• Save
Chuong9
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
 

Chuong9

on

  • 2,228 views

 

Statistics

Views

Total Views
2,228
Views on SlideShare
1,517
Embed Views
711

Actions

Likes
1
Downloads
0
Comments
0

3 Embeds 711

http://tuongphuongtn.wordpress.com 701
https://tuongphuongtn.wordpress.com 8
http://webcache.googleusercontent.com 2

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

Chuong9 Chuong9 Presentation Transcript

  • Định nghĩa, tính chất Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH PHÂN SUY RỘNG Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Ngày 16 tháng 12 năm 2010 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộngChương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH PHÂN SUY RỘNG 9.1 Định nghĩa, tính chất. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộngChương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH PHÂN SUY RỘNG 9.1 Định nghĩa, tính chất. 9.2 Hai phương pháp tính tích phân. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộngChương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH PHÂN SUY RỘNG 9.1 Định nghĩa, tính chất. 9.2 Hai phương pháp tính tích phân. 9.3 Tích phân suy rộng. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Bài toán diện tích hình thang cong Hai phương pháp tính tích phân Ví dụ Tích phân suy rộng Tính chấtBài toán Tính diện tích S của miền phẳng giới hạn bởi: đường cong y = f (x),trục hoành, hai đường thẳng x = a và x = b Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Bài toán diện tích hình thang cong Hai phương pháp tính tích phân Ví dụ Tích phân suy rộng Tính chấtBài toán Chia S một cách tùy ý ra n miền con S1 , S2 , ..., Sn Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Bài toán diện tích hình thang cong Hai phương pháp tính tích phân Ví dụ Tích phân suy rộng Tính chấtBài toán Xấp xỉ mỗi miền con S1 , S2 , ..., Sn bằng các hình chữ nhật Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Bài toán diện tích hình thang cong Hai phương pháp tính tích phân Ví dụ Tích phân suy rộng Tính chấtBài toán Hình dưới là các trường hợp chia S thành 2 và 4 phần Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Bài toán diện tích hình thang cong Hai phương pháp tính tích phân Ví dụ Tích phân suy rộng Tính chấtBài toán Hình dưới là các trường hợp chia S thành 8 và 12 phần Với n càng lớn, diện tích tính được càng chính xác Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Bài toán diện tích hình thang cong Hai phương pháp tính tích phân Ví dụ Tích phân suy rộng Tính chấtBài toán Trên mỗi miền con S1 , S2 , ..., Sn lấy một điểm tùy ý Ta có S = S1 + S2 + · · · + Sn ∗ ∗ ∗ S f (x1 ) (x1 − x0 ) + f (x2 ) (x2 − x1 ) + · · · f (xn ) (xn − xn−1 ) n S f (xi∗ ) ∆xi i=1 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Bài toán diện tích hình thang cong Hai phương pháp tính tích phân Ví dụ Tích phân suy rộng Tính chấtBài toán n Nếu giới hạn I = lim f (xi∗ ) ∆xi tồn tại không phụ thuộc ∆xi →0 i=1 cách chia S và cách chọn điểm xi∗ , thì I được gọi là tích phân xác định của hàm y = f (x) trên đoạn [a, b] và n b S= lim f (xi∗ ) ∆xi = f (x)dx max(∆xi )→0 i=1 a Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Bài toán diện tích hình thang cong Hai phương pháp tính tích phân Ví dụ Tích phân suy rộng Tính chấtVí dụ Tính diện tích S giới hạn bởi: đường cong y = x 2 , trục hoành, hai đường thẳng x = 0 và x = 1 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Bài toán diện tích hình thang cong Hai phương pháp tính tích phân Ví dụ Tích phân suy rộng Tính chấtVí dụ Chia S thành 4 miền và chọn điểm trung gian bên trái Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Bài toán diện tích hình thang cong Hai phương pháp tính tích phân Ví dụ Tích phân suy rộng Tính chấtVí dụ Chia S thành 4 miền và chọn điểm trung gian bên phải Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Bài toán diện tích hình thang cong Hai phương pháp tính tích phân Ví dụ Tích phân suy rộng Tính chấtVí dụ Chia S thành 8 miền và chọn điểm trung gian bên trái, bên phải Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Bài toán diện tích hình thang cong Hai phương pháp tính tích phân Ví dụ Tích phân suy rộng Tính chấtVí dụ Chia S thành 10 miền và chọn điểm trung gian bên trái, bên phải Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Bài toán diện tích hình thang cong Hai phương pháp tính tích phân Ví dụ Tích phân suy rộng Tính chấtVí dụ Chia S thành 30 miền và chọn điểm trung gian bên trái, bên phải Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Bài toán diện tích hình thang cong Hai phương pháp tính tích phân Ví dụ Tích phân suy rộng Tính chấtVí dụ Chia S thành 50 miền và chọn điểm trung gian bên trái, bên phải Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Bài toán diện tích hình thang cong Hai phương pháp tính tích phân Ví dụ Tích phân suy rộng Tính chấtVí dụ Bảng thống kê một số giá trị Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Bài toán diện tích hình thang cong Hai phương pháp tính tích phân Ví dụ Tích phân suy rộng Tính chấtTính chất I 1. Nếu các hàm f (x), g (x) khả tích trên [a, b] thì các hàm f (x) + g (x), k.f (x) với k là hằng số cũng khả tích trên [a, b] và b b b [f (x) + g (x)]dx = f (x)dx + g (x)dx a a a b b kf (x)dx = k f (x)dx a a 2. Nếu hàm f khả tích trên các đoạn [a, c], [c, b] thì nó cũng khả tích trên [a, b] và b c b f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx a a c b 3. Nếu f (x) 0, ∀x ∈ [a, b] thì f (x) dx 0 a Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Bài toán diện tích hình thang cong Hai phương pháp tính tích phân Ví dụ Tích phân suy rộng Tính chấtTính chất II b b 4. Nếu f (x) g (x) , ∀x ∈ [a, b] thì f (x)dx g (x)dx a a 5. Nếu m và M là giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm f (x) trên [a, b] thì b m(b − a) f (x)dx M(b − a) a a 6. Nếu f (x) là hàm lẻ thì f (x)dx = 0. −a a a Nếu f (x) là hàm chẵn thì f (x)dx = 2 f (x)dx −a 0 7. Công thức Newton- Leibnitz: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên [a, b] và có nguyên hàm là F (x). Khi đó b b f (x)dx = F (x)|a = F (b) − F (a) a Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Bài toán diện tích hình thang cong Hai phương pháp tính tích phân Ví dụ Tích phân suy rộng Tính chấtTính chất III 8. Công thức đạo hàm theo cận trên: Nếu f (x) liên tục trên [a, b] thì   x ϕ(x)   f (t)dt  = f (x)  f (t)dt  = f (x).ϕ (x)    a a Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Phương pháp đổi biến số Hai phương pháp tính tích phân Phương pháp tích phân từng phần Tích phân suy rộngPhương pháp đổi biển số Nếu f (x) là một hàm liên tục trên [a, b], x = ϕ(t) là một hàm xác định và có đạo hàm liên tục trên [α, β] với ϕ(α) = a, ϕ(β) = b thì b β f (x)dx = f [ϕ(t)].ϕ (t)dt a α Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Phương pháp đổi biến số Hai phương pháp tính tích phân Phương pháp tích phân từng phần Tích phân suy rộngVí dụ: a √ Tính I = a2 − x 2 dx 0 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Phương pháp đổi biến số Hai phương pháp tính tích phân Phương pháp tích phân từng phần Tích phân suy rộngVí dụ: a √ Tính I = a2 − x 2 dx 0 Giải: Phép đổi biến x = a sin x ta có: a2 − x 2 = a2 (1 − sin2 t) = a2 cos2 t, dx = a cos tdt π Đổi cận x = 0 ⇒ t = 0, x = a ⇒ t = . Do đó 2 π/ π/ π/ 2 2 2 2 a I = a cos t.a cos tdt = a2 cos2 tdt = (1 + cos 2t)dt 2 0 0 0 π/ a2 1 2 πa2 = t+ sin 2t = 2 2 0 4 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Phương pháp đổi biến số Hai phương pháp tính tích phân Phương pháp tích phân từng phần Tích phân suy rộngVí dụ: π/ 2 sin x Tính I = dx 0 1 + cos2 x Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Phương pháp đổi biến số Hai phương pháp tính tích phân Phương pháp tích phân từng phần Tích phân suy rộngVí dụ: π/ 2sin x Tính I = dx 0 1 + cos2 x Giải: Đặt t = cos x ⇒ dt = − sin xdx, đổi cận π x = 0 ⇒ t = 1, x = ⇒ t = 0 2 0 1 −dt dt 1 π I = = = arctgt|0 = 1 + t2 1+t 2 4 1 0 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Phương pháp đổi biến số Hai phương pháp tính tích phân Phương pháp tích phân từng phần Tích phân suy rộngPhương pháp tích phân từng phân Nếu u và v là các hàm số cùng với các đạo hàm của chúng liên tục trên [a, b] thì b b b f (x) dx = udv = uv |b a − vdu a a a Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Phương pháp đổi biến số Hai phương pháp tính tích phân Phương pháp tích phân từng phần Tích phân suy rộngPhương pháp tích phân từng phân Nếu u và v là các hàm số cùng với các đạo hàm của chúng liên tục trên [a, b] thì b b b f (x) dx = udv = uv |b a − vdu a a a b b b b Thật vậy, uv |b = a d (uv ) = (vdu + udv ) = vdu + udv a a a a 2 Ví dụ: Tính I = ln xdx 1 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Phương pháp đổi biến số Hai phương pháp tính tích phân Phương pháp tích phân từng phần Tích phân suy rộngPhương pháp tích phân từng phân Nếu u và v là các hàm số cùng với các đạo hàm của chúng liên tục trên [a, b] thì b b b f (x) dx = udv = uv |b a − vdu a a a b b b b Thật vậy, uv |b = a d (uv ) = (vdu + udv ) = vdu + udv a a a a 2 Ví dụ: Tính I = ln xdx 1 dx Giải: Đặt u = ln x, dv = dx ta có du = , v = x suy ra x 2 2 I = x ln x |1 − dx = 2 ln 2 − 1 1 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpBài toán Tính diện tích S miền vô hạn giới hạn bởi: đường cong y = f (x) ≥ 0 , trục hoành, đường thẳng x = a Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpBài toán Tính diện tích S miền vô hạn giới hạn bởi: đường cong y = f (x) ≥ 0 , trục hoành, đường thẳng x = a +∞ b S= f (x) dx = lim f (x) dx b→+∞ a a Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpTích phân suy rộng loại 1 Định nghĩa Cho hàm số y = f (x) khả tích trên đoạn [a, b], với mọi b > a. Tích phân +∞ b f (x) dx = lim f (x) dx b→+∞ a a được gọi là tích phân suy rộng loại 1. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpTích phân suy rộng loại 1 Định nghĩa Cho hàm số y = f (x) khả tích trên đoạn [a, b], với mọi b > a. Tích phân +∞ b f (x) dx = lim f (x) dx b→+∞ a a được gọi là tích phân suy rộng loại 1. Các tích phân sau cũng được gọi là tích phân suy rộng loại 1 a a f (x) dx = lim f (x) dx −∞ b→−∞ b +∞ a +∞ f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx −∞ −∞ a Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpSự hội tụ, phân kỳ của tích phân suy rộng loại 1 b Nếu giới hạn lim f (x) dx tồn tại hữu hạn thì tích phân b→+∞ a +∞ f (x) dx được gọi là hội tụ. Ngược lại, nếu tích phân không tồn tại a hoặc bằng vô cùng thì tích phân gọi là phân kỳ. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpSự hội tụ, phân kỳ của tích phân suy rộng loại 1 b Nếu giới hạn lim f (x) dx tồn tại hữu hạn thì tích phân b→+∞ a +∞ f (x) dx được gọi là hội tụ. Ngược lại, nếu tích phân không tồn tại a hoặc bằng vô cùng thì tích phân gọi là phân kỳ. Hai vấn đề đối với tích phân suy rộng Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpSự hội tụ, phân kỳ của tích phân suy rộng loại 1 b Nếu giới hạn lim f (x) dx tồn tại hữu hạn thì tích phân b→+∞ a +∞ f (x) dx được gọi là hội tụ. Ngược lại, nếu tích phân không tồn tại a hoặc bằng vô cùng thì tích phân gọi là phân kỳ. Hai vấn đề đối với tích phân suy rộng 1 Tính tích phân suy rộng Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpSự hội tụ, phân kỳ của tích phân suy rộng loại 1 b Nếu giới hạn lim f (x) dx tồn tại hữu hạn thì tích phân b→+∞ a +∞ f (x) dx được gọi là hội tụ. Ngược lại, nếu tích phân không tồn tại a hoặc bằng vô cùng thì tích phân gọi là phân kỳ. Hai vấn đề đối với tích phân suy rộng 1 Tính tích phân suy rộng 2 Khảo sát sự hội tụ Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpTính tích phân suy rộng (công thức newton-Leibnitz) Công thức Newton-Leibnitz Giả sử F (x) là nguyên hàm của hàm số f (x) trên [a, +∞) khi đó +∞ b f (x)dx = lim f (x)dx = lim (F (b) − F (a)) b→+∞ b→+∞ a a Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpTính tích phân suy rộng (công thức newton-Leibnitz) Công thức Newton-Leibnitz Giả sử F (x) là nguyên hàm của hàm số f (x) trên [a, +∞) khi đó +∞ b f (x)dx = lim f (x)dx = lim (F (b) − F (a)) b→+∞ b→+∞ a a Tích phân tồn tại khi và chỉ khi tồn tại lim F (b) := F (∞) b→+∞ +∞ +∞ f (x)dx = F (x)|a = F (+∞) − F (a) a Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpVí dụ 1 Tính diện tích S miền vô hạn giới hạn bởi: đường cong y = , trục x hoành, đường thẳng x = 1 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpVí dụ 1 Tính diện tích S miền vô hạn giới hạn bởi: đường cong y = , trục x hoành, đường thẳng x = 1 +∞ a 1 1 a S= dx = lim dx = lim (ln |x|) |1 = lim (ln |a|) = +∞ x a→+∞ x a→+∞ a→+∞ 1 1 S có diện tích là vô hạn Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpVí dụ 1 Tính diện tích S miền vô hạn giới hạn bởi: đường cong y = x2 +1 và trục hoành Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpVí dụ 1 Tính diện tích S miền vô hạn giới hạn bởi: đường cong y = x2 +1 và trục hoành +∞ +∞ 1 1 a S= dx = 2 dx = 2 lim arctan x |0 = π x2 + 2 x2 + 2 a→+∞ −∞ 0 S có diện tích là π Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpVí dụ +∞ Tính tích phân I = e −2x dx 1 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpVí dụ +∞ Tính tích phân I = e −2x dx 1 Ta có +∞ 1 +∞ e −∞ e −2 1 I = e −2x dx = − e −2x |1 = − − = 2 2 2 2e 2 1 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpVí dụ +∞ Tính tích phân I = e −2x dx 1 Ta có +∞ 1 +∞ e −∞ e −2 1 I = e −2x dx = − e −2x |1 = − − = 2 2 2 2e 2 1 +∞ dx Ví dụ 2: Tính I = 4 x 2 − 5x + 6 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpVí dụ +∞ Tính tích phân I = e −2x dx 1 Ta có +∞ 1 +∞ e −∞ e −2 1 I = e −2x dx = − e −2x |1 = − − = 2 2 2 2e 2 1 +∞ dx Ví dụ 2: Tính I = 4 x 2 − 5x + 6 Ta có +∞ +∞ 1 1 1 x −3 4− I = 2 − 5x + 6 dx = − dx = lim ln −ln x x −3 x −2 x→∞ x −2 4− 4 4 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpVí dụ +∞ Tính tích phân I = e −2x cos xdx 0 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpVí dụ +∞ Tính tích phân I = e −2x cos xdx 0 Đặt +∞ u = e −2x ⇒ du = −2e −2x dx −2x +∞ ⇒I = e sin x 0 +2 e −2x sin xdx dv = cos xdx ⇒ v = sin x 0 +∞ Ta có lim e −2x sin x = 0 suy ra I = 2 e −2x sin xdx x→+∞ 0 u = e −2x ⇒ du = −2e −2x dx Đặt dv = sin xdx ⇒ v = − cos x suy ra +∞ +∞ 2 I = −2 e −2x cos x 0 −4 e −2x cos xdx = 2 − 4I ⇒ I = 5 0 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpVí dụ +∞ arctan x Tính tích phân I = 3/2 dx 0 (1 + x 2 ) Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpVí dụ +∞ arctan x Tính tích phân I = 3/2 dx 0 (1 + x 2 )  dx x → 0 ⇒ t → 0 Đặt t = arctan x ⇒ dt = , đổi cận π 1 + x2  x → +∞ ⇒ t → 2 1 x = tan t ⇒ 1 + x 2 = cos2 t Suy ra +∞ +∞ π/2 arctan x arctan x dx π I = dx = √ = t cos tdt = −1 (1 + x 2) 3/2 1 + x2 1 + x2 2 0 0 0 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpVí dụ +∞ 1 Xét tích phân dx (a > 0) a xα Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpVí dụ +∞ 1 Xét tích phân dx (a > 0) a xα 1 Với α > 1 +∞ +∞ 1 1 1 1 dx = = xα 1 − α x α−1 a (α − 1) aα−1 a hữu hạn, khác 0 nên tích phân hội tụ. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpVí dụ +∞ 1 Xét tích phân dx (a > 0) a xα 1 Với α > 1 +∞ +∞ 1 1 1 1 dx = = xα 1 − α x α−1 a (α − 1) aα−1 a hữu hạn, khác 0 nên tích phân hội tụ. 2 Với α < 1 +∞ +∞ 1 x 1−α dx = = +∞ xα 1−α a a nên tích phân phân kỳ. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpVí dụ +∞ 1 Xét tích phân dx (a > 0) a xα 1 Với α > 1 +∞ +∞ 1 1 1 1 dx = = xα 1 − α x α−1 a (α − 1) aα−1 a hữu hạn, khác 0 nên tích phân hội tụ. 2 Với α < 1 +∞ +∞ 1 x 1−α dx = = +∞ xα 1−α a a nên tích phân phân kỳ. 3 Với α = 1 +∞ 1 +∞ dx = ln |x||a = +∞ x a nên tích phân phân kỳ. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpVí dụ +∞ 1 Vậy tích phân I = dx (α > 0) hội tu khi α > 1 và phân kỳ khi a xα α 1 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpTiêu chuẩn hội tụ Định lý so sách 1 Giả sử các hàm số f (x) , g (x) khả tích trên [a, b] và 0 f (x) g (x) , x a. Khi đó +∞ +∞ 1 Nếu g (x) dx hội tụ thì f (x) dx hội tụ. a a Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpTiêu chuẩn hội tụ Định lý so sách 1 Giả sử các hàm số f (x) , g (x) khả tích trên [a, b] và 0 f (x) g (x) , x a. Khi đó +∞ +∞ 1 Nếu g (x) dx hội tụ thì f (x) dx hội tụ. a a +∞ +∞ 2 Nếu f (x) dx phân kỳ thì g (x) dx phân kỳ. a a Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpTiêu chuẩn hội tụ Định lý so sách 1 Giả sử các hàm số f (x) , g (x) khả tích trên [a, b] và 0 f (x) g (x) , x a. Khi đó +∞ +∞ 1 Nếu g (x) dx hội tụ thì f (x) dx hội tụ. a a +∞ +∞ 2 Nếu f (x) dx phân kỳ thì g (x) dx phân kỳ. a a +∞ +∞ dx Để khảo sát sự hội tụ của I = f (x)dx thường so sánh với đã a a xα biết kết quả. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpChú ý: Trong định lý so sánh 1 1 f (x) , g (x) là các hàm số không âm. 2 Chỉ cần tồn tại α sao cho α a (∀x ∈ [α, +∞)) f (x) g (x) +∞ dx 3 Cận dưới của tích phân là số dương a > 0 a xα Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpChú ý: Trong định lý so sánh 1 1 f (x) , g (x) là các hàm số không âm. 2 Chỉ cần tồn tại α sao cho α a (∀x ∈ [α, +∞)) f (x) g (x) +∞ dx 3 Cận dưới của tích phân là số dương a > 0 a xα +∞ dx Ví dụ 1: Khảo sát sự hội tụ của tích phân I = 1 2x 2 + sin2 3x Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpChú ý: Trong định lý so sánh 1 1 f (x) , g (x) là các hàm số không âm. 2 Chỉ cần tồn tại α sao cho α a (∀x ∈ [α, +∞)) f (x) g (x) +∞ dx 3 Cận dưới của tích phân là số dương a > 0 a xα +∞ dx Ví dụ 1: Khảo sát sự hội tụ của tích phân I = 1 2x 2 + sin2 3x 1 1 +∞ dx Ta có f (x) = = g (x). Vì hội tụ, theo định 2x 2 + sin2 3x 2x 2 1 2x 2 lý so sánh 1 suy ra I hội tụ. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpChú ý: Trong định lý so sánh 1 1 f (x) , g (x) là các hàm số không âm. 2 Chỉ cần tồn tại α sao cho α a (∀x ∈ [α, +∞)) f (x) g (x) +∞ dx 3 Cận dưới của tích phân là số dương a > 0 a xα +∞ dx Ví dụ 1: Khảo sát sự hội tụ của tích phân I = 1 2x 2 + sin2 3x 1 1 +∞ dx Ta có f (x) = = g (x). Vì hội tụ, theo định 2x 2 + sin2 3x 2x 2 1 2x 2 lý so sánh 1 suy ra I hội tụ. +∞ ln3 xdx Ví dụ 2: Khảo sát sự hội tụ của tích phân I = 1 x +5 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpChú ý: Trong định lý so sánh 1 1 f (x) , g (x) là các hàm số không âm. 2 Chỉ cần tồn tại α sao cho α a (∀x ∈ [α, +∞)) f (x) g (x) +∞ dx 3 Cận dưới của tích phân là số dương a > 0 a xα +∞ dx Ví dụ 1: Khảo sát sự hội tụ của tích phân I = 1 2x 2 + sin2 3x 1 1 +∞ dx Ta có f (x) = = g (x). Vì hội tụ, theo định 2x 2 + sin2 3x 2x 2 1 2x 2 lý so sánh 1 suy ra I hội tụ. +∞ ln3 xdx Ví dụ 2: Khảo sát sự hội tụ của tích phân I = 1 x +5 ln3 x 1 1 +∞ dx Ta có f (x) = > > = g (x) , ∀x > 5. Vì phân kỳ, x +5 x +5 2x 1 2x theo định lý so sách 1 suy ra I phân kỳ. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpĐịnh lý so sánh 2 Định lý so sách 2 Giả sử các hàm số f (x) , g (x) không âm, khả tích trên [a, b] và f (x) lim = k. Khi đó x→+∞ g (x) +∞ +∞ Nếu 0 < k < +∞ thì các tích phân f (x) dx và g (x) dx cùng a a hội tụ hay cùng phân kỳ. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpĐịnh lý so sánh 2 Định lý so sách 2 Giả sử các hàm số f (x) , g (x) không âm, khả tích trên [a, b] và f (x) lim = k. Khi đó x→+∞ g (x) +∞ +∞ Nếu 0 < k < +∞ thì các tích phân f (x) dx và g (x) dx cùng a a hội tụ hay cùng phân kỳ. +∞ +∞ Nếu k = 0 và tích phân g (x) dx hội tụ thì tích phân f (x) dx a a hội tụ. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpĐịnh lý so sánh 2 Định lý so sách 2 Giả sử các hàm số f (x) , g (x) không âm, khả tích trên [a, b] và f (x) lim = k. Khi đó x→+∞ g (x) +∞ +∞ Nếu 0 < k < +∞ thì các tích phân f (x) dx và g (x) dx cùng a a hội tụ hay cùng phân kỳ. +∞ +∞ Nếu k = 0 và tích phân g (x) dx hội tụ thì tích phân f (x) dx a a hội tụ. +∞ k = +∞ và tích phân g (x) dx phân kỳ thì tích phân a +∞ f (x) dx phân kỳ. a Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpChú ý: Cách sử dụng định lý so sánh 2 1 Kiểm tra f (x) là các hàm số không âm. 2 Tìm hàm g (x) bằng cách tìm hàm tương đương của f (x) khi x → +∞ f (x) 3 Tính K = lim và kết luận x→+∞ g (x) Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpChú ý: Cách sử dụng định lý so sánh 2 1 Kiểm tra f (x) là các hàm số không âm. 2 Tìm hàm g (x) bằng cách tìm hàm tương đương của f (x) khi x → +∞ f (x) 3 Tính K = lim và kết luận x→+∞ g (x) x→+∞ +∞ Hai hàm f (x) , g (x) không âm: Nếu f (x) g (x) thì f (x) dx và a +∞ g (x) dx cùng tính chất trên. a Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpChú ý: Cách sử dụng định lý so sánh 2 1 Kiểm tra f (x) là các hàm số không âm. 2 Tìm hàm g (x) bằng cách tìm hàm tương đương của f (x) khi x → +∞ f (x) 3 Tính K = lim và kết luận x→+∞ g (x) x→+∞ +∞ Hai hàm f (x) , g (x) không âm: Nếu f (x) g (x) thì f (x) dx và a +∞ g (x) dx cùng tính chất trên. a √ +∞ x 3 dx Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của tích phân I = 1 1 + x2 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpChú ý: Cách sử dụng định lý so sánh 2 1 Kiểm tra f (x) là các hàm số không âm. 2 Tìm hàm g (x) bằng cách tìm hàm tương đương của f (x) khi x → +∞ f (x) 3 Tính K = lim và kết luận x→+∞ g (x) x→+∞ +∞ Hai hàm f (x) , g (x) không âm: Nếu f (x) g (x) thì f (x) dx và a +∞ g (x) dx cùng tính chất trên. a √ +∞ x 3 dx Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của tích phân I = 2 1 1+x  √ 3  x  1 + x2  +∞ dx Giải: Ta có lim   1  = +∞. Do  phân kỳ, nên theo định x→+∞ 1 x x lý so sánh 2 suy ra I phân kỳ. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpTrường hợp f (x) có dấu bất kỳ Định lý +∞ Giả sử hàm số f (x) có dấu bất kỳ. Khi đó nếu |f (x)| dx hội tụ a +∞ thì f (x) dx cũng hội tụ. a Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpTrường hợp f (x) có dấu bất kỳ Định lý +∞ Giả sử hàm số f (x) có dấu bất kỳ. Khi đó nếu |f (x)| dx hội tụ a +∞ thì f (x) dx cũng hội tụ. a Định nghĩa: +∞ +∞ Nếu |f (x)| dx hội tụ thì f (x) dx hội tụ và được gọi a a +∞ f (x) dx hội tụ tuyệt đối. a Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpTrường hợp f (x) có dấu bất kỳ Định lý +∞ Giả sử hàm số f (x) có dấu bất kỳ. Khi đó nếu |f (x)| dx hội tụ a +∞ thì f (x) dx cũng hội tụ. a Định nghĩa: +∞ +∞ Nếu |f (x)| dx hội tụ thì f (x) dx hội tụ và được gọi a a +∞ f (x) dx hội tụ tuyệt đối. a +∞ +∞ +∞ Nếu f (x) dx hội tụ nhưng |f (x)| dx phân kỳ thì f (x) dx a a a được gọi là bán hội tụ. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpChú ý Trường hợp f (x) có dấu bất kỳ, để khảo sát sự hội tụ của tích phân +∞ f (x) dx ta khảo sát sự hội tụ của tích phân có hàm không âm a +∞ |f (x)| dx. Khi đó ta có thể sử dụng được các định lý so sánh. a Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpVí dụ: +∞ sin xdx Khảo sát sự hội tụ của tích phân I = 1 x 2 + ln 2x Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpVí dụ: +∞ sin xdx Khảo sát sự hội tụ của tích phân I = 1 x 2 + ln 2x Giải: Nếu áp dụng định lý so sánh đánh giá sin x 1 x→+∞ 1 f (x) = = g (x) x2 + ln 2x x2 + ln 2x x2 suy ra I hội tụ, Kết quả này sai vì f (x) có dấu bất kỳ. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpVí dụ: +∞ sin xdx Khảo sát sự hội tụ của tích phân I = 1 x 2 + ln 2x Giải: Nếu áp dụng định lý so sánh đánh giá sin x 1 x→+∞ 1 f (x) = = g (x) x2 + ln 2x x2 + ln 2x x2 suy ra I hội tụ, Kết quả này sai vì f (x) có dấu bất kỳ. +∞ sin x Xét tích phân có hàm không âm J = dx, ta có 1 x 2 + ln 2x sin x 1 x→+∞ 1 |f (x)| = x 2 + ln 2x x 2 + ln 2x x2 +∞ 1 Do dx hội tụ, do đó J hội tụ. Áp dụng định lý suy ra I hội tụ tuyệt 1 x2 đối. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpChú ý a +∞ 1 Các tích phân f (x) dx, f (x) dx cũng có kết quả tương tự. −∞ −∞ Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpChú ý a +∞ 1 Các tích phân f (x) dx, f (x) dx cũng có kết quả tương tự. −∞ −∞ +∞ 2 Với các tích phân chỉ có một điểm suy rộng f (x)dx khi tách có a +∞ +∞ dạng vô định G (x)|a + H(x)|a = ∞ − ∞ chưa kết luận được tích phân ban đầu phân kỳ. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpChú ý a +∞ 1 Các tích phân f (x) dx, f (x) dx cũng có kết quả tương tự. −∞ −∞ +∞ 2 Với các tích phân chỉ có một điểm suy rộng f (x)dx khi tách có a +∞ +∞ dạng vô định G (x)|a + H(x)|a = ∞ − ∞ chưa kết luận được tích phân ban đầu phân kỳ. +∞ 3 Với tích phân có hai điểm suy rộng f (x) dx khi tách ra thành −∞ a +∞ các tích phân f (x)dx + f (x)dx chỉ cần một trong hai tích −∞ a phân phân kỳ thì tích phân ban đầu phân kỳ. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpĐịnh nghĩa Định nghĩa 1 Điểm x0 được gọi là điểm bất thường (hay điểm kỳ dị) của đường cong y = f (x) nếu lim f (x) = ∞ x→x0 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpĐịnh nghĩa Định nghĩa 1 Điểm x0 được gọi là điểm bất thường (hay điểm kỳ dị) của đường cong y = f (x) nếu lim f (x) = ∞ x→x0 Giả sử trên [a, b] hàm số y = f (x) có một điểm bất thường duy nhất là x0 = b Khi đó b b−t f (x)dx := lim f (x)dx t→0 a a (0 < t < b − a) được gọi là tích phân suy rộng loại hai của f (x) trên [a, b] Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpĐịnh nghĩa Giả sử trên [a, b] hàm số y = f (x) có một điểm bất thường duy nhất là x0 = a Khi đó tích phân suy rộng loại hai của f (x) trên [a, b] là b b f (x)dx := lim f (x)dx t→0 a a+t trong đó (0 < t < b − a) Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpĐịnh nghĩa Giả sử trên [a, b] hàm số y = f (x) có một điểm bất thường duy nhất là c ∈ [a, b] Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpĐịnh nghĩa Giả sử trên [a, b] hàm số y = f (x) có một điểm bất thường duy nhất là c ∈ [a, b] Khi đó tích phân suy rộng loại hai của f (x) trên [a, b] là b c b f (x)dx = f (x)dx+ f (x)dx a a c c−t b = lim f (x)dx + lim f (x)dx t→0 t→0 a c+t Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpĐịnh nghĩa Giả sử trên [a, b] hàm số y = f (x) có một điểm bất thường duy nhất là c ∈ [a, b] Khi đó tích phân suy rộng loại hai của f (x) trên [a, b] là b c b f (x)dx = f (x)dx+ f (x)dx a a c c−t b = lim f (x)dx + lim f (x)dx t→0 t→0 a c+t Tích phân vế trái là hội tụ khi và chỉ khi cả hai tích phân ở vế phải hội tụ. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpNhận xét 1 Các khái niệm hội tụ, phân kỳ giống như trong tích phân suy rộng loại một. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpNhận xét 1 Các khái niệm hội tụ, phân kỳ giống như trong tích phân suy rộng loại một. 2 Tương tự tích phân suy rộng loại một: có hai tiêu chuẩn so sánh cho tích phân hàm không âm. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpNhận xét 1 Các khái niệm hội tụ, phân kỳ giống như trong tích phân suy rộng loại một. 2 Tương tự tích phân suy rộng loại một: có hai tiêu chuẩn so sánh cho tích phân hàm không âm. 3 Khái niệm hội tụ tuyệt đối cũng tương tự trong tích phân suy rộng loại một: Hội tụ tuyệt đối thì hội tụ. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpVí dụ 0 dx Tính I = √ −1 1 − x2 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpVí dụ 0 dx Tính I = √ −1 1 − x2 Giải: Ta có điểm x = −1 là điểm bất thường nên 0 dx 0 dx 0 I = √ = lim √ = lim arcsin x |−1+ε −1 1 − x2 ε→0 −1+ε 1 − x2 ε→0 π = lim (− arcsin (−1 + ε)) = ε→0 2 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpVí dụ 3 dx Tính tích phân I = 0 x −1 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpVí dụ dx 3 Tính tích phân I = 0 x −1 Giải: Ta có điểm x = 1 là điểm bất thường trên [0, 3] nên 1 3 dx dx I = + = I1 + I2 x −1 x −1 0 1 Mặt khác do 1−t dx 1−t I1 = lim = lim ln |x − 1| |0 = lim ln |t| = +∞ t→0 x − 1 t→0 t→0 0 Vậy I phân kỳ Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpVí dụ b 1 Xét sự hội tụ của tích phân I = α dx (a < b, α > 0) a (b − x) Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpVí dụ b 1 Xét sự hội tụ của tích phân I = α dx (a < b, α > 0) a (b − x) Giải: Ta có x = b là điểm bất thường Với α = 1 ta có b−ε 1−α 1 (b − x) b−ε I = lim α dx = lim |a = ε→0 a (b − x) ε→0 α−1  1 1  +∞ khi α > 1 1−α 1−α = lim ε1−α + (b − a) = (b − a) ε→0 α−1 1−α  khi α < 1 1−α Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpVí dụ b 1 Xét sự hội tụ của tích phân I = α dx (a < b, α > 0) a (b − x) Giải: Ta có x = b là điểm bất thường Với α = 1 ta có b−ε 1−α 1 (b − x) b−ε I = lim α dx = lim |a = ε→0 a (b − x) ε→0 α−1  1 1  +∞ khi α > 1 1−α 1−α = lim ε1−α + (b − a) = (b − a) ε→0 α−1 1−α  khi α < 1 1−α Với α = 1 ta có b b 1 1 b−ε α dx = dx = − lim ln |b − x| |a = −∞ (b − x) b−x ε→0 a a Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpVí dụ b 1 Xét sự hội tụ của tích phân I = α dx (a < b, α > 0) a (b − x) Giải: Ta có x = b là điểm bất thường Với α = 1 ta có b−ε 1−α 1 (b − x) b−ε I = lim α dx = lim |a = ε→0 a (b − x) ε→0 α−1  1 1  +∞ khi α > 1 1−α 1−α = lim ε1−α + (b − a) = (b − a) ε→0 α−1 1−α  khi α < 1 1−α Với α = 1 ta có b b 1 1 b−ε α dx = dx = − lim ln |b − x| |a = −∞ (b − x) b−x ε→0 a a Vậy I hội tụ khi α < 1, phân kỳ khi α ≥ 1. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpVí dụ b 1 Tương tự tích phân I = α dx (a < b, α > 0) hội tụ khi a (x − a) α < 1, phân kỳ khi α ≥ 1. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpTiêu chuẩn hội tụ Định lý so sách 1 Giả sử các hàm số f (x) , g (x) khả tích trên (a, b] với x = a là điểm bất thường duy nhất sao cho 0 ≤ f (x) ≤ g (x) , ∀x ∈ (a, c] ; a < c < b . Khi đó Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpTiêu chuẩn hội tụ Định lý so sách 1 Giả sử các hàm số f (x) , g (x) khả tích trên (a, b] với x = a là điểm bất thường duy nhất sao cho 0 ≤ f (x) ≤ g (x) , ∀x ∈ (a, c] ; a < c < b . Khi đó b b 1 Nếu g (x) dx hội tụ thì f (x) dx hội tụ. a a Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpTiêu chuẩn hội tụ Định lý so sách 1 Giả sử các hàm số f (x) , g (x) khả tích trên (a, b] với x = a là điểm bất thường duy nhất sao cho 0 ≤ f (x) ≤ g (x) , ∀x ∈ (a, c] ; a < c < b . Khi đó b b 1 Nếu g (x) dx hội tụ thì f (x) dx hội tụ. a a b b 2 Nếu f (x) dx phân kỳ thì g (x) dx phân kỳ. a a Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpTiêu chuẩn hội tụ Định lý so sách 1 Giả sử các hàm số f (x) , g (x) khả tích trên (a, b] với x = a là điểm bất thường duy nhất sao cho 0 ≤ f (x) ≤ g (x) , ∀x ∈ (a, c] ; a < c < b . Khi đó b b 1 Nếu g (x) dx hội tụ thì f (x) dx hội tụ. a a b b 2 Nếu f (x) dx phân kỳ thì g (x) dx phân kỳ. a a Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpĐịnh lý so sánh 2 Định lý so sách 2 Giả sử các hàm số f (x) , g (x) không âm, khả tích trên (a, b] với f (x) x = a là điểm bất thường duy nhất và lim+ = k. Khi đó x→a g (x) Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpĐịnh lý so sánh 2 Định lý so sách 2 Giả sử các hàm số f (x) , g (x) không âm, khả tích trên (a, b] với f (x) x = a là điểm bất thường duy nhất và lim+ = k. Khi đó x→a g (x) b b Nếu 0 < k < +∞ thì các tích phân f (x) dx và g (x) dx cùng a a hội tụ hay cùng phân kỳ. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpĐịnh lý so sánh 2 Định lý so sách 2 Giả sử các hàm số f (x) , g (x) không âm, khả tích trên (a, b] với f (x) x = a là điểm bất thường duy nhất và lim+ = k. Khi đó x→a g (x) b b Nếu 0 < k < +∞ thì các tích phân f (x) dx và g (x) dx cùng a a hội tụ hay cùng phân kỳ. b b Nếu k = 0 và tích phân g (x) dx hội tụ thì tích phân f (x) dx a a hội tụ. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpĐịnh lý so sánh 2 Định lý so sách 2 Giả sử các hàm số f (x) , g (x) không âm, khả tích trên (a, b] với f (x) x = a là điểm bất thường duy nhất và lim+ = k. Khi đó x→a g (x) b b Nếu 0 < k < +∞ thì các tích phân f (x) dx và g (x) dx cùng a a hội tụ hay cùng phân kỳ. b b Nếu k = 0 và tích phân g (x) dx hội tụ thì tích phân f (x) dx a a hội tụ. b b k = +∞ và tích phân g (x) dx phân kỳ thì tích phân f (x) dx a a phân kỳ. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpTrường hợp f (x) có dấu bất kỳ Định lý b Giả sử hàm số f (x) có dấu bất kỳ. Khi đó nếu |f (x)| dx hội tụ thì a b f (x) dx cũng hội tụ. a Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpTrường hợp f (x) có dấu bất kỳ Định lý b Giả sử hàm số f (x) có dấu bất kỳ. Khi đó nếu |f (x)| dx hội tụ thì a b f (x) dx cũng hội tụ. a Định nghĩa: b b b Nếu |f (x)| dx hội tụ thì f (x) dx hội tụ và được gọi f (x) dx a a a hội tụ tuyệt đối. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpTrường hợp f (x) có dấu bất kỳ Định lý b Giả sử hàm số f (x) có dấu bất kỳ. Khi đó nếu |f (x)| dx hội tụ thì a b f (x) dx cũng hội tụ. a Định nghĩa: b b b Nếu |f (x)| dx hội tụ thì f (x) dx hội tụ và được gọi f (x) dx a a a hội tụ tuyệt đối. b b b Nếu f (x) dx hội tụ nhưng |f (x)| dx phân kỳ thì f (x) dx được a a a gọi là bán hội tụ. Tương tự với x = b là điểm bất thường duy nhất. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpVí dụ 2 dx Xét sự hội tụ của tích phân I = √ 1 x2 − 1 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpVí dụ 2 dx Xét sự hội tụ của tích phân I = √ 1 x2 − 1 Giải: Ta có x = 1 là điểm bất thường và 1 x→1+ 1 f (x) = √ 1/2 (x − 1)(x + 1) 2(x − 1) 1 f (x) 1 Chọn g (x) = 1/2 ⇒ lim = √ hữu hạn khác 0, do đó (x − 1) g (x) x→+∞ 2 hai tích phân cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. 2 1 Mặt khác tích phân 1/2 dx hội tụ, nên I hội tụ. 1 (x − 1) Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpVí dụ 4 dx Xét sự hội tụ của tích phân I = √ 0 x −2 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpVí dụ 4 dx Xét sự hội tụ của tích phân I = √ 0 x −2 Giải: Ta có x = 4 là điểm bất thường và √ 1 x + 2 x→4− 4 f (x) = √ = 1 x −2 x −4 (x − 4) 1 f (x) x −4 Chọn g (x) = ⇒ lim = lim √ = 4 hữu hạn khác 0, x −4 x→4 g (x) x→4 x −2 do đó hai tích phân cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. 4 1 Mặt khác tích phân dx phân kỳ nên I phân kỳ. 0 x −4 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpBài tập I 1 Tính các tích phân sau π π 2 4dx cos3 x a, 0 , b, 02 dx 3 + 5 cos x cos3 x + sin3 x π 1 c, 02 e 5x sin 4xdx, d, e −x ln(e x + 1)dx 0 √ 3 1 x arctan x 2 dx e, √ dx , f, √ 2 2 0 1+x 1 x 1−x 2 2 Tính các tích phân suy rộng sau +∞ +∞ 2 a, I = xe −x dx, b, I = 0 x 3 e −x dx 0 √ +∞ √ 2 x +2 c, I = 0 e− x dx, d, I = 0 √ dx 2−x Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  • Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpBài tập II 3 dx 3 x2 e, I = 1 √ , f, √ dx 4x − x 2 − 3 −3 9 − x2 3 Xét sự hội tụ của các tích phân sau +∞ √ +∞ ln 1 + x 2 a, I = 0 xe −x dx, b, I = 1 dx x +∞ dx +∞ 1 c, , d, 1 − cos dx 3 x (x − 1) (x − 2) 1 x 1 sin 2x 1 x n dx e, √ dx, f, I = 0 √ (n ∈ N) 0 1 − x2 1 − x4 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH