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APOSTILA SOBRE PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA)-PROF. CARLINHOS3) Calcule a razão de uma P.A sabendo que a2 = - 11, a12 = 19 .Re...
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Mat sequencias e progressoes 003

  1. 1. APOSTILA SOBRE PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA)-PROF. CARLINHOS SUCESSÃO OU SEQUENCIA NUMÉRICASucessão ou seqüência numérica é todo conjunto de números dispostos numa certaordem. Uma sucessão pode ser finita ou infinita.Exemplos:- (2; 5; 8; 11) finita - ( -3; -2; -1; ...) infinitaRepresentação genérica de uma sucessão(a1, a2; a3; ...; an-1; an) em que:a1 – 1º termoa2 – 2º termoa3 – 3º termo...an – n-ésimo termoTermo geral ou lei de formação de sucessãoÉ a fórmula matemática que determina os termos de uma sequência, em função de suaposição n na sequência. Exemplos:1) Escreva os 3 primeiros termos da seqüência definida por:a) an = 3n+2, onde n ∈ Ν *Resolução:b) a1 = 2 e an+1 = an + 8Resolução:Progressão Aritmética (P.A)É toda sequência numérica em que a diferença, a partir do segundo e o seu antecessor semantém constante. Essa diferença constante r chama-se razão da PA.Então a seqüência (a1, a2; a3; ...; an-1; an) é uma PA, se e somente, se:a2 - a1 = a3 - a2 = an - an-1 = rExemplos:1) Verifique se a sequência abaixo é uma PA, em caso positivo, determine a razão:a) ( 2; 5; 8; 11;...) b) ( 19; 14; 9; 4;...) 1
  2. 2. APOSTILA SOBRE PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA)-PROF. CARLINHOSResolução: Resolução:c) (7; 7; 7; 7; ...) d) ( 1; 6; 11; 17; ...)Resolução: Resolução:Observações:a) PA crescente, quando r (razão) > 0.b) PA decrescente, quando r (razão) < 0.c) PA constante, quando r (razão) = 0.2) Determine x, de modo que os números x - 5; 2x + 3 e 5x - 1, formem nessa ordemuma PA.Resolução:Fórmula do termo geral de uma PAPara calcularmos qualquer termo de uma P.A. usamos a fórmula seguinte:an = a1 + (n - 1)ran = representa o termo procurado.a1 = representa o primeiro termo da P.An = representa o número de termos.r = representa a razão da P.A.Exemplos:1) Calcule o sétimo termo da P.A (1, 6, 11, ...)Resolução:2) Determine quantos múltiplos de 5 há entre 21 e 200.Resolução: 2
  3. 3. APOSTILA SOBRE PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA)-PROF. CARLINHOS3) Calcule a razão de uma P.A sabendo que a2 = - 11, a12 = 19 .Resolução:4) Interpole 6 meios aritméticos entre 3 e 17.Resolução:5) Numa estrada existem dois telefones instalados um no km 10 e outro no km 50. Entreeles serão colocados mais 9 telefones, mantendo-se entre dois telefones consecutivossempre a mesma distância. determinar em quais marcos quilométricos deverão ficaresses novos telefones.Resolução:Propriedades1ª) Sendo a, b, c três termos consecutivos de uma P.A, dizemos que o termo b centralentre eles é a média aritmética dos outros dois.Exemplo:Sendo 2, x, 18 três termos consecutivos de uma P.A. Calcule o valor de x.2ª) Numa P.A finita, a soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual à somados extremos.Exemplo: Observe a PA (3; 5; 7; 9; 11; 13; 15; 17)9 + 11 = 7 + 13 = 5 + 15 = 3 + 17 = 20Soma dos n-primeiros termos de uma PAA soma dos n-primeiros (Sn) termos de uma PA é dada por: (a1 + a n ).nSn = 2 , onde:a1→ primeiro termo an→ n-ésimo termo n→ números de termos 3
  4. 4. APOSTILA SOBRE PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA)-PROF. CARLINHOSExemplos:1) Calcule a soma dos 50 primeiros termos da PA (2,6, ...)Resolução:2) O dono de uma fábrica iniciar a produção com 1000 mensais e, a cada mês produzir200 unidades a mais. Mantidas essas condições, em dois anos quantos unidades afábrica terá produzido no total ?Resolução:EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO DA APREDIZAGEM (PA)1) Determine as seqüências abaixo:a) an = 2n-1 com n∈Ν* resp: (1,3,5,...)  a1 = 3  a = an −1 + 2,b)  n com n∈Ν, n ≥ 2 resp: (3,5,7,...)2) Escreva o termo geral das sequências: a) (1,4,9,16,25,...) resp: an=n2 com n∈Ν* b) (3,6,9,12,...) resp: an= 3n com n∈Ν* c) (2,5,8,11,14,...) resp: an = 3n - 1 com n∈Ν*3) Determine quais da seqüências abaixo são PA. Em caso afirmativo, determine a razãoe classifique-as em crescente, decrescente ou constante:a) (1; 1,1; 1,2; 1,3; ...) resp: PA crescente razão r = 0,1b) (22;18;14;12; ...) resp: Não é PAc) (-3;-5;-7; ...) resp: PA decrescente r = -2d) (5;5;5; ...) resp: PA constante razão r = 0e) (1; -2; 3;-4; ...) resp: Não é PA4) Os números x2, (x+2)2 e (x+3)2 estão em PA nessa ordem. Determine essesnúmeros. resp: (1/4;25/4,49/4)5) Determine o 10º termo da PA (2,8,...). resp: a10=566) Determine quantos mútiplos de 5 há entre 21 e 623. resp: 1207) Um corpo caindo livremente ( desprezando-se a resistência do ar ) tem ao final do1º segundo, velocidade de 9,8 m/s; velocidade de 19,6 m/s no final do segundo 4
  5. 5. APOSTILA SOBRE PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA)-PROF. CARLINHOSseguinte; de 29,4 m/s no final do 3º segundo; e assim por diante. Continuandoassim, determine qual será a sua velocidade no final décimo segundo. resp: 98m/s8) No primeiro semestre de um dado ano, a produção mensal de uma montadora estáem PA crescente. Em janeiro, a produção foi de 18000 carros e, em junho, foi de78000 unidades. Determine a produção dessa montadora nos meses de fevereiro,março, abril e maio. resp: 30000, 42000, 54000 e 660009) A figura abaixo indica a distribuição de cadeiras num auditório:Determine quantas há fila H mantida essa tendência. resp: 3810) Uma empresa tem o seu organograma uma PA partindo do presidente e a cadanível abaixo dele aumentando 4 funcionários. A forma mais comum de se representaresse organograma é a piramidalSabendo que a empresa tem dez níveis hierárquicos, determine quantos empregados elatem. resp: 190 funcionários11) Um agricultor colhe laranjas durante doze dias da seguinte maneira: no 1º dia, sãocolhidas 10 dúzias; no 2º, 16 dúzias; no 3º, 22 dúzias; e assim por diante. Quantaslaranjas colherá ao final dos doze dias ? resp: 6192 laranjas12) Verificou-se que o número de pessoas que comparecia a determinado eventoaumentava, diariamente , segundo uma PA de razão 15. Sabe-se que no 1º diacompareceram 56 pessoas e que o espetáculo foi visto, ao todo, por 707 pessoas.Durante quantos dias esse espetáculo ficou em cartaz ? resp: 7 dias 5

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