Este documento presenta varios problemas relacionados con el cálculo de integrales de superficie. Incluye ejercicios para calcular el producto vectorial fundamental de diferentes superficies, así como el área de regiones delimitadas por superficies como esferas, cilindros, paraboloides y conos. También contiene ejercicios para verificar los teoremas de Stokes y la divergencia de Gauss para campos vectoriales dados sobre determinadas superficies.

1. INTEGRALES DE SUPERFICIE.
1) En los ejercicios siguientes eliminar los parámetros u y v para obtener
la ecuación cartesiana de la superficie.Calcular el producto vectorial
fundamental.
i) Plano
r u, v  x 0  a 1 u  b 1 v i   y 0  a 2 u  b 2 v  j   z 0  a 3 u  b 3 v  k
ii) Paraboloide eliptico.
r u, v  a u cos v i  b u sin v j  u 2 k
iii) Elipsoide
r u, v  a sin u cos v i  b sin u sin v j  c cos u k
2) En los ejercicios siguientes calcular la magnitud del producto vectorial
fundamental ∂ r  ∂ r .
∂u ∂v
i) r u, v  u cos v i  u sin v j  1 u 2 sin 2v k
2
ii) r u, v  u  v i  u  v  j  u 3  v 3  k
2 2
iii) r u, v  a sin u cosh v i  b sin u cosh v j  c sinh v k
3) Calcular el área de la región que en el plano x  y  z  a determina
el cilindro x 2  y 2  a 2 .
4) Calcular el área de la porción de esfera x 2  y 2  z 2  a 2 interior al
cilindro x 2  y 2  a y , a  0.
5) Dada una superficie S de ecuación vectorial
r u, v  u cos v i  u sin v j  u 2 k ; 0 ≤ u ≤ 4 ; 0 ≤ v ≤ 2.
i) Verificar que S es una porción de superficie cuadrática.Identificar esta
cuadrica,dibujarla e indicar el significado geométrico de los parámetros
u y v en la superficie.
ii) Calcular el producto vectorial fundamental ∂ r  ∂ r en función de u y v.
∂u ∂v
65 65 − 1
iii) El área de S es n donde n ∈ ℤ. Hallar el valor de n.
6) Calcular el área de la porción de superficie cónica x 2  y 2  z 2 situada
entre los planos z  0 y x  2z  3.
7) Calcular las siguientes integrales de superficie.
i)  zdS , S es la parte del cono z  x 2  y 2 que está en el primer octante
S
y entre los planos z  2 y z  4.
ii)  xyzdS , S es la parte del cilindro z  1  y 2 para 0 ≤ y ≤ 1 ; 0 ≤ x ≤ 1.
S
iii)  x 2 dS , S es la parte del paraboloide z  4 − x 2 − y 2 con z ≥ 0.
S

2. iv)  xx  ydS , S es la parte del plano 4x  8y  10z  25 que está por
S
arriba del triángulo con vertices 0, 0 ; 1, 1 ; 1, 0 en el plano xy.
8) Sea S la semiesfera x 2  y 2  z 2  1 , z ≥ 0 y Fx, y, z  x i  y j
Sea n el vector normal exterior.Calcular el valor de la integral de superficie
 F  ndS empleando:
S
a) la representación r u, v  sin u cos v i  sin u sin v j  cos u k
b) la representación explicita z  1 − x 2 − y 2
9) Sea S la porción de plano limitada por el triángulo de vertices 1, 0, 0 ,
0, 1, 0 , 0, 0, 1 y sea Fx, y, z  x i  y j  z k . Representamos con
n la normal unitaria que tiene componente z no negativa. Calcular la
integral de superficie  F  ndS .
S
10) Sea S el hemisferio x2  y2  z2  1 , z ≥ 0 , n la normal unitaria
exterior a la esfera.Si Fx, y, z  x 2  xy − z 2  k , calcular la integral de
superficie  F  ndS .
S
11) Sea S el hemisferio x2  y2  z2  a2 , z ≥ 0 ,
calcular la integral de superficie  xzdydz  yzdzdx  x 2 dxdy .
S
12) El cilindro x  y  2x recorta una porción de superficie S en la hoja
2 2
superior del cono x 2  y 2  z 2 . Calcular la integral de superficie.
x 4 − y 4  y 2 z 2 − z 2 x 2  1dS .
S
13) En los problemas siguientes verifique el teorema de Stokes para el
campo vectorial y la superficie dada.
i) Fx, y, z  y i S : el hemisferio x 2  y 2  z 2  4 , z ≥ 0.
ii) Fx, y, z  −x j  y k S : el cono z  x 2  y 2 para 0 ≤ z ≤ 4.
iii) Fx, y, z  xz i S : el cono truncado z  x 2  y 2 para 1 ≤ z ≤ 9.
iv) Fx, y, z  yz i  x j S : el paraboloide z  x 2  y 2 para 0 ≤ z ≤ 9.
v) Fx, y, z  x i − y j  z k ; S : el disco x 2  y 2 ≤ 5 en el plano xy.

3. 14) En los problemas siguientes verifique el teorema de la divergencia
de GausS para el campo vectorial y la superficie dada.
i) Fx, y, z  −5x i  y j − z k S : es la superficie del cubo con
cuatro de sus vertices en 0, 0, 0 ; 0, 1, 0 ; 1, 0, 0 ; 0, 0, 1 .
ii) Fx, y, z  x 2 i S: es la superficie que consiste en el hemisferio
x  y  z  1 , z ≥ 0 y el disco x 2  y 2 ≤ 1 ∧ z  0 en el plano xy.
2 2 2
iii) Fx, y, z  x i  y j  z k , S es la superficie que consiste en el
cilindro x  y  1 , 0 ≤ z ≤ 4
2 2
y los discos
x y ≤ 1 ∧ z  0; x y ≤ 1 ∧ z  4.
2 2 2 2
iv) Fx, y, z  z k S: es la superficie que consiste en el cono
z x y
2 2
;0 ≤ z ≤ 2 junto con el disco x 2  y 2 ≤ 4 ∧ z  2.
v) Fx, y, z  yz j S: es la superficie que consiste en el paraboloide
z  x  y , 0 ≤ z ≤ 9 junto con el disco x 2  y 2 ≤ 9 ∧ z  9.
2 2
15) Se corta la esfera x 2  y 2  z 2  25 por el plano z  3. La parte menor
es un sólido V limitado por una superficie S 0 constituida por dos partes
una esférica S 1 y otra plana S 2 . Si la normal unitaria exterior a V es
n  cos  i  cos  j  cos  k calcule el valor de la integral de superficie
xz cos   yz cos   cos dS
S
i) S es el casquete esférico S 1 .
ii) S es la base plana S 2 .
iii) S es la frontera completa S 0 . Resolver esta parte usando los resultados
de i) y ii) y también usando el teorema de la divergencia.
16) Sea n  cos  i  cos  j  cos  k la normal unitaria exterior a una
superficie cerrada S que limita un sólido del tipo descrito por el teorema
de la divergencia.Supongamos que el centro de gravedad  x , y , z y el
volumen V de V son conocidos.Calcular las integrales de superficie
en función de V y de x , y , z.
i) x cos   y cos   z cos dS
S
ii) xz cos   2yz cos   3z 2 cos dS
S
iii) y 2 cos   2xy cos  − xz cos dS
S