Teoria de colas
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    Teoria de colas Teoria de colas Presentation Transcript

    • TEORIA DE COLAS (FENOMENOS DE ESPERA) WILFREDO SUAREZ
    • INTRODUCCION Sistema genérico Sistema multicanal (a) y multietapa (b) Esquematización del sistema formado por la pista y las aeronaves que desean aterrizar
    • PROCESO DE CONTEO Y PROCESO DE POISSON Realización y media de un proceso de conteo Distribución de Poisson
    • CURVAS ACUMULATIVAS Instantes de llegadas y salidas y curvas acumulativas correspondientes curvas acumulativas de llegadas, comienzo de servicio y de salidas
    • TIPOS DE ANALISIS DE LA COLA < 1 cola producida por la aleatoriedad de llegadas y/o servicio Teoría de Colas da expresiones para el estado estacionario: W, L, W q , L q cola “larga” producida por congestión (r>1) importante. Aproximación determinista en principio posible: curvas acumulativas como herramienta cola producida por la aleatoriedad de llegadas y/o servicio Estado no estacionario, las expresiones de la Teoría de Colas no son válidas y la aleatoriedad no puede ser despreciada r = coeficiente de utilización > 1 < 1 ~ 1 intensidad de llegadas capacidad de servicio r =
    • FORMACION DE LA COLA el cliente que permanece más tiempo es también el que ve la cola “más larga” al llegar Caso particular: intensidad de servicio constante = m En general, si (t) y D(t) son diferenciables:  (t 1 )=  (t 1 ) L es max ó min  (n)=  (n) W es max ó min
    • FORMACION DE LA COLA Curva de salidas cuando se cierra uno de los mostradores a partir de las 14:30 cola y tiempo de espera máximos llegadas de los pasajeros a los mostradores de facturación
    • FORMACION DE LA COLA
      • Obtención analítica de las curvas de cuentas acumuladas:
      • elegir  de modo que en los intervalos [t i ,t i +  ] las intensidades de
      • llegada y servicio no varíen apreciablemente:  i ,  i
      • A i+1 = número de clientes llegados al sistema hasta t i+1
      • L i+1 = número de clientes en el sistema en el instante t i+1
      • D i+1 = número de clientes que han salido del sistema hasta t i+1
    • FORMULA DE LITTLE Tiempo medio de perma-nencia en el sistema W: Supuesto: los N clientes llegados en [0,T] son servidos, entonces l=NT Número medio de clientes en el sistema en el intervalo [0,T] Fórmula de Little L=  W Area gris N = Area gris T =
    • FORMULA DE LITTLE L 12 = número medio de clientes en el sistema en [t 1 ,t 2 ] si hay clientes en el sistema en los instantes t 1 y t 2 , la fórmula de Little aproximada sería: Aproximación : área rayada ~ área azul W 12 = tiempo medio de permanencia en el sistema para los clientes n 1 a n 2 l 12 = intensidad media de llegada al sistema en [t 1 ,t 2 ] Análogamente : si los N clientes llegados en [0,T] abandonan la cola Fórmula de Little: L q =  W q
    • FORMULA DE LITTLE
      • Fórmula de Little: utilidad
      • L=  W permite calcular indirectamente una cantidad media a partir
      • de la medición de la otra, conociendo la intensidad media 
      Variable medida medición requerida Variable calculada Número medio de clientes en el sistema: L Medir L(t) en diversos instantes de tiempo y promediar W=L/  tiempo medio de permanencia en el sistema: W Medir W(n) para diversos clientes y promediar L=  W
    • REDUCCION DE LA COLA
      • Reducción de la cola
      • situación original: intensidad de servicio m 1
      • para reducir la cola se aumenta de m 1 a m 2 durante t p
      • encontrar la asignación mejor en función de la estructura de costes
      solución óptima curva de salidas nueva curva de salidas original Tiempo total ahorrado = DW
    • REDUCCION DE LA COLA
      • Reducción de la cola: casos posibles
      • Datos: L max y m 2 . Se determina el punto P, y el tramo de intensidad m 1 que
      • determina t e y t d y finalmente t p .
      • Datos: m 2 y costes a = coste por unidad de tiempo de aumentar la intensidad
      • de servicio, y b = coste del tiempo. Se dan valores a t p , se obtienen gráficamente
      • t d y t e y se evalua el coste total:
      • Datos: L max y g = coste por unidad de tiempo e unidad de intensidad. Se
      • determina el punto P y el tramo de duración t d , quedan fijado entoces m 2 , t p
      • y t e y se evalua el coste:
    • SERVICIO EN GRUPO
      • en numerosos sistemas se sirven simultáneamente a un grupo de clientes
      • generalmente hay un tamaño máximo del grupo: (C)
      • servicio “simultáneo” si:
      • tiempo en servir a C clientes << tiempo medio que tardan en llegar
      intensidad infinita cuando se da servicio en  3 se sirven a C clientes (el máximo) D(t): escalón de altura igual al número de clientes servidos en  4 se sirven a N 4 clientes (los que hay en espera): el servidor no espera a que lleguen C clientes (“gated server”)
    • SERVICIO EN GRUPO
      • Servicio en grupo: objetivos
      • Minimizar el tiempo medio de espera de los clientes
      • Maximizar la utilización del servidor
      • Minimizar suma coste unitario del servicio + coste tiempo del cliente
      Solución trivial: esperar a que haya C clientes en cola para dar el servicio
    • SERVICIO EN GRUPO
      • Min. tiempo de espera con un número fijo de servicios
      • 1 servicio en el intervalo [0,T], además del servicio final en T
      • Encontrar el instante del primer servicio: t 1 minimizar el área rayada (W)
      resolución gráfica: solución óptima
    • SERVICIO EN GRUPO
      • Min. tiempo de espera con un número fijo de servicios
      • n servicios en el intervalo [0,T], además del servicio final en T
      • Encontrar los instantes de servicio t i i=1,…n, para minimizar el área rayada (W)
      • La capacidad de servicio es ilimitada , o bien, no es superada en ningún servicio
    • SERVICIO EN GRUPO
      • Min. tiempo de espera con n servicios: resolución
      • dar un valor a t 1
      • emplear (*) para hallar t i i=2,…n-1
      • calcular W con:
      resolución gráfica de (*):
    • SERVICIO EN GRUPO Min. tiempo de espera con n servicios: ejemplo Curva de llegadas A(t) de pasajeros a una estación ferroviaria de un aeropuerto. Ultima salida a las 14:00. Tiempo total de espera en función de t 1 (1 salida intermedia) solución:  1 = 9:45 W=91 min. A(t) D(t)  1
    • SERVICIO EN GRUPO Min. tiempo de espera con n servicios: ejemplo Curva de llegadas A(t) de pasajeros a la estación. Ultima salida a las 14:00. Tiempo total de espera y t 2 en función de t 1 (dos salidas intermedias) solución:  1 =8:52  2 =10:37 W=65 min. A(t) D(t)  1  2
    • SERVICIO EN GRUPO Min. tiempo de espera con n servicios: ejemplo Curva de llegadas A(t) de pasajeros a la estación. Ultima salida a las 14:00. Tiempo total de espera t 2 y t 3 en fun-ción de t 1 (tres salidas intermedias) solución:  1 =8:41  2 =10:06  3 =12:36 W=48 min. A(t) D(t)  1  2  3
    • SERVICIO EN GRUPO
      • Min. coste servicio + tiempo cliente: frecuencia óptima
      • b: coste del tiempo del cliente; a: coste por servicio; c: coste por unidad de tiempo
      • Caso ideal: llegadas a intensidad constante l frecuencia óptima 1/ d
      • La capacidad de servicio es ilimitada, o bien, no es superada en ningún servicio
      intervalo entre servicios óptimo
    • SERVICIO EN GRUPO
      • Min. coste servicio + tiempo cliente: frecuencia óptima
      •  : coste del tiempo del cliente;  coste por servicio; c: coste por unidad de tiempo
      • llegadas a intensidad variable  (t)
      si la intensidad  varía lentamente , se puede generalizar el resultado anterior: W i es el tiempo esperado por los clientes atendidos en el servicio i-ésimo: Interpretación gráfica: las áreas rayadas deber ser igual a  : 2 1
    • TEORIA DE COLAS: Notación standard
    • DISTRIBUCION DE ERLANG Es la distribución de la suma de k variables exponenciales de media 1/l Función de densidad de probabilidad:
    • COLA M/M/c Longitud de la cola en función de r para diversos valores de c Disposición correspondiente al modelo multiservidor (a) frente al de servidor único (b)
    • FORMULA DE LA PERDIDA DE ERLANG Probabilidad de encontrar al sistema ocupado cuando los clientes no pueden esperar