Trasformazioni nel piano cartesiano
Premesse
Definizione
Si chiama trasformazione geometrica piana
la corrispondenza biunivoca che associa a punti
del piano a...
Premesse

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Trasformazioni

 Esempio 1

Consideriamo la corrispondenza che associa al punto
P il punto P' ottenuto scamb...
Trasformazioni

Premesse

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Sfruttiamo l’esempio 1, per introdurre alcune terminologie:
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Ogni punto/linea/figura che si...
Premesse

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Trasformazioni

 Torniamo all’esempio 1

P’=f(P)



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Abbiamo già osservato che per ogni P=(a,a) P’=(a,a)...
Trasformazioni

Premesse

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Due ultime definizioni:
1) Date due trasformazioni f e g tali che

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Premesse

Trasformazioni

 Le proprietà che non cambiano nelle trasformazioni

si chiamano invarianti della trasformaz...
Trasformazioni isometriche o isometrie
 Definizione

Chiamiamo isometria la trasformazione che
conserva le distanza; ovve...
Trasformazioni isometriche o isometrie
Proprietà isometrie
Elenchiamo le proprietà delle isometrie (dimostreremo poi alcun...
Traslazioni

Trasformazioni - Isometrie

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Traslazioni

Trasformazioni - Isometrie

Tutte le proprietà sopra possono essere verificate sia con il CAD che con
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Trasformazioni - Isometrie

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Trasformazioni - Isometrie

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Sia 𝑣 = (𝑎; 𝑏) la traslazione di vettore 𝑣 ha equazioni

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Sia 𝑣 = (𝑎; 𝑏) la traslazione di vettore 𝑣 ha equazioni

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Sia 𝑣 = (𝑎; 𝑏) la traslazione di vettore 𝑣 ha equazioni

Trasformazioni - Isometrie

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𝑥 = 𝑥+ 𝑎
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Sistema di riferimento

Traslazione di un sistema di riferimento
Consideriamo un ...
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Sistema di riferimento

Possiamo ricavare le seguenti relazioni
𝑥 = 𝑂𝐾 = 𝑂𝑁 + 𝑁𝐾 ...
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Trasformazioni nel piano cartesiano

  1. 1. Trasformazioni nel piano cartesiano
  2. 2. Premesse Definizione Si chiama trasformazione geometrica piana la corrispondenza biunivoca che associa a punti del piano altri punti del piano. in simboli: indichiamo con Π (pi greco maiuscola) l'insieme di tutti i punti del piano; la corrispondenza potrà essere indicata con una lettera minuscola (ad esempio f) e con il seguente simbolo Trasformazioni Biunivoca ad ogni punto P corrisponde uno e un solo punto P’ indica l'insieme da cui partiamo e l'insieme a cui arriviamo al punto P è associato il punto P' ottenuto sostituendo le coordinate di P nella espressione che descrive f.
  3. 3. Premesse . Trasformazioni  Esempio 1 Consideriamo la corrispondenza che associa al punto P il punto P' ottenuto scambiando le ascisse con le ordinate .  In simboli dove P’=f(P)  Vediamo come agisce la trasformazione: se P=(2;3) il punto P'=(3;2)  se P=(1,1) il punto P’=(1,1) ovvero P’=P; in generale questo vale per ogni punto della forma (a,a) 
  4. 4. Trasformazioni Premesse . Sfruttiamo l’esempio 1, per introdurre alcune terminologie:  Ogni punto/linea/figura che si ottiene mediante una trasformazione viene detta trasformato (o immagine) del punto/linea/figura.  Data una trasformazione f definiamo P punto unito se f(P)=P (ovvero se lo lascia fermo); definiamo r retta unita se f(r)=r  Identità la trasformazione che a ogni punto del piano associa il punto stesso  Definiamo una trasformazione involutoria se f :P P' e f : P ' P per ogni punto P. Ovvero se applicando due volte la trasformazione otteniamo l’identità.
  5. 5. Premesse . Trasformazioni  Torniamo all’esempio 1 P’=f(P)    Abbiamo già osservato che per ogni P=(a,a) P’=(a,a) Ovvero i punti (a,a) sono punti uniti per la trasformazione Consideriamo ora la retta di equazione y=x, possiamo intuire (vedremo dopo come provarlo) che questa è una retta unita Infine se pensiamo di applicare due volte la trasformazione per un punto P qualsiasi del piano otteniamo: P( x0 , y0 ) f ovvero è involutoria P' ( y0 , x0 ) f P' ' ( x0 , y0 ) P
  6. 6. Trasformazioni Premesse . Due ultime definizioni: 1) Date due trasformazioni f e g tali che e chiamiamo trasformazione composta la trasformazione indicheremo h(P)=g(f(P)). La indicheremo con e Per chiarire pensiamo di prendere un triangolo, ruotarlo di 90° e poi traslarlo. Il triangolo finale è ottenuto dalla composizione di due trasformazioni g f g(f(p)) 2) Data una trasformazione t che associa ad ogni P il punto P’, la trasformazione inversa associa al punto P’ il punto P e viene indicata con il simbolo t 1 . Sfruttando la composizione possiamo anche dire che
  7. 7. . Premesse Trasformazioni  Le proprietà che non cambiano nelle trasformazioni si chiamano invarianti della trasformazione  Tra i vari esempi che possiamo fare, si osserva che esistono trasformazioni che conservano le distanze, altre che conservano solo gli angoli, altre ancora che conservano il solo fatto che la figura è chiusa.
  8. 8. Trasformazioni isometriche o isometrie  Definizione Chiamiamo isometria la trasformazione che conserva le distanza; ovvero la trasformazione f è una isometria se d(A,B)=d(f(A),f(B)) Elenchiamo (e approfondiremo in seguito) le principali isometrie: traslazione, rotazione, simmetria centrale e simmetria assiale (per il momento accontentiamoci della esperienza, fatta ad esempio in CAD, per caratterizzare ciascuna di queste trasformazioni). Distinguiamo tra ISOMETRIE DIRETTE (traslazione, rotazione, simmetria centrale) ovvero quelle ottenute per scivolamento ed ISOMETRIE INDIRETTE (simmetria assiale) ottenute per ribaltamento.
  9. 9. Trasformazioni isometriche o isometrie Proprietà isometrie Elenchiamo le proprietà delle isometrie (dimostreremo poi alcune di queste proprietà) Proprietà 1. Una isometria porta rette in rette Proprietà 2. Una isometria porta rette incidenti in rette incidenti e rette parallele in rette parallele. Proprietà 3. Una isometria porta triangoli in triangoli Proprietà 4. Una isometria conserva gli angoli
  10. 10. Traslazioni Trasformazioni - Isometrie Definizione: chiamiamo traslazione di vettore 𝒗 e indichiamo con 𝑡 𝑣 la trasformazione che associa al punto P il punto P’ tale che PP’ coincide con il vettore 𝑣 in modulo, direzione e verso. In simboli 𝑡 𝑣 : 𝑃 → 𝑃′tale che 𝑃𝑃′ = 𝑣 E' facile osservare (ma noi non lo dimostriamo) che: - La traslazione 𝑡 𝑣 è una isometria. - La traslazione 𝑡 𝑣 porta rette parallele in rette parallele; rette incidenti in rette incidenti; porta angoli in angoli congruenti La traslazione 𝑡 𝑣 : (con 𝑣 ≠ 0) Non ha punti uniti; Non è involutoria con 𝑣 = 0 coincide con l’identità - La composizione di due traslazioni 𝑡 𝑣 , 𝑡 𝑤 è una traslazione di vettore 𝑣 ⊕ 𝑤 (dove ⊕ indica la somma tra vettori). In simboli 𝑡 𝑣 ⊕ 𝑡 𝑤 = 𝑡 𝑣⊕𝑤
  11. 11. Traslazioni Trasformazioni - Isometrie Tutte le proprietà sopra possono essere verificate sia con il CAD che con GEOGEBRA. Ad esempio in GEOGEBRA esiste un comando che permette di traslare oggetti. In Geogebra un vettore può essere descritto: -Mediante un segmento orientato utilizzando l’icona che troviamo insieme a rette e segmenti - Oppure digitando le componenti cartesiane nella riga di inserimento con la seguente sintassi: v=(vx,vy). Nella finestra di algebra vedremo il vettore rappresentato con un vettore colonna. In Geogebra la traslazione di vettore v può essere realizzata: -Mediante il comando descritto dall’icona
  12. 12. Traslazioni Trasformazioni - Isometrie Per verificare le proprietà enunciate sopra possiamo, fissato un vettore, 1) Tracciare un segmento, traslarlo e poi misurare i due segmenti 2) Tracciare una retta e poi traslarla e osservare il trasformato. In particolare a) se la retta è parallela al vettore cosa osservo? b) se la retta è incidente con la direzione del vettore cosa osservo? 3) Tracciamo due rette e trasliamole: a) Se le rette sono parallele cosa osservo? b) Se le rette sono incidenti cosa osservo? c) L’angolo individuato dalle due rette come risulta dopo la traslazione? 4) Infine definiamo due vettori v e w e il vettore somma; a. Trasliamo il segmento (o un poligono) prima secondo v poi secondo w b. Trasliamo ora lo stesso segmento (o poligono) secondo il vettore somma.
  13. 13. Traslazioni Trasformazioni - Isometrie Cerchiamo adesso l'equazioni della traslazione 𝑥′ = 𝑥 + 𝑎 Sia 𝑣 = (𝑎; 𝑏) la traslazione di vettore 𝑣 ha equazioni ′ 𝑦 = 𝑦+ 𝑏 Come si ottengono: dalla definizione di traslazione di vettore 𝑣: associamo al punto P (x;y) il punto P'(x';y') tale che 𝑃𝑃′ = 𝑣 passando alle componenti cartesiane risulterà 𝑥 ′ − 𝑥; 𝑦 ′ − 𝑦 = 𝑥′ − 𝑥 = 𝑎 (𝑎; 𝑏) e uguagliando le componenti otteniamo ′ 𝑦 − 𝑦= 𝑏 Esempio 3 Nella traslazione individuata dal vettore 𝑣 = (2; −3) determiniamo il trasformato di P(5;4). Per ricavare P' sfruttiamo le equazioni sopra: la traslazione risulterà 𝑥′ = 𝑥 + 2 𝑥′ = 5 + 2 e sostituiamo le coordinate di P ′ 𝑦′ = 𝑦 − 3 𝑦 =4−3
  14. 14. Traslazioni Sia 𝑣 = (𝑎; 𝑏) la traslazione di vettore 𝑣 ha equazioni Trasformazioni - Isometrie 𝑥′ = 𝑥 + 𝑎 𝑦′ = 𝑦 + 𝑏 Esempio 4 Nella traslazione individuata dal vettore 𝑣 = (2; −3) determiniamo il trasformato della retta 𝑦 = −2𝑥 Da quanto detto sopra: otterremo una retta (poichè le isometrie portano rette in rette) parallela alla precedente. Possiamo procedere in due modi: Modo I: descriviamo il generico punto P appartenente alla retta, P(t;-2t). 𝑥′ = 𝑥 + 2 scriviamo l'equazione della traslazione 𝑦′ = 𝑦 − 3 𝑥′ = 𝑡 + 2 ricaviamo il trasformato di P: P' 𝑦 ′ = −2𝑡 − 3 per ricavare l'equazione della retta trasformata ricaviamo il parametro t da una equazione e sostituiamo 𝑡 = 𝑥′ − 2 nell'altra e otteniamo 𝑦 ′ = −2𝑥 ′ − 7 ′ 𝑦 = −2 𝑥 ′ − 2 − 3 Modo II: 𝑥′ = 𝑥 + 2 𝑥 = 𝑥′ − 2 scriviamo l'equazione della traslazione e ricaviamo x e y; ′ 𝑦 = 𝑦−3 𝑦 = 𝑦′ + 3 ′ sostituiamo nell'equazione della retta 𝑦 = −2𝑥 e ricaviamo 𝑦 + 3 = −2 𝑥 ′ − 2 ; l'equazione 𝑦 ′ = −2𝑥 ′ − 7 è la retta traslata. Attenzione: se vogliamo rappresentare la retta nello stesso sistema di riferimento sostituiremo alla x' l'incognita x e alla y' l'incognita y.
  15. 15. Traslazioni Sia 𝑣 = (𝑎; 𝑏) la traslazione di vettore 𝑣 ha equazioni Trasformazioni - Isometrie 𝑥→ 𝑥− 𝑎 𝑥 = 𝑥+ 𝑎 sostituzione associata 𝑦 → 𝑦 − 𝑏 ′ 𝑦 = 𝑦+ 𝑏 ′ Casi particolari: se a=0 traslazione verticale; se b=0 traslazione orizzontale Esempio 6: traslazioni e rette consideriamo una retta r passante per l'origine, ad esempio y=2x. Sottoponiamo tale retta ad una traslazione di vettore (0;q) Per ottenere l'equazione della retta trasformata consideriamo la sostituzione associata 𝑥→𝑥 𝑦 →𝑦 −𝑞 e si ricava l'equazione della retta ottenuta traslando r 𝑦 = 2𝑥 𝑒𝑞 .𝑑𝑖 𝑟 𝑥 →𝑥 𝑦 →𝑦 −𝑞 𝑦 − 𝑞 = 2𝑥 → 𝑦 = 2𝑥 + 𝑞 𝑒𝑞 .𝑑𝑖 𝑠 Viceversa mediante la traslazione inversa di vettore (0;-q) dall'equazione y=2x+q otteniamo y=2x consideriamo una retta r non passante per l'origine e non parallela agli assi (ad esempio y=-2x+q). Sia Q(0;q) il punto in cui la retta incontra l'asse y. Consideriamo la traslazione del sistema di riferimento che porta l'origine in Q 𝑥= 𝑋 . Nel sistema QXY la retta passa per l'origine Q e avrà equazione Y=2X; applichiamo ora 𝑦= 𝑞+ 𝑌 la traslazione e otteniamo l'equazione della stessa retta nel sistema Oxy 𝑌 = 2𝑋 𝑒𝑞 .𝑑𝑖 𝑟 𝑋=𝑥 𝑌=𝑦 −𝑞 𝑦 − 𝑞 = 2𝑥 → 𝑦 = 2𝑥 + 𝑞 𝑒𝑞 .𝑑𝑖 𝑠
  16. 16. Traslazioni Sia 𝑣 = (𝑎; 𝑏) la traslazione di vettore 𝑣 ha equazioni Trasformazioni - Isometrie 𝑥→ 𝑥− 𝑎 𝑥 = 𝑥+ 𝑎 sostituzione associata 𝑦 → 𝑦 − 𝑏 ′ 𝑦 = 𝑦+ 𝑏 ′ Casi particolari: se a=0 traslazione verticale; se b=0 traslazione orizzontale Esempio 7: traslazione di circonferenze Vedi esercizio guida pag. 287 n. 277 ; svolgiamo l'esercizio n. 318: Dati iniziali circonferenza 𝑥 2 + 𝑦 2 − 4 = 0 ; nuovo centro C(3;-3) Obiettivo: determinare la traslazione e l'equazione della circonferenza traslata Svolgimento: Poiché la traslazione conserva le distanze, porta circonferenze in circonferenze; pertanto: 1)individuiamo la trasformazione (o traslazione) che porta il centro della circonferenza 𝑥 2 + 𝑦 2 − 4 = 0 nel punto C. 𝑥′ = 𝑥 + 𝑎 per 𝑦′ = 𝑦 + 𝑏 3=0+ 𝑎 determinare a e b imponiamo che il trasformato di (0;0) risulti (3;-3); sostituendo otteniamo e ricaviamo −3 = 0 + 𝑏 𝑥′ = 𝑥 + 3 che la traslazione cercata è ′ 𝑦 = 𝑦−3 Il centro della circonferenza 𝑥 2 + 𝑦 2 − 4 = 0 è (0;0); l'equazione della traslazione è 2) Per ricavare l'equazione della circonferenza traslata scriviamo la sostituzione associata 𝑥 = 𝑥′ − 3 e operiamo la 𝑦 = 𝑦′ + 3 sostituzione nell'equazione della circonferenza 𝑥2 + 𝑦2 − 4 = 0 𝑒𝑞 .𝑐𝑖𝑟𝑐𝑜𝑛𝑓 𝑥=𝑥′ −3 𝑦=𝑦′ +3 𝑥′ − 3 2 + 𝑦′ + 3 2 − 4 = 0 → 𝑥′2 + 𝑦′2 − 6𝑥 ′ + 6𝑦 ′ + 14 = 0 𝑒𝑞 .𝑐𝑖𝑟𝑐𝑜𝑛𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑧𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑠𝑙𝑎𝑡𝑎 3) Per rappresentare la circonferenza traslata sul nostro piano Oxy occorre "togliere gli apici" Si osserva che se calcoliamo il centro e il raggio della nuova circonferenza questi verificano le richieste dell'esercizio.
  17. 17. Traslazioni Sia 𝑣 = (𝑎; 𝑏) la traslazione di vettore 𝑣 ha equazioni Trasformazioni - Isometrie 𝑥→ 𝑥− 𝑎 𝑥 = 𝑥+ 𝑎 sostituzione associata 𝑦 → 𝑦 − 𝑏 ′ 𝑦 = 𝑦+ 𝑏 ′ Casi particolari: se a=0 traslazione verticale; se b=0 traslazione orizzontale Possiamo ripetere gli esercizi visti traslando ad esempio alcune funzioni -Esponenziali -Logaritmiche Se in particolare trasliamo con vettori del tipo (0,b) e (a,0) come si modificano le equazioni delle funzioni? Possiamo generalizzare?
  18. 18. Traslazioni Trasformazioni - Isometrie Sistema di riferimento Traslazione di un sistema di riferimento Consideriamo un sistema di riferimento di assi cartesiani ortogonali: Oxy. In alcuni casi è utile cambiare il sistema di riferimento, cioè riferire i punti di una certa figura anziché al sistema Oxy ad un nuovo sistema di riferimento che per comodità indichiamo con OXY. Vediamo ora il caso della traslazione; per quanto detto sopra: otterremo un sistema di riferimento ortogonale (poiché la traslazione conserva gli angoli) con assi paralleli a quelli di Oxy Con riferimento alla figura Indichiamo con (a;b) le coordinate della nuova origine O' nel sistema di riferimento Oxy; consideriamo un generico punto P di coordinate (x;y) nel vecchio sistema Oxy e di coordinate (X;Y) nel nuovo sistema O'XY;
  19. 19. Traslazioni Trasformazioni - Isometrie Sistema di riferimento Possiamo ricavare le seguenti relazioni 𝑥 = 𝑂𝐾 = 𝑂𝑁 + 𝑁𝐾 = 𝑎 + 𝑂′𝐻 = 𝑎 + 𝑋 𝑥 = 𝑂𝑇 = 𝑂𝑀 + 𝑀𝑇 = 𝑏 + 𝑂′𝑆 = 𝑏 + 𝑌 Concludendo le relazioni tra le vecchi e le nuove coordinate del generico punto P risultano inverse risultano 𝑋= 𝑥− 𝑎 𝑌= 𝑦− 𝑏 𝑥= 𝑎+ 𝑋 e le 𝑦= 𝑏+ 𝑌
  20. 20. Traslazioni Trasformazioni - Isometrie Sistema di riferimento Osservazioni: 1) a questo stesso risultato si può arrivare ragionando sui vettori: (X;Y) sono le componenti del vettore 𝑂′𝑃 nel sistema O'XY; (x;y) sono le componenti del vettore 𝑂𝑃 nel sistema Oxy. tra i due vettori sussiste la seguente relazione (letta in Oxy) 𝑂𝑃 = 𝑂𝑂′⨁𝑂′𝑃. Fissati i versori fondamentali di Oxy, possiamo scrivere la relazione sopra per componenti 𝑥; 𝑦 = (𝑎; 𝑏)⨁(X;y)=(a+X;b+Y). Poiché, fissati i versori, i due vettori sono uguali se hanno uguali le componenti possiamo ricavare 𝑥= 𝑎+ 𝑋 𝑦= 𝑏+ 𝑌 Viceversa possiamo affermare che letto nel sistema O'XY il vettore 𝑂′𝑃 = 𝑂𝑃 ⊝ 𝑂𝑂′ e ricavare 𝑋= 𝑥− 𝑎 𝑌= 𝑦− 𝑏 2) E' importante osservare che nei ragionamenti sopra il piano ed il punto P restano fissi, mentre è il sistema di riferimento che si muove mediante la tralsazione. Invece nelle osservazioni fatte all'inizio di questa parte la traslazione era un movimento dei punti del piano: riferendo tale piano ad un unico sistema di assi cartesiani si poteva pensare che fossero i punti a muoversi.

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