: Ancho efectivo de viga T (Art. 4.6.2.6), el menor valor de: L/4= 12/4 = 3.00m 12tf+ tw= 12(0.20)+0.30= 2.70m S= 2.10m b=2.10 m c .20 Luego b= 2.10m h= 0.85 Suponiendo c= t= 0.20m z a= 0.85c= 0.85(20)= 17cm b=0.30 Utilizando As=12∅1” con la distribución mostrada, estribos ∅ 1/2” y recubrimiento r= 5.0 cm (2”) (Tabla 5.12.3-1) 0.5" 1.5" 3.5" 1.0" z 1.0" 0.5" 3.5" 2" 2" 2" 0.30 m Cálculo de “z” : Tomando momentos en la base de la viga, siendo A=5.10 cm2: (12A) z = (4A)(3.5”)+(4A)(7”)+(2A)(3”)+(2A)(6.5”) z= 5.083” =12.91 cm d= 85cm – 12.91cm = 72cm Mu 149.16x 5 10 As = = = 62.14 cm2 a 0.9x4200(72 − 17 ) 0.9fy (d ) 2 2 As 62.14 ρ= = = 0.00411 bd 210(72)
  • III-73PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén ρfy d 1.18x0.00411 4200x72 x c = 1.18 = = 6.16 cm < 20cm 0.85fc 0.85x280 ∴ Se diseñará como viga rectangular 149.16x 5 10 As = = 56.68 cm2 (Con 12∅1” As=61.2cm2) a 0.9x4200(72 − ) 2 Asx4200 a= = 4.76 cm 0.85x280x210 As máximo (Art. 5.7.3.3.1) Una sección no sobre reforzada cumple con: c /de ≤ 0.42 Como: c = a / β1 = 4.76 / 0.85 = 5.60 cm de = 72 cm c /de = 0.08 < 0.42 OK! As mínimo (Art. 5.7.3.3.2) La cantidad de acero proporcionado debe ser capaz de resistir el menor valor de1.2Mcr y 1.33Mu: a) 1.2Mcr = 1.2fr S = 1.2(33.63 kg/cm2)(252,875cm3) = 102.05T-m Siendo: fr = 0.63 fc MPa = 2.01 fc kg / cm2 = 2.01 280 kg / cm2 = 33.63 kg / cm2 S = bh2/6 = 210(85)2/6 = 252,875cm3 b) 1.33 Mu= 1.33(149.16T-m) = 198.38T-m El menor valor es 102.05T-m y la cantidad de acero calculada (56.68cm2) resiste Mu=149.16T-m > 102.05T-m OK! USAR 12∅1” Armadura de contracción y temperatura en caras laterales (Art. 5.10.8) En el alma de la viga T: Ag A s temp = 0.756 [SI] (5.10.8.2-1) Fy A s temp = 0.0018 A g [MKS, con fy = 4200 kg / cm2 ] A s temp = 0.0018x30 x( 85 − 20) = 3.51cm2
  • III-74PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén A s temp = 1.76 cm2 / cara .20 2Ø 5/8" 0.85 As=12Ø1" 0.30 Usaremos por cara: 1 Ø 5/8” (2.00cm2), con la consideración: s máx = 3t = 3 (30) = 90 cm y s máx = 45 cm OK!E) Revisión de fisuración por distribución de armadura (Art. 5.7.3.4) Esfuerzo máximo del acero: Z fsa = ≤ 0.6fy (5.7.3.4-1) (d c A )1/ 3 Para el acero positivo: Ø b=210 cm d c = recub4 Øestribo + 144 2444+ 3 2 ≤ 5 cm ( Art.5.7.3.4) 20 d c = 5cm41.44 + 6.64 cm 14 +2 27cm 3 ≤ 5 cm 85 cm 12Ø1" dc = 5cm + 6.64cm = 11.64cm dc dc 6.64 12.91 6.27 bw = ancho del alma = 30 cm b=30 cm nv = número de varillas = 12 (2d c )b w (2x .64cm)(30 cm) 11 A= = = 58.20 cm2 (Art. 5.7.3.4) nv 12 Z = 30,000 N/mm (condición de exposición moderada) (Art. 5.7.3.4) = 30,591 Kg/cm Luego: 30, 591 kg / cm fsa = = 3, 483 kg / cm2 ( .64 cm x 58.20 cm2 )1/ 3 11 fsa ≤ 0.6(4200kg / cm2 ) = 2,520 kg / cm2 fsa = 2,520 kg / cm2
  • III-75PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén Esfuerzo del acero bajo cargas de servicio Ms c fs = n I Para el Diseño por Estado Límite de Servicio I, con n= nDnRnI=1: Ms = n ( .0 MDC +1.0 MDW +1.0 MLL +IM ) 1 (Tabla 3.4.1-1) Ms = 1.0(1.0x29.68+1.0x4.25+1.0x60.39) Ms = 94.32T-m Es =200,000 MPa = 2’039,400 kg/cm2 (5.4.3.2) E c = 15,344 f c (5.4.2.4-1) 2 E c = 15,344 280 = 256, 754 kg / cm E s 2039,400 kg / cm2 n= = =8 Ec 256,754 kg / cm2 b=210 cm E.N. 20 y c=72-y 72 Ast=8x61.2 cm² (+) =489.6 cm² (fs/n) b=30 cm Área de acero transformada: Ast = relación modular x área de acero = 8(61.20 cm2) = 489.6 cm2 Momentos respecto del eje neutro para determinar y: 210y (y/2) = 489.6 (72-y) y = 16.14cm, c= 72-y = 55.86cm Inercia respecto del eje neutro de sección transformada: by 3 I = A st c 2 + 3 210 ( .14) 3 16 = 489.6 (55.86)2 + 3 = 1’822,031cm4
  • III-76PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén Luego: Ms c 94.32 x 105 x 55.86 fs = n= x 8 = 2, 313 kg / cm2 I 1 822, 031 fs = 2, 313 kg / cm2 < fsa = 2, 520 kg / cm2 OK !F) FatigaF.1) Carga de FatigaPara el Diseño por Fatiga, con n= nDnRnI=1: Mfat = n (0.75 MLL +IM ) (Tabla 3.4.1-1)Se calcula con un camión de diseño, con una separación constante de 9.0 m entre losejes de 14.8T (Art. 3.6.1.4.1). No se aplica el factor de presencia múltiple (Art.3.6.1.1.2). c L 14.8 T 14.8 T 3.6 T 9.0 m 4.3 m .42.42 A B Mmáx R=18.4 T 6.0 m 6.0 m R=8.56 T R=9.84 T A B MLL = 8.56T(6m − 0.42m) = 47.76 T − m Considerando la distribución g de sobrecarga para un solo carril, y eliminando el factor de presencia múltiple de 1.2 (Art. 3.6.1.1.2), se tiene: g fat = 0.470 /1.2 = 0.392 MLL = 47.76 T-m x 0.392 = 18.72 T-m Luego, para el diseño por fatiga con IM=0.15 (Tabla 3.6.2.1-1): Mfat = 1.0(0.75x1.15x18.72 T-m) Mfat = 16.15 T-m
  • III-77PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez SerquénF.2) Sección fisuradaSe utiliza la sección fisurada si la suma de esfuerzos debido a cargas permanentes nomayoradas más 1.5 veces la carga de fatiga, da por resultado una tensión de tracciónmayor que 0.25 fc (Art. 5.5.3): Esfuerzo debido a cargas permanentes no mayoradas más 1.5 veces la carga de fatiga en una viga interior: M’fat = 1.0MDC+1.0MDW+1.5Mfat M’fat = 1.0x29.68Tm+1.0x4.25Tm+1.5x16.15Tm = 58.16 T-m ftracc = 0.25 fc MPa = 0.80 fc kg / cm2 = 0.80 280 kg / cm2 = 13.39 kg / cm2 Mfat 58.16x 5 kg − cm 10 ffat = = = 23.00 kg / cm2 S 252, 875cm 3 Como ffat = 23.00 kg/cm2 > 13.39 kg/cm2, se usará sección agrietada.F.3) Verificación de esfuerzos Esfuerzo en el refuerzo debido a la carga viva Con A s = 12 φ1 = 61.2 cm2 " y 16.14 cm j.d = d − = 72cm − = 66.62 cm (ver revisión agrietamiento) 3 3 Mfat 16.15x 5 10 fLL = = = 396 kg / cm2 A s ( j.d) (61.2)(66.62) Rango máximo de esfuerzo El esfuerzo mínimo es el esfuerzo por carga viva mínimo combinado con el esfuerzo por carga permanente. El momento por carga muerta para la viga interior es: MDL = MDC + MDW = 29.68T-m + 4.25T-m = 33.93T-m El esfuerzo por carga permanente es: MDL 33.93x 5 10 fDL = = = 832 kg / cm2 A s ( j.d) (61.2)(66.62) Por ser viga simplemente apoyada, el esfuerzo por carga viva mínimo es cero. Luego, el esfuerzo mínimo es: fmín = 0 + 832kg/cm2 = 832kg/cm2
  • III-78PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén El esfuerzo máximo es el esfuerzo por carga viva máximo combinado con el esfuerzo por cargas permanentes: fmáx = 396kg/cm2 + 832kg/cm2 = 1228kg/cm2 El rango de esfuerzos es: f = fmáx – fmín = 396kg/cm2 El rango límite es: r f ≤ 1479 − 0.33fmin + 561( ) (5.5.3.2-1) h Con r/h = 0.3: (Art. 5.5.3) flímite = 1479 − 0.33(832) + 561(0.3) = 1373 kg / cm2 flímite = 1373 kg/cm2 > f = 396 kg/cm2 OK!G) Diseño por Corte (viga interior) Sección crítica por corte cerca al apoyo extremo De acuerdo al Art. 5.8.3.2, cuando la reacción en dirección del cortante aplicado introduce compresión en la región extrema, la sección crítica por corte se localiza con el mayor valor de 0.5dvcot o dv, desde la cara interna del apoyo. Eje del apoyo seccion critica por cortante Dispositivo de apoyo dv .125 5 .12 el mayor de 0.5d ctg L=12m v Determinación del peralte efectivo por corte (Art. 5.8.2.9) = 45° (procedimiento simplificado, Art. 5.8.3.4) a 4.76 d v = peralte de corte efectivo = d e − = 72 − = 69.62 cm 2 2 no menor que el 0.90de= 0.90(72 cm) = 64.8 cm OK! mayor valor de 0.72h = 0.72(85 cm) = 61.2 cm La sección crítica por corte se ubica desde el eje del apoyo en: 0.125m+0.6962m = 0.82 m
  • III-79PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén A la distancia 0.82m: 540 kg 540 kg 540 kg Carga muerta (DC) 0.82 Con wDC=1559kg/m y Pdiaf = 540kg A B w = 1559 kg/m DC VDC = ( 164 − 540)kg − 0.82m( 10, 1559 kg / m) = 8,346kg 12 m 10,164 kg Superficie de rodadura (DW) w =236 kg/m 0.82 DW A B Con wDW= 236kg/m VDW = 1416 kg − 0.82m(236kg / m) 12 m = 1,222kg 1416 kg 14.8 T 14.8 T 3.6 T 0.82 4.30 4.30 2.58 Carga viva (LL): a)Camión de Diseño A B V=23.05 T 12 m R=23.05 T A 11.2 T 11.2 T b)Tandem 0.82 1.20 V=19.75 T A B 12 m R=19.75 T A c) Carga de carril 0.82 0.960 T/m A B V= 5.00 T ´ ´ Posicion de cortante maximo a 0.82m del eje de apoyo 12 m R=5.00 T A Luego VLL+IM= 23.05T(1.33)+5.00T= 35.66 T
  • III-80PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén Distribución en viga interior: Caso de un carril cargado: S g = 0.36 + (Tabla 4.6.2.2.3a-1) 7600 2100 g = 0.36 + = 0.636 7600 Caso de dos carriles cargados: 2 S  S  g = 0.2 + −  (Tabla 4.6.2.2.3a-1) 3600 10700  2 2100  2100  g = 0.2 + −  = 0.745 (CRÍTICO) 3600 10700  VLL+IM= 0.745(35.66T) = 26.57T= 26.570kg Para el Diseño por Estado Límite de Resistencia I, con n= nDnRnI=1: Vu = n[1.25 VDC + 1.50 VDW + 1.75 V(LL+IM)] (Tabla 3.4.1-1) Vu = 1.25(8,346)+1.50(1,222)+1.75(26,570) = 58,763kg Cortante actuante : Vu = 58,763kg Cortante resistente : Vr = Ø Vn (5.8.2.1-2) Ø = 0.9 (5.5.4.2) Vn = Vc+Vs+ Vp (5.8.3.3.-1) siendo Vn el menor de: Vn = 0.25f’cbvdv + Vp (5.8.3.3-2) Donde: Cortante resistente concreto Vc = 0.083β fc b v d v [N] (5.8.3.3-3) para β=2 (Art. 5.8.3.4): Vc = 0.53 fc b v d v [kg] A v fy d v (cot θ + cot α )senα Cortante resistente acero: Vs = (5.8.3.3-4) s con ᒕ = 45° (Art. 5.8.3.4) A v fy d v α = 90° (ángulo de inclinación del estribo) Vs = s Cortante resistente concreto (Vc) Vc = 0.083β fc b v d v [N] = 0.53 fc b v d v [kg] = 0.53 280 (30 x69.62) Vc = 18,523kg siendo bv = ancho del alma= 30 cm
  • III-81PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén Cortante resistente del acero (Vs) Se propone estribos Ø1/2” espaciados cada 15 cm. Luego: A v fy d v (cot θ + cot α)senα A v fy d v 2.58(4200)(69.62) Vs = = = = 50, 293 kg s s 15.0 donde: s = 15.0 cm (espaciamiento asumido de estribos) Av = 2 x 1.29 cm² = 2.58 cm² (asumiendo 2 ramas Ø 1/2”) Componente fuerza pretensado Vp=0 Cortante nominal resistente El menor valor de Vn = 18,523kg + 50,293kg + 0 = 68,816kg Vn = 0.25 x 280 x 30 x 69.62 + 0 = 146,202kg Luego Vn = 68,816kg Cortante resistente total Vr = ØVn = 0.9(68,816 kg) = 61,934kg > 58,763Kg OK! Refuerzo transversal mínimo bv s A v ≥ 0.083 fc [SI] (5.8.2.5-1) fy bv s = A v ≥ 0.27 fc [MKS] fy 30( ) 15 A v ≥ 0.27 280 cm2 4200 A v mín = 0.48 cm² < 2.58 cm² OK ! Espaciamiento máximo del refuerzo transversal (Art. 5.8.2.7) Vu − φVp vu = (5.8.2.9-1) φb v d v Vu 58,763 vu = = = 31.26 kg / cm² φb v d v 0.9(30)(69.62) También: si vu < 0.125f’c smáx= 0.8dv ≤ 60 cm (5.8.2.7-1) si vu ≥ 0.125f’c smáx= 0.4dv ≤ 30 cm (5.8.2.7-2)
  • III-82PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén Como vu = 31.26kg/cm² < 0.125(280kg/cm²) = 35kg/cm² smáx= 0.8dv = 0.8(69.62cm)= 55.70cm smáx= 60 cm Luego s = 15.00cm < smáx= 55.70cm OK! Luego, a una distancia 0.82 del apoyo (sección crítica por cortante) usar estribos ∅1/2”@ 0.15 As proceso constructivo .20 2Ø 5/8" 0.85 As=12Ø1" 0.30 Estribos Ø1/2"@0.15 (a una distancia 0.82m del eje de apoyo)
  • III-83PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez SerquénIII) DISEÑO DE VIGA PRINCIPAL EXTERIOR EXTERIORA) Momentos de flexión por cargas Carga muerta (DC): Area=2028.75 cm2 C L 270 kg 270 kg 270 kg Asfalto 2" 0.20 .15 A B w = 1938 kg/m .23 0.65 DC w = 169 kg/m DW .15 Diafragma .375 .15 b=0.25 m 12 m .30 .15 0.825 1.05 Cargas distribuidas wlosa = 0.20 x 1.875 x 2400 = 900 kg/m wviga = 0.65 x 0.30 x 2400 = 468 kg/m wcartelas= 2(0.5 x 0.15 x 0.23)x2400 = 83 kg/m * wbarrera = 0.202875 x 2400 = 487 kg/m wDC = 1938 kg/m *Nota.- Según el Art. 4.6.2.2.1, las cargas permanentes del tablero como es el caso Nota.- del peso de las barreras, se pueden distribuir uniformemente entre todas las vigas; sin embargo en este caso asumiremos que las barreras son soportadas íntegramente por las vigas exteriores. w DCL2 1.94( )2 12 MDC1 = = = 34.92T-m 8 8 Cargas puntuales Considerando vigas diafragmas en apoyos y en el centro de luz, tenemos: Pdiaf = (0.85-0.20-0.15)(1.05-0.15)(0.25)(2400)=270kg Pdiaf L 0.27T ( m) 12 MDC2 = = = 0.81 T − m 4 4 Luego MDC = MDC1+ MDC2 = 34.92+0.81=35.73 T-m 35.73 Carga por superficie de rodadura (DW): wasf 2” = 0.05 x 1.50 x 2250 = 169kg/m
  • III-84PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén w DW L2 0.169( )2 12 MDW = = = 3.04T-m 8 8 Carga viva (LL): De la Tabla APÉNDICE II-B, para vehículo HL-93, y con la consideración de carga dinámica en estado límite de resistencia: MLL+IM = 98.83 T-m El % de momento g que se distribuye a una viga exterior es: a) Tabla 4.6.2.2.2d-1: Ley de Momentos (regla de la palanca), caso un carril de diseño cargado P/2 P/2 0.60 1.80 .15 Suponer (Minimo) articulacion en apoyo R A gP = .375 de .45 0.825 2.10  1.95 0.15  P  RA =  +   = 0.500 P  2.10 2.10  2  Luego g=0.500, factor a ser usado en el diseño por Fatiga al no estar afectado por el factor de presencia múltiple. Para los estados límites de Resistencia y Servicio, incluimos el factor de presencia múltiple m=1.2: g = 0.500(1.2) = 0.600 0.500 500(1.2) 0.600 b) Tabla 4.6.2.2.2d-1: Caso dos o más carriles de diseño cargados g = e (g int ) Donde: de= distancia desde el eje central de la viga exterior a la cara interior de la barrera = 450mm de e = 0.77 + (Tabla 4.6.2.2.2d-1) 2800 450 e = 0.77 + = 0.931 2800
  • III-85PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén gint= 0.611 (ver diseño de viga interior) Luego: 0.931(0.611 931(0.611) 0.569 g = 0.931(0.611) = 0.569 c) Art. 4.6.2.2.2d: Caso puentes de viga y losa con diafragmas rígidamente conectados (ver también Apéndice III-C) NL X Σe R = + ext 2 (C4.6.2.2.2d-1) Nb Σx c.1) Un carril cargado: P/2 P/2 0.60 1.80 .15 (Minimo) R1 e=2.10 .375 .15 X =3.15 .30 ext 0.825 2.10 2.10 2.10 0.825 x=1.05 x=3.15 Con: R = reacción sobre la viga exterior en términos de carril (ancho=3.60m) NL = número de carriles cargados = 1 Nb = número de vigas = 4 e = excentricidad del camión de diseño o carga de carril respecto del centro de gravedad del conjunto de vigas = 2.10m Xext= distancia horizontal desde el centro de gravedad del conjunto de vigas hasta la viga exterior = 3.15m x = distancia horizontal desde el centro de gravedad del conjunto de vigas hasta cada viga 1 3.15 m (2.1m) R = + = 0.550 4 2[(3.15m)2 + ( .05 m)2 ] 1 Con el factor de presencia múltiple, m=1.2: g = R = 1.2(0.550) = 0.660 0.660 c.2) Dos carriles cargados: P/2 P/2 P/2 P/2 0.60 1.80 1.20 0.60 1.80 (Minimo) R1 R2 e=2.10 e=1.50 1 2 .375 .15 X =3.15 .30 ext 0.825 2.10 2.10 2.10 0.825 x=1.05 x=3.15
  • III-86PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén 2 3.15 m (2.10 m −1.50 m) R = + = 0.586 4 2[(3.15 m)2 + ( .05 m)2 ] 1 Con el factor de presencia múltiple m=1.0: g = R = 1.0(0.586) = 0.586 El factor de distribución crítico es, g= 0.660 0.660 d) De los casos a), b), y c), seleccionamos para el estado limite de resistencia el factor de distribución de momento, g= 0.660 0.660 MLL+IM= 0.660(98.83 T-m) = 65.23T-mB) Momento de Diseño, Estado Límite de Resistencia I Con n= nDnRnI=1: Mu = n[1.25 MDC + 1.50 MDW + 1.75 M(LL+IM)] (Tabla 3.4.1-1) = 1.25(35.73) + 1.50(3.04) + 1.75(65.23) = 163.38T-m Se sugiere al interesado y a manera de práctica, realizar el cálculo del acero correspondiente.C) Diseño por Corte La sección crítica por corte por simplicidad la tomaremos al igual que en el caso de la viga interior, a una distancia 0.82m del eje del apoyo. Carga muerta (DC) C L 270 kg 270 kg 270 kg Con wDC=1,938kg/m 0.82 VDC = ( ,033 − 270)kg − 0.82m( 12 1938 kg / m) A B = 10,174kg w = 1938 kg/m DC 12 m 12,033 kg Superficie de rodadura (DW) 0.82 w =169 kg/m DW Con wDW= 169kg/m A B VDW = 1014 kg − 0.82m( 169kg / m) = 875kg 12 m 1014 kg
  • III-87PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén 14.8 T 14.8 T 3.6 T Carga viva: 4.30 2.58 0.82 4.30 a)Camión de Diseño A B V=23.05 T 12 m R=23.05 T A 11.2 T 11.2 T b)Tandem 0.82 1.20 V=19.75 T A B 12 m R=19.75 T A 0.82 0.960 T/m c) Carga de carril A B V= 5.00 T ´ ´ Posicion de cortante maximo a 0.82m del eje de apoyo 12 m R=5.00 T A Luego VLL+IM= 23.05T(1.33)+5.00T= 35.66 T El % de cortante g que se distribuye a una viga exterior es: a) Tabla 4.6.2.2.3b-1: Ley de Momentos (regla de la palanca), para el caso de un carril cargado P/2 P/2 0.60 1.80 .15 Suponer (Minimo) articulacion en apoyo R A gP = .375 de .45 0.825 2.10  1.95 0.15  P  RA =  +   = 0.500 P  2.10 2.10  2 
  • III-88PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén Luego g=0.500, factor a ser usado en el diseño por Fatiga al no estar afectado por el factor de presencia múltiple. Para los estados límites de Resistencia y Servicio, incluimos el factor de presencia múltiple m=1.2: g = 0.500(1.2) = 0.600 0.500 500(1.2) 0.600 b) Tabla 4.6.2.2.3b-1, caso dos o más carriles cargados: g = e (g int ) Donde: de= distancia desde el eje central de la viga exterior a la cara interior de la barrera de= 450 mm de e = 0.60 + (Tabla 4.6.2.2.3b-1) 3000 450 e = 0.60 + = 0.75 3000 gint= 0.745 (ver diseño de viga interior) Luego: 0.75(0.745 75(0.745) 0.559 g = 0.75(0.745) = 0.559 c) Art. 4.6.2.2.3b: Caso puentes de viga y losa con diafragmas rígidamente conectados (ver también Apéndice III-C) NL X Σe R = + ext 2 (C4.6.2.2.2d-1) Nb Σx c.1) Un carril cargado: P/2 P/2 0.60 1.80 .15 (Minimo) R1 e=2.10 .375 .15 X =3.15 .30 ext 0.825 2.10 2.10 2.10 0.825 x=1.05 x=3.15 Con: R = reacción sobre la viga exterior en términos de carril NL = número de carriles cargados = 1 Nb = número de vigas = 4
  • III-89PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén e = excentricidad del camión de diseño o carga de carril respecto del centro de gravedad del conjunto de vigas = 2.10m Xext= distancia horizontal desde el centro de gravedad del conjunto de vigas hasta la viga exterior = 3.15m x = distancia horizontal desde el centro de gravedad del conjunto de vigas hasta cada viga 1 3.15 m (2.1m) R = + = 0.550 4 2[(3.15m)2 + ( .05 m)2 ] 1 Con el factor de presencia múltiple, m=1.2: g = R = 1.2(0.550) = 0.660 0.660 c.2) Dos carriles cargados: P/2 P/2 P/2 P/2 0.60 1.80 1.20 0.60 1.80 (Minimo) R1 R2 e=2.10 e=1.50 1 2 .375 .15 X =3.15 .30 ext 0.825 2.10 2.10 2.10 0.825 x=1.05 x=3.15 2 3.15 m (2.10 m −1.50 m) R = + = 0.586 4 2[(3.15 m)2 + ( .05 m)2 ] 1 Con el factor de presencia múltiple m=1.0: g = R = 1.0(0.586) = 0.586 El factor de distribución crítico es, g= 0.660 0.660 d) De los casos a), b), y c), seleccionamos para el estado limite de resistencia el factor de distribución de cortante, g= 0.660 0.660 VLL+IM= 0.660(35.66T) = 23.54T
  • III-90PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez SerquénD) Cortante de Diseño, Estado Límite de Resistencia I Con n= nDnRnI=1: Vu = n[1.25 VDC + 1.50 VDW + 1.75 V(LL+IM)] (Tabla 3.4.1-1) = 1.25(10.17) + 1.50(0.88) + 1.75(23.54) = 55.23T Se sugiere al interesado y a manera de práctica, realizar el cálculo del acero por corte correspondiente.
  • III-91PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez SerquénIV)IV) DISEÑO DE BARRERAS DE CONCRETOSe propone en este caso un modelo de barrera de concreto con perfil basado en labarrera de New Jersey. Cabe destacar que un sistema de barreras y su conexión a lacubierta sólo se autoriza después de demostrar que es satisfactorio a través depruebas de choque en barreras a escala natural para el nivel de prueba deseado[A13.7.3.1]. Si se realizan modificaciones menores a modelos ya probados, que noafectan su resistencia, pueden utilizarse sin las pruebas de impacto requeridas. 0.375 .15 .175 .05 Ø12"@0.17 .47 7Ø3 8" 0.85 .25 Asfalto 2" .08 .05 Losa .20A) Resistencia en flexión alrededor de un eje vertical a la barrera (Mw) La resistencia a los momentos positivo y negativo que actúan alrededor de un eje vertical se determina tomando como base el mecanismo de falla en este tipo de barreras; se determina así el refuerzo horizontal en la cara vertical de la barrera (en este caso 4Ø3/8”). Para determinar el momento resistente se dividirá la sección de barrera en tres partes: A1, A2 y A3, tal como se observa en el gráfico. 15 17.5 15 17.5 05 05 d1 7.50 17.9 19.75 z d2 A1 47 47 19.75 d3 A2 25cm 25 4Ø3 8" d4 A3 13 13
  • III-92PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén Con fc = 280 kg / cm2 , fy = 4200 kg / cm2 , se tiene: Sección A1 z = recub + Ø + Ø/2 = 2” + ½” + (3/8”)/2 = 2.6875” = 6.83cm d1 = 15 / 2 cm = 7.5 cm d2 = 17.90cm − 6.83cm = 11.07 cm d 3 = 20cm − 6.83cm = 13.17 cm d1 + d2 + d 3 7.5 cm +11.07 cm + 13.17 cm d= = = 10.58 cm 3 3 A s = (2 + 0.5) Ø3 / 8" = 2.5(0.71 cm2 ) = 1.78 cm2 A s fy 1.78(4200) a= = = 0.67 cm 0.85fc b 0.85(280)(47) Ø = 1.0 (Caso de eventos extremos, AASHTO 1.3.2.1) a 0.67 Mu = ØA s fy (d −) = 1.0( .78)(4200)( .58 − 1 10 ) 2 2 Mu = 76, 592 kg − cm = 0.77 T − m Sección A2 d 3 = 20cm − 6.83cm = 13.17 cm d 4 = 37.5cm − 6.83cm = 30.67 cm d 3 + d 4 13.17 cm + 30.67 cm d= = = 21.92 cm 2 2 A s = (0.5 + 0.5) Ø3 / 8" = 0.71 cm2 A s fy 0.714200) ( a= = = 0.50 cm 0.85f b c 0.85(280)(25) a 0.50 Mu = ØA s fy (d − ) = 1.0(0.71 4200)(21.92 − )( ) 2 2 Mu = 64, 620 kg − cm = 0.65 T − m Sección A3 d = d 4 = 30.67 cm A s = 0.5 Ø3 / 8" = 0.5(0.71 ²) = 0.36 cm2 cm A s fy 0.36(4200) a= = = 0.49 cm 0.85fc b 0.85(280)( ) 13
  • III-93PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén a 0.49 Mu = ØA s fy (d − ) = 1.0(0.36)(4200)(30.67 − ) 2 2 Mu = 46, 003 kg − cm = 0.46 T − m Luego, el total es: Mw = Mu = 0.77 T-m + 0.65 T-m + 0.46 T-m T- Mw = 1.88 T-m Modo alternativo De manera simplificada, si trabajamos con un área rectangular equivalente, tenemos: A1 = 822.50 cm2 A 2 = 718.75 cm2 A 3 = 487.50 cm2 A T = 2028.75 cm2 Para una altura de barrera de 0.85m, se tendrá un grosor de: 2028.75 cm2 h= = 23.87 cm 23.87cm 85 cm z = recub + Øv+Ø/2 = 2” + ½” + (3/8”)/2 = 2.6875” = 6.83cm 85cm z d 4Ø3 8" d = 23.87cm – 6.83cm = 17.04 cm As = 4Ø3/8” = 4(0.71cm²) = 2.84cm² A s fy 2.84(4200) a= = = 0.59 cm 0.85fc b 0.85(280)(85) a 0.59 Mu = ØA s fy (d − ) = 1.0(2.84)(4200)( .04 − 17 ) 2 2 Mu = 199, 734 kg − cm = 2.00 T − m Mw= Mu= 2.00 T-m , valor semejante al obtenido en el paso 2. anterior.
  • III-94PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez SerquénB) Resistencia en flexión alrededor de un eje paralelo al eje longitudinal del puente(Mc) Se calcula de acuerdo a las líneas de rotura con el momento de flexión negativo. Éste produce esfuerzos de tensión en la cara inclinada de la barrera, determinando el refuerzo de la barrera para esa cara. Utilizando 1Ø1/2”@0.17m (As = 1.29cm²/0.17m = 7.59 cm²/m), considerando fajas de 1m de ancho: Sección A1 15cm z = recub. + Ø/2 = 2”+(1/2”)/2=2.25” = 5.72cm 1 Ø 2"@0.17 d = h − z = 17.9 − 5.72 = 12.18cm 47cm d z A s fy 7.59(4200) a= = = 1.34cm 0.85fc b 0.85(280)( 100) Mc a 1.34 20cm Mc,I = ØA s fy (d − ) = 1.0(7.59)(4200)( .18 − 12 ) 2 2 Mc,I = 3.67 T − m Sección A2 .20  20 + 37.5  1 Ø 2"@0.17 d=  − 5.72 = 23.03cm  2  Mc .25 a 1.34 d Mc,II = ØA s fy (d − ) = 1.0(7.59)(4200)(23.03 − ) 2 2 .13 d Mc,II = 7.13 T − m .375 Sección A3 d = 37.5cm – 5.72cm = 31.78cm a 1.34 Mc,III = ØA s fy (d − ) = 1.0(7.59)(4200)(31.78 − ) 2 2 Mc,III = 9.92 T − m El momento promedio es: 3.67(0.47) + 7.13(0.25) + 9.92(0.13) Mc = = 5.64T − m 0.85
  • III-95PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez SerquénC) Longitud crítica de la línea de rotura (Lc) según el patrón de falla 2 Lt L  8H(Mb + Mw ) Lc = +  t + (A13.3.1-2) 2 2 Mc 2 1.07 1.07  8(0.85)(0 +1.88) Lc = +   + = 2.13m 2  2  5.64 Siendo: Lt = longitud de distribución longitudinal de la fuerza de impacto Ft = 1.07m, para el nivel TL-4 (Tabla A13.2-1) H = altura de la barrera = 0.85m Mb= resistencia flexional adicional en la parte superior del muro =0 Mw= resistencia flexional del muro respecto de su eje vertical = 1.88 T-m Mc= resistencia flexional de los muros en voladizo respecto de un eje paralelo al eje longitudinal del puente = 5.64 T-m Lc = longitud crítica de la línea de rotura en el patrón de fallaD) Resistencia nominal a la carga transversal Rw  2  M L2  Rw =   2L − L  8Mb + 8Mw + c c   (A13.3.1-1) H   c t   Siendo: Ft = 240,000N para el nivel TL-4 = 24.47T (Tabla A13.2-1) Rw = resistencia del parapeto  2  5.64(2.13)2  Rw =   8(0) + 8( .88) + 1   2x2.13 −1.07   0.85   R w = 28.30T > Ft = 24.47T OK!
  • III-96PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez SerquénE) Transferencia de cortante entre la barrera y la losa Cortante actuante: Rw Rw Vct = (A13.4.2-1) L c + 2H .85 28.30T Vct = = 7.39 T / m Ø1/2"@0.17 2.13m + 2x0.85m V ct Cortante resistente: 0.375 Para dos concretos colados en diferentes momentos: Vn = cA cv + µ(A vf fy + Pc ) ≤ 0.2fc A cv ó 5.5A cv (5.8.4.1-1) Donde: Acv = área de corte en contacto = 37.5cm x 100cm = 3750cm² Avf = área del dowel en el plano de corte= 1Ø1/2”@0.17 (en razón de que sólo una pata está anclada) =1.29cm²/0.17m = 7.59cm²/m c = factor de cohesión (5.8.4.2) = 0.52MPa = 5.3kg/cm² (Caso 3) µ = 0.6l = 0.6(1.0) = 0.6 (Caso 3) fc = 280 kg / cm2 fy = 4200 kg / cm2 Pc = fuerza de compresión permanente perpendicular al plano de corte = peso de la baranda = 0.202875m² x 2400kg/m² = 487kg En 1m de ancho de barrera: Vn = 5.3kg/cm²(3750cm²) + 0.6(7.59cm² x 4200kg/cm² + 487kg) = 39,294 kg ≤0.2(280kg/cm²)(3750cm²) ó 5.5(375,000mm²)N x 0.10197 kg = 39.29T ≤ 210T ó 210.3T = 39.29T/m > Vct=7.39T/m OK!F) Chequeo del Dowel La armadura por corte debe satisfacer en interfases entre hormigón de losas y vigas, por unidad de longitud de viga: 0.35b v A vf ≥ (5.8.4.1-4) fy
  • III-97PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén Siendo: bv = ancho de la interfase = 375mm fy = 4200 kg/cm² = 412MPa 0.35x375mm 1000mm A vf ≥ x = 318.6mm² / m = 3.19cm² / m 412MPa 1000mm Proveído: 1Ø1/2”@0.17 = 7.59cm²/m > 3.19cm²/m OK!G) Longitud de anclaje La longitud básica de anclaje (lhb) para una barra terminada en gancho es: 100db (5.11.2.4.1-1) l hb = fc Siendo: db =1/2” = 12.7mm f’c= 280kg/cm² = 27.46MPa 100( .7mm) 12 l hb = = 242mm = 24.2cm 27.46MPa Considerando que el recubrimiento lateral perpendicular al plano del gancho es mayor o igual que 64mm, la longitud básica de anclaje se afectará por el factor 0.7 (5.11.2.4.2). Luego: l dh = 0.7l hb = 0.7x24.2cm = 17cm ldh .20 Losa recub=2" La longitud de anclaje l dh no debe ser menor que 8db ó 15cm (5.11.2.4.1) l dh = 17cm ≥ 8db = 10.16cm y 15cm Se dispone para la longitud de desarrollo sólo de 15 cm, lo cual no es satisfactorio. Sin embargo, considerando que cuando hay más armadura que la requerida la longitud básica de desarrollo disminuye según la relación  A s requerida     xl hb , tendremos:   A s provista  15  15  A s requerida = A s provista x   = 7.59cm² x   = 6.70cm² 17  17 
  • III-98PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén Usaremos esta área de acero para re-calcular la capacidad de la barrera: A s fy 6.70(4200) a= = = 1.18cm 0.85fc b 0.85(280)( 100) a 1.18 Mc,I = ØA s fy (d − ) = 1.0(6.70)(4200)( .18 − 12 ) = 3.26 T − m / m 2 2 1.18 Mc,II = 1.0(6.70)(4200)(23.03 − ) = 6.31 T − m / m 2 1.18 Mc,III = 1.0(6.70)(4200)(31.78 − ) = 8.78 T − m / m 2 3.26(.47) + 6.31 25) + 8.78(.13) (. Luego: MC = = 5.00 T − m / m 0.85 2 Lt L  8H(Mb + Mw ) Lc = +  t + (A13.3.1-2) 2  2 Mc 2 1.07 1.07  8(0.85)(0 +1.88) Lc = +   + = 2.22m 2  2  5.00  2  M L2  Rw =   2L − L  8Mb + 8Mw + c c   (A13.3.1-1) H   c t    2  5.00(2.22)2  Rw =   8(0) + 8( .88) + 1   2x2.22 −1.07   0.85   R w = 26.13 T > Ft = 24.47 T OK! Con lo que la longitud de desarrollo ldh=15cm, es adecuada. Las barras terminadas en gancho deben además extenderse 12db+4db=16(1.27)=21cm (C5.11.2.4.1) 4db 12db 21cm
  • III-99PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez SerquénV) DISEÑO DE LOSA EN VOLADIZO A) Criterios LRFD aplicables (Tabla 3.4.1-1) Resistencia I: U = n[1.25DC+1.50DW+1.75(LL+IM)] Evento Extremo II: U = n[1.0DC+1.0DW+1.0(LL+IM)] B) Momentos de flexión por cargas (franja de 1.0m de ancho) 37.5 15 17.5 05 7.4T 0.30 x (mínimo) _ 47 x=.13 A = 2028.75cm2 85 Asfalto 2" barrera _ 0.20 P = 487kg/m barrera x=13 25cm 0.375 0.30 .15 .15 Asfalto 2" 13 P = 487kg/m barrera cara de viga Considerando el momento flector en la cara de viga se tiene: Carga muerta (DC): wlosa = 0.20m x 1.0m x 2,400kg/m3 = 480kg/m w losaL2 480(0.675)2 MDC, = 1 = = 109kg-m 2 2 El peso de la barrera es: Pb = 0.202875m² x 1.0m x 2400kg/m³ = 487kg MDC,2 = Pb (L − x) = 487kg (0.675m − 0.13m) = 265 kg − m Luego: MDC = 109kg − m + 265kg − m = 374kg − m Carga por superficie de rodadura (DW): wasf 2” = 0.05m x 1.00m x 2250kg/m³ = 113 kg/m
  • III-100PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén 113(0.30)2 MDW = = 5 kg − m 2 Carga viva (LL): El ancho de franja en que se distribuye el eje de rueda es: E= 1140+0.833X (Tabla 4.6.2.1.3-1) Donde: X = distancia entre la carga y el punto de apoyo (mm) = 0.15m =150mm Luego: E= 1140+0.833(150) = 1265mm = 1.27m El momento del eje de rueda vehicular distribuido en un ancho E=1.27m, afectado por el factor de presencia múltiple (m=1.2), y el incremento por carga dinámica (I=0.33) es:  7.4T( .2)( .33)  1 1 MLL +IM =  .(0) = 0 kg − m  1.27m  Colisión vehicular (CT): R =26.13T w H=0.85 L +2H= 2.22m+2x0.85m C = 3.92m M CT  Rw  26.13 T MCT =   L + 2H (H) = 3.92m ( 0.85m) = 5.67 T − m   c  C) Cálculo del Acero Para el Estado Límite de Resistencia I, con n= nDnRnI=1: Mu = n[1.25 MDC + 1.50 MDW + 1.75 M(LL+IM)] (Tabla 3.4.1-1) = 1.25(374) + 1.50(5) + 1.75(0) = 475kg-m = 0.48T-m
  • III-101PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén Para el Estado Límite de Evento Extremo II, con n= nDnRnI=1: Mu = n[1.25 MDC + 1.50 MDW + 1.00 MCT ] (Tabla 3.4.1-1) = 1.25(374) + 1.50(5) + 1.00(5670) = 6145kg-m = 6.15T-m 2Ø1/2"@0.20 z 0.20 d 1Ø1/2"@0.19 Siendo este último momento el que rige, probaremos a usar 2∅ ½”@ 0.20m: Mu= 6.15T-m As(-)= 2.58cm² / 0.20m = 12.9 cm²/m r = recubrimiento = 5.0cm (Tabla 5.12.3-1) 1.27 z = 5.0 + = 5.64 cm 2 d= 20cm – 5.64cm = 14.36cm Ø = 1.0 (Caso de Eventos Extremos, AASHTO 1.3.2.1) A s fy 12.90x4200 a= = = 2.28 cm 0.85fc b 0.85x280x 100 a 2.28 ØMn = ØA s fy (d − ) = 1.0( .90)(4200)( .36 − 12 14 ) = 7.16 T − m 2 2 Este momento debe reducirse por la fuerza de tensión axial ejercida por la colisión en el volado, T = R w : L c + 2H T M 0.20 CT T
  • III-102PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén 26.13 T T= = 6.67 T / m 2.22 + 2(0.85m) Resolviendo como un caso de momento de flexión y tensión combinados: Pu Mu + ≤ 1.0 ØPn ØMn Luego, la capacidad es:  P  Mu = ØMn 1− u   ØP   n  Siendo: Ast = As(-) + As(+) = 2.58cm²/0.20m + 1.29cm²/0.19m = 19.69 cm²/m Pu = T = 6.67T/m ØPn = ØAstfy = 1.0(19.69cm²)(4200kg/cm²) = 82,698kg = 82.70T ØMn= 7.16 T-m  6.67  Mu = 7.161−  = 6.58T − m > 6.15T − m OK !  82.70  Usar 2Ø1/2”@0.20 Ø1/2”@0.20D) Longitud de Desarrollo M CT 2Ø1/2"@0.20 0.20 ldh El refuerzo negativo en el volado, inmediatamente debajo de la barrera, debe resistir MCT = 5.67T-m. Luego, se chequeará la longitud de desarrollo en esa zona: l dh = l hb . factor de mod ificación (5.11.2.4.1) Siendo la longitud básica de desarrollo: 100db (5.11.2.4.1-1) l hb = fc 100( .7mm) 12 l hb = = 242mm = 24.2cm 27.46MPa
  • III-103PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén A s requerido Mu requerido 5.67T − m Considerando que ≈ = y que el A s proveido Mu proveido 6.58T − m recubrimiento lateral perpendicular al plano del gancho es mayor que 64mm (factor 0.7), la longitud de anclaje es:  5.67  l dh = 24.2cm (0.7)  = 14.60 cm (5.11.2.4.2)  6.58  Se dispone de: 37.5cm-2(5.64cm)=26.22cm OK!E) Longitud de las barras adicionales del volado Las barras de Ø1/2” adicionales colocadas en la parte superior de la losa deben extenderse más allá del eje central de la viga T exterior hacia el primer tramo interior de la losa. Para determinar la longitud de esta extensión es necesario encontrar la distancia donde las barras adicionales Ø1/2” ya no son requeridas. Esta distancia teórica ocurre donde el momento debido a la colisión más la carga muerta, iguala al momento negativo resistente de las barras 1Ø1/2@0.20m. Siendo: recubrimiento = 5cm (Tabla 5.12.3-1) Ø = 0.90 d = 20cm - 5cm - 1.27cm/2 = 14.37cm As= 1.29cm²/0.20m = 6.45 cm²/m A s fy 6.45x4200 a= = = 1.14cm 0.85fc b 0.85x280x 100 La resistencia del momento negativo en la losa es: a 1.14 Mu = ØA s fy (d − ) = 0.90(6.45)(4200)( .37 − 14 ) = 3.36 T − m 2 2 Para el estado límite de Evento Extremo II, el momento negativo con Ø=1.0 se incrementa a: 1.0 Mu = 3.36 x = 3.73 T − m 0.9 Asumiendo un factor de transporte de 0.5, y ninguna otra posterior distribución de momento, el diagrama de momento por la colisión en el primer tramo interior de la losa es: 1.40m +2.835T-m x (+) A B (-) M =-(1.40-x)5.67 CT,x 1.40 M =-5.67T-m CT 2.10m
  • III-104PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén x B w =0.48 T /m C D G E A losa RD=0.89T RA=0.89T R =1.02T RC=1.02T B 0.825 2.10 2.10 2.10 0.825 CARGA DE LOSA Y REACCIONES EN APOYOS P =0.487T P =0.487T barrera barrera 0.13 x 0.13 A B C D E G RD=0.68T RA=0.68T R =0.19T RC=0.19T 0.825 2.10 B 2.10 2.10 0.825 CARGA DE BARANDAS Y REACCIONES EN APOYOS En el primer tramo interior de la losa se tienen las siguientes expresiones de momento flector: Carga Muerta (DC): (0.825 + x)2 Losa : Mx = −0.48 + 0.89 x 2 Barrera: Mx = -0.487(0.695+x) + 0.68x Carga por superficie de rodadura (DW): Se despreciará por ser muy pequeña. CT): Carga por colisión vehicular (CT): 5.67 MCT = − ( .40 − x) 1 1.40 La distancia x se encuentra igualando Mu = 3.73T-m, con el momento correspondiente al Evento Extremo II: −3.73 = 1.0 [ .25MDC, x +1.0MCT, x ] 1  (0.825 + x)2   5.67  − 3.73 = 1.25− 0.48 + 0.89 x − 0.487(0.695 + x) + 0.68 x +1.0− ( .40 − 1 x)  2   1.40  Resolviendo, x = 0.54m. Se agregará además (5.11.1.2) la longitud de 15db=15(1.27cm)=0.19m
  • III-105PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén Se tiene un total de: 0.54m + 0.19m = 0.73m Esta longitud total de 0.73m más allá del eje de la viga externa se compara con la longitud de desarrollo desde la cara de la viga, para seleccionar la mayor longitud. La longitud de desarrollo básica en tensión es: 0.02A b fy l db = ≥ 0.06db fy (5.11.2.1.1) fc Donde: Ab = 1.29cm² = 129mm2 fy = 4200kg/cm² = 412MPa f’c = 280kg/cm² = 27.46MPa db = 1.27cm = 12.70mm 0.02( 129)(412) l db = ≥ 0.06( .70)(412) 12 27.46 l db = 202.85mm ≥ 313.94mm La longitud de desarrollo será: l dh = l db = 31.39 cm ≈ 31cm El acero 1Ø1/2”@0.20m adicional al acero negativo del primer tramo interior de la losa (Ø1/2”@0.20m) se extiende entonces del siguiente modo: 0.73m 1Ø1/2"@0.20 (adicional) 0.20 l =.31 .15 .15 dh .46
  • III-106PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez SerquénVI) DISEÑO DE VIGAS DIAFRAGMA VIGASLas vigas diafragmas son vigas transversales que se usan como riostras en losextremos de las vigas T, en apoyos, y en puntos intermedios para mantener lageometría de la sección y así mismo resistir fuerzas laterales. En este caso la ubicaciónde los diafragmas obedece a disposiciones anteriores del AASHTO que sugerían seles coloque en intervalos que no excedan 12.19m (40’). Se ha optado por ellocolocar diafragmas en los extremos de la superestructura y en el centro.El Art. 9.7.1.4 de las Especificaciones LRFD requiere además que los tableros en laslíneas de discontinuidad, caso de bordes, sean reforzados por una viga u otroelemento, la cual debe estar integrada o actuar de forma compuesta con el tablero.Las vigas de borde se pueden diseñar como vigas con ancho para la distribución de lacarga viva similar al ancho efectivo del tablero especificado en el Artículo 4.6.2.1.4.Para el presente caso de modo conservador se distribuye la carga viva exclusivamentesobre el ancho del diafragma, lo cual es aceptable.A) Cálculo del acero principal negativo Se hará sobre la base del máximo momento negativo que ocurre en cualquiera de los apoyos internos (en este caso optaremos por B). Asfalto 2" .85 .70 .15 .30 Viga Diafragma b=.25 .15 .15 .25 L=2.10 2.10 2.10 SECCION TRANSVERSAL Momento de flexión en B por cargas Carga muerta (DC): Eje A Cargas en el eje A debido al volado: Pbarrera = 487kg/m x 0.25m = 122kg Pbarrera Plosa = 0.20m x 0.675m x 0.25m x 2400 kg/m3 = 81kg 0.13 Pcartela = ½ x 0.15m x 0.23m x 0.25m x 2400kg/m3= 10kg Ptotal = 213kg 0.20 P losa Momento en el eje A debido al volado: P cartela Mbarrera = 122kg x (0.825-0.13)m = 85kg-m .375 .15 Mlosa = 81kg x (0.825-0.675/2)m = 39kg-m Mcartela = 10kg x (0.23/3+0.15)m = 2kg-m .30 .15 Mtotal = 126kg-m 0.825
  • III-107PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén Carga distribuida por peso propio del diafragma: wpp = 0.25m x 0.70m x 2400kg/m3 = 420 kg/m Resolviendo la viga hiperestática tenemos: Carga por superficie de rodadura (DW): Se despreciará por ser muy pequeña. Carga viva y efecto de carga dinámica (LL+IM): Con el momento por carga viva encontrado en el cálculo de la losa (Método A) y la consideración de los factores de presencia múltiple y carga dinámica en estado límite de resistencia, considerando que la viga diafragma toma toda la carga viva tenemos para la cara derecha de la viga en B: MLL +IM = −2.04T − m x1.2 x1.33 = −3.26T − m Combinación crítica: Para el Estado Límite de Resistencia I, con n= nDnRnI=1, cara derecha de la viga en B: Mu = n[1.25 MDC + 1.75 M(LL+IM)] (Tabla 3.4.1-1) = 1.25(-0.106) + 1.75(-3.260) = -5.84 T-m Cálculo del acero negativo: Utilizando acero principal 2∅5/8” (As=4.0cm2) colocado debajo del acero de la losa (Ø1/2”), estribos ∅ 3/8” y recubrimiento r= 5.0 cm (Tabla 5.12.3-1):
  • III-108PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén φ 1.587 z = recub + φ As,losa + φ est + = 5cm +1.270cm + 0.953cm + cm = 8.02 cm 2 2 d= 70cm – 8.02cm = 62cm A s fy 4.00x4200 a= = = 2.82 cm 0.85fc b 0.85x280x25 a 2.82 Mu = 0.9fy (d − )A s = 0.9x4200(62 − )x4.00 = 9.16 T − m >5.84 T-m OK! 2 2 As máximo (Art. 5.7.3.3.1) Una sección no sobre reforzada cumple con: c /de ≤ 0.42 Como: c = a / β1 = 2.82 / 0.85 = 3.32 cm de = 63 cm c /de = 0.05 ≤ 0.42 OK! As mínimo (Art. 5.7.3.3.2) La cantidad de acero proporcionado debe ser capaz de resistir el menor valor de1.2Mcr y 1.33Mu: a) 1.2Mcr = 1.2fr S = 1.2(33.63 kg/cm2)(20417 cm3) = 8.24 T-m Siendo: fr = 0.63 fc MPa = 2.01 fc kg / cm2 = 2.01 280 kg / cm2 = 33.63 kg / cm2 S = bh2/6 = 25(70)2/6 = 20,417 cm3 b) 1.33 Mu= 1.33(5.84 T-m) = 7.77 T-m El menor valor es 7.78T-m y la cantidad de acero calculada (4.0cm2) resiste Mu=9.16T-m > 7.78T-m OK! USAR 2∅5/8”B) Momentos de flexión positivo por cargas Se hará sobre la base del máximo momento positivo que ocurre en los tramos AB ó CD, a 0.4L de un apoyo exterior (L es la longitud de tramos), en una sección tal como F: Carga muerta (DC): Del diagrama de momentos en diafragma por peso propio, en F: MDC = 83.08 kg-m = 0.083 T-m
  • III-109PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén Carga por superficie de rodadura (DW): Se despreciará por ser muy pequeña. Carga viva y efecto de carga dinámica (LL+IM): Con el momento por carga viva encontrado en el cálculo de la losa (Método A) y la consideración de los factores de presencia múltiple y carga dinámica en estado límite de resistencia, considerando que la viga diafragma toma toda la carga viva tenemos en F: MLL +IM = 2.723T − m x1.2 x1.33 = 4.35T − m Combinación crítica: Para el Estado Límite de Resistencia I, con n= nDnRnI=1: Mu = n[1.25 MDC + 1.75 M(LL+IM)] (Tabla 3.4.1-1) = 1.25(0.083) + 1.75(4.350) = 7.72 T-m Cálculo del acero positivo: Habiendo utilizado para el acero negativo 2Ø5/8” con capacidad Mu =9.16 T-m, utilizaremos la misma cantidad de acero principal para el acero positivo donde el momento actuante: Mu =7.72 T-m es menor. USAR 2∅5/8”C) Armadura de contracción y temperatura en caras laterales (Art. 5.10.8) En el alma de la viga diafragma: As=2Ø5/8" Ag .20 A s mín = 0.756 [SI] (5.10.8.2-1) Fy A s mín = 0.0018 A g [MKS, con fy = 4200 kg / cm2 ] .70 2Ø1/2" A s mín = 0.0018x[25(70 − 20)] = 2.25cm2 As=2Ø5/8" .25 A s mín = 1.13 cm2 / cara Usaremos por cara: 1 Ø 1/2” (1.29 cm2) , con la consideración: s máx = 3t = 3 (25) = 75 cm y s máx = 45 cm OK!
  • III-110PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez SerquénD) Diseño por Corte Sección crítica por corte cerca al apoyo extremo De acuerdo al Art. 5.8.3.2, la sección crítica por cortante se ubica con el mayor valor de 0.5dvcot o dv, desde la cara interna del apoyo, donde dv es el peralte efectivo por corte del elemento. El mayor cortante ocurre en el tramo exterior, cerca al apoyo interior, por lo que utilizaremos tal línea de influencia. ´ ´ Seccion critica por corte .70 .30 .15 .15 Viga Diafragma b=.25 el mayor dv de 0.5dvctg 2.10 2.10 2.10 1.34 0.76 A H B C D Determinación del peralte efectivo por corte (Art. 5.8.2.9) = 45° (procedimiento simplificado, Art. 5.8.3.4) a 2.82 d v = peralte de corte efectivo = d e − = 62 − = 60.59 cm 2 2 no menor que el 0.90de= 0.90(62 cm) = 55.8 cm OK! mayor valor de 0.72h = 0.72(70 cm) = 50.4 cm La sección crítica por corte se ubica desde el eje del apoyo en: 0.15m+0.6059m = 0.76 m
  • III-111PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén A la distancia 0.76m del eje del apoyo (sección H): Carga muerta (DC) VDC = +138 kg Superficie de rodadura (DW) Se despreciará por ser muy pequeña. Carga viva y efecto de carga dinámica (LL+IM):
  • III-112PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén Con la posición del camión de diseño mostrada: VLL=7.4T(-0.739)+7.4T(-0.075) = -6.02 T Con el factor de carga dinámica IM=0.33 y el factor de presencia múltiple m=1.2, considerando que la viga diafragma toma toda la carga viva: VLL+IM= -6.02T(1.33)(1.2) = -9.61 T Combinación crítica, Estado Límite de Resistencia I, con n= nDnRnI=1: Vu = n[(1.25 ó 0.9)VDC + 1.75 V(LL+IM)] (Tabla 3.4.1-1) Vu = 0.9(+138kg)+ 1.75(-9,610kg) = -16,693 kg Diseño de estribos: Cortante actuante : Vu = 16,693 kg Cortante resistente : Vr = Ø Vn (5.8.2.1-2) Ø = 0.9 (5.5.4.2) Vn = Vc+Vs+ Vp (5.8.3.3.-1) siendo Vn el menor de: Vn = 0.25f’cbvdv + Vp (5.8.3.3-2) Donde: Cortante resistente concreto Vc = 0.083β fc b v d v [N] (5.8.3.3-3) para β=2 (Art. 5.8.3.4): Vc = 0.53 fc b v d v [kg] A v fy d v (cot θ + cot α )senα Cortante resistente acero: Vs = (5.8.3.3-4) s con ᒕ = 45° (Art. 5.8.3.4) A v fy d v α = 90° (ángulo de inclinación del estribo) Vs = s Cortante resistente concreto (Vc) Vc = 0.083β fc b v d v [N] = 0.53 fc b v d v [kg] = 0.53 280 (25 x60.59) Vc = 13,434 kg siendo bv = ancho del alma= 25 cm
  • III-113PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén Cortante resistente del acero (Vs) Se propone estribos Ø3/8” espaciados cada 45 cm. Luego: A v fy d v (cot θ + cot α)senα A v fy d v 1.42( 4200)(60.59) Vs = = = = 8, 030 kg s s 45 donde: s = 45 cm (espaciamiento asumido de estribos) Av = 2 x 0.71 cm² = 1.42 cm² (asumiendo 2 ramas Ø 3/8”) Componente fuerza pretensado Vp=0 Cortante nominal resistente El menor valor de Vn = 13,434 kg + 8,030 kg + 0 = 21,464 kg Vn = 0.25 x 280 x 25 x 60.59 + 0 = 106,033 kg Luego Vn = 21,464 kg Cortante resistente total Vr = ØVn = 0.9(21,464 kg) = 19,318 kg > 16,693 Kg OK! Refuerzo transversal mínimo bv s A v ≥ 0.083 fc [mm2 ] (5.8.2.5-1) fy bv s A v ≥ 0.27 fc [cm2 ] fy 25(45) A v ≥ 0.27 280 cm2 4200 A v mín = 1.21 cm² < 1.42 cm² OK ! Espaciamiento máximo del refuerzo transversal (Art. 5.8.2.7) Vu − φVp vu = (5.8.2.9-1) φb v d v Vu 16, 693 vu = = = 12.24 kg / cm² φb v d v 0.9(25)(60.59) También: si vu < 0.125f’c smáx= 0.8dv ≤ 60 cm (5.8.2.7-1) si vu ≥ 0.125f’c smáx= 0.4dv ≤ 30 cm (5.8.2.7-2)
  • III-114PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén Como vu = 12.24 kg/cm² < 0.125(280 kg/cm²) = 35 kg/cm² smáx= 0.8dv = 0.8(60.59 cm)= 48.47 cm smáx= 60 cm Luego s = 45.0 cm < smáx= 48.47 cm OK! Luego, a una distancia 0.76 del eje del apoyo (sección crítica por cortante) usar estribos ∅3/8”@ 0.45 As=2Ø5/8" .20 .70 2Ø1/2" As=2Ø5/8" .25 Estribos Ø3 8"@0.45 (a una distancia 0.76m del eje del apoyo B)
  • III-115PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén19. PUENTES DE VIGAS PRESFORZADAS Eje de cables El presforzado es una técnica de pre-cargar el concreto en forma tal que seeliminen o reduzcan los esfuerzos de tensión que son inducidos por las cargas degravedad. El anclaje en el extremo donde se tensa es llamado anclaje vivo o de tensado; elotro extremo donde no se tensa se llama anclaje muerto o fijo. La fuerza de presforzado externa es generalmente aplicada por el alargamiento detendones: cables (strands), alambres o varillas de acero, contra la sección deconcreto, la cual se comprime. Los tendones pueden estar esforzados primero, antes del fraguado del concreto(pre-tensado), o después que el concreto ha fraguado (pos-tensado). En el pre-tensado los cables están esforzados contra anclajes externos (bancos detensado) y el concreto es fraguado en contacto directo con los tendones,permitiendo así desarrollar el afianzamiento. En el pos-tensado cuando el concreto ha ganado suficiente resistencia, lostendones son esforzados directamente contra el concreto y son mecánicamenteasegurados en anclajes empotrados en la fragua en cada extremo. Los puentes de vigas pre-tensadas o pos-tensadas requieren peraltes menores,siendo entonces menos pesados, logrando mayores luces. Utilizan acero y concretode alta resistencia, y requieren de equipo y mano de obra especializados. Esimportante en estas estructuras controlar agrietamientos y deflexiones.19.1) PRE-DIMENSIONAMIENTO DE VIGAS PRE- h Ductos para cables b SECCIÓN TRANSVERSAL - Johannes Johannson (Diseño y Cálculo de Estructuras Pretensadas), propone para las construcciones presforzadas: L L Vigas simplemente apoyadas: h= a 15 20 L L Vigas continuas, sin cartelas: h= a 20 25
  • III-116PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén L Vigas acarteladas, altura en el centro del tramo h= 50 - Guyon sugiere en vigas de puentes simplemente apoyados, 18 m ≤ L ≤ 36 m : L h h≥ +10 cm , b ≥ +10 cm 25 25 - Para luces que excedan los 45 m, los claros continuos son preferibles a claros simples, aunque el límite de claro económico entre los tipos simple y continuo, varía con las condiciones locales.Módulos de Sección mínimos requeridos M( d+l ) + ( − R )Mo 1 S1 mìn = − fcs + Rfti M( d+l ) + ( − R )Mo 1 S2 mìn = − Rfci + ftsDonde:S1= módulo de sección referido a la fibra superiorS2= módulo de sección referido a la fibra inferiorMo= momento flector durante la transferenciaMt = momento flector en condiciones finalesfci = esfuerzo permisible de compresión en la fibra inferior inmediatamente después de la transferenciafti = esfuerzo permisible de tracción en la fibra superior inmediatamente después de la transferenciafts = esfuerzo permisible de tracción en la fibra inferior bajo cargas de servicio, después de las perdidasfcs = esfuerzo permisible de compresión en la fibra superior bajo cargas de servicio, después de las perdidasR = % de fuerza inicial después de las pérdidas19.2) ESFUERZOS PERMISIBLES SEGÚN AASHTO LRFDLímites para la Tensión en los Tendones de PretensadoLa tensión en los tendones debida al pretensado o en el estado límite de servicio nodeberá ser mayor que los valores recomendados por el fabricante de los tendones oanclajes, y los valores especificados en la Tabla 5.9.3-1En los estados límites de resistencia y evento extremo, no deberá ser mayor que ellímite de resistencia a la tracción especificado en la Tabla 5.9.3-1
  • III-117PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez SerquénLímites para la Tensión en el Hormigón Antes de las pérdidas: Compresión en puentes pretensados o postensados: 0.60fci Tracción: Aplicar los límites indicados en la Tabla 5.9.4.1.2-1
  • III-118PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez SerquénEn estado límite de servicio, después de las pérdidas: Compresión: Para el estado límite de Servicio I, según la Tabla 5.9.4.2.1-1. El factor de reducción φ w se deberá tomar igual a 1.0 si las relaciones de esbeltez de las almas y alas, calculadas de acuerdo con el Art. 5.7.4.7.1, son menores o iguales que 15. Si son mayores que 15, deberá calcularse de acuerdo al Art. 5.7.4.7.2. Tracción: Según los límites indicados en la Tabla 5.9.4.2.2-1
  • III-119PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén19.3) RESISTENCIA DE ELEMENTOS SOLICITADOS A FLEXIÓN (Art. 5.7.3) RESISTENElementos con tendones adherentesPara secciones rectangulares o con alas para las cuales fpe ≥ 0.5fpu , la tensión mediaen el acero de pretensado fps se puede tomar como:  c  fps = fpu 1− k  (5.7.3.1.1-1)  dp   siendo:  fpy  k = 2.041−  (5.7.3.1.1-2)  fpu    C5.7.3.1.1- Tabla C5.7.3.1.1-1 Valores de k Tipo de tendón fpy / fpu Valor de k Cables de baja relajación 0.90 0.28 Cables aliviados de tensiones y 0.85 0.38 barras de alta resistencia Tipo 1 Barras de alta resistencia Tipo 2 0.80 0.48Para comportamiento de sección T: A ps fpu + A s fy − A s fy − 0.85β1fc (b − b w )h f c= (5.7.3.1.1-3) fpu 0.85fc β1b w + kA ps dpPara comportamiento de sección rectangular: A ps fpu + A s fy − A s fy c= (5.7.3.1.1-4) fpu 0.85fc β1b + kA ps dpdonde:Aps = área del acero de pretensadofpu = resistencia a la tracción especificada del acero de pretensadofpy = tensión de fluencia del acero depretensadoAs = área de la armadura de tracción de acero no pretensadoA’s = área de la armadura de compresiónfy = tensión de fluencia de la armadura de tracciónf’y = tensión de fluencia de la armadura de compresiónb = ancho del ala comprimidabw = ancho del almahf = altura del ala comprimidadp = distancia entre la fibra extrema comprimida y el baricentro de los tendones de pretensado
  • III-120PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquénc = distancia entre el eje neutro y la cara comprimidaβ1 = factor para el diagrama de tensiones, ver Art. 5.7.2.2Se deberá investigar el nivel de tensión en la armadura de compresión y, si la armadurade compresión no ha entrado en fluencia, en la Ecuación 3 en lugar de f’y se deberáutilizar la tensión real.Componentes con tendones no adheridosPara las secciones rectangulares o con alas, la tensión media en el acero depretensado no adherido se puede tomar como:  dp − c  fps = fpe + 6300   ≤ fpy  (5.7.3.1.2-1)  le Siendo:  2l i  le =  2 + N   (5.7.3.1.2-2)  s Para comportamiento de sección T: A ps fps + A s fy − A s fy − 0.85β1fc (b − b w )hf c= (5.7.3.1.2-3) 0.85fc β1b wPara comportamiento de sección rectangular: A ps fps + A s fy − A s fy c= (5.7.3.1.2-4) 0.85fc β1bdonde:c = distancia entre la fibra extrema comprimida y el eje neutro asumiendo que el tendón de pretensado ha entrado en fluenciale = longitud de tendón efectivali = longitud de tendón entre anclajesNs = número de articulaciones de apoyo cruzadas por el tendón entre anclajes o entre puntos de adherencia discretosfpy = tensión de fluencia del acero de pretensadofpe = tensión efectiva en el acero de pretensado en la sección considerada luego de todas las pérdidasSe deberá investigar el nivel de tensión en la armadura de compresión y, si la armadurade compresión no ha entrado en fluencia, en la Ecuación 3 en lugar de f’y se deberáutilizar la tensión real.
  • III-121PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez SerquénResistencia a la flexiónSe deberá tomar como: Mr = ØMn (5.7.3.2.1-1)donde:Mn = resistencia nominalØ = factor de resistencia especificado en el Art. 5.5.4.2Para secciones con alas cuando los tendones son adheridos, si la altura del alacomprimida es menor que c:  a  a  a a h Mn = A ps fps  d p −  + A s fy  d s −  − A s fy  d s −  + 0.85fc (b − b w )β1h f  − f   2  2  2 2 2  (5.7.3.2.2-1)19.4) PÉRDIDAS EN LA FUERZA DE PRESFORZADO La magnitud de la fuerza de presforzado de un miembro de concreto no esconstante sino que toma diferentes valores durante la vida del miembro. Algunos delos cambios son instantáneos o casi instantáneos, otros dependen del tiempo, y otrosmas suceden en función de la carga superpuesta. Deben considerarse todos estoscambios en el diseño. Las pérdidas en la fuerza de presforzado se pueden agrupar en dos categorías:aquellas que ocurren inmediatamente durante la construcción del miembro, y aquellasque ocurren a través de un extenso periodo de tiempo. La fuerza de preesfuerzo delgato (Pj ) puede reducirse inmediatamente debido a las pérdidas por fricción,deslizamiento del anclaje, y el acortamiento elástico del concreto comprimido. La fuerza de preesfuerzo después de ocurridas estas pérdidas se denomina fuerzade preesfuerzo inicial Pi. A medida que transcurre el tiempo, la fuerza se reduce más, gradualmente, primerorápidamente y luego más lentamente, debido a los cambios de longitud provenientesde la contracción y el flujo plástico del concreto y debido al relajamiento del aceroaltamente esforzado. Después de un periodo de muchos meses, o aún años, los cambios posteriores enlos esfuerzos llegan a ser insignificantes, y se alcanza una fuerza de preesfuerzo casiconstante. Esto se define como la fuerza de preesfuerzo efectiva P. Habiendo ocurridolas pérdidas, P =R Pi , siendo R=1-(% pérdidas), la eficiencia en la fuerza depresforzado.13.513.5) INECUACIONES BÁSICASEn condiciones iniciales: Pi Pi e Mo − + − ≤ fti (1) fibra superior A S1 S1
  • III-122PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén Pi Pi e Mo − − + ≥ fci (2) fibra inferior A S2 S2En condiciones finales: R Pi R Pi e Mt − − + ≤ fts (3) fibra inferior A S2 S2 R Pi R Pi e Mt − + − ≥ fcs (4) fibra superior A S1 S1Donde:Pi = fuerza pre-tensora inicialP = fuerza pre-tensora final (P=RPi)A = área de la vigaE = excentricidad del cable resultanteS1 = módulo de sección referido a la fibra superiorS2 = módulo de sección referido a la fibra inferiorDiagramas de MagnelLas inecuaciones anteriores también pueden expresarse como: 1 e − k2 ≥ (1) 1/P Pi Mo + fti S1 (1) 1 e + k1 ≥ (2) (3) Pi Mo − fci S2 (4) Zona de combinaciones aceptables de P y e 1 R (e + k1) (2) ≤ (3) Pi Mt − fts S2 1 R (e − k 2 ) e teórico máx ≤ (4) emáx real e Pi Mt + fcs S1 k =-r²/c = -S /A k =-r²/c = -S /A 1 2 2 2 1 1Donde: S2 r2k1= distancia de núcleo = − =− A c2 S1 r2k2= distancia de núcleo = − =− A c1
  • III-123PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez SerquénPROBLEMA III.3 Diseñar la viga interior de un puente de vigas presforzadas III.3 presforzadas resforzsimplemente apoyado de 30.00 m de longitud, dos vías, según lo mostrado. Utilizarconcreto f’c= 350 kg/cm2 , f’ci= 280 kg/cm2 , strands ∅ ½” (0.987 cm2) , fpu=18,984 kg/cm2 (270 ksi), y pérdidas 15% (R= 85%). El vehículo usuario es HL-93. HL- A B Luz = 30.00 m 3.60 3.60 Asfalto 2" t 2% 2% Cartelas 9"x6" 1.70 .30 h Viga Diafragma .15 b=0.25 2.00 2.00 2.00 b SECCIÓN TRANSVERSALSolución.-Solución.-A) PRE-DIMENSIONAMIENTO L L h≈ a (Johannes Johannson, Diseño y Cálculo de Estructuras Pretensadas) 15 20 h ≈ 2.0m a 1.5 m Adoptamos h = 1.70 m, b = 0.30 mB) PROPIEDADES DE LA SECCIÓN 200 cm Eje 1 18 cm 15 y = 55.14 E.N. 1 h= 170 cm 23 y =114.86 2 t=25 cm 15 30 cm Tomando como referencia para el cálculo de y el borde superior del patín (Eje 1):SECCIÓN AREA (cm2) y (cm) y A (cm3) y 2 A (cm4) ICG (cm4) I 18X200=3600 9 32,400 291,600 97,200 II 152X30 =4560 94 428,640 40’292,160 8’779,520 III 2(0.5x15x23)=345 23 7,935 182,505 2(23x153/36)=4313 ∑ 8505 468,975 40’766,265 8’881,033
  • III-124PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén Centro de gravedad: ∑ y A 468,975 y= = = 55.14 cm A 8,505 Luego: y1 = 55.14 cm, y2 = 170 - 55.14= 114.86 cm Inercia: 2 I1 = ∑ ICG + ∑ y A = 8 881 033 + 40 766, 265 = 49 647, 298 cm 4 , 2 ICG = I1 − y A = 49 647, 298 − (55.14)2 (8505) = 23 788, 529 cm 4 Módulos de Sección: ICG 23 788, 529 S1 = = = 431 421cm 3 , y1 55.14 ICG 23 788, 529 S2 = = = 207,109cm 3 y2 114.86 Distancias de Núcleo: S2 207,109 k1 = = = 24.35 cm A 8, 505 S1 431 421 , k2 = = = 50.73 cm A 8, 505C) MÓDULOS DE SECCIÓN MÍNIMOS M( d +l ) + ( − R )Mo 1 S1 mìn = − fcs + Rfti M( d+l ) + ( − R )Mo 1 S2 mìn = − Rfci + fts Donde: Cargas iniciales: Peso propio: wpp = 0.8505m2 x 2.4 T/m3 = 2.04 T/m 2.04(30)2 Mmáx = = 229.64 T − m 8
  • III-125PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén Diafragmas, ubicándolos a10 m uno de otro: 1.397 T 1.397 T 1.397 T 1.397 T 10 10 10 A B Luz = 30.00 m 2.794 T 2.794 T Pdiaf = 1.70m x 1.37m x 0.25m x 2.4 T/m3 = 1.397 T Mmáx = (2.794-1.397)(15) – 1.397(5) = 13.97 T-m Luego: Mo = 229.64 T-m + 13.97 T-m = 243.61 T-m Cargas aplicadas: Asfalto: Wasf 2” = 0.05m x 2.00m x 2.25 T/m3 = 0.225 T/m 0.225(30)2 Mmáx = = 25.31 T − m 8 Carga viva HL-93: MLL+IM = 387.09 T-m (Ver Tabla APÉNDICE II-B) Distribución g en viga interior: - Dos carriles cargados: S 0.6 S 0.2 k g 0.1 g = 0.075 + ( ) ( ) ( 3 ) (Tabla 4.6.2.2b-1) 2900 L Lt s Con: E viga 2.00 m n= =1 E tablero .18 A = 30 x 152 = 4560 cm2 e=0.85 g 1.52 1.70 3 30( 152) I= = 8 779, 520 cm 4 12 0.30 eg = 85 cm
  • III-126PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén [ k g = n I + Ae 2 g ] =1[8 779, 520 + 4560(85) ] = 41 725, 520 cm 2 4 0.1 0.1  kg   41725, 520   3  Lt  =  = 1.09  s 18 3  3000( )  2000 0.6 2000 0.2 g = 0.075 + ( ) ( ) ( .09) = 0.58 1 2900 30000 - Un carril cargado: S 0.4 S 0.3 k g 0.1 g = 0.06 + ( ) ( ) ( 3) (Tabla 4.6.2.2.2b-1) 4300 L Lt s 2000 0.4 2000 0.3 g = 0.06 + ( ) ( ) ( .09) = 0.42 1 4300 30000 Luego: MLL+IM = 0.58 (387.09 T-m)= 224.51 T-m Entonces: Md+ l = 25.31 + 224.51 = 249.82 T − m Resumen: Cargas iniciales: Mo = 243.61 T- m Cargas de servicio: Md+ l = 249.82 T − m Mt = 493.43 T- m Esfuerzos Permisibles Iniciales (transferencia) Fibra superior: fti = 0.25 fci ≤ 1.38 MPa [SI] (Tabla 5.9.4.1.2-1) = 0.80 fci ≤ 14 kg / cm2 [MKS] = 0.80 280 = 13.39 kg / cm2 ≤ 14 kg / cm2 Fibra inferior: fci = −0.60 fci (Art. 5.9.4.1.1) 2 = −0.60 (280) = −168 kg / cm
  • III-127PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén Aplicados (en servicio) Fibra superior: CASO I: carga total fcs = −0.60φ w fc = −0.60fc (Tabla 5.9.4.2.1-1) = −0.60( )(350) = −210 kg / cm2 1 CASO II: sobrecarga y semisuma de presforzado+cargas permanentes fcs = −0.40fc (Tabla 5.9.4.2.1-1) 2 fcs = −0.40(350) = −140 kg / cm Fibra inferior: fts = 0 (Tabla 5.9.4.2.2-1) Módulos de Sección requeridos M( d + l ) + ( − R )Mo 1 249.82x 5 + (0.15)(243.61105 ) 10 x S1 mìn = = = 129,355 cm 3 − fcs + Rfti − ( −210) + 0.85( .39) 13 M( d + l ) + ( − R )Mo 1 249.82x 5 + (0.15)(243.61105 ) 10 x S2 mìn = = = 200, 535cm 3 − Rfci + fts − 0.85( −168) + 0 Como S1= 431,421 cm3 > S1 mín= 129,355cm3 y S2 = 207,109 cm3 > S2 mín= 200,535 cm3, la sección es adecuada.D) CÁLCULO DE LA EXCENTRICIDAD DE LOS CABLES Y FUERZA INICIAL EN EL CENTRO DE LUZ Inicialmente: 1 e − k2 ≥ (1) Pi Mo + fti S1 1 e − 50.73 e − 50.73 ≥ = Pi 243.6110 5 +13.39(431 421 30136, 243 x , ) 1 e + k1 ≥ (2) Pi Mo − fci S2
  • III-128PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén 1 e + 24.35 e + 24.35 ≥ 5 = Pi 243.6110 − ( −168)(207,109) 59155, 312 x Finalmente: 1 R (e + k1) ≤ (3) Pi Mt − fts S2 1 0.85(e + 24.35) e + 24.35 ≤ 5 = Pi 493.43x 10 − 0 58 050, 847 1 R (e − k 2 ) ≤ (4) Pi Mt + fcs S1 1 0.85(e − 50.73) e − 50.73 ≤ 5 = Pi 10 + ( −210)(431 421 − 48 535,518 493.43x , ) Gráfica de las inecuaciones de Magnel: 1/P (1) (4) (3) Zona de combinaciones aceptables de P y e (2) e = 131.78 cm máx teórico emín = e e =99.86 cm 16.54 cm máx real k1=-24.35 cm k = 50.73 cm 2 De la gráfica: emáx = 131.78 cm y emín = 16.54cm La distancia entre el eje de cables y la fibra extrema la aproximaremos a 55.14 cm un valor entre el 5%h á 15%h. E.N. e real 170 cm Luego z ≈ 10%(170cm) máx 114.86 cm ≈15cm 15 cm Ducto para cables
  • III-129PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén Se tomará: emáx real = 114.86cm -15cm = 99.86cm 99.86cm De la inecuación (3), en el centro de luz: 1 Con e = 99.86 cm, = 2.139x −6 kg −1, 10 Pi 467.36 Pi = 467.36 TE) ESTADOS LÍMITES APLICABLES (Tabla 3.4.1-1) Servicio I: U=n[1.00(DC+DW) + 1.00(LL+IM)] Servicio III: U=n[1.00(DC+DW) + 0.80(LL+IM)] Resistencia I: U=n[1.25(DC) + 1.50(DW) + 1.75(LL+IM)] Se hará uso de n= nDnRnI=1F) COMPROBACIÓN DE ESFUERZOS EN CENTRO DE LUZF.1) ESTADO DE SERVICIO I En condiciones iniciales: Fibra superior (ecuación 1) Pi Pi e Mo 467,360 467,360(99.86) 243.61105 x fti = − + − =− + − A S1 S1 8505 431 421 , 431 421 , fti = -3.24 kg/cm2 (comp) < admitido: fti = +13.39 kg/cm2 (tracción) OK! Fibra inferior (ecuación 2) Pi Pi e Mo 467,360 467,360(99.86) 243.61105 x fci = − − + =− − + A S2 S2 8505 207,109 207,109 fci = -162.67 kg/cm2 (comp) < admitido: fci = -168 kg/cm2 (comp) OK! En condiciones finales: Con P = R Pi = 0.85(467.360 T) = 397.256 T Fibra superior (ecuación 4) CASO I (carga total) R Pi R Pi e Mt fcs = − + − A S1 S1
  • III-130PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén 397, 256 397, 256(99.86)  243.61105 25.3110 5 224.5110 5  x x x fcs = − + − + +  8505 431 421 ,  431 421 , 431 421 , 431 421  , fcs = −46.71+ 91.95 − 56.47 − 5.87 − 52.04 fcs = -69.13 kg/cm2 (comp) < admitido: fcs = -210 kg/cm2 (comp) OK! CASO II (sobrecarga y semisuma de presforzado+cargas permanentes) Ml 1  R Pi R Pi e Mpp + asf  fcs = − + − + −  S1 2  A S1 S1  224.5110 5 1  397, 256 397, 256(99.86) 243.6110 5 25.31105  x x x fcs = − + − + − −  431 421 , 2 8505 431 421 , 431 421 , 431 421  , 1 fcs = −52.04 + [− 46.71+ 91.95 − 56.47 − 5.87] 2 fcs = -60.59 kg/cm2 (comp) < admitido: fcs = -140 kg/cm2 (comp) OK! Fibra inferior (ecuación 3) R Pi R Pi e Mt 397, 256 397, 256(99.86) 493.43x 5 10 fts = − − + =− − + A S2 S2 8505 207,109 207,109 fts =0 kg/cm2 admitido: fts = 0 kg/cm2 (no tracciones) OK!F.2) ESTADO DE SERVICIO III En condiciones iniciales: Fibra superior (ecuación 1) Pi Pi e Mo 467,360 467,360(99.86) 243.61105 x fti = − + − =− + − A S1 S1 8505 431 421 , 431 421 , fti = -3.24 kg/cm2 (comp) < admitido: fti = +13.39 kg/cm2 (tracción) OK! Fibra inferior (ecuación 2) Pi Pi e Mo 467,360 467,360(99.86) 243.61105 x fci = − − + =− − + A S2 S2 8505 207,109 207,109 fci = -162.67 kg/cm2 (comp) < admitido: fci = -168 kg/cm2 (comp) OK!
  • III-131PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén En condiciones finales: Fibra superior (ecuación 4) CASO I (carga total) R Pi R Pi e (Mo + Md ) + 0.80Ml fcs = − + − A S1 S1 397, 256 397, 256(99.86)  243.61105 25.3110 5  x x fcs = − + − +  8505 431 421 ,  431 421 , 431 421  ,  0.80x224.5110 5  x −   431 421 ,  fcs = −46.71+ 91.95 − 56.47 − 5.87 − 41.63 fcs = -58.72 kg/cm2 (comp) < admitido: fci = -210 kg/cm2 (comp) OK! CASO II (sobrecarga y semisuma de presforzado+cargas permanentes) Ml 1  R Pi R Pi e Mpp + asf  fcs = − + − + −  S1 2  A S1 S1  0.80x224.51105 1 397, 256 397, 256(99.86) 243.61105 x x fcs = − + (− + − 431 421 , 2 8505 431 421 , 431 421 , 25.3110 5 x − ) 431 421 , 1 fcs = −41.63 + (− 46.71+ 91.95 − 56.47 − 5.87) 2 fcs = -50.18 kg/cm2 (comp) < admitido: fci = -140 kg/cm2 (comp) OK! Fibra inferior (ecuación 3) R Pi R Pi e (Mo + Md ) + 0.80Ml fts = − − + A S2 S2 397, 380 397, 380(99.86) (243.61+ 25.31 x 5 ) 10 fts = − − + 8505 207,109 207,109 0.80(224.66x 5 ) 10 + 207,109 fts = - 21.68 kg/cm2 (comp), admitido: fts = 0 kg/cm2 (no tracción) OK!
  • III-132PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez SerquénG) NÚMERO DE STRANDS REQUERIDO POR VIGA Con strands Ø1/2” (A = 0.153 in2 = 0.987 cm2 ) fpu = 270 ksi = 18,984 kg/cm2 Luego fpi = 0.70 fpu = 13,289 kg/cm2 (Tabla 5.9.3-1) Capacidad de 1 strand Ø1/2”: 0.987 cm2 (13,289 kg/cm2) = 13,116 kg Con Pi = 467.36 T (centro de luz), después de las perdidas P=RPi P = 0.85(467.36T) = 397.256T 397, 256 Nº de strands = = 31 strands φ 1/ 2" 13,116H) VERIFICACIÓN POR ESTADO LÍMITE DE RESISTENCIA I Momento aplicado: Mu = 1.25MDC + 1.50MDW + 1.75MLL+IM Mu = 1.25(243.61) + 1.5(25.31) + 1.75(224.51) = 735.37 Tm Momento resistente de la viga: Esfuerzo promedio en el acero de presfuerzo cuando fpe ≥ 0.5fpu :  c  fps = fpu 1− k  (5.7.3.1.1-1)  dp    donde: fpe = tensión en el acero de presforzado debido al presforzado, luego de las pérdidas = P/A = 397,256kg / (31x0.987cm²) = 12,983 kg/cm² ≥ 0.5(18,984 kg/cm²) fpu = resistencia a la tensión especificada del acero de presfuerzo = 18,984 kg/cm2 (270 ksi) fps = esfuerzo promedio en el acero de presfuerzo  fpy  k = 21.04 −  (5.7.3.1.1-2)  fpu    = 0.28 para cables de baja relajación (Tabla C5.7.3.1.1-1) dp = distancia desde la fibra extrema en compresión al centroide del tendón de presfuerzo
  • III-133PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén = 170cm – 15cm = 155cm c = distancia desde el eje neutro a la cara en compresiónPara calcular c (C5.7.3.2.2) asumimos un comportamiento rectangular de la sección yluego comprobamos si la profundidad del bloque de esfuerzos de compresiónequivalente, c, es menor o igual que el espesor de la losa: hf =18 cm.Donde:a = β1c A ps fpu + A s fy − A s fy c= fpu 0.85fc β1b + kA ps dpAps = área del acero de presfuerzo = 31(0.987cm²)=30.60cm²As = área del refuerzo de tensión del acero no presforzado = 0A’s = área del refuerzo de compresión = 0f’c = resistencia cilíndrica del concreto = 350 kg/cm²fy = resistencia de fluencia del refuerzo no presforzado de tensiónf’y = resistencia de fluencia del refuerzo no presforzado de compresiónβ1 = 0.85 para f’c ≤ 280 kg/cm² 0.05(fc − 280) = 0.85 − ≥ 0.65 para fc > 280 kg / cm2 70 0.05(350 − 280) = 0.85 − = 0.80 70b = ancho efectivo del patín de compresión = 200cm 30.60( ,984) 18c= = 11.94cm < h f = 18cm OK! 0.85(350)(0.80)(200) + 0.28(30.60)( ,984 /155) 18Por lo tanto, el comportamiento de sección rectangular asumido es válido.El esfuerzo promedio en el acero de presfuerzo es:  c  fps = fpu 1− k  = 18, 9841− 0.2811.94  = 18, 575 kg / cm2    dp   155   Resistencia nominal a la flexión: a Mn = A ps fps (d p − ) (5.7.3.2.2-1) 2(La ecuación anterior es una simplificación de la ecuación 5.7.3.2.2-1, cuando noexiste acero no presforzado)a = β1c = 0.80(11.94cm) = 9.55cm
  • III-134PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén 9.55Mn = 30.60( ,575)( 18 155 − ) = 853.87 T − m 2Momento resistente de la viga: Mu = ØMn (5.7.3.2.1-1)Donde Ø = 1.00 para flexión y tensión en concreto presforzado (Art. 5.5.4.2.1)Luego: Mu = 853.87T-m > 735.37 T-m OK!
  • III-135PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén III- APÉNDICE III-A MÉTODO C: MOMENTOS REDUCIDOS EN TABLEROS POR CONSIDERACION DE CARGA DE RUEDA EXTENDIDA Y MOMENTO EN CARA DE VIGA 1. Momento Positivo (Reducción por carga de rueda extendida) El momento de flexión máximo en un punto es mayor debido a una carga concentrada que a una carga extendida en cierta distancia. Es posible entonces en ejes de rueda reducir el momento positivo considerando la carga de rueda se extiende sobre un ancho de 0.51 m (Art. 3.6.1.2.5 LRFD) más el peralte de la plataforma (Art. 4.6.2.1.6 LRFD). En razón de tener el momento positivo en la línea de influencia, en el punto de interés, picos agudos y luego decaer rápidamente, al usar una carga de rueda extendida se pueden obtener momentos de diseño significativamente menores que de una carga de rueda concentrada. Con un tramo simple se puede lograr desarrollar una aproximación que simplifica la aplicación de la carga de rueda extendida. La extensión para un miembro continuo será aproximada debido a que la línea de influencia correspondiente es realmente curva.
  • III-136PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén Consideremos una viga simple de longitud L. Se desea calcular el momento positivo máximo en el punto 0.4 del tramo debido a la carga de rueda extendida de ancho BL, siendo B una fracción. De la figura, queremos localizar la carga de rueda extendida medida como una fracción X de la longitud de la base, para causar el máximo momento de flexión. El momento de flexión en el punto 0.4 será la carga de rueda uniforme por el área de la línea de influencia subtendida por la carga, A1+A2. Para maximizar el momento de flexión, la fracción X debe maximizar la suma de las áreas A1+A2. La ordenada Y1=0.6(0.4L-XBL) El área trapezoidal A1 = 0.24BXL2 − 0.3B 2 X 2L2 Del mismo modo, la ordenada Y2=0.4L(0.6-B+XB) El área trapezoidal A 2 = 0.24BL2 − 0.24BXL2 − 0.2B 2L2 + 0.4B 2 XL2 − 0.2B 2 X 2L2 Sumando las áreas obtenemos lo siguiente: A1 + A 2 = 0.24BL2 − 0.2B 2L2 + 0.4B 2 XL2 − 0.5B 2 X 2L2 Derivando el área con respecto a la variable X é igualando a cero para encontrar el área máxima se obtiene: d(A1 + A 2 ) = 0.4B 2L2 − B 2 XL2 = 0 dX De donde X=0.4. La posición de la carga de rueda extendida producirá el momento máximo en el punto 0.4. El momento positivo máximo en el punto 0.4 es el producto de la carga uniforme extendida P/BL por el área de influencia A1+A2. El resultado es el siguiente: P Mmax = (0.24BL2 − 0.2B 2L2 + 0.4B 2 XL2 − 0.5B 2 X 2L ) BL Reemplazando X=0.4 para el momento máximo se obtiene Mmax = P(0.24L − 0.120BL ) El primer término es el momento que resulta de la carga de rueda concentrada aplicada en el punto de interés (punto 0.4). El segundo término es una corrección que resulta de la carga extendida en un ancho BL. Este resultado puede generalizarse debido a que la proporción X está directamente relacionada con el punto de interés. Así, para el punto 0.5, X=0.5, y la ecuación resulta: Mmax = P(0.25L-0.125BL) Esto conduce a una conveniente aproximación para el momento máximo por carga de rueda extendida colocando la carga concentrada en la ordenada máxima de la línea de influencia y corrigiendo con el término PBL/8, donde BL es la longitud de la carga de rueda extendida.
  • III-137PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén El resultado en el punto 0.4 no es completamente correcto y el error se incrementa según el punto se aleje del centro del tramo. Para propósito de diseño, sin embargo, al trabajar con puntos cercanos al centro, el error es mínimo. Para tramos continuos podemos utilizar esta aproximación con seguridad razonable, simplificando el arduo proceso que se requeriría con la línea de influencia curva correspondiente. Podemos escribir entonces: PB P ML = MOL − (Ecuación 1) 8 Donde: ML = momento positivo de diseño ajustado para carga viva MOL= momento positivo usando cargas de rueda concentradas P = carga de rueda concentrada en el punto de interés BP = longitud de base de la carga de rueda extendida (0.51m más el peralte de la cubierta) viga) 2. Momento Negativo (Reducción por consideración de momento en cara de viga) Las líneas de influencia para momentos en los apoyos son curvas suaves y el uso de cargas de rueda extendidas en vez de puntuales no cambia significativamente el momento de diseño. Sin embargo puede deducirse una fórmula para reducir el momento negativo de diseño en plataformas tomando el momento negativo en la cara de la viga, no en el eje. El Art. 4.6.2.1.6 LRFD especifica que la localización de la sección de diseño para momento negativo es: a. En la cara del apoyo para construcciones monolíticas y vigas cajón de concreto; b. Un cuarto el ancho del patín desde el eje del apoyo para vigas de acero; o c. Un tercio el ancho del patín, sin exceder 0.38m desde el eje del apoyo para vigas de concreto prefabricadas Tee ó I. De este modo los momentos negativos se calculan en el centro del apoyo y luego se corrigen con la sección de diseño real usando la Ecuación 2, que se deduce a continuación. En vez de asumir una hipotética reacción concentrada, asumimos que la reacción se distribuye uniformemente sobre una longitud igual a dos veces la distancia desde el centro del apoyo a la sección de diseño B N / 2 . El término de corrección es entonces el área del diagrama de cortante entre el centro del apoyo y la sección de diseño. Esto es, un triángulo con longitud de base B N / 2 y ordenada igual al cortante en el apoyo. El área del triángulo será: VBN / 4 . Debido a que el cortante a uno y otro lado de la reacción es aproximadamente la mitad de la reacción del apoyo, la corrección para el momento es RB N / 8 . Siendo negativo el momento en el apoyo, la fórmula que resulta es similar a la Ecuación 1, excepto que el signo de la corrección es positivo, lo que reduce el momento de diseño.
  • III-138PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén En resumen, el momento negativo máximo y la respectiva reacción en el centro del apoyo se calculan con cargas de rueda concentradas, corrigiendo luego con: RBN ML = MOL + (Ecuación 2) 8 Donde: ML = momento negativo de diseño ajustado para carga viva MOL= momento negativo en el apoyo usando cargas de rueda concentradas R = reacción del apoyo debido a cargas de rueda concentradas BN = dos veces la distancia desde el eje del apoyo a la sección de diseño negativa
  • III-139PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén III- APÉNDICE III-B PROCESO DE DISEÑO VIGA T a) Definir ancho efectivo b (Art. 4.6.2.6) Vigas Interiores: b efectivo es el menor valor de: L efectiva 4 bf 12t f + ( t w ó ) 2 S= espaciamiento entre vigas longitudinales Vigas exteriores: b efectivo = ½ b efectivo adyacente + el menor valor de: L efectiva 8 tw b 6t f + ( ó f ) , el que resulte mayor 2 4 ancho del volado b) CASO 1: Viga Rectangular (c < t) b 1) Suponer c = t c E.N. Con lo que: t Mu d a = 0.85c , As = , a 0.9fy (d − ) 2 z As A b ρ= s bd 2) Calcular ρfy d c = 1.18 0.85fc 3) Chequear: Si c ≤ t , DISEÑAR COMO VIGA RECTANGULAR (diseño convencional) Si c > t , DISEÑAR COMO VIGA T
  • III-140PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén c) CASO II: Viga T (c > t) fc 1) Calcular A sf = 0.85 (b − b w )t b fy 2) Calcular Malma t c t E.N. d Malas = φA sf fy (d − ) 2 siendo Mu = Malas + Malma z As b → Malma = Mu − Malas 3) Calcular (A s − A sf ) Malma (A s − A sf )fy (A s − A sf ) = , a= a φfy (d − ) 0.85fc b w 2 Malma Luego: A s = + A sf a φfy (d − ) 2
  • III-141PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén III- APÉNDICE III-C MÉTODO DE COURBON PARA DISTRIBUIR LA CARGA VIVA EN VIGAS DE UN DISTRIBUIR PUENTE VIGA-LOSA VIGA-Cuando una sección transversal de puente se deforma y gira como una seccióntransversal rígida, esto es el caso de secciones de losa y vigas de concreto con vigasdiafragmas convenientemente distribuidas e interconectadas, es posible repartir lacarga transversalmente entre las vigas de soporte según la expresión de Courbon: P Pe R = ± X n ΙEs decir: 1 eX  R = P ±  n  X2   ∑donde X es la distancia de una viga al centroide de las vigas principales, ∑X 2 es lasuma de los cuadrados de las distancias de varias vigas principales desde elmencionado centroide, n el número de vigas principales. El reglamento AASHTO LRFDadopta esta fórmula según C4.6.2.2.2d-1, para calcular el porcentaje de distribuciónde la carga viva “g” en vigas.Veamos el siguiente caso, donde se quiere distribuir la carga de un carril de diseñoentre las cuatro vigas que se muestran en la figura. P/2 P/2 0.60 1.80 .15 (Minimo) e=2.10 1 R=P R1 R2 R3 R4 X =3.15 ext 2.10m 2.10 2.10 X=1.05 X=3.15mSe tiene: Ι= ∑X 2 [ = 2 3.152 + 1.052 = 22.05 ]y también: n=4, e=2.10m
  • III-142PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez SerquénLuego:  1 2.10 (3.15) R1 = P  + = 0.55 P (g=0.55, como lo calculado en la viga exterior 4 22.05   del PROBLEMA III.2, para el caso de un carril cargado)  1 2.10 ( .05)  1R 2 = P + = 0.35 P 4 22.05    1 2.10 ( .05)  1R 3 = P − = 0.15 P 4 22.05    1 2.10 (3.15) R 4 = P − = −0.05 P 4 22.05   Total: 1.0PSi colocamos otro carril de diseño cargado a la derecha, se tiene que las reaccionesen las vigas sólo por éste último carril son: P/2 P/2 P/2 P/2 0.60 1.80 1.20 0.60 1.80 (Minimo) e=2.10 e=1.50 1 2 R=P R=P R1 R2 R3 R4 X =3.15 ext 2.10m 2.10 2.10 X=1.05 X=3.15m  1 1.50 (3.15)  R1 = P  − = 0.036 P 4 22.05    1 1.50 ( .05)  1 R 2 = P −  = 0.179 P 4 22.05   1 1.50 ( .05)  1 R 3 = P + = 0.321P 4 22.05    1 1.50 (3.15)  R 4 = P + = 0.464 P 4 22.05   Total: 1.0P
  • III-143PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez SerquénDe este modo cuando los dos carriles estén cargados, las reacciones en las vigasserán respectivamente:R1 = 0.55P + 0.036P = 0.586 P (g=0.586, como lo calculado en la viga exterior del PROBLEMA III.2, para el caso de dos carriles cargados)R 2 = 0.35P + 0.179P = 0.529 PR 3 = 0.15P + 0.321P = 0.471PR 4 = − 0.05P + 0.464P = 0.414 P Total: 2.0P
  • IV-1PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén CAP IV: DISPOSITIVOS DE APOYO1. DEFINICIÓN Son dispositivos ubicados entre la superestructura y la infraestructura de un puentecuya función es transmitir cargas y posibilitar desplazamientos y rotaciones. Las cargas incluyen el peso propio de la superestructura, cargas vehiculares, deviento, sismo, frenado, fuerza centrífuga, entre otras. Los desplazamientostransversales y longitudinales, y las rotaciones, resultan de la acción de estas cargasasí como de variaciones de temperatura, flujo plástico, retracción, fatiga, etc. SOLICITACIONES EN DISPOSITIVOS DE APOYOS2. TIPOS DE DISPOSITIVOS Pueden ser clasificados como fijos y de expansión. Los fijos permiten rotacionespero restringen los movimientos translacionales. Los de expansión permitenmovimientos translacionales y rotaciones.3. APOYOS DE ELASTÓMERO Utilizan caucho natural o sintético (neopreno) que posibilita translaciones yrotaciones, sustituyendo los complicados dispositivos tradicionales de rótulas ypéndulos de concreto armado o metálicos. Son flexibles en cortante pero a la vez muy rígidos para los cambios volumétricos;en compresión, se expanden lateralmente. En puentes de tramos medio a corto, donde las cargas son bajas, es posible utilizarelastómeros simples. Para cargas sustanciales es posible reforzar el elastómero conacero (zunchos) o fibra de vidrio. Los dispositivos de elastómero zunchados están conformados por capas deneopreno y láminas de acero alternadas adheridas al caucho por vulcanización.Dispositivos de elastómero FreyssinetLos dispositivos de apoyo de elastómero zunchado Freyssinet poseen capas externasde elastómero cuyo espesor es la mitad del espesor de las capas internas. Puedenser: Apoyo semicubierto Apoyo recubierto
  • IV-2PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquéna) Semi-recubiertos Se realizan por cortes de placas madres de grandes dimensiones. Los cantos delos zunchos son aparentes en las caras laterales y están protegidos contra la corrosióncon la ayuda de un revestimiento especial a base de resinas epóxicas. Se designan por sus dimensiones en planta (mm) seguidas por el número de láminasde elastómero y zunchos metálicos así como su espesor respectivo (mm).Ej: Neopreno 400x400x4(10+3)- Mide en planta 400 mm por 400 mm- Contiene 3 capas de elastómero de 10 mm de espesor y 2 semielásticas externas de 5 mm. El espesor total de elastómero es 40 mm.- Contiene 4 zunchos metálicos de 3 mm. El espesor total del dispositivo es 52 mm. 400 mm 400 mm 5 40 mm de 10 elastómero 10 10 5 4 zunchos de 3 mmb) Recubiertos Se realizan por moldeado individual. Los cantos no aparentes de los zunchos estánprotegidos contra la corrosión por una capa de elastómero de 5 mm de espesormedio, vulcanizado en la fabricación. Se designan por sus dimensiones en planta (mm) seguidas por el espesor total(mm). La denominación de un apoyo recubierto de la misma constitución y dimensionesen planta que el ejemplo anterior, es 400x400x52. Espesores de placas de elastómero y de zunchos (acero dulce) usuales: telastóm (mm) tzuncho (mm) 8 2 10 3 12 3 15 4 Se brinda a continuación datos técnicos de dispositivos de apoyo standardFreyssinet semirecubiertos:
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  • IV-7PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén4. ESPECIFICACIONES AASHTO LRFD De los métodos A y B propuestos por las Especificaciones, el Método A brindapor limitaciones de esfuerzo, apoyos de menor capacidad que los diseñados con elMétodo B. Sin embargo, aquellos diseñados por el Método B requieren de pruebas ycontrol de calidad adicionales).Apoyos de Elastómero Reforzados con Acero – MÉTODO B (Art. 14.7.5 AASHTOLRFD) Los apoyos de elastómero reforzados con acero contendrán capas alternadas deelastómero y acero de refuerzo. Estos apoyos podrán así mismo agregar a éstas,placas externas de acero en la parte superior e inferior. Las capas superior e inferior de elastómero tendrán grosores no mayores que el70% del grosor de las capas internas. El factor de forma de una capa Si, resulta de dividir el área plana del elastómeropor el área del perímetro. Para apoyos rectangulares sin agujeros, el factor de formade una capa es: LW Si = (14.7.5.1-1) 2hri (L + W )donde:L = longitud del apoyo de elastómero rectangular (paralelo al eje longitudinal del puente)W = ancho del apoyo, en dirección transversalhri = grosor de la capa i-ésima de elastómero en el apoyo Para apoyos circulares sin agujeros, el factor de forma de una capa es: D Si = (14.7.5.1-2) 4hriPropiedades del Material (Art. 14.7.6.2) La escala de dureza puede usarse para especificar el material de apoyo. Elmódulo de corte G varía entre 6.12 y 17.84 kg/cm2 y la dureza nominal entre 50 y70. Si el material se especifica por su dureza, el módulo de corte se toma como elmenos favorable del rango dado en la Tabla 14.7.6.2-1; valores intermedios puedentomarse por interpolación. Se precisan también valores de deflexión por escurrimientoplástico (creep). Para apoyos de elastómero reforzado con acero, el módulo de corte G varíaentre 6.12 y 13.26 kg/cm2 y dureza nominal en la escala Shore A, entre 50 y 60. Seusa como base la temperatura de 23º C. 14.7.6.2- Tabla 14.7.6.2-1 Propiedades del Material Dureza (Shore A) 50 60 701 2 Módulo de Corte G (kg/cm ) 6.73-9.18 9.18-14.07 14.07-21.11 a 23ºC Escurrimiento plástico (creep) 0.25 0.35 0.45 a 25 años dividido por la deflexión inicial1 Solo para PEP (apoyos de elastómero simples) y FGP (apoyos reforzados con capas discretas de fibrade vidrio).
  • IV-8PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez SerquénDeflexiones por Compresión La Fig. siguiente permite determinar la deformación en una capa de elastómeroen dispositivos con refuerzo de acero, basados en la dureza y el factor de forma. C14.7.6.3.3- Fig. C14.7.6.3.3-1 Curvas Esfuerzo - DeformaciónRequerimientos de DiseñoEsfuerzo de Compresión En cualquier capa de elastómero, el esfuerzo de compresión promedio en elestado límite de servicio cumplirá: • Para apoyos sujetos a deformación por cortante: σ s ≤ 1.66 GS ≤ 112 kg / cm2 (14.7.5.3.2-1) σ L ≤ 0.66 GS (14.7.5.3.2-2) • Para apoyos fijados contra la deformación por cortante: σ s ≤ 2 GS ≤ 122 kg / cm2 (14.7.5.3.2-3) σ L ≤ GS (14.7.5.3.2-4)donde:σ s = esfuerzo de compresión promedio en servicio debido a la carga totalσ L = esfuerzo de compresión promedio en servicio debido a la carga vivaG = módulo de cortante del elastómeroS = factor de forma de la capa más gruesa del elastómeroDeformación por Cortante El desplazamiento horizontal máximo de la superestructura de puente ∆ o , serátomado como 65% del rango de movimiento termal de diseño ∆ T , incluyendo losmovimientos causados por escurrimiento plástico del concreto (creep), acortamiento ypostensado. La deformación máxima por cortante del apoyo en el estado límite de servicio∆ s , se tomará como ∆ o , modificado para tener en cuenta la rigidez de la sub-estructura y el proceso constructivo. Si una superficie deslizante de baja fricción está
  • IV-9PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquéninstalada, ∆ s no será mayor que la deformación correspondiente al primerdeslizamiento. El apoyo cumplirá con: hrt ≥ 2 ∆ s (14.7.5.3.4-1)donde:hrt = grosor total del elastómero∆ s = deformación por cortante total máxima del elastómero en estado límite de servicioCompresión y Rotación Combinados En el estado límite de servicio, las rotaciones se toman como la suma deefectos máximos de la pérdida inicial de paralelismo y la subsiguiente rotación deextremo de la viga debido a las cargas y movimientos actuantes. Los apoyos se diseñan para la no ocurrencia de levantamientos bajo cualquiercombinación de carga y las rotaciones correspondientes. Los apoyos rectangulares satisfacen requerimientos de levantamiento si: 2 θ  B  σ s > GS s     (14.7.5.3.5-1)  n  hri  Apoyos rectangulares con deformación por cortante cumplirán:  θ  B  2  σ s < 1.875GS − 0.20 s 1    (14.7.5.3.5-2)    n  hri      Apoyos rectangulares fijos contra la deformación por cortante cumplirán:  θ  B  2  σ s < 2.25GS − 0.167 s 1    (14.7.5.3.5-3)    n  hri     donde:n= número de capas interiores del elastómero. Se definen capas exteriores como aquellas que están ligadas sólo por una cara. Cuando el grosor de una capa exterior es mayor que la mitad de una interior, n se incrementará en ½ por cada capa exterior.hri = grosor de la capa i-ésima del elastómeroσ s = esfuerzo en el elastómeroB = longitud del elastómero si la rotación es alrededor de su eje transversal o ancho del mismo si la rotación es alrededor de su eje longitudinalθ s = rotación de servicio máxima debido a la carga total (radianes) Los apoyos circulares serán satisfactorios a los requerimientos delevantamiento si cumplen:
  • IV-10PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén 2 θ  D  σ s > 0.75GS s     (14.7.5.3.5-4)  n  hri  Los apoyos circulares sujetos a deformación por cortante cumplirán:  θ  D  2  σ s < 2.5GS − 0.15 s 1    (14.7.5.3.5-5)    n  hri      Los apoyos circulares fijados contra la deformación por cortante cumplirán:  θ  D  2  σ s < 3GS − 0.125 s 1    (14.7.5.3.5-6)    n  hri     donde:θs = rotación de servicio máxima debido a la carga total (radianes)D = diámetro del elastómeroEstabilidad del Apoyo de Elastómero Los apoyos serán investigados por inestabilidad en el estado límite de servicio,con combinaciones de carga como lo especificado en la Tabla 3.4.1-1. Los apoyos se considerarán estables si satisfacen: 2A ≤ B (14.7.5.3.6-1)donde: hrt 1.92A= L (14.7.5.3.6-2) 2L 1+ W 2.67B= (14.7.5.3.6-3)  L  (S + 2)1+   4W G = módulo de cortante del elastómeroL = longitud del apoyo de elastómero rectangular (paralelo al eje longitudinal del puente)W= ancho del apoyo en la dirección transversal Para un apoyo rectangular donde L es mayor que W, la estabilidad se investigaráintercambiando L y W en las Ecuaciones 2 y 3. Para apoyos circulares, la estabilidad se investigará usando las ecuaciones de unapoyo cuadrado, con W = L = 0.8D. Para apoyos rectangulares que no cumplen la Ecuación 1, el esfuerzo debido a lacarga total cumplirá con las Ecuaciones 4 ó 5:
  • IV-11PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén • Si la cubierta de puente es libre para desplazarse horizontalmente: GS σs ≤ (14.7.5.3.6-4) 2A − B • Si la cubierta del puente es fija al desplazamiento horizontal: GS σs ≤ (14.7.5.3.6-5) A −B Un valor negativo o infinito de la Ecuación 5 indica que el apoyo es estable y nodepende de σS . Si A − B ≤ 0 , el apoyo es estable y no depende de σS .Refuerzo El grosor del refuerzo de acero, hs, cumplirá: • En el estado límite de servicio: 3hmáx σ S hs ≥ (14.7.5.3.7-1) Fy • En el estado límite de fatiga: 2hmáx σ L hs ≥ (14.7.5.3.7-2) ∆FTHdonde: ∆FTH = constante de amplitud de fatiga crítica para Categoría A, como se especifica en Artículo 6.6hmáx = grosor de la capa de elastómero más gruesa en el apoyoσL = esfuerzo de compresión promedio en servicio debido a la carga vivaσS = esfuerzo de compresión promedio en servicio debido a la carga totalFy = resistencia de fluencia del acero de refuerzo Si existen agujeros en el refuerzo, el grosor mínimo se incrementará por unfactor igual a dos veces el ancho grueso dividido por el ancho neto.Constante de Amplitud de Fatiga Crítica (∆F)TH Tabla 6.6.1.2.5-3 AASHTO LRFD Categoría (∆F)TH (kg/cm2) A 1683 B 1122 La Categoría A B’ 843 corresponde a miembros C 704 planos laminados con C’ 843 bordes cortados con llama D 493 de gas y 0.025 mm de E 316 alisamiento o menos, según E’ 183 AASHTO/AWS D1.5M/D1.5 (Sección 3.2.2) Pernos en Tensión Axial 2182 M 164M(A 325M) Pernos en Tensión Axial 2672 M 253M(A 490M)
  • IV-12PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén PROBLEMASPROBLEMA IV.1 Diseñar un dispositivo de apoyo de elastómero reforzado con aceropara un apoyo fijo de un puente sobre el que inciden 72 T por carga muerta y 58 T porcarga viva. El ancho de viga es de 0.50 m y la rotación máxima del extremo de viga encarga de servicio es 0.007 radianes. El elastómero tiene G = 12 kg/cm2 y placas derefuerzo de 36 Ksi (Fy = 2531 kg/cm2). Utilizar el Método B.Solución.-Solución.-a) Área del ElastómeroPD = 72,000 kgPL = 58,000 kgPT = 130,000 kgEsfuerzo de compresión por carga total en servicio en apoyos fijos:σ s ≤ 2 GS ≤ 122 kg / cm2 (14.7.5.3.2-3)Luego: PT 130,000 kg A req = = = 1066 cm2 σ S 122 kg / cm2Para el ancho de viga b= 50 cm, escogemos W = 50 cm 1066 cm2 L= = 21 cm (a lo largo de la longitud de viga) 50 cmEl apoyo a lo largo de la longitud de viga debe ser tan corto como sea práctico parapermitir la rotación alrededor del eje transversal, y lo suficiente como para estabilizar laviga durante su erección.Adoptado L = 25 cm y W = 50 cm (Área = 1250 cm2 > 1066 cm2)b) Factor de Forma S MínimoCarga TotalCon σ s ≤ 2 GS ≤ 122 kg / cm2 (14.7.5.3.2-3) σS 104 kg / cm2 ST ≥ = = 4.33 (1) 2G 2 x12 kg / cm2siendo:G = 12 kg/cm2 (Art. 14.7.6.2) PT 130,000 kgσs = = = 104 kg / cm2 A 50x25 cm2
  • IV-13PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez SerquénCarga VivaCon σ L ≤ GS (14.7.5.3.2-4) σL 46.40 kg / cm2 SL ≥ = = 3.87 (2) G 12 kg / cm2siendo:G = 12 kg/cm2 (Art. 14.7.5.2) PL 58,000 kgσL = = = 46.40 kg / cm2 A req 50x25 cm2De (1) y (2) el factor de forma mínimo es: S = 4.33c) Grosor de una capa interior del elastómero (hri) LW LWComo Si ≥ → hri ≤ (14.7.5.1-1) 2hri (L + W ) 2Si (L + W )Para carga total: 25 cm (50 cm) hri ≤ = 1.92 cm 2(4.33)(25 cm + 50 cm)Para carga viva: 25 cm (50 cm) hri ≤ = 2.15 cm 2(3.87)(25 cm + 50 cm)Grosor de capa interior adoptado: hri = 1.50 cm ( 15 mm)Con este grosor de capa interior, el factor de forma es: (25 cm)(50 cm) S= = 5.56 > 4.33 OK! 2( .50)(25 cm + 50 cm) 1d) Número de capas interiores de elastómero (n)Compresión y rotación combinados: 2 2 θ  B   GSθ s  B  σ s > GS s     →n>  σ    h  (14.7.5.3.5-1)  n  hri   s  ri Con θ S = 0.007 rad
  • IV-14PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén 12 kg / cm2 x 5.56 x 0.007  25  2 n>   1.50  = 1.25  104 kg / cm2    θ  B  2  σ s < 2.25GS − 0.167 s 1    (14.7.5.3.5-3)    n  hri      2 B   h  n > −0.167θ s  ri   σS   −1  2.25GS  2  25    n > −0.167(0.007) 1.50  = 1.06  104   −1  2.25( )(5.56)  12Luego, adoptamos n = 2. Se usarán 2 capas interiores de 15 mm c/u. Así mismo,capas exteriores de 8 mm (8 mm < 70% 15 mm, Art. 14.7.5.1)El grosor total es hrt = 2 ( mm) + 2 (8 mm) = 46 mm de elastómero. 15e) Estabilidad del Elastómero hrt 1.92A= L (14.7.5.3.6-2) 2L 1+ W 4.60 cm 1.92 25 cmA= = 0.25 2(25 cm) 1+ 50 cm 2.67B= (14.7.5.3.6-3)  L  (S + 2)1+   4W  2.67B= = 0.31  25 cm  (5.56 + 2)1+  4(50 cm)    El apoyo será estable si: 2A ≤ B (14.7.5.3.6-1)
  • IV-15PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén 2(0.25) = 0.50 > 0.31 N.S.Sin embargo, si A − B ≤ 0 , el apoyo es estable y no depende de σS : A – B = 0.25 – 0.31 = -0.06 < 0, luego el apoyo es estable.f) Cálculo de placas de refuerzo en el elastómeroEn el estado límite de servicio: 3hmáx σ S hs ≥ (14.7.5.3.7-1) Fy 104 kg / cm2 ) 3 ( 1.50 cm)( hs ≥ = 0.185 cm 2531kg / cm2En el estado límite de fatiga: 2hmáx σ L hs ≥ (14.7.5.3.7-2) ∆FTH∆FTH = 1683 kg/cm2 (Categoría A) (Tabla 6.6.1.2.5-3) 2 ( 1.50 cm)(46.40 kg / cm2 ) hs ≥ = 0.083 cm 1683 kg / cm2Adoptamos hs = 2 mm > 1.85 mmSe usarán 3 placas de 2 mm, y el espesor total del apoyo será: 46 mm + 3 (2 mm) = 52 mm 250 mm 500 mm 8 15 Dirección del tráfico 52 mm 15 8 3 zunchos de 2 mm
  • IV-16PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez SerquénPROBLEMA IV.I1 Diseñar un dispositivo de elastómero de expansión reforzado conacero para un apoyo de puente sobre el que inciden 70 T por carga muerta y 22 T porcarga viva. La longitud de viga es 30 m, su ancho 0.45 m y la rotación máxima delextremo de viga en carga de servicio es 0.010 radianes. Así mismo, la variación máximapor temperatura es 20º C, el acortamiento por postensado 1.0 cm, y el debido a lacontracción del concreto 0.2 cm. El elastómero tiene G = 12 kg/cm2 y placas derefuerzo de 36 Ksi (Fy = 2531 kg/cm2). Utilizar el Método B.Solución.-Solución.-a) Área del ElastómeroPD = 70,000 kgPL = 22,000 kgPT = 92,000 kgEsfuerzo de compresión por carga total en servicio en apoyos de expansión σ s ≤ 1.66 GS ≤ 112 kg / cm2 (14.7.5.3.2-1)Luego: PT 92,000 kg A req = = = 821cm2 σ S 112 kg / cm2Para el ancho de viga b= 45 cm, escogemos W = 45 cm 821cm2 L= = 18.2 cm (a lo largo de la longitud de viga) 45 cmAdoptado L = 20 cm y W = 45 cm (Área = 900 cm2 > 821 cm2)b) Factor de Forma S MínimoCarga TotalCon σ s ≤ 1.66 GS ≤ 112 kg / cm2 (14.7.5.3.2-1) σS 102.22 kg / cm2 ST ≥ = = 5.13 (1) 1.66 G 1.66 x12 kg / cm2siendo:G = 12 kg/cm2 (Art. 14.7.6.2) PT 92,000 kgσs = = = 102.22 kg / cm2 A 20x45 cm2
  • IV-17PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez SerquénCarga VivaCon σ L ≤ 0.66 GS (14.7.5.3.2-2) σ L 24.44 kg / cm2 SL ≥ = = 2.04 (2) G 12 kg / cm2siendo:G = 12 kg/cm2 (Art. 14.7.5.2) PL 22,000 kgσL = = = 24.44 kg / cm2 A 20x45 cm2De (1) y (2) el factor de forma mínimo es: S = 5.13c) Grosor de una capa interior del elastómero (hri) LW LWComo Si ≥ → hri ≤ (14.7.5.1-1) 2hri (L + W ) 2Si (L + W )Para carga total: 20 cm (45 cm) hri ≤ = 1.35 cm 2(5.13)(20 cm + 45 cm)Para carga viva: 20 cm (45 cm) hri ≤ = 3.39 cm 2(2.04)(20 cm + 45 cm)Grosor de capa interior adoptado: hri = 1.20 cm (12 mm)Con este grosor de capa interior, el factor de forma es: (20 cm)(45 cm) S= = 5.77 > 5.13 OK! 2( .20)(20 cm + 45 cm) 1d) Número de capas interiores de elastómero (n)Compresión y rotación combinados: 2 2 θ  B   GSθ s  B  σ s > GS s     →n>  σ    h  (14.7.5.3.5-1)  n  hri   s  ri Con θ S = 0.010 rad
  • IV-18PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén 12 kg / cm2 x 5.77 x 0.010  20  2 n>   1.20  = 1.88  102.22 kg / cm2    θ  B  2  σ s < 1.875 GS − 0.20 s 1    (14.7.5.3.5-2)    n  hri      2 B   h  n > −0.20 θ s  ri   σS   −1 1.875GS  2  20    n > −0.20(0.010) 1.20  = 2.61  102.22   −1 1.875( )(5.77)  12Luego, adoptamos n = 3. Se usarán 3 capas interiores de 12 mm c/u y capasexteriores de 6 mm (6 mm < 70% 12 mm, Art. 14.7.5.1).e) Grosor total del ElastómeroEl grosor total del elastómero es hrt = 3( mm) + 2(6 mm) = 48 mm 12Acortamiento de viga Por temperatura α = 10.8x10-6 / º C (concreto) ∆t = 20º C L = 30 m 10 −6 ∆ temp = 10.8 x o x 20 o C x 3000 cm = 0.65 cm C Por postensado ∆ post = 1.0 cm Por contracción de fragua ∆ contrac = 0.2 cmCon γ = 1.2 (Tabla 3.4.1-1)Acortamiento total de viga:∆ T = γ( ∆ temp + ∆ post + ∆ contrac ) = 1.2(0.65 cm + 1.0 cm + 0.2 cm) = 2.22 cm
  • IV-19PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez SerquénComo hrt ≥ 2 ∆ s (14.7.5.3.4-1)hrt = 4.80 cm ≥ 2 ∆ s = 2(2.22 cm) = 4.44 cm OK !f) Capacidad Rotacional del ApoyoDeflexión instantánea por compresiónCon σ s = 102.22 kg / cm2 ( .02 MPa), 10 S = 5.77De la Fig.: εi = 0.062Como δ = ∑εh i ri (14.7.5.3.3-1) = 4(0.062)(1.20 cm) = 0.298 cmCapacidad rotacional del apoyo L/2 δ 2δ 2(0.298 cm)θ máx = = = = 0.0298 rad > θ = 0.010 rad OK ! L /2 L 20 cmh) Estabilidad del Elastómero hrt 1.92A= L (14.7.5.3.6-2) 2L 1+ W
  • IV-20PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén 4.80 cm 1.92 20 cmA= = 0.34 2(20 cm) 1+ 45 cm 2.67B= (14.7.5.3.6-3)  L  (S + 2)1+   4W  2.67B= = 0.31  20 cm  (5.77 + 2)1+  4(45 cm)    El apoyo será estable si: 2A ≤ B (14.7.5.3.6-1) 2(0.34) = 0.68 > 0.31 N.S.Los apoyos rectangulares que no cumplen la ecuación anterior, deben cumplir: GS σs ≤ (14.7.5.3.6-4) 2A − B ( kg / cm2 )(5.77) 12σ s = 102.22 kg / cm2 ≤ = 187.14 kg / cm2 OK! 2(0.34) − (0.31)g) Cálculo de placas de refuerzo en el elastómeroEn el estado límite de servicio: 3hmáx σ S hs ≥ (14.7.5.3.7-1) Fy 102.22 kg / cm2 ) 3( .20 cm)( 1 hs ≥ = 0.145 cm 2531kg / cm2En el estado límite de fatiga: 2hmáx σ L hs ≥ (14.7.5.3.7-2) ∆FTH∆FTH = 1683 kg/cm2 (Tabla 6.6.1.2.5-3)
  • IV-21PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén 2( .20 cm)(24.44 kg / cm2 ) 1 hs ≥ = 0.035 cm 1683 kg / cm2Adoptamos hs = 2 mm = 0.2 cm > 0.145 cmSe usarán 4 placas de 2 mm, y el espesor total del apoyo será: 48 mm + 4(2 mm) = 56 mm 200 mm 450 mm 6 12 Dirección del tráfico 56 mm 12 12 6 4 zunchos de 2 mm
  • V-1PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén CAP V: ESTRIBOS1. ESTRIBOS Son estructuras que sirven de apoyo extremo al puente y que además de soportar la carga de la superestructura, sirven de contención de los terraplenes de acceso y por consiguiente están sometidos al empuje de tierra. Los estribos, como son muros de contención, pueden ser de concreto simple (estribos de gravedad), concreto armado (muros en voladizo o con pantalla y contrafuertes), etc. Cajuela Cajuela Cajuela Pantalla Contrafuerte vertical Punta Talón Zapata Estribo de gravedad Estribo en voladizo Estribo con pantalla y contrafuerte (concreto simple) (concreto armado) (concreto armado)2. PRE-DIMENSIONAMIENTO DE ESTRIBOS PRE-a) De gravedad (concreto simple) Los estribos de gravedad son macizos que utilizan su propio peso para resistir las fuerzas laterales debido al empuje del terreno y otras cargas. No necesitan refuerzo y son adecuados cuando el terreno es de buena capacidad portante y la altura a cubrir no es superior a 6 metros. No son admitidas tracciones en cualquier sección del estribo. H/12 (mín 0.30 m) N H H/12 ~ H/6 (mín 0.20 m) H/6 ~ H/8 B = ( 2)H ~ (2 3)H 1
  • V-2PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén Los anchos mínimos de cajuelas (2.11.2, Manual de Diseño de Puentes, Ministerio de Transportes y Comunicaciones, Perú) se determinan eligiendo el mayor de los valores obtenidos entre calcular los máximos desplazamientos o como un porcentaje del ancho empírico de la cajuela N determinado por la ecuación: N = (200 + 0.0017L + 0.0067H )( + 0.000125S2 ) 1 donde: N = longitud mínima (empírica) de la cajuela, medida normalmente a la línea central del apoyo (mm). L = distancia del tablero del puente a la junta de expansión adyacente ó al final del tablero del puente (mm). Para articulaciones entre luces, L debe tomarse como la suma de la distancia a ambos lados de la articulación. Para puentes de un solo tramo L es igual a la longitud del tablero del puente (mm). H’ = para estribos, la altura promedio de las columnas que soportan al tablero del puente hasta la próxima junta de expansión. Para columnas y/o pilares, la altura del pilar o de la columna. Para articulaciones dentro de un tramo, la altura promedio entre dos columnas ó pilares adyacentes (mm). = 0, para puentes simplemente apoyados. S = desviación del apoyo medido desde la línea normal al tramo (°).b) En voladizo (concreto armado) Son económicos cuando su altura está entre 4 y 10 metros. Adecuados en la presencia de terreno de baja capacidad portante y cuando los agregados son escasos o el transporte de los mismos no es económico. mín 0.20 m N H/24 (mín 0.30 m) H B/3 H/12 H/12 B = ( 2)H ~ (2 3)H 1
  • V-3PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquénc) Estribos con pantalla y contrafuertes (concreto armado) En este caso la pantalla vertical no se encuentra en voladizo sino mas bien apoyada en los contrafuertes y el cimiento. mín 0.20 m N H/24 (mín 0.30 m) Contrafuertes, e=0.20 (mín) separación: H/3~2H/3 H H/12 B/3 H/12 B = ( 2)H ~ (2 3)H 13. EMPUJE DEL SUELO: EH, ES, LS, y DD EH: Empuje horizontal del suelo ES: sobrecarga de suelo LS: sobrecarga viva DD: fricción negativa El empuje del suelo se deberá considerar en función de los siguientes factores: tipo y densidad del suelo, contenido de agua, características de fluencia lenta del suelo, grado de compactación, ubicación del nivel freático, interacción suelo- estructura, cantidad de sobrecarga, efectos sísmicos, pendiente del relleno, e inclinación del muro. Empuje lateral del suelo.- suelo. Se asumirá como: p = kγsgz (10-6) donde: p = empuje lateral del suelo (MPa) k = coeficiente de empuje lateral, tomado como ko para muros que no se deforman ni se mueven, ka para muros que se deforman o mueven lo suficiente para alcanzar la condición mínima activa, o kp para muros que se deforman o mueven lo suficiente para alcanzar una condición pasiva. γs = densidad del suelo (kg/m3) z = profundidad del suelo debajo de la superficie (m) g = aceleración de la gravedad (m/s2) Se asumirá que la carga del suelo lateral resultante debida al peso del relleno actúa a una altura igual a H/3 desde la base del muro, siendo H la altura total del muro.
  • V-4PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén Coeficiente de Empuje Lateral en Reposo, ko Para suelos normalmente consolidados, muro vertical y terreno nivelado, el coeficiente de empuje lateral en reposo se puede tomar como: ko = 1 - senφf Para suelos sobreconsolidados: ko = (1 - senφf) (OCR )senφf donde: φf = ángulo efectivo de fricción del suelo ko = coeficiente de empuje lateral del suelo en reposo OCR = relación de sobreconsolidación Coeficiente de Empuje Lateral Activo, ka sen 2 ( θ + φ f ) (3.11.5.3-1) ka = [ Γ sen 2 θ.sen( θ − δ) ] donde: 2  sen ( φ f + δ ).sen ( φ f −β )  Γ =  + 1  (3.11.5.3-2)  sen ( θ − δ ).sen ( θ + β )  δ = ángulo de fricción entre relleno y muro (ver Tabla 3.11.5.3-1) β = ángulo que forma la superficie del relleno respecto de la horizontal θ = ángulo que forma el respaldo del muro respecto de la horizontal φf = ángulo efectivo de fricción interna Notar que para δ = β = 0, θ =90°, el valor ka de las expresiones anteriores (teoría de de Coulumb) es: Ø k a = tg 2 ( 45 − ) (teoría de Rankine) 2
  • V-5PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez SerquénCoeficiente de Empuje Lateral Pasivo, kpEl coeficiente de presión activa de Coulomb es: sen 2 ( θ − φ f ) 2  sen ( φ f + δ ).sen ( φ f + β )  kp = con Γ =  − 1  sen ( θ + δ ).sen ( θ + β )  Γ sen 2 θ.sen( θ + δ)     Sin embargo, conforme el valor de d crece, el método de cálculo de Coulomb davalores erróneos crecientes de Pp .El Reglamento AASHTO adopta el siguiente método introducido por Caquot y Kerisel:- Para suelos no cohesivos, los valores del coeficiente de empuje lateral pasivo se pueden tomar de la Figuras 3.11.5.4-1.- Para suelos cohesivos, los empujes pasivos se pueden estimar con: Pp = k p γ s gz( −6 ) + 2c k p 10
  • V-6PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquéndonde:Pp = empuje lateral pasivo del suelo (MPa)γs = densidad del suelo (kg/m3)z = profundidad debajo del suelo (m)c = cohesión del suelo (MPa)g = aceleración de la gravedad (m/s2)kp = coeficiente de empuje lateral pasivo del suelo (ver Fig. 3.11.5.4-1) Rankine.-Método del Fluido Equivalente para Estimar Empujes Laterales de Rankine.- El empuje básico del suelo p (kg/m2) se puede tomar como: p = γ eq gz( −6 ) 10γeq = densidad de fluido equivalente del suelo, no inferior a 480 kg/m3z = profundidad debajo de la superficie del suelo (m)g = aceleración de la gravedad (m/s2)
  • V-7PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén Se asume que la carga lateral del suelo resultante debida al peso del rellenoactúa a una altura igual a H/3 de la base del muro, siendo H la altura total del muromedida desde la superficie del terreno hasta el fondo de la zapata. Los valores típicos para densidades de fluido equivalente en muros de altura nomayor a 6.0 m se pueden tomar: Valores típicos para las densidades de fluido equivalente de los suelos (Tabla 3.11.5.5-1) 3.11.5.5- Tipo de suelo Relleno de superficie Relleno con β=25° horizontal Activo Activo En reposo /H=1/240 En reposo /H=1/240 3 3 γeq (kg/m3) γeq (kg/m ) γeq (kg/m3) γeq (kg/m ) Arena o grava suelta 880 640 1040 800 Arena o grava de densidad media 800 560 960 720 Arena o grava densa 720 480 880 640siendo:∆ = movimiento de la parte superior del muro requerido para llegar al mínimo empuje activo o máximo empuje pasivo por rotación o traslación lateral (mm)H = altura del muro (m)β = ángulo del relleno respecto de la horizontal.La magnitud de la componente vertical del empuje del suelo resultante Pv (N/m) para elcaso de relleno de superficie inclinada se puede determinar como: Pv = Ph tan βdonde: Ph = 0.5γ eq gH2 (LS).Sobrecarga Viva (LS).-Se deberá aplicar una sobrecarga viva si se anticipa que habrá cargas vehicularesactuando sobre la superficie del relleno en una distancia igual a la mitad de la altura delmuro detrás del paramento posterior del muro. Altura de suelo equivalente para carga vehicular sobre estribos perpendiculares al tráfico Tabla 3.11.6.4-1 3.11.6.4- Altura del estribo (m) heq (m) 1.5 1.2 3.0 0.9 ≥6.0 0.6
  • V-8PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén4. CARGAS DE DISEÑO Las cargas a considerar, en general son: a) Cargas verticales de la superestructura, correspondiente a las reacciones de la carga muerta y viva. No se toma en cuenta el efecto de impacto. b) El peso propio del estribo y del relleno. c) El empuje del terreno más el efecto de sobrecarga sobre el terreno d) Viento ejercido sobre la estructura y sobre la carga viva, que se transmite a través del apoyo fijo. e) Fuerza por el empuje dinámico de las aguas y la fuerza de flotación. f) Fuerza longitudinal que se transmiten a través del apoyo fijo debido al frenado de vehículos g) Fuerza centrífuga, en el caso de puentes curvos h) Fuerza sísmica de la superestructura y de la infraestructura.5. CONSIDERACIONES PARA LA ESTABILIDAD Los estribos y muros de sostenimiento se deben dimensionar de manera deasegurar su estabilidad contra las fallas por vuelco, deslizamiento y presiones en labase (11.6.3.1).A. Vuelco – Estados Límites de Resistencia y Evento Extremo Se debe calcular la excentricidad de la resultante alrededor del punto A en la base del estribo. Las fuerzas y momentos que resisten el vuelco se usan con factores de carga γ mínimos (caso de cargas tipo DC, DW, EV, etc.). Las fuerzas y momentos
  • V-9PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén que causan vuelco se usan con factores de carga γ máximos (caso de cargas EH y otras). Para el estado límite de Resistencia, se debe mantener la resultante en la base del cimiento dentro de la mitad central (e ≤ B/4) excepto el caso de suelo rocoso en que se mantendrá en los ¾ centrales (e ≤ 3/8 B) (Art. 11.6.3.3). Para el estado límite de evento extremo y con γEQ = 0, mantener la fuerza resultante en la base del cimiento dentro de los 2/3 centrales (e ≤ 1/3 B) de las dimensiones del cimiento para cualquier suelo. Si en cambio γEQ = 1, mantener la resultante en la base del cimiento dentro de los 8/10 centrales (e ≤ 2/5 B). Para valores de γEQ entre 0 y 1.0, interpolar linealmente entre los valores especificados para definir las restricciones referidas a la ubicación de la resultante (Art. 11.6.5). En caso de cimientos cargados biaxialmente, estos requerimientos deben aplicarse en ambas direcciones.B. Deslizamiento – Estados Límites de Resistencia y Evento Extremo (10.6.3.3) El valor de la resistencia factorada al deslizamiento corresponde a una componente friccional (ØτQτ) actuando a lo largo de la base del estribo y una componente debido a la presión pasiva del terreno (ØepQep) actuando en la cara vertical correspondiente. Esto es: QR = ØτQτ+ ØepQep (10.6.3.3-1) Donde: Qτ = (V) tan δ (10.6.3.3-2) δ = ángulo de fricción entre la base del cimiento y el suelo tanδ = tan Øf para concreto vaceado directamente al suelo (10.6.3.3) tanδ = (0.8)tan Øf para concreto pre-fabricado (10.6.3.3) V = fuerza vertical total sobre el cimiento Øf = ángulo de fricción interna del suelo. Los valores Øτ y Øep se determinan de la Tabla 10.5.5.2.2-1. Para el estado límite de Evento Extremo, Øτ= 1.0 y Øep = 1.0. Si la resistencia pasiva no está asegurada debido a erosiones, socavaciones potenciales, o futuras excavaciones, se debe usar Øep = 0 para los estados límites de Resistencia y Evento Extremo. La resistencia factorada al deslizamiento debe ser mayor o igual a las cargas horizontales factoradas aplicadas.C. Presiones en la base – Estados Límites de Resistencia y Evento Extremo Se calculan los esfuerzos basados en una distribución uniforme; en estribos cargados excéntricamente cimentados sobre roca, se supone una distribución de presiones triangular o trapezoidal. Método de Meyerhof: 1. Hallar la excentricidad e con respecto al punto central de la base del cimiento, con las cargas aplicables factoradas:
  • V-10PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén Σ momentos factorados actuantes e = Σ fuerzas verticales factoradas actuantes 2. Determinar los esfuerzos verticales factorados. Si la estructura está cargada bi- axialmente, el cálculo se realiza en ambas direcciones. Basados en una distribución de presión uniforme actuando en la base (suelo no rocoso), el valor de q es: Σ fuerzas verticales factoradas actuantes / unidad de longitud q= (11.6.3.2-1) B − 2e Donde: B = ancho del cimiento en el plano de cargas B – 2e = ancho efectivo de cimiento Vu = suma de las fuerzas verticales factoradas. Para suelo rocoso la distribución de presiones es trapezoidal o triangular: Vu 6e  q máx = 1+  (11.6.3.2-2) B  B    V  6e  q mín = u 1−  (11.6.3.2-2) B   B  
  • V-11PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén 3. Comparar q ó qmáx, que incluyen factores de carga, con la capacidad portante del terreno (capacidad última de apoyo para el suelo, multiplicado por el factor de resistencia apropiado). La capacidad de apoyo factorada (resistencia) debe ser mayor o igual que el esfuerzo de apoyo factorado: qR ≤ Øb qn (10.6.3.1.1-1) Donde: qn = qu =capacidad portante última no factorada para el estado límite apropiado Øb = factor de resistencia (Tabla 10.5.5.2.2-1 y Art. 11.6.5) Notar que qu es el mismo para los estados límites de Resistencia y Evento Extremo. Un factor de resistencia de 1.0 se usa en el cálculo de presiones sobre el terreno en el estado límite de Evento Extremo según Art. 11.6.5. (Ver Tabla 10.5.5.2.2-1 para factores de resistencia en el estado límite de Resistencia). La capacidad de apoyo para los estados límites de Resistencia y Evento Extremo deben ser calculados considerando los efectos de resistencia cohesiva y friccional del suelo, forma y dimensiones de la cimentación, profundidad de desplante y la inclinación del suelo que presiona sobre el estribo. Los estudios geotécnicos determinarán la capacidad portante. Los factores de inclinación de carga en general no se consideran en la determinación de la capacidad portante.6. CONSIDERACIONES SÍSMICAS La presión lateral del terreno en estructuras de retención, es amplificada en caso de sismos debido a la aceleración horizontal de la masa retenida de terreno. En caso de estructuras de retención altas (H>10 m) como es el caso de estribos, las cargas sísmicas deben contemplarse, usándose a menudo la solución de Mononobe- Okabe. El método de Mononobe-Okabe es un método pseudo-estático que desarrolla una presión de fluido estática equivalente para modelar la presión sísmica del terreno sobre el muro. Es aplicable cuando: • El muro no está restringido y es capaz de deformar lo suficiente para accionar la presión activa del terreno retenido. • El terreno de relleno es no cohesivo y no saturado
  • V-12PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén • La cuña activa de suelo que define la superficie de falla y carga el muro, es plana. • Las aceleraciones son uniformes a través de la masa de suelo retenido. La presión del terreno incluyendo la acción sísmica, se determina con: 1 E AE = k AE γ t (( − k v )H2 1 (A.11.1.1.1-1) 2 siendo el coeficiente de presión activa sísmica del terreno: cos 2 ( φ − θ − β) k AE = 2 (A.11.1.1.1-2)  .  2  sen(φ + δ)sen(φ − θ − I )  cos θ cos β cos(δ + β + θ) + 1 .    cos(δ + β + θ) cos( I − β)   donde: γt = peso unitario del terreno H = altura del terreno retenida por el muro kv = coeficiente de aceleración vertical kh = coeficiente de aceleración horizontal φ = ángulo de fricción interna del suelo Ө= arc tan [kh /(1- kv)] β = ángulo de inclinación del muro con la vertical (sentido negativo como se ilustra) δ = ángulo de fricción entre el suelo y el estribo i = ángulo de inclinación del material de relleno con la horizontal
  • V-13PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén El valor de ha, la altura a la cual la resultante del empuje del suelo actúa sobre el estribo, se puede tomar igual a H/3 para un caso estático que no involucre efectos sísmicos. Sin embargo este valor aumenta a medida que aumentan las solicitaciones de origen sísmico. Seed y Whitman han sugerido que h se podría obtener suponiendo que la componente estática del esfuerzo del suelo actúa a H/3 de la base del estribo, mientras que se podría considerar que el esfuerzo dinámico adicional actúa a una altura h=0.6H. Sin embargo, para la mayoría de las aplicaciones será suficiente asumir h=0.5H con un empuje uniformemente distribuido (A.11.11.1.1). La expresión para la fuerza pasiva actuando cuando el muro sufre el empuje del suelo es: 1 E PE = k PE γ t (( − k v )H2 1 (A.11.1.1.1-3) 2 siendo el coeficiente de presión pasiva sísmica del terreno: cos 2 ( φ − θ + β) k PE = 2 (A.11.1.1.1-4)  .  2  sen(φ + δ)sen( φ − θ + I )  cos θ cos β cos(δ − β + θ) − 1 .    cos(δ − β + θ) cos( I − β)   Para estimar la presión lateral del terreno por la acción sísmica, el coeficiente de aceleración vertical, kv, se asume por lo general igual a cero y el coeficiente de aceleración horizontal, kh, se toma como: kh = 0.5A, para muros donde es posible movimientos horizontales de hasta aproximadamente 250A mm. (p.e.: muros de gravedad, en voladizo, etc.), y kh = 1.5A, para muros en que el desplazamiento horizontal es cero (p.e.: estribos integrales, muros anclados, etc.) Siendo: A = coeficiente sísmico de aceleración horizontal (% g)
  • V-14PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén PROBLEMASPROBLEMA V.1 En el muro de contención mostrado de 10m de altura determinar la determinarpresión lateral del terreno y la carga sísmica que actúa sobre el muro. Considerar parael terreno ∅ = 35°, δ = 0°, γt = 1925 kg/m3 , coeficiente sísmico de aceleración 35°, 0°,horizontal A = 0.20. 0.20. PEQ=P - P A AE H=10m PA 0.5H=5m H/3=3.33mSolución.-Solución.-Se tiene:∅ = ángulo de fricción interna = 35°δ = ángulo de fricción entre el suelo y el muro = 0°i = ángulo del material del suelo con la horizontal = 0°β = ángulo de inclinación del muro con la vertical = 0°H = altura del terreno = 10mγt = peso unitario del terreno= 1925 kg/m3A = coeficiente sísmico de aceleración horizontal = 0.20kh = coeficiente de aceleración horizontal=0.5A= 0.5(0.20)= 0.10kv = coeficiente de aceleración vertical =0  k θ = arc tan h 1− k  = 5.71°   v A) Cálculo del coeficiente de empuje activo ka Con (3.11.5.3-1) y (3.11.5.3-2) para los valores dados: φ 35 k a = tg2 ( 45 − ) = tg2 ( 45 − ) = 0.271 2 2B) Cálculo de la presión lateral del terreno Considerando una longitud del estribo de 1.0m se tiene: 1 1 PA = γ t H2k a = (1925kg / m 3 )( m)2 ( .0m)(0.271 = 26, 084 kg 10 1 ) 2 2 Aplicada en h=H/3 = 10m/3 = 3.33m, desde la base.
  • V-15PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez SerquénC) Cálculo de la fuerza sísmica El coeficiente de presión activa sísmica del terreno es: cos 2 ( φ − θ − β) k AE = 2 (A.11.1.1.1-2)  .   sen(φ + δ)sen(φ − θ − I )  cos θ cos 2 β cos(δ + β + θ) + 1 .    cos(δ + β + θ) cos( I − β)   k AE = 0.328 Luego la fuerza de acción sísmica es: 1 PEQ = PAE − PA = γ t H2 (k AE − k a ) 2 1 PEQ = 1925kg / m 3 )( m)2 ( .0m)(0.328 − 0.271 = 5, 486 kg ( 10 1 ) 2 Aplicada en h=0.6H = 0.6(10m) = 0.60m desde la base, aunque es suficiente: h=0.5H = 0.5(10m) = 0.50m (A.11.11.1.1)
  • V-16PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez SerquénPROBLEMA V.2 Diseñar un estribo de gravedad para las condiciones mostradas. ElPROBLEMA V.2terreno de cimentación posee una capacidad última para el estado límite de resistenciaqR= 2.00 kg/cm2 y las propiedades que se detallan. La estructura está en una zona nosísmica pero expuesta a velocidades de viento superiores a 90 km/h. pero BR = 300 kg/m P = 7,000 kg/m DC 1.80 P = 800 kg/m DW Superestructura P = 9,000 kg/m LL+IM Losa de transición .30 WS = 150 kg/m .80 .15 CR+SH+TU = 900 kg/m .40 s° Terreno Øf = 31° õ = 24° = 1600 kg/m³ H = 4.00 m t Estribo de a gravedad b = 2320 kg/m³ 1.00 c h BSolución.-Solución.-PRE-PRE-DIMENSIONADO Para la altura H=4.00m, probamos una sección preliminar de estribo con: B= ancho del cimiento = ½H ~ 2/3H = 2.00m~2.67m = 2.50m (adoptado) h = altura del cimiento = H/6 ~ H/8 = 0.67m~0.50m = 0.50m (adoptado) a = longitud de punta = H/12~ H/6 = 0.33m~0.67m = 0.30m (adoptado) b = longitud de talón = H/12~ H/6 = 0.33m~0.67m = 0.30m (adoptado) N = 0.50m (adoptado) > Nmín = 0.23m Nmín= longitud mínima de cajuela (2.11.2, Manual de Diseño de Puentes, MTC Perú) = (200+0.0017L+0.0067H)(1+0.000125S²) = (200+0.0017x12,000)(1+0.000125x18.43²)mm con L=12m (dato), H’=0, S=18.43° = 0.23m.
  • V-17PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén BR = 300 kg/m altura equivalente de suelo por S/C P = 7,000 kg/m DC 1.80 P = 800 kg/m DW P = 9,000 kg/m LS1 h = 0.80 S/C por carga viva (LS) LL+IM .30 .80 .15 .40 DC 5 WS = 150 kg/m .25.25 0.50 LS2 = 3.70m x 365 kg/m² =1350 kg/m CR+SH+TU = 900 kg/m EH2 = 3.70m x 198 kg/m²= 734 kg/m s=18.43°H = 4.00 m DC 3 DC EH1= 0.5 x 3.7m x 1687 kg/m² 2 = 3121 kg/m EV 1 .30 .17 DC1 õ = 24° .30 0.50 0.90 EV 0.50 EV 3 2 DC 4 A ka x 3.70m x 1600 kg/m³ = 1687 kg/m² B = 2.50 m ka x 0.30m x 2320 kg/m³ = 198 kg/m² ka x 0.80m x 1600 kg/m³ = 365 kg/m² ESTRIBOCASO I – ESTRIBO CON PUENTEA) Coeficiente de empuje activo Ka ∅ = ángulo de fricción interna = 31° δ = ángulo de fricción entre el suelo y el muro = 24° (Tabla 3.11.5.3-1) β = ángulo del material del suelo con la horizontal = 0° ᒕ = ángulo de inclinación del muro del lado del terreno = 90° Luego: 2  sen ( φ + δ) sen (φ − β)  Γ=+ 1  (3.11.5.3-2)   sen ( θ − δ) sen ( θ + β)   Para β = 0° y ᒕ = 90° : 2  sen (φ + δ) senφ  Γ=+ 1  = 2.821   cos δ   sen2 ( θ + φ) ka = (3.11.5.3-1) [ Γ sen2 θ sen (θ − δ) ] cos2 φ Para ᒕ = 90° : ka = = 0.285 Γ cos δ
  • V-18PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez SerquénB) Altura equivalente de suelo por S/C Por cargas vehiculares actuando sobre el terreno, agregamos una porción equivalente de suelo. De la Tabla 3.11.6.4-1, por interpolación para H = 4.00 m, h’ = 0.80 m.C) Metrado de Cargas VERTICALES. CARGAS VERTICALES.- Cargas DC (peso propio) Estribo: DC1 = 0.5(.90 m x 2.70m) x 2,320 kg/m3 = 2,819 kg/m DC2 = 0.50 m x 2.70m x 2,320 kg/m3 = 3,132 kg/m DC3 = 0.50 m x 3.50m x 2,320 kg/m3 = 4,060 kg/m DC4 = 0.50 m x 2.50m x 2,320 kg/m3 = 2,900 kg/m Losa de Acercamiento: DC5 = 0.30 m x 0.30 m x 2,320 kg/m3 = 209 kg/m Carga muerta de la superestructura del puente: PDC = 7,000 kg/m Cargas DW (peso de superficie de rodamiento) PDW = 800 kg/m Cargas EV (presión vertical por carga muerta del terreno) EV1 = 0.30 m x 3.20 m x 1,600 kg/m3 = 1,536 kg/m EV2 = 0.30 m x 0.50 m x 1,600 kg/m3 = 240 kg/m EV3 = ½ x 0.50 m x 0.17 m x 1,600 kg/m3 = 68 kg/m Cargas EH (presión lateral del terreno) Por 3.70 m de terreno: EH1y = EH1 sen δ = 3,121kg/m (sen 24°) = 1,269 kg/m Por losa de acercamiento: EH2y = EH2 sen δ = 734 kg/m (sen 24°) = 299 kg/m
  • V-19PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén Cargas LL (carga viva de la superestructura de puente) PL = 9,000 kg/m Cargas LS (sobrecarga por carga viva en el terreno) Terreno equivalente extendido en 0.30 m del estribo: LS1 = 0.80 m x 0.30m x 1,600 kg/m3 = 384 kg/m Componente vertical de la sobrecarga por carga viva: LS2y = LS2 (sen δ) = 1,350 kg/m (sen 24°) = 549 kg/m Resumen Cargas Verticales CARGA TIPO V (Kg/m) (kg- dA (m) MV(kg-m/m) DC1 DC 2,819 0.90 2,537 DC2 DC 3,132 1.45 4,541 DC3 DC 4,060 1.95 7,917 DC4 DC 2,900 1.25 3,625 DC5 DC 209 2.35 491 PDC DC 7,000 1.45 10,150 PDW DW 800 1.45 1,160 EV1 EV 1,536 2.35 3,610 EV2 EV 240 0.15 36 EV3 EV 68 0.36 24 EH1y EH 1,269 2.50 3,173 EH2y EH 299 2.50 748 PL LL 9,000 1.45 13,050 LS1 LS 384 2.35 902 LS2y LS 549 2.50 1,373 Σ 34,265 53,337 HORIZONTALES.CARGAS HORIZONTALES.- Cargas EH (presión lateral del terreno) Por 3.70 m de terreno: EH1x = EH1 cos δ = 3,121kg/m (cos 24º) = 2,851 kg/m Por losa de acercamiento: EH2x = EH2 cos δ = 734 kg/m (cos 24º) = 671 kg/m Cargas LS (sobrecarga por carga viva en el terreno) Componente horizontal de la sobrecarga por carga viva: LS2x = LS2 (cos δ) = 1,350 kg/m (cos 24º) = 1,233 kg/m
  • V-20PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén Cargas WS (viento sobre la estructura) WS = 150 kg/m Cargas BR (fuerza de frenado) BR = 300 kg/m Cargas CR, SH y TU (Deformación del concreto por carga sostenida en el tiempo, acortamiento por presforzado, y temperatura uniforme) CR + SH + TU = 900 kg/m Resumen Cargas Horizontales CARGA TIPO H (kg/m) dA (m) (kg- MH (kg-m/m) EH1x EH 2,851 1.23 3,507 EH2x EH 671 1.85 1,241 LS2x LS 1,233 1.85 2,281 WS WS 150 3.60 540 BR BR 300 5.80 1,740 CR+SH+TU CR+SH+TU 900 3.60 3,240 Σ 6,105 12,549D) Estados límites aplicables y combinaciones de cargasTomaremos en cuenta los Estados Límites de Resistencia I y III aplicables en este casoy con un valor n=nDnRnI=1.Observamos que existen numerosas combinaciones de factores de carga γ para cadaestado límite como puede deducirse de las Tablas 3.4.1-1 y 3.4.1-2. Incluso en unsolo estado límite encontramos que pueden establecerse numerosas combinacionesdistintas. El diseñador en este caso apelando a su responsabilidad y buen juicio debeseleccionar los factores de carga apropiados en cada tipo de carga.Para el chequeo de estabilidad al vuelco y deslizamiento, observando en el gráfico lascargas actuantes, utilizaremos los factores γ máximos para las cargas horizontales quegeneran vuelco alrededor del punto A y deslizamiento en la base (EH, LS, WS, BR,CR+SH+TU) y los factores de carga γ mínimos en las cargas verticales que generanestabilidad (DC, DW, EV, LL+IM) para de esta manera maximizar las condiciones críticasen la estructura. Estos casos serán denominados Ia y IIIa, respectivamente.Para el chequeo de presiones en la base utilizaremos los factores γ máximos en lascargas verticales y horizontales para maximizar efectos. A estos casos losdenominaremos Ib y IIIb, respectivamente.
  • V-21PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén
  • V-22PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez SerquénE) CHEQUEO DE ESTABILIDAD Y ESFUERZOSa) Vuelco alrededor del punto “A” Estable si: = L C M MVU e B/4 (fundación en suelo) HU xo e=B/2-xo e 3B/8 (fundación en suelo rocoso) Vu Vu A B B/2 B/2 Estado Vu Mvu Mhu xo = Mvu − Mhu B emax=B/4 e= ( −x ) (Kg-m/m) (Kg-m/m) Vu 2 o (Kg/m) (m) (m) (m) Resistencia Ia 24,457 40,622 15,779 1.016 0.234 0.625 OK! Resistencia Ib 48,574 75,971 15,779 1.239 0.011 0.625 OK! Resistencia IIIa 22,824 36,640 9,498 1.189 0.061 0.625 OK! Resistencia IIIb 31,191 49,152 9,498 1.271 0.021 0.625 OK!b) Deslizamiento en base del estribo Hu Estable si: Vu F > Hu f Ff =µ(ØV ) u Con: µ = tgd = tg 24° = 0.445 (Tabla 3.11.5.3-1) Øτ = 0.80 (Tabla 10.5.5.2.2-1) Estados Vu RESISTENTE (Kg/m) ACTUANTE (Kg/m) (Kg/m) Ff =µ (ØτVu) Hu Resistencia Ia 24,457 8,707 8,416 OK! Resistencia Ib 48,574 17,292 8,416 OK! Resistencia IIIa 22,824 8,125 5,943 OK! Resistencia IIIb 31,191 11,104 5,943 OK!
  • V-23 PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén c) Presiones actuantes en la base del estribo = L C MHU M VU xo e=B/2-xo Vu V B q máx q mín Fundación en roca B/2 B/2 Estable si: q q máx R q q Fundación en suelo B-2e Estable si: q q R Estado Vu Mvu Mhu Mvu − Mhu B VU xo = e= ( −x ) q = o B − 2e (Kg/m) (Kg-m/m) (Kg-m/m) Vu 2 (kg/cm2) (m) (m)Resistencia Ia 24,457 40,622 15,779 1.016 0.234 1.20<2 OK!Resistencia Ib 48,574 75,971 15,779 1.239 0.011 1.96<2 OK!Resistencia IIIa 22,824 36,640 9,498 1.189 0.061 0.96<2 OK!Resistencia IIIb 31,191 49,152 9,498 1.271 0.021 1.27<2 OK! CASO II – ESTRIBO SIN PUENTE II SIN Estados límites aplicables y combinaciones de cargas
  • V-24PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez SerquénCHEQUEO DE ESTABILIDAD Y ESFUERZOSa) Vuelco alrededor del punto “A” Estable si: = L C M MVU e B/4 (fundación en suelo) HU xo e=B/2-xo e 3B/8 (fundación en suelo rocoso) Vu Vu A B B/2 B/2 Estado Vu Mvu Mhu xo = Mvu − Mhu B emax=B/4 e= ( −x ) (Kg-m/m) (Kg-m/m) Vu 2 o (Kg/m) (m) (m) (m) Resistencia Ia 17,637 30,733 11,114 1.112 0.138 0.625 OK! Resistencia Ib 22,874 38,706 11,114 1.206 0.044 0.625 OK! Resistencia IIIa 16,004 26,751 7,122 1.227 0.023 0.625 OK! Resistencia IIIb 21,241 34,725 7,122 1.299 0.049 0.625 OK!
  • V-25PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquénb) Deslizamiento en base del estribo Con: µ = tgd = tg 24° = 0.445 (Tabla 3.11.5.3-1) Hu Øτ = 0.80 (Tabla 10.5.5.2.2-1) Estable si: Vu F > Hu f Ff =µ(ØV ) u Estados Vu RESISTENTE (Kg/m) ACTUANTE (Kg/m) (Kg/m) Ff =µ (ØτVu) Hu Resistencia Ia 17,637 6,279 7,441 N.S. Resistencia Ib 22,874 8,143 7,441 OK! Resistencia IIIa 16,004 5,697 5,283 OK! Resistencia IIIb 21,241 7,562 5,283 OK! El estado límite de Resistencia Ia no es satisfactorio por lo que colocamos un diente de concreto de sección 0.30mx0.30m. en la base tal como se muestra en la figura; consideramos además la resistencia pasiva del suelo sólo en el ámbito del diente. 0.5 0.30 0.5 k px1600x1.00=9,760kg 0.3 E =3,367kg õ = 24° p k x1600x1.30=12,688kg p De la Figura 3.11.5.4-1, el coeficiente de empuje pasivo es kp=7 (con Øf=31° y Ө=90°) y el factor de reducción hallado por interpolación, R=0.870 (con õ/Øf=0.774). Luego: kp = R kp(õ=Ø) kp = 0.870(7) = 6.10 La resistencia pasiva es: Epcos24°=½(9,760kg/m+12,688kg/m) x 0.30m x cos24° = 3,076kg Para el estado límite de Resistencia Ia, agregando el diente de concreto se tiene: QR = ØτQτ+ ØepQep (10.6.3.3-1)
  • V-26PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén Con: ØτQτ = 6,279kg Øep = 0.50 (Tabla 10.5.5.2.2-1) Qep =3,076kg QR = 6,279kg+ 0.50(3,076kg)=7,817kg > 7,441kg OK! 7,817kg 7,817c) Presiones actuantes en la base del estribo = L C MHU M VU xo e=B/2-xo Vu V B q máx q mín Fundación en roca B/2 B/2 Estable si: q q máx R q q Fundación en suelo B-2e Estable si: q q R Estado Vu Mvu Mhu Mvu − Mhu B VU xo = e= ( −x ) q = o B − 2e (Kg/m) (Kg-m/m) (Kg-m/m) Vu 2 (kg/cm2) (m) (m)Resistencia I 17,637 30,733 11,114 1.112 0.138 0.79<2 OK!Resistencia Ia 22,874 38,706 11,114 1.206 0.044 0.95<2 OK!Resistencia III 16,004 26,751 7,122 1.227 0.023 0.65<2 OK!Resistencia IIIa 21,241 34,725 7,122 1.299 0.049 0.88<2 OK!
  • V-27PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez SerquénPROBLEMA V.3 Diseñar el estribo de concreto armado mostrado para un puentesimplemente apoyado de una sola vía. Las cargas verticales provenientes de la apoyadosuperestructura que inciden sobre el estribo son: PDC=12 Ton/m y PDW=1.8 Ton/m. Lafuerza de frenado BR=1.99 ton/m. El relleno es de 7.00m de altura, el suelo es nocohesivo de peso unitario γt=1925 kg/m³, capacidad admisible qadm=2.67 kg/cm²(FS=3), ángulo de fricción interna Øf=30°. Considerar un coeficiente sísmico de =30°.aceleración horizontal A=0.3 y coeficiente de sitio=1.2. BR=1.99T/m PDC =12T/m 1.80m PDW =1.80T/m PLL+IM =9.494T/m bparap PEQ 0.75 h =1.50 parap 0.75 e1 e2 N t2 t1 Prop. de terreno: tsup Øf = 30° õ = 0° H=7.00m = 1925 kg/m³ t q = 2.67 kg/cm² adm A = 0.3 s° S = 1.2 L talón t inf L punta h=1.50m D BSolución.-Solución.-PRE-PRE-DIMENSIONADO Para la altura H=7.00m, probamos una sección preliminar de estribo con: B= ancho del cimiento = ½H ~ 2/3H = 3.50m~4.67m (adoptado B=5.10m) D = altura del cimiento = 0.1H = 0.70m (adoptado D=1.10m) Lpunta = longitud de punta = B/3 = 1.67m (adoptado Lpunta=1.10m) tsup=grosor menor de pantalla = H/24 = 0.29m (adoptado tsup mín=0.30m) tinf =grosor mayor de pantalla = 0.1H = 0.70m (adoptado tinf=0.90m) N = 0.70m (adoptado) > Nmín = 0.24m
  • V-28PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén Nmín = longitud mínima de cajuela (2.11.2, Manual de Diseño de Puentes, MTC Perú) = (200+0.0017L+0.0067H’)(1+0.000125S²) = (200+0.0017x20,000)(1+0.000125x10.01²)mm con L=20,000mm, H’=0, S°=10.01° = 0.24m. Otras medidas tomadas se muestran en el gráfico siguiente: BR 1.80m Terreno equiv. por s/c PDC, DW, LL+IM LS .25 .70 h=0.60 y 0.75 1.50 1 PEQ 0.75 .40 2 3 5 .60 9 .35 .30 .30 1.40 EV 5.90 EQterr LSX 8 EQestrib H=7.00m 10 4 s°=10.01° EH 11 3.50 6 y CG 2.33 EV 12 h=1.50m 3.10 .90 1.10 1.10 Talón 7 p p p A B=5.10m
  • V-29PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez SerquénCASO I – ESTRIBO CON PUENTECARGAS VERTICALES (considerando franjas de 1m de longitud de estribo) Cargas DC Peso propio estribo de concreto armado (DC): Elemento Volumen DC XA (m) YA (m) XA.DC YA.DC (m³) (Ton/m) (Ton-m/m) (Ton-m/m) 1 0.375 0.900 2.225 6.250 2.00 5.63 2 0.380 0.912 1.875 5.300 1.71 4.83 3 0.105 0.252 2.117 4.900 0.53 1.23 4 1.200 2.880 1.850 3.100 5.33 8.93 5 0.090 0.216 1.600 4.900 0.35 1.06 6 1.020 2.448 1.500 2.233 3.67 5.47 7 5.610 13.464 2.550 0.550 34.33 7.41 ∑= 21.072 47.92 34.55 DC=21.07 Ton/m 47.92 34.55 XA = = 2.274 m , YA = = 1.640m 21.07 21.07 Peso propio superestructura: PDC= 12.00 Ton/m XA = 1.75m Cargas DW Peso asfalto en superestructura: PDW= 1.80 Ton/m XA = 1.75m Cargas EV (peso del terreno) Elemento Volumen EV XA YA XA.EV YA.EV (m³) (Ton/m) (m) (m) (Ton-m/m) (Ton-m/m) 8 16.225 31.233 3.725 4.050 116.34 126.49 9 0.105 0.202 2.233 4.700 0.45 0.95 10 1.190 2.291 2.175 2.800 4.98 6.41 11 0.014 0.027 1.124 1.367 0.03 0.04 12 0.440 0.847 0.550 1.300 0.47 1.10 ∑= 34.60 122.27 135.00 EV=34.60 Ton/m 122.27 135.00 XA = = 3.534m , YA = = 3.902m 34.60 34.60
  • V-30PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén Cargas LL+IM Carga viva e impacto desde la superestructura: PLL+IM= 9.494 Ton/m XA = 1.75m Cargas LS (sobrecarga por carga viva en el terreno) Altura equivalente de suelo por S/C (Tabla 3.11.6.4-1): Por cargas vehiculares actuando sobre el terreno, agregamos una porción equivalente de suelo. En este caso para H = 7.00 m, h’ = 0.60 m. Terreno equivalente extendido en 2.75m del talón del estribo: LSy = 2.75m x 0.60m x 1.925Ton/m3 = 3.18 Ton/m XA = 3.725m Resumen Cargas Verticales CARGA TIPO V (Ton/m) XA (m) (Ton- MV (Ton-m/m) DC DC 21.07 2.274 47.92 PDC DC 12.00 1.750 21.00 PDW DW 1.80 1.750 3.15 EV EV 34.60 3.534 122.27 PLL+IM LL+IM 9.49 1.750 16.61 LSy LS 3.18 3.725 11.83 Σ= 82.14 222.79CARGAS HORIZONTALES (considerando franjas de 1m de longitud de estribo)Cálculo del coeficiente de empuje activo (Ka)∅f = ángulo de fricción interna = 30°δ = ángulo de fricción entre el suelo y el muro = 0°β = ángulo del material del suelo con la horizontal = 0°ᒕ = ángulo de inclinación del muro del lado del terreno = 90°Para δ =β =0 y ᒕ =90°, las fórmulas AASHTO (3.11.5.3-1) y (3.11.5.3-2) seconvierten en:  Ø   30° K a = tg2  45° − f  = tg2  45° −  = 0.333  2   2 
  • V-31PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez SerquénCargas actuantes: Cargas LS (sobrecarga por carga viva en el terreno) Componente horizontal de la sobrecarga por carga viva: p”= Ka h’γt = (0.333)(0.60m)(1.925Ton/m³) = 0.385 Ton/m² LSx = H(p”)=7.00m(0.385Ton/m²) LSx = 2.70 Ton/m YA = 3.50m Cargas EH (presión lateral del terreno) Por 7.00m de terreno: p = Ka H γt = (0.333)(7.00m)(1.925Ton/m³) = 4.492 Ton/m² EH = ½ H (p)=½(7.00m)(4.492 Ton/m²) EH = 15.72 Ton/m YA = 2.333m Cargas EQ (acción sísmica) a) Acción sísmica del terreno (EQterr): ∅ = ángulo de fricción interna = 30° δ = ángulo de fricción entre el suelo y el muro = 0° i = ángulo del material del suelo con la horizontal = 0° β = ángulo de inclinación del muro con la vertical = 0° A = coeficiente sísmico de aceleración horizontal = 0.30 kh = coeficiente de aceleración horizontal=0.5A= 0.5(0.30)= 0.15 kv = coeficiente de aceleración vertical =0  k  θ = arc tan h 1− k  = 8.53°   v  Luego: cos 2 ( φ − θ − β) K AE = 2 (A.11.1.1.1-2)  .  2  sen(φ + δ)sen( φ − θ − I )  cos θ cos β cos( δ + β + θ) + 1 .    cos( δ + β + θ) cos( I − β)   K AE = 0.433
  • V-32PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén Entonces: EQterr = ½ (KAE-Ka) H² γt =½(0.433-0.333)(7m)²(1.925 Ton/m³) EQterr = 4.70 Ton/m YA = 3.50m b) Carga sísmica por superestructura (PEQ): El Art. 3.10.9.1 AASHTO LRFD establece para los puentes de un solo tramo, independientemente de la zona sísmica en que se encuentren, una solicitación mínima de diseño en una unión restringida entre superestructura y subestructura no menor al producto entre el coeficiente de sitio, el coeficiente de aceleración y la carga permanente tributaria, es decir: PEQ=PDC+DW.A.S=13.8Ton/m x 0.3 x 1.2 PEQ=4.97 Ton/m YA = 6.25m c) Fuerza inercial del estribo: De acuerdo a la Fig. A11.1.1.1-1 AASHTO LRFD: W = peso del estribo y terreno tributario=21.07 + 34.60= 55.67Ton/m YA = C.G. del estribo y terreno tributario 21.07T / m( .64m) + 34.60T / m(3.902m) 1 YA = = 3.045m 55.67T / m Kh=0.5A EQestrib=Kh.W=0.15x55.67Ton/m EQestrib=8.35 Ton/m YA = 3.045m
  • V-33PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén Cargas BR (frenado) BR= 1.99 Ton/m YA = 8.80m Resumen Cargas Horizontales CARGA TIPO H (Ton/m) YA (m) MH (Ton-m/m) (Ton- LSx LS 2.70 3.500 9.43 EH EH 15.72 2.333 36.68 EQterr EQ 4.70 3.500 16.44 PEQ EQ 4.97 6.250 31.05 EQestrib EQ 8.35 3.045 25.43 BR BR 1.99 8.800 17.51 Σ= 38.42 136.55A) ESTADOS LÍMITES APLICABLES Y COMBINACIONES DE CARGASTomamos en cuenta los estado límites de Resistencia I y Evento Extremo I aplicables eneste caso y con un valor n=nDnRnI=1Para el chequeo de estabilidad al vuelco y deslizamiento observando en el gráfico lascargas actuantes, utilizamos los factores γ máximos para las cargas horizontales quegeneran vuelco alrededor del punto A y deslizamiento en la base (EH y LS) y losfactores de carga γ mínimos en las cargas verticales que generan estabilidad (DC y EV)para de esta manera maximizar las condiciones críticas de vuelco y deslizamiento en laestructura. Este caso será denominado Ia.Para el chequeo de presiones en la base empleamos los factores γ máximos en cargasverticales y horizontales para maximizar efectos. A este caso lo denominaremos Ib.El chequeo de agrietamiento por distribución de armadura en la pantalla se realizarápara el estado límite de Servicio I.
  • V-34PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén
  • V-35PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez SerquénB) CHEQUEO DE ESTABILIDAD Y ESFUERZOSa) Vuelco alrededor del punto “A” Cálculo de emáx: - Estado límite de Resistencia (AASHTO, Art. 11.6.3.3): Se debe mantener la resultante en la base del cimiento dentro de la mitad central (e≤B/4), excepto el caso de suelo rocoso en que se mantendrá en los ¾ centrales (e≤3/8B). Es decir emáx = B/4 = (0.25)5.10m = 1.28m - Estado límite de Evento Extremo (AASHTO, Art. 11.6.5): Cuando γEQ=0, se debe mantener la resultante en la base del cimiento dentro de los 2/3 centrales del cimiento para cualquier suelo (e≤1/3B). Cuando γEQ=1, mantener la resultante dentro de los 8/10 centrales del cimiento para cualquier suelo (e≤2/5B). Para valores de γEQ entre 0 y 1.0, interpolar linealmente entre los valores especificados . En nuestro caso, utilizando γEQ=0.5, la interpolación señala el límite e≤11/30B. Es decir emáx = (11/30)Bm = (0.367)5.10m = 1.87m Estado Vu Mvu Mhu xo = Mvu − Mhu B emax(m) e= ( −x ) (Ton/m) (Ton-m/m) (Ton-m/m) Vu 2 o (m) (m)Resistencia Ia 71.09 207.06 102.18 1.48 1.07 1.28 O.K!Resistencia Ib 112.92 305.73 102.18 1.80 0.75 1.28 O.K!Evento Extremo Ia 67.12 192.27 141.42 0.76 1.79 1.87 O.K!Evento Extremo Ib 97.09 270.17 141.42 1.33 1.22 1.87 O.K!b) Deslizamiento Deslizamiento en base del estribo Con: µ = tg Øf = 0.577 (Art. 10.6.3.3) Øτ= 0.80, estado límite de Resistencia (Tabla 10.5.5.2.2-1). =1.00, estado límite de Evento Extremo (Art. 11.6.5) Estados Vu RESISTENTE (Ton/m) ACTUANTE (Ton/m) (Ton/m) Ff =µ (ØτVu) Hu Resistencia Ia 71.09 32.82 31.78 O.K! Resistencia Ib 112.92 52.13 31.78 O.K! Evento Extremo Ia 67.12 38.73 43.94 N.S. Evento Extremo Ib 97.09 56.02 43.94 O.K!
  • V-36PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén El estado límite de Evento Extremo Ia, no es satisfactorio por lo que colocamos un diente de concreto de sección 0.70mx0.70m. en la base como se muestra en la figura; consideramos la resistencia pasiva del suelo sólo en el ámbito del diente. 1.50 k p x1.925x1.50=8.49 Ton E =7.33 Ton .70 p k x1.925x2.20=12.45 Ton p .70 De la Figura 3.11.5.4-1, el coeficiente de empuje pasivo es kp=6.3 (con Øf=30° y Ө=90°) y el factor de reducción hallado por interpolación, R=0.467 (con õ/Øf=0). Luego: kp = R kp(õ=Ø) kp = 0.467(6.3) = 2.94 La resistencia pasiva es: Ep=½(8.49Ton/m + 12.45Ton/m) x 0.70m = 7.33Ton agregando Para el estado límite de Evento Extremo Ia, agregando el diente de concreto se tiene: QR = ØτQτ+ ØepQep (10.6.3.3-1) Con: ØτQτ = 38.73Ton Øep = 1.00 (Art. 11.6.5) Qep = 7.33Ton QR = 38.73Ton + 1.00(7.33Ton)=46.06Ton > 43.94Ton OK! 46.06Tonc) Presiones actuantes en la base del estribo Capacidad de carga factorada del terreno (qR) 1) Estado límite de Resistencia, con Øb = 0.45 (Tabla 10.5.5.2.2-1): qR=Øb qn (10.6.3.1.1-1) qR=Øb(FS.qadm)=0.45(3x2.67kg/cm²) = 3.60kg/cm²
  • V-37 PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén 2) Estado límite de Evento Extremo, con Øb = 1.00 (Art. 11.6.5): qR=Øb qn (10.6.3.1.1-1) qR=Øb(FS.qadm)=1.00(3x2.67kg/cm²) = 8.01kg/cm² 3) Estado límite de Servicio: qadm= 2.67kg/cm² Estado Vu Mvu Mhu Mvu − Mhu B VU xo = e= ( −x ) q= (Ton/m) (Ton-m/m) (Ton-m/m) Vu 2 o B − 2e (m) (m) (kg/cm2)Resistencia Ia 71.09 207.06 102.18 1.48 1.07 2.41<3.60 O.K!Resistencia Ib 112.92 305.73 102.18 1.80 0.75 3.13<3.60 O.K!Evento Extremo Ia 67.12 192.27 141.42 0.76 1.79 4.43<8.01 O.K!Evento Extremo Ib 97.09 270.17 141.42 1.33 1.22 3.66<8.01 O.K!Servicio I 82.14 222.79 63.63 1.94 0.61 2.12<2.67 O.K! CASO II – ESTRIBO SIN PUENTE II SIN A) ESTADOS LÍMITES APLICABLES Y COMBINACIONES DE CARGAS
  • V-38PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez SerquénB) CHEQUEO DE ESTABILIDAD Y ESFUERZOSa) Vuelco alrededor del punto “A” Estado Vu Mvu Mhu xo = Mvu − Mhu B emax=B/4 e= ( −x ) (Ton/m) (Ton-m/m) (Ton-m/m) Vu 2 o (m) (m) (m)Resistencia Ia 59.12 186.11 71.53 1.94 0.61 1.28 O.K!Resistencia Ib 78.61 245.68 71.53 2.22 0.33 1.28 O.K!Evento Extremo Ia 55.15 171.32 101.61 1.26 1.29 1.87 O.K!Evento Extremo Ib 74.64 230.89 101.61 1.73 0.82 1.87 O.K!b) Deslizamiento en base del estribo Con: µ = tg Øf = 0.577 (Art. 10.6.3.3) Øτ= 0.80, estado límite de Resistencia (Tabla 10.5.5.2.2-1). =1.00, estado límite de Evento Extremo (Art. 11.6.5)
  • V-39PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén Estados Vu RESISTENTE (Ton/m) ACTUANTE (Ton/m) (Ton/m) Ff =µ (ØτVu) Hu Resistencia Ia 59.12 27.29 28.30 N.S. Resistencia Ib 78.61 36.29 28.30 O.K! Evento Extremo Ia 55.15 31.82 37.98 N.S. Evento Extremo Ib 74.64 43.07 37.98 O.K! Los estados límites de Resistencia Ia y Evento Extremo Ia, no son satisfactorios. Luego, haciendo uso de la resistencia pasiva proporcionada por el diente de concreto de sección 0.70mx0.70m. se tiene: 1.50 k p x1.925x1.50=8.49 Ton E =7.33 Ton .70 p k x1.925x2.20=12.45 Ton p .70 De la Figura 3.11.5.4-1, el coeficiente de empuje pasivo es kp=6.3 (con Øf=30° y Ө=90°) y el factor de reducción hallado por interpolación, R=0.467 (con õ/Øf=0). Luego: kp = R kp(õ=Ø) kp = 0.467(6.3) = 2.94 La resistencia pasiva es: Ep=½(8.49Ton/m + 12.45Ton/m) x 0.70m = 7.33Ton - Para el estado límite de Resistencia Ia, agregando el diente de concreto se tiene: QR = ØτQτ+ ØepQep (10.6.3.3-1) Con: ØτQτ = 27.29Ton Øep = 0.50 (Tabla 10.5.5.2.2-1) Qep = 7.33Ton QR = 27.29Ton + 0.50(7.33Ton)=30.95Ton > 28.30 OK! 30.95Ton 30.95 - Para el estado límite de Evento Extremo Ia, agregando el diente de concreto se tiene: QR = ØτQτ+ ØepQep (10.6.3.3-1)
  • V-40 PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén Con: ØτQτ = 31.82Ton Øep = 1.00 (Art. 11.6.5) Qep = 7.33Ton QR = 31.82Ton + 1.00(7.33Ton)=39.15Ton > 37.98Ton OK! 39.15Ton 37.98Ton c) Presiones actuantes en la base del estribo Estado Vu Mvu Mhu Mvu − Mhu B VU xo = e= ( −x ) q= (Ton/m) (Ton-m/m) (Ton-m/m) Vu 2 o B − 2e (m) (m) (kg/cm2)Resistencia Ia 59.12 186.11 71.53 1.94 0.61 1.53<3.60 O.K!Resistencia Ib 78.61 245.68 71.53 2.22 0.33 1.77<3.60 O.K!Evento Extremo Ia 55.15 171.32 101.61 1.26 1.29 2.18<8.01 O.K!Evento Extremo Ib 74.64 230.89 101.61 1.73 0.82 2.15<8.01 O.K!Servicio I 58.85 182.03 46.11 2.31 0.24 1.27<2.67 O.K! CÁLCULO DEL ACERO 1) DISEÑO DE PANTALLA BR 1.80m Terreno equiv. por s/c 0.60 PEQ 0.75 0.75 5.90 LS EQ EQestrib EH 2.95 2.80 1.97 p p p P
  • V-41PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén CARGAS EN BASE DE PANTALLACARGA CARGA DISTRIBUIDA (Ton/m) Carga(Ton) YP(m) M(T- M(T-m)LS p”=0.333x0.60x1.925=0.385 0.385x5.90=2.27 2.95 6.70EH p=0.333x5.90x1.925=3.786 0.5x5.90x3.786=11.17 1.97 21.96EQterr p’=0.5(0.4330.333)5.9x1.925=0.566 0.566x5.90=3.34 2.95 9.84PEQ - 4.97 5.15 25.59EQestri - 6.20 2.80 17.33BR - 1.99 7.70 15.32Donde para EQestr : W = peso estribo y terreno tributario sobre P =7.61 + 33.72= 41.33Ton/m Kh=0.5A EQestrib=Kh.W=0.15x41.33Ton/m = 6.20Ton/m YP = C.G. del estribo y terreno tributario sobre P = 2.80m a) Acero Por Flexión Momento de diseño en la base de la pantalla: Estado límite de Resistencia I, con n= nDnRnI=1: Mu = n[1.75MLS + 1.50MEH + 1.75MBR] (Tabla 3.4.1-1) = 1.00[1.75(6.70T-m)+1.50(21.96T-m)+1.75(15.32T-m)] = 71.49T-m Estado límite de Evento Extremo I, con n= nDnRnI=1: Mu = n[0.50MLS + 1.50MEH + 1.00MEQ + 0.50MBR] (Tabla 3.4.1-1) =1.00[0.50(6.70T-m)+1.50(21.96T-m)+1.00(9.84+25.59+17.33)T-m +0.50(15.32T-m)] = 96.72T-m Con Mu= 96.72T-m, As= 1∅1”, recubrimiento r= 7.5cm (Tabla 5.12.3-1) 2.54 z = 7.5 + = 8.77 cm 2 d= 90cm – 8.77cm =81.23cm A s fy A s x4200 z d a= = = 6.97cm 0.85fc b 0.85x210x 100 90cm Mu 96.00x 5 10 5.10 As = = = 29.62cm², s Ø1" = = 0.17m a a 29.62 Ø f fy (d − ) 1.0x4200(81.23 − ) 2 2 (Øf=1.0, según Art. 11.6.5 para estado límite de Evento Extremo)
  • V-42PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén As máximo (Art. 5.7.3.3.1) Una sección no sobre reforzada cumple con: c /de ≤ 0.42 c = a / β1 = 6.97cm / 0.85 = 8.20cm de = 81.23cm c /de = 0.10 ≤ 0.42 OK! As mínimo (Art. 5.7.3.3.2) La cantidad de acero proporcionado debe ser capaz de resistir el menor valor de1.2Mcr y 1.33Mu: a) 1.2Mcr = 1.2fr S = 1.2(29.13kg/cm2)(135,000cm3) = 47.19T-m Siendo: fr = 0.63 fc MPa = 2.01 fc kg / cm2 = 2.01 210 = 29.13 kg / cm2 S = bh2/6 = 100(90)2/6 = 135,000cm3 b) 1.33 Mu= 1.33(96.72T-m) = 128.64T-m El menor valor es 47.19T-m y la cantidad de acero calculada (29.62cm2) resiste Mu=96.72T-m >47.19T-m OK! 0.1 USAR 1∅1” @ 0.17m b) As de temperatura Ag A s temp = 0.756 [SI] (5.10.8.2-1) Fy A s temp = 0.0018 A g [MKS, con fy = 4200 kg / cm2 ] Siendo la pantalla de sección variable, tomamos conservadoramente un grosor de 0.80m: 100) = 16.2 cm2 A s temp = 0.0018(90x A s temp = 16.2 cm2 / 2 = 8.10 cm2 / capa 2.00 Utilizando varillas ∅5/8”, la separación será: s = = 0.24 m 8.10 smáx = 3t = 3(0.90)= 2.70m (Art.5.10.8) smáx = 0.45m OK! (Art.5.10.8) 0.24 USAR 1∅5/8” @ 0.24 m Nota.- El acero de temperatura se colocará por no contar con ningún tipo de acero en el sentido perpendicular al acero principal de la pantalla y también en la cara de la pantalla opuesta al relleno, en ambos sentidos.
  • V-43PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén c) Revisión de fisuración por distribución de armadura (Art. 5.7.3.4) Esfuerzo máximo del acero: Z fsa = ≤ 0.6fy (5.7.3.4-1) (dc A )1/ 3 Para el acero principal: b Ø d c = recubrimie4 + 14 24nto 2 4 3 ≤ 5 cm ( Art.5.7.3.4 ) 2.54 90 cm d c = 5 cm + cm 2 1Ø1"@0.17 dc dc = 6.27cm dc b = espac. del acero = 17cm nv = número de varillas = 1 17 cm (2d c )b (2x6.27cm)( cm) 17 A= = = 213.18 cm2 (Art. 5.7.3.4) nv 1 Z = 30,000N/mm (considerando exposición moderada) (Art. 5.7.3.4) = 30,600Kg/cm Luego: 30,600 kg / cm fsa = = 2,778 kg / cm 2 (6.27cm x 213.18cm2 )1/ 3 fsa ≤ 0.6(4200kg / cm2 ) = 2,520 kg / cm2 fsa = 2,520 kg / cm2 Esfuerzo del acero bajo cargas de servicio Ms c fs = n I Para el Diseño por Estado Límite de Servicio I, con n= nDnRnI=1: Ms = n ( .0 MLS +1.0 MEH +1.0 MBR ) 1 (Tabla 3.4.1-1) Ms = 1.0(6.70T-m+21.96T-m+15.32T-m) Ms = 43.99T-m/m Para un ancho tributario de 0.17m: Ms = (43.99T-m/m) (0.17m) = 7.48T-m
  • V-44PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén Es =200,000 MPa = 2’039,400 kg/cm2 (5.4.3.2) E c = 15,344 fc (5.4.2.4-1) 2 E c = 15,344 210 = 222, 356 kg / cm E s 2039, 400 kg / cm2 n= = =9 Ec 222, 356 kg / cm2 17 cm y (-) 81.23 c=81.23-y 90 cm (+) 8.77 (fs/n) 1Ø1"@0.17 Ast=9x5.10cm²=45.90cm² Área de acero transformada: Ast = relación modular x área de acero Ast = 9(5.10cm2) = 45.90cm2 Momentos respecto del eje neutro para determinar y: 17y (y/2) = 45.90(81.23-y) y = 18.42cm, c=81.23cm-y = 62.81cm Inercia respecto del eje neutro de sección transformada: by 3 I = A st c 2 + 3 17 ( .42) 3 18 = 45.90 (62.81 2 +) 3 =216,496cm4 Luego: Ms c 7.48 x 10 5 x 62.81 fs = n= x 9 = 1 953kg / cm2 , I 216,496 fs = 1 953 kg / cm2 < fsa = 2, 520 kg / cm2 , OK !
  • V-45PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén corte d) Revisión por corte Típicamente el corte no gobierna el diseño de un muro de contención; sin embargo revisaremos el grosor de la pantalla para confirmar que no se requiere armadura transversal. El cortante actuante en la base de la pantalla para el estado límite de Resistencia I, con n= nDnRnI=1, es: Vu = n[1.75 VLS+1.50 VEH +1.75 VBR] (Tabla 3.4.1-1) = 1.00[1.75(2.27T) + 1.50(11.17T)+1.75(1.99T)] = 24.21T El cortante actuante en la base de la pantalla para el estado límite de Evento Extremo I, con n= nDnRnI=1, es: Vu = n[0.5 VLS+1.50 VEH +1.00 VEQ +0.5 VBR] (Tabla 3.4.1-1) =1.00[0.5(2.27T)+1.50(11.17T)+1.0(3.34+4.97+6.20)+0.5(1.99T)] = 33.39T Luego Vu = 33.39T El cortante resistente del concreto es: V r = Ø Vn (5.8.2.1-2) Ø = 1.0 (Art. 11.6.5) Vn = Vc+Vs+ Vp (5.8.3.3.-1) siendo Vn el menor de: Vn = 0.25f’cbvdv + Vp (5.8.3.3-2) Vc = 0.083β fc b v d v [N] (5.8.3.3-3) para β=2 (Art. 5.8.3.4): Vc = 0.53 fc b v d v [kg] Vc = 0.53 fc b v d v = 0.53 210 ( 100 x77.75) = 59.71T donde: bv = ancho de diseño de pantalla= 100 cm de = 81.23cm a 6.97 d v = peralte de corte efectivo = d e − = 81.23 − = 77.75 cm (Art. 2 2 5.8.2.9) no menor que el 0.90de= 0.90(81.23 cm) = 73.11cm OK! mayor valor de 0.72h = 0.72(90 cm) = 64.80cm
  • V-46PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén Con Vp=0 y Vs=0 Vn = 59.71T el menor valor de Vn = 0.25 x 210 x 100 x 77.75 = 408.19T es: Vn = 59.71T La resistencia del concreto al corte es: Vr = ØVn = 1.0(59.72T) = 59.71T > 33.39T OK! 9.71 3.39T 2) DISEÑO DE CIMENTACIÓN a) Acero parte superior de zapata Terreno equiv. por s/c LS y=2.75mx0.60mx1.0mx1.925T/m3 h=0.60 =3.18T 1.90 0.60 1.73 5.90 EV=33.73T 1.61 3.10 2.75 .35 3 DC =3.10mx1.0mx1.10mx2.4T/m =8.18T As superior 1.10 Talón q B-2e B Momento de diseño en cara vertical de pantalla, estado límite de Resistencia Ib, con n= nDnRnI=1, despreciando del lado conservador la reacción del suelo: Mu = n[1.25 MDC +1.35 MEV +1.75 MLS] (Tabla 3.4.1-1) = 1.00[1.25(8.18T x 1.55m) + 1.35(33.73T x 1.61m) + 1.75(3.18T x 1.73m)] = 98.78T-m Omitimos el estado de Evento Extremo I, pues no es crítico en este caso.
  • V-47PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén Utilizando acero ∅1” y recubrimiento r= 7.5cm (Tabla 5.12.3-1) Ø 2.54 z = recub += 7.5 + = 8.77 cm 2 2 d= 110cm – 8.77cm = 101.23cm Mu As = = 26.64cm2 , (con Ø=0.9, según 5.5.4.2) a 0.9fy (d − ) 2 As fy a= = 6.27cm 0.85fc b 5.10 Utilizando varillas ∅1”, la separación será: s = = 0.19 m 26.64 As máximo (Art. 5.7.3.3.1) Una sección no sobre reforzada cumple con: c /de ≤ 0.42 c = a / β1 = 6.27 / 0.85 = 7.37cm de = 101.23cm c /de = 0.07 ≤ 0.42 OK! As mínimo (Art. 5.7.3.3.2) La cantidad de acero proporcionado debe ser capaz de resistir el menor valor de1.2Mcr y 1.33Mu: a) 1.2Mcr = 1.2fr S = 1.2(29.13kg/cm2)(201,667cm3) = 70.49T-m Siendo: fr = 0.63 fc MPa = 2.01 fc kg / cm2 = 2.01 210 = 29.13 kg / cm2 S = bh2/6 = 100(110)2/6 = 201,667cm3 b) 1.33 Mu= 1.33(98.78T-m) = 131.38T-m El menor valor es 70.49T-m y la cantidad de acero calculada (26.64cm2) resiste Mu=98.78T-m >70.49T-m OK! 0.19 USAR 1∅1” @ 0.19m b) As de temperatura A s temp = 0.0015 A g (5.10.8.2-2) A s temp = 0.0015( 110) = 16.5 cm2 100x A s temp = 16.5 cm2 / 2 = 8.25 cm2 / capa 2.00 Utilizando varillas ∅5/8”, la separación será: s = = 0.24 m 8.25 smáx = 0.30m OK! (Art.5.10.8) USAR 1∅5/8” @ 0.24 m
  • V-48PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén Nota.- El acero de temperatura se colocará por no contar con ningún tipo de acero, perpendicular al acero de flexión, tanto en el talón como en la punta del cimiento. c) Revisión del talón por corte El cortante actuante en el talón para el estado límite de Resistencia I, con n= nDnRnI=1, es: Vu = n[1.25 VDC + 1.35 VEV +1.75 VLS] (Tabla 3.4.1-1) = 1.00[1.25(8.18T) + 1.35(33.73T) +1.75(3.18T)] = 61.32T Se omite el estado de Evento Extremo I, pues no gobierna el diseño. El cortante resistente del concreto es: Vr = Ø Vn (5.8.2.1-2) Ø = 0.9 (5.5.4.2) Vn = Vc+Vs+ Vp (5.8.3.3.-1) siendo Vn el menor de: Vn = 0.25f’cbvdv +Vp (5.8.3.3-2) Vc = 0.083β fc b v d v [N] (5.8.3.3-3) para β=2 (Art. 5.8.3.4): Vc = 0.53 fc b v d v [kg] Vc = 0.53 fc b v d v = 0.53 210 ( 100 x98.10) = 75.35T donde: bv = ancho de diseño de zapata = 100 cm de = 101.23cm a 6.27 d v = peralte de corte efectivo = d e − = 101.23 − = 98.10 cm (Art. 2 2 5.8.2.9) no menor que el 0.90de= 0.90(101.23cm) = 91.11cm OK! mayor valor de 0.72h = 0.72(110cm) = 79.20cm Con Vp=0 y Vs=0 Vn = 75.35T el menor valor de Vn = 0.25 x 210 x 100 x 98.10 =515.03T es: Vn = 75.35T La resistencia del concreto al corte es: Vr = ØVn = 0.9(75.18T) = 67.81T > 61.32T OK! 67.81T 81 1.32T
  • V-49PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén zapata d) Acero en fondo de zapata corte d As parte inferior zapata EV Talón DC Punta q =4.43kg/cm B-2e B flexión Para el estado límite de Evento Extremo Ia, con qu= 4.43kg/cm², despreciando del lado conservador el peso del terreno (EV) y de la punta de zapata (DC), el momento actuante en cara de pantalla es: ( .10m)2 1 Mu = 44.30T / m² x x1m = 26.80T − m 2 Utilizando 1∅5/8” @0.23m (As=2.00cm² / 0.23m = 8.70cm²/m) siendo: recubrimiento = 7.5cm (Tabla 5.12.3-1) Ø 1.59 z = recub += 7.5 + = 8.30 cm 2 2 d= 110cm – 8.30cm = 101.7cm A s fy 8.70(4200) a= = = 2.05cm 0.85fc b 0.85x210x 100 Øf=1.0, según Art. 11.6.5 para estado límite de Evento Extremo a 2.05 Mu = Øfy A s (d − ) = 1.0x4200x8.70 ( 101.7 − ) = 36.79T − m > 26.80T − m 2 2 As máximo (Art. 5.7.3.3.1) Una sección no sobre reforzada cumple con: c /de ≤ 0.42 c = a / β1 = 2.05 / 0.85 = 2.41cm de = 101.7cm c /de = 0.02 ≤ 0.42 OK!
  • V-50PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén As mínimo (Art. 5.7.3.3.2) La cantidad de acero proporcionado debe ser capaz de resistir el menor valor de1.2Mcr y 1.33Mu: a) 1.2Mcr = 1.2fr S = 1.2(29.13kg/cm2)(201,667 cm3) = 70.49T-m Siendo: fr = 0.63 fc MPa = 2.01 fc kg / cm2 = 2.01 210 = 29.13 kg / cm2 S = bh2/6 = 100(110)2/6 = 201,667cm3 b) 1.33 Mu= 1.33(26.98T-m) = 35.88T-m El menor valor es 35.88T-m y la cantidad de acero propuesta (8.70cm2) resiste Mu=36.79T-m >35.88T-m OK! 5/8” 0.23 23m USAR 1∅5/8” @ 0.23m e) Revisión de la punta por corte corte Cálculo de dv (Art. 5.8.2.9): a 2.05 d v = peralte de corte efectivo = de − = 101.7 − = 100.68 cm 2 2 no menor que el 0.90de= 0.90(101.7cm) = 91.53cm OK! mayor valor de 0.72h = 0.72(110cm) = 79.20cm Debiendo tomar el cortante actuante a una distancia dv de la cara de la pantalla, el cortante actuante es: Vu = q u (L punta − d v ) = 44.3T / m2 ( .10m −1.01 ) = 4.11Ton / m 1 m El cortante resistente del concreto es: Vr = Ø Vn (5.8.2.1-2) Ø = 1.0 (Art. 11.6.5) Vn = Vc+Vs+ Vp (5.8.3.3.-1) siendo Vn el menor de: Vn = 0.25f’cbvdv + Vp (5.8.3.3-2) Vc = 0.083β fc b v d v [N] (5.8.3.3-3) para β=2 (Art. 5.8.3.4): Vc = 0.53 fc b v d v [kg] Vc = 0.53 fc b v d v = 0.53 210 ( 100.68) = 77.33T 100 x Con Vp=0 y Vs=0 Vn = 77.33T el menor valor de Vn = 0.25 x 210 x 100 x 100.68 =528.57T es: Vn = 77.33T
  • V-51PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén La resistencia del concreto al corte es: Vr = ØVn = 1.0(77.33T) = 77.33T > 4.11T OK! 77.3 4.1 1φ1"@0.17 1φ5/8"@0.24 1φ5/8"@0.24 1φ1"@0.19 1φ5/8"@0.24 1φ5/8"@0.24 1φ5/8"@0.23 DISPOSICIÓN DE ARMADURA EN ESTRIBO
  • VI-1PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén CAP VI: PILARES1. REFUERZO MÁXIMO Y MÍNIMO EN MIEMBROS A COMPRESIÓN (Art. 5.7.4.2) La máxima sección de armadura longitudinal pretensada y no pretensada deberá sertal que: A s A ps fpu + ≤ 0.08 (5.7.4.2-1) Ag A g fy A ps fpe ≤ 0.30 (5.7.4.2-2) A g fc La mínima sección de armadura longitudinal pretensada y no pretensada deberá sertal que: A s fy A ps fpu + ≥ 0.135 (5.7.4.2-3) A f g c A g fcdonde:Aps = área de acero del pretensadoAs = área de la armadura de tracción no pretensadaAg = área bruta de la secciónfpu = resistencia a la tracción especificada del acero de pretensadofy = tensión de fluencia especificada de las barras de armaduraf’c = resistencia a la compresión especificada del hormigón a 28 díasfpe = tensión de pretensado efectiva El mínimo número de barras de armadura longitudinal deberá ser seis paradisposiciones circulares y cuatro para disposiciones rectangulares. El tamaño mínimo debarra será Nº 16. Para puentes en Zonas Sísmicas 1 y 2 se puede utilizar una sección efectivareducida si la sección transversal es mayor que la requerida para resistir las cargasaplicadas. El mínimo porcentaje de armadura longitudinal total (pretensada y nopretensada) del área efectiva reducida será uno por ciento o el valor obtenido de laEcuación 3, cualquiera sea el valor que resulte mayor.2. EVALUACIÓN APROXIMADA DE LOS EFECTOS DE ESBELTEZ (Art. 5.7.4.3) Para los elementos desplazables, los efectos de la esbeltez se pueden despreciarsi: KL u < 22 r Para los elementos que no se desplazan, los efectos de la esbeltez se puedendespreciar si: KL u M < 34 −12 1 r M2
  • VI-2PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquénsiendo M1 y M2 el menor y mayor momento de extremo respectivamente, y el término(M1/M2) positivo para flexión de curvatura única. Para el diseño de elementos comprimidos no pretensados con Klu /r<100, sepuede utilizar el siguiente procedimiento aproximado:- El diseño se basa en una carga axial mayorada Pu, determinada mediante análisis elástico y un momento mayorado amplificado Mc, como se especifica en el Art. 4.5.3.2.2b.- La longitud sin apoyo lateral Lu de un elemento comprimido se toma como la distancia libre entre elementos capaces de proveer apoyo lateral a los elementos comprimidos. Si hay acartelamientos, la longitud sin apoyo lateral se toma hasta el extremo de cualquier acartelamiento en el plano considerado.- El radio de giro r se calcula para la sección bruta del hormigón.- Para los elementos sin desplazamiento, a menos que mediante un análisis se demuestre que es posible utilizar un valor menor, K = 1.0.- Para los elementos que se desplazan, K se determina considerando debidamente los efectos de la fisuración y las armaduras sobre la rigidez relativa, y nunca se tomará menor que 1.0. En ausencia de cálculos más precisos, el valor EI para determinar Pe se toma comoel valor mayor entre: E cIg + E sIs EI = 5 (5.7.4.3-1) 1+ β d E cIg EI = 2.5 (5.7.4.3-2) 1+ β ddonde:Ec = módulo de elasticidad del hormigónIg = momento de inercia de la sección bruta de hormigón respecto del eje baricéntricoEs = módulo de elasticidad del acero longitudinalIs = momento de inercia del acero longitudinal respecto del eje baricéntricoβd = relación entre los máximos momentos debidos a la carga permanente mayorados y el máximo momento debido a la carga total mayorado; siempre positivo.3. RESISTENCIA AXIAL (Art. 5.7.4.4) La resistencia axial mayorada de los elementos comprimidos de hormigón armadosimétricos respecto de ambos ejes principales se deberá tomar como: Pr = Ø Pn (5.7.4.4-1)
  • VI-3PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén- Para elementos con armadura en espiral: [ Pn = 0.85 0.85fc (A g − A st ) + fy A st ] (5.7.4.4-2)- Para elementos zunchados: [ Pn = 0.80 0.85fc (A g − A st ) + fy A st ] (5.7.4.4-3)donde:Pr = resistencia axial mayorada, con o sin flexiónPn = resistencia axial nominal, con o sin flexiónf’c = resistencia especificada del hormigón a 28 díasAg = área bruta de la secciónAst = área total de la armadura longitudinalfy = tensión de fluencia especificada de la armaduraØ = factor de resistencia (Art. 5.5.4.2)4. FLEXIÓN BIAXIAL (Art. 5.7.4.5) En vez de realizar un análisis en base a condiciones de equilibrio y compatibilidad dedeformaciones para flexión biaxial, los elementos no circulares solicitados a flexiónbiaxial y compresión se pueden dimensionar utilizando las siguientes expresionesaproximadas:- Si la carga axial mayorada es mayor o igual que 0.10 Ø f’cAg : 1 1 1 1 = + − (5.7.4.5-1) Prsy Prx Pry Ø P0 siendo: P0 = 0.85fc ( A g − A st ) + A st fy (5.7.4.5-2)- Si la carga axial mayorada es menor que 0.10 Ø f’cAg : Mux Muy + ≤ 1.0 (5.7.4.5-3) Mrx Mrydonde:Ø = factor de resistencia para elementos solicitados a compresión axialPrxy = resistencia axial mayorada en flexión biaxialPrx = resistencia axial mayorada determinada sobre la base de que la excentricidad ey es la única presentePry = resistencia axial mayorada determinada sobre la base de que la excentricidad ex es la única presentePu = fuerza axial mayorada aplicadaMux = momento mayorado aplicado respecto del eje X
  • VI-4PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez SerquénMuy = momento mayorado aplicado respecto del eje Yex = excentricidad de la fuerza axial mayorada aplicada en la dirección X, es decir = Muy / Puey = excentricidad de la fuerza axial mayorada aplicada en la dirección Y, es decir = Mux / Pu La resistencia axial mayorada Prx y Pry no se deberá tomar mayor que el productoentre el factor de resistencia Ø y la máxima resistencia nominal a la compresión dadapor las Ecuaciones 5.7.4.4-2 ó 5.7.4.4-3, según corresponda.5. ESPIRALES Y ZUNCHOS (Art. 5.7.4.6) El área de acero de los espirales y zunchos en puentes ubicados en Zonas Sísmicas2, 3 ó 4 deberá satisfacer los requisitos especificados en el Art. 5.10.11. Si el área de armadura en espiral y zunchos no está determinada por: requisitos dediseño sismorresistente, corte o torsión según Art. 5.8, ni requisitos mínimos segúnArt. 5.10.6, la relación entre la armadura en espiral y el volumen total del núcleo dehormigón, medido entre las partes exteriores de los espirales, deberá satisfacer: Ag fc ρ s ≥ 0.45( −1) (5.7.4.6-1) Ac fyhdonde:Ag = área bruta de la sección de hormigónAc = área del núcleo medida hasta el diámetro exterior del espiralf’c = resistencia especificada del hormigón a 28 díasfyh = tensión de fluencia especificada de la armadura espiral6. ARMADURA TRANSVERSAL PARA ELEMENTOS SOMETIDOS A COMPRESIÓN (Art. 5.10.6) La armadura transversal de los elementos comprimidos puede consistir en zunchoso en estribos cerrados.Zunchos.- Pueden ser barras o alambre liso o conformado de un diámetro mínimo de9.5 mm. La separación libre entre las barras del zuncho no deberá ser menor que 25mm ó 1.33 veces el tamaño máximo del agregado. La separación entre centros nodeberá ser mayor que 6 veces el diámetro de las barras longitudinales ó 150 mm. El anclaje de las armaduras en forma de zuncho se provee mediante 1.5 vueltasadicionales de barra o alambre en cada uno de los extremos del zuncho. Para las ZonasSísmicas 3 y 4 la prolongación de la armadura transversal hacia los elementos con quese conecta deberá satisfacer los requisitos del Art. 5.10.11.4.3.Estribos cerrados.- Estarán constituidos por:- Barras Nº10 para Barras Nº 32 o menores,- Barras Nº 13 para Barras Nº 36 o mayores, y- Barras Nº 13 para paquetes de barras. La separación de los estribos cerrados no deberá ser mayor que la menordimensión del elemento comprimido ó 30 cm. Si hay dos o más barras mayores que una
  • VI-5PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquénbarra Nº 32 dispuestas de modo que forman un paquete, la separación no deberá sermayor que la mitad de la menor dimensión del elemento ó 15 cm. En lugar de barras se puede utilizar alambre conformado o malla de alambre soldadode área equivalente. Cada barra longitudinal de esquina tendrá un apoyo lateral provisto por la esquinade un estribo con un ángulo interno no mayor de 135°. Ninguna barra deberá estar auna distancia mayor que 61 cm de una de estas barras con apoyo lateral. Si el diseñode la columna se basa en la capacidad de rotulación plástica, ninguna barra longitudinalestará a una distancia mayor que 15 cm de una de estas barras con apoyo lateral. La distancia vertical entre el estribo cerrado inferior y la zapata u otro apoyo y ladistancia vertical entre el estribo cerrado superior y la armadura horizontal más baja delelemento soportado no deberán ser menores que la mitad de la separación entreestribos.7. AMPLIFICACIÓN DE MOMENTOS VIGAS – COLUMNA (Art. 4.5.3.2.2b) VIGAS Los momentos o tensiones mayorados se pueden incrementar para que reflejen losefectos de las deformaciones de la siguiente manera: Mc = δ b M2b + δ s M2s (4.5.3.2.2b-1) fc = δ b f2b + δ s f2s (4.5.3.2.2b-2)siendo: Cm δb = ≥ 1.0 (4.5.3.2.2b-3) Pu 1− ØPe 1 δs = ≥ 1.0 (4.5.3.2.2b-4) ΣPu 1− ØΣPedonde:Pu = carga axial mayoradaPe = carga de pandeo de EulerØ = factor de resistencia para compresión axial (Art. 5.5.4.2)M2b= momento en el elemento comprimido debido a las cargas gravitatorias mayoradas que no provoca desplazamiento lateral apreciable calculado mediante un análisis de pórtico elástico convencional de primer orden, siempre positivof2b = tensión correspondiente a M2bM2s= momento en un elemento comprimido debido a cargas laterales o gravitatorias mayoradas que provocan un desplazamiento lateral, , mayor que Lu /1500, calculado mediante un análisis de pórtico elástico convencional de primer orden, siempre positivof2s = tensión correspondiente a M2s
  • VI-6PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén Para columnas compuestas de acero/hormigón la carga de pandeo de Euler, Pe , sedeberá determinar como se especifica en Art. 6.9.5.1. Para todos los demás casos Pese deberá tomar como: π2EI Pe = (4.5.3.2.2b-5) (KL u )2donde:Lu = longitud no apoyada de un elemento comprimidoK = factor de longitud efectiva como se especifica en Art. 4.6.2.5E = módulo de elasticidadI = momento de inercia respecto del eje considerado Para los elementos comprimidos de hormigón también se deberá aplicar losrequisitos del Art. 5.7.4.3. Para los elementos arriostrados contra el desplazamiento lateral, δs se deberátomar como 1.0 a menos que un análisis indique que se puede utilizar un valor menor.Para los elementos no arriostrados contra el desplazamiento lateral, δb se deberádeterminar como para un elemento arriostrado y δs como para un elemento noarriostrado. Para los elementos arriostrados contra el desplazamiento lateral y sin cargastransversales entre apoyos, Cm se puede tomar como: M1b C m = 0.6 + 0.4 ≥ 0.4 (4.5.3.2.2b-6) M2b donde: M1b = menor momento de extremo M2b = mayor momento de extremo La relación M1b / M2b se considera positiva si el componente se flexiona con unaúnica curvatura y negativo si se flexiona en doble curvatura. Para todos los demás casos Cm se deberá tomar como 1.0. En las estructuras que no están arriostradas contra el desplazamiento lateral, loselementos flexionados y unidades de la fundación que forman pórticos con el elementocomprimido se deberán diseñar para la sumatoria de los momentos de extremo delelemento comprimido en la unión. Si los elementos comprimidos están sujetos a flexión respecto de ambos ejesprincipales, el momento respecto de cada eje se deberá amplificar aplicando δ,determinado a partir de las correspondientes condiciones de restricción respecto dedicho eje. Si un grupo de elementos comprimidos en un nivel comprende un caballete, o siestán conectados de manera integral a la misma superestructura, y resisten eldesplazamiento lateral de la estructura colectivamente, el valor de δs se deberá calcularpara el grupo de elementos con ΣPu y ΣPe igual a las sumatorias para todas lascolumnas del grupo.
  • VI-7PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén8. FACTOR DE LONGITUD EFECTIVA, K (Art. 4.6.2.5) Las longitudes físicas de las columnas se deberán multiplicar por un factor delongitud efectiva, K, para tomar en cuenta condiciones de borde rotacionales ytraslacionales diferentes a las correspondientes a extremos articulados. En ausencia de un análisis más refinado, si hay estabilidad lateral por arriostramientodiagonal u otros medios adecuados, el factor de longitud efectiva en el planoarriostrado, K, para los elementos comprimidos de cerchas trianguladas, cerchas ypórticos se puede tomar como:- Para conexiones abulonados o soldadas en ambos extremos: K = 0.75- Para conexiones articuladas en ambos extremos K = 0.875 Las cerchas vierendeel se deberán tratar como pórticos no arriostrados. La estabilidad lateral de las columnas de pórticos continuos, no arriostrados porunión a muros de cortante, arriostramiento diagonal o estructuras adyacentes, dependede la rigidez flexional de las vigas rígidamente conectadas. Por lo tanto, el factor delongitud efectiva, K, es función de la restricción flexional total que aportan las vigas enlos extremos de la columna. Si la rigidez de las vigas es pequeña en relación con la dela columna, el valor de K podría ser mayor que 2.0. Suponiendo que sólo hay acción elástica y que todas las columnas pandeansimultáneamente en un pórtico no arriostrado, se puede demostrar que:
  • VI-8PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén 2 π π G a Gb   − 36 K  = K (C4.6.2.5-1) 6 (G a + G b ) π tan  K Los subíndices a y b se refieren a los dos extremos de la columna, siendo: I  Σ c  L  G=  c (C4.6.2.5-2)  Ig  Σ   Lg   donde:Σ = sumatoria de las propiedades de los componentes conectados rígidamente a un extremo de la columna en el plano de flexión.Ic = momento de inercia de la columnaLc = longitud no arriostrada de la columnaIg = momento de inercia de la viga u otro elemento que provee restricciónLg = longitud no apoyada de la viga y otro elemento que provee restricciónK = factor de longitud efectiva para la columna considerada. La Figura C1 es una representación gráfica de la relación entre K, Ga y Gb, y sepuede utilizar para obtener los valores de K en forma directa. La Ecuación C1 y el nomograma de la Figura C1 se basan en la hipótesis decondiciones idealizadas.
  • VI-9PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén
  • VI-10PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén PROBLEMASPROBLEMA VI.1 Diseñar el pilar central de un puente ubicado en una zona no sísmica,constituido por dos columnas circulares y una viga travesaño rectangular. Utilizar f’c=210 kg/cm² y fy= 4200 kg/cm². Se precisan los esfuerzos críticos:VigaMu = -145 T-m (estado de Resistencia I) T-Mu = +138 T-m (estado de Resistencia I) T-Ms = -95 T-m (estado de Servicio I) T-Vu = 200 T (estado de Resistencia I)Columna (estado de Resistencia V)Pu = -350 T Plano del Pórtico Sentido TransversalMu = 90 T-m T- Mu = 35 T-mMdu = 13 T-m T- Mdu = 10 T-m 10 Viga 1.00m x1.00m 1.00 1.00 Columnas Ø 0.90m Ø 0.90m 6.00m ZapatasSolución.-Solución.-A) DISEÑO DE LA VIGA DEL PÓRTICOA.1) Acero requerido en flexión Estribos Ø 5/8" 9 Ø 1"Sección propuesta 1.00para Mu =-145 T-m y Mu =+138 T-m: 9 Ø 1" z 1.00
  • VI-11PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez SerquénLuego: z = rec + Ø est + Ø/2 = 5.0 cm + 1.59 cm + (2.54/2) cm = 7.86 cm d = 100 cm – 7.86 cm = 92.14 cm As = 9 Ø1” = 9 x 5.10 cm² = 45.90 cm² A s fyCon a = (5.7.3.1.1-4) 0.85 fc b 45.90 x 4200 a= = 10.80 cm 0.85 x 210 x 100 a Mu = A s Ø fy (d − ) (5.7.3.2.2-1) 2 10.80 Mu = 0.9(45.90)(4200)(92.14 − ) = 150.50 T − m 2Luego Mu = 150.50 T-m > Mu (-) =145 T-m OK! > Mu (+)=138 T-m OK!A.2) As máximo (Art. 5.7.3.3.1) Una sección no sobre reforzada cumple con: c /de ≤ 0.42 Como: c = a / β1 = 10.80 / 0.85 = 12.71 cm de = 92.14 cm c /de = 0.14 ≤ 0.42 OK!A.3) As mínimo (Art. 5.7.3.3.2) La cantidad de acero proporcionado debe ser capaz de resistir el menor valor de1.2Mcr y 1.33Mu: a) 1.2Mcr = 1.2fr S = 1.2(29.13 kg/cm2)(166,667 cm3) = 58.26 T-m Siendo: fr = 0.63 fc MPa = 2.01 fc kg / cm2 = 2.01 210 = 29.13 kg / cm2 S = bh /6 = 100(100) /6 = 166,667 cm3 2 2 b) 1.33 Mu= 1.33(145 T-m) = 192.85 T-m El menor valor es 58.32 T-m y la cantidad de acero propuesta (45.90 cm2) resiste Mu=150.50 T-m > 58.26 T-m OK!
  • VI-12PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez SerquénA.4) Limitación de la fisuración mediante distribución de la armadura (estado límite de Servicio) (Art. 5.7.3.4)Esfuerzo máximo del acero: Z fsa = ≤ 0.6fy (5.7.3.4-1) (d c A )1/ 3Para el acero negativo: Ø bd c = recub4 Øestribo + + 144 2444 3 ≤ 5 cm ( Art.5.7.3.4 ) 2 dc 2.54 dcd c = 5cm41.44 + 14+259cm3 cm ≤ 5 cm 2 100 cmdc = 5cm + 1.27cm = 6.27cmb = ancho de la viga = 100 cmnb = número de varillas = 9 100 cm (2d c )b (2x6.27cm)( 100)A= = = 139.33 cm2 (Art. 5.7.3.4) nb 9Z = 30,000 N/mm (condición de exposición moderada) (Art. 5.7.3.4) = 30,591 Kg/cmLuego: 30,591kg / cm fsa = = 3,200 kg / cm2 (6.27cm x 139.33cm2 )1/ 3 fsa ≤ 0.6(4200kg / cm2 ) = 2,520 kg / cm2 fsa = 2,520 kg / cm2Esfuerzo del acero bajo cargas de servicio Ms c fs = n ISiendo:Ms= 95x105 kg-cmEs =200,000 MPa = 2’039,400 kg/cm2 (5.4.3.2)E c = 15,344 fc = 15,344 210 = 222, 356 kg / cm2 (5.4.2.4-1)
  • VI-13PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén E s 2039,400 kg / cm2n= = =9 Ec 222,356 kg / cm2 Ast= n As = 413.10 cm² (fs / n) 7.86 (+)c=92.14 - y 92.14 100 cm E.N. y (-) f c 100 cmÁrea de acero transformada:Ast = relación modular x área de aceroAst = 9(45.90 cm2) = 413.10 cm2Momentos respecto del eje neutro para determinar y:100y (y/2) = 413.10 (92.14-y)y = 23.77 cmInercia respecto del eje neutro de sección transformada: by 3I = A st (d s − y )2 + 3 100 (23.77) 3 = 413.10 (92.14 − y )2 + 3 = 2’378,697 cm4c= 92.14 cm – 23.77 cm = 68.37 cmLuego: Ms c 95 x 105 x 68.37 fs = n= x 9 = 2,457 kg / cm2 I 2 378, 697 fs = 2, 457 kg / cm2 < fsa = 2, 520 kg / cm2 OK !A.5) Armadura de contracción y temperatura en caras laterales (Art. 5.10.8) Ag A s temp = 0.756 [SI] (5.10.8.2-1) Fy A s temp = 0.0018 A g [MKS, con fy = 4200 kg / cm2 ]
  • VI-14PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén A s temp = 0.0018x 100 = 18.0 cm2 100x A s temp = 9.0 cm2 / caraUsaremos por cara: 2 Ø 3/4”+ 2 Ø 5/8” (9.68 cm2) , con la consideración: s máx = 3t = 3 ( 100) = 300 cm y s máx = 45 cm OK! 9Ø1" 2Ø 3/4" 2Ø 3/4" + 2Ø 5/8" 100 cm + 2Ø 5/8" 9Ø1" 100 cmA.6) Armadura superficial para limitar la fisuración del alma (Art. 5.7.3.4)Para de > 90 cm : A s + A ps A sk ≥ 0.001(d e − 760) ≤ (5.7.3.4-4) 1200donde:As = área de la armadura de tracción = 9x5.10cm² = 45.9cm² = 4590 mm²Ap = área del acero de pre-esfuerzo = 0 4590 mm2 A sk ≥ 0.001(921.4 − 760) ≤ 1200 mm mm2 mm2 A sk ≥ 0.161 ≤ 3.825 mm de altura mm cm2 A sk ≥ 0.0161 cm de alturaAsk requerido por cara: cm2 A sk = 0.0161 x100cm = 1.61cm2 cm de alturaSuministrado: 2 Ø 3/4”+ 2 Ø 5/8” =9.68 cm2 > 1.61cm² OK!
  • VI-15PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez SerquénA.7) Diseño por Corte Cortante actuante : Vu = 200,000 kg Cortante resistente : V r = Ø Vn (5.8.2.1-2) Ø = 0.9 (5.5.4.2) Vn = Vc+Vs+ Vp (5.8.3.3.-1) siendo Vn el menor de: Vn = 0.25f’cbvdb + Vp (5.8.3.3-2) Donde: Cortante resistente concreto Vc = 0.083β fc b v d v [N] (5.8.3.3-3) para β=2 (Art. 5.8.3.4): Vc = 0.53 fc b v d v [kg] A v fy d v (cot θ + cot α)senα Cortante resistente acero: Vs = (5.8.3.3-4) s con ᒕ = 45° (Art. 5.8.3.4) A v fy d v α = 90° (ángulo de inclinación del estribo) Vs = s Cortante resistente concreto (Vc) Vc = 0.083β fc b v d v [N] = 0.53 fc b v d v [kg] = 0.53 210 ( 100 x86.74) Vc = 66,620 kg siendo: bv = ancho de la viga= 100 cm a 10.80 d v = de − = 92.14 − = 86.74 cm 2 2 no menor que el mayor valor de 0.9de = 0.9(92.14 cm) = 82.93 cm OK! 0.72h = 0.72(100 cm) = 72 cm Cortante resistente del acero A v fy d v (cot θ + cot α)senα A v fy d v 8(4200)(86.74) Vs = = = = 166, 541kg s s 17.5 Estribos: 4 ramas Ø 5/8"
  • VI-16PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquéndonde:Av = 4 x 2.00 cm² = 8 cm² (asumiendo 4 ramas Ø 5/8”)s = 17.5 cm (espaciamiento asumido de estribos)ᒕ = 45° (sección no presforzada) (5.8.3.4)α = 90° (ángulo de inclinación del estribo)Cortante nominal resistenteEl menor valor de Vn = 66,620 kg + 166,541 kg + 0 = 233,161 kg Vn = 0.25 x 210 x 100 x 86.74 + 0 = 455,385 kgLuego Vn = 233,161 kgCortante resistente totalVr = ØVn = 0.9(233,161 kg) = 209,845 kg > 200,000 Kg OK!Refuerzo transversal mínimo bv s A v ≥ 0.083 fc [mm2 ] (5.8.2.5-1) fy bvs = A v ≥ 0.27 fc [cm2 ] fy 100( .5) 17 A v ≥ 0.27 210 cm2 4200 A v mín = 1.63 cm² < 8.00 cm² OK !Espaciamiento máximo del refuerzo transversal (Art. 5.8.2.7) Vu − φVp vu = (5.8.2.9-1) φb v d v Vu 200,000vu = = = 25.62 kg / cm² φb v d v 0.9( 100)(86.74)También: si vu < 0.125f’c smáx= 0.8dv ≤ 60 cm (5.8.2.7-1) si vu ≥ 0.125f’c smáx= 0.4dv ≤ 30 cm (5.8.2.7-2)Como vu = 25.62 kg/cm² < 0.125(210 kg/cm²) = 26.25 kg/cm² smáx= 0.8dv = 0.8(86.74 cm)= 69.39 cm smáx= 60 cm Luego s = 17.5 cm < smáx= 60 cm OK!
  • VI-17PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez SerquénB) DISEÑO DE COLUMNAColumna propuesta: 12 Ø 1" Estribos Ø3/8" @ 0.30 m 0.90 mDiámetro de columna = 90 cm π(90)2Ag = = 6,362 cm2 4r = recubrimiento = 5 cm (Tabla 5.12.3-1)As = 12(5.10 cm²) = 61.2 cm²Propuesta de estribos cerrados: Ø 3/8 @ 0.30 m (Art. 5.10.6.3)B.1) Refuerzo máximo de miembros a compresión A s A ps fpu + ≤ 0.08 (5.7.4.2-1) Ag A g fy As 61.2 cm2 ≤ 0.08 → = 0.0096 < 0.08 OK ! Ag 6362 cm2B.2) Refuerzo mínimo de miembros a compresión A s fy A ps fpu + ≥ 0.135 (5.7.4.2-3) A f g c A g fc A s fy 61.2 x 4200 ≥ 0.135 → = 0.192 > 0.135 OK ! A f g c 6362 x 210B.3) EsbeltezEn el plano del pórtico (no arriostrado)
  • VI-18PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén KL u 1.2(600) = = 32 > 22 → columna esbelta (5.7.4.3) r 22.5donde: K = 1.2 (Tabla C4.6.2.5-1) L = 600 cm r = d/4 = 90 cm/4 = 22.5 cmEn plano transversal al pórtico (no arriostrado) KL u 2.1600) ( = = 56 > 22 → columna esbelta (5.7.4.3) r 22.5donde: K = 2.1 (Tabla C4.6.2.5-1) L = 600 cm r = d/4 = 90 cm/4 = 22.5 cmB.4) Capacidada) En el plano del pórtico Mcp = δ b M2b + δ s M2s (4.5.3.2.2b-1)siendo: Cm δb = ≥ 1.0 (4.5.3.2.2b-3) P 1− u ØPe 1 δs = ≥ 1.0 (4.5.3.2.2b-4) ΣPu 1− ØΣPeCálculo de dbCm = 1.0Pu = 350 TØ = 0.75 (Art. 5.5.4.2)
  • VI-19PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén π2EIPe = (4.5.3.2.2b-5) (KL u )2donde:K = 1.2Lu = 600cmEI = el mayor valor de: E cIg + E sIs EI = 5 (5.7.4.3-1) 1+ β d E cIg EI = 2.5 (5.7.4.3-2) 1+ β d Por simple inspección, despreciando EsIs , el mayor valor es: E c Ig 222, 356 (3 220, 623)EI = 2.5 = = 2.504x 11 kg − cm2 10 1+ β d 2.5 ( + 0.144) 1 E c = 15,344 fc = 15,344 210 = 222, 356 kg / cm2 (5.4.2.4-1) πd 4 π(90) 4 I= = = 3 220, 623 cm 4 64 64 Mdu 13 T − m βd = = = 0.144 Mu 90 T − mLuego: π2EI π2 (2.504x 11) 10Pe = 2 = = 4, 767 T (KL u ) ( .2x600)2 1 Cm 1.0 δb = = = 1.11 ≥ 1.0 Pu 350 T 1− 1− ØPe 0.75 (4, 767 T )Cálculo de ds 1 δs = ≥ 1.0 (4.5.3.2.2b-4) ΣPu 1− ØΣPeUsando Pu y Pe por simplicidad, en vez de ΣPu y ΣPe , tendremos:
  • VI-20PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén δ s = 1.11 ≥ 1.0Luego: Mcp = δ b M2b + δ s M2s = 1.11(M2b + M2s ) = 1.1190T ) = 99.9 T − m (b) En plano transversal Mcp = δ b M2b + δ s M2s (4.5.3.2.2b-1)siendo: Cm δb = ≥ 1.0 (4.5.3.2.2b-3) P 1− u ØPe 1 δs = ≥ 1.0 (4.5.3.2.2b-4) ΣPu 1− ØΣPeCálculo de dbCm = 1.0Pu = 350 TØ = 0.75 π2EIPe = (4.5.3.2.2b-5) (KL u )2Donde:K = 2.1Lu = 600cmEI = el mayor valor de: E cIg + E sIs EI = 5 (5.7.4.3-1) 1+ β d E cIg EI = 2.5 (5.7.4.3-2) 1+ β d Por simple inspección, despreciando EsIs , el mayor valor es: E c Ig 222, 356 (3 220, 623)EI = 2.5 = = 2.227x 11 kg − cm2 10 1+ β d 2.5 ( + 0.286) 1 E c = 222, 356 kg / cm2con Ig = 3 220, 623 cm 4 Mdu 10 T − m βd = = = 0.286 Mu 35 T − m
  • VI-21PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén π2EI π2 (2.227x 11) 10Pe = 2 = = 1 384 T , (4.5.3.2.2b-5) (KL u ) (2.1 600)2 x Cm δb = ≥ 1.0 (4.5.3.2.2b-3) Pu 1− ØPe 1.0 δb = = 1.51 ≥ 1.0 350T 1− 0.75 ( , 384T ) 1Cálculo de ds 1 δs = ≥ 1.0 (4.5.3.2.2b-4) ΣPu 1− ØΣPeUsando Pu y Pe por simplicidad, en vez de ΣPu y ΣPe , tendremos: δ s = 1.51 ≥ 1.0Luego: Mct = δ b M2b + δ s M2s (4.5.3.2.2b-1) Mct = 1.51(M2b + M2s ) = 1.51(35T ) = 52.85 T − mEl momento combinado es:Mu = M2 + M2 = 99.92 + 52.852 = 113.02 T − m cp ctPu = 350 TDiagrama de interacción de la columna circularConsiderando que: 2Pu− Si 0.1fc A g > Pu → Ø = − + 0.9 (Art. 5.5.4.2) fc A g− Si 0.1fc A g < Pu → Ø = 0.75donde :0.1f’cAg = 0.1(210 kg/cm²)(6362 cm²) = 133.60 T
  • VI-22PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez SerquénSe tienen los siguientes resultados en forma gráfica y tabulada: P (T) M (T-m) P (T) M (T-m) 828.96 63.02 346.19 118.18 791.29 71.99 296.73 116.14 741.83 82.29 247.28 112.17 692.38 90.96 197.82 106.46 642.92 98.30 148.37 99.01 593.47 104.42 0 79.03 544.01 109.21 -59.14 61.59 494.55 113.08 -118.29 42.32 445.10 116.04 -177.43 21.21 395.64 118.29 -231.37 0Como se aprecia en el diagrama de interacción de la columna circular, Pu = 350 T , yMu = 113.02 T − m , están dentro de la zona de resistencia por lo que la propuestade acero y geometría de la sección son adecuados.Cálculo de estribosSe utilizarán estribos cerrados Ø 3/8” @ 0.30 en forma de zuncho, distribuciónque cumple con no ser mayor que la menor dimensión de la columna ni 30 cm.(Art. 5.10.6.3).
  • VII-1PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén CAP VII: LÍNEAS DE INFLUENCIA EN VIGAS VII II:DEFINICIÓNDEFINICIÓNUna línea de influencia es la expresión gráfica de la variación de un esfuerzo en relacióna una carga móvil unitaria desplazándose sobre una estructura. En estructurasisostáticas se expresan como líneas rectas; en estructuras hiperestáticas como curvas.A continuación veremos un modo de construcción de líneas de influencia en vigas.1. CASO DE VIGAS ISOSTÁTICAS a) Línea de Influencia de la reacción en el apoyo A X 1 C A B D a L b RA RB Tomando como origen cartesiano el punto A, posicionamos una carga móvil unitaria sobre la viga para determinar las expresiones: Carga en el tramo AB (0≤ X ≤ L) Tomando momentos en B: R A (L ) −1 L − X) = 0 (( L−X Luego: RA = L Carga en el tramo CA (-a ≤ X ≤ 0) 1 -X C A B D a L b RA RB Tomando momentos en B: R A (L ) −1 L − X) = 0 (( L−X Luego: RA = L
  • VII-2PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén Carga en el tramo BD (L ≤ X ≤ L+b) 1 X C A B D a L b RA RB Tomando momentos en B: R A (L ) +1 X − L ) = 0 ( L−X Luego: RA = L La línea de influencia de la reacción en el apoyo A entonces se expresa como la L−X recta R A = , cuya gráfica se muestra: L X 1 C A B D a L b R R A B L+a +1 L + D -b L.I. de R A C A B L +1 L+b + L -a L.I. de R B L C A B D b) Línea de Influencia de la reacción en el apoyo B Del mismo modo, tomando como origen cartesiano el punto A, posicionamos la carga móvil unitaria sobre la viga para determinar las expresiones: Carga en el tramo AB (0≤ X ≤ L) X Tomando momentos en A: RB = L Carga en el tramo CA (-a ≤ X ≤ 0) X Tomando momentos en A: RB = L
  • VII-3PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén Carga en el tramo BD (L ≤ X ≤ L+b) X Tomando momentos en A: RB = L La línea de influencia de la reacción en el apoyo B se expresa como la recta X RB = , la misma que se muestra en el gráfico precedente. L c) Línea de Influencia del cortante en la sección E Carga en el tramo CE (-a ≤ X ≤ m) L−X X VE = R A −1 = −1 = − L L Carga en el tramo ED (m ≤ X ≤ L+b) L−X VE = R A = L La línea de influencia del cortante en la sección E se expresa como el área delimitada por dos rectas paralelas escindidas en E que pasan por los apoyos A y B como se muestra en el gráfico: X 1 C A E B D R m n R A B a L b +n L +a L + D L.I. de V E C A B -b -m L L d) Línea de Influencia del momento flector en la sección E Carga en el tramo CE (-a ≤ X ≤ m) ME = R A (m) −1(m − x) = R B (n) X ME = .n L
  • VII-4PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén Carga en el tramo ED (m ≤ X ≤ L+b) L−X ME = R A (m) = ( ).m L La línea de influencia del momento flector en la sección E se expresa gráficamente como: X 1 C A E B D R m n RB A a L b +nm L + C D L.I. de M E A B -bm -an L L
  • VII-5PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez SerquénEJEMPLO VI1.1 En la viga mostrada determine el momento flector en E utilizando sulínea de influencia. 9T 2T/m C E B D A 4m 6m 3m 10m 2mSolución.-Solución.-Después de construir la línea de influencia del momento flector en la sección E, para lascargas dadas tenemos: 9T 2T/m C E B D A 4m 6m 3m 10m 2m R A +4(6) =2.4m 10 + C D L.I. de M E A B -4(2) -3(6)=-1.8m =-0.8m 10 10 [ ]ME = 2T / m Área + 9T(Ordenada)ME = 2T / m[− ½ x1.8m x 3m] + 9T( +2.4m) = −16.20T − m
  • VII-6PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén2. CASO DE VIGAS HIPERESTÁTICAS Aplicamos el principio de Müller-Breslau que refiere si una reacción o fuerza interna actúa a lo largo de un desplazamiento producido, el perfil deformado es, a cierta escala, la línea de influencia para la reacción en particular o fuerza interna.EJEMPLO VI1.2 En la viga mostrada determine la línea de influencia de la reacción en el deapoyo B. X 1 A B C 6m 4mSolución.-Solución.- Procedimiento: a) Expresamos la reacción en el apoyo B como una fuerza externa F1 para obtener el siguiente modelo: X 1 F 1 A B C 6m 4m b) El modelo tomado puede expresarse como: X 1 1 A B C A B C a + P 1P a F 11 1 6m 4m 6m 4m Donde P es un punto cualquiera de la viga. Podemos plantear la siguiente ecuación: a1P + a11F = 0 1
  • VII-7PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén Como: a1P = aP1 (Teorema de Maxwell acerca de deflexiones recíprocas) F = −R B 1 Luego: aP1 + a11( −R B ) = 0 aP1 RB = a11 Es decir la línea de influencia de la reacción en el apoyo B es proporcional a la ecuación de la elástica aP1 como lo señala el principio de Müller-Breslau. c) Para obtener RB calculamos la ecuación de la elástica aP1 así como la deflexión a11 por cualquier método disponible. En este caso usamos el método de la viga conjugada: 1 A P B C a a P1 11 0.4 0.6 6m 4m VIGA CONJUGADA: 2.4 X (10-X)0.6 + A C 0.4X 2 B 8/3 7.2 4.8 R R (10-X) C A Tomando momentos en C’: RA’(10) - 7.2(6) - 4.8(8/3) = 0 RA’ = 5.6 Como RA’ + RC’ = 12 RC’ = 6.4 Cálculo de a11: a11(EI) = MB = 5.6(6) − 7.2(2) = 19.2
  • VII-8PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén Cálculo de aP1: Tramo AB (0 ≤ X ≤ 6): 1 X aP1(EI) = R A X − X(0.4X) 2 3 0.2 3 aP1(EI) = 5.6X − X 3 Tramo BC (6 ≤ X ≤ 10): Tomando momentos hacia la derecha: 1 ( − X) 10 aP1(EI) = R C ( − X) − 10 ( − X)( − X)0.6 10 10 2 3 aP1(EI) = 6.4( − X) − 0.1( − X) 3 10 10 d) Para la construcción de RB tenemos: Tabulación de valores: Tramo AB (0 ≤ X ≤ 6): X (m) RB 0 0 1 0.2 3 RB = (5.6X − X ) 1 0.289 19.2 3 2 0.556 3 0.781 Tramo BC (6 ≤ X ≤ 10): 4 0.944 1 5 1.024 RB = 19.2 [ 6.4( − X) − 0.1 − X) 3 10 ( 10 ] 6 1.000 7 0.859 8 0.625 9 0.328 10 0 Gráfica:
  • VII-9PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez SerquénEJEMPLO VI1.3 En la viga mostrada determine la línea de influencia de la reacción en el VI1.3apoyo C. X 1 A B C 6m 4mSolución.-Solución.- Procedimiento: a) Expresamos la reacción en el apoyo C como una fuerza externa F1 para obtener el siguiente modelo: X 1 F 1 A B C 6m 4m b) El modelo tomado puede expresarse como: X 1 F 1 A P a A B 1P + B C C a F 1 11 6m 4m 6m 4m Donde P es un punto cualquiera de la viga. Podemos plantear la siguiente ecuación: a1P + a11F = 0 1 Como: a1P = aP1 (Teorema de Maxwell acerca de deflexiones recíprocas) F = −R C 1 Luego: aP1 + a11( −R C ) = 0 aP1 RC = a11
  • VII-10PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén c) Para obtener RC calculamos la ecuación de la elástica aP1 así como la deflexión a11 por cualquier método disponible. En este caso usamos el método de la viga conjugada: P 1 A a B C P1 a 11 6m 4m VIGA CONJUGADA: X (10-X) 12 8 2 8/3 A B C M C R R -2X -(10-X) C A 3 -4 Tomando momentos en la articulación B’: RA’(6) + 12(2) = 0 RA’ = -4 Como RA’ + RC’ + 20 = 0 RC’ = -16 También: MC’ = RA’(10) + 12(6) + 8(8/3) MC’ = 53.33 Cálculo de a11: a11(EI) = MC = 53.33 Cálculo de aP1: Tramo AB (0 ≤ X ≤ 6): 1 2 X aP1(EI) = R A ( X) + X( X) 2 3 3 1 3 aP1(EI) = −4X + X 9
  • VII-11PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén Tramo BC (6 ≤ X ≤ 10): Tomando momentos a la derecha: 1 ( − X)2 ( − X) 10 10 aP1(EI) = MC + . + R C ( − X) 10 2 3 ( − X) 3 10 aP1(EI) = 53.33 + −16 ( − X) 10 6 d) Para la construcción de RC tenemos: Tabulación de valores: Tramo AB (0 ≤ X ≤ 6): X (m) RC 0 0 1  X3  1 -0.073 RC = − 4X +  53.33   9  2 -0.133 3 -0.169 Tramo BC (6 ≤ X ≤ 10): 4 -0.167 5 -0.115 1  1 3  RC = 53.33 + 6 ( − X) −16( − X) 10 10 6 0 53.33   7 0.184 8 0.425 9 0.703 10 1 Gráfica:
  • VII-12PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez SerquénEJEMPLO VI1.4 En la viga mostrada determine la línea de influencia del momento mostradaflector en la sección D. X 1 A B D C 3m 1.5m 1.5mSolución.-Solución.- Procedimiento: a) Liberamos al punto D en la viga de su capacidad de flexión instalando una rótula como se muestra. Así mismo expresamos la flexión liberada en ese punto como un momento externo F1 para obtener el siguiente modelo: X 1 A B F F 1 1 C 3m 1.5m 1.5m b) El modelo tomado puede expresarse como: X 1 a 1P a A P B 11 D C + A B C F 1 1 1 3m 1.5m 1.5m 3m 1.5m 1.5m Donde P es un punto cualquiera de la viga. En función del ángulo entre tangentes en el punto de inflexión D, podemos plantear la siguiente ecuación: a1P + a11F1 = 0 Como: a1P = aP1 (Teorema de Maxwell acerca de deflexiones recíprocas) F = MD 1 Luego: aP1 + a11(MD ) = 0 Es decir: aP1 MD = − a11
  • VII-13PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén c) Para obtener MD calculamos la ecuación de la elástica aP1 así como la deflexión a11 por cualquier método disponible. En este caso usamos el método de la viga conjugada: X a 11 A a B P1 C 1 1 3m 1.5m 1.5m VIGA CONJUGADA: 1 2 2 2(6-X) 2X 3 3 + A D C 3 B 3 R R R A D C 3 1.5 1.5 X (6-X) (4.5-X) Tomando momentos en la articulación B’, a la izquierda: RA’(3) - 3(1) = 0 RA’ = 1 Tomando momentos en el apoyo C’: RA’(6) + RD’(1.5) - 3(4) - 3(2) = 0 RD’ = 8 Como RA’ + RD’ + RC’ = 6 RC’ = -3 Cálculo de a11: a11(EI) = R D = 8 Cálculo de aP1: Tramo AB (0 ≤ X ≤ 3): 1 2 X aP1(EI) = R A ( X) − X( X) 2 3 3 1 3 aP1(EI) = X − X 9
  • VII-14PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén Tramo BD (3 ≤ X ≤ 4.5): Tomando momentos a la derecha: 1 2 1 aP1(EI) = (4.5 − X)R D + (6 − X)R C − (6 − X) (6 − X) (6 − X) 2 3 3 (6 − X) 3 aP1(EI) = 8(4.5 − X) − 3(6 − X) − 9 Tramo DC (4.5 ≤ X ≤ 6): Tomando momentos a la derecha: (6 − X)3 aP1(EI) = R C (6 − X) − 9 (6 − X) 3 aP1(EI) = −3(6 − X) − 9 d) Para la construcción de MD tenemos: Tabulación de valores: Tramo AB (0 ≤ X ≤ 3): X (m) MD 1 X3  0 0 MD = −  X −  8  9  0.75 -0.088 1.50 -0.141 Tramo BD (3 ≤ X ≤ 4.5): 2.25 -0.123 3.00 0 1 1 3 MD = − 8(4.5 − X) − 3(6 − X) − 9 (6 − X)  3.75 0.252 8  4.50 0.609 5.25 0.287 Tramo DC (4.5 ≤ X ≤ 6): 6.00 0 1 1  MD = 3(6 − X) + (6 − X) 3  8  9  Gráfica:
  • VII-15PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez SerquénEJEMPLO VI1.5 En la viga mostrada determine la línea de influencia del momentoflector en el apoyo B. X 1 A B C 3m 3mSolución.-Solución.- Procedimiento: a) Liberamos al apoyo B en la viga de su capacidad de flexión instalando una rótula como se muestra. Así mismo expresamos la flexión liberada en ese punto como un momento externo F1 para obtener el siguiente modelo: X 1 A F B F 1 1 C 3m 3m b) El modelo tomado puede expresarse como: X 1 A P a 1 1 C B 1P C + A B a 11 F 1 3m 3m 3m 3m Donde P es un punto cualquiera de la viga. En función del ángulo entre tangentes en el punto de inflexión B, podemos plantear la siguiente ecuación: a1P + a11F = 0 1 Como: a1P = aP1 (Teorema de Maxwell acerca de deflexiones recíprocas) F = MB 1
  • VII-16PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén Luego: aP1 + a11(MB ) = 0 Es decir: aP1 MB = − a11 c) Para obtener MB calculamos la ecuación de la elástica aP1 así como la deflexión a11 por cualquier método disponible. En este caso usamos el método de la viga conjugada: X 1 1 C A P B a a 11 P1 3m 3m VIGA CONJUGADA: 1 1 X +1 X 1(6-X) 3 1.5 + 1.5 3 A B C 3 R 3 R R B (6-X) C A Tomando momentos en la articulación B’, a la izquierda: RA’(3) – 1.5(1) = 0 RA’ = 0.5 Tomando momentos en la articulación B’, a la derecha: RC’ = 0.5 Como RA’ + RB’ + RC’ = 3 RB’ = 2 Cálculo de a11: a11(EI) = R B = 2 Cálculo de aP1: Tramo AB (0 ≤ X ≤ 3): 1 1 X aP1(EI) = R A ( X) − X( X) 2 3 3
  • VII-17PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén 1 3 aP1(EI) = 0.5X − X 18 Tramo BC (3 ≤ X ≤ 6): Tomando momentos a la derecha: 1 1 1 aP1(EI) = R C (6 − X) − (6 − X) (6 − X) (6 − X) 2 3 3 (6 − X) 3 aP1(EI) = 0.5(6 − X) − 18 d) Para la construcción de MB tenemos: Tabulación de valores: Tramo AB (0 ≤ X ≤ 3): X (m) MB 1 X3  0 0 MB = − 0.5X −  2 18  0.75 -0.176 1.50 -0.281 Tramo BC (3 ≤ X ≤ 6): 2.25 -0.246 3.00 0 1 1  3.75 -0.246 MB = − 0.5(6 − X) − (6 − X)3  2  18  4.50 -0.281 5.25 -0.176 6.00 0 Gráfica:
  • VII-18PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez SerquénEJEMPLO VI1.6 En la viga mostrada determine la línea de influencia del cortante en la líneasección E. X 1 A E B C 1.5m 1.5m 3mSolución.-Solución.- Procedimiento: a) En la viga liberamos a la sección E de su capacidad de corte para expresarla como las fuerzas externas F1 y así obtener el siguiente modelo: X 1 A F 1 B C F E 1 1.5m 1.5m 3m b) El modelo tomado puede expresarse como: a 1 11 a 1 A 1P B P C + A B C E 1 E F 1 1.5m 1.5m 3m 1.5m 1.5m 3m Donde P es un punto cualquiera de la viga. En función del desplazamiento entre puntos del corte en E, podemos plantear la siguiente ecuación: a1P + a11F = 0 1 Como: a1P = aP1 (Teorema de Maxwell acerca de deflexiones recíprocas) F = VE 1 Luego: aP1 + a11(VE ) = 0
  • VII-19PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén Es decir: aP1 VE = − a11 c) Para obtener VE calculamos la ecuación de la elástica aP1 así como la deflexión a11 por cualquier método disponible. En este caso usamos el método de la viga conjugada: 1.5 a A 11 1 B P C a P1 1.5 R =1 1 R R A B C 1.5m 1.5m 3m VIGA CONJUGADA: 1 1 X M =+3 B X (6-X) + A B C M E 4.5 4.5 E 1.5m 1.5m 3m R R (6-X) C A Tomando momentos en la articulación B’, a la derecha: RC’(3) – 4.5(1) = 0 RC’ = 1.5 Haciendo sumatoria de fuerzas verticales: RA’ + RC’ = 9 RA’ = 7.5 Tomando momentos en el apoyo C’: RA’(6) - ME’ – 4.5(4) – 4.5(2) = 0 ME’ = 18 Cálculo de a11: a11(EI) = ME = 18
  • VII-20PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén Cálculo de aP1: Tramo AE (0 ≤ X ≤ 1.5): 1 X aP1(EI) = R A ( X) − X( X) 2 3 1 3 aP1(EI) = 7.5X − X 6 Tramo EB (1.5 ≤ X ≤ 3): X3 aP1(EI) = R A ( X) − − ME 6 X3 aP1(EI) = 7.5X − −18 6 Tramo BC (3 ≤ X ≤ 6): Tomando momentos a la derecha: 1 (6 − X)2 (6 − X) aP1(EI) = R C (6 − X) − 2 3 1 aP1(EI) = 1.5(6 − X) − (6 − X) 3 6 d) Para la construcción de VE tenemos: Tabulación de valores: Tramo AE (0 ≤ X ≤ 1.5): X (m) VE 1  X3  0 0 VE = − 7.5X −  18   6  0.75 -0.309 1.50 -0.594/0.406 Tramo EB (1.5 ≤ X ≤ 3): 2.25 0.168 3.00 0 1  X3  3.75 -0.082 VE = − 7.5X − −18 18   6   4.50 -0.094 5.25 -0.059 Tramo EB (3 ≤ X ≤ 6): 6.00 0 1  1  VE = − 1.5(6 − X) − (6 − X) 3  18   6  Gráfica:
  • VII-21PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez SerquénEJEMPLO VI1.7 En la viga mostrada determine la línea de influencia del momentoflector en la sección E. X 1 A E B C D 1.5m 1.5m 3m 3mSolución.-Solución.- Procedimiento: a) Liberamos a la sección E en la viga de su capacidad de flexión instalando una rótula como se muestra. Así mismo expresamos la flexión liberada en ese punto como un momento externo F1 para obtener el siguiente modelo: X 1 A F E F 1 1 B C D 1.5m 1.5m 3m 3m b) El modelo tomado puede expresarse como: 1 a a A 1P B P C D A 11 B C + D E 1 E 1 F 1 1.5m 1.5m 3m 3m 1.5m 1.5m 3m 3m Donde P es un punto cualquiera de la viga. En función del ángulo entre tangentes a la deformada en el punto de inflexión E, podemos plantear la siguiente ecuación: a1P + a11F = 0 1 Como: a1P = aP1 (Teorema de Maxwell acerca de deflexiones recíprocas) F = ME 1 Luego: aP1 + a11(ME ) = 0
  • VII-22PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén Es decir: aP1 ME = − a11 c) Para obtener ME calculamos la ecuación de la elástica aP1 así como la deflexión a11 por cualquier método disponible. En este caso usamos el método de la viga conjugada: a11 A B P C D aP1 1 1 RA 1.5m E 1.5m 3m 3m VIGA CONJUGADA: X M B (6-X)M B M C MB 3 (9-X)M C X 3MB 3MC 3 + + 3 A E D B (X-3)M C C R R 3 R A E (X-3) (6-X) (9-X) C 1.5m 1.5m 3m 3m Luego, en la viga conjugada se pueden plantear las siguientes cuatro ecuaciones estáticas: ∑ FV = 0 : R A + R E + R C − 3MB − 3MC = 0 (1) 3 ∑ MB, izq = 0 : 3R A +1.5R E − MB = 0 (2) 2 3 ∑ MC, der = 0 : 3R C − MC = 0 (3) 2 ∑ MA = 0 : 9MB +18MC −1.5R E − 9R C = 0 (4) La quinta ecuación la obtenemos de la viga superior, tomando momentos en la articulación E a la izquierda: RA(1.5) –1= 0 RA = 1/1.5 Entonces: MB = RA (3) = 2 (5)
  • VII-23PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén Resolviendo las cinco ecuaciones se obtiene: R A = −2.75 R E = 7.5 R C = −0.25 MB = 2 MC = −0.5 Cálculo de a11: a11(EI) = R E = 7.5 Cálculo de aP1: Tramo AE (0 ≤ X ≤ 1.5): 1 MB X aP1(EI) = R A ( X) − ( .X)X( ) 2 3 3 X3 aP1(EI) = −2.75X − 9 Tramo EB (1.5 ≤ X ≤ 3): X3 aP1(EI) = −2.75X − + R E ( X −1.5) 9 X3 aP1(EI) = −2.75X − + 7.5( X −1.5) 9 Tramo BC (3 ≤ X ≤ 6): 1 1 2 aP1(EI) = R A ( X) + R E ( X −1.5) − (3)MB ( X − 2) − MB ( X − 3) ( X − 3) 2 2 3 1 (6 − X)MB 1 1 M ( X − 3) − ( X − 3) . ( X − 3) − ( X − 3)( X − 3) c 2 3 3 2 3 3 2 ( X − 3)2 (6 − X) ( X − 3) 3 aP1(EI) = −2.75X + 7.5( X −1.5) − 3( X − 2) − ( X − 3)2 − + 3 9 36 Tramo CD (6 ≤ X ≤ 9): Tomando momentos a la derecha: 1 (9 − X)Mc 1 aP1(EI) = R C (9 − X) − (9 − X). . (9 − X) 2 3 3 1 1 aP1(EI) = − (9 − X) + (9 − X) 3 4 36
  • VII-24PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén d) Para la construcción de ME tenemos: Tramo AE (0 ≤ X ≤ 1.5): 1  1 3 ME = − − 2.75X − 9 X  7.5   Tramo EB (1.5 ≤ X ≤ 3): 1  X3  ME = − − 2.75X − + 7.5( X −1.5) 7.5  9  Tramo BC (3 ≤ X ≤ 6): 1  2 2 ( X − 3)2 (6 − X) ( X − 3)3  ME = − − 2.75X + 7.5( X −1.5) − 3( X − 2) − ( X − 3) − +  7.5  3 9 36  Tramo CD (6 ≤ X ≤ 9): 1  1 1  ME = − − (9 − X) + (9 − X)3  7.5  4  36  Tabulación de valores: X (m) ME 0 0 0.75 0.281 1.50 0.600 2.25 0.244 3.00 0 3.75 -0.108 4.50 -0.113 5.25 -0.061 6.00 0 6.75 0.033 7.50 0.038 8.25 0.023 9.00 0 Gráfica:
  • VII-25PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez SerquénEJEMPLO VI1.8 En la viga mostrada determine la línea de influencia del cortante en la VI1.8sección E. X 1 A E B C D 1.5m 1.5m 3m 3mSolución.-Solución.- Procedimiento: a) Liberamos a la sección E en la viga de su capacidad de corte para expresarla como las fuerzas externas F1 y así obtener el siguiente modelo: X 1 A F B C 1 D F 1 E 1.5m 1.5m 3m 3m b) El modelo tomado puede expresarse como: 1 a a 1 A 1P B P C D A 11 B C + D E E F 1 1 1.5m 1.5m 3m 3m 1.5m 1.5m 3m 3m Donde P es un punto cualquiera de la viga. En función del desplazamiento entre los puntos de corte en E de la deformada, podemos plantear la siguiente ecuación: a1P + a11F = 0 1 Como: a1P = aP1 (Teorema de Maxwell acerca de deflexiones recíprocas) F = VE 1
  • VII-26PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén Luego: aP1 + a11(VE ) = 0 Es decir: aP1 VE = − a11 c) Para obtener VE calculamos la ecuación de la elástica aP1 así como la deflexión a11 por cualquier método disponible. En este caso usamos el método de la viga conjugada: 1.5 1 A a B P C 11 D E 1 1.5 a P1 R A 1.5m 1.5m 3m 3m VIGA CONJUGADA: X M B (6-X)M B M C MB 3 (9-X)M C X 3MB 3MC 3 + + 3 A E D M B (X-3)M C C E R 3 R A (X-3) (6-X) (9-X) C 1.5m 1.5m 3m 3m Luego, en la viga conjugada se pueden plantear las siguientes cuatro ecuaciones estáticas: ∑ FV = 0 : R A + R D − 3MB − 3MC = 0 (1) 1 ∑ MB, izq = 0 : 3R A − ME − (3)MB ( ) = 0 1 (2) 2 1 ∑ MC, der = 0 : 3R D − (3)MC (1) = 0 (3) 2 ∑ MD,izq = 0 : 9R A − ME − 3MB (6) − 3MC (3) = 0 (4) La quinta ecuación la obtenemos de la viga superior, con el equilibrio vertical del tramo AE: ∑ FV = 0 : RA –1= 0 RA =1 Entonces: MB = RA (3) = 3 (5)
  • VII-27PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén Resolviendo las cinco ecuaciones se obtiene: R A = 7.125 R D = −0.375 ME = 16.875 MB = 3 MC = −0.75 Cálculo de a11: a11(EI) = ME = 16.875 Cálculo de aP1: Tramo AE (0 ≤ X ≤ 1.5): 1 MB X aP1(EI) = R A ( X) − ( .X)X( ) 2 3 3 X3 aP1(EI) = 7.125X − 6 Tramo EB (1.5 ≤ X ≤ 3): X3 aP1(EI) = 7.125X − − ME 6 X3 aP1(EI) = 7.125X − −16.875 6 Tramo BC (3 ≤ X ≤ 6): 1 1 2 1 (6 − X)MB 1 aP1(EI) = R A ( X) − ME − (3)MB ( X − 2) − MB ( X − 3) ( X − 3) − ( X − 3) . ( X − 3) 2 2 3 2 3 3 1 M ( X − 3) − ( X − 3)( X − 3) c 2 3 3 ( X − 3)2 (6 − X) 0.75 aP1(EI) = 7.125X −16.875 − 4.5( X − 2) − ( X − 3)2 − + .( X − 3) 3 6 18 Tramo CD (6 ≤ X ≤ 9): Tomando momentos a la derecha: 1 (9 − X)Mc 1 aP1(EI) = R D (9 − X) − (9 − X). . (9 − X) 2 3 3 0.75 aP1(EI) = −0.375(9 − X) + (9 − X) 3 18
  • VII-28PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén d) Para la construcción de VE tenemos: Tramo AE (0 ≤ X ≤ 1.5): 1  1 3 VE = − 7.125X − 6 X  16.875   Tramo EB (1.5 ≤ X ≤ 3): 1  X3  VE = − 7.125X − −16.875 16.875   6   Tramo BC (3 ≤ X ≤ 6): 1  2 ( X − 3)2 (6 − X) 0.75  VE = − 7.125X −16.875 − 4.5( X − 2) − ( X − 3) − + .( X − 3)2  16.875   6 18   Tramo CD (6 ≤ X ≤ 9): 1  0.75  VE = − − 0.375(9 − X) + (9 − X) 3  16.875   18  Tabulación de valores: X (m) VE 0 0 0.75 -0.3125 1.50 -0.6/+0.4 2.25 0.1625 3.00 0 3.75 -0.0719 4.50 -0.0750 5.25 -0.0410 6.00 0 6.75 0.0219 7.50 0.0250 8.25 0.0156 9.00 0 Gráfica:
  • VII-29PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén EJEMPLO VI1.9 En la viga mostrada determine la línea de influencia del momento VI1.9 líneaflector en la sección E. X A B E C D 3m 1.5m 1.5m 3mSolución.-Solución.- Procedimiento: a) Liberamos a la sección E en la viga de su capacidad de flexión instalando una rótula como se muestra. Así mismo expresamos la flexión liberada en ese punto como un momento externo F1 para obtener el siguiente modelo: X 1 A B F E F C 1 1 D 3m 1.5m 1.5m 3m b) El modelo tomado puede expresarse como: 1 A a1P P a11 B C D A B C D + E 1 E 1 F 1 3m 1.5m 1.5m 3m 3m 1.5m 1.5m 3m Donde P es un punto cualquiera de la viga. En función del ángulo entre tangentes a la deformada en el punto de inflexión E, podemos plantear la siguiente ecuación: a1P + a11F = 0 1 Como: a1P = aP1 (Teorema de Maxwell acerca de deflexiones recíprocas) F = ME 1
  • VII-30PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén Luego: aP1 + a11(ME ) = 0 Es decir: aP1 ME = − a11 c) Para obtener ME calculamos la ecuación de la elástica aP1 así como la deflexión a11 por cualquier método disponible. En este caso usamos el método de la viga conjugada: A a11 P B C D a 1 E 1 P1 3m 1.5m 1.5m 3m VIGA CONJUGADA: MB X MB 2 MC MC MB 3MB (9-X)M C X 2 3 + 3 + 3MC A D B E C (6-X)MB R R E R A 3 (X-3)MC C 3 (X-3) (6-X) (9-X) 3m 1.5m 1.5m 3m Luego, en la viga conjugada se pueden plantear las siguientes cuatro ecuaciones estáticas: ∑ FV = 0 : R A + R E + R D − 3MB − 3MC = 0 (1) 3 ∑ MB, izq = 0 : 3R A − MB = 0 (2) 2 3 ∑ MC, der = 0 : 3R D − MC = 0 (3) 2 ∑ MA = 0 : 9MB +18MC − 4.5R E − 9R D = 0 (4) La quinta ecuación la obtenemos de la viga superior, conociendo que el momento en ambos lados de la rótula E es 1. Con el diagrama de momentos se tiene: MB MC + =1 2 2 Es decir: MB + MC = 2 (5)
  • VII-31PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén Resolviendo las cinco ecuaciones se obtiene: R A = 0.5 R E = 5 R D = 0.5 MB = 1 MC = 1 Cálculo de a11: a11(EI) = R E = 5 Cálculo de aP1: Tramo AB (0 ≤ X ≤ 3): 1 MB X aP1(EI) = R A ( X) − ( .X)X( ) 2 3 3 X3 aP1(EI) = 0.5X − 18 Tramo BE (3 ≤ X ≤ 4.5): 1 1 2 1 (6 − X)MB 1 aP1(EI) = R A ( X) − (3)MB ( X − 2) − MB ( X − 3) ( X − 3) − ( X − 3) . ( X − 3) 2 2 3 2 3 3 1 M ( X − 3) − ( X − 3)( X − 3) c 2 3 3 ( X − 3)2 ( X − 3)2 (6 − X) ( X − 3) 3 aP1(EI) = 0.5X −1.5( X − 2) − − − 3 18 18 Tramo EC (4.5 ≤ X ≤ 6): ( X − 3)2 ( X − 3)2 (6 − X) ( X − 3) 3 aP1(EI) = 0.5X −1.5( X − 2) − − − + R E ( X − 4.5) 3 18 18 ( X − 3)2 ( X − 3)2 (6 − X) ( X − 3) 3 aP1(EI) = 0.5X −1.5( X − 2) − − − + 5( X − 4.5) 3 18 18 Tramo CD (6 ≤ X ≤ 9): Tomando momentos a la derecha: 1 (9 − X)Mc 1 aP1(EI) = R D (9 − X) − (9 − X). . (9 − X) 2 3 3 (9 − X) 3 aP1(EI) = 0.5(9 − X) − 18
  • VII-32PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén d) Para la construcción de ME tenemos: Tramo AB (0 ≤ X ≤ 3): 1 1 3 ME = − 0.5X − 18 X  5  Tramo BE (3 ≤ X ≤ 4.5): 1 ( X − 3)2 ( X − 3)2 (6 − X) ( X − 3) 3  ME = − 0.5X −1.5( X − 2) − − −  5 3 18 18  Tramo EC (4.5 ≤ X ≤ 6): 1 ( X − 3)2 ( X − 3)2 (6 − X) ( X − 3) 3  ME = − 0.5X −1.5( X − 2) − − − + 5( X − 4.5) 5 3 18 18  Tramo CD (6 ≤ X ≤ 9): 1 (9 − X) 3  ME = − 0.5(9 − X) −  5 18  Tabulación de valores: X (m) ME 0 0 0.75 -0.0703 1.50 -0.1125 2.25 -0.0984 3.00 0 3.75 0.2063 4.50 0.5250 5.25 0.2063 6.00 0 6.75 -0.0984 7.50 -0.1125 8.25 -0.0703 9.00 0 Gráfica:
  • VII-33PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez SerquénEJEMPLO VI1.10 En la viga mostrada determine la línea de influencia de la reacción en VI1.10el apoyo A . X 1 A B 6mSolución.-Solución.- Procedimiento: a) Liberamos la reacción A en la viga y la expresamos como una fuerza externa F1 para obtener el siguiente modelo: X 1 A B F 1 6m b) El modelo tomado puede expresarse como: X 1 A A B B + F a1P P a11 1 1 6m 6m Donde P es un punto cualquiera de la viga. En razón a que no existe desplazamiento vertical en el apoyo A, podemos plantear la siguiente ecuación: a1P + a11F = 0 1 Como: a1P = aP1 (Teorema de Maxwell acerca de deflexiones recíprocas) F = −R A 1
  • VII-34PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén Luego: aP1 + a11( −R A ) = 0 Es decir: aP1 RA = a11 c) Para obtener RA calculamos la ecuación de la elástica aP1 así como la deflexión a11 por cualquier método disponible. En este caso usamos el método de la viga conjugada: A B MA P MB aP1 a11 1 6m VIGA CONJUGADA: (6-X)M A MA MB MB 6 X MA 6 + + 3MA 3MB A B X (6-X) 6m Luego, en la viga conjugada se pueden plantear las siguientes ecuaciones estáticas: ∑ FV = 0 : −3MA − 3MB = 0 (1) ∑ MB = 0 : MA − 3MA ( 4) − 3MB (2) = 0 (2) La tercera ecuación la obtenemos de la viga superior: ∑ MB = 0 : MA −1(6) − MB = 0 (3) Resolviendo las tres ecuaciones se obtiene: MA = 3 MB = −3 MA = 18 Cálculo de a11: a11(EI) = MA = 18
  • VII-35PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén Cálculo de aP1: Tramo AB (0 ≤ X ≤ 6): 1 2X 1 M X 1 M X aP1(EI) = MA − MA ( X)( ) − X(6 − X) A ( ) − X( B .X)( ) 2 3 2 6 3 2 6 3 X 2 (6 − X) X 3 aP1(EI) = 18 X − X 2 − + 12 12 d) Para la construcción de RA tenemos: Tramo AB (0 ≤ X ≤ 6): 1  2 X 2 (6 − X) X 3  RA =  −X − 18 +  18  12 12  Tabulación de valores: X (m) RA 0 0 0.50 0.9803 1.00 0.9259 1.50 0.8438 2.00 0.7407 2.50 0.6238 3.00 0.5000 3.50 0.3761 4.00 0.2592 4.50 0.1562 5.00 0.0741 5.50 0.0197 6.00 0 Gráfica:
  • VII-36PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez SerquénEJEMPLO VI1.11 En la viga mostrada determine la línea de influencia del momento VI1.11flector en el apoyo A . X 1 A B 6mSolución.-Solución.- Procedimiento: a) Liberamos el momento flector en el apoyo A y lo expresamos como una fuerza externa F1 para obtener el siguiente modelo: X 1 F 1 A B 6m b) El modelo tomado puede expresarse como: X 1 A P B A B a1P + 1 F a11 1 6m 6m Donde P es un punto cualquiera de la viga. En razón que en A el giro es nulo, podemos plantear la siguiente ecuación: a1P + a11F1 = 0 Como: a1P = aP1 (Teorema de Maxwell acerca de deflexiones recíprocas) F = MA 1
  • VII-37PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén Luego: aP1 + a11(MA ) = 0 Es decir: aP1 MA = − a11 c) Para obtener MA calculamos la ecuación de la elástica aP1 así como la deflexión a11 por cualquier método disponible. En este caso usamos el método de la viga conjugada: 1 A aP1 B a11 6m VIGA CONJUGADA: (6-X) 1 6 MB MB X 6 + + A B 3 3MB R A X (6-X) 6m Luego, en la viga conjugada se pueden plantear las siguientes ecuaciones estáticas: ∑ FV = 0 : R A − 3 − 3MB = 0 (1) ∑ MA = 0 : 3(2) + 3MB (4) = 0 (2) Resolviendo ambas ecuaciones se obtiene: MB = −0.5 R A = 1.5 Cálculo de a11: a11(EI) = R A = 1.5 Cálculo de aP1: Tramo AB (0 ≤ X ≤ 6): 1 2X 1 6 − X X 1 M X aP1(EI) = R A ( X) − (1)( X)( ) − X.( )( ) − X( B .X)( ) 2 3 2 6 3 2 6 3
  • VII-38PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén X 2 X 2 (6 − X) X 3 aP1(EI) = 1.5X − − + 3 36 72 d) Para la construcción de MA tenemos: Tramo AB (0 ≤ X ≤ 6): 1  X 2 X 2 (6 − X) X 3  MA = −  .5X − 1 − +  1.5  3 36 72  Tabulación de valores: X (m) MA 0 0 0.50 -0.4201 1.00 -0.6944 1.50 -0.8438 2.00 -0.8889 2.50 -0.8507 3.00 -0.7500 3.50 -0.6076 4.00 -0.4444 4.50 -0.2812 5.00 -0.1389 5.50 -0.0382 6.00 0 Gráfica: