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  1. 1. Paulo J. S. G. Ferreira Matem´tica Aplicada a 2002–2–19 22:50 ıtulo 5 Cap´ A s´rie de Fourier cl´ssica e e a discreta O objectivo deste cap´ ıtulo ´ estudar duas das t´cnicas mais uteis para analisar e e ´ e compreender sinais anal´gicos e digitais, e o modo como estes interactuam o com os sistemas lineares invariantes no tempo. Referimo-nos a s´rie de Fou- ` e rier cl´ssica, para sinais anal´gicos definidos num intervalo finito, e a s´rie a o ` e de Fourier discreta, para sinais digitais com um n´mero finito de amostras. u Os sinais anal´gicos definidos em toda a recta real e os sinais digitais com o um n´mero infinito de amostras exigem outras t´cnicas de an´lise, que ser˜o u e a a estudadas posteriormente. A intui¸ao geom´trica desempenha um importante papel na nossa abor- c˜ e dagem as s´ries de Fourier. A utilidade da an´lise de Fourier, e as pr´prias ` e a o defini¸oes de s´rie de Fourier cl´ssica ou discreta, surgem como consequˆncias c˜ e a e directas das defini¸oes de sistema linear invariante no tempo. c˜ 5.1 Motiva¸˜o ca A introdu¸ao no estudo dos sistemas lineares invariantes no tempo de t´cnicas c˜ e de an´lise do tipo da s´rie e da transforma¸ao de Fourier n˜o ´ obra do acaso, a e c˜ a e mas uma consequˆncia natural da pr´pria natureza dos sistemas em causa. e o Tentaremos provar que assim ´, usando certos resultados elementares sobre e as fun¸oes pr´prias desses sistemas. Antes de passarmos ao estudo desse c˜ o assunto, apresentaremos algumas ideias que podem servir de motiva¸ao para c˜ a an´lise de Fourier. a Relembramos certos conceitos conhecidos de algebra linear. Uma matriz ´ M de ordem n × n define uma opera¸ao linear num espa¸o vectorial de c˜ c dimens˜o n. O facto da opera¸ao ser linear traduz-se no seguinte: sendo a e a c˜ 89
  2. 2. Paulo J. S. G. Ferreira Matem´tica Aplicada a 2002–2–19 22:50 5.1 Motiva¸ao c˜ 90 b quaisquer dois vectores de n (ou n ), e α e β dois complexos arbitr´rios1 , a   ¡ tem-se M (αa + βb) = αM a + βM b. Pode identificar-se com a matriz M um certo sistema linear, cujos sinais de entrada e sa´ s˜o vectores de n (ou n ). Para tal n˜o ´ necess´rio grande ıda a a e a   ¡ esfor¸o de abstrac¸ao. Pode considerar-se, por exemplo, que as entradas s˜o c c˜ a conjuntos de n valores de tens˜o ou corrente num dado sistema el´ctrico. O a e sistema matematicamente representado por M operaria sobre essas n grande- zas, dando como resposta n outras quantidades cujo significado f´ ısico seria, possivelmente, semelhante. Alternativamente, em vez de falarmos de um conjunto de n valores de n grandezas f´ ısicas, podemos falar dos n resultados v(ti ) (1 ≤ i ≤ n) de n medidas consecutivas de uma s´ grandeza f´ o ısica v(t). O c´lculo da sa´ do sistema M traduz-se pela multiplica¸ao de uma a ıda c˜ matriz por um vector. Designando o resultado por y, tem-se n yi = Mij xj , (1 ≤ i ≤ n) j=1 donde ´ claro que s˜o precisas n2 multiplica¸oes (n para cada um dos yi a e a c˜ calcular, que s˜o em n´mero n). Ser´ poss´ efectuar tal c´lculo com menos a u a ıvel a opera¸oes? Existir´ alguma forma de compreender, em termos qualitativos, c˜ a o comportamento do sistema? Sob certas condi¸oes a resposta a estas quest˜es ´ afirmativa. Para isso, c˜ o e ´ conveniente recordar os conceitos de vector pr´prio e valor pr´prio de uma e o o matriz, e a t´cnica da expans˜o em vectores pr´prios, que ´ usada extensi- e a o e vamente em algebra linear. Se a matriz M possuir um conjunto ortonormal ´ de n vectores pr´prios o x(1) , x(2) , . . . , x(n) isto ´, solu¸oes das n equa¸oes e c˜ c˜ M x(i) = λi x(i) , (1 ≤ i ≤ n) n qualquer vector x de pode ser expresso como uma combina¸ao linear do c˜   tipo n x= αi x(i) . i=1 1 Procuraremos reservar as letras latinas mai´sculas (como M ou H) para nos referirmos u a matrizes, as letras min´sculas (como a, b ou x e y) para representar vectores de n ou u ¢ n , e as letras gregas para representar escalares reais ou complexos. £ 90
  3. 3. Paulo J. S. G. Ferreira Matem´tica Aplicada a 2002–2–19 22:50 5.1 Motiva¸ao c˜ 91 e1 e1 2 x = 2e1 + e2 v2 v1 1 e2 e2 (a) (b) e1 e1 y = λ 1 u1 + λ 2 u2 x = u 1 + u2 u2 u1 e2 e2 (c) (d) Figura 5.1: O papel dos vectores e valores pr´prios de uma matriz 2 × 2. o (a) o vector x (b) os vectores pr´prios v1 e v2 da matriz M (c) o vector x o expresso como combina¸ao linear de v1 e v2 , x = u1 + u2 = α1 v1 + α2 v2 (d) c˜ o vector y = M x, calculado a partir do efeito de M sobre u1 e u2 , isto ´, e y = λ 1 u1 + λ 2 u2 . Os escalares λi s˜o os chamados valores pr´prios da matriz. a o Neste caso, a resposta do “sistema” representado por M ser´ dada por a n Mx = M αi x(i) i=1 n = αi M x(i) i=1 n = αi λi x(i) . i=1 91
  4. 4. Paulo J. S. G. Ferreira Matem´tica Aplicada a 2002–2–19 22:50 5.1 Motiva¸ao c˜ 92 Este processo est´ ilustrado na figura 5.1. O que se pretende ´ calcular a e y = M x, em que M ´ a matriz 2 × 2 e 1 229 72 M= , 250 72 271 e x ´ o vector com elementos x1 = 2 e x2 = 1, isto ´, e e 2 x= 1 ou, mais concisamente, x = [2 1]T . Pretende calcular-se M x atrav´s da e utiliza¸ao dos vectores e valores pr´prios da matriz M . c˜ o O vector x est´ representado na figura 5.1.a, com respeito a base orto- a ` normal constitu´ pelos vectores e1 e e2 , ıda 1 0 e1 = e2 = , 0 1 ´ E claro que x = 2e1 + e2 . Analisando a matriz M chega-se a conclus˜o que ` a os seus vectores pr´prios s˜o o a 0.6 0.8 v1 = v2 = , 0.8 −0.6 os quais est˜o representados na figura 5.1.b. Repare-se que v 1 e v2 s˜o orto- a a normais. As componentes do vector x com respeito a base ortonormal constitu´ ` ıda por v1 e v2 est˜o representadas na figura 5.1.c. Isto corresponde a exprimir a x como uma combina¸ao linear de v1 e v2 , c˜ x = α 1 v1 + α 2 v2 . As componentes α1 v1 e α2 v2 de x, que s˜o as projec¸oes de x sobre v1 e v2 , a c˜ foram designadas por u1 e u2 na figura 5.1.c, tendo-se por isso a express˜o a x = u 1 + u2 . O efeito da matriz M sobre o vector x pode agora interpretar-se facil- mente, se os valores pr´prios da matriz forem conhecidos. Neste caso, os o valores pr´prios s˜o λ1 = 1.3 e λ2 = 0.7. Quer isto dizer que o a M v1 = 1.3 v1 , M v2 = 0.7 v2 . 92
  5. 5. Paulo J. S. G. Ferreira Matem´tica Aplicada a 2002–2–19 22:50 5.2 Preliminares geom´tricos e 93 Logo, o vector pretendido ´ dado por e y = M x = M u1 + M u2 = 1.3u1 + 0.7u2 . A interpreta¸ao geom´trica ´ dada na figura 5.1.d. c˜ e e Se os vectores pr´prios e os valores pr´prios de M forem antecipadamente o o conhecidos, a resposta y = M x de M a x pode ser calculada usando esta express˜o, mas efectuando apenas n adi¸oes e multiplica¸oes. Como s´ ´ a c˜ c˜ o e necess´rio efectuar o c´lculo dos valores e vectores pr´prios uma vez, se a a o quisermos calcular um n´mero suficientemente elevado de respostas u M a, M b, M c, M d, . . . este processo pode diminuir o esfor¸o computacional total, desde que se co- c nhe¸am os n coeficientes αi , que ali´s podem substituir com vantagem os n c a elementos xi do vector x em tudo o que sejam c´lculos com a matriz M . a Se os coeficientes αi n˜o forem j´ conhecidos pode acontecer que esta a a t´cnica n˜o seja vantajosa do ponto de vista computacional. Mas, indepen- e a dentemente da utilidade que possa ter para fins de c´lculo, o conhecimento a dos vectores e valores pr´prios da matriz M ´ de grande importˆncia para a o e a compreens˜o da sua ac¸ao sobre vectores arbitr´rios. a c˜ a Estes racioc´ınios conduzem a diversas quest˜es de grande importˆncia. o a Sabemos que ´ poss´ e ıvel interpretar os sinais digitais como vectores. Es- tando n´s interessados em sistemas lineares invariantes no tempo, coloca-se o a quest˜o de como calcular os seus vectores pr´prios, isto ´, os sinais que estes a o e sistemas passam a respectiva sa´ inalterados, a menos de uma constante ıda multiplicativa. Veremos ainda que ´ tamb´m poss´ interpretar os sinais anal´gicos f (t) e e ıvel o como vectores, mas de dimens˜o infinita. Isto faz surgir a seguinte pergunta: a para qualquer sistema linear e invariante no tempo, anal´gico, designado por o H, existir˜o expans˜es para os sinais de entrada f (t) em termos dos “vectores a o pr´prios” de H? O que s˜o esses “vectores pr´prios”? o a o Antes de mais, conv´m esclarecermos certas quest˜es geom´tricas, essen- e o e ciais para estabelecer em bases precisas as analogias entre sinais e vectores. 5.2 Preliminares geom´tricos e Nesta sec¸ao definiremos os conceitos de norma, produto interno e ortogona- c˜ lidade para certas classes de sinais digitais ou anal´gicos de grande interesse o pr´tico. Adoptamos uma nota¸ao que ´ praticamente universal: a norma de a c˜ e um vector x ´ designada por x , e o produto interno de dois vectores a e b e ´ designado por a, b . e 93
  6. 6. Paulo J. S. G. Ferreira Matem´tica Aplicada a 2002–2–19 22:50 5.2 Preliminares geom´tricos e 94 n 5.2.1 Produto interno, norma e ortogonalidade em ¤ e n ¥ n Relembramos que o produto interno de dois vectores a e b pertencentes a ,   e com componentes a0 , a1 , a2 , . . . , an−1 , e b0 , b1 , b2 , . . . , bn−1 , respectivamente, ´ definido por e n−1 a, b = a i bi . i=0 n No caso mais geral em que os vectores pertencem a ¡ , a defini¸ao correcta c˜ ´ e n−1 a, b = a i b∗ . i i=0 O produto interno de um vector consigo pr´prio ´ uma grandeza n˜o-negativa o e a dada por n−1 2 a, a = a = |ai |2 , i=0 ´ e que se pode identificar com o quadrado do comprimento do vector. E tamb´m habitual a denomina¸ao norma, em vez de comprimento. e c˜ O produto interno satisfaz as rela¸oes c˜ a + b, c = a, c + b, c , a, b + c = a, b + a, c , que se podem verificar partindo da defini¸ao. c˜ Os vectores podem ser interpretados como sinais digitais, e estes como vectores. Na verdade, cada elemento ai do vector pode ser visto como uma amostra do sinal, e cada amostra de um sinal pode ser entendida como uma das componentes de um vector. O produto interno de um sinal consigo pr´prio ´ igual ao quadrado da o e ´ sua norma. E costume interpretar esta grandeza como a energia do sinal. Note-se que s´ o sinal nulo tem energia nula. o Pode definir-se ortogonalidade a custa da defini¸ao de produto interno: ` c˜ dois vectores dizem-se ortogonais se o seu produto interno for nulo. 94
  7. 7. Paulo J. S. G. Ferreira Matem´tica Aplicada a 2002–2–19 22:50 5.2 Preliminares geom´tricos e 95 5.2.2 Produto interno, norma e ortogonalidade em 2 (I) As defini¸oes anteriores podem generalizar-se a sinais com um n´mero finito c˜ u ou infinito de amostras pertencentes a 2 (I) (acerca dos espa¸os p (I) veja-se c a sec¸ao 3.6 “Espa¸os vectoriais de sinais”). Seja I um subconjunto finito c˜ c ou infinito dos inteiros . Os exemplos mais comuns s˜o I = , ou I = ¦ a ¦ {0, 1, . . . , n − 1}. Este ultimo exemplo conduz-nos de volta aos conceitos ´ mencionados na sec¸ao anterior. c˜ Define-se produto interno de dois elementos a e b pertencentes a 2 (I) atrav´s da express˜o e a a, b = a i b∗ . i i∈I Tamb´m neste caso se tem e a + b, c = a, c + b, c , a, b + c = a, b + a, c . O produto interno de um vector consigo pr´prio ´ uma grandeza n˜o-negativa o e a dada por a, a = a 2 = |ai |2 , i∈I e que se pode identificar com o quadrado do comprimento do vector. E ´ tamb´m habitual a denomina¸ao norma, em vez de comprimento. e c˜ Tamb´m neste caso ´ poss´ definir ortogonalidade a custa da defini¸ao e e ıvel ` c˜ de produto interno: dois vectores dizem-se ortogonais se o seu produto in- terno for nulo. 5.2.3 Produto interno, norma e ortogonalidade em L2 (I) As defini¸oes anteriores n˜o s˜o aplic´veis a sinais anal´gicos (de vari´vel c˜ a a a o a cont´ınua). Para estes, as defini¸oes correctas devem empregar um integral c˜ em vez de um somat´rio. o O produto interno dos sinais a e b (fun¸oes reais ou complexas de vari´vel c˜ a real, definidas num certo intervalo I) define-se pela express˜oa a, b = a(t)b∗ (t) dt, I que faz sentido se as energias de a e b no intervalo I forem finitas, isto ´, se e 2 a, a = a = |a(t)|2 dt < ∞, I 95
  8. 8. Paulo J. S. G. Ferreira Matem´tica Aplicada a 2002–2–19 22:50 5.2 Preliminares geom´tricos e 96 2 b, b = b = |b(t)|2 dt < ∞, I ou seja, se a ∈ L2 (I) e b ∈ L2 (I). Tal como nos casos anteriores, tem-se a + b, c = a, c + b, c , a, b + c = a, b + a, c . A defini¸ao de ortogonalidade transp˜e-se para este caso usando, como nos c˜ o casos anteriores, o conceito de produto interno: dois sinais anal´gicos de o energia finita dizem-se ortogonais se o respectivo produto interno for nulo. 5.2.4 Ortogonalidade, ortonormalidade, e exemplos Intimamente relacionado com o conceito de produto interno temos o de pro- jec¸ao. Geometricamente, o produto interno de dois vectores relaciona-se c˜ com o comprimento ou norma da projec¸ao de um desses vectores sobre o c˜ outro. Sempre que o produto interno de dois sinais for zero os sinais dizem-se ortogonais, independentemente de se tratar de sinais anal´gicos ou digitais. o No caso de sinais digitais com um n´mero finito de amostras, a interpreta¸ao u c˜ da ortogonalidade a luz da analogia vectorial ´ simples: os vectores s˜o per- ` e a pendiculares entre si, pelo que a projec¸ao de um no outro tem comprimento c˜ nulo. Um conjunto de sinais ortonormais ´ um conjunto de sinais com norma e igual a unidade, e ortogonais dois a dois. ` O exemplo mais simples de sinais ortonormais, no contexto dos sinais digitais com n´mero finito n de amostras, ´ o conjunto de n sinais u e s(1) , s(2) , s(3) , . . . , s(n) , definidos por s(1) = {1, 0, 0, . . . , 0}, s(2) = {0, 1, 0, . . . , 0}, s(3) = {0, 0, 1, . . . , 0}, . . . (n) s = {0, 0, 0, . . . , 1}. ´ a E f´cil verificar a ortonormalidade usando a defini¸ao de produto interno. c˜ No contexto dos sinais anal´gicos, tamb´m ´ f´cil encontrar conjuntos de o e e a sinais ortonormais em intervalos finitos ou mesmo em . Apresentam-se dois   exemplos nas figuras 5.2 e 5.3. 96
  9. 9. Paulo J. S. G. Ferreira Matem´tica Aplicada a 2002–2–19 22:50 5.3 As fun¸oes pr´prias dos sistemas anal´gicos lineares invariantes no tempo97 c˜ o o f0 (x) 1 ... 1 x f1 (x) f2 (x) f3 (x) ... Figura 5.2: Exemplo de um conjunto de fun¸oes ortogonais. c˜ 5.3 As fun¸oes pr´prias dos sistemas anal´gicos c˜ o o lineares invariantes no tempo Um sistema anal´gico linear invariante no tempo ´ matematicamente des- o e crito por uma aplica¸ao H que faz corresponder a cada sinal de entrada x c˜ um sinal de sa´ y. Propomo-nos responder agora a seguinte quest˜o: que ıda ` a entradas ´ que conduzem a sa´ e ıdas iguais, a menos de uma constante multi- plicativa? Estamos a excluir, naturalmente, o sinal nulo, ao qual sabemos que os sistemas lineares respondem com sa´ nula. ıda Esta pergunta ´ semelhante a que conduz ao conceito de vector pr´prio, e ` o na teoria de matrizes. Nesse caso, procuram-se vectores particulares sobre os quais a ac¸ao de uma dada matriz M ´ equivalente a multiplica¸ao por c˜ e ` c˜ um escalar λ, isto ´, procuram-se vectores x n˜o nulos tais que o vector y e a definido por y = Mx seja proporcional a x, o que significa que y = λx, e conduz a bem conhecida equa¸ao M x = λx. ` c˜ No caso de sistemas lineares invariantes no tempo, procuramos sinais x n˜o nulos tais que a sa´ a ıda y = Hx 97
  10. 10. Paulo J. S. G. Ferreira Matem´tica Aplicada a 2002–2–19 22:50 5.3 As fun¸oes pr´prias dos sistemas anal´gicos lineares invariantes no tempo98 c˜ o o φ00 (x) φ10 (x) φ11 (x) 1 1 1 2 1 x x 1 x 2 φ20 (x) φ21 (x) φ22 (x) φ23 (x) 1 1 3 4 2 4 1 x x 1 3 x 2 4 Figura 5.3: Outro exemplo de um conjunto de fun¸oes ortogonais. Notar c˜ que qualquer das fun¸oes apresentadas ´ ortogonal as restantes, independen- c˜ e ` temente das respectivas “larguras”. seja dada por y = λ x, onde λ ´ um escalar (real ou complexo). Tais sinais n˜o s˜o formalmente e a a alterados pelo sistema, a menos de um ganho e mudan¸a de fase. A equa¸ao c c˜ em que estamos interessados ´ por isso tamb´m da forma Hx = λx. As suas e e solu¸oes dizem-se fun¸oes pr´prias do sistema H. c˜ c˜ o As fun¸oes exponenciais c˜ e(x) = eαx s˜o as candidatas mais naturais a fun¸oes pr´prias dos sistemas lineares e a c˜ o invariantes no tempo. Consideremos um sistema anal´gico H e um sinal anal´gico x(t) qualquer. o o Designemos, tal como anteriormente, por y(t) a resposta de H ao sinal x(t), 98
  11. 11. Paulo J. S. G. Ferreira Matem´tica Aplicada a 2002–2–19 22:50 5.3 As fun¸oes pr´prias dos sistemas anal´gicos lineares invariantes no tempo99 c˜ o o isto ´, y(t) = H[x(t)]. Considere-se o sinal dado por e x(t) − x(t − h) a(t) = . h A resposta do sistema H ao sinal a(t) ´ o sinal b(t) dado por e b(t) = H[a(t)] x(t) − x(t − h) = H h H[x(t)] − H[x(t − h)] = h y(t) − y(t − h) = , h uma vez que H ´ linear e invariante no tempo. Se x for diferenci´vel em t, e a temos x(t) − x(t − h) dx(t) lim = = x (t). h→0 h dt Assumindo que H ´ cont´ e ınuo ou fechado, temos x(t) − x(t − h) x(t) − x(t − h) lim H = H lim h→0 h h→0 h = H[x (t)] y(t) − y(t − h) = lim h→0 h = y (t). Se H for fechado, pode acontecer que o limite x(t) − x(t − h) lim H h→0 h n˜o exista. Contudo, se existir, ser´ necessariamente igual a H[x (t)]. Se a a H n˜o for cont´ a ınuo nem fechado, o limite pode existir mas ser diferente de H[x (t)], o que invalida os resultados. Assumindo que H ´ cont´ e ınuo ou fechado, a conclus˜o ´ a seguinte. a e Seja y(t) a resposta de um sistema linear invariante no tempo ao sinal x(t). Ent˜o, a resposta do mesmo sistema linear ao sinal a x (t) ser´ y (t). a 99
  12. 12. Paulo J. S. G. Ferreira Matem´tica Aplicada a 2002–2–19 22:50 5.4 As fun¸oes pr´prias dos sistemas digitais lineares invariantes no tempo 100 c˜ o A resposta a pergunta inicialmente formulada pode agora ser dada. Seja ` x(t) um sinal de entrada tal que x (t) = α x(t), onde α ´ uma dada constante e complexa. Como ´ sabido, a solu¸ao da equa¸ao diferencial e c˜ c˜ dx(t) = α x(t) dt ´ a fun¸ao e c˜ x(t) = Aeαt , (5.1) como se pode facilmente verificar por deriva¸ao. A constante A fica deter- c˜ minada uma vez estabelecidas condi¸oes iniciais (notar que A = x(0)). c˜ A resposta de qualquer sistema linear invariante no tempo ao sinal expo- nencial x (t) ser´ por isso a H[x (t)] = H[α x(t)] = α H[x(t)] = α y(t). Mas, pela propriedade acima deduzida, temos H[x (t)] = y (t). Confrontando as duas ultimas equa¸oes conclui-se que ´ c˜ dy(t) = α y(t), dt e logo y(t) = Beαt . (5.2) A constante arbitr´ria que interv´m nesta equa¸ao foi agora designada por a e c˜ B, de forma a evitar confus˜o com a constante que aparece na equa¸ao (5.1). a c˜ Comparando (5.1) e (5.2) chegamos de novo a conclus˜o que a resposta ` a de um sistema linear invariante no tempo a um sinal exponencial ´ um sinal e exponencial semelhante ao primeiro, a menos de um factor constante mul- tiplicativo (ganho), que poder´ eventualmente ser complexo, e por isso dar a origem tamb´m a uma mudan¸a de fase. e c Exprimiremos a propriedade de invariˆncia dos sinais exponenciais quando a sujeitos a ac¸ao de um sistema linear invariante no tempo dizendo que estes ` c˜ sinais s˜o fun¸oes pr´prias desses sistemas. a c˜ o 5.4 As fun¸oes pr´prias dos sistemas digitais c˜ o lineares invariantes no tempo Um sistema digital linear invariante no tempo ´ matematicamente descrito e por uma aplica¸ao H que faz corresponder a cada sinal digital de entrada c˜ 100
  13. 13. Paulo J. S. G. Ferreira Matem´tica Aplicada a 2002–2–19 22:50 5.4 As fun¸oes pr´prias dos sistemas digitais lineares invariantes no tempo 101 c˜ o x(k) um sinal digital de sa´ y(k). Propomo-nos responder agora a seguinte ıda ` quest˜o: que classe de sinais de entrada ´ que ´ aplicada em si pr´pria? Ou a e e o seja, que tipos de entradas ´ que conduzem a sa´ e ıdas formalmente semelhan- tes? Estamos a excluir, naturalmente, o sinal nulo, ao qual sabemos que os sistemas lineares respondem com sa´ nula. ıda O primeiro dos argumentos apresentados na sec¸ao anterior ´ v´lido quer c˜ e a para exponenciais de vari´vel real x ∈ e sistemas anal´gicos H, quer para a o   exponenciais de vari´vel discreta x ∈ e sistemas digitais. Existem, natu- a ¦ ralmente, outros processos de chegar a solu¸ao. ` c˜ Estamos novamente a tentar responder a uma pergunta semelhante a que ` conduz a defini¸ao de vector pr´prio, na teoria de matrizes. No caso dos sis- ` c˜ o temas que estamos agora a considerar, isto ´, digitais, lineares, e invariantes e no tempo, procuramos sinais digitais x(k) n˜o nulos tais que a sa´ a ıda y(k) = H[x(k)] seja dada por y(k) = λ x(k), onde λ ´ um escalar (real ou complexo). Como anteriormente, tais sinais s´ e o s˜o alterados pelo sistema no que diz respeito ao ganho e a fase. A equa¸ao a ` c˜ em que estamos interessados continua a ser da forma Hx = λx. Para responder a pergunta que fizemos, consideremos um sistema digital ` H, linear e invariante no tempo, e um sinal x(k) qualquer. Seja y(k) a resposta do sistema H ao sinal x(k), isto ´, y(k) = H[x(k)]. e Para sinais de vari´vel cont´ a ınua, diferenci´veis, o sinal definido por a x(t) − x(t − h) a(t) = h tende para x (t), quando h → 0. Prov´mos que um sistema de vari´vel a a cont´ınua, linear e invariante no tempo, responde a x (t) com y (t), sendo y(t) a resposta a x(t). Existir´ algum conceito an´logo em termos de sistemas a a digitais? Dando a h o menor valor inteiro n˜o-nulo poss´ obtemos o sinal a ıvel a(k) = x(k) − x(k − 1), Por analogia com o caso anterior, investiguemos a natureza da resposta de um sistema digital linear e invariante no tempo ao sinal a(k), ao qual podemos chamar a primeira diferen¸a do sinal x(k). A resposta b(k) ´ dada por c e b(k) = H[a(k)] = H [x(k) − x(k − 1)] = y(k) − y(k − 1), o que conduz a seguinte conclus˜o. ` a 101
  14. 14. Paulo J. S. G. Ferreira Matem´tica Aplicada a 2002–2–19 22:50 5.4 As fun¸oes pr´prias dos sistemas digitais lineares invariantes no tempo 102 c˜ o Seja y(k) a resposta de um sistema digital linear invariante no tempo ao sinal x(k). Ent˜o, a resposta do mesmo sistema linear a a primeira diferen¸a de x(k) ´ a primeira diferen¸a de y(k). ` c e c A resposta a pergunta inicialmente formulada pode agora ser dada. Seja x(k) ` uma entrada particular tal que x(k) − x(k − 1) = βx(k), (5.3) onde β ´ uma dada constante complexa. Para obter a solu¸ao desta equa¸ao e c˜ c˜ basta resolvˆ-la em termos de x(k), e x(k − 1) x(k) = , 1−β que conduz imediatamente a x(0) x(1) = , 1−β x(1) x(0) x(2) = = , 1−β (1 − β)2 x(2) x(1) x(0) x(3) = = 2 = , 1−β (1 − β) (1 − β)3 e assim sucessivamente. Em geral, temos x(0) x(k) = . (1 − β)k Pondo α = 1/(1 − β) para simplificar a escrita, obt´m-se e x(k) = Aαk , (5.4) onde a constante A se pode determinar partindo de condi¸oes iniciais (notar c˜ que A = x(0)). Isto significa que a solu¸ao de (5.3) ´ uma fun¸ao exponencial, c˜ e c˜ de vari´vel discreta. Notar que a substitui¸ao α = eγ conduz a a c˜ x(k) = Aeγk . A resposta de qualquer sistema linear invariante no tempo ao sinal a(k) ser´ a por isso y(k) = Bαk = Beγk , (5.5) como se pode ver por um processo inteiramente semelhante ao que seguimos para sinais anal´gicos. o 102
  15. 15. Paulo J. S. G. Ferreira Matem´tica Aplicada a 2002–2–19 22:50 5.5 Escolha de exponenciais para expans˜es o 103 Confirmamos assim que, a semelhan¸a do que se passava para os sinais ` c anal´gicos, a resposta de um sistema linear invariante no tempo a um si- o nal exponencial ´ um sinal exponencial semelhante ao primeiro, a menos de e um factor constante multiplicativo (ganho), que poder´ eventualmente ser a complexo, e por isso dar origem tamb´m a uma mudan¸a de fase. e c Exprimiremos a propriedade de invariˆncia dos sinais exponenciais de a vari´vel discreta quando sujeitos a ac¸ao de um sistema linear invariante no a ` c˜ tempo dizendo que eles s˜o fun¸oes pr´prias desses sistemas. a c˜ o 5.5 Escolha de exponenciais para expans˜es o Nesta sec¸ao definiremos um conjunto de sinais anal´gicos e um outro con- c˜ o junto de sinais digitais de grande importˆncia. Defendemos que estes conjun- a tos de sinais s˜o especialmente apropriados para a expans˜o de sinais tendo a a ´ em vista a an´lise de sistemas lineares invariantes no tempo. E com base a nestes conjuntos de sinais que se definem duas das pe¸as fundamentais para c a an´lise dos sistemas e sinais anal´gicos e digitais: a s´rie e a transforma¸ao a o e c˜ de Fourier cl´ssicas, e a s´rie de Fourier discreta. a e Iniciemos ent˜o o processo de busca desses conjuntos de sinais. O facto de a sabermos que as fun¸oes pr´prias dos sistemas lineares invariantes no tempo c˜ o s˜o exponenciais sugere a procura de processos de exprimir sinais anal´gicos a o em termos de exponenciais ei (t) = Ai esi t , ou de sinais digitais em termos de exponenciais ei (k) = Ai esi k , onde Ai e si designam constantes complexas a determinar, e que podem ser diferentes num caso e noutro (apesar disso usamos as mesmas letras para n˜o a complicar a nota¸ao). c˜ Pretendemos poder exprimir qualquer sinal f de interesse como com- bina¸ao linear dos sinais ei . Para sinais anal´gicos a expans˜o ser´ por isso c˜ o a a da forma f (t) = αi ei (t) = α i Ai e s i t , i i enquanto que, para sinais digitais, teremos f (k) = αi ei (k) = α i Ai e s i k . i i 103
  16. 16. Paulo J. S. G. Ferreira Matem´tica Aplicada a 2002–2–19 22:50 5.5 Escolha de exponenciais para expans˜es o 104 Voltamos a insistir que as constantes complexas Ai e si poder˜o ser distintas a num caso e noutro. Em qualquer dos casos o c´lculo dos coeficientes αi dever´ ser f´cil de a a a efectuar, ou a utilidade pr´tica da expans˜o ficaria seriamente comprometida. a a A resposta de um sistema H, linear e invariante no tempo, a um sinal f poder-se-ia ent˜o determinar atrav´s da express˜o a e a Hf = H αi e i i = αi H[ei ] i = α i λi e i , i onde os λi traduzem o efeito do sistema H sobre a exponencial ei , e n˜o a dependem de f . Note-se como o racioc´ ınio ´ v´lido para os casos anal´gico e a o e digital, e como depende do facto dos sinais exponenciais serem fun¸oes c˜ pr´prias de H. o Como veremos em seguida, os conjuntos de exponenciais mais adequados para que o c´lculo dos coeficientes αi seja de facto simples s˜o os conjuntos de a a exponenciais ortonormais. Explicitaremos os necess´rios processos computa- a cionais, e veremos qual o papel que o conceito de “projec¸ao” desempenha c˜ nesses processos. Sublinhamos que muitos dos resultados que se seguem s˜o v´lidos para a a outros conjuntos de sinais ortonormais al´m dos sinais exponenciais. O nosso e interesse nas exponenciais resulta somente do facto de serem estas as fun¸oes c˜ pr´prias dos sistemas lineares invariantes no tempo, em cujo estudo estamos o particularmente interessados. 5.5.1 Uso da ortonormalidade Consideremos de novo as expans˜es de vectores segundo uma base ortonor- o mal, tal como se estudam na algebra linear. Sejam ´ e0 , e1 , . . . , en−1 (5.6) n vectores ortonormais (isto ´, com norma ou comprimento igual a unidade, e ` e ortogonais dois a dois). A importˆncia da ortonormalidade reside no facto de permitir calcular fa- a cilmente os coeficientes da expans˜o de qualquer vector que se possa exprimir a como combina¸ao linear de elementos da base. Lembremos como. c˜ 104
  17. 17. Paulo J. S. G. Ferreira Matem´tica Aplicada a 2002–2–19 22:50 5.5 Escolha de exponenciais para expans˜es o 105 Seja x um vector qualquer, e procuremos n coeficientes αi tais que n−1 x= αi e i . (5.7) i=0 Recordamos que x e os n elementos ei s˜o vectores, enquanto que os αi s˜o a a escalares (reais ou complexos). Qual ser´ a projec¸ao de x sobre um determinado vector da base, por a c˜ exemplo, e0 ? A projec¸ao de x sobre e0 ´ obviamente um vector da forma βe0 , c˜ e uma vez que tem a direc¸ao de e0 , mas, eventualmente, comprimento dife- c˜ rente. Como os ei s˜o perpendiculares dois a dois, os vectores e1 , e2 , . . . , en−1 a s˜o perpendiculares a e0 . Logo, na expans˜o (5.7), o unico termo com o qual a a ´ se pode identificar a projec¸ao de x sobre e0 ´ o termo c˜ e α0 e 0 . Mas ent˜o α0 dever´ ser o comprimento do vector “projec¸ao de x sobre a a c˜ e0 ”. Mais precisamente, tomando o produto interno de x com e0 , e usando a ortogonalidade dos ei , n−1 x, e0 = αi e i , e 0 = α 0 e 0 , e 0 , i=0 2 Como os ei s˜o ortornormais, a norma de e0 ´ unit´ria, e0 a e a = e0 , e0 = 1, pelo que α0 = x, e0 . O racioc´ ınio ´ o mesmo para outro qualquer dos vectores ei , e o resultado ´ e e a seguinte conclus˜o. a O i-´simo coeficiente da expans˜o de x em termos dum conjunto e a de vectores ortonormais obt´m-se projectando x sobre o i-´simo e e elemento desse conjunto. ´ E este o resultado que pretend´ ıamos. Apesar de, durante o percurso efectu- ado, n˜o termos sido sempre matematicamente rigorosos, cheg´mos a uma a a conclus˜o v´lida e que nos pode orientar na busca de solu¸oes para o pro- a a c˜ blema da expans˜o de sinais anal´gicos ou digitais em termos de um conjunto a o de sinais ei . 105
  18. 18. Paulo J. S. G. Ferreira Matem´tica Aplicada a 2002–2–19 22:50 5.5 Escolha de exponenciais para expans˜es o 106 5.5.2 O caso digital A expans˜o ´ definida por a e n−1 f (k) = αi ei (k), i=0 onde os ei (k) s˜o sinais digitais exponenciais definidos por a ei (k) = Ai esi k . Estamos interessados em expandir sinais com um n´mero finito de amostras, u que podemos numerar de 0 a N − 1, por exemplo. O problema que se levanta agora ´ determinar as constantes Ai e si que e definem cada uma das exponenciais, por forma a que o conjunto resultante seja ortonormal. Importa ainda resolver o problema do c´lculo das projec¸oes a c˜ do sinal f (k) sobre cada um dos ei (k). Este ultimo problema ´ importante ´ e porque as projec¸oes s˜o, como j´ vimos, os coeficientes αi . Finalmente, c˜ a a interessa ainda determinar o n´mero de exponenciais distintas necess´rias a u a ` expans˜o de qualquer sinal f (k). Abordaremos estes problemas em seguida. a A expans˜o e os coeficientes a No caso digital, a expans˜o de um sinal f (k) definido para 0 ≤ k < N fica a assegurada por f (k) = αi ei (k) = α i Ai e s i k . i i Utilizando os conceitos geom´tricos anteriormente expostos, e admitindo que e os ei (k) s˜o ortonormais, o valor das constantes αi fica determinado pelas a projec¸oes do sinal f (k) sobre cada uma das exponenciais e i (k), ou seja, c˜ N −1 αi = f (k)e∗ (k). i k=0 Notem-se os limites do somat´rio, compat´ o ıveis com a conven¸ao que escolhe- c˜ mos para a numera¸ao das amostras. c˜ As constantes Ai e si Seja N um inteiro fixo, positivo, e consideremos os dois sinais exponenciais a e b definidos por a(k) = Aeαk , 106
  19. 19. Paulo J. S. G. Ferreira Matem´tica Aplicada a 2002–2–19 22:50 5.5 Escolha de exponenciais para expans˜es o 107 b(k) = Beβk . Sabemos que o produto interno destes dois sinais ´ dado por e N −1 a, b = a(k) b(k)∗ , k=0 e pretendemos determinar A e B, bem como α e β, de forma a que os sinais e ´ sejam ortogonais, isto ´, de forma que se tenha a, b = 0. E imposs´ ıvel obter a ortogonalidade se α e β forem reais, uma vez que as exponenciais de expoente real tˆm sempre valores positivos. Por isso iremos assumir desde j´ e a que α e β s˜o complexos. A hip´tese mais simples corresponde a tomar a o a(k) = Aejαk , b(k) = Bejβk , isto ´, exponenciais complexas cujo argumento ´ um imagin´rio puro. e e a Para que a e b possam vir a integrar um conjunto ortonormal de sinais interessa ainda que a = b = 1. Esta condi¸ao ´ f´cil de satisfazer, uma c˜ e a vez que N −1 a 2 = a, a = Aejαk A∗ e−jαk , k=0 ou seja, N −1 2 a = |A|2 = N |A|2 . k=0 √ Vemos que basta tomar A = 1/ N para que a = 1. Naturalmente, to- √ mando B = A = 1/ N conduz a b = 1, o que resolve esta primeira quest˜o. a Calculando agora a, b , tentemos determinar a condi¸ao que α e β devem c˜ satisfazer para que a ortogonalidade se verifique: N −1 a, b = Aejαk B ∗ e−jβk k=0 N −1 1 = ej(α−β)k N k=0 N −1 1 = rk , N k=0 107
  20. 20. Paulo J. S. G. Ferreira Matem´tica Aplicada a 2002–2–19 22:50 5.5 Escolha de exponenciais para expans˜es o 108 onde para simplificar a escrita se pˆs r = ej(α−β) . Se α = β, vem a, b = 1. o Mas quando α = β tem-se a = b e a, b = a 2 = b √, pelo que n˜o se chega 2 a a nada de novo (j´ vimos anteriormente que A = 1/ N conduz a a = 1). a Quando α = β tem-se r = 1, e o produto interno de a(k) e b(k) pode calcular-se aplicando a express˜o para a soma de uma progress˜o geom´trica. a a e Isto conduz a 1 1 − rN a, b = , N 1−r uma express˜o que se anula se a rN = ej(α−β)N = 1. Isto significa que α − β deve ser um m´ltiplo de 2π/N . Se definirmos um u conjunto de N sinais ei (0 ≤ i < N ) atrav´s de e 1 2π ei (k) = √ ej N ik , N obtemos uma base ortonormal, uma vez que N −1 N −1 1 2π 1 2π 1, se µ = ν, eµ (i)e∗ (i) = ν √ ej N µi √ e−j N νi = i=0 i=0 N N 0, se µ = ν. O n´ mero de sinais exponenciais necess´rios u a Cada ei ´ um vector num espa¸o de dimens˜o N , e um espa¸o de dimens˜o N e c a c a cont´m exactamente N vectores ortogonais. Logo, o n´mero de exponenciais e u necess´rias para a expans˜o de qualquer sinal com N amostras ´, no m´ximo, a a e a N. As exponenciais digitais ei (k) s˜o peri´dicas em k, com per´ a o ıodo N , isto ´, e ei (k + N ) = ei (k). Assim, por exemplo, ei (−1) = ei (N − 1), ei (N ) = ei (0), ei (N + 1) = ei (1). Note-se que, apesar de n˜o existir nada que nos impe¸a de considerar a c e0 (k), e1 (k), e2 (k), . . . , ei (k), . . . 108
  21. 21. Paulo J. S. G. Ferreira Matem´tica Aplicada a 2002–2–19 22:50 5.5 Escolha de exponenciais para expans˜es o 109 para qualquer i ∈ , n˜o h´ nisso qualquer vantagem uma vez que ¦ a a e−1 (k) = eN −1 (k), e0 (k) = eN (k), e1 (k) = eN +1 (k), para dar apenas trˆs exemplos. Por outras palavras, as exponenciais e i (k) e apresentam periodicidade tanto em i, tal como em k, com per´ ıodo N . Note-se que 1 2π ei (k) = √ ej N ik = ek (i), N ou seja, ei (k) depende de i da mesma forma que depende de k. O n´mero de sinais exponenciais digitais ei (k) distintos u 1 2π ei (k) = √ ej N ik N que se obt´m quando i toma valores inteiros quaisquer, positivos ou negativos, e ´ exactamente N . e 5.5.3 O caso anal´gico o Estamos interessados na expans˜o a f (t) = αi ei (t), i onde ei (t) = Ai esi t . Temos de assegurar a ortonormalidade dos sinais ei (t) escolhendo adequada- mente as constantes Ai e si . Conseguido isto, o c´lculo dos coeficientes αi a poder´ ser conseguido a custa do c´lculo das projec¸oes do sinal f (t) sobre a ` a c˜ cada um dos ei (t). Interessa ainda determinar o n´mero de exponenciais u necess´rias a expans˜o de f (t). Abordaremos estes problemas em seguida. a ` a A expans˜o e os coeficientes a Utilizando os conceitos geom´tricos anteriormente expostos, e admitindo que e as fun¸oes ei (t) s˜o ortonormais num dado intervalo I, o valor dos coefici- c˜ a entes αi fica determinado pelas projec¸oes do sinal f (t) sobre cada uma das c˜ exponenciais ei (t), ou seja, αi = f (t)e∗ (t) dt. i I 109
  22. 22. Paulo J. S. G. Ferreira Matem´tica Aplicada a 2002–2–19 22:50 5.5 Escolha de exponenciais para expans˜es o 110 Como confirma¸ao podem calcular-se os coeficientes αi partindo da expans˜o c˜ a f (t) = αi ei (t), i multiplicando ambos os membros da igualdade por e∗ (t), e integrando sobre k I, de forma a poder utilizar a condi¸ao de ortonormalidade. Esta ideia conduz c˜ a f (t)e∗ (t) dt = k αi ei (t) e∗ (t) dt k I I i = αi ei (t)e∗ (t) dt k i I = αk . Isto n˜o ´ mais do que formar o produto interno de f (t) com uma das fun¸oes a e c˜ ei (t), tal como fizemos atr´s. Chega-se assim as equa¸oes a ` c˜ f (t) = αi ei (t), (5.8) i αi = f (t)e∗ (t) dt, i (5.9) I que evidenciam a forma como se pode proceder a expans˜o de f (t) e ao ` a c´lculo dos coeficientes αi . a Note-se que as express˜es (5.8) e (5.9) s˜o v´lidas independentemente o a a da natureza particular das fun¸oes ei (t), uma vez que para as obter us´mos c˜ a apenas a propriedade da ortonormalidade. As constantes Ai e ci Consideremos agora dois sinais exponenciais a e b definidos por a(t) = Aeαt , b(t) = Beβt . Consideremos que t pode variar num intervalo finito I conhecido, de compri- mento T . O produto interno dos sinais a e b ´ dado por e a, b = a(t)b(t)∗ dt, I 110
  23. 23. Paulo J. S. G. Ferreira Matem´tica Aplicada a 2002–2–19 22:50 5.5 Escolha de exponenciais para expans˜es o 111 e o nosso objectivo ´ determinar A e B, bem como α e β, de forma a que os e sinais sejam ortogonais, isto ´, de forma que se tenha a, b = 0. Tal como no e caso digital, tamb´m neste caso ´ imposs´ obter a ortogonalidade se α e β e e ıvel forem reais, uma vez que as exponenciais de expoente real tˆm sempre valor e positivo. Por isso iremos assumir desde j´, tal como anteriormente, que α e a β s˜o complexos. Tamb´m neste caso a hip´tese mais simples corresponde a a e o tomar a(t) = Aejαt , b(t) = Bejβt , isto ´, exponenciais complexas cujo argumento ´ um imagin´rio puro. e e a Para que a e b possam vir a integrar um conjunto ortonormal de sinais interessa ainda que a = b = 1. Esta condi¸ao ´ f´cil de satisfazer, uma c˜ e a vez que a 2 = a, a = Aejαt A∗ e−jαt dt I ou seja, a 2 = |A|2 dt = T |A|2 . I √ Logo, basta √tomar A = 1/ T para que a = 1. Naturalmente, tomando B = A = 1/ T conduz a b = 1, o que resolve esta primeira quest˜o. a Calculando agora a, b , tentemos determinar a condi¸ao que α e β devem c˜ satisfazer para que a ortogonalidade em I = [r, r + T ] se verifique: a, b = Aejαt B ∗ e−jβt dt I 1 = ej(α−β)t T I t=r+T 1 ej(α−β)t = T j(α − β) t=r 1 = ej(α−β)r ej(α−β)T − 1 . j(α − β)T 2 O caso α = β foi j´ discutido. Corresponde a ter a = b e a, b = a a = b 2. Quando α = β, a express˜o para a, b anula-se se a ej(α−β)T = 1, ou seja, se α − β for um m´ltiplo de 2π/T . Se definirmos um conjunto de u sinais ei (t) (i ∈ ) atrav´s de ¦ e 1 2π ei (t) = √ ej T it , T 111
  24. 24. Paulo J. S. G. Ferreira Matem´tica Aplicada a 2002–2–19 22:50 5.5 Escolha de exponenciais para expans˜es o 112 obtemos um conjunto fun¸oes ortonormais, tendo-se c˜ ∗ 1 2π 1 2π 1, se µ = ν, eµ (t)eν (t) dt = √ ej T µt √ e−j T νt = I I T T 0, se µ = ν. ´ E instrutivo comparar esta rela¸ao com a que se tem para o caso de expo- c˜ nenciais de vari´vel discreta a 1 2π eµ (i) = √ ej N µi . N O resultado em causa ´ e N −1 N −1 1 2π 1 2π 1, se µ = ν, eµ (i)e∗ (i) ν = √ ej N µi √ e−j N νi = i=0 i=0 N N 0, se µ = ν, cuja semelhan¸a com o caso que agora discutimos ´ clara, sobretudo se se c e tomar I = [0, T ]: T T 1 2π 1 2π 1, se µ = ν, eµ (t)e∗ (t) dt = ν √ ej T µt √ e−j T νt = 0 0 T T 0, se µ = ν. O n´ mero de sinais exponenciais necess´rios u a Neste caso, como o espa¸o dos sinais de energia finita num intervalo I, c L2 (I), tem obviamente dimens˜o infinita, o n´mero de sinais exponenciais a u necess´rios para proceder a expans˜o de um qualquer desses sinais ´, em a ` a e geral, infinito. Existem diferen¸as importantes entre os dois conjuntos ortonormais de c sinais exponenciais mencionados, ou sejam 1 2π ek (t) = √ ej T kt , T 1 j 2π ki ek (i) = √ e N . N Para expandir qualquer sinal definido num intervalo I de medida T s´ ´ o e preciso conhecer o valor dos sinais ek (t) para t ∈ I. Mas como estes s˜o a de facto peri´dicos com per´ o ıodo T , podemos consider´-los definidos para a qualquer real t, a custa desta periodicidade. Note-se tamb´m que o n´mero ` e u de sinais ek (t) distintos ´ claramente infinito. Qualquer dos e e0 (t), e1 (t), e2 (t), . . . , ei (t), . . . 112
  25. 25. Paulo J. S. G. Ferreira Matem´tica Aplicada a 2002–2–19 22:50 5.6 Resumo: a s´rie de Fourier discreta e 113 ´ diferente dos restantes. Em particular, e0 (t) ´ constante, e1 (t) ´ peri´dico e e e o com per´ ıodo T , e2 (t) com per´ ıodo T /2, e, em geral, ek (t) tem per´ıodo T /k. Esta situa¸ao contrasta com a que ocorre no caso digital, em que o n´mero c˜ u de exponenciais ortornormais distintas ´ finito e igual a N . e 5.6 Resumo: a s´rie de Fourier discreta e As equa¸oes c˜ N −1 1 2π f (k) = √ αi ej N ik , (5.10) N i=0 N −1 1 2π αi = √ f (k)e−j N ki , (5.11) N k=0 definem a expans˜o do sinal f (k) em s´rie de Fourier discreta. a e S´ ´ necess´rio conhecer o sinal f (k) para 0 ≤ k < N para proceder a oe a ` sua expans˜o. Contudo, a soma a N −1 1 2π √ αi ej N ik N i=0 est´ definida para qualquer k inteiro, e ´ peri´dica em k, com per´ a e o ıodo N . Logo, s´ temos o N −1 1 2π f (k) = √ αi ej N ik N i=0 para qualquer inteiro k se f (k) for a partida uma fun¸ao peri´dica com ` c˜ o per´ıodo N . Os sinais exponenciais s˜o fun¸oes pr´prias dos sistemas digitais linea- a c˜ o res invariantes no tempo. A express˜o (5.10) permite representar um sinal a definido para 0 ≤ k < N como combina¸ao linear de exponenciais, e como c˜ tal facilita o c´lculo das respostas de sistemas lineares invariantes no tempo. a Tomemos, como anteriormente, um sinal f (k) para entrada de um sistema H linear e invariante no tempo. Exprimindo f (k) atrav´s de (5.10), e usando e a linearidade do sistema H, chega-se as seguintes equa¸oes para a resposta ` c˜ g(k) = H[f (k)]: g(k) = H[f (k)] = H αi ei (k) i = αi H[ei (k)]. i 113
  26. 26. Paulo J. S. G. Ferreira Matem´tica Aplicada a 2002–2–19 22:50 5.7 Resumo: a s´rie de Fourier cl´ssica e a 114 Como as exponenciais s˜o fun¸oes pr´prias de H, a resposta ao sinal a c˜ o 2π ei (k) = ej N ik ´ um sinal da forma λi ei (k), onde λi designa uma constante complexa apro- e priada que depende da natureza do sistema H. Isto permite escrever g(k) = H[f (k)] = λi αi ei (k), i e significa que a resposta do sistema H ao sinal f (k), com coeficientes de s´rie e de Fourier discreta αi , se obt´m multiplicando cada αi por uma constante λi . e Cada uma destas constantes, que se podem determinar experimentalmente, traduz o efeito do sistema sobre um dos sinais exponenciais peri´dicos e i (k). o 5.7 Resumo: a s´rie de Fourier cl´ssica e a Os resultados anteriores conduziram-nos as equa¸oes ` c˜ +∞ 1 2π f (t) = √ αi ej T it , (5.12) T i=−∞ T 1 2π αi = √ f (t)e−j T it dt, (5.13) T 0 que definem a expans˜o de uma fun¸ao f (t) em s´rie de Fourier no intervalo a c˜ e [0, T ]. S´ ´ necess´rio conhecer a fun¸ao f (t) no intervalo [0, T ] para proceder a oe a c˜ ` sua expans˜o. Contudo, a soma da s´rie a e 2π s(t) = αi ej T it , i que est´ definida para qualquer t real, ´ peri´dica com per´ a e o ıodo T . Logo, s´ o se pode ter 2π f (t) = αi ej T it i para qualquer t real se f (t) for a partida uma fun¸ao peri´dica com per´ ` c˜ o ıodo T. Os sinais exponenciais s˜o fun¸oes pr´prias dos sistemas lineares invarian- a c˜ o tes no tempo, isto ´, a resposta de um desses sistemas a um sinal exponencial e ´ ainda um sinal exponencial. A express˜o (5.12) permite representar um si- e a nal definido no intervalo [0, T ] como combina¸ao linear de exponenciais, e c˜ 114
  27. 27. Paulo J. S. G. Ferreira Matem´tica Aplicada a 2002–2–19 22:50 5.8 Exemplos 115 como tal facilita o c´lculo das respostas de sistemas lineares invariantes no a tempo. Mais precisamente, seja f (t) um sinal aplicado a entrada de um sis- ` tema H linear e invariante no tempo. Exprimindo f (t) atrav´s de (5.12), e e usando a linearidade do sistema H, chega-se as seguintes equa¸oes para a ` c˜ resposta g(t) = H[f (t)]: g(t) = H[f (t)] = H αi ei (t) i = αi H[ei (t)]. i Como as exponenciais s˜o fun¸oes pr´prias de H, a resposta ao sinal a c˜ o 2π it ei (t) = ej T ´ um sinal da forma λi ei (t), onde λi designa uma constante complexa apro- e priada que depende da natureza do sistema H. Isto permite ent˜o escrever a g(t) = H[f (t)] = λi αi ei (t), i e significa que a resposta do sistema H a um sinal f (t) com coeficientes de s´rie de Fourier αi se obt´m multiplicando cada αi por uma constante λi . e e Cada uma destas constantes, que se pode determinar experimentalmente, traduz o efeito do sistema sobre um sinal exponencial peri´dico e i (t) de o frequˆncia 2πi/T . e 5.8 Exemplos Considere-se o sinal definido por   +π/4 se 0 < t ≤ π,  f (t) = 0 se t = 0, (5.14)   −π/4 se − π ≤ t < 0. Determinemos os coeficientes cn da sua expans˜o em s´rie de Fourier no a e intervalo [−π, π]. ´ a E f´cil ver que c0 ´ zero, porque o valor m´dio de f (t) ´ zero. Os restantes e e e coeficientes cn s˜o dados por a +π e−jnt cn = f (t) √ dt −π 2π 115
  28. 28. Paulo J. S. G. Ferreira Matem´tica Aplicada a 2002–2–19 22:50 5.8 Exemplos 116 1 0.8 f(x) sin(x) sin(3x)/3 0.6 sin(5x)/5 sin(x)+sin(3x)/3+sin(5x)/5 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -3 -2 -1 0 1 2 3 Figura 5.4: Os trˆs primeiros termos da s´rie de Fourier do sinal f (t) definido e e por (5.14), e a respectiva soma. π π sin nt = −2j √ dt 0 4 2π √ 2π π = sin nt dt 4j 0 √ 2π 1 − cos nπ = . 4j n Logo, 0 n par, cn = √ 2π 2 4j n n´ımpar. A expans˜o de f (t) ´ a e √ 2π 2 ej(2k+1)t f (t) = √ k∈ § 4j 2k + 1 2π 1 1 = ej(2k+1)t 2j k∈ § 2k + 1 +∞ 1 1 = ej(2k+1)t − e−j(2k+1)t 2j k=0 2k + 1 116
  29. 29. Paulo J. S. G. Ferreira Matem´tica Aplicada a 2002–2–19 22:50 5.8 Exemplos 117 1 1 0.8 0.8 0.6 0.6 f(t) f(t) 0.4 1 0.4 3 0.2 0.2 0 0 -0.2 -0.2 -0.4 -0.4 -0.6 -0.6 -0.8 -0.8 -1 -1 -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 1 1 0.8 0.8 0.6 0.6 f(t) f(t) 0.4 13 0.4 25 0.2 0.2 0 0 -0.2 -0.2 -0.4 -0.4 -0.6 -0.6 -0.8 -0.8 -1 -1 -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 Figura 5.5: Somas parciais da s´rie de Fourier do sinal f (t) definido por e (5.14), incluindo harm´nicos de frequˆncias 1, 2, 7 e 13 vezes a frequˆncia o e e fundamental. +∞ 1 1 = ej(2k+1)t − e−j(2k+1)t 2j k=0 2k + 1 +∞ sin(2k + 1)t = . k=0 2k + 1 Neste caso a soma da s´rie ´ a fun¸ao f (t), pelo que a utiliza¸ao do sinal de e e c˜ c˜ igual se justifica. Como vemos, os coeficientes cn de ´ ındice n par s˜o nulos, e a expans˜o a a s´ cont´m harm´nicos cuja frequˆncia ´ um m´ltiplo ´ o e o e e u ımpar da frequˆncia e fundamental. As somas parciais da s´rie de Fourier de f (t) s˜o definidas por e a n sin(2k + 1)t s2n+1 (t) = . k=0 2k + 1 Constituem uma aproxima¸ao a f (t), realizada a custa da sobreposi¸ao de c˜ ` c˜ 117

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