Mat geometria plana 001

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Mat geometria plana 001

  1. 1. Matemática Geometria Plana uuu r uuu r O segmento AB = AB ∩ BA . ANOTAÇÕESGeometria plana1.1. Introdução1.1.1. Noções Primitivas:Ponto – A medida do segmento será Reta – Plano indicada porRepresentação 1.1.4. Pontos Alinhados ou Colinea-Ponto res São pontos que pertencem a uma mesma reta.Reta A ∈ r, B ∈ r e C ∈ r são colineares 1.1.5. Conjunto ConvexoPlano ∀ A ∈ α, ∀ B ∈ α; ⊂α• O ponto não possui dimensão• A reta possui uma só dimensão• O plano possui exatamente duas 1.1.6. Conjunto não Convexo dimensões• Não confundir os conceitos de me- dida e dimensão1.1.2. Semi-reta ∃ A ∈ β, ∃ B ∈ β; ⊄β Qualquer ponto de uma reta a di-vida em duas semi-retas ditas opos- 1.1.7. Ângulo Geométricotas. É a união de duas semi-retas de mesma origem O ponto O divide a reta r nas se- uuuu r uuurmi-retas O A e O B .1.1.3. Segmento de Reta COLÉGIO VIA MEDICINA PSS 1 PÁGINA 1
  2. 2. MATEMÁTICA – Jorge Oliveira GEOMETRIA PLANA O .. vértice 1 ANOTAÇÕES de 1º = 1 ( 1 minuto) ..e . lados 60 α = A B . ângulo 1 de 1’ = 1” (1 segundo) 601.1.8. Congruência Assim: Duas figuras geométricas (conjun- 1º = 60’ e 1’ = 60”, logo 1º = 3600”to de pontos) serão ditas congruentes,se e somente se, coincidirem por su- 1.1.14. ângulo Agudoperposição. ≅ ou AB = CD α é agudo ⇔ 0º < α < 90º1.1.9. Ângulo Convexo 1.1.15. Ângulo Obtuso É o ângulo que determina no pla-no uma região convexa β é obtuso ⇔ 90º < β < 180º 1.1.16. ângulo Raso α é convexo θ é raso ⇔ θ = 180º 1.1.17. Ângulo de uma volta1.1.10. Ângulo não Convexo É o ângulo que determina no pla-no uma região não convexa γ é de uma volta ⇔ γ = 360º 1.1.18. Bissetriz É a semi-reta que partindo do vértice divide o ângulo em 2 ângulos congruentes. β é não convexo1.1.11. Ângulo Reto Se duas retas que têm um só pon-to em comum e determinarem 4 ân-gulos congruentes, cada um deles se-rá chamado de ângulo reto 1.1.19. Ângulos Consecutivos Têm o mesmo vértice e um lado comum α é ângulo reto1.1.12. Medida de ângulo Vamos admitir o ângulo reto, comum ângulo que mede noventa graus. 1.1.20. Ângulos AdjacentesIndicaremos 90º. São ângulos consecutivos em que os lados não comuns estão em semi-1.1.13. Submúltiplos do grau planos opostos. Na figura anterior vemos que α e β são adjacentes e γ e 1 do ângulo reto = 1º θ não são. 90PÁGINA 2 COLÉGIO VIA MEDICINA
  3. 3. GEOMETRIA PLANA MATEMÁTICA – Jorge Oliveira1.1.21. Ângulos Opostos Pelo Vérti- 5.Dois ângulos são suplementares e a ra- ANOTAÇÕES ce São ângulos em que o lado de um zão das medidas é . Quais são asé o prologamento do lado do outro. medidas dos ângulos? 6.O ângulo igual a do seu suplemento mede: a) 100º c) 36º e) 72º b) 144º d) 80º 7.Um ângulo mede a metade do seu com-1.1.22. Complemento, Suplemento e plemento. Então esse ângulo mede: Replemento a) 30º c) 45º e) 75º b) 60º d) 90º• e β são complementares ⇔ α e β = 90º 8.O triplo do complemento de um ângulo• e β são suplementares ⇔ α e β = é igual a terça parte do suplemento 180º desse ângulo. Esse ângulo, em radia- nos, mede• e β são replementares ⇔ α e β = 360º 7π 7π 5π a) c) e)Indicamos: 8 4 8− complemento de x = 90º – x 5π 7π b) d)− suplemento de x = 180º - x 16 16− replemento de x = 360º - x 9.Provar que dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes. EXERCÍCIOS 10.Achar o valor de x nas figuras seguin- tes:1. Verifique se são convexos ou não con- a) vexos, cada um dos conjuntos seguin- tes: a) reta b) o segmento da reta c) a semi-reta d) a reta menos um ponto e) a circunferência f) o círculo b)2. Efetuar as operações indicadas a) (2º 20’ 30º) + (10º 10 10”) c) b) (20º 40’) + (19º 20’) c) (40º 40’) + (20º 25’) d) (10º 42’ 50”) + (30º 20’ 20”) e) (20º 20’ 20”) + (10º 39” 40”) f) (10º 20’) – (8º 12’) g) 40º (12º 20’) h) (30] 30’) – (10º 40’) i) 15º (10º 20’ 25”) d) j) (22º 18’ 10”) – (4º 20’ 2”) k) (32º 42’ 42”) – (10º 50’ 50”) l) (20º 20’) x 4 e) m) (10º 22’ 32”) x 5 n) (12° 24’ 36”) ÷ 3 o) (12º 21” 12”) ÷ 53. Encontre o complemento e o suplemen- 1.2. Ângulos entre duas retas to de: a) 12º paralelas e uma transversal b) 20º 12’ c) 35º 43’ 42” 1.2.1. Retas Paralelas d) Duas retas de um mesmo plano4. Dois ângulos são complementares e a são paralelas, se e somente se, não medida de um excede a do outro tiverem ponto em comum. em 20º. Achar a medida desses ân- gulos. COLÉGIO VIA MEDICINA PÁGINA 3
  4. 4. MATEMÁTICA – Jorge Oliveira GEOMETRIA PLANA f) ANOTAÇÕES r//s ⇔ r ⊂ α, s ⊂ α e r ∩ s = ∅1.2.2. Ângulos entre duas retas pa- ralelas cortadas por uma re- ta transversal Na figura abaixo as retas r e s são parale- las. A medida do ângulo b é: 1.3. Triângulos Iˆ e 7, 2 e 8 → alternos, externos1 ˆ ˆ ˆ 1.3.1. Definição (congruentes)ˆ e 5, 4 e 6 → alternos, internos3 ˆ ˆ ˆ Dados 3 pontos A, B e C não coli- (congruentes) neares, chama-se retângulo a união →correspondentes dos 3 segmentos , e (congruentes)ˆ e 8, 2 e 7 → colaterais, exter-1 ˆ ˆ ˆ nos (suplementares)ˆ e ˆ 3 e 6 → colaterais internos4 5, ˆ ˆ (suplementares) EXERCÍCIOS ∆ ABC = ∪ ∪Determine x nas figuras seguintesa) 1.3.2. Elementos do Triângulob) , , → lados m, n, p → medidas dos ângulos intei- ros , , , respectivamen- tec) BC = a → medida do lado AC = b → medida do ladod) AB = C → medida do lado 1.3.3. Lei Angular de Talese) m+n+p = 180ºPÁGINA 4 COLÉGIO VIA MEDICINA
  5. 5. GEOMETRIA PLANA MATEMÁTICA – Jorge Oliveira “A soma das medidas dos ângulos c) ANOTAÇÕESinternos de um triângulo é igual a180.”1.3.4. Soma dos ângulos Externos “Em qualquer triângulo a medidade um ângulo externo é igual a somadas medidas de 2 ângulos internos nãoadjacentes.” d) 2. Na figura AB = AC = CD. Determine α. x+y=z = 360º 120o A1.3.5. Classificação quanto aos la- dos1. Escaleno: não possui lados con- gruentes αIsósceles: possui 2 lados congruentes B C DEquilátero: possui 3 lados congruentes 3.Demonstre que num triângulo a soma das medidas dos ângulos externos é Todo triângulo equilátero é isósce- igual a 360º.les 4.Demonstre o Teorema do ângulo Exter-1.3.6. Classificação quanto aos ân- no. gulos internos 5.No retângulo a seguir, o valor, em graus1. Retângulo: Possui 1 ângulo. de α + β é:Obtusângulo: Possui 1 ângulo obtuso.Acutângulo: Possui 3 ângulos agudos. 40o1.3.7. Propriedades dos Triângulos1. Em um triângulo, se houver lados β congruentes, a eles estarão se opondo ângulos congruentes, e α reciprocamente. a) 50 c) 120 e) 220Em um triângulo, ao maior lado opõe-se o b) 90 d) 130 maior ângulo, ao menor lado opõe-se o menor ângulo e reciprocamente. 6.Na figura a seguir ABCD indica um qua- drado de lado unitário e ABE um tri- ângulo eqüilátero. Prove que 13. EXERCÍCIOS D C α E1. Determine o valor de x nas figuras:a) A Bb) 2tg x Sugestão: tg(2x) = x − tg 2 x a) α = 15º b) α=2– COLÉGIO VIA MEDICINA PÁGINA 5
  6. 6. MATEMÁTICA – Jorge Oliveira GEOMETRIA PLANA7.Observe a figura ORTOCENTRO ANOTAÇÕES A A E D F E H 140oB C F Nessa figura , = bisse- D C triz de é 140º. A medida do B AD ângulo é 140º. A medida do BE alturas ângulo , em graus, é: CFa) 20 c) 40 e) 60 H: ortocentrob) 30 d) 50 1.4.2. TRIÂGULO RETÂNGULO1.4. Triângulos II Propriedade A medida relativa à hipotenusa de1.4.1. Pontos Notáveis de um Tri- um triângulo retângulo é igual à me- ângulo tade da hipotenusa.BARICENTRO A A N F E R G B R O R CB D C AD BE medianas CF G: baricentro 1INCENTRO AO = .BC A 2 EXERCÍCIOS R T G 1.O segmento da perpendicular traçada de um vértice de um triângulo à reta su- porte do lado oposto é denominado: a) medianaB S C AS b) mediatriz BR bissetrizes internas CT c) bissetriz I: Incentro d) alturaCIRCUNCENTRO A e) base mp mc P 2.Na figura, ABC é um triângulo retângulo N em A, é mediana e é bisse- O triz interna. Se o ângulo = 20º, C então o ângulo MDB mede: B M A ma N D ma mb mediatrizes O: circuncentro B C mc MPÁGINA 6 COLÉGIO VIA MEDICINA
  7. 7. GEOMETRIA PLANA MATEMÁTICA – Jorge Oliveiraa) 90º c) 100º e) 110º a) 30º c) 60º e) 120º ANOTAÇÕESb) 95º d) 105º b) 45º d) 90º3.Na figura, o triângulo ABC é retângulo em A, M é o ponto médio de e 1.5. Triângulos III é paralelo do lado . Se BC = 1.5.1. Existência do triângulo 24, então AP vale: C 1.5.2. Condição de Existência do Triângulo A b c N M P C B a A Ba) 5 c) 7 e) 9b) 6 d) 8 EXERCÍCIOS4.Na figura a seguir, ABCD é um retângu- 1.Se dois lados de um triângulo medem lo, M é ponto médio de e o tri- respectivamente 3 cm e 4 cm, pode- ângulo BMC é equilátero. Sendo = mos afirmar que a mediada do tercei- 18 cm, calcule a medida do segmento ro lado é: a) igual a 5 cm . b) igual a 1 cm A D c) igual a cm d) menor que 7 cm e) maior que 2 cm P 2.Mostre que em qualquer quadrilátero convexo o quociente do perímetro pe- la soma das diagonais é maior que 1 e menor que 2. B C 3.O semiperímetro de um triângulo é dado5.Na figura abaixo, a circunferência de por 12,5 m. Dois lados medem res- centro O está inscrita no triângulo pectivamente 7,6m e 8,4 m. Calcular ABC. Sendo DOE paralelo ao lado a medida do terceiro lado. ; =20; = 25 e = 22: a) mostre que o triângulo BOD é i- 4.Num triângulo isósceles e semi- perímetro é dado por 19,6m. A base sósceles; mede 5,2m. Determinar a medida dos lados congruentes. b) calcule o perímetro do triângulo ADE. EXERCÍCIOS A 1. Efetuar as operações seguintes: a) (12º 22’) + (10º 40’) b) (15º 6’) + (10º 58’) D E c) (10º 40’ 40”) + (20] 19’ 20”) O d) (32º 43’ 42”) + (10º 20’ 42”) e) 10º - (9º 30’)B C 2.Na figura, calcular a medida “x”6.Um triângulo ABC tem ângulos = 40º e = 50º. Qual é o ângulo formado pe- las alturas relativas aos vértices A e B desse triângulo? COLÉGIO VIA MEDICINA PÁGINA 7
  8. 8. MATEMÁTICA – Jorge Oliveira GEOMETRIA PLANA3.Na figura, calcular ma medida x. a) 90º c) 110º e) nda ANOTAÇÕES b) 100º d) 120º 10.Determine x nas figuras a)4.Na figura, r é paralela a s; determine a b) medida a. c)5.Na figura, x vale: d)6.Se r // s, α vale: 11.Os ângulos de um triângulo medem res- pectivamente: 3x, 4x e 5x. Então, va- le em graus: a) 125º c) 35º e) 15º b) 55º d) 65º 12.Num triângulo isósceles, um ângulo ex-a) 100º c) 130º e) 120º terno vale 30º 10’. Os valores possí- veis para os ângulos côgruos são:b) 110º d) 150º a) somente 15º5’ b) 15º5’ e 140º50’7.Se r // s, determine na figura c) impossível d) 20º e 140º e) nda 13.Num triângulo isósceles o ângulo do vértice mede 58º. Calcular a medida dos ângulos externos da base. 14.Um ângulo externo da base de um tri- ângulo isósceles mede 108. Calcular a medida do ângulo interno do vértice.8.Se r // s, então vale: 15.Num triângulo isósceles a soma dos ân- gulos da base é oito vezes o ângulo do vértice. Calcular as medidas dos ân- gulos internos do triângulo. 16.Na figura, N é ponto médio AB, é paralelo a , Sendo = 60 cm,a) 90º c) 110º e) 22º40’ calcule .b) 100º d) 120º9.Na figura r // s então vale:PÁGINA 8 COLÉGIO VIA MEDICINA
  9. 9. GEOMETRIA PLANA MATEMÁTICA – Jorge Oliveira17.Em um triângulo retângulo ABC, tra- 26.Se o triângulo é equilatero, o que a- ANOTAÇÕES contece com seus pontos notáveis? çam-se as bissetriz e dos ângulos agudos e . Calcule a me- 27.Na figura, ABCD é um paralelogramo, em que M é o ponto médio do lado dida do ângulo B C. . Sendo DP=24 cm, determine o18.Na figura abaixo, temos: valor de x. = 30 cm = 30 cm BE é bissetriz do ângulo CE é bissetriz do ângulo e DF//BC. Calcule o perímetro do triângulo ADF. 28.Num triângulo ABC, o incentro é o pon- to I. Sendo B C = 125º, determine a medida do ângulo Â. 29.No triângulo ABC da figura, o ponto G é o baricentro. Sendo CG = x + 2; GE = y ; AG = x e GD = 7 – y, calcule o valor de x + y.19.Na figura, r é a bissetriz do ângulo A C. Se α 40º e β = 30º, calcule . 30.Determine o valor de x na figura se- guinte20.Num triângulo ABC, retângulo em B, BD é mediana. Traçam-se BE perpendicu- lar a AC. Se = 70º, então o ângulo E D mede:a) 20º c) 40º e) 50ºb) 25º d) 45º21. Na figura, o triângulo ABC é eqüiláte- 31.Em um triângulo, dois lados medem, ro, é bissetriz do ângulo A C e respectivamente, 5 e 8. O menor va- é bissetriz do ângulo A D. O ân- lor possível para a medida do terceiro lado é: gulo B C mede: a) 3 c) 5 e) nda b) 4 d) 12 32.Se x ∈ N e os números x – 1, 2x + 1 e 10 são os lados de um triângulo, en- tão o número de possibilidades de x é: a) 3 c) 5 e) nda b) 4 d) 6a) 20º c) 30º e) 40ºb) 25º d) 35º 33.Seja ABC um triângulo retângulo, onde22.Se um triângulo é retângulo, o que po- Â = 90º. Se a altura forma com a demos concluir a respeito do circun- mediana um ângulo de 20º, en- centro e do ortocentro? tão os ângulos agudos desse triângulo são:23.Se um triângulo é obtusângulo, o que a) 40º e 50º d) 25 e 65º podemos concluir a respeito do cir- b) 35º e 55º e) 45º e 45º cuncentro e do ortocentro? c) 30º e 60º24.Quais pontos notáveis do triângulo, são 34.A mediana de um triângulo retângulo sempre internos a ele? relativa à hipotenusa forma com a COLÉGIO VIA MEDICINA PÁGINA 9
  10. 10. MATEMÁTICA – Jorge Oliveira GEOMETRIA PLANAbissetriz de um dos ângulos agudos em ân- ANOTAÇÕES gulo de 120º. Calcular os ângulos agu- dos do triângulo.35.Num triângulo retângulo, a altura rela- tiva à hipotenusa forma com a bisse- triz do ângulo reto um ângulo de 15º. Calcular os ângulos agudos.36.As medidas dos três lados de um triân- gulo formam uma PA de primeiro termo e a razão r tal que r > 0. Então:a) r = 3a d) r < ab) r = 2a e) nada podemosc) r = a afirmar sobre os valores de a e r.37.Em um triângulo acutângulo, se a me- dida α de um ângulo é menor que a de seu complemento. Pode-se afirmar que: a) α > 80º b) 75º < c) 60º < α < 75º d) 45º < α < 60º e) α < 45º GABARITO1) a) 21º 2’ b) 26º 4’ c) 31 º d) 43º 4” 24” e) 30’2) 41º 42’ 43’’3) 96º 18’4) 120º5) 30º6) E7) 90º8) E9) 910) a) 30º b) 100º c) 100º d) 60º11) E12) A13) 119º14) 36º15) 45º, 50º, 85º16) 20º, 80º, 80º17) OM = 10cm18) 135º19) 66 cm20) 5º21) 50º22) 30º23) ponto médio da hipotenusa e vértice , respectivamente24) ambos são externos25) baricentro e incentro26) coincidem27) 12 cm28) 70º29) 1030) 1/1631) B32) B33) E34) B35) 40º e 50º ou 10º e 80º36) 30º e 60º37) EPÁGINA 10 COLÉGIO VIA MEDICINA

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