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Armonia en la naturaleza: La Perfección
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Armonia en la naturaleza: La Perfección

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  • 1. LA ARMONIA EN LA NATURALEZA: EL NUMERO AUREO La geometría tiene dos grandes tesoros: uno es el teorema de Pitágoras, y el otro el número áureo. El primero puede compararse a una medida de oro, y el segundo a una piedra preciosa. KeplerJaime Bravo Febres 2007
  • 2. El número designado con letra griega  = 1,61803...(Fi), llamado número de oro y que es la inicial delnombre del escultor griego Fidias que lo tuvo presenteen sus obras.Es el llamado número de oro (representadohabitualmente con la letra griega ) o tambiénsección áurea, proporción áurea o razón áurea
  • 3. La sección áurea y el número de oroLa sección áurea es la división armónica de unsegmento en media y extrema razón.Es decir, que el segmento menor es al segmento mayor,como este es a la totalidad.Tomemos un segmento de longitud uno y hagamos en élla división indicada anteriormente. 1 x x   x 1
  • 4. 1 x x   1 x  x  x  x 1  0 2 2 x 1Una de las soluciones de estaecuación (la solución positiva) ESTE ES ELes: NUMERO AUREO 1 5x  1.61803398 ... 2
  • 5. El rectángulo áureoDibujamos un cuadrado y marcamos el punto medio deuno de sus lados. Lo unimos con uno de los vértices dellado opuesto y llevamos esa distancia sobre el ladoinicial, de esta manera obtenemos el lado mayor delrectángulo R Q A o B C
  • 6. Construcción del rectángulo áureo:Para realizar esta construcción, necesitaremos regla ycompás. Procederemos de la siguiente manera:1. Construimos un cuadrado de lado 2a 2a 2a
  • 7. 2. Dividimos el cuadrado en dos rectángulos iguales, y trazamos la diagonal del segundo rectángulo: a 5d 5a 2  d 2 a 5 2a 4a 2  a 2  d 2 a a ( 2a ) 2  a 2  d 2 Por el teorema de Pitágoras se tiene:
  • 8. 3. marcamos dicha medida sobre la horizontal y se tiene: B C ABCD, ES RECTANGULO a 5 AUREO 2a D A a a
  • 9. Como determinar cuando un rectángulo es áureo. P N POR TANTO D C ABCD ES RECTANGULO x AUREO y A x B y MComo los triángulos rectángulos ABC y x y AMN son semejantes resulta:  x xy
  • 10. ESPIRAL AUREA O ESPIRAL DE DUREROSi tomamos un rectángulo aúreo (largo/ancho = nº deoro) y lo dividimos en dos partes de tal forma que unade ellas sea un cuadrado de lado el ancho delrectángulo, la otra parte es otro rectángulo aúreo.Podemos repetir esta operación de forma indefinida,logrando una espiral como muestra el dibujo
  • 11. Otra espíral gnómica basada en el númeroáureo es la que se construye tomando comobase un triángulo isósceles cuyo ángulomenor mide 36°. A partir de cada triángulo seconstruye otro triángulo isósceles cuyo ladomenor coincide con el mayor del triánguloanterior.Los cocientes entre el lado mayor y el ladomenor de cada triángulo tiende hacia elnúmero de oro.La espiral se construye uniendo mediantearcos de circunferencia los vérticesconsecutivos de estos triángulos. Espiral de DureroEl resultado es otra similar cuya pulsación, elfactor de crecimiento es el número áureo.
  • 12. EN LA NATURALEZALa espiral (El número de oro) está en los moluscos como elNAUTILIUS,
  • 13. En el huevo de lasaves se encontradotambién relacionesdel numero áureo.
  • 14. Está también en todos los animales, plantas y objetospentagonales: flores, estrellas de mar, etc EN EL GIRASOL EN LAS FLORES
  • 15. En las avesEn las hormigas
  • 16. En las PlantasEn las flores
  • 17. Galaxias del Universo
  • 18. Galaxias Lenticulares
  • 19. En el Tsunami de Asia 2003??
  • 20. EN LA ECONOMIASu carnet de identidad es un rectángulo áureo,y por tanto las tarjetas de crédito, y en granparte de las tarjetas que utilizamos así como elfrente de casi todas las cajetillas de tabaco.
  • 21. a bEn los objetos caseros
  • 22. EN EL SER HUMANO EL PRIMERO EN ESTUDIAR LA RELACION DEL NUMERO AUREO EN EL HOMBRE FUE LEONARDO DA VINCILEONARDO LUCA PACIOLI DA VINCILUCA PACIOLI A LA PROPORCION AUREA LA DENOMINOPROPORCION DIVINA POR SUS PROPIEDADES.
  • 23. LEONARDO DA VINCI ENCONTRO EL NUMERO AUREO ENRELACIONES CORPORALES DEL SER HUMANO. VITRUBIO
  • 24. Este sería a juicio de un artista el rostro más perfecto de mujer
  • 25. En la mano humana, la distancia entre las falanges están en razón áurea. Es áurea la relación entre la distancia entre los ojos y el ancho de los mismos.Cuando los dientes no están juntos, la lineade los labios divide la parte inferior delrostro según la proporción áurea.
  • 26. Un detalle curioso conocido por los clásicos es que ladistancia del ombligo al suelo es justamente la razónáurea de su altura.
  • 27. Para verificar las medidas antropométricas en el ser humanopodemos llenar la tabla siguiente, recordando que dos razonesgeométricas de igual valor pueden dar origen a una proporcióngeométrica. Longitud de la Longitud del cima de la ombligo hasta Estatura cabeza hasta ESTUDIANTE la planta del a/b b/c a el ombligo pie (a – b) b C
  • 28. Si tomamos un rectángulo aúreo (largo/ancho = nº de oro) y lo dividimos en dos partes de tal forma que una de ellas sea un cuadrado de lado el ancho del rectángulo, la otra parte es otro rectángulo aúreo. Podemos repetir esta operación de forma indefinida, logrando una espiral como muestra el dibujoEsta espiral se encuentra en un gran nº demoluscos como el Nautilus de la foto. El número de oro está también en todos los animales, plantas y objetos pentagonales: flores, estrellas de mar, etc
  • 29. EN EL ARTE LA GIOCONDA LA SAGRADA FAMILIALEONARDO DA VINCI MIGUEL ANGEL
  • 30. Leda atómica, pintado en 1949, sintetizasiglos de tradición matemática y simbólica,especialmente pitagórica. Se trata de unafiligrana basada en la proporción áurea, peroelaborada de tal forma que no es evidentepara el espectador. En el boceto de 1947 seadvierte la meticulosidad del análisisgeométrico realizado por Dalí basado en elpentagrama místico pitagórico.
  • 31. LEDAATOMICA
  • 32. Existen relacionesbasadas en lasección áurea enalgunas de lasmás célebresesculturas griegascomo el Hermesde Praxíteles(390-330 a. C.)
  • 33. Aparece en la Venus deMilo. Venus de Milo Museo del Louvre, París
  • 34. EN LA ARQUITECTURADesde tiempos muy remotos el hombre ha realizado bellas yarmoniosas construcciones teniendo en cuenta la proporción áurea EL PARTENON GRIEGO
  • 35. Ya vimos que el cociente entre la diagonal de un Tumba Rupestre de Mirapentágono regular y el lado de dicho pentágono es elnúmero áureo. En un pentágono regular está basada laconstrucción de la Tumba Rupestre de Mira en AsiaMenor.
  • 36. Hay un precedente a la cultura griega dondetambién apareció el número de oro. En La GranPirámide de Keops, el cociente entre la altura deuno de los tres triángulos que forman la pirámidey el lado es 2
  • 37. Herodoto relata que los sacerdotesegipcios le habian enseñado que lasproporciones establecidas en la GranPirámide eran tales que:El cuadrado de la altura de la Ppiramide es igual al área de cadauna de las caras triangulares. Es decir: H2  A  a (1) a o MPor el teorema de Pitágoras en el atriángulo POM: A 2  H2  a 2 Sustituyendo H2 por su valor en ( 1 ) y dividiendo por a 2 se tiene: A2 A A 2   1 ; haciendo Φ a a a Tenemos la ecuación del numero Áureo: 2   1
  • 38. Pitágoras y el número de oroPitágoras (c. 582-c. 500 a.C.), filósofo ymatemático griego, nació en la isla deSamos. Fue instruido en las enseñanzasde los primeros filósofos jonios Tales deMileto, Anaximandro y Anaxímenes.Se dice que Pitágoras había sido condenado a exiliarse deSamos por su aversión a la tiranía de Polícrates. Hacia el530 a.C. se instaló en Crotona, una colonia griega al sur deItalia, donde fundó un movimiento con propósitosreligiosos, políticos y filosóficos, conocido comopitagorismo. La filosofía de Pitágoras se conoce sólo através de la obra de sus discípulos.
  • 39. La estrella pentagonal o pentágono estrellado era,según la tradición, el símbolo de los seguidores dePitágoras. Los pitagóricos pensaban que el mundoestaba configurado según un orden numérico, dondesólo tenían cabida los números fraccionarios. Lacasualidad hizo que en su propio símbolo seencontrara un número raro: el numero de oro. Así La relación entre la diagonal del pentágono y su lado es el número de oro.También podemos comprobar que los segmentos QN,NP y QP, que se hallan en la estrella pentagonal estánen proporción áurea.
  • 40. A Considerando el lado del pentágono regular la unidad, N F G (AG = 1), se tiene:M MF = NG = 1; MG =  D L  1    L DL 1  1 De donde se tiene:  2    1  0 1 5 Cuya raíz positiva es:   2
  • 41. ¿ Qué pudo hacer que los pitagóricos sintieran tanta admiración por el número áureo ?.Casi con toda seguridad, para la escuela pitagórica laconsideración del irracional 5 , de cuya existenciatuvieron conciencia antes que, 2 tuvo que causaruna profunda reflexión en las teorías de la secta.
  • 42. Unas proporcionesarmoniosas para el cuerpo,que estudiaron antes losgriegos y romanos, lasplasmó en el dibujo queLeonardo da Vinci, hizo parailustrar el libro La DivinaProporción de Luca Paccioli,editado en 1509. Leonardo da Vinci "Huye de esos estudios cuyo resultado muere con el que los hace.“ Luca Paccioli
  • 43. Estirando manos y pies y haciendocentro en el ombligo se dibuja lacircunferencia.El cuadrado tiene por lado la alturadel cuerpo que coincide en uncuerpo armonioso, con la longitudentre los extremos de los dedos deambas manos cuando los brazos bestán extendidos y formando unángulo de90º con el tronco. aResulta que el cociente entre la alturadel hombre (lado del cuadrado) y ladistancia del ombligo a la punta de lamano (radio de la circunferencia) esel número áureo aEs decir:  b Vitrubio
  • 44. El NUMERO DE ORO EN LA MEDICINAConocemos desde la antiguedad la ubicación exacta de los puntosenergéticos (Xue) utilizados en Medicina Tradicional China para eltratamiento de las enfermedades del hombre a través de la acupuntura.Conocemos también los efectos de cada uno de ellos y sabemos cómoutilizarlos; Pero, porqué los puntos tiene la ubicación que tienen ? A quéley o regla obedece la uniformidad en la distribución? Y también, porquéesa ubicación es invariablemente la misma en cada ser humano?Así, la ubicación de los puntos chinos de acción energética específicaresponde a la ley geométrica y aritmética conocida, desde laantiguedad clásica, como :"sección áurea" (según leonardo Da Vinci), "sección divina"(segúnKepler) o "divina proporción"(según Luca Pacioli) y cuyo valornumérico, denominado "Número de oro“.
  • 45. En el caso que nos ocupa, diremos que el rostrohumano visto de frente, puede encuadrarse en elinterior de un rectángulo ABCD. AD donde φ   1.68033988 . 7.. DC Dr. Marcelo Manneti Médico Acupunturista
  • 46. La sucesión de Fibonacci y el número áureo.La serie de Fibonacci proviene de considerar laserie que se forma mediante (comenzando laserie por 1, se tiene) :1, 1 + 0 = 1, 1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3, ... , 8 + 13 = 21, .... Leonardo de PisaLa serie de Fibonacci queda establecidamediante la serie numérica siguiente: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, .....Cada número es la suma de los dos números anteriores
  • 47. La sucesión formada por los cocientes de números deFibonacci consecutivos converge, rápidamente, hacia elnúmero áureo. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …•f 2 / f 1 = 1 / 1 = 1•f 3 / f 2 = 2 / 1 = 2 Finalmente se tiene:•f 4 / f 3 = 3 / 2 = 1, 5•f 5 / f 4 = 5 / 3 = 1, 66 66 66... fn Lim    1.61803398 ...•f 6 / f 5 = 8 / 5 = 1, 6 n  f n -1•f 7 / f 6 = 13 / 8 = 1, 62 5•f 8 / f 7 = 21 / 13 = 1, 61 53 84 61 ...•f 9 / f 8 = 34 / 21 = 1, 61 90 47 76 ...•f 10 / f 9 = 55 / 34 = 1, 61 76 47 05 ...
  • 48. Al dividir dos números consecutivos de la serie deFibonacci, el resultado converge a 0,618 ó 1,61813 / 21 = 0.619047619   fn  121 / 34 = 0.617647058   Lin  0.618...  n   fn34 / 55 = 0.618181818  Adviértase que, 1 / 0,618 = 1,618 21 / 13 = 1.615384615 1 / 1,618 = 0,618  fn34 / 21 = 1.619047619   Lin  1.618...  n   fn  155 / 34 = 1.617647059 
  • 49. La razón entre cada par de términos consecutivos va oscilando por la izquierda y la derecha de la razón áurea, y que conforme va avanzando la sucesión se va acercando más a este valor. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, … fn Lim  φ  1.618033.. . n   fn - 11 3 8 21 13 5 21 2 5 13 8 3 1 1 1.5 1.6 1.615.. 1.625.. 1.66.. 2 1.618….
  • 50. Esta sucesión de números aparece en laNaturaleza en formas curiosas. Cualquiervariedad de piña presenta siempre unnúmero de espirales que coincide con dostérminos de la sucesión de los conejos deFibonacci, 8 y 13; ó 5 y 8.
  • 51. Verdes – 5, Naranjas –8 Verdes – 8, Rojas –13
  • 52. Otra espiral de Fibonacci
  • 53. LA SERIE DE FIBONACCI EN LA ECONOMÍALa experiencia ha demostrado con rotundidad que en la prácticalas medias móviles funcionan mejor cuando los periodos detiempo elegidos para el cálculo de las medias móviles sonnúmeros de la Serie de Fibonacci. Estos números de Fibonaccise ajustan bastante bien a periodos y ciclos bursátiles.Elliott escribió un libro llamado "Las leyes de la naturaleza"donde se refiere específicamente a la serié numérica deFibonacci como la base matemática para el principio de loque conocemos como la teoría de las "Ondas de Elliott".Esta teoría analiza el comportamiento de los mercados, pudiendopredecir los movimientos en ciclos de largo, mediano y cortoplazo. Libro de alberto moreno-internet:www.finanzas.com
  • 54. LA SERIE DE FIBONACCI Y LA BOLSASe puede observar las siguientes reglas se que cumplen siempre en estaserie:1. La proporción que hay entre cada numero (n) y el siguiente (n+1) es siempre del 61,80%.2. La proporción que hay entre cada numero (n) y uno más del siguiente (n+2) en la serie es siempre del 38.19%. Una de las aplicaciones prácticas de la serie es el análisis de las correc- ciones técnicas de la bolsa. Cuando los mercados están en tendencia alcista o bajista, se ha podido comprobar que las correcciones general- mente coinciden en porcentaje con las proporciones de Fibonacci. Cuando un mercado ha empezado a corregir después de una tendencia claramente alcista o bajista, se pueden establecer objetivos de corrección del 38% o del 62% del movimiento. Esta aplicación es de especial interés a la hora de aplicar la teoría de Elliott. Son las llamadas lineas de Fibonacci, que suelen representar lineas de soporte o resistencia.
  • 55. Las Lineas de Fibonacci son muy similares a las lineas de velocidad. Paratrazarlas solo tenemos que seleccionar dos puntos significativos delgrupo, por ejemplo, desde el inicio del alza hasta la primera parada, conun pequeño inicio de caída. Desde éste segundo punto trazamos laproyección hasta la altura del primer punto y dividimos esta distancia endos lineas especiales: siguiendo las proporciones en la linea del 62% y lalinea del 38%.
  • 56. RECTÁNGULO ÁUREO CON CABRI Proporción Áurea AD/AB=1,6180339.......=(1+ raiz(5))/2Veamos como se hace el dibujo:1. Se traza el segmento AB.2. Se traza dos perpendiculares al segmento AB, una que pase por A y otra por B.3. Con ayuda de la circunferencia de centro B y radio AB obtenemos el punto E.4. Trazando una paralela al segmento AB obtenemos el punto F.5. Señalamos el punto medio del segmento AF y tomándolo como centro se traza la circunferncia que pasa por el punto B obteniéndose en la prolongación de AF, el punto D.6. Trazando un paralela al segmento AB que pase por D se obtiene el punto C.
  • 57. (UN ALGORITMO CON Matlab)Introduzca la definición de razón áurea: r=(sqrt(5)-1)/2.Sus potencias verifican la relación de recurrencia:r^(n+1)=r^(n-1)-r^n .raurea=(sqrt(5)-1)/2;r=linspace(0,0,100) ;r(1)=1;r(2)=raurea ;for n=2:100 r(n+1)=r(n-1)-r(n);endfprintf( n r^n raurea^nn),fprintf( ___________________________n),for n=1:10:101 fprintf(%3i,%10.5f, %gn,n,r(n),raurea^n)end
  • 58. n r^n raurea^n______________________________________1 1.00000, 0.61803411 0.00813, 0.00502521 0.00007, 4.08563e-0531 0.00000, 3.32187e-0741 -0.00000, 2.70089e-0951 -0.00000, 2.19599e-1161 -0.00008, 1.78548e-1371 -0.01034, 1.4517e-1581 -1.27202, 1.18032e-1791 -156.44857, 9.59676e-20101 -19241.90183, 7.80276e-22
  • 59. ALGUNAS EXPRESIONES INFINITAS DEL NUMERO FiSabemos que:Φ2  Φ  1  0 De donde: Φ2  Φ  1Φ  1 Φ  1 1  Φ  1 1  1  Φ ...Por lo que , lo obtenemos a través de la expresióninfinita: Φ 1 1  1 1 1 1  ...
  • 60. Otra expresion infinita de  , es a través de las Fracciones: Φ2  Φ  1 1 Φ1  Φy sustituyendo, en forma reiterada,  por su valor en esta ecuacióntenemos: 1 1 1 Φ1  1  1  1 1 1 1 1 1 Φ 1 1 1 1 Φ 1 1 1  ...
  • 61. Poema al Número Áureo Rafael Alberti A ti, maravillosa disciplina, media, extrema razón de la hermosura, que claramente acata la clausura viva en la malla de tu ley divina. A ti, cárcel feliz de la retina, áurea sección, celeste cuadratura, misteriosa fontana de mesura que el Universo armónico origina. A ti, mar de los sueños, angulares, flor de las cinco formas regulares, dodecaedro azul, arco sonoro. Luces por alas un compás ardiente. Tu canto es una esfera transparente. A ti, divina proporción de oro.
  • 62. Espero que nuestros nietos me estaránagradecidos, no solamente por las cosasque he explicado aquí, sino también porlas que he omitido intencionadamente a finde dejarles el placer de descubrirlas. Descartes (Geometría)
  • 63. Gracias, Hasta la vistajbf3057@gmail.com Jaime Bravo Febres
  • 64. Bibliografía:1. El hombre que calculaba. Malba Taham. Ed. Popular 19562. El Número de Oro. Mariano J. Dominguez Muro. Ed. Narcea.3. Fibonacci and Lucas Numbers. Published by the Fibonacci Association, 1969. Houghton Mifflin.4. Historia de la Matemmática Carl Boyer. Ed. Alianza, Madrid.5. La composición Áurea en las artes plásticas. Pablo Tosto. Buenos Aires. Lib. Hachette, 1958.6. El Misterio de Orion (La proporción áurea y la gran pirámide). Abelardo Falleti. Bs Aires. Emece Editores. 1966.7. Los grandes Matemáticos. Bell. E. T. Ed. Lozada. 19858. A divina proporção: Um Ensaio sobre a Beleza na Matemática", H. E. Huntley, Brasília-DF.Editora Universidade de Brasília em 19859. El número de oro. Ghyka, M. (1983) Ed. Poseidón

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