ejemplos de distribuciones y problemas resueltos...

1. PROBABILIDAD
Y
ESTADISTICA

2. DISTRIBUCION DE BERNOULLI…
 Es una distribución de probabilidad discreta donde se obtienen dos
resultados. Al primero se le llama éxito y al otro fracaso.
 Donde la probabilidad de éxito es 1 y el fracaso es 0.

3. EJEMPLO 1.
 Cuando se lanza un dado hay una probabilidad de 1/6 de que salga 6.
sea X=1 si el dado cae 6 y X=0 en cualquier otro caso.
 ¿Cuál es la distribución de X?
 Solución
La probabilidad de éxito es p P(X 1) 1/6. Por lo que X Bernoulli(1/6).

4. EJEMPLO 2.
 Diez por ciento de los componentes fabricados mediante determinado
proceso está defectuoso. Se selecciona un componente aleatoriamente.
Sea X 1 si el componente está defectuoso y X 0 en cualquier otro caso.
 ¿Cuál es la distribución de X?
 Solución
La probabilidad de éxito es p P(X 1) 0.1. Por lo que X Bernoulli(0.1).

5. EJEMPLO 3.
 Cuando se lanza al aire una moneda hay una probabilidad de 0.5 de que
caiga en “cara”. Sea X=1 si la moneda cae en “cara” y X=0 si cae en
“cruz”.
 ¿Cuál es la distribución de X?
 Solución
Puesto que X 1 cuando cae “cara”, ésta es resultado de éxito. La
probabilidad de éxito,P(X 1), es igual a 0.5. Por tanto, X Bernoulli(0.5).

6. DISTIBUCION BINOMIAL…
 Se toma un solo componente de una población para ver si esta o no
defectuoso, es ejemplo de un ensayo de Bernoulli.
 En la practica es posible tomar varios componentes de una población y
contar el numero de elementos defectuosos.
 Esto implica realizar ensayos de Bernoulli independientes y contar el
numero de éxitos, que es una variable aleatoria y también tiene una
distribución binomial.
 Formula:

7. EJEMPLO 1.
 Una gran compañía industrial hace un descuento en cualquier factura
que se pague en un lapso de 30 días. De todas las facturas, 10% recibió el
descuento. En una auditoría de la compañía se seleccionó aleatoriamente
12 facturas.
 ¿Cuál es la probabilidad de que menos de cuatro de las 12 facturas de la
muestra tengan descuento?
 Solución:
Sea X el número de facturas en la muestra que recibe descuento. Entonces X
Bin(12, 0.1).La probabilidad de que menos de cuatro facturas tengan
descuento es P(X 3). Se consúltala tabla A.1 con n 12, p 0.1 y x 3. Se
encuentra que P(X 3) 0.974.

8. EJEMPLO 2.
 Se lanza al aire diez veces una moneda. Sea X el número de caras que
aparecen.
 ¿Cuál es la distribución de X?
 Solución
Hay diez ensayos de Bernoulli independientes, cada uno con probabilidad de
éxito de p 0.5.La variable aleatoria X es igual al número de éxitos en los diez
ensayos. Por consiguiente, X Bin(10, 0.5).

9. EJEMPLO 3.
 Un ingeniero que supervisa el control de calidad está probando la
calibración de una máquina que empaca helado en contenedores. En
una muestra de 20 de éstos, tres no están del todo llenos. Estime la
probabilidad p de que la máquina no llene bien un contenedor.
 Solución
La proporción muestral de contenedores no llenos es ˆp 3/20 0.15. Se estima
que la probabilidad p de que la máquina no llene bien un contenedor es
también igual a 0.15.

10. DISTRIBUCION DE POISSON…
 es una distribución de probabilidad discreta que expresa, a partir de una
frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad de que ocurra un
determinado número de eventos durante cierto período de tiempo.
 se utiliza con frecuencia en el trabajo científico. Una manera de
considerarla es como una aproximación de la distribución binomial
cuando n es grande y p es pequeña.
 Formula:

11. EJEMPLO 1.
 La abuela hornea galletas de chispas de chocolates en grupos de 100. Ella
agrega 300 chispas en la masa. Cuando las galletas están hechas, le
ofrece una.
 ¿Cuál es la probabilidad de que su galleta no tenga chispas de
chocolate?
 Solución
Éste es otro caso de partículas en suspensión. Sea X el número de chispas en
su galleta. La media del número de chispas es tres en cada galleta, de forma
que X Poisson(3). De ahí que P(X 0) e 330/0! 0.0498.

12. EJEMPLO 2.
 Suponga que el número de visitas a cierto sitio web durante un intervalo fijo
sigue una distribución de Poisson. Suponga que la media de la razón de visitas
es de cinco en cada minuto. Determine la probabilidad de que haya sólo 17
visitas en los siguientes tres minutos.
 Solución
Sea X el número de visitas en tres minutos. La media del número de visitas en tres
minutos es (5)(3) 15, por lo que X Poisson(15). Utilizando la función de masa de
probabilidad de Poisson(15), En el ejemplo 4.21, sea X el número de visitas en t
minutos. Determine la función de masa de probabilidad de X, en función de t.
P(X = 17) = e
−15 1517
17!
= 0.0847

13. EJERCICIO 3.
 El número de imperfecciones en una lámina de aluminio fabricada por
determinado proceso sigue una distribución de Poisson. En una muestra de
100 m2 de aluminio, se encuentran 200 imperfecciones. Estime la
probabilidad de que un metro cuadrado de aluminio no tenga
imperfecciones y determine la incertidumbre en la estimación.
 Solución
Sea λ el número promedio de imperfecciones por metro cuadrado. Se iniciará
calculando ˆλ y su incertidumbre. Se ha observado que X 200 imperfecciones
en t 100 m2 de aluminio. Por tanto, ˆλ 200100 2.00. La incertidumbre en ˆλ es.

14. DISTRIBUCION EXPONENCIAL…
 es una distribución continua que algunas veces se utiliza para modelar el
tiempo que transcurre antes de que ocurra un evento. A menudo, a aquél
se le llama tiempo de espera. En algunas ocasiones la distribución
exponencial se utiliza para modelar el tiempo de vida de un componente.
 La función de densidad de probabilidad de la distribución exponencial
tiene un parámetro, que representa una constante positiva λ cuyo valor
determina la localización y forma de la función.
 Formula:

15. EJEMPLO 1.
 Una masa radiactiva emite partículas de acuerdo con un proceso de
Poisson a una media de razón de 15 partículas por minuto. En algún punto
inicia un reloj. ¿Cuál es la probabilidad de que transcurran cinco segundos
antes de la siguiente emisión? ¿Cuál es la media del tiempo de espera
hasta que se emite la siguiente partícula?
 Solución
El tiempo se medirá en segundos. T denota el tiempo en segundos que
transcurre antes de que se emita la siguiente partícula. La media de la razón
de las emisiones es de 0.25 por segundo, por lo que el parámetro de razón es
λ 0.25 y T Exp(0.25). La probabilidad de que transcurran más de cinco
segundos antes de la siguiente emisión es igual a

16. EJERCICIO 2.
 El tiempo de vida de un circuito integrado particular tiene una distribución
exponencial con media de dos años. Encuentre la probabilidad de que el
circuito dure más de tres años.
 Solución
Sea T el tiempo de vida del circuito. Dado que mT 2, λ 0.5. Se necesita
encontrar P(T > 3).

17. EJERCICIO 3.
 Se toma una muestra aleatoria de tamaño 5 de una distribución Exp(λ). Los
valores son 7.71,1.32, 7.46, 6.53 y 0.44. Encuentre un estimador con
corrección de sesgo de λ.
 Solución
La media muestral es X = 4.6920. El tamaño muestral es n 5. El estimador con
corrección de sesgo de λ es 5/[6(4.6920)] 0.178.

18. EJERCICIOS BERNOULLI…
Un jugador de basquetbol esta a punto de tirar hacia la parte superior del tablero. La
probabilidad de que anote el tiro es de 0.55.
Sea X=1 si anota el tiro. Si no lo hace entonces x=0. determine la media varianza de X.
Si anota el80 tiro, su equipo obtiee 2 puntos. Si lo falla su equipo no recibe puntos. Sea Y el
numero de puntos anotados ¿Tiene una probabilidad de Bernoulli? ¿Si es asi encuentre la
probabilidad de éxito, si no explique.
Determine la media y varianza de Y.
RESPUESTA.
Media Px=(0) (1-0.55)+(1) (0.55)= PX= 0.55
Varianza: V 2M= (0-0.55)2 (0.55)(0-0.55)2 (0.45) =v2x = 0.2475
No; una variable de Bernoulli tiene valores positivos de 0 y 1 mientras que los valores de Y son 0
y 2.
XP XP
10.551.1
00.450
(Y-M)2*P
(2-1.1)2(0.55)(0-1.1)2(0.45)=0.99

19. PROBLEMA 2
En un restaurante la comida rápida .25% de las ordenes para saber es una
bebida pequeña, .35% una mediana y .40% una grande. Sea X=1 si se escoge
aleatoriamente una orden de una bebida pequeña y X=0 en cualquier otro
caso.
Sea PX la probabilidad de éxito de X. determine PX.
Sea PY la probabilidad de éxito de y. determine PY.
¿Es posible que X y Y sean iguales a 1?
¿Es PZ=Px+Py?
¿Es Z=X+Y? explique.
RESPUESTA
PX=(0)(1-0.25)+(1)(0.25)=0.25
PY=(0)(1-0.35)+(1)(0.35)=0.35
PZ=(0)(1-0.40)+(1)(0.40)=0.40
SI
NO
No porque los valores son totalmente distintos

20. PROBLEMA 3.
Cuando se aplica cierto barniz a una superficie de cerámica, 5% es de probabilidad de que se
decolore o no se agriete. O ambas. Sea X=1 si se produce una decoloración y X=0 en cualquier otro
caso: Y=1 si hay alguna grieta y Y=0 en cualquier otro caso: Z=1 si hay decoloración grieta o ambas,
y Z=0 en cualquier otro caso.
Sea PX la probabilidad de éxito de X. determine PX
Sea PY la probabilidad de éxito de Y. determine PY
Sea PZ la probabilidad de éxito de Z. determine Pz
¿Es posible que X Y Y sea igual a 1?
¿Es PZ=PX+PY?
¿Es Z= X+Y? explique.
RESPESTA.
PX=(0)(1-0.05)+(1)(0.05)=0.05
PY=(0)(1-0.20)+(1)(0.20)=0.20
PZ=(0)(1-0.23)+(1)(0.23)=0.23
SI
NO
Si porque la superficie de decoloración y agrieta entonces X=1, Y=1 y Z=1 pero Y+Y=2.

21. PROBLEMA 4.
Se lanza al aire una moneda de 1 y de 5 centavos. Sea X=1 si sale cara en la
moneda de un centavo y X=0 en cualquier otro caso. Sea Y=1 si sale cara en la
moneda de 5 centavos y Y=0 en cualquier otro caso. Sea Z=1 si sale cara en
ambas monedas y Z=0 en cualquier otro caso.
Sea PX la probabilidad de éxito de X. determine PX
Sea PY la probabilidad de éxito de Y. determine PY
Sea PZ la probabilidad de éxito de Z. determine PZ
¿Son X y E independientes?
¿Es PZ=PX PY?
¿Es Z=xy? Explique.
RESPUESTA.
PX= ½
PY=1/2
PZ= ¼
SI
SI
Si porque tiene las mismas posibilidades de que salgan los mismos resultads.

22. PROBLEMA 5.
Se lanzan dos dados. Sea X=1 si sale el mismo numero en ambos y X=0 en cualquier otro caso. Sea
Y=1 si la suma es 6 y Y=0 en cualquier otro caso. Sea Z=1 si sale el mismo numero en los dados y
ambas suman 6 es decir, que salga 3 en los dos dados y Z=0 en cualquier otro caso.
Sea PX la probabilidad de éxito de X. determine PX
Sea PY la probabilidad de éxito de Y. determine PY
Sea PZ la probabilidad de éxito de Z. determine PZ
¿Son X y Y independientes?
¿Es PZ= PXPY?
¿Es Z=XY? Explique
Respuesta
PX=
2
12
PY=
3
12
PZ=
1
12
Si
Si
Si porque puede salir los números que se necesiten para formar un 6.

23. EJERCIOS BINOMIALES…
Ejercicio 1
Sea X~Bin (8, 0.4). Determine
P(X=2)
P(X=4)
P(X=2)
P(X<2)
P(X>2)
µx
σ2x
Repuesta
P (X=x) = 𝑛
𝑥
PX(1 − P)nx
P (X=2) = 8
2
2(1 − 0.4)8 − 2 = 0.2090
P (X=4) = 8
4
4(1 − 0.4)8 − 4 = 0.2322
P (X=2) = 8
2
2(1 − 0.4)8 − 2 = 0.1064
P (X=2) = 8
6
6(1 − 0.4)8 − 6 = 0.0085
µx=3.2
σ2x =1.92

24. PROBLEMA 2
Se toma una muestra de cinco elementos de una población grande en la cual 10% de los elementos
están defectuosos.
 Determine la probabilidad de que ninguno de los elementos de la muestra esté defectuosos.
 Determine la probabilidad de que solo uno de ellos tenga defectuosos.
 Determine la probabilidad de que uno o mas de los elementos de la muestra esté defectuosos.
 Determine la probabilidad de que menos de dos elementos de la muestra esté defectuosos
 Repuesta
P (X=0) = 8
0
0(1 − 0.1)5 − 0 = 0.59049
P (X=1) = 8
1
1(1 − 0.1)5 − 1 = 1
P (X=3) = 8
3
3(1 − 0.1)5 − 3 = 0.1172
P (X=2) = 8
2
2(1 − 0.1)5 − 2 = 0.49

25. PROBLEMA 3
 Se lanza al aire una moneda diez veces.
¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente tres veces “cara”?
 Determine la media del número de caras obtenidas.
 Determine la varianza del número de caras obtenidas.
 Determine la desviación estándar del número de caras obtenida
 Repuesta
P (X=3) = 5
3
3(1 − 0.1)5 − 3 = 0.1172
µx=5
σ2x =np (1-p)= 5(1-0.5)= 2.5
(Ẑ-xi) 2 / fi =1.58

26. PROBLEMA 4
 En un cargamento grande de llantas de automóviles, 5% tiene cierta
imperfección. Se eligen aleatoriamente cuatro llantas para instalarlas en el
automóvil.
 ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de las llantas tenga imperfección?
 ¿Cuál es la probabilidad de que solo una de las llantas tenga imperfección?
 ¿Cuál es la probabilidad de que una o mas de las llantas tenga imperfección?
 Repuesta
P (X=0) = 4
0
0(1 − 0.5)4 − 0 = 0.0625
P (X=1) = 4
1
1(1 − 0.5)4 − 1 = 0.75
P (X=2) = 4
2
2(1 − 0.5)4 − 2 = 0.25

27. PROBLEMA 5
 Unas figurillas de porcelana se venden a 10 dólares si no tienen imperfecciones y a 3
dólares si la presentan. Entre las figurillas de cierta compañía, 90% no tiene imperfecciones
y 10% si lo tienen. En una muestra de 100 figurillas ya vendidas, sea Y el ingreso por su
venta y X el número de éstas que no presentan imperfecciones.
 Repuesta
 Exprese Y como una función de X
Y =7x + 300
Determine µy.
Y = 900+30 = 930
Determine σ2y
21

28. EJERCICIOS POISSON
El 8% de los registros contables de una empresa presentan algún problema, si
un auditor toma una muestra de 40 registros ¿Calcular probabilidad de que
existan 5 registros con problemas?
 n = 40
 p = 0.08
 lambda =3.2
 X = 5

29. PROBLEMA 2
 Se calcula que en la ciudad el 20% de las personas tienen defecto de la
vista si tomamos una muestra de 50 personas al azar ¿Calcular la
probabilidad de que 10 de ellos tengan defecto en la vista.
 n = 50
 p = 0.2
 lambda =10

30. PROBLEMA 3
 En una jaula con 100 pericos 15 de ellos hablan ruso calcular la
probabilidad de que si tomamos 20 pericos al azar 3 de ellos hablen ruso.
 n = 20
 p = 0.15
 X = 3
 lambda =3

31. PROBLEMA 4
 La producción de televisores en SAMSUNG trae asociada una probabilidad
de defecto del 2%, si se toma un lote o muestra de 85 televisores, obtener
la probabilidad de que existan 4 televisores con defectos.
 n = 85
 P = 0.02
 X = 4
 lambda = 1.7

32. PROBLEMA 5
 Si ya se conoce que solo el 3% de los alumnos de Contabilidad son muy
inteligentes ¿calcular la probabilidad de que si tomamos 100 alumnos al
azar 5 de ellos sean muy inteligentes.
 n = 100
 P = 0.03
 lambda = 100 * 0.03 = 3
 x = 5
 e = 2.718281828

33. EJERCICIOS EXPONENCIALES.
 El tiempo durante el cual las baterías para un teléfono celular trabajan en
forma efectiva hasta que fallan se distribuyen según un modelo
exponencial, con un tiempo promedio de falla de 500horas.
a)Calcular la probabilidad de una batería funcione por más de 600horas.
b)Si una batería ha trabajando 350 horas, ¿Cuál es la probabilidad de que
trabaje más de 300 horas adicionales.
Solución:
 X = tiempo que dura la batería hasta que falla
 Entonces como E(x) = 500, entonces λ=1/500 con lo que E(1/500).
 Por tanto su función de distribución seria:

34. PROBLEMA 2
 Se sabe que el tiempo de espera una persona que llama a un centro de
atención al público para ser atendido por un asesor es una variable
aleatoria exponencial con μ = 5 minutos. Encuentre la probabilidad de que
una persona que llame al azar en un momento dado tenga que esperar:
a) A lo mucho 5 minutos:
b) Al menos 10 minutos:
c) Entre 3 y 10 minutos:

35. PROBLEMA 3
 En un experimento de laboratorio se utilizan 10 gramos de Po sabiendo que
la duración media de un átomo de esta materia es de 140 días, ¿cuantos
días transcurrirán hasta que haya desaparecido el 90% de este material?
 Solución: El tiempo T de desintegración de un átomo de Po es una v.a. de
distribución exponencial:
u = 1 / λ λ = 1/140

36. PROBLEMA 4
 El tiempo en que una computadora comercial permanece actualizada, se
distribuye exponencialmente con una valor promedio de 2 años. ¿Cuál es
la probabilidad de que una computadora comercial que se compra el día
de hoy, permanezca actualizada dentro de 3 años?

37. PROBLEMA 5
 El periodo de vida en años de un interruptor eléctrico tiene una distribución
exponencial con un promedio de falla de μ=2 años ¿Cuál es la
probabilidad de que un interruptor falle después del 2do año?