Ayrık Matematik - Çizgeler

  • 3,141 views
Uploaded on

Çizgeler, yönlü çizgeler, izomorfizm, bağlılık, geçit veren çizgeler, düzlemsel çizgeler. Ağaçlar, köklü ağaçlar, ikili ağaçlar, karar ağaçları. Ağırlıklı çizgeler, en kısa yol, en hafif kapsayan …

Çizgeler, yönlü çizgeler, izomorfizm, bağlılık, geçit veren çizgeler, düzlemsel çizgeler. Ağaçlar, köklü ağaçlar, ikili ağaçlar, karar ağaçları. Ağırlıklı çizgeler, en kısa yol, en hafif kapsayan ağaç.

  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
No Downloads

Views

Total Views
3,141
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0

Actions

Shares
Downloads
88
Comments
2
Likes
4

Embeds 0

No embeds

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
    No notes for slide

Transcript

  • 1. Ayrık Matematik¸CizgelerH. Turgut Uyar Ay¸seg¨ul Gen¸cata Yayımlı Emre Harmancı2001-2013
  • 2. Lisansc 2001-2013 T. Uyar, A. Yayımlı, E. HarmancıYou are free:to Share – to copy, distribute and transmit the workto Remix – to adapt the workUnder the following conditions:Attribution – You must attribute the work in the manner specified by the author or licensor (but not in anyway that suggests that they endorse you or your use of the work).Noncommercial – You may not use this work for commercial purposes.Share Alike – If you alter, transform, or build upon this work, you may distribute the resulting work onlyunder the same or similar license to this one.Legal code (the full license):http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/
  • 3. Konular1 ¸CizgelerGiri¸sBa˘glılıkD¨uzlemsel ¸Cizgeler¸Cizgelerde Arama2 A˘ga¸clarGiri¸sK¨okl¨u A˘ga¸clar˙Ikili A˘ga¸clarKarar A˘ga¸cları3 A˘gırlıklı ¸CizgelerGiri¸sEn Kısa YolEn Hafif Kapsayan A˘ga¸c
  • 4. Konular1 ¸CizgelerGiri¸sBa˘glılıkD¨uzlemsel ¸Cizgeler¸Cizgelerde Arama2 A˘ga¸clarGiri¸sK¨okl¨u A˘ga¸clar˙Ikili A˘ga¸clarKarar A˘ga¸cları3 A˘gırlıklı ¸CizgelerGiri¸sEn Kısa YolEn Hafif Kapsayan A˘ga¸c
  • 5. ¸CizgelerTanım¸cizge: G = (V , E)V : d¨u˘g¨um k¨umesiE ⊆ V × V : ayrıt k¨umesie = (v1, v2) ∈ E ise:v1 ve v2 d¨u˘g¨umleri e ayrıtının u¸cd¨u˘g¨umlerie ayrıtı v1 ve v2 d¨u˘g¨umlerine ¸cakı¸sıkv1 ve v2 d¨u˘g¨umleri biti¸sikhi¸cbir ayrıtın ¸cakı¸smadı˘gı d¨u˘g¨um: yalıtılmı¸s d¨u˘g¨um
  • 6. ¸CizgelerTanım¸cizge: G = (V , E)V : d¨u˘g¨um k¨umesiE ⊆ V × V : ayrıt k¨umesie = (v1, v2) ∈ E ise:v1 ve v2 d¨u˘g¨umleri e ayrıtının u¸cd¨u˘g¨umlerie ayrıtı v1 ve v2 d¨u˘g¨umlerine ¸cakı¸sıkv1 ve v2 d¨u˘g¨umleri biti¸sikhi¸cbir ayrıtın ¸cakı¸smadı˘gı d¨u˘g¨um: yalıtılmı¸s d¨u˘g¨um
  • 7. ¸Cizge ¨Orne˘gi¨OrnekV = {a, b, c, d, e, f }E = {(a, b), (a, c),(a, d), (a, e),(a, f ), (b, c),(d, e), (e, f )}
  • 8. Y¨onl¨u ¸CizgelerTanımy¨onl¨u ¸cizge: D = (V , A)A ⊆ V × V : yay k¨umesiba¸slangı¸c ve biti¸s d¨u˘g¨umleri
  • 9. Y¨onl¨u ¸Cizge ¨Orne˘gi¨Ornek
  • 10. ¸Coklu ¸CizgelerTanımko¸sut ba˘glı ayrıtlar: aynı iki d¨u˘g¨um arasındaki ayrıtlartek-¸cevre: aynı d¨u˘g¨umde ba¸slayan ve sonlanan ayrıtyalın ¸cizge: ko¸sut ba˘glı ayrıt ya da tek-¸cevre i¸cermeyen ¸cizge¸coklu ¸cizge: yalın olmayan ¸cizge
  • 11. ¸Coklu ¸CizgelerTanımko¸sut ba˘glı ayrıtlar: aynı iki d¨u˘g¨um arasındaki ayrıtlartek-¸cevre: aynı d¨u˘g¨umde ba¸slayan ve sonlanan ayrıtyalın ¸cizge: ko¸sut ba˘glı ayrıt ya da tek-¸cevre i¸cermeyen ¸cizge¸coklu ¸cizge: yalın olmayan ¸cizge
  • 12. ¸Coklu ¸Cizge ¨Orne˘gi¨Ornekko¸sut ba˘glı ayrıtlar:(a, b)tek-¸cevre:(e, e)
  • 13. Alt¸cizgeTanımG = (V , E ) ¸cizgesi G = (V , E) ¸cizgesinin bir alt¸cizgesi:V ⊆ VE ⊆ E∀(v1, v2) ∈ E v1, v2 ∈ V
  • 14. G¨osterilim¸cakı¸sıklık matrisi:satırlara d¨u˘g¨umler, s¨utunlara ayrıtlarayrıt d¨u˘g¨ume ¸cakı¸sıksa 1, de˘gilse 0biti¸siklik matrisi:satırlara ve s¨utunlara d¨u˘g¨umlerh¨ucrelere d¨u˘g¨umler arasındaki ayrıt sayısı
  • 15. G¨osterilim¸cakı¸sıklık matrisi:satırlara d¨u˘g¨umler, s¨utunlara ayrıtlarayrıt d¨u˘g¨ume ¸cakı¸sıksa 1, de˘gilse 0biti¸siklik matrisi:satırlara ve s¨utunlara d¨u˘g¨umlerh¨ucrelere d¨u˘g¨umler arasındaki ayrıt sayısı
  • 16. ¸Cakı¸sıklık Matrisi ¨Orne˘gi¨Orneke1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8v1 1 1 1 0 1 0 0 0v2 1 0 0 1 0 0 0 0v3 0 0 1 1 0 0 1 1v4 0 0 0 0 1 1 0 1v5 0 1 0 0 0 1 1 0
  • 17. Biti¸siklik Matrisi ¨Orne˘gi¨Ornekv1 v2 v3 v4 v5v1 0 1 1 1 1v2 1 0 1 0 0v3 1 1 0 1 1v4 1 0 1 0 1v5 1 0 1 1 0
  • 18. Biti¸siklik Matrisi ¨Orne˘gi¨Orneka b c da 0 0 0 1b 2 1 1 0c 0 0 0 0d 0 1 1 0
  • 19. KerteTanımkerte: d¨u˘g¨ume ¸cakı¸san ayrıtların sayısıTeoremvi d¨u˘g¨um¨un¨un kertesi di olsun|E| = i di2
  • 20. KerteTanımkerte: d¨u˘g¨ume ¸cakı¸san ayrıtların sayısıTeoremvi d¨u˘g¨um¨un¨un kertesi di olsun|E| = i di2
  • 21. Kerte ¨Orne˘gi¨Ornek (yalın ¸cizge)da = 5db = 2dc = 2dd = 2de = 3df = 2Toplam = 16|E| = 8
  • 22. Kerte ¨Orne˘gi¨Ornek (¸coklu ¸cizge)da = 6db = 3dc = 2dd = 2de = 5df = 2Toplam = 20|E| = 10
  • 23. Y¨onl¨u ¸Cizgelerde Kertekerte ikiye ayrılırgiri¸s kertesi: dvi¸cıkı¸s kertesi: dvogiri¸s kertesi 0 olan d¨u˘g¨um: kaynak¸cıkı¸s kertesi 0 olan d¨u˘g¨um: kuyuv∈V dvi= v∈V dvo= |A|
  • 24. Y¨onl¨u ¸Cizgelerde Kertekerte ikiye ayrılırgiri¸s kertesi: dvi¸cıkı¸s kertesi: dvogiri¸s kertesi 0 olan d¨u˘g¨um: kaynak¸cıkı¸s kertesi 0 olan d¨u˘g¨um: kuyuv∈V dvi= v∈V dvo= |A|
  • 25. Y¨onl¨u ¸Cizgelerde Kertekerte ikiye ayrılırgiri¸s kertesi: dvi¸cıkı¸s kertesi: dvogiri¸s kertesi 0 olan d¨u˘g¨um: kaynak¸cıkı¸s kertesi 0 olan d¨u˘g¨um: kuyuv∈V dvi= v∈V dvo= |A|
  • 26. KerteTeoremY¨ons¨uz bir ¸cizgede kertesi tek olan d¨u˘g¨umlerin sayısı ¸cifttir.Tanıt.ti : kertesi i olan d¨u˘g¨umlerin sayısı2|E| = i di = 1t1 + 2t2 + 3t3 + 4t4 + 5t5 + . . .2|E| − 2t2 − 4t4 − · · · = t1 + t3 + · · · + 2t3 + 4t5 + . . .2|E| − 2t2 − 4t4 − · · · − 2t3 − 4t5 − · · · = t1 + t3 + t5 + . . .sol yan ¸cift oldu˘guna g¨ore sa˘g yan da ¸cifttir
  • 27. KerteTeoremY¨ons¨uz bir ¸cizgede kertesi tek olan d¨u˘g¨umlerin sayısı ¸cifttir.Tanıt.ti : kertesi i olan d¨u˘g¨umlerin sayısı2|E| = i di = 1t1 + 2t2 + 3t3 + 4t4 + 5t5 + . . .2|E| − 2t2 − 4t4 − · · · = t1 + t3 + · · · + 2t3 + 4t5 + . . .2|E| − 2t2 − 4t4 − · · · − 2t3 − 4t5 − · · · = t1 + t3 + t5 + . . .sol yan ¸cift oldu˘guna g¨ore sa˘g yan da ¸cifttir
  • 28. KerteTeoremY¨ons¨uz bir ¸cizgede kertesi tek olan d¨u˘g¨umlerin sayısı ¸cifttir.Tanıt.ti : kertesi i olan d¨u˘g¨umlerin sayısı2|E| = i di = 1t1 + 2t2 + 3t3 + 4t4 + 5t5 + . . .2|E| − 2t2 − 4t4 − · · · = t1 + t3 + · · · + 2t3 + 4t5 + . . .2|E| − 2t2 − 4t4 − · · · − 2t3 − 4t5 − · · · = t1 + t3 + t5 + . . .sol yan ¸cift oldu˘guna g¨ore sa˘g yan da ¸cifttir
  • 29. KerteTeoremY¨ons¨uz bir ¸cizgede kertesi tek olan d¨u˘g¨umlerin sayısı ¸cifttir.Tanıt.ti : kertesi i olan d¨u˘g¨umlerin sayısı2|E| = i di = 1t1 + 2t2 + 3t3 + 4t4 + 5t5 + . . .2|E| − 2t2 − 4t4 − · · · = t1 + t3 + · · · + 2t3 + 4t5 + . . .2|E| − 2t2 − 4t4 − · · · − 2t3 − 4t5 − · · · = t1 + t3 + t5 + . . .sol yan ¸cift oldu˘guna g¨ore sa˘g yan da ¸cifttir
  • 30. KerteTeoremY¨ons¨uz bir ¸cizgede kertesi tek olan d¨u˘g¨umlerin sayısı ¸cifttir.Tanıt.ti : kertesi i olan d¨u˘g¨umlerin sayısı2|E| = i di = 1t1 + 2t2 + 3t3 + 4t4 + 5t5 + . . .2|E| − 2t2 − 4t4 − · · · = t1 + t3 + · · · + 2t3 + 4t5 + . . .2|E| − 2t2 − 4t4 − · · · − 2t3 − 4t5 − · · · = t1 + t3 + t5 + . . .sol yan ¸cift oldu˘guna g¨ore sa˘g yan da ¸cifttir
  • 31. KerteTeoremY¨ons¨uz bir ¸cizgede kertesi tek olan d¨u˘g¨umlerin sayısı ¸cifttir.Tanıt.ti : kertesi i olan d¨u˘g¨umlerin sayısı2|E| = i di = 1t1 + 2t2 + 3t3 + 4t4 + 5t5 + . . .2|E| − 2t2 − 4t4 − · · · = t1 + t3 + · · · + 2t3 + 4t5 + . . .2|E| − 2t2 − 4t4 − · · · − 2t3 − 4t5 − · · · = t1 + t3 + t5 + . . .sol yan ¸cift oldu˘guna g¨ore sa˘g yan da ¸cifttir
  • 32. D¨uzenli ¸CizgelerTanımd¨uzenli ¸cizge: b¨ut¨un d¨u˘g¨umlerin kertesi aynın-d¨uzenli: b¨ut¨un d¨u˘g¨umlerin kertesi n
  • 33. D¨uzenli ¸Cizge ¨Ornekleri¨Ornek
  • 34. Tam Ba˘glı ¸CizgelerTanımG = (V , E) ¸cizgesi tam ba˘glı:∀v1, v2 ∈ V (v1, v2) ∈ Eher d¨u˘g¨um ¸cifti arasında ayrıt varKn: n d¨u˘g¨uml¨u tam ba˘glı ¸cizge
  • 35. Tam Ba˘glı ¸CizgelerTanımG = (V , E) ¸cizgesi tam ba˘glı:∀v1, v2 ∈ V (v1, v2) ∈ Eher d¨u˘g¨um ¸cifti arasında ayrıt varKn: n d¨u˘g¨uml¨u tam ba˘glı ¸cizge
  • 36. Tam Ba˘glı ¸Cizge ¨Ornekleri¨Ornek (K4)¨Ornek (K5)
  • 37. ˙Iki Par¸calı ¸CizgelerTanımG = (V , E) ¸cizgesi iki par¸calı:∀(v1, v2) ∈ E v1 ∈ V1 ∧ v2 ∈ V2V1 ∪ V2 = V , V1 ∩ V2 = ∅tam ba˘glı iki par¸calı: ∀v1 ∈ V1 ∀v2 ∈ V2 (v1, v2) ∈ EKm,n: |V1| = m, |V2| = n
  • 38. ˙Iki Par¸calı ¸CizgelerTanımG = (V , E) ¸cizgesi iki par¸calı:∀(v1, v2) ∈ E v1 ∈ V1 ∧ v2 ∈ V2V1 ∪ V2 = V , V1 ∩ V2 = ∅tam ba˘glı iki par¸calı: ∀v1 ∈ V1 ∀v2 ∈ V2 (v1, v2) ∈ EKm,n: |V1| = m, |V2| = n
  • 39. Tam Ba˘glı ˙Iki Par¸calı ¸Cizge ¨Ornekleri¨Ornek (K2,3) ¨Ornek (K3,3)
  • 40. ˙IzomorfizmTanımG = (V , E) ile G = (V , E ) ¸cizgeleri izomorfik:∃f : V → V (u, v) ∈ E ⇒ (f (u), f (v)) ∈ Ef birebir ve ¨ortenG ile G aynı ¸sekilde ¸cizilebilir
  • 41. ˙IzomorfizmTanımG = (V , E) ile G = (V , E ) ¸cizgeleri izomorfik:∃f : V → V (u, v) ∈ E ⇒ (f (u), f (v)) ∈ Ef birebir ve ¨ortenG ile G aynı ¸sekilde ¸cizilebilir
  • 42. ˙Izomorfizm ¨Orne˘gi¨Ornekf = {(a, d), (b, e), (c, b), (d, c), (e, a)}
  • 43. ˙Izomorfizm ¨Orne˘gi¨Ornekf = {(a, d), (b, e), (c, b), (d, c), (e, a)}
  • 44. ˙Izomorfizm ¨Orne˘gi¨Ornek (Petersen ¸cizgesi)f = {(a, q), (b, v), (c, u), (d, y), (e, r),(f , w), (g, x), (h, t), (i, z), (j, s)}
  • 45. HomeomorfizmTanımG = (V , E) ile G = (V , E ) ¸cizgeleri homeomorfik:E k¨umesindeki ayrıtlardan bazılarının ek d¨u˘g¨umlerle b¨ol¨unm¨u¸solmaları dı¸sında G and G ¸cizgeleri izomorfik
  • 46. Homeomorfizm ¨Orne˘gi¨Ornek
  • 47. Konular1 ¸CizgelerGiri¸sBa˘glılıkD¨uzlemsel ¸Cizgeler¸Cizgelerde Arama2 A˘ga¸clarGiri¸sK¨okl¨u A˘ga¸clar˙Ikili A˘ga¸clarKarar A˘ga¸cları3 A˘gırlıklı ¸CizgelerGiri¸sEn Kısa YolEn Hafif Kapsayan A˘ga¸c
  • 48. Dola¸sıTanımdola¸sı: bir ba¸slangı¸c d¨u˘g¨um¨unden (v0) bir varı¸s d¨u˘g¨um¨une (vn)bir d¨u˘g¨um ve ayrıt sekansıv0, e1, v1, e2, v2, e3, v3, . . . , en−1, vn−1, en, vnei = (vi−1, vi )ayrıtları yazmaya gerek yokuzunluk: dola¸sıdaki ayrıt sayısıv0 = vn ise a¸cık, v0 = vn ise kapalı
  • 49. Dola¸sıTanımdola¸sı: bir ba¸slangı¸c d¨u˘g¨um¨unden (v0) bir varı¸s d¨u˘g¨um¨une (vn)bir d¨u˘g¨um ve ayrıt sekansıv0, e1, v1, e2, v2, e3, v3, . . . , en−1, vn−1, en, vnei = (vi−1, vi )ayrıtları yazmaya gerek yokuzunluk: dola¸sıdaki ayrıt sayısıv0 = vn ise a¸cık, v0 = vn ise kapalı
  • 50. Dola¸sıTanımdola¸sı: bir ba¸slangı¸c d¨u˘g¨um¨unden (v0) bir varı¸s d¨u˘g¨um¨une (vn)bir d¨u˘g¨um ve ayrıt sekansıv0, e1, v1, e2, v2, e3, v3, . . . , en−1, vn−1, en, vnei = (vi−1, vi )ayrıtları yazmaya gerek yokuzunluk: dola¸sıdaki ayrıt sayısıv0 = vn ise a¸cık, v0 = vn ise kapalı
  • 51. Dola¸sı ¨Orne˘gi¨Ornek(c, b), (b, a), (a, d), (d, e),(e, f ), (f , a), (a, b)c, b, a, d, e, f , a, buzunluk: 7
  • 52. GeziTanımgezi: ayrıtların yinelenmedi˘gi dola¸sıdevre: kapalı gezikapsayan gezi: ¸cizgedeki b¨ut¨un ayrıtlardan ge¸cen gezi
  • 53. GeziTanımgezi: ayrıtların yinelenmedi˘gi dola¸sıdevre: kapalı gezikapsayan gezi: ¸cizgedeki b¨ut¨un ayrıtlardan ge¸cen gezi
  • 54. Gezi ¨Orne˘gi¨Ornek(c, b), (b, a), (a, e), (e, d),(d, a), (a, f )c, b, a, e, d, a, f
  • 55. YolTanımyol: d¨u˘g¨umlerin yinelenmedi˘gi dola¸sı¸cevre: kapalı yolkapsayan yol: ¸cizgedeki b¨ut¨un d¨u˘g¨umlere u˘grayan yol
  • 56. YolTanımyol: d¨u˘g¨umlerin yinelenmedi˘gi dola¸sı¸cevre: kapalı yolkapsayan yol: ¸cizgedeki b¨ut¨un d¨u˘g¨umlere u˘grayan yol
  • 57. Yol ¨Orne˘gi¨Ornek(c, b), (b, a), (a, d), (d, e),(e, f )c, b, a, d, e, f
  • 58. Ba˘glılıkTanımba˘glı ¸cizge: her d¨u˘g¨um ¸cifti arasında bir yol varba˘glı olmayan bir ¸cizge ba˘glı bile¸senlere ayrılabilir
  • 59. Ba˘glılıkTanımba˘glı ¸cizge: her d¨u˘g¨um ¸cifti arasında bir yol varba˘glı olmayan bir ¸cizge ba˘glı bile¸senlere ayrılabilir
  • 60. Ba˘glı Bile¸sen ¨Orne˘gi¨Ornek¸cizge ba˘glı de˘gil:a ile c arasında yol yokba˘glı bile¸senler:a, d, eb, cf
  • 61. UzaklıkTanımvi ile vj d¨u˘g¨umleri arasındaki uzaklık:vi ile vj arasındaki en kısa yolun uzunlu˘guTanım¸cap: ¸cizgedeki en b¨uy¨uk uzaklık
  • 62. UzaklıkTanımvi ile vj d¨u˘g¨umleri arasındaki uzaklık:vi ile vj arasındaki en kısa yolun uzunlu˘guTanım¸cap: ¸cizgedeki en b¨uy¨uk uzaklık
  • 63. Uzaklık ¨Orne˘gi¨Orneka ile e d¨u˘g¨umlerininuzaklı˘gı: 2¸cap: 3
  • 64. Uzaklık ¨Orne˘gi¨Orneka ile e d¨u˘g¨umlerininuzaklı˘gı: 2¸cap: 3
  • 65. Kesitleme NoktasıTanımG − v:G ¸cizgesinden v d¨u˘g¨um¨u ve ona ¸cakı¸sık b¨ut¨un ayrıtların¸cıkarılmasıyla elde edilen ¸cizgeTanımv d¨u˘g¨um¨u G ¸cizgesi i¸cin bir kesitleme noktası:G ba˘glı ama G − v ba˘glı de˘gil
  • 66. Kesitleme NoktasıTanımG − v:G ¸cizgesinden v d¨u˘g¨um¨u ve ona ¸cakı¸sık b¨ut¨un ayrıtların¸cıkarılmasıyla elde edilen ¸cizgeTanımv d¨u˘g¨um¨u G ¸cizgesi i¸cin bir kesitleme noktası:G ba˘glı ama G − v ba˘glı de˘gil
  • 67. Kesitleme Noktası ¨Orne˘giG G − d
  • 68. Y¨onl¨u Dola¸sılary¨ons¨uz ¸cizgelerle aynıyayların y¨onleri g¨ozardı edilirse:yarı-dola¸sı, yarı-gezi, yarı-yol
  • 69. Zayıf Ba˘glı ¸CizgeTanımzayıf ba˘glı:her d¨u˘g¨um ¸cifti arasındabir yarı-yol var¨Ornek
  • 70. Tek-Y¨onl¨u Ba˘glı ¸CizgeTanımtek-y¨onl¨u ba˘glı:her d¨u˘g¨um ¸cifti arasındabirinden di˘gerine yol var¨Ornek
  • 71. G¨u¸cl¨u Ba˘glı ¸CizgeTanımg¨u¸cl¨u ba˘glı:her d¨u˘g¨um ¸cifti arasındaher iki y¨onde yol var¨Ornek
  • 72. K¨onigsberg K¨opr¨ulerib¨ut¨un k¨opr¨ulerden bir kere ge¸cilerekba¸slangı¸c noktasına d¨on¨ulebilir mi?
  • 73. Ge¸cit Veren ¸CizgeTanımG ge¸cit verir: G ¨uzerinde kapsayan bir gezi d¨uzenlenebilir
  • 74. Ge¸cit Veren ¸Cizgekertesi tek olan bir d¨u˘g¨um varsa gezininya ba¸slangı¸c d¨u˘g¨um¨u ya da varı¸s d¨u˘g¨um¨u olmalıba¸slangı¸c d¨u˘g¨um¨u ve varı¸s d¨u˘g¨um¨u dı¸sındakib¨ut¨un d¨u˘g¨umlerin kerteleri ¸cift olmalı
  • 75. Ge¸cit Veren ¸Cizge ¨Orne˘gi¨Orneka, b ve c d¨u˘g¨umlerininkerteleri ¸ciftd ve e d¨u˘g¨umlerininkerteleri tekd d¨u˘g¨um¨unden ba¸slayıpe d¨u˘g¨um¨unde biten (ya da tersi)bir kapsayan gezi olu¸sturulabilir:d, b, a, c, e, d, c, b, e
  • 76. Ge¸cit Veren ¸Cizge ¨Orne˘gi¨Orneka, b ve c d¨u˘g¨umlerininkerteleri ¸ciftd ve e d¨u˘g¨umlerininkerteleri tekd d¨u˘g¨um¨unden ba¸slayıpe d¨u˘g¨um¨unde biten (ya da tersi)bir kapsayan gezi olu¸sturulabilir:d, b, a, c, e, d, c, b, e
  • 77. K¨onigsberg K¨opr¨ulerib¨ut¨un d¨u˘g¨umlerin kerteleri tek: ge¸cit vermez
  • 78. Euler ¸CizgeleriTanımEuler ¸cizgesi: kapalı, kapsayan bir gezi d¨uzenlenebilen ¸cizgeG bir Euler ¸cizgesi ⇔ G’deki b¨ut¨un d¨u˘g¨umlerin kerteleri ¸cift
  • 79. Euler ¸Cizgesi ¨Ornekleri¨Ornek (Euler ¸cizgesi) ¨Ornek (Euler ¸cizgesi de˘gil)
  • 80. Hamilton ¸CizgeleriTanımHamilton ¸cizgesi: kapalı, kapsayan bir yol d¨uzenlenebilen ¸cizge
  • 81. Hamilton ¸Cizgesi ¨Ornekleri¨Ornek (Hamilton ¸cizgesi) ¨Ornek (Hamilton ¸cizgesi de˘gil)
  • 82. Ba˘glantı Matrisi¸cizgenin biti¸siklik matrisi A iseAk matrisinin (i, j) elemanı i. d¨u˘g¨um ile j. d¨u˘g¨um arasındakik uzunluklu dola¸sıların sayısını g¨osterirn d¨u˘g¨uml¨u y¨ons¨uz bir ¸cizgede iki d¨u˘g¨um arasındaki uzaklıken fazla n − 1 olabilirba˘glantı matrisi:C = A1 + A2 + A3 + · · · + An−1b¨ut¨un elemanlar sıfırdan farklı ise ¸cizge ba˘glıdır
  • 83. Ba˘glantı Matrisi¸cizgenin biti¸siklik matrisi A iseAk matrisinin (i, j) elemanı i. d¨u˘g¨um ile j. d¨u˘g¨um arasındakik uzunluklu dola¸sıların sayısını g¨osterirn d¨u˘g¨uml¨u y¨ons¨uz bir ¸cizgede iki d¨u˘g¨um arasındaki uzaklıken fazla n − 1 olabilirba˘glantı matrisi:C = A1 + A2 + A3 + · · · + An−1b¨ut¨un elemanlar sıfırdan farklı ise ¸cizge ba˘glıdır
  • 84. Ba˘glantı Matrisi¸cizgenin biti¸siklik matrisi A iseAk matrisinin (i, j) elemanı i. d¨u˘g¨um ile j. d¨u˘g¨um arasındakik uzunluklu dola¸sıların sayısını g¨osterirn d¨u˘g¨uml¨u y¨ons¨uz bir ¸cizgede iki d¨u˘g¨um arasındaki uzaklıken fazla n − 1 olabilirba˘glantı matrisi:C = A1 + A2 + A3 + · · · + An−1b¨ut¨un elemanlar sıfırdan farklı ise ¸cizge ba˘glıdır
  • 85. Warshall Algoritmasıd¨u˘g¨umler arasındaki dola¸sıların sayısı yerinedola¸sı olup olmadı˘gını belirlemek daha kolaysırayla her d¨u˘g¨um i¸cin:o d¨u˘g¨ume gelinebilen d¨u˘g¨umlerden(matriste o s¨utunda 1 olan satırlardan)o d¨u˘g¨umden gidilebilen d¨u˘g¨umlere(matriste o satırda 1 olan s¨utunlara)
  • 86. Warshall Algoritmasıd¨u˘g¨umler arasındaki dola¸sıların sayısı yerinedola¸sı olup olmadı˘gını belirlemek daha kolaysırayla her d¨u˘g¨um i¸cin:o d¨u˘g¨ume gelinebilen d¨u˘g¨umlerden(matriste o s¨utunda 1 olan satırlardan)o d¨u˘g¨umden gidilebilen d¨u˘g¨umlere(matriste o satırda 1 olan s¨utunlara)
  • 87. Warshall Algoritması ¨Orne˘gi¨Orneka b c da 0 1 0 0b 0 1 0 0c 0 0 0 1d 1 0 1 0
  • 88. Warshall Algoritması ¨Orne˘gi¨Orneka b c da 0 1 0 0b 0 1 0 0c 0 0 0 1d 1 1 1 0
  • 89. Warshall Algoritması ¨Orne˘gi¨Orneka b c da 0 1 0 0b 0 1 0 0c 0 0 0 1d 1 1 1 0
  • 90. Warshall Algoritması ¨Orne˘gi¨Orneka b c da 0 1 0 0b 0 1 0 0c 0 0 0 1d 1 1 1 1
  • 91. Warshall Algoritması ¨Orne˘gi¨Orneka b c da 0 1 0 0b 0 1 0 0c 1 1 1 1d 1 1 1 1
  • 92. Konular1 ¸CizgelerGiri¸sBa˘glılıkD¨uzlemsel ¸Cizgeler¸Cizgelerde Arama2 A˘ga¸clarGiri¸sK¨okl¨u A˘ga¸clar˙Ikili A˘ga¸clarKarar A˘ga¸cları3 A˘gırlıklı ¸CizgelerGiri¸sEn Kısa YolEn Hafif Kapsayan A˘ga¸c
  • 93. D¨uzlemsel ¸CizgelerTanımAyrıtları kesi¸smeyecek ¸sekilde bir d¨uzleme ¸cizilebilenbir ¸cizge d¨uzlemseldir.G ¸cizgesinin bir haritası: G ¸cizgesinin d¨uzlemsel bir ¸cizimi
  • 94. D¨uzlemsel ¸Cizge ¨Orne˘gi¨Ornek (K4)
  • 95. B¨olgelerbir harita d¨uzlemi b¨olgelere ayırırbir b¨olgenin kertesi:b¨olgeyi ¸cevreleyen kapalı gezinin uzunlu˘guTeoremri b¨olgesinin kertesi driolsun|E| = i dri2
  • 96. B¨olgelerbir harita d¨uzlemi b¨olgelere ayırırbir b¨olgenin kertesi:b¨olgeyi ¸cevreleyen kapalı gezinin uzunlu˘guTeoremri b¨olgesinin kertesi driolsun|E| = i dri2
  • 97. B¨olge ¨Orne˘gi¨Ornekdr1 = 3 (abda)dr2 = 3 (bcdb)dr3 = 5 (cdefec)dr4 = 4 (abcea)dr5 = 3 (adea)r dr = 18|E| = 9
  • 98. Euler Form¨ul¨uTeorem (Euler Form¨ul¨u)G = (V , E) ba˘glı, d¨uzlemsel bir ¸cizge olsunve R bu ¸cizgenin bir haritasındaki b¨olgeler k¨umesi olsun:|V | − |E| + |R| = 2
  • 99. Euler Form¨ul¨u ¨Orne˘gi¨Ornek|V | = 6, |E| = 9, |R| = 5
  • 100. D¨uzlemsel ¸Cizge TeoremleriTeoremG = (V , E) ba˘glı, d¨uzlemsel bir ¸cizge olsun ve |V | ≥ 3 olsun:|E| ≤ 3|V | − 6Tanıt.b¨olge kertelerinin toplamı: 2|E|bir b¨olgenin kertesi en az 3⇒ 2|E| ≥ 3|R| ⇒ |R| ≤ 23|E||V | − |E| + |R| = 2⇒ |V | − |E| + 23|E| ≥ 2 ⇒ |V | − 13|E| ≥ 2⇒ 3|V | − |E| ≥ 6 ⇒ |E| ≤ 3|V | − 6
  • 101. D¨uzlemsel ¸Cizge TeoremleriTeoremG = (V , E) ba˘glı, d¨uzlemsel bir ¸cizge olsun ve |V | ≥ 3 olsun:|E| ≤ 3|V | − 6Tanıt.b¨olge kertelerinin toplamı: 2|E|bir b¨olgenin kertesi en az 3⇒ 2|E| ≥ 3|R| ⇒ |R| ≤ 23|E||V | − |E| + |R| = 2⇒ |V | − |E| + 23|E| ≥ 2 ⇒ |V | − 13|E| ≥ 2⇒ 3|V | − |E| ≥ 6 ⇒ |E| ≤ 3|V | − 6
  • 102. D¨uzlemsel ¸Cizge TeoremleriTeoremG = (V , E) ba˘glı, d¨uzlemsel bir ¸cizge olsun ve |V | ≥ 3 olsun:|E| ≤ 3|V | − 6Tanıt.b¨olge kertelerinin toplamı: 2|E|bir b¨olgenin kertesi en az 3⇒ 2|E| ≥ 3|R| ⇒ |R| ≤ 23|E||V | − |E| + |R| = 2⇒ |V | − |E| + 23|E| ≥ 2 ⇒ |V | − 13|E| ≥ 2⇒ 3|V | − |E| ≥ 6 ⇒ |E| ≤ 3|V | − 6
  • 103. D¨uzlemsel ¸Cizge TeoremleriTeoremG = (V , E) ba˘glı, d¨uzlemsel bir ¸cizge olsun ve |V | ≥ 3 olsun:|E| ≤ 3|V | − 6Tanıt.b¨olge kertelerinin toplamı: 2|E|bir b¨olgenin kertesi en az 3⇒ 2|E| ≥ 3|R| ⇒ |R| ≤ 23|E||V | − |E| + |R| = 2⇒ |V | − |E| + 23|E| ≥ 2 ⇒ |V | − 13|E| ≥ 2⇒ 3|V | − |E| ≥ 6 ⇒ |E| ≤ 3|V | − 6
  • 104. D¨uzlemsel ¸Cizge TeoremleriTeoremG = (V , E) ba˘glı, d¨uzlemsel bir ¸cizge olsun ve |V | ≥ 3 olsun:|E| ≤ 3|V | − 6Tanıt.b¨olge kertelerinin toplamı: 2|E|bir b¨olgenin kertesi en az 3⇒ 2|E| ≥ 3|R| ⇒ |R| ≤ 23|E||V | − |E| + |R| = 2⇒ |V | − |E| + 23|E| ≥ 2 ⇒ |V | − 13|E| ≥ 2⇒ 3|V | − |E| ≥ 6 ⇒ |E| ≤ 3|V | − 6
  • 105. D¨uzlemsel ¸Cizge TeoremleriTeoremG = (V , E) ba˘glı, d¨uzlemsel bir ¸cizge olsun ve |V | ≥ 3 olsun:|E| ≤ 3|V | − 6Tanıt.b¨olge kertelerinin toplamı: 2|E|bir b¨olgenin kertesi en az 3⇒ 2|E| ≥ 3|R| ⇒ |R| ≤ 23|E||V | − |E| + |R| = 2⇒ |V | − |E| + 23|E| ≥ 2 ⇒ |V | − 13|E| ≥ 2⇒ 3|V | − |E| ≥ 6 ⇒ |E| ≤ 3|V | − 6
  • 106. D¨uzlemsel ¸Cizge TeoremleriTeoremG = (V , E) ba˘glı, d¨uzlemsel bir ¸cizge olsun ve |V | ≥ 3 olsun:|E| ≤ 3|V | − 6Tanıt.b¨olge kertelerinin toplamı: 2|E|bir b¨olgenin kertesi en az 3⇒ 2|E| ≥ 3|R| ⇒ |R| ≤ 23|E||V | − |E| + |R| = 2⇒ |V | − |E| + 23|E| ≥ 2 ⇒ |V | − 13|E| ≥ 2⇒ 3|V | − |E| ≥ 6 ⇒ |E| ≤ 3|V | − 6
  • 107. D¨uzlemsel ¸Cizge TeoremleriTeoremG = (V , E) ba˘glı, d¨uzlemsel bir ¸cizge olsun ve |V | ≥ 3 olsun:|E| ≤ 3|V | − 6Tanıt.b¨olge kertelerinin toplamı: 2|E|bir b¨olgenin kertesi en az 3⇒ 2|E| ≥ 3|R| ⇒ |R| ≤ 23|E||V | − |E| + |R| = 2⇒ |V | − |E| + 23|E| ≥ 2 ⇒ |V | − 13|E| ≥ 2⇒ 3|V | − |E| ≥ 6 ⇒ |E| ≤ 3|V | − 6
  • 108. D¨uzlemsel ¸Cizge TeoremleriTeoremG = (V , E) ba˘glı, d¨uzlemsel bir ¸cizge olsun ve |V | ≥ 3 olsun:|E| ≤ 3|V | − 6Tanıt.b¨olge kertelerinin toplamı: 2|E|bir b¨olgenin kertesi en az 3⇒ 2|E| ≥ 3|R| ⇒ |R| ≤ 23|E||V | − |E| + |R| = 2⇒ |V | − |E| + 23|E| ≥ 2 ⇒ |V | − 13|E| ≥ 2⇒ 3|V | − |E| ≥ 6 ⇒ |E| ≤ 3|V | − 6
  • 109. D¨uzlemsel ¸Cizge TeoremleriTeoremG = (V , E) ba˘glı, d¨uzlemsel bir ¸cizge olsun ve |V | ≥ 3 olsun:|E| ≤ 3|V | − 6Tanıt.b¨olge kertelerinin toplamı: 2|E|bir b¨olgenin kertesi en az 3⇒ 2|E| ≥ 3|R| ⇒ |R| ≤ 23|E||V | − |E| + |R| = 2⇒ |V | − |E| + 23|E| ≥ 2 ⇒ |V | − 13|E| ≥ 2⇒ 3|V | − |E| ≥ 6 ⇒ |E| ≤ 3|V | − 6
  • 110. D¨uzlemsel ¸Cizge TeoremleriTeoremG = (V , E) ba˘glı, d¨uzlemsel bir ¸cizge olsun ve |V | ≥ 3 olsun:∃v ∈ V dv ≤ 5Tanıt.∀v ∈ V dv ≥ 6 olsun⇒ 2|E| ≥ 6|V |⇒ |E| ≥ 3|V |⇒ |E| > 3|V | − 6
  • 111. D¨uzlemsel ¸Cizge TeoremleriTeoremG = (V , E) ba˘glı, d¨uzlemsel bir ¸cizge olsun ve |V | ≥ 3 olsun:∃v ∈ V dv ≤ 5Tanıt.∀v ∈ V dv ≥ 6 olsun⇒ 2|E| ≥ 6|V |⇒ |E| ≥ 3|V |⇒ |E| > 3|V | − 6
  • 112. D¨uzlemsel ¸Cizge TeoremleriTeoremG = (V , E) ba˘glı, d¨uzlemsel bir ¸cizge olsun ve |V | ≥ 3 olsun:∃v ∈ V dv ≤ 5Tanıt.∀v ∈ V dv ≥ 6 olsun⇒ 2|E| ≥ 6|V |⇒ |E| ≥ 3|V |⇒ |E| > 3|V | − 6
  • 113. D¨uzlemsel ¸Cizge TeoremleriTeoremG = (V , E) ba˘glı, d¨uzlemsel bir ¸cizge olsun ve |V | ≥ 3 olsun:∃v ∈ V dv ≤ 5Tanıt.∀v ∈ V dv ≥ 6 olsun⇒ 2|E| ≥ 6|V |⇒ |E| ≥ 3|V |⇒ |E| > 3|V | − 6
  • 114. D¨uzlemsel ¸Cizge TeoremleriTeoremG = (V , E) ba˘glı, d¨uzlemsel bir ¸cizge olsun ve |V | ≥ 3 olsun:∃v ∈ V dv ≤ 5Tanıt.∀v ∈ V dv ≥ 6 olsun⇒ 2|E| ≥ 6|V |⇒ |E| ≥ 3|V |⇒ |E| > 3|V | − 6
  • 115. D¨uzlemsel Olmayan ¸CizgelerTeoremK5 d¨uzlemsel de˘gildir.Tanıt.|V | = 53|V | − 6 = 3 · 5 − 6 = 9|E| ≤ 9 olmalıama |E| = 10
  • 116. D¨uzlemsel Olmayan ¸CizgelerTeoremK5 d¨uzlemsel de˘gildir.Tanıt.|V | = 53|V | − 6 = 3 · 5 − 6 = 9|E| ≤ 9 olmalıama |E| = 10
  • 117. D¨uzlemsel Olmayan ¸CizgelerTeoremK5 d¨uzlemsel de˘gildir.Tanıt.|V | = 53|V | − 6 = 3 · 5 − 6 = 9|E| ≤ 9 olmalıama |E| = 10
  • 118. D¨uzlemsel Olmayan ¸CizgelerTeoremK5 d¨uzlemsel de˘gildir.Tanıt.|V | = 53|V | − 6 = 3 · 5 − 6 = 9|E| ≤ 9 olmalıama |E| = 10
  • 119. D¨uzlemsel Olmayan ¸CizgelerTeoremK5 d¨uzlemsel de˘gildir.Tanıt.|V | = 53|V | − 6 = 3 · 5 − 6 = 9|E| ≤ 9 olmalıama |E| = 10
  • 120. D¨uzlemsel Olmayan ¸CizgelerTeoremK3,3 d¨uzlemsel de˘gildir. Tanıt.|V | = 6, |E| = 9d¨uzlemsel ise |R| = 5 olmalıbir b¨olgenin kertesi en az 4⇒ r∈R dr ≥ 20|E| ≥ 10 olmalıama |E| = 9
  • 121. D¨uzlemsel Olmayan ¸CizgelerTeoremK3,3 d¨uzlemsel de˘gildir. Tanıt.|V | = 6, |E| = 9d¨uzlemsel ise |R| = 5 olmalıbir b¨olgenin kertesi en az 4⇒ r∈R dr ≥ 20|E| ≥ 10 olmalıama |E| = 9
  • 122. D¨uzlemsel Olmayan ¸CizgelerTeoremK3,3 d¨uzlemsel de˘gildir. Tanıt.|V | = 6, |E| = 9d¨uzlemsel ise |R| = 5 olmalıbir b¨olgenin kertesi en az 4⇒ r∈R dr ≥ 20|E| ≥ 10 olmalıama |E| = 9
  • 123. D¨uzlemsel Olmayan ¸CizgelerTeoremK3,3 d¨uzlemsel de˘gildir. Tanıt.|V | = 6, |E| = 9d¨uzlemsel ise |R| = 5 olmalıbir b¨olgenin kertesi en az 4⇒ r∈R dr ≥ 20|E| ≥ 10 olmalıama |E| = 9
  • 124. D¨uzlemsel Olmayan ¸CizgelerTeoremK3,3 d¨uzlemsel de˘gildir. Tanıt.|V | = 6, |E| = 9d¨uzlemsel ise |R| = 5 olmalıbir b¨olgenin kertesi en az 4⇒ r∈R dr ≥ 20|E| ≥ 10 olmalıama |E| = 9
  • 125. D¨uzlemsel Olmayan ¸CizgelerTeoremK3,3 d¨uzlemsel de˘gildir. Tanıt.|V | = 6, |E| = 9d¨uzlemsel ise |R| = 5 olmalıbir b¨olgenin kertesi en az 4⇒ r∈R dr ≥ 20|E| ≥ 10 olmalıama |E| = 9
  • 126. Kuratowski TeoremiTeoremG’nin K5 ya da K3,3’e homeomorfik bir alt¸cizgesi var.⇔G d¨uzlemsel de˘gil.
  • 127. Platon Cisimlerid¨uzg¨un ¸coky¨uzl¨u: b¨ut¨un y¨uzleri birbirinin e¸sid¨uzg¨un ¸cokgenler olan ¨u¸c boyutlu cisimbir d¨uzg¨un ¸coky¨uzl¨un¨un iki boyutlu d¨uzleme izd¨u¸s¨um¨ud¨uzlemsel bir ¸cizgedirher k¨o¸se bir d¨u˘g¨umher kenar bir ayrıther y¨uz bir b¨olge
  • 128. Platon Cisimlerid¨uzg¨un ¸coky¨uzl¨u: b¨ut¨un y¨uzleri birbirinin e¸sid¨uzg¨un ¸cokgenler olan ¨u¸c boyutlu cisimbir d¨uzg¨un ¸coky¨uzl¨un¨un iki boyutlu d¨uzleme izd¨u¸s¨um¨ud¨uzlemsel bir ¸cizgedirher k¨o¸se bir d¨u˘g¨umher kenar bir ayrıther y¨uz bir b¨olge
  • 129. Platon Cisimleri¨Ornek (k¨up)
  • 130. Platon Cisimleriv: d¨u˘g¨um (k¨o¸se) sayısıe: ayrıt (kenar) sayısır: b¨olge (y¨uz) sayısın: bir k¨o¸sede birle¸sen y¨uz sayısı (d¨u˘g¨um kertesi)m: bir y¨uz¨u ¸cevreleyen ayrıt sayısı (b¨olge kertesi)m, n ≥ 32e = n · v2e = m · r
  • 131. Platon Cisimleriv: d¨u˘g¨um (k¨o¸se) sayısıe: ayrıt (kenar) sayısır: b¨olge (y¨uz) sayısın: bir k¨o¸sede birle¸sen y¨uz sayısı (d¨u˘g¨um kertesi)m: bir y¨uz¨u ¸cevreleyen ayrıt sayısı (b¨olge kertesi)m, n ≥ 32e = n · v2e = m · r
  • 132. Platon CisimleriEuler form¨ul¨unden:2 = v − e + r =2en− e +2em= e2m − mn + 2nmn> 0e, m, n > 0:2m − mn + 2n > 0 ⇒ mn − 2m − 2n < 0⇒ mn − 2m − 2n + 4 < 4 ⇒ (m − 2)(n − 2) < 4bu e¸sitsizli˘gi sa˘glayan de˘gerler:1 m = 3, n = 32 m = 4, n = 33 m = 3, n = 44 m = 5, n = 35 m = 3, n = 5
  • 133. Platon CisimleriEuler form¨ul¨unden:2 = v − e + r =2en− e +2em= e2m − mn + 2nmn> 0e, m, n > 0:2m − mn + 2n > 0 ⇒ mn − 2m − 2n < 0⇒ mn − 2m − 2n + 4 < 4 ⇒ (m − 2)(n − 2) < 4bu e¸sitsizli˘gi sa˘glayan de˘gerler:1 m = 3, n = 32 m = 4, n = 33 m = 3, n = 44 m = 5, n = 35 m = 3, n = 5
  • 134. Platon CisimleriEuler form¨ul¨unden:2 = v − e + r =2en− e +2em= e2m − mn + 2nmn> 0e, m, n > 0:2m − mn + 2n > 0 ⇒ mn − 2m − 2n < 0⇒ mn − 2m − 2n + 4 < 4 ⇒ (m − 2)(n − 2) < 4bu e¸sitsizli˘gi sa˘glayan de˘gerler:1 m = 3, n = 32 m = 4, n = 33 m = 3, n = 44 m = 5, n = 35 m = 3, n = 5
  • 135. Platon CisimleriEuler form¨ul¨unden:2 = v − e + r =2en− e +2em= e2m − mn + 2nmn> 0e, m, n > 0:2m − mn + 2n > 0 ⇒ mn − 2m − 2n < 0⇒ mn − 2m − 2n + 4 < 4 ⇒ (m − 2)(n − 2) < 4bu e¸sitsizli˘gi sa˘glayan de˘gerler:1 m = 3, n = 32 m = 4, n = 33 m = 3, n = 44 m = 5, n = 35 m = 3, n = 5
  • 136. Platon CisimleriEuler form¨ul¨unden:2 = v − e + r =2en− e +2em= e2m − mn + 2nmn> 0e, m, n > 0:2m − mn + 2n > 0 ⇒ mn − 2m − 2n < 0⇒ mn − 2m − 2n + 4 < 4 ⇒ (m − 2)(n − 2) < 4bu e¸sitsizli˘gi sa˘glayan de˘gerler:1 m = 3, n = 32 m = 4, n = 33 m = 3, n = 44 m = 5, n = 35 m = 3, n = 5
  • 137. Tetrahedron - D¨uzg¨un D¨ort Y¨uzl¨um = 3, n = 3
  • 138. Hexahedron - D¨uzg¨un Altı Y¨uzl¨um = 4, n = 3
  • 139. Octahedron - D¨uzg¨un Sekiz Y¨uzl¨um = 3, n = 4
  • 140. Dodecahedron - D¨uzg¨un Oniki Y¨uzl¨um = 5, n = 3
  • 141. Icosahedron - D¨uzg¨un Yirmi Y¨uzl¨um = 3, n = 5
  • 142. ¸Cizge BoyamaTanımG = (V , E) ¸cizgesi i¸cin bir d¨uzg¨un boyama: f : V → CC bir renk k¨umesi∀(vi , vj ) ∈ E f (vi ) = f (vj )|C| en k¨u¸c¨uk olacak ¸sekilde
  • 143. ¸Cizge Boyama ¨Orne˘gi¨Ornekkimyasal maddeler ¨ureten bir firmabazı maddeler birlikte tutulamıyorbirbiriyle tutulamayan maddeler farklı alanlara depolanmalıen az sayıda depo alanı kullanılacak ¸sekilde maddeleri depola
  • 144. ¸Cizge Boyama ¨Orne˘gi¨Ornekkimyasal maddeler ¨ureten bir firmabazı maddeler birlikte tutulamıyorbirbiriyle tutulamayan maddeler farklı alanlara depolanmalıen az sayıda depo alanı kullanılacak ¸sekilde maddeleri depola
  • 145. ¸Cizge Boyama ¨Orne˘gi¨Ornekher madde bir d¨u˘g¨umbirlikte tutulamayan maddeler biti¸sik
  • 146. ¸Cizge Boyama ¨Orne˘gi¨Ornek
  • 147. ¸Cizge Boyama ¨Orne˘gi¨Ornek
  • 148. ¸Cizge Boyama ¨Orne˘gi¨Ornek
  • 149. ¸Cizge Boyama ¨Orne˘gi¨Ornek
  • 150. Kromatik SayıTanımG ¸cizgesinin kromatik sayısı: χ(G)G ¸cizgesini boyamak i¸cin gerekli en az renk sayısıχ(G)’nin hesaplanması ¸cok zor bir problemχ(Kn) = n
  • 151. Kromatik SayıTanımG ¸cizgesinin kromatik sayısı: χ(G)G ¸cizgesini boyamak i¸cin gerekli en az renk sayısıχ(G)’nin hesaplanması ¸cok zor bir problemχ(Kn) = n
  • 152. Kromatik Sayı ¨Orne˘gi¨Ornek (Herschel ¸cizgesi)kromatik sayı: 2
  • 153. ¸Cizge Boyama ¨Orne˘gi¨Ornek (Sudoku)her h¨ucre bir d¨u˘g¨umaynı satırdaki h¨ucreler biti¸sikaynı s¨utundaki h¨ucreler biti¸sikaynı 3 × 3’l¨uk bloktaki h¨ucrelerbiti¸sikher rakam bir renkproblem: kısmen boyalıbir ¸cizgenin d¨uzg¨un boyanması
  • 154. ¸Cizge Boyama ¨Orne˘gi¨Ornek (Sudoku)her h¨ucre bir d¨u˘g¨umaynı satırdaki h¨ucreler biti¸sikaynı s¨utundaki h¨ucreler biti¸sikaynı 3 × 3’l¨uk bloktaki h¨ucrelerbiti¸sikher rakam bir renkproblem: kısmen boyalıbir ¸cizgenin d¨uzg¨un boyanması
  • 155. B¨olge Boyamabir haritayı biti¸sik b¨olgelere farklı renkler atayacak ¸sekildeboyamaTeorem (D¨ort Renk Teoremi)Bir haritadaki b¨olgeleri boyamak i¸cin d¨ort renk yeterlidir.
  • 156. Konular1 ¸CizgelerGiri¸sBa˘glılıkD¨uzlemsel ¸Cizgeler¸Cizgelerde Arama2 A˘ga¸clarGiri¸sK¨okl¨u A˘ga¸clar˙Ikili A˘ga¸clarKarar A˘ga¸cları3 A˘gırlıklı ¸CizgelerGiri¸sEn Kısa YolEn Hafif Kapsayan A˘ga¸c
  • 157. ¸Cizgelerde AramaG = (V , E) ¸cizgesinin d¨u˘g¨umlerininv1 d¨u˘g¨um¨unden ba¸slanarak aranmasıderinlemesineenlemesine
  • 158. Derinlemesine Arama1 v ← v1, T = ∅, D = {v1}2 2 ≤ i ≤ |V | i¸cinde (v, vi ) ∈ E ve vi /∈ D olacak ¸sekildeen k¨u¸c¨uk i’yi bulb¨oyle bir i yoksa: 3. adıma gitvarsa: T = T ∪ {(v, vi )}, D = D ∪ {vi }, v ← vi , 2. adıma git3 v = v1 ise sonu¸c T4 v = v1 ise v ← parent(v), 2. adıma git
  • 159. Derinlemesine Arama1 v ← v1, T = ∅, D = {v1}2 2 ≤ i ≤ |V | i¸cinde (v, vi ) ∈ E ve vi /∈ D olacak ¸sekildeen k¨u¸c¨uk i’yi bulb¨oyle bir i yoksa: 3. adıma gitvarsa: T = T ∪ {(v, vi )}, D = D ∪ {vi }, v ← vi , 2. adıma git3 v = v1 ise sonu¸c T4 v = v1 ise v ← parent(v), 2. adıma git
  • 160. Derinlemesine Arama1 v ← v1, T = ∅, D = {v1}2 2 ≤ i ≤ |V | i¸cinde (v, vi ) ∈ E ve vi /∈ D olacak ¸sekildeen k¨u¸c¨uk i’yi bulb¨oyle bir i yoksa: 3. adıma gitvarsa: T = T ∪ {(v, vi )}, D = D ∪ {vi }, v ← vi , 2. adıma git3 v = v1 ise sonu¸c T4 v = v1 ise v ← parent(v), 2. adıma git
  • 161. Derinlemesine Arama1 v ← v1, T = ∅, D = {v1}2 2 ≤ i ≤ |V | i¸cinde (v, vi ) ∈ E ve vi /∈ D olacak ¸sekildeen k¨u¸c¨uk i’yi bulb¨oyle bir i yoksa: 3. adıma gitvarsa: T = T ∪ {(v, vi )}, D = D ∪ {vi }, v ← vi , 2. adıma git3 v = v1 ise sonu¸c T4 v = v1 ise v ← parent(v), 2. adıma git
  • 162. Enlemesine Arama1 T = ∅, D = {v1}, Q = (v1)2 Q bo¸s ise: sonu¸c T3 Q bo¸s de˘gilse: v ← front(Q), Q ← Q − v2 ≤ i ≤ |V | i¸cin (v, vi ) ∈ E ayrıtlarına bak:vi /∈ D ise: Q = Q + vi , T = T ∪ {(v, vi )}, D = D ∪ {vi }3. adıma git
  • 163. Enlemesine Arama1 T = ∅, D = {v1}, Q = (v1)2 Q bo¸s ise: sonu¸c T3 Q bo¸s de˘gilse: v ← front(Q), Q ← Q − v2 ≤ i ≤ |V | i¸cin (v, vi ) ∈ E ayrıtlarına bak:vi /∈ D ise: Q = Q + vi , T = T ∪ {(v, vi )}, D = D ∪ {vi }3. adıma git
  • 164. KaynaklarOkunacak: GrimaldiChapter 11: An Introduction to Graph TheoryChapter 7: Relations: The Second Time Around7.2. Computer Recognition: Zero-One Matricesand Directed Graphs
  • 165. Konular1 ¸CizgelerGiri¸sBa˘glılıkD¨uzlemsel ¸Cizgeler¸Cizgelerde Arama2 A˘ga¸clarGiri¸sK¨okl¨u A˘ga¸clar˙Ikili A˘ga¸clarKarar A˘ga¸cları3 A˘gırlıklı ¸CizgelerGiri¸sEn Kısa YolEn Hafif Kapsayan A˘ga¸c
  • 166. A˘ga¸cTanıma˘ga¸c: ¸cevre i¸cermeyen, ba˘glı ¸cizgeorman: ba˘glı bile¸senleri a˘ga¸clar olan ¸cizge
  • 167. A˘ga¸cTanıma˘ga¸c: ¸cevre i¸cermeyen, ba˘glı ¸cizgeorman: ba˘glı bile¸senleri a˘ga¸clar olan ¸cizge
  • 168. A˘ga¸c ¨Ornekleri¨Ornek
  • 169. A˘ga¸c TeoremleriTeoremBir a˘ga¸cta herhangi iki farklı d¨u˘g¨um arasındabir ve yalnız bir yol vardır.a˘ga¸c ba˘glı oldu˘gu i¸cin en az bir yol vardırbirden fazla yol olsaydı ¸cevre olu¸stururlardı
  • 170. A˘ga¸c TeoremleriTeoremT = (V , E) bir a˘ga¸c olsun:|E| = |V | − 1tanıt y¨ontemi: ayrıt sayısı ¨uzerinden t¨umevarım
  • 171. A˘ga¸c TeoremleriTanıt: taban adımı|E| = 0 ⇒ |V | = 1|E| = 1 ⇒ |V | = 2|E| = 2 ⇒ |V | = 3|E| ≤ k i¸cin |E| = |V | − 1 varsayalım
  • 172. A˘ga¸c TeoremleriTanıt: taban adımı|E| = 0 ⇒ |V | = 1|E| = 1 ⇒ |V | = 2|E| = 2 ⇒ |V | = 3|E| ≤ k i¸cin |E| = |V | − 1 varsayalım
  • 173. A˘ga¸c TeoremleriTanıt: t¨umevarım adımı.|E| = k + 1(y, z) ayrıtını ¸cıkaralım:T1 = (V1, E1), T2 = (V2, E2)|V | = |V1| + |V2|= |E1| + 1 + |E2| + 1= (|E1| + |E2| + 1) + 1= |E| + 1
  • 174. A˘ga¸c TeoremleriTanıt: t¨umevarım adımı.|E| = k + 1(y, z) ayrıtını ¸cıkaralım:T1 = (V1, E1), T2 = (V2, E2)|V | = |V1| + |V2|= |E1| + 1 + |E2| + 1= (|E1| + |E2| + 1) + 1= |E| + 1
  • 175. A˘ga¸c TeoremleriTanıt: t¨umevarım adımı.|E| = k + 1(y, z) ayrıtını ¸cıkaralım:T1 = (V1, E1), T2 = (V2, E2)|V | = |V1| + |V2|= |E1| + 1 + |E2| + 1= (|E1| + |E2| + 1) + 1= |E| + 1
  • 176. A˘ga¸c TeoremleriTanıt: t¨umevarım adımı.|E| = k + 1(y, z) ayrıtını ¸cıkaralım:T1 = (V1, E1), T2 = (V2, E2)|V | = |V1| + |V2|= |E1| + 1 + |E2| + 1= (|E1| + |E2| + 1) + 1= |E| + 1
  • 177. A˘ga¸c TeoremleriTanıt: t¨umevarım adımı.|E| = k + 1(y, z) ayrıtını ¸cıkaralım:T1 = (V1, E1), T2 = (V2, E2)|V | = |V1| + |V2|= |E1| + 1 + |E2| + 1= (|E1| + |E2| + 1) + 1= |E| + 1
  • 178. A˘ga¸c TeoremleriTanıt: t¨umevarım adımı.|E| = k + 1(y, z) ayrıtını ¸cıkaralım:T1 = (V1, E1), T2 = (V2, E2)|V | = |V1| + |V2|= |E1| + 1 + |E2| + 1= (|E1| + |E2| + 1) + 1= |E| + 1
  • 179. A˘ga¸c TeoremleriTeoremBir a˘ga¸cta kertesi 1 olan en az iki d¨u˘g¨um vardır.Tanıt.2|E| = v∈V dvkertesi 1 olan tek bir d¨u˘g¨um oldu˘gunu varsayalım:⇒ 2|E| ≥ 2(|V | − 1) + 1⇒ 2|E| ≥ 2|V | − 1⇒ |E| ≥ |V | − 12 > |V | − 1
  • 180. A˘ga¸c TeoremleriTeoremBir a˘ga¸cta kertesi 1 olan en az iki d¨u˘g¨um vardır.Tanıt.2|E| = v∈V dvkertesi 1 olan tek bir d¨u˘g¨um oldu˘gunu varsayalım:⇒ 2|E| ≥ 2(|V | − 1) + 1⇒ 2|E| ≥ 2|V | − 1⇒ |E| ≥ |V | − 12 > |V | − 1
  • 181. A˘ga¸c TeoremleriTeoremBir a˘ga¸cta kertesi 1 olan en az iki d¨u˘g¨um vardır.Tanıt.2|E| = v∈V dvkertesi 1 olan tek bir d¨u˘g¨um oldu˘gunu varsayalım:⇒ 2|E| ≥ 2(|V | − 1) + 1⇒ 2|E| ≥ 2|V | − 1⇒ |E| ≥ |V | − 12 > |V | − 1
  • 182. A˘ga¸c TeoremleriTeoremBir a˘ga¸cta kertesi 1 olan en az iki d¨u˘g¨um vardır.Tanıt.2|E| = v∈V dvkertesi 1 olan tek bir d¨u˘g¨um oldu˘gunu varsayalım:⇒ 2|E| ≥ 2(|V | − 1) + 1⇒ 2|E| ≥ 2|V | − 1⇒ |E| ≥ |V | − 12 > |V | − 1
  • 183. A˘ga¸c TeoremleriTeoremBir a˘ga¸cta kertesi 1 olan en az iki d¨u˘g¨um vardır.Tanıt.2|E| = v∈V dvkertesi 1 olan tek bir d¨u˘g¨um oldu˘gunu varsayalım:⇒ 2|E| ≥ 2(|V | − 1) + 1⇒ 2|E| ≥ 2|V | − 1⇒ |E| ≥ |V | − 12 > |V | − 1
  • 184. A˘ga¸c TeoremleriTeoremBir a˘ga¸cta kertesi 1 olan en az iki d¨u˘g¨um vardır.Tanıt.2|E| = v∈V dvkertesi 1 olan tek bir d¨u˘g¨um oldu˘gunu varsayalım:⇒ 2|E| ≥ 2(|V | − 1) + 1⇒ 2|E| ≥ 2|V | − 1⇒ |E| ≥ |V | − 12 > |V | − 1
  • 185. A˘ga¸c TeoremleriTeoremBir a˘ga¸cta kertesi 1 olan en az iki d¨u˘g¨um vardır.Tanıt.2|E| = v∈V dvkertesi 1 olan tek bir d¨u˘g¨um oldu˘gunu varsayalım:⇒ 2|E| ≥ 2(|V | − 1) + 1⇒ 2|E| ≥ 2|V | − 1⇒ |E| ≥ |V | − 12 > |V | − 1
  • 186. A˘ga¸c TeoremleriTeoremT bir a˘ga¸ctır (ba˘glıdır ve ¸cevre i¸cermez).⇔T’de her d¨u˘g¨um ¸cifti arasında bir ve yalnız bir yol vardır.⇔T ba˘glıdır ama herhangi bir ayrıt ¸cıkarılırsa artık ba˘glı olmaz.⇔T ¸cevre i¸cermez ama herhangi iki d¨u˘g¨um arasına bir ayrıt eklenirsebir ve yalnız bir ¸cevre olu¸sur.
  • 187. A˘ga¸c TeoremleriTeoremT bir a˘ga¸ctır (T ba˘glıdır ve ¸cevre i¸cermez.)⇔T ba˘glıdır ve |E| = |V | − 1.⇔T ¸cevre i¸cermez ve |E| = |V | − 1.
  • 188. Konular1 ¸CizgelerGiri¸sBa˘glılıkD¨uzlemsel ¸Cizgeler¸Cizgelerde Arama2 A˘ga¸clarGiri¸sK¨okl¨u A˘ga¸clar˙Ikili A˘ga¸clarKarar A˘ga¸cları3 A˘gırlıklı ¸CizgelerGiri¸sEn Kısa YolEn Hafif Kapsayan A˘ga¸c
  • 189. K¨okl¨u A˘ga¸cd¨u˘g¨umler arasında hiyerar¸si tanımlanırhiyerar¸si ayrıtlara do˘gal bir y¨on verir⇒ giri¸s ve ¸cıkı¸s kertelerigiri¸s kertesi 0 olan d¨u˘g¨um: k¨ok¸cıkı¸s kertesi 0 olan d¨u˘g¨umler: yaprakyaprak olmayan d¨u˘g¨umler: i¸cd¨u˘g¨um
  • 190. K¨okl¨u A˘ga¸cd¨u˘g¨umler arasında hiyerar¸si tanımlanırhiyerar¸si ayrıtlara do˘gal bir y¨on verir⇒ giri¸s ve ¸cıkı¸s kertelerigiri¸s kertesi 0 olan d¨u˘g¨um: k¨ok¸cıkı¸s kertesi 0 olan d¨u˘g¨umler: yaprakyaprak olmayan d¨u˘g¨umler: i¸cd¨u˘g¨um
  • 191. D¨u˘g¨um D¨uzeyleriTanımbir d¨u˘g¨um¨un d¨uzeyi: d¨u˘g¨um¨un k¨oke olan uzaklı˘gıanne: bir ¨ust d¨uzeydeki biti¸sik d¨u˘g¨um¸cocuk: bir alt d¨uzeydeki biti¸sik d¨u˘g¨umlerkarde¸s: aynı annenin ¸cocu˘gu olan d¨u˘g¨umler
  • 192. K¨okl¨u A˘ga¸c ¨Orne˘gi¨Ornekk¨ok: ryapraklar: x y z u vi¸cd¨u˘g¨umler: r p n t s q wy d¨u˘g¨um¨un¨un annesi: ww d¨u˘g¨um¨un¨un ¸cocukları: y ve zy ve z karde¸s
  • 193. K¨okl¨u A˘ga¸c ¨Orne˘gi¨OrnekKitapB1B1.1B1.2B2B3B3.1B3.2B3.2.1B3.2.2B3.3
  • 194. Sıralı K¨okl¨u A˘ga¸ckarde¸s d¨u˘g¨umler soldan sa˘ga do˘gru sıralanırevrensel adresleme sistemik¨oke 0 adresini ver1. d¨uzeydeki d¨u˘g¨umlere soldan sa˘ga do˘grusırayla 1, 2, 3, . . . adreslerini verv d¨u˘g¨um¨un¨un adresi a ise, v d¨u˘g¨um¨un¨un ¸cocuklarınasoldan sa˘ga do˘gru sırayla a.1, a.2, a.3, . . . adreslerini ver
  • 195. S¨ozl¨uk SırasıTanımb ve c iki adres olsun.b’nin c’den ¨once gelmesi i¸cin a¸sa˘gıdakilerden biri sa˘glanmalı:1 b = a1a2 . . . amx1 . . .c = a1a2 . . . amx2 . . .x1 x2’den ¨once gelir2 b = a1a2 . . . amc = a1a2 . . . amam+1 . . .
  • 196. S¨ozl¨uk SırasıTanımb ve c iki adres olsun.b’nin c’den ¨once gelmesi i¸cin a¸sa˘gıdakilerden biri sa˘glanmalı:1 b = a1a2 . . . amx1 . . .c = a1a2 . . . amx2 . . .x1 x2’den ¨once gelir2 b = a1a2 . . . amc = a1a2 . . . amam+1 . . .
  • 197. S¨ozl¨uk Sırası ¨Orne˘gi¨Ornek0 - 1 - 1.1 - 1.2- 1.2.1 - 1.2.2 - 1.2.3- 1.2.3.1 - 1.2.3.2- 1.3 - 1.4 - 2- 2.1 - 2.2 - 2.2.1- 3 - 3.1 - 3.2
  • 198. Konular1 ¸CizgelerGiri¸sBa˘glılıkD¨uzlemsel ¸Cizgeler¸Cizgelerde Arama2 A˘ga¸clarGiri¸sK¨okl¨u A˘ga¸clar˙Ikili A˘ga¸clarKarar A˘ga¸cları3 A˘gırlıklı ¸CizgelerGiri¸sEn Kısa YolEn Hafif Kapsayan A˘ga¸c
  • 199. ˙Ikili A˘ga¸clarTanımT = (V , E) bir ikili a˘ga¸c: ∀v ∈ V dvo∈ {0, 1, 2}T = (V , E) bir tam ikili a˘ga¸c: ∀v ∈ V dvo∈ {0, 2}
  • 200. ˙I¸slem A˘gacıbir ikili i¸slem bir ikili a˘ga¸cla temsil edilebilirk¨okte i¸sle¸c, ¸cocuklarda i¸slenenlerher matematiksel ifade bir a˘ga¸cla temsil edilebiliri¸cd¨u˘g¨umlerde i¸sle¸cler, yapraklarda de˘gi¸skenler ve de˘gerler
  • 201. ˙I¸slem A˘gacı ¨Ornekleri¨Ornek (7 − a) ¨Ornek (a + b)
  • 202. ˙I¸slem A˘gacı ¨Ornekleri¨Ornek ((7 − a)/5) ¨Ornek ((a + b) ↑ 3)
  • 203. ˙I¸slem A˘gacı ¨Ornekleri¨Ornek (((7 − a)/5) ∗ ((a + b) ↑ 3))
  • 204. ˙I¸slem A˘gacı ¨Ornekleri¨Ornek (t + (u ∗ v)/(w + x − y ↑ z))
  • 205. ˙I¸slem A˘gacında Ge¸ci¸sler1 i¸cek ge¸ci¸si: sol alta˘gacı tara, k¨oke u˘gra, sa˘g alta˘gacı tara2 ¨onek ge¸ci¸si: k¨oke u˘gra, sol alta˘gacı tara, sa˘g alta˘gacı tara3 sonek ge¸ci¸si: sol alta˘gacı tara, sa˘g alta˘gacı tara, k¨oke u˘graters Polonyalı g¨osterilimi
  • 206. ˙I¸cek Ge¸ci¸si ¨Orne˘gi¨Ornekt + u ∗ v / w + x − y ↑ z
  • 207. ¨Onek Ge¸ci¸si ¨Orne˘gi¨Ornek+ t / ∗ u v + w − x ↑ y z
  • 208. Sonek Ge¸ci¸si ¨Orne˘gi¨Ornekt u v ∗ w x y z ↑ − + / +
  • 209. ˙I¸slem A˘gacının De˘gerlendirilmesii¸cek ge¸ci¸sinde ¨oncelik i¸cin parantez gerekir¨onek ve sonek ge¸ci¸slerinde parantez gerekmez
  • 210. Sonek De˘gerlendirme ¨Orne˘gi¨Ornek (t u v ∗ w x y z ↑ − + / +)4 2 3 ∗ 1 9 2 3 ↑ − + / +4 2 3 ∗4 6 1 9 2 3 ↑4 6 1 9 8 −4 6 1 1 +4 6 2 /4 3 +7
  • 211. Sonek De˘gerlendirme ¨Orne˘gi¨Ornek (t u v ∗ w x y z ↑ − + / +)4 2 3 ∗ 1 9 2 3 ↑ − + / +4 2 3 ∗4 6 1 9 2 3 ↑4 6 1 9 8 −4 6 1 1 +4 6 2 /4 3 +7
  • 212. Sonek De˘gerlendirme ¨Orne˘gi¨Ornek (t u v ∗ w x y z ↑ − + / +)4 2 3 ∗ 1 9 2 3 ↑ − + / +4 2 3 ∗4 6 1 9 2 3 ↑4 6 1 9 8 −4 6 1 1 +4 6 2 /4 3 +7
  • 213. Sonek De˘gerlendirme ¨Orne˘gi¨Ornek (t u v ∗ w x y z ↑ − + / +)4 2 3 ∗ 1 9 2 3 ↑ − + / +4 2 3 ∗4 6 1 9 2 3 ↑4 6 1 9 8 −4 6 1 1 +4 6 2 /4 3 +7
  • 214. Sonek De˘gerlendirme ¨Orne˘gi¨Ornek (t u v ∗ w x y z ↑ − + / +)4 2 3 ∗ 1 9 2 3 ↑ − + / +4 2 3 ∗4 6 1 9 2 3 ↑4 6 1 9 8 −4 6 1 1 +4 6 2 /4 3 +7
  • 215. Sonek De˘gerlendirme ¨Orne˘gi¨Ornek (t u v ∗ w x y z ↑ − + / +)4 2 3 ∗ 1 9 2 3 ↑ − + / +4 2 3 ∗4 6 1 9 2 3 ↑4 6 1 9 8 −4 6 1 1 +4 6 2 /4 3 +7
  • 216. Sonek De˘gerlendirme ¨Orne˘gi¨Ornek (t u v ∗ w x y z ↑ − + / +)4 2 3 ∗ 1 9 2 3 ↑ − + / +4 2 3 ∗4 6 1 9 2 3 ↑4 6 1 9 8 −4 6 1 1 +4 6 2 /4 3 +7
  • 217. Sonek De˘gerlendirme ¨Orne˘gi¨Ornek (t u v ∗ w x y z ↑ − + / +)4 2 3 ∗ 1 9 2 3 ↑ − + / +4 2 3 ∗4 6 1 9 2 3 ↑4 6 1 9 8 −4 6 1 1 +4 6 2 /4 3 +7
  • 218. Sonek De˘gerlendirme ¨Orne˘gi¨Ornek (t u v ∗ w x y z ↑ − + / +)4 2 3 ∗ 1 9 2 3 ↑ − + / +4 2 3 ∗4 6 1 9 2 3 ↑4 6 1 9 8 −4 6 1 1 +4 6 2 /4 3 +7
  • 219. Sonek De˘gerlendirme ¨Orne˘gi¨Ornek (t u v ∗ w x y z ↑ − + / +)4 2 3 ∗ 1 9 2 3 ↑ − + / +4 2 3 ∗4 6 1 9 2 3 ↑4 6 1 9 8 −4 6 1 1 +4 6 2 /4 3 +7
  • 220. Sonek De˘gerlendirme ¨Orne˘gi¨Ornek (t u v ∗ w x y z ↑ − + / +)4 2 3 ∗ 1 9 2 3 ↑ − + / +4 2 3 ∗4 6 1 9 2 3 ↑4 6 1 9 8 −4 6 1 1 +4 6 2 /4 3 +7
  • 221. Sonek De˘gerlendirme ¨Orne˘gi¨Ornek (t u v ∗ w x y z ↑ − + / +)4 2 3 ∗ 1 9 2 3 ↑ − + / +4 2 3 ∗4 6 1 9 2 3 ↑4 6 1 9 8 −4 6 1 1 +4 6 2 /4 3 +7
  • 222. Sonek De˘gerlendirme ¨Orne˘gi¨Ornek (t u v ∗ w x y z ↑ − + / +)4 2 3 ∗ 1 9 2 3 ↑ − + / +4 2 3 ∗4 6 1 9 2 3 ↑4 6 1 9 8 −4 6 1 1 +4 6 2 /4 3 +7
  • 223. Sonek De˘gerlendirme ¨Orne˘gi¨Ornek (t u v ∗ w x y z ↑ − + / +)4 2 3 ∗ 1 9 2 3 ↑ − + / +4 2 3 ∗4 6 1 9 2 3 ↑4 6 1 9 8 −4 6 1 1 +4 6 2 /4 3 +7
  • 224. D¨uzenli A˘ga¸cTanımT = (V , E) bir m-li a˘ga¸c: ∀v ∈ V dvo≤ mT = (V , E) bir tam m-li a˘ga¸c: ∀v ∈ V dvo∈ {0, m}
  • 225. D¨uzenli A˘ga¸c TeoremiTeoremT = (V , E) bir tam m’li a˘ga¸c olsun.n: d¨u˘g¨um sayısıl: yaprak sayısıi: i¸cd¨u˘g¨um sayısıO halde:n = m · i + 1l = n − i = m · i + 1 − i = (m − 1) · i + 1i =l − 1m − 1
  • 226. D¨uzenli A˘ga¸c TeoremiTeoremT = (V , E) bir tam m’li a˘ga¸c olsun.n: d¨u˘g¨um sayısıl: yaprak sayısıi: i¸cd¨u˘g¨um sayısıO halde:n = m · i + 1l = n − i = m · i + 1 − i = (m − 1) · i + 1i =l − 1m − 1
  • 227. D¨uzenli A˘ga¸c TeoremiTeoremT = (V , E) bir tam m’li a˘ga¸c olsun.n: d¨u˘g¨um sayısıl: yaprak sayısıi: i¸cd¨u˘g¨um sayısıO halde:n = m · i + 1l = n − i = m · i + 1 − i = (m − 1) · i + 1i =l − 1m − 1
  • 228. D¨uzenli A˘ga¸c TeoremiTeoremT = (V , E) bir tam m’li a˘ga¸c olsun.n: d¨u˘g¨um sayısıl: yaprak sayısıi: i¸cd¨u˘g¨um sayısıO halde:n = m · i + 1l = n − i = m · i + 1 − i = (m − 1) · i + 1i =l − 1m − 1
  • 229. D¨uzenli A˘ga¸c TeoremiTeoremT = (V , E) bir tam m’li a˘ga¸c olsun.n: d¨u˘g¨um sayısıl: yaprak sayısıi: i¸cd¨u˘g¨um sayısıO halde:n = m · i + 1l = n − i = m · i + 1 − i = (m − 1) · i + 1i =l − 1m − 1
  • 230. D¨uzenli A˘ga¸c TeoremiTeoremT = (V , E) bir tam m’li a˘ga¸c olsun.n: d¨u˘g¨um sayısıl: yaprak sayısıi: i¸cd¨u˘g¨um sayısıO halde:n = m · i + 1l = n − i = m · i + 1 − i = (m − 1) · i + 1i =l − 1m − 1
  • 231. D¨uzenli A˘ga¸c ¨Ornekleri¨Ornek27 oyuncunun katıldı˘gı bir tenis turnuvasında ka¸c ma¸c oynanır?her oyuncu bir yaprak: l = 27her ma¸c bir i¸cd¨u˘g¨um: m = 2ma¸c sayısı: i = l−1m−1 = 27−12−1 = 26
  • 232. D¨uzenli A˘ga¸c ¨Ornekleri¨Ornek27 oyuncunun katıldı˘gı bir tenis turnuvasında ka¸c ma¸c oynanır?her oyuncu bir yaprak: l = 27her ma¸c bir i¸cd¨u˘g¨um: m = 2ma¸c sayısı: i = l−1m−1 = 27−12−1 = 26
  • 233. D¨uzenli A˘ga¸c ¨Ornekleri¨Ornek25 adet elektrikli aygıtı 4’l¨u uzatmalarla tek bir prizeba˘glamak i¸cin ka¸c uzatma gerekir?her aygıt bir yaprak: l = 25her uzatma bir i¸cd¨u˘g¨um: m = 4uzatma sayısı: i = l−1m−1 = 25−14−1 = 8
  • 234. D¨uzenli A˘ga¸c ¨Ornekleri¨Ornek25 adet elektrikli aygıtı 4’l¨u uzatmalarla tek bir prizeba˘glamak i¸cin ka¸c uzatma gerekir?her aygıt bir yaprak: l = 25her uzatma bir i¸cd¨u˘g¨um: m = 4uzatma sayısı: i = l−1m−1 = 25−14−1 = 8
  • 235. Konular1 ¸CizgelerGiri¸sBa˘glılıkD¨uzlemsel ¸Cizgeler¸Cizgelerde Arama2 A˘ga¸clarGiri¸sK¨okl¨u A˘ga¸clar˙Ikili A˘ga¸clarKarar A˘ga¸cları3 A˘gırlıklı ¸CizgelerGiri¸sEn Kısa YolEn Hafif Kapsayan A˘ga¸c
  • 236. Karar A˘ga¸cları¨Ornek8 madeni paranın biri sahte (daha a˘gır)bir teraziyle sahtenin hangisi oldu˘gu bulunacak
  • 237. Karar A˘ga¸cları¨Ornek (3 tartmada bulma)
  • 238. Karar A˘ga¸cları¨Ornek (2 tartmada bulma)
  • 239. KaynaklarOkunacak: GrimaldiChapter 12: Trees12.1. Definitions and Examples12.2. Rooted Trees
  • 240. Konular1 ¸CizgelerGiri¸sBa˘glılıkD¨uzlemsel ¸Cizgeler¸Cizgelerde Arama2 A˘ga¸clarGiri¸sK¨okl¨u A˘ga¸clar˙Ikili A˘ga¸clarKarar A˘ga¸cları3 A˘gırlıklı ¸CizgelerGiri¸sEn Kısa YolEn Hafif Kapsayan A˘ga¸c
  • 241. A˘gırlıklı ¸Cizgelerayrıtlara etiket atanabilir:a˘gırlık, uzunluk, maliyet, gecikme, olasılık, . . .
  • 242. Konular1 ¸CizgelerGiri¸sBa˘glılıkD¨uzlemsel ¸Cizgeler¸Cizgelerde Arama2 A˘ga¸clarGiri¸sK¨okl¨u A˘ga¸clar˙Ikili A˘ga¸clarKarar A˘ga¸cları3 A˘gırlıklı ¸CizgelerGiri¸sEn Kısa YolEn Hafif Kapsayan A˘ga¸c
  • 243. En Kısa Yolbir d¨u˘g¨umden b¨ut¨un di˘ger d¨u˘g¨umlere en kısa yolları bulma:Dijkstra algoritması
  • 244. Dijkstra Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (ba¸slangı¸c)ba¸slangı¸c: ca (∞, −)b (∞, −)c (0, −)f (∞, −)g (∞, −)h (∞, −)
  • 245. Dijkstra Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (c d¨u˘g¨um¨unden - taban uzaklık=0)c → f : 6, 6 < ∞c → h : 11, 11 < ∞a (∞, −)b (∞, −)c (0, −)√f (6, cf )g (∞, −)h (11, ch)en yakın d¨u˘g¨um: f
  • 246. Dijkstra Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (c d¨u˘g¨um¨unden - taban uzaklık=0)c → f : 6, 6 < ∞c → h : 11, 11 < ∞a (∞, −)b (∞, −)c (0, −)√f (6, cf )g (∞, −)h (11, ch)en yakın d¨u˘g¨um: f
  • 247. Dijkstra Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (c d¨u˘g¨um¨unden - taban uzaklık=0)c → f : 6, 6 < ∞c → h : 11, 11 < ∞a (∞, −)b (∞, −)c (0, −)√f (6, cf )g (∞, −)h (11, ch)en yakın d¨u˘g¨um: f
  • 248. Dijkstra Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (f d¨u˘g¨um¨unden - taban uzaklık=6)f → a : 6 + 11, 17 < ∞f → g : 6 + 9, 15 < ∞f → h : 6 + 4, 10 < 11a (17, cfa)b (∞, −)c (0, −)√f (6, cf )√g (15, cfg)h (10, cfh)en yakın d¨u˘g¨um: h
  • 249. Dijkstra Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (f d¨u˘g¨um¨unden - taban uzaklık=6)f → a : 6 + 11, 17 < ∞f → g : 6 + 9, 15 < ∞f → h : 6 + 4, 10 < 11a (17, cfa)b (∞, −)c (0, −)√f (6, cf )√g (15, cfg)h (10, cfh)en yakın d¨u˘g¨um: h
  • 250. Dijkstra Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (f d¨u˘g¨um¨unden - taban uzaklık=6)f → a : 6 + 11, 17 < ∞f → g : 6 + 9, 15 < ∞f → h : 6 + 4, 10 < 11a (17, cfa)b (∞, −)c (0, −)√f (6, cf )√g (15, cfg)h (10, cfh)en yakın d¨u˘g¨um: h
  • 251. Dijkstra Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (h d¨u˘g¨um¨unden - taban uzaklık=10)h → a : 10 + 11, 21 17h → g : 10 + 4, 14 < 15a (17, cfa)b (∞, −)c (0, −)√f (6, cf )√g (14, cfhg)h (10, cfh)√en yakın d¨u˘g¨um: g
  • 252. Dijkstra Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (h d¨u˘g¨um¨unden - taban uzaklık=10)h → a : 10 + 11, 21 17h → g : 10 + 4, 14 < 15a (17, cfa)b (∞, −)c (0, −)√f (6, cf )√g (14, cfhg)h (10, cfh)√en yakın d¨u˘g¨um: g
  • 253. Dijkstra Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (h d¨u˘g¨um¨unden - taban uzaklık=10)h → a : 10 + 11, 21 17h → g : 10 + 4, 14 < 15a (17, cfa)b (∞, −)c (0, −)√f (6, cf )√g (14, cfhg)h (10, cfh)√en yakın d¨u˘g¨um: g
  • 254. Dijkstra Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (g d¨u˘g¨um¨unden - taban uzaklık=14)g → a : 14 + 17, 31 17a (17, cfa)b (∞, −)c (0, −)√f (6, cf )√g (14, cfhg)√h (10, cfh)√en yakın d¨u˘g¨um: a
  • 255. Dijkstra Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (g d¨u˘g¨um¨unden - taban uzaklık=14)g → a : 14 + 17, 31 17a (17, cfa)b (∞, −)c (0, −)√f (6, cf )√g (14, cfhg)√h (10, cfh)√en yakın d¨u˘g¨um: a
  • 256. Dijkstra Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (g d¨u˘g¨um¨unden - taban uzaklık=14)g → a : 14 + 17, 31 17a (17, cfa)b (∞, −)c (0, −)√f (6, cf )√g (14, cfhg)√h (10, cfh)√en yakın d¨u˘g¨um: a
  • 257. Dijkstra Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (a d¨u˘g¨um¨unden - taban uzaklık=17)a → b : 17 + 5, 22 < ∞a (17, cfa)√b (22, cfab)c (0, −)√f (6, cf )√g (14, cfhg)√h (10, cfh)√son d¨u˘g¨um: b
  • 258. Dijkstra Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (a d¨u˘g¨um¨unden - taban uzaklık=17)a → b : 17 + 5, 22 < ∞a (17, cfa)√b (22, cfab)c (0, −)√f (6, cf )√g (14, cfhg)√h (10, cfh)√son d¨u˘g¨um: b
  • 259. Dijkstra Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (a d¨u˘g¨um¨unden - taban uzaklık=17)a → b : 17 + 5, 22 < ∞a (17, cfa)√b (22, cfab)c (0, −)√f (6, cf )√g (14, cfhg)√h (10, cfh)√son d¨u˘g¨um: b
  • 260. Konular1 ¸CizgelerGiri¸sBa˘glılıkD¨uzlemsel ¸Cizgeler¸Cizgelerde Arama2 A˘ga¸clarGiri¸sK¨okl¨u A˘ga¸clar˙Ikili A˘ga¸clarKarar A˘ga¸cları3 A˘gırlıklı ¸CizgelerGiri¸sEn Kısa YolEn Hafif Kapsayan A˘ga¸c
  • 261. En Hafif Kapsayan A˘ga¸cTanımkapsayan a˘ga¸c:¸cizgenin b¨ut¨un d¨u˘g¨umlerini i¸ceren, a˘ga¸c ¨ozellikleri ta¸sıyanbir alt¸cizgesiTanımen hafif kapsayan a˘ga¸c:ayrıt a˘gırlıklarının toplamının en az oldu˘gu kapsayan a˘ga¸c
  • 262. En Hafif Kapsayan A˘ga¸cTanımkapsayan a˘ga¸c:¸cizgenin b¨ut¨un d¨u˘g¨umlerini i¸ceren, a˘ga¸c ¨ozellikleri ta¸sıyanbir alt¸cizgesiTanımen hafif kapsayan a˘ga¸c:ayrıt a˘gırlıklarının toplamının en az oldu˘gu kapsayan a˘ga¸c
  • 263. Kruskal AlgoritmasıKruskal algoritması1 i ← 1, e1 ∈ E, wt(e1) minimum2 1 ≤ i ≤ n − 2 i¸cin:¸su ana kadar se¸cilen ayrıtlar e1, e2, . . . , ei isekalan ayrıtlardan ¨oyle bir ei+1 se¸c ki:wt(ei+1) minimum olsune1, e2, . . . , ei , ei+1 alt¸cizgesi ¸cevre i¸cermesin3 i ← i + 1i = n − 1 ⇒ e1, e2, . . . , en−1 ayrıtlarından olu¸sanG alt¸cizgesi bir en hafif kapsayan a˘ga¸ctıri < n − 1 ⇒ 2. adıma git
  • 264. Kruskal AlgoritmasıKruskal algoritması1 i ← 1, e1 ∈ E, wt(e1) minimum2 1 ≤ i ≤ n − 2 i¸cin:¸su ana kadar se¸cilen ayrıtlar e1, e2, . . . , ei isekalan ayrıtlardan ¨oyle bir ei+1 se¸c ki:wt(ei+1) minimum olsune1, e2, . . . , ei , ei+1 alt¸cizgesi ¸cevre i¸cermesin3 i ← i + 1i = n − 1 ⇒ e1, e2, . . . , en−1 ayrıtlarından olu¸sanG alt¸cizgesi bir en hafif kapsayan a˘ga¸ctıri < n − 1 ⇒ 2. adıma git
  • 265. Kruskal AlgoritmasıKruskal algoritması1 i ← 1, e1 ∈ E, wt(e1) minimum2 1 ≤ i ≤ n − 2 i¸cin:¸su ana kadar se¸cilen ayrıtlar e1, e2, . . . , ei isekalan ayrıtlardan ¨oyle bir ei+1 se¸c ki:wt(ei+1) minimum olsune1, e2, . . . , ei , ei+1 alt¸cizgesi ¸cevre i¸cermesin3 i ← i + 1i = n − 1 ⇒ e1, e2, . . . , en−1 ayrıtlarından olu¸sanG alt¸cizgesi bir en hafif kapsayan a˘ga¸ctıri < n − 1 ⇒ 2. adıma git
  • 266. Kruskal Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (ba¸slangı¸c)i ← 1en d¨u¸s¨uk a˘gırlık: 1(e, g)T = {(e, g)}
  • 267. Kruskal Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (ba¸slangı¸c)i ← 1en d¨u¸s¨uk a˘gırlık: 1(e, g)T = {(e, g)}
  • 268. Kruskal Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (ba¸slangı¸c)i ← 1en d¨u¸s¨uk a˘gırlık: 1(e, g)T = {(e, g)}
  • 269. Kruskal Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (1 < 6)en d¨u¸s¨uk a˘gırlık: 2(d, e), (d, f ), (f , g)T = {(e, g), (d, f )}i ← 2
  • 270. Kruskal Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (1 < 6)en d¨u¸s¨uk a˘gırlık: 2(d, e), (d, f ), (f , g)T = {(e, g), (d, f )}i ← 2
  • 271. Kruskal Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (1 < 6)en d¨u¸s¨uk a˘gırlık: 2(d, e), (d, f ), (f , g)T = {(e, g), (d, f )}i ← 2
  • 272. Kruskal Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (2 < 6)en d¨u¸s¨uk a˘gırlık: 2(d, e), (f , g)T = {(e, g), (d, f ), (d, e)}i ← 3
  • 273. Kruskal Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (2 < 6)en d¨u¸s¨uk a˘gırlık: 2(d, e), (f , g)T = {(e, g), (d, f ), (d, e)}i ← 3
  • 274. Kruskal Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (2 < 6)en d¨u¸s¨uk a˘gırlık: 2(d, e), (f , g)T = {(e, g), (d, f ), (d, e)}i ← 3
  • 275. Kruskal Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (3 < 6)en d¨u¸s¨uk a˘gırlık: 2(f , g) ¸cevre olu¸sturuyoren d¨u¸s¨uk a˘gırlık: 3(c, e), (c, g), (d, g)(d, g) ¸cevre olu¸sturuyorT = {(e, g), (d, f ), (d, e), (c, e)}i ← 4
  • 276. Kruskal Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (3 < 6)en d¨u¸s¨uk a˘gırlık: 2(f , g) ¸cevre olu¸sturuyoren d¨u¸s¨uk a˘gırlık: 3(c, e), (c, g), (d, g)(d, g) ¸cevre olu¸sturuyorT = {(e, g), (d, f ), (d, e), (c, e)}i ← 4
  • 277. Kruskal Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (3 < 6)en d¨u¸s¨uk a˘gırlık: 2(f , g) ¸cevre olu¸sturuyoren d¨u¸s¨uk a˘gırlık: 3(c, e), (c, g), (d, g)(d, g) ¸cevre olu¸sturuyorT = {(e, g), (d, f ), (d, e), (c, e)}i ← 4
  • 278. Kruskal Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (3 < 6)en d¨u¸s¨uk a˘gırlık: 2(f , g) ¸cevre olu¸sturuyoren d¨u¸s¨uk a˘gırlık: 3(c, e), (c, g), (d, g)(d, g) ¸cevre olu¸sturuyorT = {(e, g), (d, f ), (d, e), (c, e)}i ← 4
  • 279. Kruskal Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (4 < 6)T = {(e, g), (d, f ), (d, e),(c, e), (b, e)}i ← 5
  • 280. Kruskal Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (4 < 6)T = {(e, g), (d, f ), (d, e),(c, e), (b, e)}i ← 5
  • 281. Kruskal Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (5 < 6)T = {(e, g), (d, f ), (d, e),(c, e), (b, e), (a, b)}i ← 6
  • 282. Kruskal Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (5 < 6)T = {(e, g), (d, f ), (d, e),(c, e), (b, e), (a, b)}i ← 6
  • 283. Kruskal Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (6 6)toplam a˘gırlık: 17
  • 284. Prim AlgoritmasıPrim algoritması1 i ← 1, v1 ∈ V , P = {v1}, N = V − {v1}, T = ∅2 1 ≤ i ≤ n − 1 i¸cin:P = {v1, v2, . . . , vi }, T = {e1, e2, . . . , ei−1}, N = V − P¨oyle bir vi+1 ∈ N d¨u˘g¨um¨u se¸c ki, bir x ∈ P d¨u˘g¨um¨u i¸cine = (x, vi+1) /∈ T, wt(e) minimum olsunP ← P + {vi+1}, N ← N − {vi+1}, T ← T + {e}3 i ← i + 1i = n ⇒ e1, e2, . . . , en−1 ayrıtlarından olu¸sanG alt¸cizgesi bir en hafif kapsayan a˘ga¸ctıri < n ⇒ 2. adıma git
  • 285. Prim AlgoritmasıPrim algoritması1 i ← 1, v1 ∈ V , P = {v1}, N = V − {v1}, T = ∅2 1 ≤ i ≤ n − 1 i¸cin:P = {v1, v2, . . . , vi }, T = {e1, e2, . . . , ei−1}, N = V − P¨oyle bir vi+1 ∈ N d¨u˘g¨um¨u se¸c ki, bir x ∈ P d¨u˘g¨um¨u i¸cine = (x, vi+1) /∈ T, wt(e) minimum olsunP ← P + {vi+1}, N ← N − {vi+1}, T ← T + {e}3 i ← i + 1i = n ⇒ e1, e2, . . . , en−1 ayrıtlarından olu¸sanG alt¸cizgesi bir en hafif kapsayan a˘ga¸ctıri < n ⇒ 2. adıma git
  • 286. Prim AlgoritmasıPrim algoritması1 i ← 1, v1 ∈ V , P = {v1}, N = V − {v1}, T = ∅2 1 ≤ i ≤ n − 1 i¸cin:P = {v1, v2, . . . , vi }, T = {e1, e2, . . . , ei−1}, N = V − P¨oyle bir vi+1 ∈ N d¨u˘g¨um¨u se¸c ki, bir x ∈ P d¨u˘g¨um¨u i¸cine = (x, vi+1) /∈ T, wt(e) minimum olsunP ← P + {vi+1}, N ← N − {vi+1}, T ← T + {e}3 i ← i + 1i = n ⇒ e1, e2, . . . , en−1 ayrıtlarından olu¸sanG alt¸cizgesi bir en hafif kapsayan a˘ga¸ctıri < n ⇒ 2. adıma git
  • 287. Prim Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (ba¸slangı¸c)i ← 1P = {a}N = {b, c, d, e, f , g}T = ∅
  • 288. Prim Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (ba¸slangı¸c)i ← 1P = {a}N = {b, c, d, e, f , g}T = ∅
  • 289. Prim Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (1 < 7)T = {(a, b)}P = {a, b}N = {c, d, e, f , g}i ← 2
  • 290. Prim Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (1 < 7)T = {(a, b)}P = {a, b}N = {c, d, e, f , g}i ← 2
  • 291. Prim Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (2 < 7)T = {(a, b), (b, e)}P = {a, b, e}N = {c, d, f , g}i ← 3
  • 292. Prim Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (2 < 7)T = {(a, b), (b, e)}P = {a, b, e}N = {c, d, f , g}i ← 3
  • 293. Prim Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (3 < 7)T = {(a, b), (b, e), (e, g)}P = {a, b, e, g}N = {c, d, f }i ← 4
  • 294. Prim Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (3 < 7)T = {(a, b), (b, e), (e, g)}P = {a, b, e, g}N = {c, d, f }i ← 4
  • 295. Prim Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (4 < 7)T = {(a, b), (b, e), (e, g), (d, e)}P = {a, b, e, g, d}N = {c, f }i ← 5
  • 296. Prim Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (4 < 7)T = {(a, b), (b, e), (e, g), (d, e)}P = {a, b, e, g, d}N = {c, f }i ← 5
  • 297. Prim Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (5 < 7)T = {(a, b), (b, e), (e, g),(d, e), (f , g)}P = {a, b, e, g, d, f }N = {c}i ← 6
  • 298. Prim Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (5 < 7)T = {(a, b), (b, e), (e, g),(d, e), (f , g)}P = {a, b, e, g, d, f }N = {c}i ← 6
  • 299. Prim Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (6 < 7)T = {(a, b), (b, e), (e, g),(d, e), (f , g), (c, g)}P = {a, b, e, g, d, f , c}N = ∅i ← 7
  • 300. Prim Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (6 < 7)T = {(a, b), (b, e), (e, g),(d, e), (f , g), (c, g)}P = {a, b, e, g, d, f , c}N = ∅i ← 7
  • 301. Prim Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (7 7)toplam a˘gırlık: 17
  • 302. KaynaklarOkunacak: GrimaldiChapter 13: Optimization and Matching13.1. Dijkstra’s Shortest Path Algorithm13.2. Minimal Spanning Trees:The Algorithms of Kruskal and Prim