Định nghĩa, tính chất          Hai phương pháp tính tích phân                     Tích phân suy rộng      Bài giảng: TOÁN ...
Định nghĩa, tính chất                Hai phương pháp tính tích phân                           Tích phân suy rộngChương IX:...
Định nghĩa, tính chất                Hai phương pháp tính tích phân                           Tích phân suy rộngChương IX:...
Định nghĩa, tính chất                Hai phương pháp tính tích phân                           Tích phân suy rộngChương IX:...
Định nghĩa, tính chất   Bài toán diện tích hình thang cong                  Hai phương pháp tính tích phân   Ví dụ        ...
Định nghĩa, tính chất   Bài toán diện tích hình thang cong                     Hai phương pháp tính tích phân   Ví dụ     ...
Định nghĩa, tính chất   Bài toán diện tích hình thang cong                    Hai phương pháp tính tích phân   Ví dụ      ...
Định nghĩa, tính chất   Bài toán diện tích hình thang cong                    Hai phương pháp tính tích phân   Ví dụ      ...
Định nghĩa, tính chất   Bài toán diện tích hình thang cong                     Hai phương pháp tính tích phân   Ví dụ     ...
Định nghĩa, tính chất   Bài toán diện tích hình thang cong                        Hai phương pháp tính tích phân   Ví dụ  ...
Định nghĩa, tính chất         Bài toán diện tích hình thang cong                     Hai phương pháp tính tích phân       ...
Định nghĩa, tính chất   Bài toán diện tích hình thang cong                     Hai phương pháp tính tích phân   Ví dụ     ...
Định nghĩa, tính chất   Bài toán diện tích hình thang cong                      Hai phương pháp tính tích phân   Ví dụ    ...
Định nghĩa, tính chất   Bài toán diện tích hình thang cong                      Hai phương pháp tính tích phân   Ví dụ    ...
Định nghĩa, tính chất   Bài toán diện tích hình thang cong                      Hai phương pháp tính tích phân   Ví dụ    ...
Định nghĩa, tính chất   Bài toán diện tích hình thang cong                      Hai phương pháp tính tích phân   Ví dụ    ...
Định nghĩa, tính chất   Bài toán diện tích hình thang cong                      Hai phương pháp tính tích phân   Ví dụ    ...
Định nghĩa, tính chất   Bài toán diện tích hình thang cong                      Hai phương pháp tính tích phân   Ví dụ    ...
Định nghĩa, tính chất   Bài toán diện tích hình thang cong                       Hai phương pháp tính tích phân   Ví dụ   ...
Định nghĩa, tính chất               Bài toán diện tích hình thang cong                             Hai phương pháp tính tí...
Định nghĩa, tính chất           Bài toán diện tích hình thang cong                        Hai phương pháp tính tích phân  ...
Định nghĩa, tính chất       Bài toán diện tích hình thang cong                          Hai phương pháp tính tích phân    ...
Định nghĩa, tính chất                                                           Phương pháp đổi biến số                   ...
Định nghĩa, tính chất                                                         Phương pháp đổi biến số                     ...
Định nghĩa, tính chất                                                            Phương pháp đổi biến số                  ...
Định nghĩa, tính chất                                                           Phương pháp đổi biến số                   ...
Định nghĩa, tính chất                                                              Phương pháp đổi biến số                ...
Định nghĩa, tính chất                                                        Phương pháp đổi biến số                    Ha...
Định nghĩa, tính chất                                                          Phương pháp đổi biến số                    ...
Định nghĩa, tính chất                                                                Phương pháp đổi biến số              ...
Định nghĩa, tính chất   Tích phân suy rộng loại 1                     Hai phương pháp tính tích phân   Tích phân suy rộng ...
Định nghĩa, tính chất   Tích phân suy rộng loại 1                     Hai phương pháp tính tích phân   Tích phân suy rộng ...
Định nghĩa, tính chất     Tích phân suy rộng loại 1                      Hai phương pháp tính tích phân     Tích phân suy ...
Định nghĩa, tính chất      Tích phân suy rộng loại 1                      Hai phương pháp tính tích phân      Tích phân su...
Định nghĩa, tính chất   Tích phân suy rộng loại 1                       Hai phương pháp tính tích phân   Tích phân suy rộn...
Định nghĩa, tính chất   Tích phân suy rộng loại 1                       Hai phương pháp tính tích phân   Tích phân suy rộn...
Định nghĩa, tính chất   Tích phân suy rộng loại 1                           Hai phương pháp tính tích phân   Tích phân suy...
Định nghĩa, tính chất   Tích phân suy rộng loại 1                           Hai phương pháp tính tích phân   Tích phân suy...
Định nghĩa, tính chất     Tích phân suy rộng loại 1                      Hai phương pháp tính tích phân     Tích phân suy ...
Định nghĩa, tính chất     Tích phân suy rộng loại 1                      Hai phương pháp tính tích phân     Tích phân suy ...
Định nghĩa, tính chất   Tích phân suy rộng loại 1                      Hai phương pháp tính tích phân   Tích phân suy rộng...
Định nghĩa, tính chất   Tích phân suy rộng loại 1                      Hai phương pháp tính tích phân   Tích phân suy rộng...
Định nghĩa, tính chất   Tích phân suy rộng loại 1                      Hai phương pháp tính tích phân   Tích phân suy rộng...
Định nghĩa, tính chất   Tích phân suy rộng loại 1                        Hai phương pháp tính tích phân   Tích phân suy rộ...
Định nghĩa, tính chất   Tích phân suy rộng loại 1                      Hai phương pháp tính tích phân   Tích phân suy rộng...
Định nghĩa, tính chất   Tích phân suy rộng loại 1                           Hai phương pháp tính tích phân   Tích phân suy...
Định nghĩa, tính chất   Tích phân suy rộng loại 1                           Hai phương pháp tính tích phân   Tích phân suy...
Định nghĩa, tính chất   Tích phân suy rộng loại 1                             Hai phương pháp tính tích phân   Tích phân s...
Định nghĩa, tính chất   Tích phân suy rộng loại 1                      Hai phương pháp tính tích phân   Tích phân suy rộng...
