Your SlideShare is downloading. ×
  • Like
  • Save
Chuong2
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Thanks for flagging this SlideShare!

Oops! An error has occurred.

×

Now you can save presentations on your phone or tablet

Available for both IPhone and Android

Text the download link to your phone

Standard text messaging rates apply
Published

 

  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Be the first to comment
No Downloads

Views

Total Views
3,382
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
2

Actions

Shares
Downloads
0
Comments
0
Likes
5

Embeds 0

No embeds

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
    No notes for slide

Transcript

  • 1. Các phép toán trên ma trận Định thức Ma trận nghịch đảo Hạng của ma trận Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Ngày 11 tháng 11 năm 2010Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 2. Các phép toán trên ma trận Định thức Ma trận nghịch đảo Hạng của ma trậnChương II: Ma trận, định thức 2.1 Các phép toán trên ma trận. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 3. Các phép toán trên ma trận Định thức Ma trận nghịch đảo Hạng của ma trậnChương II: Ma trận, định thức 2.1 Các phép toán trên ma trận. 2.2 Định thức. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 4. Các phép toán trên ma trận Định thức Ma trận nghịch đảo Hạng của ma trậnChương II: Ma trận, định thức 2.1 Các phép toán trên ma trận. 2.2 Định thức. 2.3 Ma trận nghịch đảo. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 5. Các phép toán trên ma trận Định thức Ma trận nghịch đảo Hạng của ma trậnChương II: Ma trận, định thức 2.1 Các phép toán trên ma trận. 2.2 Định thức. 2.3 Ma trận nghịch đảo. 2.4 Hạng của ma trận. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 6. Các phép toán trên ma trận Định thức Ma trận nghịch đảo Hạng của ma trậnChương II: Ma trận, định thức 2.1 Các phép toán trên ma trận. 2.2 Định thức. 2.3 Ma trận nghịch đảo. 2.4 Hạng của ma trận. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 7. Các phép toán trên ma trận Định nghĩa ma trận Định thức Các ví dụ Ma trận nghịch đảo Các phép tính trên ma trận Hạng của ma trậnĐịnh nghĩa ma trận Định nghĩa ma trận Cho m, n là hai số nguyên dương. Bảng mxn số thực gồm m hàng, n cột được gọi là ma trận loại mxn.   a11 a12 ... a1n  a a22 ... a2n  A =  21  ...  (1) ... ... ...  am1 am2 ... amn hay A = (aij )mxn , i = 1, · · · , m là số hàng, j = 1, · · · , n là số cột. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 8. Các phép toán trên ma trận Định nghĩa ma trận Định thức Các ví dụ Ma trận nghịch đảo Các phép tính trên ma trận Hạng của ma trậnĐịnh nghĩa ma trận Định nghĩa ma trận Cho m, n là hai số nguyên dương. Bảng mxn số thực gồm m hàng, n cột được gọi là ma trận loại mxn.   a11 a12 ... a1n  a a22 ... a2n  A =  21  ...  (1) ... ... ...  am1 am2 ... amn hay A = (aij )mxn , i = 1, · · · , m là số hàng, j = 1, · · · , n là số cột. aij là phần tử nằm ở hàng i, cột j của ma trận. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 9. Các phép toán trên ma trận Định nghĩa ma trận Định thức Các ví dụ Ma trận nghịch đảo Các phép tính trên ma trận Hạng của ma trậnĐịnh nghĩa ma trận Định nghĩa ma trận Cho m, n là hai số nguyên dương. Bảng mxn số thực gồm m hàng, n cột được gọi là ma trận loại mxn.   a11 a12 ... a1n  a a22 ... a2n  A =  21  ...  (1) ... ... ...  am1 am2 ... amn hay A = (aij )mxn , i = 1, · · · , m là số hàng, j = 1, · · · , n là số cột. aij là phần tử nằm ở hàng i, cột j của ma trận. Ma trận hàng: Ma trận chỉ có một hàng, A = (a1j )j=1,...,n Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 10. Các phép toán trên ma trận Định nghĩa ma trận Định thức Các ví dụ Ma trận nghịch đảo Các phép tính trên ma trận Hạng của ma trậnĐịnh nghĩa ma trận Định nghĩa ma trận Cho m, n là hai số nguyên dương. Bảng mxn số thực gồm m hàng, n cột được gọi là ma trận loại mxn.   a11 a12 ... a1n  a a22 ... a2n  A =  21  ...  (1) ... ... ...  am1 am2 ... amn hay A = (aij )mxn , i = 1, · · · , m là số hàng, j = 1, · · · , n là số cột. aij là phần tử nằm ở hàng i, cột j của ma trận. Ma trận hàng: Ma trận chỉ có một hàng, A = (a1j )j=1,...,n Ma trận cột: Ma trận chỉ có một cột, A = (ai1 )i=1,...,m . Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 11. Các phép toán trên ma trận Định nghĩa ma trận Định thức Các ví dụ Ma trận nghịch đảo Các phép tính trên ma trận Hạng của ma trậnMột số khái niệm Ma trận chuyển vị: At , chuyển hàng thành cột, giữ nguyên thứ tự hàng cột. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 12. Các phép toán trên ma trận Định nghĩa ma trận Định thức Các ví dụ Ma trận nghịch đảo Các phép tính trên ma trận Hạng của ma trậnMột số khái niệm Ma trận chuyển vị: At , chuyển hàng thành cột, giữ nguyên thứ tự hàng cột. Ma trận vuông cấp n: Số hàng bằng số cột bằng n. Các phần tử a11 , a22 , ..., ann là các phần tử nằm trên đường chéo chính. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 13. Các phép toán trên ma trận Định nghĩa ma trận Định thức Các ví dụ Ma trận nghịch đảo Các phép tính trên ma trận Hạng của ma trậnMột số khái niệm Ma trận chuyển vị: At , chuyển hàng thành cột, giữ nguyên thứ tự hàng cột. Ma trận vuông cấp n: Số hàng bằng số cột bằng n. Các phần tử a11 , a22 , ..., ann là các phần tử nằm trên đường chéo chính. Ma trận đối xứng: Là ma trận vuông có các phần tử nằm ở vị trí đối xứng bằng nhau: aij = aji Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 14. Các phép toán trên ma trận Định nghĩa ma trận Định thức Các ví dụ Ma trận nghịch đảo Các phép tính trên ma trận Hạng của ma trậnMột số khái niệm Ma trận chuyển vị: At , chuyển hàng thành cột, giữ nguyên thứ tự hàng cột. Ma trận vuông cấp n: Số hàng bằng số cột bằng n. Các phần tử a11 , a22 , ..., ann là các phần tử nằm trên đường chéo chính. Ma trận đối xứng: Là ma trận vuông có các phần tử nằm ở vị trí đối xứng bằng nhau: aij = aji Ma trận chéo: là ma trận vuông mà các phần tử nằm ngoài đường chéo chính đều bằng không. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 15. Các phép toán trên ma trận Định nghĩa ma trận Định thức Các ví dụ Ma trận nghịch đảo Các phép tính trên ma trận Hạng của ma trậnMột số khái niệm Ma trận chuyển vị: At , chuyển hàng thành cột, giữ nguyên thứ tự hàng cột. Ma trận vuông cấp n: Số hàng bằng số cột bằng n. Các phần tử a11 , a22 , ..., ann là các phần tử nằm trên đường chéo chính. Ma trận đối xứng: Là ma trận vuông có các phần tử nằm ở vị trí đối xứng bằng nhau: aij = aji Ma trận chéo: là ma trận vuông mà các phần tử nằm ngoài đường chéo chính đều bằng không. Ma trận đơn vị cấp n: Là ma trận vuông mà các phần tử trên đường chéo chính bằng 1, còn các phần tử khác bằng 0. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 16. Các phép toán trên ma trận Định nghĩa ma trận Định thức Các ví dụ Ma trận nghịch đảo Các phép tính trên ma trận Hạng của ma trậnMột số khái niệm Ma trận chuyển vị: At , chuyển hàng thành cột, giữ nguyên thứ tự hàng cột. Ma trận vuông cấp n: Số hàng bằng số cột bằng n. Các phần tử a11 , a22 , ..., ann là các phần tử nằm trên đường chéo chính. Ma trận đối xứng: Là ma trận vuông có các phần tử nằm ở vị trí đối xứng bằng nhau: aij = aji Ma trận chéo: là ma trận vuông mà các phần tử nằm ngoài đường chéo chính đều bằng không. Ma trận đơn vị cấp n: Là ma trận vuông mà các phần tử trên đường chéo chính bằng 1, còn các phần tử khác bằng 0. Ma trận không: Là ma trận mà mọi phần tử đều bằng không. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 17. Các phép toán trên ma trận Định nghĩa ma trận Định thức Các ví dụ Ma trận nghịch đảo Các phép tính trên ma trận Hạng của ma trậnMột số khái niệm Ma trận chuyển vị: At , chuyển hàng thành cột, giữ nguyên thứ tự hàng cột. Ma trận vuông cấp n: Số hàng bằng số cột bằng n. Các phần tử a11 , a22 , ..., ann là các phần tử nằm trên đường chéo chính. Ma trận đối xứng: Là ma trận vuông có các phần tử nằm ở vị trí đối xứng bằng nhau: aij = aji Ma trận chéo: là ma trận vuông mà các phần tử nằm ngoài đường chéo chính đều bằng không. Ma trận đơn vị cấp n: Là ma trận vuông mà các phần tử trên đường chéo chính bằng 1, còn các phần tử khác bằng 0. Ma trận không: Là ma trận mà mọi phần tử đều bằng không. Hai ma trận được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng cấp và các phần tử ở vị trí tương ứng bằng nhau. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 18. Các phép toán trên ma trận Định nghĩa ma trận Định thức Các ví dụ Ma trận nghịch đảo Các phép tính trên ma trận Hạng của ma trậnCác ví dụ I  1 0 1 2 3 A= ; có ma trận chuyển vị là At =  2 5  0 5 4 3 4   5 −1 0 Ma trận vuông: B =  3 8 2  0 6 4   1 0 0 Ma trận chéo: C =  0 4 0  0 0 −2   1 0 5 Ma trận đối xứng: D =  0 3 7  5 7 2   1 0 0 Ma trận đơn vị cấp 3: I =  0 1 0  0 0 1 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 19. Các phép toán trên ma trận Định nghĩa ma trận Định thức Các ví dụ Ma trận nghịch đảo Các phép tính trên ma trận Hạng của ma trậnCác ví dụ II Ma trận hàng: E = x y z   x Ma trận cột: F =  y  z Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 20. Các phép toán trên ma trận Định nghĩa ma trận Định thức Các ví dụ Ma trận nghịch đảo Các phép tính trên ma trận Hạng của ma trậnCác phép tính trên ma trận Phép cộng hai ma trận cùng loại Cho hai ma trận cùng loại A = (aij )mxn ; B = (bij )mxn . Khi đó ma trận tổng C = A + B = (cij )mxn ; trong đó cij = aij + bij ; i = 1, ..., m; j = 1, ..., n Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 21. Các phép toán trên ma trận Định nghĩa ma trận Định thức Các ví dụ Ma trận nghịch đảo Các phép tính trên ma trận Hạng của ma trậnCác phép tính trên ma trận Phép cộng hai ma trận cùng loại Cho hai ma trận cùng loại A = (aij )mxn ; B = (bij )mxn . Khi đó ma trận tổng C = A + B = (cij )mxn ; trong đó cij = aij + bij ; i = 1, ..., m; j = 1, ..., n Phép nhân một ma trận với một số Cho ma trận A = (aij )mxn và số thực k. Khi đó k.A = (k.aij )mxn ; i = 1, ..., m; j = 1, ..., n Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 22. Các phép toán trên ma trận Định nghĩa ma trận Định thức Các ví dụ Ma trận nghịch đảo Các phép tính trên ma trận Hạng của ma trậnCác phép tính trên ma trận Phép cộng hai ma trận cùng loại Cho hai ma trận cùng loại A = (aij )mxn ; B = (bij )mxn . Khi đó ma trận tổng C = A + B = (cij )mxn ; trong đó cij = aij + bij ; i = 1, ..., m; j = 1, ..., n Phép nhân một ma trận với một số Cho ma trận A = (aij )mxn và số thực k. Khi đó k.A = (k.aij )mxn ; i = 1, ..., m; j = 1, ..., n 1 2 3 2 0 −4 Ví dụ. A = ;B = . 0 5 4 3 −5 2 3 2 −1 2 4 6 Ta có: A + B = ; 2A = 3 0 6 0 10 8 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 23. Các phép toán trên ma trận Định nghĩa ma trận Định thức Các ví dụ Ma trận nghịch đảo Các phép tính trên ma trận Hạng của ma trậnPhép nhân hai ma trậnPhép nhân một ma trận hàng với một ma trận cột Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 24. Các phép toán trên ma trận Định nghĩa ma trận Định thức Các ví dụ Ma trận nghịch đảo Các phép tính trên ma trận Hạng của ma trậnPhép nhân hai ma trậnPhép nhân một ma trận hàng với một ma trận cộtGiả sử U là ma trận 1xn, V là ma trận nx1   v1  v2  U = u1 u2 ... un ; V =  .     ..  vnTích của U và V được xác định: U · V = (u1 .v1 + u2 .v2 + ... + un .vn )1x1 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 25. Các phép toán trên ma trận Định nghĩa ma trận Định thức Các ví dụ Ma trận nghịch đảo Các phép tính trên ma trận Hạng của ma trậnPhép nhân hai ma trậnPhép nhân một ma trận hàng với một ma trận cộtGiả sử U là ma trận 1xn, V là ma trận nx1   v1  v2  U = u1 u2 ... un ; V =  .     ..  vnTích của U và V được xác định: U · V = (u1 .v1 + u2 .v2 + ... + un .vn )1x1Chú ý. Muốn nhân ma trận A với ma trận B thì số cột của A phảibằng số hàng của B Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 26. Các phép toán trên ma trận Định nghĩa ma trận Định thức Các ví dụ Ma trận nghịch đảo Các phép tính trên ma trận Hạng của ma trậnPhép nhân hai ma trậnCho A = (aik ) là ma trận loại (mxp), B = (bkj ) là ma trận loại(pxm). Ma trận tích C = A.B = (cij ) là ma trận loại mxn, trongđó mỗi phần tử của C được xác định bằng (Hàng i của A). (Cột jcủa B) cij = ai1 .b1j + ai2 .b2j + ... + aip .bpj i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 27. Các phép toán trên ma trận Định nghĩa ma trận Định thức Các ví dụ Ma trận nghịch đảo Các phép tính trên ma trận Hạng của ma trậnPhép nhân hai ma trậnCho A = (aik ) là ma trận loại (mxp), B = (bkj ) là ma trận loại(pxm). Ma trận tích C = A.B = (cij ) là ma trận loại mxn, trongđó mỗi phần tử của C được xác định bằng (Hàng i của A). (Cột jcủa B) cij = ai1 .b1j + ai2 .b2j + ... + aip .bpj i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., nVí dụ Cho các ma trận   1 3 0 0 3 1 4A= ; B =  1 1 0 0  ; Tìm ma trận C = A.B 2 0 5 0 0 1 1 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 28. Các phép toán trên ma trận Định nghĩa ma trận Định thức Các ví dụ Ma trận nghịch đảo Các phép tính trên ma trận Hạng của ma trậnGiải C sẽ là ma trận loại 2x4 với các phần tử được xác định: c11 = 3 × 1 + 1 × 1 + 4 × 0 = 4; c12 = 3 × 3 + 1 × 1 + 4 × 0 = 10 c13 = 3 × 0 + 1 × 0 + 4 × 1 = 4; c14 = 3 × 0 + 1 × 0 + 4 × 1 = 4; c21 = 2 × 1 + 0 × 1 + 5 × 0 = 2; c22 = 2 × 3 + 0 × 1 + 5 × 0 = 6; c23 = 2 × 0 + 0 × 0 + 5 × 1 = 5; c24 = 2 × 0 + 0 × 0 + 5 × 1 = 5. Ma trận tích: 4 10 4 4 C= 2 6 5 5 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 29. Các phép toán trên ma trận Định nghĩa ma trận Định thức Các ví dụ Ma trận nghịch đảo Các phép tính trên ma trận Hạng của ma trậnTính chất Nếu các ma trận thỏa mãn điều kiện nhân: A là ma trận loại (mxp), B là ma trận loại (pxq), C là ma trận loại (qxn) thì tích A.B.C có tính chất kết hợp: A.(B.C ) = (A.B).C Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 30. Các phép toán trên ma trận Định nghĩa ma trận Định thức Các ví dụ Ma trận nghịch đảo Các phép tính trên ma trận Hạng của ma trậnTính chất Nếu các ma trận thỏa mãn điều kiện nhân: A là ma trận loại (mxp), B là ma trận loại (pxq), C là ma trận loại (qxn) thì tích A.B.C có tính chất kết hợp: A.(B.C ) = (A.B).C Phép nhân hai ma trận không có tính chất giao hoán Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 31. Các phép toán trên ma trận Định nghĩa ma trận Định thức Các ví dụ Ma trận nghịch đảo Các phép tính trên ma trận Hạng của ma trậnTính chất Nếu các ma trận thỏa mãn điều kiện nhân: A là ma trận loại (mxp), B là ma trận loại (pxq), C là ma trận loại (qxn) thì tích A.B.C có tính chất kết hợp: A.(B.C ) = (A.B).C Phép nhân hai ma trận không có tính chất giao hoán Nếu A, B thỏa mãn điều kiện nhân thì At , B t cũng thỏa mãn điều kiện nhân và ta có: (A.B)t = B t .At . Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 32. Các phép toán trên ma trận Định nghĩa ma trận Định thức Các ví dụ Ma trận nghịch đảo Các phép tính trên ma trận Hạng của ma trậnTính chất Nếu các ma trận thỏa mãn điều kiện nhân: A là ma trận loại (mxp), B là ma trận loại (pxq), C là ma trận loại (qxn) thì tích A.B.C có tính chất kết hợp: A.(B.C ) = (A.B).C Phép nhân hai ma trận không có tính chất giao hoán Nếu A, B thỏa mãn điều kiện nhân thì At , B t cũng thỏa mãn điều kiện nhân và ta có: (A.B)t = B t .At . Trong phép nhân hai ma trận, hệ thức A.B = 0 chưa chắc đã kéo theo hoặc A = 0, hoặc B = 0 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 33. Các phép toán trên ma trận Định nghĩa ma trận Định thức Các ví dụ Ma trận nghịch đảo Các phép tính trên ma trận Hạng của ma trậnTính chất Nếu các ma trận thỏa mãn điều kiện nhân: A là ma trận loại (mxp), B là ma trận loại (pxq), C là ma trận loại (qxn) thì tích A.B.C có tính chất kết hợp: A.(B.C ) = (A.B).C Phép nhân hai ma trận không có tính chất giao hoán Nếu A, B thỏa mãn điều kiện nhân thì At , B t cũng thỏa mãn điều kiện nhân và ta có: (A.B)t = B t .At . Trong phép nhân hai ma trận, hệ thức A.B = 0 chưa chắc đã kéo theo hoặc A = 0, hoặc B = 0 Tính chất của ma trận đơn vị: Mọi ma trận đơn vị I nhân với ma trận vuông A cùng cấp ta luôn có: I .A = A.I = A Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 34. Các phép toán trên ma trận Định thức Định nghĩa định thức Ma trận nghịch đảo Tính chất của định thức Hạng của ma trậnĐịnh nghĩa định thức Cho A là ma trận vuông cấp n. Định thức của ma trận A là một số, ký hiệu là det(A) hoặc |A|. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 35. Các phép toán trên ma trận Định thức Định nghĩa định thức Ma trận nghịch đảo Tính chất của định thức Hạng của ma trậnĐịnh nghĩa định thức Cho A là ma trận vuông cấp n. Định thức của ma trận A là một số, ký hiệu là det(A) hoặc |A|. Ký hiệu Dij là định thức thu được từ A bằng cách bỏ đi hàng i, cột j của ma trận A và được gọi là định thức con của A. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 36. Các phép toán trên ma trận Định thức Định nghĩa định thức Ma trận nghịch đảo Tính chất của định thức Hạng của ma trậnĐịnh nghĩa định thức Cho A là ma trận vuông cấp n. Định thức của ma trận A là một số, ký hiệu là det(A) hoặc |A|. Ký hiệu Dij là định thức thu được từ A bằng cách bỏ đi hàng i, cột j của ma trận A và được gọi là định thức con của A. Phần bù đại số của phần tử aij là đại lượng: Aij = (−1)i+j · Dij Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 37. Các phép toán trên ma trận Định thức Định nghĩa định thức Ma trận nghịch đảo Tính chất của định thức Hạng của ma trậnĐịnh nghĩa định thức bằng quy nạpa, k = 1, A = [a11 ] ⇒ |A| = a11 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 38. Các phép toán trên ma trận Định thức Định nghĩa định thức Ma trận nghịch đảo Tính chất của định thức Hạng của ma trậnĐịnh nghĩa định thức bằng quy nạpa, k = 1, A = [a11 ] ⇒ |A| = a11b, k = 2, a11 a12A= ⇒ |A| = a11 · a22 − a12 · a21 = a11 · A11 + a12 · A12 a21 a22 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 39. Các phép toán trên ma trận Định thức Định nghĩa định thức Ma trận nghịch đảo Tính chất của định thức Hạng của ma trậnĐịnh nghĩa định thức bằng quy nạpa, k = 1, A = [a11 ] ⇒ |A| = a11b, k = 2, a11 a12A= ⇒ |A| = a11 · a22 − a12 · a21 = a11 · A11 + a12 · A12 a21 a22c, k = 3,   a11 a12 a13A =  a21 a22 a23  ⇒ |A| = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13 a31 a32 a33 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 40. Các phép toán trên ma trận Định thức Định nghĩa định thức Ma trận nghịch đảo Tính chất của định thức Hạng của ma trậnĐịnh nghĩa định thức bằng quy nạpa, k = 1, A = [a11 ] ⇒ |A| = a11b, k = 2, a11 a12A= ⇒ |A| = a11 · a22 − a12 · a21 = a11 · A11 + a12 · A12 a21 a22c, k = 3,   a11 a12 a13A =  a21 a22 a23  ⇒ |A| = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13 a31 a32 a33d, k = n,   a11 a12 ... a1n  a a ... a2n A =  21 22  ... ... ... ...  ⇒ |A| = a11 A11 +a12 A12 +...+a1n A1n  an1 an2 ... ann Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 41. Các phép toán trên ma trận Định thức Định nghĩa định thức Ma trận nghịch đảo Tính chất của định thức Hạng của ma trậnVí dụ 3 1 5 Tính D = −1 2 1 −2 4 3 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 42. Các phép toán trên ma trận Định thức Định nghĩa định thức Ma trận nghịch đảo Tính chất của định thức Hạng của ma trậnVí dụ 3 1 5 Tính D = −1 2 1 −2 4 3 Giải D = 3A11 + 1A12 + 5A13 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 43. Các phép toán trên ma trận Định thức Định nghĩa định thức Ma trận nghịch đảo Tính chất của định thức Hạng của ma trậnVí dụ 3 1 5 Tính D = −1 2 1 −2 4 3 Giải D = 3A11 + 1A12 + 5A13 2 4 A11 = (−1)1+1 =2 1 3 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 44. Các phép toán trên ma trận Định thức Định nghĩa định thức Ma trận nghịch đảo Tính chất của định thức Hạng của ma trậnVí dụ 3 1 5 Tính D = −1 2 1 −2 4 3 Giải D = 3A11 + 1A12 + 5A13 2 4 A11 = (−1)1+1 =2 1 3 −1 1 A12 = (−1)1+2 =1 −2 3 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 45. Các phép toán trên ma trận Định thức Định nghĩa định thức Ma trận nghịch đảo Tính chất của định thức Hạng của ma trậnVí dụ 3 1 5 Tính D = −1 2 1 −2 4 3 Giải D = 3A11 + 1A12 + 5A13 2 4 A11 = (−1)1+1 =2 1 3 −1 1 A12 = (−1)1+2 =1 −2 3 −1 2 A13 = (−1)1+3 =0 −2 4 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 46. Các phép toán trên ma trận Định thức Định nghĩa định thức Ma trận nghịch đảo Tính chất của định thức Hạng của ma trậnVí dụ 3 1 5 Tính D = −1 2 1 −2 4 3 Giải D = 3A11 + 1A12 + 5A13 2 4 A11 = (−1)1+1 =2 1 3 −1 1 A12 = (−1)1+2 =1 −2 3 −1 2 A13 = (−1)1+3 =0 −2 4 A = 3.2 + 1.1 + 5.0 = 7 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 47. Các phép toán trên ma trận Định thức Định nghĩa định thức Ma trận nghịch đảo Tính chất của định thức Hạng của ma trậnTính chất Xét định thức D cấp n. Để thuận tiện cho việc phát biểu các tính chất của định thức ta ký hiệu A1 , A2 , ..., An là các cột của định thức và ta viết D = D(A1 , A2 , ..., An ) . Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 48. Các phép toán trên ma trận Định thức Định nghĩa định thức Ma trận nghịch đảo Tính chất của định thức Hạng của ma trậnTính chất Xét định thức D cấp n. Để thuận tiện cho việc phát biểu các tính chất của định thức ta ký hiệu A1 , A2 , ..., An là các cột của định thức và ta viết D = D(A1 , A2 , ..., An ) . Tính chất 1. Định thức của ma trận tích bằng tích các định thức của từng ma trận. Det(A.B) = Det(A).Det(B) Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 49. Các phép toán trên ma trận Định thức Định nghĩa định thức Ma trận nghịch đảo Tính chất của định thức Hạng của ma trậnTính chất Xét định thức D cấp n. Để thuận tiện cho việc phát biểu các tính chất của định thức ta ký hiệu A1 , A2 , ..., An là các cột của định thức và ta viết D = D(A1 , A2 , ..., An ) . Tính chất 1. Định thức của ma trận tích bằng tích các định thức của từng ma trận. Det(A.B) = Det(A).Det(B) Tính chất 2. Nếu một định thức có một cột được phân tích thành tổng của hai cột, chẳng hạn Aj = Aj 1 + Aj 2 thì ta có thể phân tích định thức thành tổng hai định thức: D A1 , ..., A1 + A2 , ...An = D A1 , ..., A1 , ..., An +D A1 , ..., A2 , ... j j j j Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 50. Các phép toán trên ma trận Định thức Định nghĩa định thức Ma trận nghịch đảo Tính chất của định thức Hạng của ma trậnTính chất Xét định thức D cấp n. Để thuận tiện cho việc phát biểu các tính chất của định thức ta ký hiệu A1 , A2 , ..., An là các cột của định thức và ta viết D = D(A1 , A2 , ..., An ) . Tính chất 1. Định thức của ma trận tích bằng tích các định thức của từng ma trận. Det(A.B) = Det(A).Det(B) Tính chất 2. Nếu một định thức có một cột được phân tích thành tổng của hai cột, chẳng hạn Aj = Aj 1 + Aj 2 thì ta có thể phân tích định thức thành tổng hai định thức: D A1 , ..., A1 + A2 , ...An = D A1 , ..., A1 , ..., An +D A1 , ..., A2 , ... j j j j Tính chất 3. Có thể đưa thừa số chung của một cột ra ngoài dấu định thức. D (A1 , ..., kAj , ...An ) = kD (A1 , ..., Aj , ..., An ) . Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 51. Các phép toán trên ma trận Định thức Định nghĩa định thức Ma trận nghịch đảo Tính chất của định thức Hạng của ma trậnTính chất Tính chất 4. Đổi chỗ hai cột thì định thức đổi dấu. D (A1 , ..., Ai , ..., Aj , ...An ) = −D (A1 , ..., Aj , ..., Ai , ...An ) Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 52. Các phép toán trên ma trận Định thức Định nghĩa định thức Ma trận nghịch đảo Tính chất của định thức Hạng của ma trậnTính chất Tính chất 4. Đổi chỗ hai cột thì định thức đổi dấu. D (A1 , ..., Ai , ..., Aj , ...An ) = −D (A1 , ..., Aj , ..., Ai , ...An ) Hệ quả. Định thức có hai cột bằng nhau thì bằng không. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 53. Các phép toán trên ma trận Định thức Định nghĩa định thức Ma trận nghịch đảo Tính chất của định thức Hạng của ma trậnTính chất Tính chất 4. Đổi chỗ hai cột thì định thức đổi dấu. D (A1 , ..., Ai , ..., Aj , ...An ) = −D (A1 , ..., Aj , ..., Ai , ...An ) Hệ quả. Định thức có hai cột bằng nhau thì bằng không. Tính chất 5. Nếu một cột là tổ hợp tuyến tính của các cột khác thì định thức bằng không, Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 54. Các phép toán trên ma trận Định thức Định nghĩa định thức Ma trận nghịch đảo Tính chất của định thức Hạng của ma trậnTính chất Tính chất 4. Đổi chỗ hai cột thì định thức đổi dấu. D (A1 , ..., Ai , ..., Aj , ...An ) = −D (A1 , ..., Aj , ..., Ai , ...An ) Hệ quả. Định thức có hai cột bằng nhau thì bằng không. Tính chất 5. Nếu một cột là tổ hợp tuyến tính của các cột khác thì định thức bằng không, Hệ quả. Nếu thêm vào một cột một tổ hợp tuyến tính của các cột khác thì định thức không đổi. D (A1 , ..., Aj + αι Ai , ..., An ) = D (A1 , ..., Aj , ..., An ) . Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 55. Các phép toán trên ma trận Định thức Định nghĩa định thức Ma trận nghịch đảo Tính chất của định thức Hạng của ma trậnTính chất Tính chất 4. Đổi chỗ hai cột thì định thức đổi dấu. D (A1 , ..., Ai , ..., Aj , ...An ) = −D (A1 , ..., Aj , ..., Ai , ...An ) Hệ quả. Định thức có hai cột bằng nhau thì bằng không. Tính chất 5. Nếu một cột là tổ hợp tuyến tính của các cột khác thì định thức bằng không, Hệ quả. Nếu thêm vào một cột một tổ hợp tuyến tính của các cột khác thì định thức không đổi. D (A1 , ..., Aj + αι Ai , ..., An ) = D (A1 , ..., Aj , ..., An ) . Tính chất 6. det (At ) = det (A). Các tính chất đã phát biểu trên cột cũng đúng trên hàng. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 56. Các phép toán trên ma trận Định thức Định nghĩa định thức Ma trận nghịch đảo Tính chất của định thức Hạng của ma trậnTính chất Định lý khai triển Có thể khai triển định thức của ma trận vuông A theo bất kỳ hàng cột nào. det(A) = ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + ... + ain Ain ; i = 1, 2, ..., n (khai triển theo hàng i) det(A) = a1j A1j + a2j A2j + ... + anj Anj ; j = 1, 2, ..., n (khai triển theo cột j) Các bước khai triển định thức: Bước 1: Chọn một hàng (hay một cột) tùy ý. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 57. Các phép toán trên ma trận Định thức Định nghĩa định thức Ma trận nghịch đảo Tính chất của định thức Hạng của ma trậnTính chất Định lý khai triển Có thể khai triển định thức của ma trận vuông A theo bất kỳ hàng cột nào. det(A) = ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + ... + ain Ain ; i = 1, 2, ..., n (khai triển theo hàng i) det(A) = a1j A1j + a2j A2j + ... + anj Anj ; j = 1, 2, ..., n (khai triển theo cột j) Các bước khai triển định thức: Bước 1: Chọn một hàng (hay một cột) tùy ý. Bước 2: Chọn một phần tử khác không tùy ý của hàng (cột) vừa chọn. Sử dụng các tính chất của định thức để khử các phần tử còn lại. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 58. Các phép toán trên ma trận Định thức Định nghĩa định thức Ma trận nghịch đảo Tính chất của định thức Hạng của ma trậnTính chất Định lý khai triển Có thể khai triển định thức của ma trận vuông A theo bất kỳ hàng cột nào. det(A) = ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + ... + ain Ain ; i = 1, 2, ..., n (khai triển theo hàng i) det(A) = a1j A1j + a2j A2j + ... + anj Anj ; j = 1, 2, ..., n (khai triển theo cột j) Các bước khai triển định thức: Bước 1: Chọn một hàng (hay một cột) tùy ý. Bước 2: Chọn một phần tử khác không tùy ý của hàng (cột) vừa chọn. Sử dụng các tính chất của định thức để khử các phần tử còn lại. Bước 3: Khai triển định thức theo hàng (cột) vừa chọn. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 59. Các phép toán trên ma trận Định thức Định nghĩa định thức Ma trận nghịch đảo Tính chất của định thức Hạng của ma trậnVí dụ Tính định thức: 3 1 5 D= −1 2 1 −2 4 3 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 60. Các phép toán trên ma trận Định thức Định nghĩa định thức Ma trận nghịch đảo Tính chất của định thức Hạng của ma trậnVí dụ Tính định thức: 3 1 5 D= −1 2 1 −2 4 3 Chọn cột 1 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 61. Các phép toán trên ma trận Định thức Định nghĩa định thức Ma trận nghịch đảo Tính chất của định thức Hạng của ma trậnVí dụ Tính định thức: 3 1 5 D= −1 2 1 −2 4 3 Chọn cột 1 Sử dụng phần tử a21 = −1 để khử hai phần tử còn lại của cột một h2 .(3) + h1 → h1 h2 .(−2) + h3 → h3 Định thức sau khi biến đổi là: 0 7 8 D= −1 2 1 0 0 1 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 62. Các phép toán trên ma trận Định thức Định nghĩa định thức Ma trận nghịch đảo Tính chất của định thức Hạng của ma trậnVí dụ Khai triển định thức theo cột 1: 7 8 D = a21 .A21 = (−1) (−1)2+1 =7 0 1 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 63. Các phép toán trên ma trận Định thức Định nghĩa Ma trận nghịch đảo Ví dụ Hạng của ma trậnĐịnh nghĩaMa trận vuông A là khả nghịch nếu tồn tại ma trận B cùng cấpsao cho A · B = B · A = I . Khi đó ta nói ma trận B là ma trậnnghịch đảo của ma trận A, ký hiệu A−1 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 64. Các phép toán trên ma trận Định thức Định nghĩa Ma trận nghịch đảo Ví dụ Hạng của ma trậnĐịnh nghĩaMa trận vuông A là khả nghịch nếu tồn tại ma trận B cùng cấpsao cho A · B = B · A = I . Khi đó ta nói ma trận B là ma trậnnghịch đảo của ma trận A, ký hiệu A−1Định lýĐiều kiện cần và đủ để ma trận A khả nghịch là det(A) = 0 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 65. Các phép toán trên ma trận Định thức Định nghĩa Ma trận nghịch đảo Ví dụ Hạng của ma trậnĐịnh nghĩaMa trận vuông A là khả nghịch nếu tồn tại ma trận B cùng cấpsao cho A · B = B · A = I . Khi đó ta nói ma trận B là ma trậnnghịch đảo của ma trận A, ký hiệu A−1Định lýĐiều kiện cần và đủ để ma trận A khả nghịch là det(A) = 0Các bước tìm ma trận nghịch đảo1. Tính det(A). Nếu det(A) = 0 thì kết luận không có ma trậnnghịch đảo. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 66. Các phép toán trên ma trận Định thức Định nghĩa Ma trận nghịch đảo Ví dụ Hạng của ma trậnĐịnh nghĩaMa trận vuông A là khả nghịch nếu tồn tại ma trận B cùng cấpsao cho A · B = B · A = I . Khi đó ta nói ma trận B là ma trậnnghịch đảo của ma trận A, ký hiệu A−1Định lýĐiều kiện cần và đủ để ma trận A khả nghịch là det(A) = 0Các bước tìm ma trận nghịch đảo1. Tính det(A). Nếu det(A) = 0 thì kết luận không có ma trậnnghịch đảo.2. Chuyển vị A thành At rồi thay các phần tử của At bởi các phầnbù đại số tương ứng, được ma trận phụ hợp A.˜ Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 67. Các phép toán trên ma trận Định thức Định nghĩa Ma trận nghịch đảo Ví dụ Hạng của ma trậnĐịnh nghĩaMa trận vuông A là khả nghịch nếu tồn tại ma trận B cùng cấpsao cho A · B = B · A = I . Khi đó ta nói ma trận B là ma trậnnghịch đảo của ma trận A, ký hiệu A−1Định lýĐiều kiện cần và đủ để ma trận A khả nghịch là det(A) = 0Các bước tìm ma trận nghịch đảo1. Tính det(A). Nếu det(A) = 0 thì kết luận không có ma trậnnghịch đảo.2. Chuyển vị A thành At rồi thay các phần tử của At bởi các phầnbù đại số tương ứng, được ma trận phụ hợp A.˜ 1 ˜3. Cuối cùng ta có A−1 = A. det (A) Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 68. Các phép toán trên ma trận Định thức Định nghĩa Ma trận nghịch đảo Ví dụ Hạng của ma trậnĐịnh nghĩaMa trận vuông A là khả nghịch nếu tồn tại ma trận B cùng cấpsao cho A · B = B · A = I . Khi đó ta nói ma trận B là ma trậnnghịch đảo của ma trận A, ký hiệu A−1Định lýĐiều kiện cần và đủ để ma trận A khả nghịch là det(A) = 0Các bước tìm ma trận nghịch đảo1. Tính det(A). Nếu det(A) = 0 thì kết luận không có ma trậnnghịch đảo.2. Chuyển vị A thành At rồi thay các phần tử của At bởi các phầnbù đại số tương ứng, được ma trận phụ hợp A.˜ 1 ˜3. Cuối cùng ta có A−1 = A. det (A) Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 69. Các phép toán trên ma trận Định thức Định nghĩa Ma trận nghịch đảo Ví dụ Hạng của ma trậnVí dụ Chứng tỏ rằng ma trận A khả nghịch và tìm ma trận nghịch đảo.   1 2 −1 A= 3 0 2  4 −2 5 Ta có: 1 2 −1 det (A) = 3 0 2 = −4. 4 −2 5 Chuyển vị ma trận A ta được: Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 70. Các phép toán trên ma trận Định thức Định nghĩa Ma trận nghịch đảo Ví dụ Hạng của ma trậnVí dụ Chứng tỏ rằng ma trận A khả nghịch và tìm ma trận nghịch đảo.   1 2 −1 A= 3 0 2  4 −2 5 Ta có: 1 2 −1 det (A) = 3 0 2 = −4. 4 −2 5 Chuyển vị ma trận A ta được:   1 3 4 At =  2 0 −2  −1 2 5 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 71. Các phép toán trên ma trận Định thức Định nghĩa Ma trận nghịch đảo Ví dụ Hạng của ma trậnVí dụ Thay các phần tử của At bởi phần bù đại số của nó ta được ma trận phụ hợp: Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 72. Các phép toán trên ma trận Định thức Định nghĩa Ma trận nghịch đảo Ví dụ Hạng của ma trậnVí dụ Thay các phần tử của At bởi phần bù đại số của nó ta được ma trận phụ hợp:   4 −8 4 ˜ A =  −7 9 −5  −6 10 6 Vậy ma trận nghịch đảo của ma trận A là: Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 73. Các phép toán trên ma trận Định thức Định nghĩa Ma trận nghịch đảo Ví dụ Hạng của ma trậnVí dụ Thay các phần tử của At bởi phần bù đại số của nó ta được ma trận phụ hợp:   4 −8 4 ˜ A =  −7 9 −5  −6 10 6 Vậy ma trận nghịch đảo của ma trận A là:   −1 2 −1 1 ˜  7 −9 5  A−1 = A= 4   det (A)  3 −5 4 4  3  2 2 2 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 74. Các phép toán trên ma trận Định thức Định nghĩa Ma trận nghịch đảo Ví dụ Hạng của ma trậnVí dụ Thay các phần tử của At bởi phần bù đại số của nó ta được ma trận phụ hợp:   4 −8 4 ˜ A =  −7 9 −5  −6 10 6 Vậy ma trận nghịch đảo của ma trận A là:   −1 2 −1 1 ˜  7 −9 5  A−1 = A= 4   det (A)  3 −5 4 4  3  2 2 2 Ma trận   1 1 1 B =  1 2 −1  1 0 3 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 75. Các phép toán trên ma trận Định nghĩa hạng của ma trận Định thức Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận Ma trận nghịch đảo Bài tập Hạng của ma trậnĐịnh nghĩa hạng của ma trận Cho A là ma trận loại mxn. Nếu ta lấy ra k hàng và k cột thì các phần tử nằm trên giao điểm của các hàng và các cột lấy ra đó lập nên một ma trận vuôn cấp k. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 76. Các phép toán trên ma trận Định nghĩa hạng của ma trận Định thức Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận Ma trận nghịch đảo Bài tập Hạng của ma trậnĐịnh nghĩa hạng của ma trận Cho A là ma trận loại mxn. Nếu ta lấy ra k hàng và k cột thì các phần tử nằm trên giao điểm của các hàng và các cột lấy ra đó lập nên một ma trận vuôn cấp k. Định thức của ma trận vuông cấp k đó gọi là định thức con cấp k trích từ ma trận A Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 77. Các phép toán trên ma trận Định nghĩa hạng của ma trận Định thức Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận Ma trận nghịch đảo Bài tập Hạng của ma trậnĐịnh nghĩa hạng của ma trận Cho A là ma trận loại mxn. Nếu ta lấy ra k hàng và k cột thì các phần tử nằm trên giao điểm của các hàng và các cột lấy ra đó lập nên một ma trận vuôn cấp k. Định thức của ma trận vuông cấp k đó gọi là định thức con cấp k trích từ ma trận A Định nghĩa Cấp của các định thức con lớn nhất có định thức khác không trích từ ma trận A được gọi là hạng của ma trận A Hạng của ma trận A được ký hiệu là r (A) Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 78. Các phép toán trên ma trận Định nghĩa hạng của ma trận Định thức Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận Ma trận nghịch đảo Bài tập Hạng của ma trậnVí dụ Tìm hạng của các ma trận sau:   1 2 −3 1 2 7  −1 −2 3  A= B =  2 4 −1  4 8 −12  0 0 0 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 79. Các phép toán trên ma trận Định nghĩa hạng của ma trận Định thức Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận Ma trận nghịch đảo Bài tập Hạng của ma trậnVí dụ Tìm hạng của các ma trận sau:   1 2 −3 1 2 7  −1 −2 3  A= B =  2 4 −1  4 8 −12  0 0 0 Giải Hạng của A lớn nhất là bằng 2. Ta có: 1 7 = −15 = 0. 2 −1 Vậy r (A) = 2 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 80. Các phép toán trên ma trận Định nghĩa hạng của ma trận Định thức Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận Ma trận nghịch đảo Bài tập Hạng của ma trậnVí dụ Tìm hạng của các ma trận sau:   1 2 −3 1 2 7  −1 −2 3  A= B =  2 4 −1  4 8 −12  0 0 0 Giải Hạng của A lớn nhất là bằng 2. Ta có: 1 7 = −15 = 0. 2 −1 Vậy r (A) = 2 det(B) = 0. Mọi định thức con cấp≥ 2 của B đều bằng không. Vậy r (B) = 1. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 81. Các phép toán trên ma trận Định nghĩa hạng của ma trận Định thức Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận Ma trận nghịch đảo Bài tập Hạng của ma trậnVí dụ Tìm hạng của các ma trận sau:   1 2 −3 1 2 7  −1 −2 3  A= B =  2 4 −1  4 8 −12  0 0 0 Giải Hạng của A lớn nhất là bằng 2. Ta có: 1 7 = −15 = 0. 2 −1 Vậy r (A) = 2 det(B) = 0. Mọi định thức con cấp≥ 2 của B đều bằng không. Vậy r (B) = 1. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 82. Các phép toán trên ma trận Định nghĩa hạng của ma trận Định thức Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận Ma trận nghịch đảo Bài tập Hạng của ma trậnCác phép biến đổi sơ cấp trên ma trận Định nghĩa Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận là các phép biến đổi sau: Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 83. Các phép toán trên ma trận Định nghĩa hạng của ma trận Định thức Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận Ma trận nghịch đảo Bài tập Hạng của ma trậnCác phép biến đổi sơ cấp trên ma trận Định nghĩa Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận là các phép biến đổi sau: 1, Phép chuyển vị ma trận Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 84. Các phép toán trên ma trận Định nghĩa hạng của ma trận Định thức Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận Ma trận nghịch đảo Bài tập Hạng của ma trậnCác phép biến đổi sơ cấp trên ma trận Định nghĩa Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận là các phép biến đổi sau: 1, Phép chuyển vị ma trận 2, Phép đổi chỗ các hàng hoặc các cột Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 85. Các phép toán trên ma trận Định nghĩa hạng của ma trận Định thức Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận Ma trận nghịch đảo Bài tập Hạng của ma trậnCác phép biến đổi sơ cấp trên ma trận Định nghĩa Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận là các phép biến đổi sau: 1, Phép chuyển vị ma trận 2, Phép đổi chỗ các hàng hoặc các cột 3, Bỏ khỏi ma trận một hàng hoặc một cột gồm toàn phần tử không Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 86. Các phép toán trên ma trận Định nghĩa hạng của ma trận Định thức Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận Ma trận nghịch đảo Bài tập Hạng của ma trậnCác phép biến đổi sơ cấp trên ma trận Định nghĩa Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận là các phép biến đổi sau: 1, Phép chuyển vị ma trận 2, Phép đổi chỗ các hàng hoặc các cột 3, Bỏ khỏi ma trận một hàng hoặc một cột gồm toàn phần tử không 4, Bỏ khỏi ma trận một hàng hoặc một cột là tổ hợp của các hàng cột khác. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 87. Các phép toán trên ma trận Định nghĩa hạng của ma trận Định thức Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận Ma trận nghịch đảo Bài tập Hạng của ma trậnCác phép biến đổi sơ cấp trên ma trận Định nghĩa Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận là các phép biến đổi sau: 1, Phép chuyển vị ma trận 2, Phép đổi chỗ các hàng hoặc các cột 3, Bỏ khỏi ma trận một hàng hoặc một cột gồm toàn phần tử không 4, Bỏ khỏi ma trận một hàng hoặc một cột là tổ hợp của các hàng cột khác. 5, Nhân một hàng hoặc một cột với một số khác không. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 88. Các phép toán trên ma trận Định nghĩa hạng của ma trận Định thức Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận Ma trận nghịch đảo Bài tập Hạng của ma trậnCác phép biến đổi sơ cấp trên ma trận Định nghĩa Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận là các phép biến đổi sau: 1, Phép chuyển vị ma trận 2, Phép đổi chỗ các hàng hoặc các cột 3, Bỏ khỏi ma trận một hàng hoặc một cột gồm toàn phần tử không 4, Bỏ khỏi ma trận một hàng hoặc một cột là tổ hợp của các hàng cột khác. 5, Nhân một hàng hoặc một cột với một số khác không. 6, Cộng vào một hàng hoặc một cột một tổ hợp các hàng cột khác Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 89. Các phép toán trên ma trận Định nghĩa hạng của ma trận Định thức Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận Ma trận nghịch đảo Bài tập Hạng của ma trậnBài tập I     3 1 0 0 1 0 Bài 1: Cho các ma trận A =  0 3 0  , J =  0 0 0  0 0 3 0 0 0 1) Chứng minh rằng A = 3J + I với I là ma trận đơn vị cấp ba. 2) Tính J 2 và bằng phương pháp quy nạp hãy chứng minh rằng An = 3n I + an J với an là một số có thể xác định được. Viết ma trận An .   0 1 0 Bài 2: Cho ma trận A =  −1 2 0  1 0 −1 1) Tính A 2 và A3 . Nghiệm lại rằng ta có A3 − A2 − A + I = 0 với I là ma trận đơn vị cấp ba. 2) Chứng tỏ rằng ma trận A là khả nghịch. Hãy suy ra A−1 từ hệ thức trên. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 90. Các phép toán trên ma trận Định nghĩa hạng của ma trận Định thức Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận Ma trận nghịch đảo Bài tập Hạng của ma trậnBài tập II Bài 3: Tính các định thức x 1 1 1 3 0 1 1 a a2 1 x 1 1 1) 1 2 5 ; 2) ; 3) 1 b b2 1 1 x 1 −1 4 2 1 c c2 1 1 1 x Bài 4: Tính các định thức −a b c d a + b ab a2 + b2 b −a d c 1) b + c bc b2 + c 2 ; 2) c d −a b c + a ca c 2 + a2 d c b −a Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 91. Các phép toán trên ma trận Định nghĩa hạng của ma trận Định thức Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận Ma trận nghịch đảo Bài tập Hạng của ma trậnBài tập III Bài 5: Chứng tỏ rằng các ma trận sau đây là khả nghịch và tìm ma trận nghịch đảo của chúng:     1 −a 0 0 1 1 1  0 1 −a 0  A =  1 2 4 ; B =    0 0 1 −a  1 3 9 0 0 0 1 Bài 6: Tìm hạng của các ma trận sau:   1 3 −2 1    2 1 −2 −5 −8 5 2 1   ; B =  −1 1 A=  1 1 5  1 6 13  1 2 11 4 −2 −6 8 10 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH
  • 92. Các phép toán trên ma trận Định nghĩa hạng của ma trận Định thức Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận Ma trận nghịch đảo Bài tập Hạng của ma trậnBài tập IV   −m 3 5m Bài 7: Cho ma trận A =  0 1 2  1 0 m a, Tìm m để A khả nghịch b, Tìm A−1 khi m = 0. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH