Imperia 15-11-2010

SPAZIO E FIGURE Il nucleo si configura come studio dello spazio e degli oggetti in esso presenti (linee, figure, solidi) e si articola in uno studio sperimentale, orientandosi poi verso l’utilizzo di metodi matematici, in una progressiva evoluzione dall’empirismo e dalla percezione alla sistematizzazione dei concetti e alla loro formalizzazione (UMI CIIM 2001)

La matematica nella scuola elementare e media Premessa ……… .. In particolare, l'insegnamento della matematica deve avviare gradualmente, a partire da campi di esperienza ricchi per l'allievo, all'uso del linguaggio e del ragionamento matematico, come strumenti per l'interpretazione del reale, non unicamente come bagaglio astratto di nozioni……….. ……… . Vi sono poi tre nuclei trasversali, centrati sui processi degli allievi: misurare, argomentare e congetturare, risolvere e porsi problemi. Il primo consente un approccio corporeo ed esperienziale alle grandezze, in collegamento con le scienze, per ricavare relazioni tra le grandezze esperite e costruire modelli di fenomeni studiati. Il secondo caratterizza le attività che favoriscono il passaggio dalle nozioni intuitive e dai livelli operativi a forme di pensiero più avanzate che, nella scuola superiore, saranno coinvolte nella dimostrazione matematica, nel calcolo algebrico, nell'uso di modelli matematici in contesti vari. Il terzo offre occasioni importanti agli allievi per costruire nuovi concetti e abilità, per arricchire di significati concetti già appresi e per verificare l'operatività degli apprendimenti realizzati in precedenza……

Didattica e contenuti Nella scuola elementare e media la costruzione di competenze matematiche va perseguita in contesti culturalmente ricchi e motivanti, che permettano agli allievi esperienze cognitive significative e consonanti con quelle condotte in altri ambiti: scientifici, linguistici, motori, figurativi, ecc. …… . L'esperienza e la verbalizzazione col linguaggio naturale dovranno precedere la formalizzazione e la riflessione sui sistemi di notazione simbolica propri della matematica. Per esempio, prima di imparare a formalizzare una strategia risolutiva per mezzo dei segni dell’aritmetica, i bambini dovranno esplorare e operare in campi di esperienza in cui attuare attività di quantificazione, utilizzando strumenti e sistemi di rappresentazione che sono caratteristici del campo stesso (il calendario lineare per risolvere problemi legati al tempo; monete o loro rappresentazioni per risolvere problemi di compravendita di beni ...). Analogamente, per le conoscenze legate allo spazio e alle figure sarà essenziale l'esplorazione dinamica in contesti vari, supportata eventualmente da opportuni software di geometria dinamica, e l'uso del linguaggio naturale su cui fondare la transizione dalle esperienze alle notazioni matematiche . In alcuni contesti, l'esposizione al linguaggio simbolico potrà anche precedere l'attività di verbalizzazione, purché essa sia funzionale alla possibilità di provocare negli alunni processi interpretativi fruttuosi in relazione alle problematiche del contesto. In entrambi i casi l'acquisizione di un linguaggio rigoroso deve essere un obiettivo da raggiungere nel lungo periodo e una conquista cui gli allievi giungono, col supporto dell'insegnante, a partire dalle loro concrete produzione verbali, messe a confronto e opportunamente discusse nella classe………

Didattica e tempi dell'apprendimento Il conseguimento delle competenze e conoscenze sopra elencate richiede tempo e partecipazione attiva degli allievi al progetto formativo. I ritmi dell'azione di insegnamento-apprendimento devono essere adeguati alle reali esigenze degli allievi e non possono essere dettati da programmi caratterizzati da un'eccessiva segmentazione dei contenuti o da moduli che presuppongano improbabili percorsi quasi indipendenti fra loro. In altri termini, la progettazione dell'insegnante va condotta secondo una logica di una didattica lunga, attenta a garantire agli allievi possibilità di costruzioni di significato per gli oggetti di insegnamento-apprendimento.

Le nuove tecnologie nelle attività di insegnamento-apprendimento della matematica …… ..Un altro esempio è costituito dai sistemi di geometria dinamica, che consentono di utilizzare, con estrema facilità, il movimento nell'insegnamento-apprendimento della geometria euclidea; ciò consente di portare sotto il controllo della percezione l’insieme delle relazioni che definiscono una figura, potendo osservare, per esempio, le proprietà che si conservano quando gli oggetti base della figura vengono trascinati con il mouse. Tali sistemi si sono rivelati particolarmente adatti a progettare attività che favoriscono esplorazioni, osservazioni e produzione di congetture: essi possono essere utilizzati già a partire dagli ultimi anni della scuola dell’obbligo. Particolare cautela occorre invece nel loro impiego con alunni dei primi anni di scuola. Per essi, infatti, sembrano più adatte attività di manipolazione e costruzione diretta (ritagli, piegamenti, manipolazione di modelli concreti, …) di figure geometriche del piano e dello spazio……………..

Nucleo: Lo spazio e le figure …… ..Per la geometria è utile abituare gli alunni ad una visione dinamica e non statica degli oggetti geometrici: pertanto sarà essenziale l’esplorazione in contesti vari, supportata eventualmente da opportuni software di geometria dinamica. Dal punto di vista metodologico sembrano particolarmente adatte le attività di laboratorio, che permetteranno agli allievi non solo di eseguire ma anche di progettare, costruire e manipolare con materiali diversi, discutere, argomentare, fare ipotesi, sperimentare e controllare la validità delle ipotesi fatte. Si ritiene importante che in geometria le definizioni, ma anche le idee e i concetti geometrici vengano “ dopo l’uso”. La tendenza che vorremmo auspicare è quella di una geometria sempre più per problemi e sempre meno per definizioni. E’ determinante un equilibrio tra fasi operative e graduali sistemazioni teoriche, favorendo nei ragazzi il passaggio da evidenze visive ad argomentazioni via via più rigorose…… …… In definitiva si propone una geometria fatta di situazioni ricche e motivanti, in cui l’alunno si possa formare basi intuitive attraverso le quali gli sia facile giungere in seguito a qualsiasi sistemazione assiomatica. Si ritengono importanti attività che favoriscano un arricchimento del patrimonio di immagini mentali e la visualizzazione delle figure, poiché la comprensione delle proprietà geometriche si fonda sulla capacità di astrarle, metterle in relazione, correlarle. Si vuole costruire una geometria che sia efficace strumento di modellizzazione della realtà, che offra frequenti occasioni di richiesta di argomentazioni, che dia ampio spazio all’intuizione senza peraltro lasciarsi guidare da essa a troppo facili conclusioni. ……….

Traguardi per lo sviluppo delle competenze al termine della scuola primaria L’alunno sviluppa un atteggiamento positivo rispetto alla matematica, anche grazie a molte esperienze in contesti significativi, che gli hanno fatto intuire come gli strumenti matematici che ha imparato siano utili per operare nella realtà. Si muove con sicurezza nel calcolo scritto e mentale con i numeri naturali e sa valutare l’opportunità di ricorrere a una calcolatrice. Percepisce e rappresenta forme, relazioni e strutture che si trovano in natura o che sono state create dall’uomo, utilizzando in particolare strumenti per il disegno geometrico (riga, compasso, squadra) e i più comuni strumenti di misura. Utilizza rappresentazioni di dati adeguate e le sa utilizzare in situazioni significative per ricavare informazioni. Riconosce che gli oggetti possono apparire diversi a seconda dei punti vista. Descrivere e classifica figure in base a caratteristiche geometriche e utilizza modelli concreti di vario tipo anche costruiti o progettati con i suoi compagni. Affronta i problemi con strategie diverse e si rende conto che in molti casi possono ammettere più soluzioni. Riesce a risolvere facili problemi (non necessariamente ristretti a un unico ambito) mantenendo il controllo sia sul processo risolutivo, sia sui risultati e spiegando a parole il procedimento seguito. Impara a costruire ragionamenti (se pure non formalizzati) e a sostenere le proprie tesi, grazie ad attività laboratoriali, alla discussione tra pari e alla manipolazione di modelli costruiti con i compagni. Impara a riconoscere situazioni di incertezza e ne parla con i compagni iniziando a usare le espressioni "è più probabile", “è meno probabile” e, nei casi più semplici, dando una prima quantificazione.

Traguardi per lo sviluppo delle competenze al termine della scuola primaria L’alunno ha rafforzato un atteggiamento positivo rispetto alla matematica e, attraverso esperienze in contesti significativi, ha capito come gli strumenti matematici appresi siano utili in molte situazioni per operare nella realtà. Percepisce, descrive e rappresenta forme relativamente complesse, relazioni e strutture che si trovano in natura o che sono state create dall’uomo. Ha consolidato le conoscenze teoriche acquisite e sa argomentare (ad esempio sa utilizzare i concetti di proprietà caratterizzante e di definizione), grazie ad attività laboratoriali, alla discussione tra pari e alla manipolazione di modelli costruiti con i compagni. Rispetta punti di vista diversi dal proprio; è capace di sostenere le proprie convinzioni, portando esempi e controesempi adeguati e argomentando attraverso concatenazioni di affermazioni; accetta di cambiare opinione riconoscendo le conseguenze logiche di una argomentazione corretta. Valuta le informazioni che ha su una situazione, riconosce la loro coerenza interna e la coerenza tra esse e le conoscenze che ha del contesto, sviluppando senso critico. Riconosce e risolve problemi di vario genere analizzando la situazione e traducendola in termini matematici, spiegando anche in forma scritta il procedimento seguito, mantenendo il controllo sia sul processo risolutivo, sia sui risultati. Confronta procedimenti diversi e produce formalizzazioni che gli consentono di passare da un problema specifico a una classe di problemi. Usa correttamente i connettivi (e, o, non, se... allora) e i quantificatori (tutti, qualcuno, nessuno) nel linguaggio naturale, nonché le espressioni: è possibile, è probabile, è certo, è impossibile.

DAL QUADRO DI RIFERIMENTO DI MATEMATICA PER LA COSTRUZIONE DELLE PROVE DI VAUTAZIONE INVALSI (PRIMO CICLO) OGGETTI DI VALUTAZIONE Mappe, piantine e orientamento. Rappresentazione di oggetti nel piano e nello spazio. Semplici figure dello spazio e del piano (cubo, sfera, triangolo, quadrato…). I principali enti geometrici. Angoli e loro ampiezza. Rette incidenti, parallele e perpendicolari. Verticalità, orizzontalità. Uguaglianza di figure. Equivalenza fra figure. Composizione e scomposizione di figure. Elementi di semplici figure dello spazio (vertici, spigoli, …). Unità di misure di lunghezze, aree e volumi. Perimetro di poligoni. Aree di poligoni. Somma degli angoli di un triangolo e di poligoni. Teorema di Pitagora. Traslazioni, rotazioni e simmetrie. Riproduzioni in scala: ampliamenti e riduzioni. Lunghezza della circonferenza e area del cerchio. Angoli al centro e angoli alla circonferenza. Aree e volumi dei principali solidi. Rappresentazione piana di figure solide. Sistema di riferimento cartesiano. Rappresentazione sul piano cartesiano di figure piane e di trasformazioni geometriche.

INDICAZIONI NAZIONALI per i piani di studio personalizzati

DAL QUADRO DI RIFERIMENTO DI MATEMATICA PER LA COSTRUZIONE DELLE PROVE DI VAUTAZIONE INVALSI (PRIMO CICLO) I PROCESSI COGNITIVI conoscere e padroneggiare i contenuti specifici della matematica (oggetti matematici, proprietà, strutture...); conoscere e padroneggiare algoritmi e procedure (in ambito aritmetico, geometrico...); conoscere e padroneggiare diverse forme di rappresentazione e sapere passare da una all'altra (verbale, scritta, simbolica, grafica, ...); sapere risolvere problemi utilizzando gli strumenti della matematica (individuare e collegare le informazioni utili, confrontare strategie di soluzione, individuare schemi risolutivi di problemi come ad esempio sequenza di operazioni, esporre il procedimento risolutivo,…); sapere riconoscere in contesti diversi il carattere misurabile di oggetti e fenomeni e saper utilizzare strumenti di misura (saper individuare l'unità o lo strumento di misura più adatto in un dato contesto, saper stimare una misura,…); acquisire progressivamente forme tipiche del pensiero matematico (congetturare, verificare, giustificare, definire, generalizzare, ...); utilizzare la matematica appresa per il trattamento quantitativo dell'informazione in ambito scientifico, tecnologico, economico e sociale (descrivere un fenomeno in termini quantitativi, interpretare una descrizione di un fenomeno in termini quantitativi con strumenti statistici o funzioni, utilizzare modelli matematici per descrivere e interpretare situazioni e fenomeni, ...).

DAL QUADRO DI RIFERIMENTO DI MATEMATICA PER LA COSTRUZIONE DELLE PROVE DI VAUTAZIONE INVALSI (PRIMO CICLO) Il QdR può servire agli insegnanti per interpretare i risultati delle prove INVALSI in quanto confronto tra le indicazioni nazionali, il curricolo effettivo e quello raggiunto anche allo scopo di valutare i risultati delle proprie classi o della propria istituzione scolastica: la comparazione dei propri risultati con gli esiti complessivi delle prove può servire per individuare i punti di forza e di debolezza del percorso effettivamente realizzato in classe e delle metodologie scelte; può inoltre aiutare il coordinamento all'interno delle singole istituzioni scolastiche. Trattandosi di una valutazione che adopera gli strumenti statistici riguardo all’intera popolazione studentesca, essa può costituire un ottimo termine di confronto per le singole scuole o anche per i singoli insegnanti, allo scopo di condurre una riflessione autonoma sia sulle abilità e conoscenze acquisite dagli alunni (curricolo raggiunto), sia sulla validità delle scelte didattiche effettuate, sulla efficacia dell’offerta formativa programmata e infine sulla ampiezza, profondità e coerenza del curriculum effettivamente svolto (curricolo effettivo).

Tutte queste osservazioni portano a riflettere sull’importante effetto di ricaduta che il complesso delle prove INVALSI ha sull’intero sistema scolastico e sulle sue scelte didattiche. È proprio in questo senso, come si è detto, che una attenta analisi dei risultati delle prove somministrate potrà contribuire a fornire una guida per il miglioramento dell’insegnamento. Sarebbe al contrario un danno per l’insegnamento e la Scuola se la prospettiva di queste prove dovesse tradursi nella preoccupazione di addestrare gli allievi ad affrontare tipologie valutative simili, limitandosi ad imitarne la forma nelle prove di verifica svolte in classe nel corso dell’anno, senza invece curare la effettiva crescita di quel retroterra cognitivo e culturale di cui le prove INVALSI dovrebbero, al contrario, rilevare e valutare l’esistenza, per stimolarne poi lo sviluppo e la crescita.

Distribuzione delle domande nei livelli di difficoltà

ANNO SCOLASTICO 2009 - 2010 D3 D6_B D12 D7 D19 D28 D32 D16 D6_A D13 D25 D5 D10 D26 D12 D9 D14 D25 D4 D12 D11 D15 D21 D7 D23 D20

D3 D6 D9 D12 D14 D4 D7 D13 D15 D19 D25 D28 D32

D5 D10 D12 D16 D21 D26 D7 D11 D12 D20 D23 D25

Che idea di Geometria emerge?

Classe 2^ primaria Classe 5^ primaria – 1^ sec. primo grado Classe 3^ sec. primo grado

Classe 2^ Primaria Classe 5^ Primaria Classe 1^ Sec. primo grado Classe 3^ Sec. primo grado

Classe 2^ Primaria Classe 5^ primaria Classe 1^ Sec. primo grado Classe 3^ Sec. primo grado

alcune domande che ci possiamo fare sui quesiti INVALSI Che indicazioni ci possono dare circa l’insegnamento apprendimento della matematica? (su quali aspetti dei “programmi” insistono maggiormente? – l’attività in classe li cura in modo adeguato?) Cosa deve fare uno studente per rispondere correttamente a questi quesiti? (quali abilità entrano in gioco? ) Dove sbagliano gli studenti? (quali sono gli errori più frequenti?) Perché sbagliano? (gli errori sono dovuti all’atteggiamento con cui viene affrontata la prova? a difficoltà nella comprensione del testo? …….) Cosa ci dicono i risultati? (consentono di valutare i prodotti a causa della presenza di sole risposte chiuse) Cosa NON ci dicono i risultati? (non consentono di valutare i processi) E se le usassimo come occasione didattica in classe?

I QUESITI POSSONO ESSERE ANALIZZATI DAL PUNTO DI VISTA DEL RISULTATO DAL PUNTO DI VISTA DEGLI ERRORI DAL PUNTO DI VISTA DEL PROCEDIMENTO

D3 D6_b D12 D14 D6_a D9_a D9_b D9_c D9_d

D4 D7 D15 D13_a D32 D13_b D28 D19_a D19_b D19_c D25_1 D25_2 D25_3 D25_4

D5_a D5_b D16 D12_a D26 D10_a D10_c D21 D12_b D10_b D10_d

D11 D25 D7 D23_a D20 D12 D23_b

UNITA’ DI LAVORO DIMA – UNIGE Verso il punto di vista.1^_2^Primaria Angolo.4^Primaria Verso la prospettiva.4^_5^Primaria Rappresentazione dello spazio visibile.5^Prim_1^Media Rappr. Spazio.3^Media

UNITA’ DI LAVORO UMI La casetta.1^Prim. Il coordinamento dei punti di vista.2^Prim. Percorsi nella realtà.2^Prim. Il villaggio delle fiabe.2^Prim. Sequenze ritmiche nel gesto, nel suono, nel disegno… nell’arte.1^_2^Prim. Dalle ruote al cerchio.3^_4^_5^Prim. Solidi noti e solidi misteriosi.4^_5^Prim. La rappresentazione del mondo visibile attraverso il disegno geometrico in prospettiva.4^_5^Prim

UNITA’ DI LAVORO UMI Leggiamo in 2D un mondo a 3D.1^_2^Media Definire quadrilateri con le simmetrie.2^Media Regolarità e modularità nella natura e nell’opera dell’uomo.1^_2^_3^Media I Pentamini.2^Media Definizioni e costruzioni geometriche “in discussione”.2^_3^Media Dal dialogo del “Menone” al teorema di Pitagora.2^_3^Media Alla ricerca della città perduta.2^_3^Media

PROCESSI COGNITIVI COMPITO ESITI

Imperia 15-11-2010

by U.S.R. Liguria

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