Định nghĩa, tính chất    Tích phân suy rộng loại 1                         Hai phương pháp tính tích phân    Tích phân suy...
Định nghĩa, tính chất     Tích phân suy rộng loại 1                      Hai phương pháp tính tích phân     Tích phân suy ...
Định nghĩa, tính chất     Tích phân suy rộng loại 1                          Hai phương pháp tính tích phân     Tích phân ...
Định nghĩa, tính chất   Tích phân suy rộng loại 1                      Hai phương pháp tính tích phân   Tích phân suy rộng...
Định nghĩa, tính chất   Tích phân suy rộng loại 1                      Hai phương pháp tính tích phân   Tích phân suy rộng...
Định nghĩa, tính chất   Tích phân suy rộng loại 1                      Hai phương pháp tính tích phân   Tích phân suy rộng...
Định nghĩa, tính chất   Tích phân suy rộng loại 1                      Hai phương pháp tính tích phân   Tích phân suy rộng...
Định nghĩa, tính chất   Tích phân suy rộng loại 1                    Hai phương pháp tính tích phân   Tích phân suy rộng l...
Định nghĩa, tính chất      Tích phân suy rộng loại 1                           Hai phương pháp tính tích phân      Tích ph...
Định nghĩa, tính chất          Tích phân suy rộng loại 1                           Hai phương pháp tính tích phân         ...
Định nghĩa, tính chất          Tích phân suy rộng loại 1                           Hai phương pháp tính tích phân         ...
Định nghĩa, tính chất     Tích phân suy rộng loại 1                       Hai phương pháp tính tích phân     Tích phân suy...
Định nghĩa, tính chất     Tích phân suy rộng loại 1                       Hai phương pháp tính tích phân     Tích phân suy...
Định nghĩa, tính chất     Tích phân suy rộng loại 1                       Hai phương pháp tính tích phân     Tích phân suy...
Định nghĩa, tính chất     Tích phân suy rộng loại 1                       Hai phương pháp tính tích phân     Tích phân suy...
Định nghĩa, tính chất     Tích phân suy rộng loại 1                       Hai phương pháp tính tích phân     Tích phân suy...
Định nghĩa, tính chất   Tích phân suy rộng loại 1                     Hai phương pháp tính tích phân   Tích phân suy rộng ...
Định nghĩa, tính chất   Tích phân suy rộng loại 1                       Hai phương pháp tính tích phân   Tích phân suy rộn...
Định nghĩa, tính chất    Tích phân suy rộng loại 1                       Hai phương pháp tính tích phân    Tích phân suy r...
Định nghĩa, tính chất   Tích phân suy rộng loại 1                      Hai phương pháp tính tích phân   Tích phân suy rộng...
Định nghĩa, tính chất   Tích phân suy rộng loại 1                          Hai phương pháp tính tích phân   Tích phân suy ...
Định nghĩa, tính chất   Tích phân suy rộng loại 1                          Hai phương pháp tính tích phân   Tích phân suy ...
Định nghĩa, tính chất   Tích phân suy rộng loại 1                          Hai phương pháp tính tích phân   Tích phân suy ...
Định nghĩa, tính chất   Tích phân suy rộng loại 1                         Hai phương pháp tính tích phân   Tích phân suy r...
Định nghĩa, tính chất    Tích phân suy rộng loại 1                              Hai phương pháp tính tích phân    Tích phâ...
Định nghĩa, tính chất       Tích phân suy rộng loại 1                              Hai phương pháp tính tích phân       Tí...
Định nghĩa, tính chất   Tích phân suy rộng loại 1                       Hai phương pháp tính tích phân   Tích phân suy rộn...
Định nghĩa, tính chất   Tích phân suy rộng loại 1                       Hai phương pháp tính tích phân   Tích phân suy rộn...
Định nghĩa, tính chất     Tích phân suy rộng loại 1                       Hai phương pháp tính tích phân     Tích phân suy...
Định nghĩa, tính chất     Tích phân suy rộng loại 1                          Hai phương pháp tính tích phân     Tích phân ...
Định nghĩa, tính chất     Tích phân suy rộng loại 1                     Hai phương pháp tính tích phân     Tích phân suy r...
Định nghĩa, tính chất     Tích phân suy rộng loại 1                     Hai phương pháp tính tích phân     Tích phân suy r...
Định nghĩa, tính chất     Tích phân suy rộng loại 1                     Hai phương pháp tính tích phân     Tích phân suy r...
Định nghĩa, tính chất   Tích phân suy rộng loại 1                   Hai phương pháp tính tích phân   Tích phân suy rộng lo...
Định nghĩa, tính chất   Tích phân suy rộng loại 1                    Hai phương pháp tính tích phân   Tích phân suy rộng l...
Định nghĩa, tính chất   Tích phân suy rộng loại 1                    Hai phương pháp tính tích phân   Tích phân suy rộng l...
Định nghĩa, tính chất   Tích phân suy rộng loại 1                    Hai phương pháp tính tích phân   Tích phân suy rộng l...
Định nghĩa, tính chất   Tích phân suy rộng loại 1                    Hai phương pháp tính tích phân   Tích phân suy rộng l...
Định nghĩa, tính chất   Tích phân suy rộng loại 1                     Hai phương pháp tính tích phân   Tích phân suy rộng ...
Định nghĩa, tính chất   Tích phân suy rộng loại 1                     Hai phương pháp tính tích phân   Tích phân suy rộng ...
Định nghĩa, tính chất   Tích phân suy rộng loại 1                     Hai phương pháp tính tích phân   Tích phân suy rộng ...
Định nghĩa, tính chất   Tích phân suy rộng loại 1                     Hai phương pháp tính tích phân   Tích phân suy rộng ...
Định nghĩa, tính chất   Tích phân suy rộng loại 1                        Hai phương pháp tính tích phân   Tích phân suy rộ...
Định nghĩa, tính chất   Tích phân suy rộng loại 1                         Hai phương pháp tính tích phân   Tích phân suy r...
Định nghĩa, tính chất   Tích phân suy rộng loại 1                      Hai phương pháp tính tích phân   Tích phân suy rộng...
Chuong9
Chuong9
Chuong9
Chuong9
Chuong9
Chuong9
Chuong9
Chuong9
Chuong9
Chuong9
Chuong9
Chuong9
Chuong9
Chuong9
Chuong9
Chuong9
Chuong9
Chuong9
Chuong9
Chuong9
Chuong9
Chuong9
Chuong9
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Chuong9

4,765 views
4,637 views

Published on

0 Comments
10 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
4,765
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
1,237
Actions
Shares
0
Downloads
0
Comments
0
Likes
10
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Chuong9

  1. 1. Định nghĩa, tính chất Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH PHÂN SUY RỘNG Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Ngày 16 tháng 12 năm 2010 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  2. 2. Định nghĩa, tính chất Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộngChương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH PHÂN SUY RỘNG 9.1 Định nghĩa, tính chất. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  3. 3. Định nghĩa, tính chất Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộngChương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH PHÂN SUY RỘNG 9.1 Định nghĩa, tính chất. 9.2 Hai phương pháp tính tích phân. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  4. 4. Định nghĩa, tính chất Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộngChương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH PHÂN SUY RỘNG 9.1 Định nghĩa, tính chất. 9.2 Hai phương pháp tính tích phân. 9.3 Tích phân suy rộng. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  5. 5. Định nghĩa, tính chất Bài toán diện tích hình thang cong Hai phương pháp tính tích phân Ví dụ Tích phân suy rộng Tính chấtBài toán Tính diện tích S của miền phẳng giới hạn bởi: đường cong y = f (x),trục hoành, hai đường thẳng x = a và x = b Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  6. 6. Định nghĩa, tính chất Bài toán diện tích hình thang cong Hai phương pháp tính tích phân Ví dụ Tích phân suy rộng Tính chấtBài toán Chia S một cách tùy ý ra n miền con S1 , S2 , ..., Sn Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  7. 7. Định nghĩa, tính chất Bài toán diện tích hình thang cong Hai phương pháp tính tích phân Ví dụ Tích phân suy rộng Tính chấtBài toán Xấp xỉ mỗi miền con S1 , S2 , ..., Sn bằng các hình chữ nhật Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  8. 8. Định nghĩa, tính chất Bài toán diện tích hình thang cong Hai phương pháp tính tích phân Ví dụ Tích phân suy rộng Tính chấtBài toán Hình dưới là các trường hợp chia S thành 2 và 4 phần Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  9. 9. Định nghĩa, tính chất Bài toán diện tích hình thang cong Hai phương pháp tính tích phân Ví dụ Tích phân suy rộng Tính chấtBài toán Hình dưới là các trường hợp chia S thành 8 và 12 phần Với n càng lớn, diện tích tính được càng chính xác Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  10. 10. Định nghĩa, tính chất Bài toán diện tích hình thang cong Hai phương pháp tính tích phân Ví dụ Tích phân suy rộng Tính chấtBài toán Trên mỗi miền con S1 , S2 , ..., Sn lấy một điểm tùy ý Ta có S = S1 + S2 + · · · + Sn ∗ ∗ ∗ S f (x1 ) (x1 − x0 ) + f (x2 ) (x2 − x1 ) + · · · f (xn ) (xn − xn−1 ) n S f (xi∗ ) ∆xi i=1 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  11. 11. Định nghĩa, tính chất Bài toán diện tích hình thang cong Hai phương pháp tính tích phân Ví dụ Tích phân suy rộng Tính chấtBài toán n Nếu giới hạn I = lim f (xi∗ ) ∆xi tồn tại không phụ thuộc ∆xi →0 i=1 cách chia S và cách chọn điểm xi∗ , thì I được gọi là tích phân xác định của hàm y = f (x) trên đoạn [a, b] và n b S= lim f (xi∗ ) ∆xi = f (x)dx max(∆xi )→0 i=1 a Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  12. 12. Định nghĩa, tính chất Bài toán diện tích hình thang cong Hai phương pháp tính tích phân Ví dụ Tích phân suy rộng Tính chấtVí dụ Tính diện tích S giới hạn bởi: đường cong y = x 2 , trục hoành, hai đường thẳng x = 0 và x = 1 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  13. 13. Định nghĩa, tính chất Bài toán diện tích hình thang cong Hai phương pháp tính tích phân Ví dụ Tích phân suy rộng Tính chấtVí dụ Chia S thành 4 miền và chọn điểm trung gian bên trái Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  14. 14. Định nghĩa, tính chất Bài toán diện tích hình thang cong Hai phương pháp tính tích phân Ví dụ Tích phân suy rộng Tính chấtVí dụ Chia S thành 4 miền và chọn điểm trung gian bên phải Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  15. 15. Định nghĩa, tính chất Bài toán diện tích hình thang cong Hai phương pháp tính tích phân Ví dụ Tích phân suy rộng Tính chấtVí dụ Chia S thành 8 miền và chọn điểm trung gian bên trái, bên phải Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  16. 16. Định nghĩa, tính chất Bài toán diện tích hình thang cong Hai phương pháp tính tích phân Ví dụ Tích phân suy rộng Tính chấtVí dụ Chia S thành 10 miền và chọn điểm trung gian bên trái, bên phải Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  17. 17. Định nghĩa, tính chất Bài toán diện tích hình thang cong Hai phương pháp tính tích phân Ví dụ Tích phân suy rộng Tính chấtVí dụ Chia S thành 30 miền và chọn điểm trung gian bên trái, bên phải Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  18. 18. Định nghĩa, tính chất Bài toán diện tích hình thang cong Hai phương pháp tính tích phân Ví dụ Tích phân suy rộng Tính chấtVí dụ Chia S thành 50 miền và chọn điểm trung gian bên trái, bên phải Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  19. 19. Định nghĩa, tính chất Bài toán diện tích hình thang cong Hai phương pháp tính tích phân Ví dụ Tích phân suy rộng Tính chấtVí dụ Bảng thống kê một số giá trị Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  20. 20. Định nghĩa, tính chất Bài toán diện tích hình thang cong Hai phương pháp tính tích phân Ví dụ Tích phân suy rộng Tính chấtTính chất I 1. Nếu các hàm f (x), g (x) khả tích trên [a, b] thì các hàm f (x) + g (x), k.f (x) với k là hằng số cũng khả tích trên [a, b] và b b b [f (x) + g (x)]dx = f (x)dx + g (x)dx a a a b b kf (x)dx = k f (x)dx a a 2. Nếu hàm f khả tích trên các đoạn [a, c], [c, b] thì nó cũng khả tích trên [a, b] và b c b f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx a a c b 3. Nếu f (x) 0, ∀x ∈ [a, b] thì f (x) dx 0 a Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  21. 21. Định nghĩa, tính chất Bài toán diện tích hình thang cong Hai phương pháp tính tích phân Ví dụ Tích phân suy rộng Tính chấtTính chất II b b 4. Nếu f (x) g (x) , ∀x ∈ [a, b] thì f (x)dx g (x)dx a a 5. Nếu m và M là giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm f (x) trên [a, b] thì b m(b − a) f (x)dx M(b − a) a a 6. Nếu f (x) là hàm lẻ thì f (x)dx = 0. −a a a Nếu f (x) là hàm chẵn thì f (x)dx = 2 f (x)dx −a 0 7. Công thức Newton- Leibnitz: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên [a, b] và có nguyên hàm là F (x). Khi đó b b f (x)dx = F (x)|a = F (b) − F (a) a Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  22. 22. Định nghĩa, tính chất Bài toán diện tích hình thang cong Hai phương pháp tính tích phân Ví dụ Tích phân suy rộng Tính chấtTính chất III 8. Công thức đạo hàm theo cận trên: Nếu f (x) liên tục trên [a, b] thì   x ϕ(x)   f (t)dt  = f (x)  f (t)dt  = f (x).ϕ (x)    a a Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  23. 23. Định nghĩa, tính chất Phương pháp đổi biến số Hai phương pháp tính tích phân Phương pháp tích phân từng phần Tích phân suy rộngPhương pháp đổi biển số Nếu f (x) là một hàm liên tục trên [a, b], x = ϕ(t) là một hàm xác định và có đạo hàm liên tục trên [α, β] với ϕ(α) = a, ϕ(β) = b thì b β f (x)dx = f [ϕ(t)].ϕ (t)dt a α Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  24. 24. Định nghĩa, tính chất Phương pháp đổi biến số Hai phương pháp tính tích phân Phương pháp tích phân từng phần Tích phân suy rộngVí dụ: a √ Tính I = a2 − x 2 dx 0 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  25. 25. Định nghĩa, tính chất Phương pháp đổi biến số Hai phương pháp tính tích phân Phương pháp tích phân từng phần Tích phân suy rộngVí dụ: a √ Tính I = a2 − x 2 dx 0 Giải: Phép đổi biến x = a sin x ta có: a2 − x 2 = a2 (1 − sin2 t) = a2 cos2 t, dx = a cos tdt π Đổi cận x = 0 ⇒ t = 0, x = a ⇒ t = . Do đó 2 π/ π/ π/ 2 2 2 2 a I = a cos t.a cos tdt = a2 cos2 tdt = (1 + cos 2t)dt 2 0 0 0 π/ a2 1 2 πa2 = t+ sin 2t = 2 2 0 4 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  26. 26. Định nghĩa, tính chất Phương pháp đổi biến số Hai phương pháp tính tích phân Phương pháp tích phân từng phần Tích phân suy rộngVí dụ: π/ 2 sin x Tính I = dx 0 1 + cos2 x Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  27. 27. Định nghĩa, tính chất Phương pháp đổi biến số Hai phương pháp tính tích phân Phương pháp tích phân từng phần Tích phân suy rộngVí dụ: π/ 2sin x Tính I = dx 0 1 + cos2 x Giải: Đặt t = cos x ⇒ dt = − sin xdx, đổi cận π x = 0 ⇒ t = 1, x = ⇒ t = 0 2 0 1 −dt dt 1 π I = = = arctgt|0 = 1 + t2 1+t 2 4 1 0 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  28. 28. Định nghĩa, tính chất Phương pháp đổi biến số Hai phương pháp tính tích phân Phương pháp tích phân từng phần Tích phân suy rộngPhương pháp tích phân từng phân Nếu u và v là các hàm số cùng với các đạo hàm của chúng liên tục trên [a, b] thì b b b f (x) dx = udv = uv |b a − vdu a a a Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  29. 29. Định nghĩa, tính chất Phương pháp đổi biến số Hai phương pháp tính tích phân Phương pháp tích phân từng phần Tích phân suy rộngPhương pháp tích phân từng phân Nếu u và v là các hàm số cùng với các đạo hàm của chúng liên tục trên [a, b] thì b b b f (x) dx = udv = uv |b a − vdu a a a b b b b Thật vậy, uv |b = a d (uv ) = (vdu + udv ) = vdu + udv a a a a 2 Ví dụ: Tính I = ln xdx 1 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  30. 30. Định nghĩa, tính chất Phương pháp đổi biến số Hai phương pháp tính tích phân Phương pháp tích phân từng phần Tích phân suy rộngPhương pháp tích phân từng phân Nếu u và v là các hàm số cùng với các đạo hàm của chúng liên tục trên [a, b] thì b b b f (x) dx = udv = uv |b a − vdu a a a b b b b Thật vậy, uv |b = a d (uv ) = (vdu + udv ) = vdu + udv a a a a 2 Ví dụ: Tính I = ln xdx 1 dx Giải: Đặt u = ln x, dv = dx ta có du = , v = x suy ra x 2 2 I = x ln x |1 − dx = 2 ln 2 − 1 1 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  31. 31. Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpBài toán Tính diện tích S miền vô hạn giới hạn bởi: đường cong y = f (x) ≥ 0 , trục hoành, đường thẳng x = a Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  32. 32. Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpBài toán Tính diện tích S miền vô hạn giới hạn bởi: đường cong y = f (x) ≥ 0 , trục hoành, đường thẳng x = a +∞ b S= f (x) dx = lim f (x) dx b→+∞ a a Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  33. 33. Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpTích phân suy rộng loại 1 Định nghĩa Cho hàm số y = f (x) khả tích trên đoạn [a, b], với mọi b > a. Tích phân +∞ b f (x) dx = lim f (x) dx b→+∞ a a được gọi là tích phân suy rộng loại 1. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  34. 34. Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpTích phân suy rộng loại 1 Định nghĩa Cho hàm số y = f (x) khả tích trên đoạn [a, b], với mọi b > a. Tích phân +∞ b f (x) dx = lim f (x) dx b→+∞ a a được gọi là tích phân suy rộng loại 1. Các tích phân sau cũng được gọi là tích phân suy rộng loại 1 a a f (x) dx = lim f (x) dx −∞ b→−∞ b +∞ a +∞ f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx −∞ −∞ a Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  35. 35. Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpSự hội tụ, phân kỳ của tích phân suy rộng loại 1 b Nếu giới hạn lim f (x) dx tồn tại hữu hạn thì tích phân b→+∞ a +∞ f (x) dx được gọi là hội tụ. Ngược lại, nếu tích phân không tồn tại a hoặc bằng vô cùng thì tích phân gọi là phân kỳ. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  36. 36. Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpSự hội tụ, phân kỳ của tích phân suy rộng loại 1 b Nếu giới hạn lim f (x) dx tồn tại hữu hạn thì tích phân b→+∞ a +∞ f (x) dx được gọi là hội tụ. Ngược lại, nếu tích phân không tồn tại a hoặc bằng vô cùng thì tích phân gọi là phân kỳ. Hai vấn đề đối với tích phân suy rộng Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  37. 37. Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpSự hội tụ, phân kỳ của tích phân suy rộng loại 1 b Nếu giới hạn lim f (x) dx tồn tại hữu hạn thì tích phân b→+∞ a +∞ f (x) dx được gọi là hội tụ. Ngược lại, nếu tích phân không tồn tại a hoặc bằng vô cùng thì tích phân gọi là phân kỳ. Hai vấn đề đối với tích phân suy rộng 1 Tính tích phân suy rộng Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  38. 38. Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpSự hội tụ, phân kỳ của tích phân suy rộng loại 1 b Nếu giới hạn lim f (x) dx tồn tại hữu hạn thì tích phân b→+∞ a +∞ f (x) dx được gọi là hội tụ. Ngược lại, nếu tích phân không tồn tại a hoặc bằng vô cùng thì tích phân gọi là phân kỳ. Hai vấn đề đối với tích phân suy rộng 1 Tính tích phân suy rộng 2 Khảo sát sự hội tụ Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  39. 39. Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpTính tích phân suy rộng (công thức newton-Leibnitz) Công thức Newton-Leibnitz Giả sử F (x) là nguyên hàm của hàm số f (x) trên [a, +∞) khi đó +∞ b f (x)dx = lim f (x)dx = lim (F (b) − F (a)) b→+∞ b→+∞ a a Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  40. 40. Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpTính tích phân suy rộng (công thức newton-Leibnitz) Công thức Newton-Leibnitz Giả sử F (x) là nguyên hàm của hàm số f (x) trên [a, +∞) khi đó +∞ b f (x)dx = lim f (x)dx = lim (F (b) − F (a)) b→+∞ b→+∞ a a Tích phân tồn tại khi và chỉ khi tồn tại lim F (b) := F (∞) b→+∞ +∞ +∞ f (x)dx = F (x)|a = F (+∞) − F (a) a Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  41. 41. Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpVí dụ 1 Tính diện tích S miền vô hạn giới hạn bởi: đường cong y = , trục x hoành, đường thẳng x = 1 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  42. 42. Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpVí dụ 1 Tính diện tích S miền vô hạn giới hạn bởi: đường cong y = , trục x hoành, đường thẳng x = 1 +∞ a 1 1 a S= dx = lim dx = lim (ln |x|) |1 = lim (ln |a|) = +∞ x a→+∞ x a→+∞ a→+∞ 1 1 S có diện tích là vô hạn Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  43. 43. Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpVí dụ 1 Tính diện tích S miền vô hạn giới hạn bởi: đường cong y = x2 +1 và trục hoành Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  44. 44. Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpVí dụ 1 Tính diện tích S miền vô hạn giới hạn bởi: đường cong y = x2 +1 và trục hoành +∞ +∞ 1 1 a S= dx = 2 dx = 2 lim arctan x |0 = π x2 + 2 x2 + 2 a→+∞ −∞ 0 S có diện tích là π Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  45. 45. Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpVí dụ +∞ Tính tích phân I = e −2x dx 1 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  46. 46. Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpVí dụ +∞ Tính tích phân I = e −2x dx 1 Ta có +∞ 1 +∞ e −∞ e −2 1 I = e −2x dx = − e −2x |1 = − − = 2 2 2 2e 2 1 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  47. 47. Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpVí dụ +∞ Tính tích phân I = e −2x dx 1 Ta có +∞ 1 +∞ e −∞ e −2 1 I = e −2x dx = − e −2x |1 = − − = 2 2 2 2e 2 1 +∞ dx Ví dụ 2: Tính I = 4 x 2 − 5x + 6 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  48. 48. Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpVí dụ +∞ Tính tích phân I = e −2x dx 1 Ta có +∞ 1 +∞ e −∞ e −2 1 I = e −2x dx = − e −2x |1 = − − = 2 2 2 2e 2 1 +∞ dx Ví dụ 2: Tính I = 4 x 2 − 5x + 6 Ta có +∞ +∞ 1 1 1 x −3 4− I = 2 − 5x + 6 dx = − dx = lim ln −ln x x −3 x −2 x→∞ x −2 4− 4 4 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  49. 49. Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpVí dụ +∞ Tính tích phân I = e −2x cos xdx 0 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  50. 50. Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpVí dụ +∞ Tính tích phân I = e −2x cos xdx 0 Đặt +∞ u = e −2x ⇒ du = −2e −2x dx −2x +∞ ⇒I = e sin x 0 +2 e −2x sin xdx dv = cos xdx ⇒ v = sin x 0 +∞ Ta có lim e −2x sin x = 0 suy ra I = 2 e −2x sin xdx x→+∞ 0 u = e −2x ⇒ du = −2e −2x dx Đặt dv = sin xdx ⇒ v = − cos x suy ra +∞ +∞ 2 I = −2 e −2x cos x 0 −4 e −2x cos xdx = 2 − 4I ⇒ I = 5 0 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  51. 51. Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpVí dụ +∞ arctan x Tính tích phân I = 3/2 dx 0 (1 + x 2 ) Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  52. 52. Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpVí dụ +∞ arctan x Tính tích phân I = 3/2 dx 0 (1 + x 2 )  dx x → 0 ⇒ t → 0 Đặt t = arctan x ⇒ dt = , đổi cận π 1 + x2  x → +∞ ⇒ t → 2 1 x = tan t ⇒ 1 + x 2 = cos2 t Suy ra +∞ +∞ π/2 arctan x arctan x dx π I = dx = √ = t cos tdt = −1 (1 + x 2) 3/2 1 + x2 1 + x2 2 0 0 0 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  53. 53. Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpVí dụ +∞ 1 Xét tích phân dx (a > 0) a xα Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  54. 54. Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpVí dụ +∞ 1 Xét tích phân dx (a > 0) a xα 1 Với α > 1 +∞ +∞ 1 1 1 1 dx = = xα 1 − α x α−1 a (α − 1) aα−1 a hữu hạn, khác 0 nên tích phân hội tụ. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  55. 55. Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpVí dụ +∞ 1 Xét tích phân dx (a > 0) a xα 1 Với α > 1 +∞ +∞ 1 1 1 1 dx = = xα 1 − α x α−1 a (α − 1) aα−1 a hữu hạn, khác 0 nên tích phân hội tụ. 2 Với α < 1 +∞ +∞ 1 x 1−α dx = = +∞ xα 1−α a a nên tích phân phân kỳ. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  56. 56. Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpVí dụ +∞ 1 Xét tích phân dx (a > 0) a xα 1 Với α > 1 +∞ +∞ 1 1 1 1 dx = = xα 1 − α x α−1 a (α − 1) aα−1 a hữu hạn, khác 0 nên tích phân hội tụ. 2 Với α < 1 +∞ +∞ 1 x 1−α dx = = +∞ xα 1−α a a nên tích phân phân kỳ. 3 Với α = 1 +∞ 1 +∞ dx = ln |x||a = +∞ x a nên tích phân phân kỳ. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  57. 57. Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpVí dụ +∞ 1 Vậy tích phân I = dx (α > 0) hội tu khi α > 1 và phân kỳ khi a xα α 1 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  58. 58. Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpTiêu chuẩn hội tụ Định lý so sách 1 Giả sử các hàm số f (x) , g (x) khả tích trên [a, b] và 0 f (x) g (x) , x a. Khi đó +∞ +∞ 1 Nếu g (x) dx hội tụ thì f (x) dx hội tụ. a a Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  59. 59. Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpTiêu chuẩn hội tụ Định lý so sách 1 Giả sử các hàm số f (x) , g (x) khả tích trên [a, b] và 0 f (x) g (x) , x a. Khi đó +∞ +∞ 1 Nếu g (x) dx hội tụ thì f (x) dx hội tụ. a a +∞ +∞ 2 Nếu f (x) dx phân kỳ thì g (x) dx phân kỳ. a a Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  60. 60. Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpTiêu chuẩn hội tụ Định lý so sách 1 Giả sử các hàm số f (x) , g (x) khả tích trên [a, b] và 0 f (x) g (x) , x a. Khi đó +∞ +∞ 1 Nếu g (x) dx hội tụ thì f (x) dx hội tụ. a a +∞ +∞ 2 Nếu f (x) dx phân kỳ thì g (x) dx phân kỳ. a a +∞ +∞ dx Để khảo sát sự hội tụ của I = f (x)dx thường so sánh với đã a a xα biết kết quả. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  61. 61. Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpChú ý: Trong định lý so sánh 1 1 f (x) , g (x) là các hàm số không âm. 2 Chỉ cần tồn tại α sao cho α a (∀x ∈ [α, +∞)) f (x) g (x) +∞ dx 3 Cận dưới của tích phân là số dương a > 0 a xα Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  62. 62. Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpChú ý: Trong định lý so sánh 1 1 f (x) , g (x) là các hàm số không âm. 2 Chỉ cần tồn tại α sao cho α a (∀x ∈ [α, +∞)) f (x) g (x) +∞ dx 3 Cận dưới của tích phân là số dương a > 0 a xα +∞ dx Ví dụ 1: Khảo sát sự hội tụ của tích phân I = 1 2x 2 + sin2 3x Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  63. 63. Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpChú ý: Trong định lý so sánh 1 1 f (x) , g (x) là các hàm số không âm. 2 Chỉ cần tồn tại α sao cho α a (∀x ∈ [α, +∞)) f (x) g (x) +∞ dx 3 Cận dưới của tích phân là số dương a > 0 a xα +∞ dx Ví dụ 1: Khảo sát sự hội tụ của tích phân I = 1 2x 2 + sin2 3x 1 1 +∞ dx Ta có f (x) = = g (x). Vì hội tụ, theo định 2x 2 + sin2 3x 2x 2 1 2x 2 lý so sánh 1 suy ra I hội tụ. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  64. 64. Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpChú ý: Trong định lý so sánh 1 1 f (x) , g (x) là các hàm số không âm. 2 Chỉ cần tồn tại α sao cho α a (∀x ∈ [α, +∞)) f (x) g (x) +∞ dx 3 Cận dưới của tích phân là số dương a > 0 a xα +∞ dx Ví dụ 1: Khảo sát sự hội tụ của tích phân I = 1 2x 2 + sin2 3x 1 1 +∞ dx Ta có f (x) = = g (x). Vì hội tụ, theo định 2x 2 + sin2 3x 2x 2 1 2x 2 lý so sánh 1 suy ra I hội tụ. +∞ ln3 xdx Ví dụ 2: Khảo sát sự hội tụ của tích phân I = 1 x +5 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  65. 65. Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpChú ý: Trong định lý so sánh 1 1 f (x) , g (x) là các hàm số không âm. 2 Chỉ cần tồn tại α sao cho α a (∀x ∈ [α, +∞)) f (x) g (x) +∞ dx 3 Cận dưới của tích phân là số dương a > 0 a xα +∞ dx Ví dụ 1: Khảo sát sự hội tụ của tích phân I = 1 2x 2 + sin2 3x 1 1 +∞ dx Ta có f (x) = = g (x). Vì hội tụ, theo định 2x 2 + sin2 3x 2x 2 1 2x 2 lý so sánh 1 suy ra I hội tụ. +∞ ln3 xdx Ví dụ 2: Khảo sát sự hội tụ của tích phân I = 1 x +5 ln3 x 1 1 +∞ dx Ta có f (x) = > > = g (x) , ∀x > 5. Vì phân kỳ, x +5 x +5 2x 1 2x theo định lý so sách 1 suy ra I phân kỳ. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  66. 66. Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpĐịnh lý so sánh 2 Định lý so sách 2 Giả sử các hàm số f (x) , g (x) không âm, khả tích trên [a, b] và f (x) lim = k. Khi đó x→+∞ g (x) +∞ +∞ Nếu 0 < k < +∞ thì các tích phân f (x) dx và g (x) dx cùng a a hội tụ hay cùng phân kỳ. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  67. 67. Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpĐịnh lý so sánh 2 Định lý so sách 2 Giả sử các hàm số f (x) , g (x) không âm, khả tích trên [a, b] và f (x) lim = k. Khi đó x→+∞ g (x) +∞ +∞ Nếu 0 < k < +∞ thì các tích phân f (x) dx và g (x) dx cùng a a hội tụ hay cùng phân kỳ. +∞ +∞ Nếu k = 0 và tích phân g (x) dx hội tụ thì tích phân f (x) dx a a hội tụ. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  68. 68. Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpĐịnh lý so sánh 2 Định lý so sách 2 Giả sử các hàm số f (x) , g (x) không âm, khả tích trên [a, b] và f (x) lim = k. Khi đó x→+∞ g (x) +∞ +∞ Nếu 0 < k < +∞ thì các tích phân f (x) dx và g (x) dx cùng a a hội tụ hay cùng phân kỳ. +∞ +∞ Nếu k = 0 và tích phân g (x) dx hội tụ thì tích phân f (x) dx a a hội tụ. +∞ k = +∞ và tích phân g (x) dx phân kỳ thì tích phân a +∞ f (x) dx phân kỳ. a Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  69. 69. Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpChú ý: Cách sử dụng định lý so sánh 2 1 Kiểm tra f (x) là các hàm số không âm. 2 Tìm hàm g (x) bằng cách tìm hàm tương đương của f (x) khi x → +∞ f (x) 3 Tính K = lim và kết luận x→+∞ g (x) Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  70. 70. Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpChú ý: Cách sử dụng định lý so sánh 2 1 Kiểm tra f (x) là các hàm số không âm. 2 Tìm hàm g (x) bằng cách tìm hàm tương đương của f (x) khi x → +∞ f (x) 3 Tính K = lim và kết luận x→+∞ g (x) x→+∞ +∞ Hai hàm f (x) , g (x) không âm: Nếu f (x) g (x) thì f (x) dx và a +∞ g (x) dx cùng tính chất trên. a Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  71. 71. Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpChú ý: Cách sử dụng định lý so sánh 2 1 Kiểm tra f (x) là các hàm số không âm. 2 Tìm hàm g (x) bằng cách tìm hàm tương đương của f (x) khi x → +∞ f (x) 3 Tính K = lim và kết luận x→+∞ g (x) x→+∞ +∞ Hai hàm f (x) , g (x) không âm: Nếu f (x) g (x) thì f (x) dx và a +∞ g (x) dx cùng tính chất trên. a √ +∞ x 3 dx Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của tích phân I = 1 1 + x2 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  72. 72. Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpChú ý: Cách sử dụng định lý so sánh 2 1 Kiểm tra f (x) là các hàm số không âm. 2 Tìm hàm g (x) bằng cách tìm hàm tương đương của f (x) khi x → +∞ f (x) 3 Tính K = lim và kết luận x→+∞ g (x) x→+∞ +∞ Hai hàm f (x) , g (x) không âm: Nếu f (x) g (x) thì f (x) dx và a +∞ g (x) dx cùng tính chất trên. a √ +∞ x 3 dx Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của tích phân I = 2 1 1+x  √ 3  x  1 + x2  +∞ dx Giải: Ta có lim   1  = +∞. Do  phân kỳ, nên theo định x→+∞ 1 x x lý so sánh 2 suy ra I phân kỳ. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  73. 73. Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpTrường hợp f (x) có dấu bất kỳ Định lý +∞ Giả sử hàm số f (x) có dấu bất kỳ. Khi đó nếu |f (x)| dx hội tụ a +∞ thì f (x) dx cũng hội tụ. a Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  74. 74. Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpTrường hợp f (x) có dấu bất kỳ Định lý +∞ Giả sử hàm số f (x) có dấu bất kỳ. Khi đó nếu |f (x)| dx hội tụ a +∞ thì f (x) dx cũng hội tụ. a Định nghĩa: +∞ +∞ Nếu |f (x)| dx hội tụ thì f (x) dx hội tụ và được gọi a a +∞ f (x) dx hội tụ tuyệt đối. a Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  75. 75. Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpTrường hợp f (x) có dấu bất kỳ Định lý +∞ Giả sử hàm số f (x) có dấu bất kỳ. Khi đó nếu |f (x)| dx hội tụ a +∞ thì f (x) dx cũng hội tụ. a Định nghĩa: +∞ +∞ Nếu |f (x)| dx hội tụ thì f (x) dx hội tụ và được gọi a a +∞ f (x) dx hội tụ tuyệt đối. a +∞ +∞ +∞ Nếu f (x) dx hội tụ nhưng |f (x)| dx phân kỳ thì f (x) dx a a a được gọi là bán hội tụ. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  76. 76. Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpChú ý Trường hợp f (x) có dấu bất kỳ, để khảo sát sự hội tụ của tích phân +∞ f (x) dx ta khảo sát sự hội tụ của tích phân có hàm không âm a +∞ |f (x)| dx. Khi đó ta có thể sử dụng được các định lý so sánh. a Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  77. 77. Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpVí dụ: +∞ sin xdx Khảo sát sự hội tụ của tích phân I = 1 x 2 + ln 2x Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  78. 78. Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpVí dụ: +∞ sin xdx Khảo sát sự hội tụ của tích phân I = 1 x 2 + ln 2x Giải: Nếu áp dụng định lý so sánh đánh giá sin x 1 x→+∞ 1 f (x) = = g (x) x2 + ln 2x x2 + ln 2x x2 suy ra I hội tụ, Kết quả này sai vì f (x) có dấu bất kỳ. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  79. 79. Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpVí dụ: +∞ sin xdx Khảo sát sự hội tụ của tích phân I = 1 x 2 + ln 2x Giải: Nếu áp dụng định lý so sánh đánh giá sin x 1 x→+∞ 1 f (x) = = g (x) x2 + ln 2x x2 + ln 2x x2 suy ra I hội tụ, Kết quả này sai vì f (x) có dấu bất kỳ. +∞ sin x Xét tích phân có hàm không âm J = dx, ta có 1 x 2 + ln 2x sin x 1 x→+∞ 1 |f (x)| = x 2 + ln 2x x 2 + ln 2x x2 +∞ 1 Do dx hội tụ, do đó J hội tụ. Áp dụng định lý suy ra I hội tụ tuyệt 1 x2 đối. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  80. 80. Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpChú ý a +∞ 1 Các tích phân f (x) dx, f (x) dx cũng có kết quả tương tự. −∞ −∞ Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  81. 81. Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpChú ý a +∞ 1 Các tích phân f (x) dx, f (x) dx cũng có kết quả tương tự. −∞ −∞ +∞ 2 Với các tích phân chỉ có một điểm suy rộng f (x)dx khi tách có a +∞ +∞ dạng vô định G (x)|a + H(x)|a = ∞ − ∞ chưa kết luận được tích phân ban đầu phân kỳ. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  82. 82. Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpChú ý a +∞ 1 Các tích phân f (x) dx, f (x) dx cũng có kết quả tương tự. −∞ −∞ +∞ 2 Với các tích phân chỉ có một điểm suy rộng f (x)dx khi tách có a +∞ +∞ dạng vô định G (x)|a + H(x)|a = ∞ − ∞ chưa kết luận được tích phân ban đầu phân kỳ. +∞ 3 Với tích phân có hai điểm suy rộng f (x) dx khi tách ra thành −∞ a +∞ các tích phân f (x)dx + f (x)dx chỉ cần một trong hai tích −∞ a phân phân kỳ thì tích phân ban đầu phân kỳ. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  83. 83. Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpĐịnh nghĩa Định nghĩa 1 Điểm x0 được gọi là điểm bất thường (hay điểm kỳ dị) của đường cong y = f (x) nếu lim f (x) = ∞ x→x0 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  84. 84. Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpĐịnh nghĩa Định nghĩa 1 Điểm x0 được gọi là điểm bất thường (hay điểm kỳ dị) của đường cong y = f (x) nếu lim f (x) = ∞ x→x0 Giả sử trên [a, b] hàm số y = f (x) có một điểm bất thường duy nhất là x0 = b Khi đó b b−t f (x)dx := lim f (x)dx t→0 a a (0 < t < b − a) được gọi là tích phân suy rộng loại hai của f (x) trên [a, b] Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  85. 85. Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpĐịnh nghĩa Giả sử trên [a, b] hàm số y = f (x) có một điểm bất thường duy nhất là x0 = a Khi đó tích phân suy rộng loại hai của f (x) trên [a, b] là b b f (x)dx := lim f (x)dx t→0 a a+t trong đó (0 < t < b − a) Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  86. 86. Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpĐịnh nghĩa Giả sử trên [a, b] hàm số y = f (x) có một điểm bất thường duy nhất là c ∈ [a, b] Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  87. 87. Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpĐịnh nghĩa Giả sử trên [a, b] hàm số y = f (x) có một điểm bất thường duy nhất là c ∈ [a, b] Khi đó tích phân suy rộng loại hai của f (x) trên [a, b] là b c b f (x)dx = f (x)dx+ f (x)dx a a c c−t b = lim f (x)dx + lim f (x)dx t→0 t→0 a c+t Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  88. 88. Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpĐịnh nghĩa Giả sử trên [a, b] hàm số y = f (x) có một điểm bất thường duy nhất là c ∈ [a, b] Khi đó tích phân suy rộng loại hai của f (x) trên [a, b] là b c b f (x)dx = f (x)dx+ f (x)dx a a c c−t b = lim f (x)dx + lim f (x)dx t→0 t→0 a c+t Tích phân vế trái là hội tụ khi và chỉ khi cả hai tích phân ở vế phải hội tụ. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  89. 89. Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpNhận xét 1 Các khái niệm hội tụ, phân kỳ giống như trong tích phân suy rộng loại một. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  90. 90. Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpNhận xét 1 Các khái niệm hội tụ, phân kỳ giống như trong tích phân suy rộng loại một. 2 Tương tự tích phân suy rộng loại một: có hai tiêu chuẩn so sánh cho tích phân hàm không âm. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  91. 91. Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpNhận xét 1 Các khái niệm hội tụ, phân kỳ giống như trong tích phân suy rộng loại một. 2 Tương tự tích phân suy rộng loại một: có hai tiêu chuẩn so sánh cho tích phân hàm không âm. 3 Khái niệm hội tụ tuyệt đối cũng tương tự trong tích phân suy rộng loại một: Hội tụ tuyệt đối thì hội tụ. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  92. 92. Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpVí dụ 0 dx Tính I = √ −1 1 − x2 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  93. 93. Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpVí dụ 0 dx Tính I = √ −1 1 − x2 Giải: Ta có điểm x = −1 là điểm bất thường nên 0 dx 0 dx 0 I = √ = lim √ = lim arcsin x |−1+ε −1 1 − x2 ε→0 −1+ε 1 − x2 ε→0 π = lim (− arcsin (−1 + ε)) = ε→0 2 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
  94. 94. Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1 Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr Tích phân suy rộng Bài tậpVí dụ 3 dx Tính tích phân I = 0 x −1 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH

×