0
Ayrık Matematik                       ¨                       OnermelerH. Turgut Uyar   Ay¸eg¨l Gen¸ata Yayımlı           ...
Lisans                                       c 2001-2013 T. Uyar, A. Yayımlı, E. Harmancı   You are free:           to Sha...
Konular     ¨   1 Onermeler       Giri¸           s             s ¨       Birle¸ik Onermeler       Sa˘lıklı Form¨ller     ...
Konular     ¨   1 Onermeler       Giri¸           s             s ¨       Birle¸ik Onermeler       Sa˘lıklı Form¨ller     ...
¨Onerme  Tanım  o  ¨nerme: do˘ru ya da yanlı¸ olan bir bildirim c¨mlesi            g              s                    u  ...
¨Onerme  Tanım  o  ¨nerme: do˘ru ya da yanlı¸ olan bir bildirim c¨mlesi            g              s                    u  ...
¨Onerme  Tanım  o  ¨nerme: do˘ru ya da yanlı¸ olan bir bildirim c¨mlesi            g              s                    u  ...
¨      ¨Onerme Ornekleri¨Ornek (¨nerme)       o                ¨                        Ornek (¨nerme de˘il)              ...
¨      ¨Onerme Ornekleri¨Ornek (¨nerme)       o                ¨                        Ornek (¨nerme de˘il)              ...
¨Onerme De˘i¸keni         gs   Tanım   o   ¨nerme de˘i¸keni:             gs   o   ¨nermeyi simgeleyen isim       Do˘ru (D)...
¨Onerme De˘i¸keni         gs   Tanım   o   ¨nerme de˘i¸keni:             gs   o   ¨nermeyi simgeleyen isim       Do˘ru (D)...
Konular     ¨   1 Onermeler       Giri¸           s             s ¨       Birle¸ik Onermeler       Sa˘lıklı Form¨ller     ...
s ¨Birle¸ik Onermeler      birle¸ik ¨nermeler           s o           bir ¨nermenin de˘illenmesiyle, ya da               o...
s ¨Birle¸ik Onermeler      birle¸ik ¨nermeler           s o           bir ¨nermenin de˘illenmesiyle, ya da               o...
De˘illeme (NOT)  g                  ¨                  Ornek    Tablo: ¬p                     ¬p1 : Ay Yery¨z¨’n¨n ¸evresi...
De˘illeme (NOT)  g                  ¨                  Ornek    Tablo: ¬p                     ¬p1 : Ay Yery¨z¨’n¨n ¸evresi...
VE Ba˘lacı (AND)     g      Tablo: p ∧ q                     ¨                     Ornek     p   q    p∧q     D   D     D ...
VE Ba˘lacı (AND)     g      Tablo: p ∧ q                     ¨                     Ornek     p   q    p∧q     D   D     D ...
VEYA Ba˘lacı (OR)       g      Tablo: p ∨ q                     ¨                     Ornek     p   q    p∨q     D   D    ...
VEYA Ba˘lacı (OR)       g      Tablo: p ∨ q                     ¨                     Ornek     p   q    p∨q     D   D    ...
DAR VEYA Ba˘lacı (XOR)           g     Tablo: p       q                            ¨                            Ornek    p...
DAR VEYA Ba˘lacı (XOR)           g     Tablo: p       q                            ¨                            Ornek    p...
Ko¸ullu Ba˘la¸ (IF)  s       g c         Tablo: p → q   p: ¨nc¨l                           o u                        q: s...
Ko¸ullu Ba˘la¸ (IF)  s       g c         Tablo: p → q   p: ¨nc¨l                           o u                        q: s...
Ko¸ullu Ba˘la¸ (IF)  s       g c         Tablo: p → q   p: ¨nc¨l                           o u                        q: s...
g c ¨Ko¸ullu Ba˘la¸ Ornekleri  s   ¨   Ornek      p4 : 3 < 8, p5 : 3 < 14, p6 : 3 < 2      p7 : G¨ne¸ Yery¨z¨’n¨n ¸evresin...
g c ¨Ko¸ullu Ba˘la¸ Ornekleri  s   ¨   Ornek      p4 : 3 < 8, p5 : 3 < 14, p6 : 3 < 2      p7 : G¨ne¸ Yery¨z¨’n¨n ¸evresin...
g c ¨Ko¸ullu Ba˘la¸ Ornekleri  s   ¨   Ornek      p4 : 3 < 8, p5 : 3 < 14, p6 : 3 < 2      p7 : G¨ne¸ Yery¨z¨’n¨n ¸evresin...
g c ¨Ko¸ullu Ba˘la¸ Ornekleri  s   ¨   Ornek      p4 : 3 < 8, p5 : 3 < 14, p6 : 3 < 2      p7 : G¨ne¸ Yery¨z¨’n¨n ¸evresin...
g c ¨Ko¸ullu Ba˘la¸ Ornekleri  s   ¨   Ornek      p4 : 3 < 8, p5 : 3 < 14, p6 : 3 < 2      p7 : G¨ne¸ Yery¨z¨’n¨n ¸evresin...
g c ¨Ko¸ullu Ba˘la¸ Ornekleri  s   ¨   Ornek       ” kg’yi ge¸ersem spor yapaca˘ım.”        70       c                 g  ...
g c ¨Ko¸ullu Ba˘la¸ Ornekleri  s   ¨   Ornek       ” kg’yi ge¸ersem spor yapaca˘ım.”        70       c                 g  ...
g c ¨Ko¸ullu Ba˘la¸ Ornekleri  s   ¨   Ornek       ” kg’yi ge¸ersem spor yapaca˘ım.”        70       c                 g  ...
Kar¸ılıklı Ko¸ullu Ba˘la¸ (IFF)   s         s       g c          Tablo: p ↔ q                              okunu¸ları:    ...
Kar¸ılıklı Ko¸ullu Ba˘la¸ (IFF)   s         s       g c          Tablo: p ↔ q                              okunu¸ları:    ...
Kar¸ılıklı Ko¸ullu Ba˘la¸ (IFF)   s         s       g c          Tablo: p ↔ q                              okunu¸ları:    ...
¨Ornek  ¨  Ornek        Anne ¸ocu˘a:             c g        ”¨         Odevini yaparsan bilgisayar oyunu oynayabilirsin.” ...
¨Ornek  ¨  Ornek        Anne ¸ocu˘a:             c g        ”¨         Odevini yaparsan bilgisayar oyunu oynayabilirsin.” ...
¨Ornek  ¨  Ornek        Anne ¸ocu˘a:             c g        ”¨         Odevini yaparsan bilgisayar oyunu oynayabilirsin.” ...
¨Ornek  ¨  Ornek        Anne ¸ocu˘a:             c g        ”¨         Odevini yaparsan bilgisayar oyunu oynayabilirsin.” ...
¨Ornek  ¨  Ornek        Anne ¸ocu˘a:             c g        ”¨         Odevini yaparsan bilgisayar oyunu oynayabilirsin.” ...
Konular     ¨   1 Onermeler       Giri¸           s             s ¨       Birle¸ik Onermeler       Sa˘lıklı Form¨ller     ...
Sa˘lıklı Form¨l  g          u   yazım       birle¸ik ¨nermeler hangi kurallara g¨re olu¸turulacak?            s o         ...
Sa˘lıklı Form¨l  g          u   yazım       birle¸ik ¨nermeler hangi kurallara g¨re olu¸turulacak?            s o         ...
u ¨Form¨l Ornekleri   ¨   Ornek (sa˘lıklı de˘il)            g        g        ∨p        p∧¬        p¬ ∧ q
˙slem Onceli˘iI¸    ¨     g     1   ¬     2   ∧     3   ∨     4   →     5   ↔         hesap sırasını de˘i¸tirmek i¸in para...
˙slem Onceli˘i OrnekleriI¸    ¨     g ¨   ¨   Ornek       s: Filiz gezmeye ¸ıkar.                        c       t: Mehtap...
˙slem Onceli˘i OrnekleriI¸    ¨     g ¨   ¨   Ornek       s: Filiz gezmeye ¸ıkar.                        c       t: Mehtap...
˙slem Onceli˘i OrnekleriI¸    ¨     g ¨   ¨   Ornek       s: Filiz gezmeye ¸ıkar.                        c       t: Mehtap...
˙slem Onceli˘i OrnekleriI¸    ¨     g ¨   ¨   Ornek       s: Filiz gezmeye ¸ıkar.                        c       t: Mehtap...
˙slem Onceli˘i OrnekleriI¸    ¨     g ¨   ¨   Ornek       s: Filiz gezmeye ¸ıkar.                        c       t: Mehtap...
Form¨l Nitelikleri    u     1   ge¸erli: b¨t¨n yorumlar i¸in do˘ru (totoloji)           c       uu             c     g    ...
¨ gTotoloji Orne˘i   ¨   Ornek                      Tablo: p ∧ (p → q) → q                  p   q   p→q     p∧A     B→q   ...
¸ s ¨ gCeli¸ki Orne˘i   ¨   Ornek                     Tablo: p ∧ (¬p ∧ q)                 p   q   ¬p   ¬p ∧ q       p∧A   ...
Konular     ¨   1 Onermeler       Giri¸           s             s ¨       Birle¸ik Onermeler       Sa˘lıklı Form¨ller     ...
¨Ustdil   Tanım   hedef dil:   uzerinde ¸alı¸ılan dil   ¨         c s   Tanım   ustdil:   ¨   hedef dilin ¨zelliklerinden ...
¨Ustdil   Tanım   hedef dil:   uzerinde ¸alı¸ılan dil   ¨         c s   Tanım   ustdil:   ¨   hedef dilin ¨zelliklerinden ...
¨Ustdil   Tanım   hedef dil:   uzerinde ¸alı¸ılan dil   ¨         c s   Tanım   ustdil:   ¨   hedef dilin ¨zelliklerinden ...
¨      ¨Ustdil Ornekleri   ¨   Ornek       anadili T¨rk¸e olan biri ˙                u c             Ingilizce o˘renirken ...
¨      ¨Ustdil Ornekleri   ¨   Ornek       anadili T¨rk¸e olan biri ˙                u c             Ingilizce o˘renirken ...
¨Ustmantık      P1 , P2 , . . . , Pn Q      P1 , P2 , . . . , Pn varsayıldı˘ında Q’nun do˘rulu˘u tanıtlanabilir.          ...
¨Ustmantık      P1 , P2 , . . . , Pn Q      P1 , P2 , . . . , Pn varsayıldı˘ında Q’nun do˘rulu˘u tanıtlanabilir.          ...
Bi¸imsel Sistemler  c   Tanım   tutarlı: b¨t¨n P ve Q sa˘lıklı form¨lleri i¸in             uu            g          u     ...
Bi¸imsel Sistemler  c   Tanım   tutarlı: b¨t¨n P ve Q sa˘lıklı form¨lleri i¸in             uu            g          u     ...
G¨del Kuramı o      ¨      Onermeler mantı˘ı tutarlı ve eksiksizdir.                     g  G¨del Kuramı   o      Sıradan ...
G¨del Kuramı o      ¨      Onermeler mantı˘ı tutarlı ve eksiksizdir.                     g  G¨del Kuramı   o      Sıradan ...
Konular     ¨   1 Onermeler       Giri¸           s             s ¨       Birle¸ik Onermeler       Sa˘lıklı Form¨ller     ...
¨Onerme Hesabı Yakla¸ımları                   s    1   anlamsal yakla¸ım: do˘ruluk tabloları                      s      g...
¨Onerme Hesabı Yakla¸ımları                   s    1   anlamsal yakla¸ım: do˘ruluk tabloları                      s      g...
¨Onerme Hesabı Yakla¸ımları                   s    1   anlamsal yakla¸ım: do˘ruluk tabloları                      s      g...
¨ gDo˘ruluk Tablosu Orne˘i  g      p→q           kontrapozitif: ¬q → ¬p           konvers: q → p           invers: ¬p → ¬q...
¨ gDo˘ruluk Tablosu Orne˘i  g      p→q           kontrapozitif: ¬q → ¬p           konvers: q → p           invers: ¬p → ¬q...
Konular     ¨   1 Onermeler       Giri¸           s             s ¨       Birle¸ik Onermeler       Sa˘lıklı Form¨ller     ...
Mantıksal E¸de˘erlilik           s g   Tanım   P ↔ Q totoloji ise P ve Q mantıksal e¸de˘erli:                             ...
¨ gMantıksal E¸de˘erlilik Orne˘i           s g   ¨   Ornek       ¬p ⇔ p → Y                        Tablo: ¬p ↔ p → Y      ...
¨ gMantıksal E¸de˘erlilik Orne˘i           s g   ¨   Ornek       p → q ⇔ ¬p ∨ q                      Tablo: (p → q) ↔ (¬p ...
Mantık Yasaları    Cifte De˘illeme (Double Negation - DN)    ¸       g    ¬(¬p) ⇔ p    De˘i¸me (Commutativity - Co)      g...
Mantık Yasaları    Cifte De˘illeme (Double Negation - DN)    ¸       g    ¬(¬p) ⇔ p    De˘i¸me (Commutativity - Co)      g...
Mantık Yasaları    Cifte De˘illeme (Double Negation - DN)    ¸       g    ¬(¬p) ⇔ p    De˘i¸me (Commutativity - Co)      g...
Mantık Yasaları    Cifte De˘illeme (Double Negation - DN)    ¸       g    ¬(¬p) ⇔ p    De˘i¸me (Commutativity - Co)      g...
Mantık Yasaları    Cifte De˘illeme (Double Negation - DN)    ¸       g    ¬(¬p) ⇔ p    De˘i¸me (Commutativity - Co)      g...
Mantık Yasaları    Etkisizlik (Identity - Id)    p∧D ⇔p                              p∨Y ⇔p    Baskınlık (Domination - Do)...
Mantık Yasaları    Etkisizlik (Identity - Id)    p∧D ⇔p                              p∨Y ⇔p    Baskınlık (Domination - Do)...
Mantık Yasaları    Etkisizlik (Identity - Id)    p∧D ⇔p                              p∨Y ⇔p    Baskınlık (Domination - Do)...
Mantık Yasaları    Etkisizlik (Identity - Id)    p∧D ⇔p                              p∨Y ⇔p    Baskınlık (Domination - Do)...
Mantık Yasaları    Etkisizlik (Identity - Id)    p∧D ⇔p                              p∨Y ⇔p    Baskınlık (Domination - Do)...
¨ gE¸de˘erlilik Hesabı Orne˘i s g   ¨   Ornek                             p→q                     ⇔       ¬p ∨ q          ...
¨ gE¸de˘erlilik Hesabı Orne˘i s g   ¨   Ornek                             p→q                     ⇔       ¬p ∨ q          ...
¨ gE¸de˘erlilik Hesabı Orne˘i s g   ¨   Ornek                             p→q                     ⇔       ¬p ∨ q          ...
¨ gE¸de˘erlilik Hesabı Orne˘i s g   ¨   Ornek                             p→q                     ⇔       ¬p ∨ q          ...
¨ gE¸de˘erlilik Hesabı Orne˘i s g   ¨   Ornek                             p→q                     ⇔       ¬p ∨ q          ...
¨ gE¸de˘erlilik Hesabı Orne˘i s g   ¨   Ornek                    ¬(¬((p ∨ q) ∧ r ) ∨ ¬q)                ⇔ ¬¬((p ∨ q) ∧ r )...
¨ gE¸de˘erlilik Hesabı Orne˘i s g   ¨   Ornek                    ¬(¬((p ∨ q) ∧ r ) ∨ ¬q)                ⇔ ¬¬((p ∨ q) ∧ r )...
¨ gE¸de˘erlilik Hesabı Orne˘i s g   ¨   Ornek                    ¬(¬((p ∨ q) ∧ r ) ∨ ¬q)                ⇔ ¬¬((p ∨ q) ∧ r )...
¨ gE¸de˘erlilik Hesabı Orne˘i s g   ¨   Ornek                    ¬(¬((p ∨ q) ∧ r ) ∨ ¬q)                ⇔ ¬¬((p ∨ q) ∧ r )...
¨ gE¸de˘erlilik Hesabı Orne˘i s g   ¨   Ornek                    ¬(¬((p ∨ q) ∧ r ) ∨ ¬q)                ⇔ ¬¬((p ∨ q) ∧ r )...
¨ gE¸de˘erlilik Hesabı Orne˘i s g   ¨   Ornek                    ¬(¬((p ∨ q) ∧ r ) ∨ ¬q)                ⇔ ¬¬((p ∨ q) ∧ r )...
¨ gE¸de˘erlilik Hesabı Orne˘i s g   ¨   Ornek                    ¬(¬((p ∨ q) ∧ r ) ∨ ¬q)                ⇔ ¬¬((p ∨ q) ∧ r )...
Dualite   Tanım   ∧ ve ∨ dı¸ında bir ba˘la¸ i¸ermeyen bir s ¨nermesinin            s           g c c                o   du...
Dualite   Tanım   ∧ ve ∨ dı¸ında bir ba˘la¸ i¸ermeyen bir s ¨nermesinin            s           g c c                o   du...
Dualite ˙        Ilkesi   Dualite ˙           Ilkesi   s ve t, ∧ ve ∨ dı¸ında bir ba˘la¸ i¸ermeyen ¨nermeler olsun.       ...
Konular     ¨   1 Onermeler       Giri¸           s             s ¨       Birle¸ik Onermeler       Sa˘lıklı Form¨ller     ...
Mantıksal Gerektirme   Tanım   P → Q bir totoloji ise P form¨l¨ Q form¨l¨n¨ mantıksal gerektirir:                         ...
¨ gMantıksal Gerektirme Orne˘i   ¨   Ornek      p ∧ (p → q) ⇒ q                        Tablo: p ∧ (p → q) → q             ...
Akıl Y¨r¨tme      uu       do˘rulu˘u varsayılan ya da tanıtlanmı¸          g    g                            s       bir ¨...
Akıl Y¨r¨tme      uu       do˘rulu˘u varsayılan ya da tanıtlanmı¸          g    g                            s       bir ¨...
Temel Kurallar   ¨   Ozde¸lik (Identity - ID)       s                                    p                                ...
Temel Kurallar   ¨   Ozde¸lik (Identity - ID)       s                                    p                                ...
Temel Kurallar   Ko¸ul Ekleme (Implication Introduction - ImpI)     s                                   p    q            ...
Temel Kurallar   Ko¸ul Ekleme (Implication Introduction - ImpI)     s                                   p    q            ...
Temel Kurallar   VE Ekleme (AND Introduction - AndI)                              p                              q        ...
Temel Kurallar   VE Ekleme (AND Introduction - AndI)                              p                              q        ...
Temel Kurallar   VEYA Ekleme (OR Introduction - OrI)                              p                             ∴p∨q   VEY...
Temel Kurallar   VEYA Ekleme (OR Introduction - OrI)                              p                             ∴p∨q   VEY...
Temel Kurallar   Modus Ponens (Implication Elimination - ImpE)                               p→q                          ...
Temel Kurallar   Modus Ponens (Implication Elimination - ImpE)                               p→q                          ...
Modus Tollens   ¨   Ornek                1.   p→q   A       p→q                2. ¬q → ¬p 1        ¬q                3.   ...
Modus Tollens   ¨   Ornek                1.   p→q   A       p→q                2. ¬q → ¬p 1        ¬q                3.   ...
Modus Tollens   ¨   Ornek                1.   p→q   A       p→q                2. ¬q → ¬p 1        ¬q                3.   ...
Modus Tollens   ¨   Ornek                1.   p→q   A       p→q                2. ¬q → ¬p 1        ¬q                3.   ...
Modus Tollens   ¨   Ornek                1.   p→q   A       p→q                2. ¬q → ¬p 1        ¬q                3.   ...
¨ gModus Ponens Orne˘i  ¨  Ornek      Ali piyangoyu kazanırsa araba alacak.      Ali piyangoyu kazandı.      O halde, Ali ...
¨ gModus Ponens Orne˘i  ¨  Ornek      Ali piyangoyu kazanırsa araba alacak.      Ali piyangoyu kazandı.      O halde, Ali ...
¨ gModus Tollens Orne˘i   ¨   Ornek      Ali piyangoyu kazanırsa araba alacak.      Ali araba almadı.      O halde, Ali pi...
¨ gModus Tollens Orne˘i   ¨   Ornek      Ali piyangoyu kazanırsa araba alacak.      Ali araba almadı.      O halde, Ali pi...
Yanılgılar   sonucu onaylama yanılgısı                               p→q                                q                 ...
Yanılgılar   sonucu onaylama yanılgısı                               p→q                                q                 ...
¨ gSonucu Onaylama Yanılgısı Orne˘i   ¨   Ornek      Ali piyangoyu kazanırsa araba alacak.      Ali araba aldı.      O hal...
¨ gSonucu Onaylama Yanılgısı Orne˘i   ¨   Ornek      Ali piyangoyu kazanırsa araba alacak.      Ali araba aldı.      O hal...
Yanılgılar   o uu   ¨nc¨l¨ yadsıma yanılgısı                               p→q                                ¬p          ...
Yanılgılar   o uu   ¨nc¨l¨ yadsıma yanılgısı                               p→q                                ¬p          ...
¨ uu                     ¨ gOnc¨l¨ Yadsıma Yanılgısı Orne˘i   ¨   Ornek      Ali piyangoyu kazanırsa araba alacak.      Al...
¨ uu                     ¨ gOnc¨l¨ Yadsıma Yanılgısı Orne˘i   ¨   Ornek      Ali piyangoyu kazanırsa araba alacak.      Al...
Ayırıcı Kıyas                                  1.   p∨q   A Ayırıcı Kıyas                    2.   ¬p    A (Disjunctive Syl...
Ayırıcı Kıyas                                  1.   p∨q   A Ayırıcı Kıyas                    2.   ¬p    A (Disjunctive Syl...
Ayırıcı Kıyas                                  1.   p∨q   A Ayırıcı Kıyas                    2.   ¬p    A (Disjunctive Syl...
Ayırıcı Kıyas                                  1.   p∨q   A Ayırıcı Kıyas                    2.   ¬p    A (Disjunctive Syl...
Ayırıcı Kıyas                                  1.   p∨q   A Ayırıcı Kıyas                    2.   ¬p    A (Disjunctive Syl...
Ayırıcı Kıyas                                  1.   p∨q   A Ayırıcı Kıyas                    2.   ¬p    A (Disjunctive Syl...
Ayırıcı Kıyas                                  1.   p∨q   A Ayırıcı Kıyas                    2.   ¬p    A (Disjunctive Syl...
Ayırıcı Kıyas                                  1.   p∨q   A Ayırıcı Kıyas                    2.   ¬p    A (Disjunctive Syl...
Ayırıcı Kıyas                                  1.   p∨q   A Ayırıcı Kıyas                    2.   ¬p    A (Disjunctive Syl...
Ayırıcı Kıyas                                  1.   p∨q   A Ayırıcı Kıyas                    2.   ¬p    A (Disjunctive Syl...
¨ gAyırıcı Kıyas Orne˘i   ¨   Ornek       Ali’nin c¨zdanı cebinde veya masasında.                u       Ali’nin c¨zdanı c...
¨ gAyırıcı Kıyas Orne˘i   ¨   Ornek       Ali’nin c¨zdanı cebinde veya masasında.                u       Ali’nin c¨zdanı c...
Varsayımlı Kıyas Varsayımlı Kıyas                1.   p     PA (Hypothetical Syllogism - HS)   2. p → q A                 ...
Varsayımlı Kıyas Varsayımlı Kıyas                1.   p     PA (Hypothetical Syllogism - HS)   2. p → q A                 ...
Varsayımlı Kıyas Varsayımlı Kıyas                1.   p     PA (Hypothetical Syllogism - HS)   2. p → q A                 ...
Varsayımlı Kıyas Varsayımlı Kıyas                1.   p     PA (Hypothetical Syllogism - HS)   2. p → q A                 ...
Varsayımlı Kıyas Varsayımlı Kıyas                1.   p     PA (Hypothetical Syllogism - HS)   2. p → q A                 ...
Varsayımlı Kıyas Varsayımlı Kıyas                1.   p     PA (Hypothetical Syllogism - HS)   2. p → q A                 ...
Varsayımlı Kıyas Varsayımlı Kıyas                1.   p     PA (Hypothetical Syllogism - HS)   2. p → q A                 ...
¨ gVarsayımlı Kıyas Orne˘i   ¨   Ornek (Uzay Yolu)   Spock - Yarbay Decker:       Su anda d¨¸man gemisine saldırmak intiha...
¨ gVarsayımlı Kıyas Orne˘i   ¨   Ornek (Uzay Yolu)       p: Decker d¨¸man gemisine saldırır.                  us       q: ...
¨ gVarsayımlı Kıyas Orne˘i   ¨   Ornek                          1. p → q A         p                2. q → r    A       p→...
¨ gVarsayımlı Kıyas Orne˘i   ¨   Ornek                          1. p → q A         p                2. q → r    A       p→...
¨ gVarsayımlı Kıyas Orne˘i   ¨   Ornek                          1. p → q A         p                2. q → r    A       p→...
¨ gVarsayımlı Kıyas Orne˘i   ¨   Ornek                          1. p → q A         p                2. q → r    A       p→...
¨ gVarsayımlı Kıyas Orne˘i   ¨   Ornek                          1. p → q A         p                2. q → r    A       p→...
¨ gVarsayımlı Kıyas Orne˘i   ¨   Ornek                          1. p → q A         p                2. q → r    A       p→...
¨ gVarsayımlı Kıyas Orne˘i   ¨   Ornek                          1. p → q A         p                2. q → r    A       p→...
¨ gVarsayımlı Kıyas Orne˘i   ¨   Ornek                          1. p → q A         p                2. q → r    A       p→...
¨Akıl Y¨r¨tme Ornekleri      uu   ¨   Ornek    p→r        1. u ∨ ¬x   A           6. r → s   A    r →s               2.   ...
¨Akıl Y¨r¨tme Ornekleri      uu   ¨   Ornek    p→r        1. u ∨ ¬x   A           6. r → s   A    r →s               2.   ...
¨Akıl Y¨r¨tme Ornekleri      uu   ¨   Ornek    p→r        1. u ∨ ¬x   A           6. r → s   A    r →s               2.   ...
¨Akıl Y¨r¨tme Ornekleri      uu   ¨   Ornek    p→r        1. u ∨ ¬x   A           6. r → s   A    r →s               2.   ...
¨Akıl Y¨r¨tme Ornekleri      uu   ¨   Ornek    p→r        1. u ∨ ¬x   A           6. r → s   A    r →s               2.   ...
¨Akıl Y¨r¨tme Ornekleri      uu   ¨   Ornek    p→r        1. u ∨ ¬x   A           6. r → s   A    r →s               2.   ...
¨Akıl Y¨r¨tme Ornekleri      uu   ¨   Ornek    p→r        1. u ∨ ¬x   A           6. r → s   A    r →s               2.   ...
¨Akıl Y¨r¨tme Ornekleri      uu   ¨   Ornek    p→r        1. u ∨ ¬x   A           6. r → s   A    r →s               2.   ...
¨Akıl Y¨r¨tme Ornekleri      uu   ¨   Ornek    p→r        1. u ∨ ¬x   A           6. r → s   A    r →s               2.   ...
¨Akıl Y¨r¨tme Ornekleri      uu   ¨   Ornek    p→r        1. u ∨ ¬x   A           6. r → s   A    r →s               2.   ...
¨Akıl Y¨r¨tme Ornekleri      uu   ¨   Ornek                          (¬p ∨ ¬q) → (r ∧ s)                                 r...
¨Akıl Y¨r¨tme Ornekleri      uu   ¨   Ornek                          (¬p ∨ ¬q) → (r ∧ s)                                 r...
¨Akıl Y¨r¨tme Ornekleri      uu   ¨   Ornek                          (¬p ∨ ¬q) → (r ∧ s)                                 r...
¨Akıl Y¨r¨tme Ornekleri      uu   ¨   Ornek                          (¬p ∨ ¬q) → (r ∧ s)                                 r...
¨Akıl Y¨r¨tme Ornekleri      uu   ¨   Ornek                          (¬p ∨ ¬q) → (r ∧ s)                                 r...
¨Akıl Y¨r¨tme Ornekleri      uu   ¨   Ornek                          (¬p ∨ ¬q) → (r ∧ s)                                 r...
¨Akıl Y¨r¨tme Ornekleri      uu   ¨   Ornek                          (¬p ∨ ¬q) → (r ∧ s)                                 r...
¨Akıl Y¨r¨tme Ornekleri      uu   ¨   Ornek                          (¬p ∨ ¬q) → (r ∧ s)                                 r...
¨Akıl Y¨r¨tme Ornekleri      uu   ¨   Ornek                          (¬p ∨ ¬q) → (r ∧ s)                                 r...
¨Akıl Y¨r¨tme Ornekleri      uu   ¨   Ornek                          (¬p ∨ ¬q) → (r ∧ s)                                 r...
¨Akıl Y¨r¨tme Ornekleri      uu   ¨   Ornek                          1.    q → ¬p      A                          2.      ...
¨Akıl Y¨r¨tme Ornekleri      uu   ¨   Ornek                          1.    q → ¬p      A                          2.      ...
¨Akıl Y¨r¨tme Ornekleri      uu   ¨   Ornek                          1.    q → ¬p      A                          2.      ...
¨Akıl Y¨r¨tme Ornekleri      uu   ¨   Ornek                          1.    q → ¬p      A                          2.      ...
¨Akıl Y¨r¨tme Ornekleri      uu   ¨   Ornek                          1.    q → ¬p      A                          2.      ...
¨Akıl Y¨r¨tme Ornekleri      uu   ¨   Ornek                          1.    q → ¬p      A                          2.      ...
¨Akıl Y¨r¨tme Ornekleri      uu   ¨   Ornek                          1.    q → ¬p      A                          2.      ...
¨Akıl Y¨r¨tme Ornekleri      uu   ¨   Ornek                          1.    q → ¬p      A                          2.      ...
¨Akıl Y¨r¨tme Ornekleri      uu   ¨   Ornek                          1.    q → ¬p      A                          2.      ...
¨Akıl Y¨r¨tme Ornekleri      uu   ¨   Ornek                          1.    q → ¬p      A                          2.      ...
¨Akıl Y¨r¨tme Ornekleri      uu   ¨   Ornek                          1.    q → ¬p      A                          2.      ...
¨Akıl Y¨r¨tme Ornekleri      uu   ¨   Ornek   E˘er ya˘mur ya˘ması olasılı˘ı varsa veya sa¸ bandını bulamazsa,    g       g...
¨Akıl Y¨r¨tme Ornekleri      uu   ¨   Ornek      p: Ya˘mur ya˘abilir.           g      g      q: Filiz’in sa¸ bandı kayıp....
¨Akıl Y¨r¨tme Ornekleri      uu   ¨   Ornek                         1.    s ∧ ¬q      A                         2.      s ...
¨Akıl Y¨r¨tme Ornekleri      uu   ¨   Ornek                         1.    s ∧ ¬q      A                         2.      s ...
¨Akıl Y¨r¨tme Ornekleri      uu   ¨   Ornek                         1.    s ∧ ¬q      A                         2.      s ...
¨Akıl Y¨r¨tme Ornekleri      uu   ¨   Ornek                         1.    s ∧ ¬q      A                         2.      s ...
¨Akıl Y¨r¨tme Ornekleri      uu   ¨   Ornek                         1.    s ∧ ¬q      A                         2.      s ...
¨Akıl Y¨r¨tme Ornekleri      uu   ¨   Ornek                         1.    s ∧ ¬q      A                         2.      s ...
¨Akıl Y¨r¨tme Ornekleri      uu   ¨   Ornek                         1.    s ∧ ¬q      A                         2.      s ...
¨Akıl Y¨r¨tme Ornekleri      uu   ¨   Ornek                         1.    s ∧ ¬q      A                         2.      s ...
¨Akıl Y¨r¨tme Ornekleri      uu   ¨   Ornek                         1.    s ∧ ¬q      A                         2.      s ...
Ayrık Matematik - Önermeler
Ayrık Matematik - Önermeler
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Ayrık Matematik - Önermeler

4,934

Published on

Mantıksal bağlaçlar, mantık yasaları, akıl yürütme.

Published in: Education, Spiritual
1 Comment
4 Likes
Statistics
Notes
No Downloads
Views
Total Views
4,934
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
1
Actions
Shares
0
Downloads
127
Comments
1
Likes
4
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Transcript of "Ayrık Matematik - Önermeler"

  1. 1. Ayrık Matematik ¨ OnermelerH. Turgut Uyar Ay¸eg¨l Gen¸ata Yayımlı s u c Emre Harmancı 2001-2013
  2. 2. Lisans c 2001-2013 T. Uyar, A. Yayımlı, E. Harmancı You are free: to Share – to copy, distribute and transmit the work to Remix – to adapt the work Under the following conditions: Attribution – You must attribute the work in the manner specified by the author or licensor (but not in any way that suggests that they endorse you or your use of the work). Noncommercial – You may not use this work for commercial purposes. Share Alike – If you alter, transform, or build upon this work, you may distribute the resulting work only under the same or similar license to this one. Legal code (the full license): http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/
  3. 3. Konular ¨ 1 Onermeler Giri¸ s s ¨ Birle¸ik Onermeler Sa˘lıklı Form¨ller g u ¨ Ustdil ¨ 2 Onerme Hesapları Giri¸ s Mantık Yasaları Akıl Y¨r¨tme uu
  4. 4. Konular ¨ 1 Onermeler Giri¸ s s ¨ Birle¸ik Onermeler Sa˘lıklı Form¨ller g u ¨ Ustdil ¨ 2 Onerme Hesapları Giri¸ s Mantık Yasaları Akıl Y¨r¨tme uu
  5. 5. ¨Onerme Tanım o ¨nerme: do˘ru ya da yanlı¸ olan bir bildirim c¨mlesi g s u ara de˘eri dı¸lama kuralı: g s bir ¨nerme kısmen do˘ru ya da kısmen yanlı¸ olamaz o g s c s ¸eli¸ki kuralı: bir onerme hem do˘ru hem yanlı¸ olamaz ¨ g s
  6. 6. ¨Onerme Tanım o ¨nerme: do˘ru ya da yanlı¸ olan bir bildirim c¨mlesi g s u ara de˘eri dı¸lama kuralı: g s bir ¨nerme kısmen do˘ru ya da kısmen yanlı¸ olamaz o g s c s ¸eli¸ki kuralı: bir onerme hem do˘ru hem yanlı¸ olamaz ¨ g s
  7. 7. ¨Onerme Tanım o ¨nerme: do˘ru ya da yanlı¸ olan bir bildirim c¨mlesi g s u ara de˘eri dı¸lama kuralı: g s bir ¨nerme kısmen do˘ru ya da kısmen yanlı¸ olamaz o g s c s ¸eli¸ki kuralı: bir onerme hem do˘ru hem yanlı¸ olamaz ¨ g s
  8. 8. ¨ ¨Onerme Ornekleri¨Ornek (¨nerme) o ¨ Ornek (¨nerme de˘il) o g Ay Yery¨z¨’n¨n u u u Saat ka¸? c c ¸evresinde d¨ner. o Ali topu at! Filler u¸abilir. c x < 43 3 + 8 = 11
  9. 9. ¨ ¨Onerme Ornekleri¨Ornek (¨nerme) o ¨ Ornek (¨nerme de˘il) o g Ay Yery¨z¨’n¨n u u u Saat ka¸? c c ¸evresinde d¨ner. o Ali topu at! Filler u¸abilir. c x < 43 3 + 8 = 11
  10. 10. ¨Onerme De˘i¸keni gs Tanım o ¨nerme de˘i¸keni: gs o ¨nermeyi simgeleyen isim Do˘ru (D) ya da Yanlı¸ (Y ) de˘erlerini alabilir g s g ¨ Ornek p1 : Ay Yery¨z¨’n¨n ¸evresinde d¨ner. (D) u u u c o p2 : Filler u¸abilir. (Y ) c p3 : 3 + 8 = 11 (D)
  11. 11. ¨Onerme De˘i¸keni gs Tanım o ¨nerme de˘i¸keni: gs o ¨nermeyi simgeleyen isim Do˘ru (D) ya da Yanlı¸ (Y ) de˘erlerini alabilir g s g ¨ Ornek p1 : Ay Yery¨z¨’n¨n ¸evresinde d¨ner. (D) u u u c o p2 : Filler u¸abilir. (Y ) c p3 : 3 + 8 = 11 (D)
  12. 12. Konular ¨ 1 Onermeler Giri¸ s s ¨ Birle¸ik Onermeler Sa˘lıklı Form¨ller g u ¨ Ustdil ¨ 2 Onerme Hesapları Giri¸ s Mantık Yasaları Akıl Y¨r¨tme uu
  13. 13. s ¨Birle¸ik Onermeler birle¸ik ¨nermeler s o bir ¨nermenin de˘illenmesiyle, ya da o g birden fazla ¨nermenin mantıksal ba˘la¸lar ile birle¸tirilmesiyle o g c s elde edilir yalın ¨nermeler daha k¨¸uk birimlere b¨l¨nemez o uc¨ ou do˘ruluk tablosu: g o ¨nerme de˘i¸kenlerinin olası b¨t¨n de˘erleri i¸in gs uu g c birle¸ik ¨nermenin sonu¸larını listeleyen tablo s o c
  14. 14. s ¨Birle¸ik Onermeler birle¸ik ¨nermeler s o bir ¨nermenin de˘illenmesiyle, ya da o g birden fazla ¨nermenin mantıksal ba˘la¸lar ile birle¸tirilmesiyle o g c s elde edilir yalın ¨nermeler daha k¨¸uk birimlere b¨l¨nemez o uc¨ ou do˘ruluk tablosu: g o ¨nerme de˘i¸kenlerinin olası b¨t¨n de˘erleri i¸in gs uu g c birle¸ik ¨nermenin sonu¸larını listeleyen tablo s o c
  15. 15. De˘illeme (NOT) g ¨ Ornek Tablo: ¬p ¬p1 : Ay Yery¨z¨’n¨n ¸evresinde d¨nmez. u u u c o p ¬p ¬D: Yanlı¸s D Y ¬p2 : Filler u¸amaz. c Y D ¬Y : Do˘ru g
  16. 16. De˘illeme (NOT) g ¨ Ornek Tablo: ¬p ¬p1 : Ay Yery¨z¨’n¨n ¸evresinde d¨nmez. u u u c o p ¬p ¬D: Yanlı¸s D Y ¬p2 : Filler u¸amaz. c Y D ¬Y : Do˘ru g
  17. 17. VE Ba˘lacı (AND) g Tablo: p ∧ q ¨ Ornek p q p∧q D D D p1 ∧ p2 : Ay Yery¨z¨’n¨n ¸evresinde u u u c D Y Y d¨ner ve filler u¸abilir. o c Y D Y D ∧ Y : Yanlı¸s Y Y Y
  18. 18. VE Ba˘lacı (AND) g Tablo: p ∧ q ¨ Ornek p q p∧q D D D p1 ∧ p2 : Ay Yery¨z¨’n¨n ¸evresinde u u u c D Y Y d¨ner ve filler u¸abilir. o c Y D Y D ∧ Y : Yanlı¸s Y Y Y
  19. 19. VEYA Ba˘lacı (OR) g Tablo: p ∨ q ¨ Ornek p q p∨q D D D p1 ∨ p2 : Ay Yery¨z¨’n¨n ¸evresinde u u u c D Y D d¨ner veya filler u¸abilir. o c Y D D D ∨ Y : Do˘ru g Y Y Y
  20. 20. VEYA Ba˘lacı (OR) g Tablo: p ∨ q ¨ Ornek p q p∨q D D D p1 ∨ p2 : Ay Yery¨z¨’n¨n ¸evresinde u u u c D Y D d¨ner veya filler u¸abilir. o c Y D D D ∨ Y : Do˘ru g Y Y Y
  21. 21. DAR VEYA Ba˘lacı (XOR) g Tablo: p q ¨ Ornek p q p q D D Y p1 p2 : Ya Ay Yery¨z¨’n¨n u u u D Y D c ¸evresinde d¨ner ya da filler u¸abilir. o c Y D D D Y : Do˘rug Y Y Y
  22. 22. DAR VEYA Ba˘lacı (XOR) g Tablo: p q ¨ Ornek p q p q D D Y p1 p2 : Ya Ay Yery¨z¨’n¨n u u u D Y D c ¸evresinde d¨ner ya da filler u¸abilir. o c Y D D D Y : Do˘rug Y Y Y
  23. 23. Ko¸ullu Ba˘la¸ (IF) s g c Tablo: p → q p: ¨nc¨l o u q: sonu¸c p q p→q okunu¸ları: s D D D p ise q D Y Y p, q i¸in yeterli c Y D D q, p i¸in gerekli c Y Y D ¬p ∨ q
  24. 24. Ko¸ullu Ba˘la¸ (IF) s g c Tablo: p → q p: ¨nc¨l o u q: sonu¸c p q p→q okunu¸ları: s D D D p ise q D Y Y p, q i¸in yeterli c Y D D q, p i¸in gerekli c Y Y D ¬p ∨ q
  25. 25. Ko¸ullu Ba˘la¸ (IF) s g c Tablo: p → q p: ¨nc¨l o u q: sonu¸c p q p→q okunu¸ları: s D D D p ise q D Y Y p, q i¸in yeterli c Y D D q, p i¸in gerekli c Y Y D ¬p ∨ q
  26. 26. g c ¨Ko¸ullu Ba˘la¸ Ornekleri s ¨ Ornek p4 : 3 < 8, p5 : 3 < 14, p6 : 3 < 2 p7 : G¨ne¸ Yery¨z¨’n¨n ¸evresinde d¨ner. u s u u u c o p4 → p5 : 3, 8’den k¨¸ukse uc¨ p2 → p1 : Filler u¸abilirse Ay c 3, 14’den k¨¸ukt¨r. uc¨ u Yery¨z¨’n¨n ¸evresinde u u u c D → D: Do˘rug d¨ner. o p4 → p6 : 3, 8’den k¨¸ukse uc¨ Y → D: Do˘ru g 3, 2’den k¨¸ukt¨r. uc¨ u p2 → p7 : Filler u¸abilirse c D → Y : Yanlı¸ s G¨ne¸ Yery¨z¨’n¨n u s u u u c ¸evresinde d¨ner. o Y → Y : Do˘rug
  27. 27. g c ¨Ko¸ullu Ba˘la¸ Ornekleri s ¨ Ornek p4 : 3 < 8, p5 : 3 < 14, p6 : 3 < 2 p7 : G¨ne¸ Yery¨z¨’n¨n ¸evresinde d¨ner. u s u u u c o p4 → p5 : 3, 8’den k¨¸ukse uc¨ p2 → p1 : Filler u¸abilirse Ay c 3, 14’den k¨¸ukt¨r. uc¨ u Yery¨z¨’n¨n ¸evresinde u u u c D → D: Do˘rug d¨ner. o p4 → p6 : 3, 8’den k¨¸ukse uc¨ Y → D: Do˘ru g 3, 2’den k¨¸ukt¨r. uc¨ u p2 → p7 : Filler u¸abilirse c D → Y : Yanlı¸ s G¨ne¸ Yery¨z¨’n¨n u s u u u c ¸evresinde d¨ner. o Y → Y : Do˘rug
  28. 28. g c ¨Ko¸ullu Ba˘la¸ Ornekleri s ¨ Ornek p4 : 3 < 8, p5 : 3 < 14, p6 : 3 < 2 p7 : G¨ne¸ Yery¨z¨’n¨n ¸evresinde d¨ner. u s u u u c o p4 → p5 : 3, 8’den k¨¸ukse uc¨ p2 → p1 : Filler u¸abilirse Ay c 3, 14’den k¨¸ukt¨r. uc¨ u Yery¨z¨’n¨n ¸evresinde u u u c D → D: Do˘rug d¨ner. o p4 → p6 : 3, 8’den k¨¸ukse uc¨ Y → D: Do˘ru g 3, 2’den k¨¸ukt¨r. uc¨ u p2 → p7 : Filler u¸abilirse c D → Y : Yanlı¸ s G¨ne¸ Yery¨z¨’n¨n u s u u u c ¸evresinde d¨ner. o Y → Y : Do˘rug
  29. 29. g c ¨Ko¸ullu Ba˘la¸ Ornekleri s ¨ Ornek p4 : 3 < 8, p5 : 3 < 14, p6 : 3 < 2 p7 : G¨ne¸ Yery¨z¨’n¨n ¸evresinde d¨ner. u s u u u c o p4 → p5 : 3, 8’den k¨¸ukse uc¨ p2 → p1 : Filler u¸abilirse Ay c 3, 14’den k¨¸ukt¨r. uc¨ u Yery¨z¨’n¨n ¸evresinde u u u c D → D: Do˘rug d¨ner. o p4 → p6 : 3, 8’den k¨¸ukse uc¨ Y → D: Do˘ru g 3, 2’den k¨¸ukt¨r. uc¨ u p2 → p7 : Filler u¸abilirse c D → Y : Yanlı¸ s G¨ne¸ Yery¨z¨’n¨n u s u u u c ¸evresinde d¨ner. o Y → Y : Do˘rug
  30. 30. g c ¨Ko¸ullu Ba˘la¸ Ornekleri s ¨ Ornek p4 : 3 < 8, p5 : 3 < 14, p6 : 3 < 2 p7 : G¨ne¸ Yery¨z¨’n¨n ¸evresinde d¨ner. u s u u u c o p4 → p5 : 3, 8’den k¨¸ukse uc¨ p2 → p1 : Filler u¸abilirse Ay c 3, 14’den k¨¸ukt¨r. uc¨ u Yery¨z¨’n¨n ¸evresinde u u u c D → D: Do˘rug d¨ner. o p4 → p6 : 3, 8’den k¨¸ukse uc¨ Y → D: Do˘ru g 3, 2’den k¨¸ukt¨r. uc¨ u p2 → p7 : Filler u¸abilirse c D → Y : Yanlı¸ s G¨ne¸ Yery¨z¨’n¨n u s u u u c ¸evresinde d¨ner. o Y → Y : Do˘rug
  31. 31. g c ¨Ko¸ullu Ba˘la¸ Ornekleri s ¨ Ornek ” kg’yi ge¸ersem spor yapaca˘ım.” 70 c g Tablo: p → q p: 70 kg’den a˘ırım. g p q p→q q: Spor yapıyorum. D D D D Y Y bu onerme ne zaman yanlı¸ olur? ¨ s Y D D Y Y D
  32. 32. g c ¨Ko¸ullu Ba˘la¸ Ornekleri s ¨ Ornek ” kg’yi ge¸ersem spor yapaca˘ım.” 70 c g Tablo: p → q p: 70 kg’den a˘ırım. g p q p→q q: Spor yapıyorum. D D D D Y Y bu onerme ne zaman yanlı¸ olur? ¨ s Y D D Y Y D
  33. 33. g c ¨Ko¸ullu Ba˘la¸ Ornekleri s ¨ Ornek ” kg’yi ge¸ersem spor yapaca˘ım.” 70 c g Tablo: p → q p: 70 kg’den a˘ırım. g p q p→q q: Spor yapıyorum. D D D D Y Y bu onerme ne zaman yanlı¸ olur? ¨ s Y D D Y Y D
  34. 34. Kar¸ılıklı Ko¸ullu Ba˘la¸ (IFF) s s g c Tablo: p ↔ q okunu¸ları: s p q p↔q p yalnız ve ancak q ise D D D p, q i¸in yeterli ve gerekli c D Y Y (p → q) ∧ (q → p) Y D Y ¬(p q) Y Y D
  35. 35. Kar¸ılıklı Ko¸ullu Ba˘la¸ (IFF) s s g c Tablo: p ↔ q okunu¸ları: s p q p↔q p yalnız ve ancak q ise D D D p, q i¸in yeterli ve gerekli c D Y Y (p → q) ∧ (q → p) Y D Y ¬(p q) Y Y D
  36. 36. Kar¸ılıklı Ko¸ullu Ba˘la¸ (IFF) s s g c Tablo: p ↔ q okunu¸ları: s p q p↔q p yalnız ve ancak q ise D D D p, q i¸in yeterli ve gerekli c D Y Y (p → q) ∧ (q → p) Y D Y ¬(p q) Y Y D
  37. 37. ¨Ornek ¨ Ornek Anne ¸ocu˘a: c g ”¨ Odevini yaparsan bilgisayar oyunu oynayabilirsin.” s: Cocuk ¨devini yapar. ¸ o t: Cocuk bilgisayar oyunu oynar. ¸ annenin s¨yledi˘i hangisi? o g s→t ¬s → ¬t s↔t
  38. 38. ¨Ornek ¨ Ornek Anne ¸ocu˘a: c g ”¨ Odevini yaparsan bilgisayar oyunu oynayabilirsin.” s: Cocuk ¨devini yapar. ¸ o t: Cocuk bilgisayar oyunu oynar. ¸ annenin s¨yledi˘i hangisi? o g s→t ¬s → ¬t s↔t
  39. 39. ¨Ornek ¨ Ornek Anne ¸ocu˘a: c g ”¨ Odevini yaparsan bilgisayar oyunu oynayabilirsin.” s: Cocuk ¨devini yapar. ¸ o t: Cocuk bilgisayar oyunu oynar. ¸ annenin s¨yledi˘i hangisi? o g s→t ¬s → ¬t s↔t
  40. 40. ¨Ornek ¨ Ornek Anne ¸ocu˘a: c g ”¨ Odevini yaparsan bilgisayar oyunu oynayabilirsin.” s: Cocuk ¨devini yapar. ¸ o t: Cocuk bilgisayar oyunu oynar. ¸ annenin s¨yledi˘i hangisi? o g s→t ¬s → ¬t s↔t
  41. 41. ¨Ornek ¨ Ornek Anne ¸ocu˘a: c g ”¨ Odevini yaparsan bilgisayar oyunu oynayabilirsin.” s: Cocuk ¨devini yapar. ¸ o t: Cocuk bilgisayar oyunu oynar. ¸ annenin s¨yledi˘i hangisi? o g s→t ¬s → ¬t s↔t
  42. 42. Konular ¨ 1 Onermeler Giri¸ s s ¨ Birle¸ik Onermeler Sa˘lıklı Form¨ller g u ¨ Ustdil ¨ 2 Onerme Hesapları Giri¸ s Mantık Yasaları Akıl Y¨r¨tme uu
  43. 43. Sa˘lıklı Form¨l g u yazım birle¸ik ¨nermeler hangi kurallara g¨re olu¸turulacak? s o o s kurallara uyan form¨ller: sa˘lıklı form¨l (SF) u g u anlam yorum: yalın ¨nermelere de˘er atayarak o g birle¸ik onermenin de˘erini hesaplama s ¨ g do˘ruluk tablosu: onermenin b¨t¨n yorumları g ¨ uu
  44. 44. Sa˘lıklı Form¨l g u yazım birle¸ik ¨nermeler hangi kurallara g¨re olu¸turulacak? s o o s kurallara uyan form¨ller: sa˘lıklı form¨l (SF) u g u anlam yorum: yalın ¨nermelere de˘er atayarak o g birle¸ik onermenin de˘erini hesaplama s ¨ g do˘ruluk tablosu: onermenin b¨t¨n yorumları g ¨ uu
  45. 45. u ¨Form¨l Ornekleri ¨ Ornek (sa˘lıklı de˘il) g g ∨p p∧¬ p¬ ∧ q
  46. 46. ˙slem Onceli˘iI¸ ¨ g 1 ¬ 2 ∧ 3 ∨ 4 → 5 ↔ hesap sırasını de˘i¸tirmek i¸in parantez kullanılır gs c
  47. 47. ˙slem Onceli˘i OrnekleriI¸ ¨ g ¨ ¨ Ornek s: Filiz gezmeye ¸ıkar. c t: Mehtap var. u: Kar ya˘ıyor. g a¸a˘ıdaki SF’ler ne anlama gelir? s g t ∧ ¬u → s t → (¬u → s) ¬(s ↔ (u ∨ t)) ¬s ↔ u ∨ t
  48. 48. ˙slem Onceli˘i OrnekleriI¸ ¨ g ¨ ¨ Ornek s: Filiz gezmeye ¸ıkar. c t: Mehtap var. u: Kar ya˘ıyor. g a¸a˘ıdaki SF’ler ne anlama gelir? s g t ∧ ¬u → s t → (¬u → s) ¬(s ↔ (u ∨ t)) ¬s ↔ u ∨ t
  49. 49. ˙slem Onceli˘i OrnekleriI¸ ¨ g ¨ ¨ Ornek s: Filiz gezmeye ¸ıkar. c t: Mehtap var. u: Kar ya˘ıyor. g a¸a˘ıdaki SF’ler ne anlama gelir? s g t ∧ ¬u → s t → (¬u → s) ¬(s ↔ (u ∨ t)) ¬s ↔ u ∨ t
  50. 50. ˙slem Onceli˘i OrnekleriI¸ ¨ g ¨ ¨ Ornek s: Filiz gezmeye ¸ıkar. c t: Mehtap var. u: Kar ya˘ıyor. g a¸a˘ıdaki SF’ler ne anlama gelir? s g t ∧ ¬u → s t → (¬u → s) ¬(s ↔ (u ∨ t)) ¬s ↔ u ∨ t
  51. 51. ˙slem Onceli˘i OrnekleriI¸ ¨ g ¨ ¨ Ornek s: Filiz gezmeye ¸ıkar. c t: Mehtap var. u: Kar ya˘ıyor. g a¸a˘ıdaki SF’ler ne anlama gelir? s g t ∧ ¬u → s t → (¬u → s) ¬(s ↔ (u ∨ t)) ¬s ↔ u ∨ t
  52. 52. Form¨l Nitelikleri u 1 ge¸erli: b¨t¨n yorumlar i¸in do˘ru (totoloji) c uu c g 2 c s ¸eli¸kili: b¨t¨n yorumlar i¸in yanlı¸ (¸eli¸ki) uu c s c s 3 tutarlı: bazı yorumlar i¸in do˘ru c g
  53. 53. ¨ gTotoloji Orne˘i ¨ Ornek Tablo: p ∧ (p → q) → q p q p→q p∧A B→q (A) (B) D D D D D D Y Y Y D Y D D Y D Y Y D Y D
  54. 54. ¸ s ¨ gCeli¸ki Orne˘i ¨ Ornek Tablo: p ∧ (¬p ∧ q) p q ¬p ¬p ∧ q p∧A (A) D D Y Y Y D Y Y Y Y Y D D D Y Y Y D Y Y
  55. 55. Konular ¨ 1 Onermeler Giri¸ s s ¨ Birle¸ik Onermeler Sa˘lıklı Form¨ller g u ¨ Ustdil ¨ 2 Onerme Hesapları Giri¸ s Mantık Yasaları Akıl Y¨r¨tme uu
  56. 56. ¨Ustdil Tanım hedef dil: uzerinde ¸alı¸ılan dil ¨ c s Tanım ustdil: ¨ hedef dilin ¨zelliklerinden s¨z ederken kullanılan dil o o ge¸erlilik, ¸eli¸kililik ve tutarlılık ustdile ait tanımlar c c s ¨
  57. 57. ¨Ustdil Tanım hedef dil: uzerinde ¸alı¸ılan dil ¨ c s Tanım ustdil: ¨ hedef dilin ¨zelliklerinden s¨z ederken kullanılan dil o o ge¸erlilik, ¸eli¸kililik ve tutarlılık ustdile ait tanımlar c c s ¨
  58. 58. ¨Ustdil Tanım hedef dil: uzerinde ¸alı¸ılan dil ¨ c s Tanım ustdil: ¨ hedef dilin ¨zelliklerinden s¨z ederken kullanılan dil o o ge¸erlilik, ¸eli¸kililik ve tutarlılık ustdile ait tanımlar c c s ¨
  59. 59. ¨ ¨Ustdil Ornekleri ¨ Ornek anadili T¨rk¸e olan biri ˙ u c Ingilizce o˘renirken ¨g hedef dil: ˙ Ingilizce ustdil: T¨rk¸e ¨ u c ¨ Ornek bir ¨˘renci programlama ¨˘renirken og og hedef dil: C, Python, Java, . . . ustdil: ˙ ¨ Ingilizce, T¨rk¸e, . . . u c
  60. 60. ¨ ¨Ustdil Ornekleri ¨ Ornek anadili T¨rk¸e olan biri ˙ u c Ingilizce o˘renirken ¨g hedef dil: ˙ Ingilizce ustdil: T¨rk¸e ¨ u c ¨ Ornek bir ¨˘renci programlama ¨˘renirken og og hedef dil: C, Python, Java, . . . ustdil: ˙ ¨ Ingilizce, T¨rk¸e, . . . u c
  61. 61. ¨Ustmantık P1 , P2 , . . . , Pn Q P1 , P2 , . . . , Pn varsayıldı˘ında Q’nun do˘rulu˘u tanıtlanabilir. g g g P1 , P2 , . . . , Pn Q P1 , P2 , . . . , Pn do˘ruysa Q do˘rudur. g g
  62. 62. ¨Ustmantık P1 , P2 , . . . , Pn Q P1 , P2 , . . . , Pn varsayıldı˘ında Q’nun do˘rulu˘u tanıtlanabilir. g g g P1 , P2 , . . . , Pn Q P1 , P2 , . . . , Pn do˘ruysa Q do˘rudur. g g
  63. 63. Bi¸imsel Sistemler c Tanım tutarlı: b¨t¨n P ve Q sa˘lıklı form¨lleri i¸in uu g u c P Q ise P Q tanıtlanabilen b¨t¨n ¨nermeler do˘rudur uu o g Tanım eksiksiz: b¨t¨n P ve Q sa˘lıklı form¨lleri i¸in uu g u c P Q ise P Q do˘ru olan b¨t¨n onermeler tanıtlanabilir g uu ¨
  64. 64. Bi¸imsel Sistemler c Tanım tutarlı: b¨t¨n P ve Q sa˘lıklı form¨lleri i¸in uu g u c P Q ise P Q tanıtlanabilen b¨t¨n ¨nermeler do˘rudur uu o g Tanım eksiksiz: b¨t¨n P ve Q sa˘lıklı form¨lleri i¸in uu g u c P Q ise P Q do˘ru olan b¨t¨n onermeler tanıtlanabilir g uu ¨
  65. 65. G¨del Kuramı o ¨ Onermeler mantı˘ı tutarlı ve eksiksizdir. g G¨del Kuramı o Sıradan aritmeti˘i ifade edecek kadar g¨¸l¨ g uc u hi¸bir mantıksal sistem hem tutarlı hem eksiksiz olamaz. c
  66. 66. G¨del Kuramı o ¨ Onermeler mantı˘ı tutarlı ve eksiksizdir. g G¨del Kuramı o Sıradan aritmeti˘i ifade edecek kadar g¨¸l¨ g uc u hi¸bir mantıksal sistem hem tutarlı hem eksiksiz olamaz. c
  67. 67. Konular ¨ 1 Onermeler Giri¸ s s ¨ Birle¸ik Onermeler Sa˘lıklı Form¨ller g u ¨ Ustdil ¨ 2 Onerme Hesapları Giri¸ s Mantık Yasaları Akıl Y¨r¨tme uu
  68. 68. ¨Onerme Hesabı Yakla¸ımları s 1 anlamsal yakla¸ım: do˘ruluk tabloları s g de˘i¸ken sayısı artınca y¨netimi zorla¸ır gs o s 2 yazımsal yakla¸ım: akıl y¨r¨tme kuralları s uu var olan ¨nermelerden mantıksal gerektirmeler kullanarak o yeni ¨nermeler uretme o ¨ 3 aksiyomatik yakla¸ım: Boole cebri s e¸de˘erli form¨lleri denklemlerde birbirlerinin yerine koyma s g u
  69. 69. ¨Onerme Hesabı Yakla¸ımları s 1 anlamsal yakla¸ım: do˘ruluk tabloları s g de˘i¸ken sayısı artınca y¨netimi zorla¸ır gs o s 2 yazımsal yakla¸ım: akıl y¨r¨tme kuralları s uu var olan ¨nermelerden mantıksal gerektirmeler kullanarak o yeni ¨nermeler uretme o ¨ 3 aksiyomatik yakla¸ım: Boole cebri s e¸de˘erli form¨lleri denklemlerde birbirlerinin yerine koyma s g u
  70. 70. ¨Onerme Hesabı Yakla¸ımları s 1 anlamsal yakla¸ım: do˘ruluk tabloları s g de˘i¸ken sayısı artınca y¨netimi zorla¸ır gs o s 2 yazımsal yakla¸ım: akıl y¨r¨tme kuralları s uu var olan ¨nermelerden mantıksal gerektirmeler kullanarak o yeni ¨nermeler uretme o ¨ 3 aksiyomatik yakla¸ım: Boole cebri s e¸de˘erli form¨lleri denklemlerde birbirlerinin yerine koyma s g u
  71. 71. ¨ gDo˘ruluk Tablosu Orne˘i g p→q kontrapozitif: ¬q → ¬p konvers: q → p invers: ¬p → ¬q ¨ Ornek p q p→q ¬q → ¬p q→p ¬p → ¬q D D D D D D D Y Y Y D D Y D D D Y Y Y Y D D D D
  72. 72. ¨ gDo˘ruluk Tablosu Orne˘i g p→q kontrapozitif: ¬q → ¬p konvers: q → p invers: ¬p → ¬q ¨ Ornek p q p→q ¬q → ¬p q→p ¬p → ¬q D D D D D D D Y Y Y D D Y D D D Y Y Y Y D D D D
  73. 73. Konular ¨ 1 Onermeler Giri¸ s s ¨ Birle¸ik Onermeler Sa˘lıklı Form¨ller g u ¨ Ustdil ¨ 2 Onerme Hesapları Giri¸ s Mantık Yasaları Akıl Y¨r¨tme uu
  74. 74. Mantıksal E¸de˘erlilik s g Tanım P ↔ Q totoloji ise P ve Q mantıksal e¸de˘erli: s g P⇔Q
  75. 75. ¨ gMantıksal E¸de˘erlilik Orne˘i s g ¨ Ornek ¬p ⇔ p → Y Tablo: ¬p ↔ p → Y p ¬p p→Y ¬p ↔ A (A) D Y Y D Y D D D
  76. 76. ¨ gMantıksal E¸de˘erlilik Orne˘i s g ¨ Ornek p → q ⇔ ¬p ∨ q Tablo: (p → q) ↔ (¬p ∨ q) p q p→q ¬p ¬p ∨ q A↔B (A) (B) D D D Y D D D Y Y Y Y D Y D D D D D Y Y D D D D
  77. 77. Mantık Yasaları Cifte De˘illeme (Double Negation - DN) ¸ g ¬(¬p) ⇔ p De˘i¸me (Commutativity - Co) gs p∧q ⇔q∧p p∨q ⇔q∨p Birle¸me (Associativity - As) s (p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r ) (p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r ) Sabit Kuvvetlilik (Idempotence - Ip) p∧p ⇔p p∨p ⇔p Terslik (Inverse - In) p ∧ ¬p ⇔ Y p ∨ ¬p ⇔ D
  78. 78. Mantık Yasaları Cifte De˘illeme (Double Negation - DN) ¸ g ¬(¬p) ⇔ p De˘i¸me (Commutativity - Co) gs p∧q ⇔q∧p p∨q ⇔q∨p Birle¸me (Associativity - As) s (p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r ) (p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r ) Sabit Kuvvetlilik (Idempotence - Ip) p∧p ⇔p p∨p ⇔p Terslik (Inverse - In) p ∧ ¬p ⇔ Y p ∨ ¬p ⇔ D
  79. 79. Mantık Yasaları Cifte De˘illeme (Double Negation - DN) ¸ g ¬(¬p) ⇔ p De˘i¸me (Commutativity - Co) gs p∧q ⇔q∧p p∨q ⇔q∨p Birle¸me (Associativity - As) s (p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r ) (p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r ) Sabit Kuvvetlilik (Idempotence - Ip) p∧p ⇔p p∨p ⇔p Terslik (Inverse - In) p ∧ ¬p ⇔ Y p ∨ ¬p ⇔ D
  80. 80. Mantık Yasaları Cifte De˘illeme (Double Negation - DN) ¸ g ¬(¬p) ⇔ p De˘i¸me (Commutativity - Co) gs p∧q ⇔q∧p p∨q ⇔q∨p Birle¸me (Associativity - As) s (p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r ) (p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r ) Sabit Kuvvetlilik (Idempotence - Ip) p∧p ⇔p p∨p ⇔p Terslik (Inverse - In) p ∧ ¬p ⇔ Y p ∨ ¬p ⇔ D
  81. 81. Mantık Yasaları Cifte De˘illeme (Double Negation - DN) ¸ g ¬(¬p) ⇔ p De˘i¸me (Commutativity - Co) gs p∧q ⇔q∧p p∨q ⇔q∨p Birle¸me (Associativity - As) s (p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r ) (p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r ) Sabit Kuvvetlilik (Idempotence - Ip) p∧p ⇔p p∨p ⇔p Terslik (Inverse - In) p ∧ ¬p ⇔ Y p ∨ ¬p ⇔ D
  82. 82. Mantık Yasaları Etkisizlik (Identity - Id) p∧D ⇔p p∨Y ⇔p Baskınlık (Domination - Do) p∧Y ⇔Y p∨D ⇔D Da˘ılma (Distributivity - Di) g p ∧ (q ∨ r ) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r ) p ∨ (q ∧ r ) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r ) Yutma (Absorption - Ab) p ∧ (p ∨ q) ⇔ p p ∨ (p ∧ q) ⇔ p DeMorgan Yasaları (DM) ¬(p ∧ q) ⇔ ¬p ∨ ¬q ¬(p ∨ q) ⇔ ¬p ∧ ¬q
  83. 83. Mantık Yasaları Etkisizlik (Identity - Id) p∧D ⇔p p∨Y ⇔p Baskınlık (Domination - Do) p∧Y ⇔Y p∨D ⇔D Da˘ılma (Distributivity - Di) g p ∧ (q ∨ r ) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r ) p ∨ (q ∧ r ) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r ) Yutma (Absorption - Ab) p ∧ (p ∨ q) ⇔ p p ∨ (p ∧ q) ⇔ p DeMorgan Yasaları (DM) ¬(p ∧ q) ⇔ ¬p ∨ ¬q ¬(p ∨ q) ⇔ ¬p ∧ ¬q
  84. 84. Mantık Yasaları Etkisizlik (Identity - Id) p∧D ⇔p p∨Y ⇔p Baskınlık (Domination - Do) p∧Y ⇔Y p∨D ⇔D Da˘ılma (Distributivity - Di) g p ∧ (q ∨ r ) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r ) p ∨ (q ∧ r ) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r ) Yutma (Absorption - Ab) p ∧ (p ∨ q) ⇔ p p ∨ (p ∧ q) ⇔ p DeMorgan Yasaları (DM) ¬(p ∧ q) ⇔ ¬p ∨ ¬q ¬(p ∨ q) ⇔ ¬p ∧ ¬q
  85. 85. Mantık Yasaları Etkisizlik (Identity - Id) p∧D ⇔p p∨Y ⇔p Baskınlık (Domination - Do) p∧Y ⇔Y p∨D ⇔D Da˘ılma (Distributivity - Di) g p ∧ (q ∨ r ) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r ) p ∨ (q ∧ r ) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r ) Yutma (Absorption - Ab) p ∧ (p ∨ q) ⇔ p p ∨ (p ∧ q) ⇔ p DeMorgan Yasaları (DM) ¬(p ∧ q) ⇔ ¬p ∨ ¬q ¬(p ∨ q) ⇔ ¬p ∧ ¬q
  86. 86. Mantık Yasaları Etkisizlik (Identity - Id) p∧D ⇔p p∨Y ⇔p Baskınlık (Domination - Do) p∧Y ⇔Y p∨D ⇔D Da˘ılma (Distributivity - Di) g p ∧ (q ∨ r ) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r ) p ∨ (q ∧ r ) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r ) Yutma (Absorption - Ab) p ∧ (p ∨ q) ⇔ p p ∨ (p ∧ q) ⇔ p DeMorgan Yasaları (DM) ¬(p ∧ q) ⇔ ¬p ∨ ¬q ¬(p ∨ q) ⇔ ¬p ∧ ¬q
  87. 87. ¨ gE¸de˘erlilik Hesabı Orne˘i s g ¨ Ornek p→q ⇔ ¬p ∨ q ⇔ q ∨ ¬p Co ⇔ ¬¬q ∨ ¬p DN ⇔ ¬q → ¬p
  88. 88. ¨ gE¸de˘erlilik Hesabı Orne˘i s g ¨ Ornek p→q ⇔ ¬p ∨ q ⇔ q ∨ ¬p Co ⇔ ¬¬q ∨ ¬p DN ⇔ ¬q → ¬p
  89. 89. ¨ gE¸de˘erlilik Hesabı Orne˘i s g ¨ Ornek p→q ⇔ ¬p ∨ q ⇔ q ∨ ¬p Co ⇔ ¬¬q ∨ ¬p DN ⇔ ¬q → ¬p
  90. 90. ¨ gE¸de˘erlilik Hesabı Orne˘i s g ¨ Ornek p→q ⇔ ¬p ∨ q ⇔ q ∨ ¬p Co ⇔ ¬¬q ∨ ¬p DN ⇔ ¬q → ¬p
  91. 91. ¨ gE¸de˘erlilik Hesabı Orne˘i s g ¨ Ornek p→q ⇔ ¬p ∨ q ⇔ q ∨ ¬p Co ⇔ ¬¬q ∨ ¬p DN ⇔ ¬q → ¬p
  92. 92. ¨ gE¸de˘erlilik Hesabı Orne˘i s g ¨ Ornek ¬(¬((p ∨ q) ∧ r ) ∨ ¬q) ⇔ ¬¬((p ∨ q) ∧ r ) ∧ ¬¬q DM ⇔ ((p ∨ q) ∧ r ) ∧ q DN ⇔ (p ∨ q) ∧ (r ∧ q) As ⇔ (p ∨ q) ∧ (q ∧ r ) Co ⇔ ((p ∨ q) ∧ q) ∧ r As ⇔ q∧r Ab
  93. 93. ¨ gE¸de˘erlilik Hesabı Orne˘i s g ¨ Ornek ¬(¬((p ∨ q) ∧ r ) ∨ ¬q) ⇔ ¬¬((p ∨ q) ∧ r ) ∧ ¬¬q DM ⇔ ((p ∨ q) ∧ r ) ∧ q DN ⇔ (p ∨ q) ∧ (r ∧ q) As ⇔ (p ∨ q) ∧ (q ∧ r ) Co ⇔ ((p ∨ q) ∧ q) ∧ r As ⇔ q∧r Ab
  94. 94. ¨ gE¸de˘erlilik Hesabı Orne˘i s g ¨ Ornek ¬(¬((p ∨ q) ∧ r ) ∨ ¬q) ⇔ ¬¬((p ∨ q) ∧ r ) ∧ ¬¬q DM ⇔ ((p ∨ q) ∧ r ) ∧ q DN ⇔ (p ∨ q) ∧ (r ∧ q) As ⇔ (p ∨ q) ∧ (q ∧ r ) Co ⇔ ((p ∨ q) ∧ q) ∧ r As ⇔ q∧r Ab
  95. 95. ¨ gE¸de˘erlilik Hesabı Orne˘i s g ¨ Ornek ¬(¬((p ∨ q) ∧ r ) ∨ ¬q) ⇔ ¬¬((p ∨ q) ∧ r ) ∧ ¬¬q DM ⇔ ((p ∨ q) ∧ r ) ∧ q DN ⇔ (p ∨ q) ∧ (r ∧ q) As ⇔ (p ∨ q) ∧ (q ∧ r ) Co ⇔ ((p ∨ q) ∧ q) ∧ r As ⇔ q∧r Ab
  96. 96. ¨ gE¸de˘erlilik Hesabı Orne˘i s g ¨ Ornek ¬(¬((p ∨ q) ∧ r ) ∨ ¬q) ⇔ ¬¬((p ∨ q) ∧ r ) ∧ ¬¬q DM ⇔ ((p ∨ q) ∧ r ) ∧ q DN ⇔ (p ∨ q) ∧ (r ∧ q) As ⇔ (p ∨ q) ∧ (q ∧ r ) Co ⇔ ((p ∨ q) ∧ q) ∧ r As ⇔ q∧r Ab
  97. 97. ¨ gE¸de˘erlilik Hesabı Orne˘i s g ¨ Ornek ¬(¬((p ∨ q) ∧ r ) ∨ ¬q) ⇔ ¬¬((p ∨ q) ∧ r ) ∧ ¬¬q DM ⇔ ((p ∨ q) ∧ r ) ∧ q DN ⇔ (p ∨ q) ∧ (r ∧ q) As ⇔ (p ∨ q) ∧ (q ∧ r ) Co ⇔ ((p ∨ q) ∧ q) ∧ r As ⇔ q∧r Ab
  98. 98. ¨ gE¸de˘erlilik Hesabı Orne˘i s g ¨ Ornek ¬(¬((p ∨ q) ∧ r ) ∨ ¬q) ⇔ ¬¬((p ∨ q) ∧ r ) ∧ ¬¬q DM ⇔ ((p ∨ q) ∧ r ) ∧ q DN ⇔ (p ∨ q) ∧ (r ∧ q) As ⇔ (p ∨ q) ∧ (q ∧ r ) Co ⇔ ((p ∨ q) ∧ q) ∧ r As ⇔ q∧r Ab
  99. 99. Dualite Tanım ∧ ve ∨ dı¸ında bir ba˘la¸ i¸ermeyen bir s ¨nermesinin s g c c o dual ¨nermesi s d , o ∧ yerine ∨, ∨ yerine ∧, D yerine Y , Y yerine D konarak elde edilir. ¨ Ornek (dual ¨nerme) o s : (p ∧ ¬q) ∨ (r ∧ D) d s : (p ∨ ¬q) ∧ (r ∨ Y )
  100. 100. Dualite Tanım ∧ ve ∨ dı¸ında bir ba˘la¸ i¸ermeyen bir s ¨nermesinin s g c c o dual ¨nermesi s d , o ∧ yerine ∨, ∨ yerine ∧, D yerine Y , Y yerine D konarak elde edilir. ¨ Ornek (dual ¨nerme) o s : (p ∧ ¬q) ∨ (r ∧ D) d s : (p ∨ ¬q) ∧ (r ∨ Y )
  101. 101. Dualite ˙ Ilkesi Dualite ˙ Ilkesi s ve t, ∧ ve ∨ dı¸ında bir ba˘la¸ i¸ermeyen ¨nermeler olsun. s g c c o s ⇔ t ise s d ⇔ t d .
  102. 102. Konular ¨ 1 Onermeler Giri¸ s s ¨ Birle¸ik Onermeler Sa˘lıklı Form¨ller g u ¨ Ustdil ¨ 2 Onerme Hesapları Giri¸ s Mantık Yasaları Akıl Y¨r¨tme uu
  103. 103. Mantıksal Gerektirme Tanım P → Q bir totoloji ise P form¨l¨ Q form¨l¨n¨ mantıksal gerektirir: uu uu u P⇒Q
  104. 104. ¨ gMantıksal Gerektirme Orne˘i ¨ Ornek p ∧ (p → q) ⇒ q Tablo: p ∧ (p → q) → q p q p→q p∧A B→q (A) (B) D D D D D D Y Y Y D Y D D Y D Y Y D Y D
  105. 105. Akıl Y¨r¨tme uu do˘rulu˘u varsayılan ya da tanıtlanmı¸ g g s bir ¨nermeler k¨mesinden yola ¸ıkarak o u c bir ¨nermenin do˘rulu˘una varma o g g g¨sterilim o p1 p2 ... p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ pn ⇒ q pn ∴q
  106. 106. Akıl Y¨r¨tme uu do˘rulu˘u varsayılan ya da tanıtlanmı¸ g g s bir ¨nermeler k¨mesinden yola ¸ıkarak o u c bir ¨nermenin do˘rulu˘una varma o g g g¨sterilim o p1 p2 ... p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ pn ⇒ q pn ∴q
  107. 107. Temel Kurallar ¨ Ozde¸lik (Identity - ID) s p ∴p Celi¸ki (Contradiction - CTR) ¸ s Y ∴p
  108. 108. Temel Kurallar ¨ Ozde¸lik (Identity - ID) s p ∴p Celi¸ki (Contradiction - CTR) ¸ s Y ∴p
  109. 109. Temel Kurallar Ko¸ul Ekleme (Implication Introduction - ImpI) s p q ∴ p→q p do˘ru varsayıldı˘ında q do˘ru oldu˘u g¨sterilebiliyorsa, g g g g o p do˘ru varsayılmadan p → q do˘rudur g g p bir ge¸ici varsayım (PA - provisional assumption) c ge¸ici varsayımlar sonradan kaldırılabilmeli c
  110. 110. Temel Kurallar Ko¸ul Ekleme (Implication Introduction - ImpI) s p q ∴ p→q p do˘ru varsayıldı˘ında q do˘ru oldu˘u g¨sterilebiliyorsa, g g g g o p do˘ru varsayılmadan p → q do˘rudur g g p bir ge¸ici varsayım (PA - provisional assumption) c ge¸ici varsayımlar sonradan kaldırılabilmeli c
  111. 111. Temel Kurallar VE Ekleme (AND Introduction - AndI) p q ∴p∧q VE Eleme (AND Elimination - AndE) p∧q ∴p
  112. 112. Temel Kurallar VE Ekleme (AND Introduction - AndI) p q ∴p∧q VE Eleme (AND Elimination - AndE) p∧q ∴p
  113. 113. Temel Kurallar VEYA Ekleme (OR Introduction - OrI) p ∴p∨q VEYA Eleme (OR Elimination - OrE) p∨q p r q r ∴ r
  114. 114. Temel Kurallar VEYA Ekleme (OR Introduction - OrI) p ∴p∨q VEYA Eleme (OR Elimination - OrE) p∨q p r q r ∴ r
  115. 115. Temel Kurallar Modus Ponens (Implication Elimination - ImpE) p→q p ∴q Modus Tollens (MT) p→q ¬q ∴ ¬p
  116. 116. Temel Kurallar Modus Ponens (Implication Elimination - ImpE) p→q p ∴q Modus Tollens (MT) p→q ¬q ∴ ¬p
  117. 117. Modus Tollens ¨ Ornek 1. p→q A p→q 2. ¬q → ¬p 1 ¬q 3. ¬q A ∴ ¬p 4. ¬p ImpE : 2, 3
  118. 118. Modus Tollens ¨ Ornek 1. p→q A p→q 2. ¬q → ¬p 1 ¬q 3. ¬q A ∴ ¬p 4. ¬p ImpE : 2, 3
  119. 119. Modus Tollens ¨ Ornek 1. p→q A p→q 2. ¬q → ¬p 1 ¬q 3. ¬q A ∴ ¬p 4. ¬p ImpE : 2, 3
  120. 120. Modus Tollens ¨ Ornek 1. p→q A p→q 2. ¬q → ¬p 1 ¬q 3. ¬q A ∴ ¬p 4. ¬p ImpE : 2, 3
  121. 121. Modus Tollens ¨ Ornek 1. p→q A p→q 2. ¬q → ¬p 1 ¬q 3. ¬q A ∴ ¬p 4. ¬p ImpE : 2, 3
  122. 122. ¨ gModus Ponens Orne˘i ¨ Ornek Ali piyangoyu kazanırsa araba alacak. Ali piyangoyu kazandı. O halde, Ali araba alacak.
  123. 123. ¨ gModus Ponens Orne˘i ¨ Ornek Ali piyangoyu kazanırsa araba alacak. Ali piyangoyu kazandı. O halde, Ali araba alacak.
  124. 124. ¨ gModus Tollens Orne˘i ¨ Ornek Ali piyangoyu kazanırsa araba alacak. Ali araba almadı. O halde, Ali piyangoyu kazanmadı.
  125. 125. ¨ gModus Tollens Orne˘i ¨ Ornek Ali piyangoyu kazanırsa araba alacak. Ali araba almadı. O halde, Ali piyangoyu kazanmadı.
  126. 126. Yanılgılar sonucu onaylama yanılgısı p→q q ∴p (p → q) ∧ q → p bir totoloji de˘il: g p = Y , q = D ise: (Y → D) ∧ D → Y
  127. 127. Yanılgılar sonucu onaylama yanılgısı p→q q ∴p (p → q) ∧ q → p bir totoloji de˘il: g p = Y , q = D ise: (Y → D) ∧ D → Y
  128. 128. ¨ gSonucu Onaylama Yanılgısı Orne˘i ¨ Ornek Ali piyangoyu kazanırsa araba alacak. Ali araba aldı. O halde, Ali piyangoyu kazandı.
  129. 129. ¨ gSonucu Onaylama Yanılgısı Orne˘i ¨ Ornek Ali piyangoyu kazanırsa araba alacak. Ali araba aldı. O halde, Ali piyangoyu kazandı.
  130. 130. Yanılgılar o uu ¨nc¨l¨ yadsıma yanılgısı p→q ¬p ∴ ¬q (p → q) ∧ ¬p → ¬q bir totoloji de˘il: g p = Y , q = D ise: (Y → D) ∧ D → Y
  131. 131. Yanılgılar o uu ¨nc¨l¨ yadsıma yanılgısı p→q ¬p ∴ ¬q (p → q) ∧ ¬p → ¬q bir totoloji de˘il: g p = Y , q = D ise: (Y → D) ∧ D → Y
  132. 132. ¨ uu ¨ gOnc¨l¨ Yadsıma Yanılgısı Orne˘i ¨ Ornek Ali piyangoyu kazanırsa araba alacak. Ali piyangoyu kazanmadı. O halde, Ali araba almayacak.
  133. 133. ¨ uu ¨ gOnc¨l¨ Yadsıma Yanılgısı Orne˘i ¨ Ornek Ali piyangoyu kazanırsa araba alacak. Ali piyangoyu kazanmadı. O halde, Ali araba almayacak.
  134. 134. Ayırıcı Kıyas 1. p∨q A Ayırıcı Kıyas 2. ¬p A (Disjunctive Syllogism - DS) 3. p → Y 2 4a1. p PA p∨q 4a2. Y ImpE : 3, 4a1 ¬p 4a. q CTR : 4a2 ∴q 4b1. q PA 4b. q ID : 4b1 5. q OrE : 1, 4a, 4b
  135. 135. Ayırıcı Kıyas 1. p∨q A Ayırıcı Kıyas 2. ¬p A (Disjunctive Syllogism - DS) 3. p → Y 2 4a1. p PA p∨q 4a2. Y ImpE : 3, 4a1 ¬p 4a. q CTR : 4a2 ∴q 4b1. q PA 4b. q ID : 4b1 5. q OrE : 1, 4a, 4b
  136. 136. Ayırıcı Kıyas 1. p∨q A Ayırıcı Kıyas 2. ¬p A (Disjunctive Syllogism - DS) 3. p → Y 2 4a1. p PA p∨q 4a2. Y ImpE : 3, 4a1 ¬p 4a. q CTR : 4a2 ∴q 4b1. q PA 4b. q ID : 4b1 5. q OrE : 1, 4a, 4b
  137. 137. Ayırıcı Kıyas 1. p∨q A Ayırıcı Kıyas 2. ¬p A (Disjunctive Syllogism - DS) 3. p → Y 2 4a1. p PA p∨q 4a2. Y ImpE : 3, 4a1 ¬p 4a. q CTR : 4a2 ∴q 4b1. q PA 4b. q ID : 4b1 5. q OrE : 1, 4a, 4b
  138. 138. Ayırıcı Kıyas 1. p∨q A Ayırıcı Kıyas 2. ¬p A (Disjunctive Syllogism - DS) 3. p → Y 2 4a1. p PA p∨q 4a2. Y ImpE : 3, 4a1 ¬p 4a. q CTR : 4a2 ∴q 4b1. q PA 4b. q ID : 4b1 5. q OrE : 1, 4a, 4b
  139. 139. Ayırıcı Kıyas 1. p∨q A Ayırıcı Kıyas 2. ¬p A (Disjunctive Syllogism - DS) 3. p → Y 2 4a1. p PA p∨q 4a2. Y ImpE : 3, 4a1 ¬p 4a. q CTR : 4a2 ∴q 4b1. q PA 4b. q ID : 4b1 5. q OrE : 1, 4a, 4b
  140. 140. Ayırıcı Kıyas 1. p∨q A Ayırıcı Kıyas 2. ¬p A (Disjunctive Syllogism - DS) 3. p → Y 2 4a1. p PA p∨q 4a2. Y ImpE : 3, 4a1 ¬p 4a. q CTR : 4a2 ∴q 4b1. q PA 4b. q ID : 4b1 5. q OrE : 1, 4a, 4b
  141. 141. Ayırıcı Kıyas 1. p∨q A Ayırıcı Kıyas 2. ¬p A (Disjunctive Syllogism - DS) 3. p → Y 2 4a1. p PA p∨q 4a2. Y ImpE : 3, 4a1 ¬p 4a. q CTR : 4a2 ∴q 4b1. q PA 4b. q ID : 4b1 5. q OrE : 1, 4a, 4b
  142. 142. Ayırıcı Kıyas 1. p∨q A Ayırıcı Kıyas 2. ¬p A (Disjunctive Syllogism - DS) 3. p → Y 2 4a1. p PA p∨q 4a2. Y ImpE : 3, 4a1 ¬p 4a. q CTR : 4a2 ∴q 4b1. q PA 4b. q ID : 4b1 5. q OrE : 1, 4a, 4b
  143. 143. Ayırıcı Kıyas 1. p∨q A Ayırıcı Kıyas 2. ¬p A (Disjunctive Syllogism - DS) 3. p → Y 2 4a1. p PA p∨q 4a2. Y ImpE : 3, 4a1 ¬p 4a. q CTR : 4a2 ∴q 4b1. q PA 4b. q ID : 4b1 5. q OrE : 1, 4a, 4b
  144. 144. ¨ gAyırıcı Kıyas Orne˘i ¨ Ornek Ali’nin c¨zdanı cebinde veya masasında. u Ali’nin c¨zdanı cebinde de˘il. u g O halde, Ali’nin c¨zdanı masasında. u
  145. 145. ¨ gAyırıcı Kıyas Orne˘i ¨ Ornek Ali’nin c¨zdanı cebinde veya masasında. u Ali’nin c¨zdanı cebinde de˘il. u g O halde, Ali’nin c¨zdanı masasında. u
  146. 146. Varsayımlı Kıyas Varsayımlı Kıyas 1. p PA (Hypothetical Syllogism - HS) 2. p → q A 3. q ImpE : 2, 1 p→q 4. q → r A q→r 5. r ImpE : 4, 3 ∴p→r 6. p → r ImpI : 1, 5
  147. 147. Varsayımlı Kıyas Varsayımlı Kıyas 1. p PA (Hypothetical Syllogism - HS) 2. p → q A 3. q ImpE : 2, 1 p→q 4. q → r A q→r 5. r ImpE : 4, 3 ∴p→r 6. p → r ImpI : 1, 5
  148. 148. Varsayımlı Kıyas Varsayımlı Kıyas 1. p PA (Hypothetical Syllogism - HS) 2. p → q A 3. q ImpE : 2, 1 p→q 4. q → r A q→r 5. r ImpE : 4, 3 ∴p→r 6. p → r ImpI : 1, 5
  149. 149. Varsayımlı Kıyas Varsayımlı Kıyas 1. p PA (Hypothetical Syllogism - HS) 2. p → q A 3. q ImpE : 2, 1 p→q 4. q → r A q→r 5. r ImpE : 4, 3 ∴p→r 6. p → r ImpI : 1, 5
  150. 150. Varsayımlı Kıyas Varsayımlı Kıyas 1. p PA (Hypothetical Syllogism - HS) 2. p → q A 3. q ImpE : 2, 1 p→q 4. q → r A q→r 5. r ImpE : 4, 3 ∴p→r 6. p → r ImpI : 1, 5
  151. 151. Varsayımlı Kıyas Varsayımlı Kıyas 1. p PA (Hypothetical Syllogism - HS) 2. p → q A 3. q ImpE : 2, 1 p→q 4. q → r A q→r 5. r ImpE : 4, 3 ∴p→r 6. p → r ImpI : 1, 5
  152. 152. Varsayımlı Kıyas Varsayımlı Kıyas 1. p PA (Hypothetical Syllogism - HS) 2. p → q A 3. q ImpE : 2, 1 p→q 4. q → r A q→r 5. r ImpE : 4, 3 ∴p→r 6. p → r ImpI : 1, 5
  153. 153. ¨ gVarsayımlı Kıyas Orne˘i ¨ Ornek (Uzay Yolu) Spock - Yarbay Decker: Su anda d¨¸man gemisine saldırmak intihar olur. ¸ us ˙ Intihara te¸ebb¨s eden biri Atılgan’ın komutanlı˘ını s u g yapmaya psikolojik olarak yetkin de˘ildir. g O halde, sizi g¨revden almak zorundayım. o
  154. 154. ¨ gVarsayımlı Kıyas Orne˘i ¨ Ornek (Uzay Yolu) p: Decker d¨¸man gemisine saldırır. us q: Decker intihara te¸ebb¨s eder. s u r : Decker Atılgan’ın komutanlı˘ını yapmaya psikolojik olarak g yetkin de˘ildir. g s: Spock Decker’ı g¨revden alır. o
  155. 155. ¨ gVarsayımlı Kıyas Orne˘i ¨ Ornek 1. p → q A p 2. q → r A p→q 3. p → r HS : 1, 2 q→r 4. r →s A r →s 5. p → s HS : 3, 4 ∴s 6. p A 7. s ImpE : 5, 6
  156. 156. ¨ gVarsayımlı Kıyas Orne˘i ¨ Ornek 1. p → q A p 2. q → r A p→q 3. p → r HS : 1, 2 q→r 4. r →s A r →s 5. p → s HS : 3, 4 ∴s 6. p A 7. s ImpE : 5, 6
  157. 157. ¨ gVarsayımlı Kıyas Orne˘i ¨ Ornek 1. p → q A p 2. q → r A p→q 3. p → r HS : 1, 2 q→r 4. r →s A r →s 5. p → s HS : 3, 4 ∴s 6. p A 7. s ImpE : 5, 6
  158. 158. ¨ gVarsayımlı Kıyas Orne˘i ¨ Ornek 1. p → q A p 2. q → r A p→q 3. p → r HS : 1, 2 q→r 4. r →s A r →s 5. p → s HS : 3, 4 ∴s 6. p A 7. s ImpE : 5, 6
  159. 159. ¨ gVarsayımlı Kıyas Orne˘i ¨ Ornek 1. p → q A p 2. q → r A p→q 3. p → r HS : 1, 2 q→r 4. r →s A r →s 5. p → s HS : 3, 4 ∴s 6. p A 7. s ImpE : 5, 6
  160. 160. ¨ gVarsayımlı Kıyas Orne˘i ¨ Ornek 1. p → q A p 2. q → r A p→q 3. p → r HS : 1, 2 q→r 4. r →s A r →s 5. p → s HS : 3, 4 ∴s 6. p A 7. s ImpE : 5, 6
  161. 161. ¨ gVarsayımlı Kıyas Orne˘i ¨ Ornek 1. p → q A p 2. q → r A p→q 3. p → r HS : 1, 2 q→r 4. r →s A r →s 5. p → s HS : 3, 4 ∴s 6. p A 7. s ImpE : 5, 6
  162. 162. ¨ gVarsayımlı Kıyas Orne˘i ¨ Ornek 1. p → q A p 2. q → r A p→q 3. p → r HS : 1, 2 q→r 4. r →s A r →s 5. p → s HS : 3, 4 ∴s 6. p A 7. s ImpE : 5, 6
  163. 163. ¨Akıl Y¨r¨tme Ornekleri uu ¨ Ornek p→r 1. u ∨ ¬x A 6. r → s A r →s 2. ¬u A 7. ¬r MT : 6, 5 x ∨ ¬s u ∨ ¬x 3. ¬x DS : 1, 2 8. p → r A ¬u 4. x ∨ ¬s A 9. ¬p MT : 8, 7 ∴ ¬p 5. ¬s DS : 4, 3
  164. 164. ¨Akıl Y¨r¨tme Ornekleri uu ¨ Ornek p→r 1. u ∨ ¬x A 6. r → s A r →s 2. ¬u A 7. ¬r MT : 6, 5 x ∨ ¬s u ∨ ¬x 3. ¬x DS : 1, 2 8. p → r A ¬u 4. x ∨ ¬s A 9. ¬p MT : 8, 7 ∴ ¬p 5. ¬s DS : 4, 3
  165. 165. ¨Akıl Y¨r¨tme Ornekleri uu ¨ Ornek p→r 1. u ∨ ¬x A 6. r → s A r →s 2. ¬u A 7. ¬r MT : 6, 5 x ∨ ¬s u ∨ ¬x 3. ¬x DS : 1, 2 8. p → r A ¬u 4. x ∨ ¬s A 9. ¬p MT : 8, 7 ∴ ¬p 5. ¬s DS : 4, 3
  166. 166. ¨Akıl Y¨r¨tme Ornekleri uu ¨ Ornek p→r 1. u ∨ ¬x A 6. r → s A r →s 2. ¬u A 7. ¬r MT : 6, 5 x ∨ ¬s u ∨ ¬x 3. ¬x DS : 1, 2 8. p → r A ¬u 4. x ∨ ¬s A 9. ¬p MT : 8, 7 ∴ ¬p 5. ¬s DS : 4, 3
  167. 167. ¨Akıl Y¨r¨tme Ornekleri uu ¨ Ornek p→r 1. u ∨ ¬x A 6. r → s A r →s 2. ¬u A 7. ¬r MT : 6, 5 x ∨ ¬s u ∨ ¬x 3. ¬x DS : 1, 2 8. p → r A ¬u 4. x ∨ ¬s A 9. ¬p MT : 8, 7 ∴ ¬p 5. ¬s DS : 4, 3
  168. 168. ¨Akıl Y¨r¨tme Ornekleri uu ¨ Ornek p→r 1. u ∨ ¬x A 6. r → s A r →s 2. ¬u A 7. ¬r MT : 6, 5 x ∨ ¬s u ∨ ¬x 3. ¬x DS : 1, 2 8. p → r A ¬u 4. x ∨ ¬s A 9. ¬p MT : 8, 7 ∴ ¬p 5. ¬s DS : 4, 3
  169. 169. ¨Akıl Y¨r¨tme Ornekleri uu ¨ Ornek p→r 1. u ∨ ¬x A 6. r → s A r →s 2. ¬u A 7. ¬r MT : 6, 5 x ∨ ¬s u ∨ ¬x 3. ¬x DS : 1, 2 8. p → r A ¬u 4. x ∨ ¬s A 9. ¬p MT : 8, 7 ∴ ¬p 5. ¬s DS : 4, 3
  170. 170. ¨Akıl Y¨r¨tme Ornekleri uu ¨ Ornek p→r 1. u ∨ ¬x A 6. r → s A r →s 2. ¬u A 7. ¬r MT : 6, 5 x ∨ ¬s u ∨ ¬x 3. ¬x DS : 1, 2 8. p → r A ¬u 4. x ∨ ¬s A 9. ¬p MT : 8, 7 ∴ ¬p 5. ¬s DS : 4, 3
  171. 171. ¨Akıl Y¨r¨tme Ornekleri uu ¨ Ornek p→r 1. u ∨ ¬x A 6. r → s A r →s 2. ¬u A 7. ¬r MT : 6, 5 x ∨ ¬s u ∨ ¬x 3. ¬x DS : 1, 2 8. p → r A ¬u 4. x ∨ ¬s A 9. ¬p MT : 8, 7 ∴ ¬p 5. ¬s DS : 4, 3
  172. 172. ¨Akıl Y¨r¨tme Ornekleri uu ¨ Ornek p→r 1. u ∨ ¬x A 6. r → s A r →s 2. ¬u A 7. ¬r MT : 6, 5 x ∨ ¬s u ∨ ¬x 3. ¬x DS : 1, 2 8. p → r A ¬u 4. x ∨ ¬s A 9. ¬p MT : 8, 7 ∴ ¬p 5. ¬s DS : 4, 3
  173. 173. ¨Akıl Y¨r¨tme Ornekleri uu ¨ Ornek (¬p ∨ ¬q) → (r ∧ s) r →x ¬x ∴p 1. r →x A 6. (¬p ∨ ¬q) → (r ∧ s) A 2. ¬x A 7. ¬(¬p ∨ ¬q) MT : 6, 5 3. ¬r MT : 1, 2 8. p∧q DM : 7 4. ¬r ∨ ¬s OrI : 3 9. p AndE : 8 5. ¬(r ∧ s) DM : 4
  174. 174. ¨Akıl Y¨r¨tme Ornekleri uu ¨ Ornek (¬p ∨ ¬q) → (r ∧ s) r →x ¬x ∴p 1. r →x A 6. (¬p ∨ ¬q) → (r ∧ s) A 2. ¬x A 7. ¬(¬p ∨ ¬q) MT : 6, 5 3. ¬r MT : 1, 2 8. p∧q DM : 7 4. ¬r ∨ ¬s OrI : 3 9. p AndE : 8 5. ¬(r ∧ s) DM : 4
  175. 175. ¨Akıl Y¨r¨tme Ornekleri uu ¨ Ornek (¬p ∨ ¬q) → (r ∧ s) r →x ¬x ∴p 1. r →x A 6. (¬p ∨ ¬q) → (r ∧ s) A 2. ¬x A 7. ¬(¬p ∨ ¬q) MT : 6, 5 3. ¬r MT : 1, 2 8. p∧q DM : 7 4. ¬r ∨ ¬s OrI : 3 9. p AndE : 8 5. ¬(r ∧ s) DM : 4
  176. 176. ¨Akıl Y¨r¨tme Ornekleri uu ¨ Ornek (¬p ∨ ¬q) → (r ∧ s) r →x ¬x ∴p 1. r →x A 6. (¬p ∨ ¬q) → (r ∧ s) A 2. ¬x A 7. ¬(¬p ∨ ¬q) MT : 6, 5 3. ¬r MT : 1, 2 8. p∧q DM : 7 4. ¬r ∨ ¬s OrI : 3 9. p AndE : 8 5. ¬(r ∧ s) DM : 4
  177. 177. ¨Akıl Y¨r¨tme Ornekleri uu ¨ Ornek (¬p ∨ ¬q) → (r ∧ s) r →x ¬x ∴p 1. r →x A 6. (¬p ∨ ¬q) → (r ∧ s) A 2. ¬x A 7. ¬(¬p ∨ ¬q) MT : 6, 5 3. ¬r MT : 1, 2 8. p∧q DM : 7 4. ¬r ∨ ¬s OrI : 3 9. p AndE : 8 5. ¬(r ∧ s) DM : 4
  178. 178. ¨Akıl Y¨r¨tme Ornekleri uu ¨ Ornek (¬p ∨ ¬q) → (r ∧ s) r →x ¬x ∴p 1. r →x A 6. (¬p ∨ ¬q) → (r ∧ s) A 2. ¬x A 7. ¬(¬p ∨ ¬q) MT : 6, 5 3. ¬r MT : 1, 2 8. p∧q DM : 7 4. ¬r ∨ ¬s OrI : 3 9. p AndE : 8 5. ¬(r ∧ s) DM : 4
  179. 179. ¨Akıl Y¨r¨tme Ornekleri uu ¨ Ornek (¬p ∨ ¬q) → (r ∧ s) r →x ¬x ∴p 1. r →x A 6. (¬p ∨ ¬q) → (r ∧ s) A 2. ¬x A 7. ¬(¬p ∨ ¬q) MT : 6, 5 3. ¬r MT : 1, 2 8. p∧q DM : 7 4. ¬r ∨ ¬s OrI : 3 9. p AndE : 8 5. ¬(r ∧ s) DM : 4
  180. 180. ¨Akıl Y¨r¨tme Ornekleri uu ¨ Ornek (¬p ∨ ¬q) → (r ∧ s) r →x ¬x ∴p 1. r →x A 6. (¬p ∨ ¬q) → (r ∧ s) A 2. ¬x A 7. ¬(¬p ∨ ¬q) MT : 6, 5 3. ¬r MT : 1, 2 8. p∧q DM : 7 4. ¬r ∨ ¬s OrI : 3 9. p AndE : 8 5. ¬(r ∧ s) DM : 4
  181. 181. ¨Akıl Y¨r¨tme Ornekleri uu ¨ Ornek (¬p ∨ ¬q) → (r ∧ s) r →x ¬x ∴p 1. r →x A 6. (¬p ∨ ¬q) → (r ∧ s) A 2. ¬x A 7. ¬(¬p ∨ ¬q) MT : 6, 5 3. ¬r MT : 1, 2 8. p∧q DM : 7 4. ¬r ∨ ¬s OrI : 3 9. p AndE : 8 5. ¬(r ∧ s) DM : 4
  182. 182. ¨Akıl Y¨r¨tme Ornekleri uu ¨ Ornek (¬p ∨ ¬q) → (r ∧ s) r →x ¬x ∴p 1. r →x A 6. (¬p ∨ ¬q) → (r ∧ s) A 2. ¬x A 7. ¬(¬p ∨ ¬q) MT : 6, 5 3. ¬r MT : 1, 2 8. p∧q DM : 7 4. ¬r ∨ ¬s OrI : 3 9. p AndE : 8 5. ¬(r ∧ s) DM : 4
  183. 183. ¨Akıl Y¨r¨tme Ornekleri uu ¨ Ornek 1. q → ¬p A 2. p A 3. ¬q MT : 1, 2 p → (q ∨ r ) s → ¬r 4. s A q → ¬p 5. s → ¬r A p 6. ¬r ImpE : 5, 4 s 7. p → (q ∨ r ) A ∴Y 8. q∨r ImpE : 7, 2 9. q DS : 8, 6 10. q ∧ ¬q : Y AndI : 9, 3
  184. 184. ¨Akıl Y¨r¨tme Ornekleri uu ¨ Ornek 1. q → ¬p A 2. p A 3. ¬q MT : 1, 2 p → (q ∨ r ) s → ¬r 4. s A q → ¬p 5. s → ¬r A p 6. ¬r ImpE : 5, 4 s 7. p → (q ∨ r ) A ∴Y 8. q∨r ImpE : 7, 2 9. q DS : 8, 6 10. q ∧ ¬q : Y AndI : 9, 3
  185. 185. ¨Akıl Y¨r¨tme Ornekleri uu ¨ Ornek 1. q → ¬p A 2. p A 3. ¬q MT : 1, 2 p → (q ∨ r ) s → ¬r 4. s A q → ¬p 5. s → ¬r A p 6. ¬r ImpE : 5, 4 s 7. p → (q ∨ r ) A ∴Y 8. q∨r ImpE : 7, 2 9. q DS : 8, 6 10. q ∧ ¬q : Y AndI : 9, 3
  186. 186. ¨Akıl Y¨r¨tme Ornekleri uu ¨ Ornek 1. q → ¬p A 2. p A 3. ¬q MT : 1, 2 p → (q ∨ r ) s → ¬r 4. s A q → ¬p 5. s → ¬r A p 6. ¬r ImpE : 5, 4 s 7. p → (q ∨ r ) A ∴Y 8. q∨r ImpE : 7, 2 9. q DS : 8, 6 10. q ∧ ¬q : Y AndI : 9, 3
  187. 187. ¨Akıl Y¨r¨tme Ornekleri uu ¨ Ornek 1. q → ¬p A 2. p A 3. ¬q MT : 1, 2 p → (q ∨ r ) s → ¬r 4. s A q → ¬p 5. s → ¬r A p 6. ¬r ImpE : 5, 4 s 7. p → (q ∨ r ) A ∴Y 8. q∨r ImpE : 7, 2 9. q DS : 8, 6 10. q ∧ ¬q : Y AndI : 9, 3
  188. 188. ¨Akıl Y¨r¨tme Ornekleri uu ¨ Ornek 1. q → ¬p A 2. p A 3. ¬q MT : 1, 2 p → (q ∨ r ) s → ¬r 4. s A q → ¬p 5. s → ¬r A p 6. ¬r ImpE : 5, 4 s 7. p → (q ∨ r ) A ∴Y 8. q∨r ImpE : 7, 2 9. q DS : 8, 6 10. q ∧ ¬q : Y AndI : 9, 3
  189. 189. ¨Akıl Y¨r¨tme Ornekleri uu ¨ Ornek 1. q → ¬p A 2. p A 3. ¬q MT : 1, 2 p → (q ∨ r ) s → ¬r 4. s A q → ¬p 5. s → ¬r A p 6. ¬r ImpE : 5, 4 s 7. p → (q ∨ r ) A ∴Y 8. q∨r ImpE : 7, 2 9. q DS : 8, 6 10. q ∧ ¬q : Y AndI : 9, 3
  190. 190. ¨Akıl Y¨r¨tme Ornekleri uu ¨ Ornek 1. q → ¬p A 2. p A 3. ¬q MT : 1, 2 p → (q ∨ r ) s → ¬r 4. s A q → ¬p 5. s → ¬r A p 6. ¬r ImpE : 5, 4 s 7. p → (q ∨ r ) A ∴Y 8. q∨r ImpE : 7, 2 9. q DS : 8, 6 10. q ∧ ¬q : Y AndI : 9, 3
  191. 191. ¨Akıl Y¨r¨tme Ornekleri uu ¨ Ornek 1. q → ¬p A 2. p A 3. ¬q MT : 1, 2 p → (q ∨ r ) s → ¬r 4. s A q → ¬p 5. s → ¬r A p 6. ¬r ImpE : 5, 4 s 7. p → (q ∨ r ) A ∴Y 8. q∨r ImpE : 7, 2 9. q DS : 8, 6 10. q ∧ ¬q : Y AndI : 9, 3
  192. 192. ¨Akıl Y¨r¨tme Ornekleri uu ¨ Ornek 1. q → ¬p A 2. p A 3. ¬q MT : 1, 2 p → (q ∨ r ) s → ¬r 4. s A q → ¬p 5. s → ¬r A p 6. ¬r ImpE : 5, 4 s 7. p → (q ∨ r ) A ∴Y 8. q∨r ImpE : 7, 2 9. q DS : 8, 6 10. q ∧ ¬q : Y AndI : 9, 3
  193. 193. ¨Akıl Y¨r¨tme Ornekleri uu ¨ Ornek 1. q → ¬p A 2. p A 3. ¬q MT : 1, 2 p → (q ∨ r ) s → ¬r 4. s A q → ¬p 5. s → ¬r A p 6. ¬r ImpE : 5, 4 s 7. p → (q ∨ r ) A ∴Y 8. q∨r ImpE : 7, 2 9. q DS : 8, 6 10. q ∧ ¬q : Y AndI : 9, 3
  194. 194. ¨Akıl Y¨r¨tme Ornekleri uu ¨ Ornek E˘er ya˘mur ya˘ması olasılı˘ı varsa veya sa¸ bandını bulamazsa, g g g g c Filiz ¸imleri bi¸mez. Hava sıcaklı˘ı 20 dereceden fazlaysa c c g ya˘mur ya˘ma olasılı˘ı yoktur. Bug¨n hava sıcaklı˘ı 22 derece g g g u g ve Filiz sa¸ bandını takmı¸. O halde, Filiz ¸imleri bi¸ecek. c s c c
  195. 195. ¨Akıl Y¨r¨tme Ornekleri uu ¨ Ornek p: Ya˘mur ya˘abilir. g g q: Filiz’in sa¸ bandı kayıp. c r : Filiz ¸imleri bi¸er. c c s: Hava sıcaklı˘ı 20 dereceden fazla. g
  196. 196. ¨Akıl Y¨r¨tme Ornekleri uu ¨ Ornek 1. s ∧ ¬q A 2. s AndE : 1 3. s → ¬p A (p ∨ q) → ¬r 4. ¬p ImpE : 3, 2 s → ¬p s ∧ ¬q 5. ¬q AndE : 1 ∴r 6. ¬p ∧ ¬q AndI : 4, 5 7. ¬(p ∨ q) DM : 6 8. (p ∨ q) → ¬r A 9. ? 7, 8
  197. 197. ¨Akıl Y¨r¨tme Ornekleri uu ¨ Ornek 1. s ∧ ¬q A 2. s AndE : 1 3. s → ¬p A (p ∨ q) → ¬r 4. ¬p ImpE : 3, 2 s → ¬p s ∧ ¬q 5. ¬q AndE : 1 ∴r 6. ¬p ∧ ¬q AndI : 4, 5 7. ¬(p ∨ q) DM : 6 8. (p ∨ q) → ¬r A 9. ? 7, 8
  198. 198. ¨Akıl Y¨r¨tme Ornekleri uu ¨ Ornek 1. s ∧ ¬q A 2. s AndE : 1 3. s → ¬p A (p ∨ q) → ¬r 4. ¬p ImpE : 3, 2 s → ¬p s ∧ ¬q 5. ¬q AndE : 1 ∴r 6. ¬p ∧ ¬q AndI : 4, 5 7. ¬(p ∨ q) DM : 6 8. (p ∨ q) → ¬r A 9. ? 7, 8
  199. 199. ¨Akıl Y¨r¨tme Ornekleri uu ¨ Ornek 1. s ∧ ¬q A 2. s AndE : 1 3. s → ¬p A (p ∨ q) → ¬r 4. ¬p ImpE : 3, 2 s → ¬p s ∧ ¬q 5. ¬q AndE : 1 ∴r 6. ¬p ∧ ¬q AndI : 4, 5 7. ¬(p ∨ q) DM : 6 8. (p ∨ q) → ¬r A 9. ? 7, 8
  200. 200. ¨Akıl Y¨r¨tme Ornekleri uu ¨ Ornek 1. s ∧ ¬q A 2. s AndE : 1 3. s → ¬p A (p ∨ q) → ¬r 4. ¬p ImpE : 3, 2 s → ¬p s ∧ ¬q 5. ¬q AndE : 1 ∴r 6. ¬p ∧ ¬q AndI : 4, 5 7. ¬(p ∨ q) DM : 6 8. (p ∨ q) → ¬r A 9. ? 7, 8
  201. 201. ¨Akıl Y¨r¨tme Ornekleri uu ¨ Ornek 1. s ∧ ¬q A 2. s AndE : 1 3. s → ¬p A (p ∨ q) → ¬r 4. ¬p ImpE : 3, 2 s → ¬p s ∧ ¬q 5. ¬q AndE : 1 ∴r 6. ¬p ∧ ¬q AndI : 4, 5 7. ¬(p ∨ q) DM : 6 8. (p ∨ q) → ¬r A 9. ? 7, 8
  202. 202. ¨Akıl Y¨r¨tme Ornekleri uu ¨ Ornek 1. s ∧ ¬q A 2. s AndE : 1 3. s → ¬p A (p ∨ q) → ¬r 4. ¬p ImpE : 3, 2 s → ¬p s ∧ ¬q 5. ¬q AndE : 1 ∴r 6. ¬p ∧ ¬q AndI : 4, 5 7. ¬(p ∨ q) DM : 6 8. (p ∨ q) → ¬r A 9. ? 7, 8
  203. 203. ¨Akıl Y¨r¨tme Ornekleri uu ¨ Ornek 1. s ∧ ¬q A 2. s AndE : 1 3. s → ¬p A (p ∨ q) → ¬r 4. ¬p ImpE : 3, 2 s → ¬p s ∧ ¬q 5. ¬q AndE : 1 ∴r 6. ¬p ∧ ¬q AndI : 4, 5 7. ¬(p ∨ q) DM : 6 8. (p ∨ q) → ¬r A 9. ? 7, 8
  204. 204. ¨Akıl Y¨r¨tme Ornekleri uu ¨ Ornek 1. s ∧ ¬q A 2. s AndE : 1 3. s → ¬p A (p ∨ q) → ¬r 4. ¬p ImpE : 3, 2 s → ¬p s ∧ ¬q 5. ¬q AndE : 1 ∴r 6. ¬p ∧ ¬q AndI : 4, 5 7. ¬(p ∨ q) DM : 6 8. (p ∨ q) → ¬r A 9. ? 7, 8
  1. A particular slide catching your eye?

    Clipping is a handy way to collect important slides you want to go back to later.

×