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Statistik
Teil 2 - Empirische Kenngrößen

         Ulrich Schrader
  http://info.ulrich-schrader.de
Empirische Kenngrößen
dienen der zusammenfassendenBeschreibung
der Ergebnisse einer Stichprobe.

   x1 , x 2 ,  , x n
sei...
Lagemaße – Lokalisationsmaße (1)
• Minimum – kleinster beobachteter Wert
   x min
• Maximum – größter beobachteter Wert
  ...
Summenzeichen
Endwert

            Regel für die Bildung                     der Summanden
Startwert

       5
           ...
Lagemaße – Lokalisationsmaße (2)
• Arithmetisches Mittel (Mittelwert, Durchschnitt)
                n
          1
   x    ...
Lagemaße – Lokalisationsmaße (3)
• (Empirischer) Median
               x(2) 
 Seien x ( 1 )            x(n)
 der Größe na...
Median - Beispiel
• Ungerade Anzahl von Beobachtungen

  1,1,2,4,5     6      6,7,8,8,9

• Gerade Anzahl von Beobachtungen...
Streuungs- oder Dispersionsmaße (1)
• Spannweite oder Variationsbreite

  x max     x min     x(n)     x (1 )

 (Breite de...
Streuungs- oder Dispersionsmaße (2)
• Empirische Varianz                                                               2
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  1. 1. Statistik Teil 2 - Empirische Kenngrößen Ulrich Schrader http://info.ulrich-schrader.de
  2. 2. Empirische Kenngrößen dienen der zusammenfassendenBeschreibung der Ergebnisse einer Stichprobe. x1 , x 2 ,  , x n seien n Beobachtungen eines quantitativen Merkmals X. Üblich: n für Anzahl der Beobachtungen
  3. 3. Lagemaße – Lokalisationsmaße (1) • Minimum – kleinster beobachteter Wert x min • Maximum – größter beobachteter Wert x max • Modalwert - häufigst auftretende Werte x mod (bei mehreren häufigsten Werten kann es auch mehrere Modalwerte geben.)
  4. 4. Summenzeichen Endwert Regel für die Bildung der Summanden Startwert 5 2 i 1 4 9 16 25 i1 5 Summe der ersten xi x1 x2 x3 x4 x5 fünf beobachteten Werte i1
  5. 5. Lagemaße – Lokalisationsmaße (2) • Arithmetisches Mittel (Mittelwert, Durchschnitt) n 1 x xi n i1 Beobachtet: 1, 3, 2, 5, 5, 2 1 18 x 1 3 2 5 5 2 3 6 6 Problem: Ausreißer, einzelne sehr große Werte verschieben das Mittel
  6. 6. Lagemaße – Lokalisationsmaße (3) • (Empirischer) Median x(2)  Seien x ( 1 ) x(n) der Größe nach angeordnete Beobachtungen x1 , x 2 ,  , x n 1 (x x ) falls n gerade ~ (n (n ) 1) x 2 2 2 x( n falls n ungerade 1 ) 2
  7. 7. Median - Beispiel • Ungerade Anzahl von Beobachtungen 1,1,2,4,5 6 6,7,8,8,9 • Gerade Anzahl von Beobachtungen 1,1,2,4,6 7,7,8,8,9 6,5
  8. 8. Streuungs- oder Dispersionsmaße (1) • Spannweite oder Variationsbreite x max x min x(n) x (1 ) (Breite des Intervalls, in das alle beobachteten Werte passen)
  9. 9. Streuungs- oder Dispersionsmaße (2) • Empirische Varianz 2 n n n 1 1 1 2 2 2 s ( xi x) xi xi n 1 n 1 n i1 i1 i1 • Empirische Standardabweichung 2 s s
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