Your SlideShare is downloading. ×
Simulación
Simulación
Simulación
Simulación
Simulación
Simulación
Simulación
Simulación
Simulación
Simulación
Simulación
Simulación
Simulación
Simulación
Simulación
Simulación
Simulación
Simulación
Simulación
Simulación
Simulación
Simulación
Simulación
Simulación
Simulación
Simulación
Simulación
Simulación
Simulación
Simulación
Simulación
Simulación
Simulación
Simulación
Simulación
Simulación
Simulación
Simulación
Simulación
Simulación
Simulación
Simulación
Simulación
Simulación
Simulación
Simulación
Simulación
Simulación
Simulación
Simulación
Simulación
Simulación
Simulación
Simulación
Simulación
Simulación
Simulación
Simulación
Simulación
Simulación
Simulación
Simulación
Simulación
Simulación
Simulación
Simulación
Simulación
Simulación
Simulación
Simulación
Simulación
Simulación
Simulación
Simulación
Simulación
Simulación
Simulación
Simulación
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Thanks for flagging this SlideShare!

Oops! An error has occurred.

×
Saving this for later? Get the SlideShare app to save on your phone or tablet. Read anywhere, anytime – even offline.
Text the download link to your phone
Standard text messaging rates apply

Simulación

6,778

Published on

Published in: Education
0 Comments
2 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total Views
6,778
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0
Actions
Shares
0
Downloads
381
Comments
0
Likes
2
Embeds 0
No embeds

Report content
Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
No notes for slide

Transcript

  1. Instituto Tecnológico de IgualaSIMULACIÓNApuntes GeneralesM. C. Pascual Felipe Pérez Cabrera, profesor. Aula F-7, Grupo B. ANA NAYELI GÓMEZ GONZÁLEZ JOSE LUIS MOLINA SALGADO EDUARDO NÁJERA GONZÁLEZ MELISA HERNÁNDEZ SALINAS ELIUD ARROYO ABARCA Ingeniería en Sistemas Computacionales Miércoles, 12/12/2012
  2. Simulación ÍNDICE Objetivo ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 1 Competencias específicas………………………………………………………………………………………………………………………… 1 Competencias instrumentales………………………………………………………………………………………………………………… 1 Competencias interpersonales……………………………………………………………………………………………………………… 1 Competencias sitémicas……………………………………………………………………………………………………………………………… 1 1. UNIDAD I – INTRODUCCIÓN A LA SIMULACIÓN 1.1. Definición e importancia de la simulación en la ingeniería. ………… 2 1.2. Conceptos básicos de simulación……………………………………………………………………………………. 3 1.3. Metodología de la simulación……………………………………………………………………………………………. 5 1.4. Modelos y control…………………………………………………………………………………………………………………………… 5 1.5. Estructura y etapas de estudio de simulación…………………………………………………… 9 1.6. Etapas de un proyecto de simulación…………………………………………………………………………… 9 1.7. Elementos básicos de un simulador de eventos discretos……………………… 12 2. UNIDAD II – NÚMEROS PSEUDOALEATORIOS 2.1. Métodos de generación de números Pseudoaleatorios……………………………………… 15 2.2. Pruebas estadísticas…………………………………………………………………………………………………………………… 23 2.3. Método de Monte Carlo………………………………………………………………………………………………………………… 31 3. UNIDAD III – GENERACIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS 3.1. Conceptos básicos…………………………………………………………………………………………………………………………… 36 3.2. Variables aleatorias discretas………………………………………………………………………………………… 36 3.3. Variables aleatorias continuas………………………………………………………………………………………… 37 3.4. Métodos para generar variables aleatorias…………………………………………………………… 38 3.5. Pruebas estadística. (Pruebas de bondad de ajuste)…………………………………… 39 3.6. Procedimientos especiales……………………………………………………………………………………………………… 42 4. UNIDAD IV – LENGUAJES DE SIMULACIÓN 4.1. Lenguaje de simulación y simuladores………………………………………………………………………… 47 4.2. Aprendizaje y uso de lenguaje de simulación o un simulador……………… 51 4.3. Casos prácticos de simulación…………………………………………………………………………………………… 51 4.4. Validación de un simulador…………………………………………………………………………………………………… 55
  3. 5. UNIDAD V – PROYECTO INTEGRADOR 5.1. Análisis, modelado y simulación de un sistema o subsistema de servicios o productivo de una empresa para detectar las mejoras posibles a realizar. …………………………………………………………………………………………………………………… 56REFERENCIAS Y BIBLIOGRAFÍA……………………………………………………………………………………………………………………………… 69
  4. Simulación Miércoles 12∙12∙2012COMPETENCIAS ESPECÍFICAS - Analizar, modelar, desarrollar y experimentar sistemas Productivos y de servicios, reales o hipotéticos, a través de la simulación de eventos discretos, con el fin de conocerlos con claridad o mejorar su funcionamiento, aplicando herramientas matemáticas.COMPETENCIAS INSTRUMENTALES - Capacidad de análisis y síntesis - Capacidad de organizar y planificar - Conocimientos básicos de la carrera - Comunicación oral y escrita - Toma de decisiones - Comunicación oral y escrita en su propia lengua - Conocimiento de una segunda lengua - Habilidad para buscar y analizar - Información proveniente de fuentes diversas - Plantear soluciones de problemas - Toma de decisiones - Habilidades básicas de manejo de la computadoraCOMPETENCIAS INTERPERSONALES - Trabajo en equipo - Habilidades interpersonales - Capacidad de trabajo en un equipo interdisciplinario - Compromiso éticoCOMPETENCIAS SISTÉMICAS - Capacidad de aplicar los conocimientos en la práctica - Habilidades de investigación - Capacidad de aprender - Capacidad de adaptarse a nuevas situaciones - Capacidad de generar nuevas ideas (creatividad) - Liderazgo - Capacidad para diseñar y gestionar proyectos - Iniciativa y espíritu emprendedor - Preocupación por la calidad - Búsqueda del logro Apuntes Generales - 1 -
  5. Simulación Miércoles 12∙12∙2012UNIDAD I – INTRODUCCIÓN A LA SIMULACIÓN • Según el diccionario de la RAE simular es: “Representar algo, fingiendo o imitando lo que no es.” • Según el Handbook of Simulation (1998) es una imitación de las operaciones de un sistema o proceso real a lo largo del tiempo (Sistemas complejos). • Involucra la generación de una historia artificial del comportamiento del sistema y a partir de dicha historia se efectúan inferencias relativas a las características operacionales del sistema real que representa. • Permite describir y analizar el comportamiento del sistema real, y responder ciertas interrogantes para apoyar el diseño de sistemas reales. • En el caso de algunos problemas reales es una metodología indispensable para resolverlos. • Es una metodología que permite apoyar la toma de decisiones. – ya sea en el diseño de Sistemas, antes que éstos sean construidos – ya sea probando políticas de funcionamiento, antes que éstas sean implantadas • La Simulación, no resuelve los problemas por sí misma, • sino que ayuda a: – Identificar los problemas relevantes – Evaluar cuantitativamente las soluciones alternativas. • ¿Por qué son necesarios los modelos de simulación o prototipos? • La experimentación de un sistema o procesos - ... Puede generar problemas éticos - ... puede generar problemas económicos - ... o puede llevarlo a colapsos - ... o puede ser simplemente imposible Apuntes Generales - 2 -
  6. Simulación Miércoles 12∙12∙2012Por ejemplo; en el desarrollo de un nuevo producto. • Es un término muy amplio, en realidad existen varios enfoques para analizar problemas. – La Simulación requiere de MODELOS (validez). • No es una solución analítica – No obtiene resultados exactos (desventaja) – Permite modelar sistemas complejos (ventaja) • Es mejor una respuesta aproximada al problema correcto • que una respuesta correcta al problema aproximado • Es la técnica de modelado estocástico más útil, de mayor reconocimiento en diversos campos de aplicación • Un modelo es una representación de un sistema pensada para unos objetivos. Un mismo sistema real puede tener varios modelos.Un ejemplo de la importancia de la simulación es: La universidad de Barcelona ha incorporado la simulación paramejorar la enseñanza médica. Mejorar la práctica médica de losestudiantes de tercer ciclo y ampliar su experiencia asistencialcon enfermos críticos es el objetivo del nuevo laboratorio,considerado como uno de los más avanzados en simulación médicadentro del ámbito universitario español. La simulación es unaherramienta esencial y disciplinaria,donde en una simple corrida del programapodemos predecir cualquiercomportamiento dinámico de una empresa ouna maquina que se esté diseñando, deigual manera podemos ser los pronósticospara la demanda y utilidad de nuestroproducto o bien ver cuando el mecanismopuede fallar por condiciones diversasdel ambiente donde funcionara. Apuntes Generales - 3 -
  7. Simulación Miércoles 12∙12∙2012 CONCEPTOS BÁSICOS • SISTEMA. Cualquier parte del universo que existe y funciona en el espacio y el tiempo. • MODELO. Un modelo es una representación simplificada del sistema en un instante de tiempo o espacio concreto realizada para comprender el sistema real. Simulación • Una simulación es una manipulación de un modelo de forma que funcione en el espacio o en el tiempo para comprimir éste, permitiéndonos percibir las interacciones que no serían fácilmente apreciables por su separación en el tiempo o el espacio. El Modelado y la simulación son disciplinas para la consecuciónde un nivel de comprensión de la interacción entre las partes delsistema y del sistema como un todo. El nivel de comprensión que sepuede obtener mediante esta disciplina sería difícil de conseguirutilizando otra disciplina. Metodología de la simulación. Apuntes Generales - 4 -
  8. Simulación Miércoles 12∙12∙2012MODELOS Y CONTROL Apuntes Generales - 5 -
  9. Simulación Miércoles 12∙12∙2012VENTAJAS DE LA SIMULACIÓNBeneficio general de la simulaciónLaboratorio de aprendizaje-fácil de modificar. Se puedeexperimentar con nuevos diseños sin que tengan que construirse.Algunos beneficios específicos Mejorar el funcionamiento desistemas reales complejos Disminuir inversiones y gastos deoperación Reducir el tiempo de desarrollo de un sistema Asegurarque el sistema se comportará como se desea Conocer oportunamentehechos relevantes y efectuar cambios en el momento oportuno. Aveces es lo único que se puede hacer para estudiar un sistema real(no existe; se destruye; muy caro). Un modelo de simulación puedeser más amplio y robusto con respecto a los cambios en lascaracterísticas de los parámetros de entrada que un modeloanalítico que solo es válido bajo un conjunto de suposicionesFlexibilidad para modelar las cosas tal como son (no importa sison difíciles de explicar y complicadas), Comprender porqué. - Explorar posibilidades - Diagnosticar problemas - Permite modelar la incertidumbre - La única cosa segura es que nada es seguro - Peligro de ignorar la variabilidad y la incertidumbre - Validez del modelo Apuntes Generales - 6 -
  10. Simulación Miércoles 12∙12∙2012DESVENTAJAS DE LA SIMULACIÓN - Puede ser costosa y consumir mucho tiempo inicialmente. - Construir modelos precisa un entrenamiento especial. - Algunas veces soluciones mejores y más fáciles son pasadas por alto. - Los resultados pueden ser difíciles de interpretar - Por lo general son ignorados los factores humanos y tecnológicos. - Peligro de poner demasiada confianza en los resultados de la simulación. - Es difícil verificar si los resultados son válidos. - (Proceso de validación como tema de estudio)TIPOS DE SIMULACIÓN - Entidad: Objeto u elemento de interés para el sistema considerado. Puede ser dinámica o estática. Atributo: Propiedad de una entidad. Son variables locales a la entidad. - Actividad: Período de tiempo de longitud especificada. - Estado: Conjunto de variables necesario para describir o caracterizar el sistema en cualquier instante, considerando los objetivos del estudio. La evolución de las variables de estado puede ser continua o producirse en determinados eventos. - Evento: Ocurrencia instantánea de algo que puede cambiar el estado del sistema. Reloj de simulación: Una variable que proporciona el valor actual del tiempo simulado. - Indicador de evento: Un registro que representa cuando se produce un evento. - Lista de eventos futuros: Lista enlazada de los indicadores de eventos ordenados por tiempo. (Algunos autores lo denotan como FEL - y otros como FES). - Rutina de temporización: Procedimiento para mantener y avanzar la lista de eventos futuros. Apuntes Generales - 7 -
  11. Simulación Miércoles 12∙12∙2012 - TABLA DE DISTRIDUCIÓN Y CARACTERISTICAS -NOMBRE FÓRMULA CARACTERÍSTICAS La curva tiene un solo pico, por consiguiente es unimodal Se encuentra enDI STRIBUCIÓN NORMAL Z=X-M/T el centro de su curva normal La Mediana y la moda se encuentran en el cent ro Este tipo de éxit os buscados son expresados por unidad,DI STRIBUCIÓN DE POI SON T=-/(Y-M)^2/(N-1) de área, de tiempo, piezas, etc. Se t iene como grados de libertad. No tiene valoresDI STRIBUCIÓN XI CUADRADA X^2=(N-1)S^2/(T^2) negativos el valor mínimo es 0 Todas las curvas son asimétricas. Este tipo de éxit os buscados son expresados por unidad,DI STRIBUCIÓN DE FI SHER F=(U1/D2)/(U2/D2) de área, de tiempo, piezas, etc. Se t iene como grados de libertad No tiene valoresDI STRIBUCIÓN XI CUADRADA X^2=(N-1)S^2/(T^2) negativos el valor mínimo es 0 Todas las curvas son asimétricas La distribución es cont inua La razón mas pequeña es 0DI STRIBUCIÓN F DE FISHER F=(U1/D2)/(U2/D2) La razón mas pequeña, no puede ser negat iva Su enfoque es en forma F(X)=2(X-A)/(C-A)* (B-A) triangular Es total asimétricaDI STRIBUCIÓN TRIANGULAR SI a=< x <= b Se usa como una aproximación de otros Su diferencia principal radica en las aéreas de los extremos En muchasDI STRIBUCIÓN T STUDENTS Z/(V/V) ocasiones no se conoce El numero de observaciones es n<30 Apuntes Generales - 8 -
  12. Simulación Miércoles 12∙12∙2012ETAPAS DE UN ESTUDIO DE SIMULACIÓN1.- Formulación del problema.2.- Planteamiento de los objetivos y plan global del proyecto.3.- Conceptualización del modelo4.- Recogida de datos5.- Traducción del modelo6.- Verificación del modelo.7.- Validación del modelo.8.- Diseño experimental.9.- Ejecuciones y análisis de los resultados.10.- ¿Ejecuciones suplementarias?11.- Documentación e informes.12.- Implementación Apuntes Generales - 9 -
  13. Simulación Miércoles 12∙12∙2012 TOMA DE DECISIONES 1. Determinar la necesidad de una decisión: El proceso de toma de decisiones comienza con el reconocimiento de la necesidad de tomar una decisión, el mismo genera un problema o una disparidad entre cierto estado deseado y la condición real del momento. 2. Identificar los criterios de decisión: Una vez determinada la necesidad de tomar una decisión, se deben identificar los criterios que sean importantes para la misma. Vamos a considerar un ejemplo. 3. Asignar peso a los criterios: Los criterios enumerados en el paso previo no tienen mayor importancia. Es necesario ponderar cada uno de ellos y priorizar su importancia en la decisión. 4. Desarrollar todas las alternativas: Es la base de la toma de decisiones y no es más que desplegar las alternativas. El tomador de la decisión tiene que confeccionar una lista de todas las alternativas posibles que podrían utilizarse para resolver el problema. 5. Evaluar las alternativas: Una vez identificadas las alternativas, el analista de las decisiones tiene que evaluar de manera crítica cada una de ellas. Las ventajas y desventajas de cada alternativa resultan evidentes cuando son comparadas. 6. Seleccionar la mejor alternativa (Toma de decisiones): Una vez seleccionada la alternativa mejor, se llega al final del proceso de la toma de decisiones, en el proceso racional. Esta selección es bastante simple. El tomador de decisiones tiene que escoger la alternativa que tuvo la calificación más alta en el paso número cinco. La toma de decisiones debe ser totalmente objetiva y lógica a la hora de tomarlas, tiene que tener una meta clara y todas las acciones en el proceso de toma de decisiones llevan de manera consistente a la selección de aquellas alternativas que maximizarán la meta. Apuntes Generales - 10 -
  14. Simulación Miércoles 12∙12∙2012MODELOS Y CONTROL PARA LA TOMA DE DECISIONES La buena toma de decisiones permite vivir mejor. Nos otorgaalgo de control sobre nuestras vidas. De hecho, muchas de lasfrustraciones que sufrimos con nosotros mismos se deben a no poderusar la propia mente para entender el problema de decisión, y elcoraje para actuar en consecuencia. Una mala decisión puedeobligarnos a tomar otra mala decisión, como dijo Harry Truman:“Toda mala decisión que tomo va seguida de otra mala decisión”.Un buen analista de sistemas debe tomar muchas decisiones todoslos días. Algunas de ellas son decisiones de rutina ointrascendentes mientras que otras tienen una repercusión drásticaen las operaciones de la organización a la cuál investigan otrabajan. Algunas de estas decisiones podrían involucrar laganancia o pérdida de los objetivos cumplimiento o incumplimientode la misión y las metas de la organización. Un modelo de decisiones más simple que tiene solo dosalternativas se denomina Maniqueísmo, adaptado por Zaratustra yluego adoptado por otras religiones organizadas. El maniqueísmo esel concepto de dualidad que divide todo lo que forma parte deluniverso en dos alternativas distintas o dos polos opuestos, comopor ejemplo el bien y el mal, blanco y negro, día y noche, mente(o alma) y cuerpo, etc. Este concepto de dualidad fue un modelosuficiente de la realidad para aquella época para que el mundofuera manejable y calculable. Sin embargo, hoy en día sabemos concerteza que todos los sistemas cambian y todos tienen un amplioespectro continuo. No existen los opuestos en la naturaleza.Debemos ver el mundo a través de los ojos de nuestra mente vivida;de lo contrario, no comprendemos bien las ideas complejas. La tomade decisiones y la experiencia es un elemento clave puesto que lasdecisiones deben tomarse sobre una realidad altamente complejadebido al enorme número de variables que entran en juego. Apuntes Generales - 11 -
  15. Simulación Miércoles 12∙12∙2012 La acumulación de experiencia es larga y costosa. Siconsideramos que cuando mas se aprende es como consecuencia de lospropios errores, el alcanzar un elevado nivel de experiencia en elmundo empresarial puede llegar a tener un costo terriblementealto. La consecuencia inmediata es que toda la experiencia quepueda ganarse sin los efectos que pudieran derivarse de unadecisión errónea o, simplemente de uan decisión no optima, serábien recibida y más económica, sea cual sea su costo.Estructura y etapas de estudio de simulación - Efectos futuros: Tiene que ver con la medida en que los compromisos relacionados con la decisión afectará el futuro. Una decisión que tiene una influencia a largo plazo, puede ser considerada una decisión de alto nivel, mientras que una decisión con efectos a corto plazo puede ser tomada a un nivel muy inferior. - Reversibilidad: Se refiere a la velocidad con que una decisión puede revertirse y la dificultad que implica hacer este cambio. Si revertir es difícil, se recomienda tomar la decisión a un nivel alto; pero sí revertir es fácil, se requiere tomar la decisión a un nivel bajo. - Impacto: Esta característica se refiere a la medida en que otras áreas o actividades se ven afectadas. Si el impacto es extensivo, es indicado tomar la decisión a un nivel alto; un impacto único se asocia con una decisión tomada a un nivel bajo. - Calidad: Este factor se refiere a las relaciones laborales, valores éticos, consideraciones legales, principios básicos de conducta, imagen de la compañía, etc. Si muchos de estos factores están involucrados, se requiere tomar la decisión a Apuntes Generales - 12 -
  16. Simulación Miércoles 12∙12∙2012 un nivel alto; si solo algunos factores son relevantes, se recomienda tomar la decisión a un nivel bajo. - Periodicidad: Este elemento responde a la pregunta de si una decisión se toma frecuente o excepcionalmente. Una decisión excepcional es una decisión de alto nivel, mientras que una decisión que se toma frecuentemente es una decisión de nivel bajo. Apuntes Generales - 13 -
  17. Simulación Miércoles 12∙12∙2012 Apuntes Generales - 14 -
  18. Simulación Miércoles 12∙12∙2012UNIDAD II – NÚMEROS PSEUDOALEATORIOSUn elemento importante en simulación es tener rutinas que generenvariables aleatorias con distribuciones específicas: uniforme,normal, etc.Para ello la base es generar una secuencia de números aleatoriosdistribuidos uniformemente entre 0 y 1.Y para ello la clave es generar números enteros aleatorios yuniformemente distribuidos en un cierto intervalo de una maneraeficiente.MÉTODOS DE GENERACIÓN DE NÚMEROS PSEUDOALEATORIOSLa mayoría de los métodos (generadores) comienzan con un númeroinicial (semilla), a este número se le aplica un determinadoprocedimiento y así se encuentra el primer número random.Usando este número como entrada, el procedimiento es repetido paralograr un próximo número random.Comienza con un número inicial (semilla). Este número es elevadoal cuadrado. Se escogen los dígitos del medio de este nuevo número(según los dígitos que se deseen) y se colocan después del puntodecimal. Este número conforma el primer número random.Ejemplo: X0 = 5497 X02 = (5497)2 = 30,217,009 ===> X1 = 2170 R1 = 0.2170 X12 = (2170)2 = 04,708,900 ===> X2 = 7089 R2 = 0.7089 X22 = (7089)2 = 50,253,921 ===> X3 = 2539 OPERACIÓN MOD Apuntes Generales - 15 -
  19. Simulación Miércoles 12∙12∙2012k mod m es el residuo de hacer la división de k entre mSea x un entero grande45 mod 12 =(5+55x) mod 5 =(5+55x) mod 11 =Método de la Congruencia Lineal Apuntes Generales - 16 -
  20. Simulación Miércoles 12∙12∙2012El número aleatorio se encuentra de la siguiente manera: R = x / mUsar Excel para calcular los números aleatorios que se producenpara m = 15, a = 12 y c = 0 con las semillas x0 = 0, hasta 14. Apuntes Generales - 17 -
  21. Simulación Miércoles 12∙12∙2012 a = 12 c= 0 m = 15 x0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14x1 0 12 9 6 3 0 12 9 6 3 0 12 9 6 3x2 0 9 3 12 6 0 9 3 12 6 0 9 3 12 6x3 0 3 6 9 12 0 3 6 9 12 0 3 6 9 12x4 0 6 12 3 9 0 6 12 3 9 0 6 12 3 9x5 0 12 9 6 3 0 12 9 6 3 0 12 9 6 3x6 0 9 3 12 6 0 9 3 12 6 0 9 3 12 6x7 0 3 6 9 12 0 3 6 9 12 0 3 6 9 12x8 0 6 12 3 9 0 6 12 3 9 0 6 12 3 9x9 0 12 9 6 3 0 12 9 6 3 0 12 9 6 3x 10 0 9 3 12 6 0 9 3 12 6 0 9 3 12 6x 11 0 3 6 9 12 0 3 6 9 12 0 3 6 9 12x 12 0 6 12 3 9 0 6 12 3 9 0 6 12 3 9EjercicioUsar Excel para calcular los números aleatorios que se producenpara m = 15, a = 12 y c = 0con las semillas x0 = 0, hasta 14.Para x0 = 1: ¿Cuál es el período, la longitud es del ciclo y lalongitud de la cola ?.R: 5, 4, 1.EjercicioUsar Excel para calcular los números aleatorios que se producenpara m = 15, a = 12 y c = 0con las semillas x0 = 0, hasta 14. Apuntes Generales - 18 -
  22. Simulación Miércoles 12∙12∙2012GCL MultiplicativosPeriodo completo = Cuando tiene el máximo periodo posible, m – 1.Los hay con m potencia de 2 (m = 2k ) que son rápidos pues elresiduo en divisiones con potencia de 2 puede hacerse rápidamente.Aunque tienen la desventaja que no son de periodo completo puedenser suficientes para muchas aplicaciones.Cuando m no es potencia de 2 el generador es menos rápido; seacostumbra elegir un número m que sea primo y la relación entre my a debe ser especial para que el generador tenga un periodocompleto o al menos grande. Apuntes Generales - 19 -
  23. Simulación Miércoles 12∙12∙2012Ejercicio 2Suponiendo que se utilice el generador de números seudo-aleatorios.y que la semilla se escoge eligiendo al azar un entero entre 1 y 26− 1 inclusive, determine el promedio de la longitud del periodo ysu desviación estándar. Apuntes Generales - 20 -
  24. Simulación Miércoles 12∙12∙2012Probando generadores de números aleatoriosEs importante asegurarse de que el generador usado produzca unasecuencia suficientemente aleatoria. Para esto se somete elgenerador a pruebas estadísticas. Si no pasa una prueba, podemosasumir que el generador es malo. Pasar una prueba es una condiciónnecesaria pero no suficiente. Un generador puede pasar una pruebay luego no pasarla si se usa otra semilla u otro segmento delciclo.¿Cómo sabemos que nuestro generador es bueno?PRUEBAS GRÁFICAS Gráfica de Serie de Tiempo. Tablas de frecuencias e histogramasPRUEBA ESTADÍSTICA Prueba Ji-cuadrada Usar el ejemplo: xn+1 = (75 ・xn) mod 231 – 1Con semilla = 1, los primeros 200 números generados.Gráfica de Serie de Tiempo 10.90.80.70.60.50.40.30.20.1 0 1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 101 111 121 131 141 151 161 171 181 191 201 Apuntes Generales - 21 -
  25. Simulación Miércoles 12∙12∙2012 10.90.80.70.60.50.40.30.20.1 0 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200Es importante observar que NO exista ningún patrón o tendencia.Tabla de frecuencias e histograma Intervalo Frecuencia [0, 0.1) 21 [0.1, 0.2) 19 [0.2, 0.3) 20 [0.3, 0.4) 16 [0.4, 0.5) 25 [0.5, 0.6) 20 [0.6, 0.7) 20 [0.7, 0.8) 17 [0.8, 0.9) 20 [0.9, 1.0) 22 200 Apuntes Generales - 22 -
  26. Simulación Miércoles 12∙12∙2012 Histograma 30 25 Frecuencias 20 15 10 5 0 [0, 0.1) [0.1, [0.2, [0.3, [0.4, [0.5, [0.6, [0.7, [0.8, [0.9, 0.2) 0.3) 0.4) 0.5) 0.6) 0.7) 0.8) 0.9) 1.0) IntervaloNúmeros aleatorios entre 0 y 1* La probabilidad de observar un valor en un particular intervaloes independiente del valor previo observado. * Todo punto en el rango tiene igual probabilidad de ser elegido. * Si el intervalo (0,1) es dividido en n sub-intervalos de iguallongitud, el número esperado de observaciones en cada intervalo esN/n. (N número de observaciones totales).El objetivo de cualquier esquema de generación (generador), esproducir una secuencia de números entre 0 y 1 que simule laspropiedades ideales de distribución uniforme y de independencia.PRUEBAS ESTADÍSTICASEsta es la prueba más comúnmente usada. En general, puede serusada para cualquier distribución. A partir de un histograma, secomparan las frecuencias observadas con las frecuencias obtenidasde la distribución específica (frecuencias esperadas). Apuntes Generales - 23 -
  27. Simulación Miércoles 12∙12∙2012 Frecuencia FrecuenciaIntervalo Observada Esperada I1 O1 E1 I2 O2 E2 … … … Ik Ok Ek Total TotalPrueba estadística Ji-cuadradaHipótesis nula. Ho: no hay diferencia entre frecuencias observadasy esperadas.Hipótesis alternativa. Ha o H1 : existe una diferencia entrefrecuencias observadas y esperadas.Estadístico de prueba:Si el ajuste es exacto, c02 es cero, pero por aleatoriedad no loserá. Se puede demostrar que tiene distribución ji-cuadrado conk-1 grados de libertad. Apuntes Generales - 24 -
  28. Simulación Miércoles 12∙12∙2012 Apuntes Generales - 25 -
  29. Simulación Miércoles 12∙12∙2012Ejercicio:Determine el 95º percentil de la distribución ji-cuadrada con 6grados de libertadLos grados de libertad son iguales a: número de filas - χ 0 > χα ,k −1 2 2En esta prueba se debe cuidar que las frecuencias esperados seanmayores o iguales a 5.Prueba estadística Ji-cuadradaEjercicio 3Generador:xn+1 = (75 ・xn) mod 231 – 1Con semilla = 1, los primeros 200 números generados.Realizar la prueba estadística ji-cuadrada para probar si losvalores vienen de una distribución uniforme.Usar nivel de significancia = a = 0.05Ho: Los valores provienen de una distribución uniforme.Ha: Los valores NO provienen de una distribución uniforme Apuntes Generales - 26 -
  30. Simulación Miércoles 12∙12∙2012 2 Frecuencia Frecuencia (observado - esperado)Intervalo Observada Esperada esperado [0, 0.1) 21 20 0.05 [0.1, 0.2) 19 20 0.05 [0.2, 0.3) 20 20 0 [0.3, 0.4) 16 20 0.8 [0.4, 0.5) 25 20 1.25 [0.5, 0.6) 20 20 0 [0.6, 0.7) 20 20 0 [0.7, 0.8) 17 20 0.45 [0.8, 0.9) 20 20 0 [0.9, 1.0) 22 20 0.2 Total 200 200 2.8 χ 02 = ∑ 10 (Oi − Ei )2 = 2.8 i =1 EiEstadístico de pruebaRegión de Rechazo:χα ,k −1 = χ 02.05,9 2= 16.919 Apuntes Generales - 27 -
  31. Simulación Miércoles 12∙12∙20122.8 no es mayor que 16.919, por lo que el estadístico de prueba NOcae en la región de rechazo.Conclusión: Ho NO se rechaza.Los valores generados sí parecen venir de una distribuciónuniformeGenerador:xn+1 = (57 ・xn) mod 215 – 1Con semilla = 1, considere los primeros 100 números generadosentre 0 y 1.Realizar la prueba estadística ji-cuadrada para probar si losvalores vienen de una distribución uniforme.Usar 10 intervalos.Usar nivel de significancia = a = 0.05.Usando el método del cuadrado medio y semilla = 5896, se generaronlos primeros 80 números aleatorios. Apuntes Generales - 28 -
  32. Simulación Miércoles 12∙12∙2012Realizar la prueba estadística ji-cuadrada para probar si losvalores provienen de una distribución uniforme.Usar 8 intervalos y un nivel de significancia = a = 0.05. Intervalo Frecuencia [0, 0.125) 16 [0.125, 0.25) 12 [0.25, 0.375) 11 [0.375, 0.5) 11 [0.5, 0.625) 8 [0.625, 0.75) 6 [0.75, 0.875) 7 [0.875, 1.0) 9 80Generador:xn+1 = (57 ・xn) mod 215 – 1Con semilla = 14, considere los primeros 100 números generadosentre 0 y 1.Realizar la prueba estadística ji-cuadrada para probar si losvalores vienen de una distribución uniforme.Usar 8 intervalos.Usar nivel de significancia = a = 0.05. Apuntes Generales - 29 -
  33. Simulación Miércoles 12∙12∙2012 Intervalo Frecuencia [0, 0.125) 22[0.125, 0.25) 7[0.25, 0.375) 18 [0.375, 0.5) 13 [0.5, 0.625) 21[0.625, 0.75) 4[0.75, 0.875) 9 [0.875, 1.0) 6 100Para esto, se necesitan números aleatorios R entre 0 y 1.Usar el generador:xn+1 = (57 ・xn) mod 215 – 1 Con semilla = 1.Generar 100 valores de la distribución:Utilizar la prueba ji-cuadrada para decidir si los valoresgenerados realmente parecen tener la distribución de probabilidadanterior (a = 0.05).Usar 20 semillas y observar en cuántos casos la prueba se rechaza.Generación de variables aleatorias discretasSuponga que un determinado fenómeno aleatorio tiene la siguientedistribución de probabilidad: Variable Probabilidad Acumulada 18 cm. 0.3 0.3 19 cm. 0.4 0.7 20 cm. 0.3 1 Apuntes Generales - 30 -
  34. Simulación Miércoles 12∙12∙2012 MÉTODO DE MONTE CARLOLa simulación de Monte Carlo es una técnica que combina conceptosestadísticos (muestreo aleatorio) con la capacidad que tienen losordenadores para generar números pseudoaleatorios y automatizarcálculos.Recibió el nombre de Monte Carlo en referencia al Casino de MonteCarlo, ubicado en el Principado de Mónaco, al que se considera“la capital del juego de azar”. La ruleta es un generadorde números aleatorios. El método de Monte Carlo se remonta a finesde 1940, cuando John von Neumann y Stanislaw Ulam acuñaron eltérmino “análisis de Monte Carlo” para aplicarlo a una técnicamatemática que usaban entonces para resolver ciertos problemas deprotección nuclear. El método de Monte Carlo1 es un método nodeterminístico o estadístico numérico, usado para aproximarexpresiones matemáticas complejas y costosas de evaluar conexactitud. El método se llamó así en referencia al Casino de MonteCarlo (Principado de Mónaco) por ser “la capital del juego deazar”, al ser la ruleta un generador simple de números aleatorios.El nombre y el desarrollo sistemático de los métodos de MonteCarlo datan aproximadamente de 1944 y se mejoraron enormemente conel desarrollo de la computadora.El uso de los métodos de Monte Carlo como herramienta deinvestigación, proviene del trabajo realizado en el desarrollo dela bomba atómica durante la Segunda Guerra Mundial en elLaboratorio Nacional de Los Álamos en EE. UU. Este trabajoconllevaba la simulación de problemas probabilísticos dehidrodinámica concernientes a la difusión de neutrones en elmaterial de fisión. Esta difusión posee un comportamientoeminentemente aleatorio. En la actualidad es parte fundamental delos algoritmos de Raytracing para la generación de imágenes 3D. Apuntes Generales - 31 -
  35. Simulación Miércoles 12∙12∙2012En la primera etapa de estas investigaciones, John von Neumann yStanislaw Ulam refinaron esta ruleta rusa y los métodos "dedivisión" de tareas. Sin embargo, el desarrollo sistemático deestas ideas tuvo que esperar al trabajo de Harris y Herman Kahn en1948. Aproximadamente en el mismo año, Enrico Fermi, NicholasMetropolis y Ulam obtuvieron estimadores para los valorescaracterísticos de la ecuación de Schrödinger para la captura deneutrones a nivel nuclear usando este método. El método de MonteCarlo proporc iona soluciones aproximadas a una gran variedad deproblemas matemáticos posibilitando la realización de experimentoscon muestreos de números pseudoaleatorios en una computadora. Elmétodo es aplicable a cualquier tipo de problema, ya seaestocástico o determinista. A diferencia de los métodos numéricosque se basan en evaluaciones en N puntos en un espacio M-dimensional para producir una solución aproximada, el método deMonte Carlo tiene un error absoluto de la estimación que decrececomo en virtud del teorema del límite central.La invención del método de Monte Carlo se asigna a Stanislaw Ulamy a John von Neumann. Ulam ha explicado cómo se le ocurrió la ideamientras jugaba un solitario durante una enfermedad en 1946.Advirtió que resulta mucho más simple tener una idea del resultadogeneral del solitario haciendo pruebas múltiples con las cartas ycontando las proporciones de los resultados que computar todas lasposibilidades de combinación formalmente. Se le ocurrió que estamisma observación debía aplicarse a su trabajo de Los Álamos sobredifusión de neutrones, para la cual resulta prácticamenteimposible solucionar las ecuaciones íntegro-diferenciales quegobiernan la dispersión, la absorción y la fisión. “La ideaconsistía en probar con experimentos mentales las miles deposibilidades, y en cada etapa, determinar por casualidad, por unnúmero aleatorio distribuido según las probabilidades, quésucedería y totalizar todas las posibilidades y tener una idea dela conducta del proceso físico”. Apuntes Generales - 32 -
  36. Simulación Miércoles 12∙12∙2012Podían utilizarse máquinas de computación, que comenzaban a estardisponibles, para efectuar las pruebas numéricas y en efectoreemplazar el aparato experimental del físico. Durante una de lasvisitas de von Neumann a Los Álamos en 1946, Ulam le mencionó elmétodo. Después de cierto escepticismo inicial, von Neumann seentusiasmó con la idea y pronto comenzó a desarrollar susposibilidades en un procedimiento sistemático. Ulam expresó queMonte Carlo “comenzó a tener forma concreta y empezó adesarrollarse con todas sus fallas de teoría rudimentaria despuésde que se lo propuse a Johnny”.A principios de 1947 Von Neumann envió una carta a Richtmyer a LosÁlamos en la que expuso de modo influyente tal vez el primerinforme por escrito del método de Monte Carlo. Su carta fueencuadernada junto con la respuesta de Richtmyer como un informede Los Álamos y distribuida entre los miembros del laboratorio.Von Neumann sugería aplicar el método para rastrear la generaciónisótropa de neutrones desde una composición variable de materialactivo a lo largo del radio de una esfera. Sostenía que elproblema era adecuado para el ENIAC y estimaba que llevaría 5horas calcular la acción de 100 neutrones a través de un curso de100 colisiones cada uno.Ulam estaba particularmente interesado en el método Monte Carlopara evaluar integrales múltiples. Una de las primerasaplicaciones de este método a un problema determinista fue llevadaa cabo en 1948 por Enrico Fermi, Ulam y von Neumann cuandoconsideraron los valores singulares de la ecuación de Schrödinger.Si deseamos reproducir, mediante números aleatorios, la tiradasucesiva de una moneda, debemos previamente asignarle un intervalode números aleatorios a CARA y otro a CRUZ, de manera de poderinterpretar el resultado de la simulación. Tales intervalos seasignan en función de las probabilidades de ocurrencia de cadacara de la moneda. Tenemos así: Apuntes Generales - 33 -
  37. Simulación Miércoles 12∙12∙2012CARA Probabilidad: 0,50 Números aleatorios: 0,000 al 0,499CRUZ Probabilidad: 0,50 Números aleatorios: 0,500 al 0,999Después, al generar un número aleatorio a partir de la función RANde la calculadora, por ejemplo, obtenemos el resultado simulado.Así, si obtenemos el número aleatorio 0,385, observamos que estáincluido en el intervalo asignado a CARA.En otras aplicaciones, se asocian intervalos de números aleatoriossegún las probabilidades de ocurrencia de los eventos a simular. PROCEDIMIENTO GENERAL DEL MÉTODO DE SIMULACIÓN MONTE CARLO1. Identificación del sistema complejo2. Detección de una situación de toma de decisiones3. Identificación de la variable aleatoria y su espacio demuestreo4. Recolección de datos de la variable aleatoria5. Identificación de la función de probabilidad o construcción delcuadro de frecuencias absolutas y relativas.6. Construcción de la función de probabilidad acumulada.7. Determinación o construcción del cuadro de la transformadainversa de la función de la probabilidad acumulada.8. Generación de un número aleatorio.9. Simulación de un valor aleatorio específico de la variablealeatoria Apuntes Generales - 34 -
  38. Simulación Miércoles 12∙12∙2012 Apuntes Generales - 35 -
  39. Simulación Miércoles 12∙12∙2012UNIDAD III – GENERACIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS La generación de cualquier variable aleatoria se va a basaren la generación previa de una distribución uniforme (0,1),visto en el tema anterior. En este capítulo vamos aestudiar ciertas transformaciones o algoritmos que nos vana transformar dichos números generados en valores de otrasdistribuciones.Variables aleatorias discretasCaso discreto En este caso la función de distribución esdiscontinua y tiene una forma escalonada. Su fórmula es Al ser discreta no hay fórmula de su inversa y puedeocurrir que dado un u no se encuentre imagen x de la función, sinoque este valor esté entre dos valores posibles.Lo que se va a hacer en este caso es que dado un u se va obtenercomo salida un x j tal que El algoritmo queda comosigue: Apuntes Generales - 36 -
  40. Simulación Miércoles 12∙12∙2012Este método es un método sencillo de aplicar, siempre y cuando lafunción de distribución no tenga una fórmula complicada y utilizasólo un número aleatorio ara calcular un valor de la variablealeatoria.Variables aleatorias continuasEn este caso la función de distribución es continua. Vamos autilizar un número aleatorio u, uniformemente distribuido en(0,1) y vamos a suponer que es el valor que toma lafunción de distribución en un punto x. Tal punto va a ser elvalor de la variable que queremos generar. Al ser la función dedistribución continua, vamos a encontrar un valor de x paracualquier u. Apuntes Generales - 37 -
  41. Simulación Miércoles 12∙12∙2012 MÉTODOS PARA GENERAR VARIABLES ALEATORIAS Procedimientos especiales. Método de Aceptación Rechazo Los métodos de inversión, composición y convolución sonmétodos de generación directos, en el sentido en que tratandirectamente con la función de distribución. El método deaceptación-rechazo es menos directo en su aproximación.Nosotros vamos a aplicar este método en el caso de que la variablealeatoria sea continua, el caso discreto es análogo y está tratadoen Prob. 8.9????En este caso tenemos la función de densidad f(x) de la variable ynecesitamos una función t(x) que la acote, es decir t(x)³f(x) "x.Hay que notar que t(x) no es, en general, una función de densidad pero la función r(x)=t(x)/c, si esclaramente una función de densidad. (Suponemos que t es tal quec<¥). Debemos de poder generar (esperamos que de forma fácil yrápida) un valor de la variable aleatoria que sigue la funciónr(x). El algoritmo general queda como sigue:Generar x que siga la distribución r(x)Generar u~U(0,1), independiente de xSi entonces devolver x si no volver a repetir el algoritmoEl algoritmo continúa repitiéndose hasta que se genera un valorque es aceptado. Para hacer que se rechacen el menor número depuntos posibles la función t(x) debe ser la mínima función queacote a f(x). Apuntes Generales - 38 -
  42. Simulación Miércoles 12∙12∙2012PRUEBAS ESTADÍSTICA. (PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE).En la construcción del modelo de simulación es importante decidirsi un conjunto de datos se ajusta apropiadamente a unadistribución específica de probabilidad. Al probar la bondad delajuste de un conjunto de datos, se comparan las frecuenciasobservadas FO realmente en cada categoría o intervalo de clase conlas frecuencias esperadas teóricamente FE.La prueba Ji cuadrada hace uso de la distribución del mismo nombrepara probar la bondad del ajuste al comparar el estadístico deprueba Xo2 con el valor en tablas de la mencionada distribución Jicuadrada con v grados de libertad y un nivel designificancia alfa. En la siguiente sección aplicaremos estaprueba para probar la hipótesis nula de que los números aleatorios(provenientes de un generador) se ajustan a la distribuciónteórica uniforme continua.Sea X una variable aleatoria discreta con valores x1, x2,.......,xn Se propone la hipótesis nula H0, de que la distribución dedonde proviene la muestra se comporta según un modelo teóricoespecífico tal como la uniforme, la exponencial, la normal, etc.Entonces FOi, representa el número de veces que ocurre el valor ximientras que FEi, es la frecuencia esperada proporcionada por elmodelo teórico propuesto. A menudo ocurre que muchas de lasfrecuencias FEi, (y también las FOi) son muy pequeñas, entonces,como regla práctica adoptamos el criterio de agrupar los valoresconsecutivos de estas frecuencias esperadas hasta que su suma seade al menos cinco. La medida estadística de prueba para lahipótesis nula es Apuntes Generales - 39 -
  43. Simulación Miércoles 12∙12∙2012Para n grande este estadístico de prueba tiene unadistribución X2 aproximada con V grados de libertad dados por V = (k –1) – (número de parámetros estimados)así, si se estiman dos parámetros como la media y la varianza, lamedida estadística tendrá (k – 3) grados de libertad.Se puede aplicar esta prueba a variables continuas agrupandoadecuadamente los valores en un número adecuado de subintervalos oclases k. Una regla empírica para seleccionar el número de claseses:EJEMPLO. La siguiente muestra de tamaño 50 ha sido obtenida de unapoblación que registra la vida útil (en unidades de tiempo) debaterías alcalinas tipo AAA. Pruébese la hipótesis nula de que lavariable aleatoria vida útil de las baterías sigue unadistribución exponencial negativa. Considérese un nivel designificancia alpha de 5%.8.223 0.836 2.634 4.778 0.406 0.517 2.330 2.563 0.511 6.4262.230 3.810 1.624 1.507 2.343 1.458 0.774 0.023 0.225 3.2142.920 0.968 0.333 4.025 0.538 0.234 3.323 3.334 2.325 7.5140.761 4.490 1.514 1.064 5.088 1.401 0.294 3.491 2.921 0.3341.064 0.186 2.782 3.246 5.587 0.685 1.725 1.267 1.702 1.849SOLUCIÓN. Calculamos los valores min = 0.023 y max = 8.223.Resultando ser el rango o recorrido igual a 8.2. El valor promedioes de 2.3. A continuación ordenamos los valores de maneraascendente y construimos el histograma de frecuencias relativascon seis clases cada una de longitud 1.5. (esto es debido a que8.2 / 6 = 1.3) Apuntes Generales - 40 -
  44. Simulación Miércoles 12∙12∙2012 k Clase FO absoluta FO relativa 1 0.0 - 1.15 21 0.42 2 1.15 - 3.0 15 0.30 3 3.0 - 4.5 8 0.16 4 4.5 - 6.0 3 0.06 5 6.0 - 7.5 1 0.02 6 7.5 - 9.0 2 0.04Re – agrupamos las clases de modo que la FO sea de al menos 5 k Clase FO absoluta FO relativa 1 0.0 - 1.15 21 0.42 2 1.15 - 3.0 15 0.30 3 3.0 - 4.5 8 0.16 4 4.5 - 9.0 6 0.12Como nuestra hipótesis nula es que los datos se ajustan a lafunción de probabilidad exponencial negativa, emplearemos talfunción para calcular mediante integración el porcentaje deprobabilidad esperado para cada subintervalo. Ya vimos que elvalor promedio es de 2.3, sin embargo para fines prácticos loconsideraremos como 2.0. El cálculo de la integral para la primerclase es: Apuntes Generales - 41 -
  45. Simulación Miércoles 12∙12∙2012 k Clase FO relativa FE teórica (FO-FE)2FE 1 0.0 - 1.5 0.42 0.528 0.022 2 1.5 - 3.0 0.30 0.249 0.010 3 3.0 - 4.5 0.16 0.118 0.015 4 4.5 - 9.0 0.12 0.105 0.002Entonces se tiene el valorAhora compararemos este valor calculado contra el valor tabuladode la distribución Ji – cuadrada con un nivel de significanciaalpha de 5% y el número de grados de libertadV = (k –1) – 1 = (4 –1) –1 = 2. (Obsérvese que se estimo elparámetro promedio ?). EntoncesComo vemos el valor calculado es menor que el valor tabulado, portanto la conclusión es que no se puede rechazar la hipótesis nulade que la muestra proviene de una distribución exponencial conmedia 2.0. Apuntes Generales - 42 -
  46. Simulación Miércoles 12∙12∙2012 Prueba de Kolmogorov - SmirnovOtra prueba para la bondad de ajuste se apoya en la distribuciónde Kolmogorov – Smirnov la que al ser desarrollada para variablescontinuas la hace más poderosa por ejemplo, en el caso de losnúmeros aleatorios, que la Ji cuadrada. Por esta razón, en estasección la presentamos para un caso distinto al de la distribucióncontinua.Definamos la siguiente función de distribución empírica. Supóngaseque Y es una variable aleatoria continua que tiene una función dedistribución F(y). Una muestra aleatoria de n realizacionesde Y produce las observaciones y1, y2, ..., yn. Reordenemos esosvalores observados de menor a mayor, y las yi ordenadas serepresentan mediante y(1) y(2) ..., y(n). Es decir, si y1 =7, y2 = 9 y y3 = 3, entonces y(1) = 3, y(2) = 7 y y(3) = 9. Ahorabien, la función de distribución acumulada empírica esta definidapor:F n(y) = fracción de la muestra menor o igual a ySupóngase que se toma una variable aleatoria continua Y, bajo lahipótesis nula, que tiene una función de distribución representadapor F (y). La hipótesis alterna es que F (y) no es la funciónverdadera de distribución de es la función verdadera dedistribución de Y. Después de observar una muestra aleatoriade n valores de Y, F (y) debe estar “cerca“ de F n(y) siempre ycuando sea verdadera la hipótesis nula. Por lo tanto, la medidaestadística debe apreciar la cercanía de F(y) a Fn(y) en todo elintervalo de valores de y.La medida estadística D de K-S se basa en la distancia máximaentre F(y) y Fn(y), es decir, D = máx ¦ F(y) - Fn(y) ¦ Apuntes Generales - 43 -
  47. Simulación Miércoles 12∙12∙2012Se rechaza la hipótesis nula si D es “demasiado grande”.Como F(y) y Fn(y) no son decrecientes y Fn(y) es constante entreobservaciones de muestra, la desviación máxima entre F(y) y Fn(y),se presentará ya sea en uno de los puntos de observación y1 , ...yn , o inmediatamente a la izquierda de uno de ellos. Paradeterminar el valor observado de D, se necesita entonces comprobartan sólo D+ = máxy D- = máxYa que D = máx (D+ , D-)Si en H0 se supone la forma de F (y), pero se deja sin especificaralgunos de los parámetros, entonces éstos se deben estimar a parirde los datos de la muestra antes de poder llevar a cabo la prueba.Stephens (1974) dio valores de corte de áreas superiores de 0.15,0.10, 0.05, 0.025 y 0.01 para una forma modificada de la tabla K –S para D (presentada en el apéndice de este libro), los cuales semuestran en la siguiente tabla para tres casos. Estos casos sonpara la hipótesis nula de una F(y) completamente especificada,una F(y) normal con promedio y variancia desconocidos, yuna F(y) exponencial con promedio desconocido. Apuntes Generales - 44 -
  48. Simulación Miércoles 12∙12∙2012TABLA DE KOLMOGOROV – SMIRNOV DE STEPHENS. Puntos porcentuales delextremo superior para D modificada EJEMPLO. Considérese que las diez observaciones siguientes sonuna muestra aleatoria de una distribución continua. Probar lahipótesis de que esos datos provienen de una distribuciónexponencial con promedio 2, en el nivel de significación 0.05.0.406, 2.343, 0.538, 5.088, 5.587, 2.563, 0.023, 3.334, 3.491,1.267.Solución. Se ordenan las diez observaciones ascendentemente yentonces se calcula, para cada y(i), el valor de F(yi),donde H0 establece que F (y) es exponencial con teta=2. portanto, F(yi) = 1 - e-yi/2Registraremos los datos ordenados así como los cálculos en lasiguienteTABLA (i – F(yi) - (i –I y(i) F(yi) i/n i/n - F(yi) 1)/n 1)/n1 0.023 0.0114 0.1 0.0 0.0886 0.01142 0.406 0.1838 0.2 0.1 0.0162 0.08383 0.538 0.2359 0.3 0.2 0.0641 0.03594 1.267 0.4693 0.4 0.3 -0.0693 0.16935 2.343 0.6901 0.5 0.4 -0.19801 0.2901 Apuntes Generales - 45 -
  49. Simulación Miércoles 12∙12∙20126 2.563 0.7224 0.6 0.5 -0.1224 0.22247 3.334 0.8112 0.7 0.6 -0.1112 0.21128 3.491 0.8254 0.8 0.7 -0.0254 0.12549 5.088 0.9214 0.9 0.8 -0.0214 0.121410 5.587 0.9388 0.10 0.9 0.0612 0.0388D+ es el valor máximo en la columna 6 y D- el máximo en la columna7. Entonces D + = 0.0886 y D – = 0.2901, lo cual da D = 0.2901.Para determinar el valor crítico a partir de la tabla K - S, senecesita calcularEn el nivel de significación alfa = 0.05, el valor de D calculadoes menor que el valor del valor de D modificado. Por lo tanto, nose rechaza la hipótesis nula. Más adelante, aplicaremos estaprueba de K – S, sin la modificación de Stephens. Apuntes Generales - 46 -
  50. Simulación Miércoles 12∙12∙2012UNIDAD IV – LENGUAJES DE SIMULACIÓNLENGUAJE DE SIMULACIÓN DE PROPÓSITO ESPECÍFICOLos lenguajes de simulación facilitan enormemente el desarrollo yejecución de simulaciones de sistemas complejos del mundo real. Ellenguaje de simulación de propósito específico es un paquete decomputadora que permite realizar la simulación para un ambienteespecífico, no requiriendo esfuerzo en programación, es decir,produce un código mas legible, modificable y menos largo.Estos lenguajes permiten una orientación basada en procesos obasados en eventos. Los eventos son los instantes de tiempo en loscuales un cambio en el sistema ocurre y coincide con el inicio oterminación de las actividades y la orientación basada en procesoses desarrollada desde el punto de vista de lasentidades(transacciones) que fluyen en el sistema.CARACTERÍSTICAS DE LOS LENGUAJES DE SIMULACIÓN: Los lenguajes de simulación proporcionan automáticamente las características necesarias para la programación de un modelo de simulación, lo que redunda en una redacción significativa del esfuerzo requerido para programar el modelo. Proporcionan un marco de trabajo natural para el uso de modelos de simulación. Los bloques básicos de construcción del lenguaje son mucho más afines a los propósitos de la simulación que los de un lenguaje de tipo general. Los modelos de simulación son mucho más fácilmente modificables. Proporcionan muchos de ellos una asignación dinámica de memoria durante la ejecución Facilitan una mejor detección de los errores. Apuntes Generales - 47 -
  51. Simulación Miércoles 12∙12∙2012 Los paquetes de software especialmente diseñados para simulación contienen aplicaciones diversas que facilitan al simulador las tareas de comunicaciones, la depuración de errores sintácticos y de otro tipo de errores, la generación de escenarios, la manipulación “on-line” de los modelos, etc. Son muy conocidos y en uso actualmente Aprendizaje lleva cierto tiempoSIMULADORES DE ALTO NIVEL Muy fáciles de usar por su interfaz gráfica Restringidos a las áreas de manufactura y comunicaciones Flexibilidad restringida puede afectar la validez del modeloALGUNOS TIPOS DE LENGUAJES DE SIMULACIÓN ESPECIFICOSSimulación SIMANEn Ingles SIMAN significa Análisis, modelación y simulación(Simulation Modeling and Análisis). Este lenguaje fue desarrolladopor C. Dennos Pedgen, Systems Modeling Corp.,Sewickley, PA. EUA.Simulador SIMSCRIPT II.5El SIMSCRIPT II.5 de la compañía de productos CACI, es un lenguajeque permite modelar y que puede ser orientado a eventos oorientado a procesos.Simulador SLAM IISLAM II (simulación lenguaje For Alternative Modeling) es unlenguaje de simulación por el cual se pueden construir modelos conorientación al proceso o al evento. Apuntes Generales - 48 -
  52. Simulación Miércoles 12∙12∙2012VENTAJAS DE LENGUAJES ESPECÍFICOS:Programas más cortos: - Están preparados para llevar la contabilidad de los distintos parámetros. - Tienen módulos para generar números aleatorios de las distintas distribuciones, reloj, etc.Al tener menos líneas de código: - Es más fácil detectar posibles errores.- Se reduce el tiempo de programación. - Es más fácil cambiarlo si queremos introducir alguna variación. - Existen una serie de errores típicos que suelen ser identificados y chequeados de forma automática accesibles. - Integra funciones como generación de números aleatorios, análisis estadístico y gráficas. - Tienen una alta fiabilidad que conduce a una validación de resultados sencilla y rápida.Desventajas/Inconvenientes de lenguajes específicos: - Son menos flexibles, y su sintaxis tiende a ser menos natural. - Las ejecuciones son más lentas. - Son menos conocidos por analistas y programadores, y los compiladores son menos accesibles. - Es necesario invertir en la adquisición del software. Apuntes Generales - 49 -
  53. Simulación Miércoles 12∙12∙2012LENGUAJE DE SIMULACIÓN SIMANVersión original (Simulation and Analysis) desarrollada por DennisPegden, en la Universidad de Alabama. Cuando era líder del grupode desarrollo de la versión original de SLAM (basada en lossoftware de GASP y Q~GER-r de Pristker and Associates). Más tarde,Pegden Inicia su trabajo en el Pennissylvania State Universitydonde lo diseña como un lenguaje de modelamiento para propósitosgenerales. Desde su implementación inicial en 1994, ha sidocontinuamente refinado por System Modeling Corporation , y en 1998y 1989 el lenguaje fue completamente rediseñado dando origen aSIMAN/Cinema.El ambiente de modelamiento enSIMAN se desarrolla entre:El Modeling, se describen loscomponentes del sistema y susinteracciones.El Experiment, donde se definenlas condiciones del experimento(longitud de la corrida,condiciones iniciales).SIMAN modela un sistema discreto usando la orientación al proceso;es decir, en un modelo de sistema particular, se estudian lasentidades que se mueven a través del sistema. Una entidad paraSIMAN es un cliente. Un objeto que se mueve en la simulación y queposee características únicas conocidas como atributos. Apuntes Generales - 50 -
  54. Simulación Miércoles 12∙12∙2012 Aprendizaje y uso de lenguaje de simulación o un simulador PROGRAMA GENERADOR DE NUMEROS ALEATORIOS Apuntes Generales - 51 -
  55. Simulación Miércoles 12∙12∙2012 Apuntes Generales - 52 -
  56. Simulación Miércoles 12∙12∙2012 Apuntes Generales - 53 -
  57. Simulación Miércoles 12∙12∙2012 Apuntes Generales - 54 -
  58. Simulación Miércoles 12∙12∙2012VALIDACIÓN DE UN SIMULADORA través de esta etapa es valorar las diferencias entre elfuncionamiento del simulador y el sistema real que se estátratando de simular.3 Las formas más comunes de validar un modeloson: - La opinión de expertos sobre los resultados de la simulación. - La exactitud con que se predicen datos históricos. - La exactitud en la predicción del futuro. - La comprobación de falla del modelo de simulación al utilizar datos que hacen fallar al sistema real. - La aceptación y confianza en el modelo de la persona que hará uso de los resultados que arroje el experimento de simulación. Experimentación. La experimentación con el modelo se realiza después que este haya sido validado. La experimentación consiste en generar los datos deseados y en realizar un análisis de sensibilidad de los índices requeridos. Interpretación. En esta etapa del estudio, se interpretan los resultados que arroja la simulación y con base a esto se toma una decisión. Es obvio que los resultados que se obtienen de un estudio de simulación ayuda a soportar decisiones del tipo semi-estructurado. Documentación. Dos tipos de documentación son requeridos para hacer un mejor uso del modelo de simulación. La primera se refiere a la documentación del tipo técnico y la segunda se refiere al manual del usuario, con el cual se facilita la interacción y el uso del modelo desarrollado. Apuntes Generales - 55 -
  59. Simulación Miércoles 12∙12∙2012UNIDAD V – PROYECTO INTEGRADORPROGRAMA MÉTODO MONTE CARLO EN C++// Este programa calculara valores aleatorios segun las veces que .#include<iostream>#include<iomanip>#include<cmath>using namespace std;double aleatoria (double, double, long int, long int);int main(){ long int acertados = 0, lanzados = 1 ; double x = 0 , y = 0; cout<<"Este progrma estima el valor de Pi usando el metodo deMonte Carlo.n"; //Ejecuta el programa hasta que el usuario escriba 0 while(lanzados!=0) { cout<<"nEntra el numero de dardos que quieres lanzar(0para terminar): "; cin>>lanzados; //si el valor es diferente de 0 continua if (lanzados!=0) { //resetear el valor de acertados para realizarotro problema acertados = 0; aleatoria(x, y, lanzados, acertados); //Para estimar el valor de pi //Multiplicamos el numero de acertados por 4 y lodividimos //por el numero de lanzados. double Pi = acertados / lanzados; cout<<"Para "<<lanzados<<" lanzados "; cout<<"El valor aproximado de Pi es "<<4 *Pi<<"n"; } //end if (lanzados!=0) }//end while lanzados != 0 return 0;}double aleatoria (double x, double y, long lanzados, long acertados){ Apuntes Generales - 56 -
  60. Simulación Miércoles 12∙12∙2012 for (int j = 0; j < lanzados; j++) { //Genera un valor a la Random para x & y entre 1 y 0 //con una precision tipo double x *= pow(10.0, 2); y *= pow(10.0, 2); int range = static_cast<int>(y - x) + 1; static_cast<double>(static_cast<int>(x) + rand() % range); //Si x & y estan dentro de un circulo (x^2+y^2 <= 1) //Entonces aumenta el hit if (x * x + y * y <= 1) acertados = acertados ++; return acertados; }} APLICACIÓN DE SIMULACIÓN MONTE CARLO EN UN SISTEMA DE INVENTARIOS DINÁMICOObjetivo del trabajo El objetivo de este trabajo es: “Demostrar cómo la técnica desimulación Monte Carlo en computadora digital coadyuva a unatoma de decisiones adecuada en un sistema dinámico deinventarios”.Metodología El método que se siguió fue, primero, una entrevistapersonal donde los dueńos expresaron sus opiniones respectodel problema sentido y sus experiencias, según su memoria, sinrecurrir a la revisión de documentación. Después de un primeranálisis, sobre la base de la información proporcionada, yante resultados adversos, se procedió a revisar una muestra de susregistros; con estos datos se determinó nuevamente la demandasemanal y el número de semanas desde que se coloca el pedido hastaque se entregan los juegos de amortiguadores en la Apuntes Generales - 57 -
  61. Simulación Miércoles 12∙12∙2012Refaccionaria. Por último, se propusieron valores para el punto depedido y la cantidad pedida con el propósito de observar lavariación en el comportamiento del sistema de inventario. En cadauno de las simulaciones se realizaron corridas que comprenden diezańos de operación, es decir, 520 semanas simuladas, y seobtuvieron las estadísticas correspondientes.Marco conceptual La simulación en computadora es una técnica cuya aplicacióntiene como fin obtener conocimiento nuevo o resolver problemas dedecisión imitando la operación o comportamiento dinámico de unsistema, que se está proponiendo o que existe en larealidad, mediante la construcción de un dispositivo experimentalnumérico o un modelo matemático y/o lógico, donde se sustituyenlas propiedades esenciales de aquellos por expresionesmatemáticas o lógicas, para luego representar su conducta en unacomputadora a través de la dimensión tiempo. La simulación actualmente es una técnica relevante de laInvestigación de Operaciones, debido principalmente al grandesarrollo tecnológico que se ha dado en el ámbito de lascomputadoras en los últimos sesenta ańos. En los procedimientoscuantitativos de la Investigación de Operaciones se utilizaampliamente el ordenador electrónico por la flexibilidad con quepueden representarse los modelos matemáticos y/o lógicos, más lagran capacidad que tiene de almacenar datos y su rapidezde procesamiento. Cuando se quiere conocer, mejorar o cambiar el funcionamientode un sistema, la mejor manera de hacerlo es observándolo y luegosimulándolo en un procesador electrónico de datos. La observaciónpermite analizar al sistema en su estado actual y recopilar datos,generalmente en un intervalo de tiempo dado. Estoproporciona información importante acerca de la operación del Apuntes Generales - 58 -
  62. Simulación Miércoles 12∙12∙2012proceso o comportamiento del sistema bajo estudio. Después, sepuede representar como un conjunto de relaciones matemáticasy lógicas entre los elementos y subconjuntos que lo conforman conel fin de simular su comportamiento; esto es, para imitar alsistema es necesario contar con un modelo de simulación. Estemodelo posteriormente es traducido a lenguaje de computadora,construido en un paquete de simulación o representado en una hojade cálculo electrónica para ser ejecutado en un ordenadorelectrónico, donde se simulará el desempeño real del sistema através del tiempo. La simulación de un sistema en computadora se considera comoun experimento de tipo estadístico o de muestreo cuyosresultados deben analizarse mediante pruebas estadísticasadecuadas. La técnica de la simulación no es un método deoptimización, su aplicación implica realizar estudios donde sehace la pregunta: żQué sucedería si...? En particular, la técnicade la simulación se emplea ampliamente en la administración detodo tipo de organización para estudiar o analizar sistemasdonde no se pueden usar métodos analíticos que permitan determinarcon exactitud soluciones óptimas. Es decir, apoyándose en estatécnica y haciendo uso de ordenadores electrónicos se puede imitarla operación de sistemas para proporcionar, a quien es responsablede tomar decisiones, de alternativas de solución, no óptimas, paralos problemas que se generan en dichos sistemas. El procesador electrónico de datos, dada suscaracterísticas de alta velocidad y gran capacidad dememoria, como ya se mencionó, puede simular la operación de unsistema por mucho tiempo, inclusive por varios años, en tan sóloalgunos minutos. Al registrar el desempeño de la operaciónsimulada de un sistema se podrán considerar varios tipos de diseñodel sistema o cursos de operación de un proceso perteneciente alsistema, que permitirán evaluar varias alternativas antes dedecidirse por una de ellas. Apuntes Generales - 59 -
  63. Simulación Miércoles 12∙12∙2012 Las ventajas de la simulación son: su aplicación directa, queno afecta al sistema en su operación; menor costo que lasustitución del sistema real por un nuevo diseño propuesto; másfácil de aplicar que los métodos analíticos y; una vez construidoel modelo de simulación, éste se puede ejecutar en una computadoracuantas veces se desee para analizar diferentes valores de losparámetros, diversas políticas propuestas o algunos nuevos diseńosdel sistema. Al realizar la simulación mediante un ordenadorelectrónico, los valores de inicio son de tipo controlado y losproporciona generalmente quien está interesado en resolver elproblema o quien toma las decisiones para que se solucione;mientras que los valores de tipo probabilístico se generanmediante algún proceso aleatorio. El proceso general de unacorrida de simulación en computadora se muestra en la gráfica #1. Apuntes Generales - 60 -
  64. Simulación Miércoles 12∙12∙2012RESULTADOS En el momento de la entrevista, los dueńos expresan que suproveedor no les surte adecuadamente. Según su opinión, lacantidad que se vende de juegos de amortiguadores para este tipode auto por semana, es la que se expresa en el cuadro #1. Respecto al tiempo que transcurre entre la colocación de unpedido y la entrega de la mercancía por parte del proveedor,estiman que fluctúa entre dos y cinco semanas, como se puedeobservar en el siguiente cuadro: Apuntes Generales - 61 -
  65. Simulación Miércoles 12∙12∙2012 Se determinan los intervalos de números aleatorios parasimular la cantidad demandada de juegos de amortiguadores paraautos Chevy de la marca Chevrolet y, en el cuadro, se especificanlos intervalos de números aleatorios para simular el número desemanas de entrega de los juegos de amortiguadores por parte del Apuntes Generales - 62 -
  66. Simulación Miércoles 12∙12∙2012 Para llevar a cabo la primera simulación encomputadora se ha considerado el punto de pedido (R = 5), lacantidad por pedido (Q = 10) y la existencia en inventario (II =15) de juegos de amortiguadores. En el cuadro se puede observaruna muestra de los resultados iníciales y finales de la primerasimulación en computadora, realizada con datos recolectados segúnla apreciación subjetiva de los dueños, del comportamiento delinventario semanal de juegos completos de amortiguadores paraautos Chevy durante diez años. Después de un número suficientemente grande de intentos sededujo que la apreciación que tenían los dueños en la entrega delproducto por parte del proveedor en el momento en que laproporcionaron era probablemente errónea. Un nuevo acercamientocon ellos condujo a la posibilidad de recabar datos de losregistros de la Refaccionaria. Apuntes Generales - 63 -
  67. Simulación Miércoles 12∙12∙2012 El comportamiento que se detectó de la demanda semanal dejuegos de amortiguadores varía con respecto a la opinión de losdueños. Apuntes Generales - 64 -
  68. Simulación Miércoles 12∙12∙2012 Con la información sustraída de los registros de laRefaccionaria se procedió entonces a elaborar nuevos intervalos denúmeros aleatorios y realizar nuevas corridas de simulación dediez ańos (520 semanas). Los resultados se pueden ver en el cuadro#9 a continuación. Apuntes Generales - 65 -
  69. Simulación Miércoles 12∙12∙2012 Con el fin de ver si se podía mejorar la situación semodificó la cantidad pedida (Q) de juegos de amortiguadoresdisminuyéndola a siete juegos, manteniendo sin variar el puntode pedido (R =5) y el inventario inicial (II = 15). El resultadode la simulación, también de 520 semanas, es el que se expone enel cuadro a continuación. Apuntes Generales - 66 -
  70. Simulación Miércoles 12∙12∙2012 Para continuar con ensayos se determinó reducir el punto depedido R a cuatro unidades, manteniendo la cantidad pedida Q ensiete juegos y el inventario a inicio de semana II en 15. Se muestran los resultados de la simulación de 520 semanascon estos datos. En términos absolutos los valores promedio sonlos mismos que los de la simulación anterior: cinco juegos deinventario inicial, tres juegos de demanda y un juego de pérdidapor semana. La variabilidad es prácticamente la misma, de acuerdo a losvalores de la desviación estándar. Lo relevante en este cuadro esque la moda disminuye de diez unidades a cero. Apuntes Generales - 67 -
  71. Simulación Miércoles 12∙12∙2012CONCLUSIONESLa técnica de Simulación Monte Carlo, realizada en hoja de cálculoExcel de una computadora digital, coadyuva a la toma dedecisiones que se requieren en sistemas dinámicos. El método de simulación Monte Carlo en hoja de cálculo Excel permite corregir la apreciación subjetiva de un evento cuando no es la adecuada por parte de quienes toman decisiones, pues el juicio o memoria de las personas no siempre es correcto. En este caso, la abstracción mental de la demanda semanal y las semanas de entrega de los juegos de amortiguadores para autos Chevy, marca Chevrolet, por los dueńos de la Refaccionaria Almaraz posiblemente se distorsionó por alguna experiencia reciente. De acuerdo con las simulaciones realizadas se recomienda disminuir el punto de pedido R a cuatro y la cantidad pedida Q a siete juegos completos de amortiguadores. Se propone llevar a cabo un estudio más minucioso que abarque los costos del inventario de juegos completos de amortiguadores para esta clase de autos. Apuntes Generales - 68 -
  72. Simulación Miércoles 12∙12∙2012REFERENCIAS Y BIBLIOGRAFÍA - Banks, J. [1994),”Software for simulation,” en 1994 winter Simulation Conference Proceedings, ed. J.D. Tew, S.Manivannan, D.A. Sadowski, A.F. Seila, Association for computing Machinery, New York, NY, pag. 26-33. - http://es.wikipedia.org/wiki/Simulaci%C3%B3n - http://www.google.com.mx/imgres?um=1&hl=es&tbo=d&rlz=1C1SFXN_ enMX500MX500&biw=1366&bih=624&tbm=isch&tbnid=9jsBs5FTXSA6- M:&imgrefurl=http://simulacionupolijosy.wordpress.com/page/2/ &docid=VzkljyRH4Bm36M&imgurl=http://simulacionupolijosy.files .wordpress.com/2011/03/simulacion.gif&w=600&h=432&ei=eTTKUKOe LIf62AXdwIGIAQ&zoom=1&iact=hc&vpx=372&vpy=120&dur=3916&hovh=1 90&hovw=265&tx=137&ty=72&sig=109249713460006535469&page=1&tbn h=122&tbnw=170&start=0&ndsp=23&ved=1t:429,r:2,s:0,i:83 - https://www.google.com.mx/search?q=METODO+MONTE+CARLO&rlz=1C1 SFXN_enMX500MX500&sugexp=chrome,mod%3D7&um=1&ie=UTF- 8&hl=es&tbm=isch&source=og&sa=N&tab=wi&ei=sDHKULCMGrCA2AWR2oH QAQ&biw=1366&bih=624&sei=sjHKUNqMM8eY2AX8woHgDw - https://www.google.com.mx/search?q=CURSOS+PRACTICOS+DE+SIMULA CION&rlz=1C1SFXN_enMX500MX500&oq=CURSOS+PRACTICOS+DE+SIMULACI ON&sugexp=chrome,mod=7&sourceid=chrome&ie=UTF-8 - http://simulacionitca.blogspot.mx/2012/04/lenguaje-de-los- lenguajes-de-facilitan.html - https://www.google.com.mx/search?q=TIPOS+DE+LENGUAJE+DE+SIMUL ACION&rlz=1C1SFXN_enMX500MX500&oq=TIPOS+DE+LENGUAJE+DE+SIMULA CION&sugexp=chrome,mod=7&sourceid=chrome&ie=UTF-8 - https://www.google.com.mx/search?q=prueba+de+la+bondad+del+aj uste&rlz=1C1SFXN_enMX500MX500&aq=0&oq=PRUEBA+DE+LA+BON&sugexp =chrome,mod=7&sourceid=chrome&ie=UTF-8 - https://www.google.com.mx/search?q=LENGUAJE+DE+SIMULACION&rlz =1C1SFXN_enMX500MX500&sugexp=chrome,mod%3D7&um=1&ie=UTF- 8&hl=es&tbm=isch&source=og&sa=N&tab=wi&ei=0CzKUI8YpfDaBem4gdg O&biw=1366&bih=624&sei=0izKUKbHDOWi2wWR9YDoBA Apuntes Generales - 69 -
  73. Simulación Miércoles 12∙12∙2012 - http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Montecarlo - https://www.google.com.mx/search?q=METODO+DE+MONTE+CARLO&rlz= 1C1SFXN_enMX500MX500&oq=METODO+DE+MONTE+CARLO&sugexp=chrome,m od=7&sourceid=chrome&ie=UTF- 8#hl=es&tbo=d&rlz=1C1SFXN_enMX500MX500&spell=1&q=METODO+DE+MO NTECARLO&sa=X&ei=-SvKUPiLA- TB2QWqx4DwDg&ved=0CC0QBSgA&bav=on.2,or.r_gc.r_pw.r_cp.r_qf.&b vm=bv.1355272958,d.b2I&fp=b92b2a6542dd0cc6&bpcl=39942515&biw= 1366&bih=624 - http://www.facmed.unam.mx/deptos/salud/censenanza/planunico/s pii/antologia2012/3.pdf - http://148.204.211.134/polilibros/portal/Polilibros/P_termina dos/SimSist/doc/SIMULACI-N-128.htm - https://www.google.com.mx/search?q=PRUEBAS+DE+BONDAD+DE+AJUST E&rlz=1C1SFXN_enMX500MX500&oq=PRUEBAS+DE+BONDAD+DE+AJUSTE&sug exp=chrome,mod=7&sourceid=chrome&ie=UTF-8 Apuntes Generales - 70 -

×