Uploaded on

 

  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Be the first to comment
No Downloads

Views

Total Views
4,088
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
2

Actions

Shares
Downloads
0
Comments
0
Likes
7

Embeds 0

No embeds

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
    No notes for slide

Transcript

  • 1. Ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tínhGiá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Chéo hóa ma trận Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Ngày 16 tháng 11 năm 2010 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 2. Ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Chéo hóa ma trậnChương IV: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 5.1 Ánh xạ tuyến tính. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 3. Ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Chéo hóa ma trậnChương IV: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 5.1 Ánh xạ tuyến tính. 5.2 Ma trận của ánh xạ tuyến tính. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 4. Ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Chéo hóa ma trậnChương IV: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 5.1 Ánh xạ tuyến tính. 5.2 Ma trận của ánh xạ tuyến tính. 5.3 Giá trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 5. Ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Chéo hóa ma trậnChương IV: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 5.1 Ánh xạ tuyến tính. 5.2 Ma trận của ánh xạ tuyến tính. 5.3 Giá trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính. 5.4 Chéo hóa ma trận. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 6. Ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính Chéo hóa ma trậnĐịnh nghĩa Cho E và F là hai không gian véc tơ trên cùng một trường K. Ánhxạ f : E → F được gọi là ánh xạ tuyến tính nếu nó thoả mãn hai điềukiện sau: Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 7. Ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính Chéo hóa ma trậnĐịnh nghĩa Cho E và F là hai không gian véc tơ trên cùng một trường K. Ánhxạ f : E → F được gọi là ánh xạ tuyến tính nếu nó thoả mãn hai điềukiện sau: a, f (u + v ) = f (u) + f (v ), ∀u, v ∈ E Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 8. Ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính Chéo hóa ma trậnĐịnh nghĩa Cho E và F là hai không gian véc tơ trên cùng một trường K. Ánhxạ f : E → F được gọi là ánh xạ tuyến tính nếu nó thoả mãn hai điềukiện sau: a, f (u + v ) = f (u) + f (v ), ∀u, v ∈ E b, f (αu) = αf (u), ∀α ∈ K , ∀u ∈ E Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 9. Ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính Chéo hóa ma trậnĐịnh nghĩa Cho E và F là hai không gian véc tơ trên cùng một trường K. Ánhxạ f : E → F được gọi là ánh xạ tuyến tính nếu nó thoả mãn hai điềukiện sau: a, f (u + v ) = f (u) + f (v ), ∀u, v ∈ E b, f (αu) = αf (u), ∀α ∈ K , ∀u ∈ E Điều kiện (a) trong định nghĩa là tính bảo toàn phép cộng, còn điềukiện (b) là tính bảo toàn phép nhân. Ta có thể gộp 2 điều kiện trên bằngmột điều kiện sau:Định lýÁnh xạ f : E → F được gọi là ánh xạ tuyến tính khi và chỉ khi f (α1 v1 + α2 v2 ) = α1 f (v1 ) + α2 f (v2 ), ∀v1 , v2 ∈ E , ∀α1 , α2 ∈ K Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 10. Ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính Chéo hóa ma trậnVí dụ Cho ánh xạ f : R2 → R2 xác định bởi f (x, y ) = (3x − 2y , x); ∀(x, y ) ∈ R2 . Chứng tỏ rằng ánh xạ f là tuyến tính. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 11. Ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính Chéo hóa ma trậnVí dụ Cho ánh xạ f : R2 → R2 xác định bởi f (x, y ) = (3x − 2y , x); ∀(x, y ) ∈ R2 . Chứng tỏ rằng ánh xạ f là tuyến tính. Giải. Ta có ∀x, y ∈ R2 , x = (x1 , x2 ) , y = (y1 , y2 ) , ∀α, β ∈ R f (αx + βy ) = f (αx1 + βy1 , αx2 + βy2 ) = = (3 (αx1 + βy1 ) − 2 (αx2 + βy2 ) , αx1 + βy1 ) = = α (3x1 − 2x2 , x1 ) + β (3y1 − 2y2 , y1 ) = αf (x) + βf (y ) Vậy f là ánh xạ tuyến tính. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 12. Ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính Chéo hóa ma trậnVí dụ Ánh xạ nào sau đây là ánh xạ tuyến tính ? 1 f : R2 → R2 ; f (x1 , x2 ) = (2x1 + 3x2 , x1 ) 2 f : R2 → R2 ; f (x1 , x2 ) = (x1 + 2x2 , 0) 3 f : R2 → R2 ; f (x1 , x2 ) = (2x1 − x2 , x1 + 1) sinh viên tự kiểm tra Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 13. Ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính Chéo hóa ma trậnĐịnh nghĩa: Nhân của ánh xạtuyến tínhCho E và F là hai không gian véctơ trên một trường K, f : E → Flà một ánh xạ tuyến. Nhân củaánh xạ f là tập hợp các véc tơ ucủa E sao cho f (u) = 0 và kýhiệu ker f . ker f = {u ∈ E : f (u) = 0} Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 14. Ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính Chéo hóa ma trậnĐịnh nghĩa: Nhân của ánh xạtuyến tínhCho E và F là hai không gian véctơ trên một trường K, f : E → Flà một ánh xạ tuyến. Nhân củaánh xạ f là tập hợp các véc tơ ucủa E sao cho f (u) = 0 và kýhiệu ker f . Hình: Nhân của ánh xạ tuyến tính ker f = {u ∈ E : f (u) = 0} Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 15. Ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính Chéo hóa ma trậnĐịnh nghĩa: Nhân của ánh xạtuyến tínhCho E và F là hai không gian véctơ trên một trường K, f : E → Flà một ánh xạ tuyến. Nhân củaánh xạ f là tập hợp các véc tơ ucủa E sao cho f (u) = 0 và kýhiệu ker f . Hình: Nhân của ánh xạ tuyến tính ker f = {u ∈ E : f (u) = 0}Ví dụ. Xét không gian V các véc tơ hình học. Cho trước một véc tơ u,với mỗi một véc tơ v ∈ V ta xét ánh xạ f : V → R xác định bởif (v ) = uv (tích vô hướng của hai véc tơ u và v ). Chứng tỏ rằng f là ánhxạ tuyến tính và tìm ker f . Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 16. Ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính Chéo hóa ma trậnĐịnh nghĩa: Ảnh của ánh xạtuyến tínhCho E và F là hai không gian véctơ trên một trường K, f : E → Flà một ánh xạ tuyến. Ảnh của ánhxạ f là tập hợp các véc tơ v củaF sao cho tồn tại véc tơ x ∈ E đểf (x) = v và ký hiệu Im f . Im f = {v ∈ F : ∃x ∈ E , f (x) = v } Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 17. Ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính Chéo hóa ma trậnĐịnh nghĩa: Ảnh của ánh xạtuyến tínhCho E và F là hai không gian véctơ trên một trường K, f : E → Flà một ánh xạ tuyến. Ảnh của ánhxạ f là tập hợp các véc tơ v củaF sao cho tồn tại véc tơ x ∈ E đểf (x) = v và ký hiệu Im f . Hình: Ảnh của ánh xạ tuyến tính Im f = {v ∈ F : ∃x ∈ E , f (x) = v } Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 18. Ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính Chéo hóa ma trậnĐịnh nghĩa: Ảnh của ánh xạtuyến tínhCho E và F là hai không gian véctơ trên một trường K, f : E → Flà một ánh xạ tuyến. Ảnh của ánhxạ f là tập hợp các véc tơ v củaF sao cho tồn tại véc tơ x ∈ E đểf (x) = v và ký hiệu Im f . Hình: Ảnh của ánh xạ tuyến tính Im f = {v ∈ F : ∃x ∈ E , f (x) = v } Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 19. Ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính Chéo hóa ma trậnĐịnh lý Ành xạ tuyến tính f : E → F là đơn ánh ⇔ ker f = {0} Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 20. Ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính Chéo hóa ma trậnĐịnh lý Ành xạ tuyến tính f : E → F là đơn ánh ⇔ ker f = {0}Chứng minh. Ánh xạ f là đơn ánh nếu x = y thì f (x) = f (y ). Do đó với v = 0 ta có f (v ) = f (0) nhưng f (0) = 0 tức là với mọiphần tử v = 0 ta có f (v ) = 0, suy ra v ∈ ker f , ker f chỉ chứa phần tử /không. Đảo lại, giả sử ker f = {0}. Gọi u và v là các phần tử của E sao chof (u) = f (v ). Ta chứng minh u = v . Thật vậy, do ánh xạ f là tuyến tínhnên f (u − v ) = f (u) − f (v ) = 0 suy ra u − v ∈ ker f . Do ker f = {0} nênu − v = 0 ⇒ u = v . Vậy f là đơn ánh. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 21. Ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính Chéo hóa ma trậnĐịnh lý Cho ánh xạ tuyến tính f : E → F và ker f = {0}. Khi đó hệ véc tơv1 , v2 , ..., vn độc lập tuyến tính trong E ⇔ hệ véc tơf (v1 ), f (v2 ), ..., f (vn ) độc lập tuyến tính trong F . Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 22. Ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính Chéo hóa ma trậnĐịnh lý Cho ánh xạ tuyến tính f : E → F và ker f = {0}. Khi đó hệ véc tơv1 , v2 , ..., vn độc lập tuyến tính trong E ⇔ hệ véc tơf (v1 ), f (v2 ), ..., f (vn ) độc lập tuyến tính trong F .Chứng minh. (⇒) Giả sử α1 , α2 , ..., αn là các số sao cho:α1 f (v1 ) + α2 f (v2 ) + ... + αn f (vn ) = 0. Ta phải chứng minhα1 = α2 = ... = αn = 0.Từ α1 f (v1 ) + α2 f (v2 ) + ... + αn f (vn ) = 0 do f là ánh xạ tuyến tính nênta có f (α1 v1 + ... + αn vn ) = 0 ⇒ α1 v1 + ... + αn vn ∈ ker f màker f = {0} ⇒ α1 v1 + ... + αn vn = 0 ⇒ α1 = α2 = ... = αn = 0 (dov1 , v2 , ..., vn độc lập tuyến tính trong E ). Vậy hệ véc tơf (v1 ), f (v2 ), ..., f (vn ) độc lập tuyến tính trong F .(⇐) Giả sử α1 v1 + ... + αn vn = 0 ⇒ f (α1 v1 + ... + αn vn ) = 0 ⇒α1 f (v1 ) + α2 f (v2 ) + ... + αn f (vn ) = 0 (do f là ánh xạ tuyến tính) màf (v1 ), f (v2 ), ..., f (vn ) độc lập tuyến tính trong F , suy raα1 = α2 = ... = αn = 0. Vậy hệ véc tơ v1 , v2 , ..., vn độc lập tuyến tínhtrong E .(Chú ý. Điều ngược lại không cần điều kiện ker f = {0} là đơn ánh) Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 23. Ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính Chéo hóa ma trậnĐịnh lýCho ánh xạ tuyến tính f : E → F 1 Nhân của ánh xạ tuyến tính f là không gian con của E . Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 24. Ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính Chéo hóa ma trậnĐịnh lýCho ánh xạ tuyến tính f : E → F 1 Nhân của ánh xạ tuyến tính f là không gian con của E . 2 Ảnh của ánh xạ tuyến tính f là không gian con của F . Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 25. Ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính Chéo hóa ma trậnĐịnh lýCho ánh xạ tuyến tính f : E → F 1 Nhân của ánh xạ tuyến tính f là không gian con của E . 2 Ảnh của ánh xạ tuyến tính f là không gian con của F . 3 dim(ker f ) + dim(Im f ) = dimE Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 26. Ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính Chéo hóa ma trậnĐịnh lýCho ánh xạ tuyến tính f : E → F 1 Nhân của ánh xạ tuyến tính f là không gian con của E . 2 Ảnh của ánh xạ tuyến tính f là không gian con của F . 3 dim(ker f ) + dim(Im f ) = dimEMệnh đềẢnh của ánh xạ tuyến tính là không gian con sinh ra bởi ảnh của một hệsinh của E.Chứng minh xem giáo trình Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 27. Ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính Chéo hóa ma trậnChú ý Để tìm ker f ta sử dụng định nghĩa. Tìm Im f ta có thể làm theocách sau: Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 28. Ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính Chéo hóa ma trậnChú ý Để tìm ker f ta sử dụng định nghĩa. Tìm Im f ta có thể làm theocách sau: 1. Chọn một cơ sở S = {e1 , e2, ..., en } của E . Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 29. Ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính Chéo hóa ma trậnChú ý Để tìm ker f ta sử dụng định nghĩa. Tìm Im f ta có thể làm theocách sau: 1. Chọn một cơ sở S = {e1 , e2, ..., en } của E . 2. Tìm f (e1 ) , f (e2, ) ..., f (en ) Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 30. Ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính Chéo hóa ma trậnChú ý Để tìm ker f ta sử dụng định nghĩa. Tìm Im f ta có thể làm theocách sau: 1. Chọn một cơ sở S = {e1 , e2, ..., en } của E . 2. Tìm f (e1 ) , f (e2, ) ..., f (en ) 3. Im f = f (e1 ) , f (e2, ) ..., f (en ) Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 31. Ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính Chéo hóa ma trậnVí dụCho ánh xạ tuyến tính f : R3 → R3 , ∀x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 , f (x) =f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 + x2 − x3 , 2x1 + 3x2 − x3 , 3x1 + 5x2 − x3 ). 1, Tìm cơ sở và số chiều của ker f . 2, Tìm cơ sở và số chiều của Im f . Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 32. Ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính Chéo hóa ma trậnVí dụCho ánh xạ tuyến tính f : R3 → R3 , ∀x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 , f (x) =f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 + x2 − x3 , 2x1 + 3x2 − x3 , 3x1 + 5x2 − x3 ). 1, Tìm cơ sở và số chiều của ker f . 2, Tìm cơ sở và số chiều của Im f .Giải. ∀x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ ker f ⇔ f (x) = 0⇔ (x1 + x2 − x3 , 2x1 + 3x2 − x3 , 3x1 + 5x2 − x3 ) = 0    x1 + x2 − x3 = 0   x1 = 2α ⇔ 2x1 + 3x2 − x3 = 0 ⇔ x2 = −α ⇒ x = (2α, −α, α) = α (2, −1, 1)   3x1 + 5x2 − x3 = 0 x3 = α  Vậy {(2, −1, 1)} là hệ sinh và cũng là cơ sở của ker f ⇒ dim(ker f ) = 1 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 33. Ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính Chéo hóa ma trậnTìm cơ sở của Im f . Chọn cơ sở chính tắc của R3 là{(1, 0, 0) , (0, 1, 0) , (0, 0, 1)}. Theo mệnh đề suy raIm f = f (1, 0, 0) , f (0, 1, 0) , f (0, 0, 1) . Ta có Im f = f (1, 0, 0) , f (0, 1, 0) , f (0, 0, 1) = (1, 2, 3) , (1, 3, 5) , (−1, −1, −1)Lập ma trận, dùng phép biến đổi theo hàng ta có       1 2 3 1 2 3 1 2 3  1 3 5 → 0 1 2 → 0 1 2  −1 −1 −1 0 1 2 0 0 0Vậy cơ sở của Im f là {(1, 2, 3) , (0, 1, 2)} ⇒ dim (Im f ) = 2 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 34. Ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính Chéo hóa ma trậnVí dụ 2Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 → R3 , biếtf (1, 1, 1) = (1, 2, 1) ; f (1, 1, 2) = (2, 1, −1) ; f (1, 2, 1) = (5, 4, −1). 1, Tìm cơ sở và số chiều của ker f . 2, Tìm cơ sở và số chiều của Im f . Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 35. Ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính Chéo hóa ma trậnVí dụ 2Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 → R3 , biếtf (1, 1, 1) = (1, 2, 1) ; f (1, 1, 2) = (2, 1, −1) ; f (1, 2, 1) = (5, 4, −1). 1, Tìm cơ sở và số chiều của ker f . 2, Tìm cơ sở và số chiều của Im f .Giải.Cách 1 (thường dùng).∀x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 ⇒ x = α (1, 1, 1) + β (1, 1, 2) + γ (1, 2, 1)    α + β + γ = x1  α = 3x1 − x2 − x3⇔ α + β + 2γ = x2 ⇔ β = −x1 + x3 α + 2β + γ = x3 γ = −x1 + x2  ⇒ f (x) = αf (1, 1, 1) + βf (1, 1, 2) + γf (1, 2, 3) == (−4x1 + 4x2 + x3 , x1 + 2x2 − x3 , 5x1 − 2x2 − 2x3 )   −4x1 + 4x2 + x3 = 0 ∀x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ ker f ⇔ f (x) = 0 ⇔ x1 + 2x2 − x3 = 0  5x1 − 2x2 − 2x3 = 0  Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 36. Ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính Chéo hóa ma trận   x1 = 2α  ⇔ x2 = α ⇒ x = (2α, α, 4α) = α (2, 1, 4)  x3 = 4α Vậy cơ sở của ker f là {(2, 1, 4)} và dim(ker f ) = 1.Cách 2. Chọn cơ sở là S = {(1, 1, 1) , (1, 1, 2) , (1, 2, 1)}. Ta có∀x ∈ ker f ⇔ f (x) = 0. Giả sử tọa độ của x trong S là   x1 [x]S =  x2  ⇔ x = x1 (1, 1, 1) + x2 (1, 1, 2) + x3 (1, 2, 1)   x3 ⇒ f (x) = x1 f (1, 1, 1) + x2 f (1, 1, 2) + x3 f (1, 2, 1) = = (x1 + 2x2 + 5x3 , 2x1 + x2 + 4x3 , x1 − x2 − x3 ) Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 37. Ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính Chéo hóa ma trậnta có    x1 + 2x2 + 5x3 = 0   x1 = −α  f (x) = 0 ⇔ 2x1 + x2 + 4x3 = 0 ⇔ x2 = −2α   x1 − x2 − x3 = 0 x3 = α     −α [x]S =  −2α  ⇔ x = −α (1, 1, 1) − 2α (1, 1, 2) + α (1, 2, 1) α ⇔ x = (−2α, −α, −4α) = −α (2, 1, 4)Vậy cơ sở của ker f là {(2, 1, 4)} và dim(ker f ) = 1. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 38. Ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính Chéo hóa ma trậnTìm cơ sở của Im f . Chọn cơ sở của R3 là làS = {(1, 1, 1) , (1, 1, 2) , (1, 2, 1)}. Theo mệnh đề suy raIm f = f (1, 1, 1) , f (1, 1, 2) , f (1, 2, 3) . Ta có Im f = f (1, 1, 1) , f (1, 1, 2) , f (1, 2, 3) = (1, 2, 1) , (2, 1, −1) , (5, 4, −1)Lập ma trận, dùng phép biến đổi theo hàng ta có       1 2 1 1 2 1 1 2 1  2 1 −1  →  0 −3 −3  →  0 1 1  5 4 −1 0 −6 −6 0 0 0Vậy cơ sở của Im f là {(1, 2, 1) , (0, 1, 1)} ⇒ dim (Im f ) = 2 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 39. Ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Ma trận của ánh xạ tuyến tính Biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Ma trận chuyển cơ sở Chéo hóa ma trận Ma trận của ánh xạ tuyến tính khi chuyển cơ sởĐịnh nghĩa Định nghĩa Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 40. Ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Ma trận của ánh xạ tuyến tính Biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Ma trận chuyển cơ sở Chéo hóa ma trận Ma trận của ánh xạ tuyến tính khi chuyển cơ sởĐịnh nghĩa Định nghĩa Cho V và W là hai K không gian véc tơ hữu hạn chiều, E = {e1 , e2 , ..., en } , F = {u1 , u2 , ..., um } lần lượt là các cơ sở của V và W , f : V → W là ánh xạ tuyến tính. Giả sử f (e1 ) = a11 u1 + a12 u2 + ... + a1m um f (e2 ) = a21 u1 + a22 u2 + ... + a2m um . . . . f (en ) = an1 u1 + an2 u2 + ... + anm um Khi đó ma trận   a11 a21 ··· an1  a12 a22 ··· an2  A= . . .   . . .. .   . . . .  a1m a2m ··· anm Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 41. Ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Ma trận của ánh xạ tuyến tính Biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Ma trận chuyển cơ sở Chéo hóa ma trận Ma trận của ánh xạ tuyến tính khi chuyển cơ sởNhận xét 1 AE ,F là ma trận có các cột là tọa độ của các véc tơ f (e1 ) , f (e2 ) , ..., f (en ) trong cơ sở F   | | AEF =  f (e1 ) · · · f (en )  | | Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 42. Ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Ma trận của ánh xạ tuyến tính Biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Ma trận chuyển cơ sở Chéo hóa ma trận Ma trận của ánh xạ tuyến tính khi chuyển cơ sởNhận xét 1 AE ,F là ma trận có các cột là tọa độ của các véc tơ f (e1 ) , f (e2 ) , ..., f (en ) trong cơ sở F   | | AEF =  f (e1 ) · · · f (en )  | | 2 Đặc biệt nếu dim W = dim V = n hoặc W ≡ V thì ma trận của ánh xạ tuyến tính là ma trận vuông cấp n. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 43. Ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Ma trận của ánh xạ tuyến tính Biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Ma trận chuyển cơ sở Chéo hóa ma trận Ma trận của ánh xạ tuyến tính khi chuyển cơ sởVí dụ 1 Cho f : R3 → R2 , f (x1, x2 , x3 ) = (x1 + 2x2 − 3x3 , 2x1 + x3 ). Tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cặp cơ sở E = {(1, 1, 1) ; (1, 0, 1) ; (1, 1, 0)} , F = {(1, 1) ; (1, 2)} Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 44. Ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Ma trận của ánh xạ tuyến tính Biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Ma trận chuyển cơ sở Chéo hóa ma trận Ma trận của ánh xạ tuyến tính khi chuyển cơ sởVí dụ 1 Cho f : R3 → R2 , f (x1, x2 , x3 ) = (x1 + 2x2 − 3x3 , 2x1 + x3 ). Tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cặp cơ sở E = {(1, 1, 1) ; (1, 0, 1) ; (1, 1, 0)} , F = {(1, 1) ; (1, 2)} Giải: Ta có   f (1, 1, 1) = (0, 3) = −3 (1, 1) + 3 (1, 2) −3 −7 4  f (1, 0, 1) = (−2, 3) = −7 (1, 1) + 5 (1, 2) ⇒ AEF =  3 5 −1 f (1, 1, 0) = (3, 2) = 4 (1, 1) − (1, 2)  Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 45. Ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Ma trận của ánh xạ tuyến tính Biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Ma trận chuyển cơ sở Chéo hóa ma trận Ma trận của ánh xạ tuyến tính khi chuyển cơ sởVí dụ 3 Cho ánh xạ tuyến tính f : P2 [x] → P3 [x] xác định bởi f (p(x)) = x 2 p (x) + p(x). Tìm ma trận của f trong cặp cơ sở chính tắc. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 46. Ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Ma trận của ánh xạ tuyến tính Biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Ma trận chuyển cơ sở Chéo hóa ma trận Ma trận của ánh xạ tuyến tính khi chuyển cơ sởVí dụ 3 Cho f : R2 → R3 , f (x1, x2 ) = (x1 + 2x2 , x1 − x2 , −x2 ). Tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cặp cơ sở E = {(1, 1) ; (1, 0)} , F = {(1, 1, 1) ; (−1, 2, 1) ; (1, 3, 2)} Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 47. Ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Ma trận của ánh xạ tuyến tính Biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Ma trận chuyển cơ sở Chéo hóa ma trận Ma trận của ánh xạ tuyến tính khi chuyển cơ sởVí dụ 3 Cho f : R2 → R3 , f (x1, x2 ) = (x1 + 2x2 , x1 − x2 , −x2 ). Tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cặp cơ sở E = {(1, 1) ; (1, 0)} , F = {(1, 1, 1) ; (−1, 2, 1) ; (1, 3, 2)} Giải: Ta có f (1, 1) = (3, 0, −1) = −8 (1, 1, 1) − 5 (−1, 2, 1) + 6 (1, 3, 2) f (1, 0) = (1, 1, 0) = −4 (1, 1, 1) − 2 (−1, 2, 1) + 3 (1, 3, 2)   −8 −4 ⇒ AEF =  −5 −2  6 3 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 48. Ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Ma trận của ánh xạ tuyến tính Biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Ma trận chuyển cơ sở Chéo hóa ma trận Ma trận của ánh xạ tuyến tính khi chuyển cơ sởBiểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính Định lý Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 49. Ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Ma trận của ánh xạ tuyến tính Biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Ma trận chuyển cơ sở Chéo hóa ma trận Ma trận của ánh xạ tuyến tính khi chuyển cơ sởBiểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính Định lý Giả sử V , W là các không gian véc tơ trên trường số thức R, ánh xạ f : V → W là ánh xạ tuyến tính, E = {e1 , e2 , · · · , en } , F = {u1 , u2 , · · · , um } lần lượt là các cơ sở của V và W , AE ,F là mât trận của f trong cặp cơ sở E , F . Khi đó [f (x)]F = AE ,F [x]E và được gọi là biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính f Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 50. Ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Ma trận của ánh xạ tuyến tính Biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Ma trận chuyển cơ sở Chéo hóa ma trận Ma trận của ánh xạ tuyến tính khi chuyển cơ sởBiểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính I Giả sử x ∈ V ⇒ x = α1 e1 + α2 e2 + · · · + αn en , suy ra f (x) = α1 f (e1 ) + α2 f (e2 ) + · · · + αn f (en ) Mặt khác ta có f (e1 ) = a11 u1 + a12 u2 + ... + a1m um f (e2 ) = a21 u1 + a22 u2 + ... + a2m um . . . . f (en ) = an1 u1 + an2 u2 + ... + anm um khi đó f (x) = α1 (a11 u1 + a12 u2 + ... + a1m um ) + α2 (a21 u1 + a22 u2 + ... + a2m um ) + · · · + αn (an1 u1 + an2 u2 + ... + anm um ) = f (en ) = Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 51. Ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Ma trận của ánh xạ tuyến tính Biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Ma trận chuyển cơ sở Chéo hóa ma trận Ma trận của ánh xạ tuyến tính khi chuyển cơ sởBiểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính II (a11 α1 + a21 α2 + ... + an1 αn ) u1 + (a12 α1 + a22 α2 + ... + an2 αn ) u2 + · · · + (a1m α1 + a2m α2 + ... + anm αn ) um suy ra   a11 α1 + a21 α2 + ... + an1 αn  a12 α1 + a22 α2 + ... + an2 αn  [f (x)]F =  .  = AE ,F [x]E    . .  a1m α1 + a2m α2 + ... + anm αn F Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 52. Ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Ma trận của ánh xạ tuyến tính Biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Ma trận chuyển cơ sở Chéo hóa ma trận Ma trận của ánh xạ tuyến tính khi chuyển cơ sởVí dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 → R2 biết ma trận của f trong cặp cơ sở E = {(1, 1, 1) ; (1, 0, 1) ; (1, 1, 0)} , F = {(1, 1) ; (2, 1)} là 2 1 −3 AEF = . 0 3 4 a, Tìm f (3, 1, 5). b, Tìm f (x). Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 53. Ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Ma trận của ánh xạ tuyến tính Biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Ma trận chuyển cơ sở Chéo hóa ma trận Ma trận của ánh xạ tuyến tính khi chuyển cơ sởVí dụ I Giải: a, Ta có x = (3, 1, 5). Xét tở hợp tuyến tính x = (3, 1, 5) , (3, 1, 5) =    α = 3  3 α (1, 1, 1) + β (1, 0, 1) + γ (1, 1, 0) ⇒ ⇒ [x]E =  2  β=2    γ = −2 −2  14 áp dụng công thức [f (x)]F = AEF [x]E ⇒ [f (3, 1, 5)]F = −2 Đổi tọa độ của f (3, 1, 5) sang cơ sở chính tắc f (3, 1, 5) = 14 (1, 1) − 2 (2, 1) = (10, 12) b, Lấy x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 . Xét tổ hợp tuyến tính 1 , x2 , x3 ) = α (1, 1, 1) + β (1, 0, + γ (1, 1, 0) ⇒ (x 1)   α = −x1 + x2 + x3  −x1 + x2 + x3 β = x1 − x2 ⇒ [x]E =  x1 − x2     γ = x1 − x3 x1 − x3  Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 54. Ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Ma trận của ánh xạ tuyến tính Biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Ma trận chuyển cơ sở Chéo hóa ma trận Ma trận của ánh xạ tuyến tính khi chuyển cơ sởVí dụ II −4x1 + x2 + 5x3 + Mặt khác ta có [f (x)]F = AEF [x]E ⇒ [f (x)]F = 7x1 − 3x2 − 4x3 + Đổi tọa độ của f (x) sang cơ sở chính tắc f (x) = (−4x1 + x2 + 5x3 ) (1, 1) + (7x1 − 3x2 − 4x3 ) (2, 1) = (10x1 − 5x2 − 3x3 , 3x1 − 2x2 + x3 ) Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 55. Ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Ma trận của ánh xạ tuyến tính Biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Ma trận chuyển cơ sở Chéo hóa ma trận Ma trận của ánh xạ tuyến tính khi chuyển cơ sởMa trận chuyển cơ sở Trong không gian véc tơ V cho hai cơ sở E = {e1 , e2 , ..., en } và U = {u1 , u2 , ..., un }. Ta có  u1 = a11 e1 + a12 e2 + · · · a1n en    u2 = a21 e1 + a22 e2 + · · · a2n en   . . .   un = an1 e1 + an2 e2 + · · · ann en Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 56. Ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Ma trận của ánh xạ tuyến tính Biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Ma trận chuyển cơ sở Chéo hóa ma trận Ma trận của ánh xạ tuyến tính khi chuyển cơ sởMa trận chuyển cơ sở Trong không gian véc tơ V cho hai cơ sở E = {e1 , e2 , ..., en } và U = {u1 , u2 , ..., un }. Ta có  u1 = a11 e1 + a12 e2 + · · · a1n en    u2 = a21 e1 + a22 e2 + · · · a2n en   . . .   un = an1 e1 + an2 e2 + · · · ann en Khi đó ma trận   a11 a21 ··· an1  a12 a22 ··· an2  P = .   . ..   . .  a1n a2n ··· ann được gọi là ma trận chuyển cở sở từ E sang U. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 57. Ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Ma trận của ánh xạ tuyến tính Biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Ma trận chuyển cơ sở Chéo hóa ma trận Ma trận của ánh xạ tuyến tính khi chuyển cơ sởMa trận chuyển cơ sở Trong không gian véc tơ V cho hai cơ sở E = {e1 , e2 , ..., en } và U = {u1 , u2 , ..., un }. Ta có  u1 = a11 e1 + a12 e2 + · · · a1n en    u2 = a21 e1 + a22 e2 + · · · a2n en   . . .   un = an1 e1 + an2 e2 + · · · ann en Khi đó ma trận   a11 a21 ··· an1  a12 a22 ··· an2  P = .   . ..   . .  a1n a2n ··· ann được gọi là ma trận chuyển cở sở từ E sang U. Với mỗi véc tơ x ∈ V ta có [x]E = P[x]U . Nếu P khả nghịch thì P −1 là ma trận chuyển từ U sang E . Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 58. Ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Ma trận của ánh xạ tuyến tính Biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Ma trận chuyển cơ sở Chéo hóa ma trận Ma trận của ánh xạ tuyến tính khi chuyển cơ sởMa trận chuyển cơ sở Thậy vậy, ta có ∀x ∈ V ⇔ x = x1 e1 + x2 e2 + · · · + xn en và x = y1 u1 + y2 u2 + · · · + yn un . Mặt khác ta có  u1 = a11 e1 + a12 e2 + · · · a1n en    u2 = a21 e1 + a22 e2 + · · · a2n en   . . .   un = an1 e1 + an2 e2 + · · · ann en Suy ra x = y1 (a11 e1 + a12 e2 + · · · + a1n en ) + y2 (a21 e1 + a22 e2 + · · · + a2n en ) + · · · + +yn (an1 e1 + an2 e2 + · · · + ann en ) = (a11 y1 + a21 y2 + · · · + an1 yn ) e1 + + (a12 y1 + a22 y2 + · · · + an2 yn ) e2 + · · · + (a1n y1 + a2n y2 + · · · + ann yn ) en do đó [x]E = P[x]U . Cấu trúc của ma trận P là P= [u1 ]E [u2 ]E ··· [un ]E Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 59. Ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Ma trận của ánh xạ tuyến tính Biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Ma trận chuyển cơ sở Chéo hóa ma trận Ma trận của ánh xạ tuyến tính khi chuyển cơ sởVí dụ. Trong R3 cho 2 cơ sở E = {(1; 1; 1) , (1; 0; 1) , (1; 1; 0)} và U = {(1; 1; 2) , (1; 2; 1) , (1; 1; 1)}. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ E sang U. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 60. Ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Ma trận của ánh xạ tuyến tính Biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Ma trận chuyển cơ sở Chéo hóa ma trận Ma trận của ánh xạ tuyến tính khi chuyển cơ sởVí dụ. Trong R3 cho 2 cơ sở E = {(1; 1; 1) , (1; 0; 1) , (1; 1; 0)} và U = {(1; 1; 2) , (1; 2; 1) , (1; 1; 1)}. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ E sang U. Giải. Tìm tọa độ của các véc tơ u1 = (1; 1; 2) , u2 = (1; 2; 1) , u3 = (1; 1; 1) theo cơ sở E . Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 61. Ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Ma trận của ánh xạ tuyến tính Biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Ma trận chuyển cơ sở Chéo hóa ma trận Ma trận của ánh xạ tuyến tính khi chuyển cơ sởVí dụ. Trong R3 cho 2 cơ sở E = {(1; 1; 1) , (1; 0; 1) , (1; 1; 0)} và U = {(1; 1; 2) , (1; 2; 1) , (1; 1; 1)}. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ E sang U. Giải. Tìm tọa độ của các véc tơ u1 = (1; 1; 2) , u2 = (1; 2; 1) , u3 =  1; 1) theo cơ sở  .    (1;  E 2 2 1 Ta có [u1 ]E =  0 , [u2 ]E =  −1 , [u3 ]E =  0  −1 0 0 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 62. Ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Ma trận của ánh xạ tuyến tính Biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Ma trận chuyển cơ sở Chéo hóa ma trận Ma trận của ánh xạ tuyến tính khi chuyển cơ sởVí dụ. Trong R3 cho 2 cơ sở E = {(1; 1; 1) , (1; 0; 1) , (1; 1; 0)} và U = {(1; 1; 2) , (1; 2; 1) , (1; 1; 1)}. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ E sang U. Giải. Tìm tọa độ của các véc tơ u1 = (1; 1; 2) , u2 = (1; 2; 1) , u3 =  1; 1) theo cơ sở  .    (1;  E 2 2 1 Ta có [u1 ]E =  0 , [u2 ]E =  −1 , [u3 ]E =  0  −1 0 0 Suy ra   2 2 1 P =  0 −1 0  −1 0 0 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 63. Ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Ma trận của ánh xạ tuyến tính Biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Ma trận chuyển cơ sở Chéo hóa ma trận Ma trận của ánh xạ tuyến tính khi chuyển cơ sởMa trận của ánh xạ tuyến tính khi chuyển cơ sở Cho ánh xạ tuyến tính f : V → W , (V , W là các không gian véc tơ). Giả sử trong V có hai cơ sở là E = {e1 , e2 , ..., en } , E = e1 , e2 , ..., en , trong W có hai cơ sở là U = {u1 , u2 , ..., un } , U = u1 , u2 , ..., un và P là ma trận chuyển cơ sở từ E sang E , Q là ma trận chuyển cơ sở từ U sang U , A là ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cặp cơ sở E , U. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 64. Ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Ma trận của ánh xạ tuyến tính Biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Ma trận chuyển cơ sở Chéo hóa ma trận Ma trận của ánh xạ tuyến tính khi chuyển cơ sởMa trận của ánh xạ tuyến tính khi chuyển cơ sở Cho ánh xạ tuyến tính f : V → W , (V , W là các không gian véc tơ). Giả sử trong V có hai cơ sở là E = {e1 , e2 , ..., en } , E = e1 , e2 , ..., en , trong W có hai cơ sở là U = {u1 , u2 , ..., un } , U = u1 , u2 , ..., un và P là ma trận chuyển cơ sở từ E sang E , Q là ma trận chuyển cơ sở từ U sang U , A là ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cặp cơ sở E , U. Với mỗi x ∈ V ta có [f (x)]U = AE ,U [x]E ⇔ Q[f (x)]U = AE ,U P[x]E ⇔ [f (x)]U = Q −1 AE ,U P[x]E Khi đó Q −1 AEU P là ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cặp cơ sở E ,U . Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 65. Ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Ma trận của ánh xạ tuyến tính Biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Ma trận chuyển cơ sở Chéo hóa ma trận Ma trận của ánh xạ tuyến tính khi chuyển cơ sởSơ đồ Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 66. Ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Ma trận của ánh xạ tuyến tính Biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Ma trận chuyển cơ sở Chéo hóa ma trận Ma trận của ánh xạ tuyến tính khi chuyển cơ sởMa trận của ánh xạ tuyến tính khi chuyển cơ sở Đặc biệt nếu ánh xạ tuyến tính f : V → V , trong V có hai cơ sở E = {e1 , e2 , ..., en } , E = e1 , e2 , ..., en và P là ma trận chuyển cở sở từ E sang E , A là ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cơ sở E . Khi đó P −1 AP là ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở E . Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 67. Ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Ma trận của ánh xạ tuyến tính Biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Ma trận chuyển cơ sở Chéo hóa ma trận Ma trận của ánh xạ tuyến tính khi chuyển cơ sởMa trận của ánh xạ tuyến tính khi chuyển cơ sở Đặc biệt nếu ánh xạ tuyến tính f : V → V , trong V có hai cơ sở E = {e1 , e2 , ..., en } , E = e1 , e2 , ..., en và P là ma trận chuyển cở sở từ E sang E , A là ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cơ sở E . Khi đó P −1 AP là ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở E . Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 68. Ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Ma trận của ánh xạ tuyến tính Biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Ma trận chuyển cơ sở Chéo hóa ma trận Ma trận của ánh xạ tuyến tính khi chuyển cơ sởMa trận đồng dạng Định nghĩa. Cho hai ma trận A, B vuông cấp n. A và B được gọi là hai ma trận đồng dạng nếu tồn tại ma trận khả nghịch P sao cho P −1 AP = B. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 69. Ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Ma trận của ánh xạ tuyến tính Biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Ma trận chuyển cơ sở Chéo hóa ma trận Ma trận của ánh xạ tuyến tính khi chuyển cơ sởMa trận đồng dạng Định nghĩa. Cho hai ma trận A, B vuông cấp n. A và B được gọi là hai ma trận đồng dạng nếu tồn tại ma trận khả nghịch P sao cho P −1 AP = B. Hệ quả. Cho ánh xạ tuyến tính f : V → V , trong V có hai cơ sở E , F và A là ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở E , B là ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở F . Khi đó A và B là hai ma trận đồng dạng. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 70. Ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Đa thức đặc trưng Chéo hóa ma trậnĐịnh nghĩa Cho ánh xạ tuyến tính f : V → V . Véc tơ x ∈ V , (x = 0) được gọi làvéc tơ riêng của ánh xạ tuyến f nếu tồn tại một số λ (thực hoặc phức)sao cho f (x) = λx. Số λ được gọi là giá trị riêng liên kết với véc tơ riêngx của f . Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 71. Ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Đa thức đặc trưng Chéo hóa ma trậnĐịnh nghĩa Cho ánh xạ tuyến tính f : V → V . Véc tơ x ∈ V , (x = 0) được gọi làvéc tơ riêng của ánh xạ tuyến f nếu tồn tại một số λ (thực hoặc phức)sao cho f (x) = λx. Số λ được gọi là giá trị riêng liên kết với véc tơ riêngx của f .Ví dụ. Trong R2 , xét ánh xạ tuyến tính xác định bởi f (x1 ; x2 ) = (x2 ; x1 ). Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 72. Ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Đa thức đặc trưng Chéo hóa ma trậnĐịnh nghĩa Cho ánh xạ tuyến tính f : V → V . Véc tơ x ∈ V , (x = 0) được gọi làvéc tơ riêng của ánh xạ tuyến f nếu tồn tại một số λ (thực hoặc phức)sao cho f (x) = λx. Số λ được gọi là giá trị riêng liên kết với véc tơ riêngx của f .Ví dụ. Trong R2 , xét ánh xạ tuyến tính xác định bởi f (x1 ; x2 ) = (x2 ; x1 ).Ta có f (1; 1) = (1; 1) = 1 (1; 1), khi đó số λ = 1 là giá trị riêng liên kếtvới véc tơ x = (1; 1). Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 73. Ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Đa thức đặc trưng Chéo hóa ma trậnĐịnh nghĩa Cho ánh xạ tuyến tính f : V → V . Véc tơ x ∈ V , (x = 0) được gọi làvéc tơ riêng của ánh xạ tuyến f nếu tồn tại một số λ (thực hoặc phức)sao cho f (x) = λx. Số λ được gọi là giá trị riêng liên kết với véc tơ riêngx của f .Ví dụ. Trong R2 , xét ánh xạ tuyến tính xác định bởi f (x1 ; x2 ) = (x2 ; x1 ).Ta có f (1; 1) = (1; 1) = 1 (1; 1), khi đó số λ = 1 là giá trị riêng liên kếtvới véc tơ x = (1; 1).Tương tự ta có f (1; −1) = (−1; 1) = −1 (1; −1), khi đó số λ = −1 làgiá trị riêng liên kết với véc tơ riêng x = (1; −1). Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 74. Ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Đa thức đặc trưng Chéo hóa ma trậnNhận xét. 1 Mỗi véc tơ riêng có duy nhất một giá trị riêng. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 75. Ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Đa thức đặc trưng Chéo hóa ma trậnNhận xét. 1 Mỗi véc tơ riêng có duy nhất một giá trị riêng. 2 Ngược lại, mỗi giá trị riêng có thể liên kết với nhiều véc tơ riêng. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 76. Ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Đa thức đặc trưng Chéo hóa ma trậnNhận xét. 1 Mỗi véc tơ riêng có duy nhất một giá trị riêng. 2 Ngược lại, mỗi giá trị riêng có thể liên kết với nhiều véc tơ riêng. 1, Thật vậy, giả sử véc tơ riêng x có hai giá trị riêng λ và η, ta có f (x) = λx = ηx ⇔ (λ − η) x = 0 ⇒ λ = η (do x = 0). Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 77. Ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Đa thức đặc trưng Chéo hóa ma trậnNhận xét. 1 Mỗi véc tơ riêng có duy nhất một giá trị riêng. 2 Ngược lại, mỗi giá trị riêng có thể liên kết với nhiều véc tơ riêng. 1, Thật vậy, giả sử véc tơ riêng x có hai giá trị riêng λ và η, ta có f (x) = λx = ηx ⇔ (λ − η) x = 0 ⇒ λ = η (do x = 0). 2, Giả sử λ là giá trị riêng liên kết với véc tơ riêng x, và k là một số khác không. Do f là ánh xạ tuyến tính nên ta có f (kx) = kf (x) = k (λx) = λ (kx) Vậy λ cũng là giá trị riêng liên kết với véc tơ riêng kx. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 78. Ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Đa thức đặc trưng Chéo hóa ma trậnĐa thức đặc trưng Cho ánh xạ tuyến tính f : E → E . Giả sử A là ma trận của phép biến đổi đó theo cơ sở e1 , e2 , ..., en . Ta ký hiệu véc tơ riêng v ∈ E dưới dạng ma trận cột là X thì dạng ma trận của biểu thức f (v ) = λv sẽ là: AX = λX hay (A − λI )X = 0 (1) Trong đó I là ma trận đơn vị cùng cấp với ma trận A. Biểu thức (1) là một hệ n phương trình tuyến tính thuần nhất. Theo quy tắc Cramer, nếu det(A − λI ) = 0 thì hệ có nghiệm tầm thường duy nhất X = 0. Vậy để hệ (1) có nghiệm khác không thì điều kiện cần và đủ là: det(A − λI ) = 0 (2) Các giá trị riêng λ của ma trận A hay của ánh xạ f là các nghiệm của phương trình (2) Định nghĩa: Định thức det(A − λI ) = 0 là một đa thức bậc n đối với λ và được gọi là đa thức đặc trưng hay phương trình đặc trưng của A (hay của ánh xạ f ). Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 79. Ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Đa thức đặc trưng Chéo hóa ma trậnCác bước tìm giá trị riêng, véc tơ riêng 1 Tìm ma trận A của ánh xạ tuyến tính. 2 Giải phương trình đặc trưng det(A − λI ) = 0, tìm các λ. 3 Ứng với mỗi giá trị riêng λ thay vào phương trình (A − λI )X = 0 tìm các véc tơ riêng X . Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 80. Ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Đa thức đặc trưng Chéo hóa ma trậnVí dụ I 6 2 Cho ánh xạ tuyến tính f : R2 → R2 có ma trận A = . Hãy 2 3 tìm các giá trị riêng và véc tơ riêng của nó.
  • 81. Ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Đa thức đặc trưng Chéo hóa ma trậnVí dụ II + Với λ2 = 7 ta có phương trình −x1 + 2x2 =0 ⇔ x1 = 2x2 2x1 − 4x2 =0 Chọn x2 = 1 suy ra x1 = 2. Vậy véc tơ riêng ứng với giá trị riêng λ2 = 7 là v2 = (2, 1)
  • 82. Ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Đa thức đặc trưng Chéo hóa ma trậnVí dụ Tìm các giá trị riêng và véc tơ riêng của ma trận   2 −1 1 A =  −1 2 −1  0 0 1 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 83. Ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Đa thức đặc trưng Chéo hóa ma trậnVí dụ I Giải: + Phương trình đặc trưng là 2−λ −1 1 2 det(A−λI ) = −1 2−λ −1 = (1−λ) (2 − λ) − 1 = (1 − λ)2 (3−λ 0 0 1−λ có nghiệm kép λ1,2 = 1 và nghiệm đơn λ3 = 3 + Với λ1,2 = 1 thay vào phương trình (A − λI )X = 0 ta có x1 − x2 + x3 = 0 ⇔ x1 = x2 − x3 −x1 + x2 − x3 = 0 suy ra X = (x2 − x3 , x2 , x3 ) = x2 (1, 1, 0) + x3 (−1, 0, 1). Các véc tơ riêng ứng với λ1,2 = 1 là v1 = (1, 1, 0), v2 = (−1, 0, 1). Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 84. Ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Đa thức đặc trưng Chéo hóa ma trậnVí dụ II + Với λ3 = 3 ta có   −x1 − x2 + x3 = 0 x1 = −x2 −x1 − x2 − x3 = 0 ⇔  x3 = 0 x3 = 0 Suy ra X = (x1 , −x1 , 0) = x1 (1, −1, 0). Véc tơ riêng ứng với λ3 = 3 là v3 = (1, −1, 0). Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 85. Ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Đa thức đặc trưng Chéo hóa ma trậnĐịnh lý I Định lý Các véc tơ riêng ứng với các giá trị riêng khác nhau thì độc lập tuyến tính. Chứng minh: Giả sử v1 , v2 , ..., vn là các véc tơ ứng với n giá trị riêng khác nhau λ1 , λ2 , ..., λn của ánh xạ tuyến tính f . Giả sử hạng của hệ véc tơ v1 , v2 , ..., vn là r với r < n (tức là số véc tơ độc lập tuyến tính lớn nhất của hệ là r ). Không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết đó là r véc tơ đầu v1 , v2 , ..., vr . Khi đó các véc tơ còn lại sẽ là tổ hợp tuyến tính của r véc tơ đó vr +1 = α1 v1 + α2 v2 + ... + αr vr (3) Do f là ánh xạ tuyến tính nên f (vr +1 ) = α1 f (v1 ) + α2 f (v2 ) + ... + αr f (vr ) Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 86. Ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Đa thức đặc trưng Chéo hóa ma trậnĐịnh lý II Các vi là các véc tơ riêng nên f (vi ) = λi vi , ta có λr +1 vr +1 = α1 λ1 v1 + α2 λ2 v2 + ... + αr λr vr Thay vr +1 bởi (3) ta được λr +1 (α1 v1 + α2 v2 + ... + αr vr ) = α1 λ1 v1 + α2 λ2 v2 + ... + αr λr vr suy ra α1 (λr +1 − λ1 )v1 + α2 (λr +1 − λ2 )v2 + ... + αr (λr +1 − λr )vr = 0 Vì các véc tơ v1 , v2 , ..., vr độc lập tuyến tính và các λi đôi một khác nhau nên α1 = α2 = ... = αr = 0. Thay vào (3) ta được vr +1 = 0, mâu thuẫn với giả thiết vr +1 là véc tơ riêng, do đó r = n. Vậy v1 , v2 , ..., vn độc lập tuyến tính. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 87. Ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Ma trận của ánh xạ tuyến tính Các định lý Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Ví dụ Chéo hóa ma trận Bài tậpĐịnh nghĩa Định nghĩa Ma trận vuông A được gọi là chéo hóa được nếu A đồng dạng với ma trận chéo, tức là; tồn tại ma trận khả nghịch P cùng cấp với ma trận A sao cho P −1 AP = D, trong đó D là ma trận chéo. Vậy để chéo hóa ma trận A ta đi tìm ma trận khả nghịch P và ma trận chéo D, nhưng không phải tất cả các ma trận vuông đều chéo hóa được! Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 88. Ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Ma trận của ánh xạ tuyến tính Các định lý Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Ví dụ Chéo hóa ma trận Bài tậpĐịnh lý I Định lý Giả sử A là ma trận vuông cấp n. Khi đó A chéo hóa được khi và chỉ khi A có n véc tơ riêng độc lập tuyến tính. Chứng minh: a, Giả sử A chéo hóa được, theo định nghĩa tồn tại ma trận khả nghịch P   p11 p12 · · · p1n  p21 p22 · · · p2n  P = . .     . .. .  . . . pn1 pn2 ··· pnn sao cho P −1 AP = D, trong đó   λ1 0 ··· 0  0 λ2 ··· 0  D= . .    . .. .  . . .  0 ··· λn Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 89. Ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Ma trận của ánh xạ tuyến tính Các định lý Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Ví dụ Chéo hóa ma trận Bài tậpĐịnh lý II suy ra AP = PD Gọi p1 , p2 , · · · , pn là các véc tơ cột của P,khi đó các cột liên tiếp của AP là Ap1 , Ap2 , · · · , Apn . Mặt khác    p11 p12 · · · p1n λ1 0 · · · 0  p21 p22 · · · p2n   0 λ2 · · · 0  PD =  .  . =     . ..  . .. . . . .  pn1 pn2 · · · pnn 0 0 · · · λn   λ1 p11 λ2 p12 · · · λn p1n  λ1 p21 λ2 p22 · · · λn p2n  = .   . ..   . .  λ1 pn1 λ2 pn2 · · · λn pnn Do AP = PD nên Ap1 = λ1 p1 , Ap2 = λ2 p2 , · · · , Apn = λn pn Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 90. Ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Ma trận của ánh xạ tuyến tính Các định lý Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Ví dụ Chéo hóa ma trận Bài tậpĐịnh lý III Vì P khả nghịch nên các cột pi = 0, do đó λ1 , λ2 , · · · , λn là các giá trị riêng của A và p1 , p2 , · · · , pn là các véc tơ riêng tương ứng. Vì P khả nghịch nên det (P) = 0, suy ra các véc tơ p1 , p2 , · · · , pn độc lập tuyến tính. Vậy A chéo hóa được thì A có n véc tơ riêng độc lập tuyến tính. b, Giả sử A có n véc tơ riêng độc lập tuyến tính p1 , p2 , · · · , pn với các giá trị riêng tương ứng λ1 , λ2 , · · · , λn và   p11 p12 · · · p1n  p21 p22 · · · p2n  P = .    . ..  . .  pn1 pn2 ··· pnn là ma trận có các cột là p1 , p2 , · · · , pn . Các cột của tích AP là Ap1 , Ap2 , · · · , Apn . Nhưng Ap1 = λ1 p1 , Ap2 = λ2 p2 , · · · , Apn = λn pn Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 91. Ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Ma trận của ánh xạ tuyến tính Các định lý Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Ví dụ Chéo hóa ma trận Bài tậpĐịnh lý IV nên ta có   λ1 p11 λ2 p12 ··· λn p1n  λ1 p21 λ2 p22 ··· λn p2n  AP =  . =   . ..  . .  λ1 pn1 λ2 pn2 · · · λn pnn    p11 p12 · · · p1n λ1 0 · · · 0  p21 p22 · · · p2n   0 λ2 · · · 0  = .  .  = PD    . ..  . ..  . . . .  pn1 pn2 ··· pnn 0 0 ··· λn trong đó D là ma trận chéo có những véc tơ riêng trên đường chéo chính. Vì những véc tơ cột của P là độc lập tuyến tính nên P khả nghịch, do đó AP = PD ⇔ P −1 AP = D. Vậy khi A có n véc tơ riêng độc lập tuyến tính thì A chéo hóa được. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 92. Ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Ma trận của ánh xạ tuyến tính Các định lý Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Ví dụ Chéo hóa ma trận Bài tậpĐịnh lý I Định lý Giả sử f là một ánh xạ từ không gian n chiều E vào chính nó. Nếu các trị riêng λ1 , λ2 , ..., λn của f đôi một khác nhau thì các véc tơ riêng v1 , v2 , ..., vn tương ứng của chúng lập thành một cơ sở của E . Chứng minh: Do số chiều của E là n nên ta chỉ cần phải chứng minh n véc tơ v1 , v2 , ..., vn độc lập tuyến tính. Vì v1 , v2 , ..., vn là các véc tơ riêng ứng với n giá trị riêng khác nhau, theo định lý trên suy ra v1 , v2 , ..., vn độc lập tuyến tính. Mặt khác dim E = n, suy ra v1 , v2 , ..., vn là một cơ sở của E . Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 93. Ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Ma trận của ánh xạ tuyến tính Các định lý Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Ví dụ Chéo hóa ma trận Bài tậpHệ quả Hệ quả Nếu ma trận vuông A có đúng n giá trị riêng phân biệt thì A chéo hóa được. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 94. Ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Ma trận của ánh xạ tuyến tính Các định lý Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Ví dụ Chéo hóa ma trận Bài tậpChú ý: Các bước chéo hóa ma trận A vuông cấp n 1 Giải phương trình đặc trưng det (A − λI ) = 0, tìm các giá trị riêng λ. 2 Với mỗi giá trị riêng λ, thay vào phương trình (A − λI ) X = 0, tìm các véc tơ riêng X . 3 Kết luận. Nếu A không có đủ n véc tơ riêng độc lập tuyến tính thì A không chéo hóa được. Nếu A có đủ n véc tơ riêng độc lập tuyến tính thì A chéo hóa được và     λ1 | | |  λ2  P =  X1 X2 · · · Xn  , P −1 AP = D =    ..  | | |  .  λn Trong đó ma trận chuyển P là ma trận có các cột là tọa độ của các véc tơ riêng, D là ma trận chéo Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 95. Ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Ma trận của ánh xạ tuyến tính Các định lý Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Ví dụ Chéo hóa ma trận Bài tậpVí dụ I Chéo hóa ma trận A (nếu được), biết   1 3 3 A =  −3 −5 −3  3 3 1 Giải Bước 1: Giải phương trình đặc trưng tìm các giá trị riêng của A λ=1 0 = det(A − λI ) = −λ3 − 3λ2 + 4 = −(λ − 1)(λ + 2)2 ⇔ λ = −2 Bước 2: Tìm các véc tơ riêng: + Với λ1 = 1 ta có hệ phương trình      0 3 3 x1 0 x1 = −x2 (A − λ1 I ) X =  −3 −6 −3   x2  =  0  ⇔ 3 3 0 x3 0 x3 = −x2 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 96. Ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Ma trận của ánh xạ tuyến tính Các định lý Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Ví dụ Chéo hóa ma trận Bài tậpVí dụ II   1 Khi đó ta có véc tơ riêng tương ứng là v1 =  −1  1 + Với λ2 = −2 ta có hệ phương trình    x   0 3 3 3 1  −3 −3 −3   x2  =  0 ⇔ x1 = −x2 − x3     3 3 3 x3 0 Suy ra véc tơ riêng có dạng v = (x1 , x2 , x3 ) = (−x2 − x3 , x2 , x3 ) = (−x2 , x2 , + (−x3 , 0, x3 ). Khi đó  0)   −1 −1 ta có 2 véc tơ riêng tương ứng là v2 =  1  , v3 =  0  0 1 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 97. Ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Ma trận của ánh xạ tuyến tính Các định lý Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Ví dụ Chéo hóa ma trận Bài tậpVí dụ III Bước 3: Ta có các véc tơ v1 , v2 , v3 độc lập tuyến tính nên A có đủ 3 véc tơ độc lập tuyến tính, vậy A chéo hóa được. Ma trận chuyển và ma trận chéo là     1 −1 −1 1 0 0 P =  −1 1 0  , D =  0 −2 0  1 0 1 0 0 −2 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 98. Ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Ma trận của ánh xạ tuyến tính Các định lý Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Ví dụ Chéo hóa ma trận Bài tậpVí dụ I Chéo hóa ma trận A (nếu được), biết   2 4 3 A =  −4 −6 −3  3 3 1 Giải: + Giải phương trình đặc trưng λ=1 0 = det(A − λI ) = −λ3 − 3λ2 + 4 = −(λ − 1)(λ + 2)2 ⇔ λ = −2   1 + Với λ1 = 1 ta tìm được véc tơ riêng tương ứng là v1 =  −1  1   −1 + Với Với λ2 = −2 ta tìm được véc tơ riêng tương ứng là v2 =  1  0 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 99. Ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Ma trận của ánh xạ tuyến tính Các định lý Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Ví dụ Chéo hóa ma trận Bài tậpVí dụ II + Vậy A chỉ có 2 véc tơ riêng nên A không chéo hóa được. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 100. Ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Ma trận của ánh xạ tuyến tính Các định lý Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Ví dụ Chéo hóa ma trận Bài tậpBài tập I 1 Trong các ánh xạ f : R3 → R xác định sau đây, ánh xạ nào là tuyến tính a) f (x, y , z) = 3x + 2y − 5z b) f (x, y , z) = 5x − 3y c) f (x, y , z) = 10x + 4y − 3z + 1 2 Cho ánh xạ f : R3 → R2 , xác định bởi a, Tìm m để f là ánh xạ tuyến tính. b, Tìm cơ sở và số chiều của Im f , Ker f với m vừa tìm được. 3 Cho ánh xạ f : P2 [x] → P2 [x] , xác định bởi f (p(x)) = xp (x) + p(x), p (x) là đạo hàm cấp 1 của p(x). a, Chứng minh rằng f là ánh xạ tuyến tính . b, Tìm ma trận của f trong cặp cơ sở E , F , biết 2 E = 1, x, x 2 , F = 1, 1 − x, (1 − x) Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  • 101. Ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Ma trận của ánh xạ tuyến tính Các định lý Giá trị riêng, véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính Ví dụ Chéo hóa ma trận Bài tậpBài tập II 4 Cho ánh xạ f : R3 → R2 xác định bởi f (x, y , z) = (x − y − z, x + y + z + 3m), m là tham số. a. Xác định m để f là ánh xạ tuyến tính, sau đó tìm cơ sở và số chiều của Im f , Ker f với m vừa tìm được. b. Với m tìm được, tìm ma trận của ánh xạ f trong cặp cơ sở của R3 là u1 = (1, 1, 0), u2 = (1, 0, 1), u3 = (0, 1, 1) và cơ sở của R2 là v1 = (1, 0), v2 = (2, 1) 5 Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 → R3 xác định bởi f (x, y , z) = (2x − y + z, −x + 2y − z, z) a, Tìm ma trận của f trong cặp cơ sở chính tắc. b, Tìm giá trị riêng, véc tơ riêng của f . 6 Chéo hóa ma trận sau và đưa ra ma trận chuyển (nếu có)   7 −2 0 A =  −2 6 −2  0 −2 5 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH