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Studio di funzione (provvisorio)

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  • 1. Studio di funzione reale in una variabile reale
  • 2. I^ ParteSchema 1.Dominio Derive Riportiamo il dominio sul grafico 2d-plot 2. Simmetrie e periodicità 2.1 Simmetrie: pari, dispari f(-x)= 2.2 Periodicità f(x+T)=f(x) 3. Segno f(x)>0 Riportiamo sul grafico 2d-plot 4. Incontro con gli assi. Asse x y=0; asse y x=0 Attenzione: 1) controllare x=0 appartenga al domino; 2) risolvere nei reali 3) in caso di approssimazioni indicarle 5. Limiti e continuità 5.1 Limiti sulla frontiera del dominio 5.11 Segnalare eventuali forme indeterminate 5.2 Continuità e punti di discontinuità (indicare dove la funzione è continua e gli eventuali punti di discontinuità Attenzione se la funzione è definita per casi) 6. Asintoti 6.1 Equazioni eventuali asintoti orizzontali e verticali 6.2 Controllo (se necessario) presenza asintoti obliqui
  • 3. II^ ParteSchema 1. Derivata Derive 1.1 Indicare eventuali punti di discontinuità della derivata (appartenenti al dominio). Punti non derivabili 2. Punti stazionari di f(x). f(x)=0 3. Monotonia di f(x). 3.1 Studio di f(x)>0 3.2 Intervalli di crescenza e decrescenza 4. Punti estremali: minimi e massimi locali 4.1 Minimi e massimi locali (appartenenti ai punti stazionari) 4.2 Se esistono punti non derivabili, minimi e massimi locali non derivabili 5. Punti non derivabili (se esistono) indicare la tipologia 6. Concavità e convessità 6.1 Derivata seconda f(x) 6.2 Studio segno f(x)>0 6.3 Intervalli nei quali la funzione è concava (convessa) 7. Punti di flesso 7.1 Flessi a tangente orizzontale (ovvero punti stazionari che sono flessi) 7.2 Flessi a tangente obliqua
  • 4. I parte: definizione di funzione Sul libro: pag. 117 e segdefinizione: Dati due insiemi A e B, una funzione di A in B è una relazione che associa ad ogni elemento di A uno ed un solo elemento di BCome si indica: Si indica oppure semplicemente f(x).Come si rappresenta: Si può rappresentare su un piano cartesiano tramite il grafico.Come si riconosce Se è dato il grafico su un piano cartesiano, si considerano rette parallele all’asse y. Se anche una sola di queste rette incontra il grafico più di una volta non è una funzione.1.1) Funzione numerica Definizione funzioni numeriche sono funzioni i cui domini e condomini sono insiemi numerici Definizione diremo funzione reale di variabile reale una relazione fra un sottoinsieme (ovvero un sottoinsieme dei reali) e che associa ad ogni elemento di D uno e un solo numero reale: Ricorda che y è detta variabile dipendente e x è detta variabile indipendente. Inoltre se consideriamo, ad esempio la funzione ,è detta espressione analitica della funzione, mentre è detta equazione della funzione Dominio
  • 5. I parte: dominio Sul libro: 119Definizione Dominio della funzione numerica f(x) è l’insieme dei numeri reali che si possono assegnarealla variabile x in modo che i corrispondenti valori f(x) siano numeri reali.Definizione un elemento y di B che è il corrispondente di almeno un elemento x di A si dice immagine di x nella funzione f.Definizione L’insieme di tutte le immagini si dice immagine della funzione.Definizione Grafico di una funzione f è l’insieme dei punti P(x,y) del piano cartesiano tali chex è un numero reale del dominio e y è l’immagine di x, ossia y=f(x). Definizione Date due funzioni e si può considerare la funzione che porta direttamente A in C tale funzione si dice funzione composta e si indica e associa ad ogni elemento x di A l’immagine mediante h dell’immagine di x mediante g. Il concetto di funzione composta è fondamentale sia nel calcolo del dominio, che in quello dei limiti e delle derivate. Per determinare il dominio di una funzione, dovrò considerare, se la funzione è composta, i domini delle funzioni che la compongono. In particolare è utile ricordarsi i domini delle funzioni elementari Determinare il dominio
  • 6. I parte: determinare il dominioPer determinare il dominio : 1) immagino di calcolare un valore della funzione con la calcolatrice per poter individuare la sequenza di funzioni elementari che la compongono (ovvero i tasti-operazione); 2) ripercorro la sequenza di calcolo domandandomi quale è il dominio e l’immagine di ogni funzione elementare; 3) ricavo (in genere) equazioni e/o disequazioni che mi limitano i possibili valori da dare a x 4) risolvo (se possibile) tali equazioni/disequazioni e ricavo i valori numerici (o gli intervalli).Rappresentare un dominio: possiamo limitarci a scrivere a parole o in simboli i risultati ottenuti, maspesso è utile aggiungere un sistema di assi cartesiani. Poiché il dominio si legge sull’asse x ,individuare gli intervalli che non appartengono al dominio. In corrispondenza di questi intervallisbarrare tutta la regione di piano sopra e sotto poiché non potendo dare quei valori alla x, non avròvalori y per la variabile dipendente (ovvero la funzione non potrà passare per nessuno di quei punti delpiano) Funzioni elementar i
  • 7. I parte: dominio funzioni elementari Sul libro:Funzione costante f(x)=k Funzione lineareEquivale a y=k. Dominio R.Immagine Domino RIniettiva NO Immagine RSuriettiva NO Iniettiva SI Sureittiva SIFunzione quadratica Funzione cubicaDominio R. Dominio RIniettiva NO Immagine RSuriettiva NO Iniettiva ?Esempio Suriettiva SI EsempioFunzione proporzionalità Funzione omograficainversa (iperbole equilatera) (iperbole)Dominio Immagine DominioIniettiva SISuriettiva NOFunzione radice indice pari Funzione radice indice pari(o anche potenza del tipo (o anche potenza del tipocon q pari) con q dispari)Dominio Domino ImmagineImmagine Funzioni elementari II
  • 8. I parte: dominio funzioni elementari Sul libro:Funzione esponenziale Funzione logaritmicaDominio R Immagine Domino Immagine Rfunzioni goniometriche funzioni goniometriche e DominioDomino RImmagine [-1,1]Iniettiva NO OvveroSuriettiva NO Iniettiva No Suriettiva SiFunzione valore Funzioni definite per casiassoluto Sono date da espressioni analitiche diverse a seconda del valore attribuito alla variabile x EsempioDomino RImmagineIniettiva NoSuriettiva No
  • 9. I parte: simmetrie e periodicità segno Definizione Una funzione si dice Cosa accade al grafico della funzione pari se Il grafico di una funzione pari è simmetrico rispetto all’asse delle y ; ; dispari se Il grafico di una funzione dispari è simmetrico rispetto all’origine ; periodica di periodo T se Il grafico si ripete di periodo in periodo. ; ;Studiare il segno della funzione Sul libro:133Definizione Data la funzione studiare il segno della funzione, significa determinare per quali valori del dominio la funzione ha immagini positive e perquali ha immagini negative.Per studiare il segno: porremo e risolveremo (se possibile) la disequazione. Ovvero ricaveremo gli intervalli di valori di x per i quali la funzione èpositiva.Rappresentare il segno della funzione: Oltre a scrivere, a parole o in simboli, i valori di x per i quali la funzione è positiva, risulta opportuno ed utileriportare tali informazioni sul sistema di assi cartesiani nel quale abbiamo già indicato il dominio. Per fare questo: - individuiamo sull’asse delle ascisse (x) gli intervalli nei quali la funzione ; - tratteggiamo delle rette parallele all’asse y e passanti per gli estremi degli intervalli individuati sopra; - ottenute queste “strisce” di piano, cancelleremo la parte sotto l’asse delle x, ovvero tutti i punti che hanno ordinata negativa; - nelle rimanenti strisce (corrispondenti alle x per le quali la funzione non è positiva, e dunque risulta negativa) cancelleremo la parte sopra l’asse delle y.
  • 10. I parte:limiti Sul libro: 75 e segDefiniamoSia x0 un punto dell’intervallo [a.b] e f(x) una funzione definita su [a,b] eccetto al più x0, diremo che f(x) ha per limite Lper x che tende a x0 e scriveremo tale che tale cheDefiniamoSia x0 un punto dell’intervallo [a.b] e f(x) una funzione definita su [a,b] eccetto al più x0, diremo che f(x) ha per limite + o - per x che tende a x0 e scriveremo o M>0 (grande) tale che tale che può essere 1) =L, numero finito 2) = 3) non esistere. Inoltre si parla di limiti destri e sinistri Limiti II
  • 11. I parte:limiti IIDefinizione Si dice che una funzione f(x) ha per limite per x che tende a e si scrivequando per ogni numero reale M>0 si può determinare un numero a>0 tale che risulti per ogniDefinizione Si dice che una funzione f(x) ha per limite per x che tende a e si scrivequando per ogni numero reale M>0 si può determinare un numero a>0 tale che risulti per ogniDefinizione Si dice che una funzione f(x) ha limite finito l per x che tende a e si scrive quandoper ogni intorno V di l si può determinare un numero a>0 tale che risulti per ogni Forme indeterminate [ ] ; [ ] ;
  • 12. I parte:continuità Sul libro: pag.95 e 137Definizione Una funzione f(x) si dice continua nel punto c con c Dominio di f (o diaccumulazione per il dominio di f) se il limite per x che tende a c esiste finito e se è uguale a f(c).Ovvero: 1) 2)Risultati notevoli:dalla teoria dei limiti, dalla definizione e dai teoremi sui limiti si ricava facilmente che: 1) le funzioni elementari sono continue 2) se f(x) e g(x) sono continue in c allora lo sono anche f(x)+g(x); f(x)-g(x);f(x)g(x); f(x)/g(x) (eccetto g(c)=0)Teorema continuità funzione compostaDate due funzioni y=f(z) e z=g(x); con f(z) continua in m e g(x) continua per x=c e tale che m=g(c)allora la funzione composta f(g(x)) è continua in c. discontinua
  • 13. I parte: discontinuità e punti discontinuità I specie Sul libro: pag 137, 143 e seg 1) se la funzione non è continua in c allora diremo che c è un punto di discontinuità per f 2) rileggiamo la definizione di continuità e ricaviamo che affinché la funzione sia discontinua in c può accadere una delle seguenti situazioni: a. non vale poiché b. non vale poiché o non esiste o vale infinito almeno uno dei limiti, ad esempio o c. vale ma non valeDefinizione Si dice che per x=c e y=f(x) c è punto di discontinuità di I specie se esistono finiti ilimiti destro e sinistri ma sono diversi (e quindi non esiste il limite). OvveroEsempio:Se c è un punto di discontinuità di prima specie per la funzione f(x) si chiama salto della funzione ilvalore ottenuto da discontinua
  • 14. I parte: punti discontinuità II e III specieDefinizione Si dice che per x=c e y=f(x) c è punto di discontinuità di II specie quando non esiste,o vale infinito, uno almeno dei due limiti destro o sinistro di x=cEsempio:1) in ha un punto di discontinuità di II specie poiché i limiti, da destra e dasinistra valgono rispettivamente2) in x=0 ha un punto di discontinuità di II specie poiché il limite sinistro non esiste.Definizione Si dice che per x=c e y=f(x) c è punto di discontinuità di III specie quando esistefinito , ma ( o f(c) non esiste)Esempio:1) Sia per rappresentarla dobbiamo esaminare i tre “pezzi” separatamente e poicomporli in un unico grafico. Vedremo che in x=0 i limite esiste e vale 0. Ma la funzione vale 2.Dunque ho discontinuità III specie.Osserviamo: in generale, la discontinuità di III specie può essere eliminata ovvero può essereridefinita la funzione in modo da “non staccare la penna” nell’intorno del punto di discontinuità. Pertale ragione si parla di discontinuità eliminabile
  • 15. I parte: asintoti Sul libro: pag.82,84,129Quando lim f ( x) = +∞ o lim f ( x) = −∞ , anche solo da destra e/o sinistra, diremo x  x0 → x  x0 →brevemente che la retta x=x0 è un asintoto verticale (eventualmente specificandodestro o sinistro)Quando lim f ( x) = l diremo brevemente che la retta y=l è un asintoto orizzontale x ∞ →(eventualmente possono esistere due asintoti orizzontali uno da + e uno da -infinito) Quando x  ∞ f ( x) = ∞ indipendentemente dai segni di infinito, la funzione può lim → avere un asintoto obliquo. Ovvero una retta di equazione y=mx+q a cui la funzione tende (ma non tocca) quando x tende a + o – infinito (attenzione, la funzione può tagliare l’asintoto purchè non verso quando x tende all’infinito) Per verificare e calcolare l’asintoto obliquo: f ( x) m = lim -Si calcola x ∞ → x - se m è un numero finito non nullo allora si calcola q = x  ∞( f ( x) − mx) lim → -L’asintoto obliquo sarà la retta y=mx+q dove a m e q sostituiamo i valori
  • 16. II parte: derivate Sul libro: 151-153, 161-176,Definiamo rapporto incrementale della funzione f(x) relativo al puntox0 e all’incremento h e lo si indica conEquivale a considerare il coefficiente angolare della retta che passa per i punto ePossiamo pensare di “avvicinare” il punto Q a P, ovvero “rimpicciolire” h. Avremo sempre unaretta e una inclinazione. Tutto questo in matematica si traduce con limite per h .Definizione Dunque data la funzione y=f(x) definita in un intorno completo di x0 e costruito ilrapporto incrementale, se esiste finito il prende il nome di derivata dellafunzione nel punto x0 e lo si indica con uno dei seguenti simboli: f’(x0) oppureDefiniamo funzione derivata della funzione f(x), la funzione che associa ad ogni elemento x0del dominio la derivata della funzione f(x) in x0.E la indicheremo f’(x),Definiamo una funzione si dice derivabile in x0 se in tal punto essa ha derivata finita
  • 17. II parte: concetti generali – calcolo derivateFunzione Derivata Alcune osservazioni sul calcolo di =f(x)=k f’(x)=0costante ; =0f(x)=x f’(x)=1 ; =1 ; Attenzione: questa derivata vale sia per che per (ovvero sia per potenze che per radici). Ma la sua dimostrazione è diversa nei due casi. ; Si ricava dalla precedente ricordando chex in radiantix in radianti
  • 18. II parte: concetti generali – calcolo derivateTeoremi per il calcolo delle derivate1) La derivata della sommaLa derivata della somma di due funzioni derivabili è uguale alla somma delle derivate delle funzioni.2) La derivata del prodottoLa derivata del prodotto di due funzioni derivabili è uguale al prodotto della derivata della prima funzione per la seconda non derivata, sommato alprodotto della derivata della seconda per la prima non derivata.3) La derivata del quoziente4) La derivata di una funzione compostaDai precedenti teoremi si ricavano:6)7) Se abbiamo una costante che moltiplica la funzione, lasciamo invariata la costante e deriviamo solola funzione.8) La derivata della differenza di due funzioni è uguale alla differenza delle derivate.9) Ovvero la derivata del prodotto di piùfunzioni è uguale alla somma dei prodotti delle derivate di ciascuna funzione per tutte le altre non derivate.Dal teorema 4, sulla derivata della funzione composta, si ricavano le seguenti regole:10)11) ; ;12) ;
  • 19. II parte: punti non derivabili In particolare ci interessano i punti in cui la funzione è continua ma non derivabile. (libro pag. 157) Dalla definizione data sopra di derivabilità in un punto, affinché non sia derivabile può accadere che:1) Non esiste finito il limite del rapporto incrementale. Ovvero vale +∝ o -∝2) Esistono finiti i limiti destri e sinistri ma non sono uguali3) I limiti sinistro e destro valgono infinito e non sono ugualiInoltre possono essere punti non derivabili gli estremi (finiti) degli intervalli del dominio.Caso 1) parleremo di punti a tangente verticale. Ad esempio y =3 x in x=0 (è un esempio pericoloso) Caso 2) parleremo di punti angolosi. Ad esempio y= x in x=0 Caso 3) parleremo di cuspidi. Ad esempio y = 3 x2 in x=0
  • 20. II parte: monotonia e criteri per stabilirla Definizione  Data una funzione ed un intervallo I (che possiamo indicare con [a,b]), diremo che la funzione è crescente in I se per ogni coppia di valori dell’intervallo tali che risulta  Data una funzione ed un intervallo I (che possiamo indicare con [a,b]), diremo che la funzione è decrescente in I se per ogni coppia di valori dell’intervallo tali che risulta Sul libro: 118 Criteri per crescenza e decrescenza:Teorema – condizioni sufficienti - (pag 191)Data una funzione continua in un intervallo I e derivabile al suo interno:se in ogni punto interno di I la derivata prima di f(x) è positiva allora la f(x) è strettamente crescente;se in ogni punto interno di I la derivata prima di f(x) è negativa allora f(x) è strettamente decrescenteTeorema – condizioni necessarie – (pag 192)Data una funzione continua in un intervallo I:se la funzione è crescente in I allora in I; se la funzione è decrescente in I allora in I y = x 3 − 3x 2 y = 3x 2 − 6 x 3x 2 − 6 x > 0 ⇒ x < 0 x>2 f’(x)>0 + 0 - 2 + f(x)
  • 21. II parte: punti stazionari e punti estremali Definizione Data la funzione f(x) è un punto se è chiamato punto stazionario B D C F E AA,C,E sono punti di minimo ed B, D,F sono punti di massimo. Ma se osserviamo ad esempio il punto di massimo F haun ordinata minore del punto di minimo C. Ed ancora tra tutti i punti di minimo vi è un minimo Assoluto (cioè minoredegli altri che chiameremo relativi) analogo per il massimo.Definizione Data la funzione y=f(x) definita in un intervallo I chiamiamo:  punto di massimo assoluto se per ogni x dell’intervallo I (in simboli ); il valore M= è chiamato Massimo assoluto.  punto di minimo assoluto se per ogni x dell’intervallo I (in simboli ); il valore m= è chiamato Minimo assoluto.Definizione Data la funzione y=f(x) definita in un intervallo I chiamiamo:  punto di massimo relativo se esiste un intorno di (ovvero un intervallo che contiene ) tale che per ogni x dell’intorno (in simboli punto di massimo relativo se tale che ); il valore M= è chiamato Massimo relativo  punto di minimio relativo se esiste un intorno di (ovvero un intervallo che contiene ) tale che per ogni x dell’intorno (in simboli punto di massimo relativo se tale che ); il valore m= è chiamato Minimo relativo
  • 22. II parte: punti estremali – stazionari - criteri Possiamo osservare che né nelle definizioni di crescenza/decrescenza, né in quelle di minimi e massimi si fa cenno alla derivata della funzione. Dunque potranno esistere punti di minimo e massimo anche se la funzione non è derivabile. In questa prima parte riferiamoci solo ai punti minimi e massimi locali derivabili Come trovarli:Teorema -condizione necessaria- (pag 221)Se è continua e derivabile in un intervallo I e se ( appartiene ad I) è un punto di massimo ominimo relativo alloraOvvero è stazionarioAttenzione: ; calcoliamo il valore della derivata in x=0 ovvero . In questo caso la derivata prima è zero, ma non abbiamo né un massimo né unminimo.Dunque non vale il viceversa del teorema ; ovvero se non possiamo dire niente suTeorema – condizione sufficiente-:-Studiare il segno della derivata prima pag.223-Cercare i punti stazionari e poi considerare le derivate successive pag.227
  • 23. II parte: punti estremali – non derivabili Abbiamo già accennato ai punti non derivabili. Occorrerà vedere (se possibile) il valore e segno della derivata in un intorno destro e sinistro del punto non derivabile.Saranno probabili candidati ad essere punti di minimo o di massimo relativo i punti (seesistono) di frontiera del dominio. Sebbene la definizione che abbiamo dato di massimi eminimi relativi, richieda un intorno completo del punto.Chiariamo con un esempio:f(x) =√x. In x=0 è definita, ma non derivabile.In un intorno destro di x=0 la derivata esiste ed è positiva, pertanto la funzione cresce;dunque possiamo dire che x=0 è un punto di minimo sulla frontiera del dominio.Attenzione: con un attento studio del segno della derivata prima f’(x)>0, molti di questiproblemi vengono risolti. Consiglio di riportare sempre (specie se fatto con carta e penna)oltre agli intervalli in cui la f’(x) è positiva, anche il dominio di f(x).
  • 24. II parte: concavità e convessità (pag. 236) Prima di procedere osserviamo i due grafici di esempioTracciando la retta tangente nel punto possiamo osservare che  Se la funzione è concava verso l’alto nel punto allora in un intorno del punto la funzione sta sopra la retta tangente  Se la funzione è concava verso il basso nel punto allora in un intorno del punto la funzione sta sotto la retta tangente.Definizione Data una funzione f(x) definita e derivabile in un intervallo I , un punto appartenenteall’intervallo e indicato con y=t(x) la retta tangente alla funzione nel punto :  Diremo che la funzione è concava verso l’alto in se esiste un intorno di tale che per ogni x dell’intorno escluso (in simboli )  Diremo che la funzione è concava verso il basso in se esiste un intorno di tale che per ogni x dell’intorno escluso (in simboli )
  • 25. II parte: concavità e convessità 2 Prima di procedere osserviamo i due grafici di esempioalle volte si parla anche di concavità in un intervallo, ovvero anziché guardare un solo punto ciinteressa sapere cosa accade in un intero intervallo I. In tal caso le definizioni si modificano: seosserviamo le due funzioni riportate sopra queste sono concave rispettivamente verso l’alto e versoil basso in tutto l’intervallo preso in esame.Pensiamo allora di prendere, ad esempio nel primo caso, una qualunque coppia di punti sullafunzione e tracciamo la retta che congiunge i due punti: - se la funzione è concava verso l’alto la retta si troverà sempre sopra la funzione; - se la funzione è concava verso il basso la retta si troverà sempre sotto la funzione.E’ possibile fornire una definizione rigorosa di questo fatto, ma qui la omettiamo.
  • 26. II parte: concavità e convessità – criteriCriterio per stabilire la concavità del grafico di una funzioneTeorema (pag 237)Sia y=f(x) una funzione definita e continua in un intervallo I e che ammetta derivate prima eseconda . Sia un punto di I:  se allora la funzione è concava verso l’alto  se allora la funzione è concava verso il basso.
  • 27. II parte: flessi - criterio Pag 236 Si dice che f(x) ha un punto di flesso in x0 se -Esiste la retta tangente alla curva in x0 -Esiste un intorno di x0 tale che la curva si trovi da parti opposte rispetto alla tangente.In classe abbiamo dato una definizione forse più complicata ma più efficace:Data la funzione f(x), definita e derivabile in x0; indicata con t(x) la tangente in x0 allafunzione, x0 è un punto di flesso se esiste un intorno I di x0, tale che per ogni punto xappartenente a I: f(x)*t(x) mantiene lo stesso segno. Metodo per cercare i flessi (pag. 238) 1. si calcola f’’(x) 2. Si individuano i punti in cui f’’(x)=0 e i punti (se esistono) in cui non è definita f’’(x) 3. Si studia il segno di f’’(x) ovvero concavità e convessità 4. Tra i punti trovati al passo 2, cerchiamo quelli in cui la funzione ha cambiato concavità 5. Verifichiamo che in tali punti esista la retta tangente (ovvero la derivata prima esista finita, oppure esista ma sia infinito)
  • 28. II parte: flessi - classificazione Il metodo indicato sopra si può ridurre al solo studio del segno della derivata seconda (fatto con attenzione, in particolare nei punti in cui risulta il flesso)Possiamo classificare i flessi: sia x0 un punto di flesso1)Se f’(x0)=0 (ovvero stazionario) allora diremo flesso a tangente orizzontale2)Se f’(x0) esiste ma ≠0 allora diremo flesso a tangente obliqua3)Se f’(x0) non esiste finita, ma vale infinito diremo flesso a tangente verticale.(pag. 223)