Introduzione alla derivate con geogebra
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Introduzione alla derivate con geogebra Presentation Transcript

  • 1. INTRODUZIONE ALLA DERIVATE CON GEOGEBRA
  • 2. OCCORRE RICORDARE: l'equazione di una retta per due punti 𝑥0 ; 𝑦0 coefficiente angolare è 𝑚 = 𝑥1 ; 𝑦1 è 𝑦 = 𝑦1 −𝑦0 𝑥 1 −𝑥 0 𝑥 − 𝑥0 + 𝑦0 ; dove il 𝑦1 −𝑦0 𝑥 1 −𝑥 0 data una curva nel piano di equazione y=f(x), una retta si dice secante se incontra la curva in almeno due punti distinti, si dice tangente se la incontra in due punti coincidenti Geogebra è un software gratuito; all'avvio possiamo scegliere di visualizzare la "Vista grafica" e la "Vista Algebra"; in basso troviamo una barra dove è possibile inserire formule/funzioni ... per dichiarare una funzione in Geogebra occorre scrivere il nome (ad esempio f(x) ) seguito da := l'espressione della funzione
  • 3. ESEMPIO – ESERCIZIO N. 1 Data la funzione e due punti del dominio , vogliamo  a) rappresentare la funzione;  b) individuare i punti del grafico della funzione di ascissa assegnata  c) rappresentare graficamente la retta secante che passa per tali punti, ricavarne l'equazione e il coefficiente angolare
  • 4. ESEMPIO – ESERCIZIO N. 1 𝑓 𝑥 = 1 − 2𝑥 e due punti del dominio 𝑥0 = −1 𝑒 𝑥1 = 0 a) Rappresentare la funzione a) digitiamo nella riga di inserimento la nostra funzione f(x):=(1-2x)^(1/2). Premendo <invio> avremo la nostra funzione disegnata (possiamo aggiustare la visuale aprendo l'icona indicata )
  • 5. ESEMPIO – ESERCIZIO N. 1 𝑓 𝑥 = 1 − 2𝑥 e due punti del dominio 𝑥0 = −1 𝑒 𝑥1 = 0 b) Individuare i punti di ascissa assegnata Il punto del grafico della funzione di ascissa 𝑥0 = −1, lo otteniamo digitando le coordinate del punto tra parentesi tonde separate da virgola: (-1,f(-1)). Analogo per l’altra ascissa c) Rappresentiamo la retta e ricaviamo l’equazione per rappresentare la retta apriamo il menù rappresentato dall'icona indicata e scegliamo "retta per due punti". Indichiamo, cliccando in mouse, i punti individuati in precedenza. Nella "vista Algebra" troviamo l'equazione della retta
  • 6. ESEMPIO – ESERCIZIO N. 1 𝑓 𝑥 = 1 − 2𝑥 e due punti del dominio 𝑥0 = −1 𝑒 𝑥1 = 0 c) Rappresentiamo la retta e ricaviamo l’equazione confrontiamola con quella ottenuta "carta e penna" utilizzando la formula vista all'inizio: 𝑦 = 𝑦1 −𝑦0 𝑥 1 −𝑥 0 𝑥 − 𝑥0 + 𝑦0 sostituendo i punti A(-1, 3) B(0,1) Infine per ricavare il coefficiente angolare possiamo digitare nella riga di inserimento la formula 𝑚 = 𝑦1 −𝑦0 𝑥 1 −𝑥 0 . Attenzione per indicare che vogliamo l'ordinata del punto A occorre scrivere y[A] e per l'ascissa x[A], pertanto la formula da digitare risulta m:=(y[A]-y[B])/(x[A]-x[B]) Premendo invio avremo il risultato nella nostra vista Algebra
  • 7. ESEMPIO – ESERCIZIO N. 1 𝑓 𝑥 = 1 − 2𝑥 e due punti del dominio 𝑥0 = −1 𝑒 𝑥1 = 0 Il nostro primo esercizio è finito, possiamo rendere il tutto più facilmente leggibile: vorremmo un testo che riassuma quello che appare nel disegno ovvero funzione f(x)= ; retta per i punti A B ; coefficiente angolare Per fare questo: 1) clicchiamo sull'icona inserisci testo (evidenziata in giallo) 2) nella finestra che si apre digitiamo Funzione f(x)= poi nel menù a discesa oggetti scegliamo la lettera che indica la funzione che vogliamo inserire nel testo. Digitiamo ora Retta per i punti A e scegliamo l'oggetto A, e B e scegliamo l'oggetto B. Poi scegliamo l'oggetto corrispondente alla retta. Infine digitiamo coefficiente angolare e scegliamo l'oggetto corrispondente. Confermiamo con OK
  • 8. ESEMPIO – ESERCIZIO N. 2 Data la funzione 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 − 4 e il punto del dominio 𝑥0 = 1 vogliamo a) rappresentare la funzione e individuare sul grafico il punto di ascissa assegnata b) considerare il punto sulla funzione di ascissa 𝑥1 = 𝑥0 + ℎ con h=1 e rappresentare la retta per i due punti e calcolare il coefficiente angolare
  • 9. ESEMPIO – ESERCIZIO N. 2 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 − 4 e il punto del dominio 𝑥0 = 1 In un nuovo foglio digitiamo la funzione f(x):=x^2-4 individuiamo il primo punto (1, f(1)) , per il secondo punto prima assegniamo ad h il valore proposto h:=1 individuiamo il punto scrivendo (1+h,f(1+h)) e tracciamo la retta. infine calcoliamo il coefficiente angolare m:=(y[B]-y[A])/(x[B]-x[A]) riassumiamo il tutto usando il comando testo
  • 10. RIASSUMIAMO QUANTO VISTO FINO AD ADESSO      Abbiamo una funzione f(x) Abbiamo un punto x0 Abbiamo un valore di h Ricaviamo un secondo punto x1=x0+h Individuiamo la retta secante che avrà coefficiente angolare m f ( x0 h) h f ( x0 )
  • 11. RIASSUMIAMO QUANTO VISTO FINO AD ADESSO f x f ( x0 h) h f ( x0 ) rapporto incrementale Osserviamo che il rapporto incrementale dipende da due variabili: • x0 •h
  • 12. ESEMPIO – ESERCIZIO N. 3 Consideriamo la funzione 𝑓 𝑥 = 2−𝑥 𝑥 3 : fissiamo un punto 𝑥0 a piacere (ad esempio =1) vogliamo rappresentare le rette secanti e i coefficienti angolari (ovvero i rapporti incrementali) che otteniamo considerando 𝑥1 = 𝑥0 + ℎ per ℎ = 1,0.9,0.8, … ,0.1 Iniziamo a risolvere il problema “carta e penna” poi vedremo come Geogebra può aiutarci
  • 13. ESEMPIO – ESERCIZIO N. 3 – CARTA E PENNA 𝑓 𝑥 = 2−𝑥 𝑥 3 ; 𝑥0 a piacere ; h assume valori = 1,0.9,0.8, … ,0.1 Calcoliamo il rapporto incrementale f x f ( x0 h) f x 2 2 f ( x0 ( x0 h ) ( x0 ( x0 h ) h) h h) f ( x0 ) 3 3 f ( x0 ) ( x0 h) 2 x0 h x0 ( x0 ) 2 ( x0 ) ( x0 ) 3 ( x0 ) 3
  • 14. ESEMPIO – ESERCIZIO N. 3 – CARTA E PENNA 𝑓 𝑥 = 2−𝑥 𝑥 3 ; 𝑥0 a piacere ; h assume valori = 1,0.9,0.8, … ,0.1 Il rapporto incrementale f x 2 ( x0 h ) ( x0 h)3 2 x0 h x0 ( x0 ) ( x0 )3 Ora dovremmo armarci di pazienza e : 1. Assegnare un valore ad x0, ad esempio 1 2. Assegnare un valore ad h, ad esempio 1 3. Calcolare il rapporto incrementale 4. Ripetere il calcolo per un altro valore di h, ad esempio 0.9 … e così via
  • 15. ESEMPIO – ESERCIZIO N. 3 – GEOGEBRA 𝑓 𝑥 = 2−𝑥 𝑥 3 ; 𝑥0 a piacere ; h assume valori = 1,0.9,0.8, … ,0.1 Vediamo come possiamo fare utilizzando Geogebra Dall'icona indicata scegliamo "Inserisci campo di inserimento" e clicchiamo con il mouse in una zona della vista grafica. Si aprirà una finestra: nel campo "Legenda" scriviamo "h" (ovvero il testo che vogliamo visualizzare), in "Oggetto collegato" scegliamo l'oggetto h. Ora clicchiamo su applica.
  • 16. ESEMPIO – ESERCIZIO N. 3 – GEOGEBRA 𝑓 𝑥 = 2−𝑥 𝑥 3 ; 𝑥0 a piacere ; h assume valori = 1,0.9,0.8, … ,0.1 Creiamo un campo inserimento testo Dall'icona indicata scegliamo "Inserisci campo di inserimento" e clicchiamo con il mouse in una zona della vista grafica. Si aprirà una finestra: nel campo "Legenda" scriviamo "h" (ovvero il testo che vogliamo visualizzare), in "Oggetto collegato" scegliamo l'oggetto h. Ora clicchiamo su applica.
  • 17. ESEMPIO – ESERCIZIO N. 3 – GEOGEBRA 𝑓 𝑥 = 2−𝑥 𝑥 3 ; 𝑥0 a piacere ; h assume valori = 1,0.9,0.8, … ,0.1
  • 18. ESEMPIO – ESERCIZIO N. 3 – GEOGEBRA 𝑓 𝑥 = 2−𝑥 𝑥 3 ; 𝑥0 a piacere ; h assume valori = 1,0.9,0.8, … ,0.1 possiamo utilizzare uno strumento di Geogebra: "slider". Clicchiamo sull'icona, e poi sulla vista Gr afica. Si apre una finestra; in nome diamo il nome "h", in intervallo indichiamo il minimo e il massimo valore che vogliamo assegnare ad h e il suo incremento. Nel nostro caso min=0 max=1 incremento=0.1. Cliccando su applica
  • 19. ESEMPIO – ESERCIZIO N. 3 – GEOGEBRA 𝑓 𝑥 = 2−𝑥 𝑥 3 ; 𝑥0 a piacere ; h assume valori = 1,0.9,0.8, … ,0.1
  • 20. ESEMPIO- ESERCIZIO N.3 - OSSERVAZIONE Azionando sullo slider possiamo vedere cosa accade alla retta e al rapporto incrementale  Modificando il valore di x_0 possiamo cambiare il punto  1) Perché per h=0 la retta sparisce? 2) Più h è piccolo, più la retta secante si avvicina alla retta tangente (questa osservazione vale sia per h>0 che per h<0)
  • 21. PRIME COCLUSIONI retta deve passare per due punti, quando Perché la nostra Perché per h=0 la retta sparisce? 1) Per h “che tende a zero” cosa accade alla retta h=0 i due punti coincidono e per un punto passano infinite lettere. Inoltre se riguardiamo il calcolo del rapporto incrementale, al denominatore troviamo h e quindi non può essere uguale a 0 Potremmo pensare che la retta, da secante, tende ad essere tangente. Per verificare la correttezza della nostra congettura possiamo procedere a calcolare cosa accade al rapporto incrementale quando h “tende” a zero
  • 22. IL RAPPORTO INCREMENTALE QUANDO H TENDE A ZERO  Se volessimo procedere “carta e penna” lim f ( x0 h lim h 0 0 2 ( x0 h ) h) h f ( x0 ) 3 ( x0 h) 2 x0 h x0 ( x0 ) ( x0 ) Chiediamo ancora aiuto a GEOGEBRA 3
  • 23. IL RAPPORTO INCREMENTALE QUANDO H TENDE A ZERO lim h 0 2 ( x0 h ) 3 ( x0 h) 2 x0 h x0 ( x0 ) Assegniamo il rapporto incrementale ad una nuova funzione che chiamimo f’(x) f’(h):=(f(x_0+h)-f(x_0))/h Digitiamo Limite[f',0] Nella finestra algebra vedremo il valore del limite calcolato da Geogebra ( x0 ) 3
  • 24. . IL RAPPORTO INCREMENTALE QUANDO H TENDE A ZERO lim h 2 ( x0 h ) 0 3 ( x0 h) 2 x0 h x0 ( x0 ) ( x0 ) 3 Se la nostra congettura è corretta, se scriviamo l’equazione di una retta che passa per (x_0,f(x_0)) e ha come coefficiente angolare il valore calcolato nel limite, dovremmo ottenere una retta tangente y m( x x0 ) f ( x0 )