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  • 1. HIDRAULICA DETUBERIAS Y CANALES i
  • 2. ii
  • 3. Arturo Rocha Felices HIDRAULICA DETUBERIAS Y CANALES iii
  • 4. CONTENIDOPresentación vPrólogo viiPalabras Preliminares del Autor ixIndice de Figuras xviIndice de Tablas xxiLista de Símbolos Principales xxiiiCAPITULO I INTRODUCCION 1.1 Objetivo del libro 1 1.2 Esquema del contenido general 1 1.3 Diferencias entre canales y tuberías 3 1.4 Tipos de flujo 4 1.5 Teorema de Bernoulli. Ecuación de la energía 7 1.6 Propiedades geométricas de la sección transversal 9 1.7 Efecto de la viscosidad 11 1.8 Efecto de la gravedad 15 1.9 Concepto de distribución de velocidades 15 1.10 Coeficiente de Coriolis 21 1.11 Coeficiente de Boussinesq 23 1.12 Discusión de los valores de y 24 1.13 Relación entre los coeficientes y 25 1.14 Otros estudios sobre los coeficientes y 27 1.15 Comparación del escurrimiento en una tubería y un canal 32 Problemas propuestos 38 xi
  • 5. CAPITULO II MOVIMIENTO UNIFORME 2.1 El movimiento uniforme en canales y tuberías 43 2.2 Relación entre el corte y la inclinación 46 2.3 Ecuaciones de distribución de velocidades y de la velocidad media para un canal muy ancho con movimiento laminar 52 2.4 Ecuaciones de distribución de velocidades y de la velocidad media para una tubería con movimiento laminar 55 2.5 Ecuación general de distribución de velocidades para el movimiento turbulento en un contorno hidráulicamente liso 62 2.6 Obtención de las ecuaciones de la velocidad media en conductos lisos 69 2.7 Ecuación general de distribución de velocidades para el movimiento turbulento en un contorno hidráulicamente rugoso 72 2.8 Obtención de las ecuaciones de la velocidad media en conductos rugosos 75 2.9 Obtención de la ecuación de Chezy 76 2.10 Concepto de rugosidad. Conductos hidráulicamente lisos e hidráulicamente rugosos 79 2.11 Transformación de las ecuaciones de Karman - Prandtl 82 Problemas propuestos 87CAPITULO III LA RESISTENCIA DE SUPERFICIE EN EL MOVIMIENTO UNIFORME 3.1 Ecuación de Darcy 91 3.2 Significado del coeficiente f de Darcy ( en tuberías circulares) 94 3.3 Tuberías hidráulicamente lisas 95 3.4 Tuberías hidráulicamente rugosas. Transición. Gráfico de Nikuradse 98 3.5 Introducción del coeficiente f de Darcy en las ecuaciones de distribución de velocidades 101 3.6 Transición entre contornos lisos y rugosos. Fórmula de Colebrook - White 103 3.7 Dimensionamiento de conductos. Conceptos fundamentales. Errores 104 3.8 Tuberías de sección no circular 109xii
  • 6. 3.9 Ley exponencial de distribución de velocidades 111 3.10 Concepto de capa límite 121 3.11 Espesor de la capa límite 123 3.12 Desarrollo de la capa límite 125 3.13 La separación. Expansión de un conducto 126 Problemas propuestos 130CAPITULO IV DISEÑO DE TUBERIAS 4.1 Concepto de pérdida de carga. Línea de energía y línea piezométrica 135 4.2 Abaco de Moody. Tuberías comerciales. Cálculo 138 4.3 Pérdidas de carga locales (flujo turbulento) 150 4.4 Sobre la consideración de las pérdidas de carga locales 163 4.5 Pérdidas de carga locales (flujo laminar) 166 4.6 Sistemas hidráulicos equivalentes 168 4.7 Tuberías en serie 170 4.8 Tubería sobre la línea de gradiente. Sifón. Cavitación 174 4.9 Tubería con boquilla convergente final 177 4.10 Máquinas hidráulicas. Suministro por bombeo 180 Problemas propuestos 186CAPITULO V DISEÑO DE CONDUCCIONES Y REDES 5.1 Tuberías en paralelo 193 5.2 El problema de los tres reservorios 199 5.3 Bombeo de un reservorio a otros dos 205 5.4 Tuberías con dos o más ramales de descarga independiente 210 5.5 Conducto que da servicio (filtrante) 211 5.6 Cambio de la rugosidad con el tiempo 215 5.7 Fórmula de Hazen y Williams 218 5.8 Diseño de una conducción 223 5.9 Diámetro más económico 228 5.10 Redes de tuberías. Método de Hardy Cross 229 Problemas propuestos 237 Problemas complementarios 249 xiii
  • 7. CAPITULO VI CALCULO DE CANALES 6.1 Condiciones normales 257 6.2 Fórmulas antiguas 260 6.3 Fórmula de Manning 265 6.4 Discusión de los valores del coeficiente de rugosidad n a emplearse en la fórmula de Manning 271 6.5 Determinación de la sección transversal 272 6.6 Sección de máxima eficiencia hidráulica (M. E. H.) 281 6.7 Concepto de borde libre 288 6.8 Cálculo de canales de sección compuesta 292 6.9 Escurrimiento en tubo parcialmente lleno 296 Problemas propuestos 317CAPITULO VII ENERGIA ESPECIFICA Y MOMENTA 7.1 Energía específica 323 7.2 Energía específica a gasto constante 325 7.3 Sección rectangular 335 7.4 Sección parabólica 347 7.5 Sección triangular 350 7.6 Sección trapecial 353 7.7 Sección circular y otras secciones 361 7.8 Flujo crítico normal. Pendiente crítica 365 7.9 Pendiente crítica mínima (pendiente límite, SL ) 369 7.10 Transiciones 371 7.11 Interpretación de la caída libre desde el punto de vista de la energía específica 377 7.12 Fuerza Específica (Momenta) 378 7.13 Salto hidráulico 382 7.14 Descarga por una compuerta de fondo 387 Problemas propuestos 389CAPITULO VIII MOVIMIENTO GRADUALMENTE VARIADO 8.1 Introducción 395 8.2 Definiciones fundamentales 399xiv
  • 8. 8.3 Ecuación general del movimiento gradualmente variado 401 8.4 Discusión de la ecuación del eje hidráulico 407 8.5 Análisis de los seis casos del movimiento gradualmente variado 409 8.6 Cambios de pendiente (perfiles de continuidad) 418 8.7 Curva de remanso 423 Problemas propuestos 451CAPITULO IX VERTEDEROS 9.1 Objeto de los vertederos. Tipos 455 9.2 Vertederos rectangulares. Fórmula teórica de descarga 466 9.3 Fórmula de Francis 469 9.4 Otras fórmulas para vertederos rectangulares 471 9.5 Vertederos triangulares 478 9.6 Vertederos trapeciales. Vertedero tipo Cipolletti 483 9.7 Condiciones para la instalación y operación de vertederos 485 9.8 Vertederos en pared gruesa (o de cresta ancha) 487 9.9 Vertederos laterales 490 9.10 Errores en el cálculo del gasto como consecuencia de un error en la medición de la carga 492 9.11 Vaciamiento de un depósito por un vertedero 493 9.12 Vertedero sumergido 497 Problemas propuestos 502Tablas Generales 507Referencias Bibliográficas 513 xv
  • 9. INDICE DE FIGURASFigura 1.1 Diferencia entre canales y tuberías 3Figura 1.2 Esquema de un piezómetro 4Figura 1.3 Tipos de flujo 5Figura 1.4 Movimientos variados 6Figura 1.5 Teorema de Bernoulli 8Figura 1.6 Parámetros de la sección transversal de un canal 10Figura 1.7 Radio hidráulico en un canal muy ancho 10Figura 1.8a Viscosidad cinemática en función de la temperatura para varios fluidos 13Figura 1.8b Viscosidad dinámica en función de la temperatura para diferentes gases y líquidos 14Figura 1.8c Viscosidad dinámica en función de la temperatura para varios tipos de aceite 14Figura 1.9 Distribución de velocidades en un canal 16Figura 1.10 Distribución de velocidades en una tubería 17Figura 1.11 Distribución de velocidades en una tubería con flujo turbulento 17Figura 1.12 Distribución de velocidades en una tubería con flujo laminar 18Figura 1.13 Distribución de velocidades en una tubería (fluido ideal) 18Figura 1.14 Isotacas en un canal de sección trapecial 19Figura 1.15 Distribución de velocidades en diferentes secciones transversales 19Figura 1.16 Distribución de velocidades en un codo 20Figura 1.17 Distribución de velocidades en contornos lisos y rugosos 20Figura 1.18 Esquema de definición para las ecuaciones de Strauss 28Figura 1.19 Ecuación de la energía 33Figura 1.20 Distribución vertical de velocidades (mediciones) 35xvi
  • 10. Figura 2.1 Movimiento uniforme en un canal 44Figura 2.2 Movimiento uniforme en una tubería 45Figura 2.3 Esfuerzo de corte en un canal muy ancho 46Figura 2.4 Esfuerzo de corte en un canal de cualquier sección transversal 48Figura 2.5 Esfuerzo de corte en una tubería 49Figura 2.6 Distribución del esfuerzo de corte (a) en un canal y (b) en una tubería 51Figura 2.7 Distribución de velocidades en un canal con movimiento laminar 53Figura 2.8 Subcapa laminar 65Figura 2.9 Relación entre parámetros adimensionales para el cálculo de la distribución de velocidades 67Figura 2.10 Flujo a través de un anillo 71Figura 2.11 Distribución de velocidades en un contorno rugoso 73Figura 2.12 Coeficiente C de Chezy 78Figura 2.13 Aspereza del contorno 80Figura 2.14 Rugosidad artificial de Nikuradse 80Figura 3.1 Equilibrio de fuerzas en una tubería 91Figura 3.2 Coeficiente f de Darcy en tuberías lisas 98Figura 3.3 Coeficiente f de Darcy en tuberías rugosas 99Figura 3.4 Gráfico de Nikuradse 100Figura 3.5 Flujo paralelo 122Figura 3.6 Generación de una capa límite 122Figura 3.7 Definición del espesor de la capa límite 123Figura 3.8 Espesor de la capa límite 124Figura 3.9 Capa límite laminar y turbulenta 126Figura 3.10 Variación del gradiente de presiones 127Figura 3.11 Fenómeno de la separación 127Figura 3.12 Desarrollo de la capa límite en una expansión 128Figura 3.13 Aparición de contracorrientes 128Figura 4.1 Ecuación de la energía en una tubería 135Figura 4.2 Abaco de Moody 140 xvii
  • 11. Figura 4.3 Pérdida de carga local 150Figura 4.4 Gráfico de Gibson (ensanchamiento gradual) 155Figura 4.5 Contracción brusca 157Figura 4.6 Tuberías en serie (dos tramos) 170Figura 4.7 Tuberías en serie (tres tramos) 171Figura 4.8 Esquema de un sifón 175Figura 4.9 Tubería con boquilla convergente final 178Figura 4.10 Presencia de una bomba 180Figura 4.11 Esquema genérico de un suministro por bombeo 181Figura 5.1 Sistema de tuberías en paralelo 193Figura 5.2 Línea piezométrica en un sistema en paralelo 194Figura 5.3 Varias tuberías en paralelo 194Figura 5.4 Tubería ramificada 196Figura 5.5 Tres reservorios 199Figura 5.6 Tres reservorios (caso particular) 200Figura 5.7 Cuatro reservorios 202Figura 5.8 Bombeo de un reservorio a otros dos 206Figura 5.9 Tuberías con ramales de descarga independiente 210Figura 5.10 Conducto que da servicio 211Figura 5.11 Cálculo de un conducto filtrante 214Figura 5.12 Diseño de una conducción 223Figura 5.13 Determinación del diámetro en una conducción 224Figura 5.14 Línea piezométrica para la línea de conducción del ejemplo 5.8 227Figura 5.15 Esquema típico de una red de tuberías 230Figura 6.1 Comparación de varias secciones transversales que se caracterizan por tener todas un radio hidráulico de 1 m 274Figura 6.2 Curvas para determinar el tirante normal (Ven Te Chow) 278Figura 6.3 Borde libre recomendado por el Bureau of Reclamation 290Figura 6.4 Tabla orientativa para el cálculo del borde libre en canales 291Figura 6.5 Cálculo de un tubo parcialmente lleno 297Figura 6.6 Características geométricas en una sección circular 301xviii
  • 12. Figura 6.7 Elementos hidráulicos proporcionales en una sección circular 302Figura 7.1 Interpretación gráfica de la Energía Específica 324Figura 7.2 Gráfico de la Energía Específica a gasto constante 326Figura 7.2a Variación de la energía específica y el tirante 334Figura 7.3 Distribución de la Energía Específica en un canal rectangular 336Figura 7.4 Diagrama adimensional de la Energía Específica en canal rectangular 339Figura 7.5 Curva de descarga para Energía Específica constante 342Figura 7.6 Gráfico para el ejemplo 7.3 344Figura 7.7 Distribución de la Energía Específica en un canal parabólico 348Figura 7.8 Distribución de la Energía Específica en un canal triangular 351Figura 7.9 Cálculo del tirante crítico (Ven Te Chow) 358Figura 7.10 Gráfico para el cálculo de secciones críticas 363Figura 7.11 Grada positiva en un río 373Figura 7.12 Grada negativa en un río 373Figura 7.13 Grada positiva en un torrente 374Figura 7.14 Grada negativa en un torrente 374Figura 7.15 Valor máximo de la grada positiva 375Figura 7.16 Curva Energía Específica - Tirante para diferentes caudales 375Figura 7.17 Interpretación de la caída libre desde el punto de vista de la Energía Específica 378Figura 7.18 Gráfica para la deducción de la ecuación de la Fuerza Específica 378Figura 7.19 Fuerza Específica 380Figura 7.20 Salto hidráulico 382Figura 8.1 Distribución de presiones en diferentes tipos de flujo 396Figura 8.2 Presión en un punto de la corriente 397Figura 8.3 Corriente peraltada y corriente deprimida 399Figura 8.4 Ríos y torrentes 400Figura 8.5 Pendientes suaves y fuertes 400Figura 8.6 Movimiento gradualmente variado 402 xix
  • 13. Figura 8.7 Intersección del eje hidráulico con y  yc 408Figura 8.8 Esquema para el cálculo de la curva de remanso 426Figura 8.9 Para el cálculo de la curva de remanso se parte del tirante ymax determinado por la condición de entrega al lago. 427Figura 8.10 Para el cálculo de la curva de remanso se parte del tirante ymin determinado por la grada. 427Figura 9.1 Descarga sobre un vertedero rectangular en pared delgada 456Figura 9.2 Red de corriente característica de una napa vertiente libre ( P  H ) 457Figura 9.3 Se aprecia tres casos de napa deprimida 459Figura 9.4 Detalle de las características geométricas de la napa vertiente en un vertedero en pared delgada, convenientemente aireada. Esta figura es un detalle de la Figura 9.1 460Figura 9.5 Vertederos en pared gruesa, según dibujo de Balloffet 461Figura 9.6 Diferentes formas de vertederos 463Figura 9.7 Vertedero con paramento inclinado (a y b) y vertedero entrante (c) 464Figura 9.8 Vertedero que forma un ángulo con la dirección de la corriente 464Figura 9.9 Otros tipos de vertederos 465Figura 9.10 Esquema para la deducción de la fórmula de descarga en un vertedero rectangular 466Figura 9.11 Gráfico para la determinación de KL 473Figura 9.12 Coeficiente de descarga en un vertedero trapecial 474Figura 9.13 Coeficientes de descarga en vertederos triangulares 481Figura 9.14 Vertedero tipo Cipolletti 485Figura 9.15 Valores orientativos de las mínimas distancias a tenerse en cuenta para instalar un vertedero rectangular con contracciones. 486Figura 9.16 Perfil característico de un vertedero en pared gruesa 488Figura 9.17 Vertedero lateral 491Figura 9.18 Vaciamiento de un depósito por medio de un vertedero 493Figura 9.19 Esquema típico de un vertedero sumergido 497Figura 9.20 Flujo ondulado que puede presentarse aguas abajo de un vertedero sumergido 498xx
  • 14. INDICE DE TABLASTabla 1.1 Valores aproximados de y (Kolupaila) 25Tabla 1.2 Factores adimensionales para las ecuaciones de Strauss 30Tabla 2.1 Valores de la rugosidad absoluta k 74Tabla 4.1 Valores de f para el agua 144Tabla 4.2 Coeficientes de Weisbach para contracciones bruscas 158Tabla 4.3 Pérdidas de carga locales 160Tabla 5.1 Intensidad de aumento de la rugosidad 216Tabla 5.2 Coeficientes de Hazen y Williams 219Tabla 5.3 Cálculos del ejemplo 5.9 236Tabla 6.1 Valores de la rugosidad absoluta k 259Tabla 6.2 Valores del coeficiente n de Kutter que generalmente se usa en los diseños 262Tabla 6.3 Valores del coeficiente m de rugosidad a usarse en la fórmula de Kutter para pendientes mayores que 0,0005 263Tabla 6.4 Valores del coeficiente G de rugosidad a utilizarse en la fórmula de Bazin 264Tabla 6.5 Tabla de Cowan para determinar la influencia de diversos factores sobre el coeficiente n 273Tabla 6.6 Secciones circulares parcialmente llenas 304Tabla 6.7 Propiedades hidrálicas de conductos circulares 309Tabla 6.8 Propiedades hidráulicas de conductos en herradura 311Tabla 6.9 Sección trapecial de máxima eficiencia hidráulica 313Tabla 6.10 Secciones de máxima eficiencia hidráulica 315Tabla 6.11 Elementos geométricos de diversas secciones 316Tabla 7.1 Ejemplo 7.3 ( q = 1 m3/s/m) 345 xxi
  • 15. Tabla 7.2 Secciones críticas ( E  yc ⌡ Vc2 2 g ) 360Tabla 8.1 Resumen de la discusión de los seis casos del movimiento gradualmente variado 416Tabla 8.2 Función de flujo variado para pendientes positivas y negativas 436Tabla 9.1 Coordenadas características de una napa vertiente libre 458Tabla 9.2 Coeficientes en vertederos triangulares 481Tabla 9.3 Coeficientes en vertederos de cresta ancha 490Tabla 9.4 Ejemplo 9.2 496Tabla 9.5 Valores de N para usarse en la fórmula 9-41 499xxii
  • 16. LISTA DE SIMBOLOS PRINCIPALESA Area de la sección transversalAS Area de la sección transversal de salidaa Rugosidad absolutaa Altura de una gradaB Ancho de fondob Anchob Longitud de la cresta de un vertederob.l. Borde libreC Coeficiente de ChezyCH Coeficiente de Hazen y Williamsc Coeficiente de descarga en vertederoscc Coeficiente de contraccióncv Coeficiente de velocidadD Diámetro de la tuberíad Tirante hidráulicoE Energíae Constante de los logaritmos neperianosF Número de FroudeFf Fuerza debida a la fricciónf Coeficiente de DarcyG Coeficiente de rugosidad de BazinH Carga de aguaH Energía total con respecto a un plano de referenciaH bomba Energía suministrada por una bombaHS Altura de succiónHi Altura de impulsiónhf Pérdida de carga o energía xxiii
  • 17. hi Altura del salto hidráulicohloc Pérdida de carga localhroz Pérdida de carga por rozamientohvort Pérdida de carga por la formación de vórticeshV Energía de velocidad o cinéticaK Coeficiente de pérdida de cargaK Factor de capacidadKn Factor de capacidad para condiciones normalesk Rugosidad absolutak0 Rugosidad inicial (al ponerse en servicio el conducto)kt Rugosidad después de transcurrido el tiempo tL Longitud de un vertederoLe Longitud equivalenteL. E. Línea de energíaL. P. Línea piezométrica o de gradiente hidráulicaM Exponente hidráulico para el cálculo de las condiciones críticasm Relación de máxima eficiencia hidráulicam Coeficiente de rugosidad para la fórmula de KutterN Exponente hidráulico para el cálculo del movimiento uniformeN Coeficiente de reducción de carga en un vertedero sumergidon Coeficiente de Kuttern Parámetro característico de la curva de distribución de velocidadesP Umbral de un vertederoP PerímetroP Fuerza hidrostáticap Presiónpv Presión absoluta de vaporizaciónPot PotenciaQ Caudal o gastoQn Gasto para un flujo normalxxiv
  • 18. Qc Gasto críticoq Caudal o gasto específicoR Radio hidráulicoRe Número de Reynoldsr , ro Radio de la tuberíaS PendienteS Pendiente mediaSc Pendiente críticaSE Pendiente de la línea de energíaSL Pendiente límiteSW Pendiente de la superficie libreS0 Pendiente del fondoT Ancho superficialT TemperaturaV Velocidad mediaVc Velocidad críticaVh Velocidad a la distancia h del contornoVmax Velocidad máximaV* Velocidad de corteW Pesow Velocidad de caida de una partículay Tirantey Eje de coordenadasyc Tirante críticoyn Tirante normaly Profundidad del centro de gravedadZ Factor de secciónZc Factor de sección para flujo críticoz Elevación con respecto a un plano de referencia xxv
  • 19. Coeficiente de Coriolis 1 Velocidad de aumento de la rugosidad Coeficiente de Boussinesq Espesor de la subcapa laminar L Espesor de la capa límite laminar T Espesor de la capa límite turbulenta Constante de Karman Densidad del fluido Peso específico Eficiencia de la bomba Viscosidad dinámica o absoluta Viscosidad cinemática Esfuerzo de corte 0 Esfuerzo de corte sobre el fondo o el contorno h Esfuerzo de corte a la distancia h del contorno 0 Esfuerzo medio de corte sobre el fondo Angulo E Variación de energía p Diferencia de presionesxxvi
  • 20. xxvii
  • 21. Capítulo I Introducción CAPITULO I INTRODUCCION1.1 Objetivo del libroEl objetivo de este libro es proporcionar al lector los conocimientos fundamentales de Hidráulicay Mecánica de los Fluidos que se requieren para el diseño de tuberías y canales y para otrasaplicaciones de Hidráulica General. En este libro se presenta el modo de predecir elescurrimiento y los fenómenos de corriente para ciertas condiciones dadas. De otro lado, seofrece también los conocimientos básicos para el estudio posterior de Hidráulica Fluvial,Irrigación, Drenaje, Abastecimientos de Agua, Hidroelectricidad, etc.El desarrollo de los temas se apoya en conceptos básicos de Mecánica de Fluidos adquiridosanteriormente en los siguientes temas: Hidrostática, Cinemática de los Fluidos, Ecuacionesde Euler, Navier-Stokes y Bernoulli, Semejanza Hidráulica y Análisis Dimensional.En la Hidráulica de tuberías y canales trabajaremos con fluidos reales como agua, aceite opetróleo. Al tener estos fluidos viscosidad habrá que admitir la existencia de tensiones tangencialesen el interior de la masa fluida y tendremos que apartarnos de la Hidrodinámica clásica.1.2 Esquema del contenido generalEste libro consta de nueve capítulos cuyo contenido sintético es el siguienteCapítulo I: Introducción.Objetivos. Tipos de flujo. Efecto de la gravedad y de la viscosidad. Concepto de distribuciónde velocidades. Coeficientes de Coriolis y Boussinesq. Comparación entre tuberías y canales. 1
  • 22. Hidráulica de tuberías y canales Arturo RochaCapítulo II. Movimiento uniforme.Ecuaciones de distribución de velocidades para el flujo laminar y turbulento. Conceptos derugosidad, contorno liso y subcapa laminar. Fórmulas de la velocidad media. Ecuación deChezy.Capítulo III. La resistencia en el movimiento uniforme.Ecuación de Darcy, Ecuación de Blasius. Ecuaciones de resistencia de Karman-Prandtl.Gráfico de Nikuradse. Ley exponencial de distribución de velocidades. Errores. Conceptode capa límite. El fenómeno de separación.Capítulo IV. Diseño de tuberías.Abaco de Moody. Cálculo de la pérdida de carga, diámetro y gasto. Cambio de la rugosidadcon el tiempo. Pérdidas de cargas locales. Tubería equivalente, Tubería en serie. Sifón.Bombeo.Capítulo V. Diseño de conducciones y redes.Tuberías en paralelo. Fórmula de Hazen y Williams. Problema de los tres reservorios.Conducto que da servicio. Otros sistemas indeterminados. Redes. Método de Hardy Cross.Capítulo VI. Cálculo de canales.Flujo normal. Fórmulas de Ganguillet-Kutter, Bazin y Manning. Discusión del coeficienten . Cálculo de la sección de un canal. Sección de máxima eficiencia hidráulica. Conceptosde borde libre. Rugosidad compuesta. Sección circular parcialmente llena.Capítulo VII. Energía específica y Momenta.Significado de la energía específica. Régimen crítico: ríos y torrentes. Cálculo de velocidadcrítica. Ecuación de la cantidad de movimiento. Concepto de momenta. Salto hidráulico.Su uso como disipador de energía.Capítulo VIII. Movimiento gradualmente variado.Hipótesis general para su estudio. Ecuación del eje hidráulico. Pendiente suave y pendientefuerte. Discusión de la ecuación del eje hidráulico y presentación de los seis casos delmovimiento gradualmente variado. Cálculo de la curva de remanso.Capítulo IX. Vertederos. Su objeto y uso. Tipos.Su objeto y uso. Tipos. Fórmula General. Vertederos rectangulares, triangulares y trapeciales.Vertedero de cresta ancha. Vertedero Sumergido.2
  • 23. Capítulo I Introducción1.3 Diferencias entre canales y tuberíasSon varias las diferencias que pueden establecerse entre el flujo en un canal y en una tubería.El canal tiene una superficie libre que está en contacto con la atmósfera. En la tubería ellíquido está confinado. Es un conducto cerrado. Hay presión ejercida por el fluido sobre elcontorno. (Figura 1.1).La diferencia entre un canal y una tubería no está, pues, en la forma de la sección transversal,sino en el comportamiento hidráulico. Superficie libre TUBERIA CANAL Figura 1.1 Diferencia entre canales y tuberíasEn las tuberías la presión ejercida por el fluido en cada punto está representada gráficamentepor la altura que alcanza el líquido en un pequeño tubo (piezómetro) conectado a la tubería,tal como puede verse en la Figura 1.2 en la que p es la presión y es el peso específicodel fluido. La altura que alcanza el fluido en el piezómetro, referida a un plano horizontal,se denomina cota piezométrica. Cota piezométri ca  z p hz⌡ (1-1) p h (1-2)En los canales por lo general el flujo es agua, en cambio en las tuberías puede tratarse decualquier fluido (líquido o gaseoso).El flujo en un conducto cerrado, que pueda tener la forma de una tubería, no esnecesariamente un escurrimiento a presión. Tal sería el caso de un túnel o un conducto dedesagüe en el que, por estar parcialmente lleno, haya una superficie libre (Figura 1.15c). Alhaber contacto con la atmósfera, a través de la superficie libre, el conducto eshidráulicamente un canal. 3
  • 24. Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha Piezómetro h Plano de referencia z Figura 1.2 Esquema de un piezómetroEn lo que respecta a tuberías la forma más común es la circular, pero no es la única. Haytuberías de diferentes formas: sección cuadrada, rectangular, etc. Otra de las diferenciasentre ambos conductos está en la calidad de paredes; es decir en el grado de rugosidad delcontorno. Las tuberías suelen ser de acero, hierro fundido, asbesto cemento, policloruro devinilo, polietileno o poliester reforzado con fibra de vidrio, materiales cuyos grados deaspereza no son muy diferentes. En cambio los canales pueden tener superficies lisas comolas anteriores o muy rugosas como aquellos con revestimiento de albañilería de piedra.En general se puede decir que los problemas en canales son más complejos que losproblemas en tuberías. En una tubería dada la sección transversal es rígida y determinada.Un aumento en el gasto conlleva un aumento en la velocidad.En cambio en un canal hay una superficie libre. Un aumento en el gasto representa unavariación en la sección.La sección de una tubería es en la mayor parte de los casos circular. Un canal puede serde ordinario rectangular, trapecial, semicircular o de forma cualquiera.A pesar de las diferencias que han sido expuestas entre tuberías y canales es posibleestudiar en conjunto su funcionamiento hidráulico.1.4 Tipos de flujoSe denomina movimiento permanente a aquél que, en una sección determinada, no presentavariaciones de sus características hidráulicas con respecto al tiempo. Es decir, que en una4
  • 25. Capítulo I Introducciónsección dada el gasto, presión, velocidad, etc. permanecen constantes a lo largo del tiempo.Se dice que durante dicho intervalo el movimiento es permanente.El movimiento permanente es fácil de comprender, pero difícil de encontrar en la naturaleza.Si observamos un río durante varias horas, quizá tengamos la impresión que su caudal nocambia, pero en realidad hora a hora, minuto a minuto se están produciendo variaciones-aumentos o disminuciones- en el gasto y por lo tanto en la velocidad y en todas lascaracterísticas hidráulicas. Hay impermanencia.Podemos encontrar movimiento permanente en la descarga de una tubería que se alimentade un estanque cuyo nivel permanece constante (Figura 1.3). Nivel de la superficie libre Q Figura 1.3 Tipos de flujoSe denomina movimiento impermanente a aquel que, en una sección determinada, presentavariaciones de sus características hidráulicas a lo largo del tiempo. Así por ejemplo, siobservamos la descarga de una tubería, como la de la Figura 1.3, en la que ahora suponemosque el nivel de la superficie libre es variable (un nivel descendente correspondería a uncaso real) se tendría que el gasto, presión, velocidad, etc. en una sección cualquiera de latubería también serán variables con respecto al tiempo: se dice entonces que el flujo no espermanente. Es impermanente. Es variable.Hay otros casos de movimiento no permanente que podrían presentarse. Por ejemplo, enuna tubería en la que bruscamente cerramos una válvula situada en su extremo se produciráuna onda de sobrepresión que se propaga hacia aguas arriba. En una sección cualquierahabrá impermanencia porque las condiciones hidráulicas son variables con el tiempo. Estefenómeno de sobreelevación súbita de la presión se denomina golpe de ariete.Se dice que un tramo de canal o tubería tiene movimiento uniforme cuando las característicashidráulicas son las mismas -es decir, son constantes- para cualquier sección de dicho 5
  • 26. Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rochatramo. Así por ejemplo, una tubería de sección transversal constante que se alimenta deun estanque en el que el nivel se mantiene invariable, se dice que tiene movimiento uniformeporque en todas las secciones transversales son constantes la presión, velocidad, área, etc.El movimiento es variado cuando en un tramo cambia la sección transversal, velocidad,presión o cualquier otra característica hidráulica.Si la variación se produce en una pequeña longitud se dice que el movimiento es rápidamentevariado. Ejemplo típico sería la presencia de una grada en un canal. Sobre la grada hayfuerte curvatura de las líneas de corriente y rápida variación de la velocidad: es unmovimiento rápidamente variado, M. R. V. (Ver Figura 1.4).Se llama movimiento gradualmente variado a aquel en el que la variación de lascaracterísticas hidráulicas se produce suavemente, lentamente a lo largo de una granlongitud. De acá su nombre de gradual.Si tenemos un canal con movimiento uniforme en el que hay una grada o caída habrá unacierta extensión en la que se desarrolla un movimiento que es una especie de transición oempalme entre el movimiento uniforme, que hay en el canal fuera de la zona de influenciade la grada, y el movimiento rápidamente variado que, como se señaló anteriormente, seproduce sobre la grada. Ese tramo de transición o empalme es un movimiento gradualmentevariado M. G. V. (Figura 1.4) M. uniforme M. G. V. y Figura 1.4 Movimientos variadosEn el ejemplo de la Figura 1.4, el movimiento deja de ser uniforme cuando hay un cambioen el tirante y , por pequeño que sea este cambio. A partir de ese cambio el movimiento esgradualmente variado.No se puede establecer con precisión la sección en la cual un movimiento deja de sergradualmente variado para convertirse en rápidamente variado (M. R. V.).6
  • 27. Capítulo I IntroducciónHay muchos movimientos que estrictamente considerados son impermanentes o variados,pero que desde el punto de vista del ingeniero, interesado en la solución de un problemapráctico y real, se pueden considerar como permanentes y uniformes. El movimientorápidamente variado se estudiará para algunos casos específicos.Nuestro estudio incidirá preferentemente en el movimiento permanente y uniforme. Eséste el más frecuente en los problemas de ingeniería.Resumiendo los conceptos anteriores señalamos que la no uniformidad es la variación delrégimen de corriente con respecto al espacio y que la variabilidad es el cambio del régimende corriente con respecto al tiempo.Debe tenerse presente que en cualquier caso en el que se hable de cambio de velocidad,éste puede ser tanto en magnitud como en dirección.En los ejemplos anteriores caudal o gasto Q significa el volumen de fluido que pasa en launidad de tiempo por una sección determinada. Sus dimensiones son L3 T-1. Cuando secalcula el gasto por unidad de ancho se llama gasto específico. Sus dimensiones son L2 T-1.Para los fluidos compresibles la ley de conservación de la materia exige que la cantidad defluido que pasa por cada sección en la unidad de tiempo sea constante AV  constantesiendo la densidad del fluido, A el área de la sección transversal y V la velocidadmedia de la corriente. En el flujo incompresible la densidad es constante y la ecuación decontinuidad es A1V1  A2V2  Q  constante (1-3)A la relación entre el gasto y el área de una sección se le denomina velocidad media Q V (1-4) A1.5 Teorema de Bernoulli. Ecuación de la energíaLa forma más conocida del teorema de Bernoulli es V2 p ⌡ ⌡ z  constante (1-5) 2g 7
  • 28. Hidráulica de tuberías y canales Arturo RochaLa suma de los tres términos es constante a lo largo de una línea de corriente en unmovimiento permanente e irrotacional (para un fluido ideal).Cada uno de los tres términos tiene las dimensiones de una energía por unidad de pesodel fluido. V12 V22 2g 2g p1 Línea de corriente p2   E z1 z2 Plano de referencia 1 2 Figura 1.5 Teorema de BernoulliAl primer término V 2 2 g , se le conoce con el nombre de energía de velocidad o energíacinética y representa la altura desde la que debe caer libremente un cuerpo, que parte delreposo, para adquirir la velocidad V.Los otros dos términos son la altura de presión y la elevación. Su suma representa laenergía potencial y constituye la cota piezométrica.El teorema de Bernoulli significa que para una línea de corriente la suma de la energíacinética y la potencial es constante.En una tubería o en un canal cada línea de corriente tiene un valor propio para la suma deBernoulli. Su representación gráfica a lo largo de una línea de corriente es la siguienteEn un fluido ideal, (es decir sin viscosidad), la energía E en 1 es igual a la energía en 2.Para un fluido real habría una pérdida de energía entre 1 y 2. En realidad no es energíaperdida, sino transformada en calor debido a la fricción.La ecuación de la energía para un fluido real es entonces 2 2 V1 p V p ⌡ 1 ⌡ z1  2 ⌡ 2 ⌡ z 2 ⌡ h f (1-6) 2g 2g 1 28
  • 29. Capítulo I Introduccióno bien, E1  E2 ⌡ h f (1-7) 1 2V es la velocidad de la corriente, p la presión, z la elevación con respecto a un planohorizontal de referencia (los subíndices 1 y 2 corresponden a cada una de las dos seccionesconsideradas), es el peso específico del fluido, g la aceleración de la gravedad.E es la energía total, h f es la disipación (pérdida) de energía entre las secciones 1 y 2. 1 2En un flujo paralelo se tendrá que la energía potencial (presión más elevación) es constantepara toda la sección transversal. La diferencia de energía entre una línea de corriente yotra se debe a la variación de la velocidad. En un flujo paralelo la distribución de presioneses hidrostática.1.6 Propiedades geométricas de la sección transversalHemos señalado que hidráulicamente se denomina canal al contorno en el que elescurrimiento tiene una superficie libre en contacto con la atmósfera.Los canales pueden ser fundamentalmente de dos tipos: naturales y artificiales.Los canales naturales son los ríos, torrentes, arroyos, etc. Tienen sección transversal irregulary variable y su estudio corresponde a la hidráulica fluvial. El fondo esta constituido porpartículas sólidas en movimiento (arenas, limos, piedras, etc), y se le denomina lechomóvil. Ver Figura 1.15d.Los canales artificiales son construidos por el hombre. Tienen sección transversal regular.Si su alineamiento es recto se denomina canal prismático.Las tuberías son conductos a presión que pueden tener cualquier sección transversal.Radio hidráulico ( R ). Es la relación que existe entre el área transversal y el perímetromojado de un conducto hidráulico. A R (1-8) PPara una tubería de sección circular se tiene D R (1-9) 4 9
  • 30. Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rochaes decir, que el radio hidráulico es la cuarta parte del diámetro, lo que puede obtenersefácilmente a partir de la definición general de la ecuación 1-8.En un canal se debe tener en cuenta que sólo interviene el perímetro mojado, tal como semuestra en la Figura 1.6 T y A P (Perímetro mojado) Figura 1.6 Parámetros de la sección transversal de un canalTirante hidráulico ( d ) Es la relación que existe en un canal entre el área de la sección Ay el ancho superficial T . A d (1-10) TTirante ( y ) Es la distancia vertical del punto más bajo del fondo del canal hasta la superficielibre.Radio hidráulico en un canal muy anchoCuando el ancho b de un canal o río es mucho mayor que el tirante, se dice que es uncanal muy ancho. Esto permite hacer un cálculo más rápido y fácil del radio hidráulico. A  by y P  b ⌡ 2y by y b R  b ⌡ 2 y 1⌡ 2 y bFigura 1.7 Radio hidráulico en un canal muy ancho10
  • 31. Capítulo I Introducción yEn un canal muy ancho es muy pequeño y se puede considerar b R y (1-12)Es decir, que en un canal muy ancho el radio hidráulico es igual al tirante.1.7 Efecto de la viscosidadEl efecto de la mayor o menor viscosidad del fluido sobre las condiciones del escurrimientose expresa por el parámetro adimensional denominado número de Reynolds.El número de Reynolds ( Re ) tiene por expresión VL Re  (1-13)siendoV : velocidad media del escurrimientoL : longitud característica : viscosidad cinemática que es igual a la relación que existe entre la viscosidad dinámica o absoluta ( ) y la densidad del fluido ( )En una tubería se considera generalmente como longitud característica el diámetro de latubería VD Re Algunos autores, especialmente europeos, consideran como longitud característica el radiohidráulico VR Re y otros consideran como longitud característica el radio r de la tubería.En los canales se considera el radio hidráulico para la definición del número de Reynolds.La elección de la longitud característica es, pues, un asunto convencional. Cuando semenciona el número de Reynolds debe señalarse la forma en la que queda definido, o seaque se debe señalar cual es la longitud característica. 11
  • 32. Hidráulica de tuberías y canales Arturo RochaEl número de Reynolds representa la relación entre las fuerzas de inercia y las fuerzasviscosas. Se dice que el flujo es laminar cuando las fuerzas viscosas son más fuertes quelas de inercia. Caso contrario el flujo se denomina turbulento.El número de Reynolds que separa los escurrimientos laminares de los turbulentos sellama crítico y para una tubería cuyo número de Reynolds se define según el diámetrotiene un valor aproximado de 2 300. Si tuviéramos una tubería con flujo turbulento en laque paulatinamente se va disminuyendo la velocidad llegará un momento en el que el flujose hace laminar. Esto ocurre con un número de Reynolds de 2 300. Si tuviéramos el casoinverso, una tubería con flujo laminar en la que progresivamente se va aumentando lavelocidad, llegará un momento en el que el flujo se haga turbulento. Para este caso no hayun límite definido; puede ocurrir para un número de Reynolds de 5 000, 10 000, o más,dependiendo de la naturaleza de las perturbaciones exteriores.En un canal el número de Reynolds crítico está alrededor de 600, que correspondeaproximadamente a la cuarta parte del señalado para las tuberías. La explicación está enla ecuación 1-9.El flujo laminar se presenta con más frecuencia en los fluidos muy viscosos (aceite, petróleo).En el agua (que tiene pequeña viscosidad) es poco frecuente, salvo en el flujo a través demedios porosos. El movimiento turbulento es el más frecuente en los problemas deingeniería.La viscosidad absoluta o coeficiente de viscosidad dinámica, mide la relación entre unesfuerzo y una velocidad de deformación. Sus dimensiones son ML-1 T-1 en el sistemaabsoluto y FL-2 T en el sistema gravitacional.En el sistema M. F. S. se mide en kg.s/m2. En el sistema C. G. S. (absoluto) se mideen gr-masa, centímetros y segundos. La unidad es el poise 1 gr masa 1 poise  cm sLa viscosidad cinemática es la relación entre la viscosidad absoluta y la densidad . Sus dimensiones son L2 T-1. Su unidad es el stoke 1 stoke  1 cm 2 sEn la Figura 1.8, se muestra para diferentes fluidos la variación de la viscosidad con latemperatura.Las Figuras 1.8a, 1.8b y 1.8c han sido tomados del libro de Rouse, Hidráulica, EditorialDossat.12
  • 33. Capítulo I Introducción o o o -3 0 50 100 -3 10 10 8 8 Fuel Oil 6 Glicerina 6 (p.e. = 0,97) 4 Fuel Oil 4 (p.e. = 0,94) SAE 30 Helio 2 2 -4 Hidrógeno -4 10 10 8 SAE 10 8 6 Petróleo 6 crudo 4 (p.e. = 0,93) 4  2 Metano Amoníaco 2 Aire y oxígeno -5 -5 10 10 2 m 8 Anhidrido carbónico 8 s 6 6 4 4 Salmuera (20% NaCl) Petróleo crudo Kerosene (p.e. = 0,86) 2 2 -6 Benceno Alcohol etílico -6 10 10 8 8 6 Agua 6 4 Gasolina 4 (p.e. = 0,68) Tetracloruro de carbono 2 2 Mercurio -7 -7 10 o o o 10 0 50 100 T ºC Figura 1.8a Viscosidad cinemática en función de la temperatura para varios fluidos (p.e. es el peso específico relativo) 13
  • 34. Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha14
  • 35. Capítulo I Introducción1.8 Efecto de la gravedadEl efecto de la mayor o menor influencia de las fuerzas gravitacionales sobre las condicionesdel escurrimiento se expresa por el parámetro adimensional denominado número de Froude.El número de Froude ( F ) tiene por expresión V F (1-14) gLsiendoV : velocidad mediag : aceleración de la gravedadL : longitud característicaEl número de Froude se utiliza en canales y generalmente se considera como longitudcaracterística el tirante hidráulico d Por lo tanto V F (1-15) gdSiempre que el escurrimiento se produzca con superficie libre, es decir que alguna zona dela corriente no esta delimitada por el contorno, habrá influencia de la gravedad sobre todoel escurrimiento.El número de Froude representa la relación entre las fuerzas de inercia y las fuerzasgravitacionales. Los valores altos del número de Froude corresponden a pequeña influenciade la gravedad. Los autores franceses llaman a este parámetro adimensional número deReech-Froude.1.9 Concepto de distribución de velocidadesEn los canales y en las tuberías el flujo es esencialmente tridimensional. Para cada puntode la corriente, el vector velocidad tiene componentes en las tres direcciones.Para analizar la variación de velocidades en la sección tendremos en cuenta la forma de lasección transversal, pues la naturaleza y características geométricas del contorno definenbásicamente la curva de distribución de velocidades. 15
  • 36. Hidráulica de tuberías y canales Arturo RochaEn las tuberías el caso más simple corresponde a la sección circular. La influencia delcontorno es simétrica y perfectamente definida.En los canales el caso más simple corresponde a un canal de ancho infinito. Sólo hayinfluencia del fondo.Empezaremos por analizar este último caso. El flujo es bidimensional. En cada punto dela sección hay una velocidad particular ( Vh ). La velocidad es máxima en la superficie. Enel fondo la velocidad es mínima. El esquema característico de la distribución de velocidadeses el siguiente Vh y h Figura 1.9 Distribución de velocidades en un canalDenominamos Vh a la velocidad que existe a la distancia h del contorno (en este casodel fondo). La curva que expresa la relación entre Vh y h se llama curva de distribuciónde velocidades. En los siguientes capítulos estableceremos su ecuación.En un canal de ancho infinito la velocidad máxima está en la superficie. Pero en un canalrectangular angosto hay fuerte influencia de los lados y la velocidad máxima aparecedebajo de la superficie. Mientras más angosto es el canal mayor es la influencia de loslados y la velocidad máxima está más profunda con respecto a la superficie. Valores usualespara ubicar la velocidad máxima son los comprendidos entre 0,95 y y 0,75 y . Ver Figura1.15b.En una tubería la velocidad es máxima en el eje y mínima en el contorno, tal como semuestra en el esquema de la Figura 1.10. Para h  D 2 se obtiene la velocidad máxima.Se observa que los ejemplos de las Figuras 1.9 y 1.10 tienen algo en común: la velocidades cero en el contorno. Esto se debe a que hemos considerado fluidos reales (con viscosidad).16
  • 37. Capítulo I Introducción D D h= 2 Figura 1.10 Distribución de velocidades en una tuberíaLa distribución de velocidades depende, entre otros factores, del grado de turbulencia.Otros factores determinantes son el grado de aspereza (rugosidad) del contorno y elalineamiento del canal.Para números de Reynolds elevados se dice que existe turbulencia plenamente desarrolladay la distribución de velocidades tiende a hacerse uniforme, salvo en la zona próxima alcontorno donde los esfuerzos viscosos y el gradiente de velocidades son muy grandes.Así por ejemplo, en una tubería cuyo número de Reynolds fuera del orden de 1 ó 2 millonespodría tenerse la siguiente distribución de velocidades D Figura 1.11 Distribución de velocidades en una tubería con flujo turbulentoEn cambio, en un escurrimiento laminar el gradiente de velocidades es muy grande entoda la sección transversal y se tendrá una curva de distribución de velocidades de tipoparabólico (ver Figura 1.12).Para un fluido ideal, sin viscosidad, cuyo número de Reynolds sea infinito, la distribuciónde velocidades sería uniforme (Ver Figura 1.13).Para números de Reynolds muy altos, como el de la Figura 1.11, la distribución develocidades de un fluido real puede calcularse sin cometer mayor error, como si fuera unfluido ideal salvo en la zona próxima a las paredes. 17
  • 38. Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha D Figura 1.12 Distribución de velocidades en una tubería con flujo laminar D Figura 1.13 Distribución de velocidades en una tubería (fluido ideal)Debe tenerse presente que a partir de un cierto valor del número de Reynolds se obtieneturbulencia plenamente desarrollada. Un aumento en el número de Reynolds no conllevaun aumento del grado de turbulencia.En la Figura 1.9 se presentó la distribución vertical de velocidades en un canal muy ancho.Este es un caso particular. Tratándose de canales el caso más frecuente es el de lassecciones trapeciales o rectangulares, en las que no puede dejarse de considerar la influenciade las paredes, en las que la velocidad debe también ser nula. Se tendrá entonces unadistribución transversal de velocidades.Para ilustrar la distribución de velocidades en la sección transversal se indica en el esquemade la Figura 1.14 la sección de un canal en el que se ha dibujado las curvas que unen lospuntos de igual velocidad (isotacas). Esta velocidad se ha relacionado con la velocidadmedia. Así la curva que tiene el número 2 significa que todos sus puntos tienen una velocidadque es el doble de la velocidad media.En la Figura 1.15 se presentan con carácter ilustrativo las distribuciones de velocidadtípicas para diferentes secciones transversales.El alineamiento del conducto y la simetría de la sección también son factores determinantesde la curva de distribución de velocidades.18
  • 39. Capítulo I Introducción 2,0 1,5 1,0 0,5 Figura 1.14 Isotacas en un canal de sección trapecial 2,5 2,0 1,5 (a) Canal circular poco profundo 1,0 0,5 (b) Canal rectangular angosto 2,5 2,0 2,5 1,5 2,0 1,0 0,5 1,5 1,0 0,5 (c) (d) Canal circular parcialmente lleno Canal natural (río) Figura 1.15 Distribución de velocidades en diferentes secciones transversales 19
  • 40. Hidráulica de tuberías y canales Arturo RochaLa asimetría de la sección transversal produce corrientes secundarias, que se llaman asípor no seguir la dirección general de la corriente. Si el movimiento principal es a lo largodel conducto, entonces la corriente secundaria producida por una curvatura del alineamientose desarrolla en un plano normal y representa una circulación que al superponerse al flujoprincipal da lugar a un movimiento espiral o "en tornillo".Analicemos el caso que corresponde al cambio de dirección (codo) en una tubería. Laresistencia viscosa reduce la velocidad en el contorno dando como resultado que allí laenergía sea menor que en las capas adyacentes. Debido a la fuerte caída de presión quese produce en el contorno exterior hay un flujo secundario que se dirige hacia el exterior yque debe ser compensado por otro que se dirija hacia el interior. A A SECCION A - A Figura 1.16 Distribución de velocidades en un codoLa aspereza (rugosidad) de las paredes y su influencia sobre la distribución de velocidadesserá analizada en el capítulo siguiente. Damos una idea de su significado a través de laFigura 1.17 en la cual se presentan para una misma tubería dos distribuciones de velocidad,según que el contorno sea liso o rugoso. Liso Rugoso D Figura 1.17 Distribución de velocidades en contornos lisos y rugosos20
  • 41. Capítulo I IntroducciónA partir de la ecuación de distribución de velocidades se calcula el gasto Q  Vh dA (1-16)1.10 Coeficiente de CoriolisEl teorema de Bernoulli fue establecido para una línea de corriente. La ecuación 1-5 estableceque la suma de Bernoulli es constante a lo largo de una línea de corriente. Esto significaque cada línea de corriente tiene un valor propio para la suma de Bernoulli.Para cada línea de corriente, en una sección determinada, el valor de la velocidad es Vh 2y la energía cinética correspondiente es Vh 2 g . Pero, al ingeniero no le interesa trabajarcon líneas de corriente aisladas, sino con la totalidad del escurrimiento.Consideremos un flujo paralelo. En el flujo paralelo hay una distribución hidrostática de ppresiones y por lo tanto la suma ⌡ z , o sea la cota piezométrica, es idéntica para todaslas líneas de corriente y la variación que hay entre la suma de Bernoulli para las diferenteslíneas de corriente se debe al gradiente de velocidades.Para extender el teorema de Bernoulli a toda la sección transversal, habría que tomar el 2promedio de los valores de Vh 2 g . Como esto es difícil de hacer en la práctica, pues setendría que considerar un número infinito, o muy grande, de filetes, se busca unaequivalencia, o una aproximación, mediante el cálculo de la energía que corresponde a lavelocidad media.Evidentemente que esto no es exacto, por cuanto no es lo mismo el promedio de loscuadrados, que el cuadrado del promedio. De acá que el valor de la energía para toda lasección transversal, obtenido con la velocidad media, debe corregirse por medio de uncoeficiente que generalmente se designa con la letra y que recibe el nombre de coeficientede Coriolis ó coeficiente de energía.Para calcular el valor de pensemos en un tubo de corriente cuya velocidad es Vh , quetiene una sección transversal dA y por el que pasa un fluido cuyo peso específico es .La energía en general se expresa por QHAhora bien, para dicho tubo de corriente se puede aplicar la ecuación de continuidad 1-3 dQ  Vh dA 21
  • 42. Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rochay el valor de la energía cinética es 2 V H h 2gpara el tubo de corriente la energía resulta 2 V Vh dA h 2g dQ Hque equivale a 3 Vh dA 2y la energía de toda la sección transversal se obtiene integrando la expresión anterior 3 Vh dA 2Si hiciéramos un cálculo aproximado de la energía de toda la sección, considerando lavelocidad media se tendría V 3A 2para que este valor aproximado sea igual al correcto debe multiplicarse por un factor ocoeficiente de corrección al que se denomina V 3A  3 Vh dA 2 2de donde, 3 Vh dA  (1-17) V 3Aque es la expresión del coeficiente de energía o de Coriolis.Obsérvese que representa la relación que existe, para una sección dada, entre la energíareal y la que se obtendría considerando una distribución uniforme de velocidades.22
  • 43. Capítulo I IntroducciónPara canales prismáticos se tiene usualmente 1,03   1,36 (1-18)1.11 Coeficiente de BoussinesqEl cálculo de la cantidad de movimiento (momentum) de una corriente también se veafectado por la distribución de velocidades.El valor de la cantidad de movimiento obtenido para toda la sección transversal a partir dela velocidad media, debe corregirse por medio de un coeficiente que generalmente sedesigna con la letra y que recibe el nombre de coeficiente de Boussinesq o coeficientede la cantidad de movimiento.Para calcular el valor de pensemos en un tubo de corriente cuya velocidad es Vh que dA y por el que pasa un fluido cuyo peso específico estiene una sección transversal .Sabemos que en general la cantidad de movimiento se expresa por QVy para el tubo de corriente es 2 Vh dALa cantidad de movimiento de toda la sección transversal se obtendrá por integración de laecuación anterior 2 Vh dASi hiciéramos un cálculo aproximado de la cantidad de movimiento total a partir de lavelocidad media se tendría V 2Apara que este valor aproximado sea igual al verdadero debe multiplicarse por un factor ocoeficiente de corrección al que se denomina V 2A  Vh dAluego, 2 Vh dA  (1-19) V 2A 23
  • 44. Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rochaque es la expresión del coeficiente de cantidad de movimiento o de Boussinesq.El producto QV representa el caudal o flujo de la cantidad de movimiento en unasección dada.Para canales prismáticos se tiene usualmente 1,01   1,12 (1-20)1.12 Discusión de los valores de yDe acuerdo a lo expuesto anteriormente el coeficiente se usará en los cálculos en losque intervenga la energía y el coeficiente en los cálculos en los que intervenga lacantidad de movimiento.Así por ejemplo, si extendemos la ecuación de la energía a toda la sección transversalconsiderando como velocidad la velocidad media se obtiene 2 2 V1 p V2 p 1 ⌡ 1 ⌡ z1  2 ⌡ 2 ⌡ z2 ⌡ h f (1-21) 2g 2g 1 2Cada sección transversal en función de su distribución de velocidades tiene un valor de .Es evidente que el uso de los coeficientes y depende de la exactitud con la que seestén haciendo los cálculos. Ambos son siempre mayores que la unidad. En muchos casosse justifica, considerar  1 (1-22)Obsérvese que para la Figura 1.13 se cumple exactamente esta condición.A medida que el grado de turbulencia es mayor, o sea para números de Reynolds altos, ladistribución de velocidades se hace más uniforme y es más cierta la suposición  1.En lo sucesivo y salvo que se indique lo contrario se considerará la ecuación 1-22.Siempre se tendrá que  puesto que en la expresión de Vh V interviene al cuboy en la expresión de interviene al cuadrado.En el flujo laminar, dado el fuerte gradiente de velocidades, los valores de y songrandes. Se demuestra fácilmente que en una tubería con escurrimiento laminar24
  • 45. Capítulo I Introducción 4 2  (1-23) 3Para un canal muy ancho con fondo rugoso, se han obtenido las siguientes expresionespara los valores de y  1⌡ 3 2 2 3 (1-24)  1⌡ 2 (1-25)siendo Vmax  1 (1-26) Vexpresión en la que Vmax es el valor de la velocidad máxima.Como hemos señalado anteriormente los valores de y dependen del tipo de curvade distribución de velocidades, específicamente de la relación que existe entre la velocidadmáxima y la media tal como se expresa en las ecuaciones 1-24, 1-25 y 1-26.Según estudios hechos por Kolupaila se pueden considerar los siguientes valoresaproximados de y TABLA 1.1 VALORES APROXIMADOS DE Y (KOLUPAILA) Tipo de cauce Min. Prom. Max. Min. Prom. Max. Canales y acueductos 1,10 1,15 1,20 1,03 1,05 1,07 Ríos y torrentes 1,15 1,30 1,50 1,05 1,10 1,17 Ríos con áreas de inundación 1,50 1,75 2,00 1,17 1,25 1,331.13 Relación entre los coeficientes yConsiderando que la velocidad puntual Vh correspondiente a la distancia h del contorno,se puede expresar en función de la velocidad media de la siguiente manera 25
  • 46. Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha Vh  V ⌡ V (1-27)siendo V el exceso o defecto de la velocidad puntual sobre la media. Debe cumplirseque VdA  0 (1-28)Para que esta última expresión sea evidente, consideremos que Q  Vh dASi reemplazamos el valor de la velocidad puntual se obtiene Q  (V ⌡ V ) dA Q  VA ⌡ VdAde donde se concluye que la integral es nula.Para calcular el valor de evaluaremos la integral 3 1 Vh dA A Vque es la ecuación 1-17. V⌡ V 3 3 3 1 Vh 1 1 V dA  dA  1⌡ dA A V A V A V 2 3 1 V V V  1⌡ 3 ⌡3 ⌡ dA A V V V 2 3 3 V 3 V 1 V 1⌡ dA ⌡ dA ⌡ dA A V A V A VAhora vamos a analizar el segundo miembro. La primera integral no puede ser nula y essiempre positiva. La segunda integral es siempre nula en virtud de la ecuación 1-28. Latercera integral es generalmente muy pequeña y se desprecia, pues las diferencias con26
  • 47. Capítulo I Introducciónrespecto a la velocidad media están al cubo y tienden a compensarse entre los valorespositivos y negativos. Luego 2 3 V 1⌡ dA (1-29) A VPara calcular el valor hacemos un desarrollo similar y evaluamos la integral que seobtiene de la ecuación 1-19 2 2 1 Vh 2 V 1 V dA  1 ⌡ dA ⌡ dA A V A V A VLa primera integral del segundo miembro es evidentemente nula. Luego, 2 1 V 1⌡ dA (1-30) A VEliminando la integral común a las ecuaciones 1-29 y 1-30 se obtiene la relación entrey 1  3 1 (1-31)Expresión que evidentemente es aproximada.1.14 Otros estudios sobre los coeficientes yStrauss estudió el efecto de la forma de la sección transversal sobre los coeficientes y . Consideró que la distribución vertical de velocidades se expresa por una ecuación deltipo 1 Vh  kh n (1-32)expresión en la que k y n son parámetros característicos de la curva. h es la distanciaal contorno. Esta ecuación expresa todas las distribuciones posibles de velocidad paravalores de n comprendidos entre 1 e infinito, de modo que para cualquier distribución 27
  • 48. Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rochareal de velocidades se puede encontrar un valor apropiado de n . El valor de k no tieneninguna influencia sobre los valores de y .Combinando la ecuación 1-32 con un desarrollo basado en la consideración de tres factoresadimensionales descriptivos de la forma de la sección transversal Strauss obtuvo lasecuaciones genéricas de y (ecuaciones 1-33 y 1-34)Los factores adimensionales son H1 B B2    H B1 B1definidos de acuerdo al esquema de la Figura 1.18, que muestra la mitad de una seccióntransversal cualquiera de un canal. Obsérvese que se incluye la posibilidad de que el taludesta formado por dos pendientes diferentes. H1 H B B1 B2 Figura 1.18 Esquema de definición para las ecuaciones de StraussSegún la sección transversal se determinan los valores de , y con ayuda de laTabla 1.2.Las conclusiones a las que llega Strauss son las siguientes1. Para canales triangulares y rectangulares los valores de y son independientes del tamaño de la sección. Su valor es una función exclusiva de la distribución de velocidades.2. Para canales trapeciales los valores de y están influenciados además de la distribución de velocidades, por la relación entre el ancho en el fondo B y el ancho superficial B1 .28
  • 49. Capítulo I Introducción 29
  • 50. Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha TABLA 1.2 FACTORES ADIMENSIONALES PARA LAS ECUACIONES DE STRAUSS Factores adimensionales SECCION FORMA H1 B B2    H B1 B1 Rectángulo 1 0 1 1 H 1  0 ; B1  B2 ; B  B1 2 Triángulo 0 0 1 H 1  0 ; B  0 ; B1  B2 Trapecio 3 0 0  1 1 H 1  0 ; B1  B2 ; B  B1 Trapecio + Rectángulo 4 0 1 0 1 1 H1  H ; B  B1 ; B1  B2 Trapecio + Trapecio 5 0  1 1 1 H1  H ; B  B1 ; B2  B1 Triángulo + Rectángulo 6 0  1 0 1 H1  H ; B  0 ; B1  B2 Triángulo + Trapecio 7 0 1 0 1 H1  H ; B  0 ; B1  B2 Trapecio + Trapecio 0  1 0  1 1 8 H1  H ; B  B1 ; B1  B2 Semicírculo (sustituye al semioctógano) 9  0,4142 0,4142 1   tg 22º 30 ; B1  B2 Semicírculo + Rectángulo 10 0,414   1 0,4142 0,4142  tg ;  tg ; B1  B230
  • 51. Capítulo I Introducción3. Para canales de sección combinada (doble trapecio, trapecio más rectángulo, etc), los valores de y dependen de la forma de la sección expresada a través de los parámetros , y y de la distribución de velocidades en función de n.4. De las secciones estudiadas se encuentra que los menores valores de se presentan para secciones rectangulares y los mayores para la sección triangular.5. Teniendo en cuenta que en canales la distribución de velocidades es tal que puede describirse con la ecuación 1-32, para valores de n comprendidos entre 2 y 4, se tiene que los valores de están comprendidos entre 1,12 y 1,50.6. Valores experimentales para obtenidos en el río Danubio llegan a 1,34 y en canales con pequeña pendiente a 1,85.Papasov y Botcheva estudiaron los valores de y en ríos de Bulgaria de fondo móvily determinaron sus valores para diversas descargas y pendientes. Aunque el estudio delos lechos móviles corresponde a la Hidráulica Fluvial, damos una breve noticia sobreestas investigaciones.Los autores llegan a la conclusión que las deformaciones del fondo al alterar la distribuciónde velocidades modifican los valores usuales de y . Después de estudiar tres ríosbúlgaros llegan a 4 , 97 Vmax  1 ⌡ 0,056 V 4 ,82 V  1 ⌡ 0,047 max VFerrer y Fuentes estudiaron la variación del coeficiente de Boussinesq en un canal degasto variable realizando experiencias en un canal de laboratorio en la Universidad deChile. Llegaron a la conclusión que para este caso yc  1⌡ 0,29 bexpresión en la que yc es el tirante crítico para el gasto total y b es el ancho del canal. 31
  • 52. Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha1.15 Comparación del escurrimiento en una tubería y un canalComo una ilustración de la extensión del teorema de Bernoulli a toda la corriente, sepresenta comparativamente en la Figura 1.19 el escurrimiento en una tubería y un canal.Se ha considerado que h f es la energía perdida en el tramo considerado, con lo que enrealidad estamos usando la ecuación de la energía. El teorema de Bernoulli sólo es aplicablepara un fluido ideal. Se ha considerado que el coeficiente de Coriolis es 1.En la Figura 1.19, L. E. significa línea de energía y L. P. línea piezométrica o de gradientehidráulica.Ejemplo 1.1 Calcular el radio hidráulico y el tirante hidráulico para un canal de sección trapecialcuyo ancho en la base es de 3 m. El tirante es de 0,80 m y el talud 0,5. (El talud es la inclinación delos lados).Solución. T 1 y = 0,80 m 0,5 b=3mAncho superficial T  3,00 ⌡ 2 Ι 0,40  3,80 mPerímetro mojado P  3,00 ⌡ 2 Ι 0,894  4,79 mArea A  2,72 m2Radio hidráulico R  A P  2,72 4,79  0,57 mTirante hidráulico d  A T  2,72 3,80  0,72 mEjemplo 1.2 Obtener los coeficientes y para un canal rectangular muy ancho, aceptando unadistribución vertical de velocidades dada por la siguiente ecuación 1 Vh  kh nk es una constante, h es la distancia al contorno (ecuación 1-32).32
  • 53. Capítulo I Introducción(a) Tubería L. E. V1 2 hf 2g L. P. V22 2g p1  p2  z1 Plano de z2 referencia 1 2(b) Canal L. E. hf 2 V 1 2g p V22 = y  L. P. 2g y1 p=0 y2 Plano de z1 referencia z2 Ecuación de la energía: 2 2 p1 V1 p V ⌡ z1 ⌡  2 ⌡ z2 ⌡ 2 ⌡ h f 2g 2g Figura 1.19 Ecuación de la energía 33
  • 54. Hidráulica de tuberías y canales Arturo RochaSolución. Si aceptamos un ancho unitario se tendrá para el gasto específico la expresión dq  Vh dhreemplazando la velocidad, 1 dq  kh n dhEl gasto es q  Vh dh 1 y qk h n dh 0La velocidad media se obtiene dividiendo el gasto entre el área, 1 y q k h n dh V  0 y yReemplazando en la ecuación 1-17 3 y 3 Vh dh k3 h n dh   0 3 V 3A y 1 k h n dh 0 y y 1 3 ⌡1 3 ⌡1 3 1 ⌡1 ⌡ 2  n yn n 3 1 1 ⌡1 nDe donde,  1 ⌡ n 3 n 3 ⌡ n  2Haciendo un desarrollo similar se obtiene  1 ⌡ n  2 n2 ⌡ n 34
  • 55. Capítulo I IntroducciónEjemplo 1.3 La distribución vertical de velocidades en un canal muy ancho es la siguiente h (m) Vh (m/s) 0,05 1,06 0,10 1,24 0,30 1,52 0,50 1,65 0,70 1,73 0,90 1,80El tirante es y = 0,95 m.Calculara) el gasto específico qb) la velocidad media Vc) gráficamente la distancia h del fondo a la que la velocidad es igual a la velocidad media.d) el coeficiente de Coriolise) el coeficiente de Boussinesqf) los valores de y aplicando las ecuaciones 1-24 y 1-25 y comparar con los resultados anteriores.g) el número de Reynolds ( T = 18 °C)Solución. En primer lugar dibujaremos en un papel milimetrado la curva de distribución develocidades h (m) 1,80 0,15 1,73 0,20 1,65 0,20 0,95 m 1,52 0,20 0,125 1,24 1,06 0,075 V (m/s) Figura 1.20 Distribución vertical de velocidades (medición) 35
  • 56. Hidráulica de tuberías y canales Arturo RochaEl gasto se obtiene aplicando la siguiente expresión h y q Vh h h 0En el momento de dibujar la curva es necesario extrapolar ligeramente los valores recordando dosconceptos fundamentales: en un canal muy ancho la velocidad máxima esta en la superficie y lavelocidad mínima siempre está en el fondo.Dividimos luego la vertical en 6 partes, para cada una de las cuales suponemos un valor constantede la velocidad. Mientras mayor sea el número de partes, mayor será la exactitud; pero a su vez paraque tenga sentido real la división en un número elevado de partes debe haber datos numerosos. Laspartes no tienen que ser necesariamente iguales.a) Según la figura q  1,06 Ι 0,075 ⌡ 1,24 Ι 0,125 ⌡ 1,52 Ι 0,20 ⌡ 1,65 Ι 0,20 ⌡ 1,73 Ι 0,20 ⌡ 1,80 Ι 0,15 q  1,48 m3/s/m q q 1,48b) V    1,56 m/s A y 0,95c) De la Figura 1.20 se obtiene h = 0,35 md) Para calcular hacemos el siguiente cuadro Vh Vh3 A Vh3 . A 1,06 1,19 0,075 0,089 1,24 1,91 0,125 0,238 1,52 3,51 0,200 0,702 1,65 4,49 0,200 0,898 1,73 5,18 0,200 1,036 1,80 5,83 0,150 0,875 Vh3 A = 3,838 3,838   1,06 = 1,06 1,563 Ι 0,9536
  • 57. Capítulo I Introduccióne) Para el cálculo de hacemos un cuadro similar Vh Vh2 A Vh2 . A 1,06 1,12 0,075 0,084 1,24 1,54 0,125 0,192 1,52 2,31 0,200 0,462 1,65 2,72 0,200 0,545 1,73 2,99 0,200 0,599 1,80 3,24 0,150 0,486 Vh2 A = 2,368 2,368   1,024 = 1,02 1,56 2 Ι 0,95f) para la aplicación de las fórmulas aproximadas, empezaremos por calcular el valor de para lo que obtenemos del gráfico que, aproximadamente, la velocidad máxima es 1,80 m/s. Vmax 1,80  1 1  0,15 V 1,56  0,15 2  0,0225 3  0,003375 1⌡ 3 2 2 3  1,061  1,06 1⌡ 2  1,0225  1,02g) T  18 ºC;  10 6 m2/s VR 1,56 Ι 0,95 Re    1,482 Ι 10 6 10 6 37
  • 58. Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha PROBLEMAS PROPUESTOS (Capítulo I)1. Demostrar a partir de la Figura 1.18 que el gasto teórico en un canal se puede expresar por 2g( y hf ) Q  A2 2 A2 1 A1 En donde A1 y A2 representan las áreas de las secciones transversales respectivas. La diferencia de cotas piezométricas es y . La pérdida de energía entre 1 y 2 es h f .2. Calcular el valor de si = 1,23. Demostrar que suponiendo una distribución lineal de velocidades en un canal se obtiene =2 = 4/34. Demostrar que en una tubería de diámetro D con régimen laminar, cuya ecuación de distribución de velocidades es gS Dh h2 Vh  4 4 siendo h la distancia al contorno, la viscosidad cinemática del fluido y S la pendiente de la línea de energía; se cumple que =2 = 4/35. Demostrar que en una tubería cuyo radio es r y cuya distribución de velocidades es 1 h 7 Vh  1,23V r se cumple que = 1,07. Hallar el valor de .38
  • 59. Capítulo I Introducción6. Genéricamente la distribución de velocidades en una tubería de radio r se expresa por 1 h n Vh  Vmax r A medida que aumenta el número de Reynolds aumentan los valores de n . ¿Qué ocurrirá con los valores de ?7. Un líquido fluye entre paredes paralelas. La ley de distribución de velocidades es n h Vh  Vmax 1 d La separación entre las placas es 2 d . La velocidad V está medida a la distancia h del eje. Calcular los valores de y8. Resolver el problema anterior para una tubería con la misma ley de distribución de velocidades.9. En una tubería de radio ro , por la que circula aceite, la distribución de velocidades es r2 Vh  Vmax 1 2 ro r es la distancia del eje a la que la velocidad es Vh Hallar los valores de y10. En una tubería AB fluye aceite. El diámetro se contrae gradualmente de 0,45 m en A a 0,30 m en B. En B se bifurca. La tubería BC tiene 0,15 m de diámetro y la tubería BD 0,25 m de diámetro. C y D descargan a la atmósfera. La velocidad media en A es 1,80 m/s y la velocidad media en D es 3,60 m/s. Calcular el gasto en C y D y las velocidades en B y C.11. En una tubería de 6" de diámetro fluye aceite de densidad relativa 0,8. La viscosidad es 1 poise. El gasto es de 200 l/s. Calcular el número de Reynolds.12. Describir como varía el coeficiente de Coriolis con el número de Reynolds.13. Una tubería horizontal AB de 0,40 m de diámetro conduce 300 l/s de agua ( T = 20°C). La presión en el punto A es de 5 Kg/cm2 y en el punto B es de 3,5 Kg/cm2. La longitud de la tubería es de 850 m. Dibujar la línea piezométrica y la línea de energía. Calcular el número de Reynolds. 39
  • 60. Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha14. Una tubería horizontal de 8" de diámetro y 500 m de largo conduce 100 l/s de aceite de viscosidad 1 poise y peso específico relativo 0,8. La presión en el punto inicial es de 4 Kg/cm2 y en el punto final de 3 Kg/cm2. Dibujar la línea piezométrica y la línea de energía. Calcular el número de Reynolds.15. Una tubería AB de 0,80 m de diámetro conduce 1 m3/s de agua. La elevación del punto inicial A es 25,8 m y su presión es de 5 Kg/cm2. La elevación del punto final B es 20,2 m y su presión es de 2 Kg/cm2. La longitud de la tubería es de 1 Km. La temperatura es de 20 °C. Dibujar la línea piezométrica y la línea de energía. Calcular la presión de la tubería en el punto medio de la distancia AB.16. Una tubería tiene en su primer tramo 6" de diámetro y una velocidad de 3 m/s. El segundo 6" 8" tramo tiene 8" de diámetro. Calcular el gasto y la velocidad en el segundo tramo.17. Demostrar que en un estanque la energía por unidad de masa es constante para cualquier punto.18. Calcular para el ejemplo 1.3 cuál es la celeridad de una pequeña onda superficial que se forme en el canal. ¿Podrá esta onda remontar la corriente?. Calcular el número de Froude e interpretar los resultados (La celeridad ó velocidad relativa es gy ).19. Un tubo cónico vertical tiene entre sus D1 extremos 1 y 2 una pérdida de carga h f , igual a 1 h f  0,25 V1 V2  2 2g 8m V1 es la velocidad en el punto 1, es igual a 6 m/s. La velocidad en el punto 2 es 2 m/s. La longitud del tubo es de 8 m. La presión 2 en el punto 2 equivale a 10 m de agua. D2 Calcular la presión en Kg/cm2 en el punto 1.20. Se tiene una línea de conducción cuya sección inicial tiene un diámetro de 8" y una presión de 2 Kg/cm2. La sección final tiene un diámetro de 6", una presión de 1 Kg/cm2 y está 1,20 m por encima de la sección inicial. Calcular la pérdida de energía h f , entre ambas secciones. El fluido es petróleo crudo de peso específico relativo 0,93 y la temperatura es de 25°C.40
  • 61. Capítulo I Introducción21. Una tubería vertical de sección variable 12 cm conduce agua. El diámetro en la parte superior es de 12 cm y en la parte inferior 2 de 6 cm. La longitud es de 10 m. Cuando el gasto es de 80 l/s la diferencia de presión entre los manómetros instalados en las secciones 1 y 2 es de 2,5 Kg/cm 2 . 10 m Determinar cual es el gasto que debería pasar en esta tubería para que la diferencia de presiones entre 1 y 2 sea cero. 1 Considerar que la perdida de carga h f entre 1 y 2 es proporcional a la velocidad. 6 cm22. Las Figuras 1.10, 1.11, 1.12 y 1.13 presentan diferentes distribuciones de velocidad. Ordenarlas según valores crecientes del coeficiente de Boussinesq.23. Hacer un esquema que muestre la distribución vertical de velocidades en el eje del canal cuya sección se muestra en la Figura 1.14.24. Demostrar que para un canal triangular cuya distribución de velocidades está dada por la ecuación 1-32 se cumple que (2n2 ⌡ 3n ⌡ 1)3  4n 4 (2n 2 ⌡ 9n ⌡ 9) calcular el valor de para n = 2. Comparar con las ecuaciones de Strauss.25. Calcular el gasto en el sistema mostrado en la figura. El diámetro de la tubería es de 4". Las pérdidas de energía en el sistema equivalen a 4V 2 2 g . H = 10 m 41
  • 62. Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha26. Una tubería se estrecha de 12" en la sección 1 a 6" en la sección 2. La diferencia de presión entre ambas secciones equivale a 20 cm de mercurio. La pérdida de energía entre 1 y 2 es de 0,15V12 2 g . Calcular el gasto. ¿Cuál sería el gasto si se desprecian las pérdidas de carga?27. La sección transversal de una tubería circular se ha dividido en 10 áreas iguales por medio de círculos concéntricos. Se ha medido las velocidades medias en cada área, empezando por la velocidad en el centro. Los resultados en m/s son: 1,71; 1,70; 1,68; 1,64; 1,58; 1,49; 1,38; 1,23; 1,02; 0,77. Calcular los valores de y . Si el diámetro fuese de 0,80 m calcular el caudal.42
  • 63.     CAPITULO  MOVIMIENTO UNIFORME2.1 El movimiento uniforme en canales y tuberíasEl movimiento uniforme es el que se presenta más frecuentemente tanto en los cálculos detuberías como en los de canales.En el capítulo anterior hemos señalado que cada punto de la corriente tiene su propiavelocidad. Esto significa que existe una distribución de velocidades en la sección transversal.En este capítulo se establecerán las ecuaciones de distribución de velocidades y se obtendrápor integración las expresiones correspondientes a la velocidad media.En un canal con movimiento uniforme la profundidad  , el área  , la velocidad media y el gasto  son constantes en todas las secciones y la línea de energía, la superficie librey el fondo son líneas paralelas, de modo que sus pendientes son iguales (Figura 2.1)   0  (2-1)  es la pendiente de la línea de energía es la pendiente de la superficie libre 0 es la pendiente del fondoUna de las condiciones para que se desarrolle un movimiento uniforme en un canal es quela pendiente no sea excesivamente grande. 43
  • 64.       En la práctica es muy difícil encontrar un movimiento que sea estrictamente uniforme. Enmuchos casos el flujo en canales y ríos se considera, desde el punto de vista del ingeniero,como uniforme. 2 2  Figura 2.1 Movimiento uniforme en un canalSi la pendiente de un canal es muy fuerte aparecen ondulaciones superficiales y elmovimiento deja de ser uniforme. En algunos casos las altas velocidades dan lugar a queel agua atrape y arrastre partículas de aire, que constituyen el aire incorporado y quealteran la uniformidad del escurrimiento.En una tubería con movimiento uniforme el área, la velocidad y gasto son constantes entodas las secciones y la línea de energía es paralela a la línea piezométrica (obsérveseque estas líneas no son paralelas al eje de la tubería) (Figura 2.1). A la línea piezométricase le denomina también línea de gradiente hidráulica y se designa como  . es elángulo formado por el eje de la tubería y el plano horizontal de referencia,  es la presión, el peso específico del fluido,  la elevación con respecto al plano horizontal de referencia. es la energía total. Los subíndices se refieren a cada una de las dos secciones.En una tubería se denomina   , pendiente de la línea de energía, a la relación entre ladiferencia de energía entre dos secciones y la distancia entre las mismas, medida a lolargo de la tubería. 1 2  1  2 (2-2)  44
  • 65.     12     2 1-2  22 1 2  1 2 1  2  2  1 Plano de 2 referencia 1 2 Figura 2.2 Movimiento uniforme en una tuberíaEn el movimiento uniforme, por ser la velocidad constante, se considera como diferenciade energía la correspondiente a la diferencia entre las cotas piezométricas. La línea deenergía y la línea piezométrica son paralelas.    1 2 1 2  (2-3) El fluido en movimiento ejerce fricción sobre el contorno. Para la obtención de las ecuacionesde distribución de velocidades se buscará, en primer lugar, establecer una relación entre elesfuerzo de corte y la inclinación de la línea de energía. Luego, una relación entre lavelocidad y el esfuerzo de corte, para obtener finalmente, eliminando el corte, una funciónque relacione la velocidad con la inclinación de la línea de energía. En este desarrollo sesigue el método presentado por el Profesor Thijsse, en Delft (Holanda).Todo el desarrollo de este capítulo se refiere al movimiento permanente y uniforme. Eneste capítulo se considera que el coeficiente de Coriolis es igual a 1. 45
  • 66.       2.2 Relación entre el corte y la inclinacióna) Canal muy anchoEn la Figura 2.3 se representa el perfil longitudinal de un canal muy ancho con movimientouniforme. 2 2  Figura 2.3 Esfuerzo de corte en un canal muy anchoRecordemos que en el movimiento uniforme las tres pendientes son iguales y se designancon la letra  (ecuación 2-1).  es la componente del peso, de la parte achurada, en ladirección del escurrimiento,  es la distancia variable entre el fondo y la parte inferior dela porción achurada, cuya longitud es .Como es un canal muy ancho consideramos el escurrimiento por unidad de ancho (medidoperpendicularmente al plano del dibujo).Para el elemento fluido achurado se tiene que su volumen es (  ) y su peso es  (  ) El producto de la densidad por la aceleración  de la gravedad es igual al pesoespecífico .46
  • 67.    La componente del peso en la dirección del escurrimiento es  (  )  Como el ángulo , formado por el fondo y un plano horizontal de referencia, es pequeñose considera que   luego,  (  )  En el movimiento uniforme no hay aceleración. La distribución de presiones es hidrostática.Las fuerzas debidas a la presión se compensan y la componente del peso en la direccióndel escurrimiento debe ser equilibrada por el corte total, que es el producto del esfuerzounitario de corte  por el área en que actúa    (  )  De donde, la relación entre el corte y la inclinación es  (  )  (2-4)El esfuerzo de corte sobre el fondo se obtiene para  =0   (2-5)Como en un canal muy ancho el tirante es igual al radio hidráulico   (2-6)Se llega así a la conclusión que el esfuerzo de corte sobre el fondo es igual al producto delpeso específico del fluido, por el radio hidráulico y por la pendiente (de la línea de energía).b) Canal de cualquier sección transversalEl caso anterior es hipotético pues corresponde a un canal de ancho infinito. En la prácticalos canales son rectangulares, trapeciales, circulares, etc. Todas estas formas diversas seesquematizan en la Figura 2.4.Se muestra en la figura dos secciones de un canal, ubicadas a una distancia  . Para lasmismas condiciones anteriores se tiene que la componente del peso de la masa fluida, enla dirección del escurrimiento es    47
  • 68.        es la densidad del fluido,  la aceleración de la gravedad,  la sección transversal, la pendiente.   Figura 2.4 Esfuerzo de corte en un canal de cualquier sección transversalEsta fuerza debe ser equilibrada por el corte total (en este caso el esfuerzo de corte sobreel fondo no es constante), que tiene por expresión  0   es el perímetro mojado, 0 es el esfuerzo de corte sobre el fondo.o bien, aproximadamente  0 Igualando la componente del peso y el corte total se obtiene     0o bien, 0  (2-7)Observamos que las ecuaciones 2-6 y 2-7 son iguales. Esto significa que el esfuerzo mediode corte sobre el fondo en un canal es igual al producto del peso específico del fluido, porel radio hidráulico y por la inclinación de la línea de energía.48
  • 69.    c) Tubería de sección circular   2 2 1  2  Figura 2.5 Esfuerzo de corte en una tuberíaEn la Figura 2.5 se muestra un corte longitudinal en una tubería de sección circular dediámetro  .Consideremos el cilindro coaxial mostrado en la figura.  es el ángulo que forma el eje dela tubería con la horizontal.La fuerza debida al corte (fricción) es igual a la fuerza debida a la diferencia de presiones.La fuerza debida al corte es   2   2expresión en la que  es el esfuerzo de corte a la distancia  del contorno (en este caso,de la pared de la tubería).La fuerza debida a la diferencia de presiones y al peso es   2 2 ( 1 2 )     2 2 49
  • 70.       operando,  1 2 2    2pero,   1 2luego,  1 2 2  1 2 2teniendo en cuenta que, 1 2 1 2 se obtiene para la fuerza debida a la diferencia de presiones y al peso  2   2que debe ser igual a la fuerza de corte,   2 2     2 2de donde, la relación entre el corte y la inclinación es     (2-8) 4 2El esfuerzo de corte sobre el fondo se obtiene para  0    4pero la expresión  4 representa el radio hidráulico de la tubería circular. Luego,   (2-9)50
  • 71.    Para una tubería de cualquier sección transversal se obtiene mediante consideracionesanálogas 0 En resumen, tanto para canales como para tuberías el corte medio sobre el fondo es 0  (2-10)Obsérvese que esta ecuación es válida tanto para el flujo laminar como para el turbulento.Examinemos brevemente la distribución transversal del esfuerzo de corte.La distribución del esfuerzo de corte en un canal es lineal: máximo en el fondo y nulo en lasuperficie.En una tubería el esfuerzo de corte es máximo en las paredes y nulo en el centro ycorresponde a la ecuación 2-11 en la que  es el radio de la tubería.   (a)      (b) Figura 2.6 Distribución del esfuerzo de corte (a) en un canal y (b) en una tubería 51
  • 72.       La ecuación de distribución de corte es    1 (2-11) que se obtiene combinando las expresiones 2-8 y 2-9.Se observa que si    2 (eje de la tubería), entonces  0. Si  0 se tiene que  0 (contorno).2.3 Ecuaciones de distribución de velocidades y de la velocidad media para un canal muy ancho con movimiento laminarEn un canal como el presentado en la Figura 2.7 se tiene que a una distancia  delcontorno existe un valor de la velocidad (  ) y un valor del corte (  ). La relación entre y  depende de que el flujo sea laminar o turbulento.Para el flujo laminar la relación entre el esfuerzo de corte y la velocidad es muy conociday corresponde a la definición de viscosidad.   (2-12) Combinando esta ecuación con la 2-4,  (  )  dividiendo por ,   (  )  separando variables,     e integrando, se obtiene  2    252
  • 73.    Expresión en la que  es la velocidad a la distancia  del fondo,  es la pendiente de lalínea de energía, es la viscosidad cinemática,  es el tirante,  es una constante deintegración.El valor de la constante de integración se obtiene para la condición que la velocidad esnula en el contorno (  0 ;  0;  0 ), luego,  2   (2-13) 2que es la ecuación de distribución de velocidades en un canal muy ancho con flujo laminar.Es una curva parabólica.  Parábola      Figura 2.7 Distribución de velocidades en un canal con movimiento laminarLa velocidad máxima corresponde a la superficie (  )  2   (2-14) 2La velocidad media se puede obtener a partir del gasto, calculado por integración de laecuación de distribución de velocidades. Sin embargo, como la curva de distribución esparabólica se puede obtener la velocidad media por simple aplicación de las propiedadesgeométricas de la parábola.Según la Figura 2.7 2    3 53
  • 74.       Puesto que el área de la parábola es igual a los 2/3 del rectángulo circunscrito.  es elgasto específico (por unidad de ancho).Pero también se tiene que,  Luego, 2   3 2  2   32  2  (2-15) 3Que es la fórmula para el cálculo de la velocidad media en un canal con flujo laminar y queevidentemente equivale a  2  (2-15) 3Obsérvese que en el movimiento laminar la velocidad es proporcional a la primera potenciade la pendiente.En la Figura 2.7 se observa que la velocidad superficial corresponde a la condición  0 Evidentemente que también puede hacerse el cálculo por integración.       0calculado  se obtiene por división entre el área  , el valor de la velocidad media, que esel de la ecuación 2-15.54
  • 75.    2.4 Ecuaciones de distribución de velocidades y de la velocidad media para una tubería con movimiento laminarCombinado las ecuaciones 2-8 y 2-12 se obtiene      4 2de donde, luego de separar variables e integrar, se llega a    2   4 4El valor de la constante de integración se obtiene para las condiciones del contorno (  0; 0;  0 ). Luego,   2  (2-16) 4 4que es la ecuación de distribución de velocidades para una tubería con movimiento laminar.La velocidad máxima se presenta en el eje y corresponde a  4   2  (2-17) 16La velocidad media puede obtenerse por integración de la ecuación 2-16, pero en estecaso aplicamos la propiedad geométrica que dice que el volumen de un paraboloide es lamitad del cilindro circunscrito.Luego, 1   2En una tubería con flujo laminar la velocidad media es igual a la mitad de la velocidadmáxima; es decir,   2  (2-18) 32 55
  • 76.       que es la conocida ecuación de Hagen - Poiseuille. Si expresamos esta ecuación en funcióndel radio hidráulico, tenemos  2   (2-19) 2expresión que es muy parecida a la ecuación 2-15, que fue establecida para un canal. Enun caso el denominador es 2 y en otro 3. Podríamos concluir que cualquier otra seccióntransversal intermedia entre los dos casos extremos estudiados (canal muy ancho y tuberíacircular) debe tener en el denominador un valor comprendido entre 2 y 3.  2  (2 á 3)La velocidad media también podría haberse obtenido por la integración de la ecuación 2-16  /2    2    0 2de donde,  4  128y,     2 / 4obteniéndose el valor de la ecuación 2-18Mediante sencillas transformaciones de la ecuación 2-18 se obtiene que la diferencia decotas piezométricas separadas por la longitud  a lo largo de la tubería es 32  (2-19a) 2Ejemplo 2.1 Se bombea petróleo crudo en una tubería horizontal de 6 cm de diámetro. El gasto esde 25 litros por minuto. Se ha verificado que entre dos manómetros colocados en la tubería a unadistancia de 1 000 m hay una diferencia de presión de 0,103 Kg/cm2 . Calcular la viscosidad delpetróleo. Determinar aproximadamente y con ayuda de la Figura 1.8 cual sería la variación en elgasto si la temperatura disminuye a 0 ºC. Considerar que la diferencia de presiones permanececonstante.56
  • 77.    Solución. Por ser una tubería horizontal en la que supondremos un régimen laminar, 32  1 2 (2-19a) 21 y 2 son las presiones en las dos secciones de la tubería. 1 2 = 0,103 kg/cm2 = 1030 kg/m2  = 25 l/min = 0,000417 m3/s 2  = 0,00283 m2 4   = 0,147 m/s Luego, 32  0 147 1 000 1 030 36 10 4De donde, = 7,9 x 10-4 kg-s/m2Ahora debemos verificar el número de Reynolds para comprobar que el flujo es laminar. La viscosidaddinámica que hemos obtenido corresponde, según la Figura 1.8, a un petróleo crudo cuya densidadrelativa es 0,86. Luego, = 9 x 10-6 m2/s  0147 006 Re 980 9 10 6El flujo es, pues, efectivamente laminar y corresponde a una temperatura de 20 ºC (aprox.)Si la temperatura disminuye a 0 ºC, entonces = 1,6 x 10-3 kg-s/m2Aplicando nuevamente la ecuación 2-19a 32 16 10 3  1 000 1 030 36 10 4Se obtiene,  = 0,0724 m/sque es la nueva velocidad media al disminuir la temperatura (y aumentar la viscosidad). 57
  • 78.       El nuevo gasto es  = 12,3 l/minLa reducción es de 12,7 l/min, que representa el 50,8 %Ejemplo 2.2 Demostrar que en un canal con flujo laminar se puede calcular la velocidad mediapromediando las velocidades a 0,2 y 0,8 del tirante.Solución. Partimos de la ecuación 2-13, que nos da la distribución de velocidades en un canal conflujo laminar  2   2Luego aplicamos esta ecuación a los dos tirantes mencionados 0,8   0,64  2  0 , 8 0,8  2 0,48 2 2 0,2   0, 2 0,18 2 El promedio de estos dos valores es 0,33  2 , expresión que es prácticamente igual a la ecuación2-15 que nos da la velocidad media en un canal con flujo laminar  2   3Ejemplo 2.3 Se bombea aceite a razón de 14 l/s en una tubería de 10 cm de diámetro. La densidadrelativa del aceite es 0,92 y la viscosidad es 0,01 kg-s/m2. ¿Cuál será la diferencia entre las lecturasde los manómetros de los puntos A y B mostrados en la figura?. ¿Cuál es la velocidad máxima quese presenta en la tubería? A 3m B58
  • 79.    Solución. Supongamos que el flujo es laminar (ecuación 2-19)  2  2Para aplicar esta ecuación tenemos los siguientes datos   = 1,78 m/s  = 1,07 x 10-4 m2/sLuego,  Re = 1 664con lo que se confirma que el flujo es laminar. Despejamos ahora la pendiente  2   = 0,0619 2o bien,  = 0,0619   = 0,0619 x 300 = 18,57 m La diferencia de cotas piezométricas es, pues, de 18,57 m. Como la diferencia de elevaciones es de3 m se concluye que la diferencia de presiones debe equivaler a 15,57 m Luego,  = 920 x 15,57 x 10-4 = 1,43 kg/cm2La velocidad máxima, según la ecuación 2-17, es   2  16  = 3,55 m/sValor que efectivamente corresponde al doble de la velocidad media (como debe ser en el régimenlaminar).Ejemplo 2.4 Demostrar que en una tubería circular con flujo laminar se cumple que,   1       expresión en la que  es la velocidad a la distancia  del eje  , es la viscosidad dinámica y  es el gradiente de presiones.  59
  • 80.       Luego, integrando la expresión anterior, demostrar que si se desarrolla un flujo laminar en el espaciocomprendido entre dos tuberías concéntricas de radios 1 y 2 , entonces la velocidad máxima sepresenta al radio  2 1 2  1  2 ln  1Solución. Consideremos un elemento anular de espesor  , ubicado al radio  y cuya velocidad es . Consideremos también, longitudinalmente, una distancia  , en cuyos extremos hay presiones1 y 2 cuya diferencia es  . Se cumple así que,     2 1 2 1  1  2 La fuerza debida a la diferencia de presiones es igual al área del anillo por la diferencia de presiones  2   (1) La fuerza de corte sobre el anillo es igual a su área por el esfuerzo de corte 2   o bien,  2   Como el flujo es laminar se ha introducido la ec. 2-12.La variación de la fuerza de corte con el radio  es   2     60
  • 81.    y la fuerza total sobre el anillo se obtiene multiplicando esta expresión por    2     (2)  Las ecuaciones 1 y 2 deben ser iguales    2   2       de donde,   1       Integrando dos veces la ecuación obtenida se encuentra la velocidad    2     2       2    2    ln   4 Por condición de contorno se obtiene dos ecuacionesSi  1 , entonces  0Si  2 , entonces  0 12   ln 1  4  22   ln 2  4 de donde, 12 22  (ln 2 ln 1 ) 4  12 22  1  4  ln 2 1 La velocidad es máxima cuando 0  61
  • 82.            0  2    2  12 22  1 0 2  4  ln 2 1 12 22 1 2 1 2 12  ln 2 1obteniéndose finalmente 2 1 2  1 siendo  2 ln  12.5 Ecuación general de distribución de velocidades para el movimiento turbulento en un contorno hidráulicamente lisoEl desarrollo que se presenta a continuación corresponde al expuesto por el profesor Thijsse,en Delft.La determinación de la distribución de velocidades en el flujo laminar se hace, como lohemos visto, recurriendo únicamente a consideraciones teóricas.Para hallar las ecuaciones correspondientes en el movimiento turbulento habrá que recurrirademás a información experimental.Así pues, las ecuaciones de distribución de velocidades en el flujo turbulento se calculanen base a estudios teóricos y experimentales de algunos investigadores hidráulicos, entrelos que los más importantes son Prandtl, von Karman y Nikuradse.Para obtener la ecuación de distribución de velocidades debemos establecer previamenteuna relación entre el corte y la velocidad.Partiendo de la expresión de Reynolds, que nos da la tensión tangencial adicional presenteen el flujo turbulento y que es     y  son las fluctuaciones de la velocidad en un punto (flujo bidimensional), es ladensidad del fluido.Prandtl introduce una longitud característica  , a la que llama longitud de mezcla. Estalongitud representa la distancia media que tiene que recorrer una partícula para transferir o62
  • 83.    perder su exceso de cantidad de movimiento. Este concepto de longitud de mezcla esanálogo al de recorrido libre medio de la teoría cinética de los gases.Prandtl consideró que    es proporcional a o     o o    es proporcional a o     o oy por lo tanto,  2  2 (2-20) expresión para el flujo turbulento, que consideramos correspondiente a la ecuación 2-12,que es para el flujo laminar.De la ecuación 2-20 obtenemos    (2-21) Examinaremos a continuación lo que ocurre en un canal y en una tubería.a) Canal muy anchoDebemos establecer para este caso una relación entre  y la profundidad. La condición esque la longitud de mezcla debe ser cero tanto en el fondo como en la superficie. Estopuede expresarse por medio de 1  2   1 (2-22)  es la constante de Karman, para la que aceptamos el valor de 0,4 (sin sólidos ensuspensión).Reemplazando este valor de la longitud de mezcla en la ecuación 2-21, obtenemos 1  2   1   63
  • 84.       sustituyendo ahora el valor de  según la ecuación 2-4 1 (  )   2  1  simplificando,    separando variables,    (2-23) Hemos llegado a esta ecuación a partir de una definición de la longitud de mezcla, dadapor la ecuación 2-22. Hay otras definiciones para la longitud de mezcla, que buscan tambiénuna concordancia entre los resultados teóricos y las mediciones observadas. Sin embargoacá nos limitamos a presentar la teoría de Karman – Prandtl.  que es igual a 0La expresión recibe el nombre de velocidad de corte, * 0  (2-24)Luego reemplazando en 2-23 *   integrando   ln   (2-25)Evidentemente que esta ecuación no es válida hasta el fondo porque allí para  0,ln 0 , lo que es inadmisible. Aceptaremos que la ecuación 2-25 sólo es válida hastauna cierta distancia muy próxima al fondo.Consideremos entonces que la constante de integración, cuyo valor estamos tratando dehallar, tiene la forma64
  • 85.     *  ln 00 representa la distancia del fondo a la cual, según la ecuación 2-25, la velocidad es cero.Reemplazando en la ecuación 2-25 el valor propuesto para la constante de integración seobtiene *   ln (2-26) 0La imposibilidad de llevar hasta el contorno la validez de la ecuación 2-25 nos hace pensarque algo ocurre cerca de las paredes. Se supuso y esta es la esencia de la teoría dePrandtl, que para el caso de un fondo liso se desarrolla cerca al fondo una delgada capa enla que el flujo es laminar. Es decir, que la distribución de velocidades en esta subcapa esdiferente a la que estamos aceptando para el resto de la sección.En el capitulo III presentamos con más detalle el concepto de capa límite y la aparicióndentro de ella de una subcapa laminar.El espesor de esta subcapa laminar se designa con la letra Ecuación 2-26 Ecuación 2-27 Fondo liso  Figura 2.8 Subcapa laminarVamos a admitir que dentro de esta subcapa laminar el esfuerzo de corte es constante eigual al esfuerzo de corte sobre el fondo (  0, para  ). 65
  • 86.       En el flujo laminar el corte es   reemplazando  0 y separando variables,  0 0 *2 integrando, *2   La condición de velocidad nula en el fondo determina que  0Luego *2   para 0  (2-27)Tenemos ahora dos ecuaciones de distribución de velocidades: la 2-26, que es para el flujoturbulento y la 2-27 que es para el flujo laminar que se desarrolla cerca al fondo en unacapa cuyo espesor, muy delgado, es , y se designa con el nombre se subcapa laminar.En este caso particular y por ser muy delgada la capa, la consecuencia de haber consideradoque dentro de ella el corte es constante es que la distribución de velocidades es lineal y noparabólica (como correspondería a un movimiento laminar). Ver Figura 2.8.Evidentemente que para  ambas ecuaciones deben coincidir *2  (flujo laminar) *  ln (flujo turbulento) 0igualando estos dos valores se obtiene *2 * ln (2-27a) 0Para determinar el valor de se realizó una combinación de consideraciones teóricas y66
  • 87.    experimentales a partir de la aceptación que la distribución de velocidades en un conductoliso es una relación entre dos parámetros adimensionales   ; * tal como se ha visto en la ecuación 2-27 para el flujo dentro de la subcapa laminar. Sillevamos estos valores a un gráfico semilogarítmico representado para el flujo laminar losvalores de la ecuación 2-27 y para el flujo turbulento valores experimentalmente medidosse tiene 100 000  * 10 000 1 000 100 10 0 *  0 5 10 11,6 15 20 25 30 35  Figura 2.9 Relación entre parámetros adimensionales para el cálculo de la distribución de velocidadesObviamente la intersección de las dos curvas marca el límite de aplicación de cada una deellas y resulta ser 11,6; luego *  11,6a ese valor de  se le denomina . Luego * 11,6 (2-28) 67
  • 88.       Reemplazando este valor en el primer miembro de la ecuación 2-27a *2 11,6 * ln * 0 ln 11,6 0El valor de , constante de Karman es de 0,4 ln 4 64 0 0 (2-29) 104si reemplazamos este valor en la ecuación 2-26 se obtiene * 104  ln (2-30)que es la ecuación de distribución de velocidades en un contorno hidráulicamente liso.Posteriormente señalaremos cuando se dice que un contorno es hidráulicamente liso.Para la distribución de velocidades en una tubería se obtendrá una expresión idéntica,como se demuestra a continuación.b) TuberíaEn este caso la longitud de mezcla tiene por expresión 1 2 2  1 (2-31) reemplazando este valor y el de la distribución del esfuerzo de corte en una tubería, ecuación2-8, en la ecuación 2-21, se obtiene luego de algunas sustituciones una ecuacióncorrespondiente a la 2-23, con lo que el desarrollo continúa igual.La ecuación 2-30 es, pues, de carácter general para un conducto, canal o tubería, cuyasparedes sean hidráulicamente lisas, demostrándose así que la distribución de velocidadesen el flujo turbulento es logarítmica.68
  • 89.    Se observa que la ecuación 2-30 corresponde a una relación entre dos parámetrosadimensionales.   ; * que guarda correspondencia con lo expuesto anteriormente, por cuanto,  * 2.6 Obtención de las ecuaciones de la velocidad media en conductos lisosEn general los contornos pueden ser lisos o rugosos. El contorno hidráulicamente liso esaquel que permite el desarrollo de una subcapa laminar.a) Canal muy anchoPor integración de la ecuación 2-30 obtenemos el gasto específico para un canal muyancho. Luego, dividiendo el gasto entre el área obtendremos la velocidad media.     Los límites de la integral los fijamos de acuerdo a la extensión de la validez de la ecuaciónde  . Es decir, para el flujo turbulento despreciamos la pequeñísima porción quecorresponde al flujo laminar.   * 104  ln    *  ln104  ln   ln  *   ln 104   ln   ln Reemplazamos los límites 69
  • 90.          Se obtiene *   ln104    lnConsideramos ahora que,   *    ln 104 1 ln * 104  * 38,3    ln  ln   * 38,3   ln  * 38,3   lnque es la ecuación que nos da la velocidad media en un canal muy ancho con fondohidráulicamente liso y que evidentemente equivale a * 38,3  ln (2-32)En el desarrollo que nos ha permitido llegar a esta expresión se ha hecho, entre otras, lasimplificación de suponer   , lo que, naturalmente, no es rigurosamente exacto.De otro lado debemos recordar que al fijar los límites de integración hemos despreciado elflujo a través de la subcapa laminar.b) TuberíaEl gasto es     2    270
  • 91.    el gasto total se obtiene por integración a partir del flujo a través de un pequeño anillo de espesor  , cuya distancia al contorno es  . El perímetro es 2  y el área 2 elemental correspondiente es 2   . 2        Figura 2.10 Flujo a través de un anillo  /2  * 104  2  ln   2 * /2  104  2  ln  2Como límites de la integral fijamos  (despreciando así el flujo a través de la subcapalaminar) y   / 2 (eje de la tubería). Obsérvese que se ha determinado los límites deintegración en función del campo de validez de la fórmula (flujo turbulento).    104 104 2  2 * ln   ln  2la primera integral ya ha sido evaluada, luego,       2 2 *  ln104  ln   ln   ln104   ln    ln  2 2 2 2 71
  • 92.       desarrollando y simplificando convenientemente obtenemos *  2 104   2 ln 3 / 2 8 2   * 104   ln  2 / 4 2 3 / 2sustituyendo  4 * 46,4   ln (2-33)que es la ecuación que nos da la velocidad media de una tubería hidráulicamente lisa.Obsérvese que las ecuaciones 2-32 y 2-33 son muy similares. Representan un conceptofundamental, la relación entre dos parámetros adimensionales.   *Lo mismo ocurre con la ecuación de distribución de velocidades (2-30)   *En ambos casos la función es logarítmica por ser un flujo turbulento.2.7 Ecuación general de distribución de velocidades para el movimiento turbulento en un contorno hidráulicamente rugosoEn un contorno hidráulicamente rugoso las asperezas del fondo, o sea las protuberanciasde su superficie, son tan grandes comparativamente con que no permiten el desarrollode una subcapa laminar.Vamos a partir de la ecuación 2-26 cuya validez es genérica e independiente de la naturalezadel fondo (liso o rugoso) *   ln 0Exagerando el tamaño de las asperezas del fondo tendríamos72
  • 93.     Ecuación 2-26 Figura 2.11 Distribución de velocidades en un contorno rugosoSe observa en la Figura 2.11 que no es posible que se desarrolle la subcapa laminar.El estudio experimental del comportamiento de las tuberías rugosas fue hecho por Nikuradse,quien utilizó en realidad rugosidad artificial y homogénea. Trabajó con tuberías en cuyasuperficie interior colocó una capa de arena de diámetro uniforme  . Repitiendo lasexperiencias para diversos diámetros y valores de  llegó a la conclusión que la validezde la ecuación 2-26 puede extenderse hasta  0 (2-34) 30siendo  el tamaño absoluto promedio de las irregularidades (asperezas) del fondo y quetiene un valor particular para cada material. A veces se usa la mitad de este valor comorepresentativo, entonces   2 o o o 0 (2-35) 15Reemplazando el valor de  en la ecuación genérica de distribución de velocidades (2-26)se obtiene * 30  ln (2-36) que es la ecuación de distribución de velocidades en un contorno rugoso (tubería o canal).Las ecuaciones 2-30 y 2-36 son las ecuaciones de la distribución de velocidad de Karman-Prandtl.En la Tabla 2.1 se presentan los tamaños de la rugosidad absoluta para diversos materiales. 73
  • 94.        TABLA 2.1 VALORES DE LA RUGOSIDAD ABSOLUTA  MATERIAL  (m)Tubos muy lisos sin costura (vidrio, cobre, acero -6nuevo con superficie pintada, plástico, etc.) 1,5 x 10 -5Fierro forjado 4,5 x 10 -5Acero rolado nuevo 5 x 10 -5 -4Acero laminado, nuevo 4 x 10 – 10 -4Fierro fundido, nuevo 2,5 x 10 -4Fierro galvanizado 1,5 x 10 -4Fierro fundido, asfaltado 1,2 x 10 -3 -3Fierro fundido oxidado 1 x 10 – 1,5 x 10 -4 -3Acero remachado 0,9 x 10 – 0,9 x 10 -5Asbesto cemento, nuevo 2,5 x 10 -4Concreto centrifugado nuevo 1,6 x 10 -5Concreto muy bien terminado, a mano 10 -5Concreto liso 2,5 x 10 -4 -4Concreto bien acabado, usado 2 x 10 – 3 x 10 -3 -3Concreto sin acabado especial 10 – 3 x 10 -2Concreto rugoso 10 -4 -4Duelas de madera 1,8x10 – 9 x 10Los valores anteriores se refieren a conductos nuevos o usados, según el caso. Por supropia naturaleza son valores aproximados. Su determinación se ha hecho por métodosindirectos.En las tuberías es importante la influencia de las uniones o empalmes. En el concreto elacabado puede ser de naturaleza muy variada y a veces ocurren valores mayores o menoresa los presentados en la Tabla 2.1.La variación de estos valores con el tiempo puede ser muy grande.74
  • 95.    2.8 Obtención de las ecuaciones de la velocidad media en conductos rugososa) Canal muy anchoObtenemos el gasto específico por integración.     considerando como distribución de velocidad la ecuación 2-36 y reemplazando se obtiene *   30  ln   0   *  ln 30  ln  ln   0 *    ln 30  ln    ln  0     ln 30(  0 ) ln  (   0 )  ln 0 ln 0    0pero,  0 0 *  *  30    ln 30  ln   ln ln    * 30  * 11   ln  ln   que evidentemente equivale a * 11  ln (2-37) que es la ecuación que nos da la velocidad media en un canal muy ancho de fondohidráulicamente rugoso. 75
  • 96.       b) TuberíaSe procede como en los casos anteriores. El gasto, de acuerdo a la Figura 2.10, es     2    2Reemplazando el valor de  según la ecuación 2-36,  * 30   2 ln 2   0  2integrando y simplificando se obtiene * 13,4   ln (2-38) que es la ecuación de la velocidad media en una tubería de fondo hidráulicamente rugoso.2.9 Obtención de la ecuación de ChezyHasta el momento hemos obtenido dos fórmulas para el cálculo de la velocidad media enconductos lisos: una para canales (2-32) y otra para tuberías (2-33). * 38,3  ln (canales) Conductos lisos * 46,4   ln (tuberías)La ecuación 2-32, que fue establecida para un canal muy ancho, se ha expresado enfunción del radio hidráulico, puesto que para ese caso el radio hidráulico es igual al tirante.Se observa que ambas ecuaciones son muy parecidas. Difieren sólo en el valor numéricodel coeficiente de  .Con el objeto de obtener una fórmula aproximada que comprenda tanto a tuberías como acanales tomamos el promedio aproximado de los coeficientes y se obtiene76
  • 97.     * 42   ln (2-39)Esta es la fórmula aproximada para la velocidad media en cualquier conducto liso (canalmuy ancho, tubería o cualquier otra sección intermedia). Para la solución de problemasprácticos usaremos la ecuación 2-39; para demostraciones las ecuaciones 2-32 y 2-33.Para los conductos rugosos también hemos obtenido dos fórmulas: una para canales (2-37) yotra para tuberías (2-38) * 11  ln (canales) Conductos  rugosos * 13,4   ln (tuberías) Ambas ecuaciones son también muy parecidas y pueden reemplazarse por otra queconsidere el promedio aproximado de los coeficientes de  * 12   ln (2-40) Esta es la fórmula aproximada para la velocidad media en cualquier conducto rugoso(canal muy ancho, tubería o cualquier otra sección intermedia).Un conducto puede tener paredes hidráulicamente lisas o hidráulicamente rugosas. En elsegundo caso se entiende que el tamaño de la rugosidad absoluta y de las característicasdel escurrimiento no permiten que se desarrolle una subcapa laminar. En cambio en elprimer caso, conductos lisos, si existe una subcapa laminar y la velocidad es función de suespesor. Eventualmente pueden presentarse casos intermedios o de transición.Con fines prácticos estableceremos una fórmula que involucre ambos casos, combinandolas ecuaciones 2-39 y 2-40. Obsérvese que no se trata de una operación algebraica, sinode una adaptación * 6  ln (2-41)  2 7 77
  • 98.         2 5 10 20 50 100 200 500 1 000 2 000 5 000 10 000 10 000 5 000 2 000 1 000 500 200   100 50 20 10 5 2  = Radio hidráulico  = rugosidad (según Tabla 2.1) = espesor de la subcapa laminar (ec. 2.28)  Re = (referido al radio hidráulico)(Este diagrama ha sido tomado de las Lecciones de Clase del Profesor Thijsse, de Delft,Holanda) Figura 2.12 Coeficiente  de Chezy78
  • 99.    Si el valor  de la rugosidad no tiene significación, entonces la fórmula 2-41 se convierteen la de los conductos lisos; caso contrario si no tiene significación entonces es laecuación de los conductos rugosos.Haremos ahora algunos reemplazos en esta ecuación para darle otra forma  6  6  ln ln 10 log    2 7 2 7 6   2,5 2,3 log   2 7Pero  2,5 2,3 18Luego, 6  18 log  (2-41a)  2 7    (2-42)que es la ecuación de Chezy, en la que 6  18 log (2-43)  2 7 es el coeficiente de Chezy. Sus dimensiones son L1/2 T-1.. Sus unidades son m1/2/s puestoque corresponde a .Para facilitar el cálculo y verificar los resultados se usa la Figura 2.12.2.10 Concepto de rugosidad. Conductos hidráulicamente lisos e hidráulicamente rugososCada contorno tiene su propia aspereza o rugosidad que depende del material de que estahecho y de su estado de conservación. Así por ejemplo, una tubería de concreto es másrugosa que una de acero. Un canal de tierra es más rugoso que un canal de concreto. 79
  • 100.       Si pudiéramos ver con una luna de aumento el contorno de una tubería o de un canal,veríamos algo así como lo mostrado en la figura siguiente Figura 2.13 Aspereza del contornoLas asperezas tienen diferente forma y tamaño. Dan lugar a la aparición de pequeñascorrientes secundarias (vorticosas). Estas asperezas producen una modificación en lascondiciones del escurrimiento.Con el objeto de estudiar la influencia de la rugosidad, Nikuradse hizo experiencias entuberías con rugosidad artificial. Para ello cubrió las paredes con granos de arena de diámetrouniforme.  = 2 Figura 2.14 Rugosidad artificial de NikuradseSe designa por  el diámetro y por  el radio de los granos.Al valor de  (o al de  ) se le llama rugosidad absoluta. La influencia de la rugosidad enel escurrimiento depende del tamaño del conducto, es decir del radio de la tubería, tiranteo cualquier otra medida característica.Se denomina rugosidad relativa a cualquiera de las relaciones siguientes         ; , ; , ; , (2-44)        80
  • 101.    o sus inversas,Determinar cual es la rugosidad absoluta de un conducto dado es un problema difícil.Existen tablas, gráficos y descripciones, pero en última instancia el factor principal es laexperiencia del ingeniero diseñador. De otro lado, debe tenerse en cuenta, como loestudiaremos luego en detalle, que la rugosidad cambia con el tiempo.Las experiencias que realizó Nikuradse y que fueron publicadas en 1933 son para el siguienterango de rugosidades relativas  30 1 014 Un conducto en el que la rugosidad relativa es de 30 se caracteriza porque es muy grandela influencia de la rugosidad en el escurrimiento.Como resultado de la combinación de las características del escurrimiento (velocidad,viscosidad, etc.) y del tamaño, forma y espaciamiento de la rugosidad puede ser que sedesarrolle o no, una subcapa laminar.La posibilidad de existencia de la subcapa laminar es lo que define la naturaleza de lasparedes. Dicho en otras palabras, la naturaleza de las paredes depende del tamaño relativode  y .Cuando es posible que esta subcapa laminar exista se dice que las paredes sonhidráulicamente lisas; caso contrario son hidráulicamente rugosas.El valor de la rugosidad absoluta se determina por medio de la Tabla 2.1 en la que aparecepara cada material el valor de la rugosidad absoluta. Debe entenderse que por la propianaturaleza de la rugosidad y por la necesaria aproximación con la que se hacen los cálculosestos valores no pueden ser rigurosamente exactos.Se dice que un conducto es hidráulicamente liso (ecuación 2-39) cuando  0,4Lo que equivale aproximadamente a *  5Se dice que un conducto es hidráulicamente rugoso (ecuación 2-40) cuando  6 81
  • 102.       lo que equivale aproximadamente a *  70Para valores intermedios *  5 70 (2-45)se dice que el contorno es una transición entre liso y rugoso y se aplica la ecuación 2-41.2.11 Transformación de las ecuaciones de Karman - PrandtlLa ecuación 2-30 que da la distribución de velocidades en un contorno hidráulicamente lisopuede transformarse de la manera siguiente * 104  ln *Combinando con 2-28, 11,6 se obtiene * 8,97*   lnLuego  2,3 *  2,3 log log 8,97 *de donde,  *  5,75 log 5,5 (2-46) *expresión equivalente a la 2-30.Reemplazo similar puede hacerse para la ecuación 2-32, que nos da la velocidad media enun canal muy ancho de fondo hidráulicamente liso * 38,3   ln82
  • 103.     * 3,3*   ln  *  5,75 log 3 (2-47) *expresión equivalente a la 2-32.Si de la ecuación 2-46 restamos la 2-47 obtendremos para cada punto, es decir, para cadavalor de  , la diferencia entre la velocidad a esa distancia del fondo y la velocidad media    5,75 log 2,5 (2-48) * Con la idea de obtener una expresión análoga para el caso de canales rugosos hacemosun desarrollo similar.La ecuación 2-36 que da la distribución de velocidades en un contorno rugoso se transformaen   5,75 log 8,5 (2-49) * y la que corresponde a la velocidad media (2-37) se trasforma en   5,75 log 6 (2-50) * efectuando la resta de estas dos expresiones se obtiene    5,75 log 2,5 * expresión que es igual a la 2-48.Luego, aceptaremos que en un canal sea liso o rugoso se cumple que    5,75 log 2,5 (2-51) * o bien,    5,75 log 2,5 (2-52) *  83
  • 104.       Para las tuberías se puede hacer un desarrollo similar.La ecuación 2-33 se reemplaza, mediante sencillas transformaciones, por su equivalente  *  5,75 log 3,5 (2-53) *Si restamos esta ecuación de la 2-46 se obtiene,    5,75 log 2 (2-54) * Si la tubería fuera rugosa, se trasformaría la ecuación 2-38 en   5,75 log 6,5 (2-55) * que restada de la 2-49 nos da    5,75 log 2 (2-56) * obtenemos así las expresiones 2-54 y 2-56 que son iguales. Se puede entonces aceptarque en una tubería el exceso de velocidad en un punto con respecto a la velocidad mediareferida a la velocidad de corte, es    5,75 log 2 (2-57) * Ejemplo 2.5 En una tubería circular de acero (  =10-4 m) de 0,60 m de diámetro fluye aceite (pesoespecífico relativo 0,8). La viscosidad del aceite es de 1 poise. La elevación del punto inicial es 20,2m y la presión en dicho punto es de 5 kg/cm2. La elevación del punto final es de 22,10 m y la presiónes de 2 kg/cm2. La longitud de la tubería es 1 000 m Calculara) si la tubería es hidráulicamente lisa o rugosab) el espesor de la subcapa laminarc) el coeficiente de Chezyd) la velocidad mediae) el gastoSolución. La altura de presión en el punto inicial es 50 000 kg/m 2 625 m 800 kg/m 384
  • 105.    La cota piezométrica en dicho punto es 62,5 + 20,2 = 82,7 m. Similarmente, la cota piezométrica enel punto final es 47,1 m.Luego calculamos la pendiente según la ecuación 2-3  82,7 47,1  3,56 10 2  1 000que es la pendiente de la línea piezométrica. Por ser movimiento uniforme es igual a la de la líneade energía.Calculamos ahora la velocidad de corte (2-24) *  9,8 0,15 3,56 10 2 0,229 m/sConsideremos, * 0,23 m/sa) Para saber si las paredes se comportan como hidráulicamente lisas o rugosas aplicamos la ecuación 2-45, *  0,23 10 4 4 0,184 5 1,25 10 Luego las paredes se comportan como hidráulicamente lisas.b) Espesor de la subcapa laminar (2-28). 11,6 0,0063 m *c) Coeficiente de Chezy (2-43). Como las paredes son hidráulicamente lisas no interviene la rugosidad, 42   18 log 54 m1/2 /sd) Velocidad media (2-42)    54 0,15 3,56 10 2 3,95 m/se) Gasto 2   3,95 1,12 m 3 /s 4 85
  • 106.       Para resolver este ejercicio se partió de la suposición de que el flujo es turbulento. Luego de calcularla velocidad media verificamos que Re 2 300 ( Re 18 960 ).A modo de verificación usamos el diagrama de la Figura 2.12. Para usar este diagrama recuérdeseque el número de Reynolds debe referirse al radio hidráulico  .  015 24  00063  015 1 500  10 4  18 960 Re 4 740 4 7 103  4  54 m1/2 /sSe observa que todos los valores coinciden en un punto.Para el cálculo de  hemos empleado la ecuación 2-39, que es válida para conductos lisos, seantuberías o canales.Podría haberse hecho el cálculo con la ecuación 2-33, que es exclusivamente para tuberías lisas. Elresultado habría sido prácticamente el mismo.86
  • 107.     PROBLEMAS PROPUESTOS (Capítulo II)1. En un conducto circular de 0,75 m de diámetro, de acero (  = 0,001 m), fluye aceite cuya viscosidad es de 1 poise. Su peso específico relativo es de 0,8. Las características de la tubería se muestran en el esquema adjunto. Calcular el gasto. ¿Cuál es la naturaleza de las paredes?. 2 3 kg / cm 2 kg / cm 2 A B 8m 6m2. Demostrar que el coeficiente  de Chezy se puede expresar para conductos hidráulicamente lisos, mediante la siguiente ecuación implícita Re  18 log   Calcular el valor de  para canales y tuberías. Calcular también un valor promedio para ambos conductos.3. A partir de la ecuación de distribución de velocidades en un canal de fondo rugoso deducir las expresiones siguientes 2 3 1 3 2 2 1 siendo  1  87
  • 108.        es el coeficiente de Coriolis, es el coeficiente de Boussinesq,  es la velocidad máxima y  es la velocidad media.4. Se tiene una tubería de 0,40 m de diámetro por la que circula agua. Su viscosidad es de 1 centipoise. La longitud de la tubería es de 600 m. Se inicia en el punto A, en el que la presión es 5 kg/cm2 y termina en el punto B, cuya presión es de 3 kg/cm2 y cuya elevación es de 5 m superior a la del punto inicial. Considerar  = 0,0001 m. Calcular a) si la tubería es hidráulicamente lisa o rugosa b) el coeficiente de Chezy c) el gasto d) la pérdida de energía entre A y B5. Demostrar que el promedio de las velocidades a 0,2 y 0,8 del tirante en un canal muy ancho con flujo turbulento es igual a la velocidad a 0,6 del tirante (midiendo el tirante a partir de la superficie).6. Calcular cuál es el error que se comete al considerar que la velocidad a 0,6 del tirante (medido a partir de la superficie) es igual a la velocidad media, para un canal con flujo turbulento y paredes rugosas.7. Demostrar que si  1  entonces en un canal * 7,83 2,5  8. Una tubería de concreto liso, de 0,80 m de diámetro conduce agua con una velocidad de 4 m/s. La viscosidad es de 1,2x10-6 m2/s. Calcular el coeficiente  de Chezy. Definir la calidad de la paredes. Calcular la pendiente de la línea piezométrica.9. Demostrar que en una tubería con turbulencia plenamente desarrollada se cumple que   3,73 *10. Calcular el valor de   * para un canal con turbulencia plenamente desarrollada.88
  • 109.    11. Calcular para un flujo turbulento a que distancia del contorno la velocidad es igual a la velocidad media: a) en un canal, b) en una tubería. Demostrar que a esa distancia es independiente de que el contorno sea liso o rugoso (comparar con el ejemplo 1.3 del capítulo I).12. Un canal de concreto (  = 4x10-4 m) se usa para transportar agua. El ancho en el fondo es de 4 m y el ancho superficial es de 12 m. El tirante es de 3 m. La pendiente del fondo es 0,2 m por 100. Considerando que la viscosidad cinemática del agua es 1,4x10-6 m2/s, a) decir si las paredes son lisas o rugosas, b) calcular el gasto, c) calcular el esfuerzo de corte medio sobre el fondo.13. Una tubería de sección circular de 0,80 m de diámetro conduce agua que ocupa la mitad de su sección transversal. La viscosidad del agua es 1,2x10-6 m2/s. ¿Qué inclinación debe dársele para que se establezca un flujo uniforme con una velocidad media de 0,80 m/s?. La rugosidad es de  = 10-4 m. Si después resultara que la rugosidad es en realidad 10 veces mayor, cuál sería la reducción del gasto, conservando la pendiente? ¿Qué porcentaje representa esta disminución?.14. Se sabe que en una tubería con flujo laminar la velocidad máxima es el doble de la velocidad media. Verificar que esto se cumple para el ejemplo 2.1 de este capítulo.15. La tubería AB de 300 m de largo y 0,80 m de diámetro lleva agua que tiene una viscosidad de 1,2x10-6 m2/s. La tubería tiene una rugosidad uniforme  = 4x10-4 m. La presión en el punto A debe ser de 4 Kg/cm2 y en el punto B de 3,8 Kg/cm2. ¿Cuál es la máxima diferencia de elevación que puede existir entre A y B para que la tubería se comporte como hidráulicamente lisa? ¿Cuál sería la velocidad en este caso?.16. En un río muy ancho, cuyo fondo se supone constituido por partículas de diámetro uniforme  , el tirante es de 2 m. El gasto por unidad de ancho es de 4 m3/s/m. Se ha medido la velocidad superficial encontrándose que su valor es de 2,50 m/s. Calcular la rugosidad absoluta  y la velocidad de corte.17. Se tiene una tubería de 1,60 m de diámetro que conduce aire. Por medio de un tubo de Pitot se ha medido la velocidad en el eje y en un punto ubicado a la distancia  / 4 del contorno. Los valores leídos son 5,0 y 4,2 m/s. Hallar la velocidad media y el gasto.18. Demostrar que en una tubería de radio  se cumple que    5,75 log 3,73 * 19. Demostrar que la condición para que un contorno se comporte como hidráulicamente liso se puede expresar por 5   89
  • 110.       20. En una tubería la distribución de velocidades esta dada por 1      Demostrar que si por medio de un tubo de Pitot se mide la velocidad a la distancia 0,25  del contorno, se obtiene la velocidad media correcta con un error de 0,5% para valores de  comprendidos entre 4 y 10.21. Calcular a que radio debe colocarse un tubo de Pitot en una tubería para obtener con una sola lectura la velocidad media, a) si el flujo es laminar. b) si el flujo es turbulento.22. Demostrar que 12  18 log    Re23. ¿Qué valor habría que usar en lugar de 18, en la expresión anterior, para usar la fórmula en el sistema inglés?24. Calcular en el ejemplo 2.3 a que distancia del contorno la velocidad es igual a la velocidad media. Dibujar la distribución de velocidades.90
  • 111.           CAPITULO  LA RESISTENCIA DE SUPERFICIE EN EL MOVIMIENTO UNIFORME3.1 Ecuación de DarcyConsideremos el flujo en un cilindro de longitud  . Las fuerzas que actúan son la diferenciade presiones, la fricción y el peso del fluido. Entre estas fuerzas debe haber equilibrio.  1 2  1 2 Plano de referencia Figura 3.1 Equilibrio de fuerzas en una tuberíaLa suma de la fuerza debida a la diferencia de presiones y la componente del peso es igual ala resistencia que ofrece el contorno 1 2   sen  0  (3-1) 91
  • 112.        es la sección transversal,  el perímetro y 0 el corte medio sobre el contorno.Consideremos que el flujo es turbulento. Tomando en cuenta las ecuaciones 2-10 y 2-42 setiene,(ec. 2-10) 0  o 2 2 o o 0(ec. 2-42)   si dividimos ambos miembros de la ecuación 3-1 por  y se reemplaza el valor obtenidopara 0 se obtiene 1 2    sen  2 de donde, 1 2 2  1 2  2 luego, 2 4   2 Multiplicando y dividiendo por 2  el segundo miembro se llega a la expresión de la pérdidade carga   2 8   2  2Denominaremos  , coeficiente de Darcy a la relación entre 8  y el cuadrado de  8  (3-2) 2Sustituyendo,  2   (3-3)  292
  • 113.          que es la ecuación de Darcy. También se le conoce con el nombre de Darcy - Weisbach. Enalgunos textos el coeficiente  de Darcy se designa con la letra .La ecuación de Darcy es en esencia igual a la ecuación de Chezy. Esto puede demostrarseutilizando los conceptos hasta ahora expuestos y haciendo simples transformacionesalgebraicas.La ecuación de Darcy permite calcular la pérdida de carga   que se presenta en un tramode tubería de longitud  , diámetro  y velocidad media  .El desarrollo anterior ha sido hecho para un movimiento turbulento. Para el flujo laminar sepuede hacer un desarrollo análogo utilizando la velocidad media que corresponde a la ecuaciónde Poiseuille (flujo laminar, ec. 2-19), en lugar de la ecuación de Chezy.(ec. 2-10) 0  2 2 o o o  o o o  0   2(ec. 2-19)  2Reemplazando en la ecuación 3-1 el valor obtenido para 0 , 2 1 2   sen   dividiendo ambos miembros por  y luego multiplicando y dividiendo el segundo miembropor  ,    2     2  2   Sustituyendo el radio hidráulico y haciendo algunas operaciones, 64   2  Re  2  93
  • 114.       o bien,  2    2que es la ecuación de Darcy, en la que consideramos que para el flujo laminar, 64  (3-4) Reel número de Reynolds esta referido al diámetro.3.2 Significado del coeficiente  de Darcy (en tuberías circulares)En lo que respecta al flujo laminar,  es simplemente una función del número de Reynolds.En el flujo turbulento, que estudiaremos a continuación, el significado de  es más complejo.En general es función tanto del número de Reynolds como de la rugosidad relativa.   Re, (3-5) La rugosidad relativa es la relación entre la rugosidad absoluta y el diámetro de la tubería (ec.2-44).La rugosidad absoluta depende de la calidad de las paredes expresada pora) Altura media de las irregularidades de la superficieb) Variación de la altura con respecto a la mediac) Forma de las irregularidades del contornod) Separación entre irregularidades adyacentesDada la compleja naturaleza de la rugosidad absoluta y su difícil representación es queNikuradse usó rugosidad artificial de diámetro uniforme.Es útil el concepto de rugosidad equivalente  . Según este concepto,  es una longitud quemide el grado de rugosidad y tal que para dos conductos diferentes tiene valores proporcionalesa los diámetros de los mismos cuando para valores iguales al número de Reynolds los valorescorrespondientes de  son los mismos para ambos conductos.94
  • 115.          Si bien es cierto que en el flujo turbulento,  es, en el caso más general, función tanto delnúmero de Reynolds como de la rugosidad relativa, también lo es que puede ser función desólo uno de ellos.En una tubería hidráulicamente lisa se desarrolla una subcapa laminar, cuyo espesor esbastante mayor que la rugosidad. De acá que las irregularidades del contorno quedan dentrode la subcapa laminar y por lo tanto no tienen significado para el cálculo de  .En una tubería lisa,  Re (3-6)En cambio en una tubería hidráulicamente rugosa los valores de  son tan grandes conrespecto al espesor que tendría la subcapa laminar,que ésta no puede desarrollarse. Entonces,   (3-7) Para la transición entre contornos lisos y rugosos es aplicable una ecuación como la 3-5.3.3 Tuberías hidráulicamente lisasBlasius estudió experimentalmente el comportamiento de las tuberías lisas estableciendoque, 0,316  1 (3-8) Re 4Esta ecuación de Blasius es válida para números de Reynolds (referidos al diámetro) menoresque 105, (aproximadamente).Para números de Reynolds mayores, que correspondan a turbulencia plenamente desarrollada,el valor de  se obtiene analíticamente de acuerdo al desarrollo siguiente.Partimos de la ecuación 2-33, * 46,4   ln 95
  • 116.       luego sustituimos el valor de (ec. 2-28) 11,6 y reemplazamos el radio hidráulico por el diámetro, obteniendo     ln (3-9)Necesitamos ahora una relación entre  y  . Para ello combinamos las siguientesecuaciones, ya conocidas     Dividiendo,   (3-10)  De otro lado, a partir de la ecuación 3-2 obtenemos, 8  (3-11) De las dos últimas se llega a   (3-12)  8Reemplazando este último valor en la ecuación 3-9, 1 1    ln  8 8efectuando operaciones y haciendo algunas sustituciones, 1 2,03 log(Re  ) 0,92 (3-13) 96
  • 117.          y ajustando los coeficientes con valores experimentales obtenidos por Nikuradse se llegafinalmente a 1 2 log(Re  ) 0,8 (3-14) ecuación que tiene gran importancia, pues, es una relación analítica entre  y el número deReynolds. Tiene el inconveniente de ser implícita. Nikuradse estableció también la siguienterelación empírica, 0 221  0 0032 (3-15) Re 0 237en la que el número de Reynolds está referido al diámetro y que da prácticamente los mismosresultados que la ecuación 3-14 para números de Reynolds comprendidos entre 105 y 107.Se puede citar también la fórmula de Konakov que da el valor de  en el flujo turbulento, 1  (3-16) 181 log Re 15 2que es aplicable para números de Reynolds mayores que 2 300 y hasta de varios millones(con respecto al diámetro).Comparando, por ejemplo, las expresiones 3-4 y 3-8 se observa que en el flujo laminar, depende linealmente de la viscosidad, en cambio en el flujo turbulento depende de la potenciaun cuarto de la viscosidad.Es conveniente llevar a un solo gráfico las ecuaciones 3-4, 3-8 y 3-14, usando papel logarítmico.Obviamente la primera ecuación corresponderá a una línea recta.Este gráfico muestra la relación completa entre el coeficiente  de Darcy y el número deReynolds para tuberías lisas. Abarca el flujo laminar, el flujo turbulento (Blasius y Nikuradse)y la transición entre ambos escurrimientos. 97
  • 118.         0,20 64  Re 0,10 0,08 0,06 0,04 Laminar Turbulento 1 0,02 = 2 log Re    0,316  1 2 300 Re 4 0,01 2 3 4 5 6 7  10 10 10 10 10 10 Re =  Figura 3.2 Coeficiente  de Darcy en tuberías lisas3.4 Tuberías hidráulicamente rugosas. Transición. Gráfico de NikuradseComo hemos señalado antes, en las tuberías hidráulicamente rugosas no puede desarrollarseuna subcapa laminar.El valor de la velocidad y el coeficiente de Darcy dependen exclusivamente de la rugosidadrelativa. El valor de  se obtiene analíticamente de acuerdo al desarrollo siguiente.Partimos de la ecuación 2-38,  13,4   13,4  ln  ln  e introducimos la ecuación 3-12,    8de donde 1 3,35 2,03 log (3-17)  98
  • 119.          Ajustando los coeficientes de acuerdo a los resultados experimentales de Nikuradse 1 3,71 2 log   (3-18)Se observa, pues, que ahora  es función exclusiva de la rugosidad relativa. Es independientedel número de Reynolds.Si quisiéramos hacer un gráfico similar o compatible con el de la Figura 3.2 tendríamos queconsiderar una familia de rectas paralelas al eje horizontal. Para cada valor de   seobtiene el de  (ó de   , según el gráfico) 0,06 30,  0,05 61,2  0,04 120,  0,03 252, 504, 0,02 1014, 0,01 10 4 10 5 10 6  Re =  Figura 3.3 Coeficiente  de Darcy en tuberías rugosasComo hemos visto, Nikuradse estudió experimentalmente el comportamiento de las tuberíaslisas y rugosas introduciendo algunos ligeros ajustes en los coeficientes de las expresionesanalíticas. Pero también estudió experimentalmente la fase que corresponde a la transiciónentre paredes lisas y rugosas.El gráfico de Nikuradse representa en conjunto el comportamiento de las tuberías lisas, rugosasy a la transición entre ambos. Aparece en la Figura 3.4, que es una síntesis de las Figuras3.2 y 3.3.Debe tenerse presente que el gráfico de Nikuradse corresponde a tuberías de rugosidadartificial (ver apartado 2.10 y Figuras 2.13 y 2.14). 99
  • 120.           0,063 30 0,050 61,2 0,040 120 0,032 252 0,025 504 0,020 1 014 0,016 3 4 5 6 10 10 10 10  Re =  Figura 3.4 Gráfico de NikuradseAnalizando el gráfico de Nikuradse se encuentra lo siguientea) En el régimen laminar ( Re 2 300), la rugosidad de las paredes no tiene ninguna influencia sobre la resistencia.b) Una tubería con un valor determinado de la rugosidad relativa, se comporta como hidráulicamente lisa hasta un valor correspondiente del número de Reynolds. Se observa en el gráfico que a medida que la tubería es relativamente más lisa se requiere un número de Reynolds mayor para que la tubería se aparte de la curva que corresponde a las tuberías lisas.c) Al aumentar el número de Reynolds y/o la rugosidad, aparece una zona en la que el coeficiente  es función tanto del número de Reynolds como de la rugosidad relativa. Es la transición.d) Para valores altos del número de Reynolds el coeficiente  es función exclusiva de la rugosidad relativa.Si se pretendiera aplicar el diagrama de Nikuradse a tuberías comerciales, cuya rugosidad noes artificial sino natural y tiene las características de la Figura 2.13, entonces en la zona detransición se encontrarían fuertes diferencias.Para tuberías comerciales se utilizará el diagrama de Moody (capítulo IV).100
  • 121.          3.5 Introducción del coeficiente  de Darcy en las ecuaciones de distribución de velocidadesEn el capítulo II establecimos la ecuación 2-57    5,75 log 2  Expresión en la que : velocidad a la distancia  del contorno : velocidad media : velocidad de Corte : radio hidráulicoLa ecuación 2-57 nos muestra que en una tubería la diferencia entre la velocidad puntual y lamedia depende de la distancia al contorno. Es independiente de que el contorno seahidráulicamente liso o rugoso.Vamos a introducir la ecuación 3-12 en la ecuación 2-57    8obteniendo así    2,03 log 0,71 1  Si se reemplaza 2,03 por 2,15 y 0,71 por 0,783 para ajustar con los resultados experimentales,se obtiene    2,15 log 0,783 1 (3-19)  De acá se puede obtener la relación entre la velocidad máxima y la velocidad media. Lavelocidad máxima, que se desarrolla en el eje, corresponde a  2 . Luego,  1,43  1 (3-20) La expresión 3-19 es muy útil para la obtención del coeficiente  de Darcy y de la velocidad 101
  • 122.       media a partir del conocimiento de la distribución de velocidades. Si en una tubería se midenlos valores puntuales de la velocidad a diferentes distancias del centro, se obtieneexperimentalmente, para un caso particular, la ley de distribución de velocidades. Esto puedehacerse por medio de un tubo de Pitot. Tal es el caso del problema 27 del capítulo I.A partir de los valores obtenidos para  en función de  es posible calcular  y  pormedio de la ecuación 3-19.Si los valores medidos hubieran sido obtenidos con gran precisión y alta confiabilidad, bastaríacon tomar dos de ellos y obtener dos ecuaciones con dos incógnitas y resolver el sistema,hallando así  y  . Sin embargo toda medición implica un error. Es preferible obtener  y a partir de todos los valores medidos, haciendo un gráfico en papel semilogarítmico.    La expresión 3-19 puede escribirse de la siguiente manera   2,15   log 1,43        que representa una línea recta cuya ecuación es de la forma   Siendo,  2,15  102
  • 123.            1,43   Los valores de  y  se obtienen del gráfico. Resolviendo las dos ecuaciones se consiguelos valores de  y .La ecuación 3-19 ha sido trasformada de modo de referirla al radio de la tubería.3.6 Transición entre contornos lisos y rugosos. Fórmula de Colebrook - WhiteHemos señalado y discutido ampliamente el concepto relativo a la naturaleza del contorno.Desde el punto de vista hidráulico no podemos decir que un determinado contorno es en síliso o rugoso. Depende también de las características del escurrimiento. Un contorno puedecomportarse como liso frente a un flujo, pero como rugoso frente a otro flujo. Todo depende dela relación entre el tamaño de la rugosidad y el espesor de la subcapa laminar que podríadesarrollarse. Esto fue expuesto en el capítulo II, apartado 2.10.En el gráfico de Nikuradse, Figura 3.4, se ve claramente que las tuberías más lisas requierende un número de Reynolds mayor para apartarse de la ecuación general de las tuberías lisas.Podríamos, pues, decir que las tuberías dejan de comportarse como lisas para el mismo valorde la relación de  .En las tuberías de rugosidad natural (no homogénea, diferente de la que usó Nikuradse), elfenómeno de la transición es diferente. Esto se debe a que en una superficie con rugosidadnatural las irregularidades del fondo son de diferente tamaño. Basta la presencia de algunasprotuberancias mayores que la media para alterar la subcapa laminar.Los valores de  en la zona de transición entre tuberías lisas y rugosas se obtienen pormedio de la fórmula de Colebrook y White. Sabemos que en 1 3,71 2 log Tuberías rugosas (ec. 3-18)   1 Re  Tuberías lisas (ec. 3-14) 2 log  2,51Combinando ambas expresiones se obtiene la ecuación de Colebrook y White. 103
  • 124.         2 log  1 2,51 (3-21)  3,71 Re Esta ecuación es prácticamente igual a la 2-41a del capítulo II.3.7 Dimensionamiento de conductos. Conceptos fundamentales. ErroresHasta ahora hemos estudiado todas las variables involucradas en el escurrimiento en tuberíasy su estudio nos permitirá, en el capítulo siguiente, presentar las modalidades dedimensionamiento.Conviene ahora recapitular y ordenar algunos conceptos fundamentales.Como consecuencia de la fricción, que a su vez se debe a la viscosidad, se desarrolla en uncontorno liso una subcapa laminar. Esto determina un consumo de energía, una disipación deenergía. Esto es lo que denominamos una pérdida de carga.Si las paredes no son lisas, sino rugosas, no se forma la subcapa laminar, pero hay pérdidade energía por rozamiento y formación de vórtices en el contorno.Además hay pérdida de carga (de energía) por frotamiento interno entre los filetes fluidos, lamisma que depende del grado de turbulencia.Con el objeto de dimensionar un conducto, debemos disponer de una ley de pérdida de carga.Bruschin, de la Escuela Politécnica de Lausanne, Suiza, ha hecho reflexiones muy interesantessobre este problema, señalando que una ley de pérdida de carga debe ser una ley “decomportamiento”, vale decir, una ley de tipo descriptivo.Así, pues, la ley de Darcy lo que hace es relacionar un parámetro característico del escurrimiento-la velocidad media- con la pérdida de energía tomando en cuenta la calidad de las paredes ylas constantes características del fluido: densidad y viscosidad.Señala Bruschin que las condiciones que debe reunir una ley de pérdida de carga son lassiguientes104
  • 125.          a) Base racional, compatible con los principios generales de la Mecánica de Fluidosb) Explicación clara del fenómeno de disipación de energíac) Caracterización e intervención de los parámetros principales descriptivos del fenómenod) Verificación experimental. Sus parámetros deben ser susceptibles de medidae) Facilidad de uso en los problemas de ingenieríaLa fórmula general de Colebrook y White satisface todas estas condiciones. Haciendo ligerastransformaciones en la ecuación 3-21 se obtiene  2,51  2 8  log 14,8  4 8   expresión que es prácticamente igual a la que obtuvimos en el capítulo II, 6  18 log      2 7y que es mucho más simple. En ambas : velocidad media de escurrimiento : radio hidráulico : pendiente de la línea de energía : rugosidad absoluta : espesor de la subcapa laminar : viscosidad cinemática : coeficiente de ChezySi en la última ecuación sustituimos, 8  se obtiene 8   que es prácticamente la ecuación de Chezy, o la de Darcy. 105
  • 126.       Por lo general el cálculo de una tubería tiene un objetivo preciso: determinar cuál es el diámetrorequerido para transportar un cierto gasto bajo condiciones dadas (pérdida de carga admisible,rugosidad, viscosidad, etc.)Haremos algunos cálculos para apreciar cuantitativamente la influencia relativa de los diversosfactores.Analizaremos la influencia que tiene sobre el gasto una variación en el diámetro y una variaciónen la pendiente (de la línea de energía) para tuberías lisas y rugosas.Tuberías lisasLa fórmula de Colebrook y White para paredes lisas es 2 2,51  2 2   log 4 2   de acá se obtiene que la relación entre una variación en el gasto y una variación en el diámetroes  0,65  2,5  log 2,51  2   Similarmente la relación entre una variación en el gasto y una variación en la pendiente es  0,217  0,5  log 2,51  2   Tuberías rugosasLa fórmula de Colebrook y White para paredes rugosas es 2   2 2   log 4 3,71106
  • 127.          Haciendo cálculos similares a los anteriores, se obtiene que,  0,43  2,5  3,71  log y,   0,5  Con el objeto de apreciar el significado físico de las cuatro fórmulas obtenidas, convieneaplicar valores numéricos, correspondientes a casos usuales. Por ejemplo diámetroscomprendidos entre 0,3 m y 1 m, pendientes entre 0,1 % y 10 % y agua a 10 °C de temperatura.Como las cuatro fórmulas obtenidas corresponden a los casos extremos de calidad de paredes(lisas y rugosas), es evidente que para la transición se tendrá valores intermedios.Se obtiene finalmente que,   2,5 (1)    y 0,5 (2)  Estas ecuaciones nos dan la variación que se produce en el gasto, como consecuencia deuna variación en el diámetro ó de una variación en la pendiente (los coeficientes son valoresmedios, para condiciones usuales y cualquier naturaleza de paredes).Para el cálculo de la influencia de la rugosidad, partimos de 1  2 log  3,71de donde, 1   2  2  1  2 107
  • 128.       y con respecto a la rugosidad relativa,     0,43 2    log  3,71A partir de la ecuación de Chezy (expresando  en función de  ) 8   se obtiene  1   2 importante relación que nos muestra la variación de la velocidad en función de las variacionesdel coeficiente  de Darcy.Combinado las dos últimas expresiones, se obtiene     0,43    log  3,71Para valores usuales de la rugosidad relativa, comprendidos entre 10-2 y 10-5 m se encuentraque,     ( 0,0775  0,174)   o bien,    1 1  a  6 12  (3) 108
  • 129.          Este desarrollo ha sido hecho para tuberías hidráulicamente rugosas. Para la transición, lainfluencia de la rugosidad es mucho menor.Teniendo a la vista las ecuaciones 1, 2 y 3, se podría concluir, a manera de ejemplo, que- Una variación del 10 % en el diámetro produce una variación del 25 % en el gasto.- Una variación del 10 % en la pendiente produce una variación del 5 % en el gasto.- Una variación del 10 % en la rugosidad absoluta produce una variación del 1 % en el gasto.Combinado (1) y (2), se obtiene   5  lo que significa, por ejemplo, que una disminución del 10 % en el diámetro representaría unaumento del 50 % en la pérdida de carga.3.8 Tuberías de sección no circularEn el capítulo II hemos estudiado las ecuaciones de distribución de velocidades y la velocidadmedia, para dos tipos de conductos que corresponden a casos extremos: canal de anchoinfinito y sección circular.En la primera parte de este capítulo hemos hecho la aplicación correspondiente al caso detuberías circulares. Obtuvimos ecuaciones del coeficiente  de Darcy en función del diámetro.Sin embargo, en algunos casos, se presentan tuberías (conductos a presión) de seccióndiferente a la circular, como por ejemplo cuadradas, rectangulares, ovales, etc.Si tomamos como ejemplo una sección rectangular vemos que el esfuerzo de corte no esconstante en todo el contorno. Allí donde el gradiente de velocidades es muy grande el corteserá mayor al valor medio. También debe tenerse presente que en secciones diferentes de lascirculares es fácil que aparezcan corrientes secundarias transversales.Evidentemente que nuestra ecuación fundamental para la determinación del coeficiente  deDarcy (3-5) 109
  • 130.          Re, tendría que ser ampliada de modo de incluir también el factor “forma de sección”   Re, ,  Sin embargo, los errores que se pueden cometer en la determinación de la rugosidad tienenuna influencia mayor que la que resulta de ignorar el factor forma.Aceptaremos que en tuberías no circulares la pérdida de carga puede calcularse con la fórmulade Darcy. Para esto se debe introducir dentro de la formula el concepto de radio hidráulico, talcomo se hizo en la deducción de la fórmula (apartado 2.12).El radio hidráulico de una sección circular es  / 4 . De acá que la ecuación de Darcy setransforma en  2   4 2Para el cálculo de  se seguirá el mismo procedimiento que en las tuberías circulares,considerando  4   Re  4Por extensión se aplican los ábacos y fórmulas de las tuberías circulares, siempre que lassecciones no se aparten demasiado de la forma circular.En la primera parte de este capítulo se obtuvo la ecuación de  en tuberías lisas (ecuación3-13), partiendo de la ecuación 2-33. Si quisiéramos obtener una expresión análoga a la 3-13,pero para un canal muy ancho, habría que partir de la ecuación 2-32 y se llegaría a 1   2,03 log 1,05 110
  • 131.          3.9 Ley exponencial de distribución de velocidadesA partir de la ecuación de Blasius (3-8), Prandtl estableció una expresión para la distribuciónde velocidades, que por su forma exponencial es muy útil y conviene conocer.La deducción de Prandtl se basa en las siguientes suposiciones- La distribución de velocidades en las proximidades del contorno no depende del diámetro de la tubería.- La distribución de velocidades en las proximidades del contorno está determinada por la viscosidad, la densidad y el corte sobre el contorno.- Las curvas de distribución de velocidades permanecen similares al variarse la velocidad. Esto significa, por ejemplo, que si la velocidad media se triplica, entonces la velocidad máxima también se triplica y las velocidades en todos los puntos varían en una misma proporción.- La velocidad a la distancia  del contorno se describe según la siguiente expresión     (3-22) Siendo  la potencia cuyo valor debe determinarse;  es el radio de la tubería.Partiremos de la conocida expresión (2-7) que nos da el corte 0 que al combinarse con la ecuación de Chezy (2-42) nos da 2 (3-23)  0 2De otro lado, según Blasius (3-8) 0,316  1 4 Re 8Reemplazando la ecuación 3-2,  , y reemplazando el número de Reynolds de la 2ecuación de Blasius 111
  • 132.        1 1 8  4 4 2 1 4 0,316Reemplazando este valor en la ecuación 3-23 1 4 0,316 7 1 0 4 4 8Luego sustituimos el radio  en lugar del diámetro  y se tiene, 1 4 0,316 7 1 1 0 42 4  4 8Consideremos que la velocidad máxima es proporcional a la velocidad media  Sustituyendo en 3-22     De donde,      ahora reemplazamos este valor de la velocidad media en la ecuación última obtenida para 0 , 1 7 7 7 1 1 0,316 4   0 7    4 4  4 4 2 4 8 4Para que 0 sea independiente del radio de la tubería se requiere que el exponente del radiosea nulo. Luego,112
  • 133.           7 1 1  0  4 4 7Por lo tanto la distribución exponencial de velocidades es, en una tubería 1  7    (3-24) Esta ecuación tiene, además de las hipótesis que se expusieron al iniciarse su deducción,las limitaciones que corresponden a la fórmula de Blasius (tuberías lisas y números de Reynoldsmenores que 105).Para números de Reynolds mayores que 105 el exponente  tiende a disminuir. Prandtlmenciona que para un número de Reynolds de 200 000, la curva de distribución de velocidadesqueda mejor representada por el exponente 1/8 y para un número de Reynolds 10 vecesmayor, el exponente es 1/10.Experimentalmente se ha establecido que en una tubería  1,235  (3-25)Luego, 1   7 1,235 (3-26)  Ejemplo 3.1 Calcular el valor de  en una tubería lisa de 0,60 m de diámetro en la que fluye aceite conuna viscosidad de 1,25x10-4 m2/s. La velocidad es de 3,95 m/s. Hacer el cálculo por dos métodosdiferentes. Con el valor de cada uno hallar la pérdida de carga para una longitud de tubería de 1 200 m.Solución. En primer lugar calculamos el número de Reynolds,  395 0 60 Re 18 960  125 10 4Como Re < 105, y la tubería es lisa se aplica la fórmula de Blasius (3-8) 0,316 0,316 0,316  1 1 0,027 18 960 11,73 Re 4 4 113
  • 134.       Si aplicamos la fórmula de Konakov (3-16), 1  (1,81 log Re 1,5) 2 1 1 1  (1,81  4,277 1,5) 2 (7,74 1,5) 2 38,95  0,026Valor aproximadamente igual al de Blasius. La pérdida de carga es  2 1 200 3952   0027 4299 m  2 0 60 2 o bien, 1 200 3952  0026 4139 m 0 60 2 Ejemplo 3.2 Calcular el valor de  y luego el valor de  en una tubería lisa cuyo diámetro es 0,75 m.Fluye aceite con una viscosidad cinemática de 1,25x10-4 m2/s. La velocidad media es 2,76 m/s. Verificarla ecuación 3-14.Solución. Calculamos el número de Reynolds,  2,76 0,75 Re 16 560 1,25 10 4Como Re < 105 y la tubería es lisa es aplicable la fórmula de Blasius (3-8) 0316 0316 0316  00279 0028 1134 1 1 Re 4 16 560 4A modo de verificación calculamos el valor de  (ecuación 3-11) 8  53 m1/2/s Obsérvese que los valores obtenidos coinciden con los del problema propuesto 1 del capítulo II. Estose debe a que el problema es idéntico.114
  • 135.          Se puede observar también que los resultados obtenidos satisfacen la ecuación 3-14. 1 2 log Re  08  5,99 = 2 log (16 560 x 0,167) - 0,8 5,99 6,08Ejemplo 3.3 Demostrar que en un canal muy ancho de turbulencia plenamente desarrollada y fondohidráulicamente rugoso se cumple que 0,884  Siendo 1 . Considerar que la ecuación 3-12 es aplicable Solución.  30  ln La velocidad máxima corresponde a    30   ln La velocidad media es  11  ln Luego,    11  30   ln ln ln    11     2,5   Pero, 8   Luego, 25  25   0884  8 8   115
  • 136.       Ejemplo 3.4 Se tiene una tubería de 1 000 m de largo, diámetro 0,20 m, rugosidad artificial  = 0,001 m,velocidad 4 m/s, = 10-6 m2/s. Calcular la pérdida de carga.Solución. Calculamos en primer lugar el número de Reynolds  4 0,20 Re 8 105 10 6Luego la rugosidad relativa  0,001 0,005  0,20Entrando con estos dos valores al diagrama de Nikuradse (por ser la rugosidad artificial) se obtiene  = 0,030.Obsérvese que corresponde a tuberías hidráulicamente rugosas, luego podemos calcular  utilizandola fórmula 3-18, 1  2 log 371   1 020 2 log 371  0001  0,0303valor bastante próximo al calculado con el abaco.La pérdida de carga es  2 1 000 16   0030 12245 m  2 0 20 2 Ejemplo 3.5 Demostrar que en una tubería hidráulicamente lisa con números de Reynolds menoresque 105 se cumple que   7 Re 8El número de Reynolds está referido al radio  de la tubería. Hallar el valor de  . En la deducción debeutilizarse la ecuación de anteriormente establecida (ec. 2-28).116
  • 137.          Solución. Sabemos que 0,316   1 y   8 Re 4Combinando estas dos ecuaciones, 0,316   1 8 Re 8Reemplazando este valor de la velocidad de corte en la ecuación 2-28 de 1 11,6 8 Re 8 0,316  1 1 116 8  8  8 0 316  1 8Multiplicando y dividiendo por  y reemplazando  2 . 1 1 1  8 28  8  58,37  1 8 7 1 8 58,37  2 8 7 7  8 8 7 63,65  Re 8Luego, 63,65  7 Re 8El valor de  es 63,65.Ejemplo 3.6 Demostrar que en una tubería hidráulicamente lisa con números de Reynolds menoresque 105 se cumple que   7 Re 8El número de Reynolds está referido al radio  de la tubería. Hallar el valor de  . La deducción debehacerse sin utilizar la ecuación de anteriormente establecida (ec. 2-28). 117
  • 138.       Solución. Sabemos que el esfuerzo de corte en el contorno es 1 7 1 0,316 0 1 4 4  4 8  24o bien, 1 0033  2 Re 4El número de Reynolds está referido al radio de la tubería.Sabemos también que dentro de la subcapa laminar se puede aceptar que el corte es constante e iguala 0 ,  0Igualando, 1  0033  2 Re 4  1  0 033 Re 4  3  0 033 Re 4 Pero, según la ecuación 3-26, 1 7  1,235  Reemplazando, 1 3 7  0,033 Re  4 1,235   6 3 7 0,033 Re 4 1,235 Elevando a la potencia 7/6, 7 0,033 6 7  Re 8 1,235118
  • 139.          De donde, 68,45  7 Re 8Luego,  = 68,45Ejemplo 3.7 Demostrar que en una tubería hidráulicamente lisa, cuyo número de Reynolds, referido aldiámetro, es menor que 105, se cumple que 1    7 6,99 Solución. Por las condiciones del problema es aplicable la ecuación de Blasius 0,316  1 Re 4Sabemos también que 2  8 2Al combinar estas dos ecuaciones se obtiene la expresión buscada.Ejemplo 3.8 Demostrar que el esfuerzo de corte sobre el contorno se puede expresar por 1 0 2 8Solución. Partimos de la ecuación de Darcy  2    2Reemplazando el diámetro en función del radio hidráulico y despejando la pendiente, se obtiene, 1 1 2    8 Combinando con 0 Se obtiene finalmente 1 0 2 8 119
  • 140.       Ejemplo 3.9 Una fórmula racional para las pérdidas de presión en el caso de flujos en tuberíasgeométricamente similares es  2   Para el caso de una tubería de 4” de diámetro, que lleva agua a una velocidad media de 0,50 m/s lapérdida de carga es de 0,25 m en un tramo de 40 m.Calcular la pérdida de carga en metros de agua en otra tubería de 150 m de longitud y 10” de diámetroen la que circula aire a la velocidad correspondiente para que ambas tuberías sean similares.Asumir que ambas tuberías tienen rugosidades absolutas similares. ConsiderarPeso específico del aire : 1,25 kg/m3Peso específico del agua : 1 000 kg/m3Viscosidad del aire : 1,8x10-4 poisesViscosidad del agua : 1,2x10-2 poisesSolución. Si ambas tuberías son hidráulicamente similares debe cumplirse que el número de Reynoldses el mismo para ambas 1 1 1 2  2 2 1 2Luego al aplicar la fórmula racional, dato del problema a ambas tuberías y al obtener la relación entrelas pérdidas de carga se llega a 1 1 1 12 2 2 2 2 22 1De la igualdad de los números de Reynolds obtenemos 1 1 2 1 000 4 18 10  4 2 1 0 50 2  2 1 125 10 12 10 2 2 2 4 m/scalculamos ahora la relación entre las pérdidas de carga 1 1 000 40 050 2 10 23148 2 125 150 24 4120
  • 141.          Luego, 025 2 0 0108 m 23148la pérdida de carga en la tubería de aire equivale a una altura de 0,0108 m de agua.3.10 Concepto de capa límiteEn el primer capítulo habíamos señalado que la distribución de velocidades en la seccióntransversal depende del número de Reynolds. Para decirlo en otras palabras, el gradientetransversal de velocidades depende del grado de turbulencia. Cuando el flujo es laminar (o seacuando no hay turbulencia) el gradiente de velocidades es muy grande. Al aumentar la velocidad,y por consiguiente el número de Reynolds y el grado de turbulencia, el gradiente de velocidadesdisminuye, tiende a uniformizarse. Llega un momento en el cual la turbulencia está plenamentedesarrollada. En estas condiciones un aumento en el número de Reynolds no conlleva unaumento en el grado de turbulencia.En un flujo con turbulencia plenamente desarrollada la distribución de velocidades es casiuniforme en la sección. La influencia del contorno se limita a una capa, muy delgada, próximaa las paredes. Allí los esfuerzos viscosos son grandes y el gradiente de velocidad es intenso.A esta pequeña capa, se le denomina capa límite. Toda la teoría sobre la capa límite es muycompleja, pero conviene presentar acá los conceptos fundamentales, incidiendo principalmenteen el aspecto físico del problema.Imaginemos un flujo paralelo que se desarrolla en un espacio infinito, sin obstáculo o contornoalguno.Si en este flujo colocamos un obstáculo, es decir, un cuerpo, se producirá fricción entre elfluido y la superficie del cuerpo. En el contorno mismo las velocidades del fluido y del contornodeben ser iguales. Luego en el contorno la velocidad debe ser cero. En las inmediaciones delcuerpo la distribución de velocidades estará determinada por los esfuerzos viscosos. Apareceráun gradiente de velocidades. Al alejarnos del cuerpo, normalmente a su superficie, la velocidadaumenta desde cero en el contorno hasta alcanzar, a una distancia la velocidad quetendría en ausencia del cuerpo. 121
  • 142.        Figura 3.5 Flujo paraleloConsideremos que el cuerpo esta constituido por una placa lisa y delgada con borde deataque agudo y que el flujo es bidimensional. Para facilitar la interpretación del dibujo laescala vertical aparece considerablemente ampliada.Esta zona de espesor variable que se inicia en el borde de ataque y que crece hacia aguasabajo se denomina capa límite.La teoría de la capa limite planteada por Prandtl en 1904 es uno de los aportes mássignificativos a la Mecánica de Fluidos.La esencia de la teoría de Prandtl consiste en separar el escurrimiento en dos regiones: unainterior y otra exterior a la capa límite.  Figura 3.6 Generación de una capa límite122
  • 143.          Dentro de la capa limite los esfuerzos viscosos son intensos y determinan un fuerte gradientede velocidades. Fuera de la capa límite el fluido se comporta como perfecto e irrotacional conenergía constante y por la tanto son aplicables las ecuaciones de Euler y la teoría del flujopotencial.La consecuencia práctica de esto es que el movimiento de un fluido puede describirse comosi correspondiera a un fluido ideal, salvo en una pequeña capa, próxima al contorno, que es lacapa límite.El espesor de esta capa es más pequeño mientras mayor es el número de Reynolds. Para unnúmero de Reynolds infinito, que corresponde a un fluido ideal, sin viscosidad, es evidenteque el espesor de la capa límite es nulo (ver Figura 1.13).3.11 Espesor de la capa límiteDe lo anteriormente expuesto se desprende que la distancia del contorno a la cual la velocidadsería la misma que habría de no existir el cuerpo o placa, sólo puede alcanzarse asintóticamente.Por lo tanto las definiciones para el espesor de la capa límite son más o menos arbitrarias.Utilizaremos el concepto de espesor nominal de la capa límite.La definición más generalizada considera como espesor la distancia a la cual la velocidad esel 99 % de la que existiría en ausencia del contorno.   (a) (b) Figura 3.7 Definición del espesor de la capa límite 123
  • 144.       Otra manera de definir el espesor nominal de la capa límite se presenta en la Figura 3.7 (a).Se traza la asíntota y una recta que partiendo del origen intercepta a la asintota de modo quelas áreas achuradas sean iguales.En la Figura 3.7 (b) se presenta otra definición similar. Se intercepta la asintota con unatangente a la curva de origen. 0,99        Figura 3.8 Espesor de la capa límiteOtra forma de definición es la que considera el “espesor de desplazamiento”. El espesor dedesplazamiento es la distancia en la que se considera desplazado el flujo como consecuenciade la disminución de velocidad en la capa límite.Debido al gradiente de velocidades dentro de la capa límite hay una disminución en el flujocuyo valor sería  (  )   0El resultado de esta integral debe ser igual al producto de la velocidad que hay fuera de lacapa límite por el espesor de desplazamiento * .   (  )   0o bien,   1  (3-27)  0 124
  • 145.          3.12 Desarrollo de la capa límiteEn la Figura 3.9 el flujo que se aproxima a la placa puede ser laminar o turbulento. Encualquier caso, sin embargo, si es que la placa es suficientemente lisa, la capa límite eslaminar hasta una cierta distancia del borde de ataque. Luego de una transición, se vuelveturbulenta. Aparece entonces dentro de la capa límite turbulenta una subcapa laminar. Estasubcapa laminar es la que hemos estudiado en la capítulo II (ec. 2-28).La transición entre el flujo laminar y turbulento dentro de la capa límite se produce paravalores del número de Reynolds comprendidos entre 2x105 y 106 siendo,  ReSe denomina  a la distancia medida desde el borde de ataque y a lo largo de la placa en ladirección del escurrimiento.Obsérvese que este número de Reynolds para la capa límite se define de un modo diferente alnúmero de Reynolds de una tubería o un canal.El espesor de la capa límite laminar  viene dado por, 1 5 2 1  5  2 (3-28) 1 2  ReEl espesor de la capa límite turbulento  viene dado por, 1 0,38  4 5  0,38 5 (3-29) 1 5  ReComparando ambas expresiones se observa que el espesor de la capa límite turbulenta crececon el exponente 4/5 de  , mientras que la capa límite laminar crece con el exponente 1/2.Es decir que la capa límite turbulenta crece más rápidamente que la laminar.Las expresiones que dan el espesor de la capa límite se derivan a partir de considerar elcambio de la cantidad de movimiento, la fricción con el contorno y el gradiente de presiones. 125
  • 146.       3.13 La separación. Expansión de un conductoSi la capa límite se desarrolla en una tubería que arranca de un estanque, se presentarán lasfases descritas en la Figura 3.9. Para un determinado valor de  la capa límite turbulenta sehabrá desarrollado íntegramente en la sección transversal y es igual al radio. Si las paredesde la tubería son suficientemente lisas se desarrollará una subcapa laminar de espesor .  ecuación 3-29 ecuación 3-28 subcapa  laminar    laminar transición turbulento Figura 3.9 Capa límite laminar y turbulentaHasta ahora hemos considerado que el flujo exterior a la capa límite se caracteriza por tenerenergía constante, sin embargo normalmente la presión disminuye en la dirección delescurrimiento, lo que implica  0 Puede ocurrir también que por las características del contorno la presión aumente en ladirección del escurrimiento,  0 Se trata entonces de una expansión y la capa límite aumenta de espesor rápidamente. En elprimer caso la capa límite aumenta de espesor lentamente.El efecto del gradiente de presiones del escurrimiento sobre el espesor de la capa límite se126
  • 147.          ilustra en el siguiente dibujo esquemático.   0 0   Capa límite Figura 3.10 Variación del gradiente de presiones La condición 0 corresponde a líneas de corriente divergentes. Si esta condición se presenta en el escurrimiento, su efecto será muy fuerte en la capa límite puesto que allí setiene el efecto de fricción del contorno. Las partículas fluidas de la capa límite se mueven muylentamente, y al haber presión adversa van perdiendo velocidad hasta que se detienen. Luegopor efecto del gradiente de presiones positivas se produce dentro de la capa límite unacontracorriente. Aparece una separación que se inicia en el punto S. S Contracorriente Figura 3.11 Fenómeno de la separación 127
  • 148.       La separación es el fenómeno de alejamiento del flujo de la pared. Queda una porción en laque hay fluido, pero no flujo, en la dirección principal de la corriente. Puede haber movimientoen dirección contraria a la del escurrimiento principal (contracorriente).Lo anteriormente expuesto se puede resumir señalando que siempre que por una razón u otrahaya un incremento de presión, las partículas de la capa límite perderán velocidad hastadetenerse y si la diferencia de presión es muy fuerte las partículas avanzan en direccióncontraria a la del escurrimiento. Capa límite Capa límite Figura 3.12 Desarrollo de la capa límite en una expansiónEste problema se presenta en una expansión, en un flujo de líneas de corriente divergentes.Podría ser el caso de un difusor o un canal de sección creciente (una transición).Si el gradiente de presiones es muy grande se produce la separación. Contracorriente Corriente principal Contracorriente Figura 3.13 Aparición de contracorrientes128
  • 149.          Ejemplo 3.10 Fluye agua con una viscosidad de 10-6 m2/s a una velocidad uniforme de 2,5 m/s. El flujoes paralelo. Se coloca una placa delgada y lisa paralela a la corriente. Calcular la longitud de la porciónlaminar de la capa límite formada. Calcular el espesor de la capa límite a 5 cm y 1 m del borde de ataque.Solución. La transición se produce para  5 105Luego, 5 105 10 6  0,2 m 2,5La longitud de la porción laminar de la capa límite es de 20 cm.Luego para  = 5 cm la capa límite es laminar. 5  1 Re 2  Re 12,5 10 4 5 5 10 2a)  7,07 10 4 m 12,5 10 2b) A la distancia de 1 m el flujo es turbulento 0,38  1 Re 5 El número de Reynolds es  Re 2,5 10 6 y, 0,38  2 cm 19 129
  • 150.        PROBLEMAS PROPUESTOS (Capítulo III)1 . Discutir como varía en una tubería la relación de la velocidad máxima a la media a ) Para números de Reynolds crecientes. b) Para rugosidad relativa creciente (para tuberías de rugosidad artificial).2. Explique teóricamente por que no hay exactamente el mismo valor para  en los ejemplos 3.5 y 3.6.3. Si admitimos que en la ecuación de Darcy el valor de  viene dado por la ecuación de Blasius y hacemos los reemplazos correspondientes demostrar que el exponente de la velocidad sería 1,75.4. Demostrar que 3 1 2,93  1,55  2 1 0,98 5. Se han efectuado mediciones puntuales de la velocidad en una tubería con flujo turbulento encontrándose que la velocidad a la distancia  / 4 del contorno es igual a 0,89  Calcular el valor del coeficiente  de Darcy y la rugosidad relativa.6. Calcular para el ejemplo 2.1, cuál es la pérdida de carga que se produce en la tubería, aplicando la ecuación de Darcy. Comparar resultados.7. Calcular para el ejemplo 2.3, cuál es la pérdida de carga que se produce en la tubería, aplicando la ecuación de Darcy. Comparar resultados.8. Calcular para el ejemplo 2.5, cuál es la pérdida de carga que se produce en la tubería, aplicando la ecuación de Darcy. Calcular el valor de  a partir del coeficiente  de Chezy y a partir de la ecuación de Blasius. Comparar resultados.9. A partir del valor de  obtenido en el problema propuesto 1 del segundo capítulo, calcular el valor de  y comparar con el obtenido a partir de la ecuación de Blasius. Calcular la pérdida de carga.130
  • 151.          10. Se tiene dos tuberías de igual diámetro por las que circula el mismo gasto. En la primera el flujo es laminar. En la segunda, que es de paredes lisas, el número de Reynolds es de 80 000 (referido al diámetro). Demostrar que la relación entre las velocidades máximas respectivas es de 1,67.11. Partiendo de que en una tubería rugosa con flujo turbulento la resistencia 0 por unidad de área del contorno depende de la viscosidad , de la densidad , de la velocidad  del fluido y del diámetro  y la rugosidad absoluta  de la tubería, demostrar que 0   ,  2 12. Mediante consideraciones dimensionales puede demostrarse que,   2 expresión en la que  es la fuerza de fricción por unidad de área del contorno, es la densidad,  es la velocidad media,  el diámetro y la viscosidad dinámica. Se trata de simular el flujo del aire en una tubería en un modelo a la escala 1/4 en el que fluye agua. La velocidad del aire es de 25 m/s. Calcular a) Cuál debe ser la velocidad correspondiente del agua en el modelo para que exista similitud. b) Cuál sería la pérdida de carga por unidad de longitud en la tubería para aire si en el modelo para agua la pérdida de carga por unidad de longitud es de 0,20 kg/cm2. Peso específico del agua : 1 000 kg/m3 Peso específico del aire: 1,25 kg/m3 La viscosidad dinámica del agua es 60 veces la dinámica del aire.13. Según Nikuradse la relación entre el coeficiente  de Darcy y el número de Reynolds Re , referido al diámetro, es 0,221  0,0032 Re 0 , 237 para números de Reynolds comprendidos entre 105 y 107 (ec. 3-15). Calcular cuál es el valor de  y el correspondiente número de Reynolds, para los que ésta fórmula da los mismos resultados que la ecuación de Blasius. 131
  • 152.       14. Demostrar que en un conducto hidráulicamente liso se cumple que  14 15. Demostrar que la expresión para la velocidad media obtenida a partir de la fórmula de Colebrook y White  2,51  2 8   log 14,8  4 8    tiene la forma de la ecuación de Chezy, 6  18 log   2 7 Calcular el valor numérico de los coeficientes que resulten de la transformación. ¿Por qué no son exactamente iguales a los de la ecuación de Chezy?16. La distribución de velocidades en una tubería circular esta dada por 1   7 1,235   Calcular a qué distancia del contorno la velocidad (  ) es igual a la velocidad media.17. En una tubería AB de 20” de diámetro, cuyo gasto es de 1 200 l/s, se ha verificado una pérdida de presión de 4 kg/cm2 entre los puntos A y B, cuya separación es de 1 km. El punto B está 2 m por encima del punto A. La temperatura del agua es de 8 ºC. Suponer que la rugosidad de las paredes es uniforme. Calcular a) El coeficiente  de Darcy b) La calidad de las paredes (lisa o rugosa) c) El valor de la rugosidad absoluta (supuesta uniforme), analítica y gráficamente d) La velocidad máxima18. En una tubería de 6” de diámetro hay un escurrimiento cuyo número de Reynolds (referido al diámetro), es de 22 000. Calcular el coeficiente  de Darcy.132
  • 153.          19. Comparar los ejemplos 8 y 9 y demostrar que se trata de una misma tubería, (con la única diferencia en la longitud).20. Demostrar que el ejemplo 2.5 satisface los resultados del ejemplo 3.5.21. En una tubería el valor de es 1,08. Calcular la relación entre la velocidad máxima y la media.22. Calcular los valores de y para la tubería del problema propuesto 5 de este capítulo.23. En una tubería de 0,75 m de diámetro fluye aceite cuya viscosidad cinemática es de 1,25x10-4 m2/ s. La rugosidad absoluta es de un décimo de milímetro. Cada 100 m de recorrido se pierde una energía equivalente a 1,45 m de columna fluida. Calcular cuál sería el porcentaje de disminución en el gasto si resultara que el diámetro de 0,75 m es exterior y no interior, como se supuso en los cálculos. El espesor de la tubería es de 2 cm.24. Demostrar que los valores del problema 23 satisfacen la ecuación 3-14.25. Se tiene una tubería de 1 m de diámetro. La rugosidad de las paredes es de 1 mm. Se mantiene un movimiento uniforme por medio de la energía equivalente a 2 m de columna de agua por cada 100 m de tubería. La viscosidad del agua es de 10-6 m2/s. Después de algunos años de uso, la rugosidad aumentó a 1,5 mm. Calcular los valores iniciales y finales de la velocidad media y del coeficiente  de Darcy. Calcular cuál sería la energía requerida para mantener la velocidad inicial cuando se tiene el nuevo valor de la rugosidad. 133
  • 154.      CAPITULO  DISEÑO DE TUBERIAS4.1 Concepto de pérdida de carga. Línea de energía y línea piezométricaSea una tubería de sección variable como la mostrada en la Figura 4.1. Si aplicamos laecuación de la energía entre las secciones 1 y 2 se tiene L. E.  1 1    1-2 2 2  2 2 2 L. P. 2 1  2  1 Plano de 2 referencia 1 2 Figura 4.1 Ecuación de la energía en una tubería 135
  • 155.        12 1 22 2 1 ⌡ ⌡ 1  2 ⌡ ⌡ 2 ⌡  (4-1) 2  2  1 2Es decir, que al pasar de 1 a 2 hay una parte de la energía que “se pierde”: que no setransforma en presión, velocidad o elevación. Es la energía consumida en forma de fricción yque denominamos   , pérdida de energía o pérdida de carga.Para el movimiento uniforme, la sección transversal es invariable, por lo tanto la velocidadtambién lo es y la energía de velocidad es constante 12 22  2 2 1 2 es el coeficiente de Coriolis estudiado en el capítulo I.Entonces, la ecuación de la energía es simplemente 1 2 ⌡ 1  ⌡ 2 ⌡  1 2A la línea que resulta de unir las elevaciones a las que sube el líquido en una serie depiezómetros instalados a lo largo de la tubería se le denomina línea piezométrica o línea degradiente hidráulica (L. P.).Si en cada sección se adiciona a la cota piezométrica el valor correspondiente a la energía develocidad se obtiene la línea de energía. En el movimiento uniforme la línea de energía y lalínea piezométrica son paralelas.Con respecto a la línea de gradiente o piezométrica conviene ordenar los siguientes conceptosa) La línea de gradiente indica por medio de su altura sobre el eje de la tubería la presión en cualquier punto de ella.b) En una tubería, o en tuberías de igual rugosidad y diámetro, cuanto mayor es la pendiente o inclinación de la línea de gradiente tanto mayor será la velocidad del fluido.c) La línea de gradiente hidráulica indica por su descenso vertical la energía perdida entre dos secciones (para el movimiento uniforme).d) La gradiente hidráulica es recta para tuberías rectas de sección transversal constante y para tuberías cuya longitud sea aproximadamente igual a la línea que une sus extremos.La línea de energía siempre desciende en la dirección del escurrimiento, salvo que se coloqueuna bomba.136
  • 156.     La línea de gradiente hidráulica no siempre desciende en la dirección del escurrimiento.La línea de energía y la de gradiente coinciden con la superficie libre para un líquido enreposo. Tal sería el caso de un estanque.En la ecuación de la energía 4-1 se ha designado como  a la suma de todas las 1 2pérdidas de carga (de energía) que ocurren entre 1 y 2.Estas pérdidas de carga son fundamentalmente de dos tipos: continuas y locales.Las pérdidas de carga continuas se deben a la fricción y se calculan por medio de la fórmulade Darcy (ecuación 3-3).  2      2Las pérdidas de carga locales dependen de las características de cada singularidad, válvula,codo, etc.; y en el apartado 4.3 se presentarán sus valores.PotenciaSe llama potencia de una corriente líquida a su energía por unidad de tiempo.     (4-2) es el peso específico del fluido en kg/m3,  es el gasto en m3/s,  es la energía total conrespecto al plano de referencia, en metros,  es la potencia en kg-m/s (teórica). Paraobtener esta potencia en  HP (Horse Power)   76  CV (Caballos de vapor)   75  KW (kilowatts)   102 137
  • 157.       Ejemplo 4.1 De un estanque sale una tubería de 10” de diámetro que termina en una boquilla de 4” dediámetro. La velocidad de salida del agua es de 15 m/s. Calcular la potencia teórica del chorro.Solución. El gasto es    Ι   0,1216 m3/sLa energía en la boquilla es 2  11,48 m (  es la velocidad de salida) 2La potencia teórica del chorro, según la ecuación 4-2, es   1 396 kg m/so bien, 18,4 HP = 13,7 KW4.2 Abaco de Moody. Tuberías comerciales. CálculoEn el apartado 3.2 se señaló la naturaleza compleja e irregular que tiene la rugosidad de lastuberías comerciales. De acá que Nikuradse usó en sus experiencias rugosidad artificialconstituida por esferas de diámetro uniforme (granos de arena).Pero las tuberías comerciales tienen rugosidad natural. El Estudio experimental de la pérdidade carga fue hecho, entre otros, por Moody, estableciendo un gráfico similar al de Nikuradsey que relaciona el coeficiente  de Darcy, el número de Reynolds y los valores de la rugosidadrelativa (Figura 4.2). Las características de este gráfico son similares al de Nikuradse.Las tuberías comerciales son de diferentes materiales: fierro fundido, acero, asbesto-cemento,concreto, plomo, plásticos, etc. Cada material tiene una rugosidad característica propia, cuyovalor forma parte de la descripción técnica de la tubería. De otro lado debe tenerse presenteque la rugosidad cambia con el tiempo. Después de varios años de uso una tubería es másrugosa de lo que era inicialmente. Este fenómeno de envejecimiento de las tuberías serádescrito mas adelante.La selección del material de una tubería depende de varios factores: costo inicial, costo dereposición y mantenimiento, capacidad inicial, cambio con el tiempo, resistencia, duración,calidad y características químicas del fluido, etc. Los valores de la rugosidad absoluta  seobtienen de la Tabla 2.1 ó de la 4.4.138
  • 158.     Los problemas que pueden presentarse en el cálculo de tuberías son los siguientesa) Cálculo de la pérdida de carga   Es el caso más simple, los datos son  : gasto  : longitud  : diámetro : viscosidad cinemática  : rugosidad Con estos datos se determina inmediatamente los dos parámetros necesarios para aplicar el diagrama de Moody, que son el número de Reynolds y la rugosidad relativa    Con ellos se determina el valor de  y aplicando la ecuación de Darcy se calcula la pérdida de carga   .b) Cálculo del gasto  Los datos son  : longitud  : diámetro : viscosidad cinemática  : rugosidad  : pérdida de carga Con estos datos no es posible calcular el número de Reynolds. Debe procederse por aproximaciones sucesivas. Primero se calcula la rugosidad relativa y observando el diagrama de Moody se supone un valor para  (podría ser, por ejemplo, el que corresponde a turbulencia plenamente desarrollada). Con este valor de  incorporado a los datos se calcula un valor tentativo para la velocidad, en base a la cual se halla un número de Reynolds. Con el número de Reynolds y la rugosidad relativa se calcula un valor para  , el cual se compara con el supuesto inicialmente. Si la diferencia fuera grande debe hacerse un nuevo cálculo hasta conseguir igualdad en las dos primeras cifras significativas. Obtenidos los valores de  y de  se debe verificar que satisfacen la ecuación de Darcy. Con el valor correcto de la velocidad se calcula el gasto. 139
  • 159.       140
  • 160.     Ejemplo 4.2 Se tiene una tubería nueva de fierro fundido (  = 0,00025 m) de 10” de diámetro. Lalongitud es de 1 000 m. Conduce agua cuya viscosidad es de 10-6 m2/s. La pérdida de carga (de energía)en el tramo considerado es de 10 m. Calcular el gasto.Solución. La rugosidad relativa es   = 0,001Si suponemos que la turbulencia está plenamente desarrollada  = 0,0198Calculamos ahora la velocidad a partir de la ecuación de Darcy,  2 1 000  2 10    00198  2 0254 2 De acá se obtiene,  = 1,59 m/sLuego,   159 Ι 0254 Re    404 Ι 105  10 6Consideramos ahora como datos el número de Reynolds y la rugosidad relativa y hallamos  en eldiagrama de Moody,  = 0,0205Valor que difiere del supuesto. A partir del nuevo valor de  hacemos un nuevo cálculo para lavelocidad y se obtiene  = 1,56 m/sde donde, Re = 3,96x105y en el diagrama de Moody encontramos,  = 0,0205Valor igual al supuesto. Luego la velocidad es de 1,56 m/s y el gasto 2     1,56 = 0,079 m3/s = 79 lps 4Los valores de  y  satisfacen la ecuación de Darcy. 141
  • 161.       c) Cálculo del diámetro  Los datos son  : longitud : viscosidad  : rugosidad  : pérdida de carga  : gastoSi expresamos la ecuación de Darcy reemplazando la velocidad en función del gasto y delárea se tiene  2     2 2 2 4De donde, 8 2   5   2 o bien,  2 5  0 0827  (4-3) Para la solución se recomienda el siguiente procedimiento1. Escoger tentativamente un diámetro. Este valor debe corresponder a los valores comerciales, que se expresan generalmente en pulgadas y pueden ser: 1/8, 1/4, 3/8, 1/ 2, 3/4, 1, 1 1/4, 1 1/2, 2, 2 1/2, 3, 3 1/2, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 24 y 30”. Para hacer un diseño debe conocerse cuales son los diámetros comerciales disponibles. Eventualmente su número puede ser muy restringido.2. Calcular la velocidad media y el número de Reynolds.3. Calcular la rugosidad relativa.4. Con el diagrama de Moody hallar el valor de  .5. Con la ecuación de Darcy calcular la pérdida de carga.6. Verificar que la pérdida de carga así calculada es igual o menor que la pérdida de carga admisible (dato).7. Caso contrario repetir el procedimiento8. Si la pérdida de carga está entre los valores que corresponden a dos diámetros comerciales sucesivos, tomar el diámetro mayor.142
  • 162.     Otro procedimiento para resolver el problema es el siguiente1. Suponer un valor para  .2. Calcular el diámetro a partir de la ecuación 4-3.3. Calcular el número de Reynolds considerando que  Re  y que, por la ecuación de continuidad 4  2  se expresa como, 4 1 Re  D4. Calcular la rugosidad relativa.5. Con el diagrama de Moody hallar el valor de  .6. Si este valor es diferente al supuesto repetir el procedimiento con el nuevo valor hallado.7. Si el valor de  es igual al supuesto el problema está resuelto, pero como seguramente el diámetro obtenido no es comercial se toma el inmediato superior.Para el agua se presentan, en la Tabla 4.1, valores usuales del coeficiente de Darcy. Estatabla es muy útil para aligerar los cálculos.Los métodos acá presentados no son los únicos para resolver problemas de tuberías. Existendiversos procedimientos de cálculo que última instancia lo que tratan de establecer es el valordel coeficiente de Darcy que corresponde a una rugosidad relativa y a un número de Reynoldsdados.Hasta acá el método desde el punto de vista de la Mecánica de los Fluidos. El ingenierohidráulico que se enfrenta a un problema real introduce una condición adicional: la velocidadmedia en la tubería. Al ingeniero no le basta que los valores de la rugosidad relativa y elnúmero de Reynolds sean compatibles con el coeficiente de Darcy. Requieren además que lavelocidad esté comprendida entre ciertos valores, máximos y mínimos, que garantizarán uncomportamiento hidráulico mejor; sin considerar por ahora, el problema de costos y de diámetromás económico, lo que será analizado posteriormente.Las velocidades grandes pueden significar la aparición de fenómenos inconvenientes, comoel golpe de ariete, por ejemplo.El ingeniero que busca el diámetro que debe tener una conducción, piensa generalmente entérminos de la velocidad media. Es usual empezar los cálculos fijando el rango de velocidadesadmisibles. De allí se deduce el diámetro y se continúa con el método antes señalado. 143
  • 163.        TABLA 4.1 VALORES DE  PARA EL AGUA Temperatura 10 ºC a 24 ºC. Valores de  x 104 Velocidad  m/s 0,30 0,60 0,90 1,20 1,50 1,80 2,40 3,00 4,50 6,00 9,00 Calidad Rugosa 435 415 410 405 400 395 395 390 385 375 370 Media 355 320 310 300 290 285 280 270 260 250 250 4” Nueva 300 265 250 240 230 225 220 210 200 190 185 Muy lisa 240 205 190 180 170 165 155 150 140 130 120 Rugosa 425 410 405 400 395 395 390 385 380 375 365 Media 335 310 300 285 280 275 265 260 250 240 235 6” Nueva 275 250 240 225 220 210 205 200 190 180 175 Muy lisa 220 190 175 165 160 150 145 140 130 120 115 Rugosa 420 405 400 395 390 385 380 375 370 365 360 Media 320 300 285 280 270 265 260 250 240 235 225 8” Nueva 265 240 225 220 210 205 200 190 185 175 170 Muy lisa 205 180 165 155 150 140 135 130 120 115 110 Rugosa 415 405 400 395 390 385 380 375 370 365 360 Media 315 295 280 270 265 260 255 245 240 230 225 10” Nueva 260 230 220 210 205 200 190 185 180 170 165 Muy lisa 200 170 160 150 145 135 130 125 115 110 105 Rugosa 415 400 395 395 390 385 380 375 365 360 355 Media 310 285 275 265 260 255 250 240 235 225 220 12” Nueva 250 225 210 205 200 195 190 180 175 165 160 Muy lisa 190 165 150 140 140 135 125 120 115 110 105 Rugosa 405 395 390 385 380 375 370 365 360 350 350 Media 300 280 265 260 255 250 240 235 225 215 210 16” Nueva 240 220 205 200 195 190 180 175 170 160 155 Muy lisa 180 155 140 135 130 125 120 115 110 105 100 Rugosa 400 395 390 385 380 375 370 365 360 350 350 Media 290 275 265 255 250 245 235 230 220 215 205 20” Nueva 230 210 200 195 190 180 175 170 165 160 150 Muy lisa 170 150 135 130 125 120 115 110 105 100 95 Rugosa 400 395 385 380 375 370 365 360 355 350 345 Media 285 265 255 250 245 240 230 225 220 210 200 24” Nueva 225 200 195 190 185 180 175 170 165 155 150 Muy lisa 165 140 135 125 120 120 115 110 105 100 95 Rugosa 400 385 380 375 370 365 360 355 350 350 345 Media 280 255 250 245 240 230 225 220 210 205 200 30” Nueva 220 195 190 185 180 175 170 165 160 155 150 Muy lisa 160 135 130 120 115 115 110 110 105 100 95 Rugosa 395 385 375 370 365 360 355 355 350 345 340 Media 275 255 245 240 235 230 225 220 210 200 195 36” Nueva 215 195 185 180 175 170 165 160 155 150 145 Muy lisa 150 135 125 120 115 110 110 105 100 95 90 Rugosa 395 385 370 365 360 355 350 350 345 340 335 Media 265 250 240 230 225 220 215 210 200 195 190 48” Nueva 205 190 180 175 170 165 160 155 150 145 140 Muy lisa 140 125 120 115 110 110 105 100 95 90 90 (Tomada del libro ’’Theory and Problems of Hydraulics and Fluid Mechanics’’ de Ronald V. Giles, de la Colección Shaum)144
  • 164.     Ejemplo 4.3 Calcular el diámetro que debe tener una tubería nueva, de cemento enlucido (  = 0,0004 m)para conducir 2 m3/s. La viscosidad del agua es de 1,2 x 10-6 m2/s. La longitud de la tubería es de 1 000 m.La pérdida de carga admisible es de 25 m.Solución.1. Supongamos  = 0,022. Calculamos el diámetro.  2 5  0,0827   0,265    0 767 m3. Calculamos el Número de Reynolds 4 1 Re   277 Ι 106  4. La rugosidad relativa es  0,0004   0,00052  0,07675. Con el ábaco de Moody hallamos el valor de   = 0,01686. Repetimos el procedimiento, con el nuevo valor de  . 5 = 0,222  = 0,74 m Re = 2,87 x 106  = 0,00054   = 0,01687. Como el valor que hemos encontrado para  es igual al último valor supuesto éste es el valor correcto. Los valores de  y de  satisfacen la ecuación de Darcy. Luego,  = 0,74 m  = 29,13’’ 145
  • 165.        En este caso escogemos  = 30’’ Este problema se ha resuelto según el método segundo propuesto para el cálculo del diámetro. No se ha calculado la velocidad media. Hemos obtenido el diámetro y no sabemos, si esta velocidad es, por ejemplo, muy grande. Si lo fuera habría que verificar que esa alta velocidad no nos traerá dificultades. Hubiera sido más práctico, desde el punto de vista del ingeniero, empezar por fijar el valor máximo para la velocidad. Posteriormente se verá que el problema es también económico.Ejemplo 4.4 Qué presión se requiere para impulsar 20 lps a lo largo de una tubería lisa, horizontal, de2” de diámetro. La longitud del tramo es 300 m. La viscosidad del agua es 10-6 m2/s.Solución. Por ser una tubería horizontal 1 2   Para calcular la presión requerida ( 1 2 ) debemos establecer la pérdida de carga.El número de Reynolds es 5x105 y para el coeficiente  de Darcy se obtiene 0,013 (Diagrama deMoody). Aplicando la ecuación de Darcy se obtiene   = 381,6 my por lo tanto 1 2    38,2 kg/cm2Este ejemplo se ha presentado con el objeto de mostrar que un diámetro pequeño puede dar lugar auna alta velocidad y a una gran pérdida de carga. 0Ejemplo 4.5 Calcular el gasto delsistema mostrado en la figura. Laviscosidad del agua es 1,2x10-6 m2/s. 5mLa tubería es lisa. Considerarúnicamente las pérdidas de cargacontinuas. El diámetro de la tuberíade descarga es de 2 cm. 1 2 4m146
  • 166.     Solución. Aplicamos la ecuación de la energía entre los puntos 1 y 2 12 1 2  ⌡ ⌡ 1  2 ⌡ 2 ⌡  2 ⌡  1 2 2  2 Pero, 1   2 ; 1  2  Luego, 1 2  2   1 2    2Ahora aplicamos el teorema de Bernoulli entre 0 y 1 02 0 2  ⌡ ⌡ 0  1 ⌡ 1 ⌡ 1 2  2  0   2  0Combinando las dos ecuaciones, Energía y Bernoulli, se obtiene 12  2 0 1  ⌡  2  2Obsérvese que la energía disponible se usa una parte para imprimir energía cinética y otra para vencerla fricción.De acá, 2   0 1  12    ⌡1 Reemplazando valores, 2 Ι 5 10  12    4 ⌡1 200  ⌡ 1 (1) 0 02De otro lado sabemos que el número de Reynolds es 1  002 1 Re    16667 1  12  10 6 147
  • 167.       Aplicamos ahora un método de tanteos, asumiendo valores para la velocidad. 1  Re 1 (supuesto) (según Blasius) 1,0 16 667 0,0278 3,87 2,0 33 334 0,0234 4,16 2,5 41 667,5 0,0221 4,25 4,0 66 668 0,0197 4,46 4,2 70 001,4 0,0194 4,48 4,3 71 668,1 0,0193 4,49 4,4 73 334,8 0,0192 4,50 4,5 75 001,5 0,0191 4,51 4,51 75 168,2 0,0191 4,51 1  4,51 m/s   0,00142 m3/sLos valores de  se han obtenido aplicando la ecuación de Blasius. Podrían haberse obtenido deldiagrama de Moody.Como se señaló antes la energía disponible es de 5 m. Esta energía se usa, una parte para imprimirenergía cinética y otra para vencer las fuerzas de fricción.En este problema particular no se ha tomado en cuenta las pérdidas locales. 2 Energía de velocidad = 1,04 m 2