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    Radicales ii Radicales ii Document Transcript

    • RADICALES II Se llama raíz n-ésima de un número a, y se escribe , a un número b que elevado a n dé a. Ejemplos: se llama radical; a, radicando; y n, índice de la raíz. EXISTENCIA DE RADICALES. Primera: si a es positivo, existe, cualquiera que sea n. Segunda: si a es negativo, sólo existen sus raíces de índice impar.Tercera: salvo que a sea una potencia n-ésima de un número entero o fraccionario, es un número irracional. Sólo podremos obtener su expresión decimal aproximada. FORMA EXPONENCIAL DE LOS RADICALES La raíz n-ésima de un número puede ponerse en forma de potencia: Esta nomenclatura es coherente con la definición.
    • Es importante familiarizarse con la forma exponencial de los radicales, pues nos permitirá expresarlos y operar cómodamente con ellos. PROPIEDADES DE LOS RADICALESLos radicales tienen una serie de propiedades, que debemos conocer y utilizar con soltura. Todas ellas son consecuencia inmediata de conocidas propiedades de las potencias. Veámoslas una a una, estudiando su significado en algunos ejemplos, y viendo sus aplicaciones. Primera: Ejemplos: Esta propiedad tiene dos importantes aplicaciones: simplificar radicales tal y como se ha visto en los ejemplos anteriores; conseguir que dos o más radicales tengan el mismo índice (reducir a índice común). Segunda: Ejemplos: Esta propiedad tiene dos aplicaciones importantes: sacar un factor fuera de la raíz; de modo contrario, juntar varios radicales en uno solo.
    • Tercera: Ejemplos:Esta propiedad, junto con la primera y segunda, sirve para poner productos y cocientes de radicales bajo una sola raíz. Cuarta: Ejemplos: Quinta: Ejemplos: RADICALES SEMEJANTES Dos radicales son semejantes cuando tienen el mismo índice y radicando. Los radicales y son semejantes. Tienen el mismo índice, 2, y el mismo radicando, 3. y son semejantes. Esto se comprueba sacando factores del radical.
    • y son semejantes. Esto se comprueba sacando factores del radical. Más ejemplos de radicales semejantes: OPERACIONES CON RADICALESLa suma o la resta de radicales semejantes es otro radical semejante a los dados, cuyo coeficiente es igual a la suma o la resta de los coeficientes de los radicales sumados o restados. Ejemplo: Si los radicales no son semejantes, la suma se deja indicada. Ejemplo:El producto de radicales, con el mismo índice, es igual a otro radical cuyo coeficiente y radicando son iguales, respectivamente, a los productos de los coeficientes y radicandos de los factores. Ejemplo:
    • El cociente de dos radicales con el mismo índice, es igual a otro radical, cuyo coeficiente y radicando soniguales, respectivamente, al cociente de los coeficientes y radicandos de los radicales dividendo y divisor. Ejemplo: La potencia de un radical es igual a otro radical, cuyo coeficiente y radicando están elevados a dicha potencia. Ejemplo: Es importante observar que al elevar al cuadrado un radical de índice 2, se obtiene el radicando. Ejemplo: EXPRESIONES FRACCIONARIAS Al efectuar cálculos con radicales pueden surgir expresiones fraccionarias en las que aparezcan radicales. Estas expresiones no son números racionales, pues para ello el numerador y el denominador tendrían que ser números enteros.A estas expresiones las llamaremos expresiones fraccionarias, y verifican las mismas propiedades que los números racionales. Es especialmente importante recordar estas dos: Primera: dos expresiones fraccionarias son equivalentes si los productos cruzados son iguales. Segunda: si multiplicamos el numerador y el denominador de una expresión fraccionaria por una misma expresión distinta de cero, se obtiene una expresión fraccionaria equivalente a la primera. Conclusión Muchas personas encuentran las matemáticas un tema arduo, complicado y, a veces, indescifrable. Poreso, en esta carpeta hemos tratado de huir de formalismos, que en ocasiones consiguen desviar y hemos
    • ejemplificado todas las definiciones Las bases de las matemáticas no es saber mucho, sino saber hacerRadicales" Raíz: se llama raíz de un número o de una expresión algebraica a todo número o expresión algebraica queelevada a una potencia "n"; reproduce la expresión dada." Elementos de la raíz.- Radical: se llama radical a toda raíz indicada de una cantidad.Si la raíz es exacta tenemos una cantidad racional.Ejemplos:Si la raíz es inexacta tenemos una cantidad irracional o radical propiamente dicha.Ejemplos:El grado de un radical lo indica el índice de la raíz." Extracción de factores fuera del radical.Pueden extraerse factores fuera del radical; cuando los factores de la cantidad sub-radical contiene unexponente igual o mayor que el índice del radical.Ejercicios de aplicación.Extraer todos los factores posibles de los siguientes radicales:
    • - Introducción de factores dentro del radical.Está operación es inversa a la extracción de radicales. Para introducir factores dentro del radical; se eleva losfactores de la cantidad situada fuera del signo radical a una potencia igual al índice de la raíz, está cantidad seescribe dentro del radical y se multiplica por la cantidad sub-radical si lo hubiera, y finalmente se efectúan lasoperaciones indicadas dentro del radical.Ejercicios de aplicación.Introducir dentro del radical todos los factores posibles que se encuentren fuera de él:
    • - Reducción de radicales al mínimo común índice.Está operación consiste en convertir radicales de distinto índice en radicales del mismo índice. Para eso,hallamos el m.c.m. de los índices que será el índice común; luego elevamos cada cantidad sub-radical a lapotencia resultante de dividir el índice común con el índice de cada radical.Ejemplos:1°) Los índices son 2 , 3 y 6. Hallamos el m.c.m. de los índices.2 3 6 2(1) - 3 3 (1) (1) El m.c.m. es 6.2°) Dividimos el índice común 6 con el índice de cada radical. 6 2 6 3 6 6 (0) 3 (0) 2 (0) 1Luego, elevamos cada cantidad sub-radical a una potencia resultante de la división entre los índices.3°) Efectuamos las operaciones indicadas dentro del radical.Ejercicios de aplicación.Reducir al mínimo común índice los siguientes radicales:
    • - Radicales semejantes: son aquellos radicales que tienen el mismo índice y la misma cantidad sub-radical;diferenciándose solamente en los signos y en los coeficientes.Ejemplos:- Suma y resta de radicales.Está operación se efectúa; primeramente extrayendo los factores de los radicales dados, luego verificamos sihay radicales semejantes y si los hay procedemos a sumarlo algebraicamente sus coeficientes acompañado delradical común y finalmente se escriben los radicales no semejantes con su propio signo si los hubiera.Observación: Se recuerda que solamente se puede sumar o restar radicales, si dichos radicales sonúnicamente semejantes.Ejercicios de aplicación.Sumar los siguientes radicales indicados:
    • - Multiplicación de radicales.a) Para multiplicar radicales del mismo índice; se multiplican previamente los signos,luego los coeficientes entresí y finalmente bajo un mismo radical común las cantidades sub-radicales entre sí. A continuación se efectúa lasoperaciones indicadas dentro del radical y se extraen los factores posibles fuera del radical si los hubiera.
    • Ejercicios de aplicación.Multiplicar los siguientes radicales indicados:b) Para multiplicar radicales compuestos del mismo índice; se multiplican como el producto de 1 polinomio por 1monomio o el producto de 2 polinomios.Ejercicios de aplicación.Multiplicar los siguientes radicales indicados:
    • c) Para multiplicar radicales compuestos de distinto índice; primeramente se reducen los radicales al mínimocomún índice y luego se multiplican como si fueran radicales del mismo índice.Ejercicios de aplicación.Multiplicar los siguientes radicales indicados:
    • - División de radicales.a) Para dividir radicales del mismo índice; se dividen previamente los signos,luego los coeficientes entre sí yfinalmente bajo un mismo radical común se dividen las cantidades sub-radicales entre sí. A continuación seefectúa las operaciones indicadas dentro del radical y se extraen los factores posibles fuera del radical si loshubiera.Ejercicios de aplicación.Dividir los siguientes radicales indicados:
    • b) Para dividir radicales de distinto índice; primeramente se reducen los radicales al mínimo común índice yluego se dividen como si fueran radicales del mismo índice.Ejercicios de aplicación.Dividir los siguientes radicales indicados:- Racionalización: es una operación que tiene por objeto hacer desaparecer siempre el radical deldenominador.1er Caso: cuando el radical del denominador es de 2do grado, es decir posee como radical una raíz cuadrada.Ejemplos:
    • Observación: Para racionalizar el denominador de una fracción bastará multiplicar la fracción por el factorracionalizante del denominador,en éste caso por sí mismo.2do Caso: cuando el radical del denominador es mayor al de 2do grado, es decir radicales de 3er,4to, 5to y másgrado.Ejemplos:Observación: Para racionalizar el denominador de una fracción bastará multiplicar la fracción por el radical delmismo índice con la misma cantidad sub-radical pero el exponente de la cantidad sub-radical debe expresar ladiferencia que existe entre el índice del radical y el exponente de la cantidad sub-radical.3er Caso: cuando el radical del denominador es un binomio.Ejemplos:
    • Observación: Para racionalizar el denominador de una fracción bastará multiplicar la fracción por la conjugadadel denominador.Se llaman cantidades conjugadas a 2 binomios que tienen las mismas cantidades literales, los mismoscoeficientes y los mismos exponentes, diferenciando solamente en el signo del 2do término del 2do binomio.Ejercicios de aplicación.Racionalizar el denominador (1er Caso) de los siguientes cocientes:Racionalizar el denominador (2do Caso) de los siguientes cocientes:
    • Racionalizar el denominador (3er Caso) de los siguientes cocientes:
    • " Ecuaciones con radicales.Solamente vamos a resolver ecuaciones en las cuales el valor de "x" se encuentra bajo el signo radical; poreso recibe el nombre de ecuación irracional.Ejemplo:Ejercicios de aplicación.Resolver cada una de las ecuaciones siguientes y comprobar el resultado: