Ayrık Matematik - Tanıtlama

1,668 views
1,488 views

Published on

Tanıt teknikleri, çelişkiyle tanıt, tümevarım.

Published in: Education, Technology, Spiritual
0 Comments
1 Like
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
1,668
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
5
Actions
Shares
0
Downloads
83
Comments
0
Likes
1
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Ayrık Matematik - Tanıtlama

  1. 1. Ayrık Matematik TanıtlamaH. Turgut Uyar Ay¸eg¨l Gen¸ata Yayımlı s u c Emre Harmancı 2001-2013
  2. 2. Lisans c 2001-2013 T. Uyar, A. Yayımlı, E. Harmancı You are free: to Share – to copy, distribute and transmit the work to Remix – to adapt the work Under the following conditions: Attribution – You must attribute the work in the manner specified by the author or licensor (but not in any way that suggests that they endorse you or your use of the work). Noncommercial – You may not use this work for commercial purposes. Share Alike – If you alter, transform, or build upon this work, you may distribute the resulting work only under the same or similar license to this one. Legal code (the full license): http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/
  3. 3. Konular 1 Temel Teknikler Giri¸ s Do˘rudan Tanıt g Celi¸kiyle Tanıt ¸ s E¸de˘erlilik Tanıtları s g 2 T¨mevarım u Giri¸ s G¨¸l¨ T¨mevarım uc u u
  4. 4. Konular 1 Temel Teknikler Giri¸ s Do˘rudan Tanıt g Celi¸kiyle Tanıt ¸ s E¸de˘erlilik Tanıtları s g 2 T¨mevarım u Giri¸ s G¨¸l¨ T¨mevarım uc u u
  5. 5. Kaba Kuvvet Y¨ntemi o olası b¨t¨n durumları teker teker incelemek uu Teorem {2, 4, 6, . . . , 26} k¨mesinden se¸ilecek her sayı, u c en fazla 3 tamkarenin toplamı ¸eklinde yazılabilir. s Tanıt. 2 = 1+1 10 = 9+1 20 = 16+4 4=4 12 = 4+4+4 22 = 9+9+4 6 = 4+1+1 14 = 9+4+1 24 = 16+4+4 8 = 4+4 16 = 16 26 = 25+1 18 = 9+9
  6. 6. Kaba Kuvvet Y¨ntemi o olası b¨t¨n durumları teker teker incelemek uu Teorem {2, 4, 6, . . . , 26} k¨mesinden se¸ilecek her sayı, u c en fazla 3 tamkarenin toplamı ¸eklinde yazılabilir. s Tanıt. 2 = 1+1 10 = 9+1 20 = 16+4 4=4 12 = 4+4+4 22 = 9+9+4 6 = 4+1+1 14 = 9+4+1 24 = 16+4+4 8 = 4+4 16 = 16 26 = 25+1 18 = 9+9
  7. 7. Kaba Kuvvet Y¨ntemi o olası b¨t¨n durumları teker teker incelemek uu Teorem {2, 4, 6, . . . , 26} k¨mesinden se¸ilecek her sayı, u c en fazla 3 tamkarenin toplamı ¸eklinde yazılabilir. s Tanıt. 2 = 1+1 10 = 9+1 20 = 16+4 4=4 12 = 4+4+4 22 = 9+9+4 6 = 4+1+1 14 = 9+4+1 24 = 16+4+4 8 = 4+4 16 = 16 26 = 25+1 18 = 9+9
  8. 8. Temel Kurallar ¨ Evrensel Ozelle¸tirme (Universal Specification - US) s ∀x p(x) ⇒ p(a) Evrensel Genelle¸tirme (Universal Generalization - UG) s rasgele se¸ilen bir a i¸in p(a) ⇒ ∀x p(x) c c
  9. 9. Temel Kurallar ¨ Evrensel Ozelle¸tirme (Universal Specification - US) s ∀x p(x) ⇒ p(a) Evrensel Genelle¸tirme (Universal Generalization - UG) s rasgele se¸ilen bir a i¸in p(a) ⇒ ∀x p(x) c c
  10. 10. ¨ ¨ gEvrensel Ozelle¸tirme Orne˘i s ¨ Ornek B¨t¨n insanlar ¨l¨ml¨d¨r. Sokrates bir insandır. uu ou u u O halde Sokrates ol¨ml¨d¨r. ¨u u u U: b¨t¨n insanlar uu p(x): x ¨l¨ml¨d¨r ou u u ∀x p(x): B¨t¨n insanlar ¨l¨ml¨d¨r. uu ou u u a: Sokrates, a ∈ U: Sokrates bir insandır. o halde, p(a): Sokrates ol¨ml¨d¨r. ¨u u u
  11. 11. ¨ ¨ gEvrensel Ozelle¸tirme Orne˘i s ¨ Ornek B¨t¨n insanlar ¨l¨ml¨d¨r. Sokrates bir insandır. uu ou u u O halde Sokrates ol¨ml¨d¨r. ¨u u u U: b¨t¨n insanlar uu p(x): x ¨l¨ml¨d¨r ou u u ∀x p(x): B¨t¨n insanlar ¨l¨ml¨d¨r. uu ou u u a: Sokrates, a ∈ U: Sokrates bir insandır. o halde, p(a): Sokrates ol¨ml¨d¨r. ¨u u u
  12. 12. ¨ ¨ gEvrensel Ozelle¸tirme Orne˘i s ¨ Ornek 1. ∀x [j(x) ∨ s(x) → ¬p(x)] A 2. p(m) A ∀x [j(x) ∨ s(x) → ¬p(x)] 3. j(m) ∨ s(m) → ¬p(m) US : 1 p(m) ∴ ¬s(m) 4. ¬(j(m) ∨ s(m)) MT : 3, 2 5. ¬j(m) ∧ ¬s(m) DM : 4 6. ¬s(m) AndE : 5
  13. 13. ¨ ¨ gEvrensel Ozelle¸tirme Orne˘i s ¨ Ornek 1. ∀x [j(x) ∨ s(x) → ¬p(x)] A 2. p(m) A ∀x [j(x) ∨ s(x) → ¬p(x)] 3. j(m) ∨ s(m) → ¬p(m) US : 1 p(m) ∴ ¬s(m) 4. ¬(j(m) ∨ s(m)) MT : 3, 2 5. ¬j(m) ∧ ¬s(m) DM : 4 6. ¬s(m) AndE : 5
  14. 14. ¨ ¨ gEvrensel Ozelle¸tirme Orne˘i s ¨ Ornek 1. ∀x [j(x) ∨ s(x) → ¬p(x)] A 2. p(m) A ∀x [j(x) ∨ s(x) → ¬p(x)] 3. j(m) ∨ s(m) → ¬p(m) US : 1 p(m) ∴ ¬s(m) 4. ¬(j(m) ∨ s(m)) MT : 3, 2 5. ¬j(m) ∧ ¬s(m) DM : 4 6. ¬s(m) AndE : 5
