• Save
Chuong8
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
 

Chuong8

on

  • 1,325 views

 

Statistics

Views

Total Views
1,325
Views on SlideShare
627
Embed Views
698

Actions

Likes
0
Downloads
0
Comments
0

3 Embeds 698

http://tuongphuongtn.wordpress.com 689
https://tuongphuongtn.wordpress.com 7
http://webcache.googleusercontent.com 2

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

Chuong8 Chuong8 Presentation Transcript

  • Nguyên hàm và tích phân bất định Hai phương pháp tính tích phân Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Ngày 17 tháng 11 năm 2010 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Hai phương pháp tính tích phân Phép tính nguyên hàm của một số hàm sốNỘI DUNG CHÍNH Nguyên hàm và tích phân bất định Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Hai phương pháp tính tích phân Phép tính nguyên hàm của một số hàm sốNỘI DUNG CHÍNH Nguyên hàm và tích phân bất định Các phương pháp tính tích phân Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Hai phương pháp tính tích phân Phép tính nguyên hàm của một số hàm sốNỘI DUNG CHÍNH Nguyên hàm và tích phân bất định Các phương pháp tính tích phân Phép tính nguyên hàm một số hàm số Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số một biến Hai phương pháp tính tích phân Tích phân bất định Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Bảng tích phân của các hàm số thông dụng.Nguyên hàm của hàm số một biến Định nghĩa Cho hàm số y = f (x) xác định trong khoảng mở (a; b) Hàm số y = F (x) xác định trong (a; b) được gọi là nguyên hàm của hàm số y = f (x) nếu y = F (x) có đạo hàm tại mọi điểm thuộc (a; b) và F (x) = f (x) hay dF (x) = f (x)dx với mọi x ∈ (a; b). Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số một biến Hai phương pháp tính tích phân Tích phân bất định Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Bảng tích phân của các hàm số thông dụng.Nguyên hàm của hàm số một biến Định nghĩa Cho hàm số y = f (x) xác định trong khoảng mở (a; b) Hàm số y = F (x) xác định trong (a; b) được gọi là nguyên hàm của hàm số y = f (x) nếu y = F (x) có đạo hàm tại mọi điểm thuộc (a; b) và F (x) = f (x) hay dF (x) = f (x)dx với mọi x ∈ (a; b). Hai nguyên hàm khác nhau của cùng một hàm số chỉ sai khác nhau một hằng số. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số một biến Hai phương pháp tính tích phân Tích phân bất định Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Bảng tích phân của các hàm số thông dụng.Nguyên hàm của hàm số một biến Định nghĩa Cho hàm số y = f (x) xác định trong khoảng mở (a; b) Hàm số y = F (x) xác định trong (a; b) được gọi là nguyên hàm của hàm số y = f (x) nếu y = F (x) có đạo hàm tại mọi điểm thuộc (a; b) và F (x) = f (x) hay dF (x) = f (x)dx với mọi x ∈ (a; b). Hai nguyên hàm khác nhau của cùng một hàm số chỉ sai khác nhau một hằng số. Hàm số y = F (x) là nguyên hàm của hàm số y = f (x) trên khoảng đóng [a; b] nếu: Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số một biến Hai phương pháp tính tích phân Tích phân bất định Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Bảng tích phân của các hàm số thông dụng.Nguyên hàm của hàm số một biến Định nghĩa Cho hàm số y = f (x) xác định trong khoảng mở (a; b) Hàm số y = F (x) xác định trong (a; b) được gọi là nguyên hàm của hàm số y = f (x) nếu y = F (x) có đạo hàm tại mọi điểm thuộc (a; b) và F (x) = f (x) hay dF (x) = f (x)dx với mọi x ∈ (a; b). Hai nguyên hàm khác nhau của cùng một hàm số chỉ sai khác nhau một hằng số. Hàm số y = F (x) là nguyên hàm của hàm số y = f (x) trên khoảng đóng [a; b] nếu: F (x) là nguyên hàm của f (x) trên (a; b) và Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số một biến Hai phương pháp tính tích phân Tích phân bất định Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Bảng tích phân của các hàm số thông dụng.Nguyên hàm của hàm số một biến Định nghĩa Cho hàm số y = f (x) xác định trong khoảng mở (a; b) Hàm số y = F (x) xác định trong (a; b) được gọi là nguyên hàm của hàm số y = f (x) nếu y = F (x) có đạo hàm tại mọi điểm thuộc (a; b) và F (x) = f (x) hay dF (x) = f (x)dx với mọi x ∈ (a; b). Hai nguyên hàm khác nhau của cùng một hàm số chỉ sai khác nhau một hằng số. Hàm số y = F (x) là nguyên hàm của hàm số y = f (x) trên khoảng đóng [a; b] nếu: F (x) là nguyên hàm của f (x) trên (a; b) và F (a + 0) = f (a); F (b − 0) = f (b). Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số một biến Hai phương pháp tính tích phân Tích phân bất định Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Bảng tích phân của các hàm số thông dụng.Nguyên hàm của hàm số một biến Định nghĩa Cho hàm số y = f (x) xác định trong khoảng mở (a; b) Hàm số y = F (x) xác định trong (a; b) được gọi là nguyên hàm của hàm số y = f (x) nếu y = F (x) có đạo hàm tại mọi điểm thuộc (a; b) và F (x) = f (x) hay dF (x) = f (x)dx với mọi x ∈ (a; b). Hai nguyên hàm khác nhau của cùng một hàm số chỉ sai khác nhau một hằng số. Hàm số y = F (x) là nguyên hàm của hàm số y = f (x) trên khoảng đóng [a; b] nếu: F (x) là nguyên hàm của f (x) trên (a; b) và F (a + 0) = f (a); F (b − 0) = f (b). Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số một biến Hai phương pháp tính tích phân Tích phân bất định Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Bảng tích phân của các hàm số thông dụng.Nguyên hàm của hàm số một biến Định nghĩa Cho hàm số y = f (x) xác định trong khoảng mở (a; b) Hàm số y = F (x) xác định trong (a; b) được gọi là nguyên hàm của hàm số y = f (x) nếu y = F (x) có đạo hàm tại mọi điểm thuộc (a; b) và F (x) = f (x) hay dF (x) = f (x)dx với mọi x ∈ (a; b). Hai nguyên hàm khác nhau của cùng một hàm số chỉ sai khác nhau một hằng số. Hàm số y = F (x) là nguyên hàm của hàm số y = f (x) trên khoảng đóng [a; b] nếu: F (x) là nguyên hàm của f (x) trên (a; b) và F (a + 0) = f (a); F (b − 0) = f (b). x3 Ví dụ. Nguyên hàm của hàm số f (x) = x 2 là hàm số F (x) = 3 . Nguyên hàm của hàm số f (x) = sinx là hàm số F (x) = −cosx Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số một biến Hai phương pháp tính tích phân Tích phân bất định Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Bảng tích phân của các hàm số thông dụng.tích phân bất định Định nghĩa Nếu F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên (a; b) thì tập hợp các nguyên hàm của hàm số f (x) là F (x) + C , C là hằng số tùy ý. Họ vô số các nguyên hàm của f (x) đó được gọi là tích phân bất định của f (x), x ∈ (a; b) và kí hiệu là f (x)dx = F (x) + C Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số một biến Hai phương pháp tính tích phân Tích phân bất định Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Bảng tích phân của các hàm số thông dụng.tích phân bất định Định nghĩa Nếu F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên (a; b) thì tập hợp các nguyên hàm của hàm số f (x) là F (x) + C , C là hằng số tùy ý. Họ vô số các nguyên hàm của f (x) đó được gọi là tích phân bất định của f (x), x ∈ (a; b) và kí hiệu là f (x)dx = F (x) + C Các tính chất đơn giản 1. f (x)dx = f (x). Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số một biến Hai phương pháp tính tích phân Tích phân bất định Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Bảng tích phân của các hàm số thông dụng.tích phân bất định Định nghĩa Nếu F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên (a; b) thì tập hợp các nguyên hàm của hàm số f (x) là F (x) + C , C là hằng số tùy ý. Họ vô số các nguyên hàm của f (x) đó được gọi là tích phân bất định của f (x), x ∈ (a; b) và kí hiệu là f (x)dx = F (x) + C Các tính chất đơn giản 1. f (x)dx = f (x). 2.d f (x)dx = f (x)dx Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số một biến Hai phương pháp tính tích phân Tích phân bất định Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Bảng tích phân của các hàm số thông dụng.tích phân bất định Định nghĩa Nếu F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên (a; b) thì tập hợp các nguyên hàm của hàm số f (x) là F (x) + C , C là hằng số tùy ý. Họ vô số các nguyên hàm của f (x) đó được gọi là tích phân bất định của f (x), x ∈ (a; b) và kí hiệu là f (x)dx = F (x) + C Các tính chất đơn giản 1. f (x)dx = f (x). 2.d f (x)dx = f (x)dx 3.Nếuf (x)là hàm khả vi thì f (x)dx = f (x) + C Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số một biến Hai phương pháp tính tích phân Tích phân bất định Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Bảng tích phân của các hàm số thông dụng.tích phân bất định Định nghĩa Nếu F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên (a; b) thì tập hợp các nguyên hàm của hàm số f (x) là F (x) + C , C là hằng số tùy ý. Họ vô số các nguyên hàm của f (x) đó được gọi là tích phân bất định của f (x), x ∈ (a; b) và kí hiệu là f (x)dx = F (x) + C Các tính chất đơn giản 1. f (x)dx = f (x). 2.d f (x)dx = f (x)dx 3.Nếuf (x)là hàm khả vi thì f (x)dx = f (x) + C 4.Nếuf (x)là hàm khả vi thì df (x) = f (x) + C Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số một biến Hai phương pháp tính tích phân Tích phân bất định Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Bảng tích phân của các hàm số thông dụng.tích phân bất định Định nghĩa Nếu F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên (a; b) thì tập hợp các nguyên hàm của hàm số f (x) là F (x) + C , C là hằng số tùy ý. Họ vô số các nguyên hàm của f (x) đó được gọi là tích phân bất định của f (x), x ∈ (a; b) và kí hiệu là f (x)dx = F (x) + C Các tính chất đơn giản 1. f (x)dx = f (x). 2.d f (x)dx = f (x)dx 3.Nếuf (x)là hàm khả vi thì f (x)dx = f (x) + C 4.Nếuf (x)là hàm khả vi thì df (x) = f (x) + C 5. αf (x)dx = α f (x)dx 6. (f (x) + g (x)) dx = f (x)dx+ g (x)dx Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số một biến Hai phương pháp tính tích phân Tích phân bất định Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Bảng tích phân của các hàm số thông dụng.Tích phân một số hàm cơ bản Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Phương pháp đổi biến số Hai phương pháp tính tích phân Phương pháp tích phân từng phần Phép tính nguyên hàm của một số hàm sốPhương pháp đổi biến số Nếu tồn tại hàm hợp f (ϕ(x)) và hàm t = ϕ(x) liên tục trên đoạn [a; b] và khả vi trong khoảng (a; b), thì f (ϕ(x)) · ϕ (x)dx = f (t)dt t=ϕ(x) (1) Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Phương pháp đổi biến số Hai phương pháp tính tích phân Phương pháp tích phân từng phần Phép tính nguyên hàm của một số hàm sốPhương pháp đổi biến số Nếu tồn tại hàm hợp f (ϕ(x)) và hàm t = ϕ(x) liên tục trên đoạn [a; b] và khả vi trong khoảng (a; b), thì f (ϕ(x)) · ϕ (x)dx = f (t)dt t=ϕ(x) (1) Nếu tồn tại hàm số ngược x = ϕ−1 (t) của hàm t = ϕ(x) thì f (t)dt = f (ϕ(x))ϕ (x)dx x=ϕ−1 (t) Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Phương pháp đổi biến số Hai phương pháp tính tích phân Phương pháp tích phân từng phần Phép tính nguyên hàm của một số hàm sốPhương pháp đổi biến số Nếu tồn tại hàm hợp f (ϕ(x)) và hàm t = ϕ(x) liên tục trên đoạn [a; b] và khả vi trong khoảng (a; b), thì f (ϕ(x)) · ϕ (x)dx = f (t)dt t=ϕ(x) (1) Nếu tồn tại hàm số ngược x = ϕ−1 (t) của hàm t = ϕ(x) thì f (t)dt = f (ϕ(x))ϕ (x)dx x=ϕ−1 (t) hay f (x)dx = f (ϕ(t))ϕ (t)dt t=ϕ−1 (x) (2) Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Phương pháp đổi biến số Hai phương pháp tính tích phân Phương pháp tích phân từng phần Phép tính nguyên hàm của một số hàm sốPhương pháp đổi biến số Nếu tồn tại hàm hợp f (ϕ(x)) và hàm t = ϕ(x) liên tục trên đoạn [a; b] và khả vi trong khoảng (a; b), thì f (ϕ(x)) · ϕ (x)dx = f (t)dt t=ϕ(x) (1) Nếu tồn tại hàm số ngược x = ϕ−1 (t) của hàm t = ϕ(x) thì f (t)dt = f (ϕ(x))ϕ (x)dx x=ϕ−1 (t) hay f (x)dx = f (ϕ(t))ϕ (t)dt t=ϕ−1 (x) (2) dx Ví dụ 1. Tính I = sin x Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Phương pháp đổi biến số Hai phương pháp tính tích phân Phương pháp tích phân từng phần Phép tính nguyên hàm của một số hàm sốPhương pháp đổi biến số Nếu tồn tại hàm hợp f (ϕ(x)) và hàm t = ϕ(x) liên tục trên đoạn [a; b] và khả vi trong khoảng (a; b), thì f (ϕ(x)) · ϕ (x)dx = f (t)dt t=ϕ(x) (1) Nếu tồn tại hàm số ngược x = ϕ−1 (t) của hàm t = ϕ(x) thì f (t)dt = f (ϕ(x))ϕ (x)dx x=ϕ−1 (t) hay f (x)dx = f (ϕ(t))ϕ (t)dt t=ϕ−1 (x) (2) dx Ví dụ 1. Tính I = sin x dx I = sin x Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Phương pháp đổi biến số Hai phương pháp tính tích phân Phương pháp tích phân từng phần Phép tính nguyên hàm của một số hàm sốPhương pháp đổi biến số Nếu tồn tại hàm hợp f (ϕ(x)) và hàm t = ϕ(x) liên tục trên đoạn [a; b] và khả vi trong khoảng (a; b), thì f (ϕ(x)) · ϕ (x)dx = f (t)dt t=ϕ(x) (1) Nếu tồn tại hàm số ngược x = ϕ−1 (t) của hàm t = ϕ(x) thì f (t)dt = f (ϕ(x))ϕ (x)dx x=ϕ−1 (t) hay f (x)dx = f (ϕ(t))ϕ (t)dt t=ϕ−1 (x) (2) dx Ví dụ 1. Tính I = sin x dx sin xdx I = = sin x sin2 x Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Phương pháp đổi biến số Hai phương pháp tính tích phân Phương pháp tích phân từng phần Phép tính nguyên hàm của một số hàm sốPhương pháp đổi biến số Nếu tồn tại hàm hợp f (ϕ(x)) và hàm t = ϕ(x) liên tục trên đoạn [a; b] và khả vi trong khoảng (a; b), thì f (ϕ(x)) · ϕ (x)dx = f (t)dt t=ϕ(x) (1) Nếu tồn tại hàm số ngược x = ϕ−1 (t) của hàm t = ϕ(x) thì f (t)dt = f (ϕ(x))ϕ (x)dx x=ϕ−1 (t) hay f (x)dx = f (ϕ(t))ϕ (t)dt t=ϕ−1 (x) (2) dx Ví dụ 1. Tính I = sin x dx sin xdx dcosx I = = =− sin x sin2 x 1 − cos 2 x Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Phương pháp đổi biến số Hai phương pháp tính tích phân Phương pháp tích phân từng phần Phép tính nguyên hàm của một số hàm sốPhương pháp đổi biến số Nếu tồn tại hàm hợp f (ϕ(x)) và hàm t = ϕ(x) liên tục trên đoạn [a; b] và khả vi trong khoảng (a; b), thì f (ϕ(x)) · ϕ (x)dx = f (t)dt t=ϕ(x) (1) Nếu tồn tại hàm số ngược x = ϕ−1 (t) của hàm t = ϕ(x) thì f (t)dt = f (ϕ(x))ϕ (x)dx x=ϕ−1 (t) hay f (x)dx = f (ϕ(t))ϕ (t)dt t=ϕ−1 (x) (2) dx Ví dụ 1. Tính I = sin x dx sin xdx dcosx dt I = = =− =− sin x sin2 x 1 − cos 2 x 1 − t2 1 dt dt = − 2 t −1 t +1 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Phương pháp đổi biến số Hai phương pháp tính tích phân Phương pháp tích phân từng phần Phép tính nguyên hàm của một số hàm sốPhương pháp đổi biến số Nếu tồn tại hàm hợp f (ϕ(x)) và hàm t = ϕ(x) liên tục trên đoạn [a; b] và khả vi trong khoảng (a; b), thì f (ϕ(x)) · ϕ (x)dx = f (t)dt t=ϕ(x) (1) Nếu tồn tại hàm số ngược x = ϕ−1 (t) của hàm t = ϕ(x) thì f (t)dt = f (ϕ(x))ϕ (x)dx x=ϕ−1 (t) hay f (x)dx = f (ϕ(t))ϕ (t)dt t=ϕ−1 (x) (2) dx Ví dụ 1. Tính I = sin x dx sin xdx dcosx dt I = = =− =− sin x sin2 x 1 − cos 2 x 1 − t2 1 dt dt = − 2 t −1 t +1 1 cosx − 1 = ln +C 2 cosx + 1 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Phương pháp đổi biến số Hai phương pháp tính tích phân Phương pháp tích phân từng phần Phép tính nguyên hàm của một số hàm sốPhương pháp đổi biến số Nếu tồn tại hàm hợp f (ϕ(x)) và hàm t = ϕ(x) liên tục trên đoạn [a; b] và khả vi trong khoảng (a; b), thì f (ϕ(x)) · ϕ (x)dx = f (t)dt t=ϕ(x) (1) Nếu tồn tại hàm số ngược x = ϕ−1 (t) của hàm t = ϕ(x) thì f (t)dt = f (ϕ(x))ϕ (x)dx x=ϕ−1 (t) hay f (x)dx = f (ϕ(t))ϕ (t)dt t=ϕ−1 (x) (2) dx Ví dụ 1. Tính I = sin x dx sin xdx dcosx dt I = = 2 =− =− sin x sin x 1 − cos 2 x 1 − t2 1 dt dt = − 2 t −1 t +1 1 cosx − 1 1 x = ln + C = ln tan +C 2 cosx + 1 2 2 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Phương pháp đổi biến số Hai phương pháp tính tích phân Phương pháp tích phân từng phần Phép tính nguyên hàm của một số hàm sốPhương pháp đổi biến số Nếu tồn tại hàm hợp f (ϕ(x)) và hàm t = ϕ(x) liên tục trên đoạn [a; b] và khả vi trong khoảng (a; b), thì f (ϕ(x)) · ϕ (x)dx = f (t)dt t=ϕ(x) (1) Nếu tồn tại hàm số ngược x = ϕ−1 (t) của hàm t = ϕ(x) thì f (t)dt = f (ϕ(x))ϕ (x)dx x=ϕ−1 (t) hay f (x)dx = f (ϕ(t))ϕ (t)dt t=ϕ−1 (x) (2) dx Ví dụ 1. Tính I = sin x dx sin xdx dcosx dt I = = 2 =− =− sin x sin x 1 − cos 2 x 1 − t2 1 dt dt = − 2 t −1 t +1 1 cosx − 1 1 x = ln + C = ln tan +C 2 cosx + 1 2 2 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Phương pháp đổi biến số Hai phương pháp tính tích phân Phương pháp tích phân từng phần Phép tính nguyên hàm của một số hàm số ln(arccos x)dxVí dụ 2. Tính √ 1 − x 2 arccos x Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Phương pháp đổi biến số Hai phương pháp tính tích phân Phương pháp tích phân từng phần Phép tính nguyên hàm của một số hàm số ln(arccos x)dxVí dụ 2. Tính √ 1 − x 2 arccos x −dxt = ln(arccos x) ⇒ dt = √ 1 − x 2 arccos x ln(arccos x)dx 1I = √ = ln2 (arccos x) + C 1−x 2 · arccos x 2 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Phương pháp đổi biến số Hai phương pháp tính tích phân Phương pháp tích phân từng phần Phép tính nguyên hàm của một số hàm số ln(arccos x)dxVí dụ 2. Tính √ 1 − x 2 arccos x −dxt = ln(arccos x) ⇒ dt = √ 1 − x 2 arccos x ln(arccos x)dx 1I = √ = ln2 (arccos x) + C 1−x 2 · arccos x 2 dxVí dụ 3. Tính bằng phương pháp đổi biến. a2 + x 2 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Phương pháp đổi biến số Hai phương pháp tính tích phân Phương pháp tích phân từng phần Phép tính nguyên hàm của một số hàm số ln(arccos x)dxVí dụ 2. Tính √ 1 − x 2 arccos x −dxt = ln(arccos x) ⇒ dt = √ 1 − x 2 arccos x ln(arccos x)dx 1I = √ = ln2 (arccos x) + C 1−x 2 · arccos x 2 dxVí dụ 3. Tính bằng phương pháp đổi biến. a2 + x 2 a2 dtSử dụng đổi biến dạng (2) đặt x = atant, a2 + x 2 = , dx = a. cos 2 t cos 2 t dx a.dt a2 1 1 1 x 2 + x2 = 2t : 2t = dt = t + C = arctan + C a cos cos a a a aChú √ Thông thường khi gặp biểu thức: ý. . a2 − x 2 , ta đặt x = asint 1 . 2 , ta đặt x = atant a + x2và sử dụng phép đổi biến số dạng (2) Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Phương pháp đổi biến số Hai phương pháp tính tích phân Phương pháp tích phân từng phần Phép tính nguyên hàm của một số hàm sốPhép phân đoạn Giả sử hai hàm u = u(x), v = v (x) liên tục trên [a; b] và khả vi trong (a; b). Nếu tồn tại v .u dx thì tồn tại u.v dx. Ngoài ra u · v dx = u · v − v · u dx hay u · dv = u · v − v · du Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Phương pháp đổi biến số Hai phương pháp tính tích phân Phương pháp tích phân từng phần Phép tính nguyên hàm của một số hàm sốPhép phân đoạn Giả sử hai hàm u = u(x), v = v (x) liên tục trên [a; b] và khả vi trong (a; b). Nếu tồn tại v .u dx thì tồn tại u.v dx. Ngoài ra u · v dx = u · v − v · u dx hay u · dv = u · v − v · du Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Phương pháp đổi biến số Hai phương pháp tính tích phân Phương pháp tích phân từng phần Phép tính nguyên hàm của một số hàm sốChú ý Chú ý. Thông thường khi gặp biểu thức tích phân dạng: Pn (x) ln xdx Pn (x) arcsinxdx Pn (x) arccos xdx Ta đặt dv = Pn (x)dx, phần còn lại là u Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Phương pháp đổi biến số Hai phương pháp tính tích phân Phương pháp tích phân từng phần Phép tính nguyên hàm của một số hàm sốChú ý Chú ý. Thông thường khi gặp biểu thức tích phân dạng: Pn (x) ln xdx Pn (x) arcsinxdx Pn (x) arccos xdx Ta đặt dv = Pn (x)dx, phần còn lại là u Khi gặp Pn (x)e x dx Pn (x)sinxdx Pn (x)cosxdx Đặt u = Pn (x), dv là phần còn lại. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Phương pháp đổi biến số Hai phương pháp tính tích phân Phương pháp tích phân từng phần Phép tính nguyên hàm của một số hàm sốVí dụ Ví dụ 1. Tính I = arccos2 xdx Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Phương pháp đổi biến số Hai phương pháp tính tích phân Phương pháp tích phân từng phần Phép tính nguyên hàm của một số hàm sốVí dụ Ví dụ 1. Tính I = arccos2 xdx −2 arccos xdx Đặt u = arccos 2 x ⇒ du = √ , dv = dx ⇒ v = x 1 − x2 −2x arccos x ⇒ I = x arccos2 x − √ dx = x arccos2 x + I1 1 − x2 −dx u = arccos x ⇒ du = √ 1 − x2 xdx xdx √ dv = √ ⇒v = √ = − 1 − x2 + C 2 1 − x2 √ √ −x 1 I1 = − 1 − x 2 arccos x − dx = − 1 − x 2 arccos x − x + C2 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác.Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Pn (x) dx, Pn , Qm là đa thức bậc n, m có hệ số thực Qm (x) 1. Chia tử cho mẫu và đưa về tích phân các phân thức thực sự, Rk (x) chẳng hạn dx, với 0 ≤ k < m. Qm (x) Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác.Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Pn (x) dx, Pn , Qm là đa thức bậc n, m có hệ số thực Qm (x) 1. Chia tử cho mẫu và đưa về tích phân các phân thức thực sự, Rk (x) chẳng hạn dx, với 0 ≤ k < m. Qm (x) 2. Phân tích mẫu ra thừa số bậc nhất và bậc hai: Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác.Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Pn (x) dx, Pn , Qm là đa thức bậc n, m có hệ số thực Qm (x) 1. Chia tử cho mẫu và đưa về tích phân các phân thức thực sự, Rk (x) chẳng hạn dx, với 0 ≤ k < m. Qm (x) 2. Phân tích mẫu ra thừa số bậc nhất và bậc hai: s s t1 tv Qm (x) = (x − a1 ) 1 ... (x − ak ) k · x 2 + p1 x + q1 · · · x 2 + pv x + qv Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác.Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Pn (x) dx, Pn , Qm là đa thức bậc n, m có hệ số thực Qm (x) 1. Chia tử cho mẫu và đưa về tích phân các phân thức thực sự, Rk (x) chẳng hạn dx, với 0 ≤ k < m. Qm (x) 2. Phân tích mẫu ra thừa số bậc nhất và bậc hai: s s t1 tv Qm (x) = (x − a1 ) 1 ... (x − ak ) k · x 2 + p1 x + q1 · · · x 2 + pv x + qv 3.Phân tích Pk (x) Pn (x) = s1 t Qm (x) (x − a1 ) (x 2 + p1 x + q1 ) 1 A1 A2 As1 = + 2 + ··· + s (x − a1 ) (x − a1 ) (x − a1 ) 1 B1 x + C1 B2 x + C2 Bt1 x + Ct1 +··· + 2 + + ··· + t (x + p1 x + q1 ) (x 2 + p1 x + q1 )2 (x 2 + p1 x + q1 ) 1 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác.Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Pn (x) dx, Pn , Qm là đa thức bậc n, m có hệ số thực Qm (x) 1. Chia tử cho mẫu và đưa về tích phân các phân thức thực sự, Rk (x) chẳng hạn dx, với 0 ≤ k < m. Qm (x) 2. Phân tích mẫu ra thừa số bậc nhất và bậc hai: s s t1 tv Qm (x) = (x − a1 ) 1 ... (x − ak ) k · x 2 + p1 x + q1 · · · x 2 + pv x + qv 3.Phân tích Pk (x) Pn (x) = s1 t Qm (x) (x − a1 ) (x 2 + p1 x + q1 ) 1 A1 A2 As1 = + 2 + ··· + s (x − a1 ) (x − a1 ) (x − a1 ) 1 B1 x + C1 B2 x + C2 Bt1 x + Ct1 +··· + 2 + + ··· + t (x + p1 x + q1 ) (x 2 + p1 x + q1 )2 (x 2 + p1 x + q1 ) 1 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. 5. Đưa tích phân cần tính về các tích phân cơ bản sau: dx 11. = n−1 + C, n = 1 (x − a)n (n − 1) (x − a) (Mx + n) dx M 2x+p Mp dx2. x 2 + px + q = 2 x 2 +px+q dx + N − 2 x 2 + px + q Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. 5. Đưa tích phân cần tính về các tích phân cơ bản sau: dx 11. = n−1 + C, n = 1 (x − a)n (n − 1) (x − a) (Mx + n) dx M 2x+p Mp dx2. x 2 + px + q = 2 x 2 +px+q dx + N − 2 x 2 + px + q dx 1 −2nxdx3.In = nu = n ⇒ du = n+1 (x 2 + a2 ) (x 2 + a2 ) (x 2 + a2 )dv = dx ⇒ v = x x x 2 dxIn = 2 n + 2n n+1 (x + a2 ) (x 2 + a2 ) x x + a − a2 dx 2 2In = 2 n + 2n n+1 (x + a2 ) (x 2 + a2 ) x dx dxIn = 2 2 )n + 2n 2 + a 2 )n − 2na2 n+1 (x + a (x (x 2 + a2 ) x 2In = 2 n + 2nIn − 2na In+1 Hệ thức truy hồi (x + a2 ) 1 xIn+1 = 2 2 + a2 )n + (2n − 1) In 2na (x dx 1 xI = Đàm = arctan + C Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. 5. Đưa tích phân cần tính về các tích phân cơ bản sau: dx 11. = n−1 + C, n = 1 (x − a)n (n − 1) (x − a) (Mx + n) dx M 2x+p Mp dx2. x 2 + px + q = 2 x 2 +px+q dx + N − 2 x 2 + px + q dx 1 −2nxdx3.In = nu = n ⇒ du = n+1 (x 2 + a2 ) (x 2 + a2 ) (x 2 + a2 )dv = dx ⇒ v = x x x 2 dxIn = 2 n + 2n n+1 (x + a2 ) (x 2 + a2 ) x x + a − a2 dx 2 2In = 2 n + 2n n+1 (x + a2 ) (x 2 + a2 ) x dx dxIn = 2 2 )n + 2n 2 + a 2 )n − 2na2 n+1 (x + a (x (x 2 + a2 ) x 2In = 2 n + 2nIn − 2na In+1 Hệ thức truy hồi (x + a2 ) 1 xIn+1 = 2 2 + a2 )n + (2n − 1) In 2na (x dx 1 xI = Đàm = arctan + C Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. dxVí dụ 1. Tính I = (x − 2)3 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. dxVí dụ 1. Tính I = (x − 2)3 d (x − 2)I = = (x − 2)−3 d (x − 2) (x − 2)3 1 −3+1 −1= − (x − 2) +C = +C 2 2(x − 2)2 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. dxVí dụ 1. Tính I = (x − 2)3 d (x − 2)I = = (x − 2)−3 d (x − 2) (x − 2)3 1 −3+1 −1= − (x − 2) +C = +C 2 2(x − 2)2 dxVí dụ 2. Tính I = 2 + 2x + 5 x Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. dxVí dụ 1. Tính I = (x − 2)3 d (x − 2)I = = (x − 2)−3 d (x − 2) (x − 2)3 1 −3+1 −1= − (x − 2) +C = +C 2 2(x − 2)2 dxVí dụ 2. Tính I = 2 + 2x + 5 x dx d (x + 1) 1 x +1I = = = arctan +C (x + 1)2 + 22 (x + 1)2 + 22 2 2 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. dxVí dụ 1. Tính I = (x − 2)3 d (x − 2)I = = (x − 2)−3 d (x − 2) (x − 2)3 1 −3+1 −1= − (x − 2) +C = +C 2 2(x − 2)2 dxVí dụ 2. Tính I = 2 + 2x + 5 x dx d (x + 1) 1 x +1I = = = arctan +C (x + 1)2 + 22 (x + 1)2 + 22 2 2 (x + 4)dxVí dụ 3. Tính I = (x − 2)(x + 1) Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. dxVí dụ 1. Tính I = (x − 2)3 d (x − 2)I = = (x − 2)−3 d (x − 2) (x − 2)3 1 −3+1 −1= − (x − 2) +C = +C 2 2(x − 2)2 dxVí dụ 2. Tính I = 2 + 2x + 5 x dx d (x + 1) 1 x +1I = = = arctan +C (x + 1)2 + 22 (x + 1)2 + 22 2 2 (x + 4)dxVí dụ 3. Tính I = (x − 2)(x + 1) x +4 A B = +(x − 2)(x + 1) x −2 x +1Qui đồng, đồng nhất hai vế, tìm được A = 2, B = −1. 2dx dx (x − 2)2I = − = 2 ln(x − 2) − ln(x + 1) + C = ln +C x −2 x +1 x +1 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. dxVí dụ 1. Tính I = (x − 2)3 d (x − 2)I = = (x − 2)−3 d (x − 2) (x − 2)3 1 −3+1 −1= − (x − 2) +C = +C 2 2(x − 2)2 dxVí dụ 2. Tính I = 2 + 2x + 5 x dx d (x + 1) 1 x +1I = = = arctan +C (x + 1)2 + 22 (x + 1)2 + 22 2 2 (x + 4)dxVí dụ 3. Tính I = (x − 2)(x + 1) x +4 A B = +(x − 2)(x + 1) x −2 x +1Qui đồng, đồng nhất hai vế, tìm được A = 2, B = −1. 2dx dx (x − 2)2I = − = 2 ln(x − 2) − ln(x + 1) + C = ln +C x −2 x +1 x +1 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác.Chú ýCách tìm hệ số A, B trong (*) nhanh:Để tìm A, nhân hai vế (*) với (x − 2) rồi thay x = 2 vào.Để tìm B, nhân hai vế (*) với (x + 1) rồi thay x = −1 vào. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác.Chú ýCách tìm hệ số A, B trong (*) nhanh:Để tìm A, nhân hai vế (*) với (x − 2) rồi thay x = 2 vào.Để tìm B, nhân hai vế (*) với (x + 1) rồi thay x = −1 vào. 2x 3 + x 2 + 5x + 1Ví dụ 4. Tính I = dx (x 2 + 3)(x 2 − x + 1) Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác.Chú ýCách tìm hệ số A, B trong (*) nhanh:Để tìm A, nhân hai vế (*) với (x − 2) rồi thay x = 2 vào.Để tìm B, nhân hai vế (*) với (x + 1) rồi thay x = −1 vào. 2x 3 + x 2 + 5x + 1Ví dụ 4. Tính I = dx (x 2 + 3)(x 2 − x + 1) 3 2 2x + x + 5x + 1 Ax + B Cx + D 2 + 3)(x 2 − x + 1) = 2 + 2(x x +3 x −x +1 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác.Chú ýCách tìm hệ số A, B trong (*) nhanh:Để tìm A, nhân hai vế (*) với (x − 2) rồi thay x = 2 vào.Để tìm B, nhân hai vế (*) với (x + 1) rồi thay x = −1 vào. 2x 3 + x 2 + 5x + 1Ví dụ 4. Tính I = dx (x 2 + 3)(x 2 − x + 1) 3 2 2x + x + 5x + 1 Ax + B Cx + D 2 + 3)(x 2 − x + 1) = 2 + 2(x x +3 x −x +1Qui đồng, đồng nhất hai vế ta được A = 0; B = 1; C = 2; D = 0. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác.Chú ýCách tìm hệ số A, B trong (*) nhanh:Để tìm A, nhân hai vế (*) với (x − 2) rồi thay x = 2 vào.Để tìm B, nhân hai vế (*) với (x + 1) rồi thay x = −1 vào. 2x 3 + x 2 + 5x + 1Ví dụ 4. Tính I = dx (x 2 + 3)(x 2 − x + 1) 3 2 2x + x + 5x + 1 Ax + B Cx + D 2 + 3)(x 2 − x + 1) = 2 + 2(x x +3 x −x +1Qui đồng, đồng nhất hai vế ta được A = 0; B = 1; C = 2; D = 0. dx 2xdxI = + x2 + 3 x2 − x + 1 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác.Chú ýCách tìm hệ số A, B trong (*) nhanh:Để tìm A, nhân hai vế (*) với (x − 2) rồi thay x = 2 vào.Để tìm B, nhân hai vế (*) với (x + 1) rồi thay x = −1 vào. 2x 3 + x 2 + 5x + 1Ví dụ 4. Tính I = dx (x 2 + 3)(x 2 − x + 1) 3 2 2x + x + 5x + 1 Ax + B Cx + D 2 + 3)(x 2 − x + 1) = 2 + 2(x x +3 x −x +1Qui đồng, đồng nhất hai vế ta được A = 0; B = 1; C = 2; D = 0. dx 2xdxI = + x2 + 3 x2 − x + 1 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. dxVí dụ 5. Tính I = x 2 + 2x + 5 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. dxVí dụ 5. Tính I = x 2 + 2x + 5 dx d (x + 1) 1 x +1I = = = arctan +C = (x + 1)2 + 22 (x + 1)2 + 22 2 2 dx (2x − 1) + 1 + dx x2 + 3 x2 − x + 1 1 x 2 2x − 1= √3 arctan √ + ln(x 2 − x + 1) + √ arctan √ +C 3 3 3 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. dxVí dụ 5. Tính I = x 2 + 2x + 5 dx d (x + 1) 1 x +1I = = = arctan +C = (x + 1)2 + 22 (x + 1)2 + 22 2 2 dx (2x − 1) + 1 + dx x2 + 3 x2 − x + 1 1 x 2 2x − 1= √3 arctan √ + ln(x 2 − x + 1) + √ arctan √ +C 3 3 3 4x 2 − 8xVí dụ 6. Tính I = dx (x − 1)2 (x 2 + 1)2 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. dxVí dụ 5. Tính I = x 2 + 2x + 5 dx d (x + 1) 1 x +1I = = = arctan +C = (x + 1)2 + 22 (x + 1)2 + 22 2 2 dx (2x − 1) + 1 + dx x2 + 3 x2 − x + 1 1 x 2 2x − 1= √3 arctan √ + ln(x 2 − x + 1) + √ arctan √ +C 3 3 3 4x 2 − 8xVí dụ 6. Tính I = dx (x − 1)2 (x 2 + 1)2 P(x) A B Ex + F = + + Cx+D + x 2 +1 (*)(x 2 + 1)2 (x − 1)2 x − 1 (x − 1)2 (x 2 + 1) 2Tìm được: A = 2, B = −1, C = −2, D = −1, E = −2, F = 4. (−2x + 4)dx −2xdx 4dx = + (x 2 + 1)2 (x 2 + 1)2 (x 2 + 1)2 4dxDùng hệ thức truy hồi, tính I2 = 2 (x 2 + 1) Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. dxVí dụ 5. Tính I = x 2 + 2x + 5 dx d (x + 1) 1 x +1I = = = arctan +C = (x + 1)2 + 22 (x + 1)2 + 22 2 2 dx (2x − 1) + 1 + dx x2 + 3 x2 − x + 1 1 x 2 2x − 1= √3 arctan √ + ln(x 2 − x + 1) + √ arctan √ +C 3 3 3 4x 2 − 8xVí dụ 6. Tính I = dx (x − 1)2 (x 2 + 1)2 P(x) A B Ex + F = + + Cx+D + x 2 +1 (*)(x 2 + 1)2 (x − 1)2 x − 1 (x − 1)2 (x 2 + 1) 2Tìm được: A = 2, B = −1, C = −2, D = −1, E = −2, F = 4. (−2x + 4)dx −2xdx 4dx = + (x 2 + 1)2 (x 2 + 1)2 (x 2 + 1)2 4dxDùng hệ thức truy hồi, tính I2 = 2 (x 2 + 1) Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. Để tìm các hệ số A, B, C , ... nhanh, có thể sử dụng khai triểnHeaviside:Từ (*) ta có 4x 2 − 8x = A(x − 1)(x 2 + 1)2 + B(x 2 + 1)2 ++(Cx + D)(x − 1)2 (x 2 + 1) + (Ex + F )(x − 1)2Thay x = 1, tìm được B = −1.Thay x = −1, cân bằng phần thực, ảo: E = −2, F = 4.Đạo hàm 2 vế, chỉ quan tâm số hạng khác 0 khi x = iThay x = i, tìm được C = −2, D = −1. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. Để tìm các hệ số A, B, C , ... nhanh, có thể sử dụng khai triểnHeaviside:Từ (*) ta có 4x 2 − 8x = A(x − 1)(x 2 + 1)2 + B(x 2 + 1)2 ++(Cx + D)(x − 1)2 (x 2 + 1) + (Ex + F )(x − 1)2Thay x = 1, tìm được B = −1.Thay x = −1, cân bằng phần thực, ảo: E = −2, F = 4.Đạo hàm 2 vế, chỉ quan tâm số hạng khác 0 khi x = iThay x = i, tìm được C = −2, D = −1. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác.Tích phân có chứa...  p1 p2  ax + b q1 ax + b q2 R x, , , · · ·dx   cx + d cx + d Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác.Tích phân có chứa...  p1 p2  ax + b q1 ax + b q2 R x, , , · · ·dx   cx + d cx + d ax + bCách giải: Đổi biến t n = , n là bội chung nhỏ nhất của q1 , q2 cx + d Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác.Tích phân có chứa...  p1 p2  ax + b q1 ax + b q2 R x, , , · · ·dx   cx + d cx + d ax + bCách giải: Đổi biến t n = , n là bội chung nhỏ nhất của q1 , q2 cx + dTích phân có chứa√ ax 2 + bx + c Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác.Tích phân có chứa...  p1 p2  ax + b q1 ax + b q2 R x, , , · · ·dx   cx + d cx + d ax + bCách giải: Đổi biến t n = , n là bội chung nhỏ nhất của q1 , q2 cx + dTích phân có chứa√ ax 2 + bx + cBiến đổi biểu thức dưới dấu căn về dạng αt 2 + β Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. dxVí dụ 7. Tính I = √ √ 2x − 1 − 4 2x − 1 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. dxVí dụ 7. Tính I = √ √ 2x − 1 − 4 2x − 1Đổi biến 2x − 1 = t 4 ⇒ 2dx = 4t 3 dt 2t 2 dt 1I = =2 t +1+ dt = t 2 + 2t + ln |t − 1| + C t −1 t −1 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. dxVí dụ 7. Tính I = √ √ 2x − 1 − 4 2x − 1Đổi biến 2x − 1 = t 4 ⇒ 2dx = 4t 3 dt 2t 2 dt 1I = =2 t +1+ dt = t 2 + 2t + ln |t − 1| + C t −1 t −1 √ x + 1 + 3 (x + 1)2 + 6 x + 1Ví dụ 8. Tính I = √ dx (x + 1)(1 + 3 x + 1) Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. dxVí dụ 7. Tính I = √ √ 2x − 1 − 4 2x − 1Đổi biến 2x − 1 = t 4 ⇒ 2dx = 4t 3 dt 2t 2 dt 1I = =2 t +1+ dt = t 2 + 2t + ln |t − 1| + C t −1 t −1 √ x + 1 + 3 (x + 1)2 + 6 x + 1Ví dụ 8. Tính I = √ dx (x + 1)(1 + 3 x + 1)Đổi biến x + 1 = t 6 ⇒ dx = 6t 5 dt (t 6 + t 4 + t)t 5 dt dtI =6 6 (1 + t 2 ) = 6 t 3 dt + 6 2+1 = t t3√ 2 3 √ x + 6 arctan 6 x + C2 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. dxVí dụ 7. Tính I = √ √ 2x − 1 − 4 2x − 1Đổi biến 2x − 1 = t 4 ⇒ 2dx = 4t 3 dt 2t 2 dt 1I = =2 t +1+ dt = t 2 + 2t + ln |t − 1| + C t −1 t −1 √ x + 1 + 3 (x + 1)2 + 6 x + 1Ví dụ 8. Tính I = √ dx (x + 1)(1 + 3 x + 1)Đổi biến x + 1 = t 6 ⇒ dx = 6t 5 dt (t 6 + t 4 + t)t 5 dt dtI =6 6 (1 + t 2 ) = 6 t 3 dt + 6 2+1 = t t3√ 2 3 √ x + 6 arctan 6 x + C2 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác.Nguyên hàm của hàm lượng giác 1. R (sin x, cos x)dx Trong đó R(u, v ) là hàm hữu tỷ theo biến u, v . Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác.Nguyên hàm của hàm lượng giác 1. R (sin x, cos x)dx Trong đó R(u, v ) là hàm hữu tỷ theo biến u, v . xCách giải chung: Đặt t = tan , x ∈ (−π, π) 2 dt⇒ x = 2 arctan t ⇒ dx = 2 1 + t2 2t 1 − t2sin x = 2 , cos x = 1+t 1 + t2 2t 1 − t 2 dt R (sin x, cos x)dx = 2 R , 2 1 + t 2 1+t 2 1+t Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác.Nguyên hàm của hàm lượng giác 1. R (sin x, cos x)dx Trong đó R(u, v ) là hàm hữu tỷ theo biến u, v . xCách giải chung: Đặt t = tan , x ∈ (−π, π) 2 dt⇒ x = 2 arctan t ⇒ dx = 2 1 + t2 2t 1 − t2sin x = 2 , cos x = 1+t 1 + t2 2t 1 − t 2 dt R (sin x, cos x)dx = 2 R , 2 1 + t 2 1+t 2 1+t Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. dx Ví dụ. Tính I = Đổi biến 3 sin x + 4 cos x + 5 xt = tan , x ∈ (−π, π) 2 dt 2t 1 − t2⇒ dx = 2 sin x = , cos x = 1 + t2 1 + t2 1 + t2 dt dtI =2 =2 6t + 4(1 − t 2 ) + 5(1 + t 2 ) t 2 + 6t + 9 −2 −2= 2 (t + 3)−2 d (t + 3) = +C = +C t +3 tan(x/2) + 3 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. dx Ví dụ. Tính I = Đổi biến 3 sin x + 4 cos x + 5 xt = tan , x ∈ (−π, π) 2 dt 2t 1 − t2⇒ dx = 2 sin x = , cos x = 1 + t2 1 + t2 1 + t2 dt dtI =2 =2 6t + 4(1 − t 2 ) + 5(1 + t 2 ) t 2 + 6t + 9 −2 −2= 2 (t + 3)−2 d (t + 3) = +C = +C t +3 tan(x/2) + 3 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. dxVí dụ. Tính I = 3 sin x + 4 cos x + 5 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. dxVí dụ. Tính I = 3 sin x + 4 cos x + 5 xĐổi biến t = tan , x ∈ (−π, π) 2 dt 2t 1 − t2⇒ dx = 2 ; sin x = , cos x = 1 + t2 1 + t2 1 + t2 dt dtI =2 =2 6t + 4(1 − t 2 ) + 5(1 + t 2 ) t 2 + 6t + 9 −2 −2= 2 (t + 3)−2 d (t + 3) = +C = +C t +3 tan(x/2) + 3 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. dxVí dụ. Tính I = 3 sin x + 4 cos x + 5 xĐổi biến t = tan , x ∈ (−π, π) 2 dt 2t 1 − t2⇒ dx = 2 ; sin x = , cos x = 1 + t2 1 + t2 1 + t2 dt dtI =2 =2 6t + 4(1 − t 2 ) + 5(1 + t 2 ) t 2 + 6t + 9 −2 −2= 2 (t + 3)−2 d (t + 3) = +C = +C t +3 tan(x/2) + 3Trong nhiều trường hợp, cách giải trên khá cồng kềnh Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác.R (sin x, cos x)dx −π π1 1) R (− sin x, cos x) = −R (sin x, cos x) đặt t = cos x, x ∈ 2 , 22 2) R (sin x, − cos x) = −R (sin x, cos x) đặt t = sin x, x ∈ (0, π)3 3) R (− sin x, − cos x) = R (sin x, cos x) đặt −π π t = tan x, x ∈ , 2 24 4) sinp x · cosq x · dx đặt t = sin x hoặc t = cos x Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. R (sin x, cos x)dx −π π 1 1) R (− sin x, cos x) = −R (sin x, cos x) đặt t = cos x, x ∈ 2 , 2 2 2) R (sin x, − cos x) = −R (sin x, cos x) đặt t = sin x, x ∈ (0, π) 3 3) R (− sin x, − cos x) = R (sin x, cos x) đặt −π π t = tan x, x ∈ , 2 2 4 4) sinp x · cosq x · dx đặt t = sin x hoặc t = cos xHoàn toàn tương tự cho các hàm Hyperbolic: sinh x, cosh x Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác.Các ví dụ (2 sin x + 3 cos x)dx Ví dụ 1. Tính I = sin2 x cos x + 9 cos3 x Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác.Các ví dụ (2 sin x + 3 cos x)dx Ví dụ 1. Tính I = sin2 x cos x + 9 cos3 x R (− sin x, − cos x) = R (sin x, cos x) Đổi biến dx t = tan(x), x ∈ (−π/2, π/2) ⇒ dt = cos2 x Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác.Các ví dụ (2 sin x + 3 cos x)dx Ví dụ 1. Tính I = sin2 x cos x + 9 cos3 x R (− sin x, − cos x) = R (sin x, cos x) Đổi biến dx t = tan(x), x ∈ (−π/2, π/2) ⇒ dt = cos2 x Chia tử và mẫu cho cos3 x (2 tan x + 3)d (tan x) 2t + 3 2t 3 I = 2x +9 = 2+9 dt = 2+9 dt + 2 + 32 dt tan t t t t tan x = ln(t 2 + 9) + arctan + C = ln(tan2 x + 9) + arctan +C 3 3 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác.Các ví dụ (2 sin x + 3 cos x)dx Ví dụ 1. Tính I = sin2 x cos x + 9 cos3 x R (− sin x, − cos x) = R (sin x, cos x) Đổi biến dx t = tan(x), x ∈ (−π/2, π/2) ⇒ dt = cos2 x Chia tử và mẫu cho cos3 x (2 tan x + 3)d (tan x) 2t + 3 2t 3 I = 2x +9 = 2+9 dt = 2+9 dt + 2 + 32 dt tan t t t t tan x = ln(t 2 + 9) + arctan + C = ln(tan2 x + 9) + arctan +C 3 3 3 8 Ví dụ 2. Tính I = cos x · sin xdx Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác.Các ví dụ (2 sin x + 3 cos x)dx Ví dụ 1. Tính I = sin2 x cos x + 9 cos3 x R (− sin x, − cos x) = R (sin x, cos x) Đổi biến dx t = tan(x), x ∈ (−π/2, π/2) ⇒ dt = cos2 x Chia tử và mẫu cho cos3 x (2 tan x + 3)d (tan x) 2t + 3 2t 3 I = 2x +9 = 2+9 dt = 2+9 dt + 2 + 32 dt tan t t t t tan x = ln(t 2 + 9) + arctan + C = ln(tan2 x + 9) + arctan +C 3 3 3 8 Ví dụ 2. Tính I = cos x · sin xdx Đổi biến t = sin x ⇒ dt = cos xdx I = cos2 x · sin8 x (cos xdx) = 1 − sin2 x sin8 x (cos xdx) Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác.Các ví dụ (2 sin x + 3 cos x)dx Ví dụ 1. Tính I = sin2 x cos x + 9 cos3 x R (− sin x, − cos x) = R (sin x, cos x) Đổi biến dx t = tan(x), x ∈ (−π/2, π/2) ⇒ dt = cos2 x Chia tử và mẫu cho cos3 x (2 tan x + 3)d (tan x) 2t + 3 2t 3 I = 2x +9 = 2+9 dt = 2+9 dt + 2 + 32 dt tan t t t t tan x = ln(t 2 + 9) + arctan + C = ln(tan2 x + 9) + arctan +C 3 3 3 8 Ví dụ 2. Tính I = cos x · sin xdx Đổi biến t = sin x ⇒ dt = cos xdx I = cos2 x · sin8 x (cos xdx) = 1 − sin2 x sin8 x (cos xdx) t 9 t 11 sin9 x sin11 x = (1 − t 2 )t 8 dt = − +C = − +C 9 11 9 11 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác.Ví dụ 3. Tính I = (sinh2 x · cosh3 x)dx Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác.Ví dụ 3. Tính I = (sinh2 x · cosh3 x)dxR (− sinh x, − cosh x) = −R (sinh x, cosh x) Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác.Ví dụ 3. Tính I = (sinh2 x · cosh3 x)dxR (− sinh x, − cosh x) = −R (sinh x, cosh x)Đổi biến t = sinh(x) ⇒ dt = cosh(x))dx Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác.Ví dụ 3. Tính I = (sinh2 x · cosh3 x)dxR (− sinh x, − cosh x) = −R (sinh x, cosh x)Đổi biến t = sinh(x) ⇒ dt = cosh(x))dxI = (sinh2 x cosh2 x)(cosh x)dx= sinh2 x(sinh2 x + 1)(cosh x)dx t6 t3 sinh6 x sinh3 x= t 2 (t 2 + 1)dt = + +C = + +C 6 3 6 3 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác.Ví dụ 3. Tính I = (sinh2 x · cosh3 x)dxR (− sinh x, − cosh x) = −R (sinh x, cosh x)Đổi biến t = sinh(x) ⇒ dt = cosh(x))dxI = (sinh2 x cosh2 x)(cosh x)dx= sinh2 x(sinh2 x + 1)(cosh x)dx t6 t3 sinh6 x sinh3 x= t 2 (t 2 + 1)dt = + +C = + +C 6 3 6 3 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. a1 sin x + b1 cos xNguyên hàm dạng I = dx a sin x + b cos x Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. a1 sin x + b1 cos xNguyên hàm dạng I = dx a sin x + b cos xPhân tích a1 sin x + b1 cos x = A (a sin x + b cos x) + B (a sin x + b cos x) Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. a1 sin x + b1 cos xNguyên hàm dạng I = dx a sin x + b cos xPhân tích a1 sin x + b1 cos x = A (a sin x + b cos x) + B (a sin x + b cos x) Ab − aB = a1Đồng nhất hai vế giải tìm A, B. Aa + Bb = b1 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. a1 sin x + b1 cos xNguyên hàm dạng I = dx a sin x + b cos xPhân tích a1 sin x + b1 cos x = A (a sin x + b cos x) + B (a sin x + b cos x) Ab − aB = a1Đồng nhất hai vế giải tìm A, B. Aa + Bb = b1 A(a sin x + b cos x) dxI = + Bdx a sin x + b cos x= A ln(a sin x + b cos x) + Bx + C Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. a1 sin x + b1 cos xNguyên hàm dạng I = dx a sin x + b cos xPhân tích a1 sin x + b1 cos x = A (a sin x + b cos x) + B (a sin x + b cos x) Ab − aB = a1Đồng nhất hai vế giải tìm A, B. Aa + Bb = b1 A(a sin x + b cos x) dxI = + Bdx a sin x + b cos x= A ln(a sin x + b cos x) + Bx + C Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. (2 sin x + 3 cos x)dxVí dụ. Tính I = sin x + 4 cos x Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. (2 sin x + 3 cos x)dxVí dụ. Tính I = sin x + 4 cos xPhân tích 2 sin x + 3 cos x = A(sin x + 4 cos x) + B(sin x + 4 cos x)2 sin x + 3 cos x = (A − 4B) sin x + (4A + B) cos x Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. (2 sin x + 3 cos x)dxVí dụ. Tính I = sin x + 4 cos xPhân tích 2 sin x + 3 cos x = A(sin x + 4 cos x) + B(sin x + 4 cos x)2 sin x + 3 cos x = (A − 4B) sin x + (4A + B) cos x A − 4B = 2 4A + B = 3 A=1⇔ B = −1/4 A(sin x + 4 cos x) B(sin x + 4 cos x)I = dx + dx sin x + 4 cos x sin x + 4 cos x Bd (sin x + 4 cos x)I = A dx + = Ax + B ln (sin x + 4 cos x) + C sin x + 4 cos x Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. (2 sin x + 3 cos x)dxVí dụ. Tính I = sin x + 4 cos xPhân tích 2 sin x + 3 cos x = A(sin x + 4 cos x) + B(sin x + 4 cos x)2 sin x + 3 cos x = (A − 4B) sin x + (4A + B) cos x A − 4B = 2 4A + B = 3 A=1⇔ B = −1/4 A(sin x + 4 cos x) B(sin x + 4 cos x)I = dx + dx sin x + 4 cos x sin x + 4 cos x Bd (sin x + 4 cos x)I = A dx + = Ax + B ln (sin x + 4 cos x) + C sin x + 4 cos x Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. a1 sin x + b1 cos x + c1Tích phân dạng I = dx Phân tích a sin x + b cos x + ca1 sin x + b1 cos x + c1 =A (a sin x + b cos x + c) + B (a sin x + b cos x + c) + C= (Aa + Bb) cos x + (Ab − aB) sin x + (Bc + C )   Ab − aB = a1Đồng nhất hai vế: Aa + Bb = b1 giải tìm A, B, C . Bc + C = c1  CdxI = A ln(a sin x + b cos x + c) + Bx + a sin x + b cos x + c xTích phân cuối cùng tính bằng cách đổi biến chung t = tan 2 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. a1 sin x + b1 cos x + c1Tích phân dạng I = dx Phân tích a sin x + b cos x + ca1 sin x + b1 cos x + c1 =A (a sin x + b cos x + c) + B (a sin x + b cos x + c) + C= (Aa + Bb) cos x + (Ab − aB) sin x + (Bc + C )   Ab − aB = a1Đồng nhất hai vế: Aa + Bb = b1 giải tìm A, B, C . Bc + C = c1  CdxI = A ln(a sin x + b cos x + c) + Bx + a sin x + b cos x + c xTích phân cuối cùng tính bằng cách đổi biến chung t = tan 2 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. (2 sin x + cos x + 3)dxVí dụ. Tính I = Phân tích 3 sin x + 4 cos x + 52 sin x + cos x + 3 = A(3 sin x + 4 cos x + 5) + B(3 sin x + 4 cos x + 5) + C Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. (2 sin x + cos x + 3)dxVí dụ. Tính I = Phân tích 3 sin x + 4 cos x + 52 sin x + cos x + 3 = A(3 sin x + 4 cos x + 5) + B(3 sin x + 4 cos x + 5) + C2 sin x + cos x + 3 = (3A − 4B) sin x + (4A + 3B) cos x + (5A + C ) Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. (2 sin x + cos x + 3)dxVí dụ. Tính I = Phân tích 3 sin x + 4 cos x + 52 sin x + cos x + 3 = A(3 sin x + 4 cos x + 5) + B(3 sin x + 4 cos x + 5) + C2 sin x + cos x + 3 = (3A − 4B) sin x + (4A + 3B) cos x + (5A + C )   3A − 4B = 2⇒ 4A + 3B = 1 5A + C = 3  d (3 sin x + 4 cos x + 5) CdxI = A dx + B + 3 sin x + 4 cos x + 5 3 sin x + 4 cos x + 5I = Ax + ln(3 sin x + 4 cos x + 5) + I1 với I1 đã tính ở ví dụ trước. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM