Polinomios interpolantes
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Polinomios interpolantes Polinomios interpolantes Document Transcript

  • Universidad Fermín toro Republica bolivariana de Venezuela Núcleo CabudarePolinomios Interpolantes Integrantes Michelle Díaz Ci 17228634
  • Polinomios InterpolantesLa interpolación polinómica es una técnica de interpolación de un conjunto de datos o de unafunción por un polinomio. Es decir, dado cierto número de puntos obtenidos por muestreo o apartir de un experimento se pretende encontrar un polinomio que pase por todos los puntos.Dada una función de la cual se conocen sus valores en un número finito de abscisas , se llama interpolación polinómica al proceso de hallar un polinomio de grado menor o igual a m, cumpliendo .A este polinomio se le llama Polinomio interpolador de grado m de la función f. Existen varias formas de hacer esto, pero la más sencilla y una de las más utilizadas es lainterpolación, que consiste en construir una función que pase por los valores conocidos(llamados polos) y utilizar ésta como aproximación de la función primitiva. Si se utilizanpolinomios como funciones de aproximación, hablamos de interpolación polinómica. Si la abscisa para la que queremos encontrar un valor aproximado de la función seencuentra fuera del mayor intervalo definido por las abscisas de los polos, se dice que estamoshaciendo extrapolación.Tabla De Diferencias Dados los valores de una función desconocida correspondiente a dichos valores de x, ¿cuáles el comportamiento de la función?; el propósito es determinar dicho comportamiento, con lasmuestras de los pares de datos (x, f(x)); se encontrará un polinomio que satisfaga un conjuntode puntos seleccionados (xi, f(xi)) donde los valores que aporten el Polinomio y la función secomportan casi de la misma manera, en el intervalo en cuestión. Si se desea encontrar un polinomio que pase a través de los mismos puntos que la funcióndesconocida se puede establecer un sistema de ecuaciones, pero este proceso es un pocoengorroso; resulta conveniente arreglar los datos en una tabla con los valores de x en formaascendente. Además de las columnas para x y para f(x) se deberán tabular las diferencias delos valores funcionales. Cada una de las columnas de la derecha de f(x), se estima o determinacalculando las diferencias entre los valores de la columna a su izquierda. La siguiente tabla esuna tabla típica de diferencias (ejemplo): x f(x) D f(x) D 2f(x) D 3f(x) D 4f(x)
  • 0,0 0,000 0,203 0,2 0,203 0,017 0,220 0,024 0,4 0,423 0,041 0,020 0,261 0,044 0,6 0,684 0,085 0,052 0,346 0,096 0,8 1,030 0,181 0,211 0,527 0,307 1,0 1,557 0,488 1,015 1,2 2,572Polinomio Interpolante de Newton-Gregorycuando la función ha sido tabulada, se comporta como un polinomio, se le puede aproximar alpolinomio que se le parece. Una forma sencilla de escribir un polinomio que pasa por unconjunto de puntos equiespaciados, es la fórmula del Polinomio Interpolante de Newton-GregoryPolinomio Interpolante de Gauss Hay una gran variedad de fórmulas de interpolación además del Método de Newton-Gregory,difieren de la forma de las trayectorias tomadas en la tabla de diferencias; Por ejemplo lafórmula del Polinomio Interpolante de Gauss (en avance y retroceso), donde la trayectoria esen forma de Zig-Zag, es decir los valores desde el punto de partida Xo serán seleccionados enforma de zig-zag. En el caso de la fórmula de avance los valores son tomados en forma de zig-zag, iniciandoprimero hacia abajo, luego hacia arriba, luego hacia abajo, y así sucesivamente. En fórmula deavance los valores son tomados en forma de zig-zag, iniciando primero hacia arriba, luego haciaabajo, luego hacia arriba, y así sucesivamente. A continuación se tiene las fórmulas de avance yretroceso del Polinomio Interpolante de Gauss.
  • Interpolación De Hermiteaquíbuscamo cuando Hn(x) que sea cúbico en cada subintervalo, y que interpole a f(x) y f(x) enlos puntos . La función Hn(x) queda determinada en forma única por estas condiciones y sucálculo requiere de la solución de n sistemas lineales de tamaño 4x4 cada uno. La desventajade la interpolación de Hermite es que requiere de la disponibilidad de los lo cual no es el casoen muchas en muchas aplicaciones.Interpolación Usando Splines Los dos tipos de polinomios por pedazos que hemos discutidos hasta ahora tienen ladesventaja de que su segunda derivada no es continua en los puntos de interpolación. Se haobservado que en aplicaciones gráficas, el ojo humano es capaz de detectar discontinuidadesen la segundas derivadas de una función, haciendo que los gráficos con este tipo de funcionesno luscan uniformes. Esto motiva el uso de los splines que son funciones s(x) continuas porpedazos con las siguientes propiedades: 1. s(x) es polinomio cúbico en . 2. existen y son continuas en . 3. s(x) interpola a la función f en los datos . 4. s(x) es continua en el intervalo.Polinomio Interpolante De LagrangePara construir un polinomio de grado menor o igual que n que pase por los n+1 puntos: ,donde se supone que si i ¹ j. Este Polinomio Pn es la fórmula del Polinomio Interpolante deLagrange. Esta fórmula si puede aplicarse independientemente del espaciamiento de la tabla, perotiene el inconveniente de que no se conoce el grado del polinomio. Como no se conoce, setiene que determinar iterativamente. Se propone un grado, se realiza la interpolación, sepropone el siguiente grado, se vuelve a interpolar y se compara con algún criterio deconvergencia, si se cumple terminamos si no, se repite el procedimiento.
  • La diferencia dividida de Newton para la Interpolación de Polinomios está entre los modelosmás populares y útiles. Para un polinomio de grado nse requiere de n + 1puntos: ... , , Se usan estosdatos para determinar los coeficientes para las diferencias divididas. Partiendo de una tabla dediferencias divididas que viene dada por Para aplicar el Polinomio de Interpolación por diferencias divididas de Newton, no esnecesario que los datos tabulados sean necesariamente equiespaciados o que los valores debanestar ordenados en forma ascendente. El valor que aporta el polinomio de Newton está sujeto aun error
  • Aplicación De Los Métodos Numéricos De Interpolación En La Resolución DeProblemas.p ara datos tabulados en forma equiespaciada o no esquiespaciada, a través de una serie detécnicas que antes de la llegada de las computadoras tenían gran utilidad para la interpolación,sin embargo, con fórmulas como las de Newton-Gregory, Gauss, Lagrange, Hermite, Newton,etc., son compatibles con computadoras y debido a las muchas funciones tabulares disponibles,como subrutinas de librerías; dichas fórmulas tienen relevancia en la solución de ecuacionesdiferenciales ordinarias. Una gran cantidad de problemas físicos están descritos por ecuaciones diferenciales en lasque interviene un operador Laplaciano (la ecuación de Laplace, la ecuación de onda, laecuación de Schrödinger, etc.). Matemáticamente, estas ecuaciones corresponden a casosparticulares del problema de Sturm-Liouville, vale decir, ecuaciones de autovalores para unoperador diferencial autoadjunto. No entraremos en los detalles de esta discusión. Sólo diremosque los polinomios de Hermite son un caso particular de soluciones a un problema de Sturm-Liouville. Dichas soluciones forman un conjunto completo y ortogonal, con cierta función depeso. En el caso de familias de polinomios ortogonales, existen relaciones de recurrencia quevinculan cada polinomio con los de grados inmediatamente anterior y posterior, y típicamenteposeen una función generatriz, así_ como operadores de subida y de bajada. En los capítulossiguientes encontraremos nuevas familias de polinomios ortogonales. Todos ellos provienen desendos problemas de Sturm-Liouville, y por tanto no será extraño encontrar las mismascaracterísticas que hemos identificado en los polinomios de Hermite.