  15. 15. ¨ ¨ gEvrensel Ozelle¸tirme Orne˘i s ¨ Ornek 1. ∀x [j(x) ∨ s(x) → ¬p(x)] A 2. p(m) A ∀x [j(x) ∨ s(x) → ¬p(x)] 3. j(m) ∨ s(m) → ¬p(m) US : 1 p(m) ∴ ¬s(m) 4. ¬(j(m) ∨ s(m)) MT : 3, 2 5. ¬j(m) ∧ ¬s(m) DM : 4 6. ¬s(m) AndE : 5
  16. 16. ¨ ¨ gEvrensel Ozelle¸tirme Orne˘i s ¨ Ornek 1. ∀x [j(x) ∨ s(x) → ¬p(x)] A 2. p(m) A ∀x [j(x) ∨ s(x) → ¬p(x)] 3. j(m) ∨ s(m) → ¬p(m) US : 1 p(m) ∴ ¬s(m) 4. ¬(j(m) ∨ s(m)) MT : 3, 2 5. ¬j(m) ∧ ¬s(m) DM : 4 6. ¬s(m) AndE : 5
  17. 17. ¨ ¨ gEvrensel Ozelle¸tirme Orne˘i s ¨ Ornek 1. ∀x [j(x) ∨ s(x) → ¬p(x)] A 2. p(m) A ∀x [j(x) ∨ s(x) → ¬p(x)] 3. j(m) ∨ s(m) → ¬p(m) US : 1 p(m) ∴ ¬s(m) 4. ¬(j(m) ∨ s(m)) MT : 3, 2 5. ¬j(m) ∧ ¬s(m) DM : 4 6. ¬s(m) AndE : 5
  18. 18. ¨ ¨ gEvrensel Ozelle¸tirme Orne˘i s ¨ Ornek 1. ∀x [j(x) ∨ s(x) → ¬p(x)] A 2. p(m) A ∀x [j(x) ∨ s(x) → ¬p(x)] 3. j(m) ∨ s(m) → ¬p(m) US : 1 p(m) ∴ ¬s(m) 4. ¬(j(m) ∨ s(m)) MT : 3, 2 5. ¬j(m) ∧ ¬s(m) DM : 4 6. ¬s(m) AndE : 5
  19. 19. ¨ gEvrensel Genelle¸tirme Orne˘i s ¨ Ornek 1. ∀x [p(x) → q(x)] A 2. p(c) → q(c) US : 1 ∀x [p(x) → q(x)] 3. ∀x [q(x) → r (x)] A ∀x [q(x) → r (x)] ∴ ∀x [p(x) → r (x)] 4. q(c) → r (c) US : 3 5. p(c) → r (c) HS : 2, 4 6. ∀x [p(x) → r (x)] UG : 5
  20. 20. ¨ gEvrensel Genelle¸tirme Orne˘i s ¨ Ornek 1. ∀x [p(x) → q(x)] A 2. p(c) → q(c) US : 1 ∀x [p(x) → q(x)] 3. ∀x [q(x) → r (x)] A ∀x [q(x) → r (x)] ∴ ∀x [p(x) → r (x)] 4. q(c) → r (c) US : 3 5. p(c) → r (c) HS : 2, 4 6. ∀x [p(x) → r (x)] UG : 5
  21. 21. ¨ gEvrensel Genelle¸tirme Orne˘i s ¨ Ornek 1. ∀x [p(x) → q(x)] A 2. p(c) → q(c) US : 1 ∀x [p(x) → q(x)] 3. ∀x [q(x) → r (x)] A ∀x [q(x) → r (x)] ∴ ∀x [p(x) → r (x)] 4. q(c) → r (c) US : 3 5. p(c) → r (c) HS : 2, 4 6. ∀x [p(x) → r (x)] UG : 5
  22. 22. ¨ gEvrensel Genelle¸tirme Orne˘i s ¨ Ornek 1. ∀x [p(x) → q(x)] A 2. p(c) → q(c) US : 1 ∀x [p(x) → q(x)] 3. ∀x [q(x) → r (x)] A ∀x [q(x) → r (x)] ∴ ∀x [p(x) → r (x)] 4. q(c) → r (c) US : 3 5. p(c) → r (c) HS : 2, 4 6. ∀x [p(x) → r (x)] UG : 5
  23. 23. ¨ gEvrensel Genelle¸tirme Orne˘i s ¨ Ornek 1. ∀x [p(x) → q(x)] A 2. p(c) → q(c) US : 1 ∀x [p(x) → q(x)] 3. ∀x [q(x) → r (x)] A ∀x [q(x) → r (x)] ∴ ∀x [p(x) → r (x)] 4. q(c) → r (c) US : 3 5. p(c) → r (c) HS : 2, 4 6. ∀x [p(x) → r (x)] UG : 5
  24. 24. ¨ gEvrensel Genelle¸tirme Orne˘i s ¨ Ornek 1. ∀x [p(x) → q(x)] A 2. p(c) → q(c) US : 1 ∀x [p(x) → q(x)] 3. ∀x [q(x) → r (x)] A ∀x [q(x) → r (x)] ∴ ∀x [p(x) → r (x)] 4. q(c) → r (c) US : 3 5. p(c) → r (c) HS : 2, 4 6. ∀x [p(x) → r (x)] UG : 5
  25. 25. ¨ gEvrensel Genelle¸tirme Orne˘i s ¨ Ornek 1. ∀x [p(x) → q(x)] A 2. p(c) → q(c) US : 1 ∀x [p(x) → q(x)] 3. ∀x [q(x) → r (x)] A ∀x [q(x) → r (x)] ∴ ∀x [p(x) → r (x)] 4. q(c) → r (c) US : 3 5. p(c) → r (c) HS : 2, 4 6. ∀x [p(x) → r (x)] UG : 5
  26. 26. Bo¸ Tanıt s bo¸ tanıt s P ⇒ Q tanıtı i¸in P’nin yanlı¸ oldu˘unu g¨stermek c s g o
  27. 27. ¨ gBo¸ Tanıt Orne˘i s Teorem ∀S [∅ ⊆ S] Tanıt. ∅ ⊆ S ⇔ ∀x [x ∈ ∅ → x ∈ S] ∀x [x ∈ ∅] /
  28. 28. ¨ gBo¸ Tanıt Orne˘i s Teorem ∀S [∅ ⊆ S] Tanıt. ∅ ⊆ S ⇔ ∀x [x ∈ ∅ → x ∈ S] ∀x [x ∈ ∅] /
  29. 29. ¨ gBo¸ Tanıt Orne˘i s Teorem ∀S [∅ ⊆ S] Tanıt. ∅ ⊆ S ⇔ ∀x [x ∈ ∅ → x ∈ S] ∀x [x ∈ ∅] /
  30. 30. De˘ersiz Tanıt g de˘ersiz tanıt g P ⇒ Q tanıtı i¸in Q’nun do˘ru oldu˘unu g¨stermek c g g o
  31. 31. ¨ gDe˘ersiz Tanıt Orne˘i g Teorem ∀x ∈ R [x ≥ 0 ⇒ x 2 ≥ 0] Tanıt. ∀x ∈ R [x 2 ≥ 0]
  32. 32. ¨ gDe˘ersiz Tanıt Orne˘i g Teorem ∀x ∈ R [x ≥ 0 ⇒ x 2 ≥ 0] Tanıt. ∀x ∈ R [x 2 ≥ 0]
  33. 33. Konular 1 Temel Teknikler Giri¸ s Do˘rudan Tanıt g Celi¸kiyle Tanıt ¸ s E¸de˘erlilik Tanıtları s g 2 T¨mevarım u Giri¸ s G¨¸l¨ T¨mevarım uc u u
  34. 34. Do˘rudan Tanıt g do˘rudan tanıt g P ⇒ Q tanıtı i¸in P c Q oldu˘unu g¨stermek g o
  35. 35. ¨ gDo˘rudan Tanıt Orne˘i g Teorem ∀a ∈ Z [3|(a − 2) ⇒ 3|(a2 − 1)] Tanıt. 3|(a − 2) ⇒ ∃k ∈ N [a − 2 = 3k] ⇒ a + 1 = a − 2 + 3 = 3k + 3 = 3(k + 1) ⇒ a2 − 1 = (a + 1)(a − 1) = 3(k + 1)(a − 1)
  36. 36. ¨ gDo˘rudan Tanıt Orne˘i g Teorem ∀a ∈ Z [3|(a − 2) ⇒ 3|(a2 − 1)] Tanıt. 3|(a − 2) ⇒ ∃k ∈ N [a − 2 = 3k] ⇒ a + 1 = a − 2 + 3 = 3k + 3 = 3(k + 1) ⇒ a2 − 1 = (a + 1)(a − 1) = 3(k + 1)(a − 1)
  37. 37. ¨ gDo˘rudan Tanıt Orne˘i g Teorem ∀a ∈ Z [3|(a − 2) ⇒ 3|(a2 − 1)] Tanıt. 3|(a − 2) ⇒ ∃k ∈ N [a − 2 = 3k] ⇒ a + 1 = a − 2 + 3 = 3k + 3 = 3(k + 1) ⇒ a2 − 1 = (a + 1)(a − 1) = 3(k + 1)(a − 1)
  38. 38. ¨ gDo˘rudan Tanıt Orne˘i g Teorem ∀a ∈ Z [3|(a − 2) ⇒ 3|(a2 − 1)] Tanıt. 3|(a − 2) ⇒ ∃k ∈ N [a − 2 = 3k] ⇒ a + 1 = a − 2 + 3 = 3k + 3 = 3(k + 1) ⇒ a2 − 1 = (a + 1)(a − 1) = 3(k + 1)(a − 1)
  39. 39. Dolaylı Tanıt dolaylı tanıt P ⇒ Q tanıtı i¸in ¬Q c ¬P oldu˘unu g¨stermek g o
  40. 40. ¨ gDolaylı Tanıt Orne˘i Teorem ∀x, y ∈ N [x · y > 25 ⇒ (x > 5) ∨ (y > 5)] Tanıt. ¬Q ⇔ (0 ≤ x ≤ 5) ∧ (0 ≤ y ≤ 5) x · y ≤ 5 · 5 = 25
  41. 41. ¨ gDolaylı Tanıt Orne˘i Teorem ∀x, y ∈ N [x · y > 25 ⇒ (x > 5) ∨ (y > 5)] Tanıt. ¬Q ⇔ (0 ≤ x ≤ 5) ∧ (0 ≤ y ≤ 5) x · y ≤ 5 · 5 = 25
  42. 42. ¨ gDolaylı Tanıt Orne˘i Teorem ∀x, y ∈ N [x · y > 25 ⇒ (x > 5) ∨ (y > 5)] Tanıt. ¬Q ⇔ (0 ≤ x ≤ 5) ∧ (0 ≤ y ≤ 5) x · y ≤ 5 · 5 = 25
  43. 43. ¨ gDolaylı Tanıt Orne˘i Teorem ∀a, b ∈ N ∃k ∈ N [ab = 2k] ⇒ (∃i ∈ N [a = 2i]) ∨ (∃j ∈ N [b = 2j]) Tanıt. ¬Q ⇔ (¬∃i ∈ N [a = 2i]) ∧ (¬∃j ∈ N [b = 2j]) ⇒ (∃x ∈ N [a = 2x + 1]) ∧ (∃y ∈ N [b = 2y + 1]) ⇒ ab = (2x + 1)(2y + 1) ⇒ ab = 4xy + 2x + 2y + 1 ⇒ ab = 2(2xy + x + y ) + 1 ⇒ ¬(∃k ∈ N [ab = 2k])
  44. 44. ¨ gDolaylı Tanıt Orne˘i Teorem ∀a, b ∈ N ∃k ∈ N [ab = 2k] ⇒ (∃i ∈ N [a = 2i]) ∨ (∃j ∈ N [b = 2j]) Tanıt. ¬Q ⇔ (¬∃i ∈ N [a = 2i]) ∧ (¬∃j ∈ N [b = 2j]) ⇒ (∃x ∈ N [a = 2x + 1]) ∧ (∃y ∈ N [b = 2y + 1]) ⇒ ab = (2x + 1)(2y + 1) ⇒ ab = 4xy + 2x + 2y + 1 ⇒ ab = 2(2xy + x + y ) + 1 ⇒ ¬(∃k ∈ N [ab = 2k])
  45. 45. ¨ gDolaylı Tanıt Orne˘i Teorem ∀a, b ∈ N ∃k ∈ N [ab = 2k] ⇒ (∃i ∈ N [a = 2i]) ∨ (∃j ∈ N [b = 2j]) Tanıt. ¬Q ⇔ (¬∃i ∈ N [a = 2i]) ∧ (¬∃j ∈ N [b = 2j]) ⇒ (∃x ∈ N [a = 2x + 1]) ∧ (∃y ∈ N [b = 2y + 1]) ⇒ ab = (2x + 1)(2y + 1) ⇒ ab = 4xy + 2x + 2y + 1 ⇒ ab = 2(2xy + x + y ) + 1 ⇒ ¬(∃k ∈ N [ab = 2k])
  46. 46. ¨ gDolaylı Tanıt Orne˘i Teorem ∀a, b ∈ N ∃k ∈ N [ab = 2k] ⇒ (∃i ∈ N [a = 2i]) ∨ (∃j ∈ N [b = 2j]) Tanıt. ¬Q ⇔ (¬∃i ∈ N [a = 2i]) ∧ (¬∃j ∈ N [b = 2j]) ⇒ (∃x ∈ N [a = 2x + 1]) ∧ (∃y ∈ N [b = 2y + 1]) ⇒ ab = (2x + 1)(2y + 1) ⇒ ab = 4xy + 2x + 2y + 1 ⇒ ab = 2(2xy + x + y ) + 1 ⇒ ¬(∃k ∈ N [ab = 2k])
  47. 47. ¨ gDolaylı Tanıt Orne˘i Teorem ∀a, b ∈ N ∃k ∈ N [ab = 2k] ⇒ (∃i ∈ N [a = 2i]) ∨ (∃j ∈ N [b = 2j]) Tanıt. ¬Q ⇔ (¬∃i ∈ N [a = 2i]) ∧ (¬∃j ∈ N [b = 2j]) ⇒ (∃x ∈ N [a = 2x + 1]) ∧ (∃y ∈ N [b = 2y + 1]) ⇒ ab = (2x + 1)(2y + 1) ⇒ ab = 4xy + 2x + 2y + 1 ⇒ ab = 2(2xy + x + y ) + 1 ⇒ ¬(∃k ∈ N [ab = 2k])
  48. 48. ¨ gDolaylı Tanıt Orne˘i Teorem ∀a, b ∈ N ∃k ∈ N [ab = 2k] ⇒ (∃i ∈ N [a = 2i]) ∨ (∃j ∈ N [b = 2j]) Tanıt. ¬Q ⇔ (¬∃i ∈ N [a = 2i]) ∧ (¬∃j ∈ N [b = 2j]) ⇒ (∃x ∈ N [a = 2x + 1]) ∧ (∃y ∈ N [b = 2y + 1]) ⇒ ab = (2x + 1)(2y + 1) ⇒ ab = 4xy + 2x + 2y + 1 ⇒ ab = 2(2xy + x + y ) + 1 ⇒ ¬(∃k ∈ N [ab = 2k])
  49. 49. ¨ gDolaylı Tanıt Orne˘i Teorem ∀a, b ∈ N ∃k ∈ N [ab = 2k] ⇒ (∃i ∈ N [a = 2i]) ∨ (∃j ∈ N [b = 2j]) Tanıt. ¬Q ⇔ (¬∃i ∈ N [a = 2i]) ∧ (¬∃j ∈ N [b = 2j]) ⇒ (∃x ∈ N [a = 2x + 1]) ∧ (∃y ∈ N [b = 2y + 1]) ⇒ ab = (2x + 1)(2y + 1) ⇒ ab = 4xy + 2x + 2y + 1 ⇒ ab = 2(2xy + x + y ) + 1 ⇒ ¬(∃k ∈ N [ab = 2k])
  50. 50. Konular 1 Temel Teknikler Giri¸ s Do˘rudan Tanıt g Celi¸kiyle Tanıt ¸ s E¸de˘erlilik Tanıtları s g 2 T¨mevarım u Giri¸ s G¨¸l¨ T¨mevarım uc u u
  51. 51. Celi¸kiyle Tanıt¸ s ¸eli¸kiyle tanıt c s P tanıtı i¸in ¬P c Q ∧ ¬Q oldu˘unu g¨stermek g o
  52. 52. ¨ gCeli¸kiyle Tanıt Orne˘i¸ s Teorem En b¨y¨k asal sayı yoktur. u u Tanıt. ¬P: En b¨y¨k asal sayı vardır. u u Q: En b¨y¨k asal sayı S. u u asal sayılar: 2, 3, 5, 7, 11, . . . , S 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · · · S + 1 sayısı, [2, S] aralı˘ındaki hi¸bir asal sayıya kalansız b¨l¨nmez g c ou 1 ya kendisi asaldır: ¬Q 2 ya da S’den b¨y¨k bir asal sayıya b¨l¨n¨r: ¬Q u u ou u
  53. 53. ¨ gCeli¸kiyle Tanıt Orne˘i¸ s Teorem En b¨y¨k asal sayı yoktur. u u Tanıt. ¬P: En b¨y¨k asal sayı vardır. u u Q: En b¨y¨k asal sayı S. u u asal sayılar: 2, 3, 5, 7, 11, . . . , S 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · · · S + 1 sayısı, [2, S] aralı˘ındaki hi¸bir asal sayıya kalansız b¨l¨nmez g c ou 1 ya kendisi asaldır: ¬Q 2 ya da S’den b¨y¨k bir asal sayıya b¨l¨n¨r: ¬Q u u ou u
  54. 54. ¨ gCeli¸kiyle Tanıt Orne˘i¸ s Teorem En b¨y¨k asal sayı yoktur. u u Tanıt. ¬P: En b¨y¨k asal sayı vardır. u u Q: En b¨y¨k asal sayı S. u u asal sayılar: 2, 3, 5, 7, 11, . . . , S 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · · · S + 1 sayısı, [2, S] aralı˘ındaki hi¸bir asal sayıya kalansız b¨l¨nmez g c ou 1 ya kendisi asaldır: ¬Q 2 ya da S’den b¨y¨k bir asal sayıya b¨l¨n¨r: ¬Q u u ou u
  55. 55. ¨ gCeli¸kiyle Tanıt Orne˘i¸ s Teorem En b¨y¨k asal sayı yoktur. u u Tanıt. ¬P: En b¨y¨k asal sayı vardır. u u Q: En b¨y¨k asal sayı S. u u asal sayılar: 2, 3, 5, 7, 11, . . . , S 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · · · S + 1 sayısı, [2, S] aralı˘ındaki hi¸bir asal sayıya kalansız b¨l¨nmez g c ou 1 ya kendisi asaldır: ¬Q 2 ya da S’den b¨y¨k bir asal sayıya b¨l¨n¨r: ¬Q u u ou u
  56. 56. ¨ gCeli¸kiyle Tanıt Orne˘i¸ s Teorem En b¨y¨k asal sayı yoktur. u u Tanıt. ¬P: En b¨y¨k asal sayı vardır. u u Q: En b¨y¨k asal sayı S. u u asal sayılar: 2, 3, 5, 7, 11, . . . , S 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · · · S + 1 sayısı, [2, S] aralı˘ındaki hi¸bir asal sayıya kalansız b¨l¨nmez g c ou 1 ya kendisi asaldır: ¬Q 2 ya da S’den b¨y¨k bir asal sayıya b¨l¨n¨r: ¬Q u u ou u
  57. 57. ¨ gCeli¸kiyle Tanıt Orne˘i¸ s Teorem En b¨y¨k asal sayı yoktur. u u Tanıt. ¬P: En b¨y¨k asal sayı vardır. u u Q: En b¨y¨k asal sayı S. u u asal sayılar: 2, 3, 5, 7, 11, . . . , S 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · · · S + 1 sayısı, [2, S] aralı˘ındaki hi¸bir asal sayıya kalansız b¨l¨nmez g c ou 1 ya kendisi asaldır: ¬Q 2 ya da S’den b¨y¨k bir asal sayıya b¨l¨n¨r: ¬Q u u ou u
  58. 58. ¨ gCeli¸kiyle Tanıt Orne˘i¸ s Teorem En b¨y¨k asal sayı yoktur. u u Tanıt. ¬P: En b¨y¨k asal sayı vardır. u u Q: En b¨y¨k asal sayı S. u u asal sayılar: 2, 3, 5, 7, 11, . . . , S 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · · · S + 1 sayısı, [2, S] aralı˘ındaki hi¸bir asal sayıya kalansız b¨l¨nmez g c ou 1 ya kendisi asaldır: ¬Q 2 ya da S’den b¨y¨k bir asal sayıya b¨l¨n¨r: ¬Q u u ou u
  59. 59. ¨ gCeli¸kiyle Tanıt Orne˘i¸ s Teorem √ a ¬∃a, b ∈ Z+ [ 2 = b ] Tanıt. √ a ¬P: ∃a, b ∈ Z+ [ 2 = b ] Q: obeb(a, b) = 1 a2 ⇒ 4j 2 = 2b2 ⇒ 2= b2 ⇒ b2 = 2j 2 ⇒ a = 2b2 2 ⇒ ∃k ∈ Z+ [b2 = 2k] ⇒ ∃i ∈ Z+ [a2 = 2i] + ⇒ ∃l ∈ Z+ [b = 2l] ⇒ ∃j ∈ Z [a = 2j] ⇒ obeb(a, b) ≥ 2 : ¬Q
  60. 60. ¨ gCeli¸kiyle Tanıt Orne˘i¸ s Teorem √ a ¬∃a, b ∈ Z+ [ 2 = b ] Tanıt. √ a ¬P: ∃a, b ∈ Z+ [ 2 = b ] Q: obeb(a, b) = 1 a2 ⇒ 4j 2 = 2b2 ⇒ 2= b2 ⇒ b2 = 2j 2 ⇒ a = 2b2 2 ⇒ ∃k ∈ Z+ [b2 = 2k] ⇒ ∃i ∈ Z+ [a2 = 2i] + ⇒ ∃l ∈ Z+ [b = 2l] ⇒ ∃j ∈ Z [a = 2j] ⇒ obeb(a, b) ≥ 2 : ¬Q
  61. 61. ¨ gCeli¸kiyle Tanıt Orne˘i¸ s Teorem √ a ¬∃a, b ∈ Z+ [ 2 = b ] Tanıt. √ a ¬P: ∃a, b ∈ Z+ [ 2 = b ] Q: obeb(a, b) = 1 a2 ⇒ 4j 2 = 2b2 ⇒ 2= b2 ⇒ b2 = 2j 2 ⇒ a = 2b2 2 ⇒ ∃k ∈ Z+ [b2 = 2k] ⇒ ∃i ∈ Z+ [a2 = 2i] + ⇒ ∃l ∈ Z+ [b = 2l] ⇒ ∃j ∈ Z [a = 2j] ⇒ obeb(a, b) ≥ 2 : ¬Q
  62. 62. ¨ gCeli¸kiyle Tanıt Orne˘i¸ s Teorem √ a ¬∃a, b ∈ Z+ [ 2 = b ] Tanıt. √ a ¬P: ∃a, b ∈ Z+ [ 2 = b ] Q: obeb(a, b) = 1 a2 ⇒ 4j 2 = 2b2 ⇒ 2= b2 ⇒ b2 = 2j 2 ⇒ a = 2b2 2 ⇒ ∃k ∈ Z+ [b2 = 2k] ⇒ ∃i ∈ Z+ [a2 = 2i] + ⇒ ∃l ∈ Z+ [b = 2l] ⇒ ∃j ∈ Z [a = 2j] ⇒ obeb(a, b) ≥ 2 : ¬Q
  63. 63. ¨ gCeli¸kiyle Tanıt Orne˘i¸ s Teorem √ a ¬∃a, b ∈ Z+ [ 2 = b ] Tanıt. √ a ¬P: ∃a, b ∈ Z+ [ 2 = b ] Q: obeb(a, b) = 1 a2 ⇒ 4j 2 = 2b2 ⇒ 2= b2 ⇒ b2 = 2j 2 ⇒ a = 2b2 2 ⇒ ∃k ∈ Z+ [b2 = 2k] ⇒ ∃i ∈ Z+ [a2 = 2i] + ⇒ ∃l ∈ Z+ [b = 2l] ⇒ ∃j ∈ Z [a = 2j] ⇒ obeb(a, b) ≥ 2 : ¬Q
  64. 64. ¨ gCeli¸kiyle Tanıt Orne˘i¸ s Teorem √ a ¬∃a, b ∈ Z+ [ 2 = b ] Tanıt. √ a ¬P: ∃a, b ∈ Z+ [ 2 = b ] Q: obeb(a, b) = 1 a2 ⇒ 4j 2 = 2b2 ⇒ 2= b2 ⇒ b2 = 2j 2 ⇒ a = 2b2 2 ⇒ ∃k ∈ Z+ [b2 = 2k] ⇒ ∃i ∈ Z+ [a2 = 2i] + ⇒ ∃l ∈ Z+ [b = 2l] ⇒ ∃j ∈ Z [a = 2j] ⇒ obeb(a, b) ≥ 2 : ¬Q
  65. 65. ¨ gCeli¸kiyle Tanıt Orne˘i¸ s Teorem √ a ¬∃a, b ∈ Z+ [ 2 = b ] Tanıt. √ a ¬P: ∃a, b ∈ Z+ [ 2 = b ] Q: obeb(a, b) = 1 a2 ⇒ 4j 2 = 2b2 ⇒ 2= b2 ⇒ b2 = 2j 2 ⇒ a = 2b2 2 ⇒ ∃k ∈ Z+ [b2 = 2k] ⇒ ∃i ∈ Z+ [a2 = 2i] + ⇒ ∃l ∈ Z+ [b = 2l] ⇒ ∃j ∈ Z [a = 2j] ⇒ obeb(a, b) ≥ 2 : ¬Q
  66. 66. ¨ gCeli¸kiyle Tanıt Orne˘i¸ s Teorem √ a ¬∃a, b ∈ Z+ [ 2 = b ] Tanıt. √ a ¬P: ∃a, b ∈ Z+ [ 2 = b ] Q: obeb(a, b) = 1 a2 ⇒ 4j 2 = 2b2 ⇒ 2= b2 ⇒ b2 = 2j 2 ⇒ a = 2b2 2 ⇒ ∃k ∈ Z+ [b2 = 2k] ⇒ ∃i ∈ Z+ [a2 = 2i] + ⇒ ∃l ∈ Z+ [b = 2l] ⇒ ∃j ∈ Z [a = 2j] ⇒ obeb(a, b) ≥ 2 : ¬Q
  67. 67. ¨ gCeli¸kiyle Tanıt Orne˘i¸ s Teorem √ a ¬∃a, b ∈ Z+ [ 2 = b ] Tanıt. √ a ¬P: ∃a, b ∈ Z+ [ 2 = b ] Q: obeb(a, b) = 1 a2 ⇒ 4j 2 = 2b2 ⇒ 2= b2 ⇒ b2 = 2j 2 ⇒ a = 2b2 2 ⇒ ∃k ∈ Z+ [b2 = 2k] ⇒ ∃i ∈ Z+ [a2 = 2i] + ⇒ ∃l ∈ Z+ [b = 2l] ⇒ ∃j ∈ Z [a = 2j] ⇒ obeb(a, b) ≥ 2 : ¬Q
  68. 68. ¨ gCeli¸kiyle Tanıt Orne˘i¸ s Teorem √ a ¬∃a, b ∈ Z+ [ 2 = b ] Tanıt. √ a ¬P: ∃a, b ∈ Z+ [ 2 = b ] Q: obeb(a, b) = 1 a2 ⇒ 4j 2 = 2b2 ⇒ 2= b2 ⇒ b2 = 2j 2 ⇒ a = 2b2 2 ⇒ ∃k ∈ Z+ [b2 = 2k] ⇒ ∃i ∈ Z+ [a2 = 2i] + ⇒ ∃l ∈ Z+ [b = 2l] ⇒ ∃j ∈ Z [a = 2j] ⇒ obeb(a, b) ≥ 2 : ¬Q
  69. 69. ¨ gCeli¸kiyle Tanıt Orne˘i¸ s Teorem √ a ¬∃a, b ∈ Z+ [ 2 = b ] Tanıt. √ a ¬P: ∃a, b ∈ Z+ [ 2 = b ] Q: obeb(a, b) = 1 a2 ⇒ 4j 2 = 2b2 ⇒ 2= b2 ⇒ b2 = 2j 2 ⇒ a = 2b2 2 ⇒ ∃k ∈ Z+ [b2 = 2k] ⇒ ∃i ∈ Z+ [a2 = 2i] + ⇒ ∃l ∈ Z+ [b = 2l] ⇒ ∃j ∈ Z [a = 2j] ⇒ obeb(a, b) ≥ 2 : ¬Q
  70. 70. Konular 1 Temel Teknikler Giri¸ s Do˘rudan Tanıt g Celi¸kiyle Tanıt ¸ s E¸de˘erlilik Tanıtları s g 2 T¨mevarım u Giri¸ s G¨¸l¨ T¨mevarım uc u u
  71. 71. E¸de˘erlilik Tanıtları s g P ⇔ Q tanıtı i¸in hem P ⇒ Q, hem de Q ⇒ P tanıtlanmalı c P1 ⇔ P2 ⇔ · · · ⇔ Pn tanıtı i¸in bir y¨ntem: c o P1 ⇒ P2 ⇒ · · · ⇒ Pn ⇒ P1
  72. 72. E¸de˘erlilik Tanıtları s g P ⇔ Q tanıtı i¸in hem P ⇒ Q, hem de Q ⇒ P tanıtlanmalı c P1 ⇔ P2 ⇔ · · · ⇔ Pn tanıtı i¸in bir y¨ntem: c o P1 ⇒ P2 ⇒ · · · ⇒ Pn ⇒ P1
  73. 73. ¨ gE¸de˘erlilik Tanıtı Orne˘i s g Teorem a, b, n, q1 , r1 , q2 , r2 ∈ Z+ a = q1 · n + r1 b = q2 · n + r2 r1 = r2 ⇔ n|(a − b)
  74. 74. ¨ gE¸de˘erlilik Tanıtı Orne˘i s gr1 = r2 ⇒ n|(a − b). n|(a − b) ⇒ r1 = r2 . a−b = (q1 · n + r1 ) a−b = (q1 · n + r1 ) −(q2 · n + r2 ) −(q2 · n + r2 ) = (q1 − q2 ) · n = (q1 − q2 ) · n +(r1 − r2 ) +(r1 − r2 ) r1 = r2 ⇒ r1 − r2 = 0 n|(a − b) ⇒ r1 − r2 = 0 ⇒ a − b = (q1 − q2 ) · n ⇒ r1 = r2
  75. 75. ¨ gE¸de˘erlilik Tanıtı Orne˘i s gr1 = r2 ⇒ n|(a − b). n|(a − b) ⇒ r1 = r2 . a−b = (q1 · n + r1 ) a−b = (q1 · n + r1 ) −(q2 · n + r2 ) −(q2 · n + r2 ) = (q1 − q2 ) · n = (q1 − q2 ) · n +(r1 − r2 ) +(r1 − r2 ) r1 = r2 ⇒ r1 − r2 = 0 n|(a − b) ⇒ r1 − r2 = 0 ⇒ a − b = (q1 − q2 ) · n ⇒ r1 = r2
  76. 76. ¨ gE¸de˘erlilik Tanıtı Orne˘i s gr1 = r2 ⇒ n|(a − b). n|(a − b) ⇒ r1 = r2 . a−b = (q1 · n + r1 ) a−b = (q1 · n + r1 ) −(q2 · n + r2 ) −(q2 · n + r2 ) = (q1 − q2 ) · n = (q1 − q2 ) · n +(r1 − r2 ) +(r1 − r2 ) r1 = r2 ⇒ r1 − r2 = 0 n|(a − b) ⇒ r1 − r2 = 0 ⇒ a − b = (q1 − q2 ) · n ⇒ r1 = r2
  77. 77. ¨ gE¸de˘erlilik Tanıtı Orne˘i s gr1 = r2 ⇒ n|(a − b). n|(a − b) ⇒ r1 = r2 . a−b = (q1 · n + r1 ) a−b = (q1 · n + r1 ) −(q2 · n + r2 ) −(q2 · n + r2 ) = (q1 − q2 ) · n = (q1 − q2 ) · n +(r1 − r2 ) +(r1 − r2 ) r1 = r2 ⇒ r1 − r2 = 0 n|(a − b) ⇒ r1 − r2 = 0 ⇒ a − b = (q1 − q2 ) · n ⇒ r1 = r2
  78. 78. ¨ gE¸de˘erlilik Tanıtı Orne˘i s gr1 = r2 ⇒ n|(a − b). n|(a − b) ⇒ r1 = r2 . a−b = (q1 · n + r1 ) a−b = (q1 · n + r1 ) −(q2 · n + r2 ) −(q2 · n + r2 ) = (q1 − q2 ) · n = (q1 − q2 ) · n +(r1 − r2 ) +(r1 − r2 ) r1 = r2 ⇒ r1 − r2 = 0 n|(a − b) ⇒ r1 − r2 = 0 ⇒ a − b = (q1 − q2 ) · n ⇒ r1 = r2
  79. 79. ¨ gE¸de˘erlilik Tanıtı Orne˘i s gr1 = r2 ⇒ n|(a − b). n|(a − b) ⇒ r1 = r2 . a−b = (q1 · n + r1 ) a−b = (q1 · n + r1 ) −(q2 · n + r2 ) −(q2 · n + r2 ) = (q1 − q2 ) · n = (q1 − q2 ) · n +(r1 − r2 ) +(r1 − r2 ) r1 = r2 ⇒ r1 − r2 = 0 n|(a − b) ⇒ r1 − r2 = 0 ⇒ a − b = (q1 − q2 ) · n ⇒ r1 = r2
  80. 80. ¨ gE¸de˘erlilik Tanıtı Orne˘i s gr1 = r2 ⇒ n|(a − b). n|(a − b) ⇒ r1 = r2 . a−b = (q1 · n + r1 ) a−b = (q1 · n + r1 ) −(q2 · n + r2 ) −(q2 · n + r2 ) = (q1 − q2 ) · n = (q1 − q2 ) · n +(r1 − r2 ) +(r1 − r2 ) r1 = r2 ⇒ r1 − r2 = 0 n|(a − b) ⇒ r1 − r2 = 0 ⇒ a − b = (q1 − q2 ) · n ⇒ r1 = r2
  81. 81. ¨ gE¸de˘erlilik Tanıtı Orne˘i s gr1 = r2 ⇒ n|(a − b). n|(a − b) ⇒ r1 = r2 . a−b = (q1 · n + r1 ) a−b = (q1 · n + r1 ) −(q2 · n + r2 ) −(q2 · n + r2 ) = (q1 − q2 ) · n = (q1 − q2 ) · n +(r1 − r2 ) +(r1 − r2 ) r1 = r2 ⇒ r1 − r2 = 0 n|(a − b) ⇒ r1 − r2 = 0 ⇒ a − b = (q1 − q2 ) · n ⇒ r1 = r2
  82. 82. ¨ gE¸de˘erlilik Tanıtı Orne˘i s g Teorem A⊆B ⇔ A∪B =B ⇔ A∩B =A ⇔ B⊆A
  83. 83. ¨ gE¸de˘erlilik Tanıtı Orne˘i s g A ⊆ B ⇒ A ∪ B = B. A∪B =B ⇔A∪B ⊆B ∧B ⊆A∪B B ⊆A∪B x ∈A∪B ⇒ x ∈A∨x ∈B A⊆B ⇒ x ∈B ⇒ A∪B ⊆B
  84. 84. ¨ gE¸de˘erlilik Tanıtı Orne˘i s g A ⊆ B ⇒ A ∪ B = B. A∪B =B ⇔A∪B ⊆B ∧B ⊆A∪B B ⊆A∪B x ∈A∪B ⇒ x ∈A∨x ∈B A⊆B ⇒ x ∈B ⇒ A∪B ⊆B
  85. 85. ¨ gE¸de˘erlilik Tanıtı Orne˘i s g A ⊆ B ⇒ A ∪ B = B. A∪B =B ⇔A∪B ⊆B ∧B ⊆A∪B B ⊆A∪B x ∈A∪B ⇒ x ∈A∨x ∈B A⊆B ⇒ x ∈B ⇒ A∪B ⊆B
  86. 86. ¨ gE¸de˘erlilik Tanıtı Orne˘i s g A ⊆ B ⇒ A ∪ B = B. A∪B =B ⇔A∪B ⊆B ∧B ⊆A∪B B ⊆A∪B x ∈A∪B ⇒ x ∈A∨x ∈B A⊆B ⇒ x ∈B ⇒ A∪B ⊆B
  87. 87. ¨ gE¸de˘erlilik Tanıtı Orne˘i s g A ⊆ B ⇒ A ∪ B = B. A∪B =B ⇔A∪B ⊆B ∧B ⊆A∪B B ⊆A∪B x ∈A∪B ⇒ x ∈A∨x ∈B A⊆B ⇒ x ∈B ⇒ A∪B ⊆B
  88. 88. ¨ gE¸de˘erlilik Tanıtı Orne˘i s g A ∪ B = B ⇒ A ∩ B = A. A∩B =A⇔A∩B ⊆A∧A⊆A∩B y ∈A ⇒ y ∈A∪B A∩B ⊆A A∪B =B ⇒ y ∈B ⇒ y ∈A∩B ⇒ A⊆A∩B
  89. 89. ¨ gE¸de˘erlilik Tanıtı Orne˘i s g A ∪ B = B ⇒ A ∩ B = A. A∩B =A⇔A∩B ⊆A∧A⊆A∩B y ∈A ⇒ y ∈A∪B A∩B ⊆A A∪B =B ⇒ y ∈B ⇒ y ∈A∩B ⇒ A⊆A∩B
  90. 90. ¨ gE¸de˘erlilik Tanıtı Orne˘i s g A ∪ B = B ⇒ A ∩ B = A. A∩B =A⇔A∩B ⊆A∧A⊆A∩B y ∈A ⇒ y ∈A∪B A∩B ⊆A A∪B =B ⇒ y ∈B ⇒ y ∈A∩B ⇒ A⊆A∩B
  91. 91. ¨ gE¸de˘erlilik Tanıtı Orne˘i s g A ∪ B = B ⇒ A ∩ B = A. A∩B =A⇔A∩B ⊆A∧A⊆A∩B y ∈A ⇒ y ∈A∪B A∩B ⊆A A∪B =B ⇒ y ∈B ⇒ y ∈A∩B ⇒ A⊆A∩B
  92. 92. ¨ gE¸de˘erlilik Tanıtı Orne˘i s g A ∪ B = B ⇒ A ∩ B = A. A∩B =A⇔A∩B ⊆A∧A⊆A∩B y ∈A ⇒ y ∈A∪B A∩B ⊆A A∪B =B ⇒ y ∈B ⇒ y ∈A∩B ⇒ A⊆A∩B
  93. 93. ¨ gE¸de˘erlilik Tanıtı Orne˘i s g A ∪ B = B ⇒ A ∩ B = A. A∩B =A⇔A∩B ⊆A∧A⊆A∩B y ∈A ⇒ y ∈A∪B A∩B ⊆A A∪B =B ⇒ y ∈B ⇒ y ∈A∩B ⇒ A⊆A∩B
  94. 94. ¨ gE¸de˘erlilik Tanıtı Orne˘i s g A ∩ B = A ⇒ B ⊆ A. z ∈B ⇒ z ∈B / ⇒ z ∈A∩B / A∩B =A ⇒ z ∈A / ⇒ z ∈A ⇒ B⊆A
  95. 95. ¨ gE¸de˘erlilik Tanıtı Orne˘i s g A ∩ B = A ⇒ B ⊆ A. z ∈B ⇒ z ∈B / ⇒ z ∈A∩B / A∩B =A ⇒ z ∈A / ⇒ z ∈A ⇒ B⊆A
  96. 96. ¨ gE¸de˘erlilik Tanıtı Orne˘i s g A ∩ B = A ⇒ B ⊆ A. z ∈B ⇒ z ∈B / ⇒ z ∈A∩B / A∩B =A ⇒ z ∈A / ⇒ z ∈A ⇒ B⊆A
  97. 97. ¨ gE¸de˘erlilik Tanıtı Orne˘i s g A ∩ B = A ⇒ B ⊆ A. z ∈B ⇒ z ∈B / ⇒ z ∈A∩B / A∩B =A ⇒ z ∈A / ⇒ z ∈A ⇒ B⊆A
  98. 98. ¨ gE¸de˘erlilik Tanıtı Orne˘i s g A ∩ B = A ⇒ B ⊆ A. z ∈B ⇒ z ∈B / ⇒ z ∈A∩B / A∩B =A ⇒ z ∈A / ⇒ z ∈A ⇒ B⊆A
  99. 99. ¨ gE¸de˘erlilik Tanıtı Orne˘i s g B ⊆ A ⇒ A ⊆ B. ¬(A ⊆ B) ⇒ ∃w [w ∈ A ∧ w ∈ B] / ⇒ ∃w [w ∈ A ∧ w ∈ B] / ⇒ ¬(B ⊆ A)
  100. 100. ¨ gE¸de˘erlilik Tanıtı Orne˘i s g B ⊆ A ⇒ A ⊆ B. ¬(A ⊆ B) ⇒ ∃w [w ∈ A ∧ w ∈ B] / ⇒ ∃w [w ∈ A ∧ w ∈ B] / ⇒ ¬(B ⊆ A)
  101. 101. ¨ gE¸de˘erlilik Tanıtı Orne˘i s g B ⊆ A ⇒ A ⊆ B. ¬(A ⊆ B) ⇒ ∃w [w ∈ A ∧ w ∈ B] / ⇒ ∃w [w ∈ A ∧ w ∈ B] / ⇒ ¬(B ⊆ A)
  102. 102. Konular 1 Temel Teknikler Giri¸ s Do˘rudan Tanıt g Celi¸kiyle Tanıt ¸ s E¸de˘erlilik Tanıtları s g 2 T¨mevarım u Giri¸ s G¨¸l¨ T¨mevarım uc u u
  103. 103. T¨mevarım u Tanım S(n): n ∈ Z+ uzerinde tanımlanan bir y¨klem ¨ u S(n0 ) ∧ (∀k ≥ n0 [S(k) ⇒ S(k + 1)]) ⇒ ∀n ≥ n0 S(n) S(n0 ): taban adımı ∀k ≥ n0 [S(k) ⇒ S(k + 1)]: t¨mevarım adımı u
  104. 104. T¨mevarım u Tanım S(n): n ∈ Z+ uzerinde tanımlanan bir y¨klem ¨ u S(n0 ) ∧ (∀k ≥ n0 [S(k) ⇒ S(k + 1)]) ⇒ ∀n ≥ n0 S(n) S(n0 ): taban adımı ∀k ≥ n0 [S(k) ⇒ S(k + 1)]: t¨mevarım adımı u
  105. 105. T¨mevarım u Tanım S(n): n ∈ Z+ uzerinde tanımlanan bir y¨klem ¨ u S(n0 ) ∧ (∀k ≥ n0 [S(k) ⇒ S(k + 1)]) ⇒ ∀n ≥ n0 S(n) S(n0 ): taban adımı ∀k ≥ n0 [S(k) ⇒ S(k + 1)]: t¨mevarım adımı u
  106. 106. T¨mevarım u
  107. 107. ¨ gT¨mevarım Orne˘i u Teorem ∀n ∈ Z+ [1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) = n2 ] Tanıt. n = 1: 1 = 12 n = k: 1 + 3 + 5 + · · · + (2k − 1) = k 2 kabul edelim n = k + 1: 1 + 3 + 5 + · · · + (2k − 1) + (2k + 1) = k 2 + 2k + 1 = (k + 1)2
  108. 108. ¨ gT¨mevarım Orne˘i u Teorem ∀n ∈ Z+ [1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) = n2 ] Tanıt. n = 1: 1 = 12 n = k: 1 + 3 + 5 + · · · + (2k − 1) = k 2 kabul edelim n = k + 1: 1 + 3 + 5 + · · · + (2k − 1) + (2k + 1) = k 2 + 2k + 1 = (k + 1)2
  109. 109. ¨ gT¨mevarım Orne˘i u Teorem ∀n ∈ Z+ [1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) = n2 ] Tanıt. n = 1: 1 = 12 n = k: 1 + 3 + 5 + · · · + (2k − 1) = k 2 kabul edelim n = k + 1: 1 + 3 + 5 + · · · + (2k − 1) + (2k + 1) = k 2 + 2k + 1 = (k + 1)2
  110. 110. ¨ gT¨mevarım Orne˘i u Teorem ∀n ∈ Z+ [1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) = n2 ] Tanıt. n = 1: 1 = 12 n = k: 1 + 3 + 5 + · · · + (2k − 1) = k 2 kabul edelim n = k + 1: 1 + 3 + 5 + · · · + (2k − 1) + (2k + 1) = k 2 + 2k + 1 = (k + 1)2
  111. 111. ¨ gT¨mevarım Orne˘i u Teorem ∀n ∈ Z+ [1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) = n2 ] Tanıt. n = 1: 1 = 12 n = k: 1 + 3 + 5 + · · · + (2k − 1) = k 2 kabul edelim n = k + 1: 1 + 3 + 5 + · · · + (2k − 1) + (2k + 1) = k 2 + 2k + 1 = (k + 1)2
  112. 112. ¨ gT¨mevarım Orne˘i u Teorem ∀n ∈ Z+ [1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) = n2 ] Tanıt. n = 1: 1 = 12 n = k: 1 + 3 + 5 + · · · + (2k − 1) = k 2 kabul edelim n = k + 1: 1 + 3 + 5 + · · · + (2k − 1) + (2k + 1) = k 2 + 2k + 1 = (k + 1)2
  113. 113. ¨ gT¨mevarım Orne˘i u Teorem ∀n ∈ Z+ , n ≥ 4 [2n < n!] Tanıt. n = 4: 24 = 16 < 24 = 4! n = k: 2k < k! kabul edelim n = k + 1: 2k+1 = 2 · 2k < 2 · k! < (k + 1) · k! = (k + 1)!
  114. 114. ¨ gT¨mevarım Orne˘i u Teorem ∀n ∈ Z+ , n ≥ 4 [2n < n!] Tanıt. n = 4: 24 = 16 < 24 = 4! n = k: 2k < k! kabul edelim n = k + 1: 2k+1 = 2 · 2k < 2 · k! < (k + 1) · k! = (k + 1)!
  115. 115. ¨ gT¨mevarım Orne˘i u Teorem ∀n ∈ Z+ , n ≥ 4 [2n < n!] Tanıt. n = 4: 24 = 16 < 24 = 4! n = k: 2k < k! kabul edelim n = k + 1: 2k+1 = 2 · 2k < 2 · k! < (k + 1) · k! = (k + 1)!
  116. 116. ¨ gT¨mevarım Orne˘i u Teorem ∀n ∈ Z+ , n ≥ 4 [2n < n!] Tanıt. n = 4: 24 = 16 < 24 = 4! n = k: 2k < k! kabul edelim n = k + 1: 2k+1 = 2 · 2k < 2 · k! < (k + 1) · k! = (k + 1)!
  117. 117. ¨ gT¨mevarım Orne˘i u Teorem ∀n ∈ Z+ , n ≥ 14 ∃i, j ∈ N [n = 3i + 8j] Tanıt. n = 14: 14 = 3 · 2 + 8 · 1 n = k: k = 3i + 8j kabul edelim n = k + 1: k = 3i + 8j, j > 0 ⇒ k + 1 = k − 8 + 3 · 3 ⇒ k + 1 = 3(i + 3) + 8(j − 1) k = 3i + 8j, j = 0, i ≥ 5 ⇒ k + 1 = k − 5 · 3 + 2 · 8 ⇒ k + 1 = 3(i − 5) + 8(j + 2)
  118. 118. ¨ gT¨mevarım Orne˘i u Teorem ∀n ∈ Z+ , n ≥ 14 ∃i, j ∈ N [n = 3i + 8j] Tanıt. n = 14: 14 = 3 · 2 + 8 · 1 n = k: k = 3i + 8j kabul edelim n = k + 1: k = 3i + 8j, j > 0 ⇒ k + 1 = k − 8 + 3 · 3 ⇒ k + 1 = 3(i + 3) + 8(j − 1) k = 3i + 8j, j = 0, i ≥ 5 ⇒ k + 1 = k − 5 · 3 + 2 · 8 ⇒ k + 1 = 3(i − 5) + 8(j + 2)
  119. 119. ¨ gT¨mevarım Orne˘i u Teorem ∀n ∈ Z+ , n ≥ 14 ∃i, j ∈ N [n = 3i + 8j] Tanıt. n = 14: 14 = 3 · 2 + 8 · 1 n = k: k = 3i + 8j kabul edelim n = k + 1: k = 3i + 8j, j > 0 ⇒ k + 1 = k − 8 + 3 · 3 ⇒ k + 1 = 3(i + 3) + 8(j − 1) k = 3i + 8j, j = 0, i ≥ 5 ⇒ k + 1 = k − 5 · 3 + 2 · 8 ⇒ k + 1 = 3(i − 5) + 8(j + 2)
  120. 120. ¨ gT¨mevarım Orne˘i u Teorem ∀n ∈ Z+ , n ≥ 14 ∃i, j ∈ N [n = 3i + 8j] Tanıt. n = 14: 14 = 3 · 2 + 8 · 1 n = k: k = 3i + 8j kabul edelim n = k + 1: k = 3i + 8j, j > 0 ⇒ k + 1 = k − 8 + 3 · 3 ⇒ k + 1 = 3(i + 3) + 8(j − 1) k = 3i + 8j, j = 0, i ≥ 5 ⇒ k + 1 = k − 5 · 3 + 2 · 8 ⇒ k + 1 = 3(i − 5) + 8(j + 2)
  121. 121. Konular 1 Temel Teknikler Giri¸ s Do˘rudan Tanıt g Celi¸kiyle Tanıt ¸ s E¸de˘erlilik Tanıtları s g 2 T¨mevarım u Giri¸ s G¨¸l¨ T¨mevarım uc u u
  122. 122. G¨¸l¨ T¨mevarım uc u u Tanım S(n0 ) ∧ (∀k ≥ n0 [(∀i ≤ k S(i)) ⇒ S(k + 1)]) ⇒ ∀n ≥ n0 S(n)
  123. 123. ¨ gG¨¸l¨ T¨mevarım Orne˘i uc u u Teorem ∀n ∈ Z+ , n ≥ 2 n asal sayıların ¸arpımı ¸eklinde yazılabilir. c s Tanıt. n = 2: 2 = 2 ∀i ≤ k i¸in do˘ru kabul edelim c g n = k + 1: 1 asalsa: n = n 2 asal de˘ilse: n = u · v g u < k ∧ v < k ⇒ u ve v sayılarının her biri asal sayıların carpımı ¸eklinde yazılabilir ¸ s
  124. 124. ¨ gG¨¸l¨ T¨mevarım Orne˘i uc u u Teorem ∀n ∈ Z+ , n ≥ 2 n asal sayıların ¸arpımı ¸eklinde yazılabilir. c s Tanıt. n = 2: 2 = 2 ∀i ≤ k i¸in do˘ru kabul edelim c g n = k + 1: 1 asalsa: n = n 2 asal de˘ilse: n = u · v g u < k ∧ v < k ⇒ u ve v sayılarının her biri asal sayıların carpımı ¸eklinde yazılabilir ¸ s
  125. 125. ¨ gG¨¸l¨ T¨mevarım Orne˘i uc u u Teorem ∀n ∈ Z+ , n ≥ 2 n asal sayıların ¸arpımı ¸eklinde yazılabilir. c s Tanıt. n = 2: 2 = 2 ∀i ≤ k i¸in do˘ru kabul edelim c g n = k + 1: 1 asalsa: n = n 2 asal de˘ilse: n = u · v g u < k ∧ v < k ⇒ u ve v sayılarının her biri asal sayıların carpımı ¸eklinde yazılabilir ¸ s
  126. 126. ¨ gG¨¸l¨ T¨mevarım Orne˘i uc u u Teorem ∀n ∈ Z+ , n ≥ 2 n asal sayıların ¸arpımı ¸eklinde yazılabilir. c s Tanıt. n = 2: 2 = 2 ∀i ≤ k i¸in do˘ru kabul edelim c g n = k + 1: 1 asalsa: n = n 2 asal de˘ilse: n = u · v g u < k ∧ v < k ⇒ u ve v sayılarının her biri asal sayıların carpımı ¸eklinde yazılabilir ¸ s
  127. 127. ¨ gG¨¸l¨ T¨mevarım Orne˘i uc u u Teorem ∀n ∈ Z+ , n ≥ 2 n asal sayıların ¸arpımı ¸eklinde yazılabilir. c s Tanıt. n = 2: 2 = 2 ∀i ≤ k i¸in do˘ru kabul edelim c g n = k + 1: 1 asalsa: n = n 2 asal de˘ilse: n = u · v g u < k ∧ v < k ⇒ u ve v sayılarının her biri asal sayıların carpımı ¸eklinde yazılabilir ¸ s
  128. 128. ¨ gG¨¸l¨ T¨mevarım Orne˘i uc u u Teorem ∀n ∈ Z+ , n ≥ 14 ∃i, j ∈ N [n = 3i + 8j] Tanıt. n = 14: 14 = 3 · 2 + 8 · 1 n = 15: 15 = 3 · 5 + 8 · 0 n = 16: 16 = 3 · 0 + 8 · 2 n ≤ k: k = 3i + 8j kabul edelim n = k + 1: k + 1 = (k − 2) + 3
  129. 129. ¨ gG¨¸l¨ T¨mevarım Orne˘i uc u u Teorem ∀n ∈ Z+ , n ≥ 14 ∃i, j ∈ N [n = 3i + 8j] Tanıt. n = 14: 14 = 3 · 2 + 8 · 1 n = 15: 15 = 3 · 5 + 8 · 0 n = 16: 16 = 3 · 0 + 8 · 2 n ≤ k: k = 3i + 8j kabul edelim n = k + 1: k + 1 = (k − 2) + 3
  130. 130. ¨ gG¨¸l¨ T¨mevarım Orne˘i uc u u Teorem ∀n ∈ Z+ , n ≥ 14 ∃i, j ∈ N [n = 3i + 8j] Tanıt. n = 14: 14 = 3 · 2 + 8 · 1 n = 15: 15 = 3 · 5 + 8 · 0 n = 16: 16 = 3 · 0 + 8 · 2 n ≤ k: k = 3i + 8j kabul edelim n = k + 1: k + 1 = (k − 2) + 3
  131. 131. ¨ gG¨¸l¨ T¨mevarım Orne˘i uc u u Teorem ∀n ∈ Z+ , n ≥ 14 ∃i, j ∈ N [n = 3i + 8j] Tanıt. n = 14: 14 = 3 · 2 + 8 · 1 n = 15: 15 = 3 · 5 + 8 · 0 n = 16: 16 = 3 · 0 + 8 · 2 n ≤ k: k = 3i + 8j kabul edelim n = k + 1: k + 1 = (k − 2) + 3
  132. 132. ¨ gHatalı T¨mevarım Orne˘i u Teorem n2 +n+2 ∀n ∈ Z+ [1 + 2 + 3 + · · · + n = 2 ] taban adımı ge¸ersiz c k 2 +k+2 n = k: 1 + 2 + 3 + · · · + k = 2 kabul edelim n = k + 1: 1 + 2 + 3 + · · · + k + (k + 1) k2 + k + 2 k 2 + k + 2 2k + 2 = +k +1= + 2 2 2 k 2 + 3k + 4 (k + 1)2 + (k + 1) + 2 = = 2 2 12 +1+2 n = 1: 1 = 2 =2
  133. 133. ¨ gHatalı T¨mevarım Orne˘i u Teorem n2 +n+2 ∀n ∈ Z+ [1 + 2 + 3 + · · · + n = 2 ] taban adımı ge¸ersiz c k 2 +k+2 n = k: 1 + 2 + 3 + · · · + k = 2 kabul edelim n = k + 1: 1 + 2 + 3 + · · · + k + (k + 1) k2 + k + 2 k 2 + k + 2 2k + 2 = +k +1= + 2 2 2 k 2 + 3k + 4 (k + 1)2 + (k + 1) + 2 = = 2 2 12 +1+2 n = 1: 1 = 2 =2
  134. 134. ¨ gHatalı T¨mevarım Orne˘i u Teorem n2 +n+2 ∀n ∈ Z+ [1 + 2 + 3 + · · · + n = 2 ] taban adımı ge¸ersiz c k 2 +k+2 n = k: 1 + 2 + 3 + · · · + k = 2 kabul edelim n = k + 1: 1 + 2 + 3 + · · · + k + (k + 1) k2 + k + 2 k 2 + k + 2 2k + 2 = +k +1= + 2 2 2 k 2 + 3k + 4 (k + 1)2 + (k + 1) + 2 = = 2 2 12 +1+2 n = 1: 1 = 2 =2
  135. 135. ¨ gHatalı T¨mevarım Orne˘i u Teorem n2 +n+2 ∀n ∈ Z+ [1 + 2 + 3 + · · · + n = 2 ] taban adımı ge¸ersiz c k 2 +k+2 n = k: 1 + 2 + 3 + · · · + k = 2 kabul edelim n = k + 1: 1 + 2 + 3 + · · · + k + (k + 1) k2 + k + 2 k 2 + k + 2 2k + 2 = +k +1= + 2 2 2 k 2 + 3k + 4 (k + 1)2 + (k + 1) + 2 = = 2 2 12 +1+2 n = 1: 1 = 2 =2
  136. 136. ¨ gHatalı T¨mevarım Orne˘i u Teorem n2 +n+2 ∀n ∈ Z+ [1 + 2 + 3 + · · · + n = 2 ] taban adımı ge¸ersiz c k 2 +k+2 n = k: 1 + 2 + 3 + · · · + k = 2 kabul edelim n = k + 1: 1 + 2 + 3 + · · · + k + (k + 1) k2 + k + 2 k 2 + k + 2 2k + 2 = +k +1= + 2 2 2 k 2 + 3k + 4 (k + 1)2 + (k + 1) + 2 = = 2 2 12 +1+2 n = 1: 1 = 2 =2
  137. 137. ¨ gHatalı T¨mevarım Orne˘i u Teorem n2 +n+2 ∀n ∈ Z+ [1 + 2 + 3 + · · · + n = 2 ] taban adımı ge¸ersiz c k 2 +k+2 n = k: 1 + 2 + 3 + · · · + k = 2 kabul edelim n = k + 1: 1 + 2 + 3 + · · · + k + (k + 1) k2 + k + 2 k 2 + k + 2 2k + 2 = +k +1= + 2 2 2 k 2 + 3k + 4 (k + 1)2 + (k + 1) + 2 = = 2 2 12 +1+2 n = 1: 1 = 2 =2
  138. 138. ¨Hatalı T¨mevarım Ornekleri u
  139. 139. ¨Hatalı T¨mevarım Ornekleri u Teorem B¨t¨n atlar aynı renktir. uu A(n): n atlı k¨melerdeki b¨t¨n atlar aynı renktir. u uu ∀n ∈ N+ A(n)
  140. 140. ¨Hatalı T¨mevarım Ornekleri u Teorem B¨t¨n atlar aynı renktir. uu A(n): n atlı k¨melerdeki b¨t¨n atlar aynı renktir. u uu ∀n ∈ N+ A(n)
  141. 141. ¨Hatalı T¨mevarım Ornekleri u t¨mevarım adımı ge¸ersiz u c n = 1: A(1) 1 atlı k¨melerdeki b¨t¨n atlar aynı renktir. u uu n = k: A(k) do˘ru kabul edelim g k atlı k¨melerdeki b¨t¨n atlar aynı renktir. u uu A(k + 1) = {a1 , a2 , . . . , ak } ∪ {a2 , a3 , . . . , ak+1 } {a1 , a2 , . . . , ak } k¨mesindeki b¨t¨n atlar aynı renktir (a2 ). u uu {a2 , a3 , . . . , ak+1 } k¨mesindeki b¨t¨n atlar aynı renktir (a2 ). u uu
  142. 142. ¨Hatalı T¨mevarım Ornekleri u t¨mevarım adımı ge¸ersiz u c n = 1: A(1) 1 atlı k¨melerdeki b¨t¨n atlar aynı renktir. u uu n = k: A(k) do˘ru kabul edelim g k atlı k¨melerdeki b¨t¨n atlar aynı renktir. u uu A(k + 1) = {a1 , a2 , . . . , ak } ∪ {a2 , a3 , . . . , ak+1 } {a1 , a2 , . . . , ak } k¨mesindeki b¨t¨n atlar aynı renktir (a2 ). u uu {a2 , a3 , . . . , ak+1 } k¨mesindeki b¨t¨n atlar aynı renktir (a2 ). u uu
  143. 143. ¨Hatalı T¨mevarım Ornekleri u t¨mevarım adımı ge¸ersiz u c n = 1: A(1) 1 atlı k¨melerdeki b¨t¨n atlar aynı renktir. u uu n = k: A(k) do˘ru kabul edelim g k atlı k¨melerdeki b¨t¨n atlar aynı renktir. u uu A(k + 1) = {a1 , a2 , . . . , ak } ∪ {a2 , a3 , . . . , ak+1 } {a1 , a2 , . . . , ak } k¨mesindeki b¨t¨n atlar aynı renktir (a2 ). u uu {a2 , a3 , . . . , ak+1 } k¨mesindeki b¨t¨n atlar aynı renktir (a2 ). u uu
  144. 144. ¨Hatalı T¨mevarım Ornekleri u
  145. 145. Kaynaklar Okunacak: Grimaldi Chapter 2: Fundamentals of Logic 2.5. Quantifiers, Definitions, and the Proofs of Theorems Chapter 4: Properties of Integers: Mathematical Induction 4.1. The Well-Ordering Principle: Mathematical Induction Yardımcı Kitap: O’Donnell, Hall, Page Chapter 4: Induction

×