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Técnicas de conteo
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Técnicas de conteo

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  • 1. Introducción (técnicas de conteo)¿Qué son las técnicas de conteo?Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventosdifíciles de cuantificar.La enumeración de puntos muestrales en un espacio muestral, en ocasiones esdifícil y laboriosa por la cantidad de puntos a contar o enumerar, propiciando quese puedan cometer errores al emprender esa tarea. En estos casos se recurre alanálisis combinatorio, que es una manera más sofisticada de contar.Principio fundamental del conteo 1. Si un evento puede suceder o realizarse de n maneras diferentes y si, continuando el procedimiento un segundo ejemplo puede realizarse de n1 maneras diferentes y así sucesivamente, entonces el número de maneras en que los eventos pueden realizarse en el orden indicado es el producto de n1*n2*n3… Valentín & Cynthia : Copyright © # a 9 de diciembre de 2011
  • 2. Reglas generales del conteo REGLA DEL PRODUCTO (MULTIPLICACIÓN)Si los eventos A y B pueden ocurrir de m y n maneras distintas respectivamente,entonces el total de maneras distintas en que ambos eventos pueden ocurrir en elorden indicado es m x n.Esta regla puede extenderse a tantos eventos como se quiera. El número total deposibilidades es el producto del número de posibilidades de cada evento. Porejemplo, si los eventos A, B, C y D pueden ocurrir de m, n, o y p manerasdistintas respectivamente, entonces el total de formas diferentes en que estoseventos pueden ocurrir en ese orden, es m x n x o x p.Ejemplos 1. Una persona para vestirse tiene la posibilidad de escoger entre 2 pares de zapatos, 3 pantalones y 4 blusas. ¿De cuántas maneras puede combinar las prendas?Solución:Conocemos que hay 2 posibilidades de combinar los pares de zapatos (Z = 2), lospantalones de 3 maneras (P = 3) y las blusas de 4 (B = 4). Entonces:Z x P x B = 2 x 3 x 4 = 24Existen 24 posibilidades de combinar las prendas. Valentín & Cynthia : Copyright © # a 9 de diciembre de 2011
  • 3. 2. ¿De cuántas maneras se pueden colocar 7 personas en una fila?Solución:La primera posición en la fila (P1), puede ser ocupada por cualquiera de las 7personas (P1 = 7); la segunda posición por 6 (P2 = 6) y así, sucesivamente.P1 x P2 x P3 x P4 x P5 x P6 x P7 = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 7! = 5040Existen 5040 maneras de colocar a 7 personas en una fila. 3. ¿De cuántas maneras se pueden ubicar 4 personas alrededor de una mesa?Solución:La posición relativa de todos los lugares es similar, por lo que la colocación de lasprimeras personas es irrelevante, a diferencia de su colocación en una fila; cuandola primera persona se ha colocado en un lugar, quedas 3 opciones para lasegunda persona; la tercera persona tiene 2 opciones y la última sólo una. Estoequivale a:3 x 2 x 1 = (n – 1)! = 3! = 6 4. Para una obra de teatro hay 6 hombres y 8 mujeres que aspiran a los papeles principales.Solución:El director puede elegir a la pareja principal de:6 x 8 = 48 formas. Valentín & Cynthia : Copyright © # a 9 de diciembre de 2011
  • 4. 5. ¿Cuántos juegos de placas de circulación para automóviles pueden fabricarse, si se utilizan 3 dígitos y 3 letras (en ese orden), si no se puede repetir ningún dígito ni letra en cada placa, ni se puede utilizar el cero, las letras O, Ñ y W.Solución:Para el primer digito (D1) existen 9 posibilidades, al quedar excluido el 0; para elsegundo dígito (D2) hay 8 alternativas, al no poder usar el 0 ni el usado en elprimer espacio; para el tercer dígito (D3) quedan 7 posibilidades. Para la primeraletra (L1) se tienen 24 alternativas, ya que de las 27 letras del abecedario, 3 estánrestringidas; para la segunda letra (L2) se tienen 23 alternativas y para la últimaletra (L3) quedan 22 posibilidades, por lo que:(D1) (D2) (D3) (L1) (L3) (L2) = (9) (8) (7) (24) (23) (22) = 6120576Se pueden fabricar 6120576 juegos de placas con estas características. Valentín & Cynthia : Copyright © # a 9 de diciembre de 2011
  • 5. REGLA DE LA SUMASi una primera tarea puede realizarse de m formas y una segunda tarea puederealizarse de n formas, y no es posible realizar ambas tareas de manerasimultánea, entonces para realizar cualquiera de ellas pueden utilizarse cualquierade m + n formas.Ejemplo 1. Una biblioteca tiene 40 libros de historia y 50 de filosofía. Si un estudiante quiere aprender acerca de alguno de estos dos temas, por la regla de la suma puede elegir entre 40 + 50 = 90 libros.(Nota: el estudiante no quiere estudiar historia y filosofía, sino historia o filosofía.)La regla puede ampliarse a más de dos tareas, siempre que ningún par de ellaspueda ocurrir simultáneamente. Valentín & Cynthia : Copyright © # a 9 de diciembre de 2011
  • 6. PermutacionesLas permutaciones de un numero n de objetos de un conjunto es cualquiera de lasdiferentes maneras de ubicar esos objetos en un orden definido. Se utiliza el símbolo nPn o P(n) cuando se toman las permutaciones de igual numero n de elementos u objetos del conjunto.Si se desean ordenar n objetos diferentes en una línea, el primero objeto se puedeescoger de n maneras, el segundo de n-1; y el tercero de n-2 y así,sucesivamente, hasta 1.nPn = P(n) = (n) (n-1) (n-2)… (1) = n!Ejemplos 1. ¿De cuántas maneras se pueden permutar los 3 dígitos del número 478?Solución:3P3 = P (3) = 3 x 2 x 1 = 3! = 6Las permutaciones son: 478, 487, 748, 784, 847 y 874.Cuando las permutaciones se hacen de un tamaño r menor al número n deelementos del conjunto, se utilizan indistintamente los símbolos nPr o P(n,r).De un grupo n de objetos, deseamos ordenar r objetos en una línea. El primeroobjeto se puede escoger de n maneras; el segundo de n-1 y así, sucesivamente,de manera que el último de ellos será n – (r-1) = n – r + 1.nPr = P(n, r) = (n) (n-1)(n-2)… (n-r+1) = Valentín & Cynthia : Copyright © # a 9 de diciembre de 2011
  • 7. 2. ¿Cuántas permutaciones de 2 letras se puede formar a partir de las 5 vocales?Solución:nPr = 5P3 = = = = 20Las permutaciones son:ae, ai, ao, au, ea, ei, eo, eu, ia, ie, io, iu, oa, oe, oi, ou, ua, ue, ui y uo. 3. ¿De cuántas maneras pueden sentarse 12 personas en una banca que sólo tiene capacidad para 7?Solución:nPr = 12P7 = = = = 3991680 4. Se colocan al azar 7 libros (biología, física, historia, inglés, literatura, matemáticas y química) en un librero. Calcular la probabilidad de que los de biología, física y química queden juntos.Solución:Hay en total 7 libros, por lo que el espacio muestral es 7!. Si consideramos quehan de ir juntos los de biología, física y química, podemos tomarlos como unosolo; podemos señalar entonces 5! maneras de colocarlos, mientras que los 3 quehan de ir juntos se pueden ordenar de 3! maneras. En consecuencia:P= = = = 14.28% Valentín & Cynthia : Copyright © # a 9 de diciembre de 2011
  • 8. 5. ¿Cuántas representaciones diferentes serán posibles formar, si se desea que consten de Presidente, Secretario, Tesorero, Primer Vocal y Segundo Vocal?, sí esta representación puede ser formada de entre 25 miembros del sindicato de una pequeña empresa.Solución:Por principio multiplicativo:25 x 24 x 23 x 22 x 21 = 6, 375,600 maneras de formar una representación de esesindicato que conste de presidente, secretario, etc.Por Fórmula:nPr = 25P5 = 25!/(25 –5)! = 25!/20! = (25 x 24 x 23 x 22 x 21 x....x 1)/(20 x 19 x 18x ... x 1) = 6,375,600 maneras de formar la representación. Valentín & Cynthia : Copyright © # a 9 de diciembre de 2011
  • 9. CombinacionesUna combinación es cualquier selección de objetos en la que no importa el orden,a diferencia de una permutación, donde el orden si es importante. Por ejemplo,ABC, ACB y BAC son permutaciones distintas; mientras que, por contener losmismos elementos, se pueden considerar como una misma combinación. Por lotanto, hay más permutaciones que combinaciones de un número n de objetos,tomados de tamaño r en r.Las combinaciones de n objetos, tomados en r en r, se representa por , nCr,C(n,r) o Cn,r y se obtiene mediante las operaciones: = nCr = C(n,r) = Cn,r = = =El número de combinaciones nCr está relacionado con los subconjuntos de unconjunto. Por ejemplo, el número de subconjuntos de 2 elementos del conjunto Aque tiene 5 elementos es:A = {a, e, i, o, u} = 5C2 = C(5,2) = C5,2 = = = = 10Los 10 subconjuntos de 2 elementos son: ae, ai, ao, au, ei, eo, eu, io, iu, ou.Ejemplos 1. ¿Cuántos subconjuntos de 6, 8 y 10 elementos tiene el conjunto Q?Q = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o}Solución: Valentín & Cynthia : Copyright © # a 9 de diciembre de 2011
  • 10. Para 6 elementos: = 15C6 = = = 5005 subconjuntos.Para 8 elementos: = 15C8 = = = 6435 subconjuntos.Para 10 elementos: = 15C10 = = = 3003 subconjuntos. 2. ¿De cuántas maneras puede salir una mano de póker (5 cartas) si se juega con una baraja española (40 cartas) o con una baraja inglesa (52 cartas)?Solución: = 40C5 = = 658008 en la baraja española. = 52C5 = = 2598960 en la baraja inglesa. 3. Si nC2 = 6, calcular n.Solución: = nC2 = = = =6n(n-1) = 6 (2) = 12n2 – n = 12Completando el trinomio cuadrado perfecto: Valentín & Cynthia : Copyright © # a 9 de diciembre de 2011
  • 11. n2 – n + 0.25 = 12 + 0.25 = 12.25Factorizando: (n – 0.5)2 = 12.25Despejando: n – 0.5 = √12.25 = 3.5, n = 3.5 + 0.5 = 4, 4C2 = 6 4. Si se cuenta con 14 alumnos que desean colaborar en una campaña pro limpieza del Tec. ¿Cuántos grupos de limpieza podrán formarse si se desea que consten de 5 alumnos cada uno de ellos?.Solución:n = 14, r = 514C5 = 14!/(14 – 5 )! 5! = 14!/ 9!5!= 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9!/ 9!5! = 2002 grupos.Entre los 2002 grupos de limpieza hay grupos que contienen solo hombres, gruposque contienen solo mujeres y grupos mixtos, con hombres y mujeres. 5. Para contestar un examen un alumno debe contestar 9 de 12 preguntas, ¿Cuántas maneras tiene el alumno de seleccionar las 9 preguntas?.Solución:n = 12, r = 912C9 = 12!/(12 – 9)! 9!= 12! / 3!9! = 12 x 11 x 10 / 3! = 220 maneras de seleccionar las nueve preguntaso dicho de otra manera, el alumno puede seleccionar cualquiera de 220 grupos de9 preguntas para contestar el examen. Valentín & Cynthia : Copyright © # a 9 de diciembre de 2011
  • 12. Bibliografía (fuentes de información) TÍTULO:FUNDAMENTOS DE ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y PROBABILIDAD –“CONCEPTOS BÁSICOS Y SUS APLICACIONES EN LA VIDA DIARIA. AUTOR:MATÍAS CHÁVEZ ESCALANTE EDITORIAL:SUBSECRETARIA DE EDUCACIÓN E INVESTIGACIÓN TECNOLÓGICAS –DIRECCIÓN GENERAL DE EDUCACIÓN TECNOLÓGICA AGROPECUARIA. LUGAR Y AÑO DE EDICIÓN:MÉXICO 1ª EDICIÓN 2000 NÚMERO DE PAGINAS:438 PAGINAS. Valentín & Cynthia : Copyright © # a 9 de diciembre de 2011