Introduzione alla derivate con geogebra

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Introduzione alla derivate con geogebra

  1. 1. INTRODUZIONE ALLA DERIVATE CON GEOGEBRA
  2. 2. OCCORRE RICORDARE: l'equazione di una retta per due punti π‘₯0 ; 𝑦0 coefficiente angolare Γ¨ π‘š = π‘₯1 ; 𝑦1 Γ¨ 𝑦 = 𝑦1 βˆ’π‘¦0 π‘₯ 1 βˆ’π‘₯ 0 π‘₯ βˆ’ π‘₯0 + 𝑦0 ; dove il 𝑦1 βˆ’π‘¦0 π‘₯ 1 βˆ’π‘₯ 0 data una curva nel piano di equazione y=f(x), una retta si dice secante se incontra la curva in almeno due punti distinti, si dice tangente se la incontra in due punti coincidenti Geogebra Γ¨ un software gratuito; all'avvio possiamo scegliere di visualizzare la "Vista grafica" e la "Vista Algebra"; in basso troviamo una barra dove Γ¨ possibile inserire formule/funzioni ... per dichiarare una funzione in Geogebra occorre scrivere il nome (ad esempio f(x) ) seguito da := l'espressione della funzione
  3. 3. ESEMPIO – ESERCIZIO N. 1 Data la funzione e due punti del dominio , vogliamo οƒ’ a) rappresentare la funzione; οƒ’ b) individuare i punti del grafico della funzione di ascissa assegnata οƒ’ c) rappresentare graficamente la retta secante che passa per tali punti, ricavarne l'equazione e il coefficiente angolare
  4. 4. ESEMPIO – ESERCIZIO N. 1 𝑓 π‘₯ = 1 βˆ’ 2π‘₯ e due punti del dominio π‘₯0 = βˆ’1 𝑒 π‘₯1 = 0 a) Rappresentare la funzione a) digitiamo nella riga di inserimento la nostra funzione f(x):=(1-2x)^(1/2). Premendo <invio> avremo la nostra funzione disegnata (possiamo aggiustare la visuale aprendo l'icona indicata )
  5. 5. ESEMPIO – ESERCIZIO N. 1 𝑓 π‘₯ = 1 βˆ’ 2π‘₯ e due punti del dominio π‘₯0 = βˆ’1 𝑒 π‘₯1 = 0 b) Individuare i punti di ascissa assegnata Il punto del grafico della funzione di ascissa π‘₯0 = βˆ’1, lo otteniamo digitando le coordinate del punto tra parentesi tonde separate da virgola: (-1,f(-1)). Analogo per l’altra ascissa c) Rappresentiamo la retta e ricaviamo l’equazione per rappresentare la retta apriamo il menΓΉ rappresentato dall'icona indicata e scegliamo "retta per due punti". Indichiamo, cliccando in mouse, i punti individuati in precedenza. Nella "vista Algebra" troviamo l'equazione della retta
  6. 6. ESEMPIO – ESERCIZIO N. 1 𝑓 π‘₯ = 1 βˆ’ 2π‘₯ e due punti del dominio π‘₯0 = βˆ’1 𝑒 π‘₯1 = 0 c) Rappresentiamo la retta e ricaviamo l’equazione confrontiamola con quella ottenuta "carta e penna" utilizzando la formula vista all'inizio: 𝑦 = 𝑦1 βˆ’π‘¦0 π‘₯ 1 βˆ’π‘₯ 0 π‘₯ βˆ’ π‘₯0 + 𝑦0 sostituendo i punti A(-1, 3) B(0,1) Infine per ricavare il coefficiente angolare possiamo digitare nella riga di inserimento la formula π‘š = 𝑦1 βˆ’π‘¦0 π‘₯ 1 βˆ’π‘₯ 0 . Attenzione per indicare che vogliamo l'ordinata del punto A occorre scrivere y[A] e per l'ascissa x[A], pertanto la formula da digitare risulta m:=(y[A]-y[B])/(x[A]-x[B]) Premendo invio avremo il risultato nella nostra vista Algebra
  7. 7. ESEMPIO – ESERCIZIO N. 1 𝑓 π‘₯ = 1 βˆ’ 2π‘₯ e due punti del dominio π‘₯0 = βˆ’1 𝑒 π‘₯1 = 0 Il nostro primo esercizio Γ¨ finito, possiamo rendere il tutto piΓΉ facilmente leggibile: vorremmo un testo che riassuma quello che appare nel disegno ovvero funzione f(x)= ; retta per i punti A B ; coefficiente angolare Per fare questo: 1) clicchiamo sull'icona inserisci testo (evidenziata in giallo) 2) nella finestra che si apre digitiamo Funzione f(x)= poi nel menΓΉ a discesa oggetti scegliamo la lettera che indica la funzione che vogliamo inserire nel testo. Digitiamo ora Retta per i punti A e scegliamo l'oggetto A, e B e scegliamo l'oggetto B. Poi scegliamo l'oggetto corrispondente alla retta. Infine digitiamo coefficiente angolare e scegliamo l'oggetto corrispondente. Confermiamo con OK
  8. 8. ESEMPIO – ESERCIZIO N. 2 Data la funzione 𝑓 π‘₯ = π‘₯ 2 βˆ’ 4 e il punto del dominio π‘₯0 = 1 vogliamo a) rappresentare la funzione e individuare sul grafico il punto di ascissa assegnata b) considerare il punto sulla funzione di ascissa π‘₯1 = π‘₯0 + β„Ž con h=1 e rappresentare la retta per i due punti e calcolare il coefficiente angolare
  9. 9. ESEMPIO – ESERCIZIO N. 2 𝑓 π‘₯ = π‘₯ 2 βˆ’ 4 e il punto del dominio π‘₯0 = 1 In un nuovo foglio digitiamo la funzione f(x):=x^2-4 individuiamo il primo punto (1, f(1)) , per il secondo punto prima assegniamo ad h il valore proposto h:=1 individuiamo il punto scrivendo (1+h,f(1+h)) e tracciamo la retta. infine calcoliamo il coefficiente angolare m:=(y[B]-y[A])/(x[B]-x[A]) riassumiamo il tutto usando il comando testo
  10. 10. RIASSUMIAMO QUANTO VISTO FINO AD ADESSO οƒ’ οƒ’ οƒ’ οƒ’ οƒ’ Abbiamo una funzione f(x) Abbiamo un punto x0 Abbiamo un valore di h Ricaviamo un secondo punto x1=x0+h Individuiamo la retta secante che avrΓ  coefficiente angolare m f ( x0 h) h f ( x0 )
  11. 11. RIASSUMIAMO QUANTO VISTO FINO AD ADESSO f x f ( x0 h) h f ( x0 ) rapporto incrementale Osserviamo che il rapporto incrementale dipende da due variabili: β€’ x0 β€’h
  12. 12. ESEMPIO – ESERCIZIO N. 3 Consideriamo la funzione 𝑓 π‘₯ = 2βˆ’π‘₯ π‘₯ 3 : fissiamo un punto π‘₯0 a piacere (ad esempio =1) vogliamo rappresentare le rette secanti e i coefficienti angolari (ovvero i rapporti incrementali) che otteniamo considerando π‘₯1 = π‘₯0 + β„Ž per β„Ž = 1,0.9,0.8, … ,0.1 Iniziamo a risolvere il problema β€œcarta e penna” poi vedremo come Geogebra puΓ² aiutarci
  13. 13. ESEMPIO – ESERCIZIO N. 3 – CARTA E PENNA 𝑓 π‘₯ = 2βˆ’π‘₯ π‘₯ 3 ; π‘₯0 a piacere ; h assume valori = 1,0.9,0.8, … ,0.1 Calcoliamo il rapporto incrementale f x f ( x0 h) f x 2 2 f ( x0 ( x0 h ) ( x0 ( x0 h ) h) h h) f ( x0 ) 3 3 f ( x0 ) ( x0 h) 2 x0 h x0 ( x0 ) 2 ( x0 ) ( x0 ) 3 ( x0 ) 3
  14. 14. ESEMPIO – ESERCIZIO N. 3 – CARTA E PENNA 𝑓 π‘₯ = 2βˆ’π‘₯ π‘₯ 3 ; π‘₯0 a piacere ; h assume valori = 1,0.9,0.8, … ,0.1 Il rapporto incrementale f x 2 ( x0 h ) ( x0 h)3 2 x0 h x0 ( x0 ) ( x0 )3 Ora dovremmo armarci di pazienza e : 1. Assegnare un valore ad x0, ad esempio 1 2. Assegnare un valore ad h, ad esempio 1 3. Calcolare il rapporto incrementale 4. Ripetere il calcolo per un altro valore di h, ad esempio 0.9 … e cosΓ¬ via
  15. 15. ESEMPIO – ESERCIZIO N. 3 – GEOGEBRA 𝑓 π‘₯ = 2βˆ’π‘₯ π‘₯ 3 ; π‘₯0 a piacere ; h assume valori = 1,0.9,0.8, … ,0.1 Vediamo come possiamo fare utilizzando Geogebra Dall'icona indicata scegliamo "Inserisci campo di inserimento" e clicchiamo con il mouse in una zona della vista grafica. Si aprirΓ  una finestra: nel campo "Legenda" scriviamo "h" (ovvero il testo che vogliamo visualizzare), in "Oggetto collegato" scegliamo l'oggetto h. Ora clicchiamo su applica.
  16. 16. ESEMPIO – ESERCIZIO N. 3 – GEOGEBRA 𝑓 π‘₯ = 2βˆ’π‘₯ π‘₯ 3 ; π‘₯0 a piacere ; h assume valori = 1,0.9,0.8, … ,0.1 Creiamo un campo inserimento testo Dall'icona indicata scegliamo "Inserisci campo di inserimento" e clicchiamo con il mouse in una zona della vista grafica. Si aprirΓ  una finestra: nel campo "Legenda" scriviamo "h" (ovvero il testo che vogliamo visualizzare), in "Oggetto collegato" scegliamo l'oggetto h. Ora clicchiamo su applica.
  17. 17. ESEMPIO – ESERCIZIO N. 3 – GEOGEBRA 𝑓 π‘₯ = 2βˆ’π‘₯ π‘₯ 3 ; π‘₯0 a piacere ; h assume valori = 1,0.9,0.8, … ,0.1
  18. 18. ESEMPIO – ESERCIZIO N. 3 – GEOGEBRA 𝑓 π‘₯ = 2βˆ’π‘₯ π‘₯ 3 ; π‘₯0 a piacere ; h assume valori = 1,0.9,0.8, … ,0.1 possiamo utilizzare uno strumento di Geogebra: "slider". Clicchiamo sull'icona, e poi sulla vista Gr afica. Si apre una finestra; in nome diamo il nome "h", in intervallo indichiamo il minimo e il massimo valore che vogliamo assegnare ad h e il suo incremento. Nel nostro caso min=0 max=1 incremento=0.1. Cliccando su applica
  19. 19. ESEMPIO – ESERCIZIO N. 3 – GEOGEBRA 𝑓 π‘₯ = 2βˆ’π‘₯ π‘₯ 3 ; π‘₯0 a piacere ; h assume valori = 1,0.9,0.8, … ,0.1
  20. 20. ESEMPIO- ESERCIZIO N.3 - OSSERVAZIONE Azionando sullo slider possiamo vedere cosa accade alla retta e al rapporto incrementale οƒ’ Modificando il valore di x_0 possiamo cambiare il punto οƒ’ 1) PerchΓ© per h=0 la retta sparisce? 2) PiΓΉ h Γ¨ piccolo, piΓΉ la retta secante si avvicina alla retta tangente (questa osservazione vale sia per h>0 che per h<0)
  21. 21. PRIME COCLUSIONI retta deve passare per due punti, quando PerchΓ© la nostra PerchΓ© per h=0 la retta sparisce? 1) Per h β€œche tende a zero” cosa accade alla retta h=0 i due punti coincidono e per un punto passano infinite lettere. Inoltre se riguardiamo il calcolo del rapporto incrementale, al denominatore troviamo h e quindi non puΓ² essere uguale a 0 Potremmo pensare che la retta, da secante, tende ad essere tangente. Per verificare la correttezza della nostra congettura possiamo procedere a calcolare cosa accade al rapporto incrementale quando h β€œtende” a zero
  22. 22. IL RAPPORTO INCREMENTALE QUANDO H TENDE A ZERO οƒ’ Se volessimo procedere β€œcarta e penna” lim f ( x0 h lim h 0 0 2 ( x0 h ) h) h f ( x0 ) 3 ( x0 h) 2 x0 h x0 ( x0 ) ( x0 ) Chiediamo ancora aiuto a GEOGEBRA 3
  23. 23. IL RAPPORTO INCREMENTALE QUANDO H TENDE A ZERO lim h 0 2 ( x0 h ) 3 ( x0 h) 2 x0 h x0 ( x0 ) Assegniamo il rapporto incrementale ad una nuova funzione che chiamimo f’(x) f’(h):=(f(x_0+h)-f(x_0))/h Digitiamo Limite[f',0] Nella finestra algebra vedremo il valore del limite calcolato da Geogebra ( x0 ) 3
  24. 24. . IL RAPPORTO INCREMENTALE QUANDO H TENDE A ZERO lim h 2 ( x0 h ) 0 3 ( x0 h) 2 x0 h x0 ( x0 ) ( x0 ) 3 Se la nostra congettura Γ¨ corretta, se scriviamo l’equazione di una retta che passa per (x_0,f(x_0)) e ha come coefficiente angolare il valore calcolato nel limite, dovremmo ottenere una retta tangente y m( x x0 ) f ( x0 )

Γ—