Your SlideShare is downloading. ×
Cap. 1 fractali si geometria fractala
Cap. 1 fractali si geometria fractala
Cap. 1 fractali si geometria fractala
Cap. 1 fractali si geometria fractala
Cap. 1 fractali si geometria fractala
Cap. 1 fractali si geometria fractala
Cap. 1 fractali si geometria fractala
Cap. 1 fractali si geometria fractala
Cap. 1 fractali si geometria fractala
Cap. 1 fractali si geometria fractala
Cap. 1 fractali si geometria fractala
Cap. 1 fractali si geometria fractala
Cap. 1 fractali si geometria fractala
Cap. 1 fractali si geometria fractala
Cap. 1 fractali si geometria fractala
Cap. 1 fractali si geometria fractala
Cap. 1 fractali si geometria fractala
Cap. 1 fractali si geometria fractala
Cap. 1 fractali si geometria fractala
Cap. 1 fractali si geometria fractala
Cap. 1 fractali si geometria fractala
Cap. 1 fractali si geometria fractala
Cap. 1 fractali si geometria fractala
Cap. 1 fractali si geometria fractala
Cap. 1 fractali si geometria fractala
Cap. 1 fractali si geometria fractala
Cap. 1 fractali si geometria fractala
Cap. 1 fractali si geometria fractala
Cap. 1 fractali si geometria fractala
Cap. 1 fractali si geometria fractala
Cap. 1 fractali si geometria fractala
Cap. 1 fractali si geometria fractala
Cap. 1 fractali si geometria fractala
Cap. 1 fractali si geometria fractala
Cap. 1 fractali si geometria fractala
Cap. 1 fractali si geometria fractala
Cap. 1 fractali si geometria fractala
Cap. 1 fractali si geometria fractala
Cap. 1 fractali si geometria fractala
Cap. 1 fractali si geometria fractala
Cap. 1 fractali si geometria fractala
Cap. 1 fractali si geometria fractala
Cap. 1 fractali si geometria fractala
Cap. 1 fractali si geometria fractala
Cap. 1 fractali si geometria fractala
Cap. 1 fractali si geometria fractala
Cap. 1 fractali si geometria fractala
Cap. 1 fractali si geometria fractala
Cap. 1 fractali si geometria fractala
Cap. 1 fractali si geometria fractala
Cap. 1 fractali si geometria fractala
Cap. 1 fractali si geometria fractala
Cap. 1 fractali si geometria fractala
Cap. 1 fractali si geometria fractala
Cap. 1 fractali si geometria fractala
Cap. 1 fractali si geometria fractala
Cap. 1 fractali si geometria fractala
Cap. 1 fractali si geometria fractala
Cap. 1 fractali si geometria fractala
Cap. 1 fractali si geometria fractala
Cap. 1 fractali si geometria fractala
Cap. 1 fractali si geometria fractala
Cap. 1 fractali si geometria fractala
Cap. 1 fractali si geometria fractala
Cap. 1 fractali si geometria fractala
Cap. 1 fractali si geometria fractala
Cap. 1 fractali si geometria fractala
Cap. 1 fractali si geometria fractala
Cap. 1 fractali si geometria fractala
Cap. 1 fractali si geometria fractala
Cap. 1 fractali si geometria fractala
Cap. 1 fractali si geometria fractala
Cap. 1 fractali si geometria fractala
Cap. 1 fractali si geometria fractala
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Thanks for flagging this SlideShare!

Oops! An error has occurred.

×
Saving this for later? Get the SlideShare app to save on your phone or tablet. Read anywhere, anytime – even offline.
Text the download link to your phone
Standard text messaging rates apply

Cap. 1 fractali si geometria fractala

1,527

Published on

Cybernetics

Cybernetics

Published in: Education
0 Comments
3 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total Views
1,527
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0
Actions
Shares
0
Downloads
50
Comments
0
Likes
3
Embeds 0
No embeds

Report content
Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
No notes for slide

Transcript

  • 1. „Norii nu sunt sfere, munţii nu sunt conuri, liniile de coastă nu sunt cercuri, iar scoarţa copacilor nu este netedă şi nici fulgerul nu cade in linii drepte.” Benoit Mandelbrot CAPITOLUL 1 FRACTALI ŞI GEOMETRIA FRACTALĂ Introducere Geometria fractală este o matematică în care liniile drepte pur şi simplu nu există. Şi natura este un loc în care linia dreaptă este o excepţie. Dacă am vrea să ştim, de exemplu, care este lungimea linei de coastă a Marii Britanii, am spune, probabil, câteva mii sau milioane de kilometri. De fapt, această linie de coastă este infinit de lungă. Acest lucru sună oarecum ciudat, dar suntem atât de obişnuiţi să măsurăm distanţele în linii drepte încât uităm cât de aproximativă este această procedură. 1
  • 2. Dacă am merge de-a lungul plajei de coastă timp de câteva minute, am constata cu surprindere că limita exactă dintre apă şi pământ poate fi foarte greu delimitată. Orice distanţă am lua în considerare, prin studierea doar unei fracţiuni din aceasta, am observa că noile forme obţinute determină ca fracţiunea respectivă să devină tot mai lungă, un fenomen care poate continua la nesfârşit, găsind de fiecare dată noi forme care extind lungimea limitei dintre pământ şi apă. În realitate, limita dintre pământ şi apă se poate curba uşor şi dacă privim cu atenţie pietrele şi nisipul, devine evident faptul că sute de mici denivelări dau impresia unei suprafaţe care pare să ţeasă această limită, după un tipar aparent aleator. Şi, de fapt, există chiar şi mai multe denivelări dacă ne-am uita la microscop. Această proprietate este întâlnită peste tot în natură, variind de la dimensiunile atomice până la dimensiunea întregului univers. Aceasta este esenţa geometriei fractale. Cu cât observăm mai în detaliu un obiect fractal, cu atât devine mai evident faptul că părţile sale componente au aceleaşi proprietăţi ca şi întregul obiect. Nu există linie dreaptă în natură, așa că o distanța este în realitate nelimitată. Dar ce este, de fapt, un fractal şi cum a apărut ştiinţa care îl studiază, geometria fractală? Benoit Mandelbrot (1924-2010) este considerat tatăl geometriei fractale. El însuşi, într-o lucrare autobiografică, se numea fractalist. Dar mulţi fractali şi descoperirea lor 2
  • 3. au legătură cu matematica şi cu mari matematicieni din perioada anterioară lui Mandelbrot, cum ar fi Georg Cantor (1854-1919) (1872), Giuseppe Peano (1858-1932) (1890), David Hilbert (1865-1942) (1891), Helge von Koch (1870-1924) (1904), Waclaw Sierpinski (1882-1969) (1916), Gaston Julia (1893-1979) (1918), sau Felix Hausdorff (1868-1942) (1919), pentru a numi doar câţiva fractalişti fără ca ei să fie conştienți de acest lucru (în cea de-a doua paranteză este anul în care aceştia au descoperit fractalii care le poartă numele). Aceste descoperiri au jucat un rol-cheie în formulatea teoriei şi conceptelor lui Mandelbrot despre noua geometrie fractală. Ȋn acelaşi timp, trebuie spus că ei nu şi-au considerat descoperirile ca fiind o nouă percepţie sau o nouă geometrie a naturii. 1.1Example de fractali naturali Relativ recent, o ştire a fost publicată în mai multe jurnale ştiinţifice: „Cercetătorii au descoperit că genomul uman are o structură foarte bine organizată. Fragmente mici din ADN sunt cuprinse în globule, aceste globule sunt cuprinse în globule mai mari şi aşa mai departe. Cercetătorii consideră această “globulă de globule de globule” ca fiind un fractal, ceea ce înseamnă că este organizat în aşa fel încât găsim acelaşi tipar, indiferent de cât de în detaliu am intra în structura 3
  • 4. genomului uman. Această formă fractală este «extrem de densă, dar nu are noduri»” (Science News, Nov 21, 2011) (Figura 1.1). Corpul uman are între 75 şi 300 de miliarde de celule şi fiecare celulă are un genom ca cel reprezentat în Figura 1.1. Dacă cineva ar putea extinde acest genom trăgând de ambele capete, lungimea obţinută ar fi de 2 metri şi jumătate. Această lungime trebuie comparată cu diametrul unei celule, care este de aproximativ 10-100 microni, adică 10 -6 m sau 1/1.000.000 dintr-un metru. Practic, o celulă este invizibilă pentru ochiul liber, dar conţine în structura sa un obiect fractal de dimensiuni impresionante, dacă le comparăm cu cele ale unei singure celule. Şi asta se repetă pentru absolut toate celulele din corpul uman. Figura 1.1 4
  • 5. Geometria fractală explică modul în care o structură poate deveni infinit de complexă și variată, dând impresia falsă de asimetrie, haos și deconectare atunci când în realitate totul este intercorelat. Aceste concepte explică dezvoltarea vieții, lasând însă loc şi pentru existența unei scântei divine, pentru cei care caută acest lucru. De unde şi cum a apărut genomul uman, cu proprietățile sale uluitoare? Este rezultatul evoluției de-a lungul a miliarde de ani, sau a fost creat de o forță inteligentă? Sunt întrebări la care nu s-a răspuns în mod clar, argumenta, fără putință de tăgadă. În esență, în natură totul este conectat. Un fluture care dă din aripi, generază un efect în întreaga planetă și chiar dincolo de acesta. O astfel de afirmație nu poate fi înțeleasă decât apelând la geometria fractală. Pe planeta noastră abundă fractalii. Lanţurile muntoase sunt un frumos exemplu de fractali. Se pot găsi aceleaşi tipare în Munţii Stâncoşi, Anzi, Alpi, Carpați sau Himalaya. (Figura 1.2). 5
  • 6. Figura 1.2 În Figura 1.2 este reprezentată o fotografie a NASA ce arată vârfurile acoperite de zăpadă și crestele Munților Himalaya de Est. Construcțiile naturii respectă aceleași legi de bază, atât la nivel macro, cât și la nivel micro. Dacă nu am şti că sunt reprezentați lanțuri de munți, am putea crede că avem de-a face cu crengi răspândite pe o suprafată acoperită de zăpadă, sau cu râuri şi afluenții acestora fotografiați de la înălțime. Geometria fractală poate fi aplicată prognozelor meteo. O idee veche de 80 de ani - justificată de metodele moderne de colectare şi analiză a datelor - sugerează că vremea ar putea fi mult mai simplă decât pare. Ce implicaţii are acest fapt pentru exactitatea previziunilor 6
  • 7. meteorologice viitoare? Vom fi vreodată în stare să interpretăm şi să prognozăm renumitul Efect de fluture? Vom vedea… (Figura 1.3) Figura 1.3 Norul din imaginea reprezentată în Figura 1.3 este un obiect fractal care are proprietățile oricărui astfel de obiect întâlnit în natură: mun ți, ape, paduri, ramuri, vase de sânge etc. Corpul uman nu reprezintă altceva decât un exemplu de obiect fractal. Structura ADN-ului nostru, celulele, organele, sistemul circulator, sistemul nervos, sistemul osos etc., toate respectă legile de bază ale 7
  • 8. geometriei fractale. Un exemplu în acest sens este respectarea regulii de aur a proporțiilor. Există multe exemple în acest sens, dar una evidentă este cea a proporțiilor mâinii umane. Dacă ne uităm la orice deget, vom vedea că articulațiile cresc ca dimensiuni spre palmă. Această creștere respectă proporția fractală, mai precis raportul de 1 la 1.618. Aceeași rată de creștere apare între degete și mâna noastră, între mâna noastră și antebraț, între antebraț și lungimea totală a brațului etc.. Aceste proporții se menține indiferent de zonele corpului nostru. Cu cât o persoană arată mai sănătoasă și mai atractivă, cu atât aceste proporții sunt mai apropiate de proporția regulă de aur. Același lucru îl întâlnim în picturi, sculpturi sau catedrale, artiştii renascentişti cunoscând bine proprietățile extraordinare ale proporției de aur (Figura 1.4) 8
  • 9. Figura 1.4 Orice compoziție care respectă proporția fractală este în mod natural atrăgătoare pentru ochi. Există, de asemenea în corpul uman, dovezi ale naturii fractale de tip "auto-similitudine". Plămânul este un excelent exemplu, cu un design clar care se repetă la diferite niveluri de analiză (alveolele pulmonare reproduce fiecare lobul plămânului). Căile respiratorii se divid și se subdivid la nesfârşît ca ramurile unui copac, sau ca afluenții unui râu. Fiecare segment de plămân se împarte în bronhii, 9
  • 10. apoi în bronhiole și în cele din urmă în alveole, unde are loc schimbul de gaze între sânge şi oxigenul atmosferic. Dacă ducem acest raținament mai departe, s-ar putea ca o boală să fie un semn că o progresie din corpul uman nu respectă regula fractală? În cazul în care un ficat a devenit congestionat datorită acțiunii metalelor grele sau al depunerii de grăsimi pe suprafața sa, nu am putea să îl readucem la starea sa perfectă prin întoarcerea la propor țiile fractale originale? Unii medici cred că acest lucru este posibil. Atunci când un calculator nu mai merge bine, îl reinstalăm cu versiunea originală sau cu una îmbunătățită. Corpul uman este un uriaş bio-computer, astfel de ce nu aplicăm același concept, folosind un limbaj pe care știm că îl înțelege acesta - geometria fractală? La urma urmei, noi suntem făcuți din unul dintre cei mai impresionanți fractali - ADN-ul, deci pur și simplu trebuie să vorbim într-o limbă pe care acesta o înțelege. Dacă am putea face chiar o ușoară ajustare a unui proces într-un mod pozitiv, chiar și un corp bolnav ar avea potențialul de a se vindeca. În cazul în care organul în sine nu este deteriorat dincolo de limita de reparații, o imbunătățire cu 1% în cazul unui organ după mai multe cicluri de regenerare celulară ne-ar putea duce în cele din urmă înapoi la designul nostru perfect original, sau cel puțin la reducerea timpului de recuperare naturală. 10
  • 11. Un om de știință foarte intuitiv, Annie Maysmith, descrie procesul de vindecare fractal, după cum urmează: "Corpul nostrum știe cel mai bine. Este mult prea complex și interconectat pentru ca creierul să înțeleagă. Ecuațiile fractale ilustrează această complexitate. Ele pun corpul în mișcare și îi corectează eventualele blocaje. Vindecarea fractală funcționează. Încearcă şi ai să vezi. Probabil nu putem înțelege complexitatea la această scală. Dar putem simți atunci când corpul nostru răspunde. Aceasta este starea de homeostazie." Acesta este un rezumat bun al principalului conform căruia nu avem nevoie să înțelegem pe deplin cum funcționează acest proces, avem nevoie doar să îl lăsăm să funcționeze cu o minte deschisă și să îi simțim răspunsul. 1.2 Fractali artificiali Atunci când au fost descoperite mulţimea lui Cantor, curba Koch, curba Peano, mulţimea Julia, covorul lui Sierpinski, buretele lui Menger etc., au fost considerate ca fiind obiecte excepţionale, contra-exemple, „monştrii ai matematicii”. Poate că acest lucru este puţin exagerat. Descoperirea lor a fost accidentală, mulţi dintre fractalii artificiali apărând în încercarea de a explora pe deplin conţinutul şi limitele noțiunilor fundamentale de matematică (de exemplu, „continuu” sau „curbă”). Mulţimea lui Cantor, covorul lui Sierpinski şi buretele lui 11
  • 12. Menger ies în evidenţă, în special datorită rolului esențial jucat în dezvoltarea geometriei fractale. 1.2.1 Mulțimea lui Cantor Georg Cantor (1845-1918) a fost un matematician german de la Universitatea din Halle, de unde a dat omenirii o lucrare fundamentală în bazele matematicii, cunoscută sub numele de teoria mulţimilor. Georg Cantor, 1845–1918 12
  • 13. Mulţimea lui Cantor (obiect fractal cunoscut astăzi ca fiind primul de acest fel descris de un matematician) a fost descoperită în 1872 şi publicată în 1883 ca exemplu de mulţime cu proprietăți excepţionale. În impresionanta galerie a fractalilor artificiali, mulţimea lui Cantor este una dintre cele mai importante, chiar dacă este mai puţin atrăgătoare vizual şi mai îndepărtată de o interpretare naturală imediată. Acum este cunoscut faptul că mulţimea lui Cantor joacă un rol-cheie în mai multe ramuri ale matematicii şi reprezintă modelul ascuns din spatele multor altor fractali (de exemplu, mulţimea Julia). Mulţimea lui Cantor este în esență o mulţime infinită de puncte în intervalul unitate [0, 1]. Concret, acestă mulțime de numere, denumită mulțimea lui Cantor, cuprinde elementele 0, 1, 1/3, 2/3, 1/9, 2/9, 7/9, 8/9, 1/27, 2/27, etc. Să explicăm construcţia clasică a mulţimii lui Cantor. Vom începe cu intervalul [0, 1], apoi vom lua un interval (deschis), de exemplu (1/3; 2/3), vom exclude treimea din mijloc a intervalului [0, 1], dar nu şi numerele 1/3 şi 2/3. Se obţin două intervale [0, 1/3] şi [2/3, 1] de lungime 1/3 fiecare şi astfel se completează un pas din construcţia de bază. Procedeul se repetă, deci se consideră intervalele rămase [0, 1/3] şi [2/3, 1], se exclude treimea din mijloc a intervalelor şi se obţin patru intervale de lungime 1/9. Şi se continuă în acest fel. Cu alte cuvinte, este vorba de un proces iterativ care generează o secvenţă de intervale (închise) – unul 13
  • 14. după primul pas, două după al doilea pas, patru după al treilea pas, opt după al patrulea pas, etc. Figura 1.5 vizualizează procesul de construcţie a mulţimii lui Cantor. Figura 1.5 Mulţimea lui Cantor este o mulţime de puncte care se obţin în urma efectuării paşilor de excludere de infinit de multe ori. Cum se explică acest infinit de multe ori? Să încercăm. Un punct spunem că aparţine mulţimii lui Cantor dacă putem garanta că, indiferent cât de des vom efectua procesul de excludere, punctul nu va fi exclus. Evident 0; 1; 1/3; 2/3; 1/9; 2/9; 7/9; 8/9; 1/27; 2/27, ... sunt exemple de astfel de puncte, deoarece aceste sunt punctele aflate la capetele intervalelor care sunt create la fiecare pas, şi, prin urmare, ele 14
  • 15. trebuie să rămână. Toate aceste puncte au ceva în comun, şi anume sunt puteri ale lui 3 – sau, mai degrabă, puteri ale lui 1/3. Putem fi tentaţi să credem că orice punct din mulţimea lui Cantor este de acest tip, adică un punct final al unuia dintre intervalele generate în proces. Această concluzie este categoric greşită. Nu vom putea oferi argumentaţia completă, dar vom discuta subiectul într-o oarecare măsură. Dacă mulţimea lui Cantor ar fi fost formată doar din punctele finale ale intervalelor generate în proces, le-am putea enumera cu uşurinţă, așa cum este arătat în Figura 1.6. Figura 1.6 Asta ar presupune ca mulţimea lui Cantor să fie o mulţime numărabilă, dar este cunoscută ca fiind nenumărabilă, deoarece nu există 15
  • 16. nicio modalitate de a enumera punctele din mulţimea lui Cantor. Astfel, trebuie să existe mult mai multe puncte care nu sunt puncte finale ale intervalelor generate în proces. 1.2.2 Triunghiul şi Covorul lui Sierpinski Următorul fractal clasic este cu aproximativ 40 de ani mai tânăr decât mulţimea lui Cantor. Acesta a fost introdus de către marele matematician polonez Waclaw Sierpinski (1882-1969), în 1916. Waclaw Sierpinski, 1882–1969 16
  • 17. Sierpinski a fost profesor la Lvov şi Varşovia. A fost unul dintre cei mai influenţi matematicieni ai timpului său din Polonia şi s-a bucurat de o reputaţie mondială. De fapt, unul din craterele descoperit pe Lună a fost numit după el. Construcţia geometrică de bază a triunghiului lui Sierpinski se realizează după cum urmează. Vom începe cu un triunghi în plan şi apoi vom aplica o schemă repetitivă de operaţiuni (când spunem triunghi, ne referim la un triunghi întunecat, completat). Se aleg punctele din mijlocul celor trei laturi. Împreună cu vârfurile triunghiului iniţial, aceste puncte din mijlocul laturilor vor definesc patru triunghiuri congruente din care excludem triunghiul central. Astfel se completează un pas din construcţia de bază. Cu alte cuvinte, după primul pas avem trei triunghiuri congruente ale căror laturi au exact jumătate din dimensiunea laturilor triunghiului iniţial şi care se ating în trei puncte care sunt vârfurile comune a două triunghiuri adiacente. Aplicăm aceeaşi procedură pentru cele trei triunghiuri rămase şi repetăm pasul de bază de câte ori dorim. Se începe cu un triunghi şi apoi se obţin 3, 9, 27, 81, 243, ... triunghiuri, fiecare dintre ele fiind o versiune înjumătăţită a triunghiurilor din pasul anterior. Figura 1.7 prezintă câţiva pași ai acestui proces. Triunghiul lui Sierpinski este mulţimea de puncte din plan care rămân în cazul în care acest proces este realizat de un număr infinit de ori. Sunt uşor de enumerat câteva puncte care cu siguranţă aparţin 17
  • 18. triunghiului lui Sierpinski, şi anume, laturile fiecărui triunghi obţinut în proces. Se poate observa caracteristica de auto-similaritate, cu toate că, nu suntem încă pregătiţi să o discutăm în detaliu. Aceasta este realizată în procesul de construcţie, de exemplu, fiecare din cele trei laturi de la fiecare pas este o versiune mai redusă – cu factorul 2 – a întregii structuri din etapa anterioară. Figur Figura 1.7. Auto-similaritatea, este o proprietate a limitei procesului de construcţie geometrică, şi care va fi studiată în capitolul 2. Vom explica 18
  • 19. atunci cum triunghiul lui Sierpinski se obține printr-un proces iterativ de eliminare care se aplică la fel de uşor ca şi pentru mulţimea lui Cantor. Sierpinski a adăugat şi un alt obiect la galeria fractalilor clasici, covorul lui Sierpinski, care la prima vedere arată ca o variaţie a unei teme cunoscute (Figura 1.8). Vom începe cu un pătrat în plan şi vom subdiviza în nouă pătrate mici congruente, din care îl excludem pe cel din centru, şi aşa mai departe. Obiectul obţinut în urma aplicării acestui proces infinit de multe ori poate fi văzut ca o generalizare a mulţimii lui Cantor. Într-adevăr, dacă ne uităm la intersecţia dintre o linie paralelă cu baza pătratului iniţial şi care trece exact prin centrul celorlaltor laturi, observăm exact construirea mulţimii lui Cantor. Vom vedea în cele ce urmează că atât complexitatea covorului, cât şi a triunghiului pot părea la prima vedere, în esenţă la fel, dar există, de fapt, multe diferenţe între ele. 19
  • 20. Figura 1.8 1.2.3 Curba lui Koch Helge von Koch a fost un matematician suedez care, în 1904, a introdus ceea ce este cunoscut astăzi cu numele de curba lui Koch. Îmbinarea capetelor curbei lui Koch rotite corespunzător determină o figură care, din motive evidente, poartă numele de curba fulg de zăpadă sau insula lui Koch (figura 1.9). Se cunosc puţine lucruri despre 20
  • 21. Helge von Koch, ale cărui contribuţii matematice, cu siguranţă, nu fac parte din aceeaşi categorie ca şi cele ale cunoscuţilor matematicieni Cantor, Peano, Hilbert, Sierpinski sau Hausdorff. Dar construcţia lui Koch îşi are locul pur şi simplu pentru că ea conduce la multe generalizări interesante şi care trebuie să-l fi inspirat pe Mandelbrot. Curba lui Koch este la fel de greu de înţeles ca şi mulţimea lui Cantor sau covorul lui Sierpinski. Cu toate acestea, problemele cu această curbă sunt de altă natură. Întâi de toate – aşa cum numele îi spune – este o curbă, dar acest lucru nu se observă imediat din construcţie. În al doilea rând, această curbă nu conţine linii drepte sau segmente, cu toate că le-am putea vedea ca linii atent îmbinate. Mai degrabă, această curbă aduce mult cu complexitatea liniei de coastă, încreţituri în încreţituri în încreţituri, şi aşa mai departe. În continuare vom prezenta construcţia geometrică a curbei lui Koch. Vom începe cu o linie dreaptă. Acest obiect iniţial poartă numele de iniţiator. Împărţim acest obiect în trei părţi egale, apoi înlocuim treimea din mijloc cu un triunghi echilateral de la care excludem baza. Astfel se completează un pas din construcţia de bază. Aceată figură micşorată, formată din patru segmente, va fi reutilizată în următorii paşi. Aceasta poartă numele de generator. Astfel, procedeul se repetă, luăm fiecare segment rezultat, îl împărţim în trei părţi egale, şi aşa mai departe. Figura 1.9 ilustrează primii paşi. Auto-similaritatea apare în procesul de 21
  • 22. construcţie, de exemplu, fiecare din cele patru segmente de la un pas este o reprezentare redusă – cu factorul 3 – a întregii curbe de la pasul 22
  • 23. anterior. 23
  • 24. Figura 1.9 De fapt, Koch a vrut să ofere un nou exemplu la o descoperire făcută întâi de matematicianul germen Karl Weierstrass (1815-1897), care, în 1872, a determinat o criza minoră în matematică. Acesta a descris o curbă care nu putea fi diferenţiată, şi anume, o curbă care nu admite o tangentă la oricare din punctele sale. Capacitatea de a diferenţia (de exemplu, pentru a calcula panta unei curbe de la un punct la altul) este un element central al calculului, care a fost inventat de către Newton şi Leibniz, cu aproximativ 200 de ani înainte de Weierstrass. Ideea de pantă este destul de intuitivă şi merge mână în mână cu noţiunea de tangentă (Figura 1.9 b.). Dacă o curbă are un vârf, atunci apare o problemă. Nu există nicio modalitate de a trasa unic o tangentă. Curba lui Koch este un exemplu de curbă care este realizată din multiple vârfuri, şi astfel nu există nicio modalitate de a construi o tangenta la oricare dintre punctele sale. Să ne întoarcem la curba lui Koch şi să discutăm despre lungimea acesteia. La fiecare pas se obţine o curbă. După primul pas, rămânem cu o curbă care este alcătuită din patru segmente de aceeaşi lungime, după al doilea pas avem 4 × 4, şi apoi 4 × 4 × 4 segmente după al treilea pas, şi aşa mai departe. Dacă linia iniţială are lungimea L, atunci, după primul pas obținem un segment de lungimea L × 1/3, după al doilea pas un segment de lungimea L × (1/3)2 şi aşa mai departe. 24
  • 25. Deoarece la fiecare pas se obţine o curbă formată din segmente, nu apar probleme în măsurarea lungimii acestor curbe. După primul pas, lungimea este 4 × L × 1/3, şi aşa mai departe. Astfel, putem observa că de la un pas la altul lungimea curbelor creşte cu un factor de 4/3. Apar astfel câteva probleme. În primul rând, curba lui Koch este obiectul care se obţine dacă se repetă paşii de construcţie infinit de multe ori. Dar ce înseamnă acest lucru? Mai mult, chiar dacă am putea răspunde la această întrebare, de ce rezultatul este o curbă? Sau, cum se face că aceste curbe obţinute la fiecare pas nu se intersecteză? În figura 1.10 se observă două curbe care se pot diferenţia cu greu. Dar ele sunt diferite. Cea de sus prezintă rezultatul costrucţiei după 5 paşi, în timp ce cealaltă curbă prezintă rezultatul obţinut după 20 de paşi. Deoarece lungimea segmentelor este redată de numărul de paşi, este evident că orice schimbare în construcţie este puţin vizibilă, cu excepţia cazului în care se lucrează la microscop. Astfel, în scopuri practice, suntem tentaţi să ne mulţumim cu o imagine a unui pas, sau orice altceva care poate păcăli ochiul. Dar un astfel de obiect nu este curba lui Koch. Acesta ar avea o lungime finită şi ar arăta segmentele la dimensiune suficient de mare. Este de importanţă crucială distincţia dintre obiectele obţinute la fiecare pas din construcţie şi obiectul final. Vom ridica această problemă, care, desigur, apare şi la fractalii clasici prezentaţi anterior, în capitolele următoare. 25
  • 26. Figura 1.10 Fulgul de zăpadă al lui Koch are, evident, unele asemănări cu fulgii de zăpadă reali, unele asemănări fiind prezentate în figura 1.11. Figura 1.11 26
  • 27. 1.2.4 Curbe de umplere a spaţiilor (Peano) Vorbind despre dimensiuni, intuitiv, percepem liniile ca fiind tipice obiectelor unidimensionale şi planele tipice obiectelor bidimensionale. În 1890 Giuseppe Peano (1858-1932) şi imediat după aceea, în 1891, David Hilbert (1862-1943), au adus în discuţie curbele care apar în plan şi care, în mod dramatic demonstrează că ideea naivă pe care o avem despre curbe este foarte limitată. De asemeena, au adus în discuţie ideea de curbe care „umplu” un plan, de exemplu, având o secţiune din plan, există o curbă care întâlneşte fiecare punct din această secţiune. Figura 1.12 prezintă primii paşi din procesul iterativ de construcţie curbei iniţiale a lui Peano. Figura 1.12 27
  • 28. În natură, organizarea structurilor de umplere a spaţiilor este una din pietrele de temelie fundamentale ale fiinţelor vii. Un organ trebuie să fie „aprovizionat” cu substanţele adiţionale necesare, cum sunt apa şi oxigenul. În multe cazuri, aceste substanţe vor fi transportate prin intermediul sistemului venos pentru a ajunge în fiecare punct din interiorul organului. De exemplu, rinichii sunt locul unde se întrepătrund sub forma unui arbore trei astfel de sisteme: sistemul arterial, sistemul venos şi sistemul urinar (a se vedeaFigura 1.13). Fiecare dintre acestea are acces la fiecare parte a rinichilor. Fractalii rezolvă problema modului de organizare a unei astfel de structuri complicate într-un mod eficient. Desigur, nu acesta a fost obiectul de interes al lui Peano şi Hilbert cu aproape 100 de ani în urmă. Acest interes a apărut recent, în urma lucrării lui Mandelbrot, omniprezenţa fractalilor devenind evidentă. Curba lui Peano se obţine printr-o altă variantă a construcţiei lui Koch. Vom începe cu un singur segment de linie, iniţiatorul, iar apoi vom înlocui segmentul cu o curbă generatoare aşa cum se arată în figura 1.14. Generatorul are două puncte de auto-intersecţie, mai exact, curba se atinge în două puncte. Se observă că această curbă generatoare se potriveşte perfect într-un pătrat, care în figură este indicat cu linii punctate. Acesta este pătratul ale cărui puncte vor fi atinse prin curba lui Peano. 28
  • 29. Figura 1.13 Să descriem pasul următor. Luăm fiecare parte de linie dreaptă a curbei de la primul pas şi o înlocuim cu generatorul micşorat corespunzător. Evident, factorul de scalare este 3. Acesta este pasul doi. Există un număr total de 32 de puncte de auto-intersecţie în curbă. Procesul se repetă, astfel că, la fiecare pas, segmentele sunt micşorate cu factorul 3. Datorită acestei reduceri, segmentele au lungimi care scad foarte repede. Deoarece fiecare segment este înlocuit cu nouă segmente care au o treime din lungimea segmentului anterior, putem calcula cu uşurinţă lungimea curbelor la fiecare pas. Presupunând că lungimea segmentului de linie iniţial, adică a iniţiatorului, este 1, atunci la pasul 1 obţinem: 9 × 1/3 = 3, şi la pasul 2: 92×1/32 = 9. La pasul k, lungimea 29
  • 30. curbei este 3k. Ca regulă generală, la fiecare pas al construcţiei, lungimea curbei rezultate creşte prin factorul 3. Construcţia curbei lui Peano, ca şi construcţia curbei lui Koch, aduce cu sine o serie de dificultăţi, care nu au apărut sau au fost ascunse în construcţiile anterioare. De exemplu, considerăm conceptul intuitiv de auto-similaritate. Pentru construcţia curbei lui Koch, am putea spune că această curbă finală (de exemplu, curba pe care o vedeţi pe un terminal grafic după mai multe etape) are similitudini cu fiecare dintre paşii precedenţi. Dacă ne uităm la curba lui Peano, la fel de intuitiv, fiecare pas are similitudini cu paşii anteriori, dar dacă ne uităm la curba finală (de exemplu, curba rezultată după mulţi paşi pe un terminal grafic), vom vedea un pătrat „completat” care nu se aseamănă deloc cu primii paşi ai construcţiei. Cu alte cuvinte, fie curba lui Peano nu este auto-similară, fie trebuie să fim mult mai atenţi la ceea ce înseamnă auto-similaritatea. De fapt, curba lui Peano este perfect auto-similară. Problema este în a „vedea” obiectul final ca o curbă, deoarece, în orice reprezentare grafică „pare” mai mult o porţiune din plan. 30
  • 31. Figura 1.14 1.2.5 Mulțimile Julia Gaston Julia (1893-1978) avea numai 25 de ani când a publicat capodopera sa de 199 de pagini în 1918, care l-a făcut celebru în matematica din acele timpuri. Ca soldat francez în Primul Război 31
  • 32. Mondial, G. Julia a fost grav rănit, în urma rănilor pierzâdu-şi nasul. Între mai multe operaţii dureroase, el şi-a desfăşurat cercetările matematice în spital. Mai târziu, a devenit academician şi profesor la École Polytechnique din Paris. Gaston Julia (1893 - 1978) Deşi Julia a fost un matematician de renume mondial în anii 1920, lucrarea lui a fost, în esenţă, uitată până când Mandelbrot a readus-o la lumină la finele anilor şaptezeci, prin cercetările întreprinse în domeniul 32
  • 33. geometriei fractale. Mandelbrot s-a familiarizat cu lucrările lui Julia prin intermediul unchiului său, Szolem Mandelbrojt, care a fost profesor de matematică la Paris şi succesorul la catedră al lui Jacques Salomon Hadamard la prestigiosul Collège de France. Cu ajutorul graficii computerizate, mai târziu Mandelbrot a arătat că munca lui Julia este sursa unora din cei mai frumoşi fractali cunoscuţi astăzi. În acest sens, am putea spune că lucrarea scrisă de Julia este plină de fractali clasici, care au trebuit să aştepte să fie treziţi la viață de computere. În prima jumătate a acestui secol, Julia s-a bucurat de o celebritate mondială. Pentru a răspândi rezultatele sale, Hubert Cremer a organizat un seminar la Universitatea din Berlin, în 1925, sub auspicile Erhard Schmidt şi Ludwig Bieberbach. Lista participanţilor arăta aproape ca un fragment din „Who’s Who” în matematică la acel moment. Printre ei se numărau Richard D. Brauer, Heinrich Hopf şi Kurt Reidemeister. Cremer a scris un eseu pe această temă, care conţine o primă vizualizare a mulţimii Julia (Figura 1.15). Mulţimile Julia se află situate în planul complex şi sunt esenţiale pentru înţelegerea iteraţiilor polinoamelor complexe de forma z 2 + c sau z3 + c etc. Să luăm ca exemplu z 2 + c. Iterarea înseamnă că păstrăm c fix şi alegem o anumită valoare pentru z şi obţinem z2+c. Cu alte cuvinte, pentru o valoare fixă, dar arbitrară a lui c, vom genera o secvență de numere complexe: z → z2+c → (z2+c)2 + c → ((z2+c)2+c)2 + c →… 33
  • 34. Această secvență trebuie să aibă una din cele două proprietăți: a) Fie secvența devine nelimitată: elementele secvenței nu lasă nici un cerc în jurul originii; b)Sau secvența rămâne mărginită: există un cerc în jurul originii, care nu e ocupat de secvență. Colecția de puncte, care duce la primul tip de comportament se numește mulțimea de evacuare, în timp ce colecția de puncte care duce la al doilea tip de comportament este numită mulțime prizonier pentru c. De exemplu, pentru un c dat şi pentru z suficient de mare, z 2+c este chiar mai mare decât z. Pe de altă parte, dacă vom alege z astfel încât z = z2+c, atunci iterația rămâne staționară. Pornind cu o astfel de secvență z produsă prin iterare, va fi constantă z, z, z, ... Cu alte cuvinte, nu se poate ca setul prizonier să fie gol. Ambele mulțimi acoperă o parte din planul complex și se completează reciproc. Astfel, limita mulțimii prizonier este simultan și limita mulțimii de evacuare și este mulțimea Julia pentru c (sau, mai degrabă, pentru z2+c). Figura 1.15. prezintă câteva mulțimi Julia, obținute prin experimente de calculator. 34
  • 35. Figura 1.15 1.2.6 Arborii Pitagorieni Pitagora, care a murit la începutul secolului al cincilea î.Hr., a fost recunoscut de contemporanii săi, iar mai tarziu chiar de Aristotel, ca fondator al unei confrerii religioase în sudul Italiei, având în vedere faptul că pitagorienii au jucat un rol politic în secolul al șaselea î.Hr. Legarea numelui său de cunoscuta teoremă a lui Pitagora este însă falsă. 35
  • 36. De fapt, teorema a fost cunoscută cu mult timp înainte de perioada în care a trăit Pitagora. Teorema ne permite să construim pentru orice număr întreg o spirală a rădăcinii pătrate. Ȋn Figura 1.16 se explică această idee. Figura 1.16 Se începe cu un segment egal cu unitatea la care se ataşează un triunghi dreptunghic cu catetele egale cu 1. Următorul triunghi dreptunghic din spirală va avea o catetă egală cu ipotenuza triunghiului precedent şi cealaltă catetă egală cu 1. Construcția continuă oricât de mult obținându-se o spirală fractală. O altă construcție interesantă care dă familia de arbori pitagorieni este legată de construirea spiralei rădăcinii pătrate. Rezultatele obținute de această construcție de-a lungul mai multor etape este prezentată în figura 1.17. 36
  • 37. Figura 1.17 Pasul 1: Desenați un pătrat. Pasul 2: Atașați un triunghi dreptunghic la una dintre laturile sale de-a lungul ipotenuzei acestuia (aici cu două laturi egale). Pasul 3: Atașați două pătrate de-a lungul laturilor libere ale triunghiului. Pasul 4: Atașați două triunghiuri dreptunghice. Pasul 5: Atașați patru pătrate. Pasul 6: Atașați patru triunghiuri dreptunghice. Pasul 7: Atașați opt pătrate. ş.a.m.d. Odată ce s-a înțeles mecanismul care stă la baza acestor construcții de bază, le putem modifica în diverse moduri. De exemplu, 37
  • 38. triunghiurile dreptunghice care intervin în procesul de construire a spiralei rădăcinilor pătrate nu trebuie să fie neapărat triunghiuri isoscele. Ele pot fi orice tipuri de triunghiuri dreptunghice. Dar odată ce vom permite astfel de variații, vom avea de fapt un grad suplimentar de libertate. Triunghiurile alese pot fi întotdeauna atașate în acelaşi sens, sau am putea răsturna orientarea lor după fiecare pas. Figura 1.18 arată două posibilități. Figura 1.18 Figura 1.19 arată rezultatele acestor construcții, după aproximativ 50 de pași. Ceea ce este remarcabil este faptul că singurul lucru pe care lam schimbat este orientarea triunghiurilor, nu dimensiunea lor. Rezultatele finale, însă, sunt extrem de diferite. În primul caz vom vedea 38
  • 39. triunghiurile dreptunghice care intervin în procesul de construire a spiralei rădăcinilor pătrate nu trebuie să fie neapărat triunghiuri isoscele. Ele pot fi orice tipuri de triunghiuri dreptunghice. Dar odată ce vom permite astfel de variații, vom avea de fapt un grad suplimentar de libertate. Triunghiurile alese pot fi întotdeauna atașate în acelaşi sens, sau am putea răsturna orientarea lor după fiecare pas. Figura 1.18 arată două posibilități. Figura 1.18 Figura 1.19 arată rezultatele acestor construcții, după aproximativ 50 de pași. Ceea ce este remarcabil este faptul că singurul lucru pe care lam schimbat este orientarea triunghiurilor, nu dimensiunea lor. Rezultatele finale, însă, sunt extrem de diferite. În primul caz vom vedea 39
  • 40. un fel de frunze în spirală, în timp ce al doilea ne amintește de o ferigă sau o frunză de pin. Este interesant faptul că în construcția din partea de jos din figura 1.19, vedem o tulpină principală de la care radiază ramuri în dreapta, stânga, dreapta, stânga, deci un model. 40
  • 41. Figura 1.19 41
  • 42. Se pot vedea o spirală asemănătoare cu un melc şi o tulpină majoră, care are ramuri din care se desprind alte ramificații ce creează imaginea unei ferigi. Ambele forme derivă din același principiu feedback. Deşi ele se deosebesc foarte mult, aparțin aceleaşi familii fractale, deosebirea esențială fiind introdusă de o mică modificare legată de orientarea dispunerii triunghiurilor. Aceasta este o modalitate prin care fractalii au putut fi utilizați pentru a reprezenta diferite plante In botanică. Biologul Aristide Lindenmayer (1925-1989) a introdus conceptul de sisteme L care permit realizarea de imagini ale copacilor, de exemplu. Să continuăm să studiem construcțiile noastre introducând alte modificări. De ce să nu utilizăm orice fel de triunghi? Pentru a păstra o oarecare ordine în reprezentarea fractalului, ar trebui să luăm triunghiuri similare. Aceasta deschide ușa la o mare varietate de forme fascinante, care variază de la plante, la cine știe ce. În figura 1.20. am atașat triunghiuri echilaterale, și observăm că construcția obținută devine periodică. 42
  • 43. Figura 1.20 Trecerea de la triunghi echilateral la triunghiuri isoscele cu unghiuri mai mari decât 90 ° oferă altă surpriză - o formă care seamană cu un brocoli (a se vedea figura 1.21). Figura 1.21 43
  • 44. Aceste construcții ridică o serie de întrebări interesante. Când construcția duce la o suprapunere? Prin ce lege lungimile laturilor triunghiurilor sau pătratelor scad în proces? Mai mult decât atât, avem exemple frumoase de structuri care sunt auto-similare, și anume, fiecare structură împarte construcția în două ramuri majore, iar acestea din nou se împart în două alte ramuri principale, și așa mai departe, și fiecare dintre aceste ramuri este o versiune mai redusă de întreaga structură. Galeria noastră de fractali artificiali se încheie aici, deși nu am discutat despre contribuțiile lui Henry Poincare, Karl Weierstrass, Felix Klein, LF Richardson, sau AS Besicovitch. Toate acestea ar merita mai mult spațiu decât le-am putea oferi aici, dar sugerăm cititorului interest de această temă lucrările lui Mandelbrot. 1.2.7 Mulțimea lui Mandelbrot Mulțimea descoperită de Mandelbrot este cu siguranță cel mai popular fractal, probabil, chiar cel mai popular obiect de matematică contemporană. Unii oameni susțin că acesta nu este doar cel mai frumos, dar şi obiectul cel mai complex care a fost văzut, sau făcut vizibil. Deoarece Mandelbrot a realizat experimentul său extraordinar în 1979, acesta a fost duplicat de zeci de mii de oameni de știință amatori din întreaga lume. Acestora le-a plăcut să se îngroape într-o varietate nesfârşită de imagini care se pot dezvolta pe un ecran de computer. 44
  • 45. Uneori, mai multe ore sunt necesare pentru producerea lor, dar acest lucru este prețul pe care trebuie plătit pentru aventura de a găsi ceva nou și fascinant. Benoit Mandelbrot (1924 -2010) Complexitatea mulțimii Mandelbrot este într-o clasă cu totul diferită față de cea a mulțimilor Julia. Pe de o parte, mulțimea Mandelbrot are un interior solid, fără nici o structură, iar pe de altă parte, se învecinează cu o structură foarte complexă, cu o infinitate de forme diferite. Pentru o primă impresie a acestei varietăți, oferim o selecție de imagini din jurul limitei (Figura 1.22), precum și o secvență mărită (Figura 1.23). 45
  • 46. Figura 1.22 46
  • 47. Figura 1.23 47
  • 48. Prima caracteristică remarcabilă a mulțimii Mandelbrot sunt mugurii mici, care sunt aliniați de-a lungul regiunii centrale, mari, în formă de inimă. Acești muguri au o semnificație pentru mulțimile Julia asociate. Să privim corpul principal al mulțimii amplasat în centru. Această mulțime intersectează axa reală în intervalul (-0.75, 0.25). Amintim că mulțimea Julia pentru c = 0 este un cerc cu un punct fix la origine. Acest punct fix se numeşte super atractor; punctul critic fiind egal cu punctul fix. Este o realitate faptul că parametrii c pe linia dintre (-0.75, 0.25) sunt exact acei parametrii reali pentru care unul dintre punctele fixe de z → z2+c este un atractor. Prin urmare, nu este de mirare că regiunea în formă de inimă este mulțimea tuturor parametrilor (complecşi) c, pentru care unul dintre cele două puncte fixe ale z → z 2+c este atractor. Putem determina o relație explicită pentru a descrie conturul "inimii" lui Mandelbrot, folosind criteriul derivat după cum urmează. Pe contur observăm că derivata unuia din punctele fixe este egală cu 1, în valoare absolută. Presupunem că z este un punct fix astfel încât, z →z 2 + c, care rezolvă z2 – z + c = 0. Derivata lui z este 2z, pe care o scriem în coordonate polare: 2z = r eiφ, cu r ≥ 0 și 0 ≤ φ < 2π. Combinând cele două ecuații de mai sus obținem că:  reiϕ   2  2  reiϕ  − +c = 0  2  (1) Această ultimă ecuație se rezolvă pentru c: 48
  • 49. c= 1 iϕ 1 2 2iϕ re − r e 2 4 (2) Dat fiind faptul că un număr arbitrar re iϕ apare în relație, acest rezultat corespunde unui parametru c astfel încât derivata lui z → z 2 + c într-unul din cele două puncte fixe corespunde numărului dat. De exemplu, pentru a obține o reprezentare a interiorului centrului inimii mulțimii lui Mandelbrot, scriem c = x + yi, şi putem împăr ți componentele reale și imaginare din ecuația de mai sus (pentru r = 1): x= cos φ cos 2φ − 2 4 (3) y= sin φ sin 2φ − 2 4 (4) Aceste ecuații finale produc un punct complex pentru orice argument φ dat. O astfel de reprezentare a unei curbe se numește parametrizare (φ fiind parametrul curbei în acest caz). Aici sunt exemple de puncte de pe curba cu 5 valori ale lui φ: θ 0 2π/5 2π/4 2π/3 π x 0.25 0.35676 0.25 -0.125 -0,75 y 0 0.32858 0.5 0.64952 0 2π Rezultă că pentru valorile parametrului ϕ + k , k = 2,3,4,5,6,... unul dintre principalii muguri ai mulțimii Mandelbrot este atașat la forma centrală de inimă. În plus, perioada de atractivitate a ciclurilor care apar țin 49
  • 50. acestor muguri este dată de numărul k din φ = 2π / k. Ca o ultimă remarcă, punctele fixe pentru z → z2 + c sunt de forma: z1,2 = 1 ± 1 − 4c 2 și derivatele în aceste puncte fixe sunt 1 ± 1 −4c . Din această reprezentare rezultă că, dacă o derivată este în interiorul cercului unitate, atunci cealaltă trebuie să fie în afara lui. Astfel, în cazul în care un punct fix este atractor, atunci celălalt trebuie să fie repelor. De asemenea, în cazul în care un punct fix este indiferent, atunci celălalt trebuie să fie repelor (cu excepția cazului în care punctele fixe sunt identice, adică, pentru cazul c = ¼) Acum ne întoarcem la mulțimea lui Mandelbrot. La capătul din stânga al regiunii în formă de inimă (în cazul în care numărul itera ției poate fi văzut) există un mugure. Este un disc perfect cu raza 0,25 centrat. Figura 1.24 prezintă două mulțimi Julia pentru parametrii. Figura 1.24 50
  • 51. Pentru astfel de parametri, nici unul dintre cele două puncte fixe nu poate fi atractor, pentru că c este în afara centrului formei de inimă al lui M. Acum, ce este dinamica iterației în cadrul mulțimii prizonier stabilită în acest caz? Să verificăm acest lucru cu un experiment. Vom alege două puncte inițiale aproape de punctele fixe z1, 2 = 1± 5 2 care sunt egale aproximativ cu: z1 = +1.61803398… şi z2 = -0.61803398… În primul rând, iterația confirmă faptul că nici unul dintre punctele fixe nu este atractor. Tabelul 1 următor conține primele 16 iterații ale celor două puncte inițiale (punctele fixe, sunt rotunjite la două zecimale). Orbita 1 x 1.62 1.6244 1.63868 1.68523 1.84009 2.38593 4.69268 21.69268 440.89443 194386.8964 Orbita 2 y 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 x -0.62 -0.6156 -0.62104 -0.61431 -0.62262 -0.61235 -0.62503 -0.60933 -0.62871 -0.60472 -0.63431 -0.59765 y 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 51
  • 52. 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -0.64282 -0.58679 -0.65568 -0.57008 -0.54437 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 Tabelul 1 În timp ce iterația primei orbite duce la infinit, itera ția celei de-a doua dezvăluie dinamica esențială în mulțimea prizonier. Tabelul 2 listează alte 18 iterații ale acestei orbite. Orbita 1 x -0.70367 -0.50485 -0.74512 -0.44479 -0.80216 -0.35654 -0.87288 -0.23808 -0.94332 Orbita 2 y 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 x -0.11015 -0.98787 -0.02412 -0.99942 -0.00116 -1 0 -1 0 y 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 Tabelul 2 Orbita atractoare a perioadei a doua: 0 → -1 → 0 → … devine dominantă şi toate valorile inițiale din interiorul mul țimii prizonier sunt atrase de această orbită și mulțimea Julia este limita acestui bazin de atracție. De fapt, pentru toți parametrii c din interiorul "perioadei cu două discuri" al setului Mandelbrot, se obține o orbită atractoare de perioadă doi, iar mulțimea Julia este limita bazinului său de 52
  • 53. atracție. Rețineți că în acest disc de parametrii, valoarea c = -1 este specială. Aici punctul critic coincide cu unul din punctele periodice. Prin urmare, acest punct se numește super-atractor. Următorii muguri mari atașați la marginea centrului în formă de inimă al mulțimii lui Mandelbrot corespund perioadei trei de comportament; apoi sunt muguri ai căror parametrii aparțin ciclurilor atractoare de perioadă 4, și așa mai departe. Figura 1.25 arată mulțimile Julia care leagă bazinele de atracție pentru perioada de 3 și perioada de 4 cicluri. Figura 1.25 Figura 1.26 dă o privire de ansamblu asupra comportamentului periodic asociat mugurilor, sau atomilor, așa cum îi numește Mandelbrot în lucrările sale. 53
  • 54. Figura 1.26 În mod clar aceștia sunt strict organizați. Fiecare mugur poartă pe marginea sa un alt set complet de muguri mici, cu secvențe corespunzătoare de cicluri de atractori periodici. Rețineți că există o regulă uimitoare pentru perioadele corespunzătoare mugurilor. Doi muguri ai perioadelor p și q pe cardioidă (o cardioidă este o curbă plană trasată de un punct de pe perimetrul unui cerc, care se rotește în jurul unui cerc fix de aceeași rază) determină perioada celui mai mare mugur dintre ele ca fiind p + q. Norme similare sunt adevărate și pentru mugurii de pe muguri. Acum, să analizăm punctele de pe cardioidă. Punctul fix, care a fost atractor pentru parametrii din regiunea în formă de inimă, pierde acest drept de proprietate pe cardioidă. Aici punctul fix corespunzător 54
  • 55. este denumit indiferent. Cu alte cuvinte, iterația z → z 2 + c nu este în punctul fix nici atractor și nici repelor, ci este legat de o rota ție. Mulțimea prizonier asociată este dramatic diferită dacă rotația este dată de un număr rațional sau irațional. Mai mult decât atât, atunci când rotația este irațională, mai multe cazuri pot fi distinse. În cele ce urmează nu vom încerca să discutăm despre această clasificare. Mai degrabă, vom alege unele cazuri particulare pentru a demonstra complexitatea care evoluează în înțelegerea mulțimilor prizonier. Pentru punctele în care sunt atașați mugurii acestei rotații, este dat un unghi φ = 2πα, care este un multiplu rațional al 2π. De exemplu, avem α = ½ în punctul în care este ata șată "perioada de doi" și avem α = 1/3 în punctul în care este atașat "perioada de trei" deasupra cardioidei. Figura 1.27 prezinta mulțimile Julia pentru aceste două exemple. Figura 1.27 55
  • 56. Dar ce se întâmplă dacă punctul fix este indiferent și unghiul de rotație (a derivatei) este irațional? Acest lucru este într-adevăr un caz complicat și conduce la mulțimi Julia, care sunt doar într-o mica măsură înțelese. Pentru o clipă, ne vom axa pe acele cazuri care sunt mai accesibile. Știm că orice număr irațional poate fi aproximat printr-o secvență de numere raționale. Unele secvențe se apropie de un număr irațional mai rapid decât altele. Unele numere iraționale admit secvențe aproximate care converg foarte repede, altele recunosc doar secvențe care converg destul de lent. Se pare că aceste diferențe contează substanțial pentru caracterul unui set Julia corespunzător unui unghi α. Dacă există un număr irațional, astfel încât orice secvență aproximată de numere raționale converge foarte lent (într-un sens precis), atunci mulțimea prizonier este numit “Discul lui Siegel”. Se pare că printre toate numerele iraționale există unul care iese în eviden ță ca fiind cel care este cel mai dificil de aproximat prin numere raționale. Acest număr este considerat “media de aur”: α = ( 5 −1) / 2 . Figura 1.28 prezintă discul lui Siegel. 56
  • 57. Figura 1.28 Rețineți că în acest caz, punctul fix indiferent se află în interiorul mulțimii prizonier, în timp ce se știe că pentru cazul rațional indiferent acesta este pe graniță. Astfel, în cazul în care αn, n = 1,2,… este o secvență de numere raționale, care se apropie de media de aur, mulțimile Julia asociate sunt fundamental diferite față de cel corespunzător limitei α. Ceea ce am studiat până acum au fost mulțimi Julia care corespund cazului atractor și super-atractor, cazului rațional indiferent și cazului discului Siegel. Toate aceste cazuri sunt caracterizate prin faptul că mulțimea prizonier nu are interiorul vid. În afară de aceste mul țimi prizonier, care sunt complet deconectate (cu valorile parametrilor care nu sunt în M) și de cele care au un interior nevid, există, de asemenea, cazuri limită: mulțimi prizonier cu nici un punct interior, dar care, cu toate acestea, sunt încă conectate. 57
  • 58. Acestea au de obicei mai multe ramuri, la toate nivelurile de detalii și sunt numite dendrite. Cea mai populară este cu siguranță dendrita pentru mugur, mulțimea prizonier pentru intervalul real [-2, 2] fiind în această clasă. Ȋn figurile 1.29 și 1.30 se dau mai multe exemple în acest sens. În timp ce aceste mulțimi Julia sunt destul de ușor de calculat și de desenat, această clasă de dendrite Julia conțin, de asemenea, o infinitate de monștri pentru care, probabil, este imposibil să se ofere o reprezentare grafică explicită. Figura 1.29 Figura 1.30 58
  • 59. 1.3 Similaritate și auto-similaritate în fractali Auto-similaritatea extinde una dintre cele mai fructuoase noțiuni de geometrie elementară: similitudinea. Două obiecte sunt similare dacă au aceeași formă, indiferent de dimensiunile lor. Unghiurile corespunzătoare, cu toate acestea, trebuie să rămână egale, și segmentele corespunzătoare de linie trebuie să aibă același factor de proporționalitate. De exemplu, atunci când o fotografie este extinsă, acesta este mărită cu același factor în ambele direcții orizontale și verticale. Chiar și un segment de linie oblic, non-orizontal, non-vertical, între două puncte de pe origine va fi extins cu același factor. Numim acest factor de extindere factorul de scalare. Transformarea obiectelor prin factorul de scalare se numește transformare similară. Luați în considerare o fotografie, care este extinsă cu un factor de 3. Rețineți că zona imaginii extinse este de cateva ori mai mare ca originalul. Mai general, în cazul în care avem un obiect cu o zonă de extindere și cu un factor de scalare, obiectul rezultat va avea o suprafață care este câteva ori mai mare decât originalul. Dar cazul scalării obiectelor tridimensionale? Dacă luăm un cub și îl mărim cu un factor de scalare de trei, aceasta devine de trei ori mai lung, de trei ori mai adânc, și de trei ori mai înalt ca originalul. Observăm că zona fiecărei fețe a cubului este extinsă de câteva ori față de cea a cubului inițial. Deoarece acest lucru este valabil 59
  • 60. pentru toate cele șase fețe ale cubului, suprafața totală a extinderii este de nouă ori față de original. Mai general, pentru obiecte de orice formă, suprafața totală a unui obiect crește în urma scalării cu pătratul factorului de scalare. Ce spuneți despre volum? Cubul extins are trei straturi, fiecare cu 3*3 = 9 cuburi mici. În general, volumul unei creșteri scalare a unui obiect reprezintă cubul factorului de scalare. Aceste observații elementare au reprezentat obiectul de studio al lui Galileo Galilei (1564-1642), în 1638 în publicația lui: "Dialogurile referitoare la două noi științe". De fapt, Galileo a sugerat că 100 de metri ar fi limita maxima a înălțimii unui copac. Arborii Sequoia gigantea, care traiesc numai in vestul Statelor Unite și, prin urmare, nu erau cunoscuți de Galileo Galilei, au totuşi o înălțime de 120 de metri. Ra ționamentul lui Galileo a fost însă corect; cei mai înalți arbori sequoia gigantea se adaptează prin forma lor la moduri care le permit să depăşească această limită de înălțime. Care a fost raționamentul lui Galilei? Greutatea unui copac este proporțională cu volumul său. Extinderea un copac printr-un factor “s”arată că greutatea sa va fi mărită cu un factor de scalare egal cu s3. În același timp, secțiunea transversală a tulpinii sale va fi scalată doar cu s2. Astfel, presiunea din interior ar putea fi scalată cu un factor egal cu s3/s2. Asta înseamnă că, în cazul în care copacul crește dincolo de o anumită limită, puterea lemnului nu va fi suficientă pentru a suporta presiunea 60
  • 61. rezultată prin creşterea în înălțime. Această tensiune între volum și suprafață explică şi de ce o zonă de munte nu depășește o înălțime maximă de 7 - 8 km, sau de ce diferite creaturi raspund diferit atunci când cad de la înălțime. De exemplu, un șoarece poate scăpa nevătămat după o cădere de la o înălțime de zece ori mai mare decât greutatea lui, iar un om poate fi rănit după o cădere de la o înăl țime echivalentă cu greutatea lui. Într-adevăr, energia care trebuie absorbită în urma impactului cu solul este proporțională cu greutatea, și anume, proporțională cu volumul obiectului care cade. Această energie trebuie să fie absorbită de suprafața obiectului. Cu cât crește volumul obiectului, suprafața necesară pentru a absorbi energia căderii de la aceeași înălțime cu volumul crește. O spirală desenată pe un plan pare să crească în mod continuu, odată ce este rotită în jurul valorii din centrul său. De fapt, spirala logaritmică este specială datorită faptului că creşterea pare că are loc în toate direcțiile odată cu rotirea spiralei. Figura 1.31 ilustrează acest fenomen remarcabil, care, ca atare, este un alt exemplu de structură autosimilară. 61
  • 62. Figura 1.31 Figura arată ca un amonit, care este un bun exemplu de spirală logaritmică în natură. Cu alte cuvinte, un amonit crește în conformitate cu o lege de similitudine. Acesta crește în așa fel încât forma sa este păstrată (Figura 1.32). 62
  • 63. Figura 1.32 Cele mai multe ființe vii, cu toate acestea, cresc printr-o lege diferită de cea de similitudine. Un adult nu este pur și simplu un copil mărit la o anumită scală. Cu alte cuvinte, atunci când ne întrebăm despre similitudinea dintre un copil și părinții săi nu vorbim despre (termenul matematic) de similitudine geometrică! În creștere de la copil la adult, părți diferite ale corpului cresc cu un factor de scalare diferit. Ȋn ceea ce privește dimensiunea corpului, capul unui copil este mult mare decât al unui adult. Chiar și proporțiile caracteristicilor faciale sunt diferite: la un copil, vârful nasului este la aproximativ jumătatea faței, la un adult, nasul este aproximativ la două treimi deasupra bărbiei. Figura 1.33 ilustrează acest lucru. Figura 1.33 Dacă măsurăm lungimea brațului sau dimensiunea capului pentru oamenii de diferite vârste și comparăm cu înălțimea corpului, observăm că oamenii nu cresc într-un mod care respectă similitudinea geometrică. Brațul, care la naștere este o treime din 63
  • 64. lugimea corpului, la maturitate este aproape de două cincimi. Figura 1.34 arată modificări ale formei atunci când normalizăm înălțimea. Figura 1.34 În rezumat, legea de creștere este departe de a fi o lege de similitudine. O modalitate de a obține o perspectivă în legitățile creșterii, de exemplu dimensiunea capului față de înălțimea corpului, este trasarea raportului dintre aceste două cantități și vârstă. Putem discerne două etape diferite: una care corespunde dezvoltarii timpurii, până la vârsta de aproximativ trei ani, și o alta care corespunde dezvoltării după această dată. În prima perioadă avem o creștere proporțională, numită uneori creștere izometrică. După vârsta 64
  • 65. de trei ani, raportul scade în mod semnificativ, indicând faptul că înălțimea corpului este în creștere relativ mai rapidă decat marimea capului. Aceasta se numește o creștere alometrică. La aproximativ 30 de ani procesul de creștere este oprit și raportul este constant din nou. De fapt, fenomenul bine-cunoscut de creștere nonproporțională de mai sus este central în geometria fractală, așa cum vom vedea mai târziu. Ce este auto-similaritatea? Intuitiv, acest lucru pare clar; cuvântul de auto-similar cu greu are nevoie de o definiție - este auto-explicativ. Cu toate acestea, vorbind în termeni preciși matematici auto-similaritatea este într-adevăr o noțiune mult mai dificilă. De exemplu, în orice obiect fizic existent, auto-similaritatea se poate obține doar pentru câteva ordine de mărime. Coborând pe scală, materia se descompune într-o colec ție de molecule, atomi și particule elementare. După ce a ajuns la acest stadiu, desigur, devine ridicol să se ia în considerare reprezentările la nivel de atomi sau molecule ale obiectului complet. De asemenea, într-o structură ca un broccoli o parte nu poate fi niciodată exact egală cu întregul. Unele variații trebuie să fie înregistrate. Astfel, este deja clar în acest moment că există mai multe variante de definiții matematice pentru autosimilaritate. 65
  • 66. Figura 1.35: Broccoli Romanesco 66
  • 67. În orice caz, ne place să ne gândim la fractalii matematici ca obiecte care posedă detalii recunoscute la toate nivelurile microscopice spre deosebire de obiecte fizice reale. Atunci când se analizează cazurile de fractali în care copiile de dimensiuni mici au varia ții, avem a șanumita statistică de auto-similaritate. Mai mult decât atât, copiile miniaturale pot fi distorsionate în alte moduri, de exemplu, oarecum denaturate. Pentru acest caz, există noțiunea de auto-afinitate. Pentru a exemplifica conceptul, vom alege curba Koch, care este deja cunoscută. Putem găsi similitudini (transformări de similaritate) în curba Koch? Curba Koch pare să fie alcătuită din patru părți identice. Să ne uităm la unul dintre acestea, spre exemplu cea de la extrema stângă. Ne luăm un obiectiv cu zoom variabil și observăm că, la exact ×3 putere de mărire, partea pare a fi identică cu curba. Fiecare dintre părțile mici se sparg în patru bucăți identice din nou, și fiecare dintre ele par a fi identice cu curba Koch atunci când vom aplica o lupă de × 9, și așa mai departe la infinit. Aceasta este proprietatea de auto-similaritate în forma matematică cea mai pură. În cazul în care copiile întregului apar în toate etapele, sunt exacte, nu sunt denaturate în nici un fel, diferite grade de autosimilaritate sunt posibile. 1.4 Natura fractală a minții umane 67
  • 68. Legătura dintre geometria fractală și dezvoltarea fizică a organismului uman este larg acceptată și este rezonabil să utilizăm aceste principii pentru a influența sănătatea noastră la nivel fizic. Una din cele mai mari provocări este justificarea utilizării fractalilor pentru a sprijini vindecarea emoțională și energetică. Pentru ca aceasta să funcționeze, energia subtilă trebuie să se miște cu o simetrie care este conformă cu aceste proporții naturale. Există vreo justificare pentru acest punct de vedere? Credem că există. Sistemul nervos central și creierul sunt exemple uimitoare de creștere fractală, cu o rețea de căi neuronale, care sunt cheia pentru amintirile și emoțiile noastre. Nu putem, însă, afirma ca aceste căi dețin amintirile sau emoțiile noastre. Această idee este încă un subiect de dezbatere. Autori recenți precum Rupert Sheldrake, sugerează că amintirile și emoțiile sunt ținute în domeniul punctului zero și creierul nostru este doar unealta pe care o folosim pentru a le extrage. Studiile cu scanere IRM au arătat că diferite zone ale creierului se activează atunci când accesăm memoria. Există, de asemenea, munca de o viață a pionierilor din domeniu, cum ar fi: Bohm, Pribram și Talbot, care sugerează că creierul uman este, de fapt, de natură holografică, un concept care explică capacitatea incredibilă a creierului pentru stocarea de date. Indiferent de locul unde emoțiile noastre sunt de fapt stocate, știm că creierul este calea spre ele, și este fractal prin natura sa. Atât structura fizică a creierului, cât undelor 68
  • 69. cerebrale, masurate prin EEG (electroencefalograma) au proprietăți fractale. Mikiten, Salvingaros și Hing-Sing Yu consideră că, complexitatea creierului ascunde o simplă origine fractală: "Teza noastră esențială este că, atunci când un sistem fractal generează un nou sistem, are aceleași atribute și caracteristici ca și generatorul - mai ales legăturile ierarhice. Astfel, asociațiile mentale, care par să solicite dimensiuni enorme de cod (și, prin urmare, să fie numite complexe) pot fi, de fapt, manipulate de coduri foarte scurte. Dacă aşa este situația, atunci mintea umană ar putea folosi codificarea fractală ca modalitate standard de codificare a lanțurilor enorme de gânduri, toate legate într-o singură entitate fractală". Alți cercetători, cum ar fi Alan Watts, au studiat modul în care funcționează creierul uman sub influența drogurilor și au identificat un răspuns fractal în construcțiile sale. Există dovezi suplimentare pentru acest tip de gândire. Richard Taylor studiază ecuațiile fractale într-un efort de a înțelege cum și de ce unele dintre ele ne oferă un impuls mental, în special cele care sunt cel mai des întâlnite în natură. El investighează dacă recunoașterea fractalilor este învățată sau instinctivă. Dacă putem înțelege cu adevărat relația noastră cu ei, putem începe să le utilizăm proprietățile în proiectarea obiectelor artificiale, cum ar fi clădiri 69
  • 70. și orașe. Ȋn orice caz, teoria conform căreia creierul nostru lucrează întrun mod fractal este în curs de investigare. Va exista întotdeauna un mister cu privire la modul în care funcționează creierul uman, dar acest lucru nu ar trebui să ne oprească din încercarea de a ne depăși limitele. Cheia constă în utilizarea practică a acestor concepte fractale pentru îngrijirea sănătății şi chiar pentru vindecare. În cazul în care acceptăm structura fractală a creierului nostru, este logic să trasgem concluzia că traumele și emoțiile noastre trebuie să se încadreze în aceste structuri fractale. Nu spunem că emoția în sine este un fractal, doar modul în care aceasta este utilizată în creier pentru a determina convingerile și comportamentele. Apare un alt aspect interesant. În cazul în care mințile noastre sunt fractale în natură, și fractali sunt nelimitați, riscăm să ne supraîncărcăm căile noastre neuronale și să distrugem calculatorul nostru intern. Acest lucru este deosebit de relevant pentru cei care își fac griji în mod constant, sau sunt sub stress, acest lucru putând duce la asociații false în mintea unui om și la gânduri potențial obsesive sau compulsive. Supapa de siguranță pentru acest lucru pare a fi Rapid Eye Movement (REM), fie în timpul zilei prin visarea cu ochii deschiși, fie pe timp de noapte prin somn. La nivel fizic, creșterea dendritei și a căilor sinaptice din creier sunt controlate de separarea sinaptică, care păstrează totul în ordine. 70
  • 71. Aceste concepte ale creierului fracta sunt similare cu incendiile tufișurilor și ierarhia în prădurile din natură, care opresc specii de plante și de animale de la creșterea fractală nelimitată. Mergând mai departe, avem nevoie de a explora ceea ce se întâmplă atunci când un proces de gândire se repetă. În cazul în care o experiență este revizuită destul de des, repetarea continuă a aceleiași căi fractale ar putea determina crearea unui rețele neuronale fixe, care ar fi apoi conectată în creier. Sintetizând punctele cheie și supozițiile teoriei privind natura fractală a creierului uman, putem afirma că: 1. Amintirile noastre sunt organizate ca puncte simple, neconectate de referință. 2. Creierele noastre accesează continuu amintiri, cautând experiențe care pot acționa ca un punct de referință pentru determinarea comportamentului viitor. 3. Căile neuronale din creier, care prelucrează aceste amintiri sunt fractale în natură. 4. În cazul în care un fractal se repetă destul de des, comportamentul asociat lui devine greu conectat la rețeaua noastră neuronală. 5. Ca rezultat al acestui lucru, ne pierdem capacitatea de alegere cu privire la modul în care răspundem la experiențe viitoare, mai ales atunci când se accesează partea primitivă a creierului nostru. 6. Experiențele percepute bune pot crea dependență. 71
  • 72. 7. Experiențele percepute rele pot crea fobie. 8. Experiențele de viață suficient de rele pot duce la convingeri negative. 9. Chiar și emoțiile negative izolate trebuie vindecate. 1.5 Natura Fractală a Piețelor Principalele aplicații ale fractalilor în economie sunt reprezentate de variația prețurilor pe piețele financiare care tranzacționează: titluri de valoare, mărfuri, rate de schimb valutar, sau rate ale dobânzii. Volatilitatea prețurilor de pe aceste piețe este demult cunoscută. Punctul de plecare constă în prețurile activelor financiare, care sunt în mare parte imprevizibile. Cel mai bun lucru care se poate face este de a evalua șansele pentru sau împotriva unor rezultate dorite sau temute. Aceste șanse vor fi, de asemenea, utilizate ca input-uri pentru deciziile legate de politica economică sau schimbări instituționale. Rezolvarea acestor probleme este primul pas, dar departe de a fi ultimul! Considerăm că "schimbările întâmplătoare" este un sinonim pentru "prețuri care cresc un pic sau scad un pic". Termenul tehnic pentru acest concept este "mers aleator simplu." Concepția conform căreia nu există nicio alternativă, este întărită de modelul Bachelier (modelul "monedei ce se clatină"), care datează din 1900. Acesta este cel mai vechi model utilizat pe scară largă pentru variația de preț. 72
  • 73. Termenul de "întâmplare" are un sens mult mai larg, care permite modelului de aruncare a monedei să fie înlocuit cu alternative. Vom argumenta că alternativa "multifractală" pe care o prezentăm este foarte potrivită. Modelul multifractal nu face parte din matematica ezoterică și nu trebuie să i se permită să rămână parte a științei pure. Consecințele sale practice sunt multe și foarte grave. În primul rând, spiritul jurământului lui Hipocrate, "să nu faci rău", merită să fie generalizat în finanțe și este cel mai bine exprimat în termeni nautici. Atunci când o navă a fost construită pentru a naviga lacuri liniștite pe vreme bună, a o trimite peste ocean în sezonul taifun este vătămare gravă. În mod similar, modelul "monedei ce se clatină" al prețurilor financiare ar putea fi iubit de matematicieni, dar ea neagă existența turbulențelor, deci este periculos (Taleb). Mai multe alternative ale modelului sunt disponibile, dar alternativa multifractală diferă de celelalte într-un mod "calitativ", care are consecințe imediate în finanțe și politică economică. Modelul „monedei ce se clatină” exemplifică o ușoară "stare de dezordine". Dacă probele au fost de acord cu acest model - dar nu au fost în totalitate- variabilitatea în finanțe ar putea fi la fel de ușor de controlat ca variabilitatea din fizică. Cu toate acestea, modelul nu trebuie criticat prea tare. Este întotdeauna cel mai bine să începi cu cel mai simplu model posibil și să îl păstrezi până când acesta începe să aducă mai mult rău decât valoare. În timpul 73
  • 74. său, el a jucat un rol fundamental și pozitiv în conștientizarea dificultă ții chiar și a celor mai simple forme de dezordine. Dar creatorii de politici economice și profesioniștii din domeniul financiar nu se mulțumesc cu atât, așa cum vom vedea. Pentru ei conteaza foarte mult că modelul este foarte departe de a ține contabilitatea pentru unele fapte esențiale . Încă o dată, istoria volatilității prețurilor este plină de "uragane financiare", în timp ce modelul “monedei ce se clatină” susține că acestea practic nu pot să se întâmple. Constructorii de nave și proprietarii acestora nu pot prezice datele și amploarea uraganelor, pe care nava lor le va întâlni pe durata de viață. Dar ei stiu că uraganele vor apărea. Instrumentele necesare pentru dobândirea informațiilor cu privire la intensitatea uraganelor financiare sunt deja disponibile. Ele aparțin geometriei fractale și multifractale, o disciplină bine cunoscută pentru descrierea formelor de coastă, a norilor și a distribuției galaxiilor. Geometria fractală descrie, de asemenea, creșterea și prăbușirea prețurilor financiare. 74

×