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Prof.  Esteban Hernández Sistemas de Ecuaciones
Justificación Los sistemas de ecuaciones son una de las herramientas más útiles dentro del estudio de las matemáticas. Pod...
Pre Prueba: Sistemas de ecuaciones 1. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de sustitución . Pre Prueba: Sistema...
6. Resuelve el ejercicio. Una pareja de retirados tiene $ 170,000 para invertirlos y obtener un ingreso anual. Ellos invir...
Objetivos: <ul><li>Definir el concepto de sistema de ecuaciones. </li></ul><ul><li>Verificar si un par ordenado es solució...
Definición Un  sistema de ecuaciones  es un conjunto de  dos o más ecuaciones simultáneas. Ejemplos: Sistemas de Ecuaciones
Aclaración El tamaño de un sistema de ecuaciones está determinado por el número de ecuaciones y el número de variables. Un...
Definición Una solución de un sistema  2x2  es un par ordenado  (x,y)  que hace cierta cada una de las ecuaciónes del sist...
Ejemplo: Verifica si el par ordenado es una solución del sistema de ecuaciones. Sistemas de Ecuaciones
Sistemas de Ecuaciones
Existen varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones, entre ellos, <ul><li>Método gráfico  </li></ul><ul><li>Método...
Tipos de sistemas de ecuaciones Los sistemas de ecuaciones lineales se pueden clasificar en tres tipos dependiendo de su c...
MÉTODO GRÁFICO PARA SISTEMAS 2X2 <ul><li>Procedimiento </li></ul><ul><li>Las soluciones del sistema de ecuaciones serán lo...
Ejemplos: Resuelve cada sistema de ecuacioes por el  método gráfico Sistemas de Ecuaciones
Sistemas de Ecuaciones
Las dos líneas son  paralelas, no tienen puntos de intersección. El conjunto de soluciones es vacío. Sistemas de Ecuaciones
El sistema es dependiente y tiene infinitas soluciones. Las soluciones se pueden encontrar buscando puntos de cualquiera d...
El conjunto solución  contiene dos pares ordenados. Sistemas de Ecuaciones
<ul><li>PROCEDIMIENTO </li></ul><ul><li>1. Despeja una de las variables en cualquiera de las ecuaciones. </li></ul><ul><li...
Ejemplos: Resu e lve usando el  método de sustitución . Escogiendo la ecuación,  , tenemos  Sustituyendo en la otra ecuaci...
Escogiendo la ecuación,  , tenemos  Sustituyendo en la otra ecuación tenemos,  Sistemas de Ecuaciones
Sustituyendo el valor obtenido en la primera ecuación tenemos,  Sistemas de Ecuaciones
Escogiendo la ecuación,  , tenemos  Sustituyendo en la otra ecuación tenemos,  Sistemas de Ecuaciones
Multiplicando la ecuación por 16 tenemos, Sustituyendo en la ecuación  tenemos,  Sistemas de Ecuaciones
Método de Eliminación por Adición Este método consiste en sumar o restar las ecuaciones con el objetivo que se elimine una...
Multiplicando la segunda ecuación por -2 obtenemos, Restando las ecuaciones obtenemos, Sistemas de Ecuaciones
Multiplicando la segunda ecuación por -3 y la primera por 2 obtenemos, Sumando las ecuaciones obtenemos, Sistemas de Ecuac...
Sustituyendo  y  = 1 en la ecuación, Observación: Para encontrar el valor de la segunda variable se puede usar  el método ...
Multiplicando la primera ecuación por 2 obtenemos, Sumando las ecuaciones obtenemos, Falso Sistemas de Ecuaciones
Multiplicando la primera ecuación por 2 obtenemos, Sumando las ecuaciones obtenemos, Cierto Sistemas de Ecuaciones
Aplicaciones: 1.   El precio de un boleto para cierto evento es de  $2.25 para adultos y  $1.50 para niños.  Si se venden ...
Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos, Sistemas de Ecuaciones
2.  Una lancha de  vapor  operada a toda máquina hizo un viaje de  4 millas  contra una corriente  constante en  15 minuto...
Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos, Sistemas de Ecuaciones
Sistemas de Ecuaciones
Pre Prueba: Sistemas de ecuaciones 1. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de sustitución . Pos Prueba: Sistema...
6. Resuelve el ejercicio. Una pareja de retirados tiene $ 170,000 para invertirlos y obtener un ingreso anual. Ellos invir...
Respuestas de la pre y pos prueba 1)  x  = 1,  y  =  -4  2)  x   = 3,  y  = 8  3)  x  = 1,  y  =  -3  4)  x  = -1,  y  = 1...
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  1. 1. Prof. Esteban Hernández Sistemas de Ecuaciones
  2. 2. Justificación Los sistemas de ecuaciones son una de las herramientas más útiles dentro del estudio de las matemáticas. Podemos resolver innumerables situaciones usando los sistemas de ecuaciones lineales y no lineales. Las aplicaciones van desde las ciencias naturales, la matemática, las ramas de administración de empresas, la ingeniería, etc. Espero que este módulo sirva de guía para que los estudiantes se inicien en la comprensión de los conceptos básicos de los sistemas de ecuaciones.
  3. 3. Pre Prueba: Sistemas de ecuaciones 1. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de sustitución . Pre Prueba: Sistemas de ecuaciones 1. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de sustitución . 2. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de sustitución . 3. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de sustitución . 4. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de eliminación. 5. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de eliminación.
  4. 4. 6. Resuelve el ejercicio. Una pareja de retirados tiene $ 170,000 para invertirlos y obtener un ingreso anual. Ellos invirtieron una cantidad en Certificados de Deposito a una tasa del 5% anual y el resto lo invirtieron en bonos AA que pagan un 11% anual. ¿Cuánto deben invertir a cada por ciento para obtener unos ingresos de $ 15,100 al año?
  5. 5. Objetivos: <ul><li>Definir el concepto de sistema de ecuaciones. </li></ul><ul><li>Verificar si un par ordenado es solución de un sistema 2 x 2. </li></ul><ul><li>Resolver un sistema 2 x 2 por el método de sustitución. </li></ul><ul><li>Resolver un sistema 2 x 2 por el método de gráfico. </li></ul><ul><li>Resolver un sistema 2 x 2 por el método de eliminación por adición </li></ul>Sistemas de Ecuaciones
  6. 6. Definición Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones simultáneas. Ejemplos: Sistemas de Ecuaciones
  7. 7. Aclaración El tamaño de un sistema de ecuaciones está determinado por el número de ecuaciones y el número de variables. Un sistema con tres ecuaciones y con tres variables se dice que es un sistema 3x3, uno con dos ecuaciones y tres variables se dice que es un sistema 2x3. Si todas las ecuaciones en un sistema son lineales, al sistema se le llama sistema ecuaciones lineales . De lo contrario se le llama sistema de ecuaciones no lineal . Sistemas de Ecuaciones
  8. 8. Definición Una solución de un sistema 2x2 es un par ordenado (x,y) que hace cierta cada una de las ecuaciónes del sistema. Resolver un sistema de ecuaciones consiste en encontrar el conjunto de todas las soluciones del sistema. El conjunto formado por todas las soluciones de un sistema de ecuaciones se conoce como el conjunto solución del sistema. Sistemas de Ecuaciones
  9. 9. Ejemplo: Verifica si el par ordenado es una solución del sistema de ecuaciones. Sistemas de Ecuaciones
  10. 10. Sistemas de Ecuaciones
  11. 11. Existen varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones, entre ellos, <ul><li>Método gráfico </li></ul><ul><li>Método de sustitución </li></ul><ul><li>Método de eliminación por adición </li></ul><ul><li>Regla de Cramer </li></ul><ul><li>Método de la matríz aumentada </li></ul><ul><li>Método de matrices </li></ul>En esta sección solo trataremos el método gráfico, el método de sustitución y el método de eliminación por adición para sistemas de ecuaciones 2x2. Sistemas de Ecuaciones
  12. 12. Tipos de sistemas de ecuaciones Los sistemas de ecuaciones lineales se pueden clasificar en tres tipos dependiendo de su conjunto de soluciones. <ul><li>Sistema consistente independiente : </li></ul><ul><li>Son aquellos sistemas de ecuaciones que tienen una única solución. Las gráficas de las líneas son diferentes. </li></ul><ul><li>Sistema consistente dependiente : </li></ul><ul><li>Son aquellos sistemas de ecuaciones que tienen infinitas soluciones. Las dos gráficas de las líneas son iguales. </li></ul><ul><li>Sistema inconsistente independiente : </li></ul><ul><li>Son aquellos sistemas de ecuaciones que no tienen solución. Las dos gráficas de las líneas son paralelas. </li></ul>Sistemas de Ecuaciones
  13. 13. MÉTODO GRÁFICO PARA SISTEMAS 2X2 <ul><li>Procedimiento </li></ul><ul><li>Las soluciones del sistema de ecuaciones serán los puntos de intersección entre las dos gráficas . </li></ul><ul><li>Construya la gráfica de cada ecuación. </li></ul>Aclaración : Este método es útil solo si podemos leer con precisión los puntos de intersección entre las gráficas. En la mayoría de los casos eso no es posible. Sistemas de Ecuaciones
  14. 14. Ejemplos: Resuelve cada sistema de ecuacioes por el método gráfico Sistemas de Ecuaciones
  15. 15. Sistemas de Ecuaciones
  16. 16. Las dos líneas son paralelas, no tienen puntos de intersección. El conjunto de soluciones es vacío. Sistemas de Ecuaciones
  17. 17. El sistema es dependiente y tiene infinitas soluciones. Las soluciones se pueden encontrar buscando puntos de cualquiera de las líneas. Sistemas de Ecuaciones
  18. 18. El conjunto solución contiene dos pares ordenados. Sistemas de Ecuaciones
  19. 19. <ul><li>PROCEDIMIENTO </li></ul><ul><li>1. Despeja una de las variables en cualquiera de las ecuaciones. </li></ul><ul><li>2. Sustituye el resultado obtenido en la otra ecuación. Esto producirá el valor de una de las variables. </li></ul><ul><li>3. Sustituye el valor de la variable del paso anterior en cualquiera de las ecuaciones originales para encontrar el valor de la otra variable. </li></ul>MÉTODO DE SUSTITUCIÓN PARA SISTEMAS 2X2 Sistemas de Ecuaciones
  20. 20. Ejemplos: Resu e lve usando el método de sustitución . Escogiendo la ecuación, , tenemos Sustituyendo en la otra ecuación tenemos, Sustituyendo el valor obtenido en la primera ecuación tenemos Sistemas de Ecuaciones
  21. 21. Escogiendo la ecuación, , tenemos Sustituyendo en la otra ecuación tenemos, Sistemas de Ecuaciones
  22. 22. Sustituyendo el valor obtenido en la primera ecuación tenemos, Sistemas de Ecuaciones
  23. 23. Escogiendo la ecuación, , tenemos Sustituyendo en la otra ecuación tenemos, Sistemas de Ecuaciones
  24. 24. Multiplicando la ecuación por 16 tenemos, Sustituyendo en la ecuación tenemos, Sistemas de Ecuaciones
  25. 25. Método de Eliminación por Adición Este método consiste en sumar o restar las ecuaciones con el objetivo que se elimine una de las variables. <ul><li>Procedimiento: </li></ul><ul><li>Iguala los coeficientes de una de las variables multiplicando las ecuaciones por los números correspondientes. </li></ul><ul><li>Suma o resta las ecuaciones para eliminar la variable. </li></ul><ul><li>Repite el proceso para la otra variable. Este paso se puede reemplazar por una sustitución. </li></ul>Sistemas de Ecuaciones
  26. 26. Multiplicando la segunda ecuación por -2 obtenemos, Restando las ecuaciones obtenemos, Sistemas de Ecuaciones
  27. 27. Multiplicando la segunda ecuación por -3 y la primera por 2 obtenemos, Sumando las ecuaciones obtenemos, Sistemas de Ecuaciones
  28. 28. Sustituyendo y = 1 en la ecuación, Observación: Para encontrar el valor de la segunda variable se puede usar el método de sustitución. Sistemas de Ecuaciones
  29. 29. Multiplicando la primera ecuación por 2 obtenemos, Sumando las ecuaciones obtenemos, Falso Sistemas de Ecuaciones
  30. 30. Multiplicando la primera ecuación por 2 obtenemos, Sumando las ecuaciones obtenemos, Cierto Sistemas de Ecuaciones
  31. 31. Aplicaciones: 1. El precio de un boleto para cierto evento es de $2.25 para adultos y $1.50 para niños. Si se venden 450 boletos para un total de $ 777.75; ¿cuántos boletos de cada tipo se vendieron? Sistemas de Ecuaciones
  32. 32. Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos, Sistemas de Ecuaciones
  33. 33. 2. Una lancha de vapor operada a toda máquina hizo un viaje de 4 millas contra una corriente constante en 15 minutos . El viaje de regreso (con la misma corriente y a toda máquina) lo hizo en 1 0 minutos . Encuentra la velocidad de la corriente y la velocidad equivalente a la lancha en aguas tranquilas en millas por hora. Sistemas de Ecuaciones
  34. 34. Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos, Sistemas de Ecuaciones
  35. 35. Sistemas de Ecuaciones
  36. 36. Pre Prueba: Sistemas de ecuaciones 1. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de sustitución . Pos Prueba: Sistemas de ecuaciones 1. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de sustitución . 2. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de sustitución . 3. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de sustitución . 4. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de eliminación. Sistemas de Ecuaciones
  37. 37. 6. Resuelve el ejercicio. Una pareja de retirados tiene $ 170,000 para invertirlos y obtener un ingreso anual. Ellos invirtieron una cantidad el Certificados de Deposito a una tasa del 5% anual y el resto lo invirtieron en bonos AA que pagan un 11% anual. ¿Cuánto deben invertir a cada por ciento para obtener unos ingresos de $ 15,100 al año? Sistemas de Ecuaciones 5. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de eliminación.
  38. 38. Respuestas de la pre y pos prueba 1) x = 1, y = -4 2) x = 3, y = 8 3) x = 1, y = -3 4) x = -1, y = 1 5) x = 5, y = -2 6) $ 110,000 al 11% y $ 60,000 al 5% Sistemas de Ecuaciones